Índice

0. Introducción________________________________________________________________________________2

0.1. Datos________________________________________________________________________________________3

1. Resolución de la capa límite hidrodinámica_________________________________________4

1.1. Integración de las ecuaciones y coeficiente de presiones__________________________4

1.2. Perfiles de velocidades__________________________________________________________________7

1.3. Resistencia de fricción y de forma_____________________________________________________8

2. Anexo: Cálculo numérico_______________________________________________________________21

0.0. Introducción

Como el propio título indica, este trabajo está encaminado a la resolución mediante

métodos numéricos de la capa límite, así como a la obtención de magnitudes físicas

importantes como son el coeficiente de presiones, los perfiles de velocidades y los

coeficientes de resistencia y de forma, todo ello para la misma situación física: un

perfil bidimensional sobre el que incide una corriente fluida a velocidad U.

El método numérico a emplear va a ser el conocido método de líneas, que nos

permitirá resolver sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

Debido a que la velocidad se rige por este tipo de ecuaciones en la capa límite, este

método nos permitirá obtener la evolución de dicha magnitud a lo largo de la

estrecha zona por encima de la superficie del perfil que constituye la capa límite.

El problema hidrodinámico está desacoplado, por lo que el sistema de ecuaciones

diferenciales podrá ser resuelto sin más. Aparte del perfil de velocidades en la capa

límite, en este trabajo se calculará el coeficiente de presiones sobre el perfil. Además

obtendremos los coeficientes de forma y de fricción, y compararemos sus valores.

0.1. Datos

Vamos a tomar como datos para poder resolver las distintas cuestiones los siguientes

valores:

U = 10 m/s. (velocidad de incidencia).

a = 1 m (diámetro mayor del perfil).

t = 0.01-0.0316-0.1-0.316-1 (espesor adimensional)

= 1.5·10-5 m2/s. (viscosidad del fluido).

A partir de estos datos, vamos a resolver todas las incógnitas que nos piden para este

trabajo.

1. Resolución de la capa límite hidrodinámica

1.1. Integración de las ecuaciones y coeficiente de presiones

Sabemos que el perfil de velocidades en la capa límite se puede obtener mediante la

integración de la ecuación de la cantidad de movimiento en la estrecha franja que

ocupa la capa límite. Si se adimensionaliza la ecuación de la cantidad de movimiento

mediante la introducción de las siguientes variables adimensionales:

U

a

yy

ˆ

a

xx

ˆ

a

U

u

U

uu yx

ˆˆ

La ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento queda

2

2

0 y

u

dx

duudy

x

u

y

u

x

uu e

e

y

donde “x” ,”y” y “u” son las variables adimensionales correspondientes a la distancia

según la coordenada longitudinal, distancia según la coordenada transversal , y la

velocidad del fluido, respectivamente. eU es la velocidad del fluido justo al final de la

capa límite, es la viscosidad del y a es el diámetro mayor del perfil. Las condiciones

de contorno para esta ecuación son:

);(),(

);(,(

;0)0,(

00 yuyxxu

xuyxu

yxu

e

Si discretizamos la ecuación anterior, utilizando el método de los trapecios, para un

determinado número de alturas y separadas un paso h dentro de la capa límite, es

decir, en un dominio x > x0, x < xs, y > 0, el problema queda ya configurado para su

integración numérica. Las ecuaciones diferenciales discretizadas de la cantidad de

movimiento que integramos mediante el método de líneas son:

Para j = 1:

2

12

21

1 2

25.0

1

h

uu

dx

dueue

uudx

du;

Para 1 < j < N-1:

1

1

11

2

11

11 2

2

)(25.0

1 j

k

kjjjjj

jjj

j

dx

duuu

h

uuu

dx

dueue

uuudx

du ;

Para j = N: )1/(1

1)(

222 XXt

txueuN

; (condición de contorno)

Para que el método sea efectivo, la integración del sistema anterior debe comenzarse

en un punto x próximo a cero donde se pueda tomar como condición inicial que el

perfil de velocidad es uniforme (es decir, en cada línea de y constante, la velocidad

vale lo mismo) y de valor )()( 00 xuexu j .

