¡tica finan… · 2 quito, noviembre del 2015 datos de los autores ing. milton efraín guamán...
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PRIMERA EDICION
Milton Efraín Guamán
Flavio Florencio Parra
Carlos Patricio Ruales
Dieter Alfredo Kolb
Carlos Clavijo
Quito, Noviembre del 2015
Matematica Financiera Ejercicios Resueltos y Propuestos
2
Quito, Noviembre del 2015
DATOS DE LOS AUTORES
Ing. Milton Efraín Guamán Msc. MBA.
Profesión: Ingeniero Informático
Magister en Finanzas y Gestión de Riesgos
Magister en Dirección de Empresas
Docencia: Universidad Central del Ecuador
Universidad Politécnica Salesiana
Universidad Internacional del Ecuador
Instituto de Altos Estudios Nacionales – IAEN
Fundación Tecnológicas de Latinoamérica – FATLA
Correo: [email protected]
Ing. Flavio Florencio Parra
Profesión: Ingeniero Civil
Docencia: Universidad Central del Ecuador
Universidad Politécnica Salesiana
Correo: [email protected]
Ing. Carlos Patricio Ruales Mgt.
Profesión: Ingeniero Administración de Empresas
Magister en Administración Pública
Docencia: Universidad Central del Ecuador
Universidad Politécnica Salesiana
Correo: [email protected]
3
Ing. Dieter Alfredo Kolb MBA.
Profesión: Ingeniero en Sistemas
Ingeniero Comercial
Magister en Administración de Empresas
Docencia: Universidad de las Fuerzas Armadas “ESPE”
Universidad de las Américas
Universidad Central del Ecuador
Correo: [email protected]
Ing. Carlos Clavijo
Profesión: Ingeniero Civil
Docencia: Universidad Central del Ecuador
Universidad Politécnica Salesiana
Correo: [email protected]
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INTRODUCCIÓN
La matemática financiera trata sobre temas básicos
relacionados con: porcentajes, logaritmos,
progresiones, interés simple, tasa de interés,
gráficos de tiempos y valores, descuentos,
documentos financieros, ecuaciones de valor y
cuentas de ahorro, interés compuesto y
depreciaciones, cuyo conocimiento permitirá al
estudiante encontrar soluciones a problemas que se
presentan en la vida práctica relacionadas con el
ámbito financiero, mercado de capitales,
inversiones, ahorros y de manera general en las
diferentes transacciones
5
IMPORTANCIA
Dentro del mundo de los negocios, el futuro profesional se enfrentará en
muchas ocasiones a tomar decisiones que involucran la inversión adecuada de
los recursos con que cuenta o a la disponibilidad de los mismos por lo tanto es
necesario que tenga los conocimientos que involucran a la Matemática
Financiera.
La Matemática Financiera es de importancia pues le permitirá al estudiante, en
el momento que desempeñe un cargo en los niveles de apoyo o de dirección
en una empresa sea pública o privada, tenga las técnicas, herramientas y
destrezas para la toma de decisiones; entonces, deberá revisar documentos y
emitir una opinión profesional decisiva y definitoria sobre estudios y proyectos o
informes realizados, que necesariamente contendrán cálculos matemáticos y
sobre todo financieros, para ver si es rentable o no una inversión.
En el mundo actual, donde la economía se ha globalizado y que gracias al
apoyo de la cibernética se ha dado una verdadera revolución; pues las
negociaciones y transacciones financieras y afectaciones, se hacen en tiempo
real, por lo que se requiere poseer sólidos conocimientos financieros que
permitan aprovechar las oportunidades que se presentan en el mercado y
tomar las medidas precautelatorias cuando estas puedan afectar las finanzas
de la empresa.
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INDICE DE CONTENIDOS
CAPÍTULO I ............................................................................................................................ 7
1. GENERALIDADES ...................................................................................................... 7
1.1. LOGARITMOS Y PROGRESIONES ................................................................. 7
1.2. INTERÉS SIMPLE ............................................................................................ 19
1.3. DESCUENTOS ................................................................................................. 34
1.4. ECUACIONES DE VALOR Y CUENTAS DE AHORRO ............................... 46
CAPÍTULO II ......................................................................................................................... 66
2. INTERÉS COMPUESTO DEPRECIACIONES ....................................................... 66
2.1. INTERÉS COMPUESTO DEPRECIACIONES............................................... 66
ANEXOS ............................................................................................................................... 96
APENDICE 1 EL PORCENTAJE: APLICACIONES ................................................... 96
APENDICE 2 LOGARITMOS: APLICACIONES ....................................................... 107
APENDICE 3 PROGRESIONES: APLICACIONES ................................................. 118
APENDICE 4 INTERES SIMPLE: APLICACIONES ................................................ 135
APENDICE 5 DESCUENTOS: APLICACIONES ...................................................... 152
APENDICE 6 ECUACIONES DE VALOR Y CUENTAS DE AHORRO:
APLICACIONES ............................................................................................................. 166
APENDICE 7 INTERÉS COMPUESTO: APLICACIONES ...................................... 183
APENDICE 8 DEPRECIACIONES: APLICACIONES .............................................. 205
APENDICE 9 TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA Y TASAS EQUIVALENTES ... 220
BIBLIOGRAFÍA Y NETGRAFÍA ........................................................................................ 233
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................... 233
NETGRAFIA ................................................................................................................... 233
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CAPÍTULO I
1. GENERALIDADES
1.1. LOGARITMOS Y PROGRESIONES
CONCEPTOS PRINCIPALES
Porcentaje:
Se conoce también con el término tanto por ciento y se define como la proporcionalidad que se establece con relación a cien unidades y se expresa con el símbolo ( % ).
Cualquier número que esté expresado en forma decimal se puede escribir como porcentaje recorriendo el punto decimal dos lugares a la derecha y agregando el símbolo de % y viceversa.
El porcentaje puede también expresarse en forma fraccionaria sobre todo en las tasas de interés.
Logaritmos:
Se considera para el estudio solamente la parte que tiene relación con las matemáticas financieras.
Se estudiará la forma de cálculo de las variables n e i.
El logaritmo de todo número es un exponente.
El logaritmo de un producto es igual a la suma de sus logaritmos.
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
El logaritmo de una potencia es igual a la potencia por el logaritmo del número.
Progresiones:
Son una serie de términos en la que cada término posterior al primero puede obtenerse del anterior; sumando, multiplicando o dividiendo por una diferencia o razón común.
El estudio incluye las progresiones que tiene aplicación a las matemáticas financieras.
Progresión Aritmética: Es una sucesión de términos, en la que cualquier término posterior
al primero se obtiene sumándole un número constante llamado diferencia común.
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Progresión Geométrica: Es una sucesión de números tales que cada uno de ellos se
encuentra del anterior multiplicándole o dividiéndole por una cantidad constante llamada
razón.
Progresión Geométrica infinita: Es una variedad de progresión geométrica cuya razón
está entre menos 1 y 1.
Explicaciones y ejemplos:
1. Leer el problema con detenimiento y concentración tantas veces que sean necesarias
hasta entender en forma precisa el alcance de los datos que se proporciona y la variable
desconocida que se debe calcular.
2. Determinar la variable o cantidad desconocida mediante una letra. Observe que ciertas
frases que se incluyen en el problema como: encuentre cuál es, cuánto será etc.; constituyen
las variables que debemos calcular.
3. Despejar de la fórmula la variable desconocida y reemplazar con los datos conocidos la
ecuación.
4. Efectuar los cálculos y verificar las soluciones obtenidas.
Las siguientes páginas incluyen diversos ejemplos sobre cada uno de los temas incluidos en el
bloque I con el procedimiento de cálculo. El éxito del estudio y el adecuado aprendizaje radica
en el análisis de cada uno de ellos y en volverlos a resolver sin mirar la solución, esto le
permitirá y ejercitará para que resuelva los ejercicios propuestos al final del presente bloque.
APLICACIONES SOBRE PORCENTAJES
1.1 . Calcular el 200% de 48,000 usd
Por la regla de tres simple 48,000 100% X 200%
96,000usd100%
200% x 48,000X
Directamente : 48,000* 2 = 96,000 usd
1.2 . Calcular el 50 1/ 2 % de 30,000 usd
Por la regla de tres simple
9
30,000 100%
X 50.5%
usd150,51100%
50.5% x 30,000X
Directamente : 30,000 * 0.505 = 15,150 usd
1.3 Qué porcentaje de 1,000 usd es 71.25 usd
Por la regla de tres simple
1,000 100% 71.25 X
%125.71,000
100% x 71.25X
Directamente : 0.7125 / 1,000 = 7.125%
1.4 Una empresa comercial ofrece en venta refrigeradoras, cuyo precio de
lista es de 650 usd, con un descuento del 20% por venta al contado y con el 12% de IVA. Calcular: a) El valor de la factura a pagar b) El descuento efectivo c) El porcentaje efectivo que beneficie al cliente.
a) Valor de la factura a pagar
650 Precio de lista (PL)
- 130 20% descuento ( 650 * 0.20 ) 520 Precio con descuento
+ 62.40 12% impuesto (520 x 0.12)
582.40 Valor de la factura
b) Descuento efectivo (D.E.)
D.E = precio de lista - valor de la factura D.E = 650 - 582.40; D.E= 67.60 usd
10
c) Porcentaje efectivo que beneficia al cliente
% efectivo = D.E = 67.60 = 0.104 = 10.4%
Precio de lista 650
APLICACIONES SOBRE LOGARITMOS Y EXPONENTES
1.1 Calcular i
3.24 + ( 1 + i ) 50 = 6.345242 - 1
Solución:
( 1 + i ) 50 = 6.345242 - 1 - 3.24 ( 1 + i ) 50 = 2.105242 ( aplico logaritmos a ambos lados )
log ( 1 + i ) 50 = log ( 2.105242 )
50 log ( 1 + i ) = log ( 2.105242 )
log ( 1 + i ) = log ( 2.105242 )
50
log ( 1 + i ) = 0.006446041 ( obtengo el antilogaritmo a ambos lados ) 1+ i = Antilog ( 0.006446041 )
i = Antilog ( 0.006466041 ) – 1 i = 1.014999996 - 1 = 0.01499 = 1.499% ; i = 1.5%
1.2 Calcular n
(1 + 0.12125) n = 0.001042
Solución:
log ( 1 + 0.12125 ) n = log ( 0.001042) n log ( 1.12125 ) = log ( 0.001042 )
log (0.001042) -2.982132281
n = = = - 59.9997 = - 60
11
log (1.12125) 0.049702456
n = - 60 APLICACIONES SOBRE PROGRESIONES
1.1. Una persona se compromete a pagar en forma ascendente durante 24
meses, una deuda por la compra de un automóvil: El primer pago 800; El segundo 840; el tercero 880 y así sucesivamente. ¿Cuánto habrá pagado en total durante los 24 meses?
Solución: Es una progresión aritmética cuya serie de términos es:
800, 840 880,... a = Primer término = 800 d = diferencia común = 840 - 800 = 40 n = número de términos = 24 u = último término = a + ( n – 1 ) d u = 800 + ( 24 –1 ) 40 = 1.72
S = suma de términos = n/2*(a+u)
S = 24/2*(800+1.720)
S = 30,240 usd
1.2 Una empresa tiene ventas anuales por 500,000 usd. Desea incrementar el 12% anual ¿Cuánto venderá al inicio del año 12?
Solución: Es una progresión geométrica
a = primer término = 500,000 segundo término = 500,000 ( 1 + 0.12 )= 560,000 tercer término = 560,000 ( 1.12 ) = 627,200
es decir: la progresión es. 500,000; 560,000; 627,200 r = razón = 1+12% = 1.12 n = 12
u =ar 1n= 500,000 * 1.12
112
;u=1’739,275usd (ventas al inicio del año 12)
1.3 Hallar la suma de la progresión geométrica infinita
1, ¼; 1/16, 1/64,..
Solución:
a = 1, r = ¼
3333.10.75
1
0.25-1
1
1/4-1
1
r-1
as
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EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN
a) Resolver los siguientes ejercicios:
1. Un electrodoméstico tiene un precio marcado en 250 usd. Sobre este precio se carga un impuesto igual al 10% ; una vez que ha sido cargado se aplica un nuevo impuesto equivalente al 4% del total ¿Cuál será el valor de la factura que el cliente debe pagar?
2. Calcular n en la ecuación
5,225 ( 1 + 0.0255 )n
= 3,750
3. Una persona debe el día de hoy 4,000 usd. De acuerdo mutuo con el acreedor decide pagar 400 usd cada 6 meses al que se debe incluir una tasa de interés del 2 ½% de su obligación, hallar el interés total que debe pagar.
4. Una computadora fue adquirida en 2,000 usd, la depreciación mensual es del 5 %. ¿Qué valor tendrá la máquina después de 24 meses de uso?
b) VERDADERO O FALSO
Marque una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
AFIRMACIÓN V F
Porcentaje es la proporcionalidad que se establece con relación a cada
Unidad.
La vida útil de un activo se estima con base en la experiencia e
informes de expertos o fabricantes.
El logaritmo del cociente de dos números es igual al logaritmo
del numerador más el logaritmo del denominador.
En una progresión geométrica, cada término se obtiene multiplicando
o dividiendo del anterior por una cantidad constante llamada diferencia
común.
En una progresión geométrica infinita, la razón es mayor a 1.
c) CASAMIENTOS
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Una con líneas los siguientes definiciones con los conceptos correspondientes.
DEFINICIONES CONCEPTOS
Depreciación Valor a la fecha de compra
Vida útil Valor del activo cuando deja de ser útil
Costo inicial Duración probable del activo
Valor de salvamento Pérdida del valor
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Resolver:
a) 50 ½% de 30,000
b) 0.5 1/8% de 1’000,000
c) 9 2/8% de 10,000
2.- Qué porcentaje de:
a) 20,000 es 2,212.50 b) 200 es 500 c) 0.25 es 0.005
3.- De qué cantidad es:
a) 820 el 11 1/16% b) 1.15 el 25% c) 25,000 el 20.4%
Auto evaluación
Hasta el momento cual es su evaluación: excelente, bien, regular o mal. Si no se evalúa por
lo menos de “Bien”, debe volver atrás o elaborar un plan remedial para superar las
deficiencias; usted puede, hágalo con entusiasmo.
Por otro lado si se siente bien o excelente, ADELANTE Y FELICIDADES.
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4.- Una empresa ofrece a la venta refrigeradoras cuyo precio de lista es de $650 con un
descuento del 12% por venta al contado y con el 5% de impuesto a las ventas. Calcule los
siguientes ítems: a) el valor de la factura a pagar; b) el descuento efectivo; c) el porcentaje
efectivo que beneficia al cliente.
5.- Un comerciante compra mercadería por un valor de $180,000 y la vende en $270,000.
Calcule los siguientes ítems: a) la utilidad; b) el porcentaje de ésta en relación con el precio
de costo; c) el porcentaje en relación con el precio de venta.
6.- Calcule i :
a) 1345242.6124.350
i
b) 666723.28135
i
7.- Calcule n :
a) 0000841.0061222.01
n
b) 001042.012125.01
n
8.- Encuentre los términos 20 y la suma de los 20 primeros términos de las progresiones:
a) -3 ; -2 ; 4 ; -1 ; 8 ; …
b) 0; 3x ; 6x ; …
c) x ; -6x ; -12x ; …
9.- Una empresa desea la estabilidad de sus empleados y mantiene una política de
incremento de salarios. Si el salario inicial de un nuevo empleado es de $ 460 y se
considera un incremento anual del 10%. ¿Cuál será el sueldo del empleado después de 15
años?
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10.- Una persona se compromete a pagar en forma ascendente durante 24 meses una
deuda por la compra de un automóvil; el primer pago $800; el segundo $840; el tercero
$880 y así sucesivamente. ¿Cuánto habrá pagado en total durante los 24 meses?.
11.- Encuentre el 10mo término y la suma de los 10 primeros términos de las siguiente
progresiones geométricas;
a) -2 ; 4 ; -8 ; 16 ; …
b) 1 ; 2 ; 4 ; 8; …
12.- Encuentre la suma de las siguientes progresiones geométricas infinitas:
a) 1 ; 1/5 ; 1/25 ; 1/125 ; …
b) 1 ; ¼ ; 1/16 ; 1/64 ; …
13.- El monto de un depósito después de n años, cuando el interés es compuesto, está
dado por la fórmula n
iC 1 . Si i es la tasa de interés y C es el capital inicial depositado:
a) encuentre los primeros tres términos de la progresión; b) determine la razón.
14.- Si una persona deposita $50,000 al 12% de interés compuesto acumulable
anualmente, ¿cuánto ha acumulado al finalizar el año 12?
15.- Suponiendo que un documento paga el 9% de interés compuesto anual; si se invierten
&187,500 ahora y luego de un tiempo se obtienen $270,000, ¿Cuánto tiempo ha
transcurrido?.
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RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN.
1. Un electrodoméstico tiene un precio marcado en 250 usd. Sobre este precio se carga un impuesto igual al 10% ; una vez que ha sido cargado se aplica un nuevo impuesto equivalente al 4% del total ¿Cuál será el valor de la factura que el cliente debe pagar?.
Solución:
250 Precio de lista
+ 25 Impuesto ( 250 * 0,10 )
275 Precio con impuesto
+ 11 Impuesto ( 275 * 0,04 )
286 Valor de la factura (paga cliente)
2. Calcular n en la ecuación
5,225 ( 1 + 0.0255 ) n
= 3,750
Solución:
5,225 (1 + 0.0255 ) n
= 3,750
( 1 + 0.0255 ) n
= ( 3,750 / 5,225 )
- n log ( 1 + 0.0255 ) = log ( 3,750 / 5,225 )
log ( 3,750 / 5,225 )
5. n = log ( 1 + 0.0255 )
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log ( 3,750 / 5,225 ) - 0.144055
n = - = - = 13,173
log ( 1 + 0.0255 ) 0.01093567
3. Una persona debe el día de hoy 4,000 usd. De acuerdo mutuo con el acreedor
decide pagar 400 usd cada 6 meses al que se debe incluir una tasa de interés del 2
½% de su obligación, hallar el interés total que debe pagar.
Solución : i = 2.5 % semestral = 0.025 ; t = 1
4,000
# de pagos que debe efectuar: 400 = 10 pagos
Saldo Inicial = 4,000
Interés del primer pago = I = c.i.t. = 4,000 * 0.025 = 100
Saldo luego del primer pago = 4,000 - 400 = 3,600
Interés del segundo pago = I = C.i.t. = 3,600 * 0.025 = 90
Saldo luego del segundo pago =3,600 - 400 = 3,200
Interés del tercer pago = I = C.i.t. = 3,200 * 0.025 = 80 y así sucesivamente.
El interés total pagado será la suma de los 10 primeros términos de la progresión
aritmética 100, 90, 80…
En donde a = 100 ; n = 10 ; d = - 10
u = a + ( n – 1 ) d ; U = 100 + ( 10 –1 ) ( - 10 ) = 10
S = n/2*( a + u ) = 10/2*( 100 + 10 ) = 550 usd
4. Una computadora fue adquirida en 2,000 usd, la depreciación mensual es del 5 %
¿Qué valor tendrá la máquina después de 24 meses de uso?.
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Solución:
Al final del 1er. Mes la computadora tendrá un valor de: 2,000 ( 1 – 0.05 ) = 2,000 ( 0.95 ) = 1,900
Al final del 2do. Mes tendrá un valor: 1,900 * 0.95 = 1,805 y así sucesivamente.
El valor que tendrá la máquina después de 24 meses se puede calcular como
una progresión geométrica en donde:
a = 1,900 ; r = 0.95 ; n = 24
u = ar 1n U = 1,900 ( 0.95 )
124
= 583.98 usd
a) Verdadero o Falso.
Marque una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
AFIRMACIÓN V F
Porcentaje es la proporcionalidad que se establece con relación a
cada Unidad.
X
La vida útil de un activo se estima con base en la experiencia e
informes de expertos o fabricantes.
X
El logaritmo del cociente de dos números es igual al logaritmo
del numerador más el logaritmo del denominador.
X
En una progresión geométrica, cada término se obtiene
multiplicando o dividiendo del anterior por una cantidad constante
llamada diferencia común.
X
En una progresión geométrica infinita, la razón es mayor a 1. X
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c) CASAMIENTOS
Una con líneas los siguientes definiciones con los conceptos correspondientes.
DEFINICIONES CONCEPTOS
Depreciación
Valor a la fecha de compra
Vida útil
Valor del activo cuando deja de
ser útil
Costo inicial
Duración probable del activo
Valor de salvamento
Pérdida del valor
1.2. INTERÉS SIMPLE
CONCEPTOS PRINCIPALES
Interés:
Se define como la cantidad pagada por el uso del dinero obtenido en préstamo o la
cantidad producida por la inversión del capital.
Tasa de interés:
Es la razón existente entre el interés devengado y el capital en la unidad de tiempo.
Interés Simple
Se denomina así al interés producido por un capital en un determinado tiempo.
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Año Comercial:
Se lo considera de 360 días (meses de 30 días).
Año Calendario:
Se considera tal cual aparece en el calendario es decir de 365 días, excepto si es
bisiesto, en cuyo caso se toma el año como 366 días.
Tiempo Exacto:
Tomamos el número de días, tal cual consta en el calendario.
Tiempo Aproximado:
Se toma el año de 360 días y los meses de 30 días.
Interés Exacto
Es aquel en que se divide el tiempo para 365 o 366 días.
Interés Ordinario:
En este caso dividimos el tiempo para 360 días.
Monto a Interés Simple:
Es la suma del capital original más los intereses.
Valor actual o Valor presente de un documento o deuda:
Es el capital calculado en una fecha anterior a la del vencimiento de la deuda.
El tiempo que se toma para el cálculo, es el que falta para el vencimiento de la deuda.
Gráfica de tiempos y valores:
Consiste en una línea recta. En la parte superior se colocan los valores nominal, actual
y al vencimiento, y en la parte inferior las fechas de suscripción, negociación y
vencimiento.
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Interés sobre saldos Deudores:
Los intereses se calculan sobre los saldos que van quedando después de deducir
cada cuota que se paga.
Explicaciones y Aplicaciones Las siguientes páginas incluyen ejemplos sobre cada uno de los temas incluidos en el bloque II, con el respectivo procedimiento de cálculo. El éxito del estudio y el adecuado aprendizaje radica en el análisis de cada uno de ellos y en volverlos a resolver sin mirar la solución, esto le permitirá y ejercitará para que resuelva los ejercicios propuestos al final del presente bloque. APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DEL INTERÉS SIMPLE Calcular el interés simple que genera un capital de 350,000 usd al 10% anual desde el 18 de abril hasta el 8 de julio. Solución: Determino el tiempo exacto y el tiempo aproximado.
Tiempo Exacto Tiempo Aproximado Abril 12 12 Mayo 31 30 Junio 30 30 Julio 8 8
81días 80 días Cálculo del interés: I = Cit a)Tiempo aproximado y año comercial
I = 350,000*0.10*80/360 = 7,777.78 usd
b) Tiempo exacto y año comercial I = 350,000*0.10*81/360= 7,875.00 usd c) Tiempo aproximando y año calendario
I=350,000*0.10*80/365 = 7,671.23 usd d) Tiempo exacto y año calendario
I=350,000*0.10*81/365 = 7,767.12 usd Evaluación: El interés más alto se obtiene cuando se calcula con el tiempo
exacto y el año comercial. APLICACIÓN SOBRE EL CÁLCULO DEL CAPITAL, TASA DE INTERÉS Y TIEMPO
a) Determinar cuál es el capital que al cabo de 120 días y con una tasa de
interés del 8% anual, produjo un rendimiento (interés) de 5,500 usd.
22
Solución:
I= Cit C= I C= 5,500 ; I = 206,250 usd
it 0.08*120/360
b) Establecer la tasa de interés a la que debe colocarse un capital de 50,000 usd para que produzca 4,500 usd de Interés en un tiempo de 210 días.
Solución:
I= Cit I = I I = 4,500 = 0,1543 I = 15.43%
Ct 50,000*210/360
c) Calcular el tiempo en el cuál un capital de 150,000 usd producirá un interés de 12,000 usd a una tasa de interés del 1.25 % mensual.
Solución :
I= Cit t = I Ci
t = 1.25 mensual* 12 meses = 15% anual
t= 12,000 ; t = 0.5333 años
150,000*0.15
1 año 360 días X= 0.53333* 360 = 192 días
0.53333 X 1
t= 192 / 30 días = 6 meses y 12 días
APLICACIÓN SOBRE EL CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS
a) Determinar cuál será el monto que generará un capital de 80,000 usd
durante 120 días al 1.5 mensual. Solución: M=C ( 1 + it ) M = 80,000 ( 1+0.18*120/360) ; M= 84,800usd i = 1.5 mensual = 18% anual
23
b) En el ejemplo anterior, ¿cuál es el interés producido?
Solución:
M = C +I I= M – C I = 84,800 – 80,000 ; I= 4,800usd
APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL
1.- Un documento de 250,000 usd vence en 270 días .Calcular el valor actual 120 días antes de su vencimiento considerando una tasa de interés del 9% anual.
Solución: C = valor actual
M=C ( 1 + it ) C= M ( 1+ it )-1
C = 250,000 ( 1 + 0.09 * 120/360)-1 ; C= 242,718.45usd 2.- Establecer el valor actual, 80 días antes de su vencimiento, de un documento de 120,000 usd que vence en 150 días, considerando una tasa de interés del 1 % mensual. Elabore un gráfico de tiempos y valores. Solución:
I = 1% mensual = 12% anual C = M (1 +it ) C=120,000(1+0.12*80/360)-1; C= 116,883.12 usd
I = 1% mensual
C=116,883.12 M= 120,000
120,000
0 70 150 (días)
80 días
3.- Un documento de 250,000 usd fue suscrito el 10 de abril con vencimiento en 120 días al 12 % anual. Establecer su valor actual al 17 de junio considerando una tasa de interés de 0.75% mensual.
Solución: i = 12%
i = 0.75% mensual
250,000 C = 256,663.38 M = 260,000
24
10 de abril 17 de junio 8 de agosto
52 días Establecemos la fecha que corresponde a 120 días plazo desde el 10 de abril y se calcula el monto.
Abril 20 M= C ( 1 + it )
Mayo 31
Junio 30 M= 250,000 ( 1 + 0.12 * 120/360)
Julio 31 Agosto 8 M= 260,000 usd
___
120 días
Se calcula el número de días que falta para el vencimiento y luego calcular el valor
actual con ese tiempo.
I = 0.75 mensual = 9% anual
Junio 13 Julio 31 Agosto 8 Total 52 días
C = M ( 1+it ) –1
C = 260,000 ( 1+0.09 * 52/360) -1
C = 256,663.38usd
APLICACIÓN SOBRE CÁLCULO DEL INTERÉS SOBRE SALDOS DEUDORES Una persona obtiene un préstamo de 3,000 usd en una financiera a un plazo de 6 meses, al 2% mensual sobre saldos deudores. Calcular el
25
valor de las cuotas mensuales, los intereses y elaborar la tabla financiera. Aplicar los métodos lagarto y de saldos deudores. Solución:
a) Método Lagarto:
M = C (1+it) M = 3,000 (1+0.02 *180) ; M = 3,360 usd
30 Cuota fija mensual = 3,360 = 560 usd
6 Intereses = 3,360 - 3,000 = 360 usd
b) Métodos de saldos deudores:
Valor cuota sin interés = 3,000 = 500 usd
6 . 1ra cuota Interés 1ra cuota I = c i t = 300*0.02*1= 60
Valor 1ra cuota = Capital + interés = 500+60 = 560
. 2da cuota Se reduce el capital a $500; queda un saldo de 3,000 – 500 = 2,500
Interés = 2,500*0.02*1 = 50
Valor 2da Cuota = capital + interés = 500+50 = 550
Y así sucesivamente: El valor de la última cuota es: (sexta)
Saldo de la deuda = 500 I = 500*0.02*1 = 10 Valor 6ta cuota = capital + interés = 500+10 = 510
Cuota fija
mensual = a+u = 560+510 = 535 usd
2 2
c) Tabla Financiera
PERÍODO DEUDA INTERÉS CAPITAL CUOTA
1 3,000 60 500 560
2 2,500 50 500 550
26
Interés Pagado = 210usd
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN
a) Resuelva los siguientes ejercicios :
1. Calcular el interés exacto y ordinario de un capital de 100,000 usd al
12% de interés anual desde el 20 de marzo al 15 de mayo.
2. Cuál será el interés que produce un capital de 30,000 usd durante 90
días al 8% anual. 3. Determinar qué capital puede producir 6,500 usd de interés en 60 días
con una tasa de interés del 10% anual. 4. Cuál será la tasa de interés a la que debe colocarse un capital de
$80,000 para que produzca 12,000 usd en 180 días. 5. Calcular el monto y el interés que produjo un capital de 150,000 usd
durante 90 días al 1.5% mensual. 6. Calcular y graficar el valor actual al día de hoy de un documento de
200,000 usd que vence en 90 días considerando una tasa de interés del 1.2% mensual.
b) Verdadero o Falso.
Marque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
3 2,000 40 500 540
4 1,500 30 500 530
5 1,000 20 500 520
6 500 10 500 510
TOTAL 210 3,000 3,210
Consultas en el texto:
Para mejorar el conocimiento y comprensión se debe revisar el capítulo 2 del
texto guía, entre las páginas 31 y 60.
27
AFIRMACIÓN V F
Interés es el alquiler o rédito que se conviene pagar por un dinero tomado en préstamo.
Tasa de interés es la razón del capital al interés devengado.
El monto a interés simple es la suma del capital original mas
los intereses en el transcurso del tiempo.
El valor actual de un documento se calcula en una fecha
anterior a su vencimiento.
Una gráfica de tiempos y valores consiste en una línea recta.
c) Casamientos.
Una con líneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Calcule el interés que gana un capital de $150.000 al 12% anual durante 180 días.
2.- Calcule el interés que gana un capital de $420.000 al 1,5% anual, desde el 15 de
junio hasta el 15 de diciembre del mismo año, según las siguientes opciones y luego
comente los diferentes resultados.
DEFINICIONES
Tasas de interés
Monto
CONCEPTOS
Capital mas interés
Interés sobre capital
AUTOEVALUACIÓN
Hasta el momento cómo se evalúa: Excelente, Bien, Regular o Mal. Si no se evalúa al menos de
“Bien”, debe volver atrás o elaborar un plan remedial para superar las deficiencias, usted puede
hacerlo con entusiasmo. ADELANTE Y FELICITACIONES.
28
a) con el tiempo aproximado y el año comercial;
b) con el tiempo exacto y el año comercial;
c) con el tiempo aproximado y el año calendario;
d) con el tiempo exacto y el año calendario.
3.- Calcule el interés simple y el monto con tiempo exacto y año comercial en cada
uno de los siguientes casos:
a) $1’500.000 al 18% anual a 180 días de plazo; b) $280.000 al 1,7$ mensual a 120 días de plazo; c) $50.000 al 9% anual, del 15 de marzo al 31 de agosto; d) $85.000 al 14,4% anual, del 10 de agosto al 15 de diciembre; e) $4’500.000 al 1,7% mensual, del 10 de abril al 22 de octubre; f) $2’500.000 al 1,5% mensual, del 12 de mayo al 15 de septiembre; g) $3’000.000 al 0,15% diario, del 15 de marzo al 14 de abril.
4.- ¿En qué tiempo se incrementará en $ 80.000 un capital de $ 550.000 colocado al
20 ¼ % anual?
5.- ¿A qué tasa de interés anual se colocó un capital de $300.000 para que se
convierta en $335.000 en 210 días?
6.- Calcule el valor de un pagaré de $240.000con vencimiento en 270 días:
a) Al día de hoy con el 12% de interés anual; b) Dentro de 30 días con el 12% de interés anual; c) Dentro de 90 días con el 12% de interés anual; d) Dentro de 180 días con el 12% de interés anual; e) Antes de 60 días del vencimiento con el 12% de interés anual.
7.- Calcule:
a) La fecha de vencimiento; b) El valor al vencimiento de un documento de $300.000 suscrito el 19 de abril
con vencimiento en 180 días a un interés del 1% mensual; c) Su valor al 15 de julio del mismo año, si se considera una tasa de interés
del 18% anual.
8.- María otorga a Pedro un préstamo por $150.000 con vencimiento en 10 meses a un
29
interés del 18% anual desde la suscripción. Si Pedro paga su deuda 90 días antes de
la fecha de vencimiento , calcule cuál sería el valor del pago.
9.- Se necesita conocer cuál fue la suma de dinero que colocada al 7% de interés
semestral produjo $%95.000 en 11 meses.
10.- Una empresa pagó $85.800 en intereses por un pagaré de $650.000 al 18%
anual. Calcule el tiempo transcurrido y el monto.
11.- El 15 de junio una persona recibe una letra de cambio por $220.000 a 240 días de
plazo y al 1,7% de intereses mensual desde la suscripción. Calcule cuál será el valor
actual al 30 de septiembre del mismo año, si se reconoce un interés del 1,8%
mensual.
12.- Una empresa comercial ofrece en venta refrigeradoras cuyo precio de lista es de
$580, con el 10% de cuota inicial y el saldo a 30 meses de plazo, con una tasa de
interés del 2% mensual. Calcule la cuota mensual fija que debe pagar el cliente:
a) Por el método de acumulación de intereses “lagarto”; b) Por el método de saldos deudores.
13.- Una cooperativa de ahorro y crédito otorga un préstamo de $180.000 a 36 meses
de plazo con una tasa de interés del 1,5%mensual sobre saldos deudores. Calcule:
a) La cuota mensual fija que debe pagar el beneficiario del préstamo; b) La tasa de interés real anual; c) La cuota mensual fija por el método “lagarto”.
14.- Una persona pide un préstamo de $145.000 a 90 días de plazo al 1,8% mensual.
