tomo ii (maestría en ciencias matemáticas) · 2020. 10. 22. · ejercicios dentro de clase x...

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

PROGRAMA DE MAESTRÍA Y DOCTORADO EN CIENCIAS

MATEMÁTICAS Y DE LA ESPECIALIZACIÓN EN ESTADÍSTICA

APLICADA

Tomo II (Maestría en Ciencias Matemáticas)

Planes de estudio

Maestría en Ciencias Matemáticas Doctorado en Ciencias Matemáticas Especialización en Estadística Aplicada

Grados que se otorgan:

Especialista en Estadística Aplicada Maestro en Ciencias Doctor en Ciencias

Campos de conocimiento que comprende el Programa:

Álgebra Análisis Análisis Numérico y Computación Científica (incluyendo Modelación) Ecuaciones Diferenciales (ordinarias y parciales) Estadística Finanzas Matemáticas Geometría Matemáticas Discretas Probabilidad Sistemas Continuos Topología

Entidades académicas participantes:

Facultad de Ciencias Instituto de Investigaciones en Matemáticas Aplicadas y en Sistemas Instituto de Matemáticas Centro de Ciencias Matemáticas

2

Fechas de aprobación u opiniones Modificación del Programa de Maestría y Doctorado en Ciencias Matemáticas, y de la Especialización en Estadística:

Fecha de aprobación del Consejo Académico de Posgrado: 07 de octubre de 2020.

3

Índice

MAESTRÍA EN CIENCIAS MATEMÁTICAS ................................................................................................ 5

Actividades académicas obligatorias de elección .............................................................................. 6

Álgebra Moderna ........................................................................................................................... 6

Álgebra Conmutativa ...................................................................................................................... 9

Análisis Funcional I ....................................................................................................................... 12

Análisis Real I ................................................................................................................................ 15

Análisis Complejo I ....................................................................................................................... 18

Análisis Numérico I ....................................................................................................................... 21

Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (Métodos en Diferencias) .............. 24

Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Parciales (Métodos en Diferencias)................. 27

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias ............................................................................................ 30

Ecuaciones Diferenciales Parciales ............................................................................................... 33

Inferencia Bayesiana .................................................................................................................... 36

Inferencia Estadística ................................................................................................................... 39

Finanzas Matemáticas y Derivados en Tiempo Discreto .............................................................. 42

Teoría de Riesgo ........................................................................................................................... 45

Geometría Algebraica................................................................................................................... 51

Geometría Diferencial .................................................................................................................. 54

Teoría de las Gráficas ................................................................................................................... 57

Fundamentos de Combinatoria.................................................................................................... 60

Probabilidad I ............................................................................................................................... 63

Procesos Estocásticos ................................................................................................................... 66

Introducción a la Mecánica Analítica ........................................................................................... 69

Introducción a los Medios Continuos ........................................................................................... 72

Topología Algebraica .................................................................................................................... 75

Topología Diferencial ................................................................................................................... 78

Topología General ........................................................................................................................ 81

Actividades académicas optativas ................................................................................................... 85

Temas Selectos de Álgebra I ......................................................................................................... 85

Temas Selectos de Álgebra II ........................................................................................................ 87

4

Seminario de Álgebra ................................................................................................................... 89

Temas Selectos de Análisis I ......................................................................................................... 91

Temas Selectos de Análisis II ........................................................................................................ 93

Seminario de Análisis ................................................................................................................... 95

Temas Selectos de Análisis Numérico y computación científica (incluyendo modelación) I ....... 97

Temas Selectos de Análisis Numérico y computación científica (incluyendo modelación) II ...... 99

Seminario de Análisis Numérico y computación científica (incluyendo modelación) ............... 101

Temas Selectos de Ecuaciones Diferenciales (ordinarias y parciales) I ...................................... 103

Temas Selectos de Ecuaciones Diferenciales (ordinarias y parciales) II ..................................... 105

Seminario de Ecuaciones Diferenciales (ordinarias y parciales) ............................................... 107

Temas Selectos de Estadística I .................................................................................................. 109

Temas Selectos de Estadística II ................................................................................................. 111

Seminario de Estadística ............................................................................................................ 113

Temas Selectos de Finanzas Matemáticas I ............................................................................... 115

Temas Selectos de Finanzas Matemáticas II .............................................................................. 117

Seminario de Finanzas Matemáticas .......................................................................................... 119

Temas Selectos de Geometría I .................................................................................................. 121

Temas Selectos de Geometría II ................................................................................................. 123

Seminario de Geometría ............................................................................................................ 125

Temas Selectos de Matemáticas Discretas I .............................................................................. 127

Temas Selectos de Matemáticas Discretas II ............................................................................. 129

Seminario de Matemáticas Discretas ......................................................................................... 131

Temas Selectos de Probabilidad I ............................................................................................... 133

Temas Selectos de Probabilidad II .............................................................................................. 135

Seminario de Probabilidad ......................................................................................................... 137

Temas Selectos de Sistemas Continuos I ................................................................................... 139

Temas Selectos de Sistemas Continuos II .................................................................................. 141

Seminario de Sistemas Continuos .............................................................................................. 143

Temas Selectos de Topología I ................................................................................................... 145

Temas Selectos de Topología II .................................................................................................. 147

Seminario de Topología .............................................................................................................. 149

5

MAESTRÍA EN CIENCIAS MATEMÁTICAS

6

Actividades académicas obligatorias de elección


PROGRAMA DE MAESTRÍA Y DOCTORADO

EN CIENCIAS MATEMÁTICAS Y DE LA ESPECIALIZACIÓN EN ESTADÍSTICA APLICADA


Programa de la actividad académica Álgebra Moderna

Clave

Semestre

1,2,3 o 4

Créditos

9 Campo de conocimiento

Álgebra

Modalidad Curso Básico Tipo T (X) P ( ) T/P ( )

Carácter Obligatorio de Elección Horas

Duración del programa Semestral Semana Semestre

Teóricas: 4.5 Teóricas: 72

Prácticas: 0 Prácticas: 0

Total: 4.5 Total: 72

Seriación

Ninguna (X)

Obligatoria ( )

Actividad académica antecedente

Actividad académica subsecuente

Indicativa ( )



Objetivo general: Introducir al alumno en la teoría general de la estructura Algebraica.

7

Objetivos específicos: Que el alumno adquiera los elementos que le permitan profundizar en el estudio del área o aplicarlos en otras ramas de la matemática.

Índice temático

Tema Horas

semestre Teóricas Prácticas

1 Grupos 24 0 2 Anillos 24 0 3 Campos 24 0

Total 72 0 Suma total de horas 72

Contenido Temático

Tema y subtemas

1

Grupos 1.1 Homomorfismos y teoremas de isomorfía 1.2 Grupo simétrico. Clases de conjugación. Conjuntos de generadores 1.3 Acciones de grupos en conjuntos y representaciones por permutaciones 1.4 Automorfismos y productos semidirectos 1.5 Teoremas de Sylow. Aplicaciones 1.6 Series de composición, grupos solubles y nilpotentes 1.7 Grupos libres y presentaciones. Definición y ejemplos 1.8 Grupos abelianos divisibles (optativo)

2

Anillos 2.1 Anillos de polinomios 2.2 Dominios de ideales principales 2.3 Estructura de módulos finamente generados sobre dominios de ideales

principales 2.4 Teorema de factorización única en anillos de polinomios

3

Campos 3.1 Extensiones 3.2 Campos finitos 3.3 Cerradura algebraica 3.4 Teoría de Galois 3.5 Aplicaciones de la teoría de Galois

Estrategias didácticas Evaluación del aprendizaje

Exposición oral X Exámenes parciales X Trabajo en equipo Examen final escrito X Lecturas Trabajos y tareas X Trabajo de investigación Presentación de tema Prácticas (taller o laboratorio) Participación en clase X Prácticas de campo Asistencia Aprendizaje por proyectos Rúbricas Aprendizaje basado en problemas Portafolios Casos de enseñanza Listas de cotejo Otras (especificar) Otras (especificar) Ejercicios dentro de clase X Ejercicios fuera del aula X

8

Perfil profesiográfico

Grado Maestro o Doctor en Ciencias Matemáticas. Experiencia docente Otra característica

Bibliografía Básica:

• Alperin, J. L. Y R.W.Bell, Groups and Representations, Springer, 1995. • Artin, E, Galois Theory, Notredame, 1955. • Artin, M, Algebra, Prentice Hall, 1991. • Birkhoff, G Y S. Maclane, Algebra 2° Edicion, Macmillan, 1979. • Fraleigh, J. B., Algebra Abstracta, Addison Wesley, 1988. • Jacobson, N, Basic Algebra 2 Vols, W.H. Freeman, 1985/1989. • Kaplansky, I., Fields and Rings, University of Chicago Press, 1973. • Langs, S, Algebra, Addison Wesley, 1993. • Morandi, Patrick, Field and Galois Theory, Springer Verlag, New York, 1996.

