Tobias StauberDepartamento de la Materia CondensadaDepacho: C-03-517Teléfono: 914973805Email: tobias.stauber@uam.es

Introducción a la Física I

1. Mecánica

Introducción a la matematica

Introducción:Diferenciación

1)()( nn nxxfxxf

32/32/1 1

21

21)(1)(

xxxfx

xxf

xxfxxfxf

x

)()(lim)(0

)()()()( 21 xOxnxxfxxfxxf nn

Introducción:Diferenciación

)cos()()sin()( xxfxxf

)sin()()cos()( xxfxxf xx exfexf )()(

xxfxxf 1)()ln()(

Introducción: Regla del producto

)()()()()()()()(

xhxgxhxgxfxhxgxf

2

1

)sin()cos()(

1)( ),sin()()sin()(

xx

xxxf

xx

xhxxgxxxf

Introducción: Regla de la cadena

)())(()())(()(

xhxhgxfxhgxf

)cos()cos()()( ),sin()()sin()(

axaaaxxfaxxhxxgaxxf

322

322

22

22

2121)(

)( ,1)(1)(

ax

xxax

xf

axxhx

xgax

xf

Introducción: Integración

Cxn

dxx nn

1

11

)()()()( aFbFxFdxxF b

a

b

a

Cxdxx

ln1

Introducción: Vectores

3

3

2

1

R

xxx

x x

33

22

11

yxyxyx

yx

3

2

1

xxx

x

Introducción: Producto escalar

332211

3

2

1

321 yxyxyxyyy

xxx

yx

)cos(|||| yxyx

0|| xxxNorma de un vector:

Ángulo φ entre dos vectores:

Dos vectores son ortogonales 0 yx

ϕ x

y

Introducción: Producto vectorial

),P( pedoparalelelí del área

1221

3113

2332

21

213

31

312

32

321

321

321

321

)sin(|||||| ,yx

yxyxyx

eeeeee

yx

yxyxyxyxyxyx

yyxx

yyxx

yyxx

yyyxxx

El producto vectorial es ortogonal a x y y:

Si x y y son ortogonal 0 yx

0yyxxyx )()(

Introducción: Producto mixto

321

321

321

)(][zzzyyyxxx

zyxxyz

El producto no varía cuando se realiza un número de permutaciones

][][][ yzxzxyxyz ][][ zyxxyz

El producto mixto da el |volumen| del paralelepípedo determinado por los tres vectores:

Introducción: Ejercicio

.101

;13

2 ;

321

zyx

Calcular el volumen V del “cubo” determinado por los vectores:

968.02819

sin

)125(174.2283

cos

12arcsin2

1arccos1

o

Calcular el angulo entre y y z usando el producto escalar (cosφ) y el producto vectorial (sinφ).

14|)(| zyxV

Introducción: mecánica

El fenómeno más obvio y fundamental que observamos a nuestro alrededor es el de movimiento... Prácticamente todos los procesos imaginables pueden describirse como el movimiento de ciertos objetos... Nuestra experiencia diaria nos dice que el movimiento de un cuerpo es influenciado por los cuerpos que lo rodean; esto es por sus interacciones con ellos... Hay varias reglas generales o principios que se aplican a todas las clases de movimiento, no importa cual sea la naturaleza de las interacciones. Este conjunto de principios, y la teoría que los sustenta, se denomina mecánica.

Introducción a la Mecánica

Para analizar y predecir la naturaleza de los movimientos que resultan de las diferentes clases de interacciones, se han inventado algunos conceptos importantes, tales como los de momento, fuerza y energía... La mecánica es la ciencia del movimiento, es también la ciencia del momento, la fuerza y la energía. Es una de las áreas fundamentales de la física, y debe comprenderse completamente antes de iniciar una consideración de interacciones particulares.

Introducción a la Mecánica

La ciencia de la mecánica como la comprendemos hoy día es el resultado principalmente de Sir Isaac Newton, que produjo la gran síntesis denominada principios de Newton. Sin embargo, muchas personas más han contribuido a su avance. Algunos de los nombres más ilustres son Arquímedes, Galileo, Kepler, Descartes, Huygens, Hamilton, Mach y Einstein. (Alonso y Finn, 1, 84)

Introducción a la Mecánica

CinemáticaEstudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas

que lo producen.