La abcisa X = X(x) se obtiene en función de la coordenada a lo largo del perfil x

mediante la integración de la relación

22

2

)1(1

1

Xt

X

dx

dX

Obtenemos en primer lugar el coeficiente de presiones en función de X, para distintos

valores de t, sabiendo que cumple la ecuación

21)( ep uXC

donde eu se relaciona con X mediante la expresión

)1/(1

1222 XXt

tue

Representamos el coeficiente de presiones sobre el perfil como función de X, que a su

vez varía de -1 a 1.

Ya sólo falta conocer el punto de separación de la capa límite, de modo que

únicamente nos interesa integrar el sistema de ecuaciones anterior desde x0 hasta el

punto de separación xs. Buscamos el punto en el que se separa la capa, que es el

primero que cumple la condición de separación:

0)( sp xx ,

que en forma discretizada queda:

;02

)(1

11

0

j

jj

y

sp h

uu

y

ux

Puesto que ya tenemos completo el problema numérico diferencial para la capa

límite, procedemos a integrarlo, teniendo en cuenta las condiciones iniciales. El

intervalo de integración lo situamos en X = [-1, 1].

1.2. Perfiles de velocidades

Una vez integrado el sistema, vemos que el punto de separación (punto donde se

anula la velocidad en la segunda línea de la discretización de la capa límite), depende

del valor de t:

t )(mx f fX

0.01 2 0.998

0.0316 1.98 0.996

0.1 1.97 0.95

0.316 1.68 0.59

1 1.874 0.298

Nos piden representar gráficamente el perfil de velocidades en la capa límite para 5

puntos. Tomamos, por ejemplo, los puntos:

t1 =0.01 ; t2 =0.0316; t3 =0.1; t4=0.316; t5=1.

Los perfiles obtenidos son:

t = 0.01

t = 0.0316

t = 0.1

t = 0.316

t = 1

Este último perfil está representado muy cerca del punto de desprendimiento, situado en x = 1.874 . Se observa un punto de inflexión para velocidades del orden de 0.1 m/s, característico del desprendimiento de la capa límite.

1.3. Resistencia de fricción y de forma

En este apartado vamos a calcular los coeficientes de forma o de fricción para los

distintos valores de t. Para el cálculo de la resistencia de forma suponemos como

aproximación que la presión sobre la superficie del objeto tras el punto de

desprendimiento es uniforma y de valor igual a la presión en dicho punto.

La expresión que utilizamos (Euler-Bernouilli) es la siguiente:

)1(22 )1)(()1(

Xx

x

xse

x

o

xeP

s

s

dxnxudxnuD

Calculamos estas integrales por trapecios, convirtiéndolas en un sumatorio de un

número finito de puntos. Para ello construimos, para cada valor de t, una tabla como

la que sigue, usando las siguientes expresiones:

)1/(1

1)(

222 XXt

txue

;

