tp1 - logica

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SALTA SEDE REGIONAL TARTAGAL Facultad de Ciencias Econรณmicas, Jurรญdicas y Sociales 2.012 Aux. Doc. de : T.U.P Horacio Miguel Lafuente CARRERA: Contador Pรบblico Nacional CรTEDRA: Matemรกtica I Lร“GICA

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Page 1: TP1 - LOGICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SALTA

SEDE REGIONAL TARTAGAL

F a c u l t a d d e C i e n c i a s E c o n รณ m i c a s , J u r รญ d i c a s y S o c i a l e s

2.012 Aux. Doc. de ๐Ÿ๐’“๐’‚: T.U.P Horacio Miguel Lafuente

CARRERA: Contador Pรบblico Nacional

CรTEDRA: Matemรกtica I

Lร“GICA

Page 2: TP1 - LOGICA

Temario

Introducciรณn

Proposiciones

Tablas de Verdad

Conectivos Lรณgicos โ€“ Operaciones Lรณgicas

Tautologรญa โ€“ Contingencia โ€“ Contradicciรณn

Implicaciones Asociadas

Formas o Funciones Proposicionales

Cuantificaciรณn

Mรฉtodos Axiomรกticos

Bibliografรญa

Page 3: TP1 - LOGICA

Introducciรณn

Etimologรญa

La palabra โ€œlรณgicaโ€ proviene del griego โ€œLOGOSโ€ y se traduce por

โ€œpalabraโ€, โ€œrazรณnโ€, โ€œdiscursoโ€.

La lรณgica permite deducir de manera precisa la validez de un razonamiento

matemรกtico.

โ€œDeducir es razonar en matemรกticasโ€

RAZONAMIENTO

MATEMรTICO

Inductivo Deductivo Tener

Precauciรณn Seguro

Page 4: TP1 - LOGICA

Proposiciones

Una proposiciรณn es una oraciรณn de la cual puede decirse que es Verdadera (๐‘ฝ)

o Falsa ๐‘ญ . En una proposiciรณn debemos distinguir: sujeto, verbo y predicado.

๐’‘: ๐’†๐’ ๐’Ž๐’–๐’๐’…๐’ ๐’‚๐’„๐’•๐’–๐’‚๐’ ๐’”๐’† ๐’…๐’Š๐’—๐’Š๐’…๐’† ๐’†๐’ ๐Ÿ“ ๐’„๐’๐’๐’•๐’Š๐’๐’†๐’๐’•๐’†๐’”

El โ€œsentido de verdadโ€ de una proposiciรณn es que la misma sea

โ€œdemostrableโ€.

โ€ข Si (๐‘) es verdadero: ๐’— ๐’‘ = ๐‘ฝ

โ€ข Si (๐‘) es falso: ๐’— ๐’‘ = ๐‘ญ

๐’— ๐’‘ = ๐‘ฝ; ๐‘™๐‘œ๐‘  ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ก๐‘–๐‘›๐‘’๐‘›๐‘ก๐‘’๐‘  ๐‘ ๐‘œ๐‘› ร๐‘“๐‘Ÿ๐‘–๐‘๐‘Ž, ๐ด๐‘šรฉ๐‘Ÿ๐‘–๐‘๐‘Ž, ๐ด๐‘ ๐‘–๐‘Ž, ๐ธ๐‘ข๐‘Ÿ๐‘œ๐‘๐‘Ž ๐‘ฆ ๐‘‚๐‘๐‘’๐‘Ž๐‘›รญ๐‘Ž

๐‘ ๐‘ข๐‘—๐‘’๐‘ก๐‘œ

๐‘ฃ๐‘’๐‘Ÿ๐‘๐‘œ

๐‘๐‘Ÿ๐‘’๐‘‘๐‘–๐‘๐‘Ž๐‘‘๐‘œ

Page 5: TP1 - LOGICA

Proposiciones

Las oraciones interrogativas, exclamativas o de las cuales no pueda demostrarse

su valor de verdad no son proposiciones:

ยฟ ๐‘„๐‘ขรฉ โ„Ž๐‘œ๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘’๐‘  ๐‘’๐‘› ๐‘‡๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ก๐‘Ž๐‘”๐‘Ž๐‘™?.

ยก ๐ถ๐‘œ๐‘š๐‘๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘š๐‘’ ๐‘๐‘–๐‘ง๐‘ง๐‘Ž๐‘ ! .

๐ฟ๐‘œ๐‘  ๐‘™๐‘–๐‘๐‘Ÿ๐‘œ๐‘  ๐‘ ๐‘œ๐‘› ๐‘›๐‘ข๐‘’๐‘ฃ๐‘œ๐‘ .

๐ฟ๐‘œ๐‘  ๐‘รบ๐‘š๐‘’๐‘Ÿ๐‘œ๐‘  ๐‘๐‘Ž๐‘ก๐‘ข๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘™๐‘’๐‘ .

E๐‘› ๐‘’๐‘™ ๐‘™๐‘Ž๐‘๐‘œ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘ก๐‘œ๐‘Ÿ๐‘–๐‘œ ๐‘ ๐‘’ ๐‘ข๐‘ก๐‘–๐‘™๐‘–๐‘งรณ ๐‘’๐‘™.

๐ธ๐‘  ๐‘๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘Ž, ๐‘™๐‘Ž ๐‘™รณ๐‘”๐‘–๐‘๐‘Ž ๐‘ รญ.

Page 6: TP1 - LOGICA

CLASIFICACIร“N:

โ€ข Proposiciรณn Simple: proposiciรณn que no puede separarse en otras proposiciones.

