Análisis Saltar a: navegación, búsqueda Un análisis, en sentido amplio, es la descomposición de un todo en partes para

poder estudiar su estructura, sistemas operativos, funciones, etc.

Análisis matemático

El estudio del conjunto de Mandelbrot que es un objeto fractal con autosimilaridad estadística involucra diversas áreas del análisis matemático, el análisis de la convergencia, la teoría de la medida, la geometría y la teoría de la probabilidad y la estadística.

El análisis es una rama de la ciencia matemática que estudia los números reales, los complejos y construcciones derivadas a partir de ellos así como las funciones entre esos conjuntos y construcciones derivadas. Se empieza a desarrollar a partir del inicio de la formulación rigurosa del cálculo y estudia conceptos como la continuidad, la integración y la diferenciabilidad de diversas formas.

Contenido

1 Historia 2 Subdivisiones 3 Véase también 4 Referencias

o 4.1 Bibliografíao 4.2 Enlaces externos

Historia

Matemáticos griegos como Eudoxo de Cnidos y Arquímedes hicieron un uso informal de los conceptos de límite y convergencia cuando usaron el método exhaustivo para calcular el área y volumen de regiones y sólidos. De hecho, el número π fue aproximado usando el método exhaustivo. En la India del siglo XII el matemático Bhaskara concibió elementos

del cálculo diferencial, así como el concepto de lo que ahora conocemos como el Teorema de Rolle.

En el siglo XIV, el análisis matemático se origina con Madhava, en el Sur de Asia, quien desarrolló ideas fundamentales como la expansión de series infinitas, las series de potencias, series de Taylor, y la aproximación racional de series infinitas. Además desarrolló las series de Taylor de funciones trigonométricas —seno, coseno, tangente—, y estimó la magnitud de los errores de cálculo truncando estas series. También desarrolló fracciones continuas infinitas, integración término a término, y las serie de potencias de pi. Sus discípulos de la Escuela de Kerala continuaron su trabajo hasta el siglo XVI.

El análisis en Europa se origina en el siglo siglo XVII, en el que Newton y Leibniz inventan el cálculo. Ahora sabemos que Newton desarrolló el cálculo infinitesimal unos diez años antes que Leibnitz. Este último lo hizo en 1675 y publicó su obra en 1684, aproximadamente veinte años antes de que Newton se decidiera a hacer lo propio con sus trabajos. Newton había comunicado la novedad solamente a algunos pocos colegas suyos y de nada valieron las instigaciones de Halley para que Newton publicara sus trabajos más tempranamente. Esta actitud sirvió de base para crear una desagradable controversia por el padrinazgo de la idea; discusión que podría haber sido evitada si otro gran matemático, Fermat, no hubiera tenido también la inexplicable costumbre de no hacer públicos sus trabajos. En una carta de Fermat a Roberval, fechada el 22 de octubre de 1636, se hallan claramente descritos tanto la geometría analítica1 como el análisis matemático.2 En dicho siglo y en el siglo XVIII, ciertos temas sobre el análisis como el cálculo de variaciones, las ecuaciones diferenciales y ecuaciones en derivadas parciales, el análisis de Fourier y las funciones generadoras fueron desarrolladas principalmente para un trabajo de aplicación. Las técnicas del Cálculo fueron aplicadas con éxito en la aproximación de problemas discretos mediante los continuos.

Aproximación de una función "onda cuadrada" discontinua mediante una serie de funciones trigonométricas continuas y diferenciables.

A todo lo largo del siglo XVIII la definición del concepto de función estuvo sujeta a debate entre los matemáticos. En el siglo XIX, Cauchy fue el primero que estableció el cálculo sobre unos firmes fundamentos lógicos mediante el uso del concepto de sucesión de Cauchy. También inició la teoría formal del Análisis complejo. Poisson, Liouville, Fourier y otros, estudiaron ecuaciones en derivadas parciales y el Análisis armónico.

Mediado dicho siglo, Riemann introduce su teoría de la integración. En el último tercio del siglo XIX Weierstrass lleva a la aritmetización del análisis, ya que pensaba que el razonamiento geométrico era engañoso por naturaleza, e introduce la definición ε-δ de límite. Entonces los matemáticos empezaron a preguntarse si no estarían asumiendo la existencia de cierto continuo de números reales sin probar su existencia. Dedekind entonces construye los números reales mediante las cortaduras de Dedekind. Sobre la misma época, los intentos de refinar los teoremas de integración de Riemann llevaron hacia el estudio del «tamaño» de los conjuntos de discontinuidad de funciones reales.

También, funciones «monstruos» (funciones continuas en ninguna parte, funciones continuas pero no diferenciables en ningún punto, Curva que llena el espacio, Curva de Peano) comenzaron a surgir. En este contexto Jordan desarrolló su teoría de medida, Cantor lo hizo con lo que ahora se llama teoría de conjuntos, y Baire prueba el Teorema de la categoría de Baire. A principios del siglo XX, el cálculo se formaliza usando la teoría de conjuntos. Lebesgue resuelve el problema de la medida, y Hilbert introduce los espacios de Hilbert para resolver ecuaciones integrales. La idea de espacios vectoriales normados estuvo en ciernes, y en los años 1920 Banach crea el Análisis funcional.

Subdivisiones

El análisis matemático incluye los siguientes campos:

Análisis real, esto es, el estudio formalmente riguroso de las derivadas e integrales de las funciones real-valuadas, lo que incluye el estudio de límites, y series.

o Teoría de la medida, que generaliza en concepto de cálculo integral y de medida.o Geometría diferencial, que exitiende los métodos del análisis real sobre espacios

euclídeos a espacios topológicos más generales.o Análisis numérico encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y

reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

Análisis no real, que extiende el análsis real a cuerpos diferentes de los números reales. o Análisis complejo, que estudia funciones que van del plano complejo hacia sí

mismo y que son complejo-diferenciables, las funciones holomorfas.o Análisis p-ádico, el análisis en el contexto de los números p-ádicos, que difiere de

forma interesante y sorprendente de su homólogo real y complejo.

o Análisis no-estándar, que investiga ciertos números hiperreales y sus funciones y da un tratamiento riguroso de los números infinitesimales y los infinitamente grandes.

