tesis_mayo_juan.pdf

Marjorie Tapia Prieto

Juan Luis Ramírez Lara

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA

FACULTAD DE HUMANIDADES Y TECNOLOGÍAS DE LA COMUNICACIÓN SOCIAL

DEPARTAMENTO DE CARTOGRAFÍA

ESCUELA DE CARTOGRAFÍA

EVALUACIÓN DE LA ALTERACIÓN SUPERFICIAL POR INFLUENCIA DE LA

ALTURA Y LOCALIZACIÓN EN UNA PROYECCIÓN UNIVERSAL

TRANSVERSAL DE MERCATOR (UTM)

TESIS PARA OPTAR

AL TÍTULO DE CARTÓGRAFO LICENCIADO EN CIENCIAS CARTOGRÁFICAS

PROFESOR GUÍA : RENÉ ZEPEDA GODOY

AUTOR (es) : MARJORIE TAPIA PRIETO

JUAN LUIS RAMIREZ LARA

SANTIAGO - CHILE 2008



NOTA OBTENIDA:

(Firma y timbre de autoridad responsable)



Con especial cariño

A mi familia Guadalupe, Carlos, Hilda y Nicole. Por su incondicional apoyo, por siempre estar cuando los necesite y por creer en mi, muchas gracias. Y a Pelao, que de donde estés estoy segura que te

sientes orgulloso de mí.

Agradecimientos: Al término de un trabajo, se mira hacia atrás y se recapitulan todos los momentos vividos en este proceso, sin duda los que más quedan, son los recuerdos de aquellas personas que desinteresadamente ayudaron

a que esto fuese posible.

A mis Padres y Abuela, por su infinito amor, comprensión y ayuda, en los momentos buenos y difíciles de la vida.

A mi Hermana Nicole, por soportar enojos y pataletas cada vez que no resultaban las cosas, pero

principalmente por ser mi amiga y pilar fundamental de mi vida.

A René Zepeda G., por siempre entregar sus conocimientos y apoyo, por enseñarnos que los cartógrafos somos mucho mas que dibujantes. Muchas gracias profesor, sin duda me siento orgullosa de haber sido

su alumna.

A Miguel Valladares Q., Mireya González y Eduardo Escobar, por su incansable paciencia, disposición y por siempre tener palabras de aliento cuando se necesito.

A Juan Ramírez, por ser un increíble compañero de trabajo y el mejor compañero de tesis.

A Rodrigo Miranda, por compartir sus conocimientos, por ser un gran amigo y colaborador de este trabajo.

A Sebastián Barahona y Jaime Villanueva, quienes nos mostraron que Geomensores y Cartógrafos

pueden trabajar juntos y ser un gran equipo.

Amigos, Compañeros de Universidad y todo el equipo de trabajo de la Universidad de Chile, que de forma anónima ayudaron que esto se realizara.

Y a todas esas personas que desde muy lejos se acordaron que había dos cartógrafos sufriendo por que

las cosas no resultaban.

A todos ustedes, se les agradece por ser parte fundamental de este proyecto. Sin su ayuda esto no hubiese sido posible.




Dedico esta tesis Con amor a mi familia, en especial a mis padres Ana y Juan, por su infinito amor, cariño

y comprensión, a ellos les debo todo lo que soy.

Agradecimientos

“Nunca un año se presento con tantos obstáculos, con seguridad puedo decir que los

aprendizajes obtenidos en este proceso marcarán mi camino de aquí en adelante”

Por permitirme que este momento llegara, mis más profundos agradecimientos

A Dios, por las personas que puso en mi camino;

Mis queridos padres, por su infinito apoyo y confianza en mis años de estudio:

A mi abuela “Nana”, por estar siempre conmigo;

Mis hermanos, Ricardo y Claudio por su confianza;

Mi profesor guía, Sr. René Zepeda, por su apoyo y orientación en el desarrollo de la presente;

A los profesores, Sr. Miguel Valladares, Sra. Mireya González y Sr. Eduardo Escobar, por sus

aportes, asesorias y consejos;

A mi amiga y compañera de tesis, Marjorie Tapia, por su paciencia, apoyo, entrega y tiempo

dedicado para lograr este objetivo común;

A mis amigos de vida, por todos los momentos inolvidables que hemos vivido;

A mis compañeros de Universidad y trabajo, por su colaboración y preocupación hacia mi.

A quién desde lejos me prestó su colaboración desinteresada; y a cada una de las personas

que intervinieron en este camino dándome una palabra de aliento.

Juan Luis Ramirez Lara



RESUMEN

La proyección Universal Transversal de Mercator (UTM) es una proyección

cartográfica utilizada mundialmente para la representación de mapas. Producto de su

masificación no siempre se consideran sus restricciones, asumiendo propiedades que no

necesariamente se conservan.

El presente trabajo, expone el desarrollo de una investigación cuyo objetivo principal es

determinar las alteraciones métricas superficiales que presenta un polígono, influenciado por la

altura y localización en un sistema proyectivo UTM. En este trabajo se presentan conceptos

generales de cartografía y geodesia relacionados a los componentes analíticos de referencia

vertical y proyecciones cartográficas con especial atención en las propiedades y fundamento

matemático de la proyección conforme.

En particular se describe el caso concreto de un polígono generado a partir de

determinaciones mediante tecnología GPS con precisión submétrica, a través de un circuito por

la comuna de Natales, lugar seleccionado dada su localización proyectada en UTM, detallando

la metodología del procedimiento y análisis de los resultados.

Finalmente se presentan las conclusiones obtenidas desde una perspectiva cartográfica

acerca del relieve, escala de representación y otras propiedades fundamentales en la

representación, precisión y calidad de los resultados.



ABSTRACT

The Mercator Universal Transversal (UTM) is a cartographic projection which is used

worldwide for map representation. As a result of its mass use, not always its restrictions are

considered, assuming properties that not necessarily are conserved

In order to investigate the superficial metric alterations of a polygon influenced by height

and localization in a UTM projection system, a study was developed. In this study, general

cartography and geodesy concepts are presented and related with analytical components of

vertical reference and cartographic projections, specially with the properties and mathematical

basis of the conform projection.

In particular, a description of a specific polygon case which was generated from

determinations through GPS technology and a submeters precision from a defined route in the

Natales county, a place which was chosen because its UTM projected localization. A detailed

methodology, procedures realized and the analysis of the results are presented.

Finally, the conclusions are presented from a cartographic perspective from the relief,

representation scale and other fundamental properties on the representation, precision and

quality of the results.



Siglas utilizadas en el texto

AE : Este Albert

FE : Este Falso

IERS : International Earth Rotation Service

ITRF : International Terrestral Referencie Frame

IGM : Instituto Geográfico Militar chileno

GPS : Global Positioning System

mc : Meridiano central

CN : Norte Cartográfico

AN : Norte Albers

FN : Norte Falso

GN : Norte Geocéntrico

ppm : Partes por millón

PSAD56 : Datum Provisorio Sudamericano de 1956

SAD69 : Datum Sudamericano de 1969

SIG : Sistema de Información Geográfica

SIRGAS : Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas

TM : Proyección Transversal de Mercator

UTM : Transversal de Mercator

WGS84 : World Geodetic System 1984



TABLA DE CONTENIDOS

Antecedentes Generales

Introducción . . . . . . . . . 17

Hipótesis de trabajo . . . . . . . . 20

Objetivo general y específicos. . . . . . . 21

Contribución . . . . . . . . . 22

Metodología . . . . . . . . . 22

Capítulo 1: Alcances y consideraciones de los referenciales geodésicos puntualizados

en aquellos utilizados en el país.

1.1.- Antecedentes . . . . . . . . 23

1.2.- Superficies de referencia . . . . . . 23

1.3.- Tipologías de superficie . . . . . . 25

1.4.- Elipsoide de referencia . . . . . . 27

1.5.- Sistemas geodésicos de referencia . . . . . 28

1.6.- Datum . . . . . . . . . 29

1.6.1.- Datum planimétrico . . . . . . 30

1.6.2.- Datum satelital . . . . . . 31

1.6.3.- Datum vertical . . . . . . 33

1.7.- Línea geodésica . . . . . . . 34

1.8.- Superficies elipsoidales . . . . . . . 35



Capítulo 2: Proyecciones cartográficas, aspectos geométricos y conceptuales de la

conformidad y equivalencia.

2.1.- Antecedentes . . . . . . . . 37

2.2.- Módulo de deformaciones . . . . . . 38

2.2.1.- Elipse de Tissot . . . . . . 38

2.2.2.- Módulo de anamorfosis superficial . . . . 40

2.2.3.- Condición de conformidad . . . . . 40

2.3.- Límite de la proyección . . . . . . . 44

2.4.- Proyección de Mercator 45

2.5.- Proyección Transversa de Mercator . . . . . 46

2.6.- Proyección Universal Transversal de Mercator . . . 48

Parámetros UTM

2.6.1.- Husos cartográficos . . . . . . 50

2.6.2.- Este falso y norte falso . . . . . 51

2.6.3.- Convergencia de meridianos . . . . . 53

2.6.4.- Reducción de la cuerda . . . . . 54

2.6.5.- Factor de escala . . . . . . 55

2.6.6.- Fórmulas Proyección Universal Transversal de Mercator . 55

2.7.- Proyección cónica de Albers . . . . . . 56

2.7.1.- Fórmulas Albers sobre el elipsoide . . . . 58



Capítulo 3: Manejo de SIG y “opensource” como herramientas de trabajo con datos

espaciales.

3.1.- Antecedentes . . . . . . . . 59

3.2.- GIS y CAD . . . . . . . . 60

3.3.- Dato, base de dato y cobertura geográfica . . . . 61

3.4.- Determinación de área . . . . . . . 62

3.4.1.- Método de Gauss . . . . . . 62

3.5.- Alcances técnicos de librería proj4 . . . . . 63

3.6.- Estructura y aplicación . . . . . . . 64

Capitulo 4: Metodología y Resultados

4.1.- Metodología

4.1.1.- Antecedentes . . . . . . . . 65

4.1.2.- Metodología de terreno . . . . . . 66

4.1.2.1.- Área de estudio . . . . . 66

4.1.2.2.- Levantamiento de campo . . . . . 68

4.1.2.3.- Instalación de receptor base GPS . . . . 68

4.1.2.4.- Identificación de puntos GPS . . . . 69

4.1.2.5- Obtención de coordenadas GPS . . . . 69

4.1.3.- Metodología de gabinete

4.1.3.1.- Determinación polígono de trabajo . . . 70

4.1.3.2.- Determinación de proyecciones cartográficas utilizadas . 71



4.1.3.3.- Determinación de los escenarios . . . . 73

4.1.3.4.- Procesamiento de datos

4.1.3.4.1.- Conversión de coordenadas . . . 74

4.1.3.4.2.- Modelo poligonal en Autocad . . . 77

4.1.3.4.3.- Variación métrica entre escenarios . . 78

4.1.3.4.4.- Módulo de deformación . . . . 79

4.1.3.4.5.- Extrapolación factor de escala superficial . 79

4.2.- Presentación de resultados

4.2.1.- Vértices de coordenadas UTM – Albers . . . 81

4.2.2.- Área en función de los distintos escenarios . . . 85

4.2.3.- Polinomio de Lagrange . . . . . 90

Análisis y Conclusiones

Análisis . . . . . . . . . 93

Conclusiones, recomendaciones y alcances del trabajo . . . 100

Bibliografía . . . . . . . . . . 103



Anexos

I. Referenciales Geodésicos

Cálculos de las normales principales . . . . . 105

Radio de curvatura de la elipse meridiana (M) . . . 105

Normal principal (N) . . . . . . . 108

Cálculo de arcos sobre el elipsoide . . . . . . 111

Longitud de arco de meridiano (Sm) . . . . 111

Longitud de arco de paralelo (Sp) . . . . . 113

Sistema coordenado . . . . . . . . 113

Sistema de coordenadas cartesianas . . . . 114

Sistema de coordenadas geodésicas . . . . 115

Relación matemática entre coordenadas cartesianas y geodésicas . 116

II. Proyecciones cartográficas

Proyección cilíndrica . . . . . . . . 118

Proyección cilíndrica regular 118

Proyección cilíndrica transversa . . . . . . 119

Proyección cónica . . . . . . . . 119

Proyección conforme . . . . . . . . 120

Proyección equivalente . . . . . . . 121



III. Sistema vertical de referencia

Tipos de altura . . . . . . . . 123

Alturas de tipo geométrico

Alturas niveladas . . . . . . 123

Alturas elipsoidales . . . . . . 124

Alturas de tipo físico

Alturas ortométricas . . . . . . 124

Alturas dinámicas . . . . . . 125

Alturas normales . . . . . 125



INDICE DE FIGURAS

Capítulo Alcances y consideraciones de los referenciales geodésicos puntualizados

en aquellos utilizados en el país.

Figura N º 01 Superficies de referencia . . . . 25

Figura N º 02 Parámetros elipsoidales . . . . 27

Figura N º 03 Comparación entre sistemas de referencia . . 29

Figura N º 04 Ondulación geoidal (N) . . . . 33

Figura N º 05 Línea geodésica . . . . . 34

Figura N º 06 Árco de meridiano y paralelo esférico 35

Figura N º 07 Arco de meridiano y paralelo elipsoidal. . . 36

Capítulo Proyecciones cartográficas, aspectos geométricos y conceptuales de

la conformidad y equivalencia.

Figura N º 08 Círculo de radio unitario y elipse indicatriz de Tissot. 39

Figura N º 09 Conservación de ángulos traspaso del elipsoide al plano 41

Figura N º 10 Proyección Universal Transversal de Mercator . 48

Figura N º 11 Campo proyección UTM . . . . 49

Figura N º 12 Husos cartográficos UTM . . . 50

Figura N º 13 Husos UTM para Chile . . . . 51

Figura N º 14 Huso UTM hemisferio sur . . . . 52

Figura N º 15 Convergencia meridiana . . . . 53



Figura N º 16 Reducción de direcciones. . . . . 54

Figura N º 17 Proyección equivalente de Albers . . . 56

Figura N º 18 Albers sobre el elipsoide . . . . 58

Capítulo Metodología y resultados

Figura N º 19 Área de estudio . . . . . 67

Figura N º 20 Escenarios . . . . . . 74

Figura N º 21 Modelos poligonales . . . . . 78

Figura N º 22 Escenarios en función de su ubicación geográfica . 86

Capítulo Análisis y conclusión

Figura N º 23 Comparación polígono proyectado UTM y Albers . 96

Anexos

Figura N º 24 Radio de curvatura de la elipse meriadiana . . 105

Figura N º 25 Gran normal . . . . . . 108

Figura N º 26 Arcos sobre el elipsoide . . . . 111

Figura N º 27 Sistema de coordenadas cartesianas . . 114

Figura N º 28 Sistema de coordenadas geodésicas . . 115

Figura N º 29 Proyección cilíndrica . . . . . 118

Figura N º 30 Proyección cónica . . . . . 120

Figura N º 31 Relación entre alturas . . . . 125



INDICE DE TABLAS

Tabla N º 01 Vértices corregidos polígono original . . 70

Tabla N º 02 Vértices escenarios alternativos – coordenadas

UTM-Albers / WGS84 . . . . 82

Tabla N º 03 Vértices polígono 1 – coordenadas UTM

Albers / PSAD56 . . . . . 84

Tabla N º 04 Determinación superficial de los escenarios . 85

Tabla N º 05 Diferencia superficial referido a la altura . . 87

Tabla N º 06 Diferencia superficial referido a la localización

Geográfica . . . . . . 87

Tabla N º 07 Diferencia superficial entre escenarios alternativos y

Original . . . . . . 87

Tabla N º 08 Polinomio de Lagrange . . . . 90

INDICE DE GRÁFICOS

Gráfico N º 01 Comparación superficies de los escenarios . . 88

Gráfico N º 02 Comparación superficial polígono 1 entre sistemas de

referencia WGS84 / PSAD56 . . . 89

Grafico N º 03 Factor de escala superficial . . . . 91

Gráfico N º 04 Comportamiento factor de escala superficial . 92

Gráfico N º 05 Comportamiento superficial en base a la localización 95



ANTECEDENTES GENERALES

Introducción

Actualmente la producción cartográfica goza de un auge gracias al avance de las

tecnologías que han permitido tecnificar los procesos mejorando ostensiblemente la calidad de

los resultados, pero a la vez, estos mismos procesos se han vuelto comunes y reiterativos,

obviando cuan importante resulta conocer y analizar el comportamiento de las variables que

inciden en el campo de la representación, esto último evidencia la indiscutible necesidad de

identificar como intervienen la altura, localización y huso cartográfico, sus limitantes e influencia

en el resultado de las alteraciones y errores inherentes al proceso proyectivo, a fin de

determinar su significancia en los resultados y optimizar su utilización.

