tesis garzÓn

8/17/2019 Tesis GARZÓN

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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas 1

MODELADO DE FUNCIONES DESDE EL ENFOQUE COGNITIVO DE LAS

REPRESENTACIONES SEMIÓTICAS

DIEGO ALEJANDRO GARZÓN BARRERA

Licenciado en Mate!tica" # F$"ica

A"e"o%&

PEDRO JES'S (ERN)NDEZ RIZZO

P*D+ en Geoet%$a A,-e.%aica

T%a.a/o de -%ado 0a%a o0ta% a, t$t1,o de Ma-$"te% en En"e2an3a de ,a" Mate!tica"

MAESTR4A EN ENSE5ANZA DE LAS MATEM)TICAS

FACULTAD DE CIENCIAS E6ACTAS 7 NATURALES

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

MEDELL4N

89:;


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Dedicato%ia

Para Katerine y Samuel.

Todo este tiempo y esfuerzo es de ustedes gracias por compartirlo para que este tra!a"o fuera posi!le. Son elimpulso m#s grande para cumplir las metas que me $e

trazado. %&os amo'


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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas (

A-%adeciiento"

) mi familia en especial a mis padres por su constante apoyo y fortaleza en mi proceso

formativo.

) la *niversidad de )ntioquia por a!rirme nuevamente sus puertas y enriquecer mi

faceta acad+mica y profesional.

) mi asesor el doctor Pedro ,es-s ern#ndez /izzo por su incondicional

acompa0amiento en la construcción del tra!a"o y sus significativos aportes.

) los docentes Flor Mara ,urado y en"amn uritic# puesto que desde el rol asumido

por cada uno de ellos $e reci!ido un especial apoyo para la culminación de este ciclo.

)l grupo de profesores que me acompa0ó durante mi paso por la maestra. a sido un

grato placer compartir con ustedes en el mundo de la academia. *na mención especial al

docente ,os+ 3uillermo Molina $om!re de gran sa!idura.

)l 4olegio la 5nmaculada institución donde la!oro $ace m#s de siete a0os y en especial

a los estudiantes de grado und+cimo 627189 por su disposición y disciplina para el

cumplimiento del tra!a"o propuesto.


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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas :

Ta.,a de contenido

Li"ta de


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+ So.%e e, conce0to de

@+:+ Metodo,o-$a de ,a ine"ti-aci?n+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++=>

@+8+ Di"e2o de ,a ine"ti-aci?n+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++9

@++ M1e"t%a++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++:

@+@+ Tcnica" de %eco,ecci?n de in:

;+:+ Re"1,tado" c1e"tiona%io dia-n?"tico++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++>:

;+8+ Re"1,tado" -1$a" de a0%endi3a/e++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++:98

;+8+:+ Re"1,tado" -1$a :+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++:98

;+8+8+ Re"1,tado" -1$a 8+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++:9

;+8++ Re"1,tado" -1$a +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++::>

;+8+@+ Conc,1"ione" -ene%a,e"++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++:8;


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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas ;

;+8+;+ Recoendacione"+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++:8=

Aneo"+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++:8>

Aneo :+ P%1e.a 0i,oto++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++:8>

Aneo 8+ G1$a& %e0%e"entando


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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas <

&ista de figuras

Figura 1 /esultados competencias y componentes evaluados en la prue!a sa!er => 6a0o 271:9. 18

Figura 2. &a competencia matem#tica en las prue!as P5S)..........................................................(:

Figura ( /epresentaciones gr#ficas de ?resme.............................................................................(=

Figura : Segmentos lineales asociados a una ecuación.................................................................:1

Figura 8. Función discontinua en el sentido euleriano..................................................................:(

Figura ;. )pro@imación de la función de Airic$let en un intervalo Ba!C......................................:<

Figura


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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas D

Figura (7.Ta!las construidas a partir de la e@presión alge!raica de una función.......................17(

Figura (1.3r#fica de la función S ..........................................................................................17:

Figura (2.3r#fica propuesta en el numeral 2...............................................................................17<

Figura ((. /elación planteada entre el volumen de un cilindro y su radio.................................17=Figura (:. /elación entre el volumen de dos vasos seme"antes..................................................117

Figura (8. /espuesta errónea so!re la relación entre dos vol-menes..........................................111

Figura (;. 4onversión congruente del registro gr#fico al ver!al.................................................11:

Figura (


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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas =

&ista de ta!las

Ta!la 1 /esultados prue!a Sa!er 11 6271:9 H Irea de matem#ticas.............................................1;

Ta!la 2. Principales definiciones de función en el siglo J5J........................................................:8

Ta!la (. )lgunos elementos caractersticos de la modelación y las situaciones reales.................8<

Ta!la :. 4omportamiento de un capital invertido a inter+s simple...............................................


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5ntroducción

En los -ltimos tiempos las propuestas de investigación y profundización referidas a la ense0anza

y aprendiza"e de las matem#ticas $an ampliado sus posi!les rutas de refle@ión trascendiendo del

simple cuestionamiento de los conceptos y procesos a!ordados en los conte@tos escolares a una

refle@ión muc$o m#s comple"a discutiendo so!re su $istoria y evolución epistemológica en el

marco de determinada teora del conocimiento los diversos sistemas de representación que se les

asocia sus posi!les escenarios did#cticos y sin lugar a dudas las caractersticas de los su"etos

que all intervienen a!ordando usos e interpretaciones propias de situaciones cotidianas que

ponen en evidencia la importancia de las matem#ticas en la sociedad actual.

Para el caso particular del presente tra!a"o el inter+s es centrado fundamentalmente en el

desarrollo del concepto de función con los estudiantes de grado und+cimo de la Fundación

4olegio la 5nmaculada 6Puerto erro )ntioquia9 partiendo del an#lisis de tres aspectos

sustancialesL i9 El proceso de modelación de situaciones y pro!lemas en conte@tos reales para el

desarrollo de competencias STEM 6ciencias tecnologa ingeniera y matem#ticas por sus siglas

en ingl+s9 ii9 el enfoque teórico de Auval so!re las diversas representaciones semióticas de este

concepto y iii9 su desarrollo $istórico epistemológico. 4on su articulación se !usca

esencialmente que los estudiantes acompa0ados por el docente accedan a mayores niveles de

comprensión y significado llegando a la consolidación de aprendiza"es que den cuenta de

adecuados desempe0os y competencias matem#ticas para la solución de pro!lemas.

Se !usca entonces una construcción did#ctica del concepto de función que tenga en cuenta el

proceso general de modelación y an#lisis de fenómenos que suponen la aparición de una serie de

situaciones pro!lema para los estudiantes donde es necesario $acer una correcta elección de las

varia!les que intervienen y de las posi!les relaciones que se esta!lecen entre ellas llevando a


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ca!o todo un accionar matem#tico que les permita $acer predicciones o!tener resultados y

verificar si son aplica!les o no a las situaciones dadas y con ello tener una visión glo!al y

completa de las caractersticas del fenómeno estudiado y los procedimientos o posi!les

alternativas de solución frente a los pro!lemas de all derivados. Pese a ello en el conte@to

institucional aunque el concepto de función es a!ordado a partir del grado noveno los

estudiantes llegan al -ltimo grado de !ac$illerato con fuertes vacos frente a su comprensión

limit#ndose a asociarlo en muc$as ocasiones con una simple ecuación que relaciona las letras x e

y dado que ni siquiera e@iste claridad so!re el concepto de varia!le. )s por e"emplo otro tipo de

representaciones como la ver!al gr#fica y ta!ular son entendidas como nociones totalmenteaisladas que $acen parte de otro tipo de situaciones matem#ticas llegando a ela!orar una

descripción limitada y distorsionada de los pro!lemas que se a!ordan y con ello a una

comprensión mnima del mismo.

Partiendo de lo anterior y dados los intereses de este tra!a"o el a!orda"e de situaciones reales

y cotidianas posi!ilita la articulación de una serie estrategias de ense0anza y am!ientes de

aprendiza"e que permitan a los estudiantes adquirir $a!ilidades para un eficaz uso de las

funciones en conte@tos cientficos matem#ticos y no matem#ticos que permiten la recolección

de información para recrear distintas representaciones y favorecer la formulación de $ipótesis o

con"eturas en el planteamiento de modelos para la resolución de pro!lemas precisamente uno de

los grandes retos de la actividad matem#tica en el aula y en general de los intereses educativos

de la sociedad actual.

ale la pena resaltar la importancia did#ctica que est# implcita en este tipo de pr#cticas dada

su influencia en la creación de am!ientes de aprendiza"e y la construcción de los conceptos

matem#ticos en la medida que permitan al estudiante manipularN de forma concreta las ideas o


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conceptos que se est#n tratando. )l respecto en los Est#ndares #sicos de 4ompetencias en

Matem#ticas 6E4M9 propuestos por el Ministerio de Educación Oacional 6MEO9 se sostiene

que esta estrategia recrea los elementos estructurales de los conceptos y los procedimientos que

se proponen para que los estudiantes los aprendan y e"erciten y as esa situación ayuda a

profundizar y consolidar los distintos procesos generales y los distintos tipos de pensamiento

matem#ticoQ 6MEO 277; p.


