trabajo academico - métodos numéricos

0201-02205 | MÉTODOS NUMÉRICOS

2012-IIIDocente: Prof. Martha Medalit Campos V.

Nota:Ciclo: 4 Módulo I

Datos del alumno: FECHA DE ENVIO:

HASTA EL DOM. 07 OCTUBRE 2012A las 23.59 PMApellidos y nombres:

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Recomendaciones:1. Recuerde verificar la correcta publicación de su Trabajo Académico

en el Campus Virtual.Revisar la opción:

2. No se aceptará el Trabajo Académico después del 07 OCTUBRE 2012.

3. Las actividades que se encuentran en el libro servirán para su autoaprendizaje mas no para la calificación, por lo que no deberán ser remitidas. Usted sólo deberá realizar y remitir obligatoriamente el Trabajo Académico que adjuntamos aquí.

Guía delTrabajo Académico

4. Recuerde: NO DEBE COPIAR DEL INTERNET, el Internet es únicamente una fuente de consulta. Los trabajos copias de internet serán calificados con “00” (cero).

5. Estimado alumno:El presente trabajo académico tiene por finalidad medir los logros alcanzados en el desarrollo del curso.Para el examen parcial Ud. debe haber logrado desarrollar hasta la pregunta Nº 4 y para el examen final debe haber desarrollado el trabajo completo.

Criterios de evaluación del trabajo académico:

1

TRABAJO ACADÉMICO

U N I V E R S I D A D A L A S P E R U A N A SDirección Universitaria de Educación a Distancia

0201-Escuela Académico Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática

1 Presentación adecuada del trabajo

Considera la evaluación de la redacción, ortografía, y presentación del trabajo en este formato. Valor: 2 Pts.

2 Investigación bibliográfica:Considera la consulta de libros virtuales, a través de la Biblioteca virtual DUED UAP, entre otras fuentes. Valor: 3 Pts.

3 Situación problemática o caso práctico:

Considera el análisis de casos o la solución de situaciones problematizadoras por parte del alumno. Valor: 5 Pts.

4Otros contenidos considerando los niveles cognitivos de orden superior:

Valor: 10 Pts.

Para los siguientes ejercicios, utilice adecuadamente los conceptos básicos de teoría y propagación de errores y justifique cada uno de sus pasos en la solución de los siguientes problemas.

Problema 1:

Justificando adecuadamente escriba los dígitos correctos que tienen los siguientes números aproximados:

a) x=0,203δ x≤ 0.3 %

b) y=−1,052δ y ≤0,004

(1pts)

SOLUCIÓN PROBLEMA 1:

a) x=0,203δ x≤ 0.3 %=0.003

δ x=△x

|x|≤ 0.003⇒△ x≤|0.203|×0.003

⇒△ x≤ 0.0006

Por Teorema 1

△x ≤ 0.5× 10m−n+1

0.0006≤ 0.5×10−1−n+1

0.06×10−2≤ 0.5×10−n

⇒10−2=10−n

2

Considere para la presentación adecuada del trabajo, utilizando este formato, la redacción, la ortografía y el diseño adecuado de los gráficos que pueda incluir los problemas propuestos.

Valor: 2 pts. TEMA: PROPAGACIÓN DE ERRORES

⇒−2=−n⇒ n=2

Respuesta: Los dígitos correctos son 2 y 0

b) y=−1,052δ y ≤0,004

δ y=△ y

|y|≤ 0.004⇒△ y≤|−1.052|× 0.004

⇒△ y ≤ 0.004

Por Teorema 1

△x ≤ 0.5× 10m−n+1

0.004≤ 0.5×100−n+1

0.4× 10−2 ≤0.5× 10−n+1

⇒10−2=10−n+1

⇒−2=−n+1⇒ n=3

Respuesta: Los dígitos correctos son 1, 0 y 5

Problema 2:

Use la fórmula general de propagación de errores para la siguiente expresión:

E = ( a + b2)∗cDonde:

a = 2 . 41 ± 0 . 01 b = √2 = 1. 414 c =2.781± 0. 002

a) Calcule el error absoluto, relativo y porcentual. (2pts)

b) ¿Cuántos dígitos correctos tiene E ?(1/2pts)

c) ¿Escriba el intervalo donde se encuentra el valor exacto E?

