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TOPOLOGÍA

APUNTES

Nadie nos arrebatará del paraíso que él creó

Club de Matemática EPN

Más que simple matemática

Gabriel Granda

3

Cuadernos de Matemática


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CUADERNOS DE MATEMÁTICA

CLUB DE MATEMÁTICA EPN

G. GRANDA

TOPOLOGÍA

APUNTES

Nadie nos arrebatará del paraíso que él creó


Más que simple matemática

Cuaderno de Matemática del Club de Matemática EPN No. 3

TOPOLOGÍA: APUNTES

Gabriel Granda

Revisión Académica: La obra no ha sido sometida a revisión por el momento

Registro de derecho autoral No. La obra no cuenta con registro por el momento

ISBN: La obra no cuenta con ISBN por el momento

Publicado en linea por el proyecto Alephsub0,Quito, Ecuador.

Primera edición: 2020

c© Club de Matemática EPN 2020

Se permite la distribución de la presente obra.

ÍNDICE GENERAL

CAP. 1 NOCIONES BÁSICAS 1

1.1 Nociones topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Topología inducida sobre un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Interior, adherencia y frontera de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Convergencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

CAP. 2 HOMEOMORFISMOS 19

2.1 Homeomorfismos entre espacios topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Prolongación de una función continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

CAP. 3 TOPOLOGÍA PRODUCTO 25

3.1 Nociones preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Topología producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

CAP. 4 TOPOLOGÍA COCIENTE 35


4.2 Topología cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

CAP. 5 CONEXIDAD 39

5.1 Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

III

IV Índice general

5.2 Producto de espacios topológicos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.3 Conexidad por arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.4 Espacios localmente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

CAP. 6 COMPACIDAD 53

6.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2 Compacidad en espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.3 Teorema de Arzelá-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.4 Espacios localmente compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

CAP. 7 FILTROS 73


7.2 Filtro de una sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.3 Construcción del filtro imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

PREFACIO

La presente obra es una recopilación de apuntes basados en las clases de la materia “Topo-

logía”, dictada en la carrera de Ingeniería Matemática y Matemática de la Escuela Politécnica

Nacional por el profesor Fernando Cortez durante el semestre 2019-B. Los apuntes fueron ela-

borados por Gabriel Granda, alumno de esta materia en el mencionado semestre

Estas notas de clases tienen la finalidad de servir como una guía para aquellos estudiantes

que tomen esta materia. En caso de que el lector encuentre errores puede dirigirlos a

[email protected].

“Topología: Apuntes” forma parte de la serie “Cuaderno de Matemática del Club de Mate-

mática EPN”; la cual recolecta apuntes de clase y ejercicios resueltos generados por estudian-

tes de la Facultad de Ciencias. El Club de Matemática EPN, junto al proyecto Alephsub0 y la

Asociación de Estudiantes de Matemática e Ingeniería Matemática, administra la generación y

publicación en línea de estos trabajos e invita la comunidad de estudiantes que deseen apoyar a

este proyecto a sumarse al mismo.

V

CAPÍTULO 1

NOCIONES BÁSICAS

1.1 NOCIONES TOPOLÓGICAS

DEFINICIÓN 1.1DEFINICIÓN 1.1Sean X un conjunto no vacío y τX ⊆ P(X), llamaremos espacio topológico a la pareja

(X, τX), si sus elementos verifican las siguientes propiedades:

• Toda unión arbitraria de elementos de τX es un elemento de τX; es decir, si {Ai}i∈I es

una familia de elementos de τX , entonces ∪i∈I Ai ∈ τX,

• Toda intersección finita de elementos de τX es elemento de τX ; es decir, si {Ai}ni=1 es

una familia finita de elementos de τX , entonces ∩ni=1 Ai ∈ τX,

• ∅, X ∈ τX.

OBSERVACIÓN. Podríamos decir que τX es estable por uniones arbitrarias de elementos de τX ,

es estable por intersecciones finitas de elementos de τX y ∅, X ∈ τX .

DEFINICIÓN 1.2DEFINICIÓN 1.2Sean (X, τX) un espacio topológico y A ⊆ X. Decimos que A es un conjunto cerrado en la

topología τX si AC ∈ τX .

OBSERVACIÓN. Si notamos FX = {A ⊆ X : A es un conjunto cerrado}, tenemos que FX es

estable por intersecciones arbitrarias de elementos de FX , uniones finitas de elementos de FX y

∅, X ∈ FX .

DEFINICIÓN 1.3DEFINICIÓN 1.3Sean (X, τX) un espacio topológico y x ∈ X, decimos que V ⊂ X es una vecindad de x, si

existe VX ∈ τX tal que

x ∈ VX ⊂ V.

EJEMPLO 1.1.

1

2 Nociones básicas

Sean (X, d) un espacio métrico y A ⊂ X un conjunto abierto, si x ∈ A, entonces A es una

vecindad del punto x.

OBSERVACIÓN. En general, si (X, τX) es un espacio topológico, notaremos por V(x) a la familia

de vecindades de x ∈ X para la topología (X, τX).

PROPOSICIÓN 1.1. Sean (X, τX) un espacio topológico y A ⊂ X, A es abierto si y solo si A

es vecindad de cada uno de sus puntos.

Demostración. Para la primera implicación, supongamos que A es un conjunto abierto, vamos a

demostrar que A es vecindad de cada uno de sus puntos, el resultado se sigue dado que A ∈ τX.

Para la otra implicación, supongamos que A es vecindad de cada uno de sus puntos; es decir,

para todo x ∈ A, existe VX ∈ τX tal que

x ∈ Vx ⊂ A,

de donde, obtenemos que

A = ∪x∈Ax ⊆ ∪x∈AVX ⊆ A,

es decir,

A = ∪x∈AVX ,

dado que VX ∈ τX , obtenemos que

A ∈ τX ,

es decir, A es un conjunto abierto.

DEFINICIÓN 1.4DEFINICIÓN 1.4Sean (X, τX) un espacio topológico y x ∈ X. Decimos que una familia BX de vecindades

abiertas de X es una base de vecindades abiertas si:

• Para todo A ∈ τX tal que x ∈ A, existe B ∈ BX tal que

x ∈ B ⊆ A,

• Para todo B1, B2 ∈ τX, existe B ∈ BX tal que

B ⊂ B1 ∩ B2.

1.2 Topología inducida sobre un conjunto 3

DEFINICIÓN 1.5DEFINICIÓN 1.5Sean (X, τx) un espacio topológico y β ⊂ τX. Decimos que β es una base para la topología

τX si cada elemento de τx puede verse como unión de elementos de β.

1.2 TOPOLOGÍA INDUCIDA SOBRE UN CONJUNTO

DEFINICIÓN 1.6DEFINICIÓN 1.6Sean (X, τX) un espacio topológico y A ⊂ X, definimos la topología inducida sobre el con-

junto A por τX, como sigue

τA = {W ⊂ A : W = A ∩ V, V ∈ τX} ⊂ P(A).

Demostración. Vamos a demostrar que τA es una topología sobre el conjunto A, para lo cual,

vamos a demostrar que satisface las propiedades que definen una topología.

• Notemos que ∅, A ∈ τA, en efecto,

A = A ∩ X,

donde, X ∈ τX .

• Sea Aini=1 una familia finita de elementos de τX, vamos a demostrar que ∩n

i=1 Ai ∈ τA,

tenemos que

Ai = A ∩ Vi, Vi ∈ τX

para todo i ∈ {1, . . . , n}, ahora, puesto que τX es una topología, tenemos que

∩ni=1 Ai = ∩n

i=1 A ∩ Ai = A ∩ (∩ni=1 Ai) , (∩n

i=1 Ai) ∈ τX ,

es decir, tenemos que

∩ni=1 Ai ∈ τA.

• Análogamente, si consideramos {Ai}i∈I una familia de elementos de τA, se sigue que

∪i∈I Ai ∈ τA.

4 Nociones básicas

OBSERVACIÓN. Si V ∈ τx, entonces A ∩ V ∈ τA; sin embargo, si W ∈ τA, no necesariamente

W ∈ τX .

PROPOSICIÓN 1.2. Bajo las mismas hipótesis anteriores, tenemos que A ⊂ X es abierto en

(τX, X) si y solo si todo elemento de τA es elemento de τX.

Demostración. Para la primera implicación, supongamos que A es un conjunto abierto, sea W ∈

τA, así, tenemos que

W = A ∩ V, V ∈ τX ,

de donde, puesto que

A ∩ V ∈ τX ,

obtenemos que W ∈ τX.

DEFINICIÓN 1.7DEFINICIÓN 1.7Sea X un conjunto no vacío sobre el cual definimos dos topologías τ1 y τ2. Decimos que τ1

es equivalente a τ2 si todo elemento de τ1 es elemento de τ2 y si todo elemento de τ2 es

elemento de τ1.

OBSERVACIÓN. 1. Si dos topologías son equivalentes, utilizaremos la notación

τ1 ≈ τ2.

2. Decir que τ1 ⊂ τ2, significa que para todo abierto U ∈ τ1 existe un abierto V ∈ τ2, tal que

V ⊂ U.

1.3 INTERIOR, ADHERENCIA Y FRONTERA DE UN CONJUNTO

DEFINICIÓN 1.8: Punto adherenteDEFINICIÓN 1.8: Punto adherenteSean (X, τX) un espacio topológico y A ⊂ X. Decimos que un punto x ∈ X es un punto

adherente del conjunto A, si para toda vecindad abierta Vx de punto x en la topología τX, se

cumple que

Vx ∩ A 6= ∅.

DEFINICIÓN 1.9: Punto de acumulaciónDEFINICIÓN 1.9: Punto de acumulaciónSean (X, τX) un espacio topológico y A ⊂ X. Decimos que un punto x ∈ X es un punto de

acumulación de A si para toda vecindad abierta Vx del punto x en la topología τX , se tiene

1.3 Interior, adherencia y frontera de un conjunto 5

que

(Vx r x) ∩ A 6= ∅.

DEFINICIÓN 1.10: Punto aisladoDEFINICIÓN 1.10: Punto aisladoSean (X, τX) un espacio topológico y A ⊂ X. Decimos que x ∈ A es un punto aislado del

conjunto A, si existe Vx vecindad del punto x en la topología τX tal que

Vx ∩ A = {x}.

OBSERVACIÓN. Si x ∈ X es un punto de acumulación de A, entonces x es un punto adherente

de A.

DEFINICIÓN 1.11: ClausuraDEFINICIÓN 1.11: ClausuraSean (X, τX) un espacio topológico y A ⊂ X. El conjunto de puntos adherentes (o de clau-

sura) de A se denomina la adherencia o clausura de A y se denota por

AτX .

DEFINICIÓN 1.12DEFINICIÓN 1.12Sean (X, τX) un espacio topológico y A ⊂ X. El conjunto de puntos de acumulación de A se

denomina el conjunto derivado de A y es notado por

A′.

PROPOSICIÓN 1.3. Sean (X, τX) un espacio topológico y A ⊂ X, se tiene que

1. A ⊂ A,

2. A es un conjunto cerrado,

3. A es el conjunto cerrado más que contiene a A,

4. A = ∩F∈FAF, donde, FA = {F conjunto cerrado : A ⊂ F},

5. A ∪ B = A ∪ B,

6. A ∩ B ⊂ A ∩ B.

Demostración. 1. Se sigue inmediatamente de la definición de clausura de un conjunto.

2. Vamos a demostrar que A es un conjunto cerrado, para ello, vamos a probar que AC

es un

conjunto abierto en τX, sea x ∈ AC

, por la definición de clausura, sabemos existe Vx ∈ τX

6 Nociones básicas

vecindad del punto x tal que

Vx ∩ A 6= ∅,

así, consideremos el conjunto

V = {x ∈ X : ∃Vx ∈ τX, Vx ∩ A = ∅},

de donde,

V = ∪Vx∩A=∅Vx,

dado que V es la unión de conjunto abiertos, tenemos que V es un conjunto abierto, así,

bastaría con demostrar que

A = VC,

en efecto, vamos a probar que A ⊆ VC, sea x ∈ A, por definición de clausura, obtenemos

que para toda Vx ∈ τX vecindad del punto x, se tiene que

Vx ∩ A 6= ∅,

es decir,

x ∈ V.

Análogamente, se prueba que

VC ⊆ A.

Por lo tanto, hemos demostrado que A es un conjunto cerrado.

PROPOSICIÓN 1.4. Sean (X, τX) un espacio topológico y F ⊂ X, se tiene que

• F es un conjunto cerrado si y solo si F′ ⊂ X, y

• F = F′ ∪ F.

PROPOSICIÓN 1.5. Sean (X, τX) y A ⊂ X, las siguientes afirmaciones son equivalentes.

1. A = X,

2. Para todo V ∈ τX tal que V 6= ∅ se tiene que

V ∩ A 6= ∅.

Demostración. Supongamos que A = X, vamos a demostrar que para todo V ∈ τX tal que V 6= ∅

1.3 Interior, adherencia y frontera de un conjunto 7

se tiene que

V ∩ A 6= ∅.

Sea V ∈ τX tal que V 6= ∅, así, existe x ∈ V, de donde, V es una vecindad abierta del punto

x ∈ X = A, de donde, por definición de clausura, obtenemos que

V ∩ A 6= ∅.

Ahora, supongamos que Para todo V ∈ τX tal que V 6= ∅ se tiene que

V ∩ A 6= ∅.

Vamos a demostrar que A = X, para lo cual, basta con probar que

X ⊆ A,

sea x ∈ X, debemos demostrar que x ∈ A, sea Vx ∈ τX una vecindad abierta del punto x, así,

por hipótesis, tenemos que

Vx ∩ A 6= ∅,

es decir, hemos probado que

x ∈ A,

por lo tanto, podemos concluir que

A = X.

OBSERVACIÓN. Con respecto a (X, d) un espacio métrico, se tiene que

1. A = X,

2. Para todo V ∈ τd, V ∩ A 6= ∅,

3. Para todo x ∈ X, existe (xn)n∈N tal que

lımn→+∞

xn = x.

DEFINICIÓN 1.13DEFINICIÓN 1.13Sea (X, τX) un espacio topológico. Decimos que X es un espacio topológico separable si

existe A ⊂ X numerable tal que A = X.

8 Nociones básicas

EJEMPLO 1.2.

Consideremos el espacio métrico (lp, ‖·‖p) con p ∈ [1,+∞[, se tiene que es un espacio separable,

Por otro lado, el espacio de sucesiones acotadas (l∞, ‖·‖∞) no es separable.

1.4 CONVERGENCIA DE SUCESIONES

DEFINICIÓN 1.14DEFINICIÓN 1.14Sean (X, τX) un espacio topológico, (xn)n∈N una sucesión de elementos de X y x ∈ X.

Decimos que (xn)n∈N converge a x en el espacio topológico (X, τX) si para toda VX vecindad

abierta del punto x existe N ∈ N tal que

xn ∈ VX,

para todo n ≥ N.

OBSERVACIÓN. • Notemos que N = NVXdepende de la vecindad del punto x ∈ X.

• En espacios topológicos, si (xN)n∈N es una sucesión convergente, entonces su límite no

necesariamente es único.

DEFINICIÓN 1.15DEFINICIÓN 1.15Sea (X, τX) un espacio topológico. Decimos que X es separado o de Hausdorff si para todo

x, y ∈ X, tales que x 6= y, se tiene que existen Vx, Vy vecindades de punto x y del punto y,

respectivamente, tales que

Vx ∩ Vy = ∅.

EJEMPLO 1.3.

(X, d) es un espacio de Hausdorff,

(X, τIND) no es separado,

Un conjunto dotado de la topología de Zariski (Geometría Algebraica) no es separado.

PROPOSICIÓN 1.6. Sea (X, τX) un espacio topológico separado, se tiene que toda sucesión

de elementos de X admite a lo más un límite.

