Tipos de datos

Transversales: Observaciones sobre individuos, hogares, empresas, países, etc., en un momento determinado en el tiempo. (Capítulos 1–10, Modelos A y B).

Series de tiempo: Observaciones sobre ingreso, consumo, tasas de interés, etc., a lo largo de un periodos (años, meses, trimestres…) (Capítulos 11–13, Modelo C)

Datos de panel: Observaciones transversales sobre los mismos individuos, hogares, etc., a lo largo de cierto periodo de tiempo. (Capítulo 14, Modelo B)

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Durante este curso trabajaremos con los tres tipos de datos descritos arriba.

TIPOS DE MODELOS DE REGRESIÓN Y SUPUESTOS PARA EL MODELO A

Tipos de modelos

Modelo A: Datos transversales con regresores no-estocásticos. Sus valores observados en una muestra no tienen componentes estocásticos o aleatorios.

Modelo B: Datos transversales con regresores estocásticos. Los valores de los regresores son elegidos, de manera aleatoria e independiente, desde una población definida.

Modelo C: Datos de series de tiempo. Los valores de los regresores pueden mostrar persistencia o dependencia temporal. Las regresiones con series de tiempo pueden implicar complejos problemas técnicos que, al inicio, podremos pasar por alto.

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Diferentes modelos de regesión son apropiados para disntintos tipos de datos. Nosotros consideraremos tres tipos de modelos de regresión, como se muestra arriba.

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Comenzaremos con el Modelo A por simple conveniencia analitica. Este modelo nos permite discutir el análisis de regresión dentro de un marco teórico “simple” conocido como el “Modelo Clásico de Regresión Lineal”.

Tipos de modelos

Modelo A: Datos transversales con regresores no-estocásticos. Sus valores observados en una muestra no tienen componentes estocásticos o aleatorios.

Modelo B: Datos transversales con regresores estocásticos. Los valores de los regresores son elegidos, de manera aleatoria e independiente, desde una población definida.

Modelo C: Datos de series de tiempo. Los valores de los regresores pueden mostrar persistencia o dependencia temporal. Las regresiones con series de tiempo pueden implicar complejos problemas técnicos que, al inicio, podremos pasar por alto.

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En el Capítulo 8, reemplazamos el modelo clásico por un supuesto más débil pero más realista y adecuado para regresiones con datos de corte transversal: que los regresores son una muestra aleatoria de una población definida.

Tipos de modelos

Modelo A: Datos transversales con regresores no-estocásticos. Sus valores observados en una muestra no tienen componentes estocásticos o aleatorios.

Modelo B: Datos transversales con regresores estocásticos. Los valores de los regresores son elegidos, de manera aleatoria e independiente, desde una población definida.

Modelo C: Datos de series de tiempo. Los valores de los regresores pueden mostrar persistencia o dependencia temporal. Las regresiones con series de tiempo pueden implicar complejos problemas técnicos que, al inicio, podremos pasar por alto.

Supuestos para el Modelo A (regresores no-estocásticos)

A.1: El modelo es lineal en sus parámetros y está correctamente especificado: Y = 1 + 2X + u

Ejemplos de modelos que no son lineales en los parámetros:

Y = 1 + 2X2 + 3X3 + 23X4 + u

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‘Lineal en sus parámetros’ significa que cada término del lado derecho una incluye una como un factor simple y sin relación alguna con las otras s. Aplazaremos la discusión sobre asuntos de linealidad y no-linealidad hasta el Capítulo 4.

uXY 21

Supuestos para el Modelo A

A.2: Existe cierta variación en el regresor en la muestra

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Debe existir cierta variación en el regresor en la muestra. De lo contrario, no podríamos explicar ninguna variación observada en Y.

Supuestos para el Modelo A

A.2: Existe cierta variación en el regresor en la muestra

7

Si intentáramos estimar una regresión de Y en X, cuando X es constante, no podríamos calcular los coeficientes de regresión. El numerador y el denominador de la expresión para b2 serían iguales a cero. Y tampoco podríamos obtener b1.