Velocidad

txvmedia

t

x x(t)

Δt

Δx

)()(lim)(0

txtxdtd

dtdx

tx

tvtins

velocidad media

velocidad instantánea

Aceleración

tvamedia

t

v v(t)

Δt

Δv

)()(lim)(2

2

2

0txtx

dtd

dtxd

dtdv

tv

tatins

aceleración media

aceleración instantánea

Movimiento rectilineo:

vdtdxdtdxv

vtxxvdtdxconstv

tx

x

0

00

atvvadtdvconsta

tv

v

0

00

adtdvdtdva

vdtdxdtdxv

200

0 00 2

1

0

attvxxdtatvvdtdxconsta

t tx

x

atvvadtdvconsta

tv

v

0

00

adtdvdtdva

Movimiento rectilineo:

Movimiento circular:

Velocidad angular en radian/s .Longitud de la circunferencia = 2·R 1 vuelta = 2 radianes Posición:

Velocidad angular:

Aceleración tangencial:

20 2

1)( ttt

Tdtd

2

2

2

dtd

Período T: es el tiempo que tarda en dar un ciclo completo. Ida y vuelta hasta el punto de origen

R

Tiro Parabólico

Movimiento bidimensional – pero el movimiento en dirección x es independiente del movimiento en dirección y.

No aceleración en la dirección x: a=0 Aceleración constante en la dirección y: a=-g con g=9.8m/s2

Ejemplo: Un objeto es lanzado desde una altura h con una velocidad v formando un ángulo ϕ con la horizontal.

Velocidad inicial:

Trajectories:

)sin( ),cos( 00 vvvv yx

htvgttytvtx yx 2

21)( ;)(

EjerciciosCuando llega y que velocidad (v) tiene un objeto después de una caída de 10m (g=10m/s2)?

Un objeto es lanzado con una velocidad v0=10m/s formando un ángulo ϕ=600 con la horizontal. Que distancia (x) y altitud (y) alcanza (g=10m/s2)?

sm

vvsm

vv yx 7.8)sin( ,5)cos( 00 sgv

t y 87.00

mtvx x 7.82 0 mgv

gv

gty y 75.383

21

21 2

02

20

sgh

t 4.12

0 sm

ghgtv 1420

Leyes de Newton y fuerzas

Leyes de Newton (1686)

Las primeras leyes de Newton son:

1. Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él.

2. El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.

3. Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria: o sea, las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en direcciones opuestas.

Leyes de Newton: Commentarios 1. La primera ley se puede tomar como una definición del sistema

inercial. Si no hay fuerzas actuando sobre un sistema y no persevera su estado de reposo o movimiento uniforme, el sistema de referencia no es un sistema inercial.

2. En términos matemáticos la segunda ley está escrita como:

3. Es importante observar que este principio de acción y reacción relaciona dos fuerzas que no están aplicadas al mismo cuerpo, produciendo en ellos aceleraciones diferentes, según sean sus masas. Por lo demás, cada una de esas fuerzas obedece por separado la segunda ley. También es interesante que esta ley no aplica en el contexto de campos magnéticos y de dipolos.

xpF mdtd

En mecánica hablamos de fuerzas con independencia de su naturaleza. Por consiguiente, ante un problema o fenómeno determinado, será necesario determinar la naturaleza de todas las fuerzas que intervienen en él.Conocemos sólo cuatro fuerzas básicas en que puede interaccionar la materia. Es decir, existen cuatro interacciones fundamentales que explican las fuerzas conocidas del Universo:

Tipos de fuerzas

1. interacción gravitatoria2. interacción electromagnética3. interacción fuerte4. interacción débil

1. La interacción gravitatoria, que es la más débil de todas, mantiene globalmente la Tierra, enlaza el Sol y los planetas dentro del sistema solar y agrupa las estrellas en las galaxias. Es la responsable del drama a gran escala del Universo.

2. La interacción electromagnética enlaza los electrones a los átomos y los átomos entre sí para formar moléculas y cristales. Constituye la interacción más significativa para toda la química y la biología.

3. La interacción fuerte aglutina los nucleones; agrupa íntimamente neutrones y protones para formar los núcleos de todos los elementos. La fuerza más intensa conocida en la naturaleza es también de alcance muy corto. Es la interacción dominante de la física nuclear de alta energía.

4. La interacción débil existe entre las partículas elementales ligeras (los leptones: electrones, neutrinos y muones) y entre éstas y las partículas más pesadas. Este tipo de interacción no puede formar estados estables de la materia en el sentido en que la fuerza gravitatoria puede formar un sistema solar.

Tipos de fuerzas

1. Son fuerzas que se oponen al movimiento de los cuerpos, es decir, su valor no puede superar NUNCA la fuerza que es aplicada, por lo que no cambia el sentido del movimiento del cuerpo, solo lo frena.