Bibliografía Complementaria:

• Dummit Y Foote, Abstract Algebra, Prentice Hall, 1991. • Rotman, J, An Introduction to the Theory of Groups, Springer 4° Edición, 1995. • Stewart, I, Galois Theory 2° Edition, Chapman And Hall, 1989. • Zaldivar, F, Teoria De Galois, Anthropos-UNAM, 1996.

9





Programa de la actividad académica Álgebra Conmutativa

Clave

Semestre

1,2,3 o 4

Créditos


Álgebra







Seriación

Ninguna (X)

Obligatoria ( )



Indicativa ( )



Objetivo general: Presentar al alumno los fundamentos y conceptos básicos del Álgebra Conmutativa. Objetivos específicos: Familiarizar al alumno con la teoría básica de anillos y nódulos para el estudio de las variedades algebraicas.

10

Índice temático

Tema Horas


1 Variedades afines 8 0 2 Morfismos 8 0 3 Localización 8 0 4 Descomposición primaria 8 0 5 Dependencia Integral 8 0 6 Lema de Artin-Rees 8 0 7 Módulos planos 8 0 8 Completaciones 8 0 9 Teoría de dimensión (sin demostraciones) 8 0


Contenido Temático

Tema y subtemas

1

Variedades afines 1.1 Conjuntos algebraicos 1.2 Topología de Zariski 1.3 Componentes irreducibles 1.4 Dimensión de Krull

2

Morfismos 2.1 Funciones regulares 2.2 Campo de funciones 2.3 Morfismos 2.4 Antiequivalencia variedades afines-dominios finamente generados sobre k

3

Localización 3.1 Fracciones 3.2 Producto tensorial 3.3 Anillos y módulos de longitud finita

4

Descomposición primaria 4.1 Primos asociados 4.2 Descomposición primaria 4.3 Interpretación geométrica

5

Dependencia Integral 5.1 Teorema de Cayley-Hamilton y lema de Nakayama 5.2 Dominios normales 5.3 Primos en extensiones enteras 5.4 Teorema de ceros de Hilbert (Nullstellensatz)

6

Lema de Artin-Rees 6.1 Anillos y módulos graduados asociados 6.2 El álgebra de la explosión (blowup) 6.3 Teorema de intersección de Krull

7 Módulos planos 7.1 El funtor Tor y caracterizaciones de módulos planos

8

Completaciones 8.1 Propiedades básicas 8.2 Lema de Hensel 8.3 Teoría de Cohen (sin demostraciones)

9 Teoría de dimensión (sin demostraciones) 9.1 Axiomas, anillos afines y hormalización de Noether

11

9.2 Sistemas de parámetros y teorema de ideales principales de Krull 9.3 Polinomios de Hilbert


Exposición oral X Exámenes parciales X Trabajo en equipo Examen final escrito X Lecturas Trabajos y tareas X Trabajo de investigación Presentación de tema Prácticas (taller o laboratorio) Participación en clase X Prácticas de campo Asistencia Aprendizaje por proyectos Rúbricas Aprendizaje basado en problemas Portafolios Casos de enseñanza Listas de cotejo Otras (especificar) Otras (especificar) Ejercicios dentro de clase X Ejercicios fuera del aula X


Grado Maestro o Doctor en Ciencias Matemáticas Experiencia docente Otra característica

Bibliografía básica:

• Eisenbud, D., Commutative Algebra with a View Towards Algebraic Geometry, Springerverlag, New York, 1995.

• Hartshorne, R., Algebraic Geometry, Spring-Verlag, New York, 1977. • Matsumura, H., Commutative Algebra, W.A. Benjamin, New York, 1970.

Bibliografía complementaria: • Atiyah, M.F Y I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison Wesley,

Reading, 1969. • Matsumura, H., Commutative Ring Theory. Cambridge University Press. United

Kingdom, 1986.

12





Programa de la actividad académica Análisis Funcional I

Clave

Semestre

1,2,3 o 4

Créditos


Análisis







Seriación

Ninguna (X)

Obligatoria ( )



Indicativa ( )



Objetivo general: Extender la noción de espacios de Banach a espacios más generales llamados espacios vectoriales topológicos, así como estudiar los operadores lineales definidos sobre tales espacios. Objetivos específicos: Hacer ver al alumno que se pueden generalizar la mayoría de resultados en espacios de Banach a los espacios vectoriales topológicos y que se pueden extender las nociones del análisis clásico a tales espacios.

13

Índice temático

Tema Horas


1 Espacios métricos 12 0 2 Espacios normados y de Banach 12 0 3 Espacios de Hilbert 12 0 4 Teoremas fundamentales 12 0 5 Teoría espectral de operadores acotados 12 0 6 Teoría espectral de operadores autoadjuntos 12 0


Contenido Temático

Tema y subtemas

1

Espacios métricos 1.1 Definición 1.2 Ejemplos 1.3 Topología 1.4 Convergencia 1.5 Espacios completos

2

Espacios normados y de Banach 2.1 Definición 2.2 Ejemplos 2.3 Subespacios 2.4 Bases 2.5 Completitud 2.6 Compacidad 2.7 Lema de Riesz 2.8 Operadores lineales y funcionales 2.9 Operadores continuos y norma 2.10 Ejemplos 2.11 Espacio dual

3

Espacios de Hilbert 3.1 Definición. Ortogonalidad. Ejemplos 3.2 Completitud. Subespacios. Complementos ortogonales Proyección 3.3 Conjuntos ortogonales y totales 3.4 Bases. Desigualdad de Bessel. Espacios separables 3.5 Ejemplos de bases 3.6 Teorema de Riesz 3.7 Aplicaciones: Lax Milgram, aproximación, splines 3.8 Operadores adjuntos 3.9 Operadores autoadjuntos, unitarios y normales

4

Teoremas fundamentales 4.1 Teorema de Hahn Banach, duales y espacios reflexivos 4.2 Teorema de acotamiento uniforme, ejemplos, convergencia débil y

aplicaciones. Teorema de Banach-Alaogla 4.3 Teorema de la aplicación abierta y de la gráfica cerrada. Operadores cerrados 4.4 Teorema de punto fijo de Banach y aplicaciones

5

Teoría espectral de operadores acotados 5.1 Definiciones espectrales. Teorema espectral, analiticidad 5.2 Operadores compactos, sucesiones de operadores compactos, adjunto y

espectro

14

5.3 Operadores de Fredholm y ascenso 5.4 Alternativa de Fredholm y aplicaciones 5.5 Operadores autoadjuntos 5.6 Descomposición espectral 5.7 Operadores positivos 5.8 Análisis funcional de operadores y teorema espectral 5.9 Aplicaciones

6

Teoría espectral de operadores autoadjuntos 6.1 Operadores no acotados, cerrados y autoadjuntos 6.2 Extensiones 6.3 Propiedades espectrales 6.4 Representación espectral de operadores unitarios y de operadores

autoadjuntos 6.5 Aplicaciones


Exposición oral X Exámenes parciales X Trabajo en equipo Examen final X Lecturas obligatorias X Trabajos y tareas X Trabajo de investigación Presentación de tema Prácticas (taller o laboratorio) Participación en clase X Prácticas de campo Asistencia Aprendizaje por proyectos Rúbricas Aprendizaje basado en problemas Portafolios Casos de enseñanza Listas de cotejo Otras (especificar) Otras (especificar) Ejercicios dentro de clase X Ejercicios fuera del aula X




• Akhiezer, N.I. Y M. Glazman, Theory of Linear Operator in Hilbert Spaces, Ungar, 1966. • Kreyszig, E., Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley and Sons,

1978. • Riesz, F Y B Sg-Nagy, Functional Analysis, Ungar, 1955. • Rudin, W, Functional Analysis, McGraw Hill, 1973. • Schechter, M., Principles of Fucntional Analysis, Academic Press, 1971. • T.Husain, Orthogonal Schauder Bases, Pure and Applied Mathematics, M. Decker, 1991.


• Brezis, H, Analyse Fonctionnelle, Mason, 1983. • Kenevan, S., Topics In Funtional Analysis And Applications, Wiley, 1989. • Nirenberg, L., Functional Analysis, Cims Lecture Notes, 1961.