Calcule cuánto deberá pagar por el préstamo si se demora en pagar 60 días más y le
cobran el 2% mensual de interés por mora.
15.- Una persona adquiere un vehículo cuyo precio es de $24.000 y paga el 50% de
contado y el saldo a 30 meses de plazo con un interés del 1,5% mensual sobre saldos
deudores. Calcule la cuota mensual fija que debe pagar.
30
Respuestas a los ejercicios de autoevaluación
a) Resuelva los siguientes ejercicios:
1.) Calcular el interés exacto y ordinario de un capital de 100,000 usd al 12% de interés anual desde el 20 de marzo al 15 de mayo.
Solución:
C = 100,000usd
i = 0.12
Tiempo exacto Tiempo aproximado
Marzo 11 10
Abril 30 30
Mayo 15 15
56 días 55 días
Interés exacto con tiempo exacto I = Cit
I = 100,000*0.12* 56/365 I =1,841.10usd
Interés exacto con tiempo aproximado
I = 100,000*0.12*55/265 I = 1,808.22usd
Interés ordinario con tiempo exacto
I = 100,000*0.12*56/360 I = 1,866.67usd
Interés ordinario con tiempo aproximado
I = 100,000*0.12*55/360 I = 1,833.33usd
31
El mayor interés se obtiene con tiempo exacto y año comercial.
2.) Cuál será el interés que produce un capital de 30,000 usd durante 90 días al 8% anual.
Solución:
C = 30,000usd I = Ci t
t = 90 días I = 30,000 * 0.08 * 90
i = 8% anual 360
I = ? I = 600 usd
3.) Determinar el capital que puede producir 6,500 usd de interés en 60 días con una tasa de interés del 10% anual.
Solución:
C = ? I = Ci t
I = 6,500usd
t = 60 días C = I = 6,500
i = 10% anual it 0.10 * 60/360
C = 390,000 usd
4.) Cuál será la tasa de interés a la que debe colocarse un capital de 80,000 usd para que
produzca 12,000 usd en 180 días.
Solución:
I
32
C = 80,000usd i =
I = 12,000usd I = c i t c*t
t = 180 días i = 12,000
i = ? 80,000* 180/360
i = 0.3 = 30%
5.- Calcular el monto y el interés que produjo un capital de 150,0000 usd durante 90
días al 1.5% mensual.
Solución:
C = 150,000usd M = C(1 + it)
I =? M = 150,000 ( 1 + 0.18* 90/360)
t = 90 días M = 156,750 usd
i = 1.5% mensual = 18% anual
M =?
I = M – C
I = 156,750-150,000
I = 6,750 usd
6. Calcular y graficar el valor actual al día de hoy de un documento de 200,000 usd
que vence en 90 días considerando una tasa de interés del 1.2% mensual.
Solución:
M = 200,000usd C = M (1 +it)-1
t = 90 días C = 200,000 ( 1 + 0.144*90/360)-1
i = 1.2% =14.4% anual C = 193,050.19 usd
33
C = ?
C = 193,050.19 M = 200,000
Hoy 90 días
b) VERDADERO O FALSO
Marque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
AFIRMACIÓN V F
Interés es el alquiler o rédito que se conviene pagar por un dinero tomado en préstamo.
X
Tasa de interés es la razón del capital al interés
devengado.
X
El monto a interés simple es la suma del capital original
más los intereses en el transcurso del tiempo.
X
El valor actual de un documento se calcula en una fecha
anterior a su vencimiento.
X
Una gráfica de tiempos y valores consiste en una línea
recta.
X
DEFINICIONES
Tasas de interés
Monto
CONCEPTOS
Capital mas interés.
Interés sobre capital por
tiempo.
c) CASAMIENTOS.
Una con líneas
las siguientes
definiciones con
los conceptos
correspondientes:
34
1.3. DESCUENTOS
CONCEPTOS PRINCIPALES
Descuento:
Acción de adquirir o pagar antes de su vencimiento documentos que de manera
general se pueden endosar.
Redescuento:
Operación mediante la cual un banco descuenta a otro banco documentos financieros
que originalmente ya fueron descontados.
Documentos de crédito:
Se utilizan para respaldar obligaciones en dinero con vencimiento futuro como son una
letra de cambio o un pagaré.
Documentos financieros:
A más de la letra de cambio y el pagaré existen otros documentos financieros así:
De renta fija.- Son de corto plazo, como son la póliza de acumulación, certificados de
inversión y de ahorros, certificados financieros, bonos de estabilización monetaria, etc.
De renta variable.- Corresponden a acciones emitidas por empresas.
Descuento racional o descuento simple:
Es la diferencia entre el monto o valor a la fecha de vencimiento de un documento y su
valor presente.
35
Descuento bancario, comercial o bursátil:
Se utiliza en operaciones comerciales y consiste en cobrar los intereses por anticipado.
Se calcula sobre el monto. Para el cálculo se utiliza la tasa de descuento.
Tasa de descuento:
Es el interés porcentual que se aplica al valor nominal del documento a la fecha de su
vencimiento.
Valor actual con descuento bancario, valor efectivo o bursátil:
Es la diferencia entre el valor a su vencimiento y el descuento bancario.
Relación: tasa de interés y tasa de descuento:
La tasa de interés se utiliza para calcular el descuento racional o matemático. Se aplica
sobre el valor actual de un documento.
La tasa de descuento se utiliza para calcular el descuento bancario. Se aplica sobre el
valor al vencimiento del documento.
APLICACIÓN SOBRE DESCUENTO RACIONAL Y VALOR ACTUAL
Un documento fue suscrito el 10 de junio por 250,000 usd a una tasa de interés del 2% mensual y un plazo de 120 días. Establecer el valor actual y el descuento racional del documento si se descuenta el 15 de julio al 18% anual. Solución:
C = 250,000usd i = 2% mensual t = 120 días fecha suscripción = 10 de junio fecha de vencimiento = 8 de octubre Junio – 20 Julio – 31 Agosto – 31 Sept. – 30
Oct. – 8
TOTAL 120 días
Fecha de descuento = 15 de
julio
i = 18% anual = 0.18
# días entre el 15 de julio y 8 de
octubre
.
Julio – 16
Agosto – 31
Sept – 30
Oct. – 8
TOTAL 85 días
C = M (1+i t )1
C = 270,000 (1+0.18 * 85/360)1
Nº de días que faltan para el vencimiento 85
C = 258,992.81usd (valor actual)
36
120dias
i = 2% m * 12 = 24% anual = 0.24 i= 2% mensual
M = C (1 + i t)
M = 250,000 (1+0.24*120/360) M = 270,000 usd
Dr = Descuento racional i= 18% anual Dr = M – C
Dr = 270,000 – 258,992.81 Dr = 11,007.19 usd
APLICACIÓN SOBRE DESCUENTO BANCARIO El 21 de abril se suscribe un documento por 300,000 usd a 90 días plazo. Determine el descuento bancario del documento, si se descontó el 31 de mayo con una tasa de descuento del 12% anual. Solución:
Fecha que suscribe = 21 de abril d = 12% anual = 0.12 abril – 9
M = 300,000usd mayo - 31
Db = ? junio – 30
t = 90 días julio – 20 fecha de vencimiento
TOTAL 90 días
# días antes del vencimiento:
31 de mayo fecha de vencimiento
junio – 30 julio – 20
TOTAL 50 días(# de días para vencer) Db = M d t
Db = 300,000*0.12*50/360 Db = 5,000usd
APLICACIONES SOBRE VALOR EFECTIVO
250,000 C = 258,992.81 M = 270,000
10 de junio 15 de julio 8 de octubre
120 días
85 días
37
1.-Una letra de cambio de 200,000 usd fue suscrita al 25 de mayo a 150 días
plazo y con una tasa de interés del 18% anual. Establecer cuál sería el valor que recibiría la persona dueña del documento si realiza un descuento el 15 de septiembre a una tasa de descuento del 15% anual. Expresar los resultados en un gráfico. Solución: Cálculo de la fecha de vencimiento # de días del descuento
Mayo – 6 Sept. - 15
Junio – 30 Oct. - 22
Julio – 31 TOTAL 37 días
Agost – 31
Sept – 30 Oct. – 22
TOTAL 150 días
Gráfico:
i = 18% anual
d = 15%
200,000 Cb. = 211,685.42 M = 215,000
25 de mayo 15 de sept. 22 de octubre
150 días 37 días
Cálculo del monto. M = C (1+i t) M = 200,000 (1+0.18*150/360) ; M = 215,000usd Cálculo del valor actual con descuento bancario. Cb = M (1-d t) Cb = 215,000(1-0.15*37/360) ; Cb=211,685.42usd
La persona recibe 211,685.42 usd 2.-Una persona solicita un préstamo de 12,000 usd a 90 días plazo, sobre el cual el banco aplica una tasa de descuento del 15% anual.¿ Cuál es el valor efectivo que recibe y cuál es el descuento bancario? Solución:
38
Cb = M (1 – d t)
Cb = 12,000(1-0.15*90/360) = 11,550usd Cb = 11,550 (Valor efectivo que recibe) Db=M-Cb=12,000-11,550=450usd Db= 450 (descuento bancario) 3.- Una letra de cambio de 100,000usd vence en 60 días.
Establecer el descuento racional y el descuento bancario si se descuenta 35 días antes de su vencimiento a una tasa del 15% anual. Solución: a) Descuento racional:
Gráfico: i=d =15% C = 98,562.63 M = 100,000
0 60 (días)
35 días
Cálculo valor actual
C=M(1+it) 1
C=100,000(1+0.15*35/360) 1 ; C = 98,562.63usd
Cálculo descuento racional Dr=M-C Dr=100,000-98,562.63 ; Dr =1,437.37usd
b) Descuento bancario: Db=Mdt
Db=100,000*0.15*35/360 ; Db = 1,458.33usd
Descuento bancario es mayor que el descuento racional.
4.- Establecer la tasa de interés que equivale a una tasa de descuento del 18%
anual durante 180 días. Solución:
i = d i = 0.18
dt1 360/180*18.01
39
i=0.1978 i=19.78%
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN
d) Resuelva los siguientes ejercicios:
1. Determinar el valor actual y el descuento racional de una letra de cambio de 165,000usd que fue suscrita el 25 de abril con una tasa de interés del 16% anual a 150 días plazo; si fue descontada el 7de agosto a una tasa del 19% anual.
2. Cuál sería el descuento bancario de un documento que fue suscrito el 1 de
julio por un valor de 15,000usd con una tasa de interés del 12% anual a un
plazo de 75 días; si se descuenta 15 días antes de su vencimiento a una tasa
del 10% anual.
3. Determinar el valor que un cliente debe solicitar a un banco para recibir
60,000usd pagaderos en 100 días, si el banco le aplica una tasa de descuento del 15% anual. 4. Qué tasa de descuento equivale a una tasa de interés del 15.1876% anual
durante 120 días. b) VERDADERO O FALSO.
Marque con una x si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
AFIRMACIÓN V F
Valor nominal es el valor del documento sin intereses a la fecha de su suscripción.
El valor actual de un documento se calcula después de la fecha
de vencimiento.
40
Si un documento es cancelado antes de su vencimiento, debe
calcularse su valor nominal.
Una gráfica de tiempos y valores permite expresar valores
actuales y valores al vencimiento.
a) CASAMIENTOS.
Una con líneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes:
DEFINICIONES CONCEPTOS
Descuento racional
Monto * tasa de descuento *
tiempo
Descuento bancario Acciones
Renta variable
Renta fija
Nota de crédito
Monto-valor actual
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Calcule el valor actual de una letra de cambio suscrita por 50.000 a 180 días de
plazo, si se descontó 30 días antes de su vencimiento a una tasa de interés del 18%
anual.
AUTO EVALUACIÓN
Hasta el momento cual es su evaluación: excelente, bien, regular o mal. Si no se evalúa por
lo menos de “Bien”, debe volver atrás o elaborar un plan remedial para superar las
deficiencias; usted puede, hágalo con entusiasmo.
Por otro lado si se siente bien o excelente, ADELANTE Y FELICIDADES.
41
2.- Calcule el descuento racional de una letra de cambio, suscrita por $14.000 el 2 de
mayo a 180 días de plazo, si se descontó el 2 de agosto del mismo año al 2% de
interés mensual.
3.- ¿Cuál es el descuento racional de una letra de cambio de $20.000, suscrita el día
de hoy a 240 días de plazo y al 1,2% mensual, si se descontó 70 días antes de la
fecha de su vencimiento al 17% anual?
4.- Calcule el descuento bancario de un pagaré de $85.000, suscrito a 180 días de
plazo si fue descontado 30 días antes de su vencimiento a una tasa de descuento del
12% anual.
5.- ¿Cuál es el descuento bancario de una letra de cambio de $250.000, suscrita a 120
días de plazo, si fue descontada60 días antes de su vencimiento a una tasa de
descuento del 2% anual?
6.- Calcule el valor efectivo de un pagaré de $80.000, suscrito a 120 días de plazo, si
se descuenta el día de hoy a una tasa de descuento del 18% anual.
7.- Una persona solicita un préstamo de $100.000 en un banco a 180 días de plazo.
Calcule el valor efectivo que recibe y el descuento bancario que le hacen, si el banco
aplica una tasa de descuento del 16% anual.
8.- Una letra de cambio de $60.000 suscrita el 1º de junio a 180 días de plazo, al 1%
de interés mensual desde su suscripción, se descuenta en un banco al 1,5% mensual;
90 días antes de su vencimiento. Calcule el descuento bancario y el valor efectivo.
9.- Calcule el valor actual con descuento racional y con descuento bancario de una
letra de cambio de $180.000 a 210 días de plazo con una tasa de interés del 1%
mensual desde su suscripción, si se descontó 90 días antes de su vencimiento al 18%
anual.
10.- Una persona descuenta en un banco una letra de cambio de $90.000, suscrita a
240 días de plazo, 90 días antes de su vencimiento, a una tasa de descuento del 18%
anual. Después de un mes, el banco la redescuenta al 15% en el Banco Central.
Calcule el valor que reciben el deudor y el banco que redescuenta.
42
11.- Un documento cuyo valor nominal es de $180.000, con vencimiento en 210 días al
16% de interés anual, se descuenta 60 días antes de la fecha de su vencimiento a la
tasa del 1,5% mensual. Calcule el descuento bancario y el valor efectivo.
12.- Un cliente de un banco solicita un préstamo de $190.000 a 180 días de plazo, con
una tasa de descuento del 18% anual. ¿Cuál es el valor efectivo que el banco acredita
en la cuenta del cliente?
13.- Una letra de cambio de $120.000, suscrita sin intereses el 10 de enero, con
vencimiento en 180 días, se descuenta el 8 de abril a una tasa del 1,5% mensual.
Calcule:
a) El descuento racional; b) El descuento bancario; c) El valor actual (a una tasa de interés) y; d) El valor efectivo (a una tasa de descuento).
14.- ¿Cuánto dinero debe solicitar el cliente de un banco, a una tasa de descuento del
15% anual, si requiere $210.000 pagaderos en 210 días de plazo?
15.- ¿Cuánto dinero debe solicitar el cliente de un banco, a una tasa de interés del
18% anual si hoy requiere $500.000, pagaderos en 120 días de plazo?
43
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN
a) Resuelva los siguientes ejercicios:
1. Determinar el valor actual y el descuento racional de una letra de cambio de
165,000usd, que fue suscrita el 25 de abril con una tasa de interés del 16% anual y
150 días de plazo si fue descontada el 7de agosto a una tasa del 19% anual.
Solución:
Plazo Tiempo de descuento
Abril – 5 Agosto - 24
Mayo – 31 Septiembre 22
Junio - 30 TOTAL 46 días
Julio - 31
Agosto 31
Sept. 22
TOTAL 150 días
i=16%anual
Gráfico:
i=19%anual
165,000 c=171,828.39 M = 176,000
25 de abril 7 de agosto 22 de sept.
150 días
46 días
44
M= C(1+it)
M=165,000(1+0.16*150/360) = 176,000 usd
C = M (1+it) -1
C= 176,000(1+0.19*46/360)1=171,828.39 usd
Dr= M-C
Dr= 176,000-171,828.39=4,171.61 usd
2. ¿Cuál sería el descuento bancario de un documento que fue suscrito el 1 de julio
por un valor de 15,000 usd con una tasa de interés del 12% anual a un plazo de 75
días; si se descuenta 15 días antes de su vencimiento a una tasa del 10% anual?
Solución:
PLAZO Tiempo de descuento
Julio – 30 15 días antes de vencer
Agosto – 31
Sept. – 14
TOTAL 75 días
M = C(1+ i t)
M = 15,000(1+0.12*75/360)=15,375 usd
Db =Mdt
Db = 15,375*0.10*15/360=64.06 usd
Gráfico: i=12% anual
45
d=10%
15,000 Fecha de descuento M = 15,375
1 de julio 15 días
75 días
3. Determinar el valor que un cliente debe solicitar a un banco para recibir 60,000
usd pagaderos en 100 días, si el banco le aplica una tasa de descuento del 15%
anual.
Solución:
M = Cb(1-dt)1
M = 60,000(1-0.15*100/360)1
M = 62,608.70 usd
4. ¿Qué tasa de descuento equivale a una tasa de interés del 15.1876% anual
durante 120 días?
Solución:
d = ?
i =15.1876% anual
t = 120 días
d = i(1+it)1= d=0.151876(1+0.151876*120/360)
1
d = 0.144558
d = 14.4558%
b) VERDADERO O FALSO
Marque con una x si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
46
AFIRMACIÓN V F
Valor nominal es el valor del documento sin intereses a la
fecha de su suscripción.
X
El valor actual de un documento se calcula después de la
fecha de vencimiento.
X
Si un documento es calculado antes de su vencimiento
debe calcularse su valor nominal.
X
Una gráfica de tiempos y 7 valores permite expresar
valores actuales y valores al vencimiento.
X
c) CASAMIENTOS.
Una con líneas las siguientes definiciones con los conceptos
correspondientes:
DEFINICIONES CONCEPTOS
Descuento racional Monto * tasa de descuento *
tiempo
Descuento bancario Acciones
Renta variable
Renta fija
Nota de crédito
Monto-valor actual
1.4. ECUACIONES DE VALOR Y CUENTAS DE AHORRO
CONCEPTOS PRINCIPALES
Ecuaciones de Valor:
47
Es un mecanismo de cálculo que permite a un deudor reemplazar un conjunto de
obligaciones por otro conjunto. Se utiliza también para calcular el monto o el valor
actual de una serie de obligaciones.
Fecha Focal:
Es la fecha común o fecha referencial a la cual se trasladan tanto las obligaciones
originales así como las nuevas obligaciones.
Cuentas de Ahorro:
Corresponde a un servicio bancario a base del cual se pagan intereses utilizando la
fórmula del interés simple sobre los valores recibidos por concepto de ahorro, de
conformidad con la normativa legal vigente.
Ahorro:
Es una reserva del ingreso que se destina para una utilización futura.
Liquidación de Intereses:
Se utiliza dos modalidades:
1. Se considera el valor de la transacción sea depósito o retiro.
2. Se consideran los saldos.
APLICACIONES SOBRE ECUACIONES DE VALOR 1.- Una empresa tiene las siguientes obligaciones:
350,000 usd al 1.25 % mensual vence en 30 días.
450,000 usd al 18 % anual vence en 60 días.
550,000 usd vence en 120 días. Desea reemplazar todas sus deudas por una sola con vencimiento en 90 días y con una tasa de interés del 20 % anual. Calcular el valor del pago único. Solución: Determinó los montos de las deudas: M = C (1 + i t) 1ª deuda: M = 350,000 (1 + 0.15 x 30 / 360) = 354,375 usd 2ª deuda: M = 450,000 (1 + 0.18 x 60 / 360) = 463,500 usd 3ª deuda: M = 550,000 usd Gráfico:
f.f
48
354,375 463,500 550,000
0 30 60 90 120 (días)
Ecuación de Valor: M = C (1+it) C = M (1 + i t) -1
X= 354,375(1+0.2 x 60/360) + 463,500(1+0.2 x 30/360) +550,000 (1+0.2 x 30 /360) -1
X = 366,187.50 + 471,225 + 540,983.61 X= 1’378,396.11usd (valor del pago único) 2.-Una empresa tiene las siguientes obligaciones:
100,000 usd al 14 % anual vence en 50 días.
50,000 usd al 16 % anual vence en 80 días.
150,000 usd al 2 % mensual vence en 150 días. Desea reemplazar todas sus deudas por una sola con vencimiento el día de hoy, considerando en la transacción una tasa de descuento del 13% anual. Calcular el valor de la deuda. Solución:
Determino los montos de las deudas: M = C (1 + i t)
M1 = 100,000 (1 + 0.14 x 50 / 360) = 101,944.44 usd
M2 = 50,000 (1 + 0.16 x 80/360) = 51,777.78 usd
M3= 150,000 (1+ 0.24 x 150 / 360) = 165,000 usd Gráfico:
ff
101,944.44 51,777.78 165,000
0 50 80 150 (días)
X
49
Ecuación de Valor: Cb = M (1 – d t) X= 101,944.44 (1-0.13 x 50 /360) +51,777.78 (1-0.13 x 80 / 360) +165,000 (1-0.13 x 150 / 360). X = 100,103.78 + 50,281.98 + 156,062.50 X = 306,448.26 usd. 3.-Una persona pone en venta una casa y recibe tres ofertas: 1ª oferta:
20,000 usd al contado
10,000 usd a 6 meses
10,000 usd a 12 meses 2ª oferta:
30,000 usd al contado
15,000 usd a 9 meses 3ª oferta:
10,000 usd al contado
20,000 usd a 5 meses
10,000 usd a 10 meses Calcular cuál de las tres ofertas le conviene aceptar. Considerar para el cálculo una tasa de interés del 1.5% mensual: Solución:
1.5 x 12 = 18% anual 1ª oferta: C = M (1 + i t)-1
ff
20,000 10,000 10,000
0 6 12 (meses)
x
X = 20,000 + 10,000(1 + 0.18 x 6 /12)-1 + 10,000(1 + 0.18 x 12 / 12)-1 X = 37,648.89 usd 2ª oferta:
ff
50
30,000
15,000
0 9 (meses)
X -1
X = 30,000 + 15,000 (1 + 0.18 x 9 / 12) X = 43,215.86 usd
3ª oferta:
ff
10,000 20,000 10,000
0 5 10 (meses)
X -1 -1
X = 10,000 + 20,000(1+0.18 x 5 / 12) + 10,000 (1+ 0.18 x 10 / 12) X = 37,300.30 usd Le conviene aceptar la oferta Nº 2 ya que es la más alta. 4.- Una persona realiza depósitos mensuales anticipados de 3,000 usd cada uno durante 6 meses, a un banco que paga 1.5% de interés mensual. Determinar el monto que tendrá luego de 6 meses. Solución: Gráfico
ff
3,000 3,000 3,000 3,000 3,000 3,000
51
M= 18,945 0 30 60 90 120 150 180 (días) M = C (1 + i t)
i = 1.5 x 12 = 18% anual M=3,000(1+0.18x 180 / 360)+3,000(1+0.18x 150/360)+3,000(1+0.18x120/360)+ 3,000(1+0.18x 90/360)+3,000(1+0.18x 60/360)+3,000(1+0.18 x 30/360) M = 3,270 + 3,225 + 3,180 + 3,135 + 3,090 +3,045 ; M = 18,945 usd. 5.- Una persona realiza 4 pagos mensuales de 800 usd para cancelar una deuda con una tasa de interés simple del 2% mensual. Establecer el valor original de la deuda. Solución: Gráfico:
ff
800 800 800 800
0 30 60 90 120 (días)
X i = 2% x12 = 24% anual C = M (1+i t) -1
X = 800(1+0.24*30/360)-1 + 800(1+0.24* 60/360)-1 + 800(1+0.24* 90/360)-1 + 800( 1+0.24*120/360)-1
X= 784.31 + 769.23 + 754.72 + 740.74 X = 3,049 usd (valor original de la deuda).
APLICACIÓN SOBRE CUENTAS DE AHORRO 1.- Una persona abre una cuenta de ahorros el 31 de marzo del 2004 con
25,000 usd y realiza las siguientes operaciones:
El 25 de abril deposita 10,000 usd.
El 15 de mayo deposita 5,000 usd.
El 10 de junio retira 15,000 usd.
El 6 de julio deposita 10,000 usd.
52
Liquidar la deuda al 30 de septiembre si la tasa de interés fue del 10% anual considerar el año comercial y el tiempo exacto.
Solución:
Calculamos el tiempo en días:
Abril 30 5
Mayo 31 31 16
Junio 30 30 30 20
Julio 31 31 31 31 25
Agosto 31 31 31 31 31
Septiembre 30 30 30 30 30
Total 183 158 138 112 86
Se calcula el interés simple en cada transacción. I = Cit I = 25,000 * 0.1 * 183 / 360 = 1,270.83
I = 10,000 * 0.1 * 158 / 360 = 438.89
I = 5,000 * 0.1 * 138 / 360 = 191.67
I = (15,000) * 0.1 * 112 / 360 = (466.67)
I = 10,000 * 0.1 * 86 / 360 = 238.89
35,000 usd (total capital) 1,673.61usd (total interés)
Saldo cuenta corriente sin interés al 30 de septiembre = 35,000 usd Al 30 de Septiembre la cuenta tendrá un acumulado de: 35,000 + 1,673.61 ; Saldo = 36,673.61usd
53
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN a.- Resuelva lo siguiente: 1. Una empresa tiene las siguientes obligaciones:
200,000 usd a 60 días plazo.
120,000 usd a 120 días plazo.
100,000 usd a 180 días plazo.
150,000 usd a 240 días plazo. La empresa desea reemplazar las 4 deudas por una sola con vencimiento a los 240 días, con una tasa de interés del 12%. Calcular el valor de la deuda nueva. 2. Una persona recibe tres ofertas por un terreno:
1. oferta: 60,000 usd de contado.
50,000 usd a 12 meses plazo.
2. oferta: 40,000 usd de contado.
30,000 usd a 6 meses plazo.
30,000 usd a 12 meses plazo.
3. oferta: 20,000 usd de contado.
40,000 usd a 3 meses plazo.
20,000 usd a 6 meses plazo.
20,000 usd a 9 meses plazo.
¿Cuál de las 3 ofertas le conviene aceptar considerando una tasa de interés del 18% anual? 3. Una empresa realiza depósitos mensuales de 30,000 usd durante 3 meses
en un banco que reconoce una tasa de interés del 1.5% mensual. Calcular el monto que acumulará al final de los tres meses.
4. Una empresa realiza pagos mensuales en forma adelantada de 20,000 usd
cada uno durante 3 meses para cancelar una deuda. Calcular el valor pagado de la deuda, si se aplica una tasa de interés del 2% mensual por adelantado.
5. Una persona posee una cuenta de ahorros. Al 31 de diciembre del 2003
tenía un saldo de 20,000 usd y realizó los siguientes depósitos y retiros:
El 15 de enero depositó 5,000 usd.
54
El 30 de enero retiró 7,000 usd.
El 20 de marzo depositó 10,000 usd.
El 21 de abril depositó 15,000 usd.
El 20 de junio retiró 10,000 usd. Si la tasa de interés fue del 9% anual. Calcular cuál era el saldo de la cuenta con intereses incluidos al 30 de junio del 2004.
b. VERDADERO O FALSO.
Marque con una X las siguientes afirmaciones si son verdaderas o falsas
AFIRMACIONES V F
Una cuenta de ahorros puede aumentar los
intereses al capital.
Todo problema de matemáticas financieras puede
ser resuelto mediante una ecuación de valor.
El valor actual se calcula tomando generalmente
como fecha focal, la fecha de vencimiento de la
deuda.
Para la liquidación de los intereses en cuentas de
ahorros se utiliza la fórmula del interés simple.
c.- CASAMIENTOS: Una con líneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes:
DEFINICIONES CONCEPTOS
Ecuación de Valor Comprar o Vender
Comparación de Ofertas Fecha Focal inicio / pagos
Monto de una serie de depósitos Fecha Focal Final / depósitos
Valor Actual de una serie de pagos Consolidar deudas
55
Consolidación: A fin de proporcionar elementos adicionales, para una mejor comprensión de lo tratado en este bloque IV se incluye el apéndice 6 denominado “Ecuaciones de Valor y cuentas de ahorro; aplicaciones”.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Una empresa tiene 3 deudas:
a) $70.000, con vencimiento en 90 días al 1% mensual;
b) $$120.000, con vencimiento en 150 días sin intereses;
c) $150.000, con vencimiento a 210 días de plazo y al 2% mensual.
La empresa desea reemplazar las 3 deudas por una sola, con vencimiento en 6
meses, al 18% de interés anual. Calcule el valor del nuevo documento.
2.- Una persona ha firmado 3 documentos:
1º) $50.000 a 3 meses de plazo, con una tasa de interés del 1% mensual;
2º) $90.000 a 120 días de plazo, a una tasa del 1,5% mensual;
3º) $120.000 a 180 días de plazo, a una tasa del 18% anual.
La persona desea reemplazar los 3 documentos por uno solo, pagadero al final del
año. ¿Cuál será el valor de ese documento, si se considera una tasa de interés del 2%
mensual?
3.- Si el problema anterior se considera el pago el día de hoy y se descuentan los 3
documentos en un banco, ¿cuál será el valor de reemplazo?. Emplee la tasa de
descuento del 2% mensual.
AUTO EVALUACIÓN
Hasta el momento cual es su evaluación: excelente, bien, regular o mal. Si no
se evalúa por lo menos de “Bien”, debe volver atrás o elaborar un plan remedial
para superar las deficiencias; usted puede , hágalo con entusiasmo.
Por otro lado si se siente bien o excelente , ADELANTE Y FELICIDADES
56
4.- El propietario de un edificio en venta recibe tres ofertas:
a) $1’000.000 de contado y $1’000.000 a un año plazo;
b) $800.000 al contado y 2 letras de $600.000, con vencimiento en 6 y 9 meses;
c) $100.000 de contado, 1 letra de $800.000 en tres meses y
1 letra de $1’100.000 en 9 meses.
Considera una tasa de interés del 18% anual. Calcule el monto total de cada una de
las ofertas e indique cuál es la mejor para el vendedor.
5.- Juan tiene las siguientes deudas:
a) $50.000 con vencimiento en 90 días; b) $100.000 con vencimiento en 150 días ; c) $150.000 con vencimiento en 9 meses, sin intereses.
Desea saldar sus deudas con 2 pagos iguales, a los 6 y a los 12 meses,
respectivamente, con una tasa de interés del 18% anual. Realice los siguientes
cálculos:
a) El valor de los pagos iguales; b) Considere la fecha focal a los12 meses y a los 6 meses.
6.- Leonor tiene un terreno en venta y le ofrecen tres alternativas:
a) $500.000 al contado y $600.000 después de 11 meses;
b) $200.000 al contado y $900.000 a 7 meses.
c) $100.000 al contado, $300.000 en 3 meses,
$320.000 en 6 meses y
$380.000 en 9 meses.
57
Si se considera una tasa de descuento del 18% anual y el día de hoy como fecha
focal, ¿cuál de las 3 ofertas le conviene más?. Calcule cada una de ellas y realice los
cálculos con descuentos bancarios.
7.- El Sr. Merchán es poseedor de una cuenta de ahorros que tiene un saldo de
$123.000 al 31 de diciembre y ha registrado durante el primer semestre del siguiente
año las siguientes operaciones: el 3 de enero depositó $155.000; el 15 de febrero
retiró $30.000; el 7 de abril depositó $120.000 y el 30 de mayo retiró $55.000. Si la
tasa de interés es del 24% anual, ¿cuál será el saldo de la cuenta al 30 de junio?.
Tome una de las fechas extremas y el año comercial para el cálculo de los intereses.
8.- El Sr. Rueda es poseedor de una cuenta de horros cuyo saldo al 30 de junio fue de
$300. Durante el segundo semestre del mismo año realizó los siguientes
movimientos: un depósito de $50 al 30 de septiembre y otro de $100 el 4 de diciembre.
¿cuál será el saldo de la cuenta, con una tasa del 36% anual, al 31 de diciembre?.
Considere una sola fecha extrema.
9.- Una persona tiene una cuenta de ahorros cuyo saldo al 31 de diciembre fue
$49.000. En el semestre enero/junio ha realizado las siguientes operaciones: retiró
3.600 el 21 de febrero; depositó $2.800 el 9 de abril ;depositó $4.700 el 2 de mayo;
depositó $1.100 el 24 de junio. ¿cuál será el saldo de la cuenta al 30 de junio, si se
considera una tasa de interés del 24% anual y las 2 fechas extremas?
10.- Reemplace 3 deudas de $50.000, $100.000 y $200.000, a 3,6 y 12 meses,
respectivamente, por un solo pago en 12 meses, considerando una tasa de interés del
16% anual.
11.- En el ejemplo anterior, reemplace las 3 deudas por una sola al día de hoy, con la
misma tasa. Calcular: a) con valor actual y b) con valor efectivo. Analice los
resultados.
12.- Pedro deposita $60.000cada mes durante 4 meses consecutivos en una
institución financiera que reconoce una tasa de interés del 2% mensual. Calcule el
monto que acumulará al final de los 4 meses.
13.- En el problema anterior, considere que los depósitos se realizan por adelantado y
la tasa de interés es del 2% mensual.
58
14.- María deposita $40.000 cada mes, durante 3 meses consecutivos, en una
institución financiera. Calcule el monto que acumulará al final de los 3 meses, si se
considera una tasa de interés del 36% anual.
15.- José paga $70.000 cada mes, durante 3 meses, para cubrir una deuda, con una
tasa de interés del 2,5% mensual. Calcule el valor original de la deuda.
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN
a. Resuelva los siguientes ejercicios:
1. Una empresa tiene las siguientes obligaciones:
200,000usd a 60 días plazo.