๐‘: ๐ถ๐‘Ÿ๐‘–๐‘ ๐‘ก๐‘œ๐‘๐‘Ž๐‘™ ๐ถ๐‘œ๐‘™รณ๐‘› ๐‘‘๐‘’๐‘ ๐‘๐‘ข๐‘๐‘Ÿ๐‘–รณ ๐ด๐‘šรฉ๐‘Ÿ๐‘–๐‘๐‘Ž

โ€ข Proposiciรณn Compuesta: proposiciรณn que puede separarse en otras proposiciones

๐‘ž: ๐‘’๐‘™ ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘‘รณ๐‘Ÿ โ„Ž๐‘Ž๐‘๐‘–๐‘ก๐‘Ž ๐‘™๐‘Ž ๐ถ๐‘œ๐‘Ÿ๐‘‘๐‘–๐‘™๐‘™๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘‘๐‘’ ๐‘™๐‘œ๐‘  ๐ด๐‘›๐‘‘๐‘’๐‘  ๐‘ฆ ๐‘’๐‘™ ๐‘๐‘Ž๐‘›๐‘‘๐‘Ž โ„Ž๐‘Ž๐‘๐‘–๐‘ก๐‘Ž ๐‘’๐‘› ๐‘Ÿ๐‘’๐‘”๐‘–๐‘œ๐‘›๐‘’๐‘  ๐‘š๐‘œ๐‘›๐‘ก๐‘Žรฑ๐‘œ๐‘ ๐‘Ž๐‘  ๐‘‘๐‘’ ๐ถโ„Ž๐‘–๐‘›๐‘Ž ๐ถ๐‘’๐‘›๐‘ก๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘™

Proposiciones

Page 7: TP1 - LOGICA

Tabla de Verdad

Una Tabla de Verdad es un cuadro de fรกcil interpretaciรณn que contiene las

proposiciones y sus valores lรณgicos.

๐‘: ๐ด๐‘Ÿ๐‘”๐‘’๐‘›๐‘ก๐‘–๐‘›๐‘Ž ๐‘’๐‘ ๐‘กรก ๐‘ ๐‘–๐‘ก๐‘ข๐‘Ž๐‘‘๐‘Ž ๐‘’๐‘› ๐‘†๐‘ข๐‘‘๐‘Ž๐‘šรฉ๐‘Ÿ๐‘–๐‘๐‘Ž

๐‘ฃ ๐‘ = ๐‘‰

๐‘ž: 4 ๐‘’๐‘  ๐‘ข๐‘› ๐‘›รบ๐‘š๐‘’๐‘Ÿ๐‘œ ๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘š๐‘œโˆ—

๐‘ฃ ๐‘ž = ๐น

๐’‘ ๐’’

V F Valores Lรณgicos

Proposiciones

* Un nรบmero primo es divisible por si mismo y por la unidad

Page 8: TP1 - LOGICA

Conectivos Lรณgicos - Operaciones Lรณgicas

Conectivos Lรณgicos (o Conectores Lรณgicos): sรญmbolos que se emplean en las

Operaciones Lรณgicas.

Operaciones Lรณgicas: procesos que permiten obtener proposiciones a partir de

otras.

Page 9: TP1 - LOGICA

Negaciรณn

La Negaciรณn de una proposiciรณn ๐’‘ es la proposiciรณn ~ ๐’‘, cuyo valor de verdad es

contrario al de la proposiciรณn ๐’‘.

๐‘ ~ ๐’‘

V F

F V

๐‘ ๐‘ž ~ ๐’‘ ~ ๐’’

V F F V

๐‘ƒ๐‘Ÿ๐‘œ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘–๐‘๐‘–รณ๐‘› ๐‘ต๐’†๐’ˆ๐’‚๐’„๐’Šรณ๐’

๐‘: ๐‘™๐‘Ž ๐‘‡๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘”๐‘–๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘Ž๐‘™๐‘Ÿ๐‘’๐‘‘๐‘’๐‘‘๐‘œ๐‘Ÿ ๐‘‘๐‘’๐‘™ ๐‘†๐‘œ๐‘™ ~ ๐‘: ๐‘™๐‘Ž ๐‘‡๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ž ๐’๐’ ๐‘”๐‘–๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘Ž๐‘™๐‘Ÿ๐‘’๐‘‘๐‘’๐‘‘๐‘œ๐‘Ÿ ๐‘‘๐‘’๐‘™ ๐‘†๐‘œ๐‘™

๐‘ž: ๐‘™๐‘Ž ๐‘‡๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘Ÿ๐‘’๐‘  ๐‘™๐‘ข๐‘›๐‘Ž๐‘  ~ ๐‘ž: ๐‘™๐‘Ž ๐‘‡๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ž ๐’๐’ ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘Ÿ๐‘’๐‘  ๐‘™๐‘ข๐‘›๐‘Ž๐‘ 

Page 10: TP1 - LOGICA

Conjunciรณn

La Conjunciรณn entre dos proposiciones ๐’‘ y ๐’’ es la proposiciรณn ๐’‘ โˆง ๐’’, que sรณlo es

verdadera si se cumplen las proposiciones componentes ๐’‘ y ๐’’.

๐‘ท๐’“๐’๐’‘๐’๐’”๐’Š๐’„๐’Š๐’๐’๐’†๐’”

๐‘ช๐’๐’Ž๐’‘๐’๐’๐’†๐’๐’•๐’†๐’” ๐‘ช๐’๐’๐’‹๐’–๐’๐’„๐’Šรณ๐’

๐‘: ๐‘™๐‘Ž ๐‘‡๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘”๐‘–๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘Ž๐‘™๐‘Ÿ๐‘’๐‘‘๐‘’๐‘‘๐‘œ๐‘Ÿ ๐‘‘๐‘’๐‘™ ๐‘†๐‘œ๐‘™ ๐‘ โˆง ๐‘ž: ๐‘™๐‘Ž ๐‘‡๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘”๐‘–๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘Ž๐‘™๐‘Ÿ๐‘’๐‘‘๐‘’๐‘‘๐‘œ๐‘Ÿ ๐‘‘๐‘’๐‘™ ๐‘†๐‘œ๐‘™ ๐’š ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘Ÿ๐‘’๐‘  ๐‘™๐‘ข๐‘›๐‘Ž๐‘ 

๐‘ž: ๐‘™๐‘Ž ๐‘‡๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘Ÿ๐‘’๐‘  ๐‘™๐‘ข๐‘›๐‘Ž๐‘ 

๐‘ ๐‘ž ๐’‘ โˆง ๐’’

V F F

Page 11: TP1 - LOGICA

Disyunciรณn

La Disyunciรณn entre dos proposiciones ๐’‘ y ๐’’ es la proposiciรณn ๐’‘ โˆจ ๐’’, que sรณlo es

falsa si ๐’‘ y ๐’’ son falsas, ya que requiere que se cumpla por lo menos una de las

proposiciones componentes.