Demostración. Sea (xn)n∈N una sucesión de puntos en X, vamos a demostrar que admite a lo

más un límite, por reducción al absurdo, supongamos que (xn)n∈N converge a x e y, con x 6= y,

1.4 Convergencia de sucesiones 9

de donde, puesto que (X, τX) es un espacio topológico separado, sabemos existen Vx, Vy ∈ τX

vecindades de los puntos x e y, respectivamente, tales que

Vx ∩ Vy = ∅. (1.1)

Por otro lado, puesto que (xn)n∈N converge a x, sabemos existe N1 ∈ N tal que

xn ∈ Vx,

para todo n ≥ N1, análogamente, dado que (xn)n∈N converge a y, existe N2 ∈ N tal que

xn ∈ Vy,

ahora, tomando N = max N1, N2, obtenemos que

xn ∈ Vx ∩ Vy,

para todo n ≥ N, es decir,

Vx ∩ Vy 6= ∅,

lo cual, contradice a (1.1), por lo tanto, hemos probado que toda sucesión de X, admite a lo más

un límite.

DEFINICIÓN 1.16DEFINICIÓN 1.16Sean (X, τX) un espacio topológico separado y A ⊂ X. Decimos que un punto x ∈ X per-

tenece a la clausura secuencial del conjunto A, denotada por [A], si existe una sucesión

(xn)n∈N de puntos de A tal que

lımn→+∞

xn = x,

en (X, τX).

OBSERVACIÓN. 1. Sea A ⊂ X, se tiene que

[A] ⊂ A,

en efecto, sea x ∈ [A], sabemos existe (xn)n∈N una sucesión de elementos de A tal que

lımn→+∞

xn = x,

vamos a demostrar que x ∈ A, para ello, sea Vx ∈ τX una vecindad abierta del punto x,

10 Nociones básicas

por definición de convergencia, existe N ∈ N tal que

xn ∈ Vx,

para todo n ≥ N, con esto, tenemos que

Vx ∩ A 6= ∅,

por lo tanto, hemos probado que

x ∈ A.

2. En general, en espacios topológicos separados no se tiene que A ⊂ [A], para que se cumpla

esta contenencia, se necesita que el espacio topológico posea la siguiente propiedad:

Todo elemento de X admita una base de vecindades numerables para la topología τX .

En este caso, se puede considerar (Vn)n∈N la familia de vecindades numerable del punto

x, tal que

V1 ⊃ V2 ⊃ · · · ⊃ Vn.

DEFINICIÓN 1.17: Punto interiorDEFINICIÓN 1.17: Punto interiorSean (X, τX) un espacio topológico y A ⊂ X. Decimos que x ∈ A es un punto interior de A

si A es una vecindad del punto x.

DEFINICIÓN 1.18: Interior de un conjuntoDEFINICIÓN 1.18: Interior de un conjuntoSean (X, τX) un espacio topológico y A ⊂ X. El conjunto de los puntos interiores de A se

denomina el interior de A y es notado por

int(A) = {x ∈ A : x es un punto interior}.

PROPOSICIÓN 1.7. Sean (X, τX) un espacio topológico y A ⊂ X. Se tiene que

1. int(A) ⊂ A,

2. int(A) es un conjunto abierto,

3. int(A) es el abierto más grande contenido en A,

4. A es abierto si y solo si int(A) = A,

5. (int(A))C = AC.

Demostración. 1. El resultado se sigue por la definición de conjunto interior.

1.4 Convergencia de sucesiones 11

2. Usando la proposición 1.1, tenemos que int(A) es un conjunto abierto en τX.

3. Sea F ⊂ X un conjunto abierto tal que

F ⊂ A,

dado que F es un abierto y está contenido totalmente en A, se sigue que

F ⊂⋃

V⊂A

V ⊂ int(A),

4. Vamos a demostrar que (int(A))C = AC.

• Para la primera contenencia, sabemos que

int(A) ⊂ A,

de donde,

AC ⊂ (int(A))C ,

luego,

AC ⊂ (int(A))C,

así, dado que (int(A))C , es un conjunto cerrado, obtenemos que

AC ⊂ (int(A))C .

• Ahora, sea x ∈ (int(A))C, así, para toda Vx ∈ τX vecindad del punto x se tiene que

Vx 6⊂ A,

de donde, existe y ∈ Vx tal que y ∈ AC, es decir,

Vx ∩ A 6= ∅,

con esto, hemos probado que (int(A))C = AC.

Por lo tanto, se sigue que

(int(A))C = AC.


DEFINICIÓN 1.19: FronteraDEFINICIÓN 1.19: FronteraSean (X, τX) un espacio topológico y A ⊂ X, se define la frontera del conjunto A, notada

por Fr(A), al conjunto formado por la intersección entre A y el complemento del interior de

A; es decir,

Fr(A) = A ∩ (int(A))C .

OBSERVACIÓN. Notemos que Fr(A) es un conjunto cerrado en τX .

1.5 CONTINUIDAD

DEFINICIÓN 1.20DEFINICIÓN 1.20Sean (X, τX), (Y, τY) dos espacios topológicos, f : (X, τX) → (Y, τY) una función, A ⊂ X no

vacío y a ∈ A. Decimos que l ∈ Y es el límite de f (x) cuando x → a "manteniéndose en A",

si para toda vecindad Vl abierta de l existe Va vecindad abierta de a tal que

f (A ∩ Va) ⊂ Vl .

OBSERVACIÓN. Si l ∈ Y es el límite de f (x) cuando x → a, usaremos la notación:

l = lımx→a

f (x).

PROPOSICIÓN 1.8. Si (Y, τY) es un espacio topológico separado y existe lımx→a f (x), enton-

ces el límite es único.

Demostración. Por reducción supongamos que existen l1 y l2 tales que

l1 6= l2,

de donde, puesto que (Y, τY) es un espacio topológico separado, sabemos existen Vl1 , Vl2 ∈ τY

vecindades abiertas de l1 y l2, tales que

Vl1 ∩ Vl2 = ∅. (1.2)

Por otro lado, por la definición de límite, sabemos existen V1, V2 vecindades del punto a tales

que

f (A ∩ V1) ⊂ Vl1 y f (A ∩ V2) ⊂ Vl2 ,

1.5 Continuidad 13

luego, si tomamos V = V1 ∩ V2, obtenemos que

f (V ∩ A) ⊂ Vl1 y f (V ∩ A) ⊂ Vl2 ,

de donde, se sigue que

Vl1 ∩ Vl2 6= ∅,

lo cual, contradice a (1.2), por lo tanto, podemos concluir que el límite es único.

PROPOSICIÓN 1.9. Sean (X1, d1), (X2, d2) dos espacios métricos, A ⊂ X no vacío,

f : (X1, d1) → (X2, d2) una función y a ∈ A, los siguientes enunciados son equivalentes:

1. lımx→a f (x) = l, donde, l ∈ X2.

2. Para toda sucesión (xn)n∈N de puntos de A tal que lımn→+∞ xn = a en (X1, d1), se

tiene que

lımn→+∞

f (xn) = l,

en (X2, d2).

Demostración. • Para la primera implicación, supongamos que lımx→a f (x) = l, sea (xn)n∈N

una sucesión de elementos de A tal que

lımn→+∞

xn = a, (1.3)

vamos a demostrar que lımn→+∞ f (xn) = l, sea Vl una vecindad abierta de l en (X2, d2),

dado que f es una función continua, para Vl sabemos existe Va una vecindad del punto a

tal que

f (A ∩ Va) ⊂ Vl ,

ahora, por (1.3), para la vecindad Va sabemos existe N ∈ N tal que

xn ∈ Va,

para todo n ≥ N, de donde,

f (xn) ∈ f (A ∩ Va) ⊂ Vl ,

para todo n 6= N, es decir, hemos probado que

lımn→+∞

f (xn) = l.


• Ahora, para la otra implicación, supongamos que para toda sucesión (xn)n∈N de puntos

de A tal que lımn→+∞ xn = a en (X1, d1), se tiene que

lımn→+∞

f (xn) 6= l,

en (X2, d2).

Por reducción al absurdo, supongamos que lımx→a f (x) = l, así, sabemos existe Vl ∈ τd2

una vecindad de l tal que para toda Va vecindad abierta de punto a en (X, τd1) se tiene que

f (Va ∩ A) 6⊂ Vl ,

luego, dado que B(

a, 1n+1

)

es una vecindad del punto a, para todo n ∈ N, se tiene que

existe xn ∈ A tal que

d1(xn, a) <1

n + 1y f (xn) 6∈ Vl

para todo n ∈ N, es decir, tenemos que

lımn→+∞

xn = a y lımn→+∞

f (xn) 6= l,

lo cual, contradice la hipótesis.

OBSERVACIÓN. En espacios topológicos, siempre se cumple que 1. ⇒ 2., pero en general, no se

tiene que 2. ⇒ 1., para que esta implicación se cumpla, necesitamos suponer que (X, τX) admite

una base de vecindades numerable para cada elemento de X.

DEFINICIÓN 1.21: Continuidad en un puntoDEFINICIÓN 1.21: Continuidad en un puntoSean (X, τX), (Y, τY) dos espacios topológicos separados, f : (X, τX) → (Y, τY) una función

y a ∈ X. Decimos que f es una función continua en el punto a ∈ X si para toda Vf (a)

vecindad de f (a) en (Y, τY), se tiene que

f−1(Vf (a)),

es una vecindad de a en (X, τX).

OBSERVACIÓN. La definición anterior es equivalente a:

Para toda vecindad Vf (a) ∈ τY se tiene que existe Va ∈ τX vecindad del punto a tal que

f (Va) ⊂ Vf (a).

1.5 Continuidad 15

PROPOSICIÓN 1.10. f es continua en a si y solo si lımx→a f (x) = f (a).

DEFINICIÓN 1.22DEFINICIÓN 1.22Sean (X, τX), (Y, τY) dos espacios topológicos separados, f : (X, τX) → (Y, τY) una función

y a ∈ X. Decimos que f es secuencialmente continua en a si para toda sucesión (xn)n∈N de

puntos de X tal que lımn→+∞ xn = a en (X, τX) se tiene que

lımn→+∞

f (xn) = f (a),

en (Y, τY).

PROPOSICIÓN 1.11. Sean (X1, d1), (X2, d2) dos espacios métricos, f : (X1, d1) → (X2, d2)

una función y a ∈ X. Los siguientes enunciados son equivalentes:

1. f es continua en a,

2. Para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo x ∈ X

d1(x, a) < δ ⇒ d2( f (x), f (a)) < ε,

3. Para toda sucesión (xn)n∈N de puntos de X tal que lımn→+∞ xn = a, se tiene que

lımn→+∞

f (xn) = f (a).

DEFINICIÓN 1.23: Continuidad globalDEFINICIÓN 1.23: Continuidad globalSean (X, τX), (Y, τY) dos espacios topológicos separados, f : (X, τX) → (Y, τY) una función,

decimos que f es globalmente continua o continua sobre X si es continua en cada punto de

X.

PROPOSICIÓN 1.12. Sean (X, τX), (Y, τY) dos espacios topológicos separados y f : (X, τX) →

(Y, τY) una función, los siguientes enunciados son equivalentes

1. f es continua sobre X,

2. Si W ∈ τY, entonces f−1(W) ∈ τX,

3. Si F ∈ FY, entonces f−1(W) ∈ FX.

Demostración. • 1. ⇒ 2.

Supongamos que W ∈ τY, sabemos que W es un conjunto abierto si y solo si es vecindad


de cada uno de sus puntos, de donde, puesto que f es continua se sigue que

f−1(W),

es vecindad de cada uno de sus puntos en (X, τX), con esto, hemos probado que f−1(W) ∈

τX .

• 2. ⇒ 1.

Sea a ∈ X, vamos a demostrar que f es una función continua en a, para ello, sea Vf (a)

una vecindad de f (a) en (Y, τY), debemos probar que f−1(Vf (a)) es una vecindad de a en

(X, τX).

Dado que Vf (a) es una vecindad en (Y, τY), por definición de vecindad de un punto, existe

W ∈ τY tal que

f (a) ∈ W ⊂ Vf (a),

ahora, dado que W ∈ τY, tenemos que

f−1(W) ∈ τX,

con esto, tenemos que

a ∈ f−1(W) ⊂ f−1(Vf (a)),


f−1(Vf (a)),

es una vecindad del punto a.

• 2. ⇒ 3.

Ahora, supongamos que F ∈ FY, vamos a demostrar que f−1(F) ∈ FX, tenemos que

FC ∈ τY,

de donde, por hipótesis, se sigue que

f−1(FC) ∈ τX ,

luego, obtenemos que(

f−1(FC))C

= f−1(F) ∈ FX.

• 3. ⇒ 2. Se prueba análogamente al literal anterior.

1.5 Continuidad 17

PROPOSICIÓN 1.13. Sean (X, τX), (Y, τY), (Z, τZ) espacios topológicos, f : (X, τX) → (Y, τY)

y g : (Y, τY) → (Z, τZ) dos funciones continuas en a ∈ X y f (a) ∈ Y, respectivamente, se

tiene que

g ◦ f : (X, τX) → (Y, τY),

es continua en a.

OBSERVACIÓN. Si f y g son funciones globalmente continuas, entonces g ◦ f es globalmente

continua.


1.6 EJERCICIOS

1. Sea X un conjunto que tiene una cantidad infinita no numerable de elementos. Pruebe que

τ = {A ⊂ X : A = ∅ o AC es numerable},

es una topología sobre X. Esta topología es conocida como la Topología co-numerable.

2. Sean X = R y a, b ∈ R tales que a < b. Verifique que

β = {[a, b[ : a < b},

genera una topología sobre R, esta topología se denomina topología del límite inferior.

3. Sean (X, τX), (Y, τY) dos espacios topológicos y f : (X, τX) → (Y, τY) una función.

• Pruebe que si f es continua, entonces f es secuencialmente continua,

• Un espacio topológico (X, τX) se dice primero contable si para todo x ∈ X existe

una base de vecindades de x numerable. Pruebe que si (X, τX) es primero contable,

entonces se cumple el recíproco.

4. Lema del pegado: Sea X un conjunto no vacío, tal que X = A ∪ B, donde, A, B son conjun-

tos cerrados en X, pruebe que f : A → B es continua si y solo si f |a y f |b son continuas.

5. En R, compare por inclusión (topología más fina y menos fina) las siguientes topologías:

(a) Topología discreta P(X),

(b) Topología cofinita,

(c) Topología del límite inferior,

(d) Topología usual.

6. Sean (X, τX), (Y, τY) espacios topológicos, donde, (Y, τY) es de Hausdorff,

f , g : (X, τX) → (Y, τY) son funciones continuas, A ⊂ X tal que A = X. Si f |A = g|A.

entonces f = g.

CAPÍTULO 2

HOMEOMORFISMOS

2.1 HOMEOMORFISMOS ENTRE ESPACIOS TOPOLÓGICOS

DEFINICIÓN 2.1DEFINICIÓN 2.1Sean (X, τX), (Y, τY) y f : (X, τX) → (Y, τY) una función biyectiva, decimos que f es un

homeomorfismo si

• f es continua sobre X,

• f−1 es continua sobre Y.

DEFINICIÓN 2.2DEFINICIÓN 2.2Sean (X, τX) y (Y, τY) dos espacios topológicos, decimos que son homeomorfos si existe φ

un homemorfismo entre (X, τX) y (Y, τY).

OBSERVACIÓN. La definición de homeomorfismo entre espacios topológicos permite definir

una relación de equivalencia.

Consideremos el conjunto

G = {(X, τX) : (X, τX) es un espacio topológico},

sean (X, τX), (Y, τY) ∈ G, tenemos que

(X, τX) ∼ (Y, τY),

si y solo si existe un homeomorfismo entre (X, τX), (Y, τY).

