tesis final 4

Villacorta INTRODUCCIÓN

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INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN Villacorta

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La descripción y cuantificación de las propiedades de las neuronas constituyen una de las piedras

angulares de la Neurociencia. Desde su nacimiento la caracterización de las estructuras

neuronales ha experimentado dos etapas, la primera fundamentalmente descriptiva, basada en la

descripción cualitativa minuciosa de árboles dendríticos y ramificaciones axónicas (clásicamente

sobre tinciones con el método de Golgi [Ramón y Cajal, et al., 1999]), y la segunda, más

reciente, basada en el estudio de propiedades topológicas y métricas como parámetros de

ramificación, longitudes, superficies, distancias, tortuosidad, orientación, etc. de dendritas,

somas y axones [Ascoli, et al., 2001; Horcholle-Bossavit, et al., 2000; Peters, et al., 1991;

Scorcioni, et al., 2004].

Figura 1. Santiago Ramón y Cajal (izquierda) fue uno de los pioneros en el estudio de la estructura neuronal, y

demostró su naturaleza organizada, polarizada e individualizada (1888) empleando, entre otras técnicas, el método

de tinción de Golgi (derecha) [Ramón y Cajal, Pasik and Pasik, 1999].

En la actualidad los estudios electrofisiológicos a nivel poblacional o de membrana, la

descripción anatómica de las diferentes regiones y áreas del sistema nervioso central y periférico

o la reconstrucción de la morfología neuronal, especialmente asistida por métodos

computacionales, proporcionan un conocimiento fundamental para la comprensión de los

procesos que tienen lugar en el sistema nervioso y que en última instancia conforman el misterio

de la conciencia y la mente.

En este trabajo, centrado principalmente en los árboles dendríticos, se propone un enfoque

novedoso a este problema, basado en la cuantificación de la propiedad básica de estas

estructuras: su capacidad para procesar información. Con este objetivo se definen y desarrollan


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una serie de medidas basadas en uno de los conceptos centrales de la teoría de la información, la

entropía. Estas medidas se aplican sobre los árboles dendríticos en tres niveles diferentes según

las propiedades dendríticas que intervengan en el procesamiento, quedando dichas estructuras

caracterizadas como fuentes de información.

En este capítulo se pretende proporcionar las nociones que permitan introducir tanto

conceptualmente como a un nivel más riguroso los conceptos, razonamientos, desarrollos y

conclusiones expuestos en este estudio. En primer lugar se presenta una visión general de la

teoría de la información y de su impacto sobre la Ciencia, centrándonos en sus aplicaciones a la

Neurociencia. La segunda sección se centra en la base matemática de la teoría de la información,

restringiéndonos al nivel empleado en este trabajo. Por último se expone una somera

introducción a la morfología y funcionalidad dendrítica, junto con el abordaje matemático y

notación concernientes a la topología dendrítica, básica en la caracterización entrópica buscada.

1. EL CONCEPTO DE INFORMACIÓN

La noción de información representa sin duda uno de los conceptos científicos más relevantes de

hoy en día, tanto por la generalidad de su aplicabilidad como por su profundidad conceptual. Las

diferentes acepciones que se emplean para referirse a la misma noción de información dan una

idea de la generalidad que este alcanza, sin embargo es la misma palabra ‘información’ la más

empleada en los múltiples contextos en que tiene cabida este principio matemático, y es la

principal causa de la indefinición, y en ocasiones confusión, en su aplicación. En nuestra vida

diaria hablamos de información cuando nos referimos al conocimiento adquirido, y que por tanto

no se poseía previamente, asociado al significado que tiene un objeto, una palabra, frase,

discurso, etc. El mayor problema de este punto de vista es su subjetividad, puesto que algo que

conlleve mucha información para un individuo, para otro puede no significar nada, por ejemplo

una frase en un idioma dominado por el primero y desconocido por el segundo; a este tipo de

información nos referiremos como información semántica. Es necesario por ello puntualizar en

primer lugar que el concepto de información matemática no tiene ninguna relación con el

contenido semántico [Shannon and Weaver, 1949], dependiendo tan sólo de la estructura de los

objetos que portan esa información semántica.

El estudio original de Shannon en el que se presentó y desarrolló la hoy llamada “teoría de la

información” [Shannon and Weaver, 1949] se tituló “The Mathematical Theory of

Communication”. Desde un primer momento Shannon sólo pretendía describir matemáticamente


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la comunicación y no la información, de manera que la teoría de la información prescinde de

toda referencia a la ‘capacidad de significar algo’ para centrarse en la ‘capacidad para comunicar

algo’. Este trabajo fue desarrollado con vistas a su aplicación en ingeniería de comunicaciones,

coincidiendo con la aparición y posterior auge de los transistores, y en consecuencia con el inicio

de la era de las telecomunicaciones. Era necesario por tanto una estructura matemática sólida que

plantease y resolviese de forma rigurosa los principales problemas que surgían en este contexto.

De este modo Shannon no sólo introdujo el concepto de información y entropía en relación con

la incertidumbre del sistema, también abordó la cuestión de los canales de información y su

capacidad para la transmisión, y el importante problema de los códigos [Jones, 1979], todo ello a

través de un enfoque abstracto y unificado que supone un armazón idóneo para aplicar esta teoría

en multitud de áreas científicas y sociales.

En este contexto seminal es lógico que el primer campo en el que la teoría de la información

fue aplicada con éxito fue el de las comunicaciones y en especial el de la codificación y

criptografía, favorecido no sólo por las circunstancias científicas sino también por las

circunstancias geopolíticas, con el advenimiento de la guerra fría tras la Segunda Guerra

Mundial. La visión de la codificación aportada por la teoría de la información se ha mantenido

con vigencia desde entonces ya que proporciona soluciones tanto teóricas como constructivas al

problema de la optimización de los códigos, la compresión de datos, la corrección de errores, etc.

[Abramson, 1963]. Pronto este abordaje teórico mostró la profundidad de las nociones en que se

basaba y fue extendiéndose progresivamente a especialidades científicas tan diferentes como la

ecología [Margalef, 1968] o la sociología [Feghhi, et al., 1999]. No obstante fue la Física, y por

ende las Matemáticas, uno de los saberes científicos que más se ha enriquecido con los conceptos

de la teoría de la información y que más partido ha sabido sacar de su carácter fundamental. Son

muchos los campos de la Física en que la perspectiva brindada por la información y la entropía

ha supuesto un gran paso adelante, empezando por la termodinámica, que constituyó el contexto

en que se desarrolló originalmente [Reif, 1985]. Sin embargo son especialmente relevantes otros

campos de la Física que hoy en día se encuentran en la frontera del saber, de entre los que cabe

destacar la Computación Cuántica [Seife, 2006], la Teoría del Caos [Abarbanel and Institute for

Nonlinear Science., 1996; Froyland and Institute of Physics (Great Britain). 1992] y la

Cosmología y Astrofísica. Este último caso es verdaderamente atractivo porque la incursión de

los conceptos de información y entropía ha conducido a perspectivas y resultados absolutamente

novedosos, entre los que cabe destacar la denominada Paradoja de los Agujeros Negros, que

plantea la conservación o no de la información contenida en todo aquello que cae tras el


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horizonte de un agujero negro [Preskill, 1992; Vachaspati, et al., 2007], o el Principio

Holográfico, que afirma que, a nivel cosmológico, la información de los eventos que tienen lugar

dentro de cierto volumen puede relacionarse biunívocamente con la información de lo que

sucede en la superficie de dicho volumen (cómo ocurre en la holografía) [Bekenstein, 2003;

Freivogel, et al., 2006].

Aunque estos son unos ejemplos relevantes del alcance y el impacto de la Teoría de la

Información dentro de la ciencia actual, es la Neurociencia el campo científico que se ha ido

convirtiendo progresivamente en uno de los entornos más naturales para esta teoría, puesto que

el problema central del estudio del sistema nervioso y del cerebro es la comprensión de los

procesos de adquisición, procesamiento, codificación y en última instancia interpretación de la

información, tanto de la recibida del exterior como de la creada por el propio sistema. Muy poco

tiempo después del trabajo de Shannon que dio origen a la teoría de la información [Shannon and

Weaver, 1949] apareció el primer estudio en el que se aplicaban los conceptos de entropía e

información para analizar las capacidades neuronales de transmisión y codificación en base a sus

características biofísicas [MacKay and McCulloch, 1952]. Posteriormente este tipo de abordaje

se extendió con mayor rigor a contextos más complejos [Eckhorn and Popel, 1974; 1975;

Eckhorn, et al., 1976] y fue a partir de la década de los noventa cuando quedó constituida cómo

un área de investigación de gran actividad dentro de la Neurociencia.

La información como entidad matemática no aparece de forma explícita hasta finales de los

años cuarenta en el trabajo seminal de Shannon [Shannon and Weaver, 1949], en el que se

relaciona de forma abstracta con el número de estados en los que puede encontrarse un sistema y

con las probabilidades que tiene este de alcanzar cada uno de esos estados. Esta relación

cristaliza matemáticamente en los dos conceptos básicos de la ‘Teoría de la Información’: la

entropía y la información mutua.

La coincidencia del nombre ‘entropía’ con el conocido término termodinámico no es casual

ya que en este contexto la entropía mide el nivel de desorganización de los componentes del

sistema1. La entropía asociada a la información matemática constituye una generalización de esta

1 La entropía termodinámica es una noción fundamentada a nivel molecular que compendia diferentes aspectos

microscópicos relacionados con la energía y temperatura del sistema en la conocida segunda ley de la

termodinámica [Reif, 1985], que afirma que la desorganización interna (en términos estadísticos) de un conjunto de

partículas en interacción (entropía) tiende a aumentar con el tiempo. Evidentemente esta visión tiene a nivel

macroscópico el equivalente a la desorganización con que el sistema está estructurado.


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visión termodinámica ya que esta medida cuantifica el grado de indeterminación en la evolución

de un sistema, es decir mide el desconocimiento que tenemos acerca de qué estado adquirirá el

sistema en el futuro de manera que su entropía será mayor a medida que el sistema tenga una

mayor indeterminación en el estado a alcanzar. En consecuencia y de forma más intuitiva

diremos que la entropía matemática es una medida de la incertidumbre presente en el sistema

[Shannon and Weaver, 1949].

El segundo concepto fundamental de la teoría de la información es el de información mutua,

que cuantifica la cantidad de información que comparten dos sistemas relacionados entre sí.

Tanto la noción de entropía como la de información mutua se desarrollarán con rigor en la

próxima sección, sin embargo es conveniente introducirlas aquí de forma conceptual, en especial

esta última por la importancia que tiene en el ámbito de la Neurociencia. En este contexto

supongamos una serie de estímulos aplicados sobre una neurona y sus respuestas. En términos de

teoría de la información consideraríamos los sistemas genéricos ‘estímulo’ y ‘respuesta’, cuyos

estados respectivos serían los distintos estímulos y las correspondientes respuestas. Según la

definición de entropía dada intuitivamente antes (y su definición matemática de la siguiente

sección) existirá una entropía del estímulo ( )H E y una entropía de la respuesta ( )H R . Estas dos

medidas cuantifican la capacidad de contener información que tienen tanto el estímulo como la

respuesta, de manera que una estimulación con una entropía ( )H E alta significará que la

neurona está recibiendo una gran cantidad de información. Si la respuesta registrada tiene una

entropía ( )H R baja ello implica que parte de ese contenido informacional se ha perdido2, lo que

puede deberse a dos circunstancias: o bien la neurona usa una codificación muy pobre y la

información inicial en gran medida se pierde, o bien la parte del estímulo que ha sido codificada

es muy pequeña3. La determinación exacta de la relación informacional entre estímulo y

respuesta se lleva a cabo por medio de la información mutua.

2 El caso extremo en que H(R) = 0 no significa que la neurona no responda ante la estimulación, significa que la

respuesta tiene una estructura infinitamente repetitiva que no le permite portar ningún tipo de información. El

ejemplo más obvio sería una respuesta perfectamente rítmica.

3 En cualquier caso, según se detalla en la sección siguiente, hay que ser muy cauto al asociar la información

matemática con el concepto intuitivo de información, la información semántica. Una señal con una gran cantidad de

información matemática (una entropía muy alta) no es necesariamente una señal ‘útil’ para el sistema, como ocurre

por ejemplo con el ruido [Jones, 1979; Shannon and Weaver, 1949]. El tratamiento detallado de esta noción va más

allá del contexto de este estudio (ver Discusión), sin embargo desde un punto de vista intuitivo se interpreta como

ruido aquella influencia de naturaleza estocástica que afecta al sistema en unas condiciones concretas. Las


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Debido a que cada estimulación evoca una respuesta neuronal (aunque no de forma

determinista), habrá una relación entre ambos eventos en términos de probabilidades, lo que se

refleja en dos tipos de entropías condicionadas, ( | )H R E y ( | )H E R . A pesar de que

matemáticamente estas entropías tienen la misma estructura conceptualmente son muy distintas.

Por un lado ( | )H R E mide la incertidumbre o variabilidad presente en la respuesta que no se

debe al estímulo, es decir que proviene de otras fuentes, por medio de la entropía del ruido o

ruido neuronal [Borst and Theunissen, 1999]. Por otro lado ( | )H E R cuantifica la variabilidad

propia del estímulo que no se ha visto reflejada en la respuesta; se llama por ello equivocación

del estímulo [Dayan and Abbott, 2001]. La información mutua ( , )I R E se puede definir

inicialmente como la diferencia entre la entropía de la repuesta ( )H R y la entropía del ruido

( | )H R E

( , ) ( ) ( | )I R E H R H R E= − , (1)

y bajo esta perspectiva estima la eficiencia del código neuronal. No obstante la simetría derivada

del teorema de Bayes [Jones, 1979] permite reescribir la información mutua ( , )I R E como la

diferencia entre la entropía del estímulo ( )H E y su equivocación ( | )H E R

( , ) ( ) ( | )I R E H E H E R= − , (2)

de manera que la información mutua cuantifica también la bondad con que el estimulo se

codifica en la respuesta.

Lo realmente importante de la perspectiva que proporciona la teoría de la información es

cómo de un enfoque tan general se pueden obtener conclusiones tan profundas acerca del

procesamiento de la información en el sistema nervioso. Supóngase que en ciertas condiciones se

ha concluido que ( , )I R E = 3, con ( )H R = 4, ( | )H R E = 1, ( )H E = 40 y ( | )H E R = 37.

Obviamente se verifican (1) y (2), sin embargo los valores concretos de cada entropía

involucrada nos dicen mucho sobre el propio proceso de codificación. Por un lado la entropía de

la respuesta ( )H R es cuatro veces mayor que la del ruido ( | )H R E , lo que implica que la

características del ruido le confieren un alto contenido informacional sin embargo su efecto sobre el sistema es en

general aleatorio y por lo tanto imprevisto. No obstante, en el área de la Neurociencia el ruido parece tener una gran

importancia en el procesamiento sensorial a través de fenómenos como la resonancia estocástica [Moss, et al.,

2004].


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codificación que está realizando la neurona es muy eficaz: sólo la cuarta parte se debe al ruido, el

resto de la respuesta la evoca el estímulo. No obstante el estímulo aplicado porta una gran

cantidad de información con respecto a la respuesta, según indica su entropía ( )H E , pero la

equivocación ( | )H E R es también muy elevada, por lo que la respuesta contiene sólo una parte

muy pequeña del ruido, es decir, la información mutua es escasa. Este ejemplo muestra cómo la

teoría de la información permite revelar aspectos fundamentales de procesamiento de la

información, en este caso cómo un buen código neuronal puede ser compatible con una mala

codificación del estímulo: el sistema sólo es capaz de codificar una pequeña parte del estímulo,

pero aquello que se codifica se hace con gran eficacia.

Desde el punto de vista de las capacidades de procesamiento y conducción de la información

una de las hipótesis de trabajo más extendidas es la de asumir que el sistema nervioso está

diseñado para optimizar la transmisión de la información entre sus diferentes componentes, lo

que en términos rigurosos implica la maximización de la información mutua ( , )I R E y por ende

la maximización de la entropía de la respuesta ( )H R en condiciones en que la entropía del ruido

puede mantenerse bajo control. Este punto de vista ha sido especialmente fructífero en el estudio

del procesamiento visual a lo largo de sus diferentes estaciones de relevo, dándose en [Laughlin,

1981] una de las primeras demostraciones de que existen sistemas de procesamiento de

información sensorial que codifican maximizando la entropía de respuesta, en concreto en las

LMC (Large Monopolar Cells) del sistema visual de la mosca. La asunción de que la

maximización de la entropía es una estrategia ubicua en el sistema visual, ha conducido a teorías

de procesamiento visual a nivel de la retina, del núcleo geniculado lateral (LGN) y del córtex

visual de gato, basadas en la presencia de filtros espacio-temporales destinados a eliminar la

redundancia presente en este tipo de información sensorial. Este tipo de procesamiento predice

correspondencias entre las características de los campos receptivos (tamaño, definición, etc.) y

las características del estímulo y condiciones en que se produce (frecuencias temporales,

iluminación, etc.), que han sido comprobadas experimentalmente. Por ejemplo en la retina y el

LGN el filtrado de las bajas frecuencias espaciales en alta iluminación permite eliminar la

información redundante presente por la superposición de los bordes de los campos receptivos

adyacentes, o en condiciones de baja iluminación permite recuperar el máximo de información a

partir de la redundancia que existe en los bordes solapados de los campos receptivos vecinos

[Dayan and Abbott, 2001]. En esta línea se han predicho también correspondencias a nivel del

procesamiento de las características temporales de la información visual en relación a las

características espaciales. Así según los modelos y coincidiendo con lo observado


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experimentalmente, los campos receptivos corticales selectivos a las bajas frecuencias espaciales

dejan pasar una banda de altas frecuencias temporales (alta velocidad del estímulo) mientras que

los campos receptivos selectivos a altas frecuencias espaciales son sólo sensibles a bajas

frecuencias temporales (baja velocidad del estímulo); este tipo de relaciones se da también entre

la selectividad a frecuencias espaciales y la dominancia ocular o la selectividad a los colores [Li,

1996].

Los resultados experimentales reportados en estos trabajos refuerzan la hipótesis de una

codificación destinada a optimizar la información transmitida a lo largo del sistema visual [Dan,

et al., 1996] lo que ha llevado a extender este enfoque a otros tipos de procesamiento sensorial

[Eeckman, 1992; Rieke, et al., 1995; Wessel, et al., 1996] o incluso a generalizarlo a las

estaciones iniciales de codificación de la información periférica [van Hateren, 1992; 1993]. La

deseada optimización de la información se evalúa cuantificando la relación entre los estímulos y

las correspondientes respuestas neuronales a través de la entropía y en definitiva de la

información mutua, que permite valorar la eficacia y bondad de la codificación. La ya comentada

importancia de la información mutua ha llevado al desarrollo de diversos métodos dirigidos a su

cuantificación [Borst and Theunissen, 1999], de los cuales los principales son el denominado

método directo y la determinación de las cotas superiores e inferiores de esta medida.

El primero de los métodos consiste en calcular directamente la información mutua a partir de

la entropía de la respuesta ( )H R y la entropía del ruido ( | )H R E , estimándose así la precisión

con la que la neurona codifica el estímulo. Este es el procedimiento más general ya que no asume

ningún conocimiento a priori acerca de la estructura del estímulo o del tipo de procesamiento

que lleva a cabo la neurona; sin embargo su principal defecto es el gran número de estímulos y

respuestas necesario para determinar correctamente el valor de la información mutua. Los otros

dos métodos se basan en diversas asunciones acerca del tipo de procesamiento llevado a cabo por

el sistema en estudio y por tanto permiten además cuantificar la bondad de dicha hipótesis,

aunque su principal limitación es evidentemente el hecho de que sólo proporcionan los límites

para acotar el verdadero valor de la información buscada. En cualquier caso el estudio de la

información mutua por medio de los métodos comentados ha permitido verificar la alta

eficiencia del código neuronal implementado en diversas áreas sensoriales y en distintas especies

animales, como en los electroreceptores tipo P de un cierto tipo de pez eléctrico (Eigenmannia)

[Wessel, Koch and Gabbiani, 1996], en los cercos del grillo [Eeckman, 1992]o en el sistema

auditivo de la rana toro, en el que la respuesta motivada por la llamada específica de esta especie

alcanza una efectividad en la codificación del 90% [Rieke, Bodnar and Bialek, 1995]. En


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conclusión, los diversos resultados experimentales parecen apoyar la hipótesis de que en los

estadios iniciales del procesamiento de la información sensorial el procesamiento neuronal está

diseñado para optimizar la codificación maximizando la información mutua y en ciertos casos la

entropía de la respuesta. Debe observarse sin embargo que la maximización de la información

mutua entre estímulo y respuesta en grupos o circuitos neuronales conduce a la minimización de

la redundancia, definida como la diferencia entre la suma de las informaciones mutuas de cada

elemento del sistema y la información mutua del propio sistema [Rao, et al., 2002], lo cual

constituye un enfoque alternativo para abordar la cuantificación del procesamiento de la

información neuronal [Attneave, 1954; Li and Atick, 1994].

El estudio del problema de la codificación y procesamiento neuronal por medio de la teoría

de la información conlleva ventajas significativas en lo tocante a la profundidad de las

conclusiones obtenidas, sin embargo la aplicación práctica de los métodos de maximización de la

información exige abordajes concretos en base al tipo de codificación que, según el investigador,

emplea el sistema neuronal analizado. Experimentalmente las repuestas de las neuronas se

registran o bien en forma de variaciones explosivas del potencial de membrana denominadas

espigas o bien por medio de cambios graduales de dicho potencial de menor magnitud que las

espigas; son las propagaciones activa y pasiva respectivamente. Actualmente las investigaciones

se centran mayoritariamente en el primer tipo de respuesta por ser esta la forma en que se

comunican entre sí las neuronas de diferentes áreas del sistema nervioso, denominadas neuronas

de proyección. Se asume por tanto que son estas respuestas las que portan la información más

relevante en comparación a la respuesta graduada, característica propia de una gran parte de la

población de interneuronas o neuronas locales, especialmente de las presentes en el sistema

nervioso central (SNC). Estas neuronas tienen un carácter inhibitorio y se comunican

exclusivamente con otras neuronas de su entorno por medio de diversos tipos de sinapsis (ver

más abajo) [Kandel, et al., 2000].

Asumiendo pues que la respuesta del sistema se registra como una serie de espigas de voltaje,

hoy en día se considera que existen dos formas básicas en que la información queda codificada

dentro del tren de espigas, la tasa temporal de disparos o firing rate, y el intervalo interespiga o

ISI. El procesamiento por tasa de disparos codificaría el estímulo según el número de espigas o

disparos que quedan dentro de una cierta ventana temporal, sin atender a la forma en que dichas

espigas se distribuyen dentro de la ventana. Por el contrario el procesamiento por ISI supone que

la información del estímulo codificada se encuentra en la estructura temporal del tren de

disparos, es decir en los intervalos temporales que separan unas espigas de otras. En una primera


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aproximación se puede asumir que el firing rate codifica la intensidad del estímulo y los

intervalos interespiga codificarían la estructura temporal de dicho estímulo [Kandel, Schwartz

and Jessell, 2000; Koch, 1999], aunque esto no es ni mucho menos tan sencillo [Borst and

Theunissen, 1999]. Se ha comprobado en peces que exploran su entorno por medio de

fluctuaciones de campos electromagnéticos, que sus electroreceptores emplearían los dos tipos

de estrategias de codificación descritas aquí para los trenes de espigas dependiendo del tipo de

estímulo presentado, así los estímulos de baja frecuencia serían codificados por medio de la tasa

de disparos (rate code) y los de alta frecuencia mediante el intervalo interespiga [Chacron, et al.,

2001].

La aplicación de la teoría de la información al procesamiento neuronal se ha llevado a cabo

tanto sobre la codificación basada en la tasa de disparos como sobre la basada en el ISI. Parece

obvio que el análisis del firing rate resulta más sencillo puesto que no se contempla la estructura

detallada del tren de espigas, tan sólo el número de disparos contenido en cierto rango temporal.

Sin embargo este tipo de codificación subestima la información portada por las respuestas, ya

que dentro de dos trenes de espigas que tengan la misma tasa de disparo el ISI puede variar

ampliamente, es decir ambos trenes pueden tener una estructura temporal muy distinta. En

consecuencia la asunción de la codificación en los ISI proporciona una cuantificación más

precisa de la información contenida en el código neuronal, aunque entraña ciertos problemas

prácticos a la hora de determinarla [Rieke, 1999]. No obstante este enfoque ha permitido

demostrar relaciones entre la especificidad de cierto estímulo y la cantidad de información

portada por él. Así en el trabajo ya comentado de Rieke et al. [Rieke, Bodnar and Bialek, 1995]

se comparan las respuestas evocadas en la rana toro por dos tipos de estímulos, un ruido de

banda ancha y un ruido filtrado para obtener un espectro muy similar al de la llamada de esa

especie. Los resultados muestran que a pesar de que el ruido no filtrado tiene una mayor

entropía, el estímulo similar a la llamada porta hasta tres veces más información por segundo que

el primero, lo que apoya el uso de estímulos naturales o motivados por el comportamiento de la

especie en estudio para realizar un análisis óptimo de las respuestas a la estimulación neuronal

[Yao, et al., 2007].

La ortodoxia en el estudio del procesamiento en el sistema nervioso empleando la teoría de la

información se centra en la información mutua y la entropía como conceptos centrales, sin

embargo existen líneas de investigación paralelas que abordan el problema desde diferentes

perspectivas. Una de ellas, desarrollada recientemente, es la relación entre la información mutua

y la denominada Información de Fisher, que cuantifica la información que una variable aleatoria


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que representa un observable contiene acerca de un parámetro desconocido. Este concepto

constituye una noción fundamental dentro de la Teoría de la Estimación, y dicha relación ha

permitido revelar el paralelismo entre el proceso de codificación neuronal y el proceso de

estimación de un cierto parámetro a partir de unos datos observables [Brunel and Nadal, 1998;

Liepelt, et al., 2005; Rao, Olshausen and Lewicki, 2002].

Las aplicaciones de la teoría de la información descritas tienen en común el análisis de

sistemas dinámicos cuyos estados cambian con el tiempo. En concreto en el ámbito de la

Neurociencia los sistemas estudiados son los estímulos inducidos sobre las neuronas y las

respuestas evocadas, y por ejemplo en el caso de la codificación por ISI estos últimos sistemas

variarán entre dos estados, ‘espiga’ y ‘no espiga’. Es precisamente esta condición de evolución

dinámica lo que obliga a definir entre los distintos tipos de procesamiento que las neuronas

llevan a cabo, ya que son estos los que determinan la funcionalidad de dichas neuronas dentro

del sistema. Así, aunque hemos hablado genéricamente de procesamiento hemos distinguido

explícitamente entre los distintos tipos de codificación (firing rates, ISI), mecanismos de

procesamiento (filtrado espacial y temporal), amén de otras funciones neuronales básicas como

la detección de coincidencias [Agmon-Snir, et al., 1998; Softky and Koch, 1993] o la integración

de diferentes aferencias sinápticas [Koch and Segev, 2000].

Las medidas de entropía propuestas en este trabajo tienen como objetivo el proporcionar una

forma novedosa de caracterizar la estructura de los árboles dendríticos estudiándolos desde su

capacidad para procesar información. Es evidente, no obstante, que, a diferencia del ámbito

tradicional de aplicación de los conceptos de la teoría de la información, en este caso se trata con

sistemas estáticos, por lo que el abordaje del problema exige un enfoque diferente. La principal

consecuencia conceptual de esto es qué se entenderá por procesamiento y si se establecerá una

distinción entre los distintos tipos al igual que en el caso dinámico. Según se verá cuando se

definan las medidas de entropía (ver Resultados) el concepto de procesamiento de información

empleado aquí es estrictamente matemático, refiriéndose simplemente al procedimiento por el

cual una señal de entrada es transformada en una señal diferente tras su paso por el sistema

considerado, en este caso el árbol dendrítico. Esta transformación abarca todo el espectro de

procesamientos posibles, desde la simple propagación pasiva de la señal introducida a través de

los contactos sinápticos hasta la propia conversión de una entrada (input) continua en una

secuencia de disparos o espigas, pasando por los procesos de diversa complejidad detallados

previamente (detección de coincidencias, filtrado, integración etc.). Todos estos procedimientos

están caracterizados por su funcionalidad, es decir los cambios que se producen sobre la señal


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están dirigidos a un tipo de codificación específica, sin embargo el enfoque de este trabajo es

mucho más general y pretende analizar y cuantificar el potencial de tratamiento de la

información sin importar para qué esté destinada dicha información. Es por ello que a lo largo de

este trabajo hemos empleado y emplearemos indistintamente los conceptos de generación,

procesamiento, codificación o tratamiento para referirnos a las transformaciones que los árboles

dendríticos son capaces de inducir sobre las señales de entrada en base a las características

anatómicas, estructurales y de sinaptación asumidas.

2. INTRODUCCIÓN MATEMÁTICA A LA TEORÍA DE LA

INFORMACIÓN

En esta sección presentaremos desde un punto de vista matemático las nociones de la teoría de la

información que han sido empleadas en el desarrollo del presente trabajo. Para exponer estos

conceptos de forma rigurosa consideremos el conjunto de una serie de n eventos diferentes

cuyas probabilidades de ocurrencia son 1 2, , , np p p… , de valores son conocidos. Puesto que

este sistema es puramente aleatorio el acontecimiento o no de un determinado suceso es algo a

priori desconocido, sin embargo sí podemos conocer la incertidumbre en la sucesión de los

eventos, la cual debe depender de los valores de las probabilidades 1

ni i

p=

que definen nuestro

sistema. Supongamos para fijar ideas que tenemos sólo dos eventos posibles A y B con

probabilidades Ap y Bp . La normalización exige que 1B Ap p= − , por lo que en definitiva la

incertidumbre del sistema dependerá sólo de la probabilidad Ap del evento A. En el caso en que

1Ap = sabremos con seguridad que el suceso A será el único que tendrá lugar, con lo que la

incertidumbre será nula, lo mismo que si es el segundo evento el único que puede ocurrir. En el

otro extremo estaría la situación en que ambas probabilidades son iguales (e iguales por tanto a

1/2), en cuyo caso la incertidumbre es intuitivamente máxima ya que ningún evento tiene

preponderancia sobre el otro, con lo cual no podremos estimar con ninguna certeza cuál de ellos

sucederá. Esta es la base conceptual de la incertidumbre, que matemáticamente cristaliza en las

nociones de información y de entropía [Shannon and Weaver, 1949]. Para verlo supóngase ahora

que deseamos utilizar el sistema construido antes para transmitir mensajes4 y admitamos que el

4 Por mensaje nos referimos simplemente a una sucesión de símbolos, sin embargo obsérvese que no le se presupone

ningún contenido semántico; este puede tener o no significado pero eso no afectará a su estructura matemática.


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único suceso que tendrá lugar será la ocurrencia del evento A. En ese caso será imposible

componer ningún mensaje a partir de las respuestas del sistema porque dicha respuesta será

siempre la misma, impidiéndonos construir una secuencia de símbolos diferentes (mensaje);

obviamente esto que se repetirá si es el evento B el único que puede darse. Si de nuevo nos

vamos al otro extremo en que ambos sucesos pueden darse con la misma probabilidad,

generando por ejemplo el mensaje (AABABABB…), se concluye intuitivamente que la capacidad

que tendrá el sistema para generar mensajes será máxima. Esto se debe a que al no existir

preponderancia por uno u otro evento no existirá sesgo en la aparición de los diversos símbolos

empleados y por tanto habrá menos limitaciones en cuanto al “número” de mensajes que podrán

crearse; se dirá entonces que en el primer caso ( 1Ap = , 0Bp = ) la información del sistema es

nula mientras que en el último caso la información del sistema compuesto por los dos eventos A

y B será máxima ( 1/ 2A Bp p= = ). Matemáticamente la incertidumbre de cada uno de los eventos

de nuestro sistema en base a su probabilidad se mide por medio de la autoinformación, definida

como el logaritmo negativo de dicha probabilidad,

ln( ) 1, , .i iI p i n= − = … (3)

Si queremos caracterizar a todo el sistema a través de esta medida lo más lógico es calcular el

valor esperado de la autoinformación de todos los eventos que lo componen, lo que dará lugar a

la entropía del sistema, que medirá su información o incertidumbre y que denotaremos por H :

1ln( ).

n

i ii

H p p=

= −∑ (4)

Si retomamos el ejemplo inicial podemos comprobar cuantitativamente lo que se señaló antes

sólo de forma intuitiva. Sea 2n = y las probabilidades Ap y Bp (con la condición de

normalización de modo que 1A Bp p= − ), la entropía vendrá dada entonces por

ln( ) (1 ) ln(1 )A A A AH p p p p= − − − − , cuya representación gráfica frente a Ap , dada en la Figura

2, nos permite apreciar cómo se anula en los extremos de su dominio (intervalo de la

probabilidad del evento A ó [ ]0,1Ap ∈ ), mientras que, como esperábamos, alcanza su máximo

para 1/ 2.A Bp p= = La razón más inmediata por la que se ha caracterizado la entropía por medio

del logaritmo es porque cuando la probabilidad es igual a la unidad el logaritmo se anula, sin

embargo hay razones más sólidas que no sólo aconsejan sino que exigen que la incertidumbre se

describa mediante el logaritmo como son la propiedad de maximización que exige que la


16

entropía alcance su máximo cuando las probabilidades implicadas son iguales o la propiedad

aditiva, que exige que una correcta medida de la entropía de dos eventos conjuntos sea menor o

igual que las entropías de cada uno por separado5.

Figura 2. Entropía de un sistema compuesto por dos eventos A y B que aparecen con probabilidades Ap y

(1 )ABp p−= . La máxima incertidumbre se alcanza para 1/ 2A Bp p= = y la incertidumbre es nula para 0Ap =

o 1Ap = .

En la Teoría de la Información existen cuatro tipos fundamentales de sistemas estudiados, 1)

la fuente de información, 2) el transmisor, 3) el canal de transmisión de la información y 4) el

receptor. Para el enfoque entrópico que se empleará de cara el estudio y caracterización de los

árboles dendríticos nos centraremos sólo en el primer tipo, que a continuación se definirá y

caracterizará de forma somera, aunque una descripción más detallada puede verse en [Shannon

and Weaver, 1949].

Una fuente de información discreta se define como un proceso estocástico que produce una

secuencia discreta de símbolos (mensaje) elegidos de un conjunto finito (alfabeto) según una

5 De hecho la definición dada aquí de la entropía no es la más general ya que deberíamos dejar sin fijar las unidades

de los logaritmos empleados. Esto se ha hecho de forma implícita por simplicidad; cuando las unidades se necesiten

se introducirán explícitamente.