Análisis funcional, que estudia espacios y funciones e introduce conceptos como los de espacios de Banach y espacios de Hilbert.

o Análisis armónico, que trata de las series de Fourier y de sus abstracciones[cita requerida] y adiciones analiticas subarmonicas

Análisis real

Análisis de Fourier: Aproximación de una función discontinua mediante una serie puntualmente convergente de funciones senoidales.

El análisis real o teoría de las funciones de variable real es la rama del análisis matemático que tiene que ver con el conjunto de los números reales. En particular, estudia las propiedades analíticas de las funciones y sucesiones de números reales; su límite, continuidad y el cálculo de los números reales.

Contenido

1 Alcanceo 1.1 Conceptos básicoso 1.2 Sucesiones y serieso 1.3 Funciones continuaso 1.4 Derivación o diferenciacióno 1.5 Integracióno 1.6 Regreso a los conceptos básicos en ambientes más generales

Alcance

El análisis real es un área del análisis matemático que estudia los conceptos de sucesión, límite, continuidad, diferenciación e integración. Dada su naturaleza, el análisis real está limitado a los números reales como herramientas de trabajo.

Resultados importantes incluyen entre otros el teorema de Bolzano-Weierstrass, el teorema de Heine-Borel, el teorema del valor medio y el teorema fundamental del cálculo.

Conceptos básicos

Los textos del «cálculo avanzado» normalmente comienzan con una introducción a las demostraciones matemáticas y a la teoría de conjuntos. Tras esto se definen los números reales axiomáticamente, o se los construye con sucesiones de Cauchy o como cortes de Dedekind de números racionales. Después, hacen una investigación de las propiedades de los números reales, siendo de las más importantes la desigualdad triangular.

Sucesiones y series

Tras definir los números reales, se investigan las sucesiones de números reales y su convergencia, un concepto central en análisis, a través de los límites de sucesiones o puntos de acumulación de conjuntos. Posteriormente se estudian las series, como las series alternadas y las series de potencias.

Se estudia, para empezar a desarrollar conceptos topológicos elementales, varios tipos de subconjuntos de los números reales: conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, espacios compactos, conjuntos conexos, etc. Donde se estudian el teorema de Bolzano-Weierstrass y el de Heine-Borel.

Funciones continuas

Ahora se estudian las funciones de variable real, y se define el concepto de función continua a partir de la definición épsilon-delta del límite de una función. Entre las propiedades de una función continua definida en un intervalo destacan los teoremas

conocidos como el teorema de Bolzano, el teorema del valor intermedio y el teorema de Weierstrass.

Derivación o diferenciación

En este momento se puede definir la derivada de una función como un límite, y se pueden demostrar rigurosamente los teoremas importantes sobre la derivación como el teorema de Rolle o el teorema del valor medio. Se construyen las series de Taylor y se calculan las series de Maclaurin de las funciones exponencial y de las funciones trigonométricas.

Es importante destacar que también se estudian las funciones de varias variables tanto como sus derivadas que son las derivadas parciales. Es muy importante estudiar el teorema de la función inversa y el teorema de la función implícita, tanto como las funciones de Morse.

Integración

La integración definida, que se puede definir imprecisamente como «el área debajo de la gráfica» de una función va naturalmente después de la derivación, de la que la integración indefinida es la operación inversa. Se comienza con la integral de Riemann, que consiste en dividir el intervalo en subintervalos (con una partición), extender los subintervalos hacia arriba hasta que llegue, o al mínimo de la función en el subintervalo (en cual caso se le llama la suma inferior), o al máximo en el subintervalo (en cual caso se le llama la suma superior). También existe otro tipo de integral, que puede integrar más funciones, llamada la integral de Lebesgue, que usa la medida y el concepto de «en casi todas partes». Éste se muestra después.

Con la teoría de integración se pueden demostrar varios teoremas, en el caso de la integración de Riemann o de Lebesgue, como el teorema de Fubini, pero de un modo más importante el teorema fundamental del cálculo.

Regreso a los conceptos básicos en ambientes más generales

Habiendo hecho todo esto, es útil regresar a los conceptos de continuidad y convergencia, y estudiarlos en un contexto más abstracto, en preparación para estudiar los espacios de funciones, que se hace en el análisis funcional o más especializados tal como el análisis complejo.

Análisis complejo

Gráfico de la función f(z)=(z2-1)(z-2-i)2/(z2+2+2i). La coloración representa el argumento de la función, mientas que el brillo representa el módulo.

El análisis complejo es la rama de las matemáticas que en parte investiga las funciones holomorfas, también llamadas funciones analíticas. Una función es holomorfa en una región abierta del plano complejo si está definida en esta región, toma valores complejos y por último es diferenciable en cada punto de esta región abierta con derivadas continuas.

El que una función compleja, sea diferenciable en el sentido complejo tiene consecuencias mucho más fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales. Por ejemplo, toda función holomorfa se puede representar como una serie de potencias en algún disco abierto donde la serie converge a la función. Si la serie de potencias converge en todo el plano complejo se dice que la función es entera. Una definición equivalente para función holomorfa es: una función compleja sobre los complejos que puede ser representada como una serie de potencias. Esta definición es la más común para funciones holomorfas de varias variables. En particular, las funciones holomorfas son infinitamente diferenciables, un hecho que es marcadamente diferente de lo que ocurre en las funciones reales diferenciables. La mayoría de las funciones elementales como lo son, por ejemplo, algunos polinomios, la función exponencial y las funciones trigonométricas, son holomorfas.

Contenido

1 Historia 2 Resultados principales

o 2.1 Integrales de contornoo 2.2 Series de Laurento 2.3 Teorema de Liouvilleo 2.4 Continuación analíticao 2.5 Otros

3 Véase también 4 Enlaces externos

Historia

Augustin Louis Cauchy, uno de los grandes precursores del análisis complejo.