๐‘ท๐’“๐’๐’‘๐’๐’”๐’Š๐’„๐’Š๐’๐’๐’†๐’”

๐‘ช๐’๐’Ž๐’‘๐’๐’๐’†๐’๐’•๐’†๐’” ๐‘ซ๐’Š๐’”๐’š๐’–๐’๐’„๐’Šรณ๐’

๐‘: ๐‘™๐‘Ž ๐‘‡๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘”๐‘–๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘Ž๐‘™๐‘Ÿ๐‘’๐‘‘๐‘’๐‘‘๐‘œ๐‘Ÿ ๐‘‘๐‘’๐‘™ ๐‘†๐‘œ๐‘™ ๐‘ โˆจ ๐‘ž: ๐‘™๐‘Ž ๐‘‡๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘”๐‘–๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘Ž๐‘™๐‘Ÿ๐‘’๐‘‘๐‘’๐‘‘๐‘œ๐‘Ÿ ๐‘‘๐‘’๐‘™ ๐‘†๐‘œ๐‘™ รณ ๐‘™๐‘Ž ๐‘‡๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘Ÿ๐‘’๐‘  ๐‘™๐‘ข๐‘›๐‘Ž๐‘ 

๐‘ž: ๐‘™๐‘Ž ๐‘‡๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘Ÿ๐‘’๐‘  ๐‘™๐‘ข๐‘›๐‘Ž๐‘ 

๐‘ ๐‘ž ๐’‘ โˆจ ๐’’

V F V

Page 12: TP1 - LOGICA

Implicaciรณn o Condicional

La Implicaciรณn o Condicional entre dos proposiciones ๐’‘ y ๐’’ es la proposiciรณn

๐’‘ โ‡’ ๐’’ , que sรณlo es falsa si ๐’‘ (๐’‚๐’๐’•๐’†๐’„๐’†๐’…๐’†๐’๐’•๐’† ๐’ ๐’‰๐’Š๐’‘รณ๐’•๐’†๐’”๐’Š๐’”) es verdadero y

๐’’ (๐’„๐’๐’๐’”๐’†๐’„๐’–๐’†๐’๐’•๐’† ๐’ ๐’„๐’๐’๐’„๐’๐’–๐’”๐’Šรณ๐’) es falso.

๐‘ท๐’“๐’๐’‘๐’๐’”๐’Š๐’„๐’Š๐’๐’๐’†๐’”

๐‘ช๐’๐’Ž๐’‘๐’๐’๐’†๐’๐’•๐’†๐’” ๐‘ฐ๐’Ž๐’‘๐’๐’Š๐’„๐’‚๐’„๐’Šรณ๐’ ๐’ ๐‘ช๐’๐’๐’…๐’Š๐’„๐’Š๐’๐’๐’‚๐’

๐‘: ๐‘™๐‘Ž ๐‘‡๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘”๐‘–๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘Ž๐‘™๐‘Ÿ๐‘’๐‘‘๐‘’๐‘‘๐‘œ๐‘Ÿ ๐‘‘๐‘’๐‘™ ๐‘†๐‘œ๐‘™ ๐‘ โ‡’ ๐‘ž: Sรญ ๐‘™๐‘Ž ๐‘‡๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘”๐‘–๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘Ž๐‘™๐‘Ÿ๐‘’๐‘‘๐‘’๐‘‘๐‘œ๐‘Ÿ ๐‘‘๐‘’๐‘™ ๐‘†๐‘œ๐‘™, ๐’†๐’๐’•๐’๐’๐’„๐’†๐’” ๐‘™๐‘Ž ๐‘‡๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘Ÿ๐‘’๐‘  ๐‘™๐‘ข๐‘›๐‘Ž๐‘ 

๐‘ž: ๐‘™๐‘Ž ๐‘‡๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘Ÿ๐‘’๐‘  ๐‘™๐‘ข๐‘›๐‘Ž๐‘ 

๐‘ ๐‘ž ๐’‘ โ‡’ ๐’’ V F F

Page 13: TP1 - LOGICA

Condiciรณn Suficiente โ€“ Condiciรณn Necesaria

Si una implicaciรณn es verdadera, es Condiciรณn Suficiente (o precisa) que la

hipรณtesis sea verdadera para que la conclusiรณn se cumpla.

Si una implicaciรณn es verdadera, es Condiciรณn Necesaria (o indispensable) que la

conclusiรณn sea verdadera para que la hipรณtesis se cumpla.

"๐‘บ๐’Š ๐’†๐’“๐’†๐’” ๐’‚๐’“๐’ˆ๐’†๐’๐’•๐’Š๐’๐’, ๐’†๐’๐’•๐’๐’๐’„๐’†๐’” ๐’”๐’๐’” ๐’‚๐’Ž๐’†๐’“๐’Š๐’„๐’‚๐’๐’"

"๐‘บ๐’Š ๐’†๐’“๐’†๐’” ๐’‚๐’Ž๐’†๐’“๐’Š๐’„๐’‚๐’๐’, ๐’†๐’๐’•๐’๐’๐’„๐’†๐’” ๐’”๐’๐’” ๐’‚๐’“๐’ˆ๐’†๐’๐’•๐’Š๐’๐’"

Hipรณtesis Conclusiรณn

Hipรณtesis Conclusiรณn

La hipรณtesis es suficiente

para llegar a dicha

conclusiรณn. La conclusiรณn

es necesaria para dicha

hipรณtesis.

