Tiro Parabólico

• Supongamos que se dispara un proyectil, con velocidad inicial v0, desde una altura h, formando un ángulo θ con la horizontal. Se pretende calcular la máxima altura alcanzada y la distancia horizontal recorrida.

• Como suposiciones simplificadoras se despreciará el rozamiento del aire y se considerará que la aceleración de la gravedad es constante durante el vuelo del proyectil.

V0

V0x

ymaxh

Alcance horizontal x

V0x

V0y θ

Ecuaciones del movimiento

• Para resolver el problema utilizaremos la segunda ley de Newton :

→⋅=

→amF

2

2

dtrda

→=→

• Como hemos despreciado el efecto del rozamiento del aire la única fuerza que actúa sobre el proyectil es la fuerza de la gravedad. Además, ésta está siempre dirigida hacia abajo (dirección y negativa). Por otra parte, la aceleración es, por definición :

• Suponemos que el proyectil se mueve en el plano x-y, entonces :

jdtydi

dtxda

2

2

2

2+=→

• Donde i y j representan vectores unitarios en las direcciones x e y respectivamente. Por tanto, la segunda ley de Newton toma la forma :

+=− jdtydi

dtxdmjmg

2

2

2

2

2

2

2

20dtxd

dtydg =∴=−

• Para resolver esta ecuación procedemos igualando componentes :

• Estas ecuaciones diferenciales son muy fáciles de resolver, simplemente hay que integrar dos veces y tener en cuenta las constantes de integración ( velocidad y posición iniciales).

• La ecuación en la coordenada y conduce a :

gtvvyy−=

0(primera integración, aparece la constante inicial de velocidad).

2

2

00gttvyy

y−+= (segunda integración, produce la constante

inicial de posición).

• Para la coordenada x tenemos :

tvxxvv

x

x

00

0+=

=

• Podemos, en este momento, observar por qué a este movimiento se le llama tiro parabólico, la función y(t) (posición en función del tiempo) es la ecuación de una parábola.

• Una vez obtenidas las ecuaciones del movimiento se pueden resolver las cuestiones iniciales.

• a) Altura máxima• Llamaremos al punto de máxima altura ymax. En este

punto, la componente vertical de la velocidad del proyectil tiene que ser cero. Matemáticamente podemos ver esto de la siguiente manera.

• Nuestro problema consiste en hallar el valor máximo de y(t). Pero sabemos que el máximo de una función se obtiene derivando dicha función e igualándola a cero, así :

• Pero, por definición la derivada de la posición con respecto al tiempo es la velocidad, por tanto llegamos a la conclusión inicial. Utilizando la expresión de la velocidad calculada en el apartado ecuaciones del movimiento podemos calcular el tiempo que tarda el proyectil en llegar a la máxima altura :

• El valor de la velocidad inicial en la coordenada y se puede calcular de los datos del problema y observando la figura adjunta.

0)( =dttdy

g

vttgv y

y0

max00 =⇒⋅−=

gsenvt θ0

max=

( )

−+=⇒

gsenvg

gsenvyydosustituyen

θθ 02

00max 2

( )gsenvyy

20

0max 21 θ+=

• a) Distancia horizontal.• Ahora queremos calcular la distancia horizontal que

recorre el proyectil. Esta distancia viene dada por la expresión :

• donde t será el tiempo que permanece el proyectil en el aire. Este tiempo será el que tarda en alcanzar la altura máxima (calculada antes) y el que tarda en caer desde dicha altura al suelo.

tvtvxx

⋅=⋅= θcos00

• Cuando el cuerpo esté en el suelo, su coordenada y

será nula, por tanto :

20

2

00gttvy

y−⋅′+′=

•En este caso, es la posición inicial, que coincide con el instante en el que el proyectil alcanza la máxima altura, por tanto : y0´= ymax

• Y V’0y será la velocidad en el punto de máxima altura, este punto fue calculado anteriormente y como vimos era cero. Por tanto :

• Este es el tiempo que tarda el proyectil en caer desde la altura máxima al suelo. Por consiguiente, el tiempo de vuelo ha sido :

gy

ttgytgy max2max

2

max

222

0 =′⇒′=⇒′−=

ttt ′+=max

•Y la distancia horizontal recorrida se obtiene fácilmente : tvx ⋅= θcos

0

En esta expresión podemos sustituir el valor de t, obteniéndose una expresión un tanto compleja :

( )

++=g

senvy

ggsenv

vx2

22cos 0

00

0

θθθ

•Con esto queda estudiado el tiro parabólico. Cualquier otro problema relacionado con movimiento cerca de la superficie de la tierra puede estudiarse de manera totalmente análoga a este.