120,000usd a 120 días plazo.
100,000usd a 180 días plazo.
150,000usd a 240 días plazo.
La empresa desea reemplazar las 4 deudas por una sola con vencimiento a los 240
días, con una tasa de interés del 12%. Calcular el valor de la deuda nueva.
Solución:
Gráfico:
ff
200,000 120,000 100,000 150,000
59
0 60 120 180 240 (días)
x
M = C (1 + i t)
X = 200,000(1 + 0.12 * 180 / 360) + 120,000(1+0.12 * 120 / 360) +
100,000(1 + 0.12 * 60 / 360) + 150,000
X= 212,000 + 124,800 + 102,000 + 150,000
X= 588,800usd
2. Una persona recibe tres ofertas para un terreno:
1. oferta: 60,000usd de contado.
50,000usd a 12 meses plazo.
2. oferta: 40,000usd de contado.
30,000usd a 6 meses plazo.
30,000usd a 12 meses plazo.
3. oferta: 20,000usd de contado.
40,000usd a 3 meses plazo.
20,000usd a 6 meses plazo.
20,000usd a 9 meses plazo.
¿Cuál de las 3 ofertas le conviene aceptar considerando una tasa de interés del 18%
anual?
Solución:
60
1ra oferta:
ff
60,000 50,000
0 12 (meses)
C = M (1+ it)-1
X = 60,000+50,000 ( 1+0.18* 12
12)-1
X = 102,372.88usd
2da oferta
ff
40,000 30,000 30,000
0 6 12 (meses)
x
X = 40,000+30,000 ( 1+0.18* 12
6)-1 + 30,000 ( 1+0.18*
12
12 )-1
61
X = 40,000+27,522.94+25,423.73
X = 92,946.67usd
3ª oferta:
ff
20,000 40,000 20,000 20,000
0 3 6 9 (meses)
X
X = 20,000 + 40,000(1+0.18* 3 /12)-1 + 20,000(1+ 0.18* 6 /12)-1 + 20,000
(1+0.18 * 9 /12)-1
X = 20,000 + 38,277.51 + 18,348.62 +17,621.15
X = 94,247.28usd
Le conviene aceptar la primera oferta que es la mejor.
3. Una empresa realiza depósitos mensuales de 30,000 usd durante 3 meses en un
banco que reconoce una tasa de interés del 1.5% mensual. Calcular el monto que
acumulará al final de los tres meses.
62
Solución:
Gráfico: ff
30,000 30,000 30,000 M = 91,350
0 30 60 90 (días)
i = 1.5% x 12 = 18% anual
M = C (1 + i t)
M= 30,000( 1 + 0.18 * 60 / 360) + 30,000( 1 + 0.18 * 30 / 360) + 30,000
M = 30,900 + 30,450 + 30,000
M = 91,350usd
4. Una empresa realiza pagos mensuales en forma adelantada de 20,000 usd cada
uno durante 3 meses para cancelar una deuda. Calcular el valor pagado de la deuda,
si se aplica una tasa de interés del 2% mensual por adelantado.
63
Solución:
Gráfico:
20,000 20,000 20,000
0 30 60 90 (días)
X
X = 20,000+20,000 ( 1+0.24 * 360
30)-1 + 20,000 ( 1+0.24 *
360
60)-1
X = 20,000+19,607.84+19,230.77
X = 58,838.61usd
5. Una persona posee una cuenta de ahorros. Al 31 de diciembre del 2003 tenía un
saldo de 20,000usd y realizó los siguientes depósitos y retiros:
El 15 de enero depositó 5,000usd.
El 30 de enero retiró 7,000usd.
El 20 de marzo depositó10,000usd.
El 21 de abril depositó 5,000usd.
El 20 de junio retiró 10,000usd.
Si la tasa de interés fue del 9% anual. Calcular cuál era el saldo de la cuenta con
intereses incluidos al 30 de junio del 2004.
64
Solución:
Determino el tiempo en días:
Enero 31 16 1
Febrero 28 28 28
Marzo 31 31 31 11
Abril 30 30 30 30 9
Mayo 31 31 31 31 31
Junio 30 30 30 30 30 10
Total 181 166 151 102 70 10
Determino el interés:
I = C i t
Interés del saldo : I = 20,000 * 0.09 * 181 / 360 = 905
Interés 1ª depósito : I = 5,000 * 0.09 * 166 / 360 = 207.50
Interés 1º retiro : I = (7,000) * 0.09 * 151 / 360 = (264.25)
Interés 2º depósito : I = 10,000 * 0.09 * 102 / 360 = 255
Interés 3ª depósito : I = 15,000 * 0.09 * 70 / 360 = 262.50
Interés 2º retiro : I = (10,000) * 0.09 * 10 / 360 = (25)
Total cuenta sin interés = 33,000usd total intereses = 1,340.75usd
65
Total cuenta al 30 de junio / 2004 = 33,000 + 1,340.75 = 34,340.75usd.
VERDADERO O FALSO
Marque con una X las siguientes afirmaciones si son verdaderas o falsas
AFIRMACIONES V F
Una cuenta de ahorros puede aumentar los intereses al
capital.
X
Todo problema de matemáticas financieras puede ser
resuelto mediante una ecuación de valor.
X
El valor actual se calcula tomando generalmente como
fecha focal, la fecha de vencimiento de la deuda.
X
Para la liquidación de los intereses en cuentas de
ahorros se utiliza la fórmula del interés simple.
X
c.- CASAMIENTOS.
Una con líneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes.
DEFINICIONES CONCEPTOS
Ecuación de Valor Comprar o Vender
Comparación de Ofertas Fecha Focal inicio / pagos
Monto de una serie de depósitos Fecha Focal Final / depósitos
Valor Actual de una serie de pagos Consolidar deudas
66
CAPÍTULO II
2. INTERÉS COMPUESTO DEPRECIACIONES
2.1. INTERÉS COMPUESTO DEPRECIACIONES
CONCEPTOS PRINCIPALES
Interés compuesto:
Es el interés de un capital generado en la unidad de tiempo que se va acumulando al
capital y este valor genera nuevos intereses tantas veces como periodos de
capitalización se establezcan.
Diferencias entre interés simple e interés compuesto:
El interés simple calcula los intereses por una sola vez, en tanto que en el interés
compuesto los intereses se capitalizan periódicamente.
Período de capitalización:
Es el tiempo en el cual el interés se acumula al capital, puede ser anual, semestral,
trimestral, etc.
Tasa de interés:
Se calcula por período de capitalización puede ser diario, mensual, trimestral, etc.
Monto a interés compuesto:
Es el valor del capital acumulado luego de sucesivas adiciones de los intereses. Es la
diferencia entre el monto compuesto y el capital original.
Monto compuesto con períodos de capitalización fraccionarios:
Es el caso en el que el tiempo de pago no coincide con el período de la capitalización.
Tasas equivalentes:
Es la relación entre la tasa nominal y la tasa efectiva.
67
La tasa nominal se capitaliza varias veces en un año en tanto que la tasa efectiva se
capitaliza una vez al año.
Tasa equivalente son aquellas que con diferentes períodos de capitalización producen
el mismo interés o monto compuesto.
Tasa de interés anticipada:
Es aquella que permite pagar o cobrar intereses por adelantado.
Valor actual a interés compuesto:
Se lo conoce también como cálculo del capital y corresponde al valor del documento o
deuda antes de la fecha de vencimiento, considerando una determinada tasa de
interés.
Valor actual con tiempo fraccionario:
Se calculan con períodos de capitalización que no sean enteros.
Descuento compuesto:
Es la diferencia entre el monto y el valor de un documento.
Ecuaciones de valor en interés compuesto:
Tiene el mismo significado que las ecuaciones de valor en interés simple.
Comparación de ofertas:
Se utiliza en empresas o negocios de compra y venta de activos para relacionar la
oferta más alta para el vendedor y la más baja para el comprador.
Tiempo equivalente:
Es el tiempo de vencimiento promedio de varias deudas.
Depreciaciones:
• Activo Fijo: es todo bien que está sujeto al desgaste, a las descomposturas y a los
cambios en la tecnología como son: edificios, maquinarias, equipos de computo, mobiliario de
oficina, etc.
68
• Depreciación: es la pérdida de valor que sufre un activo como consecuencia del uso o
del transcurso del tiempo. La mayoría de activos fijos a excepción de los terrenos y algunos
metales tienen una vida útil durante un período finito de tiempo, durante el cual van
disminuyendo su valor.
• Cargo por depreciación: son los cargos periódicos. Generalmente son depósitos
anuales.
• Depreciación Acumulada: es el fondo de reserva que se va acumulando año tras año.
• Valor en libros: es la diferencia entre el valor original del activo y la depreciación
acumulada a una fecha determinada.
• Valor de Salvamento: o valor de desecho; es el valor que tiene el activo al final de su
vida útil y es igual al valor en libros en esa fecha.
• Base de depreciación: es la diferencia entre el costo original y el valor de salvamento.
• Método de Línea Recta: es el más simple y más utilizado para depreciar activos,
debido a que supone que la depreciación anual es constante durante la vida útil del activo. No
considera los intereses que genera el fondo de reserva.
• Método de Porcentaje Fijo: considera que la depreciación es mayor en los primeros
años de vida del activo y menor en los últimos. No considera los intereses del fondo de reserva.
• Método de Suma de Dígitos: asigna un mayor cargo de depreciación a los primeros
años de uso del activo, lo cual es consecuente con la realidad. No considera los intereses que
genera el fondo de reserva.
• Método por Unidad de Producción o Servicio: deprecia los activos en función de las
unidades de producción o servicio que haya generado el activo durante su vida útil. No
considera los intereses del fondo de reserva.
• Método del Fondo de Amortización: considera los intereses que genera el fondo de
reserva que se va constituyendo, por consiguiente, el incremento anual estará dado por la
suma del cargo anual más los intereses ganados en ese período.
69
APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DEL MONTO E INTERÉS COMPUESTO 1.- Una empresa obtiene un crédito de 100,000usd a 4 años plazo con una tasa de interés del 18 % anual capitalizable trimestralmente. Calcular el monto que debe pagar en la fecha de vencimiento y el interés correspondiente. Solución:
Calculamos las variables n e i n = 4 años x 4 trimestres = 16 períodos
i = 0.18/4 trim. = 0.045
C = 100,000usd
Calculamos el Monto
M = C (1 + i) n M = 100,000(1 + 0.045)16 ; M = 202,237. 02usd
Calculamos el Interés Compuesto
I = M-C I = 202,237.02 – 100,000 I = 102,237.02usd
2.- Utilizando los métodos matemático y comercial, calcular el monto de una
deuda de 50,000usd a interés compuesto durante 5 años y 9 meses de plazo con una tasa de interés del 15 % anual capitalizable semestralmente. Analice los resultados.
a) Cálculo matemático
n = 5(12) + 9 = 69 =5 períodos
6 6 i = 0.15 = 0.075
2
C = 50,000usd M = C (1 + i)n M = 50,000 (1 + 0.075)11,5 ; M = 114,859.61usd
Cálculo Comercial
n = 69 = 66 + 3 = 11 + 3 = 11 + 0.5 6 6 6
70
Aplicamos interés compuesto a la parte entera de n e interés simple a la parte fraccionaria
M = C (1 + i) (1 + it) M = 50,000 (1 + 0.075)11 (1 + 0.075 * 3/6) =
M = 50,000 (2.21561) (1.0375) ; M =114,934.71usd
El método comercial da un resultado ligeramente mayor que el método matemático. APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS Y DEL TIEMPO 1.- Calcular la tasa nominal capitalizable trimestralmente, a la que es equivalente una tasa efectiva del 20 %. Solución: i = 0.2 m = 4 (trimestral)
(1 + i) = (1 + j/m) m
(1 + 0.2) = (1 + j/m) 4
(1.2)1/4
= 1 + j / 4
j / 4 = (1.2)1/4
- 1
j = (1.2)1/4
-1 4 j = 0.1865 = 18.65% a.c.t
La tasa efectiva del 20 % es equivalente a una tasa nominal del 18.65% anual capitalizable trimestralmente (a.c.t). 2.- En qué tiempo en años meses y días un capital de 125,000usd se convertirá
en 3´250,000usd con una tasa del 18% anual capitalizable trimestralmente. Solución:
t =? C = 125,000usd
M = 3´250,000usd j = 18% a.c.t i = j/m = 0.18/4 = 0.045 m = 4 n = mt M = C (1 + i) m.t
(1 + i) m.t = M C
71
(1 + 0.045)4t = 3´250,000 = 26
125,000
Utilizamos logaritmos 4 t log (1.045) = log 26
4 t = log 26 = 1.414973348 = 74.02 = 18.505
Log (1.045) 0.01911629 4
t = 18.505 años t = 18 años + 0.505 años 0.505* 12 meses = 6 meses + 0.6 meses 0.6 meses * 30 = 1.8 = 2 días t = 18 años, 6 meses, 2 días
APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL 1.- Calcular el valor actual de un pagaré, cuyo valor al vencimiento al final de 6
años es de 500,000usd, considerando una tasa de interés del 15% anual capitalizable trimestralmente. Solución:
M = 500,000usd i = j/m = 0.15/4 = 0.0375 m = 4 n = 6*4 = 24 C = M (1 + i)-n
ff
C = 500,000 (1 + 0.0375)-24
C = 206,659.55usd C = 206,659.55 M = 500,000
0 1 2 3 4 5 6 (AÑOS)
2.- Luego de 3 años de la fecha de suscripción se negocia un documento de 1´000,000usd con vencimiento en 6 años, con una tasa de interés del 18%
72
anual capitalizable trimestralmente desde su suscripción. Calcular su valor o precio de negación con las siguientes alternativas.
a) Con una tasa del 14% anual capitalizable mensualmente. b) Con una tasa del 16% anual capitalizable semestralmente.
Solución:
C = 1´000,000usd n=6 * 4 = 24 i = j/m = 0.18/4 = 0.045
ff C = 1´.894,275.34 M = 2´876,013.83
0 1 2 3 4 5 6(años)
Cálculo del monto M = C ( 1 + i )n = 1´000,000 ( 1 + 0.045 )24 ; M = 2´876,013.83usd Cálculo de valor actual o precio de negociación
a) C = M ( 1 + i )n = 2´876,013.83 ( 1 + 0.14/12)-36 ; C = 1´894,275.34usd
b) C = M ( 1 + i )n
= 2´876,013.83 ( 1 + 0.16/2)-6 ; C = 1´812,376.56usd
3.- Luego de 5 años de la fecha de suscripción se negocia un documento
suscrito, el día de hoy por 1´200,000usd a 7 años y 3 meses, con una tasa de interés del 14 % anual capitalizable semestralmente. Calcular el valor actual a dicha fecha, considerando una tasa de interés del 10% efectiva. Efectuar el cálculo por los métodos matemático y comercial. Solución: a) Calcular el monto al final de los 7 años 6 meses
método matemático
n = 7 * 12 + 3 = 87 = 14.5 m = 2
6 6
i = j/m = 0.14/2 = 0,07 M = C ( 1 + i )n = 1´200,000 ( 1 + 0.07 )14.5
73
M = 3´200,707.76usd método comercial
n = 87 = 14 + 3
6 6 14
M = C ( 1 + i )n ( 1 + it ) = 1´200,000 ( 1 + 0.07 ) ( 1 + 0.07 * 3/6 )
M = 1´200,000 ( 2.57853415 ) ( 1.035 ) ; M= 3´202,539.41usd b) Cálculo de valor actual luego de 5 años y 3 meses
método matemático
Tiempo que falta para vencimiento: n = 7 años 3 meses – 5 años
n = 2 años 3 meses = 3.25 años
-n -3.25
C = M( 1 + i ) = 3´200,707.76 ( 1 + 0.10 ) = 2´348,117.34usd
método comercial -n -3
C = M ( 1 + i ) ( 1 + it ) 1 = 3´202,539.41 ( 1 + 0.10 ) ( 1 + 0.10 * 3/12 ) 1
C = 3´202,539.41 ( 0.751315 ) ( 0.97561 ) C = 2´347,429.52usd
Gráfico método matemático
M = 3´200,53.41
C = 2´348,117.36
0 7.25 (años) 3.25 años
método comercial
74
M = 3´202,539.41
C = 2´347,429.52
0 3.25 años 7.25 (años)
APLICACIONES SOBRE DEPRECIACIONES
1.- MAGNUN S.A adquiere maquinaria pesada por un valor de 35,000usd. Se calcula
que su tasa de depreciación será del 30% anual y se espera que su vida útil sea de 10
años.
a) Elaborar una tabla de depreciación para los 6 primeros años. b) Hallar el valor en libros al final de 8 años. c) Cuál será el valor teórico de salvamento.
Solución:
a) Tabla de depreciación
TABLA DE DEPRECIACIÓN
AÑOS DEP. ANUAL DEP. ACUM VALOR EN LIBROS % DE DEPRECIAC
0 - - 35,000.00 0.30
1 10,500.00 10,500.00 24,500.00 0.30
2 7,350.00 17,850.00 17,150.00 0.30
3 5,145.00 22,995.00 12,005.00 0.30
4 3,601.50 26,596.50 8,403.50 0.30
5 2,521.05 29,117.55 5,882.45 0.30
6 1,764.74 30,882.29 4,117.72 0.30
Para calcular la depreciación anual hemos usado la fórmula Dk = V(k-1) d.
b) Valor en libros al final del 8vo. Año.
k
75
Vk = C ( 1 – d )
8
V8 = 35,000 ( 1 – 0.30 ) → V8 = 2,017.68usd
c) Cargo por depreciación del 9no. Año.
Dk = Vk-1 d
D9 = V8 d → D9 = 2,017.68 * 0.30 → D9 = 605.30usd.
d) Valor teórico de salvamento.
n
S = C ( 1 – d )
10
S = 35,000 ( 1 – 0,3 ) → S = 988.66usd
2.- INDUSTRIAS ARTEX adquirió muebles de oficina por un valor de 25,000usd, se
estima que su vida útil es de 5 años y su valor de desecho de 3,000usd.
a).- Hallar los cargos anuales por depreciación. (Utilice la fórmula general).
Dk = n – k – 1 ( C – S )
s
b).- Elabore la tabla de depreciación.
Solución:
a) Calcular la base de depreciación.
B = C – S → B = 25,000 – 3,000 ; B = 22,000usd
76
Determinar la suma de dígitos
s = n ( n + 1 ) → s = 5 ( 5 + 1 ) = 5 * 6 ; s = 15
2 2 2
b) Hallar los cargos anuales por depreciación.
Dk = n – k + 1 ( C – S ) → D1 = n – 1 + 1 ( C – S ) → D1 =( n /s) ( C – S )
s 15
D1 = 5/15 ( 22,000) → D1 = 7,333.33usd
D2 = 4/15 ( 22,000) → D 2 = 5,866.67usd
D3 = 3/15 ( 22,000) → D 3 = 4,400.00usd
D4 = 2/15 ( 22,000) → D 4 = 2,933.33usd
D5 = 1/15 ( 22,000) → D 5 = 1,466.67usd
D1 + D2 + D3 + D 4 + D5 = ( C – S ) = depreciación total.
7,333.33 + 5,866.67 + 4,400.00 + 2,933.33 + 1,466.67 = 22,000usd
que es la depreciación total ( B ).
TABLA DE DEPRECIACIÓN
AÑOS DEP. ANUAL DEP. ACUM VALOR / LIBROS
0 - - 25,000.00
1 7,333.33 7,333.33 17,666.67
2 5,866.67 13,200.00 11,800.00
77
3 4,400.00 17,600.00 7,400.00
4 2,933.33 20,533.33 4,466.67
5 1,466.67 22,000.00 3,000.00
3.- PETRÓLEOS Y ASOCIADOS S.A compró un martinete en un valor de
80,000usd al que se le ha estimado un valor de desecho de 2,000usd y una vida
útil de 60,000 horas de operación.
a) Hallar el cargo por depreciación por hora de operación. b) Elaborar la tabla de depreciación para los primeros 4 años de vida de la
máquina, durante los cuales las horas de operación fueron: 5,000. 7,000. 6,000 y 8,000.
Solución:
a) D =( C – S) / # horas operación = (80,000 – 2,000)/ 60,000 = 1.3usd/ hora de
operación.
b) tabla de depreciación:
TABLA DE DEPRECIACIÓN
AÑOS HORAS OPER DEP. ANUAL DEP. ACUMULADA
VALOR EN
LIBROS
0 - - - 80,000
1 5,000 6,500 6,500 73,500
2 7,000 9,100 15,600 64,400
3 6,000 7,800 23,400 56,600
4 8,000 10,400 33,800 46,200
Ejemplo de cálculo de depreciación Anual : 5,000 * 1.3 = 6,500usd
78
7,000 * 1.3 = 9,100usd
método del fondo de amortización.
Este método considera los intereses que gana el fondo de reserva que se va
constituyendo, por consiguiente, el incremento anual estará dado por la suma del
cargo anual por depreciación más los intereses ganados en ese período.
La aportación anual al fondo de amortización se deriva de la fórmula del monto de una
anualidad: M = R( ( ( 1 + i ) ⁿ -1) / i )
Para determinar el pago periódico se despeja R = Mi / (( 1 + i )ⁿ -1).
En este caso M = B, puesto que es el Monto que debe acumular al cabo de n años a
una tasa de interés i.
R = D, el cargo anual que debe efectuarse al fondo.
Entonces: Dk = B i / (( 1 + i )ⁿ - 1) fórmula del cargo anual .
O también Dk = Bi/ (( 1 + i)ⁿ - 1 ).
Y si n = K Dk = Bi / (( 1 + i ) -1).
Para determinar la depreciación acumulada Ak se calcula el monto de un pago
periódico D a un plazo K y a una tasa de interés i por periodo.
Ak = D (( 1 + i ) -1) / i )
El monto acumulado al cabo de n años debe ser igual a la base de depreciación del
activo.
4 .- Constructora Ingenieros Asociados adquiere muebles de oficina para un edificio
de departamentos y oficinas que esta construyendo. El costo de compra de los
muebles es de 150.000usd y se calcula que tendrán una vida útil de 5 años. La tasa de
79
interés es del 12% anual y se estima que a su final tendrá un valor de desecho de
cero.
a) Determinar el cargo anual por depreciación utilizando el método del fondo de amortización.
b) Elaborar la tabla de depreciación.
Solución:
a) Cálculo de cargo anual.
B= C – S B= 150,000 – 0 = 150,000
D = Bi/ (( 1 + i ) – 1 )
5
D= ( 150,000*0.12) / (( 1+0.12) -1)
D= 18,000/ (1.762341683 – 1)
D= 23,611.46usd
La aportación que se debe hacer anualmente al fondo de amortización es de
23,611.43usd.
b) tabla de depreciación n n
M = C ( 1 + i ) ; M = 23,611.43 ( 1.12)
TABLA DE DEPRECIACIÓN
80
AÑOS
DEP.
ANUAL
INT.
GANAD
DEP.
ANUAL
DEP.
ACUMUL
VALOR/
LIBROS
0 - - - - 150,000.00
1 23,611.46 0 23,611.46 23,611.46 126,388.54
2 23,611.46 2,833.38 26,444.84 50,056.30 99,943.70
3 23,611.46 6,006.76 29,618.22 79,674.52 70,325.48
4 23,611.46 9,560.94 33,172.40 112,846.92 37,153.08
5 23,611.46 13,541.63 37,153.10 150,000.02 0.02
118,057.30 31,942.71 150,000.02
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN
a) Resuelva los siguientes ejercicios:
1. Calcular el descuento compuesto de un documento cuyo monto será de 6´000,000usd luego de 5 años, si fue descontado 2 años antes de su vencimiento a una tasa de interés del 12% efectiva. 2. Una empresa desea vender una propiedad y recibe tres ofertas:
1ra oferta: 200,000usd de contado. 100,000usd a 1 año plazo.
2da oferta: 150,000usd de contado. 70,000usd a 12 meses plazo.
80,000usd a 24 meses plazo.
3ra oferta: 180,000usd de contado. 100,000usd a 6 meses plazo.
20,000usd a 9 meses plazo.
¿Cuál de las tres ofertas le conviene aceptar, considerando una tasa de interés de 16% anual capitalizable
semestralmente.(a.c.s)?.
3.-Industrias PGA adquiere un taladro en 450,000usd. Se estima que su vida útil será de 8 años, al final de los cuales
el equipo se volverá obsoleto, lo que obligará a cambiarlo por un modelo nuevo. Se estima también un valor de
salvamento de 2,000usd. Se prevé que deberá efectuarse una inversión de 4,000usd para actividades de
desmontaje y traslado, para deshacerse del equipo. Aplicando el método lineal:
81
a) Establecer el cargo anual por depreciación. b) Elaborar una tabla de depreciación.
4.- Constructora caminos y estructuras compró un tractor en 25,000usd. Se estima una vida útil de 5 años y un valor
de salvamento igual a cero. Aplicando el método de porcentaje fijo:
a) Determinar el porcentaje de depreciación que debe aplicarse. b) Elaborar la tabla de depreciación.
5.- Ingenieros y Asociados construye un edificio de oficinas. La construcción fue por 3´000,000usd y el terreno costó
400,000usd. La vida útil del edificio se calcula en 20 años y se estima que tendrá un valor de desecho de
1´200,000usd. Aplicando el método de suma de dígitos calcular el valor en libros al final de los 8 años.
6.- Hormigonera Tarqui adquirió una máquina bloquera en 10,000usd. Se estima que tendrá una vida útil durante la
cual podrá producir 6´350,000 unidades y que a su final su valor de salvamento será de 500usd. Usando el
método de unidad de producción o servicio:
a) Hallar el cargo por depreciación por unidad
b) Elaborar la tabla de depreciación para los 5 primeros años de vida de la máquina, durante los cuales las unidades producidas fueron: 550,000, 700,000, 600,000, 800,000, 400,000.
7.- Petróleos Oil Co. adquiere un taladro para perforación en 1´500,000usd. Se estima que su vida útil será de 20 años
al cabo de los cuales tendrá un valor de desecho del 15 % de su costo. La compañía decide depreciar este equipo
utilizando el método del fondo de amortización y aplicando una tasa de interés promedio del 10% anual.
a) Determinar el cargo anual por depreciación.
b) Establecer la depreciación acumulada y el valor en libros al final de los 5
primeros años.
c) Establecer la depreciación acumulada y el valor en libros al final de los 10 años.
AFIRMACIÓN V F
Interés compuesto es el interés de un capital al que se acumulan
los réditos para que produzcan otros.
El interés simple se diferencia del interés compuesto, en que en el
interés simple los intereses se calculan varias veces.
Un capital colocado a interés simple produce un monto mayor que
el colocado a interés compuesto.
El interés compuesto tiene relación directa con el capital y la tasa
de interés.
El interés compuesto se aplica a largo plazo.
La tasa nominal se capitaliza una vez al año.
82
La tasa efectiva se capitaliza varias veces al año.
b) verdadero o falso Marque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
c) casamientos Una con líneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes.
DEFINICIONES
CONCEPTOS
Interés Simple Mismo interés final 1
año
Interés Compuesto Corto plazo
Tasa equivalente Anual, semestral,
mensual
Período de
Capitalización
Largo plazo
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Calcule el monto a interés compuesto y a interés simple de un capital de
$1’000.000 colocado durante 10 años a una tasa de interés del 12% anual. Analice los
resultados.
2.- Calcule el monto a interés compuesto y el interés compuesto de un capital de
$500.000 colocado a una tasa de interés del 15% anual capitalizable semestralmente
durante 7 años.
AUTO EVALUACIÓN
Hasta el momento cual es su evaluación: excelente, bien, regular o mal. Si no se evalúa por lo
menos de “Bien”, debe volver atrás o elaborar un plan remedial para superar las deficiencias;
usted puede , hágalo con entusiasmo.
Por otro lado si se siente bien o excelente , ADELANTE Y FELICIDADES
83
3.- Una empresa obtiene un préstamo de $4’000.000 a 10 años de plazo con una tasa
de interés del 15% capitalizable semestralmente. Calcule el interés y el monto que
debe pagar a la fecha de vencimiento.
4.- Una persona coloca un capital de $3’000.000 en una cuenta de ahorros al 12% de
interés capitalizable trimestralmente; ¿cuánto habrá en la cuenta al final de 8 años y 6
meses?
5.- Rubén abre una cuenta de ahorros hoy, con $800.000, a una tasa de interés del
14% capitalizable semestralmente. Calcule cuánto habrá en la cuenta luego de 7 años
y 7 meses. Haga los cálculos en forma matemática y comercial, y analice los
resultados.
6.- Calcule, por los métodos matemático y comercial, el monto compuesto que
acumulará un capital de $1’500.000 durante 6 años y 9 meses al 16% anual
capitalizable semestralmente. Analice los resultados.
7.- ¿A qué tasa efectiva equivale una tasa nominal del 15% anual capitalizable
semestralmente?.
8.- Resuelva el problema anterior buscando la tasa nominal capitalizable
semestralmente, equivalente a una tasa efectiva del 15,5625?
9.- ¿A qué tasa efectiva equivale una tasa nominal del 18% anual capitalizable
trimestralmente?
10.- ¿A qué tasa anual capitalizable trimestralmente, equivale una tasa efectiva del
19,2519?
11.- ¿A qué tasa anual capitalizable trimestralmente se debe colocar un capital de
$1’000.000 para que produzca un monto de $5’500.000 en 6 años y 9 meses?. ¿A qué
tasa efectiva equivale?.
12.- ¿A qué tasa efectiva se convertirá un capital de $500.000 en un monto de
$900.000 en 9 años y 6 meses?
84
13.- ¿En qué tiempo, en años, se duplicará un capital de $700.000 a una tasa de
interés efectiva del 18%?
14.- ¿En qué tiempo, en años, aumentará en ¾ partes más un capital de $600.000,
considerando una tasa de interés del 171/8%, capitalizable semestralmente?.
15.- Calcule el valor actual de un pagaré cuyo valor al término de 3 años y 6 meses
será de $2’100.000, considerando una tasa de interés del 16% anual capitalizable
semestralmente (sin inflación).
16.- Un documento suscrito el día de hoy por un valor de $950.000, a 5 años de plazo
con una tasa de interés del 17% anual capitalizable semestralmente, se vende 2 años
antes de la fecha de vencimiento, considerando una tasa del 18% anual capitalizable
semestralmente. Calcule el valor de la venta del documento en esa fecha; elabore la
gráfica correspondiente.
17.- Una persona desea vender una propiedad y recibe 3 ofertas:
a) $2’000.000 al contado;
b) $1’000.000 al contado
$1’200.000 a 1 año de plazo;
c) $100.000 al contado y
2 letras de $1’200.000 a 6 meses y 1 año, respectivamente.
¿Cuál de las tres ofertas le conviene aceptar, considerando que el rendimiento del
dinero es del 21% capitalizable semestralmente?.
18.- Un documento suscrito por $3.500 a 5 años y 7 meses, con una tasa del 12%
capitalizable trimestralmente, se vende 2 años y 5 meses después de la fecha de
suscripción. Considerando una tasa de interés del 13%, capitalizable semestralmente,
calcule el valor de la venta de dicho documento. Haga los cálculos en forma
matemática y comercial.
19.- Calcule el descuento compuesto matemático y el descuento compuesto bancario
de un documento cuyo monto al final de 7 años es de $7’000.000, si fue descontado 3
años antes de la fecha de su vencimiento con una tasa de interés del 14% efectiva.
85
20.- Una empresa tiene las siguientes deudas:
1ª) $1’000.000 a 3 años de plazo con una tasa del 18% capitalizable
semestralmente;
2ª) $5’000.000 a 4 años y 6 meses con una tasa del 12% efectiva;
3ª) $3’000.000 a 6 años y 9 meses con una tasa del 15% anual capitalizable
trimestralmente.
La empresa desea reemplazarlas por un único pago en un tiempo equivalente para los
3 vencimientos. Calcule:
a) la fecha de pago; b) el valor del pago único, considerando una tasa de interés del q4% anual
capitalizable semestralmente.
21.- Una asociación estudiantil decide adquirir un equipo de video para realizar tareas
de capacitación. Su costo es de $25.000 y se calcula que dará servicio durante 5 años,
al cabo de los cuales esperan cambiarlo por uno más moderno. Su valor de desecho
es de aproximadamente $500.
a) determínese la depreciación anual por el método de línea recta.
b) Elabórese la tabla de depreciación.
22.- Un departamento de policía adquiere patrullas nuevas con valor de $250.000 cada
una. Estima que su vida útil será de 5 años, al cabo de los cuales su valor de desecho
será 0.
a) Determínese la depreciación anual por el método de porcentaje fijo.
b) Elabore la tabla de depreciación
23.- Una compañía de aviación adquiere un simulador de vuelo en $350.000. Decide
depreciarlo por el método de porcentaje fijo aplicando 20% anual.
a) ¿Cuál será el valor en libros al cabo de 5 años?
b) Elabore la tabla de depreciación.
86
24.- Una cooperativa pesquera ha resuelto adquirir un barco para la captura de atún.
Su costo es de $15,7millones y su valor de desecho, al cabo de 25 años de vida útil
esperada, será de $1,5 millones. Aplicando el método de suma de dígitos:
a) ¿Cuál será el valor en libros al cabo de 5 años?
b) ¿Cuál será el valor en libros al cabo de 10 años?
25.- Un hospital ha comprado equipo para análisis de laboratorio con valor de $85.550.
La vida esperada del mismo es de 15 años y su valor de desecho será igual a 0.
a) Elabore una tabla de amortización para los primeros 5 años, utilizando el
método de la suma de dígitos.
b) Determine el valor en libros al cabo de 10 años.