La hipรณtesis no es suficiente

para llegar a dicha

conclusiรณn. La conclusiรณn no

es necesaria para dicha

hipรณtesis.

Page 14: TP1 - LOGICA

Doble Implicaciรณn o Bicondicional

La Doble Implicaciรณn o Bicondicional entre dos proposiciones ๐’‘ y ๐’’ es la

proposiciรณn ๐’‘ โŸบ ๐’’, que sรณlo es verdadera si ๐’‘ y ๐’’ son ambas verdaderas o falsas.

๐‘ท๐’“๐’๐’‘๐’๐’”๐’Š๐’„๐’Š๐’๐’๐’†๐’”

๐‘ช๐’๐’Ž๐’‘๐’๐’๐’†๐’๐’•๐’†๐’” ๐‘ซ๐’๐’ƒ๐’๐’† ๐‘ฐ๐’Ž๐’‘๐’๐’Š๐’„๐’‚๐’„๐’Šรณ๐’ ๐’ ๐‘ฉ๐’Š๐’„๐’๐’๐’…๐’Š๐’„๐’Š๐’๐’๐’‚๐’

๐‘: ๐‘™๐‘Ž ๐‘‡๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘”๐‘–๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘Ž๐‘™๐‘Ÿ๐‘’๐‘‘๐‘’๐‘‘๐‘œ๐‘Ÿ ๐‘‘๐‘’๐‘™ ๐‘†๐‘œ๐‘™ ๐‘ โŸบ ๐‘ž: ๐‘™๐‘Ž ๐‘‡๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘”๐‘–๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘Ž๐‘™๐‘Ÿ๐‘’๐‘‘๐‘’๐‘‘๐‘œ๐‘Ÿ ๐‘‘๐‘’๐‘™ ๐‘†๐‘œ๐‘™ ๐’”รญ ๐’š ๐’”รณ๐’๐’ ๐’”รญ ๐‘™๐‘Ž ๐‘‡๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘Ÿ๐‘’๐‘  ๐‘™๐‘ข๐‘›๐‘Ž๐‘ 

๐‘ž: ๐‘™๐‘Ž ๐‘‡๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘Ÿ๐‘’๐‘  ๐‘™๐‘ข๐‘›๐‘Ž๐‘ 

๐‘ ๐‘ž ๐’‘ โŸบ ๐’’ V F F

Page 15: TP1 - LOGICA

Ley Lรณgica o Tautologรญa

Una Ley Lรณgica o Tautologรญa es una proposiciรณn compuesta cuya tabla de verdad

da como resultado todos los valores Verdaderos cualesquiera sean los valores de

verdad de las proposiciones que la componen.

Una ley lรณgica es por ejemplo la conmutatividad de la disyunciรณn:

๐‘ ๐‘ž ๐‘ โˆจ ๐‘ž ๐‘ž โˆจ ๐‘ ๐’‘ โˆจ ๐’’ โŸบ ๐’’ โˆจ ๐’‘

V V V V V

V F V V V

F V V V V

F F F F V

Page 16: TP1 - LOGICA

Leyes Lรณgicas

LEYES Lร“GICAS

Involuciรณn ~ ~๐’‘ โŸบ ๐’‘

Idempotencia De la Conjunciรณn ๐’‘ โˆง ๐’‘ โŸบ ๐’‘

De la Disyunciรณn ๐’‘ โˆจ ๐’‘ โŸบ ๐’‘

Conmutatividad De la Conjunciรณn ๐’‘ โˆง ๐’’ โŸบ ๐’’ โˆง ๐’‘

De la Disyunciรณn ๐’‘ โˆจ ๐’’ โŸบ ๐’’ โˆจ ๐’‘

Asociatividad De la Conjunciรณn ( ๐’‘ โˆง ๐’’) โˆง ๐’“ โŸบ ๐’‘ โˆง (๐’’ โˆง ๐’“)

De la Disyunciรณn ( ๐’‘ โˆจ ๐’’) โˆจ ๐’“ โŸบ ๐’‘ โˆจ (๐’’ โˆจ ๐’“)

Distributividad De la Conjunciรณn con respecto a la Disyunciรณn (๐’‘ โˆจ ๐’’) โˆง ๐’“ โŸบ (๐’‘ โˆง ๐’“) โˆจ (๐’’ โˆง ๐’“)

De la Disyunciรณn con respecto a la Conjunciรณn (๐’‘ โˆง ๐’’) โˆจ ๐’“ โŸบ (๐’‘ โˆจ ๐’“) โˆง (๐’’ โˆจ ๐’“)

Leyes de Morgan Negaciรณn de una Conjunciรณn ~ ๐’‘ โˆง ๐’’ โŸบ ~๐’‘ โˆจ ~๐’’

Negaciรณn de una Disyunciรณn ~ ๐’‘ โˆจ ๐’’ โŸบ ~๐’‘ โˆง ~๐’’

Negaciรณn de una Implicaciรณn ~ ๐’‘ โ‡’ ๐’’ โŸบ ๐’‘ โ‡’ ~๐’’

Page 17: TP1 - LOGICA

Contingencia y Contradicciรณn

Una Contingencia es una

proposiciรณn cuya tabla de

verdad da como resultado

algunos valores Verdaderos y

otros Falsos.

๐‘ ๐‘ž ๐’‘ โŸบ ๐’’

V V V

V F F

F V F

F F V

Una Contradicciรณn es una

proposiciรณn cuya tabla de

verdad da como resultado

todos los valores Falsos

cualquiera sea el valor de la

proposiciรณn.