Un elemento abordado en los estudios cartográficos corresponde a la estimación de

superficie, información básica para una variedad de trabajos, dado las múltiples circunstancias

que dan lugar a operaciones conducentes al dimensionamiento areal. Toda determinación

superficial, estará afectada por algún grado de imprecisión originada por la influencia

combinada de omisiones y errores de carácter sistemático y accidental presentes en la

mensura, así como por causales de tipo topográfica, geodésica y cartográfica.



Considerando la cantidad de situaciones que afectan las magnitudes areales, la

presente tesis evaluará la significancia de la altura, relieve y localización geográfica en el

comportamiento superficial de un polígono en distintos escenarios.

La tesis que se presenta expone en un comienzo las generalidades de la problemática a

investigar, la hipótesis de trabajo, el objetivo general y los específicos y el aporte de esta

investigación.

El primer capítulo plantea los alcances de los referenciales geodésicos, el elipsoide

como figura matemática de referencia mediante sus características y propiedades geométricas.

El sistema vertical de referencia, junto al concepto de datum y sistemas geodésicos de

referencia puntualizados en aquellos utilizados en el país.

El segundo capítulo corresponde a las proyecciones cartográficas, basándose en sus

generalidades y conceptos geométricos, con énfasis en los aspectos conceptuales de la

proyección conforme y equivalente, específicamente la proyección Universal Transversal de

Mercator (UTM) en el primer caso y husos cartográficos y la Proyección de Albers en el caso

de las equiáreas.



El tercer capítulo realiza una referencia acerca de los Sistemas de Información

Geográfica y sus aplicaciones así como al manejo de librería Proj4 como software libre para el

trabajo de datos cartográficos.

El cuarto capítulo describe los pasos metodológicos aplicados en esta investigación con

una experiencia en concreta en nuestro país, expresando los resultados del mismo.

De modo de finalizar la investigación se analizan los resultados alcanzados y se

exponen las conclusiones generales que se desprende de la totalidad de los temas abordados

por esta tesis.

Aparte existe un anexo con información general, para reforzar el contenido abordado en

este trabajo de investigación.

Se incluyen tablas, gráficos y figuras en todos los capítulos como en el anexo, a fin de

graficar y facilitar cada una de las ideas expuestas.



Hipótesis de trabajo

El efecto en conjunto del relieve y la deformación de escala de la Proyección Universal

Transversal de Mercator, afecta la dimensión real de una superficie poligonal, cuyas

magnitudes pueden ser evaluadas al enfrentarse en diferentes escenarios alternativos.



Para demostrar la hipótesis propuesta se han planteado los siguientes objetivos:

Objetivo general

- Estudiar el comportamiento métrico de un polígono en la comuna de Natales

originadas por la influencia de la altura en el sistema de proyección UTM a través de sus

variaciones en distintos escenarios del terreno.

Objetivos específicos

- Evaluar criterios de selección de las variables referidas a este estudio.

- Determinar la variación superficial a medida que se modifica su localización original

(altura, distancia desde el meridiano central y Ecuador).

- Analizar el comportamiento de un polígono bajo diferentes características territoriales.

- Evaluar las alteraciones métricas del polígono.



Contribución

El aporte de esta tesis se focaliza en conocer la influencia de la altura en una zona que

se representa extrema en la proyección UTM y demostrar como las variables determinan la

calidad del resultado. También evidenciar que de aquellas bases cartográficas que se conoce el

origen y calidad del dato, se le pueden otorgan múltiple utilidad ya que mantienen su vigencia

en el tiempo. Igualmente existe un aporte a la propia disciplina al abarcar un tema escasamente

desarrollado y en la que el cartógrafo tiene el conocimiento y la capacidad de aportar, más si se

considera que esta temática es parte de un proceso natural en la elaboración cartográfica.

Metodología

La aplicación de un enfoque sistemático, permite abarcar esta temática desde una

perspectiva que va de lo general a lo particular, estudiando, analizando y evaluando el

problema a fin de emitir un diagnóstico general. Para ello se utilizará aspectos geodésicos y

cartográficos así como fórmulas del sistema proyectivo conforme TM y sus derivados.



CAPITULO I

ALCANCES Y CONSIDERACIONES DE LOS REFERENCIALES GEODÉSICOS

PUNTUALIZADOS EN AQUELLOS UTILIZADOS EN EL PAÍS

1.1.-Antecedentes

La complejidad del sistema Tierra, su superficie altamente irregular, el dinamismo y sus

características elásticas, requieren para su representación de una figura capaz de asimilar

parte de estas condiciones y permita un estudio y análisis matemático constituyéndose en el

referencial geodésico.

Han sido muchos los intentos por relacionar la superficie terrestre con alguna figura de

referencia, destacando en este ámbito el aporte de Laplace (Martín Asín, Fernando. 1990) que

plantea el modelo elipsoidal como figura de la Tierra y Gauss, quién rebate esta idea,

planteando que el elipsoide no resulta válido si se pretende obtener exactitud, introduciendo el

concepto del geoide.

1.2.- Superficies de referencia

Resulta complejo definir la forma de la Tierra. Una primera aproximación, de orden físico

lo constituye una superficie equipotencial que coincide con la superficie de los océanos en

reposo extendida idealmente sobre los continentes y que recibe el nombre de geoide.



La disímil distribución de masas al interior de la Tierra conjugada a su forma, no

permiten su descripción analítica, condición para una proyección cartográfica y sus

determinaciones geométricas. Considerando lo anterior, la superficie analíticamente

desarrollable que más se utiliza y se acepta para la descripción de la forma de la Tierra es el

elipsoide de revolución

El aspecto que presenta el geoide en las diferentes regiones, determina el tamaño y

forma de los elipsoides locales. Las diferencias de posición entre la superficie del elipsoide y

geoide producto de la irregularidad de este último, se denominan ondulaciones geoidales. Si

estas superficies se relacionan con un punto sobre la superficie topográfica, se puede

establecer un punto datum, una vez conocidos la latitud y longitud geodésica, altura del punto,

deflexión de la vertical en el origen y el azimut geodésico

Cabe hacer notar que lo expresado cartográficamente, es por una parte la figura del

elipsoide (cánevas) y por otra, la superficie del geoide (detalles orográficos, hidrográficos y

planimétricos). Es evidente que esta dualidad de figuras empleadas tendrá mayor divergencia

entre la realidad y la representación mientras más se alejan ambas figuras de la coincidencia

perfecta, viéndose afectadas las magnitudes superficiales representadas.



1.3.- Tipologías de superficies

De lo anterior se desprende que existen varios tipos de superficies que se deben

considerar al momento de efectuar mediciones (ver figura 01).

Una de ellas es la superficie terrestre o topográfica que corresponde a la cubierta real

de la corteza terrestre, con toda la morfología respectiva. Representar esta superficie en un

plano, implica alteraciones angulares y posicionales, siendo descartada para algunos fines

métricos.

Otra de ellas corresponde a la superficie planimétrica, que se caracteriza por ser un

plano horizontal de referencia para operaciones topográficas al cual se proyectan de forma

ortogonal los detalles del terreno. No considera la curvatura de la Tierra, por consiguiente para

superficies de magnitudes restringidas es perfectamente viable a diferencia de magnitudes

mayores donde se hace insostenible.

Figura 01: Superficies de referencia, fuente: www.inegi.gob.mx

Elipsoide

Superficie Terrestre

Geoide



Una siguiente superficie, la geoidal, se determina a base de extensas mediciones

gravimétricas y es aquella que mejor se aproxima a la forma de la Tierra. En general se

expresa de forma numérica mediante un modelo digital y aún cuando la altura la emplea como

nivel de referencia, resulta complejo considerar áreas sobre su superficie.

Otra superficie importante de considerar, es la geodésica o elipsoidal, cuya superficie

regular corresponde a la de un elipsoide de revolución, figura base para las representaciones

cartográficas

Una última corresponde a la superficie cartográfica, nombre con el que se identifica al

resultado de la proyección y que se ve afectada por limitaciones de orden normativo, posibles

de conocer y manipular, resultando la guía fundamental para las operaciones conducentes a

las determinaciones areales.



1.4.- Elipsoide de referencia

Se define un elipsoide, como aquel cuerpo geométrico generado a partir de la rotación

de una elipse meridiana sobre su eje menor, adquiriendo de esta forma el factor volumen que

caracteriza a un elipsoide de revolución. Dado que las determinaciones de las coordenadas de

un punto sobre la superficie terrestre deben ser soportadas por algún tipo de superficie, resulta

el elipsoide la figura definida que sirve de materialización al cálculo de la situación de los puntos

geodésicos, determinándose como elipsoide de referencia una vez que se define su

configuración de acuerdo al geoide a través de los parámetros matemáticos de una elipse (ver

figura 02).

b

a

F F´

Z

X

Y

Figura 02: Parámetros elipsoidales

Parámetros

a : Semieje mayor b : Semieje menor F y F´ : Focos de la elipse e : Excentricidad

1:)'(

1:)(

2

2

2

222

2

2

2

222

−=−

−=−

b

a

b

bae

b

a

a

bae

f : Achatamiento

a

b

a

baf −=

−1:)(



1.5.- Sistemas geodésicos de referencia

Un sistema clásico se caracteriza por escoger un elipsoide de referencia ajustado al

geoide de la zona en un determinado lugar, conocer las coordenadas del punto datum y la

orientación del elipsoide. En el caso particular de Chile, los elipsoides de referencia utilizados

son:

- Elipsoide internacional de 1924

- Elipsoide Sudamericano de 1969

En el caso de una figura que represente completamente a la Tierra, se opta por un

elipsoide ajustado al geoide en su totalidad, un elipsoide global, que debe cumplir con las

condiciones de igualdad de volumen con el geoide, coincidencia de planos ecuatoriales y del

centro de masa de la Tierra con el centro del elipsoide y hacer mínima la suma de los

cuadrados de las alturas geoidales (ver figura 03).

El elipsoide global empleado por el sistema de posicionamiento GPS, es el WGS-84.



1.6.- Datum

Determinado el elipsoide como figura de referencia de la Tierra, se requiere de un

sistema que permita materializar un punto en concreto con sus valores de coordenadas, este

modelo matemático denominado datum, adopta un elipsoide y se ajusta al geoide de manera

que ambas figuras constituyan en conjunto la referencia horizontal y vertical.

Figura 03: Comparación entre sistemas de referencia



1.6.1.- Datum planimétrico

Un datum geodésico horizontal, corresponde al elipsoide una vez que se han definido

sus dimensiones y se ha fijado espacialmente respecto a la superficie terrestre, definiendo

valores iniciales que servirán de base para materializar la posición de los puntos de la superficie

terrestre en el elipsoide.

Existen dos formas de determinar un datum geodésico planimétrico, por observación

astronómica única y por orientación astronómica geodésica del datum.

La primera se basa en observaciones astronómicas sobre un punto de triangulación de

primer orden, igualándolas a las geodésicas (desviación de la vertical nula), asumiendo que el

geoide y elipsoide coinciden. Un datum local de este tipo en Chile corresponde al Hito XVIII-

elipsoide internacional de 1924, en Tierra del Fuego, región de Magallanes.

El segundo caso, se define la desviación de la vertical en varias estaciones en una vasta

área (estaciones Laplace: vértice geodésico de una red de primer orden en el que se haya

efectuado una observación de precisión, a fin de determinar su longitud y el acimut de un lado

geodésico con origen en el vértice considerado), escogiendo una como origen del sistema, en

donde la posición del elipsoide se ajusta a la curvatura de la Tierra, de tal manera que sea

mínima la deflexión de la vertical.



En Chile el IGM, implementó los Datum Provisorio Sudamericano de 1956 (PSAD56 –

Elipsoide internacional de 1924), con vértice de origen en La Canoa-Venezuela como sistema

de referencia oficial para el territorio nacional desde el extremo norte hasta la latitud 43º30´S y

Datum Sudamericano de 1969 (SAD69 – Elipsoide sudamericano de 1969), con origen

establecido en la localidad de Chúa-Brasil, como referencia para el extremo sur del país.

1.6.2.- Datum satelital

Su importancia radica en distribuir de forma similar en toda la superficie terrestre el error

de sistema y no que dependa de la cercanía al punto de origen. El posicionamiento GPS

requiere de un sistema de referencia bien definido, consistente, global y geocéntrico, lo que

implica considerar todo el globo terrestre y cuyo origen sea el centro de masa de la Tierra, por

este motivo el Departamento de Defensa norteamericano ha diseñado en base a datos

satelitales, gravimétricos y astronómicos, un sistema geodésico mundial de referencia para el

sistema de posicionamiento satelital y que a la vez proporciona entre otra información un mapa

de alturas geoidales.

Actualmente el sistema geodésico mundial 1984 (WGS84), corresponde al sistema de

referencia para el GPS, resultando compatible con el Sistema de Referencia Terrestre

Internacional –ITRF, bajo los siguientes aspectos.



Posición:

Origen en el centro de masa de la Tierra, incluyendo océanos y atmósfera

Orientación:

Eje Z en dirección del polo de referencia definido por IERS

Eje X en la intersección del meridiano de referencia IERS y el plano ecuatorial

Eje Y completa el sistema ortogonal dextrógiro.

En la actualidad Sudamérica cuenta con SIRGAS (Sistema de Referencia Geocéntrico

para las Américas), con un marco de referencia primario ITRF, con el propósito de

compatibilizar los sistemas geodésicos utilizados, adoptando para el continente una red de

referencia compatible con las técnicas modernas de posicionamiento, integrando la totalidad de

América. Si bien el proyecto se inicia en el año 1993 con la participación de todos los países

sudamericanos, sólo en el año 2001, Chile a través del IGM inicia su materialización oficial

mediante el proyecto de Materialización y Homogenización de la red geodésica Nacional,

estructurando preliminarmente con 269 vértices geodésicos de alta precisión a lo largo del país,

el nuevo marco de referencia geocéntrico, contando en la actualidad cerca de 500 puntos en el

territorio nacional.