26.- Una universidad adquiere una microcomputadora para dar servicio a sus
estudiantes. Su costo es de $15.385 y se calcula que tendrá una vida útil de 5000
horas, al cabo de las cuales su valor de deseco será 0.
a) Elabore una tabla de amortización considerando que se utilicen 1800 horas
el primer año, 1700 el segundo y 1500 el tercero.
b) Determine su valor en libros al cabo de 2 años.
27.- Una empresa adquiere un dado para la inyección de plástico que tiene una vida
estimada de 150.000 piezas. Su costo es de $27.250, y su valor de desecho es de 0.
La tabla que muestra la producción estimada es la siguiente:
AÑO UNIDADES
1 25.000
2 35.000
3 45.000
4 45.000
150.000
a) Elabore la tabla de depreciación utilizando el método de depreciación por
unidad de producción.
87
28.- Un ayuntamiento adquiere un camión recolector de basura para el servicio de la
ciudad. Su costo es de $382.850 y su vida útil esperada es de 7 años, al cabo
de los cuales tendrá un valor de desecho de 0.
a) Determine el cargo anual por depreciación utilizando el método del fondo de
amortización, si la tasa de interés vigente es del 14%.
b) ¿Cuál será su valor en libros al cabo de 5 años?
c) ¿Cuál será la depreciación acumulada al cabo de 6 años?.
29.- Una lavandería adquiere equipo nuevo con valor de $18.000. La vida útil de dicho
equipo es de 10 años, y su valor de desecho es $1.000.
a) Considerando una tasa de interés del 9,5%, determine la aportación anual al
fondo de amortización.
b) Calcule la depreciación acumulada y el valor en libros al cabo de 4 años.
c) S i se decidiera vender el equipo de acuerdo con su valor en libros al cabo
de 6 años, ¿cuánto debería pedir por él?.
30.- Una lavandería adquiere equipo nuevo con valor de $18,000. La vida útil de dicho
equipo es de 10 años, y su valor de desecho es $1,000.
a) Considerando una tasa de interés del 9.5%, determine la aportación anual al
fondo de amortización.
b) Calcule la depreciación acumulada y el valor en libros al cabo de 4 años.
c) S i se decidiera vender el equipo de acuerdo con su valor en libros al cabo
de 6 años, ¿cuánto debería pedir por él?.
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN
a. Resuelva los siguientes ejercicios: 1. Calcular el descuento compuesto de un documento, cuyo monto será
de 6´.000.000 usd luego de 5 años, si fue descontado 2 años antes de su vencimiento, a una tasa de interés del 12% efectiva.
Solución: Dc = M – C
Descuento compuesto matemático
M = 6´000,000 usd i = 12% n = 2
88
Dc = M – M ( 1 + i )-n
Dc = 6´000,000 – 6´000,000( 1 + 0.12 )-2 Dc = 1`216,836.74 usd
Descuento compuesto bancario
M = 6´000,000 d = 12% n = 2 Dbc = M [ 1 – ( 1 – d )n ]
Dbc = 6´000,000 [ 1 – ( 1 – 0.12 )2] Dbc = 1´353,600 usd
2. Una empresa desea vender una propiedad y recibe tres ofertas:
1ra oferta: 200,000 usd de contado. 100,000 usd a 1 año plazo.
2da oferta: 150,000 usd de contado. 70,000 usd a 12 meses plazo.
80,000 usd a 24 meses plazo.
3ra oferta: 180,000 usd de contado.
100,000 usd a 6 meses plazo.
20,000 usd a 9 meses plazo.
¿Cuál de las tres ofertas le conviene aceptar, considerando una tasa de interés de 16% anual capitalizable
semestralmente.(a.c.s)?.
Solución:
i = O.16 / 2 = 0.0 8 semestral m = 2 1ª Oferta -n
C= M( 1+i )
-1*2
X = 200,000 + 100,000 ( 1 + 0.08 )
X = 285,733.88 usd
ff 200.000 100.000 0 1 (año) 2ª oferta : ff 150,000 70,000 80,000
0 1 2 (años)
89
X -1*2 -2*2
X = 150,000 + 70,000 ( 1 + 0.08 ) + 80,000 ( 1 + 0.08 )
X = 150,000 + 60,013.72 + 58,802.39
X = 268,816.11usd
3ª oferta .
ff
180,000 100,000 20,000 0 0.5 0.75 (años) X
-0.5*2
X = 180,000+ 100,000 ( 1 + 0.08 ) + 20,000( 1 + 0.08 ) X = 180,000 + 92,592.59 + 17,819.45
X = 290,412.05usd
Le conviene la tercera oferta que es la más elevada
1. Industrias PGA adquiere un taladro en 450,000 usd. Se estima que su vida útil será de 8 años, al final de los cuales el equipo se volverá obsoleto, lo que obligará a cambiarlo por un modelo nuevo. Se estima también un valor de salvamento de 2,000 usd. Se prevé que deberá efectuarse una inversión de 4,000 usd para actividades de desmontaje y traslado para deshacerse del equipo. Aplicando el método lineal:
a) Establecer el cargo anual por depreciación.
b) Elaborar la tabla de depreciación.
Solución:
a) D= c-s D= 450,000-(-2,000) ; D = 56,500 usd.
n 8
-0.75*2
90
En este caso el valor de salvamento es negativo, por cuanto si se recuperan
2,000 usd por la venta, debe realizarse una inversión de 4,000 usd para
desmontaje y traslado.
S=2,000-4,000 ; S = -2,000 usd.
b) Tabla de depreciación.
2. Constructora caminos y estructuras compró un tractor en 25,000 usd. Se estima una vida útil de 5 años y un valor de salvamento igual a cero. Aplicando el método de porcentaje fijo:
a) Determinar el porcentaje de depreciación que debe aplicarse
b) Elaborar la tabla de depreciación.
Solución:
n
a) C=25,000usd S=c (1-d)
5
n=5 años S=25,000 (1-d)
Años
Dep.
Anual
Dep.
Acumul.
Valor en
libros
h D A V
0 450,000
1 56,500 56,500 393,500
2 56,500 113,000 337,000
3 56,500 169,500 280,500
4 56,500 226,000 224,000
5 56,500 282,500 167,500
6 56,500 339,000 111,000
7 56,500 395,500 54,500
8 56,500 452,000 -2,000
91
5
d= ? 0 =25,000 (1-d)
Como se indicó anteriormente, está fórmula carece de significado si el valor de
desecho es cero, por cuanto su resultado sería indeterminado. En este caso se
sustituye el cero por uno y se aplica la fórmula.
5 5 5
25,000 (1-d) =1 (1-d) = 1/25,000 (1-d) =0.00004
0,2 0,2
(1-d) =( 0.00004) -d = (0.00004) -1
0,2
d= 1-(0.00004) d= 0.868049 d = 86.8049%
b)Tabla de depreciación
Años Dep. Anual
Dep.
Acumul.
Valor en
libros d
0 - 25,000.00 0.868049
1 21,701.23 21,701.23 3,298.77 0.868049
2 2,863,50 24,564.73 435.27 0.868049
3 377.84 24,942.57 57.43 0.868049
4 49.86 24,992.42 7.58 0.868049
5 6.58 25,000.00 1.00 0.868049
En este caso observamos que prácticamente el total de la depreciación se ha
cargado al primer año y puede no ser conveniente la utilización de este
método.
3. Ingenieros y Asociados construye un edificio de oficinas. La construcción fue por 3´000,000 usd y el terreno costó 400,000 usd. La vida útil del edificio se calcula en 20 años y se estima que tendrá un valor de desecho de 1´200,000 usd. Aplicando el método de suma de dígitos, calcular el valor en libros al final de los 8 años.
Solución:
Cálculo de la base de depreciación.
92
B= C - S (No consideramos el costo del terreno porque no se deprecia).
B= 3´000,000 – 1´200,000 ; S = 1´800,000 usd
Cálculo de la suma de dígitos.
s = n(n+1)/2 s = 20(20+1)/2 = 20*21/2 ; s = 210
Cálculo de la depreciación acumulada de los 8 primeros años.
Esta se obtiene por la suma de las fracciones de los 8 primeros años multiplicada
por la base de la depreciación.
Ak = A8 = [(20+19+18+17+16+15+14+13)/210] * 1´800,000
A8 = ( 132/210)*1´800,000 = 1´131,428.57 usd
Cálculo del valor en libros.
Vk = C –Ak V8 = C – A8
V8 = 3´000,000 – 1´131,428.57 = 1´868,571.43 usd
4. Hormigonera Tarqui adquirió una máquina bloquera en 10,000 usd. Se estima que tendrá una vida útil durante la cual podrá producir 6´350,000 unidades y que a su final su valor de salvamento será de $500. Usando el método de unidad de producción o servicio:
a) Hallar el cargo por depreciación por unidad.
b) Elaborar la tabla de depreciación para los 5 primeros años de vida de la máquina, durante
los cuales las unidades producidas fueron: 550,000., 700,000., 600,000., 800,000., 400,000.
Solución :
a) D = ( C – S ) / # unidades = ( 10,000 – 500 ) = 0.0015 usd / unidad
6,350.000
b) Tabla de depreciación
Años Unid. Prod. Dep. Anual
Dep.
Acumul.
Valor en
libros
0 0 0 0 10,000
93
1 550,000 825 825 9,175
2 700,000 1,050 1,875 8,125
3 600,000 900 2,775 7,225
4 800,000 1,200 3,975 6,025
5 400,000 600 4,575 5,425
Modelo de cálculo
D = 550,000 * 0.0015 ; D = 825 usd
5. Petróleos Oil Co. adquiere un taladro para perforación en 1´500,000 usd. Se estima que su vida útil será de 20 años, al cabo de los cuales tendrá un valor de desecho del 15 % de su costo. La compañía decide
depreciar este equipo utilizando el método del fondo de amortización, aplicando una tasa de interés promedio del 10% anual.
a) Determinar el cargo anual por depreciación.
b) Establecer la depreciación acumulada y el valor en libros al final de los 5 primeros años.
c) Establecer la depreciación acumulada y el valor en libros al final de los 10 años.
Solución:
a) Se determina la base de depreciación.
B = C –S B = 1´500,000 – 225,000 ; B= 1´275,000 usd
Se calcula el cargo anual por depreciación.
n 20
D = B i / [ ( 1+ i ) – 1 ] D = 1´275,000 * 0.10 / [( 1 + 0.10 ) – 1 ]
D = 22,261.02 usd ( Cargo anual por depreciación ).
b) Calculamos la depreciación acumulada después de 5 años.
Ak = D (1 + i )n
– 1 Ak = 22,261.02 ( 1 + 0.10 )5 – 1
94
i 0.10
Ak = 135,905.75 usd
Calculamos el valor en libros. Se obtiene restando la depreciación acumulada del
costo original en el año K.
Vk = C – Ak Vk = 1´500,000 – 135,905.75
V5 = 1´364,094.25 usd
c) Calculamos la depreciación acumulada al cabo de 10 años n 10
Ak = D ( 1 + i ) – 1 Ak = 22,261.02 ( 1+ 0.10 ) – 1
i 0.10
A10 = 354,783.33 usd
El valor en libros será:
V10 = 1´500,000 – 354,783.33 ; V10 = 1´145,216.67 usd
95
d)VERDADERO O FALSO
Marque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
e) CASAMIENTOS
Una con líneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes.
DEFINICIONES
CONCEPTOS
Interés Simple. Mismo interés final 1
año.
Interés Compuesto. Corto plazo.
Tasa equivalente. Anual, semestral,
mensual.
Período de
Capitalización.
Largo plazo.
AFIRMACIÓN V F
Interés compuesto es el interés de un capital al que
se acumulan los réditos para que produzcan otros.
X
El interés simple se diferencia del interés
compuesto, en que en el interés simple los intereses
se calculan varias veces.
X
Un capital colocado a interés simple produce un
monto mayor que el colocado a interés compuesto.
X
El interés compuesto tiene relación directa con el
capital y la tasa de interés.
X
El interés compuesto se aplica a largo plazo. X
La tasa nominal se capitaliza una vez al año. X
La tasa efectiva se capitaliza varias veces al año. X
96
ANEXOS
APENDICE 1 EL PORCENTAJE: APLICACIONES
Se le conoce como tanto por ciento o simplemente por ciento.
El cálculo del porcentaje se utiliza con frecuencia en el campo comercial y financiero
para representar: aumentar, disminuciones, utilidades, tasas de interés y de
descuento, entre otros aspectos.
El término por ciento significa centésimo y se le simboliza (%).
Ejemplo: 18.5% significa 18.5/100=0.185
Cualquier número entero o decimal puede ser escrito como porcentaje, multiplicándole
por 100 y agregando el símbolo de por ciento (%)
Ejemplo: 0.2537 significa (0.2537)(100)%= 25.37%
Si queremos encontrar el 5% de 90 debemos efectuar la siguiente operación.
5% de 90 (5/100)(90)=0.05(90)=4,5
En esta operación:
4.5 Se le conoce como producto
5% Se le conoce como Porcentaje o tasa
90 Se le conoce como Base
Bajo el concepto anterior, cuando se calcula porcentajes se presentan 3 alternativas:
encontrar el producto, la tasa o la base.
I CASO.- Hallar el producto
1.- Juan Ramírez adquirió un refrigerador en 1,200 usd. Si dio un anticipo del
25% del precio de compra. Cuál fue el valor de la cuota inicial y cual fue el saldo.
Solución:
Cuota inicial= 25% del precio de compra
C/I= 25% (1,200)= 0,25(1,200)=300 usd
Saldo = precio-C/I
97
Saldo =1,200-300=900 usd
2.- Almacenes H-Clan ofrece equipos de sonido con el 30% de descuento. Si el
precio de lista era de 230.50 usd.
Cuál es el precio final del equipo
Cuál es la cantidad a pagar si al precio final se le suma el IVA
Solución:
Descuento=30% de 230.50=(30/100)(230.50)=69.15
Precio final=230.50-69.15=161.35 usd
IVA= 12% de 161.35=(12/100)(161.35)=19.362
CANTIDAD A PAGAR = Precio final+IVA
= 161.35+19.362=180.71 usd
II CASO.- HALLAR LA TASA
Significa establecer que por ciento es un número de otro número.
1.- Determinar que porcentaje de 10,750 es 3,440
Solución:
X=porcentaje buscado en forma decimal.
Como X% de 10,750 tiene que ser igual a 3,440
Planteamos la ecuación:
X(10,750)=3,440 X=3,440=0,32=32%
10,750
2.- Una comercializadora recibió 17,610 usd por conceptos de comisiones por
obtener un grupo de participantes para una maestría por un valor de 117,400
usd. Establecer el porcentaje obtenido.
Solución.-
X=porcentaje de comisión ganada
Como X% de 117,400 debe ser igual a 17,610 tenemos:
X(117,400)=17,610 X=17,610/117,400=0.15=15%
III CASO.- Hallar la base.
98
Significa encontrar el número que producirá el porcentaje cuando ese número se
multiplique por el porcentaje dado.
1.- Almacenes RKS decidió incrementar el precio de cada terno confeccionado
en un 8%. Establecer cuál era el precio original de cada terno, considerando que
actualmente es de 259.20 usd.
Solución.-
X=precio de c/terno antes del aumento
Aumento= 8% de X= 0.08X
Precio actual = precio anterior + aumento
259.20= X+0.08X
259.20=1.08X X=259.20/1.08 X=240 usd
2.- Maquinarias SA distribuye motos a un precio de 2,800 usd, valor en el que se
incluye el IVA. Calcular:
a) El precio de la moto sin impuestos.
b) El valor del impuesto.
Solución.-
a) X= Valor de la moto antes de sumar el impuesto
IVA= 12% del valor de la moto= 12% de X=0.12X
Si al valor de la moto antes del impuesto se le suma el impuesto, se obtiene el valor
total a pagar.
X+0.12X= 2,800
1.12X= 2,800 X=2,800/1.12= 2,500 usd
b) El impuesto es el 12% de 2,500
IVA= 12% (2,500)= 0.12(2,500) =300 usd
UTILIDAD SOBRE EL COSTO Y SOBRE EL PRECIO DE VENTA
El costo de un artículo o de un servicio se compone de todos los gastos efectuados
para fabricar o adquirir el artículo o para proporcionar el servicio respectivamente.
99
Los Gastos de operación son las cantidades pagadas por concepto de venta,
salarios, publicidad, etc.
La utilidad Bruta es la cantidad que se suma al costo del artículo o servicio para
cubrir los gastos de operación.
La UTILIDAD Neta es la cantidad que queda después de cubrir los gastos de
operación y se le conoce como GANANCIA.
PRECIO DE VENTA = COSTO + UTILIDAD BRUTA
PV = C + UB
UTILIDAD BRUTA = GASTOS DE OPERACIÓN + UTILIDAD NETA
UB = GO + UN
1.- Fabrica de muebles MODULEC, produce escritorios de la línea de oficina, los
costos de fabricación alcanzan los 120 usd y se estima en 50 usd los gastos de
operación por cada unidad producida. Desea obtener una utilidad neta de 40 usd
por cada escritorio vendido. Establecer el precio de venta.
Solución.-
PV= C + UB
UB= GO + UN
UB= 50 + 40=90usd
PV=120+90=210usd
Es muy común que al determinar los precios de venta, la utilidad bruta y la utilidad
neta se den como porcentaje en lugar de cantidades. El porcentaje se da en función
del costo o del precio de venta. No importa en que esta basada la utilidad por cuanta
ésta siempre se suma al costo para halar el precio de venta.
2.- Almacén deportivo SA adquirió 20 bicicletas de carrera en 850 usd cada una y
los vendió en 1,350usd cada unidad. Determinar.
a) El porcentaje de utilidad bruta basada en el costo
b) El porcentaje de utilidad bruta basada en el precio de venta.
Solución.-
100
a) X= % de UB basada en C
UB=X(850)=850X
PV=C+UB
PV=850+850X
1,350=850+850X 850X=1,350-850=500
850X=500 X=500/850 X=0.5882
X= % UB BASADA EN C =58.82%
b) X=% DE UB BASADA EN PV
UB=X(1,350) = 1,350x
PV= C+UB
PV=850+1,350X 1,350=850+1,350X
1.350X= 1.350-850=500 1,350X=500
X= 500/1,350 X=0.3704
X= % DE UB BASADA EN PV=37.04%
De manera general la utilidad bruta puede basarse en el costo o en el precio de venta;
sin embargo, en ocasiones se requiere convertir una tasa de utilidad bruta basada en
el costo a una tasa basada en el precio de venta y viceversa.
3.- Almacenes Pérez SA vende casimires con una utilidad bruta del 50% del
costo. Establecer cual será la utilidad bruta basada en el precio de venta.
Considerar el costo en una cantidad de 70 usd.
Solución.-
C=70 usd
UB=50% de C= 50%(70)=0.5(70)=35 usd
PV=C+UB
PV=70+35=105 usd
X=%UB BASADA EN EL PV
UB=X (105) =105X
101
PV=C+UB
105=70+105X 105X=105-70=35
105X=35 X=35/105=0.3333
X=% UB BASADA EN PV=33.33%
DESCUENTO COMERCIAL.-
En el campo comercial es muy común que los fabricantes de productos y los
mayoristas entreguen a sus clientes listas de precios propuestos para cada producto.
Los precios marcados en estas listas se denominan Precio de Lista(PL) y
corresponden al “precio sugerido” para ventas al menudeo por que puede o no ser el
precio final que debe pagar el consumidor.
Los fabricantes y mayoristas venden sus productos a los detallistas con un descuento
basado en el precio de lista llamado DESCUENTO COMERCIAL. La tasa de
descuento es el descuento comercial expresado como un porcentaje del precio de
lista.
El precio neto (PN) es el precio de lista menos el descuento comercial.
DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE.- Es aquel en que la rebaja se realiza por una
sola vez.
1.-Sombrería nacional ofrece sombreros de exportación. Establecer el precio
Neto de cada sombrero, cuyo precio de lista es 128 usd, si se le aplica un
descuento comercial del 27%.
Solución.
Descuento=27% del PL=27%(128)=34.56
PN=PL – descuento PN=128-34.56=93.44 usd
DESCUENTO COMERCIAL EN CADENA.- Conocido también como descuento
comercial en serie, es aquella en las rebajas se efectúan mas de una vez. Las
deducciones deben efectuarse de manera sucesiva y por ninguna causa deben
sumarse los descuentos y utilizar la suma como un solo descuento. Es muy común
que se realice varios descuentos sobre el precio de lista.
PN=PL-DESCUENTO
102
1.- La fábrica maderesa SA produce muebles finos. Como una política de ventas
ofrece a un mayorista descuentos comerciales del 25%, 20% y 10%. Hallar el
precio neto de un pedido por una cantidad de 675,300 usd.
Solución.-
PL=675,300 usd
DESCUENTO DEL 25%=25%(675,300)=168,825
Saldo= 675,300-168,825=506,475
Descuento del 20%=20%(506,475)=101,295 (Sobre el saldo)
Saldo nuevo=506,475-101,295=405,180
Descuento del 10%(405,180)=40,518 (Sobre el saldo)
Precio neto =PN =405,180-40,518=364,662
PN =364,662 usd
Otro método para hallar el precio neto es con la fórmula:
PN =PL(1-d1)(1-d2),…,(1-dn)
En donde: PN= Precio Neto
PL= Precio de Lista
d1,d2,…dn: descuentos comerciales aplicados
Tomando el caso del ejercicio anterior tenemos:
PN= PL (1-d1) (1-d2) (1-d3)
PN= 675,300 (1-0.25) (1-0.20) (1-0.10)
PN= 675,300(0.75) (0.80) (0.90)
PN= 364,662
PN=364,662 usd.
Usando porcentaje, calcule lo siguiente:
a.- El 25% de 75,000.
100----------25
75,000----- x ;100
000,75*25x x = 18,750
b.-De que cantidad es 200 el 25%.
103
200-------25
x -------100 ;25
100*200x x = 800
c.-Que porcentaje de 35.000 es 5.200
35,000-----100
5,200------ x ;000,35
100*200,5x x = 14.86%
Aplicaciones
1.- Una empresa adquiere escritorios a 350 usd cada uno y desea venderlos con
una utilidad del 25% del precio de costo. Calcular el precio de venta.
Datos
Pc= 350 usd (precio de costo)
Pr= ? (precio de venta)
U= 25% Pc (utilidad)
Solución
Utilidad = Precio de venta – Precio de costo
U=Pv – Pc
U=25%(350)=0,25(350)=87.5
U=Pv – Pc ; 87.5 = Pv-350; Pv=350+87.5
Pv= 437.50 usd (precio de venta)
2.- Una empresa adquiere paquetes de fundas plásticas a razón de 0.35 usd cada
paquete y desea venderlos con una utilidad de 15% del precio de venta. Calcular
el precio de venta y la utilidad.
Datos
Pc= 0.35 usd c/paquete
Pr= ?
U= ?
U=15% Pv
Solución
104
U=0,15 Pv ; 15% Pv = Pv-0.35
0.15 Pv – Pv = 0.35 ; -0.85 Pv = -0.35
85.0
35.0Pv Pv = 0.4118 Respuesta precio de venta
U= 0.15 Pv ; U=0.15*0.4118 ; U= 0.062 usd
3.- Calcular el precio en que una fábrica puede vender un terno, que tiene un
costo de 150. usd cada unidad, con una utilidad del 15% sobre el precio de
venta. Calcular la utilidad.
Datos
Pv = ? (precio de venta)
Pc= 150 usd (precio de costo de c/terno)
U= 15% Pv =? (utilidad)
Solución
U=Pv – Pc ; 0.15Pv = Pv-Pc
Pc= Pv-0.15 Pv; Pc=0.85 Pv
150=0.85Pv ; 85.0
150Pv ; Pv= 176.47 usd
U= 0.15Pv ; U=0.15(176.47) ; U= 26.47usd
4.- Una empresa vende cocinas con un precio de lista de 350 usd cada unidad,
con un descuento del 18% por venta al contado y con el 12% del IVA. Calcular:
Datos
PL= 350 usd c/unidad (precio de lista por unidad)
Descuento = 18% por venta al contado
Impuesto = 12%
Calcular: a) Valor de la factura
b) Descuento efectivo
c) Porcentaje real que se aplica
Solución
a) Valor de la factura
105
PL 350
-descuento 63 (0.18*350)
287
+impuesto 34.44 (0.12*287)
Valor de la factura 321.44 usd
b) Descuento efectivo (D.E.)
D.E.= Precio de lista – valor de la Factura
D.E. = 350-321.44 ; D.E.= 28.56 usd
c) Porcentaje real que se aplica
% efectivo = Desc. efectivo
Precio de lista
% efectivo = 28.56 = 0.0816 = 8.16% ; % efectivo = 8.16%
350
5.- Una empresa distribuye refrigeradoras. El precio de lista de cada unidad es
de 750 usd con un descuento del 20% sobre el precio de lista y se aplica un
impuesto al valor agregado igual al 12%. Calcular:
a) El valor de la factura a pagar.
b) El descuento efectivo.
c) El porcentaje real que se aplica al cliente
Datos
PL= 750 usd (precio de lista c/unidad)
Descuento = 20% PL
Impuesto= 12% (IVA)
Solución
a) El valor de la factura a pagar.
PL 750
-descuento -150 (0.2*750)
600
106
+ impuesto 72 ( 0.12*600)
Valor de la factura 672 usd
b) Descuento efectivo (D.E.)
D.E. = PL – valor de la factura
D.E. = 750-672
D.E. = 78 usd
c) El porcentaje real que se aplica al cliente.
% efectivo = D.E.____
Precio de lista
% efectivo = 78 = 0.104 = 10.4%
750
% efectivo = 10.4%
107
APENDICE 2 LOGARITMOS: APLICACIONES
El logaritmo en base b del número N es el exponente L de la base b tal que se debe
cumplir:
NbLN l
blog
De manera general se utilizan dos tipos de logaritmos:
Logaritmo natural.- cuya base es el numero e= 2.7182……*
Logaritmo común.- cuya base es el número 10
LNNe lnlog
De manera general la palabra logaritmo se refiere a los logaritmos comunes.
Ejemplos:
001.01030010.0log
11001log
10001031000log
3
0
3
N debe ser siempre un número positivo, en tanto que es logN puede se cualquier
número real.
LEYES DE LOS LOGARITMOS:
BABA loglog)*log(
LNN loglog10
108
El logaritmo del producto de dos números positivos es igual a la suma de los
logaritmos de los números.
Ejemplo: Log (3*10)= log3 + log10 =0.477121 + 1 = 1.477121
BA
B
Alogloglog
El logaritmo del cociente de dos números positivos es igual al logaritmo del numerador
menos el logaritmo del denominador.
Ejemplo: log (3/2) = log3 – log2 = 0.477121 – 0.301030 = 0.176091
AnAn loglog
n es cualquier número real.
El logaritmo de un número elevado a la potencia n es n veces el logaritmo del número.
Ejemplos: 954242.0)477121.0(23log23log 2
238561.0)477121.0(2/13log2/13log3log 2/1
ANTILOGARITMOS.-
Si L = logN, entonces N es el antilogaritmo de L y se escribe.
Ejemplo: Hallar el antilog de 2.922725 = 836.9991173 = 837
N= Antilog L cuando L = log N
109
APLICACIONES CON LOGARITMOS.- cálculo de variables n e i.
1.- Resolver con logaritmos.
3 632
362
)728256.4(2595976.0
3273126.8354428.603768.0
Log 62
362
)728256.4()2595976.0(
)3273126.8()354428.6()03768.0(
log 262 )2595976.0()354428.6()03768.0(
63 )728256.4()3273126.8(
2log (0.03768) + 6log (6.354428) + 2log (0.2595976) – 3log (8.3273126) – 6 log
(4.728256)
2 (-1.423889106) + 6 (0.803076463) + 2 (-0.585699327) – 3 (0.920504868) – 6
(0.674700982)
-2.847778812 + 4.818458779 – 1.171388654 – 2.761514604 – 4.048205894 = -
6.01
Para determinar el número buscado calculamos el antilogaritmo
Antilogaritmo ( -6.01 ) = 0.000000977
2.- En la siguiente ecuación hallar el valor de i utilizando logaritmos.
550 (1+i)5
= 4550 i= tasa de interés por periodos.
Solución
(1+i)5
= 4550 / 550 = 8.272727273
5 log (1+i) = log (8.272727273)
Log (1+i) = log (8.272727273)/5
110
1+i = Antilog log (8.272727273)/5
i = antilog log (8.272727273)/5 -1
i = 0.525913 => i = 52.5913%.
3.- Resolver el ejercicio anterior por exponentes (se le conoce como solución
directa).
550 (1+i) 5 = 4550
(1+i) 5 = 4550/550
(1+i) 5 = 8.272727273
(1+i) = (8.272727273) 5
1
i = (0.8272727273) 5
1
-1
i = 0.525913 => i = 52.5913%.
4.- Empleando logaritmos y por solución directa hallar en la siguiente ecuación
la tasa anual de depreciación. (d.)
300,000 (1-d)4
= 150,000
a) con logaritmos
(1-d)4
= 150,000 / 300,000 = 0.5
4 log (1-d) = log (0.5)
Log (1-d) = log (0.5)/4 => 1-d = antilog log (0.5)/4
-d = antilog log (0.5)/4 -1
d = - antilog log (0.5)/4 + 1 = 1-0.840896415
d = 0.159104 => d= 15.9104%
111
b) solución directa
(1-d)4
= 150,000/300,000 = 0.5
(1-d) = (0.5) 4
1
=> -d = (0.5) 4
1
-1 => d = 1 – (0.5) 4
1
d = 0.159104 => d = 15.9104%
5.- En la siguiente ecuación hallar el valor de n
250 (1+0.025) -n
= 1,500 si son meses.
= número de períodos de conversión.
Solución.- “este tipo de problemas solo puede resolverse con logaritmos”.
(1.025) n
= 1500/250 = 6
log (1.025) = log 6 => = 025.1log
6log=
010723865.0
77815125.0
= 72.56 meses = = 73 meses (aproximado)
6.- Establecer el valor de en la siguiente ecuación.
250)125.01(500,2 n
Representa en este ejercicio semestres.
Solución.- = número de pagos periódicos.
(1.125) n
= 250/2500 = 0.1
- log (1.125) = log 0.1 => - = 125.1log
1.0log=
051152522.0
1
112
- = -19.55 semestres => = 20 semestres.
o también: = 19.55 semestres (es mejor este resultado) (pagos)
7.- Hallar el valor de (si son trimestres) en la ecuación:
15.0
115.01n
=12
Solución = número de pagos periódicos.
(1.15)n
-1 = 12 (0.15) = 1.8
(1.15)n
= 1.8 + 1 = 2.8
= log (1.15) = log (2.8) => = 15.1log
8.2log=
06069784.0
447158031.0
= 7.3670 trimestres => = 7.37 trimestres (pagos)
8.-Resuelva las siguientes operaciones con logaritmos
a) ;)674650.0()6.15(
)357.0(*846,1253
54
2
1/3
125,846 * (0.357) 1/3
(15.6)4 * (0.67465)5
Aplico logaritmos:
1 log(125,846) + 2log(0.357) – 4 log(15.6) – 5 log(0.67465)
3
113
1 (2.099839416 – 0.894663568 – 4.772498393) + 0.854607377)
3
1 (-2.712715168) = -0.904238389
3
Cálculo del antilogaritmo para obtener el número buscado.
Antilogaritmo (-0.904238389) = 0.1246699 usd
Comprobación:
Realizo la operación utilizando la calculadora
354
2
)674650.0()6.15(
)357.0(*846,125 = 0.1246699 usd
b) 5)60.01(
1000,000'1 ; 5)6.1(
000.000'1
Aplico logaritmos
= log 1’000,000 – 5 log(1.6) = 6 – 1.020599913 = 4.979400087
Cálculo del antilogaritmo para obtener el número buscado:
Antilogaritmo ( 4.979400087) = 95,367.4317 usd
Comprobación:
Realizo la operación con la calculadora:
114
1’000,000
= 95,367.4317
(1.6)5
c) 15.0
1)15.01( 20
; 15.0
1)15.1( 20
Para resolver este ejercicio debemos necesariamente reducir la expresión
algebraica original a una de la forma: Producto, cociente o potencia y entonces
aplicaciones logaritmos.
15.0
1)15.1( 20
= 15.0
36653739.15
Aplico logaritmos:
log15.36653739 – log0.15
= 1.186576017 – (- 0.823908741) = 2.010484758
Calculo el antilogaritmo para hallar el número:
Antilogaritmo (2.010484758) = 102.4435826 usd
Comprobación
Realizo la operación con la calculadora:
115
15.0
1)15.01( 20
= 102.4435826 usd
9.-Determine el valor de i en las ecuaciones mediante exponentes y logaritmos.
a) 1´000,000 (1+i)6 = 3´750,000.
por exponentes
(1+i) 6 = 000,000'1
000,750'3 = 3.75
(1+i) 6 = 3.75 elevo a 1 ambos lados para eliminar la potencia.
6
(1+i) 6/6 = (3.75) 1/ 6
1+ i = (3.75) 1/ 6 ; i = (3.75) 1/ 6 - 1 ; i = 0.24644
i = 0.24644 usd ; i = 24.64%
por logaritmos
( 1+ i ) 6 = 3.75 (Aplico logaritmos a ambos lados)
6 log(1+ i) = log( 3.75) ; log( 1+ i) = 6
)75.3log(
Calculo el antilogaritmo:
Antilog log(1+ i) = Antilog 6
)75.3log(
116
1+ i = Antilog 6
)75.3log( ; i =Antilog
6
)75.3log( - 1 ; i = 0.24644 ; i = 24.64%
b) 50,000 (1-d)5 = 150,000
por exponentes
(1-d)5 = 000,50
000,150 = 3
(1-d)5 = 3 ; (1-d)5/5 = 31/5 ; 1-d = 31/5
-d = 31/5 -1 ; d = 1-31/5 ; d = -0.24573
d = - 0.24573
por logaritmos
(1-d)5 = 3 ; 5 log(1-d) = log 3
log(1-d) = 5
3log ; Antilog log (1-d) = Antilog
5
)3log(
1-d = Antilog 5
)3log( ; -d = Antilog
5
)3log( -1
d = 1- Antilog 5
)3log( ; d = -0.24573
10.-Determine el valor de n en las siguientes ecuaciones usando logaritmos.