17

probabilidad característica de cada uno. Si suponemos que el alfabeto considerado está formado

por n símbolos diremos que el sistema está en el estado i ( 1, ,i n∈ … ) cuando genera el

símbolo denotado también por i , de manera que ip designará la probabilidad de que el sistema

esté en dicho estado. El otro factor que caracteriza la estructura estadística de la fuente de

información es la probabilidad de transición entre dos estados i y j denotada por ( )ip j o

probabilidad de que al símbolo i le siga el símbolo j . Para desarrollar mejor este concepto

consideremos como ejemplo de fuente discreta a nuestro propio idioma. Cualquier mensaje que

formemos lo haremos a partir de símbolos tomados del alfabeto latino y secuenciados a partir de

las reglas gramaticales del castellano, que delimitarán las probabilidades 1

ni i

p=

, aunque en la

práctica vendrán dadas por la frecuencia con que cada letra o símbolo aparece en un mensaje en

español. Sin referirnos a valores concretos de las 1

ni i

p=

es obvio que la probabilidad de que

aparezca una a será mayor que la de que lo haga una c y la de ambas serán mayores que la

probabilidad de que en el mensaje surja una x. De igual modo si consideramos las probabilidades

de transición entre la a y los otros símbolos c y x, tendremos que ( ) ( )a ap c p x> de acuerdo con

nuestra experiencia, que nos indica que en textos escritos en castellano el par ac es más frecuente

que el par ax. Obsérvese que puede igualmente considerarse que los estados en los que puede

estar el sistema (símbolos) son no ya las letras sino las propias palabras (en cuyo caso el alfabeto

estaría definido por el contenido del diccionario español), sin que cambie la estructura

matemática que describe al sistema. Por último del mismo modo en que las probabilidades de

transición ( )ip j condicionan el estado en que puede estar un sistema (símbolo j a generar) en

base al estado previo en el que estaba (símbolo i ), los estados futuros que el sistema puede

alcanzar pueden depender de más de uno de los estados anteriores (memoria), definiéndose así

probabilidades del tipo , ( )i kp j que subordinan la aparición del símbolo j a los símbolos i y k

previos. Por ejemplo en castellano una vez ha aparecido la secuencia de letras qu será más

probable que el siguiente símbolo sea una e que una i, mientras que ( ) 0qup u = ya que en español

no existe ninguna palabra que contenga la secuencia quu. Dichas probabilidades condicionadas

de diversos órdenes constituirían las denominadas series de aproximación al castellano ya que a

medida que cada letra se vaya escogiendo en función a las letras anteriores de acuerdo a las

probabilidades de nuestro idioma más familiares nos irán resultando los mensajes generados

aleatoriamente por un sistema definido a partir esas probabilidades.


18

Consideremos entonces una fuente discreta de información con un número n finito de

estados. Para cada posible estado i habrá una serie de probabilidades 1( ) n

i jp j

= de que el

sistema transite al estado j , es decir de que el siguiente símbolo creado sea el j , lo que implica

que para cada uno de esos estados iniciales la fuente tendrá una entropía iH dada por

1

( ) ln( ( ))n

i i ij

H p j p j=

= −∑ (5)

de manera que promediando entre todos los estados i posibles podremos definir la entropía H

de la fuente, cuya expresión será

1 1 1

( ) ln( ( )),n n n

i i i i ii i j

H p H p p j p j= = =

= = −∑ ∑ ∑ (6)

donde ip es la probabilidad de que el sistema esté en el estado i . Puesto que la entropía iH da la

medida de la incertidumbre para cada estado o símbolo i , su promedio H da la entropía de la

fuente por símbolo. Si nuestra fuente de información trabaja en el orden más bajo de

aproximación los estados del sistema no estarán correlacionados entre sí, de forma que la

generación de un cierto símbolo no condicionará la aparición de ningún otro; los símbolos

pueden considerarse pues independientes, con lo que empleando la notación habitual para las

probabilidades condicionadas:

( ) ( ) ( )( ) ( | ) ( )( ) ( )i

p j i p j p ip j p j i p jp i p i∩

≡ = = = .

Esta expresión da la probabilidad de aparición del símbolo j después de que aparezca el símbolo

i. Sustituyendo entonces en la expresión (6) de la entropía H de la fuente concluimos que

1

1

1 1 1 1 1

( ) ln( ( )) ( ) ln( ( )) ( ) ln( ( ))

n

ii

pn n n n n

i ii j j i j

H p p j p j p j p j p p j p j=

=

= = = = =

∑= − = − = −∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ,

que se puede escribir como

1 1( ) ln( ( )) ln( ).

n n

i ii i

H p i p i p p= =

= − = −∑ ∑ (7)


19

Esta será la expresión central en este trabajo puesto que los símbolos que aquí se manejarán

serán considerados independientes entre sí.

Supongamos ahora dos sistemas aS y bS que pueden alcanzar respectivamente los estados

1

ni i

a=

y 1

mk k

b=

con probabilidades respectivas 1

ni i

p=

y 1

mk k

q=

. Si estos sistemas son

independientes, es decir el estado en el que cada sistema esté no depende del estado del otro, se

tiene que la probabilidad de que aS esté en ia y bS esté en kb viene dada por el producto i kp q ,

en cuyo caso la entropía conjunta de aS y bS se escribirá como

, , ,

1, 1 1, 1 1, 1 1 1

1

( , ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( )n m n m n m n m

a b i k i k i k i i k k i i ki k i k i k i k

H S S p q p q p q p p q q p p q= = = = = = = =

= − = − − = − −∑ ∑ ∑ ∑ ∑

1 1 1 1

1

ln( ) ln( ) ln( ) ( ) ( ).n m n m

i k k i i k k a bi k i k

p q q p p q q H S H S= = = =

− = − − = +∑ ∑ ∑ ∑ (8)

Esto demuestra que la entropía conjunta de dos sistemas independientes es igual a la suma de las

entropías correspondientes a cada sistema.

3. LOS ÁRBOLES DENDRÍTICOS

3.1. INTRODUCCIÓN MORFOLÓGICO-FUNCIONAL AL ÁRBOL DENDRÍTICO

Las neuronas son células especializadas en la generación, recepción, conducción, procesamiento

y transmisión a otras células (principalmente, pero no solo, otras neuronas) de señales eléctricas

y electroquímicas que, agrupadas en complejas estructuras circuitales, los sistemas nerviosos,

permiten a los organismos biológicos analizar su entorno y tomar decisiones críticas para su

supervivencia. Estas células están compartimentadas básicamente en tres estructuras morfológica

y funcionalmente diferenciadas, las dendritas, el cuerpo celular o soma y el axón. Las dendritas

se organizan en estructuras ramificadas denominadas ‘árboles dendríticos’ cuya misión es la de

recibir señales provenientes de otras neuronas, realizar sobre ellas un primer procesamiento y

conducir las señales resultantes hacia el soma. El soma está encargado fundamentalmente del

soporte vital de toda la célula, aunque de hecho interviene también en el tratamiento de la señal,

puesto que en él convergen los troncos de origen de los árboles dendríticos, pudiendo además


20

recibir él mismo contactos sinápticos [Jones and Peters, 1990; Kandel, Schwartz and Jessell,

2000]. Por último el axón surge del soma recogiendo las señales que este ha integrado, para

llevarlas hacia células diana, como serían otras neuronas, fibras musculares, paredes de vasos

sanguíneos o células glandulares [Kandel, Schwartz and Jessell, 2000].

Una forma de clasificación funcional de las neuronas es su división en tres tipos según si su

papel principal es 1) el de conducir la información sensorial desde la periferia al SNC (neuronas

sensoriales), 2) el de enviar órdenes a los músculos o glándulas (neuronas efectoras), o 3) si,

como ocurre a la gran mayoría de las neuronas en los vertebrados, son responsables del

procesamiento complejo de la información entre ambos polos de entrada y salida de señales del

SNC [Kandel, Schwartz and Jessell, 2000]. Dentro de este último tipo podemos a su vez

distinguir dos subtipos fundamentales en base principalmente al tipo de disposición de sus

axones y a la localización de las neuronas sobre las que proyectan. Si estas últimas se encuentran

en un entorno cercano a la neurona, esta se denomina neurona de axón corto, interneurona local

o simplemente interneurona, y la mayoría de ellas se caracterizan por su carácter inhibitorio, es

decir por inhibir o reducir la variación en el voltaje de membrana de las neuronas sobre las que

sinapta. Debido a la cercanía de las células diana los axones de la mayoría de las interneuronas

del SNC conducen las señales por medio de propagación pasiva, sin embargo existen

interneuronas que se comunican por medio de disparos o espigas, presentes mayoritariamente en

las estaciones iniciales de integración de las entradas sensoriales en diversas especies

[Kawaguchi, 1993; Nagayama, et al., 1993; Newland, 1999; Siegler and Burrows, 1983]. El otro

tipo de neurona es aquel que contacta con otras células situadas en áreas más lejanas y se

denominan neuronas de proyección; para conducir las señales de manera eficaz estas neuronas

emplean propagación axónica activa por medio de trenes de espigas, que además de incrementar

considerablemente la velocidad con que se transmite la respuesta, impiden que la intensidad de

ésta decaiga con la distancia [Kandel, Schwartz and Jessell, 2000].

En este trabajo nos hemos centrado en los árboles dendríticos por ser las estructuras

principales en el procesamiento de la información a nivel neuronal. La disposición de las

dendritas presenta múltiples patrones, algunos de los cuales son muy reveladores de las

conexiones y funciones que soportan, como es el caso de las neuronas piramidales de la corteza

cerebral y el hipocampo, o las células de Purkinje del cerebelo [Ito, 1984; Jones and Peters,

1990; Kandel, Schwartz and Jessell, 2000]. La situación es algo menos clara para las

interneuronas, que, mostrando una gran variedad de tipos de arborización dendrítica (bipolares,

bipenachadas, en arbusto, neurogliaformes...), se les ha atribuido una difícil correlación de tales


21

tipos dendríticos con las funciones que juegan [Jones and Peters, 1990], mientras que tales

correlaciones estructura-función serían más evidentes cuando se tiene en cuentan la disposición

de sus axones (células en candelabro, en cesto, etc.) [Jones and Peters, 1990; Kandel, Schwartz

and Jessell, 2000].

Figura 3. Izquierda: neurona piramidal de corteza parietal de rata teñida mediante la técnica de Golgi. Centro: célula

de Purkinje. Derecha: interneurona del hipocampo. Ambas han sido marcadas con EGFP-f (Enhanced Green

Fluorescent Protein).

Desde un punto de vista estrictamente descriptivo los árboles dendríticos comparten muchas

similitudes estructurales con el soma del que nacen, estando sustentados por un citoesqueleto de

microtúbulos y filamentos que llevan a cabo una misión tanto de conformación estructural como

de transporte intracelular y otras funciones metabólicas [Hillman, 1979; Kandel, Schwartz and

Jessell, 2000], y limitados por una membrana celular que les confiere sus propiedades para el

procesamiento de las señales electroquímicas y, por tanto, de la información [Koch, 1999]. La

membrana dendrítica separa dos medios conteniendo cada uno distintas concentraciones de

diversas especies iónicas; esta diferencia en las concentraciones genera una diferencia de

potencial eléctrico que puede variar con el intercambio iónico a través de estructuras

transmembrana específicas denominadas canales iónicos. Es mediante esta variación de

potencial como el árbol dendrítico transmite y genera información a partir de señales recibidas de

otras neuronas, que son introducidas en las dendritas por medio de sinapsis. Las sinapsis son de

dos tipos, eléctricas y químicas. Las primeras se forman al entrar en contacto directo las


22

membranas pre y postsinápticas, y en ellas la información se intercambia por el trasvase iónico

directo. Por otro lado en las sinapsis químicas, las más extendidas, las membranas pre y

postsinápticas están separadas por un espacio extracelular, el espacio sináptico, y la transmisión

de información se realiza mediante la difusión de neurotransmisores a través de dicho espacio

sináptico que al entrar en contacto con la membrana postsináptica activan canales específicos.

Estos canales alteran el potencial de membrana formando los llamados potenciales

postsinápticos, que pueden ser excitatorios (EPSP) o inhibitorios (IPSP), en los cuales quedan

codificadas las señales presinápticas [Kandel, Schwartz and Jessell, 2000]. Desde el punto de

vista del procesamiento de la información las diferencias entre estos dos tipos de sinapsis son

críticas, fundamentalmente por sus consecuencias sobre la dinámica de grandes circuitos

neuronales.

Las sinapsis que pueden formarse sobre los árboles dendríticos provienen generalmente de

terminales axónicos (sinapsis axo-dendríticas), pudiendo ser tanto excitatorias como inhibitorias,

sin embargo también es posible la formación de contactos sinápticos con otras dendritas vecinas

por medio de sinapsis químicas (sinapsis dendro-dendríticas)[Steriade, et al., 1997]. Las sinapsis

axo-dendríticas pueden establecerse sobre el propio tronco o segmento dendrítico, o sobre

estructuras características denominadas espinas [Stuart, et al., 1999] que tienen una función

específica sobre el procesamiento de la señal recibida [Koch, 1999]. La distribución de espinas a

lo largo del árbol dendrítico es una característica clave en su caracterización morfológica y varía

ampliamente entre los diversos tipos neuronales descritos en las diversas áreas del SNC [Jones,

1975; Jones and Peters, 1990; Kandel, Schwartz and Jessell, 2000; Steriade, Jones and

McCormick, 1997].

Una última propiedad a destacar de las dendritas es el tipo de conducción que siguen las

señales propagadas en su seno. En su mayoría los árboles dendríticos conducen de forma pasiva

las señales procedentes de la actividad sináptica, los EPSP o IPSP. En estas condiciones el

potencial postsináptico se desplaza a medida que las zonas dendríticas vecinas se van viendo

afectadas por el campo eléctrico, de manera que se trata de un proceso disipativo en el que la

señal va degradándose a medida que avanza. Esta clase de conducción es biológicamente

admisible cuando las distancias a recorrer por los potenciales postsinápticos son pequeñas, como

ocurre en general en las dendritas, sin embargo cuando estas distancias son demasiado grandes se

emplea la estrategia de la propagación activa, en la que la señal se transforma en variaciones

bruscas del potencial de membrana alimentadas de forma activa por los mecanismos de

membrana, evitando así que se degrade en su desplazamiento. A pesar de que este tipo de


23

conducción es propia de los axones también se han observado árboles dendríticos que hacen uso

de espigas lentas de calcio para propagar la información, y a veces incluso de espigas de sodio

montadas sobre las de calcio [Bush and Sejnowski, 1991; Llinas, et al., 1968; Reyes, 2001].

Según se verá en la exposición sobre las medidas entrópicas propuestas para la caracterización de

los árboles dendríticos (sección Resultados), el tipo de propagación dendrítica que se asuma en

cada caso es crítico para adecuar correctamente la capacidad como fuentes de información de los

árboles estudiados a su realidad biológica. En el presente trabajo se asumirá que la propagación

dendrítica de las señales postsinápticas es estrictamente pasiva.

3.2. DESCRIPCIÓN TOPOLÓGICA DE LOS ÁRBOLES DENDRÍTICOS

Una parte substancial de esta Tesis está dedicada al análisis de la capacidad de los árboles

dendríticos para comportarse como fuentes generadoras de información en base a sus

características topológicas. En lo sucesivo entenderemos por topología dendrítica, al compendio

de las características del árbol que atañen a su forma y no a sus medidas (longitud, diámetro,

tortuosidad, orientación, etc.). Las propiedades que aparecen bajo este enfoque son el número de

terminales, el número de nodos de bifurcación6, el orden de sus segmentos, su asimetría, su

complejidad, etc. La ventaja del abordaje topológico es que prescinde de aspectos que

inicialmente podrían ser espurios, puesto que dos árboles dendríticos pueden ser muy distintos de

visu y contener una estructura topológica equivalente, lo que les otorgaría a este nivel idénticas

propiedades, pudiendo suceder que sus diferentes propiedades morfométricas aportasen sólo

matices menores al procesamiento de la información.

La Figura 4 muestra un ejemplo de representación topológica de dos árboles dendríticos con

distinta morfometría (Figura 4.a y 4.b) pero con la misma topología. En la Figura 4.c se detalla la

estructura topológica de ambos árboles, acompañando cada segmento terminal con su distancia

hasta el segmento raíz; está distancia se mide en número de segmentos intermedios y se

denomina orden centrífugo o simplemente orden. Este parámetro es, junto con el número de

segmentos terminales o grado, uno de los descriptores centrales de la topología dendrítica.

6 Como es habitual en la literatura, y reflejando la inmensa mayoría de las situaciones reales, únicamente

consideraremos que las divisiones de un segmento dendrítico producen dos ramas ‘hijas’.


24

Figura 4. Representación topológica de los árboles dendríticos. Los árboles a y b a pesar de ser morfométricamente

diferentes tienen la misma estructura topológica, mostrada en c. En la representación topológica cada rama

dendrítica se presenta como un segmento de igual tamaño, con independencia de su longitud y grosor originales,

bifurcándose según el mismo ángulo. Los diferentes subárboles topológicos se disponen según la ordenación

canónica: en cada nodo de bifurcación se sitúa a la derecha el subárbol con mayor número de segmentos terminales

de mayor orden. Los números junto a cada segmento terminal indican su orden, es decir su distancia hasta el

segmento raíz medida en número de segmentos intermedios.

En la representación topológica los segmentos se trasforman en líneas de igual tamaño

bifurcadas en el mismo ángulo, dando lugar a una estructura homogénea ordenada de modo que

en cada nodo de bifurcación se deja a la derecha el subárbol con mayor número de terminales de

mayor orden; esta disposición se denomina ordenación canónica.

La descripción topológica de los árboles dendríticos hace pensar en la posibilidad de una

descripción matemática relativamente sencilla. Esto se hará de dos formas complementarias, la

primera a través de las particiones [Harding, 1971; Van Pelt and Verwer, 1986] y la segunda por

medio de una notación novedosa denominada vectores-orden [Villacorta, et al., 2007]. Siguiendo

la literatura, denominaremos grado del árbol dendrítico al número de segmentos terminales que

posee dicho árbol y dado un segmento (tanto intermedio como terminal) nos referiremos al orden

del segmento cuando hablemos de la distancia topológica entre él y el segmento raíz o inicial

( número de segmentos intermedios 1+ ). Asumiendo la bifurcación como el único proceso de

ramificación presente en nuestros árboles dendríticos (y descartando entonces la existencia de

trifurcaciones [Verwer and van Pelt, 1986]), un árbol de grado n tendrá pues 1n − segmentos


25

intermedios y 1n − nodos de bifurcación. Por ejemplo el árbol de la Figura 4.c es de orden 9, con

8 nodos, dos segmentos terminales de orden 2, dos de orden 3, tres de orden 4 y dos de orden 5.

En cada nodo de bifurcación consideramos el subárbol dendrítico que surge de él, cuyas

ramas izquierda y derecha tienen r y s extremos terminales respectivamente. Para dicho árbol

definimos entonces el par ( , )r s que denominaremos partición, siendo r s+ el grado de la

partición. Si continuamos este esquema con cada subárbol que compone el árbol inicial se llega a

una secuencia de particiones que definen completamente la estructura topológica del árbol

dendrítico [Harding, 1971]. Retomando el ejemplo de la Figura 4.c, al nodo del segmento raíz le

corresponde una partición (3,6) , mientras el árbol de la izquierda, de grado 3 (en trazo grueso),

se representará por la secuencia de particiones (1,2)(1,1) correspondientes cada una a cada nodo

en orden ascendente. Por su parte el árbol de la derecha, de grado 6 (trazo fino), estará descrito

por la secuencia (1,5)(2,3)(1,1)(1,2)(1,1) , de forma que la secuencia de particiones final para el

árbol estudiado será (3,6)(1,2)(1,1)(1,5)(2,3)(1,1)(1,2)(1,1) . Esta descripción es la forma empleada

en la literatura para la caracterización topológica de los árboles dendríticos, sin embargo aquí

adoptaremos una estrategia más sencilla que permitirá una notación más cómoda y útil para el

siguiente análisis. El enfoque se basa en fijarnos sólo en los órdenes de los extremos terminales y

en disponerlos ordenados de izquierda a derecha siguiendo la ordenación canónica;

denominaremos a este tipo de secuencia vector-orden. Por ejemplo, el árbol de la Figura 4.c

vendrá descrito por el vector-orden [2,3,3,2,4,4,4,5,5]v = . Este vector-orden define

biunívocamente la topología de los correspondientes árboles.

En conclusión, hemos mostrado cómo tanto morfológicamente como funcionalmente los árboles

dendríticos están diseñados para el procesamiento de información (en la acepción general

discutida anteriormente). Esto induce a pensar que el lenguaje más adecuado para caracterizar a

estas estructuras neuronales es el propuesto por la teoría de la información, que describe de

forma abstracta (y entre otras cosas) las propiedades de un sistema para generar, transmitir y/o

codificar información. Hasta hoy este abordaje se había llevado a cabo con las señales generadas

por las neuronas, pero no con las neuronas en sí. Para dar este paso, este trabajo se ha

fundamentado en el concepto básico de entropía, definiendo diferentes tipos de medidas en base

a las características dendríticas consideradas necesarias para el procesamiento. Las virtudes de

estas medidas para caracterizar cuantitativamente a los árboles dendríticos como fuentes de

información han sido analizadas teórica y experimentalmente, revelándose su gran versatilidad y


26

capacidad descriptiva tanto a nivel conceptual como experimental. Estos resultados indican que

las medidas de entropía propuestas podrían constituir una herramienta idónea para conectar

eficazmente aspectos teóricos, funcionales y biológicos relevantes en Neurociencia.

Villacorta OBJETIVOS

27

OBJETIVOS

OBJETIVOS Villacorta

28

Villacorta OBJETIVOS

29

El presente trabajo tiene como fin el proponer y estudiar unas nuevas medidas basadas en la

entropía, que permitan caracterizar a los árboles dendríticos según su capacidad de

procesamiento de la información. Esto se lleva a cabo a través de una serie de objetivos bien

delimitados.

1. Descripción de los árboles dendríticos como fuentes de información por medio de los

conceptos propios de la teoría de la información. Tras finalizar el proceso de desarrollo

de la neurona, y para lo que será la mayor parte del ciclo vital del individuo, estos

componentes neuronales son básicamente estáticos, es decir no varían sensiblemente con

el tiempo, contrariamente a los sistemas sobre los que tradicionalmente se aplica la teoría

de la información.

2. Definición conceptual de las medidas de entropía destinadas a cuantificar la capacidad de

procesamiento de estas estructuras dendríticas. Se expone el proceso de generación de

este tipo de medidas, mostrándose su generalidad y versatilidad.

3. Desarrollo de las medidas entrópicas en diferentes niveles descriptivos concretos, según

las características de los árboles que en cada nivel se asume que influyen sobre el

procesamiento de la información. Se plantean básicamente dos niveles, el topológico

(Entropías de 1er y 2º Nivel) y el morfológico (Entropía de 3er Nivel).

4. Estudio teórico de las medidas de entropía a nivel topológico y de sus profundas

conexiones con la estructura topológica del árbol dendrítico. Esto demostrará lo natural

de las medidas propuestas para describir las estructuras dendríticas.

5. Aplicación de las Entropías de 1er, 2º y 3er Nivel a la caracterización funcional de árboles

dendríticos reales pertenecientes a dos poblaciones neuronales diferentes de la principal

vía táctil cefálica de la rata, la vía lemniscal trigeminal, situadas en el núcleo sensitivo

principal del trigémino (neuronas de proyección trigémino-talámicas) y en la corteza

somatosensorial (interneuronas inhibitorias que expresan calretinina). Estas poblaciones a

su vez son estudiadas en grupos de animales sometidos a distintas circunstancias

experimentales de estimulación sensorial.

OBJETIVOS Villacorta

30

6. El estudio de dichas poblaciones neuronales con las medidas entrópicas propuestas tiene

como objetivo el comprender cómo las diversas condiciones sensoriales externas influyen

sobre la capacidad de procesar información de los árboles dendríticos y sobre el flujo de

información propio de la vía lemniscal.

Villacorta MATERIALES Y MÉTODOS

31

MATERIALES Y MÉTODOS

MATERIALES Y MÉTODOS Villacorta

32


33

El trabajo que aquí se presenta tiene una naturaleza esencialmente teórica por lo que la

descripción de los materiales ha de ser necesariamente breve, limitándose a una descripción de

los procedimientos experimentales seguidos para obtener las descripciones de los árboles

dendríticos reales sobre los que se ha testado la validez y capacidades de las medidas de entropía

desarrolladas. No obstante, los métodos aquí empleados tiene una importancia capital por

permitir estudiar teóricamente las características de estas medidas en las condiciones deseadas

sin necesidad de recurrir a poblaciones neuronales experimentales. Por ello nos centraremos

especialmente en la exposición detallada de los modelos matemáticos que en la actualidad mejor

describen las características topológicas de los árboles dendríticos, y a los que nos referiremos

reiteradamente en las secciones sucesivas.

1. MÉTODOS TEÓRICOS

En la actualidad el desarrollo de nuevos métodos estereológicos y de reconstrucción y análisis de

la morfología neuronal más precisos y menos costosos ha permitido una matematización eficaz

de los procesos que a nivel celular controlan el desarrollo de las ramificaciones que conforman

los árboles dendríticos y axónicos, y cuyas características son determinantes en la funcionalidad

de las neuronas por ser en ellos donde se recoge y procesa la información. A raíz de esta

situación se han desarrollado diversos modelos matemáticos que describen, con mayor o menor

éxito, los esquemas de ramificación observados experimentalmente en diferentes poblaciones

neuronales del sistema nervioso [Carriquiry, et al., 1991; Dityatev, et al., 1995; Kliemann, 1987;

Uemura, et al., 1995; Van Pelt and Verwer, 1986; Van Pelt, et al., 1997]. La característica

común a todos ellos es que tienen un importante componente probabilístico; la ramificación de

segmentos concretos del árbol (dendrítico o axónico) está controlada por una probabilidad

determinada a su vez por ciertos parámetros que tienen reflejo en características biológicas de las

neuronas descritas, De esta forma son esas características las que, en última instancia, gobiernan

los rasgos topológicos y morfométricos de las dendritas y axones.

Por otro lado la diferencia esencial entre unos y otros modelos de crecimiento es la estructura

analítica de dicha probabilidad y de los parámetros en los que se basa, tanto en cuanto a su

dependencia como en lo que a sus correlatos biológicos se refiere. A pesar de que estas

diferencias son de gran importancia a la hora de decantarse por el modelo a usar, el aspecto

prioritario en la decisión es la fidelidad con que el modelo describe los fenómenos de

ramificación dendrítica y axónica observados en la realidad.


34

De los modelos de crecimiento dendrítico propuestos en la literatura, el más ventajoso en

cuanto a sencillez matemática y a los resultados que proporciona es el modelo BES desarrollado

por Van Pelt y cols. desde los años ochenta. Este modelo parte de la premisa según la cual la

ramificación es de tipo binario (bifurcación) y depende de dos características del árbol

dendrítico, el número de segmentos terminales, denominado grado, y la posición del segmento

sobre el que se puede producir la bifurcación con respecto a los segmentos de los que proviene,

llamado orden. [Dityatev, Chmykhova, Studer, Karamian, Kozhanov and Clamann, 1995; Van

Pelt, Dityatev and Uylings, 1997]. En los primeros trabajos se planteó sólo la variabilidad en la

topología de los árboles dendríticos7 describiendo la probabilidad de que apareciera una

determinada configuración dendrítica asociada a un grado o número de extremos terminales

dado, con la intervención de dos parámetros, denotados por S y Q [Van Pelt and Verwer, 1986].

Posteriormente se demostró que en la mayoría de los casos el parámetro Q era superfluo

[Dityatev, Chmykhova, Studer, Karamian, Kozhanov and Clamann, 1995; Van Pelt, et al., 1992];

a este modelo inicial se le denominó modelo S.

La variabilidad topológica de los árboles dendríticos descrita por el modelo S presupone un

número fijo de segmentos terminales [Dityatev, Chmykhova, Studer, Karamian, Kozhanov and

Clamann, 1995], de manera que en términos matemáticos proporciona la probabilidad de una

determinada configuración de terminales condicionada a un grado concreto, que denotaremos

por n; el valor que pueda tener esta característica tiene también una base probabilística, descrita

por el modelo BE. Este modelo proporciona la distribución estadística de los grados en base a

dos parámetros B y E que controlan la probabilidad de que en un determinado paso del desarrollo

dendrítico el árbol posea n segmentos terminales. Tenemos así definidos matemáticamente los

dos aspectos fundamentales de la topología de un árbol dendrítico: su ‘tamaño’ topológico, dado

por el número de segmentos que lo conforman8, y su complejidad de ramificación9, regulados

respectivamente por los parámetros B y E, y por el parámetro S.

7 Por topología de los árboles dendríticos entenderemos las características estructurales del árbol cuando no se

consideran sus cualidades métricas, como longitudes, grosores, áreas o superficies cubiertas, etc.; se supone que

todos sus segmentos tienen la misma longitud y sus ángulos de ramificación son iguales, de manera que dos árboles

dendríticos con la misma estructura de ramificación se consideran iguales a pesar de que sus dimensiones sean

diferentes.

8 Obsérvese que si se presupone que la ramificación sucede sólo a partir de bifurcaciones el número de segmentos

total del árbol dendrítico está directamente relacionado con el número de segmentos terminales o grado.


35

1.1. Modelo BE.

El modelo BE fue introducido por Van Pelt y cols. [Van Pelt, Dityatev and Uylings, 1997] para

describir las distribuciones estadísticas del número de segmentos terminales observadas

experimentalmente al reconstruir computacionalmente árboles dendríticos pertenecientes a

diversas poblaciones neuronales. Como se ha comentado anteriormente el modelo BE asume la

ramificación como un proceso puramente estocástico, donde la probabilidad de que un

determinado segmento terminal se bifurque depende, entre otras cosas, del número de segmentos

terminales ya existentes (grado) y de los valores de ambos parámetros B y E. Se supone además

que la ramificación tiene lugar durante una secuencia de eventos temporales que denominaremos

time-bins10. Si establecemos un número máximo N de time-bins y denotamos por in al grado o

número de segmentos terminales en el time-bin i-ésimo la probabilidad de bifurcación vendrá

dada por

( )i i Ei

Bp p nNn

≡ = . (9)

La significación de los parámetros B y E puede estudiarse aislando los comportamientos

resultantes de dar diferentes valores a cada parámetro. Si fijamos E a cero, la ecuación (9) nos

dice que iB Np= , es decir que en esas condiciones B representa el número esperado de

ramificaciones de un único segmento terminal a lo largo del proceso de crecimiento

(representado a su vez por los N time-bins). El parámetro E añade a la probabilidad una

dependencia modulada por el número de segmentos terminales que hay en cada momento, de

forma que a un mayor valor suyo más fuerte es, en el time-bin i, la influencia del grado sobre la

probabilidad y menos probable van siendo las bifurcaciones posteriores. Si nos centramos en

todo el árbol, el número de ramificaciones de segmentos terminales esperado por cada time-bin i

vendrá dado por 1 /Ei i in p Bn N−= , con lo que a medida que E se va aproximando a uno más va

disminuyendo el número de bifurcaciones promedio. Esta influencia de los parámetros B y E

9 No definiremos rigurosamente qué entenderemos por “complejidad de ramificación”. Aunque se podría desarrollar

una definición en términos puramente topológicos o basados en teoría de grafos nos limitaremos aquí a dejar el

término en su concepto más intuitivo.

10 Los time-bins son intervalos entre sucesos consecutivos establecidos artificialmente aunque relacionados con

secuencias temporales reales [Van Pelt, Dityatev and Uylings, 1997], sin embargo esto no será de interés para

nosotros.


36

sobre las características probabilísticas de los eventos de bifurcación revela la relación entre

dichos parámetros y la distribución estadística del grado, como se muestra en [Van Pelt, Dityatev

and Uylings, 1997]. Esta relación permite determinar los valores de B y E asociados a

poblaciones neuronales reales a partir de la media y desviación típica del número de segmentos

terminales dendríticos presentes en las distribuciones muestrales, obtenidas a su vez por medio

de reconstrucción computacional.

La importancia añadida del enfoque dado por el modelo BE es que es posible dar un reflejo

biológico de los parámetros B y E en términos de conceptos comunes a las teorías

neurobiológicas de desarrollo y crecimiento. Ya se ha visto cómo el parámetro B es equivalente

al número esperado de bifurcaciones cuando no existe influencia por parte del otro parámetro, de

forma que valores mayores de B implican una mayor probabilidad ‘pura’ de ramificación (sin

modulación de ningún tipo), lo que podría estar asociado a características de origen genético,

propias del tipo concreto de neurona. Por su parte el parámetro E ‘matiza’ la probabilidad de

bifurcación en función de los segmentos terminales ya existentes, disminuyendo las

ramificaciones esperadas a medida que el árbol se va desarrollando. Esto indica que este

parámetro podría estar asociado a competencia entre los conos de crecimiento por el espacio

disponible o por alguna sustancia crítica para el crecimiento presente en el medio [Granato and

Van Pelt, 2003; Van Pelt, Dityatev and Uylings, 1997; Van Pelt, et al., 2000].

La suposición de la ramificación como bifurcación permite simplificar considerablemente la

forma de las ecuaciones iterativas que definen el modelo BE [Van Pelt, Dityatev and Uylings,

1997]. En cada time-bin sólo existen dos posibilidades: o el segmento terminal se bifurca o se

mantiene sin ramificar (en caso de admitir trifurcación existirían tres eventos posibles,

bifurcación, trifurcación o no hay ramificación), de manera que la distribución probabilística que

nos atañe es la distribución binomial [Martín-Andrés and Luna del Castillo, 1990]. La expresión

(9) nos da la probabilidad de que un segmento terminal se ramifique dentro de un time-bin i, sin

embargo su dependencia del número de segmentos terminales in implica que sobre el

crecimiento del árbol influyen los eventos de bifurcación anteriores, es decir que en cada paso es

necesario incluir lo ocurrido hasta entonces. Esto se traduce en ecuaciones de recurrencia para

obtener la probabilidad ( , )P n i de que en el bin i-ésimo el grado del árbol sea igual a n; si

consideramos la opción de que en un árbol de grado n-1 se ramifique sólo uno de los segmentos

terminales debemos multiplicar la probabilidad de que esto ocurra (ecuación (9) con

( ) ( 1)ip n p n= − ) por la probabilidad de que no ocurra en ninguno de los 2n − segmentos


37

terminales restantes (dada por ( ) 21 ( 1) np n −− − ). Si consideramos ahora la bifurcación de j

segmentos terminales el razonamiento es idéntico añadiendo las combinaciones en que se pueden

ordenar j elementos de un total de n-j (coeficiente binomial). Cada uno de estos factores se ha de

multiplicar por la probabilidad de que en el bin anterior i-1 el árbol tuviese n-j segmentos

terminales, con j = 0, 1,…, [ / 2]n , donde por [ / 2n ] denotamos la parte entera del número

decimal / 2n . Se concluye entonces que la probabilidad de que el árbol tenga grado igual a n

en el time-bin i se puede calcular a partir de la expresión recurrente

[ ] [ ][ / 2]

2

0

( , ) ( , 1) ( ) 1 ( )n

j n j

j

n jP n i P n j i p n j p n j

j−

=

− = − − − − −

∑ (10)

donde (1,1) 1P = y ( ,1) 0P n = para 2n ≥ .