1.6.3.- Datum vertical

Se define altura como la distancia vertical entre un punto sobre la superficie terrestre y

el datum vertical. Clásicamente se ha adoptado como superficie el nivel medio de los mares,

que es la denominación del geoide, correspondiente a la figura de referencia de carácter global

y cuya superficie teórica una todos los puntos que tienen la misma gravedad. Su determinación,

esta en función de la densidad y distribución de masas al interior de la Tierra, coincidiendo con

la superficie de los mares en reposo y extendido idealmente sobre los continentes, adquiriendo

de esta forma la característica de uniformidad. Este nivel de superficie sirve de referencia a las

alturas ortométricas (H).

Considerando que el origen de las alturas elipsoidales (h) es una figura analítica, las

alturas del tipo físico sólo pueden relacionarse con los elipsoides modelando el comportamiento

de la gravedad local, esto es, conociendo la ondulación geoidal (N) del lugar (ver figura 04).

Figura 04: Ondulación Geoidal (N), Fuente: Base de datos geodésicos para o Estado de Parana



1.7.- Línea geodésica

Se determina como aquella curva trazada sobre una superficie que cumple con la

condición de ser la distancia más corta entre dos puntos cualesquiera. En el elipsoide de

revolución, es aquella curva alabeada (doble curvatura), en las cuales su normal principal es

coincidente con la normal al elipsoide en cada uno de los puntos de dicha curva (ver figura 05).

Se caracteriza porque a lo largo de la geodésica el producto del radio del paralelo por el

seno del azimut es una cantidad constante. Ello implica que mientras el recorrido de la línea

geodésica aumenta en latitud, la línea geodésica debe aumentar su acimut hasta que éste

alcance los 90º y el radio de paralelo alcance su mínimo valor para descender nuevamente

hacia el Ecuador, donde el acimut irá disminuyendo hasta ser 0 en la latitud 0º.

Figura 05: Línea geodésica



1.8.- Superficies elipsoidales

Corresponde al desarrollo analítico de aquellas expresiones que permiten obtener el

área de una superficie esferoidal.

Fórmulas esféricas:

Para un área con incrementos infinitesimales pequeños tanto en latitud como longitud

sobre una esfera de radio R (ver figura 06), se tiene:

( ) ( )[ ]1212

2 λλφφ −−⋅= sensenRA

ESFERA Longitud arco meridiano φdR ⋅ Longitud arco paralelo λφ dR ⋅⋅ cos λφ dR ⋅⋅ cos

φdR ⋅

2φ

1φ

2λ 1λ

Figura 06: Arco de meridiano y paralelo esférico



Fórmulas elipsoidales:

Considerando que sobre el elipsoide los puntos no conservan los mismos radios dado la

forma de su figura, se consideran los radios de curvatura de las secciones normales principales

(Primer vertical y meridiano respectivamente) (ver figura 07).

( )( )

⋅−

⋅+⋅

−⋅−=

φ

φ

φ

φλλ

sene

sene

esene

senbA

1

1ln

4

1

12 22

2

12

ELIPSOIDE Longitud arco meridiano φdM ⋅ Longitud arco paralelo λφ dN ⋅⋅ cos λφ dN ⋅⋅cos

φdM ⋅

2φ

1φ

2λ 1λ

Figura 07: Arco de meridiano y paralelo elipsoidal



CAPITULO II

PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS, ASPECTOS GEOMÉTRICOS Y CONCEPTUALES DE

LA CONFORMIDAD Y EQUIVALENCIA

2.1.- Antecedentes

Una Proyección cartográfica se constituye por la correspondencia matemática biunívoca

entre los puntos de una superficie esférica, elipsoidal u otro cuerpo geométrico de referencia y

sus proyectados en un plano.

Si bien el proceso de proyectar los datos se realiza mediante un procedimiento

matemático, se debe tener presente que se está representando un espacio terrestre sobre una

superficie plana, como consecuencia se generan deformaciones lineales, superficiales y

angulares. Este problema se resuelve al representar las coordenadas rectangulares del plano X

e Y en función de las coordenadas geodésicas de latitud ( )φ y longitud ( )λ o viceversa,

priorizando las propiedades que se desean conservar en el área de interés en perjuicio de

inducir mayores errores al campo de menor interés.

En parte, la elección de una proyección cartográfica se realiza en función de la

propiedad que se desea conservar, además de la disposición y localización de la zona de

estudio, a fin de minimizar las alteraciones inherentes al proceso proyectivo en el área de

interés.



2.2.- Módulos de deformación

El proyectar los elementos desde un cuerpo geométrico de referencia sobre un plano de

proyección, tiene como consecuencia que tanto elementos lineales, angulares y superficiales,

suelan verse afectados por variaciones en su representación. El calcular los valores de las

deformaciones producidas por dicha transformación así como los módulos correspondientes a

cada elemento, permite obtener y conocer las condiciones a cumplir por las proyecciones para

que conserven sus propiedades. En el caso particular de este estudio se pondrá énfasis a las

deformaciones superficiales.

2.2.1.- Elipse de Tissot

Si se desea estudiar las deformaciones resulta indispensable conocer el postulado del

francés Tissot (Millán Gamboa, José. 2006), que indica, para cada circulo infinitesimal de centro

0 y radio unitario, situado sobre el elipsoide, le corresponde en el plano una elipse (Elipse

Indicatriz de Tissot), esto considerando los valores correspondientes a todas las direcciones

obtenidas al girar los 360º sobre el elipsoide y uniendo los extremos de los segmentos

transformados. El principio fundamental de esta indicatriz, señala que para cada punto en la

superficie del elipsoide, existen dos geodésicas perpendiculares “direcciones principales”, tales

que sus transformados en el plano también lo son. El estudio de las propiedades de esta elipse

se basa en conocer la orientación y la longitud de los trazos conformantes de las direcciones,

para determinar así las deformaciones inherentes a un sistema proyectivo, recurriendo al



Teorema de Apolonio que determina los semiejes a y b (diferenciales que habiendo sufrido

rotación durante las transformación mantienen su perpendicularidad) y los relaciona con los

semiejes conjugados “m1” y “m2”, con el ángulo formado entre ellos y los semiejes a y b (ver

figura 08).

Por lo tanto, para comprender las deformaciones que afectan a una zona, habrá que

considerar que en su extensión existen infinitos valores de deformaciones diferentes entre si,

que habrán de ser racionalizados para determinar los valores y la orientación de esta

deformación.

Tissot es un excelente indicador de las distorsiones que introducen las diversas

proyecciones cartográficas.

Figura 08: Círculo de radio unitario y elipse indicatriz de Tissot, Fuente: Manual de Carreteras



2.2.2.- Módulo de anamorfosis superficial ( S )

Se conoce como deformación superficial al cuociente que se genera entre un elemento

superficial en el plano y su correspondiente en el elipsoide. En el caso de las proyecciones

equivalentes el valor de este modulo corresponderá a uno.

Se define el modulo de anamorfosis superficial como:

unitariocirculoSup

indicatrizelipseSup

dS

dSS

..

..1 ==

Donde:

112

=⋅

=⋅

⋅⋅=

ba

dS

baS

π

π

2.2.3.- Condición de conformidad

Los incrementos diferenciales iguales del arco meridiano y paralelo, determinan las

proyecciones conformes, para que esto se produzca la Elipse Indicatriz de Tissot se transforma

en un círculo de semiejes βα = , en consecuencia la escala de cada punto será valida (igual)

en todas las direcciones, pero variable de un punto a otro. Las semejanzas de las figuras

representadas determinarán la nula alteración angular por lo que la representación conservará

las formas.



Al considerarse dos curvas (C1 y C2) del elipsoide, que admiten en P2 las tangentes (T1

y T2), forman un ángulo α , su imagen en el plano proyectado serán dos curvas (C´1 y C´2)

que tendrán en el punto P´2, las tangentes (T´1 y T´2) que forman un ángulo β , tal que

cualquiera fuesen las curvas consideradas, se tendrá que βα = (Ver figura 09)

Para cumplir la condición de conformidad se utilizan coordenadas intermedias conocidas

como isométricas. La latitud isométrica (λ), longitud geodésica, la latitud isométrica ( q ) se

define

φφφ

∂=∫ ∫ *sec

1

0 0N

Mdq

Donde

( )( ) 2

322

2

1

1

φsene

eaM

−

−= y

( )φ221 sene

aN

−=

Ejemplo extraído:

Tesis

Evaluación de la aplicación del huso TM

para Chile continental, aplicable a

cartografía del Ministerio de Bienes

Nacionales

Fernando Millar Ordenes, 2003

Figura 09: Conservación de ángulos del traspaso de

elipsoide al plano



Reemplazando

( )( )( ) ( )

φφφφφ

φφφ

∂+−

+−∫0

2222

222

coscos1

cos1

sensene

sene

Separando se obtiene

∫ −∂

φ

φ

φ

0

2

cos.1 e y

( )∫ −−

∂φ

φ

φφ

0

2

221

cos.2 e

sene

Integral ( )1

+=

∂∫ 24cos0

φπ

φ

φφ

tgLn

Resolviendo la integral ( )2 y combinando los resultados

+

−

+=

2

1

1

24

e

esen

esentgLnq

φ

φφπ

Debido que en las proyecciones conformes las deformaciones angulares son nulas, Tissot es

un círculo que se puede definir de la siguiente forma:

r

G

M

Ekhba =====

La condición de conformidad se deduce igualando las cantidades Gaussianas GE = en

función de la latitud isométrica ( q )

q

yx

∂

∂=

∂

∂

λ

λ∂

∂=

∂

∂ y

q

x

Teniendo en cuenta

22

∂

∂+

∂

∂=

λφ

yxE ;

22

∂

∂+

∂

∂=

λλ

yxG ;

λφλφ ∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

yyxxF



Se obtiene debido que los ángulos del elipsoide deben ser preservados en el plano cartográfico

0=∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

λφλφ

yyxxF

q

y

q

yx

y

∂

∂

∂∂

∂∂−

=∂

∂ λ

λ

Se obtiene

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂+

∂

∂22

2

2

22

q

y

q

x

q

y

x

q

y

q

x λ

Por definición

12

2

=

∂

∂

∂

∂

q

y

x

λ

q

yx

∂

∂±=

∂

∂

λ

Tomando la raíz positiva

q

yx

∂

∂−=

∂

∂

λ

Las ecuaciones de Cauchy Riemann en función de la conformidad se definen

q

yx

∂

∂=

∂

∂

λ y

λ∂

∂−=

∂

∂ y

q

x



2.3.- Límite de la proyección

El desarrollo de una proyección está determinado por su punto de origen, conocer este

antecedente permitirá definir el dominio sobre el que puede aplicarse sin que la anamorfosis

supere un valor determinado, considerando que las deformaciones se presentan a medida que

se alejan del origen.

En una proyección conforme, resulta indispensable conocer la extensión de

representación, con el fin, que las deformaciones lineales no excedan el valor limite de

anamorfosis lineal, así por ejemplo, si la denominada alteración se fija en K=1/2500, ese valor

define el campo de proyección. Al relacionarlos con la escala del mapa, se obtiene:

( ) kE

kE

11

1 , =+

Donde 000.2

1005.1 ≅=lk

000.2

11, =−= ll kk

Este factor se encuentra determinado por la latitud media del hemisferio sur, para la

proyección UTM correspondiente a 40ºS y el borde del huso de ésta, en consecuencia, si el

factor de escala lineal, es mayor a 1, 00497, no es aplicable para estudios de mayor detalle.



2.4.- Proyección de Mercator

Creada por Gerardus Mercator en 1569, con el fin de responder a la necesidad de

orientación de cualquier navegante al permitir dirigir el rumbo de las embarcaciones en largas

distancias mediante el trazado de líneas rectas.

Se trata de un desarrollo directo y conforme de la esfera terrestre, proyectando todos los

puntos sobre el cilindro tangente al Ecuador, ofreciendo como imagen, el de un conjunto de

meridianos trazados como rectas equidistantes paralelas al eje de ordenadas, en tanto que los

paralelos se trazan horizontales paralelos de eje de abcisas (Ecuador), cuyo espaciado

aumenta progresivamente hacia los polos para asegurar la condición de conformidad. De esta

forma, se puede reproducir el trayecto que sigue un rumbo constante (loxodrómicas), su

defecto radica, en la desproporcionada distancia que separa a los paralelos a medida se alejan

del Ecuador en dirección a los polos.

Un mapa con este tipo de proyección es bastante preciso en las regiones cercanas al

Ecuador, no así en las altas latitudes donde va perdiendo calidad al distorsionarse. Las

direcciones se presentan con precisión, no así sus áreas y distancias.



2.5.- Proyección Transversa de Mercator (TM)

La Proyección Transversal de Mercator (TM), iniciada por Johann Heinrich Lambert año

1772, resolvió el problema de pérdida de escala, adoptando el cilindro perpendicular al eje del

mundo (Transversal). Se forma proyectando las coordenadas de la Tierra sobre un cilindro que

envuelve a la superficie terrestre tangente en un meridiano (meridiano central), que será

representado como línea recta al igual que el Ecuador, por el contrario los demás meridianos y

paralelos se graficarán curvos al punto de origen. La conformidad es una de sus características

principales, lo que implica la conservación de sus ángulos, manteniendo las formas de áreas

pequeñas. Los únicos parámetros necesarios para definir esta proyección son la longitud del

meridiano central y la latitud de referencia. Para cubrir la totalidad del elipsoide, se dispone de

numerosos cilindros transversales obteniendo como resultado que cada uno de ellos tiene un

campo de acción específico como límite para que los errores no excedan cierta norma.

Dada las características del territorio nacional donde su mayor extensión lo alcanza en

dirección norte – sur, el empleo de esta proyección resulta valido, tomando en consideración

que permite la representación de la superficie terrestre de grandes extensiones en esta

dirección.



DE MERCATOR A TRANSVERSA DE MERCATOR

Gerhardus

Mercator

Crea la

proyección

cilíndrica.

Edward

Wright

Desarrolla la

proyección

de Mercator

matemáticamente

Johann

Lambert

Resuelve el

problema

de pérdida de

escala,

colocando el

cilindro

transversal al

eje

del mundo.

Carl

Gauss

Desarrolla

analíticamente la

poyección TM

L.Kruger

Pública las

fórmulas

referidas al

elipsoide

Parámetros Transversal de Mercator

- Latitud de origen : Normalmente 0º (Ecuador)

- Factor de escala (K0 ) : Normalmente 1.0 (Meridiano central)

- Ancho de Huso : 3º a 6º

- Este Falso ( FE ) : 500.000 m

- Norte Falso ( FN ) : varios



2.6.- Proyección Universal Transversal de Mercator (UTM)

Es un sistema definido internacionalmente a mediados de siglo XIX después de la II

guerra mundial, por el cuerpo de ingenieros del ejército norteamericano, creado con la idea de

disponer de mapas militares con coordenadas rectangulares de cualquier parte del mundo,

homogenizando en parte la representación cartográfica.

En rigor, se basa en una proyección Transversa de Mercator (TM) que se le han

impuesto parámetros específicos, tales como el desarrollo de meridianos centrales y longitudes

de husos. Corresponde a un sistema policílindrico, dado que se emplean distintos cilindros

tangentes a varios meridianos, cubriendo la totalidad del elipsoide de forma longitudinal y

abarca entre las latitudes 84º norte y 80º sur (ver figura 10).