2. Es una fuerza paralela al desplazamiento pero de sentido contrario.

3. Es proporcional a las fuerzas normales entre las superficies de contacto.

4. No depende del área de la superficie de contacto, pero sí de la naturaleza de las sustancias.

5. Es mayor al iniciarse el movimiento que cuando se encuentra en movimiento.

Fuerzas de rozamiento

Fuerza gravitacional

221

rmm

GF La fuerza gravitacional entro dos objetos es proporcional al producto de sus masas y inversamente proporcional al cuadrado de su distancia:

m1 m2 r

Forma vectorial: es la fuerza, que ejerce la masa m1 sobre la masa m2

112312

212 )( Frr

rrF

mmG

2F F1 F2

2

3111067,6

skgm

G

Principio de superposición

),,(

),,(),,(

11

11222

11111

tm

tmtm

NNNNN

NN

NN

xxxxFx

xxxxFxxxxxFx

La dinámica de N objetos está determinada por N ecuaciones:

Fi es la suma de todas fuerzas que actúan sobre la masa i (superposición). Las fuerzas se suman como vectores.

Ejemplo: Sistema solar con el y los nueve planetas (N=10).

Oscilaciones

Movimiento circular↔linealNo aceleración tangencial 0

y

)cos()( tRtx

x

)sin()( tRty R

kxxmkxF

)sin()( tAtx mk

•Elongación: (x) La posición de la partícula en cada instante del móvil•Amplitud: (A) Es la elongación máxima•Período: (T) es el tiempo que tarda en dar un ciclo completo. Ida y vuelta hasta el punto de origen.•Frecuencia: (f=1/T) Corresponde a la inversa del período. corresponde al nº de veces que cumple 1 ciclo en 1 segundo.•Velocidad angular: (ω =2π/T) es proporcional a la frequencia.

Oscilaciones libresLey de Hooke:

kxxxmxvFr

Oscilaciones amortiguadasFuerzas de rozamiento suelen depender de la velocidad.

:42 km

)sin()( 2 tAetxtm

2

2

mm

k

:42 km Oscilador sobreamortiguado

Oscilador con amortiguadamento debil

)sin()sin()( tFkxxxmtFtFe

Oscilaciones forzadasSe puede aplicar una fuerza variable con el tiempo:

)sin()()( tAty

km

Q Factor de calidad:

mk

0Frequencia de resonancia:

sinmgF

lvallv ;

lg

PénduloFuerza gravitacional:

Aceleración:

mgmgml sinEcuación de movimiento:

0 gl Oscilador harmonico:

Sistemas de referencia no

inerciales

Una fuerza ficticia es el efecto percibido por un observador estacionario respecto a un sistema de referencia no inercial cuando analiza su sistema como si fuese un sistema de referencia inercial. La fuerza ficticia se representa matemáticamente como un vector fuerza calculable a partir de la masa de los cuerpos sobre la que actúa y una aceleración dependiente al sistema de referencia no-inercial.Otros términos equivalentes para caracterizar la inercia en este tipo de análisis en que el punto de vista es no-inercial (es decir acelerado) son pseudo-fuerzas o fuerzas inerciales.La expresión fuerza ficticia no significa que dicha fuerza sea un efecto óptico, sino que asumimos que ésta actúa sobre un cuerpo cuando la realidad no es tal, ya que tan solo es una invención para explicarnos de una forma simple, y hasta cierto punto intuitiva, la aparición de efectos desacostumbrados.

Fuerzas ficticias

La variación de trayectoria o velocidad le sucede al coche, y el pasajero sólo sigue su inercia.Por ejemplo, el pasajero de un automóvil que toma como referencia este, para medir la aceleración de su propio cuerpo, cuando el vehículo frena o describe una curva, siente una «fuerza» que le empuja hacia delante o a un lateral. En realidad lo que actúa sobre su cuerpo no es una fuerza, sino la inercia (a causa de la masa por la velocidad) que hace que tenga tendencia mantener la dirección y cantidad de movimiento. Si en lugar de tomar como referencia el propio automóvil para medir la aceleración que sufren sus ocupantes, tomamos como referencia el suelo de la carretera, y determinamos la trayectoria del automóvil, vemos que la variación de velocidad le sucede al coche y que el pasajero se limita a seguir su inercia según la primera ley de Newton.

Fuerzas ficticias

Rotación de una masa• Rotación de una masa con vector de posición r alrededor de un eje ω.