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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas 1(

Por otro lado en el captulo ( se introducen aspectos conceptuales so!re las funciones

consolidando un referente disciplinar !#sico que clarifique el tratamiento matem#tico que

reci!ir#n dentro del desarrollo del tra!a"o. En el captulo : se e@pone la ruta metodológica

donde adem#s de definir el tipo de investigación que orienta el tra!a"o se descri!en en detalle

las caractersticas de la propuesta de intervención y los instrumentos que fueron utilizados para

ello. Finalmente en el captulo 8 se analizan los resultados o!tenidos con la aplicación los

instrumentos dise0ados y se esta!lecen las conclusiones a las que se llega a la luz de los

planteamientos iniciales teniendo en cuenta un tratamiento descriptivo que pretende orientar una

serie de recomendaciones que pueden ser tenidas en cuenta en espacios de ense0anza yaprendiza"e del concepto de función.


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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas 1:

1. Aescripción de la propuesta

:+:+ 4onte@to de aplicación

El municipio de Puerto erro est# u!icado al oriente del departamento de )ntioquia en la

su!región del Magdalena Medio a 1=1 Gm de la capital Medelln. 4uenta con una e@tensión

geogr#fica de 1.1D: Gm2 y apro@imadamente :;.DD( $a!itantes. En materia educativa cuenta

con ; instituciones educativas que ofrecen los servicios de preescolar a und+cimo el Servicio

Oacional de )prendiza"e 6SEO)9 con sus programas de formación para el tra!a"o y presencia de

la *niversidad de )ntioquia con una de sus sedes. El marco de aplicación del presente tra!a"o se

centra en el conte@to del 4olegio la 5nmaculada 64?&5OP9 institución del sector privado

fundada por la comunidad de ermanas Terciarias 4apuc$inas en el a0o 1=;7 actualmente es

administrada por la Aiócesis de arranca!erme"a. Se encuentra u!icado en la ca!ecera

municipal.

Esta institución presta sus servicios en "ornada completa !a"o la modalidad de calendario )

ofreciendo un !ac$illerato con +nfasis en el #m!ito comercial razón por la cual adem#s de las

fundamentales se ofrecen #reas relacionadas con este campo. Para el a0o 2718 cuenta con una

po!lación total de (;D estudiantes de los estratos socioeconómicos 2 y ( provenientes de

familias con ingresos de tra!a"os formales teniendo en cuanta que en la mayora de los $ogares

$ay presencia de por lo menos uno de los padres quienes se caracterizan por contar en su

mayora con formación acad+mica profesional.


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) partir del componente teleológico en el colegio se o!serva un inter+s por !uscar la

formación integral de sus estudiantes permiti+ndoles comprender y asumir los desafos de la

cultura y el mundo productivo por lo que de!en desarrollar competencias cientficas e

intelectuales para analizar y e@plicar la realidad donde se desenvuelven. En materia de resultados

en prue!as sa!er partiendo de los datos ofrecidos por el 5nstituto 4olom!iano para la Evaluación

de la Educación 654FES9 para el a0o 271: con un punta"e promedio de (77 puntos en el #rea de

matem#ticas el colegio se encuentra por encima del promedio nacional 62=;9 y departamental

62


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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas 1;

)$ora !ien en cuando a las prue!as sa!er 11 la situación encontrada es muy similar dado

que el promedio en el #rea de matem#ticas est# por encima del nacional y el departamental como

se muestra en la Ta!la 1 lo que permite esta!lecer que es una institución con !uenos

rendimientos a nivel de prue!as e@ternas pero que necesita de propuestas de intervención para

que los estudiantes empiecen a me"orar sus desempe0os y superar las dificultades que a-n se

est#n presentando y que resultan estar dentro del marco de acción del presente tra!a"o.

%abla 1 Resultados prueba $aber 11 (2014) & 'rea de matemticas

Fuente !"F#$ (2014) Resultado pruebas saber 11

:+8+ )ntecedentes

aciendo seguimiento so!re algunos tra!a"os que guardan estrec$a relación con los intereses

particulares que se $an trazado como punto de partida para orientar el campo de acción se

pueden mencionar los siguientes $allazgosL

5nicialmente para dar profundidad y precisión teórica a los elementos asociados a la

evolución del concepto de función se tiene en cuenta los tra!a"os /uz 61==D9 y *galde 6271:9

quienes desarrollan una serie de planteamientos que permiten considerar la evolución $istórica y

epistemológica del concepto de función esta!leciendo una caracterización del mismo iniciando

en la +poca antigua $asta la discusión moderna articul#ndolo con una serie de consideraciones

pedagógicas y did#cticas que pueden ser tenidas en cuenta al momento de refle@ionar so!re la

ense0anza y el aprendiza"e de los conceptos asociados en escenarios acad+micos y escolares.


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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas 1<

Estos aportes tienen mayor profundidad conceptual al ser complementados con el tra!a"o de

Kleiner 61=D=9 donde ese rastreo $istórico epistemológico es enfocado prestando mayor

atención a los detalles disciplinares con lo que se tiene una mayor fundamentación al momento

de seguir los aspectos cruciales que dinamizaron las transformaciones del concepto.

Ae otra parte al considerar los componentes de ense0anza y aprendiza"e Medina 627129 en

su tesis de maestra desarrolla la conceptualización de las funciones con una propuesta did#ctica

mediada por conte@tos de las ciencias naturales. &a esencia de este tra!a"o radica en considerar

las funciones como una $erramienta de frecuente uso tanto para estudiantes como docentes en el

estudio de fenómenos donde se de!e tra!a"ar con las relaciones entre varia!les y desde all

analizar la solución de pro!lemas o cuestionamientos asociados. 5nicialmente se e@pone la

evolución que $a tenido el concepto dentro del campo de las matem#ticas descri!iendo los

diversos o!st#culos epistemológicos presentados a nivel $istórico y encontrando en cada uno de

ellos una posi!le e@plicación a las transformaciones que normalmente se descri!en cuando se

a!orda su ense0anza.

)l enmarcar la discusión en el campo de las ciencias naturales el autor considera que las

funciones son de muc$a utilidad para representar fenómenos reales y con frecuencia se dice que

son modelos. Es as que o!tener una función que act-e como modelo es la clave para

comprender situaciones de la fsica !iologa y qumica y de a$ su importanciaQ 6Medina 2712

p. 129. Aespu+s de analizar diversos modelos que se construyen en el estudio de funciones

lineales e@ponenciales cuadr#ticas c-!icas de proporcionalidad inversa entre otras se

reconoce la importancia de refle@ionar so!re el proceso de modelación matem#tica resaltando su

importancia dado que permite que los conceptos emer"an de forma intuitiva partiendo de

actividades que enmarcadas en un conte@to especfico movilicen en el estudiante la necesidad


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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas 1D

de desarrollar procesos de a!stracción y simplificación de los fenómenos llev#ndole a una

constante construcción y deconstrucción de estructuras matem#ticas que les dotan de significado.

Se de!e agregar que la propuesta se !asa en el dise0o y e"ecución de una serie de guas

did#cticas en las que se utiliza la metodologa de aprendiza"e activo como una estrategia que

potencializa el aprendiza"e autónomo y el pensamiento variacional as como el desarrollo de

competencias como la modelación y la solución de pro!lemas en diversos conte@tos de las

cienciasQ 6Medina 2712 p. (


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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas 1=

los diferentes registros de representación a partir de sa!eres previos lo que posi!ilita que se

puedan aplicar en diferentes situacionesQ 6p. 119.

/elacionar los registros semióticos con el proceso de modelación en la ense0anza yaprendiza"e de las funciones fue uno de los elementos fundamentales que orientaron el tra!a"o

doctoral de Planc$art 627729. En este tra!a"o se vincula tam!i+n un an#lisis profundo de las

dificultades que surgen en el aprendiza"e de la tem#tica en cuestión y el papel que "uega la

visualización en su conceptualización todo esto en el marco de algunos cursos de Pre c#lculo de

una institución universitaria de Puerto /ico. /etomando tam!i+n a Auval se plantea la $ipótesis

de que por un lado la apre$ensión de los o!"etos matem#ticos no puede ser otra cosa que una

apre$ensión conceptual y por otro lado solamente por medio de las representaciones semióticas

es posi!le una actividad so!re los o!"etos matem#ticosQ 6Auval 1==D citado por Planc$art 2772

p. :9. )s se plantea una fuerte crtica so!re los procesos de ense0anza ya que pese a considerar

diversos sistemas de representación sólo se realizan limitadas actividades de tratamiento entre

ellos. Tal es el caso de introducir el paso de la representación alge!raica al sistema gr#fico pero

el proceso de conversión contrario se $ace con menos frecuencia.

Ae esta forma se acepta que la apre$ensión de un concepto matem#tico no se $ace de forma

directa e inmediata sino que consiste en conocer en estructura y significado cada una de sus

representaciones as como de las m-ltiples relaciones que se esta!lecen en el interior de cada una

y entre ellas sin que $aya lugar a alg-n tipo de disparidad o contradicción.