117
a) 650,000 (1+0.08)n =2´600,000 ; realizo operaciones numéricas:
(1,08)n = 000,650
2´600,000 = 4 ; (1.08)n = 4 (Aplico logaritmos)
n log(1.08) = log 4
n = )08.1log(
)4log( =
033423755.0
602059991.0 = 18.012937
n = 18.012937
b) 350,000 (1+0.25)-n = 50
(1.25)-n = 000,350
50 ; (1.25)-n = 0.000142857
Aplico logaritmos : -n log(1.25) = log( 0.000142857)
)25.1log(
)000142857.0log(n ;
)25.1log(
)00014857.0log(n
096910013.0
84509804.3n ; n = 39.6770
c) 2018.0
1)18.01( n
(1.18)n = 20(0.18) + 1 ; (1.18)n = 4.6
Aplico logaritmos: n log(1.18) = log (4.6)
)18.1log(
)6.4log(n ;
071882007.0
662757832.0 = 9.220080
n = 9.220080
118
APENDICE 3 PROGRESIONES: APLICACIONES
PROGRESION ARITMETICA.-Es una sucesión de números llamados términos, tales
que dos números cualquiera consecutivos de la sucesión están separados por una
misma cantidad llamada DIFERENCIA COMÚN.
1, 6, 11,16,… es una P.A cuya diferencia común es 5. 40, 36, 32, 28,… es una P.A cuya diferencia común es -4. El último término de una progresión aritmética es :
dntu 11
En la que: u último término de la progresión.
a = 1t = primer término de la progresión.
n Número de términos.
d = diferencia común.
La suma de una progresión aritmética se calcula con la fórmula:
utn
S 12
Aplicaciones
1.- Dada la progresión aritmética 2, 8, 14,… hallar el 15vo término y la suma
de los 15 primeros términos.
Solución.- n 15; d = 6; 1t =2 =a
a) cálculo del último término.
u 1t + (n-1) d
u 2 + (15-1) (6) u 86
b) calculo de la suma
s = n/2 ( 1t +u )
s = 15/2 (2+86) s = 660
Para la suma también podemos aplicar la fórmula.
119
dnttn
s 12
11 dntn
s 122
1
Esta fórmula se obtiene sustituyendo la fórmula del u en s .
Comprobación: 6)115(222
15s s =660.
2.- El primer término de una progresión aritmética es -2; último término es 48 y la
suma es 253. Hallar n y d.
Solución.- 1t =-2; u 48; s =253
s = /2 ( 1t + u )
253= /2 (-2 + 48) = 253*2 / (-2+48)
=11
u = 1t + (n-1) d
48= -2 (11-1) d d = (48+2)/10 = 50/10
d=5
3.- Si se conoce que el quinto término y el séptimo término de una progresión
aritmética son 27 y 35 respectivamente hallar el primer término y la suma de 7
términos.
Solución.- 5t = 27; 7t =35; hallar 1t y 7s
t 1 = 1 er término
t 1 + d = 2 do término
t 1 + 2d = 3 er término
t 1 + 4d = 4 to término
7t = 1t + 6d = 35 1
5t = 1t + 4d = 7 2 *(-1)
n
n n
n
120
1 - 2
6d – 4d = 35-27
( 1t +6d) – ( 1t + 4d) = 35-27
2d = 8 d = 8/2 d = 4
1t =35 - 6d 1t =35 – 6(4) = 35-24
1t =11
7s = 2
7 (35 + 11) 7s
= 161
Hemos aplicado para la suma s = n/2 ( 1t + u ) ; =7
4.- Artesa obtiene un crédito por 24,000 usd que debe ser cancelado mediante 24
pagos mensuales de 1,000 usd más los intereses del 1.5% mensual sobre saldos
insolutos. ¿Qué cantidad de interés debe pagar la empresa (total)?.
Solución.- C = 24,000; i = 0.015; t = 24 meses
1er pago: capital = 1,000; interés = c i t = 24,000 * 0.015 * 1 = 360
Capital + interés = 1,000 + 360 = 1,360
2do pago: capital = 1,000; I = c i t = 23,000 * 0.015 * 1 = 345
Capital + interés = 1,000 + 345 = 1,345
3er pago: capital = 1,000; interés = c i t = 22,000 * 0.015 * 1 = 330
Capital + interés = 1,000 + 330 = 1,330
Y así sucesivamente,…
Entonces tenemos una progresión aritmética en la que:
1t = 360; d= (-15); = 24
s = (n/2) dnt )1(2 1
s = ( 24 / 2) [ 2(360) + (24-1) (-15) ] => S = 4,500 usd
s = suma del total de interés = 4,500 usd.
n
n
121
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.- es una sucesión de números llamados términos, tales
que 2 números consecutivos cualesquiera de la sucesión guardan un cociente o una
razón común, es decir que cualquier término puede ser obtenido multiplicando el
término anterior por la razón común.
2, 4, 8, 16,… es una progresión geométrica con razón común 2.
-3, 6, -12, 24,… es una progresión geométrica con razón común -2.
El ultimo término se calcula con la fórmula:
1
1
nrtu
en donde :
u =ultimo término de la progresión geométrica.
a = 1t = primer término
= número de términos
“formula para calcular cualquier término”
La suma de una progresión geométrica se calcula con la siguiente fórmula:
1
11
r
rtS
n
Si r >1 una progresión geométrica es decreciente si la razón común r es menor que 1.
r
rtS
n
1
11
Si r < 1 una progresión geométrica es creciente si la razón común r es mayor que 1.
Aplicaciones
1.- Determinar cual seria la progresión geométrica de 6 términos en la que 1t =4;
r = 5
Solución.- 4, 20, 100, 500, 2,500., 12,500.
2.- Determinar cual sería la progresión geométrica de 7 términos en la que 1t =
200 y r = ½
Solución.- 200, 100, 50, 25, 12.5, 6.25, 3.125
n
122
3.- hallar el 8vo término y la suma de los 8 primeros términos de la progresión
geométrica 3, 9, 27, …
Solución.- 1t =3; n=8; r = 3>1
840,913
133
1
1 8
1 SSr
rtS
n
u = 561,63*3 181
1 uurt n
4.- hallar el sexto término y la suma de los 6 primeros de la progresión
geométrica:1
03.01 , 32
03.01,03.01 ,…
Solución.- 1t = 1
03.01 ; r = 1
03.01 ; =6
16111
1 03.0103.01urtu n
51603.103.103.1 uu
837484.0)03.1( 6 uu
r
rtS
n
1
11
r < 1 1)03.1( = 0.970874
1
61
1
03.011
03.011)03.01(S
1
61
)03.1(1
)03.1(1)03.1(S S=5.417192
5.- El primer término de una progresión geométrica es 150 y el último término es
4.6875 si la razón es ½ , hallar y S.
= número de términos
Solución.- 1t = 150; tn = u = 4.6875; r = ½.
a) 1
1
nrtu 4.6875 = 150 (½ )1n
(0.5) 1n
= 4.6875*150 = 0.03125
(n-1) log (0.5)= log 0.03125
n
n
n
123
15.0log
03125.0log
5.0log
03125.0log1 nn
-1.50515
n = +1 =>n=5 +1 => n = 6
-0.30103
b) cálculo de la suma de términos S.
COMO r = ½ < 1 tenemos:
)2/1(1
)2/1(1150
1
1 6
1 Sr
rtS
n
5.0
984375.0150S S = 295.3125
6.- El tercer término de una progresión geométrica es 18.75 y el octavo término
es 1,831.054688. Hallar el décimo término y la suma de los 10 primeros términos.
Solución: ??;;054688.831,1;75.18 101083 Sttt
1
1
n
n rttu Fórmula general del último término.
Por consiguiente:
054888.831,1
75.18
7
18
18
18
2
13
13
13
rttrtt
rttrtt
22
31 /75.181/ rtrtt
7
2
75.18r
r1,831.054888
18.755r =1,831.054888
5r 1,831.054888/18.75
5r =97.65625 r = (97.65625)5/1
r =2.5
124
2
1rt = 18.75 1t = 18.75/(2,5)2
= 3
1t = 3.
Para encontrar 10t aplicamos la fórmula del último término.
10t =9
110
110
110
1
1 rttrttrt n
10
9
10 )5.2(3 tt 11,444.0918
Para encontrar la suma 10S usamos la fórmula:
1
11
r
rtS
n
Por cuanto r = 2,5 >1
SSS5.1
743164.535,93
15.2
1)5.2(3
10
19,071.48633
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA INFINITA
Es una forma particular de una progresión geométrica y que se presenta cuando la
razón esta entre los límites -1 y 1 es decir: -1 < r < 1.
En una progresión geométrica infinita no se puede determinar el valor del último
término pero sí la suma de los términos con la siguiente ecuación:
r
tS
1
1 a= 1t
Aplicaciones
1.- Hallar la suma de la progresión geométrica infinita
2; 0.5; 0.125; 0.03125;…
Solución.- s =? ; r = ¼ ; 1t =2
125
3
8
4/3
2
4/14/4
2
4/11
2
1
1 Sr
tS 2.666666667
2.- Hallar la suma de las progresión geométrica infinita.
,...)1(,)1(,)1(,)1( 4321 iiii
Solución.- 1t =1)1( i , r =
1)1( i < 1
iiiS
ii
i
ii
iS
i
i
i
iS
r
tS
1
11
1
1)1(
1
)1()1(
)1(
)1()1(
)1(
)1(
)1(*
)1(1
)1(
1
0
0
11
11
1
1
1
S = 1
i
Aplicaciones adicionales de progresiones: aritméticas, geométricas y
geométricas infinitas.
3.- Hallar el primer término y la suma de los 32 primeros términos de una
progresión aritmética, si se conoce que el 3er término es 15 y el 8vo término es
40.
Datos
Progresión Aritmética
a =t1 = ? (primer término de la P.A.)
S32= ? (suma de los 32 términos)
n = 32 términos (número de términos de la P.A.)
t3 = 15 (tercer término)
t8= 40 (octavo término)
Solución
126
Por concepto, cualquier término de una progresión aritmética se halla así:
t3 = t1 + 2d = 15 Ecuación 1
t8 = t1 + 7d = 40 Ecuación 2
Debemos resolver un sistema de 2 ecuaciones; con 2 incógnitas:
Ecuación 1 t1 + 2d = 15
Ecuación 2(-1) -t1 - 7d = -40
-2d = -25 ; d= 25/5 ; d=5
d = 5 (diferencia común)
Reemplazo en la ecuación 1
t1 + 2(5) = 15 ; t1 = 15-10 ; t1 =5 (primer término)
Cálculo el último término de la P.A. (u=tn)
u= tn = t1 + ( n-1) d
t32 = t1 + 31d ; t32 = 5 + 31 (5)
t32 = 160
Cálculo la suma de 32 términos de la P.A.
S = n (t1 + t32 )
2
S32 = 32 (5+160) ; S32 = 2,640 usd
2
4.- Hallar el 25avo. término y la suma de los 25 primeros términos de la
progresión aritmética:
Datos
t1 t2 t3 ……... tn
Progresión aritmética : - 5ax, - 1.5ax, 2ax,.....
127
t25 = ? (término número 25)
n25 = 25 (número de términos)
S25 = ? (Suma de 25 términos)
Solución
d= diferencia común (la progresión aritmética se obtiene restando cualquier término
del anterior).
d= 2ax – ( -1.5ax) ; d= 3.5 ax
Calculo el término 25
t25 = t1 + 24d ; t25 = -5ax + 24(3.5ax)
t25 = -5ax + 84ax ; t25 = 79ax
Calculo la suma de 25 términos
S25 = n (t1 + t25 ) ; S25 = 25 (-5ax + 79ax)
2 2
S25 = 25 (74ax) ; S25 = 925ax
2
5.- Determinar el 15avo término y la suma de la progresión aritmética
Datos t1 t2 t3 t4 t5……... tn
Progresión aritmética: 3, 6, 9, 12, 15, …...
t15 = ? (décimo quinto término)
n = 15 (número de términos)
S15 = ? (suma de 20 términos)
Solución.- calculo el término quince t15 (último término)
d = diferencia común = 6-3 = 3
128
t15 = t1 + 14d ; t15 = 3+14(3) ; t15 = 55
t15 = 55
Calculo la suma de 15 términos
S = n (t1 + tn ) ; S15 = n (t1 + t15)
2 2
S15 = 15 (3+55) = 435
2
S15 = 435
6.- Determine el último término y la suma de la progresión aritmética
Datos
u = t20 = ? (último término)
n = 20 (número de términos de la P.A.)
S20 = ? (suma de 20 términos)
Progresión Aritmética = P.A. = 56,51,46,41…..
Solución
d = diferencia común = 51 – 56 = -5
Calculo el último término u= t20
u = t20 = t1 + 19d
t120 = 51+19 (-5) ; u = t20 = -39
Calculo la suma de 20 términos
S20 = n (t1 + t20 ) ; S20 = 20 51 + (-39)
2 2
S20 = 170
7.- El primer término de una progresión aritmética es -6 y el último término es 84.
Calcular n y d sabiendo que la suma de los términos es 585.
Datos
129
t1 = -6 ( primer término)
u = tn = 84 (último término)
Sn = 84 (suma de los términos)
n = ?
d = ?
Solución
Este caso se trata de una progresión aritmética, la suma se calcula así.
S = n (t1 + tn ) ; reemplazo los valores ; 585 = n (-6 + 84 )
2 2
n = 2(585) ; n = 15
78
t15 = t1 + 14d = 84 ( último término)
-6 +14d = 84 ; d = 84+6
14
d= 6.428571429
8.- Una persona obtiene un préstamo de 18,000 usd, que debe cancelar
mediante 12 pagos mensuales de 1,500 usd sobre saldos insolutos, a razón del
2% mensual. Qué interés total paga por el préstamo. Aplique progresiones
Datos
v/préstamo = 18,000 usd
n = 12 (número total de pagos mensuales)
valor de cada pago mensual = 1,500 usd + intereses
i = 2% mensual (tasa de interés)
Valor de los intereses = ?
130
Solución
i= 2% mensual = 0.02 mensual
I = c i t (fórmula para calcular el interés )
I = interés
c = capital (valor / préstamo)
i = tasa de interés
t = tiempo
Interés del I mes: I= 18,000*0.02*1= 360
Saldo insoluto = 18,000- 1,500= 16,500
Interés del II mes: I=16,500*0.02*1= 330
Saldo insoluto= 16,500-1,500= 15,000
Interés del III mes: I= 15,000*0.02*1= 300
y así sucesivamente. De esta manera podríamos calcular mes a mes los intereses del
préstamo, sobre saldos insolutos (saldos diferidos), sin embargo se puede observar
que los valores de los intereses corresponden a una progresión aritmética; de la
siguiente manera:
t1 , t2 , t3 ……………..……tn
360, 330, 300, ……… en la cual
t1 = a = 360 (primer término)
d = 330-360 = -30 (diferencia común)
u = tn = ? (último término)
S12 = ? (suma de 12 términos) ( total de intereses)
n= 12 (número de términos = 12 meses)
Calculo el último término
u = t12 = t1 + (n-1) d
u = t12 = 360 + (12-1) (-30) ; u = t12 = 30
Calculo la suma de 12 términos
S12 = n (t1 + t12 ) ; S12 = 12 (360+30) ; S12 = 2,340
2 2
131
S12 = 2,340 usd ( valor total de intereses)
9.- Una progresión geométrica tiene como primero y último término t1=80 y
tn=u=1.25. determinar n y s sabiendo que la razón es igual a 0.5.
Datos
a = t1 = 80 (primer término)
u = tn = 1.25 (último término)
r = 0.5 <1 (razón menor que 1)
n = ? (número de términos)
S = ? (suma de los términos)
Solución
Para calcular n usamos la fórmula del último término
tn = u = t1 = r 1n reemplazo los valores
tn = 80(0.5)1n = 1.25
(0.5)1n = 1.25 ; (0.5)
1n= 0.015625
80
Calculo n aplicando logaritmos
(n-1) log(0.5) = log(0.015625)
)5.0log(
)015625.0log(1n ; 1
)5.0log(
)015625.0log(n
1301029596.0
806179974.1n ; n = 7
132
Calculo la suma: como r = 0.5 < 1 aplico la siguiente fórmula:
S = t1 1-rn
1-r
S = 80 1-(0.5)7
; S = 158.75
1-0.5
10.- Una progresión geométrica cuenta entre sus términos a t3 = 8 y t6 = 512.
Determinar el valor del octavo término y la suma de los 8 primeros términos.
Datos
t3 = 8 (tercer término)
t6 = 512 (sexto término)
t8 = ? (octavo término)
S8= ? (suma de 8 términos)
n= 8 (número de términos)
Solución: por concepto de P.G. el tercer y sexto término se calculan así:
t3 = t1 r13=8 Ecuación 1
t6 = t1 = r16=512 Ecuación 2
Despejo t1 en la ecuación 1
t1 r2
=8 ; t1 = 8 / r2
Reemplazo en la ecuación 2
t1 r5=512 ; (8 / r
2) r
5=512 ; r
3= 512/8 ;
r3= 64 ;
3 3r = 3 64 ; r = 4
Reemplazo en la ecuación 1
t1 (4)2
=8 ; t1 8 ; t1= 1
133
16 2
Calculo el último término t8
t8 = t1 r 1n; t8 = t1 r
18; t8 =( ½)(4)
7
t8 =8,192
Calculo la suma de los 8 términos S8
Como r =4>1 utilizo para la suma la fórmula:
S = t1 rn
-1 ; S8 = ½ 48-1
r-1 4-1
S8= 10,922.50
11.- La inflación de un país se ha incrementado en un 15% en promedio durante
los últimos 10 años. ¿Cuál es el precio actual de un bien que tenía un precio de
1,500 usd hace 10 años?
Solución
Podemos resolver el problema como una progresión geométrica (P.G.) en la cual:
n =11 ( 10 años de inflación promedio más el actual)
t1 =1,500 (precio inicial)
t11 =? (precio actual, es el último término)
r = (1+0.15)= 1,15>1 (inflación año a año)
u = t11 = t1 r1n ; t11=1,500(1.15)
111
t11= 6,068.34
Es evidente que el precio del bien se haya cuadriplicado en ese tiempo, por cuanto la
inflación promedio es del 15% y la misma se calcula sobre lo del año anterior, lo que a
su vez fue sobre la del año anterior y así sucesivamente.
12.- Determine la suma de las siguientes progresiones geométricas infinitas:
▪ 1, 1/5, 1/25, 1/125,….
En la progresión geométrica infinita la razón (r) se calcula igual que la progresión
geométrica.
134
1
5/1r = 1/5
r
S1
t1 ;
5/11
1S ;
5
15
1 S ; S= 5/4
▪ 1, 1/6, 1/36, 1/216,….
1
6/1r = 1/6
r
S1
t1 ; 6/11
1S ; ; S= 6/5
▪ (1+i)-2.5 ; (1+i)-5 ; (1+i)-7.5 ; (1+i)-10,……
5.2
5
)1(
)1(
i
ir ; r =
)5.2(5)1( i =5.2)1( i
r
S1
t1 ; 5.2
5.2
)1(1
)1(
i
iS ;
5.2
5.2
)1(
11
)1(
i
iS ;
5.2
5.2
5.2
)1(
1)1(
)1(
i
i
iS ;
1)1(
)1()1(5.2
5.25.2
i
iiS ;
1)1(
)1(5.2
5.25.2
i
iS ;
1)1(
)1(5.2
0
i
iS ;
1)1(
15.2i
S
6
16
1 S
135
APENDICE 4 INTERES SIMPLE: APLICACIONES
1.- Una empresa distribuye maquinaria, cuyo precio de oferta es de 125,000 usd. La venta se
realiza con una cuota inicial del 25% del precio de oferta y el saldo se debe cancelar en un
plazo de 24 meses. Aplicando los métodos lagarto y de saldos deudores, determinar la cuota
fija mensual que debe pagar el comprador, si se considera una tasa de interés simple anual
del 12%
Datos
v/nominal= 125,000(precio de oferta)
C/I= 25% v/nominal (cuota inicial)
Plazo = 24 meses (número de cuotas mensuales)
Cuota Fija mensual= ? con método lagarto y de saldos deudores
i = 12% (interés simple anual)
Solución
Saldo = v/nominal – C/I
Saldo = 125,000 – 0.25(125,000)
Saldo 125,000 – 31,250
Saldo = 93,750 usd
a) Método Lagarto
Aplico la fórmula del monto a interés simple
M= C (1+i t )
M= 93,750 (1+0.12*24/12)
M= 116,250 usd
Cuota Fija mensual cuotas
M
#
24
250,116= 4,843.75 usd
Cuota fija mensual = 4,843.75 usd
a) Método de Saldos Deudores
136
Cuota mensual sin intereses cuotas
M
# 25.906,3
24
750,93
Calculo los intereses sobre saldos deudores con la fórmula:
I = C i t i = 0.12/12= 0.01 mensual
I Mes: I = 93,750*0.01*1 =937.50
Valor cuota I Mes = C+I = 3,906.25+937.50 =4,843.75
II Mes: Saldo Insoluto = 93,750-3,906.25=89,843.75
I = 89,843.75*0.01*1=898.44
Valor cuota II mes = C+I = 3,906.25+898.44=4,804.69
III Mes: Saldo Insoluto = 89,843.75-3,906.25=85,937.50
I = 85,937.50*0.01*1=859.38
Valor cuota III mes = C+I = 3,906.25+859.38=4,765.63
Y así sucesivamente podemos calcular mes a mes el valor de cada cuota; sin embargo
analizando los resultados observamos que podemos obtener estos valores mediante una
progresión aritmética con los siguientes datos:
a= t1 = 4,843.75 ; n =24 ; d = 4,804.69-4,843.75= -39.06
Calculamos la suma de 24 términos.
S24 = n (t1 + t24 ) Para aplicar ésta fórmula debemos hallar el último término (t24).
2
u = t24 = t1 +(n-1) d ; t24 = 4,843.75 +(24-1) (-39.06) = 3,945.37
S24 = 24 (4,843.75+3,945.37 )
2
S24 = 105,469.44
Cuota Fija mensual cuotas
S
#
24 56.394,4
24
44.469,105
Cuota Fija mensual = 4,394.56 usd
137
Nota: Para comprobar los resultados se verifica que sean iguales por los 2 métodos los valores
de la primera cuota y que en este caso son de 4,843.75 usd.
2.- Una empresa suscribió un pagaré de 320,000 usd el 12 de abril un plazo de 120 días
desde su suscripción y con una tasa del 8% anual de interés simple. Establecer cuál será el
valor actual o precio del pagaré al 17 de junio, fecha en la que se negocio el documento
financiero. Elabore una gráfica.
Datos
v/nominal: 320,000 usd (valor a la suscripción)
F/suscripción : 12 de abril (Fecha a la suscripción)
Plazo: 120 días (tiempo desde la suscripción)
i = 8% (tasa de interés simple anual)
C= ? (valor actual del documento)
F/negociación : 17 de junio (Fecha de negociación)
Gráfica= ?
Solución: i = 8%
i = 8%
M= 328,533.33
v/nominal = 320,000 c = 324,637.68
12 /Abril t = 54 días 120 días
17/junio 10/ Agosto
Calculo el monto del documento: M= C(1+i t)
M = 320,000(1+0.08*120/360) = 328,533.33
Calculo la fecha de vencimiento(con tiempo exacto, año calendario):
Abril 18
Mayo 31
Junio 30
138
Julio 31
Agosto 10
120 (días)
Calculo el tiempo exacto entre el 17 de junio y el 10 de Agosto que es la fecha de negociación y
la fecha de vencimiento.
Junio 13
Julio 31
Agosto 10
54 (días)
Finalmente calculo el valor actual a la fecha de negociación que es el 17 de Junio.
C = M (1+i t)-1
C = 328,533.33(1+0.08*54/360)-1 = 324,637.68
C = 324,637.68 usd
3.-Una empresa suscribió un pagaré por 520,000 usd el 19 de julio a 90 días plazo y con una
tasa de interés simple anual del 10%. El documento fue descontado el 10 de septiembre a
una tasa de interés simple del 1.2% mensual. Calcular el valor del descuento racional y
elaborar una gráfica.
Datos
v/nominal = 520,000 usd (valor a la suscripción)
F/suscripción = 19 de Julio (Fecha a la suscripción)
Plazo = t = 90 días (tiempo total)
i = 10% (tasa de interés simple anual para calcular el Monto)
F/negociación= 10 de Septiembre (Fecha en que se descontó el documento)
i =1.2% mensual =0.012 mensual (tasa d interés simple mensual para calcular el valor
actual).
Dr = ?
Gráfica: i = 10%
i = 1.2% mensual
139
M= 533,000
v/nominal = 520,000 Dr= 7,773.35
0 C = 525,226.65
19 /Julio t = 37 días _ 90 días
10/Sept. 17/ Octub.
Calculamos el Monto: M= c (1+i t )
M = 520,000(1+0.10*90/360) = 533,000 usd.
Determino la fecha de vencimiento (Calculo con tiempo exacto)
J ulio 12
Agosto 31
Sept. 30
Octubre 17
90 (días)
Calculo el tiempo exacto entre el 10 de Septiembre y el 17 de Octubre.
Septiembre 20
Octubre 17
37 (días)
Calculo el valor Actual al 10 de septiembre C = M (1+i t)-1
C = 533,000(1+0.012*37/30)-1 = 525,226.65
Calculo el descuento racional Dr= M – C
Dr = 533,000- 525,226.65 = 7,773.35
Dr = 7,773.35 usd
4.-Una empresa recibe una letra de cambio el 12 de enero por un valor de 370,000 usd a un
plazo de 180 días y con una tasa de interés mensual simple del 1.4% desde su suscripción.
Establecer cuál será el valor actual del documento al 27 de mayo si se reconoce una tasa de
interés simple del 1.5% mensual. Graficar.
Datos
140
v/nominal = 370,000 usd (valor a la suscripción)
F/suscripción = 12 de Enero (Fecha a la suscripción)
Plazo = t = 180 días (tiempo desde la suscripción)
i =1.4% mensual =0.014mensual (tasa de interés simple mensual para calcular el Monto)
c = ? (valor Actual del documento)
f/negociación = 27 de mayo (fecha de negociación)
i = 1.5% mensual=0.015mensual (tasa de interés simple mensual para calcular el valor actual)
Gráfica: i = 0.014 mensual
i = 0.015 mensual
M= 401,080
v/nominal = 370,000 c= 392,254.28
0
12 /Enero t = 45 días 180 días
27/Mayo 11/ Julio
Calculamos el Monto: M= C (1+i t )
M= 370,000(1+0.014*180/30) = 401,080
Determino la fecha de vencimiento (calculo con tiempo exacto)
Enero 19
Febrero 28
Marzo 31
Abril 30
Mayo 31
Junio 30
Julio 11
180 (días)
Calculo el tiempo exacto entre el 27 de mayo y el 11 de julio
Mayo 4
141
Junio 30
Julio 11
45 (días)
Calculo el valor Actual al 27 de Mayo: C = M (1+i t)-1
C = 401,080 (1+0.015*45/30) -1 = 392,254.28
C = 392,254.28 usd
5.-Una empresa obtiene un préstamo por 600,000 usd a 30 meses plazo y con una tasa de
interés del 1.3% mensual.
Datos
v/préstamo = 600,000 usd
t = 30 meses (plazo del préstamo. Número de cuotas)
i = 1.3% mensual = 0.013 mensual (tasa de interés simple mensual)
Calcular: a) La cuota fija mensual por el método lagarto.
b) Elabore una tabla financiera de las 10 primeras cuotas por el método
de saldos deudores.
Solución
a) Método Lagarto M = C(1+i t)
M= 600,000(1+0.013*30) = 834,000
Cuota Fija mensual cuotas
M
# 800,27
30
000,834
Cuota Fija mensual = 27,800 usd
b) Método Saldos deudores.
Cuota mensual sin intereses cuotas
préstamov
#
/ USD000,20
30
000,600
Intereses: I= C i t
I Cuota= C+I ; 20,000+600,000*0.013*1=27,800
Saldo Insoluto = 600,000-20,000= 580,000 usd
II Cuota = C+I ; 20,000+580,000*0.013*1=27,540
142
Saldo Insoluto = 580,000-20,000= 560,000 usd
III Cuota = C+I ; 20,000+560,000*0.013*1=27,280
Y así sucesivamente.
b) Tabla Financiera 10 primeras cuotas i = 0,013 mensual
PERIODO(Mes) DEUDA INTERÉS CAPITAL CUOTA
1 600,000 7,800 20,000 27,800
2 580,000 7,540 20,000 27,540
3 560,000 7,280 20,000 27,280
4 540,000 7,020 20,000 27,020
5 520,000 6,760 20,000 26,760
6 500,000 6,500 20,000 26,500
7 480,000 6,240 20,000 26,240
8 460,000 5,980 20,000 25,980
9 440,000 5,720 20,000 25,720
10 420,000 5,460 20,000 25,460
6.-Una empresa distribuye automóviles, cuyo precio de lista es 23,000 usd los autos
se comercializan con una cuota inicial del 20% del precio de y el saldo a 36 meses plazo, con
una tasa de interés del 12% anual simple.
Datos
PL = 23,000 usd (Precio de Lista)
C/I = 20% PL (cuota Inicial)
t = 36 meses (plazo = Número de cuotas)
i = 12% anual (tasa de interés simple anual)
Calcule: a) La cuota fija mensual por el método lagarto.
143
b) Las 12 primeras cuotas por el saldo deudor.
c) Valor de los intereses por ambos métodos.
a) Método Lagarto
Saldo = PL- C/I
Saldo = 23,000-0.20(23,000) =23,000-4,600
Saldo = 18,400
M= C(1+i t) ; M= 18,400(1+0.12*36/12)
M = 25,024 usd
Valor de la cuota mensual cuotas
M
# 11.695
36
024,25
Valor Cuota Fija mensual = 695.11 usd
b) Método de Saldos deudores
Cuota Fija sin interesescuotas
saldo
# 11.511
36
400,18
Tabla Financiera 12 primeras cuotas
PERIODO(Mes) DEUDA INTERÉS CAPITAL CUOTA
1 18,400.00 184.00 511.11 695.11
2 17,888.89 178.89 511.11 690.00
3 17,377.78 173.78 511.11 684.89
4 16,866.67 168.67 511.11 679.78
5 16,355.56 163.56 511.11 674.67
6 15,844.44 158.44 511.11 669.55
144
7 15,333.33 153.33 511.11 664.44
8 14,822.22 148.22 511.11 659.33
9 14,311.11 143.11 511.11 654.22
10 13,800.00 138.00 511.11 649.11
11 13,288.89 132.89 511.11 644.00
12 12,777.78 127.78 511.11 638.89
c) Valor de los Intereses por ambos métodos
Método Lagarto
Interés = Monto – Saldo
= 25,024 – 18,400 ; Interés = 6,624 usd
Método Saldos Deudores
Los intereses calculamos con una progresión aritmética en donde:
a = t1 = 184 ; n=36 ; d= 173.78-178.89 = -5.11
u = t36 = t1 +(n-1)d
u = t36 = 184+(36-1) (-5.11) ; t36 = 5.15
S36 = n (t1 + t36) ; S36 = 36 (184+5.15)
2 2 S36 = 3,404.70 usd (valor total de los intereses)
7.-Establecer cual fue la cantidad de dinero que colocado al 3.25% de interés simple
trimestral se transformó en 150,500 usd en 9 meses.
Datos
C = ? (cantidad de dinero colocado)
i = 3.25% trimestral
i = 0.0325*4=0.13 anual
M= 150,500
145
t = 9 meses
Solución i = 0.13 anual
M= 150,500
C = 137,129.84
0
0 9 meses
Calculamos el Monto: M= C(1+i t )
150,500= C(1+0.13*9/12)
150,500= C(1.0975)
;0975.1
500,150C C= 137,129.84 usd (cantidad de dinero colocada)
8.-Determinar la cantidad de dinero que debe solicitar una empresa a un banco a una tasa
de interés del 6.5% semestral si requiere que hoy le entregue 325,000 usd con un plazo de
180 días. Determine cuál es el interés pagado por la empresa y grafique.
Datos
M = ? (valor que debe solicitar)
i = 6% semestral = 0.06 semestral (tasa de interés simple semestral)
C = 325,000 usd (valor que recibe, valor actual)
t = 180días (plazo de la transacción)
I = ? (Interés total pagado)
Gráfico:
Solución:
Calculo el Monto (M)
146
M=C(1+i t)
M= 325,000(1+0.06*180/180) = 344,500
M= 344,500 usd (valor que debe solicitar)
Calculo el interés simple.
I = M-C ; I = 344,500-325,000 = 19,500 usd
I = 19,500 usd ( Interés Total)
i = 0.06 semestral
M= 344,500
C = 325,000 I = 19,500
0 180 (días)
9.Calcular en que tiempo en años, meses y días se incrementará en 120,000 usd un capital de
730,000 usd que fue colocado al 11.75% de interés simple anual.
