TRABAJO COLABORATIVO I

Presentado por:

Víctor Alfonso Cardona valencia

Tutor

Carmen Emilia rubio

Grupo=100410_275

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIACALCULO DIFERENCIAL

2014

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo se realiza con el fin de estudiar el análisis de las sucesiones y progresiones y determinar de qué clase son, igualmente para tener claro su definición y como se debe aplicar el desarrollo de cada uno en cada ejercicio. La elaboración de la actividad aumenta nuestra capacidad de razonamiento, y nos enseña cómo se deben emplear de forma adecuada las fórmulas, a establecer similitudes y reconocer diferencias.

Su construcción se basa en el aporte de todos los compañeros del curso, quienes desarrollaron los problemas planteados y luego se compartieron en el foro para su análisis.

La principal dificultad la constituyo los diversos criterios que contempla la temática para la definición de un ejercicio.

Las progresiones nos resultan de gran utilidad práctica, en particular cuando trabajamos con datos relacionados con el crecimiento de la población mundial, el aumento de consumo de electricidad, o el incremento de una capital en función del tiempo. En ingeniería, administración y otras áreas también se nos presentan aplicaciones, que podemos manejar mediante el concepto de sucesión

DESARROLLO

1. Determine si la sucesión Vn=2(2n+1)

n+1 converge o diverge.

Si evaluamos la sucesión en varios puntos encontramos que:

a1=2 (2.1+1 )

(1+1 )=62=3

a2=2 (2.2+1 )

(2+1 )=103

a3=2 (2.3+1 )

(3+1 )=144

a4=2 (2.4+1 )

(4+1 )=185

La sucesión es convergente

2. Sucesiones Monótonas. Demostrar que W n=n+2

n es estrictamente

creciente o decreciente.

Wn=( 1+21 )=3 Wn=¿) = 2

wn= (3+23

¿=53

wn= (4+24

)= 64

La sucesión es decreciente

3. Hallar el termino general de las siguientes Progresiones, manifieste si son Aritméticas o Geométricas:

co={0 ,14

,12

,34 }

4. Hallar el termino general de las siguientes Progresiones, manifieste si son Aritméticas o Geométricas:

Co={1 ,−12

,14

,−18

,116

………}Al observar el conjunto, no encontramos una diferencia común entre un término y su antecesor, por lo que queda descartado que sea una progresión Aritmética.

De igual forma, al dividir un término por su antecesor, no encontramos una Razón Común, por lo que también descartamos que sea una progresión Geométrica.

Se aprecia que, siendo el numerador igual, el denominador es idéntico a n, es decir, al dominio que lo conforman los números naturales; entonces podemos

decir que la sucesión es de la forma 1n

. Pero hay una condición más y es que se

alternan los signos; esto se logra multiplicando por una potencia que tenga como base a -1 y exponente a n-1 pues los términos son negativos cuando n es par.

Entendidas las cosas de esta manera, el término general de esta sucesión queda así:

Cn=1n

(−1 )n−1

5. Hallar el termino general de las siguientes Progresiones, manifieste si son Aritméticas o Geométricas:

Co={2 ,2√33

,23

,2√39

,………}

Se aprecia una especie de patrón entre los términos. Intentamos primero buscando una Razón Común, es decir, dividimos un término por su antecesor:

d=

2√3923

=√33

d=

232√33

=1

√3=√33

d=

2√332

=√33

Queda así demostrado que la razón común es d=√33

. Aplicamos ahora la

ecuación para el término general de una progresión geométrica:

Cn=qn−1Ca

Siendo Ca=2 que es el primer término de la progresión, el término general queda:

Cn=(√33 )n−1

2

Queda mejor organizada:

Cn=2(√33 )n−1

Por lo tanto es una Progresión Geométrica.

6. Halle la suma de los números múltiplos de 9 menores o iguales a 2304. Cuantos términos hay?

El conjunto se puede expresar así:

Co= {9,18,27 , ………,2304 }

El conjunto de los múltiplos de un número se conforma de todos aquellos que resultan de multiplicar este número por cada uno de los números naturales. En este caso es únicamente hasta 2304, que también es múltiplo de 9.

En este conjunto hay una diferencia común entre un término y su antecesor que es 9, por lo tanto la sucesión es una progresión Aritmética de la forma:

Cn=Ca+(n−a ) d

Reemplazando los valores conocidos tenemos el término general de esta progresión:

Cn=9+ (n−1 )9

Para el último término podemos escribir:

2304=9+ (n−1 )9

De donde n será el número de términos de la sucesión hasta 2304:

n=(2304−9 )

9+1

n=256

Para hallar la suma aplicamos:

s=n (Ca+Cn )

2

En este caso Ca=9 y Cn=2304. Reemplazando tenemos:

s=256 (9+2304 )

2

s=296064

Que es la respuesta.

7. Halle la suma de los números pares de 4 cifras. Cuantos términos hay?

Por el enunciado se sabe que los números pares de 4 cifras van desde el número 1000 hasta 9998. Este conjunto se puede expresar así:

Co= {1000 ,1002 ,1004 , ………,9998 }

Similar al ejercicio anterior, estamos ante una progresión Aritmética con diferencia común d=2. Por lo tanto el término general será de la forma:

Cn=Ca+(n−a ) d

Reemplazando tenemos:

Cn=1000+(n−1 )2

Para hallar el número de términos, igualamos la ecuación anterior al valor del último término de la sucesión:

9998=1000+(n−1 )2

n=(9998−1000 )

2+1

n=4500

Para hallar la suma aplicamos:

s=n (Ca+Cn )

2

Reemplazamos los términos:

s=4500 (1000+9998 )

2

La suma de los números pares de 4 cifras será:

s=24.745.500

8. En una progresión Aritmética el tercer término es 24 y el décimo término es 66. Hallar el primer término y la diferencia común de la progresión.