La distribución estadística de los grados aportada por el modelo BE ha sido comprobada

comparándola con las distribuciones correspondientes a poblaciones neuronales reales

reconstruidas experimentalmente [Granato and Van Pelt, 2003; Van Pelt and Uylings, 2002; Van

Pelt and Schierwagen, 2004; Van Pelt, Dityatev and Uylings, 1997; Van Pelt, Van Ooyen and

Uylings, 2000]. A partir de la relación entre los parámetros del modelo y la media y desviación

típica de la distribución muestral se obtienen los valores de B y E o bien gráficamente a partir de

la figura 7 de [Van Pelt, Dityatev and Uylings, 1997] ([Van Pelt, Van Ooyen and Uylings, 2000])

o bien mediante otros métodos [Dityatev, Chmykhova, Studer, Karamian, Kozhanov and

Clamann, 1995; Van Pelt, Dityatev and Uylings, 1997]; introduciendo entonces dichos valores

en el modelo BE se calculan las distribuciones teóricas y se cotejan con las experimentales. Este

procedimiento se ha llevado a cabo con muestras procedentes de diversos tipos de neuronas (lo

que equivale a diferentes valores de los parámetros B y E) y los resultados muestran un excelente

acuerdo entre lo predicho por las ecuaciones (10) y las distribuciones reales, lo que, junto con la

sencillez de su estructura matemática y a la significación biológica de los parámetros que

intervienen, hacen del modelo BE una muy factible descripción teórica del proceso de desarrollo

de los árboles dendríticos en lo que a su tamaño, en términos de número de segmentos, se refiere.

1.2. Modelo S.

Dentro de los diferentes tipos topológicos de árbol dendrítico con grado n fijo que pueden

desarrollarse, el que uno de ellos aparezca con más frecuencia que otro obedece a características

propias de cada tipo de neurona, cuya descripción matemática plantea el modelo S [Van Pelt and


38

Verwer, 1986]. Las premisas básicas de este modelo consisten en distinguir dos tipos de

segmentos dendríticos capaces de ramificar, los segmentos terminales y los segmentos

intermedios, cada uno con su propia probabilidad de ramificación denotadas por tp y ip

respectivamente. Según este modelo dichas probabilidades vienen dadas por

1 2

1 21

St

Si

pC

QpC Q

γ

γ

−

−

=

= −

(11)

donde C es la constante de normalización que garantiza que la ramificación del árbol dendrítico

se produzca en uno de los dos tipos de segmentos (y sólo en uno cada vez), mientras que el

parámetro γ refleja cómo depende la probabilidad de ramificación del orden del segmento

bifurcado. Se define el orden de un segmento dendrítico como el número de segmentos que hay

entre él y el segmento raíz. Como se deduce de las expresiones anteriores el parámetro Q

representa la relación entre ambas probabilidades.

Para desarrollar el modelo se introduce el concepto de partición asociada al árbol dendrítico

[Van Pelt and Verwer, 1986], que lo describe a partir del número de segmentos terminales que

tiene a cada lado de cada uno de sus nodos (Figura 5.a). De esta manera un determinado árbol

viene dado por una secuencia de pares que corresponden a las particiones asociadas a sus nodos

de bifurcación; por ejemplo el único árbol de grado dos vendrá dado por la partición [1,1],

mientras que el único árbol de grado tres vendrá representado por la secuencia canónica

[[1,2],[1,1]] , denotando que según se asciende desde el segmento raíz el primer nodo tiene a su

izquierda un solo segmento mientras que a su derecha tiene un subárbol de grado dos, al que

corresponde la partición [1,1]. A partir de la secuencia de particiones asociada al árbol se

obtienen las probabilidades de que aparezca cada posible tipo de partición, que dependen como

es lógico de las probabilidades de las particiones de grado inferior (ya que, en el caso del

ejemplo anterior, la única forma de que aparezca el árbol de grado tres es que éste haya crecido

del árbol de grado dos). Esto da lugar a un esquema iterativo que cristaliza en un algoritmo

computacional que permite obtener los las probabilidades buscadas en base al valor de los

parámetros Q y S . Las ecuaciones detalladas se dan en [Van Pelt and Verwer, 1986], donde en

vez del parámetro Q se introduce otro denominado R relacionados ambos según /( 1)Q R R= + .

En cualquier caso la utilización real de este modelo es mas sencilla ya que, como se demuestra


39

en [Dityatev, Chmykhova, Studer, Karamian, Kozhanov and Clamann, 1995; Van Pelt, Uylings,

Verwer, Pentney and Woldenberg, 1992], en la mayoría de los casos reales estudiados el

parámetro Q es tan cercano a cero que puede descartarse como significativo de cara al valor

descriptivo del modelo, lo que implica que podemos suponer a los segmentos terminales como

los únicos capaces de bifurcarse.

Figura 5. Descripción topológica de los árboles dendríticos por medio de particiones. a. Representación de la

topología de un árbol dendrítico de grado nueve junto a la secuencia de particiones que condensa la información

acerca de su ramificación. Cada par en dicha secuencia denota el número de segmentos terminales que queda a la

izquierda y derecha del subárbol que nace del nodo correspondiente. b. Representación topológica canónica del

árbol anterior. Cada árbol y subárbol dendrítico se dispone siguiendo la ordenación canónica, según la cual en cada

nodo de bifurcación se sitúa a la derecha el subárbol con mayor número de segmentos terminales de mayor orden.

La importancia de este modelo radica en que a pesar de su sencillez describe correctamente

la diversidad topológica que exhiben diferentes tipos de neuronas estudiadas experimentalmente

[Van Pelt and Verwer, 1986; Van Pelt, Uylings, Verwer, Pentney and Woldenberg, 1992]. Para

analizar esta correspondencia entre teoría y realidad se han empleado tanto la distribución

probabilística de los órdenes como una medida denominada asimetría del árbol [Van Pelt,

Uylings, Verwer, Pentney and Woldenberg, 1992]; de hecho esta última medida, según se

discutirá en la sección Resultados, permite conocer el valor de S asociado a una serie de

resultados obtenidos experimentalmente.

Es importante reseñar que al igual que en el caso del modelo BE este parámetro tiene también

un correlato neurobiológico, cuya explicación queda más clara si nos centramos en los dos


40

valores extremos, S = 0 y S = 1. La probabilidad de bifurcación es inversamente proporcional a 2

elevado al grado, es decir a la distancia topológica hasta la raíz del segmento pertinente,

multiplicado por S. Si el valor de este parámetro es cero no hay influencia de esta distancia, por

lo que será igual de probable la ramificación a cualquier altura topológica, sin embargo si S = 1 a

medida que vamos ascendiendo de nivel topológico y γ va aumentando vamos dividiendo por

dos la probabilidad de que tenga lugar una bifurcación. Imaginemos ahora que existe una

sustancia necesaria para que se produzca la división de un segmento terminal y que la

probabilidad de que esto suceda es proporcional al nivel que dicho factor alcanza en el cono de

crecimiento. Si se genera cierta cantidad de esa sustancia en el soma y se distribuye por las

dendritas hacia los extremos del árbol, cuando se llegue a una bifurcación la mitad del factor

disponible que ha alcanzado ese punto se repartirá a cada rama por igual, luego la cantidad de

factor se divide por dos, de manera que si para llegar al cono de crecimiento se ha pasado por γ

bifurcaciones es de esperar que la cantidad de sustancia que lo alcanza sea la cantidad original

dividida por 2γ , y por tanto la probabilidad de división quedaría según la ecuación (11) con S

=1. Siguiendo este enfoque podemos interpretar el parámetro S como la dependencia que tiene el

proceso de desarrollo de los factores crecimiento generados por el soma y distribuidos desde él

hacia las dendritas.

En conclusión los modelos BE y S describen de forma sencilla y precisa el desarrollo topológico

de los árboles dendríticos en base a pocas premisas y con una gran sencillez matemática. Por

estas razones han sido los utilizados en el presente trabajo para explorar de forma teórica las

propiedades de las medidas de entropía destinadas a caracterizar las capacidades de

procesamiento de la información en árboles dendríticos reales11.

11 En el presente trabajo no se han implementado directamente los algoritmos descritos en la literatura asociada a

los modelos BE y S ya que existen nuevos y mejores métodos y procedimientos para el tratamiento de estos

modelos, dados en [Villacorta, Castro, Negredo and Avendano, 2007]


41

2. MATERIALES Y MÉTODOS EXPERIMENTALES

2.1. DATOS EXPERIMENTALES

Una parte substancial de este trabajo está dedicada a la aplicación de las medidas de entropía

sobre árboles dendríticos reales. Dichos árboles pertenecen a dos poblaciones neuronales

integradas en la vía lemniscal de la rata, responsable del tratamiento de la información táctil

proveniente de las vibrisas. La primera población se encuentra en el núcleo principal del

trigémino, que constituye la primera estación de relevo para este tipo de información sensorial, y

está formada por neuronas de proyección, que envían sus axones desde el principal hasta el

tálamo. La segunda población pertenece a la corteza somatosensorial, última estación de relevo,

y está compuesta por interneuronas, células inhibitorias que forman circuitos locales en

asociación con múltiples tipos neuronas.

Las características topológicas y morfológicas de estos tipos de árboles dendríticos han sido

estudiadas en profundidad en los trabajos de Tesis Doctoral de Pilar Negredo [Negredo, 2006] y

Jorge Castro [Castro García, 2007]. La estructura dendrítica de las dos poblaciones neuronales ha

sido analizada bajo diferentes condiciones experimentales para estudiar cómo se ve influida por

diversas circunstancias y entornos sensoriales. De esta manera se formaron cuatro grupos de

ratas de experimentación.

1. Grupo control (C): Animales estabulados en condiciones estándar de laboratorio (jaulas

de 28x48x28 cm.) hasta el final del experimento.

2. Grupo con sección completa del nervio infraorbitario (Io): A los 60 días de edad se

les somete a una sección completa de nervio infraorbitario derecho con dos ligaduras

(una en cada cabo) para prevenir la regeneración del mismo. Los animales se mantienen

en jaulas estándar en grupos de 4 durante las siguientes 7 semanas.

3. Grupo “enriquecido” (E): A los 60 días de edad se les recortan periódicamente los

bigotes del lado derecho (tres veces por semana durante 7 semanas) con el objetivo de

anular la aferencia de información de forma no lesiva. Además las ratas se ponían en una

jaula de enriquecimiento en grupos de 8, tres horas al día durante 5 días a la semana y

durante las 7 semanas. Los entornos enriquecidos eran más espaciosos (80x100x60 cm.)

y constaban de juguetes, zonas de exploración, refugios, diferentes texturas, etc.


42

4. Grupo con bigotes recortados o trimming (T): A los 60 días de edad, este grupo de

animales pasa a unas jaulas estándar en grupos de 4 y se les recortan los bigotes del lado

derecho tres veces por semana durante 7 semanas.

Una vez concluido el período de supervivencia prefijado, con o sin modificación de la

entrada sensorial, y tras realizar en el caso del núcleo principal del trigémino inyecciones

talámicas de dextrano biotinilado, que marca retrógradamente los cuerpos neuronales y sus

dendritas, los animales eran sacrificados y los tejidos de las áreas de interés eran tratados con

procedimientos inmunohistoquímicos de tinción y marcaje con el fin de hacer visibles a través de

microscopía óptica los árboles dendríticos de las neuronas deseadas. Al contrario que en el caso

de las neuronas de proyección del principal, las interneuronas del área somatosensorial no fueron

previamente tratadas in vivo ya que el proceso de marcaje se basa en la detección de calretinina,

una proteína asociada a la fijación de calcio y masivamente presente en un 92% de la población

de interneuronas estudiada; dicha proteína era marcada en los procesos inmunohistoquímicos

aplicados sobre el tejido in vitro. Tras disponer de los árboles dendríticos ya marcados las

muestras eran analizadas por medio del software ‘Neurolucida’ (versión 5.04.3; Microbrightfield

Inc., Williston, VT, EEUU), que permite extraer y cuantificar las características tanto

topológicas como morfométricas de las estructuras neuronales.

2.2. TRATAMIENTO ESTADÍSTICO

El análisis estadístico de los datos cuantificando la entropía de los árboles dendríticos

pertenecientes a los distintos grupos experimentales se realizó empleando el software

Statgraphics Plus 4.0. Los test estadísticos de contraste de hipótesis aplicados para cuantificar

las diferencias entre los distintos grupos experimentales, fueron el test paramétrico de la t de

Student cuando los datos admitían su proveniencia de una distribución normal, o el test no

paramétrico W de Mann-Whitney cuando no se podía asumir normalidad [Martín-Andrés and

Luna del Castillo, 1990]. Los valores de significación P indican tendencia en las diferencias

cuando están entre el 5% y el 10%, significación entre el 1% y el 5%, diferencias muy

significativas cuando P está entre el 0.1% y el 1% y altamente significativas cuando P está por

debajo del 0.1%.


43

2.3. MODELIZACIÓN COMPUTACIONAL

El estudio teórico de las propiedades de las medidas entrópicas desarrolladas se llevó a cabo a

partir de la implementación de los modelos BE y S descritos en la sección 1 de Materiales y

Métodos. El software empleado para ello fue el Maple 9.50 (Maplesoft, Waterloo Mapl Inc.), un

programa de cálculo matemático a nivel tanto simbólico como numérico. Por otro lado la

fundamentación de las medidas de entropía en los distintos niveles descriptivos, desarrolladas en

los Resultados, se ha apoyado en los resultados obtenidos de las simulaciones realizadas en el

programa gratuito Neuron [Hines and Carnevale, 1997], un simulador de la dinámica

electroquímica de la membrana neuronal que funciona como un laboratorio virtual de

electrofisiología.


44

Villacorta RESULTADOS

45

RESULTADOS

RESULTADOS Villacorta

46


47

1. LOS ÁRBOLES DENDRÍTICOS COMO FUENTES DE INFORMACIÓN

La idea central de este trabajo es el desarrollo de medidas destinadas a cuantificar la capacidad

de los árboles dendríticos para generar información. Para ello en primer lugar estas estructuras

dendríticas serán caracterizadas como fuentes de información discreta y a continuación se

desarrollarán diversas medidas entrópicas con el objetivo de cuantificar dicha capacidad. En la

introducción a la Teoría de la Información se definió una fuente de información discreta como un

proceso estocástico que produce una secuencia discreta de símbolos (mensaje) elegidos de un

conjunto finito (alfabeto) según una probabilidad característica de cada uno. En consecuencia

para empezar se determinará qué son los símbolos en el contexto de las estructuras dendríticas,

demostrándose posteriormente cómo este enfoque conduce de forma natural a las medidas

buscadas.

1.1. DEFINICIÓN DE LA ENTROPÍA DE LOS ÁRBOLES DENDRÍTICOS

1.1.1. Configuraciones monosinápticas

Para introducir los conceptos de entropía asociada a los árboles dendríticos consideremos un

árbol dendrítico descrito topológicamente y un axón portador de un sólo input que puede sinaptar

con aquél en cualquiera de sus segmentos terminales, restringiendo las conexiones a una sinapsis

por segmento. Supongamos inicialmente que nuestro árbol es el descrito por el vector-orden

[1,2,3,3] (Figura 6.a). Tendremos 4 segmentos terminales y por lo tanto el axón tendrá cuatro

posibilidades para sinaptar sobre el árbol, sin embargo no todas las posibilidades serán distintas

ya que los dos extremos de orden 3 tendrán el mismo camino topológico hasta el segmento raíz

(Figs. 6.a.3 y 6.a.4). En los dos casos el input recorrerá el mismo camino topológico hasta el

soma, generando la misma señal de salida; en consecuencia la información generada por el árbol

será indistinguible12. Matemáticamente lo anterior significa que desde el punto de vista de la

señal generada tras el procesamiento en el árbol no tenemos cuatro elecciones distintas sino tres. 12 Esta circunstancia se debe a que la topología asume diámetros nulos, lo que en términos de conducción

electrofisiológica de las señales y por tanto de procesamiento de la información permite garantizar que sinapsis

portadoras de la misma señal establecidas en segmentos de igual orden generarán la misma respuesta. Esto se

demuestra en detalle en secciones posteriores.


48

Se deduce entonces que la probabilidad de que el árbol dendrítico genere información por medio

de una sinapsis aleatoria sobre el segmento terminal de orden 1 será de 1/ 4 , la probabilidad de

que lo haga a través del segmento terminal de orden 2 será también de 1/ 4 , mientras que la

probabilidad de hacerlo por medio de sinapsis en la terminal de orden 3 será de 2 / 4 1/ 2= .

La Figura 2.b de árbol topológico de grado 4, dado por el vector-orden [2,2,2,2] . En este

caso los cuatro terminales dendríticos tienen el mismo camino topológico hasta el segmento

terminal de árbol de donde la señal generada en los cuatro casos será idéntica y en consecuencia

la probabilidad de procesar a través del segmento terminal de orden 2 será 1; esta configuración

dendrítica no es capaz de generar mas que un tipo de output o salida por cada tipo de señal de

entrada introducida. Esta última situación es equivalente al caso en que la fuente de información

discreta sólo puede producir un tipo de símbolo, siendo entonces incapaz de generar

información. Esta analogía aclara cómo podemos describir a un árbol dendrítico como una fuente

de información discreta: nuestro sistema es el propio árbol y los estados o símbolos que dicha

fuente puede generar son las diferentes configuraciones sinápticas que surgen cuando el terminal

axónico contacta aleatoriamente con los segmentos terminales dendríticos. Dichas

configuraciones se distinguen en base a la señal de salida a la que dan lugar en condiciones

controladas (una señal de entrada fija), de manera que si dos configuraciones generan la misma

salida se consideran un único símbolo.


49

Figura 6. Generación de información en condiciones de monosinapticidad. Las figuras superiores muestran las

posibles configuraciones sinápticas en el caso del árbol [1,2,3,3] y las inferiores en el caso del árbol [2,2,2,2]. El

procesamiento de la información dependerá del camino topológico que siga la señal desde la sinapsis hasta el

segmento raíz por lo que a extremos de igual orden les corresponderá el mismo output. Por ejemplo, para el primer

tipo de árbol las configuraciones sinápticas a.1 y a.2 son diferentes entre sí y con respecto a las a.3 y a.4, que son

iguales, como muestra el EPSP propagado pasivamente en el segmento raíz; esto reduce los dos últimos casos a uno,

teniendo tres símbolos de probabilidades 1/4 para los correspondientes a las dos primeras configuraciones y 2/4 para

el tercero (tercera-cuarta configuración sináptica). Por su parte el segundo tipo [2,2,2,2] genera el mismo EPSP

independientemente del segmento terminal donde sinapte el axón, con lo que sólo habrá un tipo de símbolo

generado.

Bajo esta óptica los árboles dendríticos serán susceptibles de ser descritos matemáticamente

por medio de los conceptos de entropía. En primer lugar nuestro sistema formado por el árbol

dendrítico, alcanzará un cierto estado cuando la terminal axónica contacte con un determinado

extremo dendrítico. Eventualmente esta sinapsis podrá perderse, reemplazándose por otra en un

segmento terminal diferente y produciéndose así un nuevo símbolo, en cuyo caso la aparición de

la primera de las sinapsis no influirá que lo haga la segunda; en términos de Teoría de la

Información esto equivale a que los símbolos generados por la fuente son independientes entre

sí. En segundo lugar la información generada se ha relacionado únicamente con el orden del


50

segmento terminal donde se encuentra la sinapsis, por lo tanto el número de símbolos distintos

que pueden generarse será igual al número de órdenes diferentes que tienen los segmentos

dendríticos terminales. Por ejemplo en el caso del árbol [1,2,3,3] existen tres tipos diferentes de

salida en función de dónde se realice la sinapsis (Figuras 6.a.1-6.a.4) mientras que el árbol

[2,2,2,2] sólo puede generar un tipo de símbolo de acuerdo con el único tipo de salida que

proporciona (Figuras 6.b.1-6.b.4).

De acuerdo con la definición matemática de entropía (Intr.5) la cuantificación de la

capacidad de los árboles dendríticos [1,2,3,3] y [2,2,2,2] para generar información se obtiene

sustituyendo las proba-bilidades de que el sistema alcance determinados estados, es decir ciertas

configuraciones sinápticas, los cuales determinarán los diferentes símbolos. Para el árbol

dendrítico [1,2,3,3] se obtiene una entropía

11 1 1 1 2 2 1 1 2ln ln ln ln ln 1.04 nats4 4 4 4 4 4 2 4 4

H = − − − = − + = 13,

mientras que para el árbol [2,2,2,2] la entropía será

1 ln(1) 0 natsH = − = ,

lo que significa que éste último árbol dendrítico no tiene capacidad de crear información por sí

mismo.

Obviamente es difícil dar un sentido práctico a un valor de ‘1.04 nats’ puesto que nuestra

intuición no tiene con que compararlo, a diferencia de lo que ocurre con la altura o el peso; un

metro o un kilo no son nada en sí mismos, sólo nos dicen algo porque sabemos intuitivamente a

qué equivalen. Es por eso que la unidad empleada para la medida de la entropía no es

especialmente significativa ya que los resultados únicamente cobrarán sentido cuando podamos

comparar unos con otros, de la misma forma en que la medida que utilicemos para la altura no es

importante, sólo nos importa saber si ‘esto’ es más o menos alto que ‘aquello’. El caso del árbol

13 La unidad nat es la unidad de información cuando se emplea el logaritmo natural en vez del logaritmo en base

dos. Éste último define la información propia de un sistema que tiene sólo dos estados posibles (encendido-apagado,

on-off ó 1-0) y la unidad de información que se usa en ese caso es el conocido bit (BInary digiT). A pesar de que

habitualmente es el bit la unidad empleada en el contexto de la teoría de la información, en este trabajo se ha optado

por remplazarla por la correspondiente al logaritmo natural para evitar confusiones acerca del número de estados

que los sistemas aquí tratados pueden alcanzar.


51

[2,2,2,2] es distinto: sí H es igual a 0 nats la entropía será nula en cualquier unidad, es decir

simplemente el sistema es incapaz de generar información.

Generalizando estos resultados la entropía de un árbol dendrítico en las condiciones

topológicas planteadas inicialmente puede describirse de la siguiente forma. Supongamos un

árbol de grado n que puede recibir una sinapsis en cualquiera de sus segmentos terminales y

cuyo vector-orden tiene 1l órdenes distintos (donde el subíndice indica el número de contactos

sinápticos simultáneos) agrupados en el conjunto 1

1 1 1

l

i iO o

== , y tal que para cada 1 1io O∈

existen 1ir extremos dendríticos de orden 1io (de forma que 1

11

lii

r n=

=∑ ). En ese caso el sistema

podrá generar 1l símbolos con probabilidades

111, , .i

i

rp i l

n= = … (12)

Por definición 1

11l

iip

==∑ . Aplicando esto sobre el árbol dendrítico [1,2,3,3] (Figura 6.a)

tendríamos 4n = , 1 3l = y 1 1, 2,3O = con 11 1r = , 21 1r = y 31 2r = , por lo que 1 1/ 4p = ,

2 1/ 4p = y 3 2 / 4p = . Por su parte en el caso de [2,2,2,2] (Figura 6.b) 4n = , pero ahora 1 1l = ,

1 2O = y 11 4r = , de donde según (12) 1 4 / 4 1p = = .

Una vez establecida la independencia de los símbolos y sus probabilidades correspondientes

podemos emplear la ecuación (Intr.5) para obtener la entropía que definiría la capacidad del

árbol dendrítico para generar información. Sustituyendo (12) en ella se tiene

1

1 11

1ln

li i

i

r rH

n n=

= −

∑ . (13)

1.1.2. Configuraciones bisinápticas

En la sección previa se ha supuesto que sólo una terminal axónica puede sinaptar con las

dendritas terminales, sin embargo es posible (de hecho es lo que sucede en la realidad) que sean

más de una las colaterales axónicas que contacten con el árbol dendrítico, de manera que

podemos extender el esquema anterior al caso en que el árbol recibe dos o más inputs. En este

punto impondremos dos limitaciones, que serán justificadas más adelante: i) sólo puede haber un

contacto sináptico por extremo dendrítico y ii) la señal portada por cada terminal axónica será la


52

misma en todos los extremos. Centrándonos primeramente en el caso en que sean dos las

terminales axónicas a contactar con el árbol razonamos como antes para describir el sistema

como una fuente discreta de información. Consideremos de nuevo un árbol dendrítico de orden

n descrito por el vector-orden v y el conjunto de 2l grupos de dos órdenes diferentes entre sí de

un total de 2 2n

n ≡

posibles14, denotado por 2

2 2 1

l

i iO o

== donde cada 2io es un par formado por

los órdenes de los extremos dendríticos que reciben las sinapsis. La Figura 7.a muestra el árbol

dendrítico de vector-orden [1,2,3,3] bajo condiciones de bisinapticidad que conllevan la

existencia de 2n = 42

6= posibles configuraciones sinápticas. Si de los 2n pares posibles cada

2io se repite 2ir veces (con 2

2 21

lii

r n=

=∑ ) tendremos que las probabilidades ip de los 2l posibles

símbolos vendrán dadas por

22

2

1, , ,ii

rp i l

n= = … (14)

donde se verifica que 2

11l

iip

==∑ . Puesto que iguales órdenes en el par equivalen al mismo

procesa-miento y por tanto a los mismos símbolos generados por la fuente, de los seis pares

posibles en la Figura 3.a el (1,2) sólo aparece una vez, pero el (1,3) lo hace dos veces, al igual

que el (2,3); el último par, el (3,3), también aparece una sola vez. Tenemos entonces que

2 (1, 2), (1,3), (2,3), (3,3)O = , con 1 2 1r = , 2 2 2r = , 3 2 2r = y 4 2 1r = , con lo que las

probabilidades de cada configuración serán 1 1/ 6p = , 2 2 / 6p = , 3 2 / 6p = y 4 1/ 6p = . De

nuevo los símbolos se consideran independientes entre sí, de manera que la entropía

correspondiente al árbol dendrítico como fuente de información discreta vendrá dada por

2

2 22

1 2 2

lnl

i i

i

r rH

n n=

= −

∑ . (15)

14 Los grupos de sinapsis que definirán los símbolos generados se consideran sin importar el orden de colocación de

sus elementos, es decir el par (1,2) será equivalente al (2,1), ya que no se atiende al orden en que se establecen los

contactos sinápticos, y sin que se repita ninguno de los órdenes del grupo (sólo una sinapsis por segmento terminal),

por esa razón el número total de grupos viene dado por el coeficiente binomial.


53

En el caso de la Figura 7.a la entropía valdrá 2 (2 / 6) ln(1/ 6) (4 / 6) ln(2 / 6)H = − − = 1.33 nats.

Obsérvese que como era de esperar, para el árbol [1,2,3,3] la entropía de la configuración

bisináptica es mayor que la entropía correspondiente a la situación monosináptica. En el caso del

árbol [2,2,2,2] (Figura 7.b), independientemente de la disposición de los dos contactos

sinápticos, la respuesta integrada será idéntica, luego al igual que en el caso de un solo contacto

sináptico el sistema también en esta situación generará un único tipo de símbolo.

Matemáticamente tendremos que 2 (2, 2)O = con 2 2 6r = , por lo tanto 1 1p = , 2 0H = nats y

también ahora concluimos que cuando son dos las posibles sinapsis el árbol [2,2,2,2] es incapaz

de generar información. Obsérvese finalmente que, atendiendo a la restricción de una sinapsis

por segmento, las configuraciones bisinápticas surgen al combinar entre sí las configuraciones

monosinápticas descritas en la Figura 6 como eventos independientes; como se verá más

adelante, esto tendrá profundas implicaciones en la definición de las medidas de entropía

buscadas.

Figura 7. Posibles configuraciones sinápticas en los dos tipos de árboles dendríticos de grado cuatro cuando la

información se genera a través de dos sinapsis en distintos segmentos terminales. Ambas terminaciones axónicas

inyectan la misma señal, que se propaga pasivamente y se integra engendrando la señal de salida. En el caso del

árbol [1,2,3,3] las configuraciones correspondientes a los pares de órdenes (1,2) y (3,3) generan diferentes

respuestas, sin embargo las dos configuraciones del par (1,3) integran idéntica señal, con lo que corresponde al

mismo símbolo, lo que se repite para el par (2,3). En el árbol [2,2,2,2] todas las posibles configuraciones sinápticas

engendran la misma señal de salida, es decir como fuente de información discreta el árbol [2,2,2,2] genera un solo

símbolo.


54

1.1.3. Configuraciones multisinápticas

Una vez desarrolladas en detalle las entropías correspondientes a los casos de uno y dos

contactos, es inmediata su generalización a grupos de configuraciones sinápticas arbitrarias. De

manera genérica consideremos la formación de k posibles contactos sinápticos entre las

pertinentes terminaciones axónicas y segmentos terminales del árbol de grado n dado por el

vector-orden v , con n k≥ . De entre los n órdenes de v podremos formar knk

n ≡

grupos

conteniendo cada uno k órdenes sin repetición y sin importar su ordenación en la colocación

dentro del grupo. De estos kn posibles grupos habrá kl diferentes entre sí, que agruparemos en el

conjunto 1

kl

k i k iO o

== , donde cada i ko está compuesto por k órdenes extraídos de v y

corresponde a cada configuración sináptica o símbolo posible generable por el sistema bajo la

restricción de recibir las sinapsis en tandas de k contactos y uno solo por cada segmento

terminal. Si denotamos por i kr el número de veces que el grupo i ko se repite dentro de los kn

posibles, verificándose entonces que 1

kli k ki

r n=

=∑ , tendremos que las probabilidades ip de los

kl símbolos posibles vendrán dadas por

, 1, , ,i ki k

k

rp i l

n= = … (16)

con 1

1klii

p=

=∑ . De nuevo bajo la hipótesis de independencia entre los símbolos podemos

expresar la entropía kH o k-entropía del sistema que medirá la cantidad de información

generada por la fuente por cada símbolo15, como

1

ln con 1, , .kl

i k i kk

i k k

r rH k n

n n=

= − ∈

∑ … (17)

Obsérvese que en el caso en que k n= tendremos que 1nl = pues nO v= es decir el único

grupo posible formado por n órdenes será el compuesto por los elementos del propio vector-

orden, por lo que 1nn = , 1 1nr = , 1 1p = y 0nH = . En consecuencia sólo consideraremos las k-

15 Durante todo el texto nos referiremos a las unidades en que se mide la información por nats o por nats por

símbolo indistintamente.


55

entropías para n k> . Para los dos tipos de árboles de grado cuatro [1,2,3,3] y [2,2,2,2] sólo nos

faltaría calcular la 3-entropía. En el primer caso tendríamos que los grupos posibles de 3

contactos sinápticos serían (1,2,3), (1,2,3), (1,3,3), (2,3,3), con 3 4n = , 3 3l = ,

3 (1, 2,3), (1,3,3), (2,3,3)O = , 13 2r = , 2 3 1r = , 3 3 1r = , 1 2 / 4p = , 2 1/ 4p = y 3 1/ 4p = , por lo

tanto la 3-entropía asociada al árbol [1,2,3,3] será ( )3 (1/ 2) ln(1/ 4) ln(2 / 4)H = − + , es decir como

era de esperar 3 1.04 natsH = . Por su parte para el árbol [2,2,2,2] 3 4n = y 3 (2, 2, 2)O = luego

13 4r = , 1 1p = y 3 ln(1) 0 natsH = − = .

Recapitulando, en esta sección se ha introducido la entropía aplicada a los árboles dendríticos

definiendo las k-entropías como cuantificadores de la capacidad del árbol para generar

información bajo determinadas condiciones que restringen dicho potencial en función de las

características dendríticas que se deseen reflejar. No obstante en las secciones que se presentan a

continuación se definen y desarrollan medidas entrópicas con el objeto de caracterizar a los

árboles como fuentes de información discreta desde un punto de vista más realista. Dichas

medidas se dividen en tres niveles en base al grado de aproximación a las circunstancias reales

de las condiciones impuestas. En la Entropía de 1er Nivel se considera exclusivamente la

topología del árbol, para lo cual se asumen restricciones muy similares a las introducidas en la

definición previa de la entropía dendrítica. Estas condiciones son relativamente coercitivas pero

se relajan para admitir circunstancias más cercanas a la realidad en la Entropía de 2º Nivel.

Finalmente la Entropía de 3er Nivel se basa en condiciones que rigen la formación de los posibles

contactos sinápticos en base a consideraciones tanto topológicas como morfométricas. En cada

caso se expone en detalle la fundamentación de las premisas en que se asienta cada medida,

partiendo de árboles dendríticos realistas y aplicando sobre ellos simulaciones computacionales

de la propagación e integración de señales en dichas condiciones. A continuación se desarrolla la

formulación matemática que conducen a las expresiones finales de las Entropías de 1er, 2º y 3er

Nivel.

1.2. ENTROPÍA DE 1er NIVEL

En la descripción de los árboles dendríticos el nivel más básico es el topológico, en el que sólo

son pertinentes las características referentes a la conectividad de los segmentos dendríticos, es


56

decir la ramificación del árbol. Para hacer patentes estas características en la Entropía de 1er

Nivel a desarrollar se han fijado como premisas condicionantes de la formación de sinapsis las

siguientes circunstancias:

• El árbol dendrítico sólo puede recibir una sinapsis por segmento.

• Las diferentes sinapsis que puede recibir un árbol dendrítico portan la misma señal, es

decir que no son estimulaciones independientes entre sí.

• La respuesta a la activación de una misma sinapsis sólo cambia si dicha sinapsis se

localiza en segmentos dendríticos de distinto orden, de manera que la respuesta es igual si

la estimulación sináptica se realiza en segmentos intermedios o terminales mientras estos

tengan el mismo orden.

Estas asunciones conforman el contexto en el que se va a caracterizar a los árboles

dendríticos como fuentes de información en el nivel topológico, sin embargo es necesario

demostrar si estas condiciones tienen una base real (en términos electrofisiológicos o de

propagación de la señal a lo largo de las dendritas) que las relacione con las características

topológicas del árbol.

1.2.1. FUNDAMENTACIÓN DE LA ENTROPÍA DE 1er NIVEL

La característica más inmediata de un árbol dendrítico, incluso a nivel de inspección visual, es su

patrón de ramificación, codificado mediante su vector-orden. Una forma de presentar esta

propiedad con rigor es a través de su estructura topológica, que supone la ausencia de cualquier

característica métrica, es decir el árbol se supone carente de dimensionalidad (que no de

dimensiones). Una simplificación tan significativa de las propiedades de un árbol dendrítico

tiene profundas consecuencias en su comportamiento como estructura de generación y

procesamiento de información, sin embargo hay que tener en mente que a este nivel no

pretendemos considerar con fidelidad las propiedades de las neuronas en general (algo por otro

lado imposible). Al aproximarnos contemplando exclusivamente la topología del árbol

pretendemos estudiar cómo el patrón de ramificación afecta a la capacidad de la estructura

dendrítica para generar información, sin la interferencia de otras características presentes en las

neuronas reales. En consecuencia esta perspectiva nos permitiría por ejemplo analizar

cuantitativamente si dos tipos de neuronas presentes en diferentes regiones del SNC son distintas


57

a nivel topológico o si sus diferencias radican en propiedades de mayor nivel, por ejemplo

morfométricas.

Monosinapticidad por segmento

En situaciones reales suponer que sólo es posible un contacto sináptico por segmento

dendrítico es una condición restrictiva, ya que la situación más común es que se produzcan

múltiples contactos sinápticos (químicos) [Peters, Palay and Webster, 1991]. No obstante las

condiciones topológicas son adimensionales, por lo que los segmentos dendríticos carecen de

longitud ‘dimensional’ (o lo que es lo mismo miden una “unidad arbitraria”) y por lo tanto

asumimos que una vez se realiza el contacto sináptico éste ocupa todo el espacio disponible.