DEFINICIÓN 2.3DEFINICIÓN 2.3Sean (X1, d1), (X2, d2) dos espacios métricos y f : (X1, d1) → (X2, d2) una función, decimos

que f es una función uniformemente continua en X, si para todo ε > 0, existe δ(ε, f ) > 0 tal

19

20 Homeomorfismos

que para todo (x, y) ∈ (X × Y)

d1(x, y) < δ(ε, f ) ⇒ d2( f (x), f (y)) < ε.

DEFINICIÓN 2.4DEFINICIÓN 2.4Sean (X1, d1), (X2, d2) dos espacios métricos y f : (X1, d1) → (X2, d2) una función, f se de-

nomina una función k-Lipschitz si existe c > 0 tal que para todo (x, y) ∈ X × Y se tiene

que

d2( f (x), f (y)) ≤ Kd1(x, y).

2.2 PROLONGACIÓN DE UNA FUNCIÓN CONTINUA

DEFINICIÓN 2.5DEFINICIÓN 2.5Sean (X, τX), (Y, τY) dos espacios topológicos y A ⊂ X, consideremos (A, τA) la topolo-

gía inducida sobre el conjunto A por la topología τX y f : (A, τA) → (Y, τY) una función

continua. Decimos que f es una prolongación continua de f en A si

• f |A = f , y

• f ∈ C(A, Y); es decir, f es una función continua de A en Y.

PROPOSICIÓN 2.1. Si (X1, d1), (X2, d2) son espacios métricos y además para todo a ∈ A,

lımx→a f (x) exista, entonces f se puede prolongar continuamente.

PROPOSICIÓN 2.2. Sean (X, τX) un espacio topológico, (Y, τY) un espacio topológico sepa-

rado, A ⊂ X y f : (A, τA) → (Y, τY) una función continua, se tiene que f tiene a lo más una

prolongación continua.

Demostración. Supongamos que existen f1 y f2 prolongaciones continuas de f en A, vamos a

demostrar que f1 = f2. Tenemos que

fi|A = f y fi ∈ C(A, Y),

para todo i = 1, 2, por la definición de continuidad, tenemos que

lımx→a

fi(x) = f (a),

2.2 Prolongación de una función continua 21

para x ∈ A, así, para toda Vfi(a) ∈ τY, vecindad de f (a) existe Va vecindad del a, tal que

fi(Va ∩ A) ⊂ Vfi(a),

luego, dado que A ⊂ A, se sigue que, para toda Vfi(a) ∈ τY, vecindad de f (a) existe Va vecindad

del a, tal que

fi(Va ∩ A) ⊂ Vfi(a),


lımx→a

f (x) = fi(a),

para x ∈ A, de donde, dado que (Y, τY) es un espacio topológico separado, por la unicidad del

límite, se sigue que

f1(a) = f2(a),

para todo a ∈ A.

OBSERVACIÓN. Con las notaciones anteriores, hemos visto que si f existe, entonces es única,

además, una condición necesaria para su existencia es que para toda a ∈ A r A, lımx→a f (x)

exista.

PROPOSICIÓN 2.3. Sean (X, τX) un espacio topológico, (Y, d) un espacio métrico, A ⊆ X y

f : (A, τA) → (Y, d), una función continua, donde τA es la topología inducida en A por τX.

Supongamos que para todo a ∈ Ar A, lımx→a f (x) existe, se tiene que f se puede prolongar

continuamente en A.

Demostración. Consideremos la función

f : (A, τA) −→ (Y, d)

x 7−→

f (x) si x ∈ A,

lımx→a f (x) si x ∈ A r A.

Vamos a demostrar que A es una prolongación continua de f en A, para lo cual, basta con

demostrar que f ∈ C(A, X).

En primer lugar, para todo O ∈ τX, notemos que

f (O ∩ A) ⊂ f (O ∩ A),

22 Homeomorfismos

en efecto, sea l ∈ f (O ∩ A), tenemos que

l = lımx → a

x ∈ O ∩ A

f (x) = lımx → a

x ∈ O ∩ A

f (x),

de donde, puesto que (Y, d) es un espacio métrico, se tiene que

l ∈ f (O ∩ A).

Ahora, vamos a demostrar que f es continua en A, para ello, consideremos dos casos:

• Si a ∈ A, entonces f (a) = f (a), de donde, f es una función continua en a,

• Ahora, si a ∈ A r A, dado que (Y, d) es un espacio métrico, para todo ε > 0 ,tenemos que

B( f (a), ε),

es una vecindad cerrada de f (a), de donde, puesto que f (a) = lımx → a

x ∈ A

f(x), se tiene que

existe O ∈ τX vecindad abierta de a, tal que

f (O ∩ A) ⊂ B( f (a), ε),

de donde,

f (O ∩ A) ⊂ B( f (a), ε),

luego, junto con (2.2), se sigue que

f (O ∩ A) ⊂ B( f (a), ε),

con esto, hemos probado que f es una función continua en a ∈ A r A.

Por lo tanto, hemos demostrado que f es globalmente continua en A.

PROPOSICIÓN 2.4. Sean (XτX) un espacio topológico, (Y, τY) un espacio topológico sepa-

rado y localmente cerrado, A ⊆ X y f : (A, τA) → (Y, τY), si lımx → a

x ∈ A

f (x) existe, entonces

la función f se puede prolongar continuamente en A.

2.3 Ejercicios 23

2.3 EJERCICIOS

1. Pruebe que ]a, b[ es homeomorfo a ]0, 1[ en R con la topología usual.

2. Sean (X, τX), (Y, τy) espacios topológicos, una función f : (X, τX) → (Y, τy) se dice un

homomorfismo local, si para todo x ∈ X existe Ux tal que f (Ux) es un conjunto abierto en

Y y f |Ux : Ux → Y es un homeomorfismo. Demuestre que todo homeomorfismo local es

una función abierta.

24 Homeomorfismos

CAPÍTULO 3

TOPOLOGÍA PRODUCTO

3.1 NOCIONES PRELIMINARES

DEFINICIÓN 3.1DEFINICIÓN 3.1Sea X un conjunto sobre el cual definimos dos topologías τ1 y τ2, decimos que τ1 es más fina

que τ2, si

τ2 ⊂ τ1.

DEFINICIÓN 3.2DEFINICIÓN 3.2Sea X un conjunto sobre el cual definimos dos topologías τ1 y τ2, decimos que τ1 son equi-

valentes si τ1 ⊆ τ2 y τ2 ⊆ τ1.

OBSERVACIÓN. Es claro que τ1 ≡ τ2 si y solo si Id : (X, τx) → (Y, τY) es un homeomorfismo.

DEFINICIÓN 3.3DEFINICIÓN 3.3Sea X un conjunto no vacío sobre el cual definimos dos métricas d1, d2. Decimos que d1 es

topológicamente equivalente a d2 si las dos métricas inducen la misma topología.

DEFINICIÓN 3.4DEFINICIÓN 3.4Sea X un conjunto no vacío sobre el cual definimos dos métricas d1, d2. Decimos que d1 y d2

son métricas equivalentes en X si existen α, β > 0 tales que

αd1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ βd1(x, y),

para todo (x, y) ∈ X × X.

OBSERVACIÓN. Si d1 y d2 son métricas equivalentes en X, entonces d1 y d2 son métricas topoló-

gicamente equivalentes. Sin embargo, el recíproco, en general, no se cumple.

25

26 Topología producto

TEOREMA 3.1TEOREMA 3.1Sea X un conjunto no vacío sobre el cual definimos dos métricas d1, d2. Se tiene que

(X, τd1) es más fina que (X, τd2

) si y solo si para todo x ∈ X y todo ε > 0, existe δ(x, ε) > 0

tal que

d1(x, y) < δ ⇒ d2(x, y) < ε.

Demostración. Para la primera implicación, supongamos que (X, τd1) es más fina que (X, τd2),

así, tenemos que

Id : (X, τd1) → (X, τd2),

es globalmente continua, sean x ∈ X y ε > 0, así, tenemos que

B2(x, ε),

es una vecindad del punto x en (X, τd1), de donde, por la continuidad de Id, sabemos existe

δ > 0 tal que

B1(x, δ) ⊂ B2(x, ε),

con lo cual, se sigue el resultado.

Ahora, supongamos que para todo x ∈ X y todo ε > 0, existe δ(x, ε) > 0 tal que

d1(x, y) < δ ⇒ d2(x, y) < ε.

Sea x ∈ X y V ∈ τd1una vecindad de x, vamos a demostrar que V ∈ τd2

, para lo cual, debemos

hallar δ > 0 tal que

B1(x, δ) ⊆ V,

sea ε > 0, tenemos que

B2(x, ε) ⊆ V,

de donde, por hipótesis, sabemos existe δ > 0 tal que

d1(x, y) < δ ⇒ d2(x, y) < ε,

para todo y ∈ X, es decir, se sigue que

B1(x, δ) ⊆ B2(x, ε) ⊆ V,

con esto, hemos demostrado que V es una vecindad abierta para cada x ∈ V en (X, τd1), por lo

3.2 Topología producto 27

tanto, se sigue que

V ∈ τd1.

3.2 TOPOLOGÍA PRODUCTO

DEFINICIÓN 3.5DEFINICIÓN 3.5Sea (Xi, τi)i∈I una familia de espacios topológicos, donde, I es un conjunto indexado cual-

quiera (no necesariamente finito ni numerable). Definimos el conjunto producto de la fami-

lia {Xi}i∈I , el cual, notaremos por ∏i∈I

Xi, de la siguiente forma

(xi)i∈I ∈ ∏i∈I

Xi si y solo si xi ∈ Xi, ∀i ∈ I.

DEFINICIÓN 3.6DEFINICIÓN 3.6Sean (Xi, τi)i∈I una familia de espacios topológicos y S ⊂ {i1, . . . , in} subconjunto de I finito.

Para una familia finita de abiertos Wik ∈ τik con k ∈ {1, . . . , n}, definimos el cilindro abierto

de base (Wi1 , . . . , Win) de la siguiente forma

CYN (Wi1 , . . . , Win) = ∏i∈I

Yi,

donde,

Yi =

Wi si i ∈ {i1, . . . , in},

Xi si i ∈ I r {i1, . . . , in}.

DEFINICIÓN 3.7DEFINICIÓN 3.7Sea (Xi, τi)i∈I una familia de espacios topológicos, llamaremos Topología Producto, definida

sobre ∏i∈I

Xi, a la topología engendrada por la base de abiertos hechos los cilindros, esta

topología es notada por(

∏i∈I

Xi, ∏i∈I

τi

)

.

OBSERVACIÓN. Sea k ∈ N, consideremos {ik} ⊂ I, así, el cilindro de base Wik , viene dado por

CYN (Wik) = ∏i∈I

Yi,


donde,

Yi =

Wik si i = ik,

Xi si i 6= ik.

Con esta notación, cualquier cilindro CYN (Wi1 , . . . , Win) se puede expresar como intersección

finita de cilindros CYN (Wik) para k ∈ {1, . . . , n}, es decir,

CYN (Wi1 , . . . , Win) =n⋂

k=1

CYN (Wik ).

DEFINICIÓN 3.8DEFINICIÓN 3.8Sea (Xi, τi)i∈I una familia de espacios topológicos, llamaremos Topología de Cajas, definida

sobre ∏i∈I

Xi, a la topología engendrada por los conjuntos de la forma

β = ∏i∈I

Wi,

donde Wi ∈ τi, para todo i ∈ I.

OBSERVACIÓN. • La topología de cajas, notada por ∏i∈I

τBi , es más fina que la topología pro-

ducto ∏i∈I

τi, es decir,

∏i∈I

τi ⊂ ∏i∈I

τBi .

• En el caso particular, en que |I| < +∞, se tiene que

∏i∈I

τi = ∏i∈I

τBi .

• Si I es infinito numerable, entonces las topologías no coinciden.

DEFINICIÓN 3.9DEFINICIÓN 3.9

Sean (Xi, τi)i∈I una familia de espacios topológicos y i0 ∈ I, sobre X = ∏i∈I

Xi se definen las

funciones proyecciones de la siguiente forma

pi0 : (X, τX) −→ (Xi0 , τi0)

x = (xi)i∈I 7−→ xi0 .

PROPOSICIÓN 3.2. La topología producto definida sobre ∏i∈I

Xi es la topología más débil o

menos fina que deja continua a la familia de aplicaciones (pi)i∈I .


Demostración. Consideremos i0 ∈ N, vamos a demostrar que

pi0 :

(

∏i∈I

Xi, ∏i∈I

τi

)

→ (Xi0 , τi0),

Sea Wi0 ∈ τi0 , vamos a demostrar que p−1i0

(Wi0) ∈ τ, sea y ∈ p−1i0

(Wi0), tenemos que

pi0(y) = yi0 ∈ Wi0 ∈ τi0 .

Tomado CYN (Wi0) ∈ τ, se tiene que

y ∈ CYN (Wi0) ⊆ p−1i0

(Wi0),

luego, se sigue que pi0(Wi0) ∈ τ, con esto, hemos probado que f es una función continua.

Ahora, vamos a demostrar que ∏i∈I

τi es la topología más débil que deja continuas a la familia

(pi)i∈I , para ello, supongamos que existe τ′ tal que

pi0 :

(

∏i∈I

Xi

)

, τ′ → (Xi0 , τi0),

es continua, vamos a demostrar que ∏i∈I

τi ⊂ τ′, sea CYN Wi0 ∈ ∏i∈I

τi, debemos probar que

CYN Wi0 ∈ τ′, en efecto, dado que pi0 es una función continua, obtenemos que

p−1i0

(Wi0) ∈ τ′,

por otro lado, tenemos que

p−1i0

(Wi0) = CYN Wi0 ,

por lo tanto, se sigue que

CYN Wi0 ∈ τ′,

con esto, hemos probado que

∏i∈I

τi ⊂ τ′.

PROPOSICIÓN 3.3. Sean (X, τX) un espacio topológico, (Xi, τi)i∈I una familia de espacios

topológicos, (∏i∈I Xi, ∏i∈I τi) es espacio producto y f : (X.τX) → (∏i∈I Xi, ∏i∈I τi) una

función. entonces f es continua de X en ∏i∈I Xi si y solo si para todo l ∈ I, pl ◦ f es continua

de X en Xl .


Demostración. Consideremos el siguiente esquema

f : (X, τX) (∏i∈I Xi, ∏i∈I τi)

(Xl , τl)

pl

pl ◦

f

Supongamos que f es una función continua, sea l ∈ I, vamos a demostrar que pl ◦ f es una

función continua, dado que pl es una función continua, se sigue que

pl ◦ f ,

es continua, al ser la composición de funciones continua.

Para la otra implicación, supongamos que pl ◦ f es continua para todo l ∈ l, vamos a demos-

trar que f es una función continua, sea x ∈ X y f (x) ∈ ∏i∈I

Xi, sea Vf (x) una vecindad de f (x)

para la topología ∏i∈I

τi, así, sabemos existe O = CYN (W1 . . . , Wn) ∈ ∏i∈I

τi tal que

f (x) ∈ O ⊆ Vf (x),

ahora, sabemos que

O = ∩ni=1CYN (Wi) = ∩n

i=1 p1i (Wi),

donde, Wi ∈ τi, con esto, tenemos que

f−1(O) = ∩ni=1(pi ◦ f )1(Wi),

luego, por hipótesis, en particular, para i ∈ {1, . . . , n}, dado que pi ◦ f es una función continua,

se tiene

f−1(O) ∈ τX .

PROPOSICIÓN 3.4. Sean (xn)n∈N una sucesión de elementos de ∏i∈I

Xi y x = (xi)i∈I , (xn)n∈N

converge a x en

(

∏i∈I

Xi, ∏i∈I

τi

)

si y solo si, para todo l ∈ I,(

xnl

)

n∈Nconverge a xl en (Xl , τl).