15





Programa de la actividad académica Análisis Real I

Clave

Semestre

1,2,3 o 4

Créditos


Análisis







Seriación

Ninguna (X) Obligatoria ( )



Indicativa ( ) Actividad académica antecedente


Objetivo general: Extender la noción de integración de funciones definidas sobre espacios euclidianos, a dominios más generales llamados espacios medibles. Estudiar los espacios de Hilbert y los operadores definidos sobre tales espacios. Objetivos específicos: Familiarizar al alumno con las nociones de medida y de integral de Lebegue, las cuales permiten ampliar la clase de funciones integrables. Hacer notar al alumno la variedad de resultados que permiten intercambiar los procesos de límite de funciones e integración.

16

Índice temático

Tema Horas


1 Teoría de la medida 12 0 2 Funciones medibles e Integración 12 0 3 Espacios Lp 10 0 4 Modos de convergencia 10 0 5 Medidas asignadas y complejas 10 0 6 Medidas producto 10 0 7 Diferenciación 8 0

Total 72 0 Suma total de horas

Contenido Temático

Tema y subtemas

1

Teoría de la medida 1.1 Clase de conjuntos: Álgebras, σ- álgebras, clases monótonas. Borelianos 1.2 Funciones definidas en conjuntos: funciones aditivas σ-aditivas (aditivas

numerables) 1.3 Medidas y premedidas. Teoría de extensión de premedidas y medidas 1.4 Espacios con medida. Medidas borelianas. Medidas completas. Medidas

regulares 1.5 El teorema de Carathéodory 1.6 Medida de Lebesgue y conjuntos no medibles (conjuntos de Vitali) 1.7 La medida de Lebesgue Stieltjes

2

Funciones medibles e Integración 2.1 Funciones medibles. Convergencia puntual, uniforme y casi dondequiera.

Aproximación de funciones medibles 2.2 Definición de la integral de Lebesgue para funciones no negativas y propiedades

fundamentales 2.3 Teorema de convergencia monótona y lema de Fatou 2.4 Definición de la integral de Lebesgue 2.5 Teorema de convergencia dominada 2.6 Comparación con la integral de Riemann

3

Espacios Lp 3.1 Definición de los espacios Lp. Desigualdades de Hölder y Minkowsky 3.2 La norma en los espacios Lp. Propiedades topológicas de los espacios Lp. El teorema de Riesz_Fisher 3.3 Inclusiones en espacios Lp y aproximación de funciones en Lp

4

Modos de convergencia 4.1 Convergencia en medida 4.2 Convergencia casi siempre y casi uniforme 4.3 Convergencia en Lp 4.4 Relaciones entre los tipos de convergencia 4.5 Los teoremas de Egorov y Luzin

5

Medidas asignadas y complejas 5.1 Medidas con signo 5.2 Teoremas de descomposición de Hann y Jordan 5.3 El teorema de Radon-Nikodým 5.4 El teorema de descomposición de Lebesgue 5.5 El teorema de representación de Riesz

17

6

Medidas producto 6.1 Espacio medible producto. Secciones 6.2 Medidas producto 6.3 Los teoremas de Tonelli y Fubin

7

Diferenciación 7.1 Diferenciación de funciones monótonas 7.2 Funciones de variación acotada 7.3 Diferenciación de la integral de Lebesgue 7.4 Funciones absolutamente continuas y el teorema fundamental del cálculo


Exposición oral X Exámenes parciales X Trabajo en equipo Examen final X Lecturas Trabajos y tareas X Trabajo de investigación Presentación de tema Prácticas (taller o laboratorio) Participación en clase X Prácticas de campo Asistencia Aprendizaje por proyectos Rúbricas Aprendizaje basado en problemas Portafolios Casos de enseñanza Listas de cotejo Otras (especificar) Otras (especificar) Ejercicios dentro de clase X Ejercicios fuera del aula X Conocimientos antedecentes: Para cursar la actividad académica es necesario tener conocimiento de algunos fundamentos de análisis matemático como los siguientes: Espacios topológicos, métricos, normados. Continuidad, compacidad completes y completación de espacios métricos.



Bibliografía Básica: • Dudley, R.M., Real Analysis and Probability, Wadsworth and Brooks/Cole, Belmont, 1989. • Halmos, P.R., Measure Theory, Springer Verlag, New York, 1974. • Royden, H.L., Analysis, Collier-Macmillan Press Editors, 1968. • Rudin, W, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1977. • Wheeden, R.L. Y A. Sigmund, Measure and Integral, Marcel Dekker Inc, 1977.

Bibliografía Complementaria: • Ash, R.B., Real Analysis and Probability, Academic Press, New York, 1972. • Cohn, D.L., Measure Theory, Birkhauser, Boston, 1980. • Doob, J.L., Measure Theory, Springer Verlag, New York, 1994.

18





Programa de la actividad académica Análisis Complejo I

Clave

Semestre

1,2,3 o 4

Créditos


Análisis







Seriación






Objetivo general: El alumno conocerá los métodos, técnicas y resultados obtenidos en el estudio de funciones de variable compleja y establecerá la diferencia con la teoría de funciones de variable real. Objetivos específicos: Estudiar las propiedades de las funciones holomorfas definidas en el plano complejo. Estudiar la diferenciación e integración sobre curvas de tal clase de funciones. Aplicar el teorema del residuo para el cálculo de integrales, series y transformadas de Fourier de funciones.

19

Índice temático

Tema

Horas semestre

Teóricas Prácticas

1 Propiedades algebraicas, geométricas y topológicas de C 8 0 2 Funciones elementales 8 0 3 Analiticidad 8 0 4 Integración y Teorema de Cauchy 9 0 5 Series de Laurent y el teorema del residuo 9 0 6 Transformaciones conformes 8 0 7 Extensión analítica 8 0 8 Funciones Armónicas 8 0 9 Funciones enteras y meromorfas 6 0


Contenido Temático

Tema y subtemas

1

Propiedades algebraicas, geométricas y topológicas de C 1.1 Los números complejos. Representaciones de números complejos 1.2 Propiedades topológicas 1.3 Proyección estereográfica. Compactificación. Esfera de Riemann

2

Funciones elementales 2.1 Funciones lineales. Funciones bilineales o transformaciones lineales

fraccionarias (transformadas de Möbius) 2.2 Polinomios 2.3 Funciones exponencial y logarítmica 2.4 Funciones trigonométricas e hiperbólicas

3

Analiticidad 3.1 Derivada de una función. Ecuaciones de Cauchy-Riemann 3.2 Analiticidad y regiones de analiticidad 3.3 Definición de funciones armónicas 3.4 Series de potencias. Serie de Maclaurin y Taylor

4

Integración y Teorema de Cauchy 4.1 Curvas e integrales de linea. Invariancia ante homotopías 4.2 El teorema de Cauchy 4.3 Versión homológica del teorema de Cauchy 4.4 Teorema de Morera 4.5 La fórmula integral de Cauchy y sus consecuencias 4.6 El teorema del módulo máximo

5

Series de Laurent y el teorema del residuo 5.1 Clasificación de singularidades 5.2 Series de Laurent 5.3 El teorema del residuo y sus aplicaciones 5.4 El principio del argumento 5.5 El teorema de Rouché

6 Transformaciones conformes 6.1 Transformaciones conformes. Familias normales 6.2 El teorema de representación conforme de Riemann

7

Extensión analítica 7.1 Extensión analítica. Germen de una función analítica 7.2 Frontera natural. Puntos de ramificación 7.3 Teorema de monodromía

20

8

Funciones Armónicas 8.1 Propiedades de las funciones armónicas 8.2 Formula de Poisson 8.3 El teorema de Schwarz 8.4 El principio de reflexión

9

Funciones enteras y meromorfas 9.1 Productos infinitos 9.2 Teorema de factorización de Weierstrass 9.3 El teorema de Mittag-Leffler


Exposición oral X Exámenes parciales X Trabajo en equipo Examen final Lecturas Trabajos y tareas X Trabajo de investigación Presentación de tema Prácticas (taller o laboratorio) Participación en clase X Prácticas de campo Asistencia Aprendizaje por proyectos Rúbricas Aprendizaje basado en problemas Portafolios Casos de enseñanza Listas de cotejo Otras (especificar) Otras (especificar) Ejercicios dentro de clase X Ejercicios fuera del aula X




• Ahlfors, Lars V, Complex Analysis, McGraw Hill, 1996. • Conway, Jhn B, Functions of One Complex Variable, Springer Verlag Graduate

Texts In Mathematics, 1975. • Nehari, Zeev, Corformal Mapping, Dover, 1975. • Whittaker, E.T. Y G.N. Watson, A Course of Modern Analysis, Cambridge University

Press, 1973. Bibliografía Complementaria:

• Siegel, Carl L, Topics In Complex Function Theory, Vol I: Elliptic Functions And Uniformization Theory, Wiley Interscience, 1969.