• El vector ωxr es in la dirección perpendicular y dentro de la hoja.

rv

• La velocidad está determinado por v=ωR=|ω||r|sinϕ.

normaln aceleracióaln tangenciaceleració

)( rra aT

aN

Rotación del sistema de referencia

rvv

tangencialtrípetanormal/cenCoriolis

)()()(2 rrvaa

El punto de origen de los sistemas S y S’ sea el mismo y S’ rote alrededor de un eje con la velocidad angular ω.

rr

Fuerza centrífuga

)( rF mcf

Para un movimiento circular con radio r, la norma de la fuerza centrífuga es:

rmv

rmF2

2

Fuerza centrífuga: Ejemplo

Que es el radio de un satélite geoestacionario?

kmM

GrrMm

GrmFF gcf 239.42322

2

15102.72

606024 sT

sT

skmrv /1.3Que velocidad tiene el satélite?

Fuerza de Coríolis

Movimiento horizontal:

sin2 estenorte vmF sin2 norteeste vmF

Caida vertical (arriba hacia oeste, abajo hacia este):

cos2cos2 gtmvmF

ω

ϕ)(2 vF mco

Fuerza de Coríolis: Ejemplo

cmgh

hdmh

22

32 100

Desviación lateral despues de una caida de h (φ=0):

3

2

31

22

gtd

gtd

gtmvmdm

h

d

gh

t2

Duración de la caida:

Potencial y fuerzas conservativas

Trabajo y energía potencial

El trabajo W está definido como el producto escalar de la fuerza F y el desplazamiento r:

)()( 21

2

1

rrrFr

rpotpot EEdW

Para fuerzas conservativas el trabajo es independiente del camio y se puede definir la energía potencial Epot:

El trabajo tiene unidades de energía:

cosFrW rF

2

2

111smkg

mNJ

ϕ rF

Energía cinética

La energía potencial está dado por: )()( 21

2

1

rrrFr

rpotpot EEdW

Con la segunda ley de Newton se puede escribir el trabajo como: dt

dmm

vaF

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

21 v

v

v

v

v

v

r

r

r

r

vvvvrrvrF mdmddtd

mddtd

mdW

La energía cinética está dado por: 2

21mvEkin

Conservación de la energía mecánica: const. potkin EE

Potencial de fuerzas unidimensionales

mgxEmgF pot La energía potencial para una fuerza constante:

2

21kxEkxF pot

El energía potencial para un muelle:

Solo diferencias de la energía potencial son relevantes. CxdxFEpot )(

La cantidad física es la fuerza:dxxdE

xF pot )()(

Energía potencial de una masa

La energía potencial para dos cuerpos masivos:

22221 ; zyxrrmm

GEpot

zrmm

GzE

F

yrmm

GyE

F

xrmm

GxE

F

potz

poty

potx

321

321

321

Potencial de una masa m:

rr

F 321mmGPara la fuerza

obtenemos:

rm

Gr )(

leyes de conservación y Simetrías

Teorema de Noether (1915): la existencia de simetrías comporta la existencia de

leyes de conservación.

Conservación de energía

potpotkin EmvEEE 2

21Conservación de la

energía:

Velocidad de una masa despues de una caida desde la altura h:

Velocidad de escape:

mghEEEEEE potkinkinpot 21 ;

ghv 2

RmM

GEEEEEE potkinpotkin 0 ; 21

Momento lineal

vp mDefinición: el momento es un vector con la misma dirección de la velocidad

La segunda ley de Newton es:

Se define el impulso mecánico: 12

2

1

2

1

pppFIp

p

ddtt

t

dtdpF

Si no hay fuerzas externas, el movimiento está conservado: despuesantes pp

Ejemplo: Conservación de momento

escopetabala pp

Una escopeta de 2kg dispara una bala de 50g con una velocidad de 300m/s. Calcular la velocidad de retroceso.

Un cañón dispara un proyectil de 2kg con una velocidad 100m/s debido una fuerza constante que acuta 0,05s. Calcular la aceleración y la fuerza.

smkg

smkgv /5.7

2/30005.0

2200005.0

100sm

tv

a

Ntvm

F 4000

Colision de dos masas

Dos objectos de masas m1 y m2 y velocidades v1 y v2 que intervienen en un choque. Cuales son las velocidades finales u1 y u2.

22112211 uuvv mmmm Conservación de momento:

Conservación de energía cinética:

222

211

222

211 2

121

21

21 uuvv mmmm

Momento de inercia

222

21

21

mrmvE

Momento de inercia I:

Energia rotacional:

22

21IEmrI

Momento angular: IL

I1<I2→ω1>ω2

Conservación del momento angular:

L1=L2

Simetrías y conservación

2

1 2 i

N

i

ikin v

mE

Homogenidad del tiempo→conservación de la energía

0dd

const. Et

EEE potkin

Homogenidad del espacio→conservación del momento

N

iiim

1

vP 0ddconst. PPt

Isotropía del espacio→conservación del momento angular

iii

N

iii m vppxL

1

, 0ddconst. LLt

Leyes de Kepler

Describen el movimiento de los planetas arededor del sol. Kepler sabía de la

existencia de 6 planetas: Tierra, Venus, Mercurio, Marte, Júpiter y Saturno.