Demostración. Para la primera implicación, supongamos que x = (xi)i∈I , (xn)n∈N converge a x

en

(

∏i∈I

Xi, ∏i∈I

τi

)

, ahora, puesto que para todo l ∈ I, pl es una función continua, tenemos que

lımn→+∞

pl(xn) = pl(x),

es decir, para todo l ∈ I, se sigue que

lımn→+∞

xnl = xl .

Ahora, para la otra implicación, supongamos que para todo i ∈ I,(

xni

)

n∈Nconverge a xi en

(Xi, τi), vamos a demostrar que (xn)n∈N converge a x en

(

∏i∈I

Xi, ∏i∈I

τi

)

. Para ello, sea Vx una

vecindad abierta de x en la topología producto, sin pérdida de generalidad, podemos suponer

que Vx es de la forma

Vx =m⋂

i=1

p−1l (Wl),

donde Wl ∈ τl , para todo l ∈ {1, . . . , m}, por hipótesis, sabemos existe nl ∈ N tal que

xnl ∈ Wl ,

para todo n ≥ nl y para todo l ∈ {1, . . . , m}, de donde, tomando n = max1≤l≤m

nl , tenemos que

pl(xn) ∈ Wl ,

para todo n ≥ n y para todo l ∈ {1, . . . , n}, luego, se sigue que

xn ∈m⋂

i=1

p−1l (Wl) = Vx,

para todo n ≥ n, es decir, hemos probado que

lımn→+∞

xn = x.


3.3 ESPACIOS MÉTRICOS

PROPOSICIÓN 3.5. Sea (Xn, τn)n∈N una familia numerables de espacios métricos, conside-

remos X = ∏n∈N

Xn y τ = ∏n∈N

τn, se tiene que (X, τ) es un espacio topológico metrizable.

3.4 Ejercicios 33

3.4 EJERCICIOS

1. Sea (Xn, dn)n∈N una familia numerable de espacios métricos, definimos X = ∏n∈N

Xn. De-

muestre que X no es metrizable en la topología de cajas.

2. Sean A un espacio topológico y f : A → ∏i∈I Xi tal que f (a) = ( fi(a))i∈I , donde, fi : A →

Xi. Supongamos que ∏i∈I

Xi está dotado de la topología producto, demuestre que f es con-

tinua si y solo si fi es continua para todo i ∈ I.

3. Sea {Xi}i∈I una familia de espacios topológicos, supongamos que Ai ⊂ Xi para todo i ∈ I.

Demuestre que

∏i∈I

Ai = ∏i∈I

Ai.

4. Sean (X, τX), (Y, τY), (Z, τZ), (Y × Z, τY×Z) espacios topológicos, donde, τY×Z es la topo-

logía producto, f1 : X → Y, f2 : X → Z y f : X → Y × Z funciones. Demuestre que f es

continua si y solo si f1, f2 lo son.

CAPÍTULO 4

TOPOLOGÍA COCIENTE


PROPOSICIÓN 4.1. Sean X un conjunto no vacío y C ⊂ P(X) una partición, entonces existe

una relación R definida sobre X tal que C = X/R.

DEFINICIÓN 4.1DEFINICIÓN 4.1Sean X, Y dos conjuntos no vacíos, f : X → Y una función y R una relación de equivalencia

en X. Decimos que la función f es compatible con la relación R si para todo x, y ∈ X tales

que xRy, entonces

f (x) = f (y).

DEFINICIÓN 4.2DEFINICIÓN 4.2Sea X un conjunto no vacío y R una relación sobre x, definimos la función

π : X −→ X/R

x 7−→ π(x) = [x],

la cual, se denomina la proyección canónica de X en X/R.

DEFINICIÓN 4.3DEFINICIÓN 4.3Sean X, Y dos conjuntos no vacíos, f : X → Y una función y R una relación de equivalencia

en X, si f es compatible con la relación R, podemos definir

f : X/R −→ Y

[x] 7−→ f (x),

tal que

f = f ◦ π.

OBSERVACIÓN. Consideremos el siguiente esquema de la función f :

35

36 Topología Cociente

f : X Y

X/R

π f

4.2 TOPOLOGÍA COCIENTE

DEFINICIÓN 4.4DEFINICIÓN 4.4Sean (X, τX) un espacio topológico y R una relación sobre X, definimos y denotamos sobre

el conjunto cociente X/R la topología cociente de la siguiente forma

τ/R = {U ⊆ X/R : π−1(U) ∈ τX}.

OBSERVACIÓN. Es fácil ver que τ/R verifica las propiedades que definen una topología, debido

a que la imagen inversa de una función es estable por uniones arbitrarias e intersecciones finitas.

PROPOSICIÓN 4.2. Sean (X, τX) un espacio topológico, (X/R, τ/R) el espacio topológico

cociente, se tiene que π : (X, τX) → (X/R, τ/R) es una función continua.

OBSERVACIÓN. τ/R es la topología mas fina definida sobre X que deja continua a la proyección

canónica π.

PROPOSICIÓN 4.3. Sean (X, τX), (Y, τY) espacios topológicos, R una relación sobre X y

f : (X, τX) → (Y, τY) una función compatible con la relación, f es continua si y solo si

f : (X/R) → Y, τY es continua.

Demostración. Para la primera implicación, supongamos que f es continua, vamos a demostrar

que f es continua, sea U ∈ τY, debemos probar que f−1

(U) ∈ τ/R, para ello, basta con demos-

trar que π−1(

f−1

(U))

∈ τX , el resultado se sigue dado que

f−1 = π−1 ◦ f−1

.

Ahora, para la otra implicación, supongamos que f es continua, así, se tiene que

f = f ◦ π,

4.3 Ejercicios 37

es continua, al ser la composición de funciones continuas.

4.3 EJERCICIOS

1. Sea X = R con la topología usual, definamos una relación de equivalencia R sobre R por

xRy si y solo si x − y ∈ Z. Demuestre que R/R es homeomorfo a Y = S1 con la topología

usual.

2. Sean (X, τX) un espacio topológico, π el mapa cociente entre X y su espacio cociente y R

una relación sobre X, si π es una aplicación abierta entonces X/R es T2 o de Hausdorff si

y solo si R es un subconjunto cerrado de X × X.

Hint:Para la segunda implicación use la caracterización de un espacio T2 por medio de su

diagonal.

3. Un espacio topológico (X, τX) es T1 o de Fréchet si para todo x, y ∈ X tales que x 6= y

existen vecindades de x e y, respectivamente, tales que x no pertenece a la vecindad de

y e y no pertenece a la vecindad de x. Muestre que X/R es T1 si y solo si toda clase de

equivalencia de R es cerrada en X.

4. Sea R con la topología usual, definamos la relación R sobre R como xRy si y solo si x− y ∈

Q para todo x, y ∈ R.

(a) Pruebe que R es una relación de equivalencia sobre R.

(b) Muestre que R/R con la topología cociente no es T2.

(c) Muestre que la topología cociente en este caso es la topología discreta.

5. Demuestre que el espacio cociente de un espacio cociente de X es un espacio cociente de

X .

Hint: Pruebe que el conjunto cociente de X es homeomorfo al conjunto cociente del con-

junto cociente de X.

38 Topología Cociente

CAPÍTULO 5

CONEXIDAD

5.1 DEFINICIONES BÁSICAS

DEFINICIÓN 5.1DEFINICIÓN 5.1Sea (X, τX) un espacio topológico. Decimos que X es conexo si y solo si ∅, X son los únicos

conjuntos que son abiertos y cerrados a la vez.

OBSERVACIÓN. • Esta definición es equivalente a decir que la única partición abierta (ce-

rrada) de X es {X,∅}. Recordemos que {Ai}i∈I es una partición abierta (cerrada) de X,

si

1. Para todo i ∈ I, Ai es un conjunto abierto (cerrado).

2. {Ai}i∈I es una partición de X.

• Si X no es conexo, entonces existe A 6= ∅ y A 6= X tal que {A, AC} es una partición abierta

(cerrada) de X.

EJEMPLO 5.1.

(Rn, ‖·‖) es un espacio conexo,

(Q, | · |) no es conexo,

(X, dDIS), donde,

dDIS =

1 si x 6= y,

0 si x = y.

no es conexo.

PROPOSICIÓN 5.1. Sean (X, τX) un espacio topológico y A ⊂ X, si A es conexo, entonces

para todo O1, O2 ∈ τX disjuntos tales que A ⊂ O1 ∪ O2, se tiene que

A ⊂ O1 o A ⊂ O2.

39

40 Conexidad

Demostración. Supongamos que A es conexo, sean 01, O2 ∈ τX disjuntos, tales que

A ⊂ O1 o A ⊂ O2,

vamos a demostrar que A ⊂ O1 o A ⊂ O2.

Consideremos

O1 = O1 ∩ A y O2 = O2 ∩ A,

se tiene que O1, O2 ∈ τA son tales que

O1 ∩ O2 = ∅ y O1 ∪ O2,

es decir, {O1, O2} es una partición abierta de A, así, dado que A es conexo, tenemos los siguientes

casos:

• Si O1 = A o O2 = ∅, entonces A ⊂ O1,

• Por otro lado, si O2 = A o O1 = ∅, entonces A ⊂ O2.

PROPOSICIÓN 5.2. Sea (X, τX) un espacio topológico, los siguientes enunciados son equi-

valentes:

1. Si X = A ∪ B, con A, B ∈ τX no vacíos, entonces A ∩ B 6= ∅,

2. Si X = A ∪ B, con A, B ∈ FX no vacíos, entonces A ∩ B 6= ∅,

3. Si X = A ∪ B, con A, B ∈ τX tales que A ∩ B = ∅, entonces,

A = ∅ o B = ∅,

4. Si X = A ∪ B, con A, B ∈ FX tales que A ∩ B = ∅, entonces,

A = ∅ o B = ∅.

PROPOSICIÓN 5.3. Sea (R, τ) con la topología usual, A ⊂ R es un conjunto conexo si y solo

si A es un intervalo abierto.

Demostración. Para la primera implicación, consideremos A un conjunto conexo, vamos a de-

5.1 Definiciones básicas 41

mostrar que A es un intervalo, sean a, b ∈ A, sin pérdida de generalidad, supongamos que

a < b,

de donde, podemos tomar z ∈ ]a, b[, así, consideremos los siguientes casos

• Si z ∈ A, entonces se sigue el resultado, es decir, A es un intervalo,

• Si z /∈ A, entonces podemos definir los siguientes conjuntos abiertos

A− = {x ∈ A : x < z} y A+ = {x ∈ A : x > z},

de donde, tenemos que

A− ∩ A+ = ∅ y A− ∪ A+ = A,

es decir, {A−, A+} es una partición abierta de A, lo cual, contradice el hecho de que A es

conexo.

Ahora, para la otra implicación, supongamos que I es un intervalo, vamos a demostrar que

I es conexo, para ello, por la Proposición 5.2, sean A, B ∈ τ disjuntos tales que

I = A ∪ B,

vamos a demostrar que A ∩ B 6= ∅. Sean a ∈ A y b ∈ B tales que

a < b,

de donde, si µ = sup x ∈ A : x < b, entonces µ ∈ A, ahora, si µ ∈ A, dado que A es un conjunto

abierto, sabemos existe ε > 0 tal que

]u − ε, u + ε[ ⊂ A,

lo cual, contradice el hecho de que u = sup x ∈ A : x < b, por lo tanto, tenemos que u ∈ B, de

donde, puesto que B es un conjunto abierto, existe δ > 0 tal que

]µ − ε, µ + ε[ ⊂ B,

así, puesto que µ ∈ A, se sigue que

∅ 6= ]µ − ε, µ + ε[ ∩ A ⊂ B ∩ A,

42 Conexidad

con esto, hemos probado que I es conexo.

EJEMPLO 5.2.

[0, 1]r 12 no es conexo, dado que

[0, 1]r12=

[

0,12

[

⋃

]

12

, 1]

,

Q no es conexo, en efecto, se tiene que

Q = {x ∈ Q : x2< 2}

⋃

{x ∈ Q : x2> 2}.

PROPOSICIÓN 5.4. Sean (X, τX), (Y, τY) dos espacios topológicos y f : (X, τX) → (Y, τY)

una función continua. Si X es conexo, entonces f (X) es conexo.

Demostración. Supongamos que X es un conjunto conexo, sean A, B ∈ τY no vacíos, tales

f (X) = A ∪ B,

vamos a demostrar que A ∩ B 6= ∅, puesto que f es continua, tenemos que

f−1(A), f−1(B) ∈ τX,

además, se tiene que

X = f−1(A) ∪ f−1(B),

de donde, por hipótesis, obtenemos que

f−1(A) ∩ f−1(B) 6= ∅,

por otro lado, notemos que

f(

f−1(A) ∩ f−1(B))

⊂ A ∩ B,


A ∩ B 6= ∅,

es decir, hemos probado que f (X) es conexo.

OBSERVACIÓN. Si consideramos (X, τX) un espacio topológico, dado que

π : (X, τX) → (X/R, τ/R) es continua, tenemos que (X/R, τ/R) es conexo.

5.1 Definiciones básicas 43

COROLARIO 5.5. Sea (X, τX) un espacio topológico conexo y f : (X, τX) → (R, | · |), si f

toma valores entre y1, y2 ∈ R, entonces f toma todos los valores intermedios entre y1 y y2,

es decir, para todo y ∈ [y1, y2] existe x ∈ X tal que

f (x) = y.

PROPOSICIÓN 5.6. Sean (X, τX) un espacio topológico y {Ai}i∈I una familia de conjuntos

conexos de X tales que para todo i, j ∈ I, Ai ∩ Aj 6= ∅, entonces⋃

i∈I Ai es conexo.

OBSERVACIÓN. • En la proposición anterior, si suponemos que existe i0 ∈ I tal que para

todo j ∈ I, Ai0 ∩ Aj 6= ∅, entonces⋃

i∈I Ai es un conjunto convexo.

• En particular, la unión de conjuntos convexos que contienen a un punto x ∈ X es un

conjunto convexo.

DEFINICIÓN 5.2DEFINICIÓN 5.2Sean (X, τX) un espacio topológico y x ∈ X. Definimos la componente conexa de X como el

conjunto conexo más grande que contiene al punto x, denotaremos este conjunto por

C(x) =⋃

C conex.

x ∈ C

C.

OBSERVACIÓN. Por la proposición 5.6 tenemos que C(x) es un conjunto conexo.

TEOREMA 5.7TEOREMA 5.7

Sean (X, τX) un espacio topológico, A ⊂ X un conjunto conexo y B ⊂ A tal que A ⊂ B ⊂ A,

se tiene que B es un conjunto conexo.

Demostración. Sea x ∈ A tal que x /∈ A, vamos a demostrar que A ∪ {x} es un conjunto conexo,

en efecto, sea F ⊂ A ∪ {x} un conjunto abierto y cerrado en (A ∪ {x}, τA∪{}), debemos probar

que

F = ∅ o F = A ∪ {x}.

Puesto que F es abierto y cerrado, tenemos que

F ∩ A,

44 Conexidad

es abierto y cerrado en (A, τA), de donde, puesto que A es un conjunto conexo, obtenemos que

F ∩ A = A o F ∩ A = ∅.

• Si F ∩ A = A, dado que x ∈ A, tenemos que

Vx ∩ A 6= ∅,

para toda Vx ∈ τX vecindad de x, de donde, se sigue que

(Vx ∩ A) ∩ F 6= ∅,

con esto, se tiene que x ∈ F = F, por lo tanto, hemos probado que

A ∪ {x} = F.