Figura 10: Proyección UTM, Fuente: Manual de Carreteras



Como este sistema es aplicado para la representación de grandes extensiones en

longitud y a fin de evitar excesivos errores de escala a medida que se aleja del meridiano

central, esta proyección subdivide la superficie terrestre en 60 husos de 6 grados de longitud

cada uno, es decir, 3 grados a cada lado del meridiano central correspondiente. A su vez, se

recurre al artificio de la reducción de escala Ko=0,9996 aplicado al meridiano central, que no

altera la conformidad ni la naturaleza de la representación, reduciendo las máximas

deformaciones lineales a la mitad, así el cilindro que representa el plano pasa de tangente a

secante a fin de reducir las deformaciones en los extremos. Las líneas de secancias (K=1), se

sitúan aproximadamente a 180 km al este y oeste del respectivo meridiano central, (esta

distancia no es constante debido que el factor no es definido por una función lineal), entre ellas,

la escala es inferior a 1 y mas allá de ellas hasta los bordes de los husos se hace mayor (ver

figura 11).

Los husos cartográficos se enumeran de 1 a 60, con origen en el antimeridiano de Greenwich

de forma que el meridiano 0 (Greenwich) separe los husos 30 y 31. El elipsoide asociado a esta

proyección corresponde al Internacional de 1924.

Figura 11: Campo proyección UTM, Fuente:

Manual de Carreteras



El uso del sistema UTM tiene varias ventajas, conserva los ángulos, aplica un artificio a

razón de reducir las deformaciones, designa un punto o zona de manera concreta y fácil de

localizar y en especial es un sistema de uso universal.

Parámetros UTM

2.6.1.- Husos cartográficos

Con el propósito de manejar y minimizar las deformaciones generadas al proyectar los

puntos del elipsoide sobre el plano de proyección se crean los husos cartográficos UTM,

dividiendo la Tierra en 60 zonas de 6º de extensión cada uno. Esto permite definir la posición

geográfica que ocupan todos los puntos que se encuadran entre dos meridianos (ver figura 12).

Figura 12: Husos cartográficos UTM, fuente: www.nevasport.com



El cilindro secante corta al elipsoide en dos líneas casi paralelas al meridiano central

minimizando las deformaciones las que llegan a ser del orden de 1/1.000 (1m/km) en los

bordes del huso.

Dada la localización y distribución de Chile continental, al país le corresponden los

husos 18 (mc 75º W) y 19 (mc 69º W). En el caso de escalas pequeñas que cubran un área en

común que pertenezcan a ambos usos o para la representación completa del país se adopta

comúnmente el huso 19 como prevaleciente (ver figura 13).

2.6.2.- Este Falso ( FE ) y Norte Falso ( FN ).

Para que los valores numéricos de las coordenadas de cualquier cuadrante sean

siempre positivos y aumenten en las direcciones este y norte, se adoptó por convención el

asignar un

Figura 13: Husos UTM para Chile, Fuente: Manual de Carreteras



valor inicial al origen de cada sistema de coordenadas planas UTM en el Ecuador y el

meridiano central.

En el caso del meridiano central se asigna el valor de Este falso ( FE ) de 500.000m,

razón por la cual las coordenadas variaran entre 166.000m y 834.000m en el Ecuador y entre

443.000 y 557.000m aproximadamente en los extremos latitudinales.

Para evitar coordenadas negativas en el hemisferio Sur, se adoptó como Norte falso

( FN ) un valor que sea superior a la máxima distancia posible norte-sur para la proyección, de

esta forma el falso Norte válido para el hemisferio Norte con origen en el ecuador es de 0m,

mientras que para el hemisferio Sur corresponde a 10.000.000m, también con origen en el

Ecuador (ver figura 14).

Figura 14: Huso UTM para el hemisferio Sur, Fuente: Manual de Carreteras



2.6.3.- Convergencia de meridianos ( )ϕ

Corresponde a la diferencia angular formado entre el Norte geodésico ( GN ) y el Norte

de cuadricula o Norte cartográfico ( CN ). Debido que los meridianos, a excepción del meridiano

central, se proyectan como líneas curvas cóncava al meridiano central, la convergencia

meridiana oscila en función a la distancia existente del meridiano central, es por esta razón que

mientras sobre este meridiano la diferencia angular es nula, en los bordes del huso se alcanzan

diferencias aproximadas de 2º 30´ entre el azimut del plano UTM y el azimut geodésico (ver figura

15).

Se tiene que:

( ) ( )

+−⋅+++⋅+= 42

6642

22

22617315

cos231

3

cos1 ttsen

φληη

φλφλϕ

Figura 15: Convergencia meridiana, Fuente: Manual de Carreteras



2.6.4.- Reducción De La Cuerda (t – T) La diferencia angular generada entre el azimut del plano (t) y el azimut geodésico

proyectado (T), con esto se puede reducir las direcciones observadas a direcciones de

cuadriculas (ver figura 16).

La reducción de la cuerda se define:

• t = Azimut plano • T = Azimut geodésico ± convergencia meridiana + 180º

Se tiene que:

( )( ) ( ) ( )m

mm

BAABB

ARN

XXYYtT

216

2η+⋅

⋅

−⋅−=−

Figura 16: Reducciones de direcciones, Fuente: Manual de Carreteras



2.6.5.- Factor de Escala

El factor de escala se denomina a la magnitud que altera la escala. Representa la

relación entre la escala de un punto cualquiera sobre la superficie de referencia y el mismo

proyectado en el plano.

En principio, la proyección TM en un huso coincide con la proyección Guass Kruger con

un desarrollo cilíndrico transverso conforme. De acuerdo a la tangencia del cilindro con la

superficie del elipsoide de revolución en un meridiano (central del huso), este deberá ser

automecoico y con distorsión nula, el factor de escala de este punto será igual a uno y su

variación dependerá de la distancia que se encuentre de dicho meridiano. Para reducir las

deformaciones en los extremos, se aplica el artificio de Tissot que implica que el cilindro deja de

ser tangente para pasar a ser secante, de manera que el meridiano central continúa siendo una

línea automecoica pero con un factor diferente de la unidad.

2.6.6.- Fórmulas Proyección Universal Transversal de Mercator

( ) ( )2233

16

coscos η

φλφλ +−⋅

⋅∆+⋅∆= t

N

X

( ) ( ) ( )4223

42

495cos24

cos2

ηηφφλ

φφλφ

++−⋅⋅⋅∆

+⋅⋅∆

+= tsensenN

S

N

Y

φtgt = ( )2

2

22 cos

1φη ⋅

−=

e

e

( )φ221 sene

aN

⋅−=

NFYKN O +⋅= EFXKE O +⋅=



2.7.- Proyección cónica de Albers

Esta proyección equivalente presentada por Heinrich Albers, se desarrolla a partir de un

cono secante a la superficie de referencia, interceptándola en dos paralelos tipos, localizando

su ápice sobre uno de los polos, esto dependiendo de la zona que se desee representar (ver

figura 17).

Como corresponde a una proyección del tipo cónica, los meridianos se representan

como líneas rectas dispuestas de forma radial con una separación constante entre ellas, que se

encuentran en un punto en común o convergen fuera de los límites del mapa. Los paralelos son

círculos concéntricos siendo su punto de intersección los meridianos, que forman un ángulo

recto y quedando los arcos de longitud iguales a lo largo del mismo paralelo. La escala se

conserva en los paralelos principales, disminuye entre estos y aumenta progresivamente al

alejarse de la secancia. Se debe tener presente que la proporción inversa de las escalas entre

Figura 17: Proyección equivalente de Albers, Fuente: www.ilustrados.com



paralelos y meridianos determina la condición de equivalencia de la proyección, o sea, entre los

paralelos tipos, la escala efectiva en dirección a los meridianos es mayor a la nominal y en

dirección a los paralelos es menor.

La proyección de Albers tiene la propiedad de que el área encerrada por cualquier par

de paralelos y meridianos es reproducida exactamente entre la imagen de esos paralelos y

meridianos en el dominio proyectado, quiere decir que la proyección conserva el área correcta

de la Tierra aunque distorsione dirección, distancia y forma en cierta manera.

La principal ventaja sobre otras proyecciones es la propiedad de la representación

equiárea, combinada con un error de escala que resulta prácticamente mínimo, eso si, sólo

puede representarse un semihemisferio resultando apropiada para mapear áreas pequeñas (ver

figura 18).



2.7.1.- Fórmulas Albers sobre el elipsoide

( )1

2

1 α⋅+= nmC

( ) ( )12

2

2

2

1 / αα −−= mmn

( ) 5.0

1

22

11 1/cos ϕϕ senem ⋅−=

( ) 5.0

1

22

22 1/cos ϕϕ senem ⋅−=

( ) ( )( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }111

222 1/1ln2/11/1 ϕϕϕϕα seneseneesenesene ⋅+⋅−−−⋅−=

( ) ( )( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }000

22

0

2


( ) ( )( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }111

22

1

2


( ) ( )( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }222

22

2

2


( )θρ senEE F ⋅+=

( )θρρο cos⋅−+= FNN

Donde:

( )0λλθ −⋅= n

( )[ ] nnCa /5.0

αρ ⋅−⋅=

( )[ ] nnCa /5.0

0αρο ⋅−⋅=

Figura 18: Albers sobre el elipsoide



CAPITULO III

MANEJO DE SIG Y “OPENSOURCE” COMO HERRAMIENTAS DE TRABAJO CON

DATOS ESPACIALES

3.1.- Antecedentes

La complejidad de los fenómenos geográficos que ocurren en la Tierra requiere para su

estudio de un Sistema de Información Geográfica (SIG), instrumento esencial para el análisis

dado su capacidad de representar, integrar y modelar variables, para una posterior planificación

y gestión de un espacio geográfico. Para lograr este propósito un SIG utiliza herramientas de

gran capacidad de procesamiento gráfico y alfanumérico, otorgando la posibilidad de construir

modelos y representaciones de las características terrestres.

La incorporación de nuevas tecnologías, es reconocido como un avance para la

disciplina cartográfica, facilitando muchos de sus procesos y aportando en las técnicas de

manejo de información espacial.

Actualmente, la posibilidad que entrega Internet de disponer de software libres (no

requieren de licencia), constituye una excelente alternativa de operaciones y cálculos, que al no

poseer restricciones, permite el desarrollo de nuevos modelos sumamente efectivos.



La librería proj4, es parte de las alternativas “open source”, siendo esta una herramienta

que permite la realización de cálculos geodésicos para su posterior proyección cartográfica.

3.2.- GIS y CAD

Tanto los sistemas CAD y GIS corresponden a software propietarios utilizados

comúnmente como componente de un SIG, por sus propiedades gráficas, herramientas y

funciones para la representación, consulta y análisis.

El sistema CAD basa su potencial en la calidad gráfica, especializándose en la

representación (dibujo y diseño) y manejo de información visual mediante un conjunto de

herramientas y funciones que permiten la graficación de entidades referenciadas.

El sistema GIS además posee una interfaz gráfica de usuario que le permite cargar

datos tabulares y espaciales, pudiendo de esta forma desplegar mapas acompañados de los

objetos necesarios de consultas y análisis.

Los SIG necesitan desplegar un nivel gráfico aunque un paquete exclusivo como CAD

no es lo suficiente para ejecutar las tareas que requiere un SIG, dado que el manejo de

información geoespacial requiere de una estructura diferente a la base de datos común, de

manera que el soporte lógico supere la capacidad gráfica, por esta razón la complementación

de los sistemas GIS y CAD es fundamental para el buen desempeño del SIG.



3.3.- Dato, base de dato y cobertura geográfica.

Una de las funciones principales de un SIG es integrar datos espaciales con otros

recursos de datos para el manejo de información geográfica, por lo mismo, la información

obtenida desde un SIG proviene de las bases de datos que lo componen, que se caracterizan

por ser de tipos geográficos con una componente temática y espacial.

La esencia lo constituye una base de datos cartográfica, correspondiente a la colección

de datos acerca de los objetos localizados en un área común. Se organizan de tal forma que

sirva eficientemente a varias aplicaciones. Vale decir, que una base de datos constituye el

vínculo entre las estructuras gráficas que despliega el sistema de manejo.

Dada la complejidad que pueden presentar las bases de datos resulta importante volcar

esta información en representaciones gráficas que faciliten su lectura. Las coberturas son las

representaciones de los objetos gráficos asociados con ubicaciones específicas en la realidad.

Estas representaciones basadas en las entidades gráficas comunes se acompañan de

atributos no gráficos correspondientes a las descripciones, cualificaciones o características que

nombran y determinan estos elementos. Estos mismos atributos son guardados en archivos y

manejados mediante el software de un SIG el que los organiza por capas o niveles de

información.



El conocer las unidades expresadas por las coordenadas de cada cobertura cartográfica

implica saber si éstos valores no obedecen a ninguna proyección (unidades de latitud y

longitud), por consiguiente pueden ser transformadas o proyectadas, o si las coordenadas se

expresan en unidades lineales planas, estando para este caso proyectadas bajo algún

parámetro a considerar a la hora de algún trabajo o medición.

3.4.- Determinación de área

En los sistemas informatizados de cálculo y dibujo CAD, el proceso de determinación de

áreas se reduce a la realización de una orden específica, todo en base a los métodos de Gauss

y de asimilación trapecial.

CAD, para la determinación areal requiere que los vértices se encuentren unidos bajo

una polilínea, de manera que al ejecutar la orden área y pedir la entidad, indique el valor del

área correspondiente que encierra dicha polilínea seleccionada. CAD al trabajar con

coordenadas planas (x;y) asocia estas de forma correcta.

3.4.1.- Método de Gauss

Método analítico que se utiliza para la determinación del área o superficie de polígonos

planos y cuyas coordenadas cartesianas de sus vértices son conocidas. Se fundamenta en la

suma algebraica de las áreas de los trapecios que se pueden formar dentro del sistema



cartesiano, considerando a las ordenadas como bases y las diferencias o discrepancias de

abscisas como alturas.

La precisión del método esta dada por la certeza con que se determinen o se conozcan

las coordenadas de los vértices de este polígono. Bajo esta condición un polígono con vértices

determinados por condenadas de una proyección equivalente (Albers equivalente), puede ser

dimensionado correctamente en la medida que la información posea un origen nominal.

3.5- Alcances técnicos de librería proj4

Como se mencionó con anterioridad, corresponde a una librería de carácter libre que

básicamente consiste en una aplicación de líneas de comando que reúne una serie de

funciones, tales como transformación a distintas proyecciones, cambio entre sistemas de

referencia, cálculo de problemas directo e inverso entre otros.

Al momento de liberar su código para esta aplicación, se han desarrollado mayores

funcionalidades en sus bases de comando, de hecho se ha integrado como parte fundamental

de numerosas aplicaciones que requieren funciones cartográficas de proyección.



3.6- Estructura y aplicación

Fundamentalmente librería proj4, se divide en tres comandos generales.

- Proyección de coordenadas georreferenciadas (Proj)

El comando proj, está destinado a realizar cambios de proyección de coordenadas,

entregando también opcionalmente una serie de variaciones ligadas a este tipo de cálculo.

- Transformación de sistemas de referencia de coordenadas (CS2CS)

Ejecuta el traspaso de un sistema de referencia de coordenadas a otro. Esto permite

ingresar parámetros de traslación para así obtener mayores niveles de precisión, los que deben

ser modificados para traspasar distintos sistemas de referencia.

- Cálculo de azimut y distancia de problemas inversos (geod).

Tiene como finalidad ejecutar cálculos geodésicos, los cuales son problema directo o

inverso.