• Titchmarsh, E.C, The Theory of Functions, Oxford University Press, 1939.

21





Programa de la actividad académica Análisis Numérico I

Clave

Semestre

1,2,3 o 4

Créditos


Análisis Numérico y Computación Científica (Incluyendo Modelación)







Seriación






Objetivo general: Presentar los fundamentos matemáticos de los métodos numéricos. Objetivos específicos: Que el alumno:

- Estudie los métodos directos numéricamente estables básicos de bajo costo computacional, como los métodos interactivos rápidos y seguros.

- Sea capaz de diagnosticar cuando un problema matemático es de datos numéricamente bien o mal-comportados.

- Realice experimentación numérica usando software profesional, o bien desarrollando programas en Matlab y/o Fortran77, y/o C.

- Se ejercite en la resolución numérica de problemas elementales de interés en las ciencias, la tecnología y los servicios.

22

Índice temático

Tema Horas


1 Sistemas numéricos de punto flotante 10 0 2 Álgebra lineal numérica 10 0 3 Solución de ecuaciones escalares 10 0 4 Mínimo de cuadrados lineales 10 0 5 Valores y vectores propios 10 0 6 Aproximación de funciones 10 0 7 Diferenciación e integración numérica 12 0


Contenido Temático

Tema y subtemas

1

Sistemas Numéricos de punto flotante 1.1 Condición de un problema numérico 1.2 Estabilidad de un método 1.3 Problemas bien y mal planteados

2

Álgebra lineal numérica 2.1 Solución de sistemas de ecuaciones lineales 2.2 Factorización LU 2.3 Estrategias de pivoteo 2.4 Estabilidad y condición 2.5 Factorización de Cholesky 2.6 Métodos iterativos: Guass-Seydel y Jacobi

3

Solución de ecuaciones escalares 3.1 Métodos de bisección 3.2 Newton 3.3 Secante

4

Mínimo de cuadrados lineales 4.1 Ecuaciones normales de Euler 4.2 Descomposición QR 4.3 Problemas de rango deficiente 4.4 Descomposición en valores singulares 4.5 Análisis de error

5

Valores y vectores propios 5.1 Método de potencia 5.2 Iteración inversa 5.3 Método de Rayleigh 5.4 Algoritmo QR

6

Aproximación de funciones 6.1 Interpolación polinomial 6.2 Diferencias divididas 6.3 Interpolación de Hermite 6.4 Iterpolación spline 6.5 Iterpolación trigonométrica 6.6 Transformada de Fourier rápida

7 Diferenciación e integración numérica

7.1 Diferenciación numérica usando interpolación 7.2 Reglas básicas de cuadratura

23

7.3 Newton-Cotes 7.4 Gaussiana 7.5 Cuadratura adaptiva


Exposición X Exámenes parciales X Trabajo en equipo Examen final X Lecturas Trabajos y tareas X Trabajo de investigación X Presentación de tema Prácticas (taller o laboratorio) Participación en clase X Prácticas de campo Asistencia Aprendizaje por proyectos Rúbricas Aprendizaje basado en problemas Portafolios Casos de enseñanza Listas de cotejo Otras (especificar) Otras (especificar)




- Golub, Gene H. and James M. Ortega, Scientific Computing and Differential Equations an Introduction to Numerical Methods, Academic Press, 1992.

- Golub, G.H. Y Van Loan, Matrix Computations, 3° Edition, John Hopkins University Press, USA, 1996.

- Hammerlin, G. Y Hoffman, Kk. Numerical Mathematics, Springer Verlag Undergraduatetexts -In Mathematics Series, 1991.

- Kincaid, D Y Cheney, W, Numerical Analysis, Books/Cole, 1991. - Stoer, J. Bulirsch, R., Introduction to Numerical Analysis, 2° Edition, Springer-Verlag,

1994.

Bibliografía Complementaria: - Kahaner, D, Numerical Methods and Software, Prentice Hall, 1989. - Niederreiter, H., Random Number Generation and Quasi-Montecarlo Methods, Cbms

Ns Regional Conference Ser in Applied Mathematics, Siam, 1992.

24


PROGRAMA DE MAESTRÍA Y DOCTORADO EN CIENCIAS MATEMÁTICAS Y DE

LA ESPECIALIZACIÓN EN ESTADÍSTICA APLICADA


Programa de la actividad académica Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (Métodos en Diferencias)

Clave

Semestre

1,2,3 o 4

Créditos




Carácter Obligatorio de elección

Horas





Seriación

Ninguna (X)

Obligatoria ( )



Indicativa ( )



Objetivo general: Que el alumno conozca las características fundamentales que debe cumplir un esquema de discretización para resolver problemas de condiciones iniciales, y los resultados que relacionan los conceptos de consistencia y estabilidad con el de convergencia. Experimentar con esquemas que no necesariamente cumplen dichas características.

25

Objetivos específicos: Que el alumno: Conozca los principales grupos de métodos (Métodos lineales multipaso, métodos Predictor

-Corrector, métodos Runge Kutta), para resolver problemas de condiciones iniciales en su desarrollo y características de orden de convergencia y estabilidad lineal.

Conozca de esquemas para la estimación del error y en control automático de paso, y de su implementación.

Experimente y conozca de las dificultades que se presentan al resolver los llamados problemas rígidos (stiff), los aprenda a reconocer y conozca acerca de las características que deben cumplir los métodos adecuados para estos problemas.

Índice temático

Tema Horas


1 Introducción a los Métodos Numéricos 15 0 2 Métodos Lineales Multipaso 14 0 3 Métodos Predictor-Corrector 14 0 4 Métodos de un paso 14 0 5 Ecuaciones diferenciales Stiff. Teoría de estabilidad lineal 15 0


Contenido Temático

Tema y subtemas

1 Introducción a los Métodos Numéricos 1.1 Conceptos básicos: discretización, errores local y global, consistencia,

estabilidad y convergencia

2

Métodos Lineales Multipaso 2.1 Errores local y global 2.2 Cotas de error 2.3 Teoría de estabilidad lineal 2.4 Métodos BDF (Backward Differential Formula)

3

Métodos Predictor-Corrector 3.1 Error local de truncamiento 3.2 Teoría de estabilidad para los métodos predictor-corrector 3.3 Estrategias de paso variable (longitud)

4

Métodos de un paso 4.1 Introducción a los métodos de Runge-Kutta, consistencia, error local, orden y

convergencia 4.2 Introducción a la teoría de Butcher, condiciones de orden 4.3 Métodos explícitos, implícitos y semi-implícitos 4.4 Teoría de estabilidad para los métodos de Runge- Kutta

5

Ecuaciones diferenciales Stiff. Teoría de estabilidad lineal 5.1 La naturaleza de stiffness 5.2 Métodos implícitos en el contexto de stiffness 5.3 Métodos lineales multipaso 5.4 Métodos de Runge-Kutta 5.5 Correlación con métodos en diferencias para ecuaciones diferenciales

Parciales

26

Estrategias didácticas Evaluación del aprendizaje Exposición X Exámenes parciales X Trabajo en equipo Examen final X Lecturas Trabajos y tareas X Trabajo de investigación Presentación de tema Prácticas (taller o laboratorio) Participación en clase X Prácticas de campo Asistencia Aprendizaje por proyectos X Rúbricas Aprendizaje basado en problemas Portafolios Casos de enseñanza Listas de cotejo Otras (especificar) Otras (especificar)




• Celia, M.A. Y Gray, W.G., Numerical Methods for Differential Equations Fundamental Concepts for Scientific And Engineering Applications, Prentice Hall, 1992.

• Hairer E Y Norsett S.P., Wanner G, Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems, Springer 2° Edition, 1993.

• Lambert, J.D.., Numerical Methods for Ordinary differential Systems. The Initial Value Problem, Wiley 2° Edition, 1991.

• Shampine, L.F., Numerical Solution of Ordinary Differential Equations, Chapman $ Hall, 1994.

• Bibliografía Complementaria:

• Butcher, J.C., The Numerical Analysis Of Ordinary Differential Equations, Wiley, 1987. • Hairer. E, Norsett, S.P. Y Wanner, G., Solving Ordinary Differential Equations Ii: Stiff

and Differential-Algebraic Problems, Springer, 1991.