• Ahora, si F ∩ A = ∅, probemos que F = ∅, por reducción al absurdo, supongamos que

F 6= ∅, así, puesto que F es un conjunto abierto, tenemos que

F ∩ A 6= ∅,

lo cual, contradice la hipótesis, por lo tanto, podemos concluir que

F = ∅.

Con esto, hemos demostrado que A∪{x} es conexo para todo x ∈ A tal que x /∈ A. En particular,

tenemos que

B =⋃

x ∈ B

x /∈ A

(A ∪ {x}),

es un conjunto conexo.

OBSERVACIÓN. El Teorema 5.7, muestra si A es un conjunto conexo, entonces A es un conjunto

conexo.

PROPOSICIÓN 5.8. Sea (X, τX) un espacio topológico y x ∈ X, se tiene que

1. {C(x)}x∈X es una partición de X,

2. Para todo x ∈ X, C(x) es un conjunto cerrado.

5.2 Producto de espacios topológicos conexos 45

Demostración. Sea x ∈ X, vamos a demostrar que C(x) es un conjunto cerrado, para lo cual, basta

con demostrar que

C(x) ⊆ C(x),

en efecto, tenemos que

x ∈ C(x),

el cual, es un conjunto conexo, así, por definición de componente conexa, se tiene que

C(x) ⊆ C(x),

por lo tanto, hemos probado que

C(x) = C(x),

es decir,

C(x),

es un conjunto cerrado para todo x ∈ X.

OBSERVACIÓN. Si A ⊆ X es un conjunto conexo, en general, el interior de A, no es un conjunto

conexo.

EJEMPLO 5.3.

Si el conjunto X está dotado de la topología discreta, entonces las componentes conexas son los

puntos,

Si consideramos el espacio topológico (Q, τR), entonces las componentes conexas son los puntos.

En efecto, los únicos intervalos totalmente incluidos en Q son los puntos de Q.

A pesar de esto, (Q, τR) no es un espacio topológico discreto, dado que {x}x∈Q no es una

familia de conjuntos abiertos.

5.2 PRODUCTO DE ESPACIOS TOPOLÓGICOS CONEXOS

TEOREMA 5.9TEOREMA 5.9

Sea (Xi, τi)i∈I una familia de espacios topológicos no vacíos, tenemos que

(

∏i∈I

Xi, ∏i∈I

τi

)

es

conexo si y solo si para todo i ∈ I, (Xi, τi) es conexo.

46 Conexidad

Demostración. Supongamos que

(

∏i∈I

Xi, ∏i∈I

τi

)

es conexo, sea i ∈ I, sabemos que

pi :

(

∏i∈I

Xi, ∏i∈I

τi

)

→ (Xi, τi),

es una función continua, por lo tanto, se sigue que

(Xi, τi),

es un conjunto conexo para todo i ∈ I, dado que es la imagen de un conjunto conexo a partir de

una función continua.

Ahora, para la otra implicación, supongamos que para todo i ∈ I, (Xi, τi) es un conjunto

conexo, vamos a demostrar que

(

∏i∈I

Xi, ∏i∈I

τi

)

es conexo, para ello, consideremos los siguientes

casos

• Supongamos que I es un conjunto de índices finito, así, es suficiente considerar I = {1, 2}

y el resultado se sigue por inducción.

Sean (X1, τ1) y (X2, τ2) espacios topológicos compactos vamos a demostrar que

(X1 × X2, τ1 × τ2) es conexo, sean A, B ∈ τ1 × τ2 no vacíos, tales que

X1 × X2 = A ∪ B,

debemos probar que A ∩ B 6= ∅. Por definición de topología producto, obtenemos que

A = U1 × V1 y B = U2 × V2,

donde, U1, U2 ∈ τ1 y V1, V2 ∈ τ2, con esto, tenemos que

X1 × X2 = (U1 × V1) ∪ (U2 × V2) = (U1 ∪ U2)× (V1 ∪ V2),

luego, se sigue que

X1 = U1 ∪ U2 y X2 = V1 ∪ V2,

de donde, puesto que X1, X2 son compactos, se tiene que

U1 ∪ U2 6= ∅ y V1 ∪ V2 6= ∅,

5.2 Producto de espacios topológicos conexos 47

con esto, obtenemos que

A ∩ B = (U1 × V1) ∩ (U2 × V2) = (U1 ∩ U2)× (V1 ∩ V2) 6= ∅.

• Para el caso general, vamos a demostrar que

(

∏i∈I

Xi, ∏i∈I

τi

)

posee solamente una compo-

nente conexa, para ello, sea X ∈ ∏i∈I

Xi, consideremos J ⊂ I finito y definamos el conjunto

XJ(x) = {y ∈ ∏i∈I

Xi : ∀i ∈ I r J yi = xi} ⊂ ∏i∈I

Xi,

tenemos que XJ(x) es homeomorfo al producto finito ∏j∈J Xj, en efecto, el homeomorfis-

mo viene dado por

f : ∏j∈J Xj −→ XJ(x)

x = (xj)j∈J 7−→ y = (yi)i∈I ,

donde,

yi = xi,

para i ∈ I r J. Con esto, tenemos que XJ(x) es un conjunto conexo que contiene al punto

x, así, tomemos

X f (x) =⋃

J⊂I

XJ(X),

el cual, es un conjunto conexo, al ser la unión de conjuntos conexos que contienen al punto

x.

Finalmente, vamos a demostrar que

X f (x) = ∏i∈I

Xi.

Sean y ∈ ∏i∈I

Xi y Vy una vecindad de y en la topología producto, debemos probar que

Vy ∩ X f (x) 6= ∅, por definición de vecindad, sabemos existe Wy ∈ ∏i∈I

τi tal que

y ∈ Wy ⊂ Vy,

de donde, por la caracterización de conjuntos abiertos en la topología producto, tenemos

que

Wy = CYN (Wj, j ∈ J),

48 Conexidad

para algún J ⊂ I finito, luego, considerado z ∈ ∏i∈I

Xi tal que

zi = yi si i ∈ J,

zi = xi si i ∈ I r J.

tenemos que

z ∈ Wy ∩ X f (x) ⊂ Vy ∩ X f (x),


Vy ∩ X f (x) 6= ∅,


X f (x) = ∏i∈I

Xi.

5.3 CONEXIDAD POR ARCOS

La siguiente definición permite abordar un caso particular de espacios topológicos conexos

que generalizan la idea de çonectar puntos".

DEFINICIÓN 5.3DEFINICIÓN 5.3Sean (X, τX) un espacio topológico y a, b ∈ X, llamaremos camino o arco que une al punto

a con el punto b a una función continua

γ : [0, 1] −→ X

t 7−→ γ(t),

tal que

γ(0) = a y γ(1) = b.

OBSERVACIÓN. La definición 5.3 permite definir una relación de equivalencia sobre X, es decir,

sean a, b ∈ X, decimos que a está relacionado con b si existe un camino que los une.

DEFINICIÓN 5.4DEFINICIÓN 5.4Sean (X, τX) un espacio topológico y A ⊂ X, decimos que A es un conjunto conexo por

arcos si para todo a, b ∈ A existe un camino que une al punto a con el punto b.

DEFINICIÓN 5.5DEFINICIÓN 5.5Sean E un espacio vectorial normado y C ⊂ E, decimos que C es un conjunto convexo si

5.3 Conexidad por arcos 49

para todo x, y ∈ C y para todo λ ∈ [0, 1] se tiene que

λx + (1 − λ)y ∈ C.

PROPOSICIÓN 5.10. Todo conjunto convexo es conexo por arcos.

Demostración. Sean X un conjunto convexo y x, y ∈ X, consideremos la función

γ : [0, 1] −→ C

t 7−→ tx + (1 − t)y,

tal que

γ(0) = y y γ(1) = x,

es fácil ver que γ es una función continua, por lo tanto, hemos probado que X es conexo por

arcos.

PROPOSICIÓN 5.11. Sea (X, τX) un espacios topológico, si X es conexo por arcos, entonces

X es conexo.

OBSERVACIÓN. El recíproco de la proposición anterior es falso, es decir, si C ⊂ X es conexo, no

implica que C sea conexo por arcos.

PROPOSICIÓN 5.12. Sea {Ci}i∈I una familia de conjuntos conexos por arcos tales que⋂

i∈I Ci 6= ∅, se tiene que⋃

i∈I Ci es conexo por arcos.

PROPOSICIÓN 5.13. Sean (X, τX), (Y, τY) espacios topológicos y φ : (X, τX) → (Y, τY) una

función continua, si A ⊂ X es conexo por arcos, entonces φ(A) es conexo por arcos.

Demostración. Sean y1, y2 ∈ f (A), vamos a demostrar que existe γ : [0, 1] → f (A) continua, tal

que

γ(0) = y1 y γ(1) = y2,

tenemos que existe x1, x2 ∈ A tales que

f (x1) = y1 y f (x2) = y2,

por otro lado, puesto que A es conexo, sabemos existe γ : [0, 1] → A tal que

γ(0) = x1 y γ(1) = x2,

50 Conexidad

así, basta tomar γ = φ ◦ γ, con esto, hemos probado que f (A) es conexo por arcos.

PROPOSICIÓN 5.14. Sea {Xi}i∈I una familia de espacios topológicos, ∏i∈I

Xi es un espacio

topológico conexo por arcos si y solo si para todo i ∈ I, Xi es un espacio topológico conexo

por arcos.

5.4 ESPACIOS LOCALMENTE CONEXOS

DEFINICIÓN 5.6DEFINICIÓN 5.6Sea (X, τX) un espacio topológico. Decimos que X es un espacio localmente conexo si para

todo x ∈ X y para toda Vx ∈ τX vecindad de x, existe Vx ⊂ Vx tal que

1. Vx es vecindad de x,

2. Vx es un conjunto conexo.

PROPOSICIÓN 5.15. En un espacio topológico localmente conexo, se tiene que las compo-

nentes conexas son conjuntos abiertos.

5.5 Ejercicios 51

5.5 EJERCICIOS

1. Sean (X, τX) un espacio topológico conexo, (Y, τY) un espacio topológico y f : (X, τX) →

(Y, τY) una función continua, entonces el grafo de f es un conjunto conexo en la topología

producto. Demuestre, además, que el recíproco no se cumple.

2. Probar que (X, τX) es un espacio topológico conexo si y sólo si para cualesquier x, y ∈ X

existe un subconjunto conexo A ⊂ X tal que x, y ∈ A.

3. Un espacio es totalmente disconexo si los únicos subespacios conexos son los puntos. Prue-

be que si X está dotado de la topología discreta, entonces X es totalmente disconexo. ¿La

recíproca es verdad?

4. Sea X un conjunto no vacío, demuestre que para la topología indiscreta X es conexo por

caminos.

5. Sea (X, τX) un espacio topológico conexo y A ⊂ X. Muestre que cualquier camino que une

el interior de A con el exterior de A se encuentra en la frontera de A.

6. Sea X un conjunto no vacío, muestre o refute cada una de las siguientes afirmaciones

• Si A es conexo, entonces A es conexo,

• Si A es conexo por arcos, entonces A es conexo,

• Si A es conexo por arcos, entonces A es conexo.

52 Conexidad

CAPÍTULO 6

COMPACIDAD

6.1 DEFINICIONES

DEFINICIÓN 6.1DEFINICIÓN 6.1Sean (X, τX) un espacio topológico y {Ui}i∈I una familia de conjuntos abiertos. Decimos

que {Ui}i∈I es un recubrimiento abierto de X, si

X =⋃

i∈I

Ui.

DEFINICIÓN 6.2DEFINICIÓN 6.2Sea (X, τX) un espacio topológico, decimos que X es un espacio topológico compacto, si

1. (X, τX) es separado o de Hausdorff,

2. Todo recubrimiento abierto de X admite un subrecubrimiento finito, es decir, para

todo {Ui}i∈I recubrimiento abierto de X, existe J ⊂ I finito tal que

X =⋃

j∈J

Uj.

OBSERVACIÓN. En términos de conjuntos cerrados, sea {Fi}i∈I una familia de conjuntos cerra-

dos tal que⋂

i∈I Fi = ∅, existe J ⊂ I finito tal que⋂

j∈J Fj = ∅.

EJEMPLO 6.1.

Sea E un espacio vectorial normado de dimensión finita, A ⊂ E es compacto si y solo si es

cerrado y acotado.

DEFINICIÓN 6.3DEFINICIÓN 6.3Sean (X, τX) un espacio topológico separado y A ⊂ X, decimos que A es compacto, si para

53

54 Compacidad

toda {Ui}i∈I familia de conjuntos abiertos tales que A ⊂ ∪i′inIUi, existe J ⊂ I finito tal que

A ⊂⋃

j∈J

Uj.

OBSERVACIÓN. La definición 6.3 es equivalente a decir que (A, τA) es un espacio topológico

compacto, donde, τA es la topología inducida en A por τX .

TEOREMA 6.1TEOREMA 6.1Sean (X, τX) un espacio topológico separado y A ⊂ X, se tiene que

1. Si A es compacto, entonces A es un conjunto cerrado,

2. Si (X, τX) es compacto y A es un conjunto cerrado, entonces A es compacto.

Demostración. 1. Supongamos que A es un conjunto compacto, sea y ∈ AC, para todo x ∈ A,

existen Vxy vecindad abierta de y y U

yx vecindad abierta de x tal que

Vxy ∩ U

yx = ∅,

así, podemos construir un recubrimiento abierto de A, que verifique la propiedad prece-

dente, es decir,

A ⊂⋂

x∈A

Uyx ,

luego, por hipótesis, existe un subrecubrimiento finito de {Uyx}x∈A, es decir, existen

{x1, . . . , xn} ∈ A tales que

A ⊂n⋃

i=1

Uyxi

,

ahora, tomemos Vy = ∩ni=1V

xiy ∈ τX vecindad abierta de y, de donde, se sigue que

A ∩ Vy = ∅,

es decir,

Vy ⊂ AC,

con esto, hemos probado que AC es un conjunto abierto en X, por lo tanto, podemos con-

cluir que A es un conjunto cerrado.

2. Supongamos que (X, τX) es compacto y A es un conjunto cerrado, vamos a demostrar que

6.1 Definiciones 55

A es un conjunto compacto, para ello, sea {Ui}i∈I un recubrimiento abierto de A, es decir,

A ⊂⋃

i∈I

Ui,

de donde, puesto que A es cerrado, tenemos que AC es cerrado, así,

X = (⋃

i∈I

Ui) ∪ AC,

es decir, {Ui ∪ A}i∈I es un recubrimiento abierto de X, por hipótesis, existe J ⊂ I finito tal

que

A ⊂ X = (⋃

j∈J

Uj) ∪ AC =⋃

j∈J

Uj.

Consideremos los siguientes casos:

• Si existe k ∈ J tal que Uk = AC, entonces se tiene

A ⊂⋃

j ∈ J

j 6= k

Uj

• Si U| 6= AC para todo j ∈ J, el resultado se cumple.

COROLARIO 6.2. Sea (X, τX) un espacio topológico compacto, se tiene que

1. Para todo x ∈ X y para todo F ⊂ X r {x} cerrado, existe VX , VF ∈ τX tales que

x ∈ VX, F ⊂ VF y VX ∩ VF = ∅,

2. Para F1, F2 conjuntos cerrados, existen UF1 , UF2 conjuntos abiertos tales que si

F1 ⊂ U1 y F2 ⊂ U2,

entonces

U1 ∩ U2∅.

OBSERVACIÓN. Con respecto a 2., tenemos que sobre un conjunto compacto dos conjuntos ce-

rrados pueden separarse a partir de conjuntos abiertos.

56 Compacidad

PROPOSICIÓN 6.3. Sean (X, τX), (Y, τY) dos espacios topológicos separados y f : (X, τX) →

(Y, τY) una función continua, si A ⊂ X es un conjunto compacto, entonces f (A) es un

conjunto compacto en (Y, τY).