Esto se debe también a la falta de segunda y tercera dimensión, puesto que no es posible que

otras sinapsis se sitúen alrededor del segmento.

La restricción de monosinapticidad obedece también a un abordaje de simplificación. Es

evidente que cuanto mayor es el número de los posibles contactos sinápticos por segmento

mayor cantidad de símbolos puede generarse y mayor es, en consecuencia, la capacidad del

árbol dendrítico para generar información. El circunscribir entonces el número de sinapsis a

una por segmento establece un límite inferior del potencial real como fuente de información

del árbol dendrítico. Este enfoque adquiere toda su dimensión cuando se considera

conjuntamente a la Entropía de 2º Nivel, que constituirá el límite superior complementando a

la Entropía de 1er Nivel.

Unicidad de la señal de estimulación sináptica

La capacidad de un sistema para procesar información depende en gran medida de la

información contenida en las señales de entrada, de manera que un sistema con un bajo

potencial para procesar información pero que reciba un input con un contenido rico en

información puede aparentar la misma capacidad como fuente generadora que otro sistema con

una mayor entropía en su estructura dendrítica pero que reciba una entrada que porte poca

información. Para evitar esta ambigüedad partimos de una misma señal (cuya estructura

explícita no tiene importancia) que es introducida en el árbol dendrítico por medio de cada

contacto sináptico. Este enfoque permite considerar la capacidad del árbol como fuente de


58

información en base a sus características intrínsecas, con independencia del contexto externo,

es decir de la información de la señal introducida.

Respuesta a la estimulación sináptica como función del orden dendrítico

La asunción de que la respuesta del árbol dendrítico reducido a su estructura topológica solo

depende del orden del segmento dendrítico en el que se localiza y no de si dicho segmento es

terminal o intermedio (suponiendo naturalmente que la señal introducida a través de cada

sinapsis es la misma) puede parecer excesiva. Para estudiar esto hemos realizado numerosas

simulaciones computacionales en las que se ha testado cómo cambia la propagación de un

EPSP (Excitatory Post-Synaptic Potencial) a lo largo de un árbol dendrítico en función de sus

características morfométricas. Para ello se han implementado árboles realistas de dos tipos muy

distintos [Cullheim, et al., 1987; Jacquin, et al., 1988] (ver más adelante) que eran estimulados

sinápticamente en distintas localizaciones, por medio de funciones tipo alfa estándar [Koch,

1999]. El resultado del procesamiento en estas condiciones se obtenía empleando el programa

‘Neuron’, un simulador de la dinámica de la membrana celular en estructuras neuronales

complejas.

Las diversas pruebas llevadas a cabo demuestran que la dependencia de la respuesta en

función únicamente del orden del segmento donde se encuentra la sinapsis es una circunstancia

que surge de forma natural cuando las características del árbol dendrítico se aproximan a las

exigidas por el nivel topológico, es decir cuando las longitudes de todos los segmentos tienden

a igualarse y sus respectivos diámetros tienden a cero. En consecuencia las repuestas a una

misma señal introducida en los segmentos de un mismo orden se van igualando a medida que

se van cumpliendo las condiciones topológicas. Esto se muestra en la Figura 8, donde la

estimulación sináptica se ha modelizado por medio de una función alfa con tau = 1 y gsyn =

0.001, y en la que se han alterado las propiedades morfométricas del árbol para adecuarlo al

límite topológico, así las longitudes de todos los segmentos (terminales e intermedios) son

similares (entre las 100 y las 200 micras, el orden de las longitudes dendríticas reales en este

tipo de neuronas), y sus diámetros se han igualado a 1, 0.5 y 0.1 micras. La membrana celular

tiene un potencial de reposo de -70 mV una resistencia axial de 100 Ω·cm, una capacitancia de

membrana de 1 µF/cm2 y una conductancia pasiva de 6e-05 S/ cm2 [Koch, 1999].


59

Figura 8. EPSPs como respuestas a la estimulación sináptica de un árbol dendrítico típico de una motoneurona

del músculo gastrocnemio de gato, simuladas por medio del programa ‘Neuron’. Cada una de las figuras muestra

las diferentes respuestas cuando la sinapsis se sitúa en (la mitad de) los distintos segmentos de un mismo orden

(cada color en las respuestas se corresponde con el color del orden dendrítico correspondiente mostrado en el

árbol del recuadro). Se estudian tres casos: cuando el valor de los diámetros es de 1 µm (a), de 0.5 µm (b) y de

0.1 µm (c). Se aprecia claramente cómo a medida que el diámetro va disminuyendo las respuestas tienden a

unificarse por órdenes (por colores en la figura), independientemente de si la sinapsis se ha realizado en un

segmento terminal o intermedio.

1.2.2. FORMULACIÓN MATEMÁTICA DE LA ENTROPÍA DE 1er NIVEL

Las condiciones que definen la Entropía de 1er Nivel son similares a aquellas en las que se

basaba la definición inicial de entropía dendrítica dada en la Sec. 1.1. por lo que su desarrollo

matemático será similar. La diferencia radica en que esta medida entrópica admite la formación

de sinapsis no sólo en los segmentos terminales sino también en los intermedios. Esta

circunstancia conlleva que la k-entropía, definida matemáticamente en (17), es válida aquí sin

más que ampliar el conjunto que agrupaba a los órdenes dendríticos.

k-entropía

En la definición inicial los órdenes se tomaban del vector-orden pero si a los elementos de este

grupo se añaden los órdenes de los segmentos intermedios tendremos un nuevo conjunto

conteniendo los órdenes de todos los segmentos del árbol y al que denotaremos por w.

Retomando entonces la notación anterior tendremos que de entre los 2 n -1 elementos de w


60

(órdenes) podremos formar 2 1k

nk

n−

≡

grupos conteniendo cada uno k órdenes sin repetición y

sin considerar su ordenación. De todos los kn posibles conjuntos habrá kl diferentes entre sí, que

denotaremos por i ko y que agruparemos en el conjunto 1

kl

k i k iO o

== . Cada i ko está compuesto

por k órdenes extraídos de w y corresponde a cada símbolo posible (configuración sináptica)

generable por el sistema. Suponiendo entonces que el grupo i k ko O∈ se repite i kr veces dentro

de los kn conjuntos posibles tendremos que las probabilidades ip de los kl símbolos posibles

serán

1, , ,i ki k

k

rp i l

n= = … (18)

con 1

1klii

p=

=∑ . De nuevo bajo la hipótesis de independencia entre las k posibles sinapsis

podemos expresar la k-entropía del sistema kH como

1

ln .kl

i k i kk

i k k

r rH

n n=

= −

∑ (19)

con 1, , 2 1k n∈ −… .

Entropía propia

El concepto de la k-entropía no sólo implica al árbol dendrítico como sistema o fuente de

información discreta sino que precisa de unas circunstancias externas, en concreto de la

participación de k sinapsis que en sus potenciales configuraciones den lugar a los posibles

símbolos a generar por nuestro sistema. No obstante es deseable una medida que caracterice al

sistema per se, es decir en base a las propiedades estructurales del árbol y eliminando cualquier

dependencia externa. Con ese objetivo se empleará un compendio de las anteriores medidas para

definir la Entropía Propia de 1er Nivel del árbol dendrítico (o simplemente Entropía Propia si se

sobreentiende del contexto) como el promedio de sus k-entropías para 1, , 2( 1)k n= −… , la

denotaremos por H y vendrá dada por la expresión

2( 1)

1

1 .2( 1)

n

kk

H Hn

−

=

≡− ∑ (20)


61

Al igual que las k-entropías kH la Entropía Propia cuantificará la capacidad del árbol dendrítico

de generar información por cada símbolo, pero en promedio respecto a los distintos números de

sinapsis que puede recibir. Retomando los ejemplos discutidos, el árbol de grado cuatro [1,2,3,3]

tendrá una Entropía Propia igual a 1.92 nats por símbolo mientras que para el árbol [2,2,2,2] su

Entropía Propia será obviamente de 1.32 nats por símbolo. Obsérvese ahora que éste último árbol

es capaz de generar información debido a que la Entropía de 1er Nivel admite la sinaptación en

los segmentos intermedios además de en los terminales. Esta diferencia añade cierta variedad en

los símbolos que el árbol [2,2,2,2] es capaz de engendrar, en contra de la limitación impuesta en

la definición inicial de entropía dendrítica, en la que la condición de sinaptación en los

segmentos terminales sólo permitía la generación de un único símbolo.

En la 1-entropía de un árbol de grado n los símbolos eran cada posible configuración de una

sinapsis sobre los segmentos dendríticos. Denotando por 1

1 1

l

i is

= a los 1l símbolos distintos es

lógico pensar que al considerar las configuraciones conectivas a partir de dos sinapsis (2-

entropía) los símbolos resultantes 2

2 1

l

i is

= se puedan describir por medio de los símbolos 1

1 1

l

i is

=.

Efectivamente en la Figura 6 se observa que a cada conectividad individual le corresponde una

señal transmitida, de manera que cuando consideramos el caso de dos sinapsis contactando con

el árbol podemos considerar cada configuración como compuesta por dos de las configuraciones

conectivas individuales. Por ejemplo la conexión denotada por (1,2) en la Figura 7.a está

formada por las configuraciones descritas en las Figuras 3.a.1 y 3.a.2, de la misma forma que su

señal de salida es el resultado de la integración de las señales procesadas en aquellas. Podemos

extender este enfoque a los símbolos 1

kl

i k is

= generados por el sistema con las configuraciones

conectivas de k sinapsis (k-entropía) pudiendo construir los símbolos 1

kl

i k is

= como

combinaciones de los símbolos 1

1 1

l

i is

=, más sencillos, lo que recuerda a las series de

aproximación al castellano presentadas en la Introducción, con la diferencia de que aquí los

símbolos son independientes entre sí. Este enfoque conceptual referente a la conformación de los

símbolos a partir de otros independientes entre sí, garantiza que la Entropía Propia cuantifica la

máxima capacidad del árbol dendrítico como fuente de información.

Otra de las ventajas de usar la Entropía Propia es la posibilidad de comparar árboles

dendríticos de diferentes grados. Hemos visto inicialmente que la capacidad de generar

información está relacionada tanto con las probabilidades de los símbolos como con el número


62

de ellos. Este número dependerá en general del grado n del árbol ya que a mayor grado mayor

será el número de posibles configuraciones conectivas. Si quisiésemos por tanto cotejar las

capacidades de procesamiento de dos árboles dendríticos de grados muy diferentes podríamos

pensar que los resultados cuantitativos no tendrían validez comparativa, ya que la capacidad del

árbol de mayor grado estaría sesgada por ese número más elevado de extremos terminales. Sin

embargo la Entropía Propia (20) da la información engendrada por la fuente por cada símbolo

generado, concluyéndose que no importa la diferencia entre el número de posibles símbolos que

cada árbol es capaz de producir.

La Entropía Propia tiene por tanto las características que permiten cuantificar adecuadamente

la capacidad de los árboles dendríticos como fuentes generadoras de información, sin embargo

no es la medida entrópica definitiva que buscamos. Es posible definir una nueva entropía

sustentada por la Entropía Propia pero de mayor capacidad descriptiva, basada en el hecho de

que cada árbol dendrítico está formado a su vez por subárboles con las mismas propiedades

estructurales; esta recurrencia en las estructuras dendríticas está también implícita en la

definición de particiones dada anteriormente [Harding, 1971; Van Pelt and Verwer, 1986] así

como en la descripción a través de los vectores-orden [Villacorta, Castro, Negredo and

Avendano, 2007].

Si analizamos la Entropía Propia para un árbol dendrítico concreto puede parecer que

contiene ya las Entropías Propias de los subárboles correspondientes, sin embargo existe un

matiz capital entre esto y lo que buscamos con la nueva medida. La Entropía Propia de, por

ejemplo, el árbol [1,2,3,3] contiene las configuraciones posibles del subárbol [1,2,2] pero

combinadas con otras disposiciones conectivas o símbolos que no son propios de [1,2,2]. Si por

claridad retomamos la definición de entropía inicial, en la que sólo se admitían sinapsis en los

segmentos dendríticos terminales, la Entropía Propia del árbol dendrítico de grado cinco

[1,3,3,3,3] asociada a la entropía introducida en la Sección 1.1., valdrá ([1,3,3,3,3]) 0.85H =

nats en tanto que todos sus subárboles propios (del tipo [2,2,2,2] y [1,1]) son incapaces de actuar

como fuentes de información puesto que para ellos 0H = . Este ejemplo demuestra que aún si

los subárboles propios no son capaces de generar información individualmente sí podrán hacerlo

si se agrupan convenientemente, por lo tanto las posibles configuraciones conectivas en sí no son

lo importante, lo fundamental es su conjunción, que es lo que en definitiva define el sistema

como fuente de información.


63

Para profundizar más en la nueva medida de entropía buscada recurriremos de nuevo a otro

ejemplo todavía más clarificador. Consideremos los dos árboles de orden 6 definidos por los

vectores-orden 1v = [2,2,3,3,3,3] y 2v = [2,3,3,2,3,3] (Figura 9). Puesto que ambos tienen el

mismo número de segmentos dendríticos terminales de órdenes 2 y 3 las posibles

configuraciones sinápticas serán las mismas y por tanto generarán los mismos símbolos con

idénticas probabilidades en ambos casos. Esto conlleva la misma capacidad para generar

información, dada por una Entropía Propia de 1er Nivel de 2.22H = nats. Supongamos ahora

que en ciertas circunstancias y para cada árbol, únicamente el subárbol derecho que emerge del

segmento raíz recibe input axónico. En el caso del [2,2,3,3,3,3] dicho subárbol sería el [2,2,2,2]

mientras que para el árbol [2,3,3,2,3,3] el subárbol propio sobre el que se inyectaría una señal

proveniente del axón sería el [1,2,2] (señalados en rojo en la Figura 9). En estas circunstancias

los únicos símbolos que cada árbol podría generar serían aquellos que el correspondiente

subárbol pudiese engendrar como fuente de información. Por ejemplo en 1v el subárbol

generador de información sería el [2,2,2,2] cuya Entropía Propia es 1.32 nats. En el caso del

árbol 2v la restricción le permitiría generar información según la capacidad de su subárbol

[1,2,2], de 1.26 nats, lo que significa que, en las presentes condiciones sinápticas, ambos árboles

tienen distinta capacidad real como fuentes de información, a pesar de que sus Entropías Propias

no pueden detectar dicha diferencia.

Figura 9. Descomposición de los árboles de grado 6 [2,2,3,3,3,3] y [2,3,3,2,3,3] en sus subárboles propios de grado

mayor que dos (señalados en rojo). Obsérvese que debido a que las posibles configuraciones sinápticas en ambos

árboles son las mismas, sus Entropías Propias serán iguales, sin embargo si suponemos que los input axónicos se

restringen a los subárboles marcados la capacidad de cada árbol será igual a la de su respectivo subárbol. Esta

distinción como fuentes de información es posible mediante la Entropía de 1er Nivel.


64

Definición de Entropía de 1er Nivel

La medida entrópica óptima debe tener en cuenta las distintas capacidades de procesamiento de

cada subárbol del árbol estudiado para evitar ambigüedades que sí pueden ser resueltas en la

naturaleza bajo circunstancias como la hipotetizada en la sección previa. Conceptualmente pues

la Entropía de 1er Nivel de un árbol dendrítico será la suma de las Entropías Propias del árbol y

de sus subárboles. Dado el vector-orden v representamos por ( )vΓ al conjunto de subárboles de

v , incluido el mismo v (de forma que ( )v v∈Γ ), y denominamos subárbol propio de v a todo

( )vµ∈Γ tal que vµ ≠ . Definimos la Entropía de 1er Nivel ( )vH como la suma de las Entropías

Propias de los subárboles ( )vµ∈Γ , por lo que escribiremos

( )

.( ) ( )v

v Hµ

µ∈Γ

= ∑H (21)

Para ilustrar este razonamiento tomemos como ejemplo el árbol de grado cuatro definido por

el vector-orden [1,2,3,3] (Figura 10). Este árbol está a su vez formado por los dos subárboles

[1,2,2] y [1,1], de manera que ([1,2,3,3])H = ([1,2,3,3])H + ([1,2,2])H + ([1,1])H . Teniendo en

cuenta que según la definición ([1,1]) 0.63H = la Entropía de 1er Nivel para los ejemplos

planteados será ([1, 2,3,3]) =H ([1, 2,3,3]) ([1,2,2]) ([1,1]) 1.92 1.26 0.63 3.81H H H= + + = + + =

nats mientras que para el árbol [2,2,2,2] tendremos que

([2,2,2,2]) ([2,2,2,2]) ([1,1]) ([1,1]) 1.32 0.63 0.63 2.58H H H= + + = + + =H nats. Obsérvese que

al hablar de subárboles nos referimos sólo a aquellos de grado mayor o igual a dos; no

consideramos los árboles de grado uno (un solo segmento) porque en este nivel topológico su

entropía es obviamente cero.


65

Figura 10. Descomposición de los dos tipos de árboles de grado cuatro en sus subárboles propios respectivos (hasta

grado dos). El árbol de vector-orden [1,2,3,3] se descompone en los subárboles [1,2,3,3] (incluimos al propio árbol),

[1,2,2] y [1,1], mientras que el árbol [2,2,2,2] lo hace en [2,2,2,2] y dos árboles de tipo [1,1].

Las ecuaciones (19), (20) y (21) definen la Entropía de 1er Nivel, que describe la capacidad

de los árboles dendríticos como fuentes generadoras de información atendiendo a sus

características topológicas.

1.3. ENTROPÍA DE 2º NIVEL

El nivel descriptivo adoptado en la Entropía de 1er Nivel se refiere a las propiedades más básicas

del árbol. En el siguiente grado descriptivo mantendremos en esencia el enfoque topológico,

conservando la estructura de ramificación como la característica fundamental del árbol

dendrítico, sin embargo las imposiciones en que se fundamenta la entropía topológica se verán

relajadas para permitir la inclusión de características más realistas. Se supondrá entonces que:

• Cada segmento dendrítico del árbol puede recibir un número arbitrario de sinapsis.

• Las diferentes sinapsis que puede recibir un árbol dendrítico portan, cada una, una señal

diferente, por lo tanto se considera que son estimulaciones independientes entre sí.


66

• La respuesta a la entrada sináptica de una misma señal cambia tanto con el orden del

segmento donde se localiza dicha sinapsis como con el carácter de ese segmento

(segmento terminal o intermedio).

1.3.1. FUNDAMENTACIÓN DE LA ENTROPÍA DE 2º NIVEL

Polisinapticidad por segmento

La última restricción impuesta sobre el árbol dendrítico limitando las sinapsis a un único

contacto por segmento se basó en la consideración de la estructura topológica de árbol y no en

sus propiedades morfométricas, por lo tanto la ausencia de longitudes o espesores hacía

congruente la inclusión de, como mucho, una sola sinapsis por segmento. A pesar de que por

su simplicidad éste es un enfoque acertado de cara a un abordaje inicial de la caracterización

entrópica buscada, de nuevo, como ocurría anteriormente, no es fiel a las circunstancias reales

puesto que en la naturaleza un mismo segmento dendrítico puede recibir múltiples contactos

sinápticos [Peters, Palay and Webster, 1991].

En este caso relajaremos la condición anterior suponiendo que cada segmento dendrítico

puede recibir un número indeterminado de contactos sinápticos, el problema no obstante es que

a priori no existe una limitación en la cantidad de sinapsis impuesta por el propio árbol

dendrítico (recordemos que en la Entropía de 1er Nivel la restricción 1.4. forzaba a un número

máximo de contactos sinápticos igual al número de segmentos), por lo tanto, y a efectos de

poder comparar esta medida entrópica con la anterior, admitiremos únicamente m sinapsis para

un árbol con m segmentos (terminales e intermedios).

Diversidad de la señal de estimulación sináptica

La imposición inicial de que todas las posibles sinapsis envíen la misma información obedecía

fundamentalmente a la idea de caracterizar a los árboles dendríticos como fuentes de

información en base a sus propiedades intrínsecas y no a su contexto. En general en la realidad

cada una de las diferentes sinapsis podrán portar distinta información por lo que para el

siguiente nivel de entropía supondremos que cada contacto sináptico transmite una señal

propia, diferente a la portada por las demás sinapsis.


67

Evidentemente esta nueva condición aunque más realista es también extrema en el sentido

de que en un árbol dendrítico real es posible que muchos de los contactos sinápticos tengan

procedencias diferentes, y por tanto transmitan distinta información, sin embargo puede existir

un número elevado de las sinapsis restantes que provengan del mismo axón mediante

colaterales (aunque sinapten en diferentes partes del árbol), llevando entonces la misma señal

[Kandel, Schwartz and Jessell, 2000]. Lo importante es que las condiciones de unicidad del

input de la Entropía de 1er Nivel y de diversidad de la señal de entrada de la Entropía de 2º

Nivel establecen los límites entre los que estarán los árboles dendríticos reales y por tanto es

posible contemplar cuantitativamente (a través de la entropía) cualquier situación posible en lo

que a la diversidad de la señal sináptica recibida se refiere.

Respuesta a la estimulación sináptica dependiente del orden y del carácter del segmento

En los árboles dendríticos reales las respuestas pasivas a estimulación sináptica de tipo químico

dependen de la parte del árbol dendrítico en la que se localice la sinapsis. Centrándonos

exclusiva-mente en el carácter de los segmentos dendríticos (es decir, en si son segmentos

terminales o intermedios), es evidente que si alteramos la conductancia de la membrana en un

determinado punto de un segmento (que es cómo se modeliza una sinapsis química a través de

la función alfa [Koch, 1999]), la forma en que la variación de voltaje resultante se propaga

pasivamente por el resto del árbol dendrítico dependerá de lo que hay entre el segmento

pertinente y el soma. Por el contrario cuando la sinapsis se produce sobre un segmento

intermedio la manera en que se propaga la señal dependerá no sólo de lo que hay entre el punto

de contacto sináptico y el soma, sino también de lo que hay por encima de él. Esto significa

que una misma respuesta variará si el subárbol dendrítico que dimana del segmento intermedio

es más o menos complejo, aunque el resto del árbol total sea igual, mientras que esta

restricción no existe para los segmentos terminales.

Esta diferenciación en las respuestas basada en el carácter del segmento se aprecia en la

Figura 8.a. y 8.b. e incluso en la 8.c., donde las curvas se agrupan según el orden, aunque en

mayor o menor medida dentro de las de un mismo color aparecen diferencias que son debidas,

entre otras cosas, a si la sinapsis se localiza en un segmento intermedio o sobre uno terminal.

Cuando el diámetro es suficientemente pequeño esta distinción no es necesaria (límite

topológico), sin embargo si queremos reflejar circunstancias más realistas (Figuras 1.a. y 1.b.)

es necesario tenerla en cuenta.


68

En resumen, la Entropía de 2º Nivel trata de cuantificar la capacidad de los árboles dendríticos

para generar información manteniendo el enfoque topológico pero rebajando el nivel restrictivo

impuesto a las condiciones de formación de contactos sinápticos y por ello de formación de

símbolos como fuente de información. Estos cambios conciernen fundamentalmente a las

circunstancias externas a la propia estructura dendrítica, es decir a la forma en que la

información proveniente del exterior es introducida en el árbol a través de las sinapsis. No

obstante se ha añadido una serie de variaciones importantes afectando al propio árbol y que

involucran la distinción de la respuesta en base al carácter y a ciertas características

morfométricas del segmento dendrítico donde se localiza la sinapsis. Estas circunstancias

pretenden tender un puente entre la visión puramente topológica (en la que la respuesta sólo

depende del orden del segmento conteniendo el contacto sináptico) y la morfométrica. En ésta

última, como veremos más adelante, la respuesta a la estimulación sináptica depende de manera

capital, además del patrón de ramificación, de las longitudes y diámetros dendríticos.

1.3.2. FORMULACIÓN MATEMÁTICA DE LA ENTROPÍA DE 2º NIVEL

Dado por ejemplo el árbol dendrítico de vector-orden [1,2,3,3] de la Figura 10, denotaremos el

conjunto de segmentos por sus respectivos órdenes, organizados como [(0) (1) (2);(1) (2) (3)

(3)], donde los primeros tres órdenes se refieren a los segmentos intermedios y los últimos cuatro

a los segmentos terminales. Cuando uno de los segmentos recibe un contacto sináptico se señala

añadiendo un símbolo junto al orden de dicho segmento del tipo ‘*’ o ‘+’. Por ejemplo un par de

sinapsis diferentes en el segmento intermedio de orden 2 y en el terminal de orden 1 se

representaría como [(0) (1) (2∗);(1+) (2) (3) (3)].

Analicemos la importancia de cada una de las nuevas restricciones impuestas a la Entropía de

2º Nivel tomando como ejemplo el árbol dendrítico topológico dado por el vector-orden [1,1].

Para poder comparar primero aplicamos las condiciones que definían la Entropía de 1er Nivel, en

concreto asumiendo que cada segmento dendrítico puede recibir sólo una sinapsis y que todos los

contactos sinápticos portan la misma señal de entrada. Si suponemos que al árbol llega una sola

sinapsis, indicada con el símbolo ‘+’, las configuraciones posibles del sistema se escribirán

entonces como [(0+);(1) (1)], [(0);(1+) (1)] y [(0);(1) (1+)], que en función de la señal codificada

(símbolo generado) podrán agruparse en dos conjuntos, 1S = [(0+);(1) (1)] y 2S = [(0);(1+)

(1)], [(0);(1) (1+)] . La probabilidad de aparición de cada símbolo será respectivamente 1p = 1/3

y 2p =2/3. Si en las mismas condiciones suponemos ahora que el árbol puede recibir dos


69

contactos sinápticos las nuevas configuraciones del sistema serán [(0+);(1+) (1)], [(0+);(1) (1+)]

y [(0); (1+) (1+)], que darán lugar a dos símbolos, 1S = [(0);(1+) (1+)] y 2S = [(0+);(1+)

(1)], [(0+);(1) (1+)] de probabilidades 1p = 1/3 y 2p =2/3.

Contactos polisinápticos por segmento con la misma entrada

Volviendo al ejemplo anterior en el que eran dos las sinapsis que podían formarse sobre el árbol

dendrítico [1,1] tendremos que las posibles configuraciones conectivas serán [(0++);(1) (1)],

[(0+);(1+) (1)], [(0+);(1) (1+)], [(0);(1++) (1)], [(0);(1+) (1+)] y [(0); (1) (1++)]. Esta nueva

situación genera tres símbolos distintos (y no dos como en el caso anterior) correspondientes a

los conjuntos 1S = [(0);(1++) (1)], [(0);(1+) (1+)], [(0);(1) (1++)] , 2S = [(0+);(1+) (1)],

[(0+);(1) (1+)] y 3S = , [(0++); (1) (1)] con probabilidades respectivas 1p = 3/6, 2p =2/6 y

3p = 1/6.

Contactos polisinápticos por segmento con distintas entradas

Supongamos ahora que en el ejemplo previo son dos los contactos sinápticos que se forman

sobre el árbol cada señal de input, denotados por los símbolos ‘+’ y ‘∗’. Las nuevas

configuraciones sinápticas vendrán dadas entonces por [(0+∗);(1) (1)], [(0+);(1∗) (1)], [(0+);(1)

(1∗)], [(0∗);(1+) (1)], [(0∗);(1) (1+)], [(0);(1+∗) (1)], [(0);(1+) (1∗)], [(0);(1∗) (1+)] y [(0);(1)

(1+∗)]. Estas nueve configuraciones generan cuatro símbolos correspondientes a los conjuntos

1S = [(0);(1+∗) (1)], [(0);(1+) (1∗)], [(0);(1∗) (1+)], [(0);(1) (1+∗)] , 2S = [(0+);(1∗) (1)],

[(0+);(1) (1∗)] , 3S = [(0∗);(1+) (1)], [(0∗);(1) (1+)] y 4S = [(0+∗);(1) (1)] con

probabilidades =1p 4/9, =2p 2/9, 3p = 2/9 y 4p = 1/9.

Estos ejemplos muestran que los símbolos 1S , 2S , 3S y 4S se obtienen de combinar los

símbolos iniciales 1S y 2S para cada señal ‘+’ y ‘∗’. Así denotando por ‘ ’ a la operación

‘combinar símbolos’ tenemos que 1 2 2ˆ ˆ( ) ( )S S S= + ∗ , 2 1 2

ˆ ˆ( ) ( )S S S= + ∗ , 3 1 2ˆ ˆ( ) ( )S S S= ∗ + y

4 1 1ˆ ˆ( ) ( )S S S= + ∗ , de donde de la condición de independencia de dichos símbolos se deduce que

las probabilidades 1p , 2p , 3p y 4p se obtienen a partir de las probabilidades 1p y 2p como


70

1 2 2ˆ ˆp p p= ⋅ = 2/3 ⋅2/3 = 4/9, 2 1 2ˆ ˆp p p= ⋅ = 1/3 ⋅2/3 = 2/9, 3 1 2ˆ ˆp p p= ⋅ = 1/3 ⋅2/3 = 2/9 y

4 1 1ˆ ˆp p p= ⋅ = 1/3 ⋅1/3 = 1/9. La condición de independencia de las configuraciones sinápticas

(símbolos) tiene consecuencias importantes en la definición matemática de la Entropía de 2º

Nivel puesto que como se señaló en la Introducción, la entropía asociada a eventos

independientes entre sí es igual a la suma de las entropías de cada uno de ellos. Este aserto se

puede comprobar con el sencillo ejemplo tratado aquí. La entropía asociada al primer caso viene

dada por E = 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ ˆln( ) ln( )p p p p− − = (2 / 3) ln(2 / 3) (1/ 3) ln(1/ 3)− − = 0.6365 nats. Si al primer

contacto sináptico (+) añadimos el segundo (∗) la entropía resultante será 1 1ˆ ˆln( )E p p= − −

2 2 3 3 4 4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆln( ) ln( ) ln( )p p p p p p− − − = (4 / 9) ln(4 / 9) (2 / 9) ln(2 / 9)− − − (2 / 9) ln(2 / 9) (1/ 9) ln(1/ 9)−

= 1.273 = ˆ2E .

k-entropía

Esta discusión muestra cómo el cálculo de entropías que involucran a eventos independientes se

simplifican considerablemente, lo que nos permitirá obtener la Entropía Propia de 2º Nivel a

partir sólo de la 1-entropía correspondiente (k-entropía con un solo contacto sináptico). En

general entonces supongamos sólo una sinapsis contactando con un árbol dendrítico de grado n y

denotemos por tv al conjunto formado por los órdenes de los segmentos terminales y por iv al

formado por los órdenes de los segmentos intermedios16. El número de símbolos distintos que el

árbol puede generar como fuente de información se obtendrá razonando con cada conjunto tv y

iv igual que se hizo en la Entropía de 1er Nivel con el vector-orden. De este modo si a cada orden

diferente de tv ( iv ) lo denotamos por ,t kv ( ,i kv ) y suponemos que se repite ,t kr ( ,i kr ) veces, habrá

tm ( im ) símbolos diferentes con 1, ..., tk m= ( 1, ..., ik m= ), verificándose que

,

1 , ,, ,

1 1 1 1,

1

2 1 1.2 1 2 1

1

t

t i t i

i

m

t k m m m mk t k i k

t k i kmk k k k

i kk

r nr r

r r nn n

r n

=

= = = =

=

= ⇒ + = − ⇒ + = − −= −

∑∑ ∑ ∑ ∑

∑

16 Obsérvese que al asumir que la bifurcación es el único proceso de ramificación, obtener el conjunto de órdenes de

los segmentos intermedios iv a partir del vector-orden es inmediato.


71

En consecuencia la probabilidad de encontrar un símbolo determinado cuando el contacto

sináptico se establece en los segmentos terminales o intermedios vendrá dada respectivamente

por

,,

,,

, 1, ,2 1

, 1, , .2 1

t kt k t

i ki k i

rp k m

nr

p k mn

= =−

= =−

…

… (22)

de donde la 1-entropía de 2º nivel se escribirá como

, , , ,1

1 1

ln ln2 1 2 1 2 1 2 1

t im mt k t k i k i k

k k

r r r rH

n n n n= =

= − − − − − − ∑ ∑ . (23)

La premisa de independencia ya analizada lleva a una sencilla expresión de la k-entropía

correspondiente a la generación de información cuando el árbol dendrítico puede recibir k

contactos sinápticos. Puesto que las aferencias sinápticas son independientes la entropía total

será la suma de la entropía correspondiente a cada una de las k entradas. Estas entropías son

iguales entre sí y vienen dadas por la expresión (23), de manera que:

veces

1 1 1

k

kH H H k H= + + =… , (24)

Entropía propia

Se deduce entonces que la Entropía Propia de 2º nivel, definida como el promedio de las k-

entropías de 2º nivel cuando k = 1, …, 2n -1, será

2 1 2 1 2 1

1 11 1

1 1 1

1 1 2 (2 1) .2 1 2 1 2 1 2 1 2

n n n

kk k k

H H n nH H kH k nHn n n n

− − −

= = =

−≡ = = = =

− − − −∑ ∑ ∑ (25)

Obsérvese que ahora existen algunas diferencias con respecto a la Entropía Propia de 1er

Nivel, ya que en ese caso las k-entropías se consideraban hasta k = 2(n-1) porque cuando el árbol

dendrítico recibía 2n-1 sinapsis las restricciones impuestas implicaban una entropía nula, con lo

cual ese último caso no se tenía en cuenta. En la Entropía Propia de 2º Nivel la posibilidad de

que cada segmento pueda recibir más de una sinapsis cambia esta situación de manera que en

este caso k podrá tomar el valor 2n-1. De hecho ya se comentó que, al igual que se hizo en la

Entropía de 1er Nivel, se ha restringido el número de contactos sinápticos posibles a 2n-1, que es


72

el número de segmentos que posee el árbol dendrítico de grado n, para poder comparar

adecuadamente una medida entrópica con otra.

Definición de Entropía de 2º Nivel

El razonamiento desarrollado en la sección 1.2.2. que condujo a la definición de la Entropía de

1er Nivel, es aquí válido, por lo que retomando la notación establecida entonces y la definición

dada por la ecuación (21) definiremos la Entropía de 2º Nivel del árbol dendrítico de vector-

orden v como las Entropías Propias de 2º Nivel para todos los subárboles de v (incluido el propio

v), es decir:

( )

,( ) ( )v

v Hµ

µ∈Γ

= ∑H (26)

junto a las ecuaciones (23), (24) y (25).


El siguiente paso hacia la inclusión de circunstancias más realistas en la caracterización

entrópica de los árboles dendríticos es añadir a los rasgos topológicos ciertas propiedades

morfométricas. En las medidas entrópicas estudiadas previamente la estructura topológica

limitaba la variedad de formaciones sinápticas y con ellas los tipos de señales procesadas, sin

embargo al añadir dimensiones morfométricas, en concreto al incluir la longitud en los

segmentos dendríticos, las posibilidades de contactos sinápticos diferentes se incrementan

significativamente y en consecuencia la propagación pasiva de las señales introducidas a través

de los posibles contactos sinápticos conduce a una mayor diversidad de símbolos. La

introducción de las nuevas restricciones añade una nueva dimensión de complejidad al análisis

entrópico de este trabajo, sin embargo se han utilizado sólo las propiedades morfométricas que la

fundamentación ha demostrado más relevantes (sección siguiente), ya que la inclusión de la

morfometría plantea un inmenso abanico de posibilidades en lo que a la situación de las sinapsis

en el árbol se refiere: numerosos contactos sinápticos congregados en puntos concretos de las

dendritas, variación de su concentración según la distancia al soma, según la orientación del

propio árbol, diferente localización a lo largo del segmento en función del carácter de éste, etc.