27





Programa de la actividad académica Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Parciales (Métodos en Diferencias)

Clave

Semestre

1,2,3 o4

Créditos









Seriación

Ninguna (X)

Obligatoria ( )



Indicativa ( )



Objetivo general: El alumno entenderá, con base en problemas concretos, qué tipo de Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) es posible usar para formular un modelo correspondiente a un problema dado. Además, será capaz de formular esquemas adecuados para resolverlo y de realizar su estudio y análisis. Objetivos específicos: El alumno: Formulará modelos matemáticos en EDP correspondientes a distintos problemas

concretos. Será capaz de entender el tipo de EDP que está usando para modelar un problema, así

como el grado de generalidad que tiene.

Resolverá problemas mediante diferencias finitas, realizará los códigos correspondientes y analizará los resultados.

28

Índice temático

Tema Horas


1 Ecuaciones Parabólicas 18 0 2 Ecuaciones Elípticas 18 0 3 Ecuaciones Hiperbólicas 18 0 4 Aplicaciones 18 0


Contenido Temático

Tema y subtemas

1

Ecuaciones Parabólicas 1.1 Ecuaciones parabólicas en una dimensión, convergencia y estabilidad 1.2 Condiciones de frontera 1.3 Ecuaciones parabólicas en dos dimensiones: métodos explícitos e implícitos

de dirección alternante (A.D.I.) 1.4 Métodos locales de una dimensión 1.5 Ecuaciones parabólicas en tres dimensiones, métodos explícitos e implícitos 1.6 Esquemas en diferencias en tres niveles: explícitos e implícitos 1.7 Ecuaciones no lineales

2

Ecuaciones Elípticas 2.1 Ecuaciones elípticas en dos dimensiones 2.2 Ecuación de Laplace en un cuadrado 2.3 El problema de Neumann 2.4 Condiciones de frontera mixtas 2.5 Regiones no rectangulares 2.6 Ecuaciones elípticas autoadjuntas 2.7 Métodos en diferencias finitas y volumen finito 2.8 Propiedades generales de los esquemas en diferencias 2.9 La ecuación biharmónica 2.10 Métodos iterativos clásicos* 2.11 Métodos de gradientes conjugados* 2.12 Métodos A.D.I.* 2.13 Problemas de eigenvalores*

3

Ecuaciones Hiperbólicas 3.1 Ecuaciones hiperbólicas de primer orden, esquemas en diferencias explícitas e

implícitas 3.2 Sistemas hiperbólicos de primer orden en una dimensión 3.3 Leyes de conservación 3.4 Sistemas hiperbólicos de primer orden en dos dimensiones 3.5 Disipación y dispersión 3.6 Estabilidad de problemas con valor inicial 3.7 Inestabilidad no lineal 3.8 Ecuaciones de segundo orden en una y dos dimensiones

4

Aplicaciones 4.1 Esquinas reentrantes y singularidades en la frontera 4.2 Flujo viscoso incomprensible 4.3 Flujo compresible 4.4 Problemas con frontera libre 4.5 Crecimiento del error en problemas de conducción- convención

29

4.6 Panorama actual de la solución de EDP (XFEM, Glaerkin Discontinuos, Mesh free methods)

Nota: Los temas con asterisco (*), serán incluidos o no, a criterio del profesor.


Exposición oral X Exámenes parciales X Trabajo en equipo Examen final X Lecturas Trabajos y tareas X Trabajo de investigación Presentación de tema Prácticas (taller o laboratorio) Participación en clase X Prácticas de campo Asistencia Aprendizaje por proyectos Rúbricas Aprendizaje basado en problemas Portafolios Casos de enseñanza Listas de cotejo Otras (especificar) Otras (especificar) Ejercicios dentro de clase X Ejercicios fuera del aula X Seminarios X



Bibliografía Básica: -Ames, W.A., Numerical Methods For Partial Differential Equations, Academic Press, 3 Td Edition, 1997. -Lapidus, L. Y Pinder, G.F. Numerical Solution Of Partial Differential Equations In Science And Engineering, Wiley, 1982. -Mattheij, S. W. Rienstra And J.H. M Ten Thije Boonkkamp. Partial Differential Equations Modeling Analysis, Computation. Siam. Meis, T. Y Marcowitz, U, Numerical Solution Of Partial Differential Equations, Springer Applied Math. Scies. Ser 32, 1981. -Mitchell, A.R. Y Griffiths, D.F., The Finite Difference Method In Partial Differential Equations, Wiley, 1980. -Smith, G.D., Numerical Solution Of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods, Clarendon Press, 3 Td Edition, 1985. -Strikwerda, J.C., Finite Differenceschemes and Partial Differential Equations, Wadswort & Brooks/Cole Advanced Books & Software, 1989. Bibliografía Complementaria: - Godlewski, E Y Raviat, P., Numerical Approximation Of Hyperbolic Systems Of Conservation Laws, Applied Math. Sciences, 118 Springer Verlag, 1996. -Richtmyer, R.D. Y Morton, K.W., Difference Methods For Initial-Value Problems, Miley, 2° Edition, 1967.

30





Programa de la actividad académica Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Clave

Semestre

1,2,3 o 4

Créditos


Ecuaciones Diferenciales (ordinarias y parciales)







Seriación






Objetivo general: Reforzar y ampliar los conocimientos del alumno sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Objetivos específicos: El alumno aprenderá los resultados básicos sobre: - Existencia y unicidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. - La teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. - Perturbaciones de sistemas lineales. - Sistemas autónomos en el plano. - Teoría de la bifurcación.

Índice temático

Tema Horas


1 Existencia y unicidad de soluciones 12 0 2 Sistemas lineales 12 0

31

3 Perturbaciones de sistemas lineales 12 0 4 Sistemas autónomos en el plano 12 0 5 Temas opcionales: Métodos de perturbación 12 0 6 Teoría de Bifurcación 12 0


Contenido Temático

Tema y subtemas

1

Existencia y unicidad de soluciones 1.1 Contracciones 1.2 Existencia de soluciones 1.3 Desigualdad de Gronwall 1.4 Unicidad 1.5 Dependencia continua respecto a condiciones iniciales y parámetros

2

Sistemas lineales 2.1 Sistemas con coeficientes constantes 2.2 Clasificación de puntos críticos en el plano 2.3 Sistemas con coeficientes periódicos en el plano 2.4 Sistemas asintóticamente constantes 2.5 Soluciones fundamentales 2.6 Soluciones periódicas y su estabilidad 2.7 Teoría de Floquet 2.8 Existencia de soluciones globales 2.9 Teoremas de oscilación y comparación para ecuaciones lineales de segundo

orden 2.10 Estabilidad de soluciones para sistemas lineales hiperbólicos

3

Perturbaciones de sistemas lineales 3.1 Sistemas no lineales autónomos 3.2 Estabilidad lineal de puntos críticos 3.3 Persistencia de nodos y focos no degenerados 3.4 Variedades invariantes locales y globales 3.5 Variedades estables e inestables de puntos críticos 3.6 Variedad central 3.7 Órbitas homoclínicas y heteroclínicas 3.8 Teorema de HartmanGrobman

4

Sistemas autónomos en el plano 4.1 Sistemas conservativos. Campos hamiltonianos 4.2 Sistemas disipativos. Campos gradiente y funciones de Lyapunov 4.3 Puntos límite de trayectorias. Teorema de Poincaré-Bendixson,

Clasificación de conjuntos límite

5 Temas opcionales: Métodos de perturbación 5.1 Perturbaciones regulares y singulares en la ecuación de Van der Pol 5.2 Promediación

6 Teoría de Bifurcación 6.1 Primeros ejemplos y definiciones. Silla-Nodo. Pichfork. Trans-crítica 6.2 Bifurcaciones locales. Variedades centrales. Formas normales 6.3 Reducción de Lyapunov Schmidt 6.4 Bifurcaciones en orbitas periódicas. Bifurcación de ciclo límite. Bifurcación de

doblamiento de periodo. Bifurcación de Neimark-Sacker 6.5 Bifurcación de Hopf 6.6 Bifurcaciones globales. Bifurcación homoclínica de equilibrio. Bifurcación

heteroclínica de puntos fijos y orbitas periódicas

32

Estrategias didácticas Evaluación del aprendizaje Exposición oral X Exámenes parciales X Trabajo en equipo Examen final X Lecturas Trabajos y tareas X Trabajo de investigación Presentación de tema Prácticas (taller o laboratorio) Participación en clase X Prácticas de campo Asistencia Aprendizaje por proyectos Rúbricas Aprendizaje basado en problemas Portafolios Casos de enseñanza Listas de cotejo Otras (especificar) Otras (especificar) Ejercicios dentro de clase X Ejercicios fuera del aula X



Bibliografía Básica: • Arnold, V.I. Ordinary Differential Equations, 3rd Ed. Springer-Verlag, 1991. • Chicone, C, Ordinary Differential Equations with Applications, Springer- Verlag, 2006. • Hale, J, Ordinary Differential Equations, Wiley-Interscience, 1991. • Hirs, M. Smale, S., Differential Equations, Dynamical Systems and Lin- Ear Algebra,

Academic Press, New York, 1974. • Kuznetsov, Y.A, Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer-Verlag, 2004. • Perko, L, Differential Equations and Dynamical Systems, Springer- Verlag, 1996. • Pointriaguin, L.C., Ordinary Differential Equations, Addison-Wesley, 1962.