Usamos la ecuación para el término general:

Cn=Ca+(n−a ) d

Aplicamos esta ecuación para n=3 asi:

24=Ca+(3−1 ) d

Despejamos Ca:

Ca=24−(3−1 ) d

Simplificamos:

Ca=24−2d

De nuevo aplicamos la ecuación para n=10 asi:

66=Ca+ (10−1 ) d

Despejamos Ca:

Ca=66−(10−1 )d

Simplificamos:

Ca=66−9d

Igualamos estas dos ecuaciones como Ca=Ca:

24−2d=66−9d

Despejamos d:

9d−2d=66−24

Simplificamos:

7d=42

De donde resulta la diferencia común:

d=6

El primer término se puede encontrar reemplazando d en cualquiera de las dos expresiones de Ca:

Ca=66−9d

Reemplazamos d :

Ca=66−9 (6 )

De donde resulta el valor del primer término:

Ca=12

El término general será:

Cn=12+(n−1 )6

9. El caracol gigante africano (GAS en inglés) fue encontrado por primera vez en el sur de Florida en la década de los 60. La erradicación de esta plaga llevo 10 años y costo un millón de dólares. Se reproduce rápidamente y produce alrededor de 1200 huevos en un solo año. Si no se le controla, si de cada huevo resulta un caracol, sabiendo que en una granja del Meta se encontraron inicialmente 5000 caracoles. Cuantos caracoles gigantes africanos existirían dentro de 10 años? No olvide usar los conceptos y fórmulas de las sucesiones y progresiones.

Por la característica del problema no queda duda que estamos ante una progresión geométrica, ya que cada individuo produce cada año 1200 huevos que se convierten cada uno en un nuevo individuo que produce otros 1200.

Queda claro que la razón común q es 1200. Aplicamos la ecuación para el término general de una progresión geométrica:

Cn=qn−aCa

Reemplazamos los términos conocidos:

Cn=(1200n−a) (5000 ) Cada año es un término adicional al inicial, por lo tanto

consideramos 11 términos. El año 10 corresponderá al término 11:

C11=(120011−1 ) (5000 )

C11=3.0958682112∗1034

10.En la granja de la UNAD en Acacias se quiere saber cuál es el ingreso por la venta de un lote de 1850 cerdos, cuyo peso promedio es de 20 kg, los cuales tendrán un tiempo de engorde de 120 días. Durante los primeros 30 días los animales aumentaran de peso en promedio 1 kg por día y en los otros 90 días su aumento será de 450 g por día.

El precio del kg de cerdo en pie es de $2.950=.

Estamos ante una progresión Aritmética pues la diferencia de peso en cada cerdo entre un día y el anterior es el mismo, aunque hay dos instancias debido al cambio en la diferencia común entre el día 30 y el 31.

Hasta el día 30 la diferencia común d es 1 kg y a partir del día 31 la diferencia común d será solo 0.45 kg. Esto nos obliga a generar dos ecuaciones para el término general.

Aplicando la ecuación para el término general de una progresión Aritmética tenemos:

Cn=Ca+(n−a ) d

Cada día es un término adicional al inicial, por lo tanto consideramos 31 términos. El día 30 corresponderá al término 31.

Reemplazando los valores conocidos obtenemos:

Cn=20+(n−1 )1

Que se aplica para los primeros 30 días. Al final de estos los cerdos pesaran:

C31=20+(31−1 )1

C31=50

Para los restantes 90 días la diferencia común cambia a 0.45 kgs, con lo que la ecuación para el término general queda como sigue:

Cn=50+(n−30 )0,45

En el día 120 el peso de cada cerdo será:

C121=50+ (121−31 )0,45

C121=90,5

Para hallar el ingreso por la venta de 1850 cerdos basta con multiplicar el peso de cada cerdo al final del proceso de ceba por el número de cerdos y por el valor del kg en pie:

90,5kg

cerdo∗2950 $

kg∗1850 cerdos=$ 493 ' 903.750=¿

CONCLUSIONES

El trabajo desarrollado nos permite llegar a las siguientes conclusiones: Durante el desarrollo del trabajo podemos identificar clases de sucesiones.

Demostrar analíticamente cuando una sucesión es acotada superiormente e inferiormente. Se puede desarrollar diferentes enlaces de conocimientos en las diversas actividades o ejercicios para el desarrollo del trabajo.

Se maneja la capacidad analítica del pensamiento humano en los factores de los temas.

Profundización de los diferentes temas aptos para el desarrollo de los próximos trabajos.

BIBLIOGRAFIA

https://www.youtube.com/watch?v=BxZIAsv5k6E

https://www.youtube.com/watch?v=ya4Q5mwIXA4

https://www.youtube.com/watch?v=4vU0ThHnBKc

https://www.youtube.com/watch?v=-Sug_-XSbeE

https://www.youtube.com/watch?v=L-hVr7NNz8I

http://www.vitutor.com/al/sucesiones/suc2_Contenidos.html

http://www.slideshare.net/ortizximena/como-hacer-introduccion

http://www.ehowenespanol.com/4-pasos-conclusion-info_279111/