Datos
t = ? (año, mes, día) (plazo total de la inversión)
I = 120,000 usd (Interés total generado)
C = 730,000 usd (capital inicial invertido)
i =11.75% (tasa de interés simple anual)
Solución
i = 0.1175
M= 850,000
C = 730,000 I = 120,000
147
Calculo el monto
M= C+I ; M= 730,000+120,000 = 850,000 usd
M= 850,000 usd
Calculo el tiempo de la inversión
I = C i t ; 120,000= 730,000*0.1175*t
;1175.0*000,730
000,120t t = 1.399009035 años
0.399009035*12 = 4.788108423 meses
0.788108423*30= 23.64 días
t = 1 año, 4 meses, 24 días
10.-Una empresa cancelo 13,750 usd en intereses por un documento financiero de 102,725
usd que fue suscrito al 5.35% de interés simple semestral. Calcule el monto señalado y el
tiempo transcurrido en años, meses y días. Grafique.
Datos
I = 13,750 usd (Interés del período)
C = 102,725 usd (valor a la inversión)
i = 5.35% semestral = 0.0535 semestral (tasa de interés simple semestral)
M = ? (Monto de la inversión)
t = ? (a.m.d.) (Plazo total)
Solución
i = 0.107 anual
M= 116,475
C = 102,725 I = 13,750
148
i = 0.0535 semestral *2
i = 0.107 anual
Calculo el monto de la inversión
M= C+I ; M= 102,725+13,750= 116,475 usd
M= 116,475 usd
Calculo el tiempo de la operación
I = C i t ; ;Ci
It ;
107.0*725,102
750,13t t = 1.25095812 años
0.25095812*12 = 3.011497442 meses
0.011497442*30 = 0.344923272 días
t = 1año, 3 meses, 0 días.
11.-Demostrar que el interés simple exacto, es igual al interés simple ordinario,
disminuido en 73
1 de si mismo.
Solución
Ie = Interés simple exacto = 365
)(Cit
Io = Interés simple ordinario = 360
)(Cit
De la relación 365
360
360/)(
365/)(
Cit
Cit
Io
Ie
73
72
365
360
Io
Ie
Io
Ie
Ie = Io (73
72 ) Ie = Io (73
173
73 )
Ie = 73
73 Io-
73
1 Io
Ie = Io - 73
1 Io Ie = Io – (
731 ) Io
12.-Determinar, de acuerdo con el sistema bancario, el interés simple sobre 5,000
usd, al 8 4
3 % durante 120 días.
149
Solución:
Planteamos dos soluciones.
a.- I = c i t = 5,000 * 0.0875 * 360
120 = 145.83 usd.
b.- la solución se basa en el hecho de que el interés simple ordinario sobre un capital C
cualquiera al 6% durante 60 días, es de 0.01 C; en consecuencia 5,000 usd será:
Interés al 6% durante 60 días es: 0.01 C = 0.01 (5,000) = 50usd.
Interés al 6% durante 120 días es: 2 (50) = 100 usd.
Interés al 8% durante 120 días es: 6
8(100) = 133.33 usd.
Interés al 4
3 % durante 120 días es: 6
4/3 (100) = 12.50 usd.
Por tanto: el interés al 84
3 % durante 120 días es:
133.33 + 12.50 = 145.83 usd
Pagos parciales: Es el caso en el que las obligaciones financieras se cumplen mediante
una serie de pagos parciales, dentro del período de la obligación en lugar de un pago
único en la fecha de vencimiento. El problema se concentra en hallar la cantidad por
liquidar en la fecha de vencimiento. La solución se realiza por dos métodos: el método
comercial y el de los EE.UU.
13.-Una deuda de 3,000 usd con intereses al 6% vence en 9 meses. Si se pagan 1,000
usd después de 4 meses y 1,200 usd tres meses más tarde, hallar el saldo insoluto en
la fecha de vencimiento aplicando: La regla comercial y la regla de los Estados
Unidos.
a.- Regla comercial.
Primera solución: Deuda original 3,000 usd
Interés 9 meses 135 I = C it = 3,000 * 0.06 * 12
9 = 135 usd
Monto 3,135 usd
Primer pago parcial 1,000 usd
Interés 4 meses 25 I = C i t = 1,000 * 0.06 *12
5 = 25 usd
Segundo pago parcial 1,200
Interés 2 meses 12 I = C i t = 1,200 * 0.06 *12
2 = 12 usd
150
Suma de los pagos parciales 2,237 usd
Saldo de la deuda en la fecha de vencimiento: 3,135 – 2,237 = 898 usd
Segunda solución:
Escribimos una ecuación de valor:
f.f
M = C(1+ i t) = 3,000(1+0.06*9/12)=3,135 usd
M = 3,135 1,000 1,200
0 4 7 9 (meses)
X
Ecuación de valor
M = X + 1,000 (1+0.06*5/12)+ 1,200(1+0.06*2/12)
3,135= X+1,025+1,212
X = 3,135-1,025-1,212
X = 898 usd
b.- Regla de los EEUU.
El interés se calcula sobre el saldo insoluto de la deuda. Si el pago es mayor que el
interés vencido, la diferencia se aplica a reducir la deuda. Si el pago es menor que el
interés vencido el pago se lleva sin interés, hasta que se hagan otros pagos parciales,
cuyo monto exceda al interés vencido, a la fecha del último de dichos pagos parciales.
Solución:
Deuda original 3,000
Interés por 4 meses + 60 I =3,000*0.06*12
4= 60 usd
Suma vencida en 4 meses 3,060
Primer pago parcial -1.000
Saldo debido después 4 meses 2,060
Interés por 3 meses + 30.90 I =2,060*0.06*12
3= 30.90 usd
Suma vencida de 7 meses 2,090.90
151
Segundo pago parcial - 1,200.00
Saldo debido después de 7 meses 890.90
Interés por 2 meses + 8.91 I = 890.90 * 0.06 * 12
2= 8.91 usd
Saldo a la fecha de vencimiento 899.81 usd
Compras a plazos: El comprador hace un pago inicial por los objetos comprados y se
compromete a efectuar un número determinado de pagos parciales.
14.-Un congelador de 475 usd se ofrece mediante una cuota inicial de 175 usd y el
saldo en 11 pagos mensuales de 30 usd cada uno. Establecer aplicando la fórmula
de razón directa, la tasa de interés cargada.
Solución:
i = )1()1(3
6
nInB
mI ( Fórmula de razón directa).
n = # pagos excluyendo el pago inicial.
m = # pagos en un año.
i = Tasa de interés anual .
R = Pago periódico.
B = Saldo debido = valor de contado – cuota inicial.
I = R n – B = cargo por interés.
Para el ejemplo: B = 475 – 175 = 300
m = 12 ; n = 11 ; R = 30;
I = R n – B = 30 * 11 – 300 = 330 – 300 = 30
i = 100,11
160,2
300800,10
160,2
)111(30)111)(300(3
)30)(12(6
i = 0.1946 i = 19.46%.
152
APENDICE 5 DESCUENTOS: APLICACIONES
Un pagaré puede ser vendido una o más veces antes de la fecha de su vencimiento. Cada
comprador descuenta el valor del documento al vencimiento, desde la fecha de la venta
hasta la fecha de vencimiento, a una tasa de descuento fija.
1.- Un documento financiero tiene un valor nominal de 270,000 usd y un vencimiento de 150
días y fue suscrito con una tasa de interés simple del 1.1% mensual. Calcular el descuento
racional y el valor efectivo. Graficar.
Datos
v/nominal = 270,000 usd (valor a la suscripción)
plazo = 150 días (plazo de la transacción)
i = 1.1% mensual = 0.011 mensual (tasa de interés simple mensual)
Dr = ? (Descuento racional con tasa de interés i)
Cb = ? (valor efectivo con tasa de descuento d)
Solución
i = d= 0.011mensual
M= 284,850
v/nominal = 270,000
0 150 (días) Cb=269.183,25
Dr.14.850
Cuando no tenemos tasa de descuento como dato se considera que:
i = d = por consiguiente para este caso
i = d = 1,1% mensual
M = C(1+i t) ; M = 270,000(1+0,011*150/30) = 284,850
153
Dr = M-C ; Dr = 284,850-270,000 = 14,850
Dr = 14,850 usd (descuento racional con tasa de interés)
Calculo el valor efectivo
Cb = M(1- dt) ; Cb = 284,850 (1-0.011*150/30)
Cb= 269,183.25 usd (valor efectivo que recibe con tasa de descuento)
2.-Calcular el valor actual, el valor efectivo, el descuento racional y el descuento
bancario de un documento financiero que fue suscrito por un valor de 75,000 usd
180 días plazo y con una tasa de interés simple del 0.85% mensual, si fu
descontado 70 días antes de su suscripción. Graficar.
Datos
C = ? (valor actual con tasa de interés i)
Cb = ? (valor efectivo con tasa de descuento d)
Dr = ? (Descuento racional con tasa de interés i)
Db = ? (Descuento bancario con tasa de descuento d)
v/nominal = 75,000 usd (valor a la suscripción )
t = 180 días (plazo de la transacción)
i = 0.85% mensual= 0.0085 mensual (tasa de interés simple mensual)
t = 70 días (tiempo de la negociación)
Solución:
a) Calculo el valor actual (C)
M= C(1+i t) ; M= 75,000(1+0.0085*180/30) = 78,825 usd
C = M(1+i t ) 1 ; C= 78,825(1+0.0085*70/30) 1 = 77,292.04 usd
C = 77,292.04 usd (valor actual con tasa de interés)
b) Calculo el valor efectivo (Cb)
154
El valor efectivo se calcula con tasa de descuento (d). Para este caso:
i = d = 0.0085 mensual
Cb = M(1-dt) ; Cb= 78,825(1-0.0085*70/30) = 77,261.64 usd
Cb = 77,261.64 usd (valor efectivo con tasa de descuento)
c) Calculo el descuento racional ( Dr)
El descuento racional se calcula con tasa de interés (i)
Dr = M-C ; Dr = 78,825-77,292.04 = 1,532.96 usd
Dr = 1,532.96 usd
El descuento bancario se calcula con tasa de descuento (d)
Db = Mdt ; Db =78,825*0.0085*70/30 =1,563.36usd
Db = 1,563.36 usd
Nota: El descuento bancario siempre es mayor que el descuento racional.
Gráfica: i = 0.0085 mensual
i=d = 0.0085 mensual
M= 78,825
v/nominal = 75,000
0
0 _ t = 70 días 180 días
3.- Un documento financiero fue suscrito el 12 de febrero sin intereses y por un
valor de 135,000 usd. El documento vence en 140 días y fue descontado el 27 de
marzo a una tasa de interés simple del 0.95% mensual. Calcular: Dr,Db,C,Cb.
Datos
F/suscripción = 12 de Febrero (Fecha a la suscripción sin interés)
v/nominal= 135,000 usd (Valor a la suscripción)
155
t = 140 días (tiempo para el vencimiento)
F/descuento = 27 de marzo (Fecha de la negociación)
i = 0.95% mensual = 0.0095 mensual (tasa de interés simple mensual)
Solución:
i = d = 0.0095 mensual
M= 135,000
v/nominal = 135,000
0
12/Febrero 27/Marzo 2/julio
______ t = 97 días __ 140 días
Calculo el valor actual y el valor efectivo
Como el documento no fue suscrito con tasa de interés, quiere decir que el valor nominal e
igual al valor del vencimiento. Como el documento no establece tasa de descuento quiere
decir
que i = d = 0.0095 mensual.
Determino la fecha al vencimiento y el tiempo de la negociación; con tiempo exacto, es decir
como aparece en el calendario.
Fecha de vencimiento Tiempo de negociación
Febrero 16 Marzo 4
Marzo 31 Abril 30
Abril 30 Mayo 31
Mayo 31 Junio 30
Junio 30 Julio 2
Julio 2 97 (días)
140(días)
C = M(1+i t ) 1 ; C= 135,000(1+0.0095*97/30) 1 = 130,976.83
C =130,976.83 usd (valor actual con tasa de interés i)
156
Cb= M(1-dt) ; Cb = 135,000(1-0.0095*97/30) = 130,853.25 usd
Cb = 130,853.25 (Valor efectivo con tasa de descuento d )
Dr = M-C ; Dr = 135,000-130,976.83 = 4023.17 usd
Dr = 4,023.17 usd (Descuento racional con tasa de interés i )
Db = Mdt = Db = 135,000*0.0095*97/30 = 4146.75 usd
Db = 4,146.75 (Descuento bancario con tasa de descuento d )
4.-Determinar que cantidad de dinero debe solicitar una empresa a un banco, si requiere
125,000 usd a vencer en 150 días, sabiendo que el banco le impone una tasa de descuento
del 6.75% semestral. ¿Cuál sería el valor efectivo que la empresa recibe, si solicita al banco
los 125,000 usd en las mismas condiciones de tasa de descuento y plazo? Grafique.
Datos
a) Cb= 125,000 usd (Valor efectivo que recibe)
M = ? (valor que debe solicitar)
t = 150 días (plazo de la transacción)
d = 6.75% semestral (tasa de descuento semestral)
b) Cb =? (Valor efectivo que debe recibir)
M= 125,000 usd (valor que solicita)
t = 150 días (plazo de la transacción)
d = 6.75% semestral (tasa de descuento semestral)
Solución
d = 6.75% semestral
Cb=125,000 M=132,450.33
157
0 150 (días)
Cb = M(1-d t)
125,000= M(1-0.0675*150/180)
33.450,132)180/150*0675.0(1
000,125M
M= 132,450.33 usd (valor que debe solicitar)
b) d = 6.75% semestral
Cb= 117,968.75 M=125,000
0 150 (días)
Cb = M(1-d t)
Cb= 125,000(1-0.0675*150/180)= 117,968.75
Cb = 117,968.75 usd Respuesta (valor que recibe, le descuentan por anticipado los
intereses).
5.-Una persona solicita un préstamo a un banco por 15,000 usd a 240 días plazo y una tasa
de descuento del 2.3% trimestral. ¿Cuál será el valor efectivo que el banco acreditará en la
cuenta al cliente?
Datos
M = v/préstamo = 15,000 usd
158
t = 240 días
d = 2.3% trimestral d = 0.023 trimestral
Cb= ?
Cb = 14,080 M=15,000
Solución 0 240 (días)
Cb= M(1-dt) ; Cb= 15,000 (1-0.023*240/90) = 14,080
Cb=14,080 usd (valor efectivo que recibe, le descuentan por
anticipado los intereses)
6.-Una empresa descuenta en un banco un pagaré. Recibió 166,666.67 usd, si el
tipo de descuento es del 12% anual y el vencimiento del pagaré era 4 meses
después de su descuento. ¿Cuál era el valor del descuento en la fecha de su
vencimiento?.
Datos
Cb= 166,666.67 usd (valor efectivo recibido)
d= 12% (tasa de descuento anual)
t= 4 meses (tiempo del descuento al vencimiento)
M=? (Monto al vencimiento)
Db=? (Descuento bancario a la negociación)
Solución d=0.12 anual
Cb= 166,666.67 M= 173,611.12
159
4 meses
Calculo el Monto
Cb= M(1-dt)
;1 dt
CbM ;
12/4*12.01
67.666,166M M=173,611.12
M=173.611.12 usd
Calculo el Descuento bancario ( Db)
Db= Mdt ; Db = 173,611.12 *0.12* 4/12 = 6,944.45
Db= 6,944.45 usd
7.-Una empresa descuenta un documento por el cual recibe 945.05 usd.
Si el tipo de descuento es del 10.5% anual y el valor nominal del documento era de 1,000
usd. ¿Cuánto tiempo faltaba para el vencimiento de su obligación? . ¿Cuál es el descuento
real o justo?
Datos
C = 945.05 usd
d = i = 10.5%
M= v/nominal = 1,000 usd
t =?
Solución
Descuento = M-C
Descuento = 1000-945.05
Descuento = 54.95
Descuento = Mit
54.95= 1000*0.105*t
;105.0*000,1
95.54t =0.523333333
160
0.523333333 *12 = 6.28 meses
0.28 * 30 = 8.4 días
t = 0 años, 6 meses, 8 días
t = 6 * 30 + 8 = 188 días
Calculo el Descuento real o justo
M = C(1+it)
M = 945.05 (1+0.105 * 188/360)
M = 996.87
Descuento real o justo = M – C ; 996.87 – 945.05 = 51.82
Descuento real o justo = 51.82 usd.
Nota : A diferencia del descuento comercial, el descuento justo se calcula sobre el valor real
que se anticipa, y no sobre el valor nominal.
8.- Un pagaré de 350,000 usd fue suscrito el 2 de febrero a 150 días plazo y fue
descontado el 17 de mayo del mismo año a una tasa del 14% anual. Calcular el
descuento racional y el descuento bancario y graficar.
Datos
v/nominal = M = 350,000 usd (Valor a la suscripción)
F/suscripción = 2 de febrero (fecha a la suscripción sin interés)
t = 150 días (plazo para el vencimiento)
F/descuento = 17 de mayo (Fecha de la negociación)
i = d = 14% = 0.14 (tasa de descuento anual)
Dr =? (Descuento racional)
Db =? (Descuento bancario)
Gráfico
161
Solución i = d = 0.14
v/nominal=350,000 Dr=? M=350,000
Db=
0 t = 46 150 días
2/febrero 17/mayo 2/julio
Calculo la fecha al vencimiento y el tiempo entre la fecha de descuento y la fecha de
vencimiento; con tiempo exacto, como aparece en el calendario.
Fecha de vencimiento Tiempo de descuento
Febrero 26 Mayo 14
Marzo 31 Junio 30
Abril 30 Julio 2
Mayo 31 46(días)
Junio 30
Julio 2
150(días)
Calculo al valor Actual
C = M(1+i t ) 1 ; C= 350,000(1+0.14*46/360) 1 = 343,848.93
C =343,848.93 usd (valor actual con tasa de interés i)
Calculo el Descuento racional
Dr =M-C ; Dr = 350,000-343,848.93 = 6,151.07 usd
Dr = 6,151.07 usd (Descuento racional con tasa de interés i)
Calculo el descuento bancario.
Db= Mdt ; Db= 350,000*0.14*46/360= 6,261.11 usd
Db= 6,261.11 usd (Descuento bancario con tasa de descuento d)
9.- Un pagaré de 175,000 USD fue suscrito el 10 de enero a 210 días plazo y fue
162
descontado el 25 de mayo del mismo año, con una tasa de descuento del 8% anual.
Calcular el valor efectivo del documento a la fecha de descuento. Graficar
Datos
v/nominal = M = 175,000 (valor a la suscripción)
F/suscripción = 10 de enero (Fecha a la suscripción)
t = 210 días (plazo para el vencimiento)
F/descuento= 25 mayo (Fecha de la negociación)
i = d=8% = 0.08 (tasa de descuento anual)
Cb=? (valor efectivo)
Gráfico
Solución i = d = 0.08
v/nominal=175,000 M=175,000
Cb=?
0 t = 75 210 días
10/enero 25/mayo 8/Agosto
Fecha de vencimiento Tiempo de descuento
Enero 21
Febrero 28 Mayo 6
Marzo 31 Junio 30
Abril 30 Julio 31
Mayo 31 Agosto 8
Junio 30 75 (días)
163
Julio 31
Agosto 8
210 (días)
Calculo el valor efectivo
Cb = M(1-dt) ; Cb= 175,000(1-0.08*75/360) = 172,083.33
Cb = 172,083.33 usd (valor efectivo con tasa de descuento d )
10.- Un documento financiero de 550,000 usd fue suscrito el 10 de abril a 120 días
plazo, se descuenta en la bolsa de valores el 15 de junio del mismo año a una tasa
de descuento del 13% anual. Calcule el precio o valor efectivo del documento.
Calcule el valor actual del documento si se aplica una tasa de interés del 13%
anual.
Datos
v/nominal = 550,000 usd (valor a la suscripción)
F/suscripción = 10 de abril (Fecha a la suscripción)
t = 120 días (plazo para el vencimiento)
F/descuento= 15 de junio (Fecha de la negociación)
d=13% = 0.13 (tasa de descuento para la negociación)
Cb=? (valor efectivo con tasa de descuento)
C = ? (valor actual con tasa de interés)
i = 13% = 0.13 (tasa de interés para cálculo de valor actual)
Solución
i = d = 0.13
164
v/nominal=550,000 Cb=? M=550,000
C=?
0 t = 54 __ 120 días
10/abril 15/junio
Calcula la fecha de vencimiento Calculo Tiempo de descuento
Abril 20 Junio 15
Mayo 31 Julio 31
Junio 30 Agosto 8
Julio 31 54 (días)
Agosto 8
120 (días)
Calculo el valor efectivo (Cb)
Cb = M(1-dt) ; Cb= 550,000(1-0.13*54/360) = 539,275 usd
Cb = 539,275 usd (valor efectivo con tasa de descuento d )
Calculo el valor Actual (C)
C = M(1+i t ) 1 ; C= 550,000(1+0.13*54/360) 1 = 539,480.14 usd
C =539,480.14 usd (valor actual con tasa de interés i).
11.-Cuál es el valor de la venta del siguiente pagaré al Sr. Díaz, 4 meses antes de su
vencimiento, que fue suscrito con las siguientes condiciones:
Fecha de suscripción : 1 de Marzo del 2002.
Plazo : 10 meses
Valor : 10.000 usd
A favor del : Sr. Mora
Tasa de interés : 6% anual
Tasa de descuento : 8% anual
1 de Marzo 1 de Septiembre 1 de Enero
165
Valor nominal Valor venta Valor vencimiento
10,000 usd 10,220 usd 10,500 usd
a.- Cálculo del monto al vencimiento:
M = C ( 1 +17 ) = 10,000 (1 + 0.06 *12
10) = 10,500 usd
b.- Cálculo del valor de la venta en 4 meses:
descuento sobre 10,500 usd al 8% por 4 meses = 10,500 (0.08) * (12
4) = 280 usd.
valor de la venta = monto – descuento
valor de la venta = 10,500 – 280 = 10,220 usd
12.-Aplicando la fórmula del valor presente C = M – D, en la cual
C = capital
M = monto
D = descuento simple
Demostrar que el descuento simple C en t años es: D = Cdt
C
1
Solución:
C = M – D Pero D = M dt C = M – M dt C = M (1 – dt )
Ahora: M =dt
C
1 (1) C = M – D (2)
Ecuación (1) = ecuación (2)
dt
C
1 = C + D D = C
dt
C
1
166
APENDICE 6 ECUACIONES DE VALOR Y CUENTAS DE
AHORRO: APLICACIONES
1.- a) Una empresa tiene las siguientes obligaciones:
75,000 usd a 3 meses con una tasa del 10% anual simple.
100,000 usd a 6 meses con una tasa del 0.75% mensual simple.
50,000 usd a 9 meses con una tasa del 2.75% trimestral simple.
150,000 usd a 12 meses con una tasa del 5.25% semestral simple.
El deudor desea remplazar todas sus obligaciones por un solo pago a
los 9 meses. Determinar el valor del pago único si se considera una
tasa de interés simple del 1.25% mensual. Tomar la fecha focal a los 9
meses.
Datos
Obligaciones originales indicadas
Obligaciones nuevas:
x = Valor pago único a los 9 meses
i = 1.25% mensual (tasa de interés simple anual)
ff=9 meses
Solución
a) Cálculo de los Montos M=c(1+it)
o M1 = 75,000(1+0.1*3/12) = 76,875 o M2 = 100,000(1+0.0075*6) = 104,500 o M3 = 50,000(1+0.0275*9/3) = 54,125 o M4 = 150,000(1+0.0525*12/6) = 165,750
b) Gráfica de Tiempos y valores
i = 1.25% mensual ff
i = 0.0125 mensual C
ff M
167
M1 M2 M3 M4
0 3 6 9 12 (meses)
X
c) Ecuación de valor
x = 76,875(1+0.0125*6)+104,500(1+0.0125*3)+54,125+165,750(1+0.0125*3) 1
x = 82,640.63+108,418.75+54,125+159,759.04 = 404,943.42
x = 404,943.42 usd (Valor del pago único a los 9 meses que reemplaza a
todas las obligaciones originales).
2.-Una empresa vende una hacienda y recibe 3 ofertas:
I oferta: 150,000 usd de contado.
150,000 usd a 1 año plazo.
II oferta: 100,000 usd de contado.
100,000 usd a 6 meses.
100,000 usd a 9 meses.
III oferta: 120,000 usd de contado.
60,000 usd a 3 meses.
60,000 usd a 6 meses.
60,000 usd a 12 meses.
Establecer cuál oferta es la más conveniente para el vendedor si se
considera una tasa de interés del 1.5% mensual simple.
Datos
Ofertas recibidas indicadas
168
Oferta más conveniente ?
i = 1.5% mensual simple
Solución
o I OFERTA Ecuación de valor: C=M(1+it) 1
ff
x =150,000+150,000(1+0.015*12) 1
x = 150,000+127,118.64
150,000 x = 277,118.64 usd
150,000
0 1(año)
X
o II OFERTA Ecuación de valor:
ff x =100,000+100,000(1+0.015*6) 1+100,000(1+0.015*9) 1
x = 100,000+91,743.12+88,105.73
100,000 x = 279,848.85 usd
100,000 100,000
0 6 9(meses)
X
o III OFERTA Ecuación de valor:
ff x =120,000+60,000(1+0.015*3) 1+60,000(1+0.015*6) 1
+60,000(1+0.015*12) 1
120,000 60,000 60,000 x = 120,000+57,416.27+55,045.87+50,847.46
60,000 x = 283,309.60 usd
0 3 6 12(meses)
x
La oferta más conveniente para el vendedor es la III por el valor de 283,309.60 usd
equivalente a la oferta más alta.
169
3.-Una persona tiene en su cuenta de ahorros un saldo de 12,750 usd al 31 de diciembre y
durante el primer semestre del año siguiente efectúa las siguientes operaciones:
El 17 de enero deposito 3,200 usd.
El 25 de febrero retira 5,100 usd.
El 11 de marzo deposita 8,750 usd.
El 20 de abril retira 7,100 usd.
El 11 de mayo retira 6,250 usd.
El 10 de junio retira 1,750 usd.
Si la tasa de interés que el banco paga es del 12% anual. Determinar el
saldo en la cuenta al 30 de junio. Para el cálculo considerar el año
comercial y el tiempo exacto.
Solución
a) Calculamos los tiempos exactos de cada operación iniciando por el saldo al 31 de
diciembre del año anterior, inicia con primero de enero.
Enero 31 14
Febrero 28 28 3
Marzo 31 31 31 20
Abril 30 30 30 30 10
Mayo 31 31 31 31 31 20
Junio 30 30 30 30 30 30 20
181 164 125 111 71 50 20 (días)
b) Calculamos los intereses de cada operación con interés simple : I=Cit
C * i * t = I
D 12,750 * 0.12 * 181/360 = 769.25
D 3,200 * 0.12 * 164/360 = 174.93
R (5,100) * 0.12 * 125/360 = (212.50)
D 8,750 * 0.12 * 111/360 = 323.75
R (7,100) * 0.12 * 71/360 = (168.03)
170
R (6,250) * 0.12 * 50/360 = (104.17)
R (1,750) * 0.12 * 20/360 = (11.67)
4,500 771.56
Saldo = C+I
= 4,500+771.56 = 5,271.56 usd
Saldo al 30 de junio = 5,271.56 usd
Nota = los depósitos (D) se toman como positivos y los retiros (R) como negativos.
4.-Una empresa tiene las siguientes obligaciones:
200,000 usd que vence en 30 días.
150,000 usd que vence en 60 días.
200,000 usd que vence en 120 días.
250,000 usd que vence en 6 meses.
La empresa desea saldar sus deudas con 2 pagos iguales a los 6 y 9
meses respectivamente, con una tasa de interés simple del 1.5%
mensual. Calcular el valor de cada pago igual. Para el cálculo
considerar la fecha focal así:
a) A los 3 meses. b) A los 9 meses.
Datos
Obligaciones originales señaladas
Nuevas obligaciones: 2 pagos iguales a los 6 y 9 meses
x = valor de cada pago igual
i = 1.5% mensual simple
x = ?
ff = a) 3 meses
b) 9 meses
Solución
171
a) Cálculo de los Montos M = C(1+it)
Como las obligaciones originales no fueron adquiridas con tasa de interés, entonces la
obligación es igual al monto.
o M1 = 200,000 o M2 = 150,000 o M3 = 200,000 o M4 = 250,000
CON FECHA FOCAL A LOS 3 MESES
ff
b) Gráfica de tiempos y valores
M C
ff
M=C(1+it)
M1 M2 M3 M4 C=M(1+it) 1
0 1 2 3 4 6 9
x x
c) Ecuación de valor
x (1+0.015*3) 1+x(1+0.015*6) 1
= 200,000(1+0.015*2)+150,000(1+0.015*1)
+200,000(1+0.015*1) 1+250,000(1+0.015*3) 1
x =(0.9569)+x(0.9174)= 206,000+152,250+197,044.34+239,234.45
1.8744x = 794,528.79
8744.1
79.528,794x
172
x = 423,884.33 usd (Valor del pago único con ff a los 3 meses)
CON FECHA FOCAL A LOS 9 MESES ff
b) Gráfica de tiempos y valores ff C
M
i = 1.5%mensual
M=C(1+it)
M1 M2 M3 M4 C=M(1+it) 1
0 1 2 4 6 9
x x
c) Ecuación de valor
x (1+0.015*3)+x=200,000(1+0.015*8)+150,000(1+0.015*7)+200,000(1+0.015*5)
+250,000(1+0.015*3)
1.045x + x =224,000+165,750+215,000+261,250
2.045 x = 866,000
045.2
000,866x
x = 423,471.88 usd (valor del pago único con ff a los 9 meses)
Nota: En interés simple varían los resultados según donde se ubique la Fecha Focal; esto no
sucede en el interés compuesto.
5.-Considerando una tasa de interés simple del 10%, establecer cuál será el valor en el día de
hoy de las siguientes deudas:
75,500 usd que vence en el día de hoy.
120,000 usd que vence en 6 meses con una tasa del 2% mensual.
80,000 usd que vence en 12 meses con una tasa del 5.5% semestral. Considerar la fecha focal el día de hoy y graficar.
173
Datos
i = 10% (tasa de interés simple anual)
x = valor del pago único el día de hoy
ff = hoy
Obligaciones originales de acuerdo con lo indicado
Solución
a) Cálculo de los Montos M= C(1+it)
o M1 = 75,500 usd (No hay tasa de interés) o M2 = 120,000 (1+0.02*6) = 134,400 usd o M3 = 80,000 (1+0.55*12/6) = 88,800 usd
b) Gráfica de tiempos y valores ff
ff i = 10%
M C
M1 M2 M3
0 6 12(meses) C=M(1+it) 1
x
c) Ecuación de valor
x = 75,500+134,400(1+0.1*6/12) 1 +88,800(1+0.1*12/12) 1
x = 75,500+128,000+80,727.27
x = 284,227.27 usd
6.-Una empresa tiene las siguientes obligaciones:
30,000 usd a 3 meses con una tasa de interés simple del 11% anual.
60,000 usd a 5 meses con una tasa de interés simple del 1.1% mensual.
80,000 usd a 10 meses con una tasa de interés simple del 2.75% trimestral.
120,000 usd a 12 meses con una tasa de interés simple del 5.15% semestral.
174
La empresa desea cancelar todas sus obligaciones por 3 pagos a los 4, 6 y 8 meses, con
una tasa de interés simple del 12% anual. Cancelar el valor de cada pago igual y elaborar
un gráfico de tiempos y valores.
Datos
Obligaciones originales indicadas
Nuevas obligaciones:
3 pagos a los 4,6, y 8 meses
i = 12% de interés simple anual
x = valor de cada pago igual
Solución
En este ejercicio no se indica la posición de la fecha focal, a fin de que el estudiante
practique sus conocimientos conforme realizó el ejercicio No.4, es decir ubique la fecha focal
en 2 posiciones diferentes que puedan ser al principio o al final de las operaciones
Financieras y compruebe los resultados; observará que el valor de x varía de acuerdo a como
usted coloque la fecha focal; sin embargo es válido si resolvió el ejercicio colocando la fecha
focal en una sola posición.
Nosotros resolvimos el ejercicio tomando la fecha focal hoy y a los 12 meses.
a) Cálculo de los Montos M= C(1+it)
o M1 = 30,000(1+0.11*3/12) = 30,825 o M2 = 60,000(1+0.011*5) = 63,300 o M3 = 80,000(1+0.0275*10/3) = 87,333.33 o M4 = 120,000(1+0.0515*12/6) = 132,360
con fecha focal hoy
b) Gráfica de tiempos y valores
FF i = 12% FF
M C
175
M1 M2 M3 M4
0 3 4 5 6 8 10 12 (meses) C=M(1+it) 1
X X X
x(1+0.12*4/12) 1 +x(1+0.12*6/12) 1 +x(1+0.12*8/12) 1 =30,825(1+0.12*3/12) 1
+63,300(1+0.12*5/12) 1 +87,333.33(1+0.12*10/12) 1 +132,360(1+0.12*12/12) 1
x(0.9615)+x(0.9434)+x(0.9259)=29,927.19+60,285.71+79,393.94+118,178.57
2,8309x = 287,785.41
x = 287,785.41
2.8309
X =101,660.04 usd (Valor de cada pago igual a los 4.6 y 8 meses
con ff Hoy)
con fecha focal - 12 meses
i = 12% ff M ff
C
M1 M5 M3 M4
0 3 4 5 6 8 10 12 (meses) M=C(1+it)
X X X
c) Ecuación de valor
176
x(1+0.12*8/12)+x(1+0.12*6/12)+x(1+0.12*4/12)=
30,825(1+0.12*9/12)+63,300(1+0.12*7/12)+87,333.33(1+0.12*2/12)+132,360
1.08x+1.06x+1.04x = 35,599.25+67,731+89,080+132,360
3.18x = 322,770.25
x = 322,770.25
3.18
x = 101,500.08 usd (Valor de cada pago igual a los 4,6 y 8 meses con
ff 12meses)
7.- Una empresa tiene las siguientes obligaciones:
100,000 usd que vence el día de hoy.
120,000 usd que vence en 4 meses con intereses del 8%.
150,000 usd que vence en 8 meses con intereses del 10%.