Demostración. Supongamos que A ⊂ X es un conjunto compacto, vamos a demostrar que f (A)

es compacto, para ello, sea {Ui}i∈I un recubrimiento abierto de A, debemos probar que admite

un subrecubrimiento finito, tenemos que

f (A) ⊂⋃

i∈I

Ui,

de donde,

A ⊂ f−1( f (A)) ⊂⋃

i∈I

f−1(Ui),

luego, puesto que f es una función continua, tenemos que

{ f−1(Ui)}i∈I ,

es un recubrimiento abierto de A, así, de la compacidad de A, sabemos existe J ⊂ I finito tal que

A ⊂⋃

i∈J

f−1(Ui),


f (A) ⊂⋃

i∈J

f(

f−1(Ui))

⊂⋃

i∈J

(Ui),

con esto, hemos probado que f (A) es un conjunto compacto.

OBSERVACIÓN. 1. La imagen inversa de un conjunto compacto a partir de una función con-

tinua no necesariamente es un conjunto compacto.

2. Si (X, τX) es un espacio topológico compacto y sobre X definimos la relación de equiva-

lencia R, entonces (X/R, τ/R) es un espacio topológico compacto, en efecto, el resultado

se sigue dado que

π : (X, τX) −→ (X/R, τ/R)

x 7−→ [x],

es una función continua.

6.1 Definiciones 57

PROPOSICIÓN 6.4. Sean (X, τX) un espacio topológico compacto, (Y, τY) un espacio topo-

lógico separado y f : (X, τX) → Y, τY una función continua, se tiene que f es una aplicación

cerrada.

PROPOSICIÓN 6.5. Sean (X, τX) un espacio topológico separado y {Ai}i∈I una familia de

conjuntos compactos, se tiene que

1. ∩i∈I Ai es un conjunto compacto,

2. Si I es un conjunto finito, entonces⋃

i∈I Ai es un conjunto compacto.

Demostración. 1. Para cada j ∈ I, tenemos que

⋂

i∈I

Ai ⊂ Aj,

de donde, puesto que⋂

i∈I Ai es un conjunto cerrado, al ser la intersección arbitraria de

conjuntos cerrados y Aj es compacto, se sigue que

⋂

i∈I

Ai,

es un conjunto compacto.

2. Vamos a demostrar quen⋃

i=1

Ai es un conjunto compacto, para ello, sea {Ui}i∈I un recubri-

miento abierto den⋃

i=1

Ai, debeos probar que admite un subrecubrimiento finito, tenemos

que

Ak ⊂n⋃

i=1

Ai ⊂⋃

i∈I

Ui,

para cada k ∈ {1, . . . , n}, de donde, puesto que Ak es compacto, sabemos existe Ik ⊂ I

finito tal que

Ak ⊂⋃

i∈Ik

Ui,

luego, se tiene quen⋃

k=1

Ak ⊂n⋃

k=1

⋃

i∈Ik

Ui

,

así, obtenemos quen⋃

k=1

Ak ⊂⋃

i∈J

Ui,

58 Compacidad

donde,

J =n⋃

k=1

Jk,

es un subconjunto finito de I.

Por lo tanto, hemos probado quen⋃

i=1

Ai es un conjunto compacto.

OBSERVACIÓN. Si I es arbitrario, en general,⋃

i∈I Ai no es compacto, en efecto, para cada n ∈ N,

consideremos

An = [−n, n] ,

se tiene que⋃

n∈N

An = R,

el cual, no es un conjunto compacto.

DEFINICIÓN 6.4DEFINICIÓN 6.4Sean (X, τX) un espacio topológico separado y A ⊂ X, decimos que A es relativamente

compacto si A es un conjunto compacto.

EJEMPLO 6.2.

Sea (E, ‖·‖E) un espacio vectorial normado de dimensión finita, A ⊂ E es compacto si y solo si

es cerrado y acotado. (Teorema de Heine-Borel).

Sean (X, d) un espacio métrico, si A ⊂ X es relativamente compacto, entonces A es acotado.

DEFINICIÓN 6.5DEFINICIÓN 6.5Sean (X, τX) un espacio topológico separado y (xn)n∈N una sucesión de elementos de X,

x ∈ X es un valor adherente de la sucesión sup xn si

x ∈⋂

N∈N

FN ,

donde, FN = {xn : n ≥ N}.

PROPOSICIÓN 6.6. Sean (X, τX) un espacio topológico separado y (xn)n∈N una sucesión de

elementos X, x ∈ X es un valor adherente de (xn)n∈N si y solo si para toda Vx vecindad de

x, el conjunto {n : xn ∈ Vx} es un conjunto infinito.

Demostración. Para la primera implicación, supongamos que x ∈ X es un valor adherente de

6.1 Definiciones 59

(xn)n∈N, vamos a demostrar que para toda Vx vecindad de x, el conjunto {n : xn ∈ Vx} es un

conjunto infinito, por reducción al absurdo, supongamos que existe Vx vecindad del punto x tal

que

{n : xN ∈ Vx},

es un conjunto finito, es decir,

{n1, . . . , nk : xn ∈ Vx},

de donde, tomando n = max1≤i≤k xi, se sigue que

xnj/∈ FN ,

para todo N ≥ n y para todo j ∈ {1, . . . , k}, es decir, tenemos que

Vx ∩ FN = ∅,

para todo N ≥ n, lo cual, contradice el hecho de que x ∈ X es un valor adherente de (xn)n∈N.

Para la otra implicación, supongamos que para toda Vx vecindad de x, el conjunto {n : xn ∈

Vx} es un conjunto infinito, vamos a demostrar que x es un valor adherente de (xn)n∈N, nueva-

mente, por reducción al absurdo, supongamos que

x /∈⋂

N∈N

,

así, existe N ∈ N tal que

x ∈ FN ,

es decir, existe Vx vecindad de x tal que

Vx ∩ FN = ∅,


xn /∈ Vx,

para todo n ≥ N, lo cual, contradice el hecho de que para toda Vx vecindad de x, el conjunto

{n : xn ∈ Vx} es un conjunto infinito.

DEFINICIÓN 6.6DEFINICIÓN 6.6Sea (X, τX) un espacio topológico separado. Decimos que X verifica la propiedad de Bolzano-

Weierstrass, si toda sucesión de elementos X admite un valor adherente.

60 Compacidad

DEFINICIÓN 6.7DEFINICIÓN 6.7Sea (X, τX) un espacio topológico separado. Decimos que X es secuencialmente compacto,

si toda sucesión de elementos X admite una subsucesión convergente.

PROPOSICIÓN 6.7. Sea (X, τX) un espacio topológico separado, se tiene que

1. Si (X, τX) es compacto, entonces (X, τX) verifica la propiedad de Bolzano-Weierstrass,

2. Si (X, τX) es secuencialmente compacto, entonces (X, τX) verifica la propiedad de

Bolzano-Weierstrass.

Demostración. 1. Supongamos que (X, τX) es un espacio topológico compacto, vamos a de-

mostrar que (X, τX) verifica la propiedad de Bolzano-Weierstrass, por reducción al absur-

do, supongamos que no verifica la propiedad de Bolzano-Weierstrass, así, existe (xn)n∈N

una sucesión de elementos de X que no admite un valor adherente, es decir,

⋂

N∈N

FN = ∅,

donde FN = {xn : n ≥ N}, es un conjunto cerrado para todo n ∈ N, de donde, puesto que

X es compacto, sabemos existe J ⊂ N finito tal que

⋂

N∈J

FN = ∅,

así, tomando k = maxN∈J FN , se sigue que

Fk = ∅,

lo cual, es absurdo.

Con esto, hemos probado que que (X, τX) verifica la propiedad de Bolzano-Weierstrass.

2. Supongamos que (X, τX) es secuencialmente compacto, vamos a demostrar que (X, τX)

verifica la propiedad de Bolzano-Weierstrass, sea (xn)n∈N una sucesión de elementos de

X, vamos a demostrar que (xn)n∈N admite un valor adherente, por hipótesis, (xn)n∈N

posee una subsucesión convergente, la cual, la denotaremos por(

xnk

)

k∈N, es decir, existe

X ∈ X tal que

lımk→∞

xnk= x,

ahora, probemos que x es un valor adherente de (xn)n∈N, para ello, sea Vx ∈ τX una

6.2 Compacidad en espacios métricos 61

vecindad de x, sabemos existe N ∈ N tal que

xnk∈ Vx,

para todo nk ≥ N, con esto hemos probado que (X, τX) verifica la propiedad de Bolzano-

Weierstrass.

PROPOSICIÓN 6.8. Sea X un conjunto no vacío, sobre el cual definimos dos topologías τ1 y

τ2 tales que

τ1 ⊂ τ2,

si (X, τ1) es un espacio topológico separado y (X, τ2) es un espacio topológico compacto,

entonces

τ1 ≡ τ2.

Demostración. Basta con demostrar que τ2 ⊂ τ1, para ello, sea K ⊂ X un conjunto cerrado en τ2,

vamos a demostrar que K es cerrado en τ1, puesto que (X, τ2) es compacto, se tiene que K es un

compacto, además, dado que τ1 ⊂ τ2, obtenemos que

K ⊂ X,

es compacto en (X, τ1), así, debido a que (X, τ1) es separado, se sigue que K ⊂ es un conjunto

cerrado en τ1.

Por lo tanto, hemos probado que

τ1 ≡ τ2.

6.2 COMPACIDAD EN ESPACIOS MÉTRICOS

PROPOSICIÓN 6.9. Sean (X, d) un espacio métrico y (xn)n∈N una sucesión de elementos de

X, los siguientes enunciados son equivalentes

1. (xn)n∈N admite un valor adherente,

2. (xn)n∈N admite una subsucesión convergente.


62 Compacidad

Supongamos que (xn)n∈N admite un valor adherente, vamos a demostrar (xn)n∈N admite

una subsucesión convergente, tenemos que para toda Vx ∈ τd vecindad de x, el conjunto

{n ∈ N : xn ∈ Vx},

es infinito, puesto que (X, d) es una espacio métrico, para cada n ∈ N, podemos considerar

las vecindades de x, de la siguiente forma

Vnx = B

(

x,1n

)

,

luego, se tiene que

An = {n ∈ N : xn ∈ B

(

x,1n

)

},

es infinito, de donde, podemos tomar n1 ∈ A1, es decir,

x1 ∈ B(x, 1),

de igual forma, podemos tomar n2 ∈ A2, así,

x2 ∈ B

(

x,12

)

,

iterativamente, tenemos que

xnm ∈ B

(

x,1m

)

,

para todo m ∈ N, con esto, hemos encontrado una sucesión (xnm)m∈N tal que

lımm→∞

xnm = x.

• 2. ⇒ 1.

El resultado se sigue de la proposición 6.6.

TEOREMA 6.10TEOREMA 6.10Sean (X, τX) un espacio topológico compacto y (φn)n∈N una familia de funcionales con-

tinuos (φn : (X, τX) → K) que separen puntos en (X, τX), entonces (X, τX) es un espacio

topológico metrizable.

OBSERVACIÓN. Recordemos que (φ)n∈N una familia de funcionales separa puntos en X, si para

6.2 Compacidad en espacios métricos 63

cualesquier x, y ∈ X tales que x 6= y, existe k ∈ N tal que

φk(x) 6= φk(y).

DEFINICIÓN 6.8DEFINICIÓN 6.8Sea (X, d) un espacio métrico. Decimos que X es pre-compacto, si para todo δ > 0, existen

n ∈ N y {x1, . . . , xn} ∈ X tales que

X =n⋃

i=1

B(xi, δ).

TEOREMA 6.11TEOREMA 6.11Sea (X, d) un espacio métrico, los siguientes enunciados son equivalentes

1. X es compacto,

2. X es secuencialmente compacto,

3. X es pre-compacto y completo.


Supongamos que X es compacto, vamos a demostrar que X es secuencialmente compacto,

por hipótesis, sabemos que X admite la propiedad de Bolzano-Weierstrass, de donde, por

la proposición 6.9, obtenemos que X es secuencialmente compacto.

• 2. ⇒ 3.

Supongamos que X es secuencialmente compacto, vamos a demostrar que X es pre-compacto

y completo.

– Vamos a demostrar que X es completo, sea (xn)n∈N una sucesión de elementos de X

de Cauchy, vamos a demostrar que (xn)n∈N es convergente, en efecto, por hipótesis,

existe(

xnk

)

k∈Nuna subsucesión convergente, de donde, dado que (xn)n∈N es de

Cauchy, se sigue que (xn)n∈N es convergente.

– Ahora, vamos a demostrar que X es pre-compacto, por reducción al absurdo, supon-

gamos que X no es pre-compacto, es decir, existe δ > 0 tal que para todo n ∈ N y

para todo {x1, . . . , xn}, se tiene que

X 6=n⋃

i=1

B(xi, δ) ⊃ B(x1, δ),

64 Compacidad

de donde,

X r B(x1, δ) 6= ∅,

así, podemos tomar x2 ∈ X r B(x1, δ), es decir,

d(x1, x2) ≥ δ,

con esto, podemos construir (xn)n∈N una sucesión de elementos de X, tal que

xn ∈

(

n⋃

i=1

B(xi, δ)

)C

,

así, para n, m ∈ N tales que n 6= m, se sigue que

d(xn, xm) ≥ δ,

es decir, hemos probado que (xn)n∈N no admite una subsucesión convergente, lo

cual, contradice el hecho de que X es secuencialmente compacto.

3. ⇒ 2.

Supongamos que X es pre-compacto y completo, vamos a demostrar que X es secuen-

cialmente compacto, sea (xn)n∈N una sucesión de elementos de X, debemos probar que

(xn)n∈N admite una sucesión convergente.

Por hipótesis, existe un número finito de bolas abiertas de radio r = 1 tal que el conjunto

N1 = {n ∈ N : xN ∈ B1} es infinito, de igual forma, existe B2 una bola abierta de radio

r = 2, tal que el conjunto

N2 = {n ∈ N1 : xN ∈ B2},

iterativamente, podemos construir por recurrencia

Nk ⊂ Nk−1 ⊂ · · · ⊂ N2 ⊂ N1 ⊂ N,

notemos que

Nk+1 = {n ∈ Nk : xn ∈ Bk+1},

donde,

Bk+1,

es la bola abierta de radio 1k+1 . Para todo k ∈ N, dado que Nk es infinito, podemos tomar

6.3 Teorema de Arzelá-Ascoli 65

nk ∈ Nk tal que

n1 < . . . znk,

consideremos(

xnk

)

k∈Nuna subsucesión de (xn)n∈N, vamos a demostrar que es conver-

gente, en efecto, sean p, q ∈ N tales que p > q, se tiene que

d(xnp , xnq) < d(xnp , x) + d(x, xnp)

=1

q + 1+

1q + 1

=2

q + 1,

para x ∈ Bq, de donde, tomando límite cuando q → ∞, se sigue que

d(xnp , xnq) → 0,

cuando p, q → +∞, con esto, hemos probado que X es secuencialmente compacto.

COROLARIO 6.12. Sea (X, d) un espacio métrico, los siguientes enunciados son equivalentes

1. A ⊂ X es relativamente compacto,

2. Toda sucesión de elementos de A admite una subsucesión convergente en X,

3. A ⊂ X es pre-compacto.

PROPOSICIÓN 6.13. Sean (E, ‖·‖E) un espacio de Banach y A ⊂ E tal que

1. A es un conjunto acotado,

2. Para todo ε > 0, existe L subespacio vectorial de dimensión finita tal que para todo

x ∈ A, d(x, L) < ε,

entonces A es relativamente compacto.