CAPITULO IV

METODOLOGÍA Y RESULTADOS

4.1.- METODOLOGÍA

4.1.1.- Antecedentes

La metodología del presente trabajo incluye la estimación de superficie, por ello resulta

fundamental conocer las propiedades particulares que conservan cada una de las proyecciones

cartográficas a fin de seleccionar aquella que mejor se ajuste a los objetivos de representación

y medición. Para esta determinación son necesarias, tanto las definiciones de las exactitudes

de alcanzar para los objetivos de cada proyecto, así como el conocimiento de la extensión y

localización del área de estudio, de manera de establecer los parámetros específicos

adecuados para el sistema proyectivo.

La presente metodología repasa el estudio de la determinación de una superficie

aplicando distintos escenarios posibles sobre una proyección UTM dado lo común de su uso en

el país, replicando el caso en la proyección cónica equivalente de Albers con dos paralelos

tipos, a fin de comparar los resultados y determinar que tan significativos resulta el correcto uso

de las proyecciones cartográficas y sus propiedades.



4.1.2.- Metodología de Terreno

Esta investigación se inició con la campaña de terreno efectuada por un equipo

multidisciplinarlo, conformado por profesionales de la Universidad de Chile y el Instituto

Geográfico Militar en la comuna de Natales en Junio del 2006. Como objetivo del terreno se

planteó la obtención de puntos de control para la posterior corrección diferencial de la malla

geodésica y la estimación analítica de parámetros de transformación de coordenadas

cartesianas, mediante técnicas estadísticas.

Con el fin de generar una nueva línea de investigación en base a los datos obtenidos, se

utilizó parte de los puntos de control como vértices de un polígono el cual fue la base del

estudio de esta Tesis.

4.1.2.1.- Área de estudio

Para concretar la investigación se vinculó el estudio a la comuna de Natales, zona que

se caracteriza por su extenso territorio que abarca una superficie comunal que bordea los

49.429,10 Km2 y se extiende entre los paralelos (48º 36´ S - 52º 40´ S) y meridianos (72º W -

75º 30´ W) aproximadamente, orográficamente corresponde a un territorio disperso en su

sector mas occidental y de planicies patagónicas amplias en su zona continental, localizándose

en este último el polígono en estudio (ver figura 19).



Cartográficamente es atractiva por su localización geográfica que influye

sustancialmente en las características de proyección de una UTM, que resulta ser la proyección

mas utilizada en el territorio nacional.

Figura 19: Área de estudio

Proyección UTM DATUM WGS84



4.1.2.2.- Levantamiento de Campo

Esta etapa permitió capturar los vértices del polígono mediante tecnología GPS con

precisión submétrica tras la corrección diferencial.

Características

Puntos GPS

Sistema de proyección : UTM

Sistema de referencia : WGS-84

Huso cartográfico : 18

4.1.2.3.- Instalación de receptor base GPS

El receptor GPS base se instaló en el centro de la ciudad de Puerto Natales, zona

estratégica que permitió cumplir con las condiciones óptimas en la recepción de la señal GPS.

El tiempo de instalación de la base se encuentra determinado por la duración del levantamiento

efectuado con el equipo móvil y que consistió en tres días.

La estación base es capaz de registrar y almacenar coordenadas durante los días de

ejecución del terreno, resultando este procedimiento indispensable para la posterior corrección

diferencial de los puntos de control (vértices) a razón de aumentar la precisión de las

coordenadas capturadas por el receptor GPS cartográfico.



4.1.2.4.- Identificación de puntos GPS

La elección de los puntos tentativos (vértices) se basó en el fácil reconocimiento y

accesibilidad al lugar, generando a partir de ellos un circuito de trabajo. Por este motivo

preferentemente se utilizaron intersecciones de calles, justificado por la ubicación espacial que

no varía en demasía a través del tiempo, logrando así minimizar el margen de error o confusión

del punto.

4.1.2.5.- Obtención de coordenadas GPS

Para la captura de puntos, se registraron lecturas con precisión submétrica en un lapso

de tiempo superior a 5 minutos con frecuencia cada 50 segundos considerándose 6 medidas

por punto, con un mínimo de 4 satélites, de manera de mejorar la medición eliminando de esta

forma posibles errores de manipulación, inclinación del receptor entre otros. Cada vértice se

acompañó de su respectiva monografía, incorporándose a la base de datos de Google Earth de

forma de visualizar y verificar la captura.



4.1.3.- Metodología de Gabinete

4.1.3.1.- Determinación polígono de trabajo

Localizado en la comuna de Natales, región de Magallanes, el polígono se generó a

partir de siete vértices distribuidos en un área geográficamente homogénea. Cada vértice tiene

su origen en la proyección UTM, huso 18, sistema de referencia WGS-84. Los puntos que se

detallan a continuación son el resultado de las coordenadas originales obtenidas en terreno,

posterior a su corrección diferencial. Esta corrección se explica para mediciones realizadas en

tiempos comunes, que generan errores comunes, lo cual permite identificarlos y eliminarlos.

Punto Ubicación Norte Este

1 Puerto Bories 4277525,058 663386,238

2 Puerto Natales 4270571,459 670280,135

3 Puerto Natales 4269310,317 671510,618

4 Puerto Natales 4265707,717 671973,210

5 Villa Dorotea 4279070,400 684500,320

6 Villa Renoval 4230234,140 711256,630

7 Villa Renoval 4230235,740 709751,040

Tabla Nº 01: vértices corregidos poligono original



Dado la posición de los vértices seleccionados, el polígono adopta la forma alargada de

siete caras y cuyos lados son líneas rectas. Su extensión máxima la alcanza en dirección

diagonal (NO-SE) superando los 80 km de longitud, por el contrario la menor longitud se da en

dirección (O-E) superando levemente los 20 km.

Considerando la UTM como la proyección utilizada y el lugar geográfico donde se

localizó el polígono generado, se deduce que las propiedades de la proyección están en su

límite, debido a la lejanía con el Ecuador y la distancia al meridiano central del huso respectivo,

resultando esto como condición determinante para las características del polígono y un desafío

para el trabajo de tesis.

4.1.3.2.- Determinación de proyecciones cartográficas utilizadas

El masivo uso de la proyección UTM en la elaboración cartográfica chilena y los diversos

enfoques con los que se adopta, indica la necesidad de identificar las alteraciones métricas

superficiales que tiene un polígono una vez proyectado en UTM. Para lograr determinar esta

variación, se recurrió a la proyección cónica equivalente de Albers, que satisface el propósito

de estimar las diferencias y conocer de esta manera las alteraciones métricas que registra una

superficie poligonal de acuerdo a las propiedades intrínsecas de cada proyección cartográfica.

En el caso de la proyección cónica equivalente de Albers, su determinación se basó en

función de la localización del área de trabajo.



Proyección Universal Transversal de Mercator

Basándose en la normativa UTM, los parámetros utilizados para este caso

corresponden:

Huso : 18

Ancho huso : 6º

0K : 0.9996

FN : 10.000.000 m

FE : 500.000 m

Proyección Cónica Equivalente de Albers

De acuerdo al área de estudio se establecieron los siguientes parámetros para Albers:

0φ : 51.5º

1φ : 51º

2φ : 52º

0λ : 72,3428º

AN : 10.000.000 m

AE : 500.000 m



4.1.3.3- Determinación de los escenarios

Considerando la localización geográfica del polígono en estudio y definidas las

proyecciones cartográficas que se han de utilizar, resulta indispensable conocer y determinar el

comportamiento areal del polígono una vez que se enfrenta a diversas situaciones, estos se

denominan “escenarios alternativos”.

Un escenario consiste en posibles situaciones o simulaciones que se pueden presentar

estableciendo ciertas condiciones específicas, determinando de qué forma interactúan los

distintos elementos que lo conforman y como estos influyen en la conducta del área.

Estos escenarios son relevantes ya que permiten explorar, evaluar y comparar, otras

alternativas de comportamiento de un área bajo condiciones específicas, diferentes a las

reales, convirtiéndose en un medio eficaz para la determinación de decisiones.

Se debe considerar que un escenario alternativo debe cumplir con ciertos requisitos, ser

coherente, pertinente y verosímil, para crear así situaciones reales con posibilidad a que se

presenten.

Los escenarios alternativos considerados en este trabajo de tesis, tienen su origen en la

aplicación de alturas diferentes, localización con respecto al meridiano central y extensión del

huso cartográfico UTM, definiéndose los siguientes escenarios de prueba (ver figura 20)



4.1.3.4.- Procesamiento de datos

4.1.3.4.1.- Conversión de coordenadas

En vista que los vértices que forman el polígono fueron obtenidos en terreno en

proyección UTM y sistema de referencia WGS-84, estos fueron visualizados en los diferentes

referenciales altimétricos y localizaciones geográficas, de manera de obtener los escenarios

alternativos de investigación.

Figura 20: Escenarios



Puntos terreno Proyección UTM

Sistema de referencia WGS-84

Transformación Sistema de referencia

Proyección UTM Sistema de referencia

PSAD56

Escenarios

Polígono original λ promedio:72,342896 W φ promedio: 51,777088 S Huso:18 Altura original

550 m 2500 m 4000 m

Reproyectar Coordenadas geográficas

φ y λ

Nueva proyección Cónica equivalente de

Albers con dos paralelos tipos

Escenarios

Polígono 1 original λ promedio:72,342896 W φ promedio: 51,777088 S Huso:18 Altura original

550 m 2500 m 4000 m

Polígono 2 λ promedio:73,842896 W φ promedio: 51,777088 S Huso:18 Altura original

550 m 2500 m 4000 m


550 m 2500 m 4000 m


550 m 2500 m 4000 m

Áreas

Áreas

Procesamiento de Datos



• Modificación altimétrica

Las características geográficas del país, han resultado determinantes en la distribución

de la población, esto queda claramente demostrado ya que la mayor parte de los centros

poblados se localizan en el valle central y en menor medida, en la costa, aun así, existen

excepciones encontrando población en lugares de difícil habitabilidad. Este amplio margen, es

la razón de la elección de las diferentes alturas que se incluyen en esta investigación, las que

fluctúan entre los 0 m y los 4000 m.

• Localización

Si bien Chile se caracteriza por su angostura en dirección este-oeste, su disposición

genera la división del territorio en dos husos cartográficos UTM. Esta condición hace que el

manejo de grandes extensiones territoriales considere la extensión del huso como solución

a la representación general, hecho que provoca el aumento de la distorsión superficial a

medida que se aleja de la intersección elipsoide/cilindro. Con la finalidad de conocer el

detalle métrico de esta alteración, se sitúa el polígono original en diferentes longitudes

incluyendo la mencionada extensión de huso.



• Sistema de referencia

La actual cartografía nacional, tanto topográfica como regular (1:25.000 y 1:50:000

respectivamente), se encuentra referida a los sistemas geodésicos clásicos (PSAD56

8º34´17,17´´ y -65º8´25,12´´; SAD69 -19º45´41´65´´ y -48º06´04,06´´ y extremo sur Hito

XVIII), con la incorporación de los sistemas de referencia modernos surgen las

herramientas y la factibilidad de conocer las diferencias métricas que se producen entre las

superficies y el orden de estas discrepancias.

• Proyección

El errado uso de mediciones que en general se realiza sobre cartografía UTM, lleva a

considerar la proyección cónica equivalente de Albers, con la idea de conocer y determinar

el área real, a fin de comparar y determinar las diferencias métricas entre una y otra

proyección cartográfica.

4.1.3.4.2.- Modelo poligonal en autocad

Determinados los puntos proyectados en coordenadas UTM y cónica equivalente de

Albers de acuerdo a los diferentes escenarios alternativos, estos vértices se representaron en

el software gráfico Autocad, con el fin de formar los polígonos de estudio correspondientes,

determinar las superficies y sus respectivas variaciones métricas (ver figura 21).



4.1.3.4.3.- Variación métrica entre escenarios

Las diversas situaciones a la que se enfrentó el polígono de estudio fueron comparadas

y estudiadas a fin de determinar la variación que presentaron una vez que se modifican

cualquiera de sus características. De esta forma se dedujo como los factores externos al

polígono influyen en él y su cuantificación. El conocer de estas diferencias areales permitió

determinar el comportamiento que adquiere el polígono en las situaciones ya planteadas. Para

esto se consideró al escenario original y se enfrentó a las supuestas situaciones hipotéticas

conocidas como “escenarios alternativos”.

Figura 21: Modelos poligonales



4.1.3.4.4.- Módulo de deformación

Considerando que los elementos una vez proyectados se ven afectados por variaciones

en su representación, resultó determinante conocer como esta alteración influyó en las

superficies. Para lograr dicho cometido se obtuvieron los factores entre las “superficies UTM” y

la superficie obtenida en la proyección equivalente de albers.

4.1.3.4.5.- Extrapolación factor de escala superficial

La relación que existe entre los puntos obtenidos en terreno y su posterior proyección es

de importancia identificarlos a razón de conocer y predecir el comportamiento de cada polígono

de acuerdo al factor de escala superficial que estos arrojen. Para estudiar ésta variación

métrica la investigación se apoyó en el polinomio de Lagrange, ya que permitió determinar de

modo aproximado los valores del factor de escala, siendo un indicio del comportamiento

superficial que registrarán cualquier polígono en relación a su posición geográfica. Para la

determinación de este polinomio se obtuvieron los coeficientes referidos al área de estudio a

base los escenarios de prueba y el grado de error que lo acompaña, de manera que los valores

aproximados que se obtuvieron estén condicionados a la zona.



• Coeficientes de Lagrange

( ) ( )2010

00

λλλλ −⋅−=

KL

( ) ( )2101

11

λλλλ −⋅−=

KL

( ) ( )1202

22

λλλλ −⋅−=

KL

• Polinomio de Lagrange

Analizado en función de la longitud (λ)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )102201210 λλλλλλλλλλλλλ −⋅−⋅+−⋅−⋅+−⋅−⋅= LLLP

• Error del polinomio

( )( )

( ) ( ) ( )210

35422

24

185cos120

1

λλλλλλ

λλφ

λε −⋅−⋅−⋅

⋅

∆⋅+⋅−⋅⋅

=

ttN

nota: En el caso de N y t, se utiliza un φ promedio, ya que se trabaja en una superficie

poligonal.



4.2.- PRESENTACIÓN DE RESULTADOS

4.2.1.-Vértices coordenadas UTM - Albers

Con el objetivo principal de estudiar las deformaciones superficiales del polígono en

distintos escenarios, se recurre a la obtención de las coordenadas en los sistemas proyectivos

determinados.

En consecuencia se obtienen 140 vértices en coordenadas UTM correspondiente a 20

polígonos diferenciados por su sistema de referencia, localización geográfica y altura, todo esto

a razón de determinar las reales variaciones métricas que sufre un polígono una vez que se

alteran parte de sus datos originales. Igualmente se obtienen 35 vértices, equivalente a 5

polígonos proyectados en Albers, con el fin de tener un punto de comparación de los sistemas

proyectivos en los que a sus propiedades se refiere.

De manera de conocer y complementar la investigación, se recurre a las propiedades

UTM, más específicamente al campo de proyección, para determinar el factor de escala de

cada uno de los vértices.