๐‘ โˆผ ๐‘ ๐’‘ โˆง โˆผ ๐’‘

V F F

F V F

Page 18: TP1 - LOGICA

Implicaciones Asociadas

๐‘ ๐‘ž ๐’‘ โ‡’ ๐’’ ๐’’ โ‡’ ๐’‘ ~ ๐‘ ~๐‘ž ~ ๐’‘ โ‡’ ~๐’’ ~๐’’ โ‡’ ~๐’‘

V V V V F F V V

V F F V F V V F

F V V F V F F V

F F V V V V V V

Implicaciones Equivalentes

FD FR FC FCR

๐’‘ โ‡’ ๐’’ โŸบ (~ ๐’’ โ‡’ ~ ๐’‘) ๐’’ โ‡’ ๐’‘ โŸบ (~ ๐’‘ โ‡’ ~ ๐’’)

FD FCR FR FC โŸบ โŸบ

Page 19: TP1 - LOGICA

Implicaciones Asociadas

Ejemplo: ๐‘: ๐‘™๐‘œ๐‘  ๐‘Ž๐‘™๐‘ข๐‘š๐‘›๐‘œ๐‘  ๐‘‘๐‘’ ๐ถ๐‘ƒ๐‘ ๐‘๐‘Ÿ๐‘œ๐‘š๐‘œ๐‘๐‘–๐‘œ๐‘›๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘œ๐‘› ๐‘€๐‘Ž๐‘ก๐‘’๐‘šรก๐‘ก๐‘–๐‘๐‘Ž ๐ผ

๐‘ž: ๐‘™๐‘œ๐‘  ๐‘Ž๐‘™๐‘ข๐‘š๐‘›๐‘œ๐‘  ๐‘‘๐‘’ ๐ถ๐‘ƒ๐‘ ๐‘›๐‘œ ๐‘‘๐‘’๐‘๐‘’๐‘› ๐‘Ÿ๐‘’๐‘›๐‘‘๐‘–๐‘Ÿ ๐‘’๐‘ฅรก๐‘š๐‘’๐‘› ๐‘“๐‘–๐‘›๐‘Ž๐‘™ ๐‘‘๐‘’ ๐‘€๐‘Ž๐‘ก๐‘’๐‘šรก๐‘ก๐‘–๐‘๐‘Ž ๐ผ

Forma Directa: ๐‘ โ‡’ ๐‘ž: "๐‘†รญ ๐‘™๐‘œ๐‘  ๐‘Ž๐‘™๐‘ข๐‘š๐‘›๐‘œ๐‘  ๐‘‘๐‘’ ๐ถ๐‘ƒ๐‘ ๐‘๐‘Ÿ๐‘œ โˆ’ ๐‘š๐‘œ๐‘๐‘–๐‘œ๐‘›๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘œ๐‘› ๐‘€๐‘Ž๐‘ก๐‘’๐‘šรก๐‘ก๐‘–๐‘๐‘Ž ๐ผ, ๐‘’๐‘›๐‘ก๐‘œ๐‘›๐‘๐‘’๐‘ 

๐‘›๐‘œ ๐‘‘๐‘’๐‘๐‘’๐‘› ๐‘Ÿ๐‘’๐‘›๐‘‘๐‘–๐‘Ÿ ๐‘’๐‘ฅรก๐‘š๐‘’๐‘› ๐‘“๐‘–๐‘›๐‘Ž๐‘™ ๐‘‘๐‘’ ๐‘€๐‘Ž โˆ’ ๐‘ก๐‘’๐‘šรก๐‘ก๐‘–๐‘๐‘Ž ๐ผ"

Forma Recรญproca: ๐‘ž โ‡’ ๐‘: "๐‘†รญ ๐‘™๐‘œ๐‘  ๐‘Ž๐‘™๐‘ข๐‘š๐‘›๐‘œ๐‘  ๐‘‘๐‘’ ๐ถ๐‘ƒ๐‘ ๐‘›๐‘œ ๐‘‘๐‘’๐‘๐‘’๐‘› ๐‘Ÿ๐‘’๐‘›๐‘‘๐‘–๐‘Ÿ ๐‘’๐‘ฅรก๐‘š๐‘’๐‘› ๐‘“๐‘–๐‘›๐‘Ž๐‘™ ๐‘‘๐‘’ ๐‘€๐‘Ž๐‘ก๐‘’๐‘šรก๐‘ก๐‘–๐‘๐‘Ž ๐ผ, ๐‘’๐‘›๐‘ก๐‘œ๐‘›๐‘๐‘’๐‘  ๐‘๐‘Ÿ๐‘œ๐‘š๐‘œ๐‘๐‘–๐‘œ๐‘›๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘œ๐‘› ๐‘€๐‘Ž๐‘ก๐‘’๐‘šรก๐‘ก๐‘–๐‘๐‘Ž ๐ผ".

Forma Contraria: ~๐‘ โ‡’ ~๐‘ž: "๐‘†รญ ๐‘™๐‘œ๐‘  ๐‘Ž๐‘™๐‘ข๐‘š๐‘›๐‘œ๐‘  ๐‘‘๐‘’ ๐ถ๐‘ƒ๐‘ ๐‘›๐‘œ ๐‘๐‘Ÿ๐‘œ๐‘š๐‘œ๐‘๐‘–๐‘œ๐‘›๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘œ๐‘› ๐‘€๐‘Ž๐‘ก๐‘’๐‘šรก๐‘ก๐‘–๐‘๐‘Ž ๐ผ, ๐‘’๐‘›๐‘ก๐‘œ๐‘›๐‘๐‘’๐‘  ๐‘‘๐‘’๐‘๐‘’๐‘› ๐‘Ÿ๐‘’๐‘›๐‘‘๐‘–๐‘Ÿ ๐‘’๐‘ฅรก๐‘š๐‘’๐‘› ๐‘“๐‘–๐‘›๐‘Ž๐‘™ ๐‘‘๐‘’ ๐‘€๐‘Ž๐‘ก๐‘’ โˆ’ ๐‘š๐‘Ž๐‘ก๐‘–๐‘๐‘Ž ๐ผ"