Es interesante resaltar cómo se $ace un rastreo $istórico y !i!liogr#fico 6referente a li!ros de

te@to9 para tratar de encontrar posi!les e@plicaciones a las dificultades y o!st#culos

epistemológicos que se presentan en la ense0anza y aprendiza"e de las funciones. )l respecto se


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dice que en los li!ros de frecuente uso en los cursos de pre c#lculo esta tem#tica parte de

referencias a situaciones concretas de correspondencias presentes en fenómenos fsicos y reales

las cuales son posteriormente categorizadas como funciones y luego ilustrando algunas de sus

representaciones se construye una definición en el plano de lo formal es decir que este

concepto se presenta en tres modalidadesL como una relación de lo fsicoRreal como

representaciones y como definicionesQ 6Planc$art 2772 p. (79 )l estudiar las diferentes

definiciones que se encuentran del concepto estas podran enmarcarse dentro de ciertas

categorasL i9 En t+rminos de varia!les ii9 En t+rminos de con"unto de pares ordenados iii9 En

t+rminos de una regla de correspondencia y iv9 en t+rmino de m#quina razón por la cual elinter+s es orientado en determinar cu#les de!eran ser las caractersticas de una definición que

responda a las necesidades de investigación que se plantearon.

)s el autor se interesa por definir y e@plicar cómo la visualización influye en la actividad

cognoscitiva de los estudiantes al momento de construir el concepto de función. 5nicialmente se

tiene en consideración el particular $ec$o que a lo largo de la $istoria se $a dado un declive en la

valoración de los procesos visuales 6estructuras pictóricas9 siendo relegados por estructuras

!asadas en teoremas y postulados en la medida en que las matem#ticas fueron accediendo a

mayores niveles de formalización en contraste se da relevancia a la construcción de im#genes

visuales como ciertos esquemas para permitir y facilitar la consolidación de representaciones

internas 6mentales visuales y conceptuales9 que favorecen los procesos cognitivos que conducen

al aprendiza"e.

Por otro lado al aceptar que las funciones son uno de los conceptos matem#ticos que m#s

relación guardan con el conte@to fsico es prudente considerar el potencial did#ctico que tiene en

su ense0anza y aprendiza"e el uso de conte@tos reales relacionados con procesos cognitivos para


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la adquisición conceptual de las funciones posi!ilitando la construcción de esquemas y modelos

mentales para simularlos a partir de los o!"etos matem#ticos con lo que se est# provocando que

el estudiante al apro@imarse a fenómenos reales analice y descri!a aquellos elementos

matem#ticos como sonL la significación de o!"etos sim!ólicos ver!ales gr#ficos alge!raicos y

num+ricosQ 6Planc$art 2772 p. :;9 adem#s de generar un mayor grado de motivación y

significado en los estudiantes frente a las actividades realizadas.

Se de!e agregar que en la literatura revisada e@isten tam!i+n propuestas que pese a no

fundamentarse en las mismas !ases teóricas que $asta ac# se $an es!ozado permiten e@plorar

otro tipo de enfoques para la ense0anza de las funciones. En primer lugar Au!insGy y Uilson

6271(9 desarrollaron un estudio !asado en el Proyecto Ilge!ra1 con 18 estudiantes

pertenecientes a un grupo po!lacional clasificado como de !a"o desempe0o acad+mico y escasos

recursos económicos. Este fue llevado a ca!o incorporando consideraciones pedagógicas

innovadoras so!re el contenido curricular y la metodologa de las actividades orientadas al uso y

aplicación del concepto de función mostrando una serie de resultados que permiten mostrar

cómo los participantes adquirieron una serie de conocimientos y $a!ilidades para superar algunas

de las limitaciones y dificultades presentes en la solución de los pro!lemas que les fueron

planteados.

Seg-n los autores en esencia el currculo del Proyecto Ilge!ra est# dise0ado para acercarse

al aprendiza"e como un proceso interactivo y proporcionar un entorno en el que se permite a los

1 Este es un proyecto iniciado en 1=D7 con el fin de construir material para el aula de preR

#lge!ra !uscando desarrollar el pensamiento alge!raico y proporcionar una oportunidad para

que los estudiantes de secundaria en 4am!ridge 6Massac$usetts9 pudieran acceder al #lge!ra

estando a-n en sus primeras etapas escolares.


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estudiantes e@perimentar interactuar y tomar parte activa en su aprendiza"eQ 6p. D=9. Para ello

de!en plantearse actividades guiadas por la propia e@periencia de los estudiantes y orientarles

para que concreten y formalicen las ideas matem#ticas que pueden ser usadas para posteriores

representaciones sim!ólicas so!re lo que $an aprendido. /esulta interesante ver cómo este tipo

de estrategias ofrecen resultados satisfactorios en la comprensión del concepto por parte de los

estudiantes y la forma en que fortalecen las relaciones conceptuales asociadas para o!tener

me"ores desempe0os en situaciones cada vez m#s comple"as. Ae modo que los estudiantes

comenzaron a desarrollar una comprensión de lo que es y lo que no es una función y como a

veces se puede aplicar este conocimiento a situaciones y pro!lemas no familiares para ellosQ6Au!insGy y Uilson 271( p. ==9

Finalmente enfatizando precisamente en la solución de ese tipo de pro!lemas 3eromel y

/edling 627129 resaltan cómo estas estrategias ofrecen a los estudiantes una serie de

$erramientas para me"orar su capacidad de argumentación y an#lisis en la medida en que se

e@ploran diversas alternativas de solución. En contraste cuando los conceptos alge!raicos son

estudiados con +nfasis en el formalismo y en el rigor matem#tico tra!a"ando memorización y

repetición de contenidos y fórmulas pueden causar grandes dificultades para el entendimiento de

los alumnosQ 6p. 2229.

:++ Planteamiento del pro!lema

asta aqu se $a logrado evidenciar que el concepto de función es muy importante en la

formación de su"etos matem#ticamente competentes para una adecuada comprensión de los

conte@tos y situaciones pro!lema que intervienen en la construcción de aprendiza"es dentro del

#rea considerando un dominio inicial de los modelos que de!en construir para emplearlos en


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articulación con una serie de procesos y $a!ilidades especficas para una correcta interpretación

y modelación de la realidad. )$ora !ien la e@periencia docente en el #rea de matem#ticas para

los niveles de secundaria y media en el 4olegio la 5nmaculada del municipio de Puerto erro

adem#s de los espacios de refle@ión y articulación de los elementos teóricos del presente tra!a"o

permiten evidenciar una serie de dificultades que limitan la materialización de tal o!"etivo.

En el caso particular de los estudiantes de grado und+cimo sus desempe0os muestran que

pese a comprender algunos rasgos caractersticos del concepto de función normalmente se

restringen a situaciones de car#cter algortmico y alge!raico encontrando la imposi!ilidad de

que las construcciones all realizadas se utilicen en la solución e interpretación de interrogantes

presentes en su cotidianidad o fenómenos estudiados por otras ciencias. Este $ec$o $a

contri!uido a que se presente una concepción generalizada de las matem#ticas totalmente

mec#nica en la que se estudian conceptos e ideas sin ning-n tipo de significado o aplica!ilidad.

Es curioso que un estudiante comprenda con claridad dada su e@periencia cotidiana cómo es el

comportamiento del costo de una llamada en función de los minutos que $a consumido pero

cuando se le presenta un modelo !a"o la función mayor entero manifieste serias dificultades para

su comprensión tam!i+n que $aga toda una descripción analtica de una función cuadr#tica pero

sea incapaz de e@plicar y analizar el comportamiento de un o!"eto que cae li!remente.

Se o!serva que las pr#cticas de ense0anza asociadas a este concepto de"an de lado o no

profundizan en una articulación de los diferentes tipos de representación que son importantes y

fundamentales para que los estudiantes puedan captarlo y dominarlo en toda su comple"idad.

)unque se desarrollan actividades que !uscan identificar algunos registros de representación no

e@iste un tratamiento aunado de actividades que permitan a los estudiantes cam!iar de un registro

a otro en diferentes representaciones para tener una visión glo!al de los pro!lemas que est#


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analizando con lo que terminan por asimilarlos como conceptualizaciones aisladas e incone@as

que no les permiten esta!lecer ning-n tipo de relación. *na situación que e"emplifica claramente

esta realidad es cuando los estudiantes se enfrentan con el o!st#culo de no encontrar una fórmula

que descri!a un fenómeno dado razón por la cual concluye que +ste no se puede modelar

matem#ticamente algo que ocurre por e"emplo por tratarse de situaciones en las que el

tratamiento num+rico no es el predominante o por presentar una disociación entre un modelo

gr#fico perci!ido con aquellos que el estudiante tiene predeterminados 6gr#ficas que no le son

familiares9.

El $ec$o de no tener un adecuado mane"o de los diferentes registros de representación y los

tratamientos que se $acen para pasar de uno a otro termina por llevar a los estudiantes a $acer

generalizaciones incompletas o deducir propiedades de las funciones que son parcialmente

erróneas como considerar que siempre de!e e@istir una correspondencia directa entre cualquier

gr#fica y una función $omogeneidad entre los valores num+ricos de entrada y los de salida o

pensar en la continuidad como una propiedad general de toda función. En muc$as ocasiones la

forma de a!ordar la ense0anza del concepto por parte del docente se enfoca en el estudio y

memorización de una serie de reglas generales y artificios que terminan descuidando el an#lisis

de fenómenos relacionados con conceptos como la variación el cam!io y la dependencia o

correspondencia de varia!les 6aspecto que permitió a nivel $istórico la evolución de este

concepto9 limitando nota!lemente las posi!ilidades del desarrollo del pensamiento variacional

algo que es crucial en la construcción de modelos que permitan a los estudiantes interpretar y

solucionar pro!lemas propios del #rea o de otras ciencias. Por todo lo anterior se o!serva que los

estudiantes se desempe0an limitadamente de!ido a la presencia de fuertes vacos conceptuales

que no les permiten aplicar correctamente lo que al parecer $an logrado aprender.