El análisis complejo es una de las ramas clásicas de las matemáticas que tiene sus raíces más allá del siglo XIX. Los nombres destacados en su desarrollo son Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass y muchos más en el siglo XX. Tradicionalmente, el análisis complejo, en particular la teoría de las aplicaciones conformes, tiene muchas aplicaciones en ingeniería, pero es ampliamente usada también en teoría de números analítica. En tiempos modernos se convirtió en popular gracias al empuje de la dinámica compleja y los dibujos de fractales, producidos por la iteración de funciones holomorfas, de los cuales el más popular es el conjunto de Mandelbrot. Otras aplicaciones importantes del análisis complejo son las de la teoría de cuerdas, una teoría de campos cuánticos conforme-invariante.

Resultados principales

Integrales de contorno

Una herramienta de central importancia en el análisis complejo es la integral de contorno. La integral de una función que sea holomorfa sobre y en el interior de un camino cerrado es siempre cero. Esto es el Teorema integral de Cauchy. Los valores de una función holomorfa dentro de un disco pueden ser hallados mediante una integral de contorno sobre la frontera del disco (fórmula integral de Cauchy). Las integrales de contorno en el plano complejo se usan a menudo para encontrar integrales reales complicadas, y para esto es útil la teoría de los residuos. Si una función tiene un una singularidad en algún punto (o número finitos de ellos), que quiere decir que sus valores "estallan", que no tiene un valor finito en tales puntos, entonces se puede definir el residuo de la función en dicha singularidad, y estos residuos pueden ser usados para calcular integrales aparentemente difíciles de una manera sencilla, este es el contenido del poderoso teorema de los residuos. El curioso comportamiento de las funciones holomorfas cerca de las singularidades esenciales es descrito por el teorema de Weierstrass-Casorati. Las funciones que tienen sólo polos (un tipo de singularidad de funciones racionales donde el polinomio denominador tiene un número finito de ceros) y no singularidades esenciales se dicen meromorfas.

Series de Laurent

Las series de Laurent son similares a las series de Taylor pero pueden ser usadas para estudiar el comportamiento de las funciones cerca de las singularidades.

Teorema de Liouville

Una función acotada que sea holomorfa en el plano complejo debe ser constante; esto es el Teorema de Liouville, que puede usarse para dar una prueba natural y breve del Teorema fundamental del álgebra, que dice que el cuerpo de los números complejos es un cuerpo algebraicamente cerrado.

Continuación analítica

Una propiedad importante de las funciones holomorfas es que si una función lo es en un dominio simplemente conexo entonces sus valores están completamente determinados por sus valores sobre cualquier subdominio más pequeño. La función sobre el dominio más grande se diría que está analíticamente continuada, que es la continuación desde sus valores en el dominio más pequeño. Esto permite extender, a casi todo el plano, la definición de funciones como la función ζ de Riemann que están inicialmente definidas en términos de sumas infinitas que convergen sólo sobre dominios limitados. Algunas veces, como en el caso del logaritmo natural, es imposible continuar analíticamente una función holomorfa a un dominio conexo no simple en el plano complejo, pero es posible extenderla a una función holomorfa sobre una superficie íntimamente relacionada conocida como superficie de Riemann.

Otros

Existe también una rica teoría en el caso de más de una dimensión compleja, donde las propiedades analíticas como las de expansión en series de potencias permanece aún cierta pero que sin embargo la mayoría de las propiedades geométricas de las funciones en una dimensión compleja (como la de transformación conforme) ya no lo son. El teorema de representación conforme de Riemann sobre las relaciones conformes de ciertos dominios en el plano complejo, que puede ser el resultado más importante en la teoría unidimensional, falla totalmente en dimensiones mayores.

Análisis funcionalSaltar a: navegación, búsqueda Para otros usos de este término, véase Análisis funcional (desambiguación).

El análisis funcional es la rama de las matemáticas, y específicamente del análisis, que trata del estudio de espacios de funciones. Tienen sus raíces históricas en el estudio de transformaciones tales como transformación de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales. La palabra funcional se remonta al cálculo de variaciones, implicando una función cuyo argumento es una función. Su uso en general se ha atribuido a Volterra.

En la visión moderna inicial, se consideró el análisis funcional como el estudio de los espacios vectoriales normados completos sobre los reales o los complejos. Tales espacios se llaman Espacios de Banach. Un ejemplo importante es el espacio de Hilbert, donde la norma surge de un producto escalar. Estos espacios son de importancia fundamental en la formulación matemática de la mecánica cuántica. Más general y modernamente, el análisis funcional incluye el estudio de los espacios de Fréchet y otros espacios vectoriales localmente convexos y aún topológicos.

Un objeto importante de estudio en análisis funcional son los operadores lineales continuos definidos en los espacios de Banach y de Hilbert. Éstos conducen naturalmente a la definición de C* álgebra y otras álgebras de operadores.

Los espacios de Hilbert pueden ser clasificados totalmente: hay un espacio único de Hilbert módulo isomorfismo para cada cardinal de la base (hilbertiana). Puesto que los espacios de Hilbert finito-dimensionales se entienden completamente en álgebra lineal, y puesto que los morfismos de los espacios de Hilbert se pueden dividir siempre en morfismos de espacios con dimensionalidad alef-0 ( ), análisis funcional de Hilbert trata sobre todo con el espacio único de Hilbert de dimensionalidad alef-0, y sus morfismos.

Los espacios de Banach generales son mucho más complicados que los espacios de Hilbert. Dado que un espacio de Banach es un espacio vectorial, una base es un sistema de generadores linealmente independiente. Este concepto, cuando la dimensión no es finita, suele carecer de utilidad; lo sustituye el de conjunto fundamental. Un conjunto de vectores

es fundamental si la clausura topológica del subespacio vectorial que engendra es el espacio completo. Dado que un vector pertenece a su clausura topológica si es el límite de una sucesión de vectores del subespacio vectorial engendrado, descubrimos que, en caso de disponer de un conjunto fundamental, podemos poner todo vector del espacio como el límite de una sucesión de combinaciones lineales de los vectores de un conjunto fundamental.