73

En la sección siguiente se prueba por tanto que las condiciones sobre las que se fundamenta la

Entropía de 3er Nivel son:

• Las características morfométricas relevantes de los árboles dendríticos son la longitud y

el diámetro de sus segmentos.

• Cada segmento dendrítico del árbol puede recibir un número indeterminado de sinapsis.

• Las diferentes sinapsis que puede recibir un árbol dendrítico transmiten, cada una, una

señal diferente (estimulaciones independientes entre sí).

• La respuesta a la inyección sináptica de una misma señal depende del orden del segmento

donde se localiza dicha sinapsis y de si éste es terminal o intermedio.

Las tres últimas suposiciones son las mismas que sostenían la Entropía de 2º Nivel, sin

embargo, como se verá, su justificación aparece ahora más natural al admitirse la existencia de

características morfométricas.

1.4.1. FUNDAMENTACIÓN DE LA ENTROPÍA DE 3er NIVEL

Éste nuevo nivel de entropía de los árboles dendríticos es especialmente delicado ya que,

mientras en las medidas anteriores las características involucradas variaban de forma discreta, la

inclusión de medidas dimensionales implica una variación continua en las cualidades del sistema

y por tanto un número continuo de símbolos que pueden ser generados por al árbol. Existen dos

tipos distintos de abordaje, el tratamiento continuo y la discretización de las características

continuas; esta segunda opción será la considerada en el presente trabajo. Recordemos que la

cuantificación de la capacidad de un árbol dendrítico como fuente discreta de información se

basa en determinar las conformaciones sinápticas que proporcionaban las mismas respuestas. Si

ahora suponemos que una cierta sinapsis puede formarse en cualquier punto de un segmento

dendrítico concreto, la respuesta a la señal introducida en el árbol variará de manera continua

según cambie la posición del contacto sináptico debido al efecto de la propagación pasiva, de

manera que cuanto menor sea la variación en la posición menor será la diferencia en la respuesta.

Supongamos que dos respuestas suficientemente parecidas se consideran iguales (posterior-

mente se detallará con rigor qué se quiere decir con ‘suficientemente parecidas’), entonces en

términos de localización del contacto sináptico esto significa que los puntos de sinapsis (también


74

‘suficientemente cercanos’) se considerarán el mismo17, es decir se discretiza el segmento

dendrítico en cuanto a su longitud se refiere. En conclusión, el transformar el caso continuo en

discreto es equivalente a realizar directamente el abordaje continuo reduciendo luego las

respuestas más cercanas al mismo caso.

Las propiedades morfométricas de las dendritas pueden referirse a múltiples aspectos, desde

los más inmediatos como su longitud y grosor, hasta su tortuosidad, varicosidades, distribución

de espinas, tamaño de éstas, etc. La inclusión de unas u otras en las medidas entrópicas pasa por

un conocimiento más o menos preciso de las características de los árboles bajo estudio, lo que a

su vez depende tanto del tipo de neuronas analizadas como de las herramientas experimentales

disponibles. La Entropía de 3er Nivel contemplará sólo la longitud y el diámetro de los

segmentos que componen el árbol dendrítico, a pesar de que, como se discutirá más adelante, la

determinación de este último parámetro con las técnicas actuales es bastante discutible.

Con objeto de obtener conclusiones lo más realistas posibles acerca del comportamiento de

un árbol dendrítico real y continuando con lo hecho para la fundamentación de la Entropía de 1er

Nivel (sección 1.2.1.) se han llevado a cabo numerosas simulaciones por medio del programa

‘Neuron’ de diferentes tipos de árboles dendríticos. Los árboles simulados pertenecen a dos

clases muy distintas de neuronas, la de motoneuronas del gastrocnemio del gato [Cullheim,

Fleshman, Glenn and Burke, 1987] y la de neuronas de proyección al tálamo del núcleo

principalis de la rata [Jacquin, Golden and Panneton, 1988]. Estas dos clases difieren tanto en sus

propiedades topológicas como en su morfometría, siendo las primeras considerablemente más

grandes y de ramificación más compleja. Estas simulaciones nos permitirán probar cómo las

diferentes características del árbol dendrítico afectan a la forma en que éste responde a la

estimulación sináptica.

En todo este estudio estamos suponiendo que la propagación de la señal a través del árbol

dendrítico es pasiva y que la estimulación sináptica se realiza a través de un cambio en la

conductancia de la membrana celular modelizado por la función alfa, con τ = 1 ms y gmax =

0.001 µS [Koch, 1999]. Una manera de caracterizar cuantitativamente los EPSPs generados por

este tipo de estimulación es a través de su valor máximo, del tiempo que tarda en alcanzarlo y de

su centroide [Agmon-Snir and Segev, 1993]. Huelga decir que estos tres valores no definen

17 Se consideran los mismos contactos sinápticos en términos de las señales generadas por el árbol: cuando se

introduce por ellos una misma señal de entrada las señales registradas en el soma son iguales.


75

unívocamente a la función de respuesta, ya que los dos primeros definen un solo punto por el que

debe pasar la respuesta y el centroide es de hecho el primer momento estadístico de la respuesta,

es decir su promedio cuando se trata a la función temporal que define la respuesta como una

función de densidad de probabilidad. Además la propagación pasiva es un proceso difusivo, es

decir no conservativo, por lo que el EPSP no conserva su forma al propagarse, de ahí lo difícil de

su caracterización.

En un abordaje inicial simplificado hemos testado la influencia de la longitud y el diámetro

sobre la respuesta a la estimulación sináptica por medio del árbol dendrítico más sencillo posible,

el de vector-orden [1,1], con diámetros de los segmentos terminales variables entre 1 y 2 µy de

diámetro en el segmento raíz de 3 µ18. Las condiciones biofísicas de la membrana celular

implementadas son: una resistencia axial de 100 Ω·cm, una capacitancia de membrana igual a 1

µF/cm2, una conductancia pasiva de 6e-05 S/ cm2 (este valor modeliza el efecto de los canales

pasivos) y un potencial de membrana base igual a -70 mV [Koch, 1999]. En estas condiciones se

han estudiado dos tipos de situaciones, aquella en que las longitudes son del orden de las

centenas de micras y otra en que los segmentos dendríticos miden sólo unas decenas de micras.

El primer caso se ilustra en la Figura 11, en la que se comparan las tres respuestas a una sola

sinapsis localizada en tres puntos: el origen (en rojo) y extremo (en azul) del segmento más corto

(en trazo discontinuo) y un punto del segmento más largo (en trazo continuo) localizado a una

distancia del nodo común igual a la longitud del segmento más corto (en azul). Cada uno de estos

puntos se denota en el recuadro con una flecha señalando la localización sináptica

correspondiente y cada respuesta se representa con el color y trazo del punto y segmento donde

se encuentra la localización respectiva, así por ejemplo la respuesta correspondiente a la señal

inyectada sinápticamente en el punto señalado con la flecha azul sobre el segmento más largo se

representa en trazo continuo azul. Se presentan cuatro elecciones para los valores de los

diámetros de los dos segmentos implicados, en dos de las cuales los valores de ambos diámetros

coinciden y en las restantes son muy diferentes. Según se aprecia las respuestas son diferentes

incluso cuando los diámetros son iguales. Las respuestas a las estimulaciones sinápticas,

localizadas en ambos segmentos a la misma distancia del nodo común (en trazo azul continuo y

discontinuo), están más próximas es cuando uno de los diámetros es casi el doble del otro.

18 Estos valores están dentro del rango de los diámetros registrados experimentalmente [Cullheim, Fleshman, Glenn

and Burke, 1987; Jacquin, Golden and Panneton, 1988], a pesar de las limitaciones que en la práctica existen a este

respecto (ver Discusión).


76

Figura 11. Respuestas a la estimulación sináptica sobre un árbol dendrítico de topología [1,1] y longitudes de

segmentos en la centena de micras simuladas por medio del programa ‘Neuron’. El árbol simulado se detalla en el

recuadro junto con las posiciones de las tres sinapsis modelizadas por medio de la función alfa (ver detalles en el

texto), correspondiendo el trazo discontinuo al segmento menor y el continuo al de mayor longitud. Las posiciones

de las sinapsis se señalan con flechas de diferentes colores según su distancia al nodo común. En las cuatro

simulaciones presentadas las longitudes se han mantenido como aparecen en el recuadro pero los diámetros (en

micras) respectivos se han variado según se indica en cada figura. El trazo y color de cada respuesta representada

corresponde respectivamente al segmento y situación de la sinapsis que ha generado dicha respuesta. Se aprecia que

en ningún caso las respuestas son parecidas, en contra de lo que ocurría en el caso topológico.

La situación cambia radicalmente cuando las longitudes de los segmentos dendríticos se

rebajan desde las centenas a las decenas de micras. La Figura 12 muestra que, aún cuando la

relación entre las longitudes de ambos segmentos se mantiene, las respuestas a sinapsis situadas

a la misma distancia del nodo común coinciden cuando los diámetros de los segmentos sobre los

que se sinapta son iguales (Figs. 12.b y 12.d).


77

Figura 12. Respuestas a la estimulación sináptica sobre un árbol dendrítico de topología [1,1] y longitudes de

segmentos en la decena de micras. La estructura de esta figura es idéntica a la de la Figura 11. Con el nuevo rango

de longitudes las respuestas representadas resultantes de la estimulación sináptica se ajustan a la intuición

topológica, ya que en los casos en que los diámetros (dados en micras) de los dos segmentos terminales coinciden

también lo hacen las respuestas correspondientes, mientras que a diferentes diámetros corresponden distintas

respuestas. El potencial de reposo es de -70 mV sin embargo las figuras sólo se muestra los detalles donde se aprecia

mejor las diferencias entre las respuestas.

Estas primeras pruebas nos indican que la forma en que un árbol dendrítico con

características morfométricas realistas responde a la estimulación sináptica es muy diferente

según sea el orden de magnitud de sus longitudes. Este hecho tiene una repercusión importante

sobre su comportamiento como fuente de información, ya que, volviendo a los ejemplos

anteriores, cuando los segmentos son grandes (Figura 11) cada posición del contacto sináptico

dentro del segmento engendrará una respuesta distinta, mientras que si las longitudes son

pequeñas y los diámetros suficientemente parecidos (Figura 12) las respuestas serán diferentes


78

únicamente en función de la distancia de la sinapsis al nodo común. En otras palabras, en el caso

de segmentos de corta longitud un contacto sináptico situado a una cierta distancia del nodo

generará la misma señal de salida independientemente del segmento sobre el que esté, cosa que

no sucede si las longitudes son elevadas. Obsérvese que según este razonamiento si hacemos que

la longitud y el diámetro tiendan a cero recuperamos el límite topológico en el que se basa la

Entropía de 1er Nivel.

Este hecho se ha visto corroborado en diversas simulaciones realizadas sobre el árbol [1,1]

pero con diferentes baterías de valores para los diámetros y longitudes además de los empleados

en las Figuras 11 y 12. A su vez a un nivel más realista se han llevado a cabo numerosas pruebas

sobre la motoneurona del gastrocnemio de gato simulada a partir de [Cullheim, Fleshman, Glenn

and Burke, 1987], que han confirmado lo colegido de las pruebas iniciales. En definitiva de esto

se ha concluido que en este tipo de neuronas a cada posible contacto sináptico le correspondería

una única señal de respuesta, y por lo tanto, desde el punto de vista de la teoría de la

información, cada sinapsis llevaría asociada la generación de un único símbolo.

La conclusión obtenida de la Figura 12 se ha generalizado en las pruebas realizadas con el

modelo de neurona de proyección talámica del núcleo principal del trigémino (principalis)

obtenido de [Jacquin, Golden and Panneton, 1988] por medio de ‘Neuron’. En el estudio

preliminar del árbol [1,1] se dedujo que cuando las longitudes de los segmentos dendríticos eran

del orden de las decenas de micras, como es este caso, las respuestas a sinapsis en segmentos con

nodo común eran (suficientemente) iguales si la distancia del contacto sináptico al nodo era la

misma, sin embargo en árboles de ramificación más compleja19 ya se comentó que la

propagación pasiva se ve también influida por las estructuras que crecen a partir de los

segmentos considerados (intermedios). En el caso de segmentos terminales esto no es un

problema por no existir tales estructuras más distales a ellos, pero la situación en cuanto a los

segmentos intermedios es más delicada. Para analizarla detalladamente se ha propuesto una serie

de variaciones a la neurona del principalis obtenida de [Jacquin, Golden and Panneton, 1988]

(aunque dentro de las características morfológicas de ese tipo de árboles reportadas en ese

19 En general nos referimos a la complejidad en la ramificación desde un punto de vista muy intuitivo, algo que se

observa visualmente de la topología del árbol. Sin embargo este concepto está asociado en primera instancia al

grado del árbol dendrítico, aunque la forma más rigurosa de hablar de la complejidad de ramificación es

naturalmente a través de la Entropía de 1er Nivel.


79

trabajo) que afectan al subárbol que dimana de uno de los segmentos intermedios de orden

cuatro.

En la Figura 13 se muestran los diversos subárboles propuestos, marcándose en verde los

segmentos intermedios de orden cinco donde se han localizado las sinapsis empleadas para la

estimulación. Los árboles sólo se muestran en su versión topológica, es decir la longitud de cada

segmento no corresponde a la real, y se describen por medio de la Entropía de 1er Nivel y de la

asimetría [Van Pelt, Uylings, Verwer, Pentney and Woldenberg, 1992]. Esta última medida fue

propuesta en los años noventa para caracterizar cuantitativamente la topología de un árbol

dendrítico en función del balance entre el número de segmentos de cada uno de los dos

subárboles que dimana de cada nodo [Van Pelt, Uylings, Verwer, Pentney and Woldenberg,

1992]. A partir de estas dos medidas se explicitan tres características indicadas bajo cada

subárbol: i) el valor absoluto de la diferencia entre las Entropías de 1er Nivel de los subárboles

que crecen de cada segmento de orden cinco (en verde), denotado en la figura por E, ii) el valor

absoluto de la diferencia entre las asimetrías de los subárboles que crecen de cada segmento de

orden cinco, denotado en la figura por A, y iii) la propia asimetría del subárbol, denotada por As.

Figura 13. Representación topológica de la neurona del núcleo principalis de la rata empleada como modelo realista

para la simulación de respuestas a la estimulación sináptica. Se han considerado diversos casos con distintas

propiedades en cuanto a su entropía y asimetría (ver texto para los detalles). La diferencia entre esos casos radica en

el subárbol denotado por la circunferencia en rojo, que se ha modelizado a partir de los indicados en las figuras a


80

hasta f c asignando a los segmentos correspondientes longitudes realistas acordes a este tipo de neuronas [Jacquin,

Golden and Panneton, 1988]. En verde se señalan los segmentos intermedios de orden 5 donde se localizan las

sinapsis de estimulación. Los resultados de estas pruebas se muestran en la Figura 14.

Sobre cada uno de los casos mostrados en la Figura 13 se ha realizado la misma prueba: la

sinapsis activa se ha situado en diferentes puntos de los dos segmentos intermedios de grado

cinco (en verde en la Figura 13), denotados en la Figura 14 por Segm 1 para el segmento más

largo, de 12 µm, y por Segm 2 para el segmento más corto, de 3 µm. Al igual que en las Figuras

11 y 12 el tipo de trazo de cada señal de respuesta corresponde al tipo de trazo con el que se

representa el segmento donde se encentra la sinapsis. Del mismo modo el color con que se ha

representado la respuesta coincide con el de la flecha que en el recuadro de la Figura 14 señala la

localización de la sinapsis.

La Figura 14 muestra sólo los resultados a las pruebas para la Figura 13.a. (izquierda) y para

la Figura 13.f. (derecha) ya que corresponden a los casos extremos en lo que al valor de la E se

refiere (E = 0 y E = 3.94 respectivamente). En ella se observa cómo a medida que los diámetros

d1 y d2 de los dos segmentos (presentados como [d1,d2] en cada gráfica y dados en unidades de

micras) van siendo más parecidos las respuestas resultantes de estimular sinápticamente en

ambos segmentos a la misma distancia del nodo común, se van haciendo más semejantes,

independientemente de la estructura de ramificación considerada20. A pesar de que sólo se

muestran dos de los seis casos testados, los resultados para los casos b, c, d y e de la Figura 13

son equivalentes, demostrando que las características topológicas pueden no ser tenidas en

cuenta en una primera aproximación mientras el rango de longitudes y diámetros sea el

adecuado. Más aún, el recuadro de la Figura 14 muestra que aunque las longitudes de los dos

segmentos intermedios son considerablemente diferentes (aunque se mantienen por debajo de las

cien micras) ello no afecta significativamente al resultado, por lo que la longitud total del

segmento tampoco será un parámetro a considerar cuando se analice la variedad de señales o

símbolos a generar por el árbol dendrítico bajo distintas condiciones de estimulación sináptica.

20 El sentido exacto de la similitud entre respuestas a las estimulaciones sinápticas se detalla en la Discusión; en

aras de una mayor simplicidad expositiva nos limitamos aquí a la intuición proporcionada por las Figuras 11, 12 y

14.


81

Figura 14. Respuestas a la estimulación sináptica de un árbol dendrítico típico de una neurona del núcleo principalis

de la rata simulada por medio de ‘Neuron’. La estructura topológica se presenta en la Figura 13: el grupo de

respuestas (a) corresponde al árbol de la Figura 13.a. mientras que el grupo (b) concierne al de la Figura 13.f. El

esquema de relaciones entre trazos y colores, y localización de sinapsis y respuestas correspondientes es el empleado

en las figuras anteriores. Estos resultados muestran que lo concluido en la Figura 12 es también válido en estructuras

dendríticas más complejas.

Los resultados mostrados en las Figuras 12 y 14 sugieren considerar únicamente al diámetro

dendrítico como el parámetro morfométrico que más influye sobre los distintos tipos de

respuestas dadas por el árbol dendrítico. Concluimos entonces que en los casos realistas, en que

los diámetros de los segmentos dendríticos tienen valores de unas pocas micras, si las longitudes

de dichos segmentos están en el rango de las decenas de micras y sus diámetros son iguales, o

suficientemente parecidos (Figura 14), podremos asumir que las respuestas producidas por la

inyección de la misma señal en dos segmentos con nodo común a través de sinapsis localizadas

en cualquiera de ellos a la misma distancia de su nodo, serán indistinguibles. A esta suposición la

denominaremos aproximación a primeros vecinos, ya que los segmentos con nodo común son

los vecinos más próximos posibles. En estos términos asumimos pues que, dados dos segmentos,

tanto terminales como intermedios, con nodo común y diámetros difiriendo en menos de un 10%,

la aproximación a primeros vecinos se puede considerar válida.

En términos prácticos esta circunstancia se refleja en que la variedad de las señales de

respuesta generadas –y por tanto de símbolos- será menor en un árbol dendrítico que verifique

las anteriores condiciones y en el cual sea válida la aproximación a primeros vecinos

(motoneuronas del gastrocnemio del gato), que en el caso en que dichas condiciones no se den

(neuronas de proyección del núcleo principalis en rata). Esto es debido a que bajo la


82

aproximación a primeros vecinos hay una redundancia en la respuesta por generarse la misma

señal cuando la sinapsis cae en dos posiciones diferentes (en ambos segmentos vecinos pero a la

misma distancia del nodo común), mientras que si los diámetros son muy distintos, las mismas

sinapsis provocarán respuestas que se considerarán diferentes. En términos entrópicos

concluiríamos que la validez de la aproximación a primeros vecinos implica una menor

capacidad del árbol dendrítico como fuente de información.

En principio sería posible hablar de una aproximación a segundos vecinos o superiores,

definiendo como tales a aquellos segmentos del mismo orden que distan entre sí dos o más

nodos. Se han realizado diversas pruebas para verificar esta posibilidad, tanto en el caso de las

motoneuronas del gastrocnemio como en las neuronas del principalis, concluyéndose que las

condiciones para su validez son demasiado restrictivas, por ser necesaria una gran homogeneidad

en la estructura involucrada (es decir, en el conjunto de segmentos que conectan a los vecinos

considerados). En consecuencia únicamente consideraremos realista la aproximación a primeros

vecinos.

Este estudio nos ha proporcionado las pautas para ver qué parámetros morfométricos pueden

ser pertinentes y cómo influyen sobre la cantidad de símbolos que el árbol dendrítico es capaz de

generar. A continuación compendiamos ésta junto al resto de las condiciones sobre las que

basaremos la Entropía de 3er Nivel, algunas de las cuales vienen heredadas directamente de la

Entropía de 2º Nivel.

Características morfométricas

Resumamos de manera esquemática lo concluido previamente acerca de las cualidades

morfométricas de los árboles dendríticos que se han supuesto válidas en esta aproximación.

• Consideraremos únicamente a la longitud y al diámetro de cada segmento dendrítico

como los únicos parámetros morfométricos significativos en cuanto a la descripción de

los tipos de símbolos que el árbol dendrítico puede generar como fuente de información.

• Definimos la aproximación a primeros vecinos como la consideración de indistinguibles a

dos output generados por el mismo input sináptico que han sido introducidos en dos

segmentos de nodo común tal que cada sinapsis se encuentra en uno de los segmentos y

situada a la misma distancia del nodo.


83

• Si las longitudes de los segmentos dendríticos se mueven en el rango de las centenas de

micras la aproximación a primeros vecinos no es válida, tanto en el caso de segmentos

terminales como intermedios. En estas circunstancias cada posición del contacto sináptico

equivale a un símbolo diferente.

• En caso de que las longitudes de los segmentos sean del orden de las decenas de micras la

validez de la aproximación a primeros vecinos aplicada a un par de segmentos dendríticos

con nodo común está supeditada a que los diámetros de ambos segmentos difieran entre

sí menos de un 10%. Si esto ocurre, entonces cada contacto sináptico distante del nodo

común una distancia dada engendrará el mismo símbolo independientemente de en cuál

de los dos segmentos esté localizado.

• Estas condiciones son válidas tanto para los segmentos terminales como para los

intermedios. De hecho en este nivel descriptivo supondremos que ni la estructura

topológica ni la morfométrica de los subárboles que crecen a partir de los segmentos

intermedios influyen decisivamente.

• No consideraremos válida la aproximación a segundos o más vecinos.

Respuesta a la estimulación sináptica dependiente del orden y del carácter del segmento

La novedad sustancial introducida en esta nueva medida entrópica consiste en la inclusión de

los aspectos morfométricos; sin embargo las condiciones involucrando los aspectos referentes a

la topología y a las circunstancias externas de sinapticidad se mantienen respecto a la Entropía

de 2º Nivel. Esto no podía ser de otra manera, puesto que se trata de conformar con las tres

medidas entrópicas propuestas un todo congruente en el que a mayor nivel mayor refinamiento

en la descripción cuantitativa de la capacidad de los árboles dendríticos como fuentes de

información.

En consecuencia, la dependencia de la respuesta a la estimulación sináptica vendrá

determinada no sólo por las circunstancias morfométricas discutidas anteriormente, sino

también por si el segmento pertinente es terminal o intermedio, y por su orden. Es decir con

independencia de la longitud y diámetro de cada segmento sus respuestas (a la estimulación a

través de sus sinapsis) generarán distintos símbolos si su orden y carácter son diferentes,

excepto bajo las condiciones de validez de la aproximación a primeros vecinos.


84

Diversidad de la señal de estimulación sináptica

En lo referente a las circunstancias externas de sinapticidad asumiremos como antes que cada

localización sináptica transmite una señal diferente, por lo que suponemos que cada sinapsis se

forma con una terminal axónica de distinta proveniencia.

Polisinapticidad por segmento

La condición en que se basa la Entropía de 2º Nivel y que admite la posibilidad de que varias

sinapsis contacten en un mismo segmento dendrítico, se asumió incluso bajo la restricción

topológica que imponía a dichos segmentos una longitud cuantificada en una unidad ficticia.

En el caso actual en que los segmentos poseen una longitud real es aún más coherente el

plantear la polisinapticidad por segmento, asumiendo además que en una misma localización

pueda producirse más de un contacto sináptico, ya que al aceptar al diámetro como parámetro

morfométrico estamos dotando a las dendritas de estructura tridimensional A este hecho habría

que añadirle la existencia en múltiples tipos de dendritas, de protrusiones de membrana

(espinas dendríticas de morfologías y tamaños diversos) que reciben una o unas pocas sinapsis,

y que pueden emerger de una misma localización en el segmento, es decir, en cualquier punto

de su perímetro para una distancia dada del nodo [Harris and Kater, 1994; Peters, Palay and

Webster, 1991; Rusakov, et al., 1995].

La Entropía de 3er Nivel desarrollada aquí tiene como objetivo el ser el último paso hacia una

cuantificación realista de la capacidad de los árboles dendríticos como fuentes de información.

En las etapas previas se han ido añadiendo progresivamente condiciones acordes a las

características que íbamos asumiendo para los árboles a estudiar debido a que necesariamente

partíamos de aproximaciones, por lo cual seleccionábamos sus propiedades más representativas

en función de las características a tener en cuenta. De esta forma comenzábamos considerando

sólo la estructura de ramificación con unas limitaciones que mantuviesen el contexto circunscrito

al propio árbol y minimizasen la dependencia de las circunstancias externas; definíamos así la

Entropía de 1er Nivel. Conservando el enfoque topológico añadíamos condiciones más realistas

en cuanto al tipo, origen y distribución de los contactos sinápticos para desarrollar la Entropía de

2º Nivel. Finalmente para la Entropía de 3er Nivel, y manteniendo las anteriores constricciones,

introducíamos las propiedades morfométricas por medio de la consideración del diámetro y la

longitud de los segmentos dendríticos como parámetros relevantes, fundamentando cómo los


85

diferentes valores de dichos parámetros influyen sobre la respuesta del árbol dendrítico a una

estimulación sináptica estándar y por tanto sobre el comportamiento de éste como fuente de

información.

1.4.2. FORMULACIÓN MATEMÁTICA DE LA ENTROPÍA DE 3er NIVEL

Comenzamos esta sección con ejemplos sencillos asumiendo la presencia de una sola sinapsis, la

cual ocupará un área de contacto finita. Esto motiva la discretización de la dimensión

longitudinal en base a un parámetro d, que será la unidad en la que se medirá la longitud de los

segmentos dendríticos y que quedan así divididos en un número finito de ‘intervalos’ de longitud

d, de manera que un segmento de longitud L queda dividido en N = L/d intervalos. Al hacer de d

la distancia mínima que tiene sentido (en términos de longitud, no de diámetro) la sinapsis sólo

puede contactar sobre cada una de esas zonas discretizadas, es decir el segmento dendrítico de

longitud L sólo dispone de N posiciones posibles sobre las que la sinapsis puede hacer contacto.

Asumiendo entonces una distribución uniforme de probabilidad para cada una de dichas

posiciones la probabilidad de que se forme una sinapsis en cualquiera de ellas es

, 1, , ,idp i NL

= = … (27)

por lo que la entropía asociada será

1

ln ln ln( )N

i

d d d dH N NL L L L=

= − = − =

∑ .

Segmentos terminales de igual longitud

Consideremos ahora el árbol dendrítico de vector-orden [1,1] que tiene el segmento raíz de

longitud 1L y cada uno de los dos segmentos terminales de longitud 2L , de forma que el número

de intervalos discretizados en cada segmento será de 1 1 /N L d= y 2 2 /N L d= . Suponiendo de

nuevo que para cada segmento es equiprobable que cualquiera de sus intervalos reciba la

sinapsis, la probabilidad de que el contacto sináptico recaiga en un intervalo determinado de

entre todos los que componen el árbol dendrítico vendrá dada por la probabilidad de que la

sinapsis ‘elija’ al segmento al que pertenece dicho intervalo multiplicada por la probabilidad de


86

que el contacto se forme en ese intervalo concreto de entre todos los que conforman su segmento

correspondiente. En términos matemáticos:

11

1 2

22

1 2

Probabilidad de sinaptación en el segm. raíz ( ) ,2

2Probabilidad de sinaptación en algún segm. terminal ( ) ,2

LP LL L

LP LL L

≡ =+

≡ =+

(28)

Las probabilidades condicionales están dadas por (27):

1 1

1

2 22

Probabilidad de sinaptación en el interv. cuando ( ) ,

Probabilidad de sinaptación en el interv. cuando ( ) .

di i L P i LLdi i L P i LL

∈ ≡ =

∈ ≡ = (29)

De lo anterior, si denotamos a un intervalo concreto del segmento raíz por 0i y a otro intervalo

de los segmentos terminales por 0j , las probabilidades de contactar en uno u otro intervalo

vendrán dadas respectivamente por

0

0

10 1 1

1 2 1 1 2

20 2 2

1 2 2 1 2

( ) ( ) ,2 2

2 2( ) ( ) .2 2

i

j

L d dp P i L P LL L L L L

L d dp P j L P LL L L L L

= = =+ +

= = =+ +

(30)

De (30) concluimos que 0 0

2j ip p= independientemente de las longitudes.

Obsérvese que en este razonamiento hemos supuesto indistinguibles los intervalos de los dos

segmentos terminales que equidistan del nodo común, en concreto el intervalo 0j . Debido a que

ambos segmentos terminales miden 2L , éste intervalo existirá en ellos para todo 0j entre 1 y

2N . Esta asunción es el reflejo de la aproximación a primeros vecinos: puesto que según esta

aproximación las sinapsis en segmentos vecinos y distanciadas igualmente del nodo común

engendrarán idénticas respuestas, podemos considerar a dichos contactos sinápticos, y por tanto a

los intervalos sobre los que se forman, como indistinguibles en términos de teoría de la

información ya que generarán los mismos símbolos.


87

En estas condiciones nuestro árbol dendrítico es capaz de generar 1 2N N+ símbolos distintos

cuyas probabilidades de aparición vienen dadas por las ecuaciones (30), las cuales verifican

trivialmente la condición de normalidad:

1 2

0 0

0 01 11

N N

i ji j

p p= =

+ =∑ ∑

La 1-entropía se escribirá entonces como:

1 2

0 0 0 0

0 0

1 1 21 1 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2ln( ) ln( ) ln ln2 2 2 2

N N

i i j ji j

d d d dH p p p p N NL L L L L L L L= =

= − − = − − ⇒ + + + + ∑ ∑

( )21

1 2 1 2

2ln ln 22 2

LdHL L L L

⇒ = − − + +

. (31)

Podemos testar la validez de esta expresión si reducimos este ejemplo al caso topológico

haciendo que 1 2L L d= = y por tanto 1 2 1N N= = . Estos valores en (31) conducen a una 1-

entropía

11 1 2 2ln ln .3 3 3 3

H = − −

(32)

Retomando la perspectiva topológica y siguiendo lo hecho en la sección 1.1. tendremos que,

puesto que el vector-orden del árbol es [1,1], habrá sólo dos posibles símbolos, de probabilidades

1/3 y 2/3. La sustitución de estas probabilidades en (19) con k = 1 conduce a (32).

Segmentos terminales de longitudes diferentes

Supongamos a continuación un árbol dendrítico de topología [1,1] pero con los segmentos

terminales de longitudes diferentes 2L y 3L tal que 3 2L L> . El razonamiento es igual al llevado

a cabo en el ejemplo anterior con una salvedad: debido a que uno de los segmentos terminales

( 3L ) es más largo que el otro la aproximación a primeros vecinos será sólo válida en una

fracción del segmento 3L , en concreto en la parte que va desde el nodo común a ambos

segmentos hasta una distancia igual a 2L . Será sólo en esta sección de 3L sobre la que una


88

sinapsis generará el mismo símbolo que cuando contacta sobre 2L a la misma distancia del nodo

común. Discretizamos los segmentos en intervalos de longitud d, obteniendo 1 1 /N L d=

intervalos en 1L (segmento raíz), 2 2 /N L d= intervalos en 2L (segmento terminal) y en la parte

de 3L que mide 2L , y finalmente 3 3 2( ) /N L L d= − intervalos en la parte restante de 3L

(segmento terminal). Podemos pues distinguir tres tipos de símbolos en base a los tipos de

contactos sinápticos que se pueden formar en el árbol:

• Los símbolos 1

1, 1

Ni i

S=

con 1 1 /N L d= asociados al segmento 1L .

• Los símbolos 2

2, 1

N

j jS

= con 2 2 /N L d= asociados al segmento 2L y a la fracción de

longitud 2L de 3L .

• Los símbolos 3

3, 1

Nk k

S=

con 3 3 2( ) /N L L d= − asociados a la fracción de longitud 3 2( )L L−

de 3L .

La obtención de las probabilidades para cada uno de los anteriores tipos de símbolos se basa

como antes en las probabilidades condicionales, lo que nos lleva a las expresiones

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

11,

1 2 3 1 1 2 3

22,

1 2 3 2 1 2 3

3 23,

1 2 3 3 2 1 2 3

( ) ,

2 2( ) ,

( )( ) .( )

i

j

k

L d dp SL L L L L L L

L d dp SL L L L L L L

L L d dp SL L L L L L L L

= =+ + + +

= =+ + + +

−= =

+ + − + +

(33)

Según (33) concluimos que ( )1, 3, 2,( ) ( ) 1/ 2 ( )i j kp S p S p S= = para cualesquiera valores de las

longitudes de los segmentos dendríticos.

De nuevo es trivial verificar que

31 2

1, 2, 3,1 1 1

( ) ( ) ( ) 1.NN N

i j ki j k

p S p S p S= = =

+ + =∑ ∑ ∑

Sustituyendo las expresiones (33) en la 1-entropía tenemos que para este ejemplo


89

( ) ( ) ( )31 2

1 1, 1, 2, 2, 3, 3,1 1 1

( ) ln ( ) ( ) ln ( ) ( ) ln ( )NN N

i i j j k ki j k

H p S p S p S p S p S p S= = =

= − − − ⇒∑ ∑ ∑

( )21

1 2 3 1 2 3

2ln ln 2 .

( )LdH

L L L L L L

⇒ = − − + + + + (34)

Observamos de (31) y (34) que el primer término es el logaritmo del número de intervalos en que

se ha discretizado longitudinalmente el árbol dendrítico.

El planteamiento detallado de estos ejemplos permite simplificar su generalización y la

exposición de la base matemática de la Entropía de 3er Nivel. Dado un árbol dendrítico de grado

n sobre el que queremos aplicar esta medida entrópica, agrupemos las longitudes de sus

segmentos dendríticos en un conjunto de pares, cada uno de los cuales agrupa las longitudes de

cada par de segmentos vecinos, es decir que parten de un mismo nodo; a este conjunto de pares

se le añade la longitud del segmento raíz. Esta organización del árbol se ilustra en la Figura 15

donde se presenta un árbol de grado 7 con sus longitudes detalladas y dispuestas como se ha

descrito.

Figura 15. Ejemplo de árbol dendrítico de grado 7 con las longitudes de cada segmento dendrítico indicadas en

micras. Para la cuantificación de la Entropía de 3er Nivel las longitudes se organizan en el conjunto C por pares,

conteniendo cada par las longitudes de los segmentos primeros vecinos. A esta secuencia de pares se le añade la

longitud del segmento raíz.