POLIGONO 1 - ORIGINAL

DATOS ORGINALES

UBICACIÓN A NORTE ESTE NORTE ESTE NORTE ESTE

PUERTO BORIS 4277525,058000000 663386,238000000 4277524,603680890 663414,358304377 4277523,798340600 663464,207810766

PUERTO NATALES 4270571,459000000 670280,135000000 4270570,964446250 670309,441729039 4270570,087794450 670361,394399630

PUERTO NATALES 4269310,317000000 671510,618000000 4269309,815072590 671540,136492040 4269308,925352060 671592,464551740

PUERTO NATALES 4265707,717000000 671973,210000000 4265707,211777510 672002,808055921 4265706,316217090 672055,277156442

VILLA DOROTEA 4279070,400000000 684500,320000000 4279069,821023530 684532,074357307 4279068,794749010 684588,365882924

VILLA RENOVAL 4230234,140000000 711256,630000000 4230233,368999040 711292,988761101 4230232,002457780 711357,442129794

VILLA RENOVAL 4230235,740000000 709751,040000000 4230234,979943960 709787,139618487 4230233,632794920 709851,133636972

POLIGONO 2

DATOS ORGINALES


PUERTO BORIS 4279813,788663310 559577,739959313 4279813,758474160 559582,866449379 4279813,651439920 559601,042186889

PUERTO NATALES 4273005,242237250 566611,552297043 4273005,204416960 566617,284006298 4273005,070326860 566637,605520928

PUERTO NATALES 4271770,026395120 567867,419645785 4271769,987119830 567873,259414725 4271769,847871070 567893,964050056

PUERTO NATALES 4268178,792472870 568403,853243973 4268178,752528200 568409,739160445 4268178,610906170 568430,607409756

VILLA DOROTEA 4281791,618029020 580650,902879877 4281791,562745000 580657,842661991 4281791,366738040 580682,447344035

VILLA RENOVAL 4233534,493133960 608399,182377068 4233534,391711530 608408,509592042 4233534,032122910 608441,578808769

VILLA RENOVAL 4233505,012831440 606894,355672325 4233504,914203830 606903,553404092 4233504,564524110 606936,163543994

POLIGONO 3

DATOS ORGINALES


PUERTO BORIS 4279971,059382030 455745,844789693 4279971,042725570 455742,036849223 4279970,983670850 455728,535969375

PUERTO NATALES 4273308,564649700 462917,781569838 4273308,552929330 462914,590764531 4273308,511375290 462903,277909353

PUERTO NATALES 4272099,456492870 464198,711148612 4272099,445563960 464195,630565090 4272099,406816000 464184,708496240

PUERTO NATALES 4268520,153008160 464808,810041422 4268520,142436390 464805,781960475 4268520,104954650 464795,046037121

VILLA DOROTEA 4282380,818611970 476773,001853300 4282380,814027000 476771,003235795 4282380,797771190 476763,917228276

VILLA RENOVAL 4234710,165915180 505505,513250554 4234710,165653590 505505,986972814 4234710,164726150 505507,666533553

VILLA RENOVAL 4234649,638631960 504001,829324609 4234649,638493750 504002,173662272 4234649,638003730 504003,394495808

EXTENSION DEL HUSO 18

POLIGONO 4

DATOS ORGINALES


PUERTO BORIS 4273102,115083220 767197,159916270 4273101,507374220 767220,151449468 4273099,352769580 767301,666885354

PUERTO NATALES 4266004,281523640 773950,994169127 4266003,641293260 773974,566768690 4266001,371385560 774058,142348959

PUERTO NATALES 4264717,362408480 775156,063671593 4264716,716274580 775179,739948701 4264714,425436200 775263,683112993

PUERTO NATALES 4261103,951138740 775544,690009036 4261103,302428280 775568,399682583 4261101,002454850 775652,461252430

VILLA DOROTEA 4274213,830460720 788352,530699489 4274213,123129510 788377,342619305 4274210,615318870 788465,312153197

VILLA RENOVAL 4224805,060190230 814115,106859986 4224804,207643150 814142,134915586 4224801,184976240 814237,961658171

VILLA RENOVAL 4224837,817523440 812608,746636252 4224836,973126450 812635,645076133 4224833,979355280 812731,012272074

COORDENADAS UTM - WGS84


MERIDIANO CENTRAL 75 MERIDIANO CENTRAL 75

COORDENADAS UTM - WGS84 COORDENADAS UTM - WGS84

MERIDIANO CENTRAL 75

PRUEBA DE ALTURA 2500 m

MERIDIANO CENTRAL 75MERIDIANO CENTRAL 75

PRUEBA DE ALTURA 0 m PRUEBA DE ALTURA 550 m PRUEBA DE ALTURA 2500 m


PRUEBA DE ALTURA 0 m PRUEBA DE ALTURA 550 m

COORDENADAS UTM - WGS84 COORDENADAS UTM - WGS84

















Tabla Nº 02: vértices escenarios alternativos – coordenadas UTM-Albers / WGS84



POLIGONO 1 - ORIGINAL

DATOS ORGINALES

UBICACIÓN A NORTE ESTE Factor de escala X ALBERTS Y ALBERTS

PUERTO BORIS 4277523,178848060 663502,553584912 0,999927753 15124937,388976500 413269,912753609

PUERTO NATALES 4270569,413446920 670401,357992393 0,999955991 15131813,068136500 415476,743395722

PUERTO NATALES 4269308,240951650 671632,716905355 0,999961154 15133023,153820700 415929,296869391

PUERTO NATALES 4265705,627324460 672095,638002997 0,999963102 15133577,557137300 416143,283536688

VILLA DOROTEA 4279068,005307080 684631,667056475 1,000017944 15144631,887852000 421341,725529256

VILLA RENOVAL 4230230,951272190 711407,021644174 1,000147913 15167409,510434900 439372,135399034

VILLA RENOVAL 4230232,596526440 709900,359805037 1,000140130 15166363,324153100 438243,849094098

POLIGONO 2

DATOS ORGINALES


PUERTO BORIS 4279813,569105900 559615,023523434 0,999643570053610 15030420,042317700 444018,496327563

PUERTO NATALES 4273004,967180630 566653,237455258 0,999654464553214 15035134,860175100 438548,984652343

PUERTO NATALES 4271769,740756640 567909,890692618 0,999656537496556 15036023,720778600 437611,413941840

PUERTO NATALES 4268178,501966150 568446,659909226 0,999657434375577 15036437,075452500 437184,458153947

VILLA DOROTEA 4281791,215963450 580701,374022530 0,999679844157253 15045536,885710200 429034,888841833

VILLA RENOVAL 4233533,755516280 608467,016667790 0,999744224430737 15071025,938101000 415098,462512878

VILLA RENOVAL 4233504,295539710 606961,248266996 0,999740247790157 15069578,865927100 415621,451848883

POLIGONO 3

DATOS ORGINALES


PUERTO BORIS 4279970,938244150 455718,150677185 0,999624039573197 15021849,934212900 543041,511118591

PUERTO NATALES 4273308,479410650 462894,575713062 0,999616878877214 15018653,750339400 536566,213902180

PUERTO NATALES 4272099,377009880 464176,306904817 0,999615732882292 15018137,341166100 535381,970018752

PUERTO NATALES 4268520,076122540 464786,787634540 0,999615201121961 15017905,524346000 534834,782397230

VILLA DOROTEA 4282380,785266720 476758,466453261 0,999606622250250 15013952,784819700 523276,327615717

VILLA RENOVAL 4234710,164012730 505508,958503353 0,999600372024983 15011067,096764200 494369,778616404

VILLA RENOVAL 4234649,637626790 504004,333598527 0,999600196559273 15010983,972136400 495906,211504072

EXTENSION DEL HUSO 18

POLIGONO 4

DATOS ORGINALES


PUERTO BORIS 4273097,695381390 767364,371066804 1,000476483926720 15190129,649225800 488296,397509413

PUERTO NATALES 4265999,625302720 774122,431256858 1,000521347220720 15190780,686386700 495488,143890462

PUERTO NATALES 4264712,663252820 775328,254777834 1,000529469733600 15190836,189851100 496778,892268391

PUERTO NATALES 4261099,233244520 775717,123998467 1,000532090693350 15190855,497573100 497372,845585672

VILLA DOROTEA 4274208,686233760 788532,981025422 1,000620799298750 15190382,607588800 509579,335734837

VILLA RENOVAL 4224798,859847840 814311,674537082 1,000811272939980 15182669,460326400 537586,890606898

VILLA RENOVAL 4224831,676454380 812804,371653568 1,000799680812400 15183300,077313900 536183,374330862

PROYECCIÓN ALBERS





PROYECCIÓN ALBERSCOORDENADAS UTM - WGS84




PROYECCIÓN ALBERS

PROYECCIÓN ALBERS







DATOS ORGINALES


PUERTO BORIS 4277864,494428770 663596,391078426 4277864,038990370 663624,547557629 4277863,231666190 663674,461191057

PUERTO NATALES 4279430,695759890 684740,109048574 4279430,115345430 684771,904683199 4279429,086522450 684828,269379746

PUERTO NATALES 4270952,779858820 670508,105648378 4270952,284041350 670537,451619760 4270951,405149780 670589,473854842

PUERTO NATALES 4269658,961367890 671767,876284280 4269658,457990730 671797,439059008 4269657,565700710 671849,845618068

VILLA DOROTEA 4266015,840880280 672210,498399597 4266015,334313450 672240,137300481 4266014,436370390 672292,678806310

VILLA RENOVAL 4230547,471239420 709992,066607257 4230546,709513140 710028,207716826 4230545,359404740 710092,275281888

VILLA RENOVAL 4230545,326982170 711499,479453537 4230544,554286120 711535,880019646 4230543,184741480 711600,407491124

NORTE ESTE X ALBERTS Y ALBERTS

4277862,610647590 663712,856293695 0,999928332 668115,224488001 9989294,754343050

4279428,295120150 684871,626838628 1,000018693 689751,229720742 9990041,270958600

4270950,729079340 670629,490958751 0,999956658 675447,911515062 9989537,633378570

4269656,879323770 671890,158355806 0,999961947 676787,653607292 9989583,130802110

4266013,745644960 672333,095349255 0,999963812 677370,567791439 9989603,034651950

4230544,320859810 710141,558024244 1,000140935 677370,567791439 9991141,228866400

4230542,131245600 711650,044007646 1,000148730 677370,567791439 9991206,973354860


PRUEBA DE ALTURA 0 m PRUEBA DE ALTURA 550 m PRUEBA DE ALTURA 2500 m

MERIDIANO CENTRAL 75 MERIDIANO CENTRAL 75

COORDENADAS UTM - PSAD56 COORDENADAS UTM - PSAD56

PROYECCIÓN ALBERSkCOORDENADAS UTM - PSAD56

COORDENADAS UTM - PSAD56



Tabla Nº 03: vértices polígono 1 – coordenadas UTM-albers / PSAD56



4.2.2.- Áreas en función de los distintos escenarios.

Cada escenario propuesto se diferencia en función de su altura y ubicación geográfica (ver figura 22),

determinando el grado de variación de una superficie poligonal cada vez que se enfrentan en distintas condiciones.

Los polígonos trazados y sujetos a situaciones distintas dan como resultados en sus áreas lo siguiente:

POLÍGONO 1

POLÍGONO 2

POLÍGONO 3

POLÍGONO 4

POLÍGONO 1

Área Área

PROYECCIÓN UTM - WGS84PROYECCIÓN ALBERS

ALTURA ORIGINAL 0 m ALTURA 550 m ALTURA ORIGINAL 2500 m ALTURA ORIGINAL 4000 m

Área Área

629917249,440400

629551234,935100

629462276,309700

630723418,200900

629516479,161500

630777875,998300

630218410,576700 630366520,569100

629945576,639400

629856479,027200

631119475,639600

629797698,479200

630025867,780000

629605456,898900

629708652,965500

630970953,901400 95964474,503400

Área

95964472,503400

95964473,503400

95964474,503400

PROYECCIÓN UTM - PSAD56PROYECCIÓN ALBERS

ALTURA ORIGINAL 0 m ALTURA 550 m ALTURA ORIGINAL 2500 m ALTURA ORIGINAL 4000 m

Área

631259496,128900 631366400,533900 631559353,111100 631710455,486100 95964472,503400

Área Área Área Área

Tabla Nº 04: Determinación superficial de los escenarios



Figura 22: Escenarios en función de su ubicación geográfica

Localización Polígonos en huso 18 Proyección UTM



POLIGONO 1 ORIGINAL

POLIGONO 2 /POLIGONO 1


ALTURA ORIGINAL 0 m ALTURA 550 m ALTURA 2500 m ALTURA 4000 m

108618,339600 301161,136300 449271,128700

54221,963800 246463,544100 394341,704300

54202,851800 246376,655800 394202,717500

POLIGONO 1 ORIGINAL




-454973,130700 -509388,618500 -509757,611200 -510041,541900

-366014,505300 -420410,881100 -420712,097500 -420943,929700


806168,760500 752008,218300 752543,324700 752955,070500

POLIGONO 1 ORIGINAL




-454973,130700 -400770,278900 -208596,474900 -60770,413200

-366014,505300 -311792,541500 -119550,961200 28327,199000

108618,339600 301161,136300 449271,128700


806168,760500 860626,557900 1053704,461000 1202226,199200

Tabla Nº 05: Diferencia superficial referido a la altura

Tabla Nº 06: Diferencia superficial referido a la localización geográfica

Tabla Nº 07: Diferencia superficial entre escenarios alternativos y original



Gráfico Nº1: Comparación superficial de los escenarios



Gráfico Nº2: Comparación superficial polígono 1 entre sistemas de referencia WGS84 / PSAD56

4.2.3.- Polinomio de Lagrange

Coeficientes de Lagrange (área de estudio)

FACTOR ORIGINAL 550 m 2500 m 4000 m

L0 4788,569242809 4789,394948790 4790,858640275 4791,984557933

L1 -9571,573573026 -9572,397953135 -9575,320756440 -9577,569067001

L2 4785,110481898 4785,522526661 4786,983413069 4788,107172290

Meridianos Relación centro

Prueba proyección/borde

P(71º) 6,569931081 6,572051113 6,574062384 6,575609519

E PPM 0,496768122 0,496607873 0,496455941 0,496339133

P(72º) 6,565344451 6,566685443 6,568692899 6,570237097

E PPM 0,015240982 0,015237869 0,015233213 0,015229632

P(73º) 6,562040962 6,562854753 6,564859475 6,566401570

E PPM -0,001250785 -0,001250630 -0,001250248 -0,001249954

P(74º) 6,560020613 6,560559044 6,562562114 6,564102937

E PPM 0,000010680 0,000010679 0,000010676 0,000010673

P(75º) 6,559283406 6,559798315 6,561800814 6,563341198

E PPM 0,000000000 0,000000000 0,000000000 0,000000000

P(76º) 6,559829340 6,560572568 6,562575576 6,564116353

E PPM 0,000010680 0,000010679 0,000010676 0,000010673

P(77º) 6,561658414 6,562881801 6,564886401 6,566428403

E PPM 0,024773270 0,024768652 0,024761089 0,024755274

1,000000000

1,001623299

1,000924041

1,000420405

1,000112391

Original 550 m 4000m2500 m

Tabla Nº8: Polinomio de Lagrange



Comportamiento factor de escala superficial

Gráfico Nº3: Factor de escala superficial



Gráfico Nº4: Comportamiento factor de escala superficial

ANÁLISIS Y CONCLUSIONES

ANÁLISIS

De los resultados expuestos:

Una primera observación evidencia que existen alteraciones superficiales en cada uno

de los escenarios alternativos, lo que indica que al modificar los parámetros originales los

polígonos verán afectadas sus dimensiones al proyectarse en UTM, resultando importante

evaluar el orden de las variaciones métricas

El primer factor que influye en la variación de superficie corresponde al sistema vertical

de referencia, este se produce debido a que el estudio realizado contó como base elementos

localizados (materializados) sobre una superficie topográfica. Teniendo en cuenta que la

cartografía utiliza como superficie de referencia al elipsoide, se debe establecer una relación

entre ambas superficies, determinada por la altura, radio medio del área y las tolerancias de las

magnitudes a determinar. El punto de relación entre la superficie es el factor de escala kh que

al incorporarlo a la superficie elipsoidal dará como resultado la superficie proyectada.