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Es por esto que el inter+s particular del tra!a"o est# centrado en la conceptualización de las

funciones teniendo en cuenta los siguientes referentesL

•

&a importancia que tiene el tratamiento de los diferentes registros de representación del

concepto.

• &a modelación como proceso general que posi!ilita un punto de encuentro entre las

matem#ticas y el estudio de pro!lemas y situaciones propias del #rea y de fenómenos

reales 6competencias STEM9 y

• &a evolución $istórica y epistemológica del concepto como posi!ilidad de comprender y

analizar las dificultades presentadas en su comprensión refle@ionando so!re las

particularidades que se presentaron en su propio dinamismo y transformación

Ae esta forma se plantea la siguiente pregunta pro!lematizadoraL V4ómo me"orar la

comprensión del concepto de función por parte de los estudiantes de grado und+cimo del

4olegio la 5nmaculada desde una propuesta did#ctica que articule los diferentes registros de

representación a partir de la modelación de fenómenos y situaciones reales en diferentes

am!ientes de ense0anza y aprendiza"e que !uscan el desarrollo de competencias STEMW

:+@+ ,ustificación

En los &ineamientos 4urriculares de Matem#ticas 6&4M9 se plantea el desarrollo del

pensamiento variacional como uno de los o!"etivos primordiales de la educación !#sica por lo

que se $ace necesario superar la ense0anza de contenidos matem#ticos fragmentados y

compartimentalizados para u!icarse en el dominio de un campo conceptual que involucra

conceptos y procedimientos vinculados que permitan analizar organizar y modelar


26/172


matem#ticamente situaciones y pro!lemasQ 6MEO 1==D p.


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so!resale tam!i+n la importancia de que los estudiantes lleguen a identificar con claridad los

procesos necesarios para pasar de una representación a otra 6conversión9 o para cam!iar de

registro en la misma representación 6tratamiento9.

Por otro lado se de!e reconocer que los conceptos matem#ticos o!edecen a un dinamismo

particular propio de la evolución que e@perimentan en el devenir $istórico por lo que la

comprensión de su estado actual de!e $acerse con un estudio detallado de las marcas y registros

que $a o!tenido con los aportes de diferentes pensadores en ciertas etapas signadas por

par#metros especficos presentes en la propia evolución conceptual de las matem#ticas

respondiendo sin duda a necesidades y requerimientos que pueden o no llegar a tener relaciones

entre s. En este sentido se considera importante que en el planteamiento de propuestas

did#cticas en matem#ticas se incorporare la evolución $istórica y epistemológica de los

conceptos como un aspecto clave que les confiere sentido en conte@tos particulares. /esaltar

estos elementos es algo fundamental puesto que permiten acercarse a la idea de mirar a esta

disciplina como una pr#ctica social y para comprender al $om!re $aciendo matem#tica en un

tiempo una sociedad y una cultura particularesQ 6Ingel X Molina 277D p. 1189. Parafraseando

los autores citados un an#lisis con las caractersticas planteadas sirve de !ase para comprender

las dificultades presentadas y la forma en que $an sido superadas dentro del desarrollo de

nociones o conceptos matem#ticos incluyendo aquellos significados que por sus diversas

transformaciones se $an perdido en el tiempo.

Es por esta razón que se considera pertinente a!ordar la conceptualización de las funciones a

partir de situaciones pro!lema referidas a fenómenos de cam!io y variación en la vida pr#ctica

puesto que se prepara al estudiante para comprender la naturaleza del concepto actual de función.

Es necesario enfrentar a los estudiantes a situaciones donde la función no e@$i!a una


28/172


regularidad con el fin de ale"ar la idea de que su e@istencia o definición est# determinada por la

e@istencia de la e@presión alge!raicaQ 6MEO 1==D p.


29/172


R )rticular dentro de la resolución de pro!lemas !asados en situaciones reales los

diferentes enfoques semióticos del concepto de función resaltando la dependencia de

estos modelos.

R )nalizar los desempe0os de los estudiantes en el aprendiza"e del concepto de función

frente a las tareas de transformación 6tratamiento y conversión9 entre los diferentes

registros de representación considerando las dificultades que presentan al momento de

relacionarlos y utilizarlos en la construcción de modelos.

R Aise0ar e implementar guas de aprendiza"e !asadas en la resolución de pro!lemas de la

vida real para la apre$ensión y comprensión del concepto de función por parte de los

estudiantes con actividades orientadas a partir del enfoque formativo propuesto.

R 5ncentivar y emplear el #lge!ra como $erramienta de manipulación e identificación de los

patrones de comportamiento y de recursión en matem#tica para el tra!a"o con e@presiones

funcionales

R Aescri!ir el grado de aceptación y motivación de los estudiantes en su proceso de

aprendiza"e y conceptualización de las funciones mediante el uso de la modelación de

pro!lemas de la vida real y los diferentes registros de representación semiótica.

R 5ncentivar a partir de la articulación de los elementos clave de la propuesta la creación

de currculos que apunten al desarrollo de las competencias STEM


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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas (7

2. Marco referencial

8+:+ F1ndaento ,e-a,

En el conte@to educativo colom!iano teniendo en cuenta la &ey 3eneral de Educación 61==:9 se

esta!lece como uno de los principales fines la formación de su"etos que se apropien del

conocimiento cientfico t+cnico y tecnológico con $#!itos intelectuales que les permitan de

forma adecuada la apre$ensión de los sa!eres para su posterior contri!ución en escenarios

productivos y el dominio de diversos conte@tos que contri!uyan al desarrollo del pas. Por tal

motivo dentro de los ciclos de educación formal se esta!lece la necesidad de tra!a"ar ciertas

#reas fundamentales y o!ligatorias entre ellas las matem#ticas. 4on esto se pretende dar disposiciones generales que orienten la organización del currculo educativo permitiendo un

tra!a"o en el que a pesar de las particularidades de cada institución se persigan ciertos o!"etivos

de formación a nivel nacional en correlación con el inter+s mencionado.

&a /enovación 4urricularN iniciada en 4olom!ia $ace m#s de treinta a0os marcó un proceso

de refle@ión e investigación referente a la formación y ense0anza de las matem#ticas en las

instituciones educativas del pas y en cómo esto se relaciona directamente con la !-squeda de

posi!les respuestas a las diversas necesidades e@istentes en los conte@tos inmediatos con los que

los estudiantes se relacionan e interact-an. Sin lugar a dudas en el trasegar de este camino tuvo

lugar la confrontación de posturas y paradigmas que sin ser vistos como esquemas rgidos $an

llegado a construir un escenario que delimita y esta!lece referentes claros so!re los cuales de!en

orientarse los procesos no sólo referidos a la ense0anza sino tam!i+n poniendo en consideración

el aprendiza"e $ec$o que adquiere un estado de maduración con la construcción de los

lineamientos y est#ndares curriculares de matem#ticas.


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)m!os documentos podran catalogarse como el referente curricular !#sico para la

construcción de propuestas de ense0anza que articuladas con la investigación en el campo de la

educación matem#tica y la filosofa propia del #rea !uscan dar respuesta a las diversas

pro!lem#ticas que surgen en la conceptualización de los o!"etos matem#ticos en el escenario

educativo. El papel del docente de matem#ticas supone entonces la necesidad de movilizar este

tipo de refle@iones con el fin de facilitar la creación de am!ientes en los que dic$as actividades

sean desarrolladas por los estudiantes en la consolidación de los o!"etivos y metas propuestas

para cada uno de los ciclos de su etapa escolar.

En este sentido se plantea la necesidad de considerar un modelo en el que los roles de los

su"etos se caracterizan por ser activos y din#micos donde no sólo se puntualizan los conceptos

sino que se $ace +nfasis en procesos de pensamiento ampliamente aplica!les y -tiles para

aprender cómo aprenderQ 6MEO 1==D p. 1D9. *na de las posi!ilidades de los conocimientos

matem#ticos es que sean aplica!les fuera del #m!ito escolar y est+n relacionados con la

e@periencia cotidiana de los estudiantes facilitando el planteamiento y resolución de pro!lemas

relacionados con diversas #reas y disciplinas. )l respecto en los E4M se menciona queL

En las dimensiones de la comprensión se incluye no sólo la m#s usual de los contenidos y sus redes

conceptuales sino que se proponen los aspectos relacionados con los m+todos y t+cnicas con las

formas de e@presar y comunicar lo comprendido y con la pra@is cotidiana. 6MEO 277; p. :=9

Siguiendo estas refle@iones se plantea una estructura curricular !#sica para el #rea cimentadaen la articulación de tres componentesL procesos generales 6razonamiento resolución y

planteamiento de pro!lemas la comunicación la modelación y la ela!oración comparación y

e"ercitación de procedimientos9 conocimientos !#sicos distri!uidos en una serie de