90

Para un árbol dendrítico genérico y suponiendo que puede recibir sólo una sinapsis,

denotemos al conjunto de pares de longitudes dendríticas por C y definámoslo como

1

1, n

k kC Cγ −

== , (35)

donde para cada k el término kC denota el par con las longitudes de dos segmentos primeros

vecinos. Si el par kC lleva asociado las longitudes dendríticas ,1kL y ,2kL lo escribiremos como

,1 ,2

,1 ,2

min( , )[ , ] donde

max( , )k k k

k k kk k k

L LC

L Lα

α ββ

== =

. (36)

En la línea de los ejemplos previos, al discretizar las longitudes surge un número finito de

configuraciones conectivas. Si éstas están asociadas a los segmentos de longitud kα o a la

sección de los segmentos más largos que mide kα desde el nodo más proximal, dichas

configuraciones llevarán asociado un solo símbolo generado por cada dos contactos sinápticos

equivalentes (situados en ambos segmentos primeros vecinos a la misma distancia del nodo); si

los contactos sinápticos se producen en la sección de longitud ( )k kβ α− de los segmentos de

longitud kβ cada uno de ellos lleva asociado un solo símbolo. En el primer caso habrá

, /k kN dα α= intervalos de longitud d sobre los que se podrá producir el contacto sináptico, con

los símbolos que pueden generar denotados por ,iSα con i = 1, …, ,kNα y k = 1, …, 1n − . En el

segundo caso serán , ( ) /k k kN dβ β α= − los intervalos discretizados, con los símbolos que

pueden generar denotados por , jSβ con j = 1, …, ,kNβ y k = 1, …, 1n − . Finalmente en el caso

del segmento raíz habrá /N dγ γ= con los símbolos ,lSγ con l = 1, …, Nγ . Por último nos

referiremos a la suma de las longitudes de todos los segmentos dendríticos por L.

Las probabilidades de los distintos símbolos vendrán dadas por

,

,

,

( ) ,

2 2( ) ,

( ) si ( )( ) .

0 si

l

ki

k

k kk k

k kj

k k

d dp S

d dp S

d dp S

γ

α

β

γγα

αβ α β α

β αβ α

= =

= =

− = > −= =

L L

L L

L L

(37)


91

La 1-entropía será

( ) ( ) ( ),,1

1 , , , , , ,1 1 1 1

( ) ln ( ) ( ) ln ( ) ( ) ln ( )kkN NNn

l l i i j jl k i j

H p S p S p S p S p S p Sγ βα

γ γ α α β β

−

= = = =

= − − +

∑ ∑ ∑ ∑ (38)

sustituyendo (37) en (38) obtenemos

,,1

11 1 1 1

2 2ln ln lnkkN NNn

l k i j

d d d d d dHγ βα−

= = = =

= − − + =

∑ ∑ ∑ ∑L L L L L L

( ) ( )1 1

1 1

2 21 ln ln 2 ln ln 2LL L L L L

n nk k

k k

d dα α− −

= =

= − − = − − ⇒ ∑ ∑

( ) 1

11

2 ln 2ln

L L

n

kk

dH α−

=

⇒ = − −

∑ (39)

En conclusión la expresión (39) determina de una forma sencilla la 1-entropía de un árbol

dendrítico de grado n cuando sólo recibe una sinapsis y para el que se supone válida la

aproximación a primeros vecinos. La validez de dicha ecuación se puede testar aplicándola al

límite topológico en el ejemplo del árbol de vector-orden [1,2,3,3] sin más que hacer

1L = 2L = 3L = 4L d= lo que implica que L = 7d y que 1α = 2α = 3α = d. Sustituyendo en (39) se

obtiene

( ) ( )31 21

22 21 1 6ln ln 2 ln ln 2 .7 7 7 7 7 7

Hd d d

αα α = − − + + = − −

Si calculamos la 1-entropía en el nivel topológico (1er Nivel) directamente a partir de la ecuación

(19) con k =1 tendremos que el conjunto de órdenes será [0,1,2,1,2,3,3]; por lo tanto se pueden

formar 4 posibles símbolos, el correspondiente a la sinapsis en el segmento raíz, con

probabilidad 1/7, y los correspondientes a los contactos sinápticos en los segmentos restantes,

cada uno con probabilidad 2/7. Sustituyendo en la 1-entropía se llega a

( )11 1 6 2 1 6ln ln ln ln 2 ,7 7 7 7 7 7

H = − − = − −

que coincide con la anterior.


92

La generalización de la ecuación (39) al caso en que k sinapsis pueden contactar con él es

trivial en base a la premisa de independencia de los contactos sinápticos (2.4.1.c.), por conducir

cada uno una señal de entrada diferente. El razonamiento que condujo tanto a la ecuación (24)

para la k-entropía de 2º Nivel como a la expresión (25) para la Entropía Propia de 2º Nivel se

aplican en el presente caso, de manera que la k-entropía de 3er Nivel vendrá dada por la igualdad

1kH k H= (40)

con k = 1, …, 2 1n − , mientras que la Entropía Propia de 3er Nivel se escribirá como

1.H nH= (41)

En las medidas entrópicas previas calculábamos la entropía definitiva sumando las Entropías

Propias del nivel concreto correspondientes a todos los subárboles del árbol en cuestión (incluido

él mismo), no obstante definiremos la Entropía de 3er Nivel simplemente como la Entropía

Propia de 3er Nivel del árbol dendrítico, sin recurrir a sus subárboles. Esta diferencia en la forma

de proceder con respecto a los casos anteriores se basa en una cuestión de redundancia. En la

Entropía de 1er Nivel existían casos en que diferentes árboles dendríticos tenían iguales Entropías

Propias (por ejemplo los árboles de vectores-orden [2,2,3,3,3,3] y [2,3,3,2,3,3]) lo que hacía

necesario el contar con sus subárboles, que eran los que los diferenciaban. Esta inclusión

irremediablemente añade cierto grado de redundancia, que en este caso no es muy alto y en

compensación proporciona ventajas significativas en cuanto a la caracterización entrópica a este

1er nivel. Esto es válido también para el segundo nivel de entropía, sin embargo en este tercer

nivel la inclusión de todos los subárboles propios añade una redundancia considerable. Para verlo

basta considerar cada uno de los segmentos dendríticos por separado, que en rigor son subárboles

propios: en el primer nivel de topología la Entropía Propia de un solo segmento es nula, ya que

no puede generar más que un símbolo, al igual que en el segundo nivel, ya que su grado es uno y

por lo tanto sólo puede recibir una sinapsis; también en este caso sólo surge un símbolo. El tercer

nivel de entropía es sin embargo distinto ya que aunque también puede recibir sólo una sinapsis,

ésta puede recaer en diferentes intervalos de longitud d del segmento, y cada uno engendra un

símbolo distinto, de manera que si su longitud es grande su Entropía Propia también lo será y en

consecuencia la contribución de ésta a una posible Entropía de 3er Nivel en la que se tuviese en

cuenta aquel segmento por separado como subárbol propio, introduciría una alta redundancia. En

conclusión, definimos la Entropía de 3er Nivel de un árbol de grado n de vector-orden v como


93

1,( ) nHv =H (42)

donde 1H viene dado por (39).

Finalizamos esta sección dedicada a la descripción matemática de la Entropía de 3er Nivel

con un apunte importante acerca de la fundamentación desarrollada. En las ecuaciones y

ejemplos de la presente sección se ha asumido la validez de la aproximación a primeros vecinos

en los árboles dendríticos tratados, que se manifiesta en la presencia del segundo término en el

lado derecho de la ecuación (39). Esta asunción se debe a que en las secciones siguientes estas

medidas entrópicas se aplicarán a la caracterización de los árboles dendríticos de poblaciones

neuronales reales, obtenidas experimentalmente por Pilar Negredo y Jorge Castro para sus

trabajos de Tesis Doctoral [Castro García, 2007; Negredo, 2006], y dichas poblaciones cumplen

con las condiciones que exigía la aproximación a primeros vecinos. Este enfoque matemático

permite pues asegurar una cuantificación realista de las capacidades de estas neuronas reales

como fuentes de información discreta a nivel morfométrico.

2. RESULTADOS TEÓRICOS

Las medidas entrópicas desarrolladas en la Sección 1 tienen como objetivo la caracterización

cuantitativa de las capacidades de los árboles dendríticos para generar, procesar y/o codificar

información. En concreto se han tomado como punto de partida las propiedades topológicas

como las más básicas e inmediatas, para luego sofisticar el planteamiento e incluir circunstancias

más realistas, reflejadas en la morfometría. Lo reseñable del enfoque inicial es que la asunción

de propiedades topológicas impone restricciones al sistema formado por el árbol y sus posibles

conexiones sinápticas, que limitan a un número finito los estados posibles en los que el sistema

puede encontrarse, lo que permite asociar este abordaje informacional con las posibles

configuraciones topológicas que el árbol puede adquirir. Esto significa que las Entropías de 1er y

2º Nivel no sólo calificarán al árbol dendrítico como fuente de información sino que

adicionalmente podrán emplearse como herramienta teórica para estudiar y determinar otras

características referentes a la topología o conectividad del árbol.

Durante los últimos veinticinco años se han desarrollaron una serie de modelos matemáticos

diseñados para reproducir las características topológicas exhibidas por los árboles dendríticos de

diferentes poblaciones neuronales estudiadas experimentalmente [Dityatev, Chmykhova, Studer,


94

Karamian, Kozhanov and Clamann, 1995; Van Pelt and Verwer, 1986; Van Pelt and Uylings,

2005; Van Pelt, Dityatev and Uylings, 1997; Verwer, et al., 1987]. Según se expuso en los

Materiales y Métodos, los dos principales modelos empleados en la actualidad dan cuenta de

cada una de las propiedades topológicas referidas antes. La aparición de un árbol dendrítico con

un número concreto de segmentos terminales o grado es descrito por el modelo BE [Van Pelt,

Dityatev and Uylings, 1997] mientras que, para cada grado, la posible estructura conectiva o

topológica de los árboles dendríticos con ese núemro de segmentos terminales viene dada por el

modelo S [Van Pelt and Verwer, 1986]. Las ventajas principales de ambos modelos es que aúnan

una relativa simplicidad matemática con una considerable fidelidad a la hora de reproducir las

características mostradas por las neuronas estudiadas experimentalmente [Dityatev, Chmykhova,

Studer, Karamian, Kozhanov and Clamann, 1995; Granato and Van Pelt, 2003; Van Pelt,

Dityatev and Uylings, 1997], por lo que son ideales como generadores teóricos de poblaciones

neuronales.

Las secciones siguientes se centran en el análisis de las relaciones entre las Entropías de 1er y

2º Nivel y el proceso de desarrollo topológico de los árboles dendríticos basado en el modelo S,

investigando qué dependencia hay entre los valores entrópicos de un árbol concreto y el valor del

parámetro S que controla su estructura conectiva. Esta dependencia hace posible incluso estimar

el valor de S a partir de los valores de entropía obtenidos a partir de las medidas propuestas. A

pesar de la importancia teórica de esta conexión, uno de los hechos más notables que atañen a

estas medidas de entropía como herramientas teóricas es la posibilidad de asignar un valor

entrópico distinto a cada posible configuración conectiva que un árbol dendrítico puede adoptar.

La relevancia de esto es evidente: según se ha comentado anteriormente las diferentes topologías

de los árboles dendríticos pueden representarse matemáticamente por medio del vector-orden

[Villacorta, Castro, Negredo and Avendano, 2007] o de las particiones [Harding, 1971; Van Pelt

and Verwer, 1986], pero su manejo es necesariamente complejo ya que concierne al orden en la

disposición de los distintos subárboles, orientación, ambigüedades, etc. No obstante el asignar a

cada posible topología un número (en una relación casi uno a uno) elimina estos problemas y

permite un manejo matemático inmediato de los árboles dendríticos a nivel topológico.

Para finalizar se demostrará que existe una fuerte relación entre las Entropías de 1er y 2º

Nivel, y el orden máximo del árbol caracterizado, lo que habilita a dicha propiedad topológica

como un estimador entrópico válido y revela su importancia respecto a otros parámetros

topológicos del árbol dendrítico. Estos estudios, aunque son válidos tanto para la Entropía de 1er

Nivel como para la de 2º Nivel, se han llevado a cabo sólo con la de primera medida, haciéndose


95

extensivos al siguiente nivel en base a la fuerte correlación que existe entre ambas medidas

entrópicas, como se demuestra en la última sección de esta parte dedicada a los resultados

teóricos.


En esta sección se estudiará la Entropía de 1er Nivel analizando en primer lugar su relación

teórica con la estructura topológica genérica de los árboles a través de su conexión con el

parámetro S en que se basa el modelo S de desarrollo dendrítico [Van Pelt and Verwer, 1986].

Esta conexión no sólo revela la profunda base teórica de esta medida, además proporciona un

nuevo método para estimar el valor de S asociado a la población neuronal en estudio. A pesar de

que esto supone un uso adicional de esta medida no se debe olvidar que la caracterización del

árbol dendrítico por medio de la Entropía de 1er Nivel tiene como objetivo primordial la

cuantificación a nivel topológico de la propiedad fundamental de esas estructuras, su capacidad

para generar / codificar / procesar información. Dicha cuantificación funciona de forma tan

eficaz que permite asociar a cada posible topología del árbol dendrítico y de manera

prácticamente biunívoca un valor de esta medida entrópica. Finalmente se explora la conexión

entre la Entropía de 1er Nivel y la topología de los árboles dendríticos representada por dos

parámetros, el orden máximo y el grado, demostrándose que la primera magnitud presenta una

fuerte correlación con aquella y en consecuencia puede ser utilizada como un estimador

adecuado de la medida entrópica estudiada.

2.1.1. LA ENTROPÍA DE 1er NIVEL Y EL PARÁMETRO DE DESARROLLO S

La caracterización de la capacidad de los árboles dendríticos como fuentes generadoras de

información depende en esta primera medida de sus características topológicas fundamentales,

osease el número de segmentos terminales y la distribución conectiva de estos según su orden.

Puesto que esta parte sólo se centrará sobre las propiedades genéricas de la Entropía de 1er Nivel,

es decir sin referirla a ningún caso práctico concreto, es necesaria una herramienta que permita

abordar teóricamente cómo las anteriores cualidades topológicas influyen sobre el procesamiento

de información de la estructura dendrítica correspondiente.

La sección 1.1. mostró cómo para árboles dendríticos del mismo grado, y considerando sólo

sus propiedades topológicas, su capacidad para generar información dependía de la disposición


96

de sus segmentos. La dificultad en este punto surge al apreciar que el número de las posibles

configuraciones conectivas aumenta con el grado de forma exponencial [Harding, 1971; Van

Pelt, Dityatev and Uylings, 1997], lo que significa que para grados altos habrá muchos tipos de

árboles con el mismo número de segmentos terminales. A pesar de que ello podría implicar una

gran dispersión de las posibles entropías veremos enseguida que ese no es el caso.

El modelo S describe el desarrollo de la conectividad en una población de árboles dendríticos

en base al valor del parámetro S (S∈[0,1]) cuando se asume fijado su grado o número de

segmentos terminales. Así pues, suponiendo un valor determinado para S y un grado concreto

calculamos la probabilidad de aparición de cada posible configuración sináptica [Van Pelt and

Verwer, 1986] junto con el valor de su Entropía de 1er Nivel, para finalmente obtener su media y

desviación estándar (SD) ponderadas por esas probabilidades de aparición. Esto sólo atañe a la

relación entre esta entropía y S por lo tanto la influencia de otros aspectos del desarrollo

dendrítico, y en concreto las descritas por el modelo BE, no se han considerado. A pesar de que

se debe ser muy cauto en este aspecto, en general es posible separar los efectos de ambos

modelos de crecimiento dendrítico y tratarlos, en las debidas condiciones, de forma

independiente [Villacorta, Castro, Negredo and Avendano, 2007].

En términos teóricos las circunstancias realistas de desarrollo dendrítico a nivel topológico

corresponderían a considerar simultáneamente los modelos BE y S (en vez del más complejo

modelo BES [Villacorta, Castro, Negredo and Avendano, 2007]). Según ya se ha comentado el

modelo BE proporciona la distribución del número de árboles pertenecientes a una población

según su grado, o en términos probabilísticos cuantifica la probabilidad de que aparezca un árbol

con un cierto número de segmentos terminales; una vez considerada la subpoblación de árboles

con un grado concreto la distribución de las diferentes estructuras de ramificación dentro de esa

subpoblación viene dada por el modelo S. En el caso que nos ocupa obtenemos la media

ponderada y la desviación típica de la entropía fijando el grado y considerando todos los posibles

árboles del grado dado21, cosa que en la realidad no sería así ya que la población generada

tendría diferente número de árboles para distintos grados dependiendo de los valores de los

parámetros B y E. A pesar de ello el enfoque adoptado es válido ya que si el tamaño de la

población es suficientemente grande también lo será el tamaño de cada subpoblación

21 Puesto que es una media ponderada, para cada grado el valor de la Entropía de 1er Nivel de cada árbol de la

subpoblación correspondiente a ese grado se multiplica por la probabilidad de que aparezca dicho árbol dendrítico

según el modelo S; la media ponderada buscada será la suma de esos productos.


97

correspondiente a cada grado y por lo tanto las correspondientes medias y desviaciones típicas de

la Entropía de 1er Nivel tenderán a las obtenidas teóricamente, representadas en la Figura 16.

En definitiva en esta figura se muestra gráficamente los resultados del procedimiento

anterior, el cual nos da una relación entre la media y SD de la entropía en relación tanto al grado

de los árboles como al valor del parámetro S que controla el desarrollo de la topología según el

modelo S. Se representan simultáneamente las curvas correspondientes a S = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8

y 1 en sentido descendente. La Figura 16.a presenta la dependencia con el grado de la Entropía

de 1er Nivel esperada (media ponderada) para los diferentes valores de S, revelando un

comportamiento muy cercano a la linealidad (la bondad de ajuste lineal para los diferentes

valores de S está entre 0.9988 y 0.9995). La desviación típica representada en la figura 16.b

aumenta también de forma lineal con el grado para pequeños valores de S y de manera sublineal

para S cercano a uno.

a

Grado

4 6 8 10 12 14

Med

ia E

ntro

pía

1er N

ivel

5

10

15

20

25

b

Grado

4 6 8 10 12 14

SD E

ntro

pía

1er N

ivel

1

2

3

4

Figura 16. Dependencia de la media ponderada (a) y SD (b) de la Entropía de 1er Nivel con el grado. Los momentos

estadísticos han sido obtenidos para diferentes valores del parámetro S (ver detalles en el texto), en concreto las

curvas representadas corresponden a S = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y 1 en sentido descendente.

La consecuencia más relevante de este análisis se obtiene cuando se compara la dependencia

de la media y SD de la entropía con respecto al grado, con la misma dependencia de la asimetría

media y de su correspondiente desviación típica con respecto al grado. La asimetría es una

característica del árbol dendrítico introducida originalmente para caracterizar la topología de los

distintos árboles y cuantifica la relación entre los grados de cada uno de los dos subárboles que


98

surgen de cada nodo del árbol: la asimetría es mayor cuanto más diferentes son esos grados [Van

Pelt, Uylings, Verwer, Pentney and Woldenberg, 1992]. Procediendo con esta medida de la

misma forma en que se hizo con la Entropía de 1er Nivel obtenemos la Figura 17.a para la

dependencia entre la asimetría media y el grado, y la Figura 17.b para la relación SD asimetría -

grado.

a

Grado

4 6 8 10 12 14

Med

ia A

sim

etría

0,34

0,36

0,38

0,40

0,42

0,44

0,46

0,48

b

Grado

4 6 8 10 12 14

SD A

sim

etría

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

Figura 17. Dependencia de la media (a) y SD (b) de la asimetría con el grado. Los momentos estadísticos han sido

obtenidos para S = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y 1 en sentido descendente, de la misma forma que en la Figura 16.

El cotejo de las Figuras 16 y 17 revela claramente que la Entropía de 1er Nivel supera con

creces a la asimetría como medida para caracterizar la topología de los árboles dendríticos. En

primer lugar la media de la entropía varía con el grado de forma más simple, casi lineal, mientras

que la asimetría media depende del número de segmentos terminales de forma más compleja,

siguiendo una variación oscilante-amortiguada, lo que indicaría que la Entropía de 1er Nivel es

una medida topológica más natural que la asimetría, más acorde con la naturaleza de la estructura

topológica de los árboles dendríticos; el mismo razonamiento puede hacerse con la dependencia

entre el grado y la SD de cada medida. En segundo lugar las Figuras 16.b y 17.b muestran la

magnitud de la desviación estándar, lo que en comparación con la media de cada medida indica

que la asimetría tiene una dispersión considerablemente mayor que la entropía. Esto se aprecia

mucho mejor en las Figura 18.a y 18.b, donde se representa simultáneamente para cada medida

su media y SD, ésta en forma de barras de error. Estas figuras demuestran el menor solapamiento

que presenta la medida entrópica para los valores extremos del parámetro S (S = 0 y 1) en


99

comparación con la asimetría, demostrando que la Entropía de 1er Nivel es una medida más

precisa.

a

Grado

4 6 8 10 12 14

Entr

opía

1er

Niv

el

5

10

15

20

25

30

S = 0S = 1

b

Grado

4 6 8 10 12 14A

sim

etría

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

S = 0S = 1

Figura 18. Variación de la Entropía de 1er Nivel (a) y la asimetría (b) con el grado. En cada caso se representa la

media como círculos y la desviación típica en forma de barras de error, y se ha empleado los dos valores extremos

del parámetro S, S = 0 y S = 1 en sentido descendente.

Relación analítica entre la Entropía de 1er Nivel y S

El análisis que ha conducido a la Figura 16 ha mostrado que la relación entre la media y la

desviación típica de la medida de entropía y el parámetro S parece ser muy sencilla, tanto que es

posible obtener una muy buena aproximación analítica a dicha dependencia. Esto se aprecia en la

Figura 19, donde se ha representado la dependencia entre la Entropía de 1er Nivel y el valor de S

cuando se asume un número fijo de segmentos terminales para el árbol dendrítico22. La Figura

19.a muestra cómo la media de la entropía varía cuasilinealmente con S para grados entre 4 y 14,

mientras que la desviación típica, Figura 19.b, depende de S de forma cuadrática para el mismo

rango de variación de n.

22 La obtención de la dependencia entre los dos primeros momentos estadísticos de la Entropía de 1er Nivel y el

parámetro S según el valor del grado (Figura 19) se ha hecho siguiendo el mismo procedimiento que condujo a las

Figuras 16 y 17.


100

a

S

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Med

ia E

ntro

pía

1er N

ivel

5

10

15

20

25

b

S

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

SD E

ntro

pía

1er N

ivel

1

2

3

4

Figura 19. Representación de la media (a) y de la desviación típica (b) de la Entropía de 1er Nivel en función del

parámetro de crecimiento S y del grado n del árbol dendrítico. En ambas figuras cada curva corresponde a un grado

desde n = 4 a n = 14 en sentido ascendente.

En base a la Figura 19 la relación analítica buscada tanto para la media como para la

desviación típica de la medida entrópica con respecto al parámetro S vendrá dada por las

ecuaciones

2

2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )Entr

Entr

M a n S b n S c n

SD d n S e n S f n

= + +

= + + (43)

donde cada coeficiente es una función del grado n que se ajustará en base a los resultados

ilustrados por la Figura 16. En concreto en el caso de la media de la Entropía de 1er Nivel cada

coeficiente vendrá dado por una función cuadrática del grado, mientras que para la SD la forma

en que cada coeficiente depende de n será algo más compleja. De este modo, para la media EntrM

se determina su dependencia con S para cada uno de los once grados n considerados (n entre 4 y

14) (Figura 15.a), lo que nos da once valores de, por ejemplo, el coeficiente a(n), uno para cada

grado. Este conjunto de valores se ajusta entonces a una función cuadrática de n (que es la

función motivada por las curvas de la Figura 12.a) y se obtiene la dependencia entre a y el grado.

Este proceso repetido para los coeficientes b(n) y c(n) conduce a las igualdades

2

2

2

( ) 0.022137 0.07708 0.080701,( ) 0.037676 0.073402 0.78613,( ) 0.036165 1.57078 3.53309,

a n n nb n n nc n n n

= − −

= − − +

= + −

(44)


101

de donde la relación analítica deseada entre la media de la Entropía de 1er Nivel y el parámetro S

viene dada por

]

2 2 2

2

0.022137 0.07708 0.080701 0.037676 0.073402

0.78613 0.036165 1.57078 3.53309 .

EntrM n n S n n

S n n

= − − − + − − + + −

(45)

En todos los casos la bondad de los ajustes está por encima de 0.9998.

Aplicando el mismo procedimiento a los coeficientes d(n), e(n) y f(n) correspondientes a la

desviación típica de la entropía y asumiendo una mayor complejidad en su dependencia del

grado n obtenemos que

5 8 3 7 6 5 4

3 2

3 2

2

( ) 0.65005 10 0.47729 10 0.014978 0.26179 2.780418.329 73.04646 160.56447 148.95897,

( ) 0.0012445 0.045422 0.10163 0.30742,( ) 0.0021269 0.37182 0.90423,

d n n n n n nn n n

e n n n nf n n n

− −= − ⋅ + ⋅ − + − +

+ − + −

= − + +

= − + −

(46)

con lo que la desviación típica vendrá dada analíticamente en función de S y del grado n como

5 8 3 7 6 5 4

3 2 2 3

2 2

0.65005 10 0.47729 10 0.014978 0.26179 2.7804

18.329 73.04646 160.56447 148.95897 0.0012445

0.045422 0.10163 0.30742 0.0021269 0.37182 0.90423.

EntrSD n n n n n

n n n S n

n n S n n

− −= − ⋅ + ⋅ − + − + + − + − + −

− + + − + −

(47)

Los ajustes anteriores tienen una bondad por encima de 0.9999.

La dependencia de la Entropía de 1er Nivel respecto al parámetro S y al grado n dada por las

ecuaciones (45) y (47) es más simple de lo que puede parecer, según se aprecia al observar su

representación gráfica dada en la Figura 20. Se constata una vez más la idoneidad de esta medida

como caracterización de la topología de los árboles dendríticos: la forma tan sencilla en la que la

entropía propuesta depende de dos de los principales parámetros topológicos que controlan la

estructura dendrítica de ramificación (S y n) indica que ésta es una medida natural para el estudio

de los árboles a este nivel descriptivo.


102

Figura 20. Representación gráfica de las relaciones analíticas (45) y (47) de los dos primeros momentos estadísticos

de la Entropía de 1er Nivel (a y b respectivamente) con respecto al parámetro de desarrollo S y al número de

segmentos terminales (grado) n.

Estimación de S a partir de la Entropía de 1er Nivel. Rendimiento de los diferentes métodos

Las relaciones analíticas anteriores, junto con la gran bondad de ajuste proporcionada, brindan la

posibilidad de estimar el valor del parámetro S a partir de la distribución estadística de la

Entropía de 1er Nivel, medida en una determinada población neuronal por medio de las

ecuaciones (45) y (47). En la literatura el ajuste del valor del parámetro S en el que se

fundamenta el modelo S se establece por medio de dos procedimientos, el conocido Método de

Máxima Verosimilitud (MLM) y a partir de la cuantificación de la asimetría poblacional

[Dityatev, Chmykhova, Studer, Karamian, Kozhanov and Clamann, 1995; Van Pelt and

Schierwagen, 2004; Van Pelt, Uylings, Verwer, Pentney and Woldenberg, 1992] aunque el orden

centrífugo también puede emplearse para obtener una aproximación [Van Pelt and Uylings,

2005]. En términos generales el MLM es uno de los métodos más versátiles de ajuste de

parámetros en modelos matemáticos y consiste en la maximización de la denominada función de

máxima verosimilitud que describe la probabilidad de que aparezca la secuencia de eventos

obtenida (en este caso una determinada población de árboles) en función del parámetro a ajustar

(el parámetro S). La versatilidad de este procedimiento implica sin embargo que su

implementación es considerablemente más costosa que otros métodos más específicos adaptados

a las circunstancias concretas en las que nos movamos. La ponderación de las ventajas e

inconvenientes de los dos métodos anteriores más el método propuesto basado en las ecuaciones

(45) y (47) para la estimación del valor del parámetro S será el objeto de la siguiente discusión.


103

La forma óptima de comparar una serie de procedimientos concernientes a una cierta

propiedad o propiedades de los árboles dendríticos sería la de aplicarlos simultáneamente sobre

una población neuronal real suficientemente grande y cotejar los resultados obtenidos por cada

método. Este enfoque es en la práctica muy restrictivo, ya que con las herramientas de que se

dispone hoy en día el tratamiento experimental, reconstrucción y posterior análisis

computacional de los árboles dendríticos es una tarea ardua y muy compleja [Horcholle-

Bossavit, Gogan, Ivanov, Korogod and Tyc-Dumont, 2000; Scorcioni, Lazarewicz and Ascoli,

2004]. Por esta razón se ha optado por el empleo de árboles dendríticos artificiales obtenidos a

partir de simulación matemática utilizando los modelos de desarrollo BE y S. De hecho puesto

que el parámetro S, cuyo valor deseamos obtener, controla la variabilidad topológica de cada

subpoblación dendrítica de grado fijo, aplicaremos cada uno de los métodos sobre dicha

subfamilia, por lo que prescindiremos de la aplicación del modelo BE y supondremos el mismo

número de árboles dendríticos para cada grado considerado.

Partimos pues de un valor teórico de S = 0.5 que introducimos en el modelo S fijando el

número de segmentos terminales. Generamos entonces una serie de subpoblaciones de árboles

dendríticos de grado fijo entre 4 y 14, ambos incluidos, mediante simulación computacional y

siguiendo las ecuaciones de dicho modelo [Van Pelt and Verwer, 1986]; el tamaño de estas

subfamilias será de entre 50 y 100 miembros (variando dicho tamaño de diez en diez). Sobre

cada una de estas subpoblaciones aplicamos los tres métodos de estimación del parámetro S de

forma que obtenemos un valor de S para cada método y para cada tamaño de la subfamilia

respectiva. Debido a que el fundamento del procedimiento descrito es eminentemente estocástico

se debe repetir un número suficientemente alto de veces como para obtener conclusiones

estadísticamente validas, por lo que se ha repetido 1000 veces el procedimiento, obteniéndose la

media y desviación típica de los valores de S estimados.

Los resultados de estas pruebas se muestran en la Figura 21, donde se representan por

separado la media y la desviación típica de las estimaciones obtenidas por medio del método de

la asimetría, de máxima verosimilitud y de la Entropía de 1er Nivel. En contra de lo que ocurre en

numerosas situaciones en las que la media es el dato de mayor importancia, en el presente caso

es la desviación típica la que centra nuestro interés puesto que el procedimiento que aquí se ha

repetido mil veces, en condiciones experimentales reales sólo puede hacerse una sola vez

(normalmente, en esas circunstancias, se posee una única población de árboles dendríticos de las

características requeridas). De este modo la media, que es lo que se esperaría obtener bajo las

condiciones adecuadas (e imposibles de cumplir rigurosamente en la práctica) pasa a ser


104

secundaria frente a la medida de cuánto se dispersan las estimaciones obtenidas con cada

método, es decir la desviación típica. Por esta razón la figura 21 hace más hincapié en la SD que

en la media, la cual, según se muestra, está por debajo del 2% en casi todos los casos y por lo

tanto resulta una estimación adecuada del valor esperado. Se concluye de los resultados

representados que el método más inexacto es el basado en la asimetría por ser el que presenta

más dispersión mientras el MLM y el método basado en la Entropía de 1er Nivel son

considerablemente más precisos, siendo el de máxima verosimilitud el más preciso de los tres.

nº árboles

50 60 70 80 90 100

SD S

Estim

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

AsimetríaMLM Entropía 1er Nivel

50 60 70 80 90 100

Med

ia | S

- SE

stim

|

0,000

0,009

0,018

Figura 21. Comparación del valor del parámetro S predicho por los métodos de la asimetría (círculo negro), de la

Entropía de 1er Nivel (triángulo negro) y de máxima verosimilitud o MLM (círculo blanco). Se ha generado una

serie de 1000 familias de árboles dendríticos a partir del modelo S con S = 0.5. Cada familia está compuesta por

subfamilias que agrupan los árboles de igual grado (desde 4 hasta 14), y cada subfamilia posee el mismo número de

árboles, desde 50 hasta 100. Sobre cada una de estas familias se aplicaban los tres métodos, obteniéndose tres

estimaciones diferentes de S; tras repetir el proceso con las 1000 familias se consideró la media y SD de todas las

estimaciones calculadas a partir de cada procedimiento (ver detalles en el texto). En la figura y representada en

pequeño se muestra la variación de la media de cada estimación (restada del valor exacto), junto a la de la

desviación típica con respecto al tamaño de las subfamilias de grado constante.

Las conclusiones extraídas de la Figura 21 reflejan sólo un aspecto de la utilidad de cada uno

de los tres procedimientos discutidos de cara a la estimación del valor del parámetro S asociado a

una cierta población de árboles dendríticos. En general el empleo de uno u otro método


105

dependerá de las circunstancias exactas en las que se desenvuelva el estudio; no obstante existe

una serie de características que hacen más plausible el uso de unos métodos frente a otros, como

son la precisión, ya analizada, o su implementación y con ello su versatilidad. En este sentido

tanto el método basado en la Entropía de 1er Nivel como el basado en la asimetría son mucho

más inmediatos y sencillos de programar y procesar que el método de máxima verosimilitud, y la

adaptación de aquellos a nuevas poblaciones neuronales es más directa que en el caso del MLM.

Todas estas circunstancias permiten concluir que el método de entropía combina las ventajas de

precisión, implementación y versatilidad de los otros dos procedimientos, pero con una

particularidad que lo hace especialmente propicio para su uso como estimador del valor de S, el

del significado intrínseco que tiene la medida de entropía en que se fundamenta. El

procedimiento basado en la entropía se asienta sobre la propiedad fundamental de los árboles

dendríticos, que consiste en su capacidad de generar (procesar) información, por lo que no es

simplemente un método de ajuste de parámetros, como ocurre con los métodos de la asimetría y

de máxima verosimilitud, sino que de hecho su potencial para estimar el parámetro S es una

propiedad secundaria frente a su significación conceptual. Este estudio evidencia pues las

ventajas de emplear la medida entrópica como una forma de caracterizar los árboles dendríticos,

sin embargo una de sus cualidades más interesantes se revela al estudiar la correspondencia entre

cada árbol topológicamente diferente y el correspondiente valor de su Entropía de 1er Nivel.

2.1.2. SENSIBILIDAD DE LA ENTROPÍA DE 1er NIVEL

En la actualidad los estudios morfológicos de las estructuras dendríticas en neuronas chocan con

dificultades muy serias a la hora, ya no sólo de cuantificar sus características, sino siquiera de

definir cuáles de esas características son relevantes para caracterizar al árbol dendrítico. De los

dos niveles descriptivos básicos, el topológico y el morfométrico, el primero, más sencillo, posee

varios parámetros que permiten dar una visión cuantificada de la topología del árbol, como son el

grado o número de segmentos terminales, el orden de estos, su asimetría, etc. Por su parte a nivel

morfométrico aparecen muchos más parámetros importantes, como son las longitudes de los

segmentos dendríticos, sus diámetros, tortuosidad, la orientación espacial del propio árbol, etc.