Bibliografía Complementaria: • Codington E.A., Levinsion, N. Theory of Ordinary Differential Equa- Tions, Krieger

Publishing Company, 1984. • Guckenheimer, J. Y Holmes, P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Sys- Tems And

Bifurcations Of Vector Fields, Springer-Verlag, Applied Math- Ematical Sciences, 1983. • Hartman, P., Ordinary Differential Equations, Society for Industrial and Applied

Mathematics, Edition Second, 2002. • Nemytskii V.V., Stepanov V.V., Qualitative Theory Of Differential Equa- Tions, Princeton

University Press, 1960.

33





Programa de la actividad académica Ecuaciones Diferenciales Parciales

Clave

Semestre

1,2,3 o 4

Créditos


Ecuaciones Diferenciales (ordinarias y parciales)







Seriación






Objetivo general: Reforzar y ampliar los conocimientos del alumno sobre Ecuaciones Diferenciales Parciales. Objetivos específicos: El alumno aprenderá los resultados básicos sobre: - Problemas bien y mal planteados. - Problemas con valores iniciales y a la frontera. - Resultados de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de segundo grado. - Propiedades de las soluciones a problemas de elípticos, parabólicos e hiperbólicos. - Formulas explícitas y métodos de solución para ecuaciones de primer grado y para

ecuaciones lineales de segundo grado.

34

Índice temático

Tema Horas


1 Introducción 4 0 2 Ecuaciones de primer orden 17 0 3 Ecuaciones elípticas 17 0 4 Ecuación del calor 17 0 5 Ecuación de onda 17 0


Contenido Temático

Tema y subtemas

1 Introducción 1.1 Problemas bien y mal planteados 1.2 Modelos matemáticos y deducción de ecuaciones diferenciales parciales 1.3 Valores a la frontera y condiciones iniciales

2 Ecuaciones de primer orden 2.1 Ecuación de transporte 2.2 Ecuaciones lineales y cuasi-lineales 2.3 Método de características: ecuaciones cuasi-lineales 2.4 Método de características: ecuaciones completamente no lineales 2.5 Leyes de conservación: ecuaciones no lineales y soluciones discontinuas 2.6 Problema de Riemann: ondas de choque y ondas de rarefacción 2.7 Existencia y unicidad al problema de Riemann para flujos convexos 2.8 Aplicaciones: Modelo de tráfico, fenómenos de transporte, ecuación de

Burgers, ecuaciones de Hamilton-Jacobi, óptica geométrica (ecuación “eikonal)

3 Ecuaciones elípticas 3.1 Las ecuaciones de Poisson y Laplace 3.2 Propiedades de funciones armónicas 3.3 El principio del máximo 3.4 Función de Green y la fórmula de Poisson 3.5 El problema de Dirichlet 3.6 Series de Fourier y solución al problema de Dirichlet en un dominio

cuadrado 3.7 Existencia de la solución al problema de Dirichlet: el método de Perron 3.8 Métodos de energía y el principio de Dirichlet 3.9 Problemas de valores propios (armónicos esféricos) 3.10 Ejemplos: membranas, electrostática, mecánica de fluidos

4 Ecuación del calor 4.1 La solución fundamental (núcleo de Poisson) 4.2 Problemas con valores iniciales y de frontera 4.3 Series de Fourier y solución al problema de valores iniciales en un intervalo 4.4 Principio del máximo débil 4.5 Principio del máximo fuerte y unicidad 4.6 Problema no homogéneo: principio de Duhamel 4.7 Regularidad 4.8 No unicidad al problema de Cauchy en todo el espacio 4.9 Teorema de Wider 4.10 Aplicaciones: difusión, caminatas aleatorias, finanzas

35

5 Ecuación de onda 5.1 Ecuaciones de onda en una dimensión 5.2 Problema de Cauchy 5.3 Condiciones de frontera 5.4 Problemas no homogéneos 5.5 Ecuación de onda en el espacio 5.6 Cono de luz y método de promedios, principio de Huygens 5.7 Método del descenso de Hadamard 5.8 Problema no homogéneo y principio de Duhamel 5.9 Método de energía 5.10 Aplicaciones: cuerda vibrante, membrana elástica, ecuaciones de Mazwell


Exposición oral X Exámenes parciales X Trabajo en equipo Examen final X Lecturas Trabajos y tareas X Trabajo de investigación Presentación de tema Prácticas (taller o laboratorio) Participación en clase X Prácticas de campo Asistencia Aprendizaje por proyectos Rúbricas Aprendizaje basado en problemas Portafolios Casos de enseñanza Listas de cotejo Otras (especificar) Otras (especificar) Ejercicios dentro de clase X Ejercicios fuera del aula X




• F. Jhon, Partial Differential Equations. Vol. 1 of Applied Mathematical Sciences, Springer Verlag, New York, Fourth Ed., 1982.

• L.C. Evans, Partial Differential Equations, Vol. 19 of Graduate Studies in Mathematics, Amer. Math. Soc., Providence, Rl, 1998.

• S. Salsa, Partial Differential Equations in Action. From Modelling To Theory, Universitext, Springer-Verlag Italia, Milan, 2008.

Bibliografía Complementaria: • D. Gilbarg And N. S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations Of Second Order,

Classics In Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 2001. • G. B. Folland, Introduction To Partial Differential Equations, Princeton University Press,

Second Ed., 1995. • J. Jost, Partial Differential Equations, Vol. 214 of Graduate Texts In Mathematics,

Springer, New York, Second Ed., 2007. • J. Smoller, Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations, Springer-Verlag, New

York, Second Ed., 1994. • Q. Han, A Basic Course In Partial Differential Equations, Graduate Studies In

Mathematics, Vol 120, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2011.

• R. Courant and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics. Vol. Ii: Partial Differential Equations, Wiley Classics Library, John Wiley & Sons Inc., New York, 1989.

36





Programa de la actividad académica Inferencia Bayesiana

Clave

Semestre

1,2,3 o 4

Créditos


Estadística




Teóricas: 3 Teóricas: 48


Total: 3 Total: 48

Seriación






Objetivo general: Presentar al alumno los fundamentos matemáticos de la Estadística Bayesiana. Objetivos específicos: Familiarizar al alumno con los elementos de la Teoría de la Decisión en Ambiente de Incertidumbre y su aplicación a la formalización de la Estadística Bayesiana, así como a la resolución de problemas específicos de inferencia estadística desde el punto de vista Bayesiano.