6.3 TEOREMA DE ARZELÁ-ASCOLI

PROPOSICIÓN 6.14. Sean (E, dE) un espacio métrico compacto y (F, dF) un espacio métrico

completo, tenemos que

C(E, F) = { f : (E, dE) → (F, d f ) : f es continua},

66 Compacidad

es un espacio métrico completo.

OBSERVACIÓN. Si f , g ∈ C(E, F), se considera la métrica

d∞( f , g) = maxx∈E

dF( f (x), g(x)).

DEFINICIÓN 6.9: EquicontinuidadDEFINICIÓN 6.9: EquicontinuidadSea A ⊂ C(E, F), se tiene que A es un conjunto equicontinuo si

∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x, y ∈ E, ∀ f ∈ A, dE(x, y) < δ ⇒ dF( f (x), f (y)) < ε.

TEOREMA 6.15: Arzelá-AscoliTEOREMA 6.15: Arzelá-AscoliSea A ⊂ C(E, F), se tiene que A es relativamente compacto si y solo si A verifica las siguien-

tes hipótesis

1. A es equicontinuo,

2. Para todo X ∈ E, A(x) = { f (x) : f ∈ A} es relativamente compacto en F.

Demostración.

TEOREMA 6.16: TychonoffTEOREMA 6.16: Tychonoff

Sea (Xi, τi)i∈I una familia de espacios topológicos separados,

(

∏i∈I

Xi, ∏i∈I

τi

)

es compacto si

y solo si (Xi, τi) es compacto para todo i ∈ I.

Demostración. Supongamos que

(

∏i∈I

Xi, ∏i∈I

τi

)

es compacto, sea i ∈ I, consideremos la función

proyección

pi :

(

∏i∈I

Xi, ∏i∈I

τi

)

−→ (Xi, τi)

x = (xi)i∈I 7−→ xi

,

la cual, es una función continua, por lo tanto, se sigue que

(Xi, τi),

es un conjunto compacto para todo i ∈ I, dado que es la imagen de un conjunto compacto a

partir de una función continua.

Para la otra implicación, consideremos los siguientes casos

• Si I es finito, basta con considerar I = {1, 2} y el resultado se sigue por inducción, supon-

gamos que (X1, τ1), (X2, τ2) son compactos, vamos a demostrar que (X1 × X2, τX1×X2) es

6.3 Teorema de Arzelá-Ascoli 67

un espacio topológico compacto, sea {Oi}i∈I un recubrimiento abierto de X1 × X2, vamos

a demostrar que {Oi}i∈I admite un subrecubrimiento finito. Sea (x1, x2) ∈ X1 × X2, existe

ix ∈ I tal que

x = (x1, x2) ∈ Oix,

de donde, puesto que Oixes una vecindad abierta de x en τ1 × τ2, así, existen W1

x ∈ τ1 y

W2y ∈ τ2, tales que

x ∈ W1x × W2

y ⊂ Oix.

Ahora, notemos que para x2 ∈ X2, tenemos que

(

W1x × {x2}

)

x1∈X1=(

W1(x1,x2)

× {x2})

x1∈X1,

es un recubrimiento abierto de X1 × {x2} ∼ X1, de donde, puesto que X1 es compacto,

existen nx2 ∈ N y {x11, . . . , x1

nx2} ∈ X1 tales que

X1 × {x2} =

nx2⋃

i=1

(

W1(xk

1,x2)× {x2}

)

, (6.1)

Por otro lado, consideremos W(x2) =⋂nx2

k=1 W2(xk

1,x2), de donde, dado que W(x2) es un

conjunto abierto. se tiene que (W(x2))x2∈X2 es un recubrimiento abierto de X2, luego, por

hipótesis, dado que X2 es compacto, existen N ∈ N y {x1, . . . , xN} ∈ X2, tales que

X2 =N⋃

i=1

W(xi2). (6.2)

Combinando (6.1) con (6.2), obtenemos que

X1 × X2 = X1 ×

(

N⋃

i=1

W(xi2)

)

=N⋃

i=1

n(xi2)

⋃

k=1

W1(xk

1,xl2)× W(xl

2)

⊂N⋃

i=1

n(xi2)

⋃

k=1

W1(xk

1,xl2)× W2

(xk1,xl

2)

⊂N⋃

i=1

n(xi2)

⋃

k=1

Oi(xk

1,xi2)

,

es decir, hemos encontrado un subrecubrimiento finito de (Oi)i∈I , por lo tanto, hemos

68 Compacidad

probado que X1 × X2 es compacto.

• Supongamos que (Xn, dn)n∈N es una familia numerable de espacio métricos, vamos a de-

mostrar que

(

∏n∈N

Xn, ∏n∈N

taun

)

es compacto. Por hipótesis, tenemos que ∏n∈N

τn es metri-

zable y la métrica viene dada por

d(x, y) = ∑n∈N

12n

dn(xn, yn)

1 + dn(xn, yn),

donde, x = (xn)n∈N , y = (yn)n∈N ∈ ∏n∈N

Xn, así, para probar que

(

∏n∈N

Xn, ∏n∈N

τn

)

es

compacto, basta con demostrar que es secuencialmente compacto, para ello, sea (xp)p∈N

una sucesión de elementos de ∏n∈N

Xn, para k = 1, tenemos que

(

xp1

)

p∈N,

es una sucesión en X1, de donde, dado que (X1, d1) es compacto,(

xp1

)

p∈Nadmite una

sucesión convergente en X1, es decir, existen ϕ1 : N → N estrictamente creciente y x1 ∈ X1

tales que

lımp→∞

xϕ1(p)1 = x1,

de igual forma, tomando(

xϕ1(p)2

)

p∈N, tenemos que existen ϕ2 : N → N creciente

y x2 ∈ X2 tales que

lımp→+∞

xϕ2(ϕ1(p))2 = x2,

iterativamente, podemos construir (ϕn)n∈N y (xn)n∈N ∈ ∏n∈N

Xn tales que

lımp→+∞

xϕn(ϕn−1◦···◦ϕ1)(p)n = xn.

Finalmente, consideremos(

xϕp(p))

p∈N, vamos a demostrar que

(

xϕp(p))

p∈Nconverge a

x = (x1, . . . , xn, . . . ), para ello, consideremos k < p, debemos probar que

lımp→+∞ xϕp(p)

k = xk, notemos que

xϕp◦(ϕk+1)◦(ϕk◦···◦ϕ1)(p)

k = xΨ(ϕk(p))k ,

donde, Ψ = ϕp ◦ · · · ◦ ϕ1. Se tiene que(

xΨ(ϕk(p))k

)

p∈Nes una subsucesión de

(

xϕk(p)k

)

p∈N,

6.4 Espacios localmente compactos 69

de donde, dado que(

xϕ(p)k

)

p∈Nconverge a xk en (Xk, dk), obtenemos que

lımp→+∞

xϕp(p)

k = xk.

6.4 ESPACIOS LOCALMENTE COMPACTOS

DEFINICIÓN 6.10DEFINICIÓN 6.10Sea (X, τX) un espacio topológico. Decimos que X es localmente compacto si todo punto

x ∈ X admite una vecindad compacta, es decir, para todo X ∈ X, existe Vx vecindad de x

tal que Vx es compacta.

PROPOSICIÓN 6.17. Sea (X, τX) un espacio topológico localmente compacto, entonces para

todo x ∈ X y para todo Vx ∈ V(x), existe Vx vecindad compacta de x tal que

x ∈ Vx ⊂ Vx.

PROPOSICIÓN 6.18. Sean (X, τX) un espacio localmente y F ⊂ X, F es un conjunto cerrado

si y solo para todo K ⊂ X compacto, F ∩ K es un conjunto cerrado.

Demostración. Para la primera implicación, supongamos que F ⊂ X es un conjunto cerrado, sea

K ⊂ X un conjunto compacto, vamos a demostrar que F ∩ K es un conjunto cerrado, puesto que

K es compacto, tenemos que K es cerrado, de donde, se sigue el resultado.

LEMA 6.19. Sea (X, τX) un espacio topológico compacto, entonces para todo x ∈ X y para

todo Vx ∈ V(x), existe Vx compacto tal que

x ∈ Vx ⊂ Vx.

70 Compacidad

6.5 EJERCICIOS

1. Sea (X, d) un espacio métrico, E ⊂ X un subconjunto cerrado y F ⊂ X un subespacio

compacto tal que E ∩ F = ∅. Desmuestre que

dist(E, F) = ınf{d(x, y) : x ∈ E, y ∈ F}.

2. Considere el conjunto

A = {1n

: n ∈ N r 0}.

Halle A y demuestre usando la definición que es compacto en R con la topología usual.

3. Sean (X, τX), (Y, τy) y f : (X, τX) → (Y, τY una función biyectiva y continua. Demuestre

que si Y es T2 y X es compacto, entonces f es un homeomorfismo.

4. Sea f : X → Y una función definida de (X, τX) un espacio topológico a (Y, τY) un espacio

topológico separado. Llamamos el grafo de la función f al subconjunto X ×Y definido por

G( f ) = {(x, f (x)) : x ∈ X}.

• Muestre que si f es continua, entonces G( f ) es cerrado en X × Y con la topología

producto.

• Muestre si G( f ) es cerrado para la topología producto e Y es compacto, entonces f es

continua.

Hint: Muestre que toda función continua de X a Y es un mapa cerrado, donde X es

compacto e Y es T2.

5. Es conocido que R (para la topología usual) no es un espacio compacto, sin embargo exis-

ten formas de çompactarlo".

Considere el espacio topológico X dado por R = R ∪ {+∞,−∞}. Donde una base está

dada por los intervalos abiertos de R junto a los conjuntos de la forma ]a,+∞] y [−∞, a[.

Demuestre que R es compacto.

Hint:Muestre que R es homeomorfo a ]0, 1[.

6. Sea (R, τ) un espacio topológico, definimos

τ∗ = {X ⊂ R : X = ∅ o XC es compacto en (R, τ)}.

6.5 Ejercicios 71

• Muestre que τ∗ es una topología, dicha topología es conocida como la topología co-

compacta,

• Muestre que la topología τ∗ es más fina que la topología co-finita,

• Muestre que (R, τ∗) es T1 y no es T2,

• Muestre que (R, τ∗) es un espacio topológico conexo y compacto,

• Muestre que (R, τ∗) es primero contable. ¿Es secuencialmente compacto?.

7. Un espacio con la topología discreta es compacto si y sólo si es finito.

8. Suponga que (X1, d1) y (X2, d2) son dos espacios métricos y f : X1 → X2 un mapa. Sea

K ⊂ M1 un conjunto compacto de M1. Pruebe que

• Si F es continua, entonces la función restringida en K es uniformemente continua,

• Si F es localmente Lipschitz continua, entonces la función restringida en K es Lips-

chitz continua.

9. ¿Cuál es la relación entre compacidad local y compacidad? ¿Una implica a la otra?

10. Demuestre que elconjunto [0, 1]N no es localmente compacto en la topología uniforme

(Topología inducida por la métrica uniforme).

11. Sea {Xi}i∈I una familia de espacios topológicos, definamos X = ∏i∈I

Xi.

• Muestre que si X es localmente compacto en la topología producto, entonces Xi es

localmente compacto y además Xi es compacto salvo un conjunto finito de índices de

i.

• Pruebe el recíproco.

12. Sea R una relación de equivalencia sobre R2 definida por (x, y)R(v, w) si y sólo si existe

λ 6= 0 tal que (x, y) = λ(v, w). Pruebe que R/R es T2 pero no es compacto.

72 Compacidad

CAPÍTULO 7

FILTROS


DEFINICIÓN 7.1DEFINICIÓN 7.1Sean X un conjunto no vacío y F ⊆ P(X), decimos que F es un filtro definido sobre X si se

verifica

1. Si {Fi}i∈I es una familia finita de elementos de F, entonces

⋂

i∈I

Fi ∈ F ,

2. Si G ⊂ X tal que F ⊂ G para algún F ∈ F , entonces

G ∈ F .

3. ∅ /∈ F .

EJEMPLO 7.1. Sean (X, τX) un espacio topológico y x ∈ X, consideremos

V(x) = {Vx : Vx ∈ τX y x ∈ Vx},

se tiene que V(x) es un filtro sobre X.

DEFINICIÓN 7.2DEFINICIÓN 7.2Sean X un conjunto no vacío, F y G dos filtros definidos sobre X. Decimos que F es más

fino que G si

G ⊂ F ,

es decir, para todo G ∈ G, se tiene que

G ∈ F .

73

74 Filtros

DEFINICIÓN 7.3DEFINICIÓN 7.3Sean X un conjunto no vacío, F y G dos filtros definidos sobre X. Decimos que F y G son

compatibles si existe un filtro H tal que H es más fino que F y H es más fino que G; es decir,

F ⊂ H y G ⊂ H.

TEOREMA 7.1TEOREMA 7.1Sean X un conjunto no vacío, F y G dos filtros definidos sobre X, F y G son compatibles si

y solo si para todo F ∈ F y para todo G ∈ G se tiene que

F ∩ G 6= ∅.

Demostración. Para la primera implicación, supongamos que F y G son compatibles, es decir,

existe H un filtro definido sobre X tal que

F ⊆ H y G ⊆ H,

luego, sean F ∈ F y G ∈ G, tenemos que

F ∈ H y G ∈ H,

de donde. puesto que H es un filtro, obtenemos que

F ∩ G ∈ H,

luego, por la segunda propiedad de filtro, se sigue que

F ∩ G 6= ∅.

Ahora, para la otra implicación, supongamos que para todo F ∈ F y para todo G ∈ G se

tiene que

F ∩ G 6= ∅.

Vamos a demostrar que F y G son compatibles, consideremos el conjunto

H = {F ∩ G : F ∈ F y G ∈ G},

probemos que H es un filtro definido sobre X, para lo cual, debemos demostrar que cumple con

las tres propiedades que definen un filtro.

7.1 Nociones preliminares 75

1. Sea (Fi ∩ Gi)i∈I una familia finita de elementos de H, vamos a demostrar que⋂

i∈I(Fi ∩

Gi) ∈ H, tenemos que⋂

i∈I

(Fi ∩ Gi) =⋂

i∈I

Fi ∩⋂

i∈I

Gi

luego, puesto que F y G son filtros, tenemos que

⋂

i∈I

Fi ∈ F y⋂

i∈I

Gi ∈ G,

con esto, tenemos que⋂

i∈I

(Fi ∩ Gi) ∈ H.

2. Sea S ⊆ X tal que F ∩ G ⊆ S para algún F ∩ G ∈ H, vamos a demostrar que S ∈ H,

notemos que

F ⊂ F ∪ S y G ⊂ G ∪ S,

de donde puesto que F y G son filtros, obtenemos que

F ∪ S ∈ F y G ∪ S ∈ G,

además, notemos que

S = (F ∪ S) ∩ (G ∪ S),

con esto, se sigue que

S ∈ H.

3. Es fácil ver que ∅ /∈ H.

Por lo tanto, podemos concluir que H es un filtro.

Finalmente, vamos a demostrar que

F ⊂ H y G ⊂ H,

sean F ∈ F y G ∈ G, se tiene que

F ∩ G ⊂ F y F ∩ G ⊂ G,

de donde, dado que H es un filtro, obtenemos que

F ∈ H y G ∈ H,

76 Filtros

con esto, se sigue que

F ⊂ H y G ⊂ H.

DEFINICIÓN 7.4DEFINICIÓN 7.4Sean X un conjunto no vacío, x ∈ X y F un filtro definido sobre X. Decimos que el filtro

F converge hacia x, si F es más fino que V(x) (Familia de vecindades de x en la topología

(X, τX)).

DEFINICIÓN 7.5DEFINICIÓN 7.5Sean X un conjunto no vacío, x ∈ X y F un filtro definido sobre X. Decimos que x es un

valor adherente del filtro F si para todo F ∈ F se tiene que

x ∈ F.