Este gran número de parámetros descriptivos supone ya un reto importante a la hora de decidir

cuáles de ellos nos proporcionarán la información que nos interesa [Scorcioni, Lazarewicz and

Ascoli, 2004]. No obstante, en general la caracterización significativa del árbol dendrítico suele

estar no ya en los valores cuantitativos de los anteriores parámetros sino en la relación existente


106

entre ellos (por ejemplo la dependencia de la longitud de los segmentos terminales con su orden

respectivo) lo que aumenta considerablemente la complejidad de los análisis morfológicos.

Esta situación motiva la búsqueda de nuevas medidas que permitan o bien concentrar varios

de los anteriores aspectos descriptivos o bien dar un nuevo enfoque que proporcione

caracterizaciones más relevantes. Dentro de este último grupo se encontraría el ya comentado

índice de asimetría o simplemente asimetría. Esta medida posee como ventaja principal una alta

capacidad para discriminar las diferentes disposiciones topológicas que un árbol dendrítico de un

cierto grado puede adoptar, asignando a cada una de ellas su valor de asimetría [Van Pelt,

Uylings, Verwer, Pentney and Woldenberg, 1992], sin embargo en su contra tiene que de por sí

la asimetría no es una propiedad dendrítica de gran relevancia por cuantificar sólo muy a grosso

modo la topología de los árboles dendríticos atendiendo al número de segmentos terminales que

quedan a ambos lados de cada nodo de ramificación. Prueba de ello es que aunque se trata de una

medida relativamente sensible en comparación a las que existían entonces, la correspondencia

entre cada tipo de estructura topológica (considerado fijo el grado del árbol dendrítico) y el valor

de su correspondiente asimetría dista mucho de ser uno a uno [Van Pelt, Uylings, Verwer,

Pentney and Woldenberg, 1992].

La introducción de la Entropía de 1er Nivel como medida para la caracterización de las

diferentes topologías que puede adoptar un árbol dendrítico de grado concreto cambia

radicalmente este panorama, como muestra gráficamente la Figura 22. Dado un número

determinado de segmentos terminales, la cantidad de formas topológicamente diferentes en que

un árbol dendrítico puede ramificarse es finita aunque alcanza números muy elevados a partir de

la decena de segmentos terminales [Harding, 1971]. Para cada una de esas formas se calcula la

entropía topológica y el índice de asimetría, y se cuantifica la sensibilidad de cada medida, es

decir para cuántas de las posibles estructuras de ramificación que puede adquirir un árbol

dendrítico de grado dado se repiten los valores obtenidos con una u otra medida. Por ejemplo, de

las 451 posibles topologías para grado doce, 450 de ellas tienen valores diferentes de Entropía de

1er Nivel (un 99.8%) mientras que sólo aparecen 266 con valores diferentes en su índice de

asimetría (un 59%), con lo que la sensibilidad en este caso es casi del doble para la medida

entrópica respecto a la proporcionada por la asimetría. La generalización de esta situación a los

grados entre 4 y 14 (ambos incluidos) se representa en la Figura 22, donde la sensibilidad de

cada medida se presenta en forma de porcentaje respecto al total de los posibles árboles

topológicamente distintos para cada grado.


107

Grado

4 6 8 10 12 14

nº á

rbol

es (%

)

40

50

60

70

80

90

100

Entropia de 1er NivelAsimetria

Figura 22. Sensibilidad de la Entropía de 1er Nivel (círculo negro) y del índice de asimetría (círculo gris) con

respecto al grado. Se calcula, para cada grado, como porcentaje de los árboles topológicos con valores diferentes de

cada medida con respecto al total de los árboles topológicamente distintos para dicho grado.

La gran sensibilidad mostrada por la entropía topológica permite caracterizar casi

completamente la topología de cualquier árbol dendrítico a través de su capacidad como fuente

generadora de información. Esta es una de las principales propiedades de la medida entrópica

propuesta ya que condensa de forma prácticamente biunívoca las características de ramificación

del árbol dendrítico en un número, posibilitando así una manipulación matemática adecuada de

la topología dendrítica, y permitiendo, a este nivel descriptivo, comparar las poblaciones

dendríticas entre sí, organizarlas cuantitativamente, etc.. De nuevo comparándola con la

asimetría como la otra alternativa existente para la caracterización cuantitativa de la topología de

los árboles dendríticos, la Entropía de 1er Nivel se revela como un enfoque más lógico y natural.

2.1.3. RELACIÓN ENTRE LA ENTROPÍA DE 1er NIVEL Y LA TOPOLOGÍA

DENDRÍTICA

El objetivo principal de la Entropía de 1er Nivel es el de describir la estructura topológica de un

árbol dendrítico desde un punto de vista funcional, o mejor dicho desde el punto de vista

funcional, ya que lo caracteriza según la propiedad fundamental de las dendritas: su capacidad

para procesar información. Parece lógico entonces preguntarse si a pesar de la relativa


108

complejidad de la medida desarrollada existe alguna relación entre ella y determinada propiedad

topológica de los árboles dendríticos. La respuesta es que, en efecto, esta relación no sólo existe

sino que además de ser relativamente sencilla enlaza la Entropía de 1er Nivel con un concepto

dendrítico muy simple: el orden máximo.

Según se vio anteriormente, el orden centrífugo, o simplemente orden, de un segmento

dendrítico, tanto terminal como intermedio, designaba a la distancia topológica (distancia en

unidades de segmentos dendríticos) entre dicho segmento y el segmento raíz. Denominaremos

entonces orden máximo a la mayor de estas distancias, es decir al mayor de entre los órdenes

centrífugos asociados a segmentos terminales, o en términos del vector-orden, el orden máximo

será el mayor de los números que lo componen. Obviamente ésta será una propiedad de todo el

árbol dendrítico.

La relación entre la Entropía de 1er Nivel y el orden máximo se probó teóricamente

asumiendo de nuevo la validez del modelo S y fijando el valor del parámetro S en sus dos valores

extremos 0 y 1. Establecido el valor de S se asoció cada valor posible del orden máximo (entre 1

y 13 para árboles hasta grado 14) con el conjunto de valores de la entropía de los árboles

dendríticos que tenían a dicho valor como mayor orden centrífugo; finalmente de ese conjunto de

valores de entropía se obtuvo la media y desviación típica ponderadas con la probabilidad de

aparición de cada árbol según el modelo S y por tanto según el valor del parámetro S. Los

resultados se muestran gráficamente en la Figura 23.a.

En vista de la relación obtenida cabe preguntarse si ocurre algo parecido con otros conceptos

topológicos relevantes. Esta posibilidad se ha explorado tomando el grado del árbol dendrítico,

es decir el número de sus segmentos terminales, como una característica dendrítica que permita

estimar la Entropía de 1er Nivel correspondiente. El procedimiento seguido ha sido el mismo

descrito para el orden máximo y los resultados se resumen en la Figura 23.b.


109

a

Orden Máximo

1 3 5 7 9 11 13

Entr

opía

1er

Niv

el

0

10

20

30

40

50

60

S = 0S = 1

b

Grado

1 3 5 7 9 11 13 15

Entr

opía

1er

Niv

el

0

10

20

30

S = 0S = 1

Figura 23. Relación entre la Entropía de 1er Nivel y la topología del árbol dendrítico representada por el orden

máximo (a) y el grado (b). Para ambas figuras se han considerado los dos casos extremos del modelo S, S = 0 y S =

1. A cada posible valor del orden máximo y del grado se le ha asociado la media y SD de las Entropías de 1er Nivel

de todos los árboles con ese valor en la característica topológica correspondiente.

La Figura 23 muestra que las relaciones entre la Entropía de 1er Nivel y los parámetros

topológicos de orden máximo y grado son cercanas a la linealidad, sin embargo el orden máximo

(Figura 23.a.) es con diferencia una medida mucho más correlacionada con la medida de

entropía, y por tanto mucho mas plausible como estimador de esta, por dos razones: en primer

lugar las bajas desviaciones típicas revelan que la dependencia entre los valores entrópicos y los

del orden máximo es más cercana a la correspondencia biunívoca que en el caso del grado ya que

implica un menor solapamiento de las distribuciones de entropías correspondientes a órdenes

máximos vecinos. Por el contrario la Figura 23.b. muestra una gran superposición entre las

barras de error vecinas con lo que la asignación de un valor de entropía a un determinado grado

es mucho más imprecisa. En segundo lugar la Entropía de 1er Nivel se relaciona con el orden

máximo sin depender de las características topológicas concretas, es decir del valor del

parámetro S, lo que demuestra que ésta es una relación más básica que la que existe entre la

medida entrópica propuesta y el grado del árbol, que depende fuertemente del tipo de topología

dendrítica que exhiba la población neuronal estudiada.

Los resultados expuestos en la Figura 23 son muy reveladores sin embargo se trata de un

abordaje teórico del problema; sólo se ha considerado la influencia de la topología del árbol

dendrítico (modelo S), no su distribución a lo largo de una determinada población desarrollada

en condiciones realistas, dada por el modelo BE. En la realidad experimental las poblaciones de

árboles dendríticos exhiben subpoblaciones con grado fijo de diferentes tamaños (determinados


110

éstos por los valores de los parámetros B y E), lo que influye en cómo se distribuyen las

características topológicas, en concreto el orden máximo y el grado, y que por ende afecta a las

correlaciones entre entropía y parámetros topológicos estudiadas antes. Por todo ello y a modo

de aplicación práctica de la anterior relación se ha simulado computacionalmente el desarrollo de

dos poblaciones de árboles dendríticos partiendo de los modelos BE y S con los valores para los

parámetros B y E de B = 3, E = 0.9 y S con S = 0 y 1 (con estos valores se pretende que ambas

poblaciones se encuentren en la región paramétrica más realista, según se aprecia en la Figura 4

de [Van Pelt, Dityatev and Uylings, 1997]); cada población está compuesta por 100 árboles.

Dentro de cada una de estas poblaciones se agrupan los árboles según su orden máximo o su

grado y se toman sus correspondientes Entropías de 1er Nivel, de las cuales se calculan su media

y desviación típica, comparándose como en la Figura 23. Los resultados se exponen en la Figura

24.

a

Orden Máximo

0 1 2 3 4 5 6

Entr

opía

1er

Niv

el

0

2

4

6

8

10

12

14

S = 0S = 1

b

Grado

1 3 5 7 9 11

Entr

opía

1er

Niv

el

0

2

4

6

8

10

12

14

16

S = 0S = 1

Figura 24. Relación entre la Entropía de 1er Nivel y la topología del árbol dendrítico representada por el orden

máximo (a) y el grado (b) en condiciones realistas. En cada caso se han considerado dos poblaciones de 100 árboles

dendríticos cada una obtenidas por simulación computacional a partir de los modelos BE y S. Los valores de los

parámetros B, E y S correspondientes a ambas poblaciones son B = 3, E = 0.9 y S = 0 (círculos negros), y B = 3, E =

0.9 y S = 1 (círculos grises). A cada posible orden máximo y grado se le ha asociado la media y SD de las Entropías

de 1er Nivel de todos los árboles con dichos valores en esas variables topológicas.

La introducción de condiciones realistas impone las restricciones previstas sobre los grados y

órdenes máximos esperados ya que la población de árboles dendríticos generada a partir de los

modelos de crecimiento BE y S se distribuye según su grado siguiendo una forma de campana

con su máximo entre los grados 3 y 4. Al margen pues de estas circunstancias se aprecia


111

claramente cómo las características que aparecían en la Figura 23, haciendo del orden máximo

un estimador topológico de la Entropía de 1er Nivel más ventajoso que el grado, se reflejan

también en situaciones realistas. Así el solapamiento entre desviaciones típicas correspondientes

a órdenes máximos vecinos es menor que para el grado y las diferencias para los distintos valores

de S son menores; además los valores medios de la entropía guardan una dependencia más

definida con respecto al orden máximo que en relación al grado.

La conexión establecida en esta sección entre la entropía topológica y el orden máximo

conlleva varias ventajas importantes tanto teóricas como prácticas. La fuerte correlación entre la

medida entrópica propuesta y la topología de árbol dendrítico a través del orden máximo permite

hacer una estimación rápida de la capacidad del árbol para procesar información, sin embargo

sólo se trata de una estimación, por lo que un abordaje que exija más precisión (ver sección

Resultados Experimentales) hace necesaria la aplicación de la Entropía de 1er Nivel. En cualquier

caso la consecuencia más importante de esta relación es quizás la de revelar que un concepto

topológico tan sencillo como el orden máximo de los segmentos terminales del árbol dendrítico

tiene en realidad una significación considerable dentro de la funcionalidad del árbol. Éste es un

hecho de importancia ya que proporciona un criterio sólido y objetivo para escoger al orden

máximo como una medida representativa de la topología del árbol dendrítico entre los múltiples

parámetros y relaciones existentes [Scorcioni, Lazarewicz and Ascoli, 2004].

2.2. ENTROPÍA DE 2º NIVEL

La caracterización que proporciona la Entropía de 1er Nivel acerca de la capacidad de los árboles

dendríticos para procesar información se amplía en la Entropía de 2º Nivel para abarcar

circunstancias más realistas, conservando el enfoque topológico y añadiendo condiciones

morfométricas de tal modo que, según se discutió anteriormente, ambas entropías marquen los

extremos entre los que cualquier caso real queda topológicamente caracterizado como fuente de

información.

El estudio de la estructura teórica de la Entropía de 2º Nivel no se llevará a cabo siguiendo lo

hecho para la Entropía de 1er Nivel, ya que se demostrará que ambas medidas, a pesar de las

drásticas diferencias en cuanto a su fundamentación, están fuertemente relacionadas. Esta

circunstancia es de una gran relevancia y sus implicaciones en cuanto a las propiedades de

procesamiento de la información de los árboles dendríticos son profundas. Finalmente, y por


112

analogía con la investigación llevada a cabo con la Entropía de 1er Nivel, se expondrán de forma

somera algunas conclusiones acerca de las relaciones de la Entropía de 2º Nivel con el parámetro

S, de su sensibilidad y de su conexión con la topología a través del orden máximo y el grado.

2.2.1. RELACIÓN ENTRE LA ENTROPÍA DE 1er NIVEL Y LA ENTROPÍA DE 2º

NIVEL

El análisis de las propiedades de los árboles dendríticos plantea el importante problema de que

estos se presentan agrupados en poblaciones con ciertas características comunes, de manera que

generalizar a cualquier árbol posible las conclusiones obtenidas en unos casos concretos exige o

bien una fundamentación teórica o bien la reproducción del estudio en numerosas poblaciones

diferentes. Debido a la importancia del objetivo planteado en esta sección el abordaje de la

relación entre las Entropías de 1er y 2º Nivel se llevará a cabo desde los dos puntos de vista.

En primer lugar analizaremos la dependencia entre ambas entropías desde un punto de vista

estrictamente teórico, tomando cada árbol topológico posible y asignando a su Entropía de 1er

Nivel, E1, el valor correspondiente de su Entropía de 2º Nivel, E2. Repitiendo esto para todos los

árboles dendríticos topológicos con grados entre 1 y 14 obtenemos un conjunto de puntos [E1,

E2] representado gráficamente en la Figura 25, que demuestra la fuerte correlación existente

entre las dos medidas entrópicas propuestas. Esta relación teórica tiene un coeficiente de

correlación lineal de 0.993.


113

Entropía de 1er Nivel

0 10 20 30 40 50 60

Entr

opía

de

2º N

ivel

0

100

200

300

Figura 25. Relación teórica entre las Entropías de 1er y 2º Nivel. Cada punto consta del valor de la Entropía de 1er

Nivel en la coordenada x y del valor de la Entropía de 2º Nivel en la coordenada y correspondientes ambos a cada

uno de los posibles árboles dendríticos topológicos de grados entre 1 y 14.

Una perspectiva más realista del estudio anterior exige la utilización de poblaciones

neuronales específicas, del mismo modo que ocurriría experimentalmente. Los resultados

obtenidos teóricamente avalan un buen comportamiento también en este caso, sin embargo según

muestra la Figura 26 la correlación es aun mayor cuando se atiende a poblaciones concretas

obtenidas computacionalmente a partir de los modelos BE y S con los parámetros B = 3, E = 0.9

y S = 0 (Figura 26.a), y B = 2.5, E = 0.7 y S = 0.5 (Figura 26.b); en ambos casos los coeficientes

de correlación (cuasilineal) son 0.9988 y 0.9986 respectivamente. Las curvas de ajuste se

representan junto con los puntos de entropía correspondientes a cada población.


114

a


0 5 10 15 20 25 30

Entr

opía

de

2º N

ivel

0

40

80

120

160

b


0 5 10 15 20 25

Entr

opía

de

2º N

ivel

0

40

80

120

Figura 26. Relación experimental entre las Entropías de 1er y 2º Nivel simulada a partir del desarrollo

computacional de dos poblaciones neuronales mediante los modelos BE y S. Los parámetros empleados para cada

población son B = 3, E = 0.9 y S = 0 (a), y B = 2.5, E = 0.7 y S = 0.5 (b). En trazo continuo se presentan las

correspondientes curvas de ajuste cuasilineales.

Los resultados ilustrados en las Figuras 25 y 26 revelan un hecho fundamental concerniente a

la estructura topológica de los árboles dendríticos y a la relación de ésta con la capacidad de los

árboles para procesar información. La fundamentación de los dos niveles de entropía

introducidos se basaba en la inclusión de diversas propiedades de conectividad sináptica que

abarcasen los extremos entre los que la estructura conectiva de un árbol dendrítico real a nivel

topológico podía moverse (con algunas limitaciones, como ya se discutió en las secciones de

fundamentación), de manera que el valor de entropía topológica real de un cierto árbol se

encontrase entre los valores de la Entropía de 1er y 2º Nivel de dicho árbol.

Debido a esto la demostración de que ambas medidas entrópicas están fuertemente

correlacionadas es un hecho trascendental al probar que la capacidad de un árbol dendrítico

como fuente de información a nivel topológico no depende tanto de las condiciones de

conectividad impuestas, es decir de la estructura conectiva de las aferencias que sinaptan con él,

como de la estructura topológica del propio árbol; la evaluación de una u otra medida entrópica

en un árbol dendrítico concreto solamente cambia la escala del valor obtenido.

El principal corolario que se infiere de este resultado es que la sensibilidad de la Entropía de

2º Nivel, sus relaciones con el parámetro de crecimiento S y su conexión con características

topológicas relevantes, en especial con el orden máximo, reproducen lo obtenido para la entropía


115

topológica. En concreto la sensibilidad exhibida por la nueva medida entrópica es ligeramente

mayor por lo que es más ventajosa a la hora de caracterizar cuantitativamente la topología de los

árboles dendríticos, sin embargo la predicción del valor del parámetro S a partir de la entropía es

mejor cuando se emplea la Entropía de 1er Nivel. Finalmente la relación entre la Entropía de 2º

Nivel y el orden máximo es muy parecida a la que aparecía en el caso de la medida entrópica de

primer nivel, por lo que en ambos casos podemos considerar al orden máximo como un

parámetro topológico muy relevante por servir de estimador inmediato y considerablemente

preciso de ambas medidas entrópicas.

3. RESULTADOS EXPERIMENTALES

El objetivo final de las Entropías de 1er, 2º y 3er Nivel es el ser aplicadas a poblaciones

neuronales reales como forma de cuantificar qué capacidad tienen estas neuronas para procesar

información. Las secciones previas han establecido tanto la fundamentación y estructura

matemática de estas medidas como su potencial para caracterizar ciertas propiedades teóricas de

los árboles dendríticos. La presente sección supone el cuerpo central de este trabajo al exponer

los resultados de aplicar estas medidas entrópicas sobre dos tipos de neuronas reales obtenidas

experimentalmente. Estas poblaciones pertenecen a distintas estaciones de relevo de una misma

vía sensorial y han sido sometidas a diferentes circunstancias de desarrollo en cuanto a la

restricción o potenciación de la estimulación sensorial recibida.

Los datos experimentales empleados provienen de los recientes trabajos de Pilar Negredo y

de Jorge Castro desarrollados para sus correspondientes tesis doctorales [Castro García, 2007;

Negredo, 2006]. Sus estudios consistían en la descripción topológica y morfométrica de los

árboles dendríticos de neuronas de proyección pertenecientes al núcleo principalis del trigémino

de la rata23 (NpP) (Negredo), y de interneuronas localizadas en la corteza somatosensorial de la

rata (InC) (Castro). En la Figura T1 se muestran dos ejemplos de ambos tipos de neuronas.

Ambas poblaciones se integran en la vía somatosensorial de la rata responsable del

procesamiento de la información proveniente de las vibrisas. Estos estudios se llevaron a cabo de 23 Estas neuronas del complejo trigeminal reciben como entrada principal información directa (monosináptica) de

las neuronas sensoriales primarias del ganglio trigeminal, la procesan y la proyectan al tálamo. Desde el complejo

trigeminal parten dos vías hasta el tálamo contralateral: la vía lemniscal, que lleva información desde el núcleo

principalis hasta el núcleo ventral posteromeidal del tálamo (VPm) y es considerada la vía primaria somatosensorial,

y la paralemniscal, que parte del subnúcleo interpolar hasta el núcleo posterior del tálamo (POm).


116

forma conjunta empleando distintos grupos de ratas criadas durante su fase adulta en condiciones

y entornos diversos para formar cuatro grupos experimentales. 1) el grupo control (C) compuesto

por animales mantenidos en condiciones estándar y que no han sido sometidos a ninguna

manipulación. 2) el grupo infraorbitario (Io), formado por ratas a las que se ha seccionado el

nervio infraorbitario (que porta la mayor parte de la información táctil proveniente de vibrisas) y

que han sido estabuladas en condiciones normales. 3) el grupo enriquecido (E), que agrupa a los

animales cuyas vibrisas han sido recortadas periódicamente para privarlos de aferencia sensorial

de forma no lesiva, y que eran estabulados frecuentemente en entornos enriquecidos con el fin de

aumentar su estimulación al disponer de juguetes, refugios, texturas, etc. 4) el grupo trimming

(T), compuesto por ratas sometidas a la misma manipulación que en el caso del enriquecimiento

pero que eran estabuladas en condiciones estándar. El proceso experimental tanto de tratamiento

de los animales como de procesamiento del tejido y de reconstrucción de los árboles dendríticos

se expone detalladamente en la sección de Materiales y Métodos. A partir de los datos se

calcularon los valores de las Entropías de 1er, 2º y 3er Nivel utilizando las ecuaciones

matemáticas desarrolladas en las secciones precedentes.

Figura T1. Detalle del árbol dendrítico y soma de una neurona de proyección del núcleo principal del trigémino

(izquierda) y de una interneurona de la corteza somatosensorial (derecha). Ambos tipos se integran en la vía

lemniscal de la rata y procesan la información táctil proveniente de las vibrisas. Las características topológicas y

morfométricas de estas neuronas han sido empleadas para obtener las entropías que cuantifican la capacidad de sus

árboles dendríticos para procesar información.


117

Tanto en el caso de las NpP (neuronas de proyección del principalis) como en el de las InC

(interneuronas de corteza) se estudiaron los árboles dendríticos pertenecientes a ambos lados de

las áreas de interés, así nos referiremos abreviadamente a cada lado por las siglas R (derecho) y

L (izquierdo); por ejemplo CR y CL para los controles derecho e izquierdo respectivamente. Es

importante tener en cuenta que las estaciones de procesamiento involucradas en estos trabajos e

integradas en la misma vía se encuentran en lados opuestos del individuo ya que , por ejemplo, la

entrada sensorial desde las vibrisas del lado derecho alcanza los núcleos trigeminales (incluido el

principalis) del lado derecho en el tronco del encéfalo, pero la información procesada que

emerge de estos decusa para, tras realizar una estación sináptica en el tálamo, alcanzar la corteza

somatosensorial del hemisferio izquierdo. Esto se traduciría en que el “lado de interés” sería el

derecho en el caso de las neuronas de proyección del principalis y el izquierdo en el caso de las

interneuronas de corteza. No obstante, una manipulación unilateral del sistema sensorial tiene,

por razones que exceden el ámbito de esta Tesis, consecuencias sobre el lado contrario. Además

existen, ya en condiciones control, diferencias de lado en el número, morfometría y topología de

ciertos tipos neuronales, por lo que prestaremos también atención a la comparación entre lados

de nuestros resultados. Más información en torno a la asimetría del sistema somatosensorial

puede encontrarse en las citadas Tesis de Pilar Negredo y Jorge Castro, y en las referencias

contenidas en ellas.

Los resultados de esta sección se organizarán en tres subsecciones. En las dos primeras se

expone la aplicación de las Entropías de 1er, 2º y 3er Nivel a las NpP y a las InC respectivamente,

analizando la capacidad para procesar información de los árboles dendríticos de cada tipo

neuronal presente en los diferentes grupos. En la tercera parte se agrupan los resultados de las

dos secciones anteriores, reuniéndolos por grupos experimentales comunes (es decir CR de las

NpP con CR de las InC, etc.) para así cuantificar el flujo potencial de información de la vía

somatosensorial en las distintas condiciones experimentales propuestas.

La exposición de la cuantificación de la entropía se hará de forma comparativa, analizando

los niveles de significación que existen cuando se comparan entre sí las entropías de los

diferentes grupos. Estos niveles de significación se cuantifican a través de los valores de la P que

proporcionan los test estadísticos de contraste de hipótesis al comparar entre sí y entre lados los

diferentes grupos experimentales, y que se expondrán agrupados en tablas de significación. Los

test empleados han sido los más adecuados en función de las propiedades estadísticas del

conjunto de entropías para cada grupo. Así los casos en que las entropías se distribuían según

una normal eran analizados por medio del test paramétrico de la t de Student, mientras que si la


118

distribución de los datos se desviaba significativamente de la normalidad se empleaba el test no

paramétrico W de Mann-Whitney. Por otro lado se han comparado sólo los grupos

experimentales vinculados biológica o experimentalmente, por ejemplo es lógico comparar los

grupo CR e IoR pero no tiene ningún sentido comparar CR con IoL.

Las tablas de significación contienen los P de todas las comparaciones independientemente

de si hay o no significación, sin embargo para facilitar la lectura de los resultados se han

resaltado los casos en los que hay tendencia o significación. De este modo si el nivel de

significación indica tendencia, (entre 0.05 < P ≤ 0.1) el valor de P se indica en azul, y si el nivel

de significación es significativo (0.01 < P ≤ 0.05), muy significativo (0.001 < P ≤ 0.01) o

altamente significativo (P ≤ 0.001) se destaca en rojo. En estos casos el P se acompaña de una

flecha que muestra cuál de los grupos tiene una mayor media: una flecha hacia arriba (abajo)

indica que la media del grupo en el eje vertical es mayor (menor) que la del grupo

correspondiente en eje horizontal. La exposición de los resultados se completa con una

representación gráfica de la media y desviación estándar de la entropía correspondiente a todos

los grupos experimentales separados en lado izquierdo (L) y derecho (R).

3.1. NEURONAS DE PROYECCIÓN DEL NÚCLEO PRINCIPALIS DE LA

RATA (NpP)

El núcleo principalis forma parte del complejo trigeminal, la primera estación de relevo en la que

se procesa la información sensorial proveniente de las vibrisas y portada por las neuronas

sensoriales del ganglio trigeminal; la importancia de estas estructuras anatómicas es considerable

ya que las vibrisas son el medio por el que la rata recibe una gran parte de la información sobre

el mundo exterior. El núcleo principalis está incluido en el complejo trigeminal del tronco del

encéfalo, y representa el origen de la llamada “vía lemniscal trigeminal”, que lleva información

hasta el núcleo ventral posteromedial del tálamo (VPm) contralateral, y que es considerada la vía

primaria somatosensorial, por ser la que de modo más rápido (mayor velocidad de conducción),

seguro (mayor tasa de respuesta sináptica en el tálamo) y espacialmente preciso (base principal

del mantenimiento del mapa somatotópico desde la periferia a la corteza) transmite información

táctil discriminativa a niveles altos del SNC [Kandel, Schwartz and Jessell, 2000; Waite and

Tracey, 1995; Yu, et al., 2006].

Las neuronas aquí estudiadas son neuronas de proyección pertenecientes al núcleo principalis

y forman parte de la vía lemniscal, cuya importancia justifica el interés de analizar sus


119

características desde el punto de vista de su potencial para el procesamiento de la información. El

análisis de la capacidad como fuentes de información de los árboles dendríticos pertenecientes a

las NpP se llevará a cabo aplicando los tres niveles de entropía pero distinguiendo dos

situaciones: aquella en la que la unidad estructural de procesamiento es el propio árbol dendrítico

y aquella en que la unidad de procesamiento es la neurona, en cuyo caso cuantificaremos su

entropía de cada nivel pertinente como la suma de las entropías de sus árboles dendríticos a

dicho nivel.

3.1.1. ENTROPÍA DE 1er NIVEL (NpP)

La capacidad de procesar información de las neuronas de proyección del principalis en todos los

grupos experimentales y cuando sólo se consideran sus propiedades topológicas se analizará

separando los resultados por árboles y por neuronas; además se presentarán los resultados de un

análisis comparativo de los órdenes máximos de cada árbol con el fin de testar la fiabilidad de

este parámetro topológico como estimador de la Entropía de 1er Nivel.

3.1.1.a. Entropía de 1er Nivel por árboles (NpP)

Consideremos inicialmente los datos desde el punto de vista de los árboles dendríticos como

unidad de procesamiento de información. Los resultados se resumen presentado los niveles de

significación en la Tabla 1 y los valores medios y desviaciones típicas en forma de histograma en

la Figura 27. En esta figura (y en las figuras de este tipo que acompañan a las restantes tablas de

significación) se han representado las entropías medias y sus desviaciones estándar de la media

(SDM) exclusivamente con fines ilustrativos. Se debe tener en cuenta que la comparación visual

de los grupos experimentales en base a sus medias y SDM solamente se corresponde con las

comparaciones estadísticas expuestas en las tablas en los casos en los que ha sido posible

emplear el test paramétrico t de Student, sin embargo para los grupos cotejados mediante test no

paramétricos la situación deducida del valor de P puede no concordar con la representación

gráfica; es por ello por lo que ésta sólo debe tomarse como una referencia visual.


120

Tabla 1. Entropía de 1er Nivel por Árboles (NpP)

CR CL IOR IOL ER EL TR TL CR CL 0.16 IOR 0.12 IOL 0.81 0.8 ER 0.1↓ 0.88 EL 0.099↑ 0.09↑ 0.07↑ TR 0.49 0.56 0.44 TL 0.04↑ 0.046↑ 0.67 0.15

Entropía 1er Nivel InP por Árboles

0

2

4

6

8

10

12

C IO E T

Grupos

Entr

opía

1er

Niv

el

Izq

Der

Figura 27. Entropía de 1er Nivel media y desviación estándar de la media para los árboles de las neuronas de

proyección del principalis. Los resultados estadísticos se muestran en la Tabla 1.

La Tabla 1 de significación revela varios resultados importantes. En primer lugar en el grupo

infraorbitario no se altera significativamente la capacidad de procesamiento de sus árboles

dendríticos cuando se compara con las del grupo control. En segundo lugar los árboles

dendríticos en los casos trimming y enriquecido muestran un cambio significativo en su

capacidad de generar información exclusivamente en el lado izquierdo, debido a un aumento de


121

la entropía media (ver Figura 1). Esta tendencia en el lado izquierdo se manifiesta tanto en los

cambios significativos que existen entre el trimming y los casos control e infraorbitario como en

las tendencias que muestra el caso enriquecido con el control e infraorbitario. Es reseñable sin

embargo que no hay variación entre los propios casos de enriquecimiento y trimming.

3.1.1.b. Entropía de 1er Nivel por neuronas (NpP)

Agrupemos ahora las entropías por neurona, sumando la Entropía de 1er Nivel de cada árbol

perteneciente a esa neurona. Los resultados se resumen en la Tabla 2 y en la Figura 24, siguiendo

el mismo procedimiento que en la Tabla 1 y la Figura 23.

Lo primero que se aprecia es una variación en el patrón de los resultados, ya que aquellos

casos en los que aparecían diferencias significativas son estadísticamente iguales cuando se

considera a las propias neuronas como las unidades de procesamiento de información. Obsérvese

sin embargo que los casos que ahora se pueden considerar diferentes antes se mostraban con una

tendencia, lo que es relativamente congruente. El por qué de esta situación se aclara un poco si

atendemos a la Figura 28, donde se muestran las Entropías de 1er Nivel media junto a su SD, para

cada caso estudiado tras agrupar por neurona. Se observa inmediatamente el gran parecido con la

Figura 27, donde aparece esta misma medida pero organizada por árbol dendrítico. ¿Cuál es la

diferencia entonces entre las gráficas y las tablas? Tanto la Tabla 1 como la Tabla 2 exponen

cuantitativamente niveles de significación, y dichos valores dependen de forma crítica de los test

estadísticos empleados para el estudio de cada caso. Cuando se estudian los árboles dendríticos

sin considerarlos pertenecientes a una neurona en concreto la distribución estadística de su

entropía se aleja bastante de una normal y por lo tanto los test empleados son no paramétricos,

mientras que la entropía por neurona sí se distribuye en general como una normal y por lo tanto

se pueden usar test paramétricos.


122

Tabla 2. Entropía de 1er Nivel por Neuronas (NpP)

CR CL IOR IOL ER EL TR TL

CR CL 0.8 IOR 0.12 IOL 0.29 0.87 ER 0.075↓ 0.85 EL 0.14 0.02↑ 0.005↑ TR 0.23 0.75 0.61 TL 0.67 0.18 0.29 0.16

Entropía 1er Nivel InP por Neuronas

0

10

20

30

40

50

60

C IO E T

Grupos

Entr

opía

1er

Niv

el

Izq

Der

Figura 24. Entropía de 1er Nivel media y desviación estándar de la media para las neuronas de proyección del

principalis.

La Tabla 2 muestra que al tomar las neuronas como unidad procesadora de información el

nivel de significación disminuye, apareciendo de nuevo una tendencia entre el caso control

derecho y el enriquecido derecho, sin embargo las únicas diferencias significativas se encuentran

ahora entre los casos IOL y EL, y entre el EL y ER.


123

3.1.1.c. Relación entre la Entropía de 1er Nivel y el orden máximo (NpP)

La relación demostrada en la sección sobre los resultados teóricos entre la Entropía de 1er Nivel y

el orden máximo se ha estudiado aquí con los datos de los árboles dendríticos de las neuronas de

proyección del principalis. Para cada uno de los grupos experimentales se han tomado los

órdenes máximos de sus árboles y se han comparado unos con otros, organizándose los

resultados en forma de valores de significación que se reúnen en la Tabla 3.

Tabla 3. Orden Máximo (NpP)

CR CL IOR IOL ER EL TR TL CR CL 0.098↓ IOR 0.1↓ IOL 0.94 0.88 ER 0.07↓ 0.87 EL 0.07↑ 0.1↑ 0.052↑ TR 0.44 0.5 0.43 TL 0.031↑ 0.06↑ 0.74 0.14

La validez del orden máximo de un árbol dendrítico como estimador del valor de la Entropía

de 1er Nivel de aquel se demuestra sin más que comparar la Tabla 3 con la Tabla 1. Se aprecia

inmediatamente cómo los valores de significación de los test de contraste de hipótesis para los

órdenes máximos reproducen los obtenidos en el análisis de la Entropía de 1er Nivel para esta

población neuronal.