Índice temático

Tema Horas


1 Introducción 8 0 2 Intercambiabilidad 8 0 3 Inferencia Estadística 8 0

37

4 Elementos de la Teoría de la Decisión 8 0 5 Algunos Problemas de Decisión Estadísticos 8 0 6 Modelado 8 0


Contenido Temático

Tema y subtemas

1 Introducción 1.1 Introducción Estadística 1.2 Un ejemplo: Análisis de Datos Dicotómicos

2

Intercambiabilidad 2.1 El Concepto de Intercambiabilidad 2.2 Teorema de Representación de Bruno Finetti 2.3 Teorema de Bayes 2.4 Inferencia y Predicción

3

Inferencia Estadística 3.1 Suficiencia 3.2 Familias exponenciales 3.3 Familias conjugadas 3.4 El principio de Verosimilitud 3.5 Aproximaciones Analíticas y Numéricas 3.6 Parámetros de Interés y Parámetros de Ruido 3.7 Análisis de Referencia

4

Elementos de la Teoría de la Decisión 4.1 Estructura de un Problema de Decisión en Ambiente de Incertidumbre 4.2 Solución Bayesiana de un problema de Decisión en Ambiente de

Incertidumbre 4.3 Problemas de Decisión Secuenciales 4.4 Procesos de Inferencia como Problemas de Decisión

5

Algunos Problemas de Decisión Estadísticos 5.1 Estimación Puntual 5.2 Estimación por Regiones 5.3 Contraste de Hipótesis 5.4 Predicción

6 Modelado 6.1 Modelado de Regresión Lineal 6.2 Modelado de Regresión Logística 6.3 Modelos Jerárquicos 6.4 Mezclas 6.5 El Proceso de Dirichlet


Exposición oral X Exámenes parciales X Trabajo en equipo Examen final X Lecturas Trabajos y tareas X Trabajo de investigación Presentación de tema Prácticas (taller o laboratorio) Participación en clase X Prácticas de campo Asistencia Aprendizaje por proyectos Rúbricas Aprendizaje basado en problemas Portafolios Casos de enseñanza Listas de cotejo Otras (especificar) Otras (especificar)

38

Ejercicios dentro de clase X Ejercicios fuera del aula X




• Berger, J. O. & Wolpert, R.L. (1988). The Likelihood Principle. Hayward, Ca: Institute Of Mathematical Statistics

• Bernardo, J.M. &Smith, A. F. M. (1994). Bayesian Theory. Chichester: Wiley. • O’hagan A. (1994). Kendall’s Advanced Theory of Statistics. Vol. 2b: Bayesian

Inference. Cambridge: Edward Arnold • Schervish, M.J. (1995). Theory of Statistics. New York: Springer. • Sivia, D.S. (1996). Data Analysis. A Bayesian Tutorial. Oxford: Clarendon Press.

Bibliografía Complementaria: • Berger, J.O. (1985) Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis (2nd.

Edition). New York: Springer Verlag. • Bernardo, J.M. (1981) Bioestadística: Una Perspectiva Bayesiana. Barcelona:

Vicens Vives. • Box, G.E.P. & Tiao, G.C. (1973) Bayesian Inference in Statiscal Analysis.

Reading, Ma: Addison-Wesley. • Congdon, P. (2001) Bayesian Statiscal Modelling. Chichester: Wiley. • Congdon, P. (2003) Applied Bayesian Modelling. Chichester: Wiley. • De Finetti, B. (1970/1974) Teoria Delle Probabilitá 1. Turin: Einaudi. English

Translation as Theory of Probability 1 in 1974, Chichester: Wiley. • De Finetti, B. (1970/1975) Teoria Delle Probabilitá 2. Turin: Einaudi. English

Translation as Theory of Probability 2 in 1975, Chichester: Wiley. • De Groot, M.H. (1970) Optimal Statistical Decisions. New York: Mc Graw-Hill. • Gelman, A., Carlin, J.B., Stern, H.S. & Rubin, D.B (1995). Bayesian Data

Analysis. London: Chapman and Hall. • Ghosh, J.K., Delampady, M. A & Tapas, S. (2009). An Introduction to Bayesian

Analysis: Theory and Methods. Springer. • Jeffreys, H. (1961) Theoryof Probability. Oxford: University Press. • Leonard, T. Y Hsu, J.S. (1999) Bayesian Methods: An Analysis for Statisticians

and Interdisciplinary Researchers. Cambridge: Cambrige University Press. • Lindley, D.V. (1972) Bayesian Statistics: A Review. Philadelphia, Pa: Siam. • Raiffa, H. & Schlaifer, R. (1961). Applied Statistical Decision Theory.

Cambridge: University Press. • Robert, C.P. (2007). The Bayesian Choice. (2nd Ed.) New York: Springer.

39





Programa de la actividad académica Inferencia Estadística

Clave

Semestre

1,2,3 o 4

Créditos


Estadística






Total: 3 Total: 48

Seriación






Objetivo general: Presentar al alumno los fundamentos de Inferencia Estadística. Objetivos específicos: Familiarizar al alumno con los conceptos de suficiencia, insesgamiento, eficiencia, así como la obtención de estimadores puntuales y por intervalos y sus propiedades. También el alumno se familiarizará con la teoría de pruebas de hipótesis.

Índice temático

Tema Horas


1 Familias paramétricas 10 0 2 Estimación paramétrica 10 0 3 Intervalos de confianza 10 0 4 Pruebas de hipótesis 10 0

40

5 Bondad de Ajuste 8 0 Total 48 0

Suma total de horas 48

Contenido Temático

Tema y subtemas

1

Familias paramétricas 1.1 Suficiencia y reducción de información muestral 1.2 El problema de estimación 1.3 El problema de pruebas de hipótesis 1.4 El problema de bondad de ajuste

2

Estimación paramétrica 2.1 Propiedades de estimadores 2.2 Métodos usuales de estimación 2.3 Teoría de Rao-Blackwell 2.4 Teoría de Cramer-Roa 2.5 Estimación bayesiana y problemas de decisión

3

Intervalos de confianza 3.1 Verosimilitud relativa 3.2 Desarrollos de la verosimilitud 3.3 Pivotales asintóticas 3.4 Reparametrización 3.5 Distribución fiducial

4

Pruebas de hipótesis 4.1 Problema de hipótesis simples 4.2 Lema de Neyman-Pearson 4.3 Simple contra compuesta. Potencias 4.4 Optimalidad y razón de verosimilitud 4.5 Ejemplos de muestreo de la normal

5 Bondad de Ajuste

5.1 Estadísticas Clásicas de Bondad de Ajuste 5.2 Métodos Computacionales de Bondad de ajuste


Exposición oral X Exámenes parciales X Trabajo en equipo Examen final X Lecturas Trabajos y tareas X Trabajo de investigación Presentación de tema Prácticas (taller o laboratorio) Participación en clase X Prácticas de campo Asistencia Aprendizaje por proyectos Rúbricas Aprendizaje basado en problemas Portafolios Casos de enseñanza Listas de cotejo Otras (especificar) Otras (especificar) Ejercicios dentro de clase X Exámenes Parciales X Ejercicios fuera del aula X



41

Bibliografía Básica: Casella y Berger, Statistical Inference, Australia:Mexico Ed., 2nd Ed. , Duxbury, ,

2002 Cox Y Hinkley, Theoretical Statistics, Chapman and Hall, 1974. Kalbfleisch, Probability and Statistical Inference, Vol 2, Springer-Verlag, 1985. Mood, Graybill & Boes, Introduction to the Theory of Statistics, McGraw Hill, 1974.


• Migon H. Y Gammerman D., Statistical Inference. An Integrated Approach, Arnold, 1999.

42





Programa de la actividad académica Finanzas Matemáticas y Derivados en Tiempo Discreto

Clave

Semestre

1,2,3 o 4

Créditos


Finanzas Matemáticas






Total: 3 Total: 48

Seriación






Objetivo general: Introducir los modelos básicos en el área de Finanzas en tiempo discreto enfocando en particular a valuación de opciones y modelos de interés. Objetivos específicos: Familiarizar al alumno con los conceptos básicos en finanzas tales como arbitraje, completez y cambios de media.

43

Índice temático

Tema Horas


1 Modelos de tasa de interés 16 0

2 Precios de Valores en Mercados Financieros en Tiempo Discreto

16 0

3 El Modelo Black-Scholes como Límite Discreto 16 0 Total 48 0


Contenido Temático

Tema y subtemas

1 Modelos de tasa de interés 1.1 Interés simple, compuesto, continuamente compuesto 1.2 Bonos (descuento, add-on, cupones, Cetes, etc) 1.3 Estructuras de plazos (term-structure) 1.4 Contractos adelantados (forwards) y futuros 1.5 Tasa forward. Curva de rendimientos (Yield curve) 1.6 Cobertura de futuros 1.7 Swaps: tasa de interés, divisas

2 Precios de Valores en Mercados Financieros en Tiempo Discreto 2.1 El modelo de un periodo 2.2 Valores y derivados 2.3 Medida neutral de riesgo y ausencia de arbitraje 2.4 Completez, cobertura y estrategias autofinanciables 2.5 Modelo multi-periodo 2.6 Medida de riesgo neutral, arbitraje y cobertura 2.7 Valores europeos, americanos y paro óptimo 2.8 Cálculo estocástico discreto: Integral, transformaciones de Esscher y Girsanov 2.9 Valuación en mercados incompletos

3 El Modelo Black-Scholes como Límite Discreto 3.1 El modelo de Cox-Ross-Rubinstein (CRR) 3.2 El modelo Black-Scholes como límite de CRR 3.3 Otros límites 3.4 Introducción intuitiva al cálculo estocástico 3.5 Fórmula de Ito 3.6 Cobertura en tiempo continúo 3.7 Griegas 3.8 Estimación de parámetros en el modelo de Black-Scholes

Estrategias didácticas Evaluación del aprendizaje Exposición oral X Exámenes parciales X Trabajo en equipo Examen final X Lecturas Trabajos y tareas X Trabajo de investigación Presentación de tema Prácticas (taller o laboratorio) Participación en clase X Prácticas de campo Asistencia Aprendizaje por proyectos Rúbricas Aprendizaje basado en problemas Portafolios Casos de enseñanza Listas de cotejo Otras (especificar) Otras (especificar)

44





• Albert N. Shiryaev, Essentials of Stochastic Finance, World Scientific, 1999. • D. Lamberton Y B. Lapeyre, Introduction To Stochastic Calculus Applied To Finance,

Chapman & Hall, 1997. • J.C. Cox, R.A. Ross, M. Rubinstein Y Otros, Option Pricing: A Simplified Approach, J.