32/172


pensamientos 6num+rico espacial m+trico aleatorio y variacional9 y finalmente el conte@to

donde el aprendiza"e de las matem#ticas se $ace significativo siendo necesario el desarrollo y

construcción de competencias matem#ticas que le permitan a los estudiantes acceder a niveles de

comprensión m#s pr#cticos y organizados. Esto conlleva sin lugar a dudas al reto de formar

ciudadanos matem#ticamente competentes caracterstica que trasciende la simple !arrera del

sa!er y el conocer en un conte@to determinado. Seg-n la *OES4? 6?rganización de las

Oaciones *nidas para la Educación la 4iencia y la 4ultura por sus siglas en ingl+s9 $oy el foco

de la ense0anza est# puesto en la motivación y gestión del conocimiento y en que el estudiante

desarrolle la capacidad de utilizar conceptos representaciones y procedimientos matem#ticos para interpretar y comprender el mundo realQ 6*OES4? 277= p. 189

Para el inter+s particular de esta propuesta de lo anterior se rescata primordialmente el

inter+s por los elementos que permiten la construcción del concepto de función dentro del

enfoque planteado. 4on ello se centra el an#lisis en el proceso general de la modelación

matem#tica entendido como la detección de esquemas que se repiten en las situaciones

cotidianas cientficas y matem#ticas para reconstruirlas mentalmenteQ 6MEO 277; p. 8(9

teniendo en cuenta su relación directa con el desarrollo del pensamiento variacional y la

representación de diversos registros sim!ólicos en el estudio de conte@tos donde se $ace

necesario construir sólidos esquemas y estructuras matem#ticas asociadas a los conceptos de

variación y cam!io.

Esas ideas son validadas tam!i+n por otras instituciones de car#cter internacional como la

*OES4? en las conclusiones que plantean analizando los resultados del Segundo Estudio

/egional 4omparativo y E@plicativo 6SE/4E9 en la región de )m+rica &atina y el 4ari!e. )ll

se sostiene que la escuela de la sociedad actual de!e contri!uir a la formación de competencias


33/172

Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas ((

que permitan a los estudiantes desenvolverse eficazmente en su entorno social inmediato dando

cuenta de la formación de su"etos autónomos y crticos que llevan a ca!o pr#cticas matem#ticas

adecuadas para diversas situaciones "ustificando la validez de los procesos adelantados y los

resultados o!tenidos. )s es necesario !uscar el desarrollo de capacidades valores y actitudes

que permitan a los estudiantes $acer frente a distintas situaciones tomar decisiones utilizando la

información disponi!le y resolver pro!lemas pudiendo defender y argumentar sus puntos de

vistaQ 6*OES4? 277= p. ((9.

Aic$o enfoque adquiere mayor importancia cuando se menciona que la solución de pro!lemas

es un componente esencial dentro de las prue!as que pretenden medir la calidad educativa tanto

a nivel nacional como internacional por e"emplo las prue!as sa!er y P5S) 6Programa para la

Evaluación 5nternacional de )lumnos por sus siglas en ingl+s9. En el caso de esta -ltima prue!a

se trata de un estudio internacional comparativo liderado por la ?rganización para la

4ooperación y el Aesarrollo Económico 6?4AE9. En P5S) se tiene en cuenta el desarrollo de

competencias que los estudiantes utilizan para dar aplica!ilidad al sa!er matem#tico en una gran

variedad de situaciones relacionadas con la realidad midiendo las $a!ilidades la pericia y las

aptitudes de los estudiantes para analizar y resolver pro!lemas para mane"ar información y para

enfrentar situaciones que se les presentar#n en la vida adulta y que requerir#n de tales

$a!ilidadesQ 6?4AE 2712 p. 89.

En este sentido los estudiantes de!en tener la capacidad de razonar y analizar información

para dar solución a las situaciones que se le plantean. En la Figura 2 se muestran algunas de las

caractersticas de la competencia matem#tica para esta prue!a resaltando el papel que tiene el

uso de diversos conte@tos para su desarrollo sosteniendo queL


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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas (:

El uso en distintos conte@tos y el an#lisis posterior de ese uso nom!rando las nociones del modo en

que son empleadas en la disciplina reformulando las conclusiones con representaciones m#s

a"ustadas a las convencionales permitir# la progresiva generalización de la noción ampliando el

campo de pro!lemas que los alumnos pueden resolver con ella. )l interactuar en su vida social los

ni0os aprenden las pr#cticas $a!ituales de cada comunidad y construyen entre otros

conocimientos ligados a la matem#tica los que no son siempre recuperados por la escuela.

6*OES4? 277= p. (;9

Figura 2 *a competencia matemtica en las pruebas +!$,

Fuente adaptado de -".# (2012) p /

)$ora !ien en la delimitación de las caractersticas necesarias para que se den este tipo de

construcciones en la ense0anza y el aprendiza"e de las matem#ticas se requiere partir de

situaciones que permitan me"orar los niveles de comprensión posi!ilitando la construcción de

escenarios donde las ideas matem#ticas se consolidan como $erramientas pr#cticas y -tiles para


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la solución de los pro!lemas asociados a las matem#ticas otras ciencias y los conte@tos

cotidianos para los estudiantes y con ello tengan mayores posi!ilidades para comprender e

interpretar el mundo que les rodea $aciendo uso de las nociones que tienen de los conceptos

construidos.

8+8+ A"0ecto" *i"t?%icoe0i"teo,?-ico" de, conce0to de


36/172

Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas (;

ec$a esta salvedad puede $a!larse de una serie de pr#cticas que inicialmente se !asa!an en

procesos de o!servación y un rudimentario registro de ello y despu+s inclinarse $acia modelos

de razonamiento que atravesaron diversas etapasL filosóficos 6griegos9 cientficos

6/enacimiento iniciando en los tra!a"os de 3alileo9 y formales 6con la introducción del c#lculo

por parte de OeYton y &ei!niz y su evolución al an#lisis funcional de Euler con su posterior

desarrollo9. Puede o!servarse entonces como la forma e@plcita del concepto de función tuvo

que esperar $asta comienzos del siglo J555 y algunas de las razones por las cuales no apareció

antes son e@puestas por Kleiner 61=D=9 en los siguientes t+rminosL

• Falta de pre requisitos alge!raicos en especial en aspectos relacionados con la

ausencia de una notación sim!ólica y la idea del continuo de los n-meros reales.

• Falta de motivación e inter+s frente a la necesidad de una noción a!stracta del

concepto.

8+8+:+ 0oca anti-1a& .a.i,onio" # e-i0cio"

En cuanto a las referencias de esta +poca resulta interesante como a partir de la constante

cuantificación de fenómenos astronómicos o de datos asociados con la medición de #reas y

longitudes en conte@tos de agricultura se evidencian claros antecedentes de una descripción

ta!ular de las relaciones esta!lecidas entre cantidades dependientes entre s. En am!as culturas se

identifica una tendencia a $acer descripciones particulares 6almacenamiento de datos9 asociadas

a cierta noción de funcionalidad pero no era generalizada quiz#s por no contar con una

sim!ologa adecuada o por el e@cesivo empirismo que se evidencia!a en sus pr#cticas. Esto es

ilustrado claramente por *galde cuando introduce el $ec$o de que los egipcios utiliza!an un

m+todo para calcular el #rea de un crculo de radio tres y otro diferente para un crculo de radio


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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas (<

cuatro pero entendieron el concepto de dependencia ya que sa!an que una variación en la

longitud del radio resulta!a en una variación de la magnitud del #rea am+n de otras situaciones

registradas en innumera!les ta!las de valoresQ 6*galde 271: p. ;9.

8+8+8+ E, "entido


38/172

Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas (D

se afirma que la inconmensura!ilidad y las parado"as son o!st#culos a la noción de función

puesto que discretizan los n-meros y esto impide que se esta!lezcan relaciones num+ricas

generales entre las magnitudesQ 64otret 1=D8 citado por /uz 1==D p. 1179.

8+8++ O"c1%anti"o en ,a edad edia

&a edad media como es sa!ido cataloga una etapa de estancamientoN a nivel cientfico donde

pr#cticamente permanecieron vigentes las concepciones griegas en muc$os frentes de la ciencia.

Pese a esto es posi!le resaltar algunos aspectos $istóricos importantes para el an#lisis trazado

so!re el concepto de función en especial en lo referente a las culturas #ra!e e $ind- al sentar las

!ases del #lge!ra. /uz 61==D9 y *galde 6271:9 coinciden en manifestar que en esta +poca

so!resalen dos $ec$os fundamentalesL el uso de ta!las de valores y fórmulas para descri!ir

ciertas situaciones 6como el tra!a"o de alR,Y[rizmi con sus ta!las astronómicas o el

descu!rimiento de una fórmula general para encontrar n-meros amigos por parte Ta!it i!n

\urra9 y por otra parte una apro@imación a la representación gr#fica para el comportamiento de

cantidades relacionadas planteada por el matem#tico ?resme. So!re esto -ltimo ]ousc$Gevitc$

61=


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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas (=

en movimiento en determinado instante. 4on esto $ace una construcción gr#fica donde sus

propiedades aparentemente guarda!an una estrec$a relación con las del fenómeno estudiado.