3.1.2. ENTROPÍA DE 2º NIVEL (NpP)

La sección 2.2.1 se dedicó al análisis de la conexión entre las Entropías de 1er y 2º Nivel, tanto a

nivel global como atendiendo a poblaciones neuronales concretas obtenidas por medio de

simulaciones computacionales. Para estudiar si esa relación se mantiene en los casos reales se ha

procedido del mismo modo que condujo a la Figura 26, reproduciéndose los mismos resultados

allí obtenidos: a cada árbol de cada grupo experimental se le ha asignado un punto que tiene

como coordenada x a la Entropía de 1er Nivel y como coordenada y a la Entropía de 2º Nivel,


124

ajustándose esa nube de puntos a un polinomio cuadrático. Se ha concluido que todos los grupos

experimentales se ajustan a una curva cuasilineal (ya que el coeficiente cuadrático es muy

cercano a cero) con un coeficiente de correlación por encima del 0.998.

3.1.3. ENTROPÍA DE 3er NIVEL (NpP)

La introducción de las características morfométricas de las neuronas de proyección del

principalis altera significativamente la capacidad de estas neuronas como fuente de información

en todos los grupos experimentales respecto al caso en que sólo se asumían las propiedades

topológicas de los árboles dendríticos. La distancia de discretización d se toma igual a 1 micra y

al igual que antes los resultados se exponen separando por árboles y por neuronas.

3.1.3.a. Entropía de 3er Nivel por árboles (NpP)

Consideremos los datos de Entropía de 3er Nivel tomado como unidad de procesamiento de

información a los árboles dendríticos. Los resultados se muestran en la Tabla 4 de niveles de

significación junto a la Figura 29.

Tabla 4. Entropía de 3er Nivel por Árboles (NpP)

CR CL IOR IOL ER EL TR TL CR CL 0.35 IOR 0.14 IOL 0.51 0.79 ER 0.12 0.89 EL 0.064↑ 0.017↑ 0.019↑ TR 0.76 0.36 0.32 TL 0.087↑ 0.03↑ 0.99 0.21


125

Entropía 3er Nivel InP por Árboles

10

15

20

25

30

35

40

C IO E T

Grupos

Entr

opía

3er

Niv

elIzq

Der

Figura 29. Entropía de 3er Nivel media y desviación estándar de la media para los árboles de las neuronas de

proyección del principalis.

El cotejo de las Tablas 1 y 4 muestra cómo la inclusión de la morfometría afecta a la

capacidad del árbol dendrítico para procesar información: los grupos con los que el control

izquierdo mostraba diferencias (EL y TL) también procesan más información aunque en el caso

morfométrico sólo parecen tendencias. Por el contrario al introducir la longitud de los segmentos

dendríticos como parámetro importante en el procesamiento el grupo EL mejora

significativamente su capacidad como fuente de información con respecto a los grupos ER e IOL

(que en el caso topológico sólo aparecía como tendencia). Concluimos entonces que, en general,

en este nuevo nivel de entropía las diferencias presentes en el nivel topológico inicial se acentúan

significativamente.

3.1.3.b Entropía de 3er Nivel por neuronas (NpP)

Analizando la capacidad de procesamiento de las neuronas del principalis en función de la

Entropía de 3er se obtiene la Tabla 5 de niveles de significación y la Figura 30.


126

Tabla 5. Entropía de 3er Nivel por Neuronas (NpP)

CR CL IOR IOL ER EL TR TL

CR CL 0.58 IOR 0.18 IOL 0.12 0.82 ER 0.23 0.87 EL 0.23 0.015↑ 0.002↑ TR 0.63 0.42 0.51 TL 0.85 0.27 0.13 0.47

Entropía 3er Nivel InP por Neuronas

30

50

70

90

110

130

150

170

190

C IO E T

Grupos

Entr

opía

3er

Niv

el

Izq

Der

Figura 30. Entropía de 3er Nivel media y desviación estándar de la media para las neuronas de proyección del

principalis.

Al igual que ocurría en el caso en que los árboles de las neuronas de proyección del

principalis se consideraban las unidades de procesamiento, las diferencias en las capacidades

como fuentes de información se acentúan cuando se introducen las propiedades morfométricas,

manteniéndose en general las relaciones establecidas entre los diferentes grupos experimentales a

nivel topológico.


127

3.2. INTERNEURONAS DE LA CORTEZA SOMATOSENSORIAL DE LA

RATA (InC)

La información proveniente de las vibrisas y procesada por el complejo trigeminal es recibida en

la corteza somatosensorial como estación final de procesamiento en la línea ascendente de

proyección somatosensorial entre la periferia y la corteza. La corteza cerebral cuenta con una

gran variedad de interneuronas, la mayoría de ellas inhibitorias, distinguibles en base a la

morfología de su árbol dendrítico y de sus axones, su orientación, proyecciones, neuroquímica,

funcionalidad, etc. [Jones, 1975; Kandel, Schwartz and Jessell, 2000; Woolsey and Van der,

1970]. Esta diversidad implica necesariamente un contexto funcional para las InC

completamente diferente al de las NpP estudiadas en la sección previa y que debe manifestarse

especialmente en su procesamiento de información. En la presente sección se analizará la

influencia de las distintas circunstancias experimentales descritas sobre las capacidades de las

interneuronas de la corteza somatosensorial como fuentes de información de la subpoblación de

interneuronas inhibitorias (gabaérgicas) de la corteza somatosensorial que expresan la proteína

fijadora de calcio calretinina [DeFelipe, 1997]. Para ello seguiremos el esquema del estudio

llevado a cabo sobre las neuronas de proyección del principalis. Conviene recordar aquí que la

vía sensorial ha decusado a partir de los núcleos trigeminales del tronco del encéfalo, por lo que

la afectación más directa provocada por la sección del nervio o el recorte de vibrisas se

manifiesta en el corteza del hemisferio izquierdo.

Las Entropías de 1er, 2º y 3er Nivel de los árboles dendríticos de las InC pertenecientes a los

cuatro grupos experimentales han sido analizadas suponiendo que la base del procesamiento son

los árboles o las propias neuronas, si embargo, como se verá, en ningún caso se han observado

diferencias significativas o siquiera tendencias entre los diferentes grupos, en ninguno de los

niveles de entropía. Aunque este hecho será analizado en detalle en la Discusión, conviene

adelantar aquí que es una consecuencia lógica de la elevada complejidad de la corteza, tanto en

cuanto a su conectividad, (a nivel de conectividad interna, aferencias que recibe, eferencias que

proyecta, etc.) como a su procesamiento de la información.


128

3.2.1. ENTROPÍA DE 1er NIVEL (InC)

3.2.1.a. Entropía de 1er Nivel por árboles (InC)

Al igual que en las secciones precedentes los resultados se resumen en una tabla de significación

(Tabla 6) acompañada de la representación gráfica de la media y desviación estándar de la media

de la Entropía de 1er Nivel para los árboles dendríticos de las InC (Figura 31).

Tabla 6. Entropía de 1er Nivel por Árboles (InC)

CR CL IOR IOL ER EL TR TL CR CL 0.85 IOR 0.92 IOL 0.95 0.83 ER 0.76 0.7 EL 0.64 0.59 0.26 TR 0.83 0.72 0.96 TL 0.52 0.54 0.26 0.91

Entropía 1er Nivel InC por Árboles

4

4,5

5

5,5

6

6,5

7

7,5

C IO E T

Grupos

Entr

opía

1er

Niv

el

Izq

Der

Figura 31. Entropía de 1er Nivel media y desviación estándar de la media para los árboles de las interneuronas de la

corteza somatosensorial.


129

3.2.1.b. Entropía de 1er Nivel por neuronas (InC)

Agrupando las Entropías de 1er Nivel por neurona la Tabla 7 y la Figura 28 revelan que, al igual

que al considerar el procesamiento por árboles, tampoco obtenemos variaciones significativas en

el tratamiento de la información que llevan a cabo las InC en ninguna circunstancia

experimental. Únicamente se observa tendencia a una menor entropía en la corteza izquierda con

respecto a la derecha en el grupo enriquecido.

Tabla 7. Entropía de 1er Nivel por Neuronas (InC)

CR CL IOR IOL ER EL TR TL CR CL 0.73 IOR 0.88 IOL 0.69 0.27 ER 0.68 0.81 EL 0.45 0.67 0.1↓ TR 0.84 0.93 0.7 TL 0.41 0.59 0.91 0.16

Entropía 1er Nivel InC por Neuronas

16

17

18

19

20

21

22

23

24

C IO E T

Grupos

Entr

opía

1er

Niv

el

Izq

Der

Figura 32. Entropía de 1er Nivel media y desviación estándar de la media para las interneuronas de la corteza

somatosensorial.


130

3.1.1.c. Relación entre la Entropía de 1er Nivel y el orden máximo (InC)

La solidez del orden máximo como estimador de la Entropía de 1er Nivel se demuestra una vez

más en este caso aunque de forma poco espectacular ya que corrobora la ya comentada ausencia

general de cambios, y tendencia a la diferencia interhemisférica en el grupo EL.

Tabla 8. Orden Máximo (InC)

CR CL IOR IOL ER EL TR TL CR CL 0.66 IOR 0.98 IOL 0.93 0.67 ER 0.39 0.39 EL 0.6 0.51 0.051↓ TR 0.53 0.53 0.89 TL 0.47 0.5 0.2 0.69

3.2.2. ENTROPÍA DE 2º NIVEL (InC)

La relación entre las Entropías de 1er y 2º Nivel se estudió teóricamente en dos poblaciones

diferenciadas en base a los valores de los parámetros B, E y S en que se fundamentan los

respectivos modelos de desarrollo, y se comprobó en ambas poblaciones que la correlación entre

las dos medidas entrópicas era muy elevada. La presente sección complementa a la sección

3.1.2., en la que esa relación era testada para una población estrictamente experimental, ya que

las diferencias estructurales entre las neuronas de proyección del principalis y las interneuronas

de la corteza somatosensorial permiten ser consideradas dos poblaciones significativamente

diferentes. En efecto, como era de esperar, también para este tipo neuronal (InC) las dos medidas

entrópicas manifiestan una fuerte correlación cuasilineal, exhibiendo un coeficiente de

correlación superior a 0.997.


131

3.2.3. ENTROPÍA DE 3er NIVEL (InC)

3.2.3.a. Entropía de 3er Nivel por árboles (InC)

La Tabla 9 y la Figura 33 expuestas a continuación no muestran cambios relevantes, ni aun

tendencias, al añadir la morfometría a la caracterización entrópica de los árboles pertenecientes a

las interneuronas de corteza. Esto sucede también cuando se agrupan los resultados por neuronas,

como se demuestra en la subsección siguiente.

Tabla 9. Entropía de 3er Nivel por Árboles (InC)

CR CL IOR IOL ER EL TR TL CR CL 1 IOR 0.8 IOL 0.69 0.88 ER 0.53 0.4 EL 0.53 0.89 0.23 TR 0.97 0.86 0.57 TL 0.65 0.37 0.28 0.68

Entropía 3er Nivel InC por Árboles

23

25

27

29

31

33

35

C IO E T

Grupos

Entr

opía

3er

Niv

el

Izq

Der


132

Figura 33. Entropía de 3er Nivel. Media y desviación estándar de la media para los árboles de las interneuronas de la

corteza somatosensorial.

3.2.3.b. Entropía de 3er Nivel por neuronas (InC)

Tabla 10. Entropía de 3er Nivel por Neuronas (InC)

CR CL IOR IOL ER EL TR TL CR CL 0.92 IOR 0.9 IOL 0.46 0.19 ER 0.78 0.83 EL 0.52 0.97 0.24 TR 0.47 0.27 0.47 TL 0.21 0.44 0.47 0.61

Entropía 3er Nivel InC por Neuronas

90

95

100

105

110

115

C IO E T

Grupos

Entr

opía

3er

Niv

el

Izq

Der

Figura 34. Entropía de 3er Nivel. Media y desviación estándar de la media para las interneuronas de la corteza

somatosensorial.


133

3.3. CUANTIFICACIÓN DEL FLUJO DE INFORMACIÓN A LO LARGO DE

LA PRINCIPAL VIA DE INFORMACIÓN SOMATOSENSORIAL

TRIGEMINAL DE LA RATA

Los dos tipos de neuronas analizadas y para las cuales se han cuantificado las Entropías de 1er, 2º

y 3er Nivel en las diferentes condiciones experimentales, pertenecen a dos tipos celulares muy

diferentes, y en los extremos de la principal vía sensorial (vía lemniscal) que conduce la

información proveniente de las vibrisas. En las secciones previas se ha analizado si las

circunstancias que definen cada grupo experimental (privación sensorial por lesión del nervio

sensitivo o recorte de vibrisas (trimming), y potenciación sensorial por enriquecimiento del

medio) influyen sobre la forma en que los árboles dendríticos de estas poblaciones procesan la

información, cuantificándose dicha influencia en caso de que exista. En la sección que nos ocupa

sin embargo se adopta un enfoque más global al comparar entre sí las entropías de las dos

poblaciones dentro de cada grupo. Así por ejemplo para el grupo control comparamos la entropía

(de cada nivel) de las neuronas de proyección del principalis del lado derecho con la entropía de

las interneuronas de corteza del hemisferio izquierdo. Esta comparación permite saber si existe

una variación significativa en las capacidades de procesamiento de la información entre las dos

estaciones sinápticas, el núcleo principalis y la corteza sensitiva primaria, y caracterizarla en

caso afirmativo, cuantificándose de esta forma el flujo de información que conduce esta vía

sensorial.

Al referirnos a ‘flujo de información’ no hablamos tanto de la información portada por la vía

(ya que esto depende en definitiva de la información sensorial recogida del exterior a través de

los receptores periféricos, en este caso las vibrisas) como de la capacidad de la vía para portar

información, aunque esta aclaración exige a su vez otro matiz. En términos de teoría de la

información ‘capacidad’ es un concepto que se aplica al canal a través del que se transmite la

información y no a la fuente que la genera, y en este contexto anatómico podría parecer que la

vía sensorial se ajusta más fielmente a la noción de canal de información. Hay que tener en

cuenta sin embargo que la vía somatosensorial que porta la información proveniente de las

vibrisas, lejos de ser un mero camino que siguen los estímulos tactiles desde la periferia hasta la

corteza, es un conjunto de áreas del sistema nervioso en las que la información va recalando24,

24 Recuérdese que la información táctil de las vibrisas es recogida desde los receptores por las neuronas del ganglio

trigeminal que la conducen hasta el trigémino. Desde ese núcleo las proyecciones la dirigen al tálamo contralateral y

de allí la información es enviada a la corteza somatosensorial.


134

procesándose y haciéndose más compleja en cada estación. Desde este punto de vista hablar de la

capacidad de la vía somatosensorial es hablar de su potencial de procesamiento y por añadidura

del flujo de información que es capaz de manejar.

La estructura con la que se exponen los resultados experimentales en esta sección es análoga

a la seguida en las secciones 3.1. y 3.2. Cada nivel de entropía estudiado se muestra por

separado, presentándose las comparaciones entre los grupos correspondientes por medio de los

valores de significación P de los test de contraste de hipótesis. Estos valores P se organizan en

tablas de significación, siguiéndose los códigos de colores utilizados previamente: valores en

azul indican tendencia y en rojo denotan significación, alta significación o muy alta

significación; las flechas que los acompañan indican cuál de las magnitudes comparadas es

mayor: si apunta hacia arriba (abajo) la que se encuentra en el eje vertical (horizontal) es la más

alta. Por último debe comentarse que la comparación de las caracterizaciones entrópicas de las

neuronas estudiadas presentes en los extremos de la vía somatosensorial se hará sólo en las

Entropías de 1er y 3er Nivel, en vista de la fuerte correlación entre las Entropías de 1er y 2º Nivel,

analizándose los resultados considerando las posibilidades de que las unidades de procesamiento

sean los árboles dendríticos o las neuronas a las que pertenecen.

3.3.1. ENTROPÍA DE 1er NIVEL

El estudio conjunto de las neuronas de proyección del principalis y de las interneuronas de la

corteza somatosensorial como parte de un todo (vía lemniscal) cuya capacidad para procesar

información a nivel topológico por medio de la Entropía de 1er, 2º y 3er Nivel se quiere

cuantificar, impone la comparación de los grupos experimentales de acuerdo al esquema

comentado al principio de la sección 3.3. Este esquema se refleja en las tablas de valores de

significación, en la que sólo los pares de grupos adecuados han sido comparadas; para hacer más

concisa la presentación de los resultados se ha denotado a los grupos con tres letras: la primera se

refiere al grupo experimental (C = Control, Io = Infraorbitario, E = Enriquecido, T = Trimming),

la segunda letra señala el lado al que pertenecen las neuronas (R = derecho, L = izquierdo) y por

último la tercera letra hace referencia al tipo de neurona (P = Principalis, C = Corteza).


135

3.3.1.a. Entropía de 1er Nivel por árboles

La asunción de que las unidades de procesamiento de la información a nivel topológico dado por

la Entropía de 1er Nivel en los tipos neuronales estudiados en este trabajo sean los árboles

dendríticos lleva a unos resultados reseñables, mostrados en la Tabla 11. Los tests de contraste

de hipótesis demuestran que en el caso Control no existe diferencia entre las NpP y las InC de la

vía derecha pero sí entre las de la izquierda, siendo las interneuronas de corteza capaces de

procesar más información de una manera muy significativa.

En los casos en que se produce una lesión en el nervio responsable de conducir la

información de las vibrisas hacia el trigémino (grupo Infraorbitario) todo cambia de forma

radical: en el caso en que el Control no cambiaba ahora exhibe una diferencia de procesamiento

muy significativa en el lado lesionado; si además nos fijamos en la Tabla 6 vemos que no existen

cambios entre CL e IoL para las InC, con lo que se deduce que la capacidad de procesamiento de

las NpP del grupo IoR han disminuido con respecto al control (la correspondiente relación de la

Tabla 1 da un P = 0.12, cerca de la tendencia), es decir la lesión afecta de forma importante a las

características entrópicas del sistema. Esto se hace extensivo también al lado izquierdo de la

lesión, aunque la diferencia no es tan importante.

Cuando los animales conviven en un entorno enriquecido los resultados son opuestos a los

observados en el caso control: las diferencias se manifiestan en la vía derecha (siempre con una

mayor capacidad de procesamiento en las interneuronas de corteza) mientras que la izquierda se

mantiene sin diferencias. Esto mismo sucede en el último grupo, el de Trimming, en el que

también el lado derecho de la vía somatosensorial muestra la misma tendencia en los cambios

significativos de las neuronas de proyección del principalis con respecto a las interneuronas de

corteza, aunque la vía izquierda no muestra ninguna alteración.


136

Tabla 11. Entropía de 1er Nivel por Árboles entre NpP y InC

CR P CL P IOR P IOL P ER P EL P TR P TL P

CR C 0.18 0.01 ↑ CL C 0.23 0.01 IOR C 0.007 0.02 ↑ IOL C 0.009↑ 0.02 ER C 0.002 0.27 EL C 0.04 ↑ 0.88 TR C 0.04 0.68 TL C 0.03 ↑ 0.57

3.3.1.b. Entropía de 1er Nivel por neuronas

Resulta muy significativo ver cómo se altera la cuantificación del flujo de información cuando en

el análisis anterior se agrupan los valores de la Entropía de 1er Nivel por neurona, según se

muestra en la Tabla 12. Los únicos cambios destacables que se producen se dan en el caso de los

grupos de enriquecimiento derecho para las neuronas de proyección del principalis comparadas

con las interneuronas de corteza, y en el sentido opuesto a la tendencia general cuando son los

árboles las unidades de procesamiento; el resto de los casos permanecen prácticamente

inalterados. Las posibles explicaciones de este hecho serán analizadas detalladamente en la

Discusión.

Tabla 12. Entropía de 1er Nivel por Neuronas entre NpP y InC

CR P CL P IOR P IOL P ER P EL P TR P TL P CR C 0.83 CL C 0.1↓ IOR C 0.3 IOL C 0.95 ER C 0.007↓ EL C 0.4 TR C 0.63 TL C 0.81


137

3.3.1.c. Relación entre la Entropía de 1er Nivel y el orden máximo (InC)

El orden máximo de los árboles dendríticos de las distintas neuronas estudiadas en este trabajo

demuestra una vez más ser un sólido estimador de la Entropía de 1er Nivel, como revela la Tabla

13. En ella puede observarse que los mismos cambios reportados en la Tabla 11 para la propia

Entropía de 1er Nivel se reflejan, junto con sus tendencias, al aplicar este parámetro topológico;

la única diferencia reseñable es la aparición de una tendencia en vez de un cambio significativo

en el caso de los grupos ERP - ELC.

Tabla 13. Orden Máximo entre NpP y InC


CR C 0.008↑ CL C 0.43 IOR C 0.03↑ IOL C 0.012↑ ER C 0.18 EL C 0.064↑ TR C 0.64 TL C 0.027↑

( )

3.3.2. ENTROPÍA DE 3er NIVEL

A continuación se analizan los cambios en la capacidad de procesamiento de la información a lo

largo de la vía lemniscal cuando se introducen las condiciones morfométricas de los árboles

dendríticos. Los resultados obtenidos en el nivel topológico se reproducen aquí pero con una

mayor congruencia y solidez (ver Discusión) tanto en el caso del análisis a partir de los árboles

dendríticos como de las propias neuronas.

3.3.2.a. Entropía de 3er Nivel por árboles

En la Tabla 14 se expone en forma de niveles de significación la cuantificación por medio de la

Entropía de 3er Nivel, del flujo de información a través de los árboles dendríticos propios de los

tipos neuronales estudiados y pertenecientes a la principal vía de información somatosensorial.

Estos resultados tienen una gran significación por reflejar cuantitativamente a través del


138

procesamiento de la información de vibrisas las circunstancias anatómicas y experimentales

propias de los sistemas neuronales estudiados.

En primer lugar destaca el considerable aumento de la significación en las diferencias que,

con respecto a la descripción inicial a nivel topológico (Tabla 11), los árboles dendríticos de las

dos poblaciones neuronales muestran en sus capacidades como fuentes de información. En

segundo lugar se observa que ahora casi todos los grupos experimentales muestran cambios,

excepto el caso TLP – TRC, que roza la tendencia, lo cual es congruente con la intuición

anatómica y funcional, más aún cuando son las interneuronas de la corteza somatosensorial las

que muestran una mayor capacidad que las de proyección del principalis. Destaca por último que

la congruencia se ajusta también a las diferentes circunstancias que se plantean entre lados, así

por ejemplo en los grupos infraorbitarios, como era de esperar, la diferencia entre las InC y las

NpP es mayor en el lado lesionado que en el lado intacto, y siempre a favor de las Interneuronas

corticales. Las implicaciones de estos resultados son importantes y se analizan en profundidad en

la Discusión.

Tabla 14. Entropía de 3er Nivel por Árboles entre NpP y InC


CR C 0.001↑ CL C 0.008↑ IOR C 0.0005↑ IOL C 0.0001↑ ER C 0.037↑ EL C 0.0004↑ TR C 0.13 TL C 0.001↑

3.3.2.b. Entropía de 3er Nivel por neuronas

Nuevamente los resultados obtenidos a partir de la Entropía de 1er Nivel por neuronas en la

Tabla 12 se reproducen aquí con los matices comentados en el apartado previo: los cambios

esperados desaparecen, reduciéndose sólo a los grupos enriquecidos, y aun así en dichos casos

las tendencias son ambiguas, ya que en la vía que nace en el lado derecho son las interneuronas

corticales las que manifiestan una mayor capacidad de procesamiento, mientras que en el lado


139

izquierdo la situación es a la inversa. También estos resultados son analizados en detalle en la

Discusión porque parecen indicar hechos muy relevantes.

Tabla 15. Entropía de 3er Nivel por Neuronas entre NpP y InC


CR C 0.94 CL C 0.37 IOR C 0.41 IOL C 0.09↑ ER C 0.03↓ EL C 0.017↑ TR C 0.61 TL C 0.77


140

Villacorta DISCUSIÓN

141

DISCUSIÓN

DISCUSIÓN Villacorta

142


143

1. GENERALIZACIÓN DE LAS MEDIDAS DE ENTROPÍA

El esquema bajo el que se han desarrollado las Entropías de 1er, 2º y 3er Nivel se basa en analizar

la variedad de configuraciones conectivas a nivel sináptico que un árbol dendrítico puede exhibir

y cómo éstas influyen sobre el procesamiento de las señales. Las condiciones bajo las que se

asumía este procesamiento, y que por tanto definían las características de cada medida de

entropía, se plantearon en tres niveles de complejidad creciente: en el primer nivel sólo se

suponían las propiedades topológicas del árbol que, junto a las restricciones admitidas en cuanto

a la sinapticidad, hacían de la Entropía de 1er Nivel la descripción más básica de las capacidades

de los árboles dendríticos como fuentes de información. Al incluir condiciones básicas de la

morfometría de los segmentos dendríticos, las estrictas circunstancias de conectividad del nivel

topológico se veían relajadas, dando lugar a la Entropía de 2º Nivel. En el último nivel

descriptivo se definió la Entropía de 3er Nivel, en la que las configuraciones sinápticas que el

árbol dendrítico podía adquirir se regían por las condiciones morfométricas más sencillas, es

decir la longitud y diámetro de sus segmentos, además de las anteriores circunstancias

concernientes a su topología.

El proceso de fundamentación y desarrollo de las tres medidas entrópicas definidas se ha

expuesto de una forma lo más explícita y detallada posible (ver Resultados) con la intención de

presentar estos conceptos con rigor y sencillez, pero sobre todo para ilustrar la manera en que

una condiciones de sinaptación impuestas directamente desde resultados experimentales o

indirectamente en base a hipótesis teóricas, se reflejan en una medida capaz de cuantificar la

propiedad esencial de un árbol dendrítico: su capacidad para procesar información. En

consecuencia esa parte del trabajo debe ser entendida quizás como uno de los resultados más

relevantes de este estudio, aunque en apariencia tal fundamentación parezca algo extensa o

redundante.

Desarrollo de las medidas entrópicas

Las Entropías de 1er, 2º y 3er Nivel han demostrado ser unas medidas realmente eficaces a la hora

de caracterizar las estructuras dendríticas al mostrar unas propiedades notables que llevan su

importancia más allá de la cuantificación de la capacidad de procesamiento de los árboles

dendríticos, sin embargo el potencial de este tipo de medidas va más allá de los tres niveles de

entropía propuestos. Las condiciones en las que se han basado tienen la virtud de la generalidad,

ya que las restricciones que imponen se puede aplicar a todos los tipos de neuronas, si bien esta


144

generalidad es a la vez una limitación, al no considerar las peculiaridades de las distintas clases

de árboles dendríticos que existen. En cualquier caso un conocimiento riguroso de las

características propias de un tipo de árbol concreto permite sofisticar las medidas entrópicas

definidas o bien construir una medida propia adaptada al tipo deseado, aumentando así la

fidelidad de la caracterización.

En general se puede afirmar que el desarrollo de una medida entrópica eficaz aplicada a la

caracterización de árboles dendríticos pasa por dos fases:

F.1. El establecimiento y fundamentación del nivel descriptivo al que queremos llegar

(exclusiva-mente topológico en las Entropías de 1er y 2º Nivel, y topológico y

morfométrico en la Entropía de 3er Nivel).

F.2. La evaluación, circunscrita a la aproximación fijada en la fase anterior, del

comportamiento de árbol dendrítico ante la estimulación sináptica.

La primera fase es la más delicada por estar supeditada a un conocimiento lo más preciso

posible de aquellas propiedades dendríticas reales que sean importantes para conformar la

conectividad sináptica. Lo contrario obligaría o bien a aproximar dichas características o bien a

excluirlas directamente, lo que en algunos casos resultaría inaceptable si ese rasgo concreto fuese

crítico para el correcto procesamiento por parte del árbol dendrítico. Por ejemplo, si quisiéramos

construir una medida de entropía muy fiel a la realidad lo lógico sería suponer que un porcentaje

significativo de las sinapsis en los segmentos dendríticos se distribuyen espacialmente siguiendo

el patrón de localización de las espinas dendríticas y no asumir sencillamente que pueden

sinaptar en cualquier parte del árbol dendrítico con igual probabilidad25 [Andrasfalvy and

Magee, 2001; Nicholson, et al., 2006; Rumsey and Abbott, 2006]. El problema de este abordaje

es que es necesario conocer el número y distribución de las espinas en el tipo de neuronas a

caracterizar entrópicamente, lo cual resulta experimentalmente complicado puesto que la

reconstrucción detallada de los árboles dendríticos con sus espinas no es trivial [Feldman and

Peters, 1979; Koh, et al., 2002] Las neuronas estudiadas en esta Tesis, procedentes del núcleo

principalis [Negredo, 2006] y de la subpoblación de interneuronas que expresan calretinina en la

corteza somatosensorial (REF Jorge) no presentan este problema, al tratarse de neuronas

básicamente no espinosas. Aún así la distribución detallada de las sinapsis en el árbol dendrítico 25 Una de las funciones principales (aunque no la única [Koch, 1999]) de las espinas dendríticas es la de servir como

“puertos” para la llegada y formación de contactos sinápticos [Stuart, Spruston and Hausser, 1999].


145

(con independencia de las espinas) es aún más difícil de obtener por ser necesario conjuntar

diversas técnicas experimentales (distintos tratamientos inmunohistoquímicos, microscopía

confocal, microscopía electrónica, estereología, etc.). De ser posible, la adquisición de estos

datos sería de gran ayuda al permitirnos saber si los segmentos dendríticos son más susceptibles

de recibir sinapsis según su carácter (terminal o intermedio), según su distancia euclídea, real o

topológica al soma, según su orientación, su grado, etc., sin embargo ante la falta de

conclusiones en estos aspectos es necesario rebajar el nivel de fidelidad descriptiva exigido a la

medida entrópica a desarrollar y asumir condiciones neutras que no admitan ningún

conocimiento a priori, suponiéndose así una probabilidad uniforme de sinaptación a lo largo de

toda la longitud de cada segmento del árbol dendrítico según se hizo en la Entropía de 3er Nivel.

La fase F.2.del proceso de construcción de una medida entrópica eficaz es algo más

inmediata que la F.1. en virtud de los programas que existen actualmente para simular el

comportamiento electrofisiológico de las diversas estructuras neuronales, en especial el software

‘Neuron’, empleado en este trabajo. A pesar de ello esta etapa no está exenta de dificultades ya

que la modelización rigurosa del procesamiento dendrítico bajo condiciones muy detalladas

exige la misma precisión a la hora de implementar computacionalmente esas circunstancias, para

que las conclusiones obtenidas sean válidas y permitan su aplicación a neuronas reales. Una

opción obviamente preferible a la simulación teórica es el estudio electrofisiológico

experimental, sin embargo este enfoque adolece de ventajas importantes con las que contaba el

abordaje anterior, y no sólo en lo referente a la facilidad de realizar los experimentos requeridos,

sino especialmente en cuanto a la inclusión en las propiedades del árbol dendrítico de las

características requeridas para el nivel descriptivo propuesto. Por ejemplo el desarrollo de la

fundamentación de la Entropía de 1er Nivel hubiese sido imposible por medio de experimentos

reales ya que el paso desde un árbol dendrítico realista hasta su descripción topológica

(representado en la Figura 8) se hizo disminuyendo progresivamente los diámetros de todos sus

segmentos dendríticos, algo irrealizable en el laboratorio. En conclusión la simulación

computacional de los fenómenos de propagación pasiva e integración de señales en árboles

dendríticos añaden a la inmediatez de su realización la posibilidad de incluir sólo las condiciones

pertinentes a la descripción deseada, sin que interfieran otras circunstancias presentes en la

realidad pero que deben ser obviadas.

Esta discusión muestra lo importante que son unos buenos resultados experimentales de cara

a desarrollar medidas entrópicas eficaces. Lamentablemente, como ya se ha comentado, las

técnicas actuales son el factor más limitante en este sentido, incluso en la aproximación adoptada


146

en la Entropía de 3er Nivel. De los dos parámetros considerados relevantes para ésta medida, el

diámetro es una característica muy difícil de cuantificar experimentalmente con herramientas del

tipo de ‘Neurolucida’ [Scorcioni, Lazarewicz and Ascoli, 2004], y el uso de otros abordajes tales

como la microscopía electrónica combinada con estereología son de tal complejidad que no

resultan prácticos a la escala de los estudios que se han reseñado aquí [Castro García, 2007;

Negredo, 2006], en los que, de hecho, el diámetro no se introdujo como parámetro en la

descripción cuantitativa de las neuronas reconstruidas. En cualquier caso la inspección visual de

los árboles dendríticos analizados mostraba un gran parecido en el grosor de los diámetros base

en la mayoría de los segmentos vecinos, aunque su valor no podía cuantificarse con exactitud, de

donde se concluye la validez de la aproximación a primeros vecinos, que según se demostró en la

fundamentación de la Entropía de 3er Nivel, estaba supeditada a que los diámetros de los

segmentos con nodo común difiriesen en menos de un 10%.

Fundamentación de los símbolos generados por los árboles dendríticos

Para finalizar esta parte dedicada a la discusión de los fundamentos y generalización de las

medidas entrópicas propuestas, ahondaremos en la conexión entre la estructura de los contactos

sinápticos y los símbolos o respuestas generadas en consecuencia por el árbol dendrítico. En la

Entropía de 1er Nivel quedaba claro cómo diferentes sinapsis, o para ser más exactos el mismo

tipo de sinapsis pero situadas en diferentes posiciones, podían generar la misma señal, lo que

redundaba en su capacidad como fuente de información (a mayor diversidad de posibles

respuestas mayor es dicha capacidad); esto era posible debido a que las características propias

del árbol dendrítico eran, en esta aproximación, discretas. No obstante al considerar las

propiedades morfométricas la situación cambia radicalmente ya que se trata de cualidades

continuas, por lo que un cambio muy pequeño conlleva una variación muy pequeña en la

respuesta. En consecuencia ¿hasta que punto podemos considerar ahora dos respuestas o

símbolos iguales? Más aún, antes de eso debemos preguntarnos si es necesario siquiera

considerarlas iguales o podemos simplemente ahorrarnos la molestia de agrupar los patrones de

sinaptación dendrítica en función de lo parecido de las repuestas resultantes y considerarlos así

como correspondientes a un mismo símbolo.

Obsérvese ante todo que no estamos interesados en fundamentar cuantitativamente lo similar

que puedan ser dos repuestas pasivas a una estimulación sináptica en determinado árbol

dendrítico, sencillamente afirmamos que conceptualmente es congruente considerar que dos

señales de salida muy parecidas, resultantes de la propagación pasiva de un estímulo sináptico


147

(EPSP) a lo largo del árbol, pueden ser consideradas iguales a efectos prácticos a pesar de no ser

idénticas. Obviamente la alta no linealidad del sistema nervioso hace muy difícil afirmar que en

cierta situación una mínima variación traerá consigo una variación también muy pequeña en la

respuesta del sistema, sin embargo centrándonos tan sólo en el ámbito del propio árbol, esta

asunción es completamente asumible ya que la respuesta pasiva de la membrana del árbol

dendrítico viene regida matemáticamente por una ecuación diferencial lineal. El que dicha

suposición pueda ser aplicada a ámbitos más generales a los que pertenece el árbol bajo estudio

depende, al igual que en las condiciones anteriores, de un conocimiento más o menos exhaustivo

del sistema; en cualquier