Financial Economics, 1979. • Michael U. Dothan, Prices In Financial Markets, Oxford University Press, 1990. • Robert C. Merton, Continuous-Time Finance, Blackwell, 1990.


• John C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives, Prentice Hall, 2002. • S. Pliska, Introduction to Mathematical Finance: Discrete Time Models, Blackwell, 1997.

45





Programa de la actividad académica Teoría de Riesgo

Clave

Semestre

1,2,3 o 4

Créditos






Teóricas 3 Teóricas 48

Prácticas 0 Prácticas 0

Total 3 Total 48

Seriación






Objetivo general: Introducir los modelos básicos y modernos que se usan en el área de riesgo en seguros con el fin de obtener herramientas que complementan los métodos de finanzas matemáticas. Objetivos específicos: Familiarizar al alumno con los métodos clásicos en la teoría de riesgo como primas, solvencia y probabilidades ruina utilizando herramientas de procesos de Markov.

Índice temático

Tema Horas


1 Conceptos y modelos básicos en seguros y finanzas 10 0 2 Primas y Riesgos 10 0 3 Procesos de Riesgo 10 0 4 Riesgo y Portafolios 10 0

46

5 Procesos de Markov 8 0 Total 48 0


Contenido Temático

Tema y subtemas

1 Conceptos y modelos básicos en seguros y finanzas 1.1 El proceso del número de reclamaciones 1.2 El proceso del tamaño de las reclamaciones 1.3 Soluciones del Portafolio 1.4 Reaseguro 1.5 Problemas de la Ruina 1.6 Distribuciones con Hazard rate monótonas 1.7 Distribuciones de Colas Pesadas 1.8 Detección de distribuciones de Colas Pesadas

2 Primas y Riesgos 2.1 Principios básicos del cálculo de primas

2.1.1 Propiedades deseables de una buena prima 2.1.2 Principios básicos de primas 2.1.3 Cuantiles

2.2 Orden Estocástico 2.2.1 Funciones de Utilidad 2.2.2 Orden Estocástico 2.2.3 El principio de Utilidad cero

3 Procesos de Riesgo 3.1 Procesos de Riesgo dependientes del tiempo 3.2 Procesos Poisson 3.3 Probabilidades de Ruina: Proceso Poisson Compuesto 3.4 Cotas y Aproximaciones 3.5 Modelo Cramér-Lundberg 3.6 Modelo Sparre-Andersen 3.7 Transformación de Esscher y cambios de medida

4 Riesgo y Portafolios 4.1 Medidas de Riesgo 4.2 Optimización de Portafolios

5 Procesos de Markov 5.1 Cadenas de Markov 5.2 Procesos de Markov 5.3 Teoría de renovación 5.4 Procesos escalonados 5.5 Paro opcional de martingalas


Exposición oral X Exámenes parciales X Trabajo en equipo Examen final X Lecturas Trabajos y tareas X Trabajo de investigación Presentación de tema Prácticas (taller o laboratorio) Participación en clase X Prácticas de campo Asistencia Aprendizaje por proyectos Rúbricas Aprendizaje basado en problemas Portafolios Casos de enseñanza Listas de cotejo Otras (especificar) Otras (especificar)

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• J. Grandell, Aspects of Risk Theory, Springer, 1991. • P. Embrechts, C. Klüppelberg, T. Mikosch Y Otros, Modelling Extremal Events,

Springer, 1997. • T. Rolski, H. Schmidli, V. Schmidt, J.Teugels Y Otros, Stochastic Processes for

Insurance and Finance, Wiley, 1998.

Bibliografía Complementaria: • J. Galambos, Aymptotic Theory of Extreme Order Statistics, 2 Nd Ed Krieger, 1987. • S. Asmussen, Ruin Probabilities, World Scientific, 2000.

48





Programa de la actividad académica Finanzas matemáticas y derivados en tiempo continuo

Clave

Semestre

1,2,3 o 4

Créditos





Duración del programa SEMESTRAL Semana Semestre

Teóricas 3 Teóricas 48

Prácticas 0 Prácticas 0

Total 3 Total 48

Seriación






Objetivo general: Introducir los modelos básicos en el área de Finanzas en tiempo continuo enfocando en particular a valuación de opciones y modelos de interés. Objetivos específicos: Familiarizar al alumno con los conceptos básicos en finanzas tales como arbitraje, completez y cambios de media.

Índice temático

Tema Horas

semestre

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Teóricas Prácticas 1 Modelos de Black-Scholes en tiempo continuo 16 0 2 Teoría de arbitraje en tiempo continuo 16 0 3 Modelos para instrumentos de ingresos fijos 16 0


Contenido Temático

Tema y subtemas

1 Modelo de Black-Scholes en tiempo continuo 1.1 Integración con respecto al movimiento Browniano: construcción y resultados 1.2 Formulación del modelo básico 1.3 Medida de martingala 1.4 Fórmula de Black-Scholes 1.5 Cobertura. Griegas 1.6 La ecuación fundamental y la fórmula de Black-Scholes 1.7 Dividendos 1.8 Opciones americanas 1.9 Interés estocástico (Merton) 1.10 Derivados sobre futuros, divisas y otros instrumentos 1.11 Opciones exóticas

2 Teoría de Arbitraje en tiempo continuo 2.1 Portafolios y estrategias auto-financiables 2.2 Condiciones necesarias y suficientes de no-arbitraje 2.3 Medidas de martingala en el caso de difusión: Girsanov 2.4 Valuación en tiempo continuo (vía martingalas y ecuaciones dif.

Fundamentales) 2.5 Algunos métodos numéricos (diferencias finitas, Crank-Nicholson)

3 Modelos para instrumentos de ingresos fijos 3.1 Modelo de Vasicek 3.2 Modelo de Cox-Ingersoll-Ross 3.3 Modelo de Hull-White 3.4 Modelos long-normales 3.5 Modelo Ho-Lee 3.6 Modelo Heath-Jarrow-Morton

Estrategias didácticas Evaluación del aprendizaje Exposición oral X Exámenes parciales X Trabajo en equipo Examen final X Lecturas Trabajos y tareas X Trabajo de investigación Presentación de tema Prácticas (taller o laboratorio) Participación en clase X Prácticas de campo Asistencia Aprendizaje por proyectos Rúbricas Aprendizaje basado en problemas Portafolios Casos de enseñanza Listas de cotejo Otras (especificar) Otras (especificar) Ejercicios dentro de clase X

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Ejercicios fuera del aula X Seminarios X



Bibliografía básica: - Albert N. Shiryaev, Essentials Of Stochastic Finance, World Scientific, 1999. - D.Lamberton Y B. Lapeyre, Introducction To Stochastic Calculus Applied To Finance, Chapman & Hall,1997. - Marek Musiela, Marek Rutkowski, Martingale Methods In Financial Modelling, Springer, 1997. Robert C. Merton, Continuous-Time Finance, Blackwell, 1990. Bibliografía complementaria: - I.Karatzas Y S.E. Shreve, Browninan Motion And Stochastic Calculus, Springer, 1991. - Lars T. Nielsen, Pricing And Headging Of Derivative Securities, Oxford, 1999.

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Programa de la actividad académica Geometría Algebraica

Clave

Semestre

1,2,3 o 4

Créditos


Geometría







Seriación






Objetivo general: Introducir al alumno en la Geometría Algebraica moderna. Se presentan los elementos fundamentales que permiten el desarrollo de la herramienta necesaria y que abarcan el Álgebra Conmutativa, Geometría afín y proyectiva. Objetivos específicos: Brindar al alumno el conocimiento

tomo ii (maestría en ciencias matemáticas) · 2020. 10. 22. · ejercicios dentro de clase x...

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