(1/2pts)

3


a).-

E=(a+b2)× c

a=2.41∆a≤ 0.01

b=1.414 ∆b ≤0.0005 (Por Teorema 2)

c=2.781 ∆c≤ 0.002

E=f (a ,b , c )=(a+b2)× c

∆E=|∂ f∂a|∆a+|∂ f

∂b|∆b+|∂ f∂ c|∆c

Derivando:

∆E=|c|∆a+|2cb|∆b+|(a+b2)|∆c

Reemplazando

∆E=|2.781|(0.01 )+|2 (2.781 ) (1.414 )|(0.0005)+|(2.41+ (1.414 )2)|(0.002)

∆E ≤ 0.040561≅ 0.04

⇒∆E≤ 0.04

⇒E=(a+b2 ) ×c=(2.41+1.4142 ) ×2.781=12.262

⇒E=¿ 12.26

Calculamos el Error Relativo:

δE=∆E

|E|≤0.04

|12.26|=0.003

⇒ δE≤ 0.003

⇒ δE≤ 0.3 %

Respuesta:Error Absoluto ∆E ≤ 0.04

4

Error Relativo δE ≤ 0.003

Error Porcentual δE ≤ 0.3 %

b).- Por Teorema 1:

∆E ≤ 0.5×10m−n+1

0.4× 10−1 ≤0.5× 101−n+1

10−1=102−n ⇒n=3 E tiene 03 dígitos correctos: los dígitos correctos son 1, 2 y 2

c).-

E=12.26

∆E=0.04

E∈ [12.26−0.04 ,12.26+0.04 ]

E∈ [12.22 ,12.30 ]

Tenga presente el uso adecuado de las notaciones usadas en cada uno de los métodos analizadas. Para mayor ayuda utilice los gráficos en Excel o use el aplicativo winplot.http://winplot.programas-gratis.net/

Problema 3:

Dada la función no lineal:

F(x) = 7sen(x) e –x -1

Se pide:

a) Desde el punto de vista gráfico (como se vio en tutoría), escriba el intervalo de solución positiva más cercano al

origen de coordenadas de longitud 0,5. Justifique su respuesta.

5

TEMA: SOLUCIÓN DE FUNCIONES NO LINEALES

http://winplot.programas-gratis.net/

(1pts)b) Usando el método de Punto Fijo, encuentre la función convergente g(x), considere como punto inicial x0 = 0,3.

(1pts)c) Realice 3 iteraciones con el método de Newton Raphson a partir del punto x0 = 0,3, recuerde verificar el

criterio de convergencia. Trabajar con 4 decimales de redondeo. Y muestre por cada iteración los dígitos

correctos obtenidos. Justifique cada uno de los pasos de las iteraciones.

(2pts)


a).- Intervalo de solución (desde el punto de vista Gráfico)

F ( x )=7sin (x)e−x−1

F ( x )=0⇒ 7sin ( x ) e− x−1=0

sin( x)= 1

7e−x

sin( x)=0.143 ex

GraficamosUbicamos el punto positivo más cercano al origen de coordenadas

a=0.1

b=0.6

Efectuamos para comprobar si f ( a )∗f (b )<0

(a ,b )=(0.1 ;0.6 )

F (0.1 )=−0.3677

F (0.6 )=1.1692

Se cumple que f (0.1 )∗f (0.6 )<0

6

⇒ (0.1 ;0.6 ) es intervalo solución

b).- Método de Punto Fijo

Punto inicial x0 = 0,3.

F ( x )=7sin (x)e−x−1

F ( x )=0⇒ 7sin ( x ) e− x−1=0

e− x= 17 sin (x)

x=−ln( 17 sin(x ))

g(x )=−ln( 17 sin(x))

Aplicamos propiedades de los logaritmos antes de derivar:

g ( x )=−[ ln (1 )−ln (7 sin ( x ) ) ]=− [0−ln(7 sin ( x ))]

g(x )=ln (7sin ( x ))

Derivamos:

g' (x )=7cos (x )7 sin ( x )

=cos ( x )sin ( x )

⇒ g' ( x )=cot ( x )

Evaluamos en x0:

x0 = 0,3

g' (0.3 )=cot (0.3 )=3.2327≮� 1⇒ g (x ) NOes Convergente

Despejamos nuevamente x en F(x):