Figura Representaciones gricas de -resme

Fuente galde (2014) p 10

En la Figura ( se muestra el tipo de representación gr#fica usado por ?resme. En 6a9 la

velocidad es constante en 6!9 $ay aceleración positiva constanteL en 1 partiendo del reposo y en

2 con velocidad inicial diferente de cero. Por -ltimo en 6c9 la aceleración es cam!iante. )$ora

!ien se de!e $acer la precisión epistemológica de que estas representaciones a-n no conta!an

con la $erramienta de la continuidad num+rica a la que se llegó con el avance en el estudio de los

n-meros reales razón por la cual se segua presentando una ruptura en la relación entre las

cantidades num+ricas y las magnitudes algo que no viene a superarse $asta los desarrollos de la

geometra analtica de Aescartes y Fermat donde adem#s de presentarse la precisión cartesiana

tam!i+n se consideran las operaciones entre segmentos como otro segmento y no otro tipo de

relaciones geom+tricas 6#rea y volumen9.

8+8+@+ E, %enaciiento& "e con"o,ida ,a notaci?n a,-e.%aica

4on la aparición de una nueva revolución en el plano de la ciencia con pensadores como

4op+rnico Kepler y 3alileo se esta!lece un $ito $istórico que supone un divorcio de las ideas

teológicas en el plano de discusiones tendientes cada vez m#s a lo e@perimental ligado con los

fenómenos naturales. El estudio de varia!les requera entonces relacionarlas e@presarlas


40/172

Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas :7

mediante n-meros y representarlas adecuadamente. Todo esto implica!a nuevas relaciones que

podan verificarse en forma e@perimentalQ 6*galde 271: p. 119.

)dicional a ello en los siglos J y J5 se presenta un notorio avance en materia dellengua"e alge!raico aquello que se $a!a iniciado en la matem#tica #ra!e e $ind- adquiere un

mayor grado de madurez con tra!a"os como el de 4ardano con el uso de e@presiones para

representar el cuadrado y el cu!o de una incógnita y algunas letras para las operaciones

aritm+ticas y posteriormente el de quien es considerado el padre de la notación sim!ólica en la

matem#tica i+te quien introduce el uso de letras para representar las incógnitas y sus

respectivas potencias. &os adelantos en la notación contri!uyeron a desarrollar la formulación y

la e@presión de lo que $oy en da consideramos como varia!leN en una función o incógnitaN en

una ecuaciónQ 6/uz 1==D p. 11;9.

8+8+;+ E, "i"tea ca%te"iano # ,a a0a%ici?n de, c!,c1,o

&os siglos J55 y J555 tienen unas p#ginas especiales en la $istoria de las matem#ticas en la

medida en que se presentó un vertiginoso avance en muc$as de sus ramas adem#s de evidenciar

el nacimiento de novedosas teoras que catalogaran la !ase so!re la cual se fundamentó m#s

adelante gran parte de la matem#tica moderna. En los tiempos mencionados comparten en

diversos escenarios los planteamientos teóricos de grandes mentes como Aescartes Fermat

OeYton &ei!niz entre otros.

El surgimiento de la geometra analtica que significó la creación del #lge!ra sim!ólico literal

con los tra!a"os independientes de Aescartes y Fermat marca un punto de encuentro entre el

#lge!ra y la geometra y as el o!"eto fundamental de estudio de las matem#ticas eran las curvas

y a partir de +stas eran estudiadas las relaciones ente algunas cantidades geom+tricas varia!lesQ


41/172


6Martnez 277D p.


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dependencia entre cantidades y se0ala en uno de sus manuscritos el primer registro que se

conozca para el uso del t+rmino función referenci#ndolo en situaciones geom+tricas so!re las

propiedades de las curvas especialmente en lo concerniente a la recta tangente y algunas otras

dependientes de ella. Ae!e $acerse la precisión en que el c#lculo desarrollado por OeYton y

&ei!niz no tena el estado de formalidad actual puesto que tal y como afirma Kleiner 61=D=9 no

fue un c#lculo de funciones 69 su principal o!"eto de estudio fueron las curvas geom+tricas y

m+todos de solución de pro!lemas asociadosQ 6p. 2D(9

&a primera definición de función aparece en 1;== en un artculo de ,. ernoulli donde se

denota por función de una varia!le una cantidad compuesta de una o varias maneras de una

cantidad varia!le y constante dando con ello una apro@imación muc$o m#s a!stracta. Es

prudente mencionar que una de las grandes limitaciones epistemológicas de esta etapa se

encuentra en que dada la rigurosidad alge!raica del sistema cartesiano que $a!a adquirido gran

auge sólo se considera!a en el an#lisis de las funciones aquellas que se podan escri!ir $aciendo

uso de e@presiones o ecuaciones alge!raicas.

8+8++ Fina,e" de, "i-,o 6VIII e inicio" de, "i-,o 6I6& e, conce0to de


43/172

Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas :(

varia!le como una e@presión analtica compuesta de cualquier manera que sea de esta misma

cantidad y de n-meros o de cantidades constantes. )unque no se define qu+ es una e@presión

analtica algunos autores precisan que para Euler es una e@presión compuesta de magnitudes

representadas por sm!olos y n-meros mediante las operaciones alge!raicas 69 o trascendentes

69Q 6Martnez 277D p.


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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas ::

Es necesario aclarar que este concepto de continuidad es totalmente diferente con el concepto

actual donde la continuidad es una propiedad intrnseca de las curvas y no de su e@presión

alge!raica como est# aqu planteada. Esta distinción "ugó un papel importante en la discusión

so!re la solución del pro!lema de la cuerda vi!rante planteado por Taylor y frente al cual

destaca!an las soluciones de A. ernoulli 6quien o!tuvo la solución por medio de una -nica

fórmula e@presada por una serie trigonom+trica9 y la de AN)lem!ert 6cuya solución poda ser

dada por fórmulas diferentes para diferentes valores del argumento9Q 6*galde 271: p. 1:9. Para

Martnez 6277D9 la naturaleza fsica de este pro!lema conllevara a que m#s adelante en las

5nstitutiones 4alculi Aifferentialis Euler generaliza su propio concepto de función !uscando unacorrespondencia !iunvoca entre las funciones y las curvas para formular una nueva definición

que comprendiera todas las clases conocidas Euler utilizó la noción de correspondencia entre

pares de elementos que de $ec$o siempre $a!a estado presente en el concepto de función pero

nunca se $a!a $ec$o e@plcitaQ 6p. D89.

)simismo el de!ate de la cuerda vi!rante tuvo consecuencias importantes para la evolución

del concepto de función. Seg-n Kleiner el mayor efecto fue la ampliación del concepto para

incluirL a9 funciones definidas a trozos por e@presiones analticas en diferentes intervalos y !9

funciones di!u"adas a mano alzada y la posi!ilidad de no estar determinada por alguna

com!inación de e@presiones analticas 6Kleiner 1=D= p. 2DD9.

8+8+=+ Si-,o" 6I6 # 66H ,a eo,1ci?n *acia e, conce0to act1a,

Para *galde 6271:9 en la primera mitad del siglo J5J cuando 4auc$y &o!ac$evsGy Airic$let

y /iemann a trav+s de la teora de funciones esta!lecida en 1


45/172


Ta!la 2. Principales definiciones de función en el siglo J5J.

A1to% A0o%te a ,a conce0t1a,i3aci?n de ,a"


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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas :;

función de la varia!le independiente x Q.

Rieann

:;K

Se dir# que y es una función de x si a todo valor de x corresponde

un valor !ien determinado de y cualquiera que sea la forma de la relación

que une a x y a y Q.

Es claro o!servar que con estas definiciones se puede $a!lar del paso de la relación

geom+trica al concepto de correspondencia entre varia!les como punto fundamental de partida

para conceptualizar una función aunque las limitaciones e@istentes en lo referente a los

con"untos num+ricos y las e@presiones analticas terminaron por dotarle de muc$os aspectosintuitivos que no permitieron por e"emplo terminar de dilucidar temas como el an#lisis de la

continuidad. ay una intención en los autores de este siglo para desligar el concepto de función

de situaciones fsicas de la representación gr#fica o del uso de fórmulas concretas algo que

requirió grandes procesos de formalización y a!stracción. ?N4onnor y /o!ertson 627789

resaltan por e"emplo que a pesar de la generalidad de la definición de 4auc$y que est# dise0ada

para cu!rir tanto las funciones implcitas como las e@plcitas a-n piensa en una función en

t+rminos de una fórmulaQ.

)l respecto de!e mencionarse un tra!a"o revolucionario para la evolución del concepto de

función y es el aporte de Fourier. ) partir de uno de sus aportes fundamentales sostiene que

cualquier función f ( x) definida en un intervalo (−l , l) es representa!le en ese intervalo

mediante series de senos y cosenos. &o que resulta interesante es que al momento de realizar las

prue!as y demostraciones para "ustificar que una función ar!itraria es e@presa!le mediante series

de Fourier termina utilizando el concepto de continuidad en el sentido moderno.


47/172

Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas :<

Ae acuerdo a los planteamientos de Kleiner 61=D=9 Fourier destaca en el desarrollo del

concepto en la medida en queL

•

Se clarifica que dos funciones con diferentes e@presiones analticas pueden coincidir

en un intervalo independientemente no coincidan por fuera del intervalo.

• Precisa el concepto de continuidad mostrando que en el sentido planteado por Euler

e@istan ciertas limitaciones y dificultades.