Forma Contrarrecรญproca: ~๐‘ž โ‡’ ~๐‘: "๐‘†รญ ๐‘™๐‘œ๐‘  ๐‘Ž๐‘™๐‘ข๐‘š๐‘›๐‘œ๐‘  ๐‘‘๐‘’ ๐ถ๐‘ƒ๐‘ ๐‘‘๐‘’๐‘๐‘’๐‘› ๐‘Ÿ๐‘’๐‘›๐‘‘๐‘–๐‘Ÿ ๐‘’๐‘ฅรก๐‘š๐‘’๐‘› ๐‘“๐‘–๐‘›๐‘Ž๐‘™ ๐‘‘๐‘’ ๐‘€๐‘Ž๐‘ก๐‘’๐‘šรก๐‘ก๐‘–๐‘๐‘Ž ๐ผ, ๐‘’๐‘›๐‘ก๐‘œ๐‘›๐‘๐‘’๐‘  ๐‘›๐‘œ ๐‘๐‘Ÿ๐‘œ๐‘š๐‘œ๐‘๐‘–๐‘œ๐‘›๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘œ๐‘› ๐‘€๐‘Ž๐‘ก๐‘’๐‘šรก โˆ’ ๐‘ก๐‘–๐‘๐‘Ž ๐ผ".

Page 20: TP1 - LOGICA

Implicaciones Asociadas

Forma Directa

(FD)

๐’‘ โ‡’ ๐’’

Forma Contrarrecรญproca

(FCR)

~๐’’ โ‡’ ~ ๐’‘

Forma Contraria

(FC)

~๐’‘ โ‡’ ~๐’’

Forma Recรญproca

(FR)

๐’’ โ‡’ ๐’‘

Con

traria

Contr

ari

a

Recรญproca

Recรญproca

Contrarrecรญproca

Page 21: TP1 - LOGICA

Formas o Funciones Proposicionales

Una Forma o Funciรณn Proposicional en una variable ๐‘ฅ, es toda oraciรณn en la cuรกl

figura ๐‘ฅ como sujeto; la cual se convierte en proposiciรณn para cada especificaciรณn

de ๐‘ฅ.

Ejemplo: ๐‘ ๐‘ฅ : ๐‘ฅ ๐‘’๐‘  ๐‘ข๐‘› ๐‘›รบ๐‘š๐‘’๐‘Ÿ๐‘œ ๐‘๐‘Ž๐‘Ÿ ๐‘ฆ ๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘š๐‘œ

El Conjunto de Verdad (๐‘ช๐‘ฝ) de una funciรณn proposicional es el conjunto de todos

los elementos que al emplearlos en lugar de la variable ๐‘ฅ convierten a dicha

funciรณn proposicional en proposiciรณn.

Al reemplazar ๐‘ฅ por 2

๐‘ (2): 2 ๐‘’๐‘  ๐‘ข๐‘› ๐‘›รบ๐‘š๐‘’๐‘Ÿ๐‘œ ๐‘๐‘Ž๐‘Ÿ ๐‘ฆ ๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘š๐‘œ

๐ถ๐‘‰ = 2

Page 22: TP1 - LOGICA

Cuantificaciรณn

La Cuantificaciรณn es un proceso que mediante el uso de cuantificadores permite

convertir funciones proposicionales en proposiciones.

Los Cuantificadores son sรญmbolos utilizados para indicar cuรกntos o quรฉ tipo de

elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad :

Cuantificador Universal โˆ€

Se utiliza para afirmar que todos los

elementos de un conjunto dado

cumplen con una determinada

propiedad.

๐‘ ๐‘ฅ : ๐‘ฅ ๐‘’๐‘  ๐‘ข๐‘› ๐‘›รบ๐‘š๐‘’๐‘Ÿ๐‘œ ๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘š๐‘œ

โˆ€๐’™: ๐’‘ ๐’™

โˆ€๐‘ฅ: ๐‘ฅ ๐‘’๐‘  ๐‘ข๐‘› ๐‘›รบ๐‘š๐‘’๐‘Ÿ๐‘œ ๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘š๐‘œ

๐‘: ๐‘‡๐‘œ๐‘‘๐‘œ๐‘  ๐‘™๐‘œ๐‘  ๐‘›รบ๐‘š๐‘’๐‘Ÿ๐‘œ๐‘  ๐‘ ๐‘œ๐‘› ๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘š๐‘œ๐‘ 

Cuantificador Existencial โˆƒ

Se utiliza para indicar que uno o mรกs

elementos en un conjunto dado cumplen

una determinada propiedad.

๐‘ ๐‘ฅ : ๐‘ฅ ๐‘’๐‘  ๐‘ข๐‘› ๐‘›รบ๐‘š๐‘’๐‘Ÿ๐‘œ ๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘š๐‘œ

โˆƒ๐’™: ๐’‘(๐’™)

โˆƒ๐‘ฅ: ๐‘ฅ ๐‘’๐‘  ๐‘ข๐‘› ๐‘›รบ๐‘š๐‘’๐‘Ÿ๐‘œ ๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘š๐‘œ

๐‘: ๐ด๐‘™๐‘”๐‘ข๐‘›๐‘œ๐‘  ๐‘›รบ๐‘š๐‘’๐‘Ÿ๐‘œ๐‘  ๐‘ ๐‘œ๐‘› ๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘š๐‘œ๐‘ 

Page 23: TP1 - LOGICA

Negaciรณn de los Cuantificadores

โ€œLa negaciรณn del Cuantificador Uni-

versal es el Cuantificador Existencialโ€

~ โˆ€๐’™: ๐’‘ ๐’™ โŸบ โˆƒ๐’™: ~๐’‘(๐’™)

Ejemplo:

"๐ถ๐‘ข๐‘Ž๐‘™๐‘ž๐‘ข๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘ž๐‘ข๐‘’ ๐‘ ๐‘’๐‘Ž ๐‘’๐‘™ ๐‘’๐‘›๐‘ก๐‘’๐‘Ÿ๐‘œ, ๐‘’๐‘ฅ๐‘–๐‘ ๐‘ก๐‘’ ๐‘ข๐‘› ๐‘›๐‘Ž๐‘ก๐‘ข๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘™ ๐‘ž๐‘ข๐‘’ ๐‘Ž๐‘™ ๐‘Ÿ๐‘’๐‘ ๐‘ก๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘™๐‘’ ๐‘Ž๐‘™ ๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘š๐‘’๐‘Ÿ๐‘œ ๐‘’๐‘  ๐‘‘๐‘–๐‘ ๐‘ก๐‘–๐‘›๐‘ก๐‘œ ๐‘‘๐‘’ โˆ’ 3โ€œ

โˆ€๐’™ โˆˆ โ„ค, โˆƒ ๐’š โˆˆ โ„•: ๐’™ โˆ’ ๐’š โ‰  โˆ’๐Ÿ‘

~[ โˆ€๐’™ โˆˆ โ„ค, โˆƒ ๐’š โˆˆ โ„•: ๐’™ โˆ’ ๐’š โ‰  โˆ’๐Ÿ‘] โŸบ

โŸบ โˆƒ๐’™ โˆˆ โ„ค, โˆ€ ๐’š โˆˆ โ„•: ๐’™ โˆ’ ๐’š = โˆ’๐Ÿ‘

"๐ธ๐‘ฅ๐‘–๐‘ ๐‘ก๐‘’ ๐‘ข๐‘› ๐‘’๐‘›๐‘ก๐‘’๐‘Ÿ๐‘œ, ๐‘๐‘ข๐‘Ž๐‘™๐‘ž๐‘ข๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘ ๐‘’๐‘Ž ๐‘’๐‘™ ๐‘›๐‘Ž๐‘ก๐‘ข๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘™ ๐‘ž๐‘ข๐‘’ ๐‘Ž๐‘™ ๐‘Ÿ๐‘’๐‘ ๐‘ก๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘™๐‘’ ๐‘Ž๐‘™ ๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘š๐‘’๐‘Ÿ๐‘œ ๐‘’๐‘  ๐‘–๐‘”๐‘ข๐‘Ž๐‘™ ๐‘Ž โˆ’ 3โ€œ

โ€œLa negaciรณn del Cuantificador Exis-

tencial es el Cuantificador Universalโ€

~ โˆƒ๐’™: ๐’‘ ๐’™ โŸบ โˆ€๐’™: ~๐’‘(๐’™)

Ejemplo:

"๐ธ๐‘ฅ๐‘–๐‘ ๐‘ก๐‘’ ๐‘ข๐‘› ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘๐‘–๐‘œ๐‘›๐‘Ž๐‘™, ๐‘๐‘ข๐‘Ž๐‘™๐‘ž๐‘ข๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘ ๐‘’๐‘Ž ๐‘’๐‘™ ๐‘›๐‘Ž๐‘ก๐‘ข๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘™ ๐‘ž๐‘ข๐‘’ ๐‘Ž๐‘™ ๐‘ ๐‘ข๐‘š๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘™๐‘’ ๐‘Ž๐‘™ ๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘š๐‘’๐‘Ÿ๐‘œ ๐‘’๐‘  ๐‘–๐‘”๐‘ข๐‘Ž๐‘™ ๐‘Ž 5โ€œ

โˆƒ๐’™ โˆˆ โ„š, โˆ€ ๐’š โˆˆ โ„•: ๐’™ + ๐’š = ๐Ÿ“

~[ โˆƒ๐’™ โˆˆ โ„š, โˆ€ ๐’š โˆˆ โ„•: ๐’™ + ๐’š = ๐Ÿ“] โŸบ

โŸบ โˆ€๐’™ โˆˆ โ„š, โˆƒ ๐’š โˆˆ โ„•: ๐’™ + ๐’š โ‰  ๐Ÿ“

"๐ถ๐‘ข๐‘Ž๐‘™๐‘ž๐‘ข๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘ž๐‘ข๐‘’ ๐‘ ๐‘’๐‘Ž ๐‘’๐‘™ ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘๐‘–๐‘œ๐‘›๐‘Ž๐‘™, ๐‘’๐‘ฅ๐‘–๐‘ ๐‘ก๐‘’ ๐‘ข๐‘› ๐‘›๐‘Ž๐‘ก๐‘ข๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘™ ๐‘ž๐‘ข๐‘’ ๐‘Ž๐‘™ ๐‘ ๐‘ข๐‘š๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘™๐‘’ ๐‘Ž๐‘™ ๐‘๐‘Ÿ๐‘–๐‘š๐‘’๐‘Ÿ๐‘œ ๐‘’๐‘  ๐‘‘๐‘–๐‘ ๐‘ก๐‘–๐‘›๐‘ก๐‘œ ๐‘‘๐‘’ 5โ€œ

Page 24: TP1 - LOGICA

Mรฉtodos Axiomรกticos

Directo

Indirecto o Contrarrecรญproco

Reducciรณn por el Absurdo

Refutaciรณn

Teoremas

Demostraciones

Axiomas o Postulados

DEMOSTRACIร“N

Argumento que establece la

verdad de un teorema

TEOREMA

Proposiciรณn que se desprende de

otra u otras (demostrada/as

dentro de un sistema)

AXIOMA

Proposiciรณn que se asume

como verdadera

Page 25: TP1 - LOGICA

Mรฉtodo Directo

Consiste en partir de la verdad del antecedente (Hipรณtesis) y tratar de

establecer la verdad del consecuente (Tesis)

Ejemplo:

Demostrar que : โ€œsi un nรบmero es impar, entonces su cuadrado es imparโ€

Demostraciรณn:

๐‘ฏ๐’Š๐’‘รณ๐’•๐’†๐’”๐’Š๐’” โˆถ ๐‘ฅ ๐‘’๐‘  ๐‘–๐‘š๐‘๐‘Ž๐‘Ÿ โŸบ ๐‘ฅ = 2๐‘› + 1, โˆ€๐‘› โˆˆ โ„ค