7

F ( x )=0⇒ 7sin ( x ) e− x−1=0

sin ( x )= 1

7e−x⇒ x=arcsin (0.1429ex)

g(x )=arcsin (0.1429 e x)

g '(x )=(0.1429e x)'

√1−(0.1429 ex)2

g '(x )=(0.1429e x)

√1−(0.1429 ex)2

Evaluamos en x0:

x0 = 0,3

g' (0.3 )=(0.1429e0.3 )

√1−(0.1429e0.3 )2=0.1966<1

⇒ g ( x )=arcsin (0.1429 ex)Sí es Convergente

c).- Método de Newton Raphson

F ( x )=7sin (x)e−x−1

F '(x )=7 [cos (x ) e−x+sin ( x ) (−1 )e− x¿=7e−x [cos ( x )−sin ( x )¿

F ' ( x )=7e− x [cos ( x )−sin ( x ) ¿

F ' ' ( x )=( 7e−x ) ' [cos ( x )−sin ( x ) ¿+(7e− x) [cos (x )−sin ( x ) ¿ ' . . . (por derivada de un producto)

F ' ' ( x )=(−7e−x ) [cos ( x )−sin ( x ) ¿+(7e− x) [−sin ( x )−cos (x ) ¿

F ' ' ( x )=−7 e−x cos ( x )+7 e−x sin ( x )−7 e−x sin ( x )−7 e−x cos ( x )

F ' ' ( x )=−14 e−x cos ( x )

Evaluamos la convergencia para x0 = 0.3

F ( x )=7sin (x)e−x−1⇒F (0,3 )=0.5325

8

F ' ( x )=7e− x [cos ( x )−sin ( x ) ¿⇒F ' (0,3 )=3.4216

F ' ' ( x )=−14 e−x cos ( x )⇒F ' ' (0,3 )=−9.9082

Criterio de Convergencia:

|F' ' (x0)× F (x0)

[ F ' (x0)]2 |<1

|(−9.9082)×(0.5325)

[ 3.4216 ]2 |<1

|−0.4567|<1⇒0.4567<1⇒EsConvergente

Iteración 01:

x0=0.3

x1=x0−f (x0)f ' (x0)

=0.3−0.53253.4216

x1=0.1444

Error=|x1−x0|=0.1556

Error=0.2

Por el Teorema 2:

⇒ k=0n=0∴nohay dígitos correctos

Iteración 02:

x1=0.1444

x2=x1−f (x1)f ' (x1)

=0.1444−−0.12815.1239

x2=0. 1694

Error=|x2−x1|=0.025

Error=0.03

9

⇒ k=1n=1∴hay01dígito correcto : el1

Iteración 03:

x2=0.1694

x3=x2−f (x2)f ' (x2)

=0.1694−−0.00384.8284

x3=0. 17 02

Error=|x3−x2|=0.0008

Error=0.0008

⇒ k=2n=2∴hay02dígitos correcto s : el1 y el 7

Problema 4:

Dado el siguiente sistema no lineal:

xy−1=0ex−e y−2=0

a) Hacer un bosquejo del sistema propuesto. ¿Cuántas soluciones tiene el sistema?. Debe justificar su respuesta.

(1pts)

b) Hallar las funciones f(x, y) y g(x, y) convergentes para el método de Punto Fijo para Sistemas.

(1pts)

c) Encontrar la solución con dos dígitos correctos para ambas variables, que está ubicada en el primer cuadrante

del sistema de coordenadas. Trabajar con 5 decimales.

(2pts)


a).- Bosquejo del sistema propuesto

10

El sistema tiene una (01) solución porque hay un solo punto de intersección entre las dos funciones.

El cuadrante de solución se determina por: (1,2)x(0,1)

b).- Hallamos las funciones f(x,y) y g(x,y)

F ( x , y ):e x−e y−2=0G ( x , y ) : xy−1=0

Despejamos x e y de F y G respectivamente:

F ( x , y ):e x−e y−2=0⇒ x=ln (e y+2 )⇒ f ( x , y )=ln (e y+2 )

G ( x , y ) : xy−1=0⇒ y=1x⇒ g(x , y )=1

x

Verificamos la convergencia, para ello primero hallamos las derivadas en x e y de las dos funciones despejadas:

f x ( x , y )=[ ln (e y+2 ) ]'=0

f y ( x , y )=[ ln ( e y+2 ) ]'= ( e y+2 ) '( e y+2 )

= e y

( ey+2 )11

gx ( x , y )=( 1x )

'

=(−1 ) x−1−1=−1x2

gy ( x , y )=( 1x )

'

=0

Para verificar la convergencia verificamos las siguientes desigualdades:

|f x ( x0 , y0 )|+|f y ( x0 , y0 )|<1

|gx ( x0 , y0 )|+|g y ( x0 , y0 )|<1

De acuerdo al gráfico mostrado en la parte a).- se tomará como punto inicial a ( 1.4 , 0.7 ) el cual se encuentra dentro del cuadrante de solución.