• ?frece un nuevo +nfasis so!re las e@presiones analticas. 6p. 2=79

)ceptando muc$as de las ideas planteadas por Fourier sera otro gran matem#tico de la +poca

quien renovara la discusión so!re el concepto de función. 4on la definición de Airic$let la

importancia de la correspondencia ar!itraria ya no radica en la definición sino m#s !ien en la

aplicación que llega a d#rsele. Para clarificar esta idea en 1D2= define una función de forma

ver!al mostrando que para ella no e@iste representación gr#fica ni ta!ular ni alge!raica que la

represente en su totalidad. Esta función actualmente es conocida como función caracterstica de

Airic$let y una apro@imación gr#fica de ella se muestra en la Figura ;.

χ Q ( x )={0, si x es un número irracional1, si x esun número racional


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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas :D

Figura 7 ,proximaci3n de la unci3n de .iric8let en un intervalo a:b;

Fuente elaboraci3n propia

)$ora !ien la aparición y desarrollo de la teora de con"untos en el siglo JJ terminara por

dar el -ltimo avance en la conceptualización que se mane"a actualmente en las matem#ticas.

Siguiendo el planteamiento de /uz 6277D9 en esta etapa se o!serva un marcado cam!io entre el

concepto de función desde sus inicios $asta la actualidad en tanto es asociada con una visión

totalmente est#tica que se ale"a completamente de los conceptos de cam!io variación

dependencia y continuidad que orientaron la discusión en todo el devenir $istórico. En pala!ras

de *galde 6271:9 el desarrollo de las matem#ticas del siglo J5J e inicios del siglo JJ y los

requerimientos de otras disciplinas como la fsica $icieron inevita!le pasar al estudio de

funciones definidas so!re con"untos ar!itrarios con valores en con"untos ar!itrariosQ 6p. 1;9. En

esta etapa se pueden resaltar los tra!a"os de 4antor y del grupo our!aGi. )s pues se llega a la

siguiente definición de funciónL

Sean A y B con"untos. *na función f : A → B de A en B es un su!con"unto

f de A × B tal queL i9 para todo elemento de a en A e@iste un elemento b en B

con (a , b) en f y ii9 si (a , b) y (a , b ' ) son elementos de f entonces b=b ' .


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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas :=

Para Freudent$al 61=D(9 citado por Prada 61==;9 en este concepto se presenta que las dos

caractersticas m#s desarrolladas son su naturaleza ar!itraria y la univocidad. El primero se

refiere a que una función no de!e presentar ning-n tipo de regularidad 6como ya se $a!a

evidenciado en el e"emplo de Airic$let9 y el segundo indica que a cada elemento del dominio

sólo le puede corresponder un elemento del rango.

2.(. Un e"cena%io co-nitio& ,a teo%$a de ,a" %e0%e"entacione" "ei?tica"

4omo ya se $a mencionado uno de los intereses de esta propuesta est# puesto en el marcado

distanciamiento encontrado en el conte@to escolar cuando se quiere esta!lecer una relación entre

las formas del pensamiento matem#tico y las que se presentan por fuera de las matem#ticas

resaltando ineludi!lemente las dificultades a las que se llega en t+rminos de ense0anza y

aprendiza"e al momento de usar el concepto de función para estudiar y analizar situaciones del

mundo real. En esta medida es importante considerar y descri!ir desde el punto de vista

cognitivo algunas caractersticas propias so!re el uso y desarrollo del pensamiento matem#tico

para lo cual se propone especficamente considerar el enfoque teórico de las representaciones

semióticas.

Para Auval 6277;9 la actividad matem#tica se realiza dentro de diversos conte@tos de

representación que son necesariamente semióticos razón por la cual su an#lisis y estudio de!e

$acerse teniendo en cuenta las formas de representación utilizadas y los requisitos cognitivos que

involucran. )s en la actividad matem#tica se de!en considerar dos requisitos fundamentalesque al entrar en conflicto son resaltados por el autor como una parado"a cognitiva. En primer

lugar dada su naturaleza a los o!"etos matem#ticos no se accede por alg-n tipo de percepción

sensorial sino que sólo es posi!le realizar una apre$ensión conceptual a trav+s de las diversas


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representaciones semióticas que permiten alg-n tipo de actividad so!re ellos. Por otro lado el

o!"eto matem#tico no de!e confundirse con el contenido de las representaciones que se le

asocian puesto que en estas tam!i+n e@iste influencia de los sistemas semióticos de

representación utilizados.

En esencia esta teora reconoce que las representaciones mentales que los estudiantes

construyen y e@teriorizan so!re los o!"etos matem#ticos est#n influenciadas directamente por las

representaciones e@ternas por medio de las cuales llegan a realizar alg-n tipo de actividad

cognitiva so!re ellos siendo as importante preguntarse y refle@ionar so!re la forma en que

pasan de unas a otras. Ae a$ que dentro de la teora de Auval se resalta que en matem#ticas

de!e tra!a"arse necesariamente con diversos registros de representación. Estos pueden ser

discursivos 6usando una lengua natural que constituye un sistema semiótico por e@celencia o

una lengua formal9 o registros no discursivos como las figuras geom+tricas o sistemas de

coordenadasQ 6/o"as 2712 p. (9. Ae!e aclararse que en la clasificación planteada por Auval

tam!i+n se presenta una distinción entre registros multifuncionales y monofuncionales. &os

primeros tienen que ver con un tratamiento que no se puede dar de forma algortmica como si

ocurre con los segundos.

En este sentido la actividad matem#tica se enmarca en dos caractersticas semióticas

esencialesL la formación y selección de representaciones en un registro semiótico particular y la

puesta en escena de las propiedades de transformación que implica el procesamiento matem#tico.

4uando se $a!la de formación se referencia una actividad cognitiva que permite consolidar

una serie de registros semióticos que evocan las representaciones mentales del concepto y de

acuerdo a la intencionalidad que se esta!lece los estudiantes de!en estar en capacidad de $acer


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adecuadas selecciones caracterizadas por criterios de coordinación interna y diferenciación

funcional que permitan la coe@istencia de esa pluralidad de representaciones como !ase para el

desarrollo de sus capacidades cognitivas. Para ello es tam!i+n importante el mane"o de los

diferentes procesos de transformación que e@ige la actividad matem#tica como una serie de

mediaciones semióticas en las que se resaltan fundamentalmente las de tratamiento cuando se

produce una nueva representación dentro del mismo registro y las de conversión que implican

la aparición de una representación en un registro diferente a la inicial. )$ora !ien estas dos

clases de transformaciones de representaciones yacen en el corazón de la actividad matem#tica.

Por ello el primer requisito metodológico para analizar los pro!lemas de la comprensiónmatem#tica de los estudiantes es diferenciar por completo estas clases de transformacionesQ

6Auval 277; p. 1:=9. En la Figura < se muestra un e"emplo de estos procesos cognitivos de

transformación en el conte@to de estudio de la función cuadr#tica.

Figura


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Ae este modo dentro del pensamiento matem#tico es claro que la conversión y el tratamiento

forman una unidad elemental donde se privilegia fundamentalmente la correcta selección del

registro m#s adecuado para la solución de un pro!lema pero cuando esta situación es llevada al

plano cognitivo con el fin de analizar las dificultades de aprendiza"e que se encuentran los

estudiantes resulta ser muy importante que adquieran la capacidad de diferenciar y dominar

estas dos clases de transformaciones teniendo en cuenta que cada una de ellas es fuente de

particulares o!st#culos para llegar a la comprensión pero reconociendo en la mayora de los

casos que la conversión se sit-a un plano de mayor comple"idad. Precisamente una de las

dificultades o!servadas en la ense0anza y aprendiza"e de las funciones radica en el $ec$o dea!ordar sólo algunas conversiones entre ciertos registros de representación y en un sentido

determinado.

4on ello Auval resalta que la conversión no es un proceso cognitivo que se reduce a

actividades de codificación mostrando por e"emplo las lagunas cognitivas manifestadas por los

estudiantes cuando de!en estudiar las propiedades de una función que sufre ciertas

transformaciones 6refle@iones alargamientos traslaciones etc.9 pasando del registro gr#fico al

alge!raico con la simple codificación cartesiana donde sólo se pueden estudiar caractersticas

num+ricas locales y no las propiedades cualitativas glo!ales 6visuales9 que se corresponden con

las de la e@presión alge!raica tal como se muestra en la Figura D.


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Figura / .iicultades para pasar del registro grico al algebraico

Fuente .uval (2007) p 160

Tam!i+n Auval en este caso citado por ?spina 627129 concluye queL

&a conversión posee dos caractersticas. &a primera $ace referencia a que tiene una orientación

se0ala que son conocidos tanto el registro de partida como el registro de llegada y la segunda

e@presa que la conversión entre registros de representación semiótica puede ser o no congruente.

6pp. (;R(


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En la Figura = se representan algunas de las $a!ilidades que necesitan los estudiantes para

$acer procesos de conversión entre los registros semióticos m#s utilizados para representar las

funciones aclarando que estos no se dan de forma espont#nea sino que requieren poner en

marc$a intencionalmente una serie de actividades destinadas para ello. &as descripciones

ver!ales son tomadas como multifuncionales discursivas las e@presiones alge!raicas y ta!las de

datos son monofuncionales discursivas y las gr#ficas cartesianas monofuncionales no

discursivas.