200,000 usd que vence en 10 meses con intereses del 9%. Determinar el valor de la deuda al día de hoy, considerando una tasa de interés del 10%
anual simple. Considerar la fecha focal a los 12 meses y graficar.
Datos
Obligaciones originales indicadas
Obligaciones nuevas:
x = Valor del pago único hoy
i = 10% tasa de interés simple anual.
ff 12 meses.
Solución
a) Cálculo de los Montos M=c(1+it)
o M1 = 100,000 (No hay tasa de interés) o M2 = 120,000(1+0.08*4/12) = 123,200 o M3 = 150,000(1+0.10*8/12) = 160,000
177
o M4 = 200,000(1+0.09*10/12) = 215,000 b) Gráfica de tiempos y valores
i = 10% FF M FF
C
M1 M2 M3
0 4 8 10 12(meses) M=C(1+it)
x
c) Ecuación de valor
x(1+0.10*12/12)=100,000(1+0.10*12/12)+123,200(1+0.10*8/12)+
+160,000(1+0.10*4/12)+215,000(1+0.10*2/12)
1.1x = 110,000+131,413.33+165,333.33+218,583.33
1.1x = 625,330
x = 625,330
1.1
x = 568,481.82 usd(valor de pago único el día de hoy con ff12meses)
8.-Una empresa tiene las siguientes obligaciones:
200,000 usd a 4 meses con una tasa del 8%.
250,000 usd a 8 meses con una tasa del 9%.
300,000 usd a 10 meses con una tasa del 6%.
100,000 usd a 12 meses. La empresa propone cancelar todas sus obligaciones mediante 2 pagos iguales a los 4 y 8
meses con una tasa de interés del 7%. Establecer el valor de cada pago igual y tomar como
fecha focal a los 8 meses. Graficar.
Datos
Obligaciones originales indicadas
Obligaciones nuevas:
2 pagos iguales a los 4 y 8 meses
178
i = 7% de interés simple anual
x = valor de cada pago igual
ff 8 meses
Solución
a) Cálculo de los Montos M= c(1+it)
o M1 = 200,000(1+0.08*4/12) = 205,333.33 o M2 = 250,000(1+0.09*8/12) = 265,000 o M3 = 300,000(1+0.06*10/12) = 315,000 o M4 = 100,000(No hay tasa de interés)
b) Gráfica de tiempos y valores
ff ff
i = 7%
M C
M1 M2 M3 M4
0 4 8 10 12(meses) M=C(1+it)
X X C=M(1+it) 1
c) Ecuación de valor
x (1+0.07*4/12)+x = 205,333.33(1+0.07*4/12)+265,000+315,000(1+0.07*2/12) 1 +
+100,000(1+0.07*4/12) 1
1.02x+x = 210,124.44+265,000+311,367.38+97,719.87
2.02x = 884,211.69
x = 884,211.69
2.02
x = 437,007.43 usd (Valor de cada pago igual a los 4y8 meses con
ff 8meses).
179
9.-Una persona abre una cuenta de ahorros el 1ero de enero con un valor de 6,500 usd y
realizó las siguientes operaciones en el primer semestre.
El 15 de enero deposita 6,000 usd.
El 20 de febrero retira 10,000 usd.
El 15 de marzo deposita 20,000 usd.
El 10 de mayo deposita 5,000 usd.
El 15 de junio retira 15,000 usd. Durante el segundo semestre realizó las siguientes operaciones:
El 10 de julio deposita15,500 usd.
El 5 de agosto retira 2,500 usd.
El 4 de septiembre retira 7,500 usd.
El 12 de octubre retira 1,500 usd.
El 20 de noviembre retira 6,500 usd.
El 5 de diciembre deposita 8,500 usd.
El 20 de diciembre retira 6,000 usd. Determinar el saldo en la cuenta incluidos los intereses al 31 de diciembre si se considera
una tasa de interés simple del 12% anual hasta el 30 de junio y del 10% anual a pasar el 1ero
de julio.
Solución
o I semestre
a) Cálculo de los tiempos exactos de cada operación Financiera.
Enero 30 16
Febrero 28 28 8
Marzo 31 31 31 16
Abril 30 30 30 30
Mayo 31 31 31 31 21
Junio 30 30 30 30 30 15
180 166 130 107 51 15 (días)
b) Cálculo de los intereses I =Cit
C i t = I
180
D 6,500 * 0.12 * 181/360 = 390
D 6,000 * 0.12 * 166/360 = 332
R (10,000) * 0.12 * 130/360 = (433.33)
D 20,000 * 0.12 * 107/360 = 713.33
D 5,000 * 0.12 * 51/360 = 85
R (15,000) * 0.12 * 15/360 = (75)
12,500 1,012
Saldo al 30 de Junio: = C+I
= 12,500+1,012 = 13,512 usd
Saldo al 30 de Junio: 13,512 usd
o II semestre a) Cálculo de los tiempos exactos
Julio 31 21
Agosto 31 31 26
Septiembre 30 30 30 26
Octubre 31 31 31 31 19
Noviembre 30 30 30 30 30 10
Diciembre 31 31 31 31 31 31 26 11
184 174 148 118 80 41 26 11 (días)
b) Cálculo de los Intereses I =Cit
C i t = I
D 13,512 * 0.10 * 184/360 = 690.61
D 15,500 * 0.10 * 174/360 = 749.17
R (2,500) * 0.10 * 148/360 = (102.78)
R (7,500) * 0.10 * 118/360 = (245.83)
181
R (1,500) * 0.10 * 80/360 = ( 33.33)
R (6,500) * 0.10 * 41/360 = (74.03)
D 8,500 * 0.10 * 26/360 = 61.39
R (6,000) * 0.10 * 11/360 = (18.33)
13,512 1,026.87
Saldo al 31 de Diciembre: = C+I
= 13,512+1,026.87 = 14,538.87 usd
Saldo al 31 de Diciembre: 14,538.87 usd.
10.- Una empresa tiene las siguientes obligaciones:
25,000 usd que vence en 6 meses a una tasa del 5.5% semestral y que fue adquirida originalmente a 24 meses.
50,000 usd que vence en 9 meses a una tasa del 0.85% mensual. 100,000 usd que vence en 10 meses sin interés. 150,000 usd que vence en 12 meses a una tasa del 2.5% trimestral
que fue adquirida originalmente a 18 meses.
El acreedor esta de acuerdo en recibir 3 pagos iguales, una a los 3 meses otro a los 9 meses y
el último a los 12 meses. Determinar el valor de cada pago igual, considerado la fecha focal a
los 12 meses.
Considerar una tasa de interés del 9.5% anual simple.
Datos
Obligaciones originales indicadas
Obligaciones nuevas:
3 pagos iguales a los 3.9 y 12 meses.
x = valor de cada pago igual
i = 9.5% de interés simple anual
ff 12 meses
182
Solución
a) Cálculo de los Montos M= C(1+it)
o M1 = 25,000(1+0.055*24/6) = 30,500 o M2 = 50,000(1+0.0085*9) = 53,825 o M3 = 100,000(No hay interés) = 100,000 o M4 = 150,000(1+0.025*18/3)= 172,500
b) Gráfica de tiempos y valores
i = 9.5%anual ff ff
M C
0 3 6 9 10 12(meses) M=C(1+it)
X X X
c) Ecuación de valor
x(1+0.095*9/12)+x(1+0.095*3/12)+x=30,500(1+0.095*6/12)+53,825(1+0.095*3/12)
+100,000(1+0.095*2/12)+172,500.
1.07125x+1.02375+x = 31,948.75+55,103.34+101,583.33+172,500
3.095x = 361,135.42
x =361,135.42
3.095
x =116,683.50 usd (Valor de cada pago igual a los 3,9, y 12 meses
con ff 12 meses).
183
APENDICE 7 INTERÉS COMPUESTO: APLICACIONES
1.- Establecer el tiempo en años, meses y días en que un capital de 450.000 usd
se convirtió en $900.000 usd, con una tasa del 10% anual capitalizable
trimestralmente (a.c.t).
Datos: Solución
n
t =? (a, m, d) M=C (1+i)
C = 450,000 usd 4t
M = 900,000 usd 900,000 = 450,000 (1+0.10/4)
j = 10% a.c.t 4t
(1.025) = 900,000 = 2
450,000
4t
(1.025) = 2
4t log (1.025) = log (2)
t = log 2 = 0.301029
4 log (1.025) 0.0428955
t = 7.0178 años
0.0178 *12 = 0.2131 meses
0.2131 * 30 = 6.39 días
Tiempo = 7 años, 0 meses, 6 días
2.- Determinar a que tasa anual capitalizable semestralmente (a.c.s), un capital
de 250,000 usd, se convertirá en 9/6 veces más en 4 años.
Datos: Solución:
184
j =? (a, c, s) j = a.c.s
C = 250,000 usd M = 625,000
M = 250,000 + 9 (250,000) 250,000usd
6 0 4 (años)
M = 250,000 + 375,000 = 625,000
m= 2
t = 4 años n= m*t = 2*4=8 períodos (semestral)
n
Gráfico=? M = C (1+i ) 2*4
625,000 = 250,000 (1+j/2)
8
(1+j/2) = 625,000 = 2.5
250,000
1/8
1+j/2 = (2.5)
1/8
j = [(2.5) -1] 2 = 0.2427
j = 24. 27% a.c.s
3.- A qué tasa anual capitalizable mensualmente, un capital de 400,000 usd se
convertirá en 1.200,000 usd en 8 años ¿ A qué tasa efectiva es equivalente?
Datos: Solución
n
j =? (a.c.m) M = C ( 1+i)
C = 400,000 usd
M = 1.200,000 usd a) Calculamos la tasa nominal a.c.m
185
t = 8 años 12*8
i =? (tasa efectiva equivalente) 1 .200,000 = 400,000 (1+j/12)
i = j/m 96
n = m*t=12*8 = 96 períodos (1+j/12) = 1.200,000 = 3
m = 12 (mensual) 400.000
1/96
1 + j/12 = 3
1/96
j = (3 - 1) 12 = 0.1381
j = 13.81% a.c.m
b) Calculamos la tasa efectiva equivalente
m
(1+i) = (1+j/m)
m
i = (1+j/m) - 1 12
i = (1 + 0.1381/12) – 1 = 0.1472
i = 14.72%
4.- A qué tasa efectiva se convertirá un capital de 200,000 usd en 300,000 usd en
3 años. Efectuar el cálculo por logaritmos y por exponentes.
Datos: Solución:
n
i =? M = C (1+i)
C = 200,000 usd 3
M = 300,000 usd 300,000 = 200,000 (1+i)
t = 3 años 3
186
Logaritmos =? (1+i) = 300,000 = 1.5
Exponentes =? 200,000
a) Por Exponentes 3/3 1/3
(1+i) = (1.5)
1/3
i = (1.5) - 1 = 0.1447
i = 14.47%
b) Por logaritmos
3 log (1+i) = log 1.5
log( 1+i) = log 1.5
3
1 + i = Antilog log 1.5
3
i = Antilog log 1.5 -1 = 0.1447
3
i = 14.47%º
5.- Establecer cual será el valor del descuento compuesto matemático y el
descuento compuesto bancario de un documento financiero, el mismo que al
final de 6 años tendrá un valor de 500,000 usd, si se descontó luego de
transcurridos 3 años desde su suscripción, a una tasa de interés del 12% anual
capitalizable semestralmente (a.c.s).
Datos: Solución
Dc =?
187
Dbc =?
t = 6 años i = 0.06
M = 500,000
t1 = 3 años M = 500,000
j = 12% a.c.s 0 3 años 6 años
m = 2
i = j/m = 0.12/2 = 0.06
i = 0.06 semestral
n = m*t = 2*3 = 6 a) Descuento comercial matemático
n = períodos (semestral) -n
d = 0.06 semestral Dc = M [1- (1+i)]
-6
Dc = 500,000 [1- (1+0.06)]
Dc = 147,519.73 usd
b) Descuento compuesto bancario n
Dcb = M [1- (1-d)]
6
Dcb = 500,000 [1-(1-0.06) ]
Dcb = 155,065.11 usd
6.- Luego de transcurridos 4 años y 3 meses de su fecha de suscripción, se
vende un documento de 300,000 usd que tenía un vencimiento en 6 años y fue
suscrito con una tasa de interés del 9% a.c.t desde su suscripción.
Calcular el valor actual del documento las siguientes alternativas:
a) Con una tasa del 8% efectiva b) Con una tasa del 9% anual capitalizable trimestral c) Graficar
188
Datos: Solución
V/suscrip. = 300,000 usd tiempo para la negociación =1.75 años
t = 6 años
j = 9% a.c.t i = j/m = 0.09 / 4 = 0.0225 trimestral
t1 = 4 años, 3 meses n = m*t = 4 * 6 = 24 períodos
Calcular valor actual
a) i = 8% i = 0.0225 b) j = 9% a.c.t c) Graficar V/s = 300,000 C =? M =511,729.97
0 6 años
1,75
n
M = C (1+i)
24
M = 300,000 (1+0.0225) = 511,729.97
a) Calcular valor actual con
i = 8%
n
C = M (1+i)
-1.75
C = 511,729.97 (1+0.08)
C = 447,248.90
C = 447,248.90 usd //
b) Calcular valor actual con
j = 9% a.c.t
189
n
C = M (1+i)
-4*1.75
C = 511,729.97 (1+0.09/4)
C = 437,922.88
C = 437,922.88 usd //
7.- Determinar el valor actual de un documento a los 3 años y 9 meses de la
fecha de suscripción, que tiene un valor nominal de $100,000 usd y que fue
suscrito con una tasa de interés del 11% a.c.s y a un tiempo de 7 años y 3
meses. Realizar el cálculo del valor actual considerando una tasa del 10% a.c.t.
Graficar.
Datos: Solución
i= 0.055 semestral
C =? Valor actual i= 0.025trimestral
t = 7 años, 3 meses v/n= 100,000
v/nominal= 100,000usd
j = 11% a.c.s 0 3.75 años 3.5 años 7.25a
t1 = 3a.9m. desde su suscripción.
j = 10% a.c.t.
t2 = t – t1 = 7.25 – 3.75
n
t2 = 3.5 años M = C ( 1 + i )
n = m* t = 4 * 3.5 = 14 períodos
14.5
t = m*t = 2 * 7.25 = 14.5 M = 100,000 ( 1 + 0.055) = 217,350.51 - n
t1 = 3.75 años C = M ( 1 + i )
i = j /m = 0.11/2 = 0.055 semestral -14
i = j/ m = 0.10/4 = 0.025 trimestral C = 217,350.51 ( 1 + 0.025 ) = 153,824.87
190
C = 153,824.87usd
8.- Al final de los seis años, un documento tendrá un valor de 600,000 usd.
Calcular su valor actual luego de transcurridos tres años y tres meses desde la
fecha de suscripción del documento, considerando una tasa de interés del 14%
a.c.t.. Resolver el cálculo aplicando los métodos matemático y comercial.
Graficar.
Datos: Solución:
a) Método Matemático
M = 600,000. j=14% a.c.t.
t = 6 años C=? M= 600,000
C = ¿ (Valor Actual)
t1= 3.25 años 0 2.75 6 (años)
j= 14% a.c.t.
m= 4 t1 = 6 – 3.25 años
Método = Matemático y Comercial n = m * t = 4 * 2.75 = 11 periodos
n
C = M ( 1 + i )
-11
C = 600,000 (1 + 0.14 / 4 ) =410,967.43
C = 410,967.43 usd.
b ) Método Comercial: no se puede
aplicar por cuanto n es entero y no
fraccionario.
9.- Una persona tiene en las siguientes obligaciones:
125,000 usd a 18 meses plazo.
191
75,000 usd a 24 meses plazo.
250,000 usd a 30 meses plazo.
El deudor desea reemplazar todas sus obligaciones por un solo pago a 21
meses. Cuál será el valor de ese pago, considerando una tasa de interés del 12%
a.c.s. Tomar como fecha focal a los 27 meses y elaborar una gráfica de tiempos
y valores
Solución:
n
a) Cálculo de los montos: M = C ( 1 + i )
M1 = 125,000 ( no hay tasa de interés)
M2 = 75,000 ( no hay tasa de interés)
M3 = 250,000 ( no hay tasa de interés).
b) Gráfica de tiempos y valores
j = 12% a.c.s.
f.f.
M1 M2 M3
0 1.5 1.75 2 2.25 2.5 ( años )
X
c) Ecuaciones de valor
2* 0.5 2* 0.75 2*0.25
X ( 1+0.12/2 ) = 125,000(1 + 0.12/ 2 ) + 75,000(1+ 0.12/2 ) +
192
-2*0.25
+250,000 (1 + 0.12/2 )
1.06 x = 136,417.10 + 77,217.23 + 242,821.47
1.06 x = 456,455.79
x = 456,455.79
1.06
X = 430,618.67 usd.
10.- Una empresa tiene las siguientes obligaciones:
200,000 usd a 15 meses plazo con una tasa del 10% a.c.s.
150,000 usd a 18 meses plazo con una tasa del 12% efectiva.
180,000 usd a 24 meses plazo con una tasa del 11% a.c.t.
250,000 usd a 36 meses plazo con una tasa del 8% a.c.m.
El deudor desea reemplazar todas sus obligaciones por dos pagos iguales, a los
15 ya los 27 meses. Establecer cuál será el valor de los pagos, considerando una
tasa de interés del 14% efectiva. Tomar como fecha focal a los 24 meses.
Elaborar un gráfico de tiempos y valores.
Solución:
n
a) Cálculo de los montos: M = C= ( 1 + i )
2 * 1.25
M1 = 200,000 ( 1 + 0.10 / 2 ) = 225,945.26
1,5
M2 = 150,000 ( 1 + 0.12 ) = 177,794. 49
193
4 * 2
M3 = 180,000 ( 1 + 0.11 / 4 ) = 223,628.50
12 * 3
M4 = 250,000 ( 1 + 0.08/12 ) = 317,559.26
b) Gráfica de tiempos y valores
f.f.
M1 M2 M3 M4
0 1.25 1.5 2 2.25 3 (años)
X X
c) Ecuación de valor
0.75 0.25 0.75 0.5
X ( 1+0.14 ) + X (1 + 0.14) = 225,945.26 (1+0.14) + 177,794.49 ( 1 + 0.14) +
-1
+ 223,628.50 + 317,559.26 (1 + 0.14 )
X ( 1.10) + X ( 0.97) = 249,276.81 + 189,832.57 + 223,628.50 +278,560.75
X(2.07) = 941,298.63
X = 454,733.64 usd. (Valor de cada pago igual )
194
11.- Una persona desea vender una propiedad y recibe tres ofertas:
I Ofertas: 300,000 usd de contado.
II Oferta: 100,000 usd de contado.
100,000 usd a 12 meses.
100,000 usd a 24 meses.
III Oferta: 150,000 usd de contado.
75,000 usd a 18 meses.
75,000 usd a 30 meses.
Establecer cuál de las tres ofertas es la más conveniente considerando un
rendimiento del dinero del 12% a.c.m. . Elabore las gráficas de tiempos y valores.
Solución:
I Oferta: 300,000 usd de contado.
-12* 1 -12*2
II Oferta: x = 100,000 + 100,000( 1+ 0.12/12) 100,000( 1+0.2/12)
x = 100,000 +88,744.92 + 78,756.61
f.f. x =267,501.53usd
195
100,000 100,000 100,000
0 1 2 (años)
X
III Oferta:
-12*1.5 -12*2.5
x = 150,000+75,000(1+0.12/12) + 75,000(1+0.12/12)
x = 150,000 + 62,701.30 + 55,644.22
x = 268,345.52
150,000 75,000 75,000
0 1.5 2.5 (años)
X
La oferta más conveniente para el vendedor es la primera.
12.- Una empresa tiene las siguientes obligaciones:
500,000 usd que vence en un año a una tasa del 12% a.c.s.
300,000 usd que vence en 18 meses a una tasa del 10% efectiva
400,000 usd que vence en 24 meses a una tasa del 10% a.c.t.
200,000 usd que vence en 30 meses a una tasa del 8% a.c.m.
El deudor desea reemplazar todas sus obligaciones por un solo pago en un
tiempo equivalente (T.E.) para los tres vencimientos. Calcular la fecha de pago y
el valor del pago único, considerando una tasa de interés del 12% a.c.t.. Para el
cálculo del pago único tomar como fecha focal la fecha del T.E.
196
Solución:
n
a) Cálculo de los montos: M = C (1 + i )
2*1
M1= 500,000 ( 1+ 0.12/2 ) = 561,800
1.5
M2= 300,000 ( 1+ 0.10 ) = 346,106.92
4*2
M3= 400,000 ( 1+ 0.10/4 ) = 187,361.16
12*2.5
M4= 200,000 ( 1+ 0.08/12 ) = 244,118.47
b) Cálculo del tiempo equivalente ( T.E.)
T.E. = ∑ M*t
∑ M
T.E: = 561,800 (1) + 346,106.92 (1.5) +487,361.16 (2) + 244,118.47 (2.5)
561,800+ 346,106.92+487,361.16 +244,118.47
T.E. = 561,800 + 519,160.38 + 974,722.32+ 610,296.18
1’639,386.55
T.E. = 2’665,978.88 = 1.63
1’639,386.55
T.E. = 1.63 años
c) Gráfica de tiempos y valores f.f
M C
197
j = 12% a.c.t.
f.f.
M1 M2 M3 M4
0 1 1.5 1.63 2 2.5 (años)
X
d) Ecuación de valor
4*0.63 4*0.13 -4*0.37
X= 561,800 ( 1 +0.12/4)+346.106.92 (1+0.12/4)+487,361.16(1+0.12/4) +
-4*0.87
244,118.47(1+0.12/4)
X = 605,245.46 + 351,467.88 + 466,500.19 + 220,255.67
X = 1’643,469.20
13.- Una empresa tiene las siguientes obligaciones:
120,000 usd que vence en 15 meses a una tasa del 10% a.ct.
100,000 usd que vence en 18 meses a una tasa del 12% efectiva
80,000 usd que vence en 21 meses a una tasa del 10% efectiva
150,000 usd que vence en 24 meses a una tasa del 12% a.cm.
200,000 usd que vence en 30 meses a una tasa del 9% a.c.s.
198
El deudor desea reemplazar todas sus deudas por tres pagos iguales, a los 12,
18 y 24 meses, con una tasa de interés del 14% a.c.t. Calcular el valor de cada
pago igual. Tomar como fecha focal a los 21 meses. Graficar.
Solución:
n
a) Cálculo de los montos: M = C( 1+ i) 4*1.25
M1 = 120,000( 1+0.10/4) = 135,768.99
1.5
M2 = 100,000 ( 1+ 0.12) = 118,529.66
1.75
M3 = 80,000 ( 1+ 0.10 ) = 94,520.76
12*2
M4 = 150,000 ( 1+ 0.12/12) = 190,460.20
2*2.5
M5 = 200,000 ( 1+ 0.09/2) = 249,236.39
b) Gráfica de tiempos y valores: f.f.
. f.f
M C
M1 M2 M3 M4 M5
0 1 1.25 1.5 1.75 2 2,5 (años )
x x x
c) Ecuación de valor i= j/m = 0.14 / 4 = 0.035 trimestral 4*0.75 4*0.25 -4*0.25 4*0.5
199
X( 1+0.035) + x(1+0.035) + x( 1+0.035) = 135,768.99(1+0.035) + 4*0.25 -4*0.25
+118,529.66(1+0.035) + 94,520.76 + 190,460.20(1+0.035) + -4*0.75
+249,236.39(1+0.035) 1.11X +1.035X + 0.97X = 145,439.14 + 122,678.20 + 94,520.76 + 184,019.52+ + 224,796.94 3.115X = 648,776.36 X = 208,274.91usd 14.-Una persona tiene las siguientes deudas:
10,000 usd, que vence en 8 meses, a una tasa del 9% a.c.s.
15,000 usd, que vence en 14 meses, a una tasa del 8% a.c.t.
20,000 usd, que vence en 20 meses, a una tasa del 10% Efectiva.
12,000 usd, que vence en 26 meses, a una tasa del 7 % a.c.t.
18,000 usd, que vence en 27 meses, a una tasa del 12% a.c.s.
Desea reemplazar el total de sus deudas por 4 pagos iguales a los 6, 12, 18 y 24 meses, a una tasa de interés del 10% a.c.s. Calcular el valor de cada pago. Tomar como ff a los 6 meses. Solución:
a) Calculamos los montos de todas las deudas: M = C ( 1 + i )n
M1 = 10,000 ( 1 +0 .09/2 )0.67*2 = 10,607.57
M2 = 15,000 ( 1 + 0.08/4 )1.17*4 = 16,456.60
M3 = 20,000 ( 1 + 0.10 )1.67 = 23,450.70
M4 = 12,000 ( 1 + 0.07/4 )2.17*4 = 13,950.19
M5 = 18,000 ( 1 + 0.12/2 )2.25*2 = 23,396.39
b) Graficamos una línea de tiempo
ff
M1 M2 M3 M4 M5
200
0 6 8 12 14 18 20 24 26 27 ( meses )
0.5 0.67 1 1.17 1.5 1.67 2 2.17 2.25 ( años )
X X X X
Hacemos una ecuación de valor tomando como ff a los 6 meses. Para el cálculo utilizamos la fórmula del valor presente, por cuanto la ff está a la izquierda de todas las deudas.
c) Ecuación de valor
X + X (1 + 0.10/2 ) –0.5*2 + X (1 + 0.10/2 )-1*2 + X (1 + 0.10/2 ) –1.5*2 = 10,607.57 (1 + 0.10/2 )-0.17*2 + 16,456.60(1 + 0.10/2 )-0.67*2 + 23,450.70(1 + 0.10/2 ) -1.17*2 +13,950.19 (1 + 0.10/2 )-1.67*2 + 23,396.39 (1 + 0.10/2 )-
1.75*2
X + X (0.9524 ) + X ( 0.9070 ) +X ( 0.8638) = 10,433.07 + 15,415.10 + 20,920.54 + 11,852.44 + 19,723.61
X (3.7232 ) = 78,344.76
X = 78,344.76 3.7232
X = 21,042.32 usd valor de cada pago igual.
15.- Una persona tiene las siguientes deudas:
15,000 usd que vence en 9 meses a una tasa del 6% a.c.t
10,000 usd que vence en 12 meses a una tasa del 8% Efectiva
6,000 usd que vence en 18 meses a una tasa del 9% a.c.s.
12,000 usd que vence en 24 meses a una tasa del 7 % Efectiva
20,000 usd que vence en 27 meses a una tasa del 12% a.c.t
Desea reemplazar el total de sus deudas, por 4 pagos iguales a los 6, 12, 18, 24 meses, a una tasa de interés del 12% anual Calcular el valor de cada pago. Tomar como ff a los 6 meses. Solución:
201
Calculamos los montos de todas las deudas: M = C ( 1 + i )n
M1 = 15,000 ( 1 + 0.06/4 )0.75*4 = 15,685.1756
M2 = 10,000 ( 1 + 0.08 ) = 10,800.00
M3 = 6,000 ( 1 + 0.09/2 )1.5*2 = 6,846.9967
M4 = 12,000 ( 1 + 0.07 )2 = 13,738.80
M5 = 20,000 ( 1 + 0.12/4 )2.25*4 = 26,095.4636
Graficamos con una línea de tiempo. X= Valor de cada pago. ff
M1 M2 M3 M4 M5
0 6 9 12 18 24 27 ( meses )
0.5 0.75 1 1.5 2 2.25 ( años )
X X X X
Hacemos una ecuación de valor, tomando como ff a los 6 meses. Para el calculo utilizamos la fórmula de valor presente, por cuanto la ff está a la izquierda de todas las deudas. C = M ( 1 + i )-n
Ecuación de valor
X + X (1 + 0.12 ) –0.5
+ X ((1 + 0.12 )-1
+ X (1 + 0.12 )-1.5
= 15,685.18 (1 + 0.12)
–0.25 + 10,800(1 + 0.12 )
-0.5 + 6,846.99(1 + 0.12 )
-1 +
13,738.8 (1 + 0.12 )-1.5
+ 26,095.46 (1 + 0.12 )75.1
.
X + X ( 1.12 )-0.5
+ X ( 1.12 )-1
+ X (1.12)-1.5
= 15,685.18(1.12 )-0.25
+10,800 ( 1.12 )-0.5
+
6,846.99 ( 1.12 )-1 + 13,738.8 ( 1.12 )
-1.5 + 26,095.46 ( 1.12 )
75.1.
X + X (0.9449) + X ( 0.8929 ) + X (0.8437 ) = 15,247.0211 + 10,205.0401 + 6,113.39 +11,591.023 + 21,400.9680.
X ( 3.6815 ) = 64,557.4424.
X = 17,535.64 usd valor de cada pago.
16.-Una empresa tiene las siguientes deudas:
1´500,000 usd que vence en 2 años 6 meses, a una tasa del 12% a.c.t.
1´000,000 usd que vence en 3 años 4 meses, a una tasa del 10% a.c.s.
202
2´000,000 usd que vence en 4 años 9meses, a una tasa del 9% Efectiva.
Desea reemplazar sus deudas, por un solo pago en un tiempo equivalente (T.E) para los 3 vencimientos. Calcular la fecha de pago del T.E y el valor del pago único, considerando una tasa de interés del 18% anual capitalizable trimestralmente. Para el cálculo del pago único tomar como fecha focal la fecha correspondiente al T.E. y para el cálculo de la fecha de pago aplicar la regla práctica para el cálculo del T.E. Solución: Calculamos los montos de todas las deudas: M = C (1 + i)n
M1 = 1’500,000 ( 1 + 0.12/4 )2.5*4 = 2´015,874.57
M2 = 1’000,000 ( 1 + 0.10/2 )3.33*2 = 1´383,951.06
M3 = 2’000,000 ( 1 + 0.09 )4.75 = 3´011,659.45
Graficamos una línea de tiempo y valores: ff
M1 M2 M3
0 2.5 3.33 3.74(TE) 4.75(años)
X
Calculamos el tiempo equivalente
T.E = Ʃ M*t = 2´015,874.57 *2.5 + 1´383,951.06 * 3.33 +3´011,659.45*4.75
Ʃ M 2´015,874.57+ 1´383,951.06 + 3´011,659.45
T.E = 3,74 años. T.E = 3 años, 8 meses, 25 días.
Calculamos el valor del pago con relación a la ff. ff
M C
X ESTA SOBRE LA ff POR CONSIGUIENTE X ES IGUAL A X
X
203
X = 2´015,874.57 (1 + 0.18 / 4)1.24*4 + 1´383,951.06 (1 + 0.18 / 4)0.41*4 + 3´011,659.45 (1 + 0.18 / 4)-1.01*4 X = 2´507,727.30 + 1´487,549.58 + 2´521,018.59. X = 6´516,295.47usd. valor pago único que debe efectuarse en los 3.74 Años(T.E.)
17.- Una empresa tiene las siguientes deudas:
1´000,000 usd que vence en 3 años a una tasa del 18% a.c.s.
2´000,000 usd Que vence en 4 años 6 meses a una tasa del 12% Efectiva.
3´000,000 usd que vence en 6 años 7meses a una tasa del 15% a.c.t.
Desea reemplazar sus deudas, por un solo pago en un tiempo equivalente (T.E) para los 3 vencimientos. Calcular la fecha de pago T.E. y el valor del pago único considerando una tasa de interés del 28% anual capitalizable trimestralmente. Para el cálculo del pago único tomar como fecha focal, la fecha correspondiente al T. E y para el cálculo de la fecha de pago aplicar la regla práctica para el cálculo del T.E. Solución: Calculamos los montos de todas las deudas: M = C (1 + i)n
M1 = 1’000,000 ( 1 + 0.18/2 )3*2 = 1´677,100.11
M2 = 2’000,000 ( 1 + 0.12 )4.5 = 3´330,512.73
M3 = 3’000,000 ( 1 + 0.15/4 )6.58*4 = 7´905,478.98
Graficamos una línea de tiempo y valores:
ff
M1 M2 M3
0 12 18 22.31 26.32(trim)
0 3 4.5 5.58 6.58(años)
X pago único
Calculamos el tiempo equivalente:
T.E = Ʃ M *t = 1´677,100.11 * 3+ 3´330,512.73*4.5 + 7´905,478.98 *6.58
204
Ʃ M 1´677,100.11 + 3´330,512.73 + 7´905.4.98
T.E = 5.58 años 5.58 años * 4 trimestres = 22.31 trim.
Calculamos el valor del pago con relación a la ff. ff
M C
X ESTA SOBRE LA ff POR CONSIGUIENTE X ES IGUAL A X
X
X = 1´677,100.11 ( 1 + 0.28/4)2.58*4 + 3´330,512.73 ( 1 + 0.28/4)1.08*4 + 7´905,478.98 ( 1 + 0.28/4) –1*4
X = 3´371,316.87 + 4´461,172.51 + 6´031,052.06.
X = 13’863,541.44 usd valor de pago único a los 5.58 años (T.E). 5.58 años = 5 años 6 meses 29 días (T.E).
205
APENDICE 8 DEPRECIACIONES: APLICACIONES
Existen diversos métodos para determinar el cargo anual por depreciación
notación a utilizarse C = Costo original del activo.
S = Valor de Salvamento ( S puede ser negativo ).
n = Vida útil del activo calculado en años.
B = C – S = Base de depreciación del activo.
K = Cualquier año de la Vida Útil del activo: ( 0 ≤ K ≤ n ).
Dk= Cargo por depreciación en el año K.
Ak= Depreciación acumulada al final del año K.
Ao = o An = B
Vk= Valor en libros al final del año K.