Evaluamos:

|f x ( x0 , y0 )|+|f y ( x0 , y0 )|=|0|+| e0.7

( e0.7+2 )|=0.5017<1

|gx ( x0 , y0 )|+|g y ( x0 , y0 )|=|−1

1.42|+|0|=0.5102<1

Se cumplen ambas desigualdades, por lo tanto las funciones f y g son convergentes en el punto ( 1.4 , 0.7 ):

f ( x , y )=ln ( ey+2 )

g(x , y)= 1x

c).- Hallamos la solución

X n+1=f ( xn , yn )=ln (e yn+2 )

Y n+1=g ( xn , yn )= 1xn

1ra Iteración:

( x0 , y0 )=(1.4,0.7)

X1=f ( x0 , y 0)=ln (ey0+2 )=ln (e0.7+2 )=1.38973

12

Y 1=g ( x0 , y0 )= 1x0

= 11.4

=0.71429

∆x=|X1−X 0|=|1.38973−1.40000|=0.01027≅ 0.01⇒k=1n=2

∆ y=|Y 1−Y 0|=|0.71429−0.70000|=0.01429≅ 0.01⇒ k=1n=0

2da Iteración:

X2=f ( x1 , y1 )=ln (e y1+2 )=ln ( e0.71429+2 )=1.39692

Y 2=g ( x1 , y1 )= 1x1

= 11.38973

=0.71956

∆x=|X2−X 1|=|1.39692−1.38973|=0.00719≅ 0.007⇒k=1n=2

∆ y=|Y 2−Y 1|=|0.71956−0.71429|=0.00527≅ 0.005⇒k=2n=0

En esta 2da iteración encontramos que tanto X como Y tienen 02 digitos correctos, Podemos decir entonces que la solución aproximada es: X= 1.39692 e Y=0.71956

13

Problema 5:

Considere la siguiente tabla de datos:

i 0 1 2 3

xi 0.1 0.3 0.5 0.9

yi = f(xi) 0.099833 0.245112 0.479426 0.783327

a) Use el método de Newton con diferencias divididas y construya el polinomio interpolante P(x) de grado 3.

Justifique su respuesta.

(2pts)

b) Use los métodos de Trapecio y Simpson y calcule la integral aproximada de:

∫0.1

0.9

f ( x ) dx

(2pts)


a).-

Construimos la Tabla de Newton de Diferencias Divididas

i xi F[ i, (0)] F[ i, (1)] F[ i, (2)] F[ i, (3)]0 0.1 0.099833 0.72640 1.11294 -2.249131 0.3 0.245112 1.17157 -0.686362 0.5 0.479426 0.75975

3 0.9 0.783327(dar doble clic sobre la tabla para poder ver las fórmulas empleadas)

Construimos el polinomio con los coeficientes hallados

P ( x )=0.099833+0.72640 ( x−0.1 )+1.11294 ( x−0.1 ) ( x−0.3 )+(−2.24913) ( x−0.1 ) (x−0.3 )(x−0.5)

P ( x )=0.099833+0.72640 ( x−0.1 )+1.11294 ( x2−0.4 x+0.03 )+(−2.24913) ( x2−0.4 x+0.03 )(x−0.5)

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TEMA: INTERPOLACIÓN E INTEGRACIÓNNUMÉRICA

P ( x )=0.099833+0.72640 ( x−0.1 )+1.11294 ( x2−0.4 x+0.03 )+(−2.24913) ( x3−0.9 x2+0.23 x−0.015 )

El polinomio interpolante es:

P ( x )=−2.24913 x3+3.137157 x2−0.2360759x+0.09431815

Problema 6:

Use el método de Eliminación de Gauss y encuentre el valor del siguiente determinante:

|1/2 −1 2−2 1 3−1 3 1/3|

Justifique cada uno de sus pasos.