1. Los planetas se mueven alrededor del sol en elipses, estando el Sol en un foco.

2. La línea que conecta el Sol con un planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales.

3. El cuadrado del período orbital de un planeta es proporcional al cubo (tercera potencia) de la distancia media desde el Sol.

Leyes de Kepler (1609-1619)

Comentarios: 1ra ley de Kepler

La teoría heliocéntrica fue propuesta en la antigüedad por el griego Aristarco de Samos y en el siglo XVI por Nicolás Copérnico. Sus ideas marcaron el comienzo de la revolución científica.

En la filosofía griega, muchos (Platón y Aristóteles) pensaron que la Tierra era una esfera en el centro del Universo. La teoría geocéntrica fue completada por Claudio Ptolomeo en el siglo II.

Comentarios: 2da ley de Kepler

dtmL

dtdddf22

121

xxxx

x dx

x+dxdf

tmL

f2

El producto vectorial está relacionado con el área que trascurre la masa:

El momento angular L=mxxv está conservado:

Comentarios: 2da ley de Kepler

La clave de la 2da ley de Kepler es que, aunque la órbita es simétrica, el movimiento no lo es. Un planeta se acelera al acercarse al Sol, obtiene su máxima velocidad al pasar en su máxima aproximación, y luego se desacelera.

Hay aproximadamente dos días menos en la parte del invierno! (Tome un calendario y cuente los días de un equinoccio al otro):

1. La parte del invierno es más corta2. La Tierra se mueve más rápido en la parte del invierno

El hecho de que el hemisferio norte esté más cerca del Sol a mediados de invierno y lo más retirado a mediados del verano, hace que se moderen las estaciones, haciéndolas más suaves. En el hemisferio sur, los haría más crudos, aunque los grandes océanos ayudan a moderar su efecto.

El eje de la Tierra se mueva alrededor de un cono, con un ciclo de 26000 años. En 13000 años, estaremos lo más cerca del Sol a mediados del verano, y el clima se hará más extremo. Esto puede ser un efecto ligado a los orígenes de la edad de hielo.

Comentarios: 2da ley de Kepler

Fc Fg

Comentarios: 3ra ley de Kepler

Para trayectorias circulares, la tercera ley de Kepler se obtiene igualando la fuerza gravitacional y centrifugal:

RRM

GFF cg2

2 kgM 30102 :solar masa

2

318

22

3

1038.34 s

mGMTR

Comentarios: 3ra ley de Kepler

3ra Ley de KeplerT en años, a en unidades astronómicas; entonces T2 = a3

Las discrepancias son debido a la exactitud limitada

Planeta Periodo T Dist. a del Sol T2 a3

Mercurio 0.241 0.387 0.05808 0.05796

Venus 0.616 0.723 0.37946 0.37793

Tierra 1 1 1 1

Marte 1.88 1.524 3.5344 3.5396

Júpiter 11.9 5.203 141.61 140.85

Saturno 29.5 9.539 870.25 867.98

Urano 84.0 19.191 7056 7068

Neptuno 165.0 30.071 27225 27192

Plutón 248.0 39.457 61504 61429

Secciones cónicasLas leyes de Kepler forman todas secciones cónicas, las elipses son las órbitas de los planetas y las parábolas son muy parecidas a las órbitas de los cometas no periódicos, los cuales comienzan sus movimientos muy lejos.

Las leyes de Kepler se deduce a traves de las leyes de Newton con el potencial gravitacional:

rmm

GV 21

Elipse

a: eje semimajorb: eje semimenore: ecentricidad e2 =a2-b2

p: latus rectum p=b2/a

Elipsis={P|F1P+F2P=2a}

Parábola

F: FocoI: Directiz Parábola={P|FP=QP}

Hipérbola

F1 y F2: Focosa: semi-eje real

Hipérbola={P||F1P-F2P|=2a}

Secciones cónicas

2222 2)1( pxpyx Secciones cónicas están escritas por (ε excentricidad):

Elipse (ε2<1): 12

2

2

2

by

ax

22 1 ;

1

pb

pa

Hipérbola (ε2>1): 12

2

2

2

by

ax

1 ;

1 22

p

bp

a

Parábola (ε2=1): 2

41yf

x 2p

f