UAO. Básicos - Taller Matemáticas 4 - Profesor Jesús Vagas Zapata

1. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales

(a) 32 xey

xdy

dy (b)

2. Resuelve el siguiente problema de valor inicial

,0)( 22 xydydxyxyx y(2) = 1.

3. El teorema de existencia y unicidad de la solución nos confirma que dado un problema de valor inicial

oo yxyyxfdy

dy)(),,( , suponga que f y

y

f son funciones continuas en un rectángulo

},:),{( dycbxayxR que contiene al punto ),( oo yx . Entonces el problema con valor

inicial tiene una única solución )(xg en algún intervalo oo xxx , donde es un número

positivo. Determine si el teorema anterior implica que el problema con valor inicial dado tiene una solución única.

(a) 6)1(,32 yxyxdx

dy, (b) 0)2(,3 3/2 yy

dx

dy

4. Dar los valores de verdad de las siguientes proposiciones, luego explique.

(a) tey 2 es solución de la ecuación 0442

2

ydt

dy

dt

yd . ( )

(b) La ecuación x

xyy

dx

dy )1ln(ln es homogénea. ( )

(c) La ecuación no es exacta. ( )

(d) La ecuación xxeydx

dyx

dx

yd2

3

3

es lineal de tercer orden. ( )

5. Resuelve 0)( 222 dyxdxxyxy .

6. En un tanque con 100 litros de solución salina en que se habían disuelto 0.2 kilogramos de sal, se comienza a verter una solución salina a una razón constante de 5 litros por minuto. La solución dentro del tanque se mantiene revuelta y sale del tanque a razón de 4 litros por minuto. Si la concentración de sal en la solución que entra al tanque es de 0.1 kilogramo por litro. (a)Defina las variables, (b)determine la cantidad de sal en el tanque para t > 0, luego calcule la concentración de sal en el tanque cuando t

7. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 voltios a un circuito en serie LR con 0.1 henry de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determine la corriente i(t), si i(0) = 0. Determine la corriente cuando t 8. Un objeto de masa 5 kg recibe una velocidad inicial hacia abajo de 50 m/s y luego se le permite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza en newton debida a la resistencia del aire es -10v, donde v es la velocidad del objeto en m/s. Determine la ecuación del movimiento del objeto. Si el objeto está inicialmente a 500m sobre el suelo, determine el momento en que el objeto golpeará el suelo.