)1(1 22

tX

Xtnx ; 22

2

)1(1

1

Xt

X

dx

dX

t=1 658.2pD

1)(2 xue xn1

dx

dX 1)(2 se xu xn1

dx

dX

X=-0.99 -0.96 0.99 7.09 X=0.298 2.6448 -0.298 1.05

X=-0.75 0.75 0.75 1.51 X=0.3 2.6448 -0.3 1.05

X=-0.5 2 0.5 1.15 X=0.4 2.6448 -0.4 1.09

X=-0.25 2.75 0.25 1.03 X=0.55 2.6448 -0.55 1.2

X=0 3 0 1 X=0.70 2.6448 -0.70 1.4

X=0.25 2.75 -0.25 1.03 X=0.85 2.6448 -0.85 1.9

X=0.298 2.6448 -0.298 1.05 X=0.99 2.6448 -0.99 7.09

t=0.316 556.0pD

1)(2 xue xn1

dx

dX 1)(2 se xu xn1

dx

dX

X=-0.99 -0.969 0.912 2.4327 X=0.59 0.6442 -0.2250 1.0263

X=-0.75 0.5348 0.3373 1.0623 X=0.60 0.6442 -0.2306 1.0277

X=-0.5 0.6761 0.1795 1.0265 X=0.65 0.6442 -0.2609 1.0359

X=-0.25 0.7204 0.0813 1.0033 X=0.70 0.6442 -0.2959 1.0469

X=0 0.7319 0 1 X=0.80 0.6442 -0.3883 1.0851

X=0.25 0.7204 -0.0813 1.0033 X=0.90 0.6442 -0.5464 1.1940

X=0.59 0.6442 -0.2250 1.0263 X=0.99 0.6442 -0.912 2.4327

t=0.1 162.0pD

1)(2 xue xn1

dx

dX 1)(2 xue xn1

dx

dX

X=-0.99 -0.98 0.574 1.22 X=0.4 0.2077 -0.0436 1.001

X=-0.75 0.1946 0.1127 1.006 X=0.45 0.2069 -0.0503 1.0013

X=-0.5 0.2060 0.0576 1.002 X=0.5 0.2060 -0.0576 1.0017

X=-0.25 0.2092 0.0258 1.0003 X=0.6 0.2032 -0.0748 1.0028

X=0 0.2100 0 1 X=0.70 0.1985 -0.0976 1.0048

X=0.25 0.2092 -0.0258 1.0003 X=0.85 0.1793 -0.1593 1.013

X=0.4 0.2077 -0.0436 1.001 X=0.95 0.1075 -0.574 1.22

t=0.0316 4103 pD

1)(2 xue xn1

dx

dX 1)(2 xue xn1

dx

dX

X=-0.99 0.014 0.217 1.0243 X=0.4 0.0640 -0.0138 1.0001

X=-0.75 0.0628 0.0358 1.0006 X=0.45 0.0639 -0.0159 1.0001

X=-0.5 0.0638 0.0182 1.0002 X=0.5 0.0638 -0.0182 1.0002

X=-0.25 0.0641 0.0082 1 X=0.6 0.0636 -0.0237 1.0003

X=0 0.0642 0 1 X=0.70 0.0632 -0.0310 1.0005

X=0.25 0.0641 -0.0082 1 X=0.85 0.0614 -0.0509 1.0013

X=0.4 0.0640 -0.0138 1.0001 X=0.996 -0.0533 -0.217 1.0243

t=0.01 4102 pD

1)(2 xue xn1

dx

dX 1)(2 xue xn1

dx

dX

X=-0.99 0.015 0.07 1.0025 X=0.4 0.0201 -0.0044 1

X=-0.75 0.02 0.0113 1.0001 X=0.45 0.0201 -0.0050 1

X=-0.5 0.0201 0.0058 1 X=0.5 0.0201 -0.0058 1

X=-0.25 0.0201 0.0026 1 X=0.6 0.0200 -0.0075 1

X=0 0.0201 0 1 X=0.70 0.0200 -0.0098 1

X=0.25 0.0201 -0.0026 1 X=0.85 0.0198 -0.0161 1.0001

X=0.4 0.0201 -0.0044 1 X=0.998 -0.0047 -0.07 1.0025

Si comparamos los valores obtenidos con la resistencia conocida de cuerpos

bidimensionales a Re=10 5 , comprobamos que la aproximación es mejor cuanto

menor es t. En efecto, para t=1 se debería obtener un valor del coeficiente de 1.2,

mientras que el valor calculado ha sido 2.658. Sin embargo, cuanto más fino es el

perfil, más se ajusta el cálculo a la realidad. La razón de esta discrepancia es la estela

que afecta al perfil de velocidades exterior, provocando que ereale uu .

En la siguiente tabla se indican los valores teóricos de la resistencia para cilindros

elípticos. La comparación exacta no es posible, pues el cálculo se ha hecho para

diferentes t.