De acuerdo al gráfico Nº1”comparación superficies de los escenarios”, se observa el

comportamiento ascendente que presentan las dimensiones una vez incrementadas las alturas,

independiente de su localización geográfica. Este comportamiento mantiene un patrón de

crecimiento similar en todos los escenarios, reflejado en la mínima diferencia que existe entre la

mayor y menor superficie tanto en los 0m como en los 4000m, alcanzando apenas los 1854m2 ,

eso si, siempre la diferencia por menor que sea, aumenta a medida asciende la altura como

promedio un 0.005%.

Considerando el comportamiento superficial de los escenarios en cada nivel de altura,

se obtiene entre el polígono de menor y mayor superficie:

Altura (m) Diferencia (m2) Variación superficial (%) Kh

0 1261141,891 0,200352259 1

550 1261396,891 0,200375507 1,000053042

2500 1262300, 936 0,200457931 1,000241102

4000 1262996,612 0,200521334 1,000385763



Atendiendo a lo expuesto en el gráfico Nº5 “comportamiento superficial en base a la

localización”, un segundo factor de análisis lo constituye la localización y su representación

UTM.

Se establece un incremento de la superficie a medida el polígono se aleja de las zona

del meridiano central, siendo éste su punto de menor superficie al interior del huso. Este

comportamiento presenta un patrón simétrico (decreciente – creciente) sólo alterado una vez

extendido el huso dado el progresivo aumento de los valores, teniendo como consecuencia

una superficie que en su espacio proyectado le corresponde disminuir se ve forzado a

aumentar.

Gráfico Nº5: Comportamiento superficial en base a la localización.



Considerando el orden de localización de los polígonos y en comparación al polígono

original, se observa una disminución superficial en dirección al meridiano central, por el

contrario, aquel dispuesto fuera del borde aumenta en superficie comparativamente al

escenario real. De lo mismo, dentro del huso cartográfico, la variación superficial alcanza un

promedio de 0,075%, mientras si se considera el polígono localizado fuera de los límites de la

proyección (extensión de huso), la variación superficial se incrementa, alcanzando un valor

promedio de 0,2%, equivalente a 1,2619 km2. Es evidente que ampliar el huso manteniendo las

características de una proyección TM, provoca incrementos en las alteraciones por el

alejamiento del cilindro secante, aunque no exageradamente, pero significativos a la hora de

evaluar grandes extensiones de terreno.

Ya en conocimiento que la altura y localización influyen en la determinación de los

valores superficiales, se recurre al sistema proyectivo como un nuevo factor de análisis con el

fin de determinar el rango de influencia que tiene sobre las mediciones.

Figura 23: Comparación polígono

proyectado UTM y Albers



En la figura Nº23 “comparación polígono proyectado en UTM/Albers, se advierten las

diferencias generadas tanto en la forma, como en la disposición y tamaño (superficie) del

polígono original una vez proyectado en UTM (conforme) y cónica de Albers (equivalente). Esta

comparación se fundamenta en la práctica común de asumir propiedades cartográficas erradas.

En este caso en particular, la superficie poligonal determinada en una proyección

conforme supera en promedio en más de 6 veces a la superficie proyectada en una

equivalente. Esta sobredimensión observada es resultado del origen, propiedades y parámetros

del sistema proyectivo, así como del tamaño, disposición y localización geográfica del área de

estudio, situaciones que han de ser consideradas a la hora de estimar los valores.

Parte de la diferencia visualizada entre los polígonos tiene su principio en estos factores.

Dado el origen distinto de las proyecciones utilizadas (cilindro y cono). Junto a las propiedades

cartográficas establecen la utilidad de la proyección, resultando incompatible determinar

características que las mismas proyecciones no conservan con la idea de mantener una

propiedad determinada. La definición de parámetros cartográficos es otro de los elementos

alteradores. Considerando que UTM cuenta con estos establecidos con el fin de mantener su

condición de conformidad, como el definir el dominio donde la anamorfosis no supere un valor

del factor de escala lineal mayor a 1,004, mientras la cónica equivalente de Albers permite

definir parámetros (meridiano central y paralelos de secancia) dependiendo del objetivo

planteado.



Otro foco de análisis son las características del polígono proyectado; el tamaño debe ser

considerado, ya que un territorio extenso se ve más vulnerable a las características

geométricas propias de la representación. La disposición, cuya figura original se modifica a

razón de la proyección cartográfica que altera sus elementos con el fin de conservar una

propiedad. Por último la localización geográfica, esencial para establecer bajo que

características de dominio proyectivo se representaran, es decir, como ejemplo UTM que

modifica la distancia entre paralelos a medida se aleja del Ecuador con el fin de mantener la

conformidad, a causa de este incremento se ven afectadas las zonas cercanas a los polos

Cabe mencionar que dentro de la investigación uno de los puntos que resulta

interesante de establecer es la existencia de variaciones superficiales y del comportamiento

poligonal al ser modificado el sistema de referencia, es por esta razón que los datos originales

presentes en WGS84 (global y geocéntrico), se traspasan a PSAD56 (definido por un punto

datum).

En este procedimiento las superficies se vieron incrementadas alrededor de un 0.21%,

correspondiente a 1.34 km2. Esta variación de los resultados se entiende por un conjunto de

hechos y acumulaciones que inciden de la precisión de las coordenadas que son vértices del

polígono de estudio. Destacable mencionar que si bien WGS84 y PSAD56 cumplen la misma

función, son sistemas totalmente distintos, con elipsoides, parámetros diferentes, entre otros,

son estos elementos los que justifican las variaciones sufridas por la superficie poligonal. En

cuanto al comportamiento (localización-altura), este sigue un mismo patrón prevaleciendo como

es lógico las propiedades de la proyección.



Factor de escala superficial

Debido al comportamiento que presenta la escala TM se utilizó para su estudio el

polinomio de Lagrange, en el caso particular de este trabajo de segundo grado, determinado

esto por la cantidad de muestras y justificado dado que para una cantidad importante de

puntos, si bien es cierto que resulta interesante la determinación del polinomio interpolante,

también es cierto que los polinomios de grado alto tienden a tener muchas oscilaciones que al

cabo le restan importancia para la aproximación numérica y más todavía para la visualización

gráfica.

De acuerdo al grafico Nº4 “comportamiento de factor escala superficial”, se observa que

el k superficial tiene un crecimiento parabólico a medida se aleja del meridiano central., esto

evidencia una relación entre el factor y la superficie que tiene el mismo patrón de

comportamiento. Por lo tanto este polinomio permite establecer el patrón de comportamiento

que presentaran diferentes áreas de trabajo de acuerdo a lo localización que estas tengan.



CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES Y ALCANCES DEL TRABAJO

Atendiendo los resultados obtenidos y en base a los objetivos planteados en esta tesis,

es posible concluir:

La diferencia de valores obtenidos luego de modificar al polígono los parámetros

originales en altura y localización geográfica, evidencia la relación de éstos con la superficie en

la proyección cartográfica asumida. Como se apreció en los análisis la variación superficial

siempre existe, sólo que no resulta ser considerable (cerca de un 0,2% entre la menos y mayor

superficie en UTM), eso si, la significancia de esta variación estará sujeta a los objetivos

determinados por la escala de trabajo.

Se comprueba por tanto la hipótesis planteada de enfrentar las variables de altura y

localización, viéndose directamente afectada la dimensión superficial considerada en una

proyección UTM.

El objetivo general de estudiar el comportamiento métrico poligonal se cumplió

íntegramente al adoptar 16 escenarios alternativos, demostrándose el grado de alteración y

conducta que presenta el polígono en cada uno de ellos.



Si bien, en un comienzo la investigación se orientó en conocer las diferencias

superficiales que tenían su origen en la altura y localización, la introducción de proyecciones

cartográficas en la comparación de superficies arrojó las mayores diferencias. Esto demuestra

la importancia que recae en la elección de la proyección y sus propiedades, con el fin de

determinar las alteraciones para el área de estudio.

Debido a la existencia de más de un sistema de referencia con origen y características

distintas, se cuantificó las alteración superficial entre el sistema de referencia más antiguo

(PSAD56) y moderno (WGS84) utilizados en el país, observando una discrepancia promedio de

un 0,2%, equivalente a 1,2 km2.

Los cálculos de coordenadas, transformaciones y superficies, fueron realizados en

planillas excel, facilitando el trabajo en la medida de generar variadas pruebas a través de una

perspectiva de escenarios posibles rescatando aquellos más relevantes para su análisis, estos

acompañados de distintos gráficos incluidos en el trabajo, que en conjunto con la utilización de

Internet, open source, SIG y todo proceso computacional optimiza la investigación.

Si bien el estudio se concentra en un área específica, queda abierta la posibilidad de

replicar la metodología en otras zonas del país, ya que resulta completamente extrapolable

entendiendo que ciertos parámetros y valores deben ser obtenidos en función del lugar donde

se replique.



Al término de éste estudio queda en evidencia que en la elaboración cartográfica jno se

puede hablar de procesos independientes (obtención y clasificación de datos, procesamiento,

representación). El manejar y conocer cada uno de estos, sus dificultades o sus limitaciones,

permitirán establecer la funcionalidad que se le puede otorgar al trabajo. El ser parte de cada

una de estas etapas aseguran que tanto los cartógrafos como la propia disciplina pueden

responder a las exigencias que el presente les impone.



BIBLIOGRAFÍA

• Franco rey, jorge. Nociones de topografía, geodesia y cartografía, Universidad de

Extremadura, España 1990.

• Fernández Coppal, Ignacio Alonso. La Proyección Universal Transversal de

Mercator. Universidad de Valladolid, España.

• Martín Asín, Fernando. Geodesia y cartografía matemática. Editorial parainfo, Madrid

1990.

• Millán Gamboa, José Manuel. Fundamentos para cartografía náutica. JM Ediciones,

España 2006.

• Hernández Navarro, Antonio. Revista cartográfica Nº70, Proyecciones cartográficas

conformes. Instituto Panamericano de Geografía e Historia (IPGH), México 2000.

• Mackan Oberti, Maria. Tesis Doctoral “Materialización de un Sistema de Referencia

Geocéntrico de alta precisión mediante observaciones GPS”. Universidad Nacional

de Catamarca, Argentina 2003.



• Millar Ordenes, Fernando. Trabajo de titulación “Evaluación de la Aplicación de un

huso TM para Chile continental, aplicable para la cartografía del Ministerio de

Bienes Nacionales”. Universidad de Santiago de Chile, Santiago 2003.

• Ministerio de Obras Públicas. Manual de Carreteras. Volumen N°2, Procedimiento de

Estudios Viales, Capítulo 2.300 Ingeniería básica, aspectos topográficos y geodésicos,

Diciembre 2001.

• Zepeda G, René. Apuntes asignatura Geodesia, Geodesia geométrica, Chile 2004.

• Zepeda G, René. Apuntes asignatura Geodesia, Geodesia Satelital, Chile 2002.

Páginas web

www.elgps.com

www.hiparion.com

www.ilustrados.com

www.inegi.gob.mex

www.nacs.upc.es

www.nevasport.com



ANEXOS

I.- Referenciales geodésicos

Cálculos de las normales principales.

En un punto sobre el elipsoide pasa un número infinito de planos normales, los que al

intersectarse con el elipsoide forman las “secciones normales”. Desde las infinitas secciones

normales del punto, las de mayor importancia son dos: sección normal meridiana y sección

normal del primer vertical. Estas dos reciben el nombre de “secciones normales principales”,

debido que a la primera corresponde el mínimo de radio de curvatura en el punto “M” y a la

segunda el máximo de curvatura “N”. Estos radios M y N, corresponden a los dos radios de

curvaturas principales para un punto sobre el elipsoide, los que dependen únicamente de la

latitud (φ), por lo que todos los puntos de un paralelo tendrán los mismos radios de curvaturas

principales.

Radio de curvatura de la elipse meridiana (M)

Considerando la normal de un punto

“Q” sobre el elipsoide y continuando por el

meridiano otro punto “Q´”, situado a una

distancia infinitesimal y considerando también

su normal, ambas se cortan en un punto “u”.

b

Z

X

Y

Q

a

Q´

M u

Figura 24: Radio de curvatura de la elipse meridiana



Cuando el punto “Q´” tiende hacia “Q”, o sea cuando el arco infinitesimal SQ tiende a

cero, el punto hacia el cual tiende “u” es el llamado centro de curvatura de la curva en el punto

“Q”. El arco diferencial de meridiano SQ obtenido, corresponde con el de un círculo que

contiene a “Q” y “Q´”, existiendo un único radio que define al círculo o que contiene al segmento

diferencial. Este radio es el Radio de curvatura de la elipse mediana (Ver figura Nº24).

ds = φMd = 22 dx dz + =

2

1

+

dz

dxdz

ds = φMd = 22 dx dz + = φ21 tgdz +

ds = φMd = 22 dx dz + =

φcos

dz

Luego

( )φ

φφφ

senctgtg

dx

dz cos90 =−=+=

En consecuencia

φMd = φcos

dz

=

φφ d

dzM

cos

1

ds dz

dx

De la figura se deduce



Escribiendo z en función de la latitud

( )( )φ

φ22

2

1

1

sene

seneaz

−

−=

Derivando en función de la latitud

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

φ

φφφφφφ

φ 22

221

22221

22

1

cos212

11cos11

sene

seneseneseneaeasene

d

dz

−

−−−−−−=

−

( ) ( )( )( ) 2

322

22222

1

11cos

φ

φφφ

φ sene

seneseneea

d

dz

−

+−−=

( )( ) 2

322

2

1

cos1

φ

φ

φ sene

ea

d

dz

−

−=

Reemplazando

φd

dz en M

=

φφ d

dzM

cos

1

( )( ) 2

322

2

1

cos1

cos

1

φ

φ

φ sene

eaM

−

−

= Finalmente se obtiene

( )( ) 2

322

2

1

1

φsene

eaM

−

−=



Normal Principal (N)

La normal principal o gran normal (N), corresponde al segmento originado en un punto

cualquiera sobre el elipsoide (Q) y su prolongación a través de la normal de este, hasta su

intersección con el eje menor de la elipse meridiana (ver figura 25).