(1pts)


Realizamos transformaciones elementales:

|1/2 −1 2−2 1 3−1 3 1/3|

f 2=4 f 1+ f 2|1/2 −1 20 −3 11

−1 3 1/3|f 3=2 f 1+f 3|1/2 −1 2

0 −3 110 1 13 /3|

f 3=13

f 2+ f 3|1/2 −1 20 −3 110 0 8 |

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TEMA: SISTEMAS LINEALES

Det=( 12 ) (−3 ) (8 )

Det=−12

Problema 7:

Dado el sistema lineal:x−8 y+4 z=−3−x+2 y−7 z=10

5 x+3 y−z=5

Justifique adecuadamente con el criterio de convergencia que es posible aplicar el método de Gauss Seidel.

Escriba las formulas iterativas para este método. Realice 3 iteraciones. Trabajar con tres decimales.

(3pts)


a).- Verificar Criterio de Convergencia:

x−8 y+4 z=−3−x+2 y−7 z=105 x+3 y−z=5

1ra. Condición:

|1|>|−8|+|4|⇒ FALSO|2|>|−1|+|−7|⇒FALSO|−1|>|5|+|3|⇒ FALSO

No se cumple la primera condición, intercambiamos la 3ra ecuación con la 1ra y luego la 2da con la 3ra.

5 x+3 y−z=5x−8 y+4 z=−3−x+2 y−7 z=10

Ahora sí se cumple la 1ra Condición

|5|>|1|+|3|⇒VERDADERO|−8|>|1|+|4|⇒VERDADERO|−7|>|−1|+|2|⇒VERDADERO

2da. Condición:

16

|a31 . a22 . a13

a11. a22 . a33|<1

|(−1 ) × (−8 ) × (−1 )(5 )× (−8 ) × (−7 ) |=0.028<1⇒Sí se cumple la2daCondición

∴ síes posible aplicar el método de Gauss Seidel.b).- Fórmulas iterativas para el método:

Teniendo las ecuaciones:

5 x+3 y−z=5x−8 y+4 z=−3−x+2 y−7 z=10

Las fórmulas serían

x(k)=15

(5−3 y(k−1)+z(k−1))

y(k)=−18

(−3−x(k)−4 z(k−1 ))

z(k )=−17

(10+x(k )−2 y(k))

c).- Realizamos las 03 iteraciones empleando 03 decimales:

Sean los siguientes puntos iniciales:

x(0)=0y(0 )=0z(0)=0

Iteración 01:

x (1 )=15

(5−3 y ( 0)+z (0 ) )=15

(5−3 (0 )+(0))⇒ x (1 )=1.000

y(1 )=−18

(−3−x(1)−4 z(0))=−18

(−3−(1.000)−4(0))⇒ y ( 1)=0.500

z(1)=−17

( 10+x(1)−2 y(1 ))=−17

(10+(1.000)−2(0.500))⇒ z (1 )=−1.429

Iteración 02:

17

x (2 )=15

(5−3 y ( 1)+z (1) )=15

(5−3 (0.500 )+(−1.429))⇒ x (2)=0.414

y(2 )=−18

(−3−x(2)−4 z(1))=−18

(−3−(0.414)−4 (−1.429))⇒ y (2)=−0.288

z(2)=−17

( 10+x(2)−2 y(2 ))=−17

(10+(0.414)−2(−0.288))⇒ z (2)=−1.570

Iteración 03:

x (3 )=15

(5−3 y ( 2)+z (2 ))=15

(5−3 (−0.288 )+(−1.570))⇒ x (3 )=0.859

y(3 )=−18

(−3−x(3)−4 z(2))=−18

(−3−(0.859)−4(−1.570))⇒ y ( 3)=−0.303

z(3)=−17

(10+x(3)−2 y(3))=−17

(10+(0.859)−2(−0.303))⇒ z ( 3)=−1.638

Puede realizar las consultas a los temas propuestos en esta actividad en el libro de Métodos Numéricos para Ingeniería de Nakamura

http://books.google.com.pe/books?id=2M-F1n4-1JIC&printsec=frontcover&dq=METODOS+NUMERICOS+PARA+INGENIERIA+DE+NAKAMURA&hl=es&sa=X&ei=OYZiT9b1J5H1ggfSvM3iAg&ved=0CEUQ6AEwBDgK#v=onepage&q&f=false

18




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