Un ejemplo de lo anterior es el Teorema de aproximación de Weierstrass que afirma que toda función real continua en un intervalo compacto puede ser aproximada mediante polinomios. El espacio de Banach es, en este caso, el conjunto de las funciones continuas en un compacto y el conjunto fundamental las potencias enteras del argumento. Este teorema se extiende mediante el teorema de Stone-Weierstrass.

Para cualquier número real p ≥ 1, un ejemplo de un espacio de Banach viene dado por los espacios Lp.

En los espacios de Banach, una gran parte del estudio involucra al espacio dual: el espacio de todas funcionales lineales continuas. Como en álgebra lineal, el dual del dual no es siempre isomorfo al espacio original, pero hay un monomorfismo natural de un espacio en su doble dual siempre. Esto se explica en el artículo espacio dual.

La noción de derivada se amplía a las funciones arbitrarias entre los espacios de Banach; resulta que la derivada de una función en cierto punto es realmente una función lineal continua.

Un ejemplo de espacio de Banach es el Espacio de Sóbolev.

Aquí enumeramos algunos resultados importantes del análisis funcional:

Teorema de Banach-Steinhaus es un resultado en conjuntos equicontinuos de operadores.

Teorema espectral da una fórmula integral para los operadores normales en un espacio de Hilbert. Es de importancia central en la formulación matemática de la mecánica cuántica.

Teorema de Hahn-Banach es sobre la extensión de funcionales continuos desde un subespacio a todo el espacio, de una manera que preserve la norma.

Teorema de la función abierta y teorema de la gráfica cerrada. Teorema del punto fijo de Banach

En matemáticas el análisis armónico o análisis de Fourier estudia la representación de funciones o señales como superposición de ondas "básicas" o armónicos.

Investiga y generaliza las nociones de series de Fourier y transformadas de Fourier. A lo largo de los siglos XIX y XX se ha convertido en una materia enorme con aplicaciones en campos diversos como el procesamiento de señales, la mecánica cuántica o la neurociencia.

Contenido

1 Serie de Fourier 2 Transformada de Fourier 3 Análisis armónico abstracto 4 Referencias

Serie de FourierArtículo principal: Serie de Fourier.

Las series de Fourier se utilizan para descomponer una función, señal u onda periódica como suma infinita o finita de funciones, señales u ondas armònicas o sinusoidales, es decir, una serie de Fourier es un tipo de serie trigonométrica.

Transformada de FourierArtículo principal: Transformada de Fourier.

La transformada clásica de Fourier en Rn aún es un área de investigación activa, sobre todo en la transformación de Fourier sobre objetos más generales, como las distribuciones temperadas. Por ejemplo, si imponemos algunos requerimientos sobre una distribución f, podemos intentar trasladarlos a términos de su transformada de Fourier. El Teorema de Paley-Wiener es un ejemplo de ello, que implica inmediatamente que si f es una distribución de soporte compacto (lo que incluye a las funciones de soporte compacto), entonces su transformada de Fourier no tiene nunca el soporte compacto. Esto es un tipo muy elemental de un principio de incertidumbre en términos del análisis armónico.

Las series de Fourier pueden ser estudiadas convenientemente en el contexto de los espacios de Hilbert, lo que nos da una conexión entre el análisis armónico y el análisis funcional.

Análisis armónico abstracto

Una de las ramas más modernas del análisis armónico, que tiene sus raíces a mediados del siglo XX, es el análisis sobre grupos topológicos. El ideal central que lo motiva es la de las varias transformadas de Fourier, que pueden ser generalizadas a una transformación de funciones definidas sobre grupos localmente compactos.

La teoría para los grupos localmente compactos abelianos se llama dualidad de Pontryagin, que se considera una proposición muy satisfactoria ya que explica las características envueltas en el análisis armónico. En su página se encuentra desarrollada en detalle.

El análisis armónico estudia las propiedades de tal dualidad y la transformada de Fourier; y pretende extender tales características a otros marcos, por ejemplo en el del caso de los grupos de Lie no abelianos.

Para grupos generales no abelianos localmente compactos, el análisis armónico está muy relacionado con la teoría unitaria de representación de grupos unitarios. Para grupos compactos, el Teorema de Peter-Weyl explica cómo se pueden conseguir armónicos extrayendo una representación irreducible de cada clase de equivalencia de representaciones. Esta elección de armónicos goza de algunas de las propiedades útiles de la transformada de Fourier clásica de forma que lleva convoluciones a productos escalares, o por otra parte mostrando cierta comprensión sobre la estructura de grupo subyacente.

Análisis numéricoSaltar a: navegación, búsqueda

El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.

Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.

Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas pueden llevarse adelante a través de la generación de una serie de números que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback). Esto proporciona un poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina que a medida que va completando un ciclo va llegando a la solución. El problema ocurre en determinar hasta cuándo deberá continuar con el ciclo, o si nos estamos alejando de la solución del problema.

Finalmente, otro concepto paralelo al análisis numérico es el de la representación, tanto de los números como de otros conceptos matemáticos como los vectores, polinomios, etc. Por ejemplo, para la representación en ordenadores de números reales, se emplea el concepto de coma flotante que dista mucho del empleado por la matemática convencional.

En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos e

ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales. .

Contenido

1 Problemaso 1.1 Clasificación atendiendo a su naturaleza o motivación

2 Áreas de estudioo 2.1 Cálculo de los valores de una funcióno 2.2 Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuacioneso 2.3 Descomposición espectral y en valores singulareso 2.4 Optimizacióno 2.5 Evaluación de integraleso 2.6 Ecuaciones diferenciales

3 Otros temas de análisis numérico 4 Referencias 5 Enlaces externos

o 5.1 En castellanoo 5.2 En inglés

Problemas

Los problemas de esta disciplina se pueden dividir en dos grupos fundamentales:

Problemas de dimensión finita: aquellos cuya respuesta son un conjunto finito de números, como las ecuaciones algebraicas, los determinantes, los problemas de valores propios, etc.