PROPOSICIÓN 7.2. Sean X un conjunto no vacío, x ∈ X y F un filtro definido sobre X. Si F

converge a x, entonces x es un valor adherente de F .

Demostración. Supongamos que el filtro F converge a x, vamos a demostrar que x es un valor

adherente de F , sean F ∈ F y Vx ∈ τX una vecindad abierta de x, debemos probar que

Vx ∩ F 6= ∅,

por hipótesis, tenemos que

V(x) ⊂ F ,

de donde, obtenemos que

Vx ∈ F ,

luego, puesto que F es un filtro, se sigue que

Vx ∩ F ∈ F ,

así, se tiene que

Vx ∩ F 6= ∅.

OBSERVACIÓN. Si x es un valor adherente de F , entonces V(x) y F son compatibles.

7.1 Nociones preliminares 77

DEFINICIÓN 7.6DEFINICIÓN 7.6Sean X un conjunto no vacío y F un filtro definido sobre X. Decimos que F es un ultrafiltro

si es maximal con respecto a la relación de "finura", es decir, si G es un filtro definido sobre

X tal que F ⊆ G, entonces

F = G.

PROPOSICIÓN 7.3. Sean X un conjunto no vacío, x ∈ X y F un ultrafiltro definido sobre X.

Se tiene que F converge a x si y solo si x es un valor adherente de F .

Demostración. La primera implicación se sigue de la proposición 7,2.

Ahora, supongamos que x es un valor adherente de F , vamos a demostrar que F converge

a x. Sea Vx ∈ V(x), debemos probar que Vx ∈ F , por definición de clausura, tenemos que

Vx ∩ F 6= ∅,

de donde, por el Teorema 7,1, se sigue que

V(x) y F ,

son compatibles, es decir, existe H un filtro definido sobre X tal que

V(x) ⊆ H y F ⊆ H,

luego, dado que H es un ultrafiltro, tenemos que

F = H,

con esto, se tiene que

V(x) ⊆ F ,

es decir, hemos probado que F converge a x.

OBSERVACIÓN. • Si {Fi}i∈I es una familia de filtros definidos sobre X, entonces⋂

i∈I Fi es

un filtro definido sobre X.

• Si A ⊆ P(X) es estable por intersección, entonces existe F un filtro en X que contiene al

conjunto A si y solo si para todo A, B ∈ A se tiene que A ∩ B 6= ∅.

Además, se tiene que el filtro más pequeño que contiene A es

F = {B ⊆ X : ∃A ∈ A tal que A ⊆ B}.

78 Filtros

7.2 FILTRO DE UNA SUCESIÓN

DEFINICIÓN 7.7DEFINICIÓN 7.7Sean (X, τX) un espacio topológico y (xn)n∈N una sucesión de elementos de X, considere-

mos el conjunto

XN = {xk : k ≥ N}.

Sobre esta familia numerable {XN}n∈N podemos definir el filtro engendrado por A =⋃

N∈N XN , de la siguiente forma

FA = {B ⊆ X : ∃N ∈ N tal que XN ⊆ B}.

PROPOSICIÓN 7.4. Sean (X, τX) un espacio topológico, (xn)n∈N una sucesión de elementos

de X y x ∈ X, tenemos que la sucesión (xn)n∈N converge a x si y solo si FA converge a x.

Demostración. Para la primera implicación, supongamos que (xn)n∈N converge a x, vamos a

demostrar que FA converge a x, sea Vx ∈ V(x), debemos probar que Vx ∈ FA, por hipótesis,

sabemos existe N ∈ N tal que

xn ∈ Vx,

para todo n ≥ N, de donde, se sigue que

XN ⊆ Vx,

es decir,

Vx ∈ FA,


V(x) ⊆ FA,

es decir, FA converge a x.

Ahora, para la otra implicación, supongamos FA converge a x, vamos a demostrar que

(xn)n∈N converge a x, sea Vx ∈ V(x), debemos hallar N ∈ N tal que

xn ∈ Vx,

para todo n ≥ N.

7.2 Filtro de una sucesión 79

Por hipótesis, tenemos que V(x) ⊆ FA, de donde, VX ∈ FA, es decir, existe N1 ∈ N tal que

XN1 ⊂ Vx,

es decir,

xn ∈ Vx,

para todo n ≥ N1, de donde, basta tomar N = N1 y se sigue el resultado.

PROPOSICIÓN 7.5. Sean (X, τX) un espacio topológico, (xn)n∈N una sucesión de elementos

de X y x ∈ X, tenemos que la sucesión (xn)n∈N admite a x como valor adherente si y solo

si x es un valor de adherencia de FA.

Demostración. Supongamos que x es una valor adherente de la sucesión (xn)n∈N, así, para toda

Vx ∈ V(x) y para todo N ∈ N, tenemos que

XN ∩ V 6= ∅,

sea F ∈ FA, por definición, sabemos existe N1 ∈ N tal que

XN1 ⊆ F,


∅ 6= XN ∩ Vx ⊆ F ∩ Vx,

es decir, para todo Vx ∈ V(x), se sigue que

Vx ∩ F 6= ∅,

con lo cual, hemos demostrado que

x ∈ F.

TEOREMA 7.6TEOREMA 7.6Sea (X, τX) un espacio topológico separado, los siguientes enunciados son equivalentes

1. X es compacto,

2. Todo filtro definido en X admite un valor adherente,

3. Todo ultrafiltro definido en X es convergente.


80 Filtros

Supongamos que X es compacto, sea F un filtro definido sobre X, tenemos que

⋂

F∈F

F = ∅ o⋂

F∈F

F 6= ∅.

– Si⋂

F∈F F = ∅, dado que X es compacto, existen (F1, . . . , Fn) ∈ F tales que

n⋂

i=1

Fi ⊆n⋂

i=1

Fi = ∅,

de donde, se sigue quen⋂

i=1

Fi = ∅ ∈ F ,

lo cual, contradice el hecho de que F es un filtro.

– Por otro lado, si⋂

F∈F F 6= ∅, entonces se sigue el resultado.

• 2. ⇒ 3.

Se sigue dado que todo ultrafiltro es un filtro.

• 2. ⇒ 1.

Supongamos que todo filtro F definido en X admite un valor adherente, vamos a demos-

trar que X es compacto, por reducción al absurdo, supongamos que X no es compacto, así,

existe {Fi}i∈I una familia de conjuntos cerrados tales que

⋂

i∈I

Fi = ∅ y⋂

j∈J

Fj 6= ∅,

para todo J ⊆ I finito.

Ahora, dado que {Fi}i∈I es estable por intersección finita, podemos definir el filtro F ge-

nerado por Fi tal que

Fi ∈ F ,

para todo i ∈ I.

Por hipótesis, F admite un valor adherente, es decir, para todo F ∈ F , se tiene que

x ∈ F,

para algún x ∈ X, de donde, en particular para Fi ∈ F , obtenemos que

x ∈ Fi = Fi,

7.3 Construcción del filtro imagen 81

para todo i ∈ I, lo cual contradice el hecho de que

⋂

i∈I

Fi = ∅.

Por lo tanto, tenemos que X es compacto.

7.3 CONSTRUCCIÓN DEL FILTRO IMAGEN

DEFINICIÓN 7.8DEFINICIÓN 7.8Sean (X, τX), (Y, τY) dos espacios topológicos y f : (X, τX) → (Y, τY). Supongamos que FX

es un filtro definido sobre el conjunto X, definimos el filtro imagen de f en el conjunto Y, de

la siguiente forma

F∗ f = {A ⊆ Y : f−1(A) ⊆ FX} ∈ P(Y).

PROPOSICIÓN 7.7. Sean (X, τX) un espacio topológico y UX un filtro en X, entonces UX es

un ultra-filtro si y solo si para todo A ⊆ X se tiene que

A ∈ UX o AC ∈ UX .

Demostración. Para la primera implicación, supongamos que UX es un ultra-filtro en X, sea A ⊆

X, consideremos los siguientes casos

• Si A ∈ UX , entonces el resultado se sigue trivialmente,

• Ahora, si A /∈ UX , para todo B ∈ UX , se sigue que

AC ∩ B 6= ∅,

caso contrario, tendríamos que existe B ∈ UX tal que

B ∩ AC,

de donde,

B ⊆ A,

luego, por la propiedad de filtro, se tiene que

A ∈ UX ,

82 Filtros

lo cual, contradice la hipótesis.

Ahora, por (7.3), se sigue que

{AC} y UX ,

son compatibles, es decir, existe F un filtro sobre X tal que

{AC} ⊆ F y UX ⊆ F ,

de donde, puesto que UX es un ultra-filtro, obtenemos que

AC ∈ F = UX .

Para la otra implicación, supongamos que UX es un filtro definido sobre X tal que para todo

A ⊆ X se tiene que

A ∈ UX o AC ∈ UX ,

vamos a demostrar que UX es un ultra-filtro, para ellos, supongamos que existe F un filtro

definido sobre X tal que

UX ⊆ F ,

debemos probar que UX = F , para lo cual, basta con demostrar que

F ⊆ UX ,

por reducción al absurdo, supongamos que

F 6⊆ UX ,

así, podemos tomar A ∈ F tal que A /∈ UX , así, por hipótesis, tenemos que

A ∈ UX ⊆ F ,

luego, se sigue que

∅ = A ∩ AC ∈ F ,

lo cual, contradice el hecho de que F es un filtro.

Con esto, hemos probado que UX es un ultrafiltro definido sobre X.


PROPOSICIÓN 7.8. Sean (X, τX), (Y, τY) espacios topológicos, f : (X, τX) → (Y, τY) una fun-

ción y UX un ultra-filtro en X, se tiene que U∗ f es un ultra-filtro en Y.

Demostración. Supongamos que UX es un ultra-filtro definido sobre X, vamos a demostrar que

U∗ f es un ultra-filtro en Y, sea B ⊆ X tal que B /∈ U∗ f , debemos probar que BC ∈ U∗ f , por

definición de filtro imagen, tenemos que

f−1(B) /∈ UX ,

de donde, usando el hecho de que UX es un ultra-filtro, obtenemos que

f−1(BC) ∈ UX ,

nuevamente, por la definición de filtro imagen, se sigue que

BC ∈ U∗ f ,

con esto, hemos probado que U∗ f es un ultrafiltro en Y.

PROPOSICIÓN 7.9. Sean (X, τX), (Y, τY) espacios topológicos, x ∈ X y f : (X, τX) → (Y, τY)

una función, se tiene que f es continua en x si y solo si para todo F filtro tal que converge a

x, entonces el filtro imagen F∗ f converge a f (x).

Demostración. Para la primera implicación, supongamos que f es una función continua en el

punto x, sea F un filtro definido sobre X que converge a x, vamos a demostrar que F∗ f converge

a f (x), para ello, sea Vx ∈ V( f (x)), por hipótesis, tenemos que

f−1(V( f (x))) ∈ F ,

de donde, por definición de filtro imagen, se sigue que

Vf (x) ∈ F∗ f ,


V( f (x)) ⊆ F∗ f ,

con esto, podemos concluir que F∗ f converge a f (x).

Para la otra implicación, supongamos que para todo F filtro tal que converge a x, entonces

el filtro imagen F∗ f converge a f (x).

84 Filtros

Vamos a demostrar que f es una función continua en x ∈ X, para ello, sea Vf (x) ∈ V( f (x)),

debemos probar que f−1(Vf (x)) ∈ V(x), en particular, puesto que V(x) es un filtro que converge

a x, se sigue que

Vf (x) ∈ V( f (x)),

luego, por la definición de filtro imagen, obtenemos que

f−1(Vf (x)) ∈ V(x),

es decir, hemos probado que f es continua en x.

PROPOSICIÓN 7.10. Considerando las mismas notaciones anteriores, tenemos que si F ad-

mite un valor adherente, entonces F∗piadmite un valor adherente en Xi, para todo i ∈ I.

OBSERVACIÓN. La recíproca de la Proposición 7.11 es falsa, es decir, si para todo i ∈ I, F∗pi

admite un valor adherente en Xi, eso no implica que F admita un valor adherente en X.

Demostración. Supongamos que F es un filtro sobre X tal que admite un valor adherente, es

decir, existe x ∈ X tal que para todo F ∈ F , se tiene que

x ∈ F. (7.1)

Sea i ∈ I, consideremos la función proyección pi : (X, τX) → (Xi, τi), vamos a demostrar que

pi(x) es un valor adherente de F∗pi, para ello, sea G ∈ F∗pi

, debemos probar que pi(x) ∈ G, por

definición de filtro imagen, tenemos que

p−1i (G) ∈ F ,

de donde, en particular, por (7.1) y la continuidad de f , se sigue que

x ∈ p−1i (G) ⊆ p−1

i (G),


pi(x) ∈ G.

Con esto, hemos probado que pi(x) es un valor adherente de F∗ f , para todo i ∈ I.


PROPOSICIÓN 7.11. Sea (Xi, τi)i∈I una familia de espacios topológicos, consideremos

(X, τX) =

(

∏i∈I

Xi, ∏i∈I

τi

)

, pi : (X, τX) → (Xi, τi) la función proyección, para todo i ∈ I y F

un filtro en X, se tiene que F converge a x ∈ X si y solo si F∗piconverge a pi(x) en Xi, para

todo i ∈ I.

Demostración. La primera implicación se sigue de la proposición anterior.

Para la otra implicación, supongamos que para todo i ∈ I, F∗pies convergente en Xi; es decir,

existe xi ∈ Xi tal que

V(xi) ⊆ F∗pi,

para todo i ∈ I, ahora, tomemos x = (xi)i∈I , vamos a demostrar que el filtro F converge a x en

X, para ello, sea Ux ∈ V(x), una vecindad del punto x en la topología producto, es decir, Ux es

de la forma

Ux = {y ∈ X : ∀j ∈ J pj(y) ∈ Uj},

donde, J ⊂ I es finito y Ui es una vecindad de pi(x) = xi.

Por hipótesis, para todo j ∈ J, F∗pjconverge a pj(x) en Xj, es decir,

V(pj(x)) ⊂ F∗pj,

de donde, se tiene que

Uj ∈ F∗pj,

de donde, por definición de filtro imagen, obtenemos que

p−1j (Uj) ∈ F ,

para todo j ∈ J, de donde, considerando V =⋂

j∈J p−1j (Uj) ∈ F , se tiene que

p−1j (V) ⊆ p−1

j (Uj),

de donde, dado que F es un filtro, obtenemos que

p−1j (Uj) = Ux ∈ F ,

es decir,

V(x) ⊆ F ,

con esto, hemos demostrado que F converge a x.

86 Filtros

TEOREMA 7.12: TychonoffTEOREMA 7.12: Tychonoff

Sea (Xi, τi)i∈I una familia de espacios topológicos separados,

(

∏i∈I

Xi, ∏i∈I

τi

)

es compacto si

y solo si (Xi, τi) es compacto para todo i ∈ I.

Demostración. La primera implicación se demostró en el capítulo anterior.

Ahora, supongamos que para todo i ∈ I, (Xi, τi)i∈I es una familia de espacios topológicos

compactos, vamos a demostrar que

(

∏i∈I

Xi, ∏i∈I

τi

)

es un espacio topológico compacto, para lo

cual, por el Teorema 7.6, basta con demostrar todo ultra-filtro definido en X es convergente.

Sea UX ⊆ P(X) un ultra-filtro definido en X, vamos a demostrar que es convergente, para

ello, por la Proposición 7.11, debemos probar que para todo i ∈ I el ultra-filtro U∗pies conver-

gente en Xi, en efecto, sea U∗piun ultra-filtro definido en Xi, nuevamente por el Teorema 7.6,

dado que (Xiτi) es compacto para todo i ∈ I, se sigue el resultado.

topologÍa - alephsub0 · sean (x,τx)un espacio topológico y a ⊂ x, deﬁnimos la topología...

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