C D basado en el área frontal

1:1 1.2

2:1 0.6

4:1 0.35

8:1 0.25

2. Anexo: Cálculo numérico

%calcula y dibuja el coeficiente de presiones para 5 valores de t%

X=-1:0.01:1;cuad=X.^2;t1=0.01;t1cuad=t1*t1;num1=1+t1cuad*cuad;den=1-cuad;f1=num1./den1;arriba1=(1+t1)^2;fraccion1=arriba1./f1;cp1=1-fraccion1;t2=0.0316;t2cuad=t2*t2;num2=1+t2cuad*cuad;f2=num2./den;arriba2=(1+t2)^2;fraccion2=arriba2./f2;cp2=1-fraccion2;t3=0.1;t3cuad=t3*t3;num3=1+t3cuad*cuad;f3=num3./den;arriba3=(1+t3)^2;fraccion3=arriba3./f3;cp3=1-fraccion3;t4=0.316;t4cuad=t4*t4;num4=1+t4cuad*cuad;f4=num4./den;arriba4=(1+t4)^2;fraccion4=arriba4./f4;cp4=1-fraccion4;t5=1;t5cuad=t5*t5;num5=1+t5cuad*cuad;f5=num5./den;arriba5=(1+t5)^2;fraccion5=arriba5./f5;cp5=1-fraccion5;plot(X,cp1,X,cp2,X,cp3,X,cp4,X,cp5);legend('t=0.01','t=0.0316','t=0.1','t=0.316','t=1');

integra.m

t1=0.0316; %da valor al parámetro t1%

N=30; %da valor al parámetro N%

xf=1.98; %da valor al parámetro xf, punto de desprendimiento%

x0=10^(-3); %da valor al parámetro x0, punto inicial%

XX0=-1+(x0^2/(2+2*t1^2)); %da valor al parámetro XX0, punto inicial de la variable adimensional%

ue0=(1+t1)/(((1+(t1*XX0)^2)/(1-XX0^2))^0.5); %da valor al parámetro ue0%

for j=1:N-1 y0(j)=ue0; %bucle que inicializa el vector de velocidades%end

y0(N)=XX0; %inicializamos la última componente del vector y, que contiene el valor de la variable XX%

[x,y]=ode45('derivs',[x0 xf],y0); %integración%

xx=y(:,N); %la última componente del vector y contiene el valor de la variable XX%

%plot(xx,y(:,1)); %dibuja la gráfica de la 1ª linea de velocidades%

x=1.9; %dibuja el perfil de velocidades%plot(y(:,2),2,y(:,4),4,y(:,6),6,y(:,8),8,y(:,10),10,y(:,12),12,y(:,14),14,y(:,16),16,y(:,18),18,y(:,20),20,y(:,22),22,y(:,24),24,y(:,26),26,y(:,28),28);

derivs.m

function dy=derivs(x,y)

x0=10^-3; %punto inicial%

xf=1.98; %punto final%

N=30; %valor del número de líneas%

t1=0.0316; %valor del parámetro t1%

h=6/N; %paso de integración%

XX=y(N); %la última componente del vector y contiene el valor de la variable XX%

uex=(1+t1)/(((1+(t1*y(N))^2)/(1-y(N)^2))^0.5);%ecuación de uex (ecuación 11)%

duex=-(1+t1)*((1+t1*t1*y(N)*y(N)*((1-y(N)^2)^-1))^-1.5)*(t1*t1*y(N)*((1-y(N)^2)^-1)+t1*t1*y(N)*y(N)*y(N)*((1-y(N)^2)^-2))*((1-y(N)^2)/(1+(t1^2-1)*y(N)^2)^0.5);

dy(1)=(1/(y(1)-0.25*y(2)))*((uex*duex)+((y(2)-2*y(1))/(h^2))); %ecuación 9%

for j=2:N-1 sk=0;

for k=1:j-1 sk=sk+h*dy(k); %calculamos el sumatorio que aparece en la ecuación 10% end dy(j)=(1/(y(j)-0.25*(y(j+1)-y(j-1))))*((uex*duex)+((y(j+1)-2*y(j)+y(j-1))/(h^2))+(((y(j+1)-y(j-1))/2)*sk)); %ecuación 10% end

sk=0; for k=1:N-2 sk=sk+h*dy(k); %calculamos el sumatorio que aparece en la ecuación 10, para la componente N-1% end

dy(N-1)=(1/(y(N-1)-0.25*(uex-y(N-2))))*((uex*duex)+((uex-2*y(N-1)+y(N-2))/(h^2))+(((uex-y(N-2))/2)*sk)); %ecuación 10 para la componente N-1%

dy(N)=((1-XX^2)/(1+(t1^2-1)*XX^2))^0.5; %ecuación 12%

dy=dy'; %trasponemos el vector y, porque al programa integra hay que dárselo así%