๐‘ป๐’†๐’”๐’Š๐’”: ๐‘ฅ2 ๐‘’๐‘  ๐‘–๐‘š๐‘๐‘Ž๐‘Ÿ โŸบ ๐‘ฅ2 = 2๐‘› + 1 2, โˆ€๐‘› โˆˆ โ„ค

๐‘ฅ2 = 2๐‘› + 1 2 = 4๐‘›2 + 4๐‘› + 1 = 2 2๐‘›2 + 2๐‘› + 1

Si consideramos al tรฉrmino 2๐‘›2 + 2๐‘› = ๐‘š, โˆ€๐‘š โˆˆ โ„ค

๐‘ฅ2 = 2 2๐‘›2 + 2๐‘› + 1 = 2๐‘š + 1

Conclusiรณn: ๐’™๐Ÿ = ๐Ÿ๐’Ž + ๐Ÿ, es decir, ๐’™๐Ÿ ๐’†๐’” ๐’–๐’ ๐’รบ๐’Ž๐’†๐’“๐’ ๐’Š๐’Ž๐’‘๐’‚๐’“

Page 26: TP1 - LOGICA

Mรฉtodo Indirecto o Contrarrecรญproco

Consiste en partir de la negaciรณn del consecuente (Tesis) y determinar la negaciรณn

del antecedente (Hipรณtesis)

Ejemplo:

Demostrar que: โ€œPara cualquier entero si su cuadrado es impar, entonces dicho

nรบmero es imparโ€

Demostraciรณn:

Nueva Hipรณtesis = Negaciรณn de la Tesis Inicial: ๐‘ฅ ๐‘’๐‘  ๐‘๐‘Ž๐‘Ÿ โŸบ ๐‘ฅ = 2๐‘›, โˆ€๐‘› โˆˆ โ„ค

Nueva Tesis = Negaciรณn de la Hipรณtesis Inicial: ๐‘ฅ2 ๐‘’๐‘  ๐‘๐‘Ž๐‘Ÿ โŸบ ๐‘ฅ2 = 2๐‘› 2, โˆ€๐‘› โˆˆ โ„ค

๐‘ฅ2 = 2๐‘› 2 = 4 ๐‘›2 = 2(2 ๐‘›2)

Si consideramos al tรฉrmino 2 ๐‘›2 = ๐‘š, โˆ€๐‘š โˆˆ โ„ค

๐‘ฅ2 = 2 2 ๐‘›2 = 2๐‘š

Conclusiรณn: ๐’™๐Ÿ = ๐Ÿ๐’Ž, es decir, ๐’™๐Ÿ ๐’†๐’” ๐’–๐’ ๐’รบ๐’Ž๐’†๐’“๐’ ๐’‘๐’‚๐’“

Page 27: TP1 - LOGICA

Mรฉtodo de Reducciรณn por el Absurdo

Consiste en partir de la falsedad del consecuente (Tesis), ocupando el antecedente

(Hipรณtesis), llegar a una contradicciรณn (ya sea contradecir la hipรณtesis dada o

cualquier resultado conocido).

Ejemplo:

Demostrar que : โ€œpara cualquier nรบmero entero par su cuadrado es parโ€

Demostraciรณn:

Hipotesis : ๐‘ฅ ๐‘’๐‘  ๐‘๐‘Ž๐‘Ÿ โŸบ ๐‘ฅ = 2๐‘›, โˆ€๐‘› โˆˆ โ„ค

Tesis = Negaciรณn de la Tesis Inicial: ๐‘ฅ2 ๐‘’๐‘  ๐‘–๐‘š๐‘๐‘Ž๐‘Ÿ โŸบ ๐‘ฅ2 = 2๐‘š + 1, โˆ€๐‘š โˆˆ โ„ค

๐‘ฅ = 2๐‘› โŸบ ๐‘ฅ2 = 2๐‘› 2 โŸบ ๐‘ฅ2 = 4 ๐‘›2 โŸบ ๐‘ฅ2 = 2(2 ๐‘›2)

Si consideramos al tรฉrmino 2 ๐‘›2 = ๐‘˜, โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„ค

๐‘ฅ2 = 2๐‘˜

Podemos observar que ๐’™๐Ÿ= ๐Ÿ๐’Œ โˆง ๐’™๐Ÿ = ๐Ÿ๐’Ž +1, es decir que un nรบmero cualquiera es

par e impar a la vez, y sabemos que esto no es posible (es un absurdo).

Conclusiรณn: โ€œpara cualquier nรบmero entero par su cuadrado es par โ€

Page 28: TP1 - LOGICA

Refutaciรณn

Consiste en buscar un ejemplo que ponga en evidencia la falsedad de la

afirmaciรณn.

Ejemplo:

Demostrar que: โ€œel cuadrado de todo nรบmero impar es parโ€

Demostraciรณn:

92 = 81

Conclusiรณn: โ€œel cuadrado de todo nรบmero impar es imparโ€

Page 29: TP1 - LOGICA

Bibliografรญa

ASTORGA y LISI (2012), โ€œMatemรกtica Iโ€, Ed. IMPRENTA FCEJS โ€“U.N.Sa

BOSCH (1999), โ€œIntroducciรณn al Simbolismo Lรณgicoโ€, Ed. EUDEBA

JOHNSONBAUGH (1999), โ€œMatemรกticas Discretasโ€, Ed. Prentice Hall

RABUFFETTI (1992), โ€œIntroducciรณn al Anรกlisis Matemรกtico: Cรกlculo Iโ€, Ed. EL ATENEO

ROJO ARMANDO (2005), โ€œรlgebra Tomo 1โ€, Ed. EL ATENEO

SUPPES (1994), โ€œIntroducciรณn a la Lรณgica Matemรกticaโ€, Ed. REVERTร‰