Figura 9 abilidades necesarias para cambiar de registro en las unciones

Fuente elaboraci3n propia

Es en esta medida donde se $ace necesario involucrar una serie de mediaciones semióticas

que permitan cam!iar de un sistema de representación a otro sin cam!iar las propiedades

matem#ticas que se est#n representando sino que al contrario sean discriminadas de forma tal

que se resalte su relevancia y lleguen a transferirse a diferentes conte@tos de aprendiza"e. )l

respecto Auval 6277;9 sostiene que la mayor piedra de toque para la comprensión es la

posi!ilidad de transferir lo que se $a aprendido a nuevos y diferentes conte@tos dentro y fuera de

las matem#ticas y esto siempre implica la conversión de representaciónQ 6p. 18D9. Entonces un

aspecto crucial para la ense0anza de las matem#ticas no es elegir el me"or sistema de


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representación sino !uscar las estrategias adecuadas para que los estudiantes lleguen a esta!lecer

m-ltiples relaciones entre ellos o!edeciendo al criterio de coordinación interna y moviliz#ndolas

de forma con"unta e interactiva para reconocer su aplica!ilidad en los conte@tos reales

involucrados $a!ilidad a partir de la cual puede desarrollarse la comprensión conceptual. En

sntesis considerando el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas Tamayo 6277;9

propone los siguientes aspectos so!re los cuales de!e centrarse la atención en cuanto a las

transformaciones que tienen los conceptos matem#ticos en su ense0anza y aprendiza"eL

• El proceso de producción de representaciones e@ternas es el que $ace posi!le comprender

y tener claridad so!re las representaciones mentales internas.

• Ae!e reconocerse que la conversión de una representación semiótica a otra es el proceso

cognitivo de mayor dificultad para los estudiantes.

• Oo e@isten reglas definidas para orientar el proceso cognitivo de la conversión y en el

me"or de los casos las que puedan proponerse resultan tener un alcance muy limitado.

• &os diferentes cam!ios de registro !uscan economizar la actividad cognitiva de los

estudiantes aunque lo importante m#s que simplificar procesos es !uscar que se

identifiquen y coordinen los diferentes registros de representación en conte@tos de

aplicación determinados sin que se presenten contradicciones entre ellos.

• &as dificultades de comprensión presentadas por los estudiantes o!edecen en muc$os de

los casos a la poca atención que se le presta al tra!a"o so!re los diferentes cam!ios de

registro siendo necesario $acer una refle@ión so!re los procesos necesarios para ello.


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8+@+ La ode,aci?n ate!tica coo %e


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encuentro entre la realidad y las ideas matem#ticas tomando como elementos fundamentales los

que se descri!en en el siguiente esquema.

Figura 10 #lementos bsicos de la construcci3n de modelos

Fuente =#> (199/): p 9


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)ceptando estas ideas se encuentra que el desarrollo de actividades !asadas en situaciones

reales llega a ser un posi!le escenario en el que se articulan los elementos y e@igencias de la

modelación matem#tica como proceso y a la vez recrea algunos de los conte@tos $istóricos con

los que evolucionó el concepto de función valorando y resaltando su importancia dentro de la

ense0anza y el aprendiza"e. Es claro que al cuestionarse por medir y analizar el comportamiento

de las magnitudes que intervienen en cada pr#ctica y la forma en que se relacionan se introduce

directamente a los estudiantes en la comprensión del concepto de varia!le y el desarrollo del

pensamiento variacional originando nuevos sistemas de representación que favorecen su

interpretación en la medida en que de!en analizar predecir argumentar deducir descri!ir "ustificar y en fin desarrollar una serie de actividades cognitivas claves para orientar la

construcción de modelos y la conceptualización de las relaciones funcionales como !ase para la

solución de los pro!lemas. En la Ta!la ( se muestran una serie de consideraciones

fundamentales que "ustifican el inter+s por la modelación y el an#lisis de situaciones reales al

momento de a!ordar el concepto de función.

%abla )lgunos elementos caractersticos de la modelación y las situaciones reales.

Mode,aci?n De"a%%o,,o de actiidade" .a"ada" en

"it1acione" %ea,e"

P%o0?"ito Moviliza diversas representaciones que

permiten la a!stracción y simplificación

de situaciones reales a!ordadas a partir

la construcción de esquemas mentales.

El concepto de función es presentado de

forma pr#ctica a los estudiantes

favoreciendo su capacidad intuitiva

Actiida

d

co-nitia

4onstrucción y elección de registros de

representación 63eneralización

conceptual9

5nteracción entre las estructuras del

modelo 6?frece e@periencias

procesamiento de situaciones funcionales9

P%oce"o" /ecursiva y cclica. alidación interna y Pone en evidencia las relaciones entre las


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e@terna. varia!les. alidación interna.

)simismo seg-n iem!engut y ein 6277:9 cuando se considera la modelación matem#tica

como una metodologa de ense0anza se de!e partir de un tema que permita el desarrollo y

formulación de preguntas e interrogantes que quieren comprenderse o !uscan $acer alg-n tipo de

inferencias y de!en responderse mediante el uso de $erramientas matem#ticas y la investigación

propia so!re el tema. En esta medida es importante despertar la motivación del estudiante por

cuestionarse so!re los fenómenos que puede llegar a e@perimentar y !a"o el acompa0amiento

continuo del docente ela!ore modelos matem#ticos cada vez m#s comple"os y completos que le

proporcionen la posi!ilidad de desempe0arse en me"or medida 6desarrollo de competencias9 en el

tratamiento y resolución de pro!lemas con la consolidación de su pensamiento crtico y creativo.

&os autores antes citados sostienen que al potenciar la modelación matem#tica se espera que los

estudiantes puedanL

• 5ntegrar las matem#ticas con otras #reas del conocimiento aumentando el inter+s del #rea

frente a su aplica!ilidad.

• Me"orar en la apre$ensión de los conceptos matem#ticos.

• )umentar su capacidad y creatividad para leer interpretar formular y resolver situaciones

pro!lema.

• ?rientarse en la capacidad de realizar la investigación del tema.


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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas ;7

8+;+ La" co0etencia" STEM

4omo ya se $a referenciado uno de los grandes intereses educativos que tienen las actuales

sociedades del mundo glo!alizado tiene que ver con una adecuada formación cientfica ytecnológica que responda a las necesidades y demandas que se presentan a los su"etos en la

solución de pro!lemas del campo la!oral y productivo e@igiendo una muy !uena

fundamentación y adecuados desempe0os en campos cruciales como el del conocimiento

matem#tico. ) raz de esto $a tomado fuerza la consolidación de nuevas metodologas de

ense0anza y aprendiza"e que acompa0adas de adaptaciones a la estructura curricular !uscan

posi!ilitar desde edades tempranas el desarrollo de $a!ilidades y competencias para la solución

de pro!lemas propios de las ciencias las matem#ticas la tecnologa y otros campos afines

permitiendo formar !ases sólidas en los estudiantes para que en su formación avanzada y

universitaria no tengan dificultades para elegir carreras y lneas de acción afines con estas

tem#ticas.

Este es el caso por e"emplo de pases como EE.** y la zona Europea donde este tipo de

tendencias $a tomado mayor auge y se $an convertido en un tema de discusión o!ligado para las

agendas educativas. )s empieza a $a!larse del modelo de competencias STEM como una

respuesta al reto planteado considerando estrategias de ense0anza que persiguen una preparación

integrada e interdisciplinaria en dos o m#s de estas #reas a partir del enfoque de aprendiza"e

!asado en la solución de pro!lemas en conte@tos reales. Para Mata 6271:9 la !ase educacional

de STEM intenta quitar las !arreras que separan estas cuatro disciplinas mencionadas e

integrarlas con e@periencias de aprendiza"e rigurosas y significativas para los estudiantesQ 6p. D9

aclaración que pretende resaltar adem#s del inter+s por un enfoque interdisciplinario la

posi!ilidad de que los estudiantes puedan evidenciar la aplica!ilidad de los conceptos en el plano


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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas ;1

de lo real como punto de partida para comprender la din#mica propia de la naturaleza y resolver

los pro!lemas que la misma sociedad le plantea.

)l respecto el modelo de competencias STEM es catalogado por algunos autores como unnuevo paradigma dentro del campo educativo capaz de responder a las caractersticas de la

sociedad actual y sus necesidades formativas. Tal es el caso de osc$ 627119 quien sostiene que

adem#s de consolidar nuevas ideas y formas de darles aplica!ilidad surgir#n tam!i+n modernas

formas de desarrollo de $a!ilidades y competencias para adquirir conocimientos actuales y tener

una idea m#s clara de la relación entre matem#tica y las ciencias e ingeniera del mundo real del

siglo JJ5Q 6p. 1(89. Esta perspectiva enfatiza entonces en lograr que la ciencia tecnologa

ingeniera y matem#ticas lleguen a desarrollarse en conte@tos ntimamente relacionados y

e@plorados dentro del universo escolar para llegar a adquirir su mayor grado de potencialización

en la sociedad.

Ae esta forma la metodologa STEM est# ntimamente relacionada con el proceso de

modelación que se descri!ió en otra sección de este tra!a"o en la medida en que el desarrollo de

este tipo de competencias adquiere sentido y validez en los procesos de ense0anza y aprendiza"e

!asados en la estrategia de solución de pro!lemas. En este sentido Mata 6271:9 define una

actividad STEM como una

tesis garzÓn

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