Problemas de dimensión infinita: problemas en cuya solución o planteamiento intervienen elementos descritos por una cantidad infinita de números, como integración y derivación numéricas, cálculo de ecuaciones diferenciales, interpolación, etc.

Clasificación atendiendo a su naturaleza o motivación

Asimismo, existe una subclasificación de estos dos grandes apartados en tres categorías de problemas, atendiendo a su naturaleza o motivación para el empleo del cálculo numérico:

1) Problemas de tal complejidad que no poseen solución analítica.

2) Problemas en los cuales existe una solución analítica, pero ésta, por complejidad u otros motivos, no puede explotarse de forma sencilla en la práctica.

3) Problemas para los cuales existen métodos sencillos pero que, para elementos que se emplean en la práctica, requieren una cantidad de cálculos excesiva; mayor que la necesaria para un método numérico.

Áreas de estudio

El análisis numérico se divide en diferentes disciplinas de acuerdo con el problema que resolver.

Cálculo de los valores de una función

Uno de los problemas más sencillos es la evaluación de una función en un punto dado. Para polinomios, uno de los métodos más utilizados es el algoritmo de Horner, ya que reduce el número de operaciones a realizar. En general, es importante estimar y controlar los errores de redondeo que se producen por el uso de la aritmética de punto flotante.

La extrapolación es muy similar a la interpolación, excepto que ahora queremos encontrar el valor de la función desconocida en un punto que no está comprendido entre los puntos dados.

La regresión es también similar, pero tiene en cuenta que los datos son imprecisos. Dados algunos puntos, y una medida del valor de la función en los mismos (con un error debido a la medición), queremos determinar la función desconocida. El método de los mínimos cuadrados es una forma popular de conseguirlo.

Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones

Otro problema fundamental es calcular la solución de una ecuación o sistema de ecuaciones dado. Se distinguen dos casos dependiendo de si la ecuación o sistema de ecuaciones es o no lineal. Por ejemplo, la ecuación es lineal mientras que la ecuación

no lo es.

Mucho esfuerzo se ha puesto en el desarrollo de métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Métodos directos, i.e., métodos que utilizan alguna factorización de la matriz son el método de eliminación de Gauss, la descomposición LU, la descomposición de Cholesky para matrices simétricas (o hermíticas) definidas positivas, y la descomposición QR. Métodos iterativos como el método de Jacobi, el método de Gauss-Seidel, el método de las aproximaciones sucesivas y el método del gradiente conjugado se utilizan frecuentemente para grandes sistemas.

En la resolución numérica de ecuaciones no lineales algunos de los métodos más conocidos son los métodos de bisección, de la secante y de la falsa posición. Si la función es además

derivable y la derivada se conoce, el método de Newton es muy utilizado. Este método es un método de iteración de punto fijo. La linealización es otra técnica para resolver ecuaciones no lineales.

Las ecuaciones algebraicas polinomiales poseen una gran cantidad de métodos numéricos para enumerar :

Método de Gräeffe (o método de Lobachevsky o de Lobachevsky-Dandelin-Gräeffe o del cuadrado de las raíces)

Método de Laguerre

Método de Bairstow (o método de Lin-Bairstow)

Método de Bernoulli

Método de Horner

Método de Householder

Método de Newton-Raphson especializado para polinomios

Método de Richmond especializado para polinomios

Método modificado de Richmond

Método de Newton-Horner

Método de Richomnd-Horner

Método de Birge-Biète

Método de Jenkins-Traub

Descomposición espectral y en valores singulares

Bastantes problemas importantes pueden ser expresados en términos de descomposición espectral (el cálculo de los vectores y valores propios de una matriz) o de descomposición en valores singulares. Por ejemplo, el análisis de componentes principales utiliza la descomposición en vectores y valores propios.

OptimizaciónArtículo principal: Optimización (matemática).

Los problemas de optimización buscan el punto para el cual una función dada alcanza su máximo o mínimo. A menudo, el punto también satisface cierta restricción.

Ejemplos de ,problemas de optimización son la programación lineal en que tanto la función objetivo como las restricciones son lineales. Un método famoso de programación lineal es el método simplex.

El método de los multiplicadores de Lagrange puede usarse para reducir los problemas de optimización con restricciones a problemas sin restricciones.

Evaluación de integralesArtículo principal: Integración numérica.

La integración numérica, también conocida como cuadratura numérica, busca calcular el valor de una integral definida. Métodos populares utilizan alguna de las fórmulas de Newton–Cotes (como la regla del rectángulo o la regla de Simpson) o de cuadratura gaussiana. Estos métodos se basan en una estrategia de "divide y vencerás", dividiendo el intervalo de integración en subintervalos y calculando la integral como la suma de las integrales en cada subintervalo, pudiéndose mejorar posteriormente el valor de la integral obtenido mediante el método de Romberg. Para el cálculo de integrales múltiples estos métodos requieren demasiado esfuerzo computacional, siendo útil el método de Monte Carlo.

Ecuaciones diferenciales

El análisis numérico también puede calcular soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales, bien ecuaciones diferenciales ordinarias, bien ecuaciones en derivadas parciales. Los métodos utilizados suelen basarse en discretizar la ecuación correspondiente. Es útil ver la derivación numérica.

Para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias los métodos más utilizados son el método de Euler y los métodos de Runge-Kutta.

Las ecuaciones en derivadas parciales se resuelven primero discretizando la ecuación, llevándola a un subespacio de dimensión finita. Esto puede hacerse mediante un método de los elementos finitos.

Cálculo vectorialSaltar a: navegación, búsqueda

El cálculo vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física.

Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad.

Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:

Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.

Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial.

Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.

Laplaciano: relaciona el "promedio" de una propiedad en un punto del espacio con otra magnitud, es un operador diferencial de segundo orden.

La mayoría de los resultados analíticos se entienden más fácilmente usando la maquinaria de la geometría diferencial, de la cual el cálculo vectorial forma un subconjunto.

Historia

El estudio de los vectores se origina con la invención de los cuaterniones de Hamilton, quien junto a otros los desarrollaron como herramienta matemáticas para la exploración del espacio físico. Pero los resultados fueron desilusionantes, porque vieron que los cuaterniones eran demasiado complicados para entenderlos con rapidez y aplicarlos fácilmente.

Los cuaterniones contenían una parte escalar y una parte vectorial, y las dificultades surgían cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo. Los científicos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían manejar considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el Análisis Vectorial.

Este trabajo se debe principalmente al físico americano Josiah Willar Gibbs (1839-1903).

El análisis web es un conjunto de técnicas relacionadas con el análisis de datos relativos al tráfico en un sitio web con el objetivo de entender su tráfico como punto de partida para optimizar diversos aspectos del mismo.

Existen dos categorías de análisis web: off-site y on-site. Los análisis web off-site hacen referencia a mediciones web y análisis independientes de si se es el dueño del sitio web o se le da mantenimiento. Esto incluye la medición de la audiencia potencial (oportunidad), participación de voz (visibilidad) y zumbidos (comentarios) de acerca de lo que está pasando en Internet como un todo.

Los análisis web on-site miden la ruta de un visitante una vez que se ingresa a un sitio de internet de propiedad de la persona que realiza el análisis. Esto incluye conversiones; por ejemplo qué páginas de llegada alientan a las personas a hacer una compra. Las mediciones de análisis web on-site comparan indicadores de desempeño clave y lo usan para mejorar un sitio web o la respuesta de la audiencia frente a una campaña de mercadeo.

Históricamente, el análisis web ha hecho referencia a la medición de visitantes on-site. Sin embargo, en años recientes se ha producido la convergencia de ambos aspectos, principalmente debido a que los vendedores están produciendo herramientas que abarquen ambas categorías.

Contenido

1 Fuentes de información 2 Herramientas

o 2.1 Analizadores de ficheros de logso 2.2 Etiquetado de páginaso 2.3 Sistemas híbridoso 2.4 Packet Sniffing

2.4.1 Ventajas 3 Factores económicos 4 Definiciones clave 5 Enlaces externos

Fuentes de información

Las fuentes de información de Web Analytics son:

1. Herramientas de Web Analytics.2. Servidores de Publicidad online.3. Herramientas de mercadeo por correo electrónico (envío masivo de correos electrónicos).4. Bases de datos corporativas, de clientes, proveedores, etc.

Herramientas

Las herramientas de análisis web son las encargadas de capturar y procesar la información del sitio web, para proveer información sobre el comportamiento de los usuarios en el sitio: el sitio del que proceden, qué hacen en el sitio, por qué páginas navegan, durante cuánto tiempo, cuántas veces revisitan el sitio, de que país son, qué tipo de conexión de internet tienen, en qué punto abandonan el sitio, en qué paso de un proceso de alta desisten, etc.

Las herramientas de Web Analytics pueden basarse en diferentes plataformas tecnológicas:

Analizadores de ficheros de logs

Son programas que analizan los logs de los servidores proporcionando información sobre “quién”, “cuándo” y “cómo” los visita. Sus principales ventajas son:

Los servidores siempre producen ficheros de logs, con lo que la información está siempre disponible.

Los servidores capturan la totalidad de los accesos al sitio. La información normalmente reside en los propios servidores y tiene un formato

estandarizado. Esto facilita la migración de unas herramientas a otras. Los ficheros de logs almacenan información sobre las peticiones fallidas, mientras que con

otras técnicas, ésta se pierde.

Etiquetado de páginas

Este método, más reciente que el anterior, está basado en la incorporación de un script a cada una de las páginas de un sitio. Cada vez que una página es visitada, este script se comunica con una base de datos a la que comunica la impresión de la página junto con, potencialmente, datos adicionales procedentes de las cookies. Esta técnica cuenta con las siguientes ventajas:

Potencialmente, puede capturarse información no disponible en los ficheros de logs e, incluso, modificarla sin más que cambiar los scripts.

El etiquetado de páginas puede realizarse aun en casos en que los dueños del sitio no dispongan acceso (por estar alojado en servidores ajenos, por ejemplo) a los logs del servidor.

Sistemas híbridos

Algunas empresas han desarrollado soluciones que combinan ambas soluciones agregándose las ventajas individuales de las mismas.

Packet Sniffing

El “Packet sniffer” se agrega entre la computadora del usuario y el servidor del sitio por ello tiene una capacidad de captura de información óptima, capturando toda información que se genere, siendo esta una Page View o no.

Ventajas

La principal ventaja de packet sniffing en cuanto a la recolección de datos es el hecho de que toda la información es capturada, sea haya generado o no una Pageview, se haya completado la descarga del contenido o no.

Alta performance. Escalabilidad.

Fácil implementación. No hay que setear nada para analizar el clickstream.

Factores económicos

El análisis de los ficheros de logs suele realizarse internamente. La adquisición del software necesario exige un desembolso único inicial, aunque existen también excelentes analizadores gratuitos.

Sin embargo, el análisis de los datos procedentes del etiquetado de las páginas suele (subcontratarse) a empresas que pueden exigir pagos periódicos dependiendo del nivel de servicio.

La alternativa más adecuada depende del conocimiento técnico interno del propietario del sitio, de la profundidad del análisis que requiera, del proveedor, el volumen de tráfico, etc.

Definiciones clave

No hay definiciones aprobadas globalmente acerca de los análisis web aun cuando los organismos de la industria han estado tratando de concordar definiciones que sean útiles y definitivas por algún tiempo. Las principales organizaciones que han brindado aportes en esta área han sido Jicwebs(Industry Committee for Web Standards)/ABCe (Auditing Bureau of Circulations electronic, UK and Europe), WAA (Web Analytics Association, US) y en una menor proporción IAB (Interactive Advertising Bureau). Esto no evita que la siguiente lista sea una guía útil, sufriendo sólo de un poco de ambigüedad. Ambos, WAA y los ABCe proporcionan más listas definitivas para aquellos que están declarando sus estadísticas usando las métricas definidas por alguno de ellos.

Hit: Una petición de un archivo hacia el servidor web. Está disponible sólo en logs de análisis. El número de hits recibidos por un sitio web es citado frecuentemente para deducir su popularidad, pero este número es extremadamente engañoso y sobrestima dramáticamente la popularidad. Una sola página web generalmente consiste en múltiples (a veces docenas) de archivos, cada uno de los cuales es contado como un hit aun cuando una sola página es descargada, por lo cual el número de hits es realmente un número arbitrario más que refleja la complejidad de páginas individuales en el sitio web que la popularidad real del sitio web. El número total de visitantes o páginas vistas proporciona una apreciación más realista y precisa de popularidad.

Página vista: Una petición por un archivo cuyo tipo es definido como una página en el log de análisis. En dicho log, la vista de una sola página puede generar múltiples hits así como todos los recursos requeridos para ver la página (imágenes, archivos .js y .css) también son solicitados por el servidor web.

Visita / Sesión: Una serie de peticiones del mismo cliente identificado de manera única en un rango de tiempo, a veces 30 minutos. Un visitante contiene una o más páginas vistas.

Primera visita / Primera sesión: Una visita de un usuario que no ha ingresado al sitio con anterioridad.

Visitante / Visitante único / Usuario único: El cliente identificado de manera única generando peticiones hacia el sitio web (log de análisis) o viendo páginas (etiquetado de

páginas) en un período determinado (por ejemplo, dia, semana o mes). Un visitante único cuenta una sola vez en la escala de tiempo. Un visitante puede hacer múltiples visitas. La identificación se hace respecto de la computadora del visitante, no la persona, generalmente vía cookies y/o IP+User Agent. Es por ello que la misma persona visitando desde dos computadoras distintas contará como dos visitantes únicos.

Visitante repetido: Un visitante que ha llegado al sitio en una oportunidad anterior. El periodo entre su última visita y la actual es medido en días.

Nuevo visitante: Un visitante que no ha hecho visita previa alguna. Esta definición crea un cierto nivel de confusión, y es a veces sustituido con análisis de primeras visitas.

Impresión: Es cada vez que un anuncio carga en la pantalla de un usuario. Cada vez que uno ve un aviso, eso es una impresión.

Singleton: El número de visitas donde sólo una página es vista. Mientras que esto no es una métrica útil por sí mismo, el número de singletons es indicador de varias formas de fraude de clics así como es siendo usado para calcular la tasa de abandonos y en algunos casos para identificar robots autómatas.

Tasa de abandono: El porcentaje de visitas donde el visitante ingresa y sale en la misma página sin visitar otras páginas en el sitio.

Porcentaje de salida: El porcentaje de usuarios que salen de una página. Tiempo de visibilidad: El tiempo en que en una sola página (o un blog, o anuncio

publicitario) es visto. Duración de la sesión: Cantidad promedio de tiempo que los visitantes pasan en el sitio

cada vez que ellos lo visitan. Esta métrica puede ser complicada por el hecho de que los programas de análisis no pueden medir la duración de la vista de la última página.

Duración de la vista de página / Tiempo en página: Cantidad de tiempo promedio que los visitantes pasan en cada página del sitio. Así como ocurre con la duración de la sesión, esta métrica es complicada por el hecho de que los programas de análisis no pueden medir la duración de la vista de la última página.

Profundidad de página / Páginas vistas por sesión: La profundidad de la página es el número promedio de páginas vistas que un visitante consume antes de terminar su sesión. Es calculando dividiendo el número total de páginas vistas entre el número total de sesiones, y es llamado también páginas vistas por sesión.

Frecuencia / Sesión única - La frecuencia mide cuán seguido los visitantes llegan a un sitio. Es calculado dividiendo el número total de sesiones (o visitas) entre el número total de visitantes únicos. A veces es usado para medir la lealtad de la audiencia.

Ruta de clics - La secuencia de hiperenlaces que uno o más visitantes del sitio web siguen en un sitio dado.

Análisis de algoritmosEl análisis de algoritmos es una parte importante de la Teoría de complejidad computacional más amplia, que provee estimaciones teóricas para los recursos que necesita cualquier algoritmo que resuelva un problema computacional dado. Estas estimaciones resultan ser bastante útiles en la búsqueda de algoritmos eficientes.

A la hora de realizar un análisis teórico de algoritmos es común calcular su complejidad en un sentido asintótico, es decir, para un tamaño de entrada

suficientemente grande. La cota superior asintótica, y las notaciones omega (cota inferior) y theta (caso promedio) se usan con esa finalidad. Por ejemplo, la búsqueda binaria decimos que se ejecuta en una cantidad de pasos proporcional a un logaritmo, en O(log(n)), coloquialmente "en tiempo logarítmico". Normalmente las estimaciones asintóticas se utilizan porque diferentes implementaciones del mismo algoritmo no tienen porque tener la misma eficiencia. No obstante la eficiencia de dos implementaciones "razonables" cualesquiera de un algoritmo dado están relacionadas por una constante multiplicativa llamada constante oculta.

La medida exacta (no asintótica) de la eficiencia a veces puede ser computada pero para ello suele hacer falta aceptar supuestos acerca de la implementación concreta del algoritmo, llamada modelo de computación. Un modelo de computación puede definirse en términos de un ordenador abstracto, como la Máquina de Turing, y/o postulando que ciertas operaciones se ejecutan en una unidad de tiempo. Por ejemplo, si al conjunto ordenado al que aplicamos una búsqueda binaria tiene n elementos, y podemos garantizar que una única búsqueda binaria puede realizarse en un tiempo unitario, entonces se requieren como mucho log2 N + 1 unidades de tiempo para devolver una respuesta.

Las medidas exactas de eficiencia son útiles para quienes verdaderamente implementan y usan algoritmos, porque tienen más precisión y así les permite saber cuanto tiempo pueden suponer que tomará la ejecución. Para algunas personas, como los desarrolladores de videojuegos, una constante oculta puede significar la diferencia entre éxito y fracaso.