.00

, allfor If 2 biXX i

22

XX

YYXXb

i

ii

8

Asumimos que el valor esperado del término de error para cualquier observación debe ser cero. El término de error será a veces positivo, a veces negativo, pero no debe tener una tendencia sistemática en cualquier dirección.

Supuestos para el Modelo A

A.3 El término de error tiene valor esperado cero

E(ui) = 0 para toda i

Suponga Y = 1 + 2X + u

Defina vi = ui – u

Entonces E(vi) = E(ui – u) = E(ui) – E(u) = u – u = 0

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Realmente, si incluimos un intercepto en la ecuación de regresión, es razonable asumir que esta condición se satisface de manera automática.

Supuestos para el Modelo A

A.3 El término de error tiene valor esperado cero

E(ui) = 0 para toda i

Suponga Yi = 1 + 2Xi + ui

Defina vi = ui – u

Entonces E(vi) = E(ui – u) = E(ui) – E(u) = u – u = 0

10

El papel del intercepto es capturar cualquier tendencia sistemática pero constante observada en Y y que no esté explicada por el/los regresor(es).

Supuestos para el Modelo A

A.3 El término de error tiene valor esperado cero

E(ui) = 0 para toda i

Suponga Yi = 1 + 2Xi + ui

Defina vi = ui – u

Entonces E(vi) = E(ui – u) = E(ui) – E(u) = u – u = 0

11

Supongamos que el término de error tuviera una media poblacional distinta de cero.

0)( uiuE

Supuestos para el Modelo A

A.3 El término de error tiene valor esperado cero

E(ui) = 0 para toda i

Suponga Yi = 1 + 2Xi + ui

Defina vi = ui – u

Entonces E(vi) = E(ui – u) = E(ui) – E(u) = u – u = 0

12

Defina una nueva variable aleatoria vi = ui – u.

0)( uiuE

uii

uiii

vX

vXY

1*12

*1

21

where

Supuestos para el Modelo A

A.3 El término de error tiene valor esperado cero

E(ui) = 0 para toda i

Suponga Yi = 1 + 2Xi + ui

Defina vi = ui – u

Entonces E(vi) = E(ui – u) = E(ui) – E(u) = u – u = 0

Supuestos para el Modelo A

A.3 El término de error tiene valor esperado cero

E(ui) = 0 para toda i

Suponga Yi = 1 + 2Xi + ui

Defina vi = ui – u

Entonces E(vi) = E(ui – u) = E(ui) – E(u) = u – u = 0

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Entonces podemos reescribir el modelo como se muestra. vi se convierte en el nuevo término de error y el intercepto ha absorbido a la constante u.

0)( uiuE

uii

uiii

vX

vXY

1*12

*1

21

donde

14

El término de error en el modelo revisado satisface ahora el supuesto A.3.

0)( uiuE

uii

uiii

vX

vXY

1*12

*1

21

where

Supuestos para el Modelo A

A.3 El término de error tiene valor esperado cero

E(ui) = 0 para toda i

Suponga Yi = 1 + 2Xi + ui

Defina vi = ui – u

Entonces E(vi) = E(ui – u) = E(ui) – E(u) = u – u = 0

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Es claro que la interpretación del intercepto cambia un poco pues ahora ha absorbido el componente distinto de cero del término de error, además de la información que incluía previamente.

0)( uiuE

uii

uiii

vX

vXY

1*12

*1

21

where

Supuestos para el Modelo A

A.3 El término de error tiene valor esperado cero

E(ui) = 0 para toda i

Suponga Yi = 1 + 2Xi + ui

Defina vi = ui – u

Entonces E(vi) = E(ui – u) = E(ui) – E(u) = u – u = 0

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Esto es generalmente aceptable porque el papel de la constante es captar cualquier tendencia sistemática en Y no explicada por el/los regresor(es).

0)( uiuE

uii

uiii

vX

vXY

1*12

*1

21

where

Supuestos para el Modelo A

A.3 El término de error tiene valor esperado cero

E(ui) = 0 para toda i

Suponga Yi = 1 + 2Xi + ui

Defina vi = ui – u

Entonces E(vi) = E(ui – u) = E(ui) – E(u) = u – u = 0

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Asumimos que el término de error es homoscedástico, lo que significa que, para cada observación, el término de error proviene de una distribución con varianza poblacional constante.