Partiendo de la ecuación de la elipse

12

2

2

2

=+b

z

a

x

b

a

F F´

Z

X

Y

Q

N

φ

z

x

Figura 25: Gran normal

De la figura se deduce



Derivando

2/022

2

º´

2=+

b

zz

a

x 0

2

º´

2=+

b

zz

a

x 2

2

º´b

a

xzz −=

y

ba

x

z

2

2º´

−

= y

ba

xz

12

2

º´ −= y

b

a

xz

2

2

º´ −=

2

2º´

a

b

y

xz −= ( )φ−=−= 90

2

2º´

tgy

x

a

bz

φctgy

x

a

bz −=−=

2

2º´

x

y

b

atg

2

2

−=φ

Relación con la excentricidad

2

222

a

bae =

2

2

2

22

a

b

a

ae −=

2

22 1

a

be −=

2

221

a

be −=− ( )222 1 eab −=

2

2

21

1

b

a

e−=

−

Remplazamos 2b en:

x

y

b

atg

2

2−−=φ

( ) x

y

ea

atg

22

2

1 −

−−=φ ( ) xtgey φ21 −=

Función de la elipse

12

2

2

2

=+b

y

a

x



Reemplazando 2y y 2b

( )( )

11

122

2222

2

2

=−

−+

ae

tgxe

a

x φ ( ) φ22222 1 tgxexa −+= / 2

x

( )( )φ22222 11 tgxexa −+= ( )( )φ22

22

11 tge

ax

−+=

( )

−+

=

φ

φ2

22

22

cos11

sene

ax

( )

−+=

φ

φ2

222

22

cos

1cos sene

ax

φφφ

φ2222

222

1

cos

senesensen

ax

−+−= /

( ) φ

φ221

cos

sene

ax

−=

φcos

xN =

( )φ

φ

φ

cos

1

cos

22 sene

a

N−

=

Finalmente se obtiene

( ) φ221 sene

aN

−=



Cálculos de arcos sobre el elipsoide

En términos generales, un arco es aquella curva continua comprendida entre dos

puntos, esto permite definir que un arco sobre el elipsoide es aquel segmento o sección

geométrica del elipsoide definida por una ecuación analítica y cuya forma se encuentra definida

por uno o más arcos de la elipse.

De la figura 26 se infiere que la sección AB corresponde a un arco de meridiano,

mientras que el segmento AC pertenece a un arco de paralelo.

Longitud arco meridiano (Sm)

Considerando una esfera, la longitud de un arco meridiano entre latitudes 2φ y 1φ esta

dado por.

( )º12

180

πφφ −= RS

b

a

F

Z

X

Y

A

B

C

D

Figura 26: Arcos sobre el elipsoide



En este caso al utilizar una figura esférica, el espacio entre paralelos de latitud es

uniforme ya que el radio (R) es constante en cualquier latitud, no así sobre el elipsoide que no

mantiene la uniformidad, la razón, los radios de curvatura sobre el elipsoide en el plano de la

elipse meridiana cambian con la latitud.

Por este motivo el largo de un arco de meridiano entre latitudes 1φ y 2φ es dada por la

integral.

φmdds =

∫=2

1

φ

φ

φmds

Donde m, es el radio de curvatura meridiana.

Esta integral puede ser evaluada y la distancia puede ser expresada en la forma de una

serie infinita, donde un arco de meridiano queda definido.

( ) ( ) ( ) ( )[ ]126124122120 664422 φφφφφφφφ SenSenASenSenASenSenAAaSm −−−+−−−=

Los valores de los coeficientes ( 6,4,2,0 AAAA …), se expresan en términos de la

excentricidad, correspondiente al elipsoide de referencia utilizado.



Longitud arco paralelo (Sp)

Debido a la convergencia meridiana, el espaciamiento entre meridianos de longitud es

máximo en el Ecuador y un mínimo (cero) sobre los polos. Tal como en el arco de meridiano, si

se tratase de una figura esférica donde el radio se mantiene constante, la diferencia entre los

meridianos 2λ y 1λ a la latitud xφ es:

( )º12

180cos

πλλφ −= RS

En el caso de una figura elipsoidal, la normal (radio) no es constante por lo que la

distancia o el área de paralelo se define en función a la separación angular entre ellos ( )λ∆ y el

radio paralelo, quedando constituido por la siguiente expresión:

φcosNr = (Radio Paralelo)

( )12cos λλφ −= NSp

Sistema coordenado

Se establece como un sistema de coordenadas al conjunto de valores que permiten

definir inequívocamente la posición de cualquier punto en el espacio.



Sistema de coordenadas cartesianas

Este sistema de coordenadas está definido por tres ejes en el espacio (X,Y,Z),

perpendiculares entre si que se cortan en el origen, obteniendo de esta forma un triedro. Con el

fin de tener una relación cartográfica se asocia a un elipsoide, donde el eje X suele tomar la

dirección del meridiano de origen, Z coincide con el eje de rotación terrestre y el eje Y con el

plano ecuatorial, en base a esto, cualquier punto en el espacio puede ser localizado

considerando la distancia perpendicular que los separa de cada recta, formando así un trío

coordenado, esto se puede observar claramente en (ver figura 27).

Sistema de coordenadas geodésicas

Considerando que las determinaciones geodésicas se realizan sobre la superficie

terrestre, éste sistema de coordenadas considera a la Tierra como un elipsoide de revolución,

quedando determinado cuando se adoptan valores específicos tantos del radio ecuatorial como

del achatamiento. Este elipsoide, gira en torno a su eje menor, caracterizándose porque en su

Figura 27: Sistema de coordenadas cartesianas, fuente: Manual de Carreteras



punto medio se genera un círculo máximo llamado Ecuador (plano ecuatorial), que

divide al elipsoide en dos mitades iguales denominados hemisferios (norte y sur). Además se

generan un sinnúmero de elipses menores, cuyos planos son paralelos al plano ecuatorial

denominados paralelos. Por otro lado los infinitos planos que contienen al eje de rotación

terrestre (planos meridianos) definen en su intersección con el elipsoide a las líneas llamadas

meridianos y del que existe uno de origen. Las coordenadas quedan establecidas como latitud

φ , longitud λ y altura elipsoidal h (Ver figura 28)

- Parámetros coordenadas geodésicas

Latitud geodésica (φ ): Corresponde al ángulo formado por la normal de un punto cualquiera y

su proyección sobre el ecuador, se mide a partir del plano ecuatorial de origen cero y varía de

90º a -90º, tomando valores negativos al sur del Ecuador .

Figura 28: Sistema de coordenadas geodésicas, Fuente: Manual de Carreteras



Longitud geodésica ( λ ): Se define como el ángulo formado entre la sección meridiana de un

punto cualquiera y el meridiano cero, varía de 0º a 360º en sentido este del meridiano de

origen considerando el elipsoide completo, o de 180 a -180 si se considera el meridiano de

origen, valores negativos al oeste.

Altura elipsoidal (h): Las coordenadas geodésicas además deben considerar la altura

elipsoidal, conocida como la distancia sobre el elipsoide, medida a lo largo de la normal entre el

elipsoide y un punto cualquiera.

Relación matemática entre coordenadas cartesianas y geodésicas.

Dada la importancia que tiene el manejo de coordenadas y a los diversos procesos de

cálculos involucrados, se requiere constantemente expresar las coordenadas en una unidad u

otra de acuerdo a las necesidades, por lo que las relaciones entre ellas facilitan algunos

cálculos, estas pueden expresarse.

Las coordenadas cartesianas de un punto P ( )PPP ZYX ,, sobre un elipsoide de semieje

menor b se obtienen mediante:

( ) φ

λφ

λφ

senehZ

senNY

NX

P

p

P

21

cos

coscos

−=

=

=



Si el punto esta situado a una altura h sobre el punto p en el elipsoide, sus coordenadas

( )111 ,, PPP ZYX se encuentran definidas por:

( )( )

( )( ) φ

λφ

λφ

senheNZ

senhNY

hNX

P

p

P

+−=

+=

+=

2

1

1

1

1

cos

coscos

Donde:

−

+= −

ψ

ψφ

32

321

cos

´tan

aed

senbeZ ( ) 2

122 YXd +=

= −

X

Y1tanλ

= −

db

Za1tanψ

Nd

h −

=

φcos



II.-Proyecciones Cartográficas

Proyección cilíndrica

Corresponde a una de las proyecciones cartográficas más utilizadas en la actualidad,

tiene su origen en una superficie geométrica desarrollable que envuelve a la figura de

referencia, éste caso tiene su fundamento en un cilindro cirscuncrito alrededor de la esfera

terrestre, tangente al círculo máximo (Ecuador), estableciendo entre los puntos de ambas

superficies una correspondencia biunívoca. Desarrollando el cilindro, los meridianos y paralelos

quedan representados como líneas rectas que se cortan entre si en ángulos de 90º (ver figura 29).

Proyección cilíndrica regular

Se distinguen principalmente por la tangencia del cilindro en el Ecuador. Producto de la

curvatura de la tierra, el mapa resultante representa la superficie mundial como un rectángulo

de líneas paralelas equidistante de longitud y líneas paralelas de latitud con separación

desigual.

Figura 29: Proyección cilíndrica, fuente: www.hyparion.com



Dado que las áreas se van distorsionando a medida nos acercamos a los polos, este

tipo de proyecciones no son recomendables para zonas de latitudes mayores a los 40º. La

Proyección de Mercator corresponde a una proyección de tipo cilíndrica regular.

Proyección cilíndrica transversa

Se diferencian a la anterior en la disposición del cilindro, ya que en este caso la

colocación del cilindro tangente a la tierra es girado en 90º, de manera que en lugar de

colocarse tangente al Ecuador, lo hace respecto a un meridiano central. Podemos citar como

uno de sus referentes a la Proyección Transversa de Mercator.

Existen además otras clasificaciones para las proyecciones cilíndricas, tal es el caso de

las cilíndricas oblicuas, en la que la colocación del cilindro se rota en 45º con respecto a su

posición original o las proyecciones pseudos-cilíndricas.

Proyección Cónica

Se producen al desarrollar un cono sobre la superficie terrestre y proyectar los puntos

sobre él. El eje coincide con el de los polos y el contacto se produce en a lo largo de un

paralelo llamado estándar o principal. (secante, dos paralelos principales). Todas las

proyecciones cónicas tienen paralelos circulares y meridianos radiales y se adoptan de manera

especial a las representaciones de regiones situadas en las latitudes medias.



Una proyección cónica se emplea con frecuencia tanto por su sencillez como por su

relativa precisión, además porque un mapa construido bajo esta proyección es divisible en

secciones resultando una ventaja para la información de atlas por ejemplo. Este género de

proyecciones tiene su origen, salvo algunas modificaciones, en la proyección de la superficie de

referencia sobre un cono tangente. El eje del cono es coincidente con el eje de los polos y el

contacto se produce a lo largo del paralelo (ver figura 30).

Proyección Conforme

Una proyección de estas características conserva sus ángulos infinitesimales entre el

plano de proyección y la superficie de referencia, con una relación de semejanza de un valor 1

en el centro de la proyección hasta un valor máximo de 1 + en los límites del campo de

proyección. Para esto se requiere que paralelos y meridianos se intercepten en ángulos rectos

y

Figura 30: Proyección cónica, fuente: www.nacs.upc.es



conserven la escala en todas las direcciones alrededor de un punto, alcanzando de esta forma

la condición de conformidad.

Si bien las proyecciones conformes resultan ser muy empleadas, especialmente en la

elaboración de planisferios y mapamundis, se debe de considerar que esta propiedad solo es

consistente en la representación de pequeñas superficies de terreno o mientras la precisión

determinada por los objetivos lo permita.

Proyección Equivalente

Una proyección con esta propiedad cumple con la condición de mantener las

proporciones de las áreas representadas, respeta las dimensiones. La equivalencia no es

posible sin deformar considerablemente los ángulos originales. Si bien presentan una menor

utilidad que las proyecciones conformes, son muy ventajosos a la hora de representar

información que ha de compararse a simple vista.



III.- Sistema vertical de referencia

Si bien se han aunado los esfuerzos para garantizar la solución de las discrepancias

entre los referenciales horizontales, tal como el caso de SIRGAS que constituye una plataforma

común para los países americanos, el tema persiste en la disparidad en la posición vertical.

Tradicionalmente las mediciones se han recogido de forma independiente para atender

distintas finalidades, así mismo los datos de altitud se han referido a datum verticales distintos,

persistiendo una disparidad y cierta inconsistencia.

La búsqueda para la adecuada representación de la altura no es trivial y la definición

apropiada de un sistema de referencia vertical es esencial para variadas aplicaciones,

resultando su definición importante con la idea que satisfaga las demandas de la

representación cartográfica.

Por lo tanto su consideración es relevante, dado que en algún momento las mediciones

situadas en el elipsoide (coordenadas geodésicas), serán necesarias situarlas sobre la

superficie terrestre, resultando necesario conocer su altura y la relación que se establecen

entre ellas.



Tipos de altura

Se entiende como altura de un punto cualquiera, aquella distancia vertical existente

entre éste y una superficie de referencia (datum vertical). Dado los procesos para su

determinación que incluye cálculos complejos de nivelación que reflejen las variaciones

topográficas de terreno y las determinaciones gravitacionales de la Tierra, la geodesia clasifica

a esta según su determinación, aplicación y el modelo matemático físico considerado en su

definición. En esta instancia, se observan alturas de tipo geométrico y de tipo físico

Alturas de tipo geométrico

Alturas niveladas: Obtenidas bajo procesos de nivelación geométrica, las diferencias de nivel

varían de acuerdo con el campo de gravedad inherente al sitio de consideración. Las

cantidades observadas corresponden con la distancia existente entre las superficies

equipotenciales del campo de gravedad terrestre y su sumatoria permite conocer la diferencia

de altura entre los puntos de interés, ahora dado la forma elipsoidal de la Tierra y a la

distribución irregular de sus masas internas, las superficies equipotenciales no son

equidistantes; los valores de desnivel entre éstas varían de acuerdo con el trayecto de medición

por esto fácilmente pueden obtenerse diferentes valores de altura para un mismo punto, por lo

que su utilización se reduce a áreas pequeñas que no requieran considerar la figura elipsoidal

de la Tierra ni las variaciones de su campo de gravedad.



Alturas elipsoidales : Representan la distancia que separa a la superficie física de la Tierra

(topográfica) y el elipsoide de referencia. Dicha separación se calcula sobre la línea normal,

cuya magnitud y dirección dependen del elipsoide empleado. Las alturas elipsoidales son

calculadas a partir de las coordenadas geocéntricas cartesianas (x,y,z) definidas sobre un

elipsoide de referencia. Al no considerar el campo de gravedad terrestre en su determinación,

puede que se presenten valores iguales en puntos con niveles diferentes por lo que su

aplicación se reduce en la práctica. Estas cirscuntancias requieren que este tipo de altura sea

complementada con otro tipo que si considere al campo de gravedad terrestre en sus

determinaciones.

Alturas de tipo físico:

Alturas ortométricas: Corresponde a la diferencia en longitud medida sobre la línea de la

plomada, entre el geoide y el punto de medición y para cuya determinación requiere del

conocimiento de la gravedad dentro de las masas topográficas terrestres. La curvatura de esta

altura se debe al hecho de que la línea de plomada coincide con le vector gravedad a medida

que atraviesa diferentes superficies equipotenciales, las que a su vez no son paralelas entre si.

Las alturas ortométricas se obtienen a partir de las alturas elipsoidales mediante las sustracción

de las ondulaciones geoidales (N).



Alturas dinámicas: Se calculan al dividir los números neopotenciales (diferencia de potencial

entre cada punto de cálculo y el geoide), por un valor constante de gravedad – teórica a la

latitud de 45º. Estas alturas se obtienen a partir de las niveladas, mediante la aplicación de las

correcciones que expresan los incrementos o decrementos en altura, generados por involucrar

un valor constante de gravedad.

Alturas normales: En estas alturas los números neopotenciales son divididos por el valor

medio de la gravedad normal entre la superficie de referencia, llamada cuasi-geoide y el punto

en consideración. A partir de las alturas elipsoidales se obtienen dichas alturas, descontando la

ondulación del cuasi-geoide, la cual es conocida como anomalía de altura o altura anómala.

Figura 31: Relación entre alturas

tesis_mayo_juan.pdf

Documents