Las estimaciones de tiempo dependen de cómo definamos un paso. Para que el análisis tenga sentido, debemos garantizar que el tiempo requerido para realizar un paso esté acotado superiormente por una constante. Hay que mantenerse precavido en este terreno; por ejemplo, algunos análisis cuentan con que la suma de dos números se hace en un paso. Este supuesto puede no estar garantizado en ciertos contextos. Si por ejemplo los números involucrados en la computación pueden ser arbitrariamente grandes, dejamos de poder asumir que la adición requiere un tiempo constante (usando papel y lápiz, compara el tiempo que necesitas para sumar dos enteros de 2 dígitos cada uno y el necesario para hacerlo con enteros de 1000 dígitos).

Análisis de sistemasEl análisis de sistemas es la ciencia encargada del análisis de sistemas grandes y complejos y la interacción entre esos sistemas. Esta área se encuentra muy relacionada con la Investigación de operaciones. También se denomina análisis de sistemas a una de las etapas de construcción de un sistema informático, que consiste en relevar la información actual y proponer los rasgos generales de la solución futura.

Los sistemas en relación con el análisis de sistemas están relacionados con cualquier campo tales como: procesos industriales, administración, toma de decisiones, procesos, protección al medio ambiente, etc. En 1953 los hermanos Howard T. Odum y Eugene Odum empezaron a aplicar una visión de sistemas a la ecología biológica, basándose en los trabajos de Raymond Lindeman (1942) y Arthur Tansley (1935).

Los analistas de sistemas utilizan la metodología matemática para obtener los detalles de los sistemas a los cuales se encuentran analizando.

Modelado

La teoría de sistemas de cómputo es la base de modelado para sistemas complejos, los cuales se dividen en tres conceptos básicos: unidades, procesos y estructuras. Una vez que se han identificado esos componentes, se genera un modelo de teoría de juegos. Este modelo después puede ser llevado a la simulación.

Analisis de sistemas es impartida en la Universidad y tiene mucha relacion con la Ingenieria de Software , en resumen un sistema es un conjunto de elementos interrelacionados o componentes entrelazados entre si para lograr un objetivo común entre los elementos del sistema.

analisis y diseño de sistemas

kendal & kendal james Senn

Robert S. McNamara Buckminster Fuller Gregory Bateson Stewart Brand

Análisis de redes

El estudio de las propiedades estructurales y su optimización así como su dinámica son objeto del análisis de redes.

El análisis de redes es el área encargada de analizar las redes mediante la teoría de redes (conocida más genéricamente como teoría de grafos). Las redes pueden ser de diversos tipos: social,1 transporte, eléctrica,2 biológica, internet, información, epidemiología, etc.3 Los estudios realizados sobre las redes abarcan sus estructuras tales como en las redes de mundo pequeño, las redes libres de escala, los círculos sociales, medidas de centralidad. Puede ser objeto de estudio la optimización como en el caso de método de la ruta crítica, el PERT (del inglés Program Evaluation & Review Technique). Así como la dinámica de las redes como pede ser el estudio de sistema dinámico secuencial (SDS del inglés Sequential Dynamical System), o de propiedades como la asignación dinámica de flujos.

Contenido

1 Análisis de Redes Sociales 2 Análisis de Redes de Transporte 3 Análisis de Redes Eléctricas 4 Referencias 5 Véase también

Análisis de Redes SocialesArtículo principal: Análisis de redes sociales.

Las redes sociales son objeto de estudio particular en diversos campos que van desde la sociología hasta la gestión del conocimiento en las empresas.4 El estudio se centra en la asociación y medida de las relaciones y flujos entre las personas, grupos, organizaciones, computadoras, sitios web, así como cualquier otra entidad de procesamiento de información/conocimiento. Los nodos en la red en este caso son personas y grupos mientras que los enlaces muestran relaciones o flujos entre los nodos. El análisis de redes sociales proporciona herramientas tanto visuales como matemáticas para el estudio de de las relaciones humanas.

En muchos casos el análisis de redes sociales se fundamenta en el estudio de los agentes en la estructura de la red, para ello se hace un análisis de las medidas de centralidad de los actores de la propia red social con el objetivo de ver las relaciones de poder, de protagonismo, confianza, etc. Así como la detección de comunidades, grupos, etc. debido a la existencia de clusteres específicos. Relaciones de homofilia, clases sociales, redes de tipo ego (red egocéntrica), etc.

Análisis de Redes de TransporteArtículo principal: Análisis de redes de transporte.

Las redes de transporte son objeto de estudio particular en ciertos casos donde se pretende analizar el transporte de bienes y personas entre diversas áreas geográficas. Uno de los objetivos de sus estudio es a veces la mejora y la eficiencia del tráfico. En este análisis los nodos suelen ser las ciudades, los aeropuertos, las estaciones, etc. mientras que los enlaces

suelen ser las carreteras, las autovías, etc. Es objeto de estudio del análisis de redes de transporte se centra en las características de capacidad tales como la admisión de elementos de transporte: aviones, coches, etc. la capacidad del flujo de bienes, etc. planificación del transporte, etc

Análisis de Redes EléctricasArtículo principal: Análisis de redes eléctricas.

El estudio de las propiedades de los circuitos eléctricos y el abastecimiento de energía eléctrica a los diversos puntos de distribución. En el estudio se hace uso de ciertos teoremas como el de Thévenin y Norton así como las leyes de Kirchhoff que permiten hacer redes equivalentes más sencillas para que sea posible su estudio simplificado de las mismas.

Análisis de datosAnálisis de datos es la actividad de transformar un conjunto de datos con el objetivo de poder verificarlos muy bien dándole al mismo tiempo una razón de ser o un análisis racional. Consiste en analizar los datos de un problema e identificarlos.

Análisis musicalSe llama análisis musical a la disciplina que estudia las distintas obras musicales, desde el aspecto de la forma, estructura interna, técnicas de composición, o acerca de la relación entre estos aspectos y cuestiones interpretativas, narrativas y dramáticas. El análisis musical es un campo de la teoría de la música, cuya especialidad es la más reciente: de hecho, su nacimiento como disciplina autónoma se remonta aproximadamente a la segunda mitad del siglo XIX.

El análisis musical es variado y depende mucho de los distintos generos musicales que existen.

FUENTES: WIKIPEDIA