Supuestos para el Modelo A

A.4 El término de error es homoscedástico

iuui todapara22

18

En el lenguaje de la sección de muestreo y estimadores del repaso estadístico, esto es un concepto “asumido de antemano”, pues suponemos el comportamiento potencial del término de error aún antes de generar la muestra.

Supuestos para el Modelo A

A.4 El término de error es homoscedástico

iuui todapara22

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Una vez que hemos generado la muestra, el término de error resultará mayor para algunas observaciones, y más pequeño para otras, pero no debe haber ninguna razón para que éste sea más errático en algunas observaciones que en otras.

Supuestos para el Modelo A

A.4 El término de error es homoscedástico

iuui todapara22

20

Puesto que E(ui) = 0, por el supuesto A.3, la varianza poblacional de ui es igual a E (ui2), así

que la condición puede también ser escrita como se muestra.

Supuestos para el Modelo A

A.4 El término de error es homoscedástico

iuui todapara22

222iuiu uEuE

i

iuE ui todapara)( 22

Supuestos para el Modelo A

A.4 El término de error es homoscedástico

21

Si no se cumple el supuesto A.4, los coeficientes de regresión de OLS serán ineficientes y se podrían obtener resultados más confiables usando una técnica de regresión modificada. Esto será discutido en el Capítulo 7.

iuui todapara22

222iuiu uEuE

i

iuE ui todapara)( 22

Supuestos para el Modelo A

A.5 Los valores del término de error tienen distribuciones independientes

ui se distribuye independientemente de uj para todo j ≠ i

22

Asumimos que no existe autocorrelación en el término de error. Es decir que no debe haber ninguna asociación sistemática entre los errores de dos observaciones cualquiera.

23

Por ejemplo, el que el término de error sea grande y positivo para una observación i, no implica que el error también sea grande y positivo en la siguiente observación--ni grande y negativo, o pequeño y positivo, o pequeño y negativo, etc.--en última instancia.

Supuestos para el Modelo A

A.5 Los valores del término de error tienen distribuciones independientes

ui se distribuye independientemente de uj para todo j ≠ i

Supuestos para el Modelo A

A.5 Los valores del término de error tienen distribuciones independientes

ui se distribuye independientemente de uj para todo j ≠ i

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Este supuesto implica que la covarianza poblacional entre ui y uj es cero. Nótese que ui y uj

tienen ambas una media poblacional igual a cero, dado el supuesto A.3, y que E(uiuj) se puede expresar como E(ui)E(uj) siempre que ui y uj sean independientes entre sí (ver el repaso).

0)()(

)()])([(

ji

jiujuiuu

uEuE

uuEuuEji

Supuestos para el Modelo A

A.5 Los valores del término de error tienen distribuciones independientes

ui se distribuye independientemente de uj para todo j ≠ i

25

Si este supuesto no se cumple, OLS producirá otra vez estimadores ineficientes. El capítulo 12 discute este tipo de problemas y la manera de atenderlos. Las violaciones de este supuesto en datos de corte transversal son raras (y muy frecuentes en series de tiempo y de tipo panel).

0)()(

)()])([(

ji

jiujuiuu

uEuE

uuEuuEji

26

Usualmente asumimos que el término de error tienen una distribución normal. La justifación de este supuesto esta basada en el Teorema de Límite Central.

Supuestos para el Modelo A

A.6 El término de error tiene una distribución normal

27

Esencialmente, el Teorema del Límite Central indica que, si una variable aleatoria es el resultado compuesto de los efectos de una gran cantidad de variables aleatorias, ésta tendrá una distribución aproximadamente normal incluso si sus componentes no la tienen, siempre y cuando ninguno de ellos tenga un efecto dominante.

Supuestos para el Modelo A

A.6 El término de error tiene una distribución normal

Supuestos para el Modelo A

A.6 El término de error tiene una distribución normal

28

Y como el término de error u se compone de un gran número de factores no incluidos explícitamente en la regresión, entonces podemos asumir que u se distribuya normalmente--incluso si no sabemos nada sobre la distribución de aquellos factores no incluidos.

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21.06.06