Vo = C Vn = S
dk= Tasa de depreciación en el año K.
método de línea recta
DK = C - S = B = D ( independientemente de K)
n n
AK = KD Vk = C - KD
Ejercicio.-Industrias TTS adquiere una maquinaria textil en un valor de
55.000 usd. De acuerdo con datos del fabricante tendrá una vida útil de 6 años antes de que deba ser reemplazado por un equipo mas moderno; su valor de salvamento se calcula en 4,000 usd. Calcular:
a) la depreciación anual por el método lineal.
206
b) Elaborar la tabla de depreciación.
solución
D = C - S = D = 55,000 – 4,000 = 8,500 usd
n 6
La depreciación anual será de 8,500 usd, cantidad que se incrementará en el
fondo de reserva para depreciar y disminuirá en el valor en libros del activo. Esto
se refleja en la siguiente tabla de depreciación:
TABLA DE DEPRECIACIÓN
AÑOS DEP. ANUAL DEP. ACUM VALOR EN LIBROS
n Dk Ak Vk
0 - - 55,000 C
1 8,500 8,500 46,500
2 8,500 17,000 38,000
3 8,500 25,500 29,500
4 8,500 34,000 21,000
5 8,500 42,500 12,500
6 8,500 55,000 4,000 Vn = S
MÉTODO DE PORCENTAJE FIJO
Dk = Vk-1 d → Depreciación en cualquier año K.
Vk = C ( 1- d ) → Valor en libros al final del año K.
S = C ( 1 – d )ⁿ = Vn → Valor de salvamento.
Cuando S es igual a cero, para el cálculo tomar S= 1
207
1.- Empresas Randall S.A adquirió maquinaria para optimizar su producción en
un valor de 130,000 usd. Se calcula que su vida útil será de 6 años y que a su
final tendrá un valor de salvamento de 15,000 usd
a) Calcular la tasa de depreciación d que debe aplicarse b) Elaborar la tabla de depreciación.
Datos: solución:
C = 130,000 usd a ) calculo de la tasa de depreciación (d)
n
n = 6 años S = C ( 1 – d )
6
S = 15,000 usd 15,000 = 130,000 ( 1 – d )
d = ? (1 – d ) = 15,000 /130,000 =0.115384615
1/6 1/6
( 1 – d ) = ( 0.115384615) ; -d = ( 0.115384615) -1
1/6
d = 1 – ( 0.115384615) ; d = 0.3022637 * 100
d = 30.2264 % → Este porcentaje se aplica para calcular la
depreciación.
b) Tabla de depreciación
TABLA DE DEPRECIACION
AÑOS
DEP.
ANUAL
DEP.
ACUM
VALOR EN
LIBROS
% de
dep.
0 - - 130,000.00 0.302264
1 39,294.32 39,294.32 90,705.68 0.302264
2 27,417.06 66,711.38 63,288.62 0.302264
3 19,129.87 85,841.25 44,158.75 0.302264
208
4 13,347.60 99,188.85 30,811.15 0.302264
5 9,313.10 108,501.95 21,498.05 0.302264
6 6,498.09 115,000.00 15,000.00
La diferencia de 0.04 se debe a redondeo. Cuando esto suceda como en el
presente caso, ajustamos en el último cargo por depreciación:
Depreciación anual del 6to
año = 6,498.05 usd
MÉTODO DE SUMA DE DÍGITOS
S = n ( n +1 ) → S = suma de dígitos
2 n = vida útil en años
B = C – S → Base de la depreciación
D1 = n ( C – S ) → Depreciación año 1
S
Dk = n – k + 1 ( C – S )→ Fórmula para calcular la depreciación de
S cualquier año.
Vk = C – Ak → Valor en libros en cualquier año.
La depreciación acumulada Ak se obtiene multiplicando la base de depreciación B
por la suma de las fracciones acumuladas hasta ese año.
2.- FABRITEX S.A compró maquinaria por un valor de 35,000 usd. Se estima
que su vida útil será de 6 años y que tendrá un valor de desecho de 5,000
usd. Elaborar la tabla de depreciación por el método de suma de digitos.
solución:
a) .- Se determina la base de depreciación.
209
B = C – S
B = 35,000 – 5,000 → B = 30,000 usd
b) .- Se calcula el denominador de la fracción ( suma de dígitos).
s= n ( n + 1)
2
s= 6 ( 6 + 1 ) → s= 6 * 7 → s= 42 → s= 21
2 2 2
c).- Se determina los numeradores de la fracción.
Año 1 2 3 4 5 6
Numerador 6 5 4 3 2 1
Fracción 6/21 5/21 4/21 3/21 2/21 1/21 ( ∑ = 21/21 =1)
d).- Hallamos el cargo por depreciación de cada año.
TABLA DE DEPRECIACIÓN
AÑOS FRACCION BASE DE DEP DEP. ANUAL DEP.
ACUMULAD
V/ LIBROS
0 - - 35,000.00
1 6/21 30,000 8,571.43 8,571.43 26,428.57
2 6/21 30,000 7,142.86 15,714.29 19,285.71
3 6/21 30,000 5,714.29 21,428.58 13,571.42
4 6/21 30,000 4,285.71 25,714.29 9,285.71
5 6/21 30,000 2,857.14 28,571.43 6,428.57
210
6 6/21 30,000 1,428.57 30,000.00 5,000.00
MÉTODO POR UNIDAD DE PRODUCCIÓN O SERVICIO.
3.- RENT–AUTOS S.A. compró un automóvil en un valor de 18,500 usd. Se
estima que la vida útil del vehículo para efectos de arrendamiento es de 80.000
km y que al cabo de ellos su valor de salvamento será de 8,500 usd. Durante los
3 primeros años, el automotor recorrió: 25,000 km, 22,000km y 28,000 km
respectivamente.
a) Establecer el valor de depreciación por Kilómetro recorrido b) Elaborar la tabla de depreciación.
Solución:
a) Cálculo de la base de depreciación: B = C – S → B = 18,500 – 8,500 = 10,000 usd
Esta base de depreciación se divide para el kilometraje total
d/km = 10,000/80,000 → 0.125/ km
b) Tabla de Depreciación.
TABLA DE DEPRECIACIÓN
AÑOS KM
DEP.
ANUAL
DEP.
ACUMULADA VALOR EN LIBROS
0 - - 18,500.00
1 25,000 3,125 3,125 15,375.00
2 22,000 2,750 5,875 12,625.00
3 28,000 3,500 9,375 9,125.00
MÉTODO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN.
211
Este método considera los intereses que gana el fondo de reserva que se va
constituyendo, por consiguiente, el incremento anual estará dado por la suma del
cargo anual por depreciación más los intereses ganados en ese período.
La aportación anual al fondo de amortización se deriva de la fórmula del monto de una
anualidad: M = R( ( ( 1 + i ) ⁿ -1) / i )
Para determinar el pago periódico se despeja R = Mi / (( 1 + i )ⁿ -1).
En este caso M = B, puesto que es el Monto que debe acumular al cabo de n años a
una tasa de interés i.
R = D, el cargo anual que debe efectuarse al fondo.
Entonces: Dk = Bi /(( 1 + i )ⁿ - 1) fòrmula del cargo anual .
Y si n = K Dk = Bi / (( 1 + i ) -1).
Para determinar la depreciación acumulada Ak se calcula el monto de un pago
periódico D a un plazo K y a una tasa de interés i por periodo.
k
Ak = Dk (( 1 + i ) -1) / i )
Vk = C - AK
El monto acumulado al cabo de n años debe ser igual a la base de depreciación del
activo.
4.- Constructora Ingenieros Asociados adquiere muebles de oficina para un
edificio de departamentos y oficinas que esta construyendo. El costo de compra
de los muebles es de 150,000 usd y se calcula que tendrán una vida útil de 5
años. La tasa de interés es del 12% anual y se estima que a su final tendrá un
valor de desecho de CERO.
212
a) Determinar el cargo anual por depreciación utilizando el método del fondo
de amortización.
b) Elaborar la tabla de depreciación.
Solución:
a) Cálculo de cargo anual.
B= C – S B= 150,000 – 0 = 150,000
k
Dk= Bi/ (( 1 + i ) – 1 )
5
Dk ( 150,000*0.12) / (( 1+0.12) -1)
D= 18,000/ (1.762341683 – 1)
D= 23,611.46 usd
La aportación que se debe hacer anualmente al fondo de amortización es de
23,611.43 usd.
b) tabla de depreciación
n n
M = C ( 1 + i ) ; M = 23,611.43 ( 1.12)
TABLA DE DEPRECIACIÓN
AÑOS
DEP.
ANUAL
INT.
GANAD
DEP.
ANUAL
DEP.
ACUMUL
VALOR/
LIBROS
213
0 - - - - 150,000.00
1 23,611.46 0 23,611.46 23,611.46 126,388.54
2 23,611.46 2,833.38 26,444.84 50,056.30 99,943.70
3 23,611.46 6,006.76 29,618.22 79,674.52 70,325.48
4 23,611.46 9,560.94 33,172.40 112,846.92 37,153.08
5 23,611.46 13,541.63 37,153.10 150,000.02 0.02
118,057.30 31,942.71 150,000.02
5.- Una empresa adquiere un equipo en 50,000 usd. Se estima una vida útil de 10
años, al final de los cuales se calcula un valor de salvamento de 10,000 usd y se
prevee que deberá realizar una inversión de 4,000 usd para descontarlo y
deshacerse de él.
Aplicando el método de línea recta calcular:
a) El cargo anual por depreciación b) Elabore una tabla de depreciación
Datos Solución
C= 50,000 usd (costo Original) a) Cargo anual por depreciación
n = 10 años (vida útil) D= C- S
S = 10,000 usd (Salvamento) n
gastos = 4,000 usd (desmontaje) D = 50,000- 6,000
Método Lineal 10
a) D=? Cargo anual depreciación D = 44,000 = 4,400
b) Tabla de Depreciación 10
S = 10,000-4,000 D = 4,400 usd c/año
S = 6,000 usd
c) Tabla de depreciación
214
Período Depreciación Anual Dep. Acumulada Valor en libros
0 -------------- ------------ 50,000 (C)
1 4,400 4,400 45,600
2 4,400 8,800 41,200
3 4,400 13,200 36,800
4 4,400 17,600 32,400
5 4,400 22,000 28,000
6 4,400 26,400 23,600
7 4,400 30,800 19,200
8 4,400 35,200 14,800
9 4,400 39,600 10,400
10 4,400 44,000 6,000 (S)
6.- Una persona adquiere un equipo en 75,000 usd y se estima que su tasa de
depreciación es del 25% y su esperanza de vida de 10 años.
Aplicando el método de porcentaje fijo, efectuar lo siguiente:
a) Elabore una tabla de depreciación de los 6 primeros años b) Hallar el valor en libros al final del 8vo Año. c) Hallar el cargo de depreciación del 9no Año. d) Determinar el valor de salvamento.
Datos:
215
C = 75,000 usd (costo inicial)
d= 25% = 0.25 ( tasa de depreciación)
n = 10 años (esperanza de vida)
Método Porcentaje Fijo calcular:
a) Tabla de depreciación 6 primeros años
b) V8 =?
c) D9 =?
d) S = ?
Solución
a) Tabla de depreciación ( 6primeros años)
Año Dep. Anual Dep. Acumulada Valor en libros % de depreciación
0 ------- -------- 75,000 0.25
1 18,750 18,750 56,250 0.25
2 14,062.50 32,812.50 42,187.50 0.25
3 10,546.88 43,359.38 31,640.63 0.25
4 7,910.16 51,269.54 23,730.46 0.25
5 5,932.62 57,202.16 17,797.84 0.25
6 4,449.46 61,651.62 13,348.38 -----
b) Valor en libros al final del 8vo año.
VK = C ( 1-d )K Valor en libros al final del año K
V8 = 75,000 (1-0.25)8 = 7,508.47 V8 = 7,508.47 usd
c) Cargo para depreciación del 9no año.
Dk = Vk -1d Depreciación en el año K
216
D9 = V9 -1d D9 = V8d
D9 = 7,508.47 (0.25) = 1,877.12 D9 = 1,877.12 usd
d) Valor de Salvamento (S= Vn)
S= Vn = C (1- d)n
S= V10 = 75,000 (1- 0.25)10 S = 4,223.51 usd
7.- Una empresa construye un centro comercial. El costo del terreno fue de
1´200,000 usd y el valor de la construcción de 23´000,000 usd. La vida útil del
centro comercial se calcula en 25 años y se estima que a su final tendrá un valor
de salvamento de 3´500,000 usd.
Aplicando el método de la suma de dígitos, determinar : ¿Cuál es el valor en
libros al cabo de 10 años?
Datos
Costo de terreno = 1´200,000 usd
C = 23´000,000 usd (Costo de la construcción)
n = 25 años (vida útil)
S = 3´500,000 usd (Valor de Salvamento)
Método: Suma de dígitos – calcular:
V10 =? (Valor en libros al final de 10 años)
Solución:
2
)1(nns 325
2
)125(25s
B = C- S B = 23´000,000-3´500,000 = 19´500,000
Ak = A10= 000,500´19325
16171819202122232425
217
A10 12´300,000 Depreciación Acumulada de 10 primeros años.
Calculamos el valor en libros
Vk = C-Ak
V10 = C- A10
V10=23´000,000 – 12´300,000
V10 = 10´700,000 usd
8.- Una empresa adquiere una máquina que tiene una vida útil de 2´600,000
unidades de producción. Su costo de adquisición fue de 55,000 usd y su valor de
salvamento de 4,500 usd. El número de unidades producidas durante los 6
primeros años de vida útil fueron:
Año 1 2 3 4 5 6
UNIDADES 275,000 300,000 250,000 320,000 220,000 280,000
Aplicando el método por unidad de producción o servicio:
a) Determinar la depreciación por unidad
b) Elaborar la tabla de depreciación
Datos:
Datos Solución
Vida útil= 2`600,000 unidades D= C- S
C= 55,000 usd n
S= 4,500 usd D = 55,000- 4,500
2´600,000
D = 0.019 usd c/año
b) Tabla de depreciación
218
Año No. Unidades Dep. Anual Dep. Acumulada Valor en libros
0 ------- -------- --------- 55,000
1 275,000 5,341.35 5,341.35 49,658.65
2 300,000 5,826.92 11,168.27 43,831.73
3 250,000 4,855.77 16,024.04 38,975.96
4 320,000 6,215.39 22,239.43 32,760.58
5 220,000 4,273.08 26,512.51 28,487.49
6 280,000 5,438.43 31,950.97 23,049.03
9.- Una empresa adquiere equipo y maquinaria para su producción en un valor
de 170,000 usd. Se calcula una vida útil de 8 años y se estima que su valor de
desecho a su final será de 12,000 usd.
Aplicando el método de porcentaje Fijo:
a) Determinar la tasa de depreciación de que debe aplicarse
b) Elaborar la tabla de depreciación
Datos Solución : S= C (1- d)n
C= 170,000 usd 12,000=170,000 (1- d)8
n= 8 años (1- d)8 = 12,000 = 0.071
S= 12,000usd 170,000
Método de porcentaje fijo (1- d)8/8
= (0.071)1/8
; 1-d = (0.071)1/8
;
d= ? -d = (0.071)1/8
-1; d= 1-(0.071)1/8
d= 0.2821
Tabla = ? d = 28.21%
b) Tabla de depreciación
Año Dep. Anual Dep. Acumulada Valor en libros d
219
0 ------- -------- 170,000 0.2821
1 47,949.25 47,949.25 122,050.75 0.2821
2 34,424.95 82,374.20 87,625.80 0.2821
3 24,715.24 107,089.44 62,910.56 0.2821
4 17,744.20 124,833.64 45,166.36 0.2821
5 12,739.37 137,570.01 32,426.99 0.2821
6 9,146.18 146,719.19 23,280.82 0.2821
7 6,566.46 153,285.65 16,714.35 0.2821
8 4,714.36 158,000 12,000 ------
220
APENDICE 9 TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA Y TASAS
EQUIVALENTES
Es muy común que en operaciones financieras, el acreedor y el deudor acuerden la tasa y el interés anual, que regirá durante todo el tiempo que dure la operación. A esta tasa se le conoce como tasa nominal de interés.
Cuando el interés generado se capitaliza en forma mensual, trimestral, semestral, etc., la cantidad efectivamente pagada o ganada, siempre será mayor que la cantidad que se le pagaría o ganaría, si se compone anualmente. Cuando se presenta este caso, se puede calcular una tasa efectiva anual.
Se dice que dos tasas de interés anuales con diferentes períodos de capitalización, son tasas equivalentes, sí al cabo de 1 año producen el mismo monto a interés compuesto.
Relación de equivalencias entre tasas. i= Tasa de interés anual efectiva.
j= Tasa de interés anual nominal.
m= Número de períodos de capitalización al año.
n= Número de períodos.
C= Capital de la operación financiera.
M= Monto compuesto.
Tenemos: a) M= C (1 + i)n
y también: b) M=C (1 + j/m) mn
Ecuación a) = Ecuación b) C (1 + i)
n = C (1 + j/m)
mn
Divido para C: (1 + i) n = (1 + j/m)
n
Como n = 1 ecuación general
de equivalencia
(1 + i) = (1 + j/m) m
221
Despejo i: ecuación que permite hallar la tasa efectiva dada la tasa nominal
PUNTO CLAVE 1: Por concepto, 2 tasas de interés son equivalentes, si producen el mismo monto
al final de 1año, es decir n =1
1.- Gráficas MARVESA realizó una inversión de 15,000 usd en una entidad bancaria, que le reconoce una tasa del 12% de interés anual convertible mensualmente. a) Determinar cuál es la tasa efectiva de interés que recibe. b) Demostrar que las tasas son equivalentes. Solución: C = 15,000 usd j = 12% a.c.m. m = 12 (mensual) i = ?
a) Cálculo de la tasa efectiva de interés:
i = (1 + j/m) m – 1 i = (1 + 0.12/12) 12 – 1
i = (1 + 0.01) 12 – 1 = i = (1.01) 12 – 1
i = 0.12682503 a porcentaje
i = 0.12682503*100= 12.682503% i = 12.682503% tasa efectiva de interés que recibe
Por consiguiente: “una tasa nominal del 12% a.c.m. es equivalente a una tasa efectiva del 12.682503%”.
b) Demostración de equivalencia de las tasas: Por concepto, dos tasas son equivalentes si producen el mismo monto al final de
un año. Por consiguiente: si C = 1; n = 1
M = C (1 + i)n M = (1 + i) n M = (1 +i)
M = (1 + 0.12682503) M = 1.125825030 usd Monto que produce un capital de 1 usd al
final de un año con la tasa efectiva i = 12.682503%
Cálculo con la tasa nominal j = 12% a.c.m.
M = C (1 + j/m)m M = (1 +j/m) m
M = (1 +0.12/12)12 M = (1.01) 12 M = 1.12682503 usd.
i = (1 + j/m) m - 1
222
PUNTO CLAVE 2 Es la equivalencia de tasas no interviene el capital invertido, por consiguiente puedo considerar para el cálculo de la equivalencia C = 1 y el tiempo de 1 año. 2.- Walter Ramírez invirtió 30,000 usd a 3 años plazo y obtuvo un rendimiento del 8% anual. Desea establecer el valor de la tasa nominal anual convertible trimestralmente, a la que estuvo colocado al capital. Datos:
C = 30,000 usd
i = 8 % anual j = ? a.c.t. m= 4
n= m*t = 4*3=12 periodos (trimestral)
Solución:
de la ecuación: i = (1 + j/m) m – 1 despejo j = (1 + j/m) m = i +1 (1 +j/m) m*1/ m =(1 + i )1/ m (1 + j/m) = (1 + i) 1/ m j/m = (1 + i) 1/ m -1
fórmula para calcular la tasa nominal anual
j = [(1 + 0.08) 1/ 4 - 1] 4 j = 0.077706 a.c.t. En porcentaje: j = 0.077706*100 j = 7.7706% a.c.t “La tasa nominal j anual convertible trimestralmente, que produce un 8% efectivo, es de 7.7706%” 3.- Almacenes SNOW adquirió un préstamo de 10,000 usd, a 24 meses con una tasa de interés del 15% anual, convertible trimestralmente.
a) Desea conocer cuál es la tasa nominal j convertible mensualmente equivalente a la tasa a la que adquirió el crédito.
PUNTO CLAVE 3 “Cuando 2 tasas de interés son convertibles en dos períodos distintos, es necesario que ambas tasas se igualen a su tasa anual”. Solución:
j = [(1 + i) 1/ m - 1] m
223
a) Una tasa nominal j convertible mensualmente, es igual a una tasa efectiva
i = (1 +j/m) m en donde: m = 12 entonces: i = (1 + j/12) 12
b) Una tasa nominal del 15% anual convertible trimestralmente, es igual a una tasa efectiva
i = (1 + j/m) m en donde: j = 0.15 a.c.t; m =4 entonces: i =(1 + 0.15/4) 4
Como = (1 + j/12) 12 = (1 + 0.15/4) 4 (1 + j/12) 12/12 = (1 + 0.0375) 4/12 (1 + j/12) = (1.0375) 1/3 – 1 j = [(1.0375) 1/3 – 1 ] 12 j = 0.148163
En porcentaje: j = 0. 148163*100 j = 14.8163% a.c.m.
Por consiguiente, una tasa nominal del 15% a.c.t. es equivalente a una tasa nominal de 14.8163% a.c.m. Entonces podemos utilizar la siguiente fórmula:
En donde m1y m2 son los períodos 1 y 2 de conversión respectivamente. PUNTO CLAVE 4 “Cuando se tienen tasas convertibles en períodos distintos, a mayor frecuencia de conversión se obtiene un rendimiento mayor”.
4.- INDUSTRIAS CERMESA desea invertir 150,000 usd. Para el efecto quiere determinar a que tasa de interés anual convertible trimestralmente, podrá obtener un monto de 450,000 usd en 6 años. Solución: C = 150,000 usd M = 450,000 usd t = 6 años j =? (a.c.t.) Partimos de la fórmula del monto compuesto: M = C(1 + i) n 450,000 = 150,000 (1 + i) n (1 + i) n = 450,000 = 3
150,000 (1 + i) n = 3
1
2
1 2
(1 + j/m ) m = (1 + j/m )
m
1 1 2
2
1
224
Como sabemos que (1 + i) = (1 + j/m) m Llevando ambos lados de la ecuación a n tenemos:
Fórmula para calcular j con cualquier valor de n
p
Para el presente ejemplo n = 6 y m = 4
Reemplazo en la ecuación y obtengo (1 + j/m) mn = 3
(1 + j/4) 4*6 = 3 (1 + j/4) 24 = 3 (1 + j/4) 24/24 = 31/24 (1 + j/4) = 31/24 j/4 = 31/24 - 1 j = (31/24 – 1) 4 j = 0.187358 Este valor en porcentaje será: j = 0.187358*100 = 18.7358% a.c.t.
Industrias CERMESA debe invertir su capital de 150,000 usd, a una tasa
nominal del 18.7358% a.c.t, para que se incremente a un valor de 450,000 usd en 6 años.
FÓRMULAS PARA TRANSFORMACIÓN DE TASAS:
Nomenclatura:
i = Tasa efectiva o efectiva periódica
j = Tasa nominal
m = Frecuencia de capitalización o número de veces que se capitalizan los
intereses en el año
Si se tiene la tasa nominal a un periodo de capitalización para pasar a la tasa efectiva
periódica del periodo de tiempo en el que se capitaliza se utiliza la fórmula: i = j/m
Ejemplo:
(1 + i) n = (1 + j/m ) mn
1
225
Se desea conocer la tasa semestral de una tasa del 10% a.c.s (anual capitalizable
semestralmente).
j = 10% a.c.s.
m = 2 (capitalizaciones al año)
i = ? semestral
Entonces aplico la fórmula
i = j/m
i = 0.10/2 = 5% semestral
Si tuviese la tasa efectiva periódica y desea conocer la tasa nominal del mismo
periodo de de tiempo indicada en la tasa efectiva únicamente despejo j de la fórmula
anteriormente vista.
Ejemplo:
Encontrar la tasa nominal a.c.t. equivalente a la tasa efectiva periódica del 2.5%
trimestral
j = ? a.c.t.
m = 4 (capitalizaciones al año)
i = 2.5% trimestral
Entonces aplico la fórmula
i = j/m
j = 0.025 (4) = 10% a.c.t.
Para pasar de tasa efectiva anual a tasa nominal o a la inversa:
226
(1+i) = (1+j/m)m
Ejemplo:
Se desea conocer la tasa equivalente a.c.s (anual capitalizable semestralmente) de
una tasa del 10.25% efectiva anual.
j = ? a.c.s.
m = 2 (capitalizaciones al año)
i = 10.25% efectiva anual
Entonces aplico la fórmula y despejo i:
(1+i) = (1+j/m)m
(1+0.1025) = (1+j/2)2
((1.1025)1/2 -1) (2)= j
j = 10.0% a.c.s.
Al necesitar una tasa efectiva periódica en base a otra tasa efectiva periódica incluida
la tasa efectiva anual:
(1+i1)p1 = (1+i2)
p2
Donde:
i1 = Tasa efec. periódica 1 ; p1 = periodo1
i2 = Tasa efec. periódica 2 ; p2 = periodo 2
Ejemplo:
227
Se desea saber cual es la tasa equivalente mensual de una tasa del 5% semestral
Donde:
i1 = 5% semestral ; p1 = periodo1
i2 = ? mensual ; p2 = periodo 2
para conocer los valores de p1 y p2 se toma en consideración el periodo mayor que
para el ejemplo es semestre, y para calcular p1 decimos cuantos semestres hay en un
semestre entonces p1 =1 igual hacemos para p2 cuantos meses hay en un semestre y
obtenemos que p2 = 6, finalmente aplico la fórmula y despejo i2.
(1+i1)p1 = (1+i2)
p2
(1+0.05)1 = (1+ i2)6
i2 = (1+0.05)1/6-1 i2 = 0.82% mensual
*** (Tenga en cuenta que siempre la tasa efectiva es mayor que la tasa nominal, pues
en esta se consideran los valores capitalizados.)
Un caso en el que se tienen que utilizar dos fórmulas y que puede darse solución por
dos métodos es:
Ejemplo:
Transforme 1.2% mensual a tasa nominal a.c.s.
Método 1: Tranforme a tasa semestral, luego a tasa nominal a.c.s.
i1 = 1.2% mensual ; p1 = 6
i2 = ? semestral ; p2 = 1
228
(1+0.012)6 = (1+ i2)1
i2 = (1+0.012)6-1 i2 = 7.42% semestral
i = j/m m = 2 i = 7.42% semestral j = 2 (0.0742) = 0.1483 =14.84% a.c.s.
Método 2: Tranforme a tasa a.c.m, luego a tasa nominal a.c.s. i = j/m m = 12 i = 1.2 mensual j = 12 (0.012) = 0.144 =14.4% a.c.m.
(1+ j1/m1)m1 = (1+j2/m2)
m2
(1+ 0.144/12)12 = (1+j2/2)2
(1+ 0.144/12)6 = (1+j2/2)
((1.012)6-1) (2) = j2
j2 = 14.84% a.c.s.
En resumen llegamos a tener el siguiente esquema o metodología que nos ayuda a
visualizar los diferentes caminos para efectuar las transformaciones aplicando los
conceptos vistos anteriormente
229
Para la utilización de este esquema, usted debe ubicarse en el tipo de tasa que tiene
como dato y seguir las fechas hasta llegar al tipo de tasa al que desea tener su
equivalencia, pueden existir varios caminos para hacerlo, lo importante es que una vez
determinado el camino utilice la o las formula(s) que le permiten pasar de un nodo (tipo
de tasa) a otro nodo y vaya identificando las tasas encontradas con todos los detalles
Ej: 8% a.c.m.; 3% trimestral, 15% anual, etc. Esto es necesario para que sepa que tipo
de tasa encontró.
Si numeramos las fórmulas en sentido horario tenemos:
Tasa
Nominal
j
Tasa
Nominal
j
Tasa
Efectiva
i
Tasa
Efectiva
i
i = j/m
(Mismo periodo de capitalización)
(1+j1/m1) m1 = (1+j2/m2)m2
(Diferente frecuencia
de conversión)
(1+i) = (1+j/m)m
(Tasa efectiva anual)
(1+i1) p1 = (1+i2)p2
(Incluye tasa
efectiva anual)
Esquema para transformación de tasas de interés
efectivas y nominales
230
Algunos ejercicios se resuelven con más de una fórmula
Por ejemplo:
Si deseo transformar j = 10% a.c.s. (Tasa nominal) a i = mensual (Tasa efectiva
periódica mensual): primeramente me ubico en uno de los 2 nodos de la tasa nominal,
para indicar el camino que se va a tomar indicamos las fórmulas a utilizar hasta llegar
a la tasa efectiva periódica mensual; en este ejemplo hay dos caminos como lo
veremos a continuación:
Primer Camino:
tn
tn tn tn
tn te
te
1
2
3
4
10% a.c.s. 5% semestral
0,82% mensual
Tasa
Nominal
j
Tasa
Nominal
j
Tasa
Efectiva
i
i = j/m
(Mismo periodo de capitalización)
(1+j1/m1) m1 = (1+j2/m2)m2
(Diferente frecuencia
de conversión)
(1+i) = (1+j/m)m
(Tasa efectiva anual)
(1+i1) p1 = (1+i2)p2
(Incluye tasa
efectiva anual)
1
2
3
4
Esquema para transformación de tasas de interés
efectivas y nominales
Tasa
Efectiva
i
231
F12: Esto quiere decir que partimos de una tasa nominal j = 10% a.c.s, aplicamos la
fórmula 1: i = j/m y pasamos a tasa efectiva semestral i = 5% semestral y finalmente
con la fórmula 2: (1+i1)p1 = (1+i2)
p2 transformo de tasa efectiva semestral a tasa
efectiva mensual i = 0.82% mensual.
Segundo Camino:
F32: Esto quiere decir que partimos de una tasa nominal j = 10% a.c.s, aplicamos la
fórmula 3: (1+i) = (1+j/m)m y pasamos a tasa efectiva anual i = 10.25% anual y
finalmente con la fórmula 2: (1+i1)p1 = (1+i2)
p2 transformo de tasa efectiva anual a tasa
efectiva mensual i = 0.82% mensual.
Nota: “No es lo mismo F12 que F21”
En los siguientes ejemplos podemos aplicar la metodología de transformación
de tasas vista anteriormente:
Tasa Nominal (j) a Efectiva (i) o viceversa: Aplico F3
(1+j/m)m = (1+i) Donde m es el número de capitalizaciones de la tasa nominal al año. Ejemplo: j = 10% a.c.s (anual convertible semestralmente), m = 2 i = ? (1+0.10/2)2 = (1+i) i = 10.25% anual
tn
tn tn tn
tn te
te
1
2
3
4
10% a.c.s.
5% semestral
10,25% anual
232
Siempre la tasa efectiva es mayor que la tasa nomina puesto que considera la capitalización de intereses.
Tasa Nominal (j1) a Tasa Nominal (j2): Aplico F4
(1+j1/m1)m1 = (1+j2/m2)
m2 Donde m1 es el número de capitalizaciones de la tasa nominal j1 al año y
m2 es el número de capitalizaciones de la tasa nominal j2. Ejemplo: j1 = 10% a.c.s (anual convertible semestralmente), m1 = 2 j2 = ? a.c.t (anual convertible trimestralmente), m2 = 4 (1+0.10/2)2 = (1+j2/4)4
j2 = 9.88% a.c.t.
Tasa Nominal (j) a Tasa Efectiva Periódica (i): Aplico F1
i = j/m Ejemplo: j = 10% a.c.s (anual convertible semestralmente), m = 2 i = ? semestral i = 0.10/2 = 0.05, entonces 5% semestral
Tasa Efectiva Periódica (i1) a Tasa Efectiva Periódica (i2): Aplico F2
(1+i1)p1 = (1+i2)
p2 Ejemplo: i1= 10.25% anual p1= 1, i2= ? % mensual p2= 12, (1 + 0.1025)1 = (1 + i2)
12 i2 = 0.0082 mensual, entonces 0.82% mensual
233
BIBLIOGRAFÍA Y NETGRAFÍA
BIBLIOGRAFIA
1. Matemáticas Financiaras, Grupo Guía.com.ar, tercera edición revisada 2010,
MORA ZAMBRANO, Armando
2. Matemáticas Financieras, McGraw Hill, Tercera edición 1999, DÍAZ MATA, Alfredo.
3. Matemáticas Financieras, Thomson Learning, Quinta edición 2002. HERNÁNDEZ
HERNÁNDEZ, Abraham.
4. Matemáticas Financieras Teoría y 500 problemas resueltos, McGraw-Hill, 2003 AYRES,
Frank Jr.
5. Matemáticas Financieras, McGraw-Hill, Segunda edición 1999, ALVAREZ, Alberto.
6. Bolsa de Valores de Quito. Guía del Inversionista Bursátil.
7. Ley General de Instituciones del Sistema Financiero. Registro Oficial 439, Suplemento, de 12
de mayo de 1994.
8. Ley del Mercado de Valores, Registro Oficial 199 de 28 de mayo de 1993.
9. Ley de Régimen Monetario y Banco del Estado. Registro Oficial de mayo de 1992.
NETGRAFIA
1. Generalidades
http://www.profes.net/rep_documentos/PDS_Matemáticas/1B_Mt._CCSS._Euler_Amp._Logarit
mos,_progresiones_y_matemática_financiera.pdf
http://es.wikipedia.org/wiki/Matemática_financiera
2. Interés Simple
http://www.vitutor.com/di/p/a_12.html
3. Descuentos
http://www.matematicas-financieras.com/1-3-descuentosimple.html
4. Ecuaciones de valor y cuentas de ahorros
http://www.slideshare.net/tmateo14/interes-simple-7551122
5. Interés compuesto y depreciaciones
234
http://www.slideshare.net/rss211060/interes-compuesto-14090914
http://www.slideshare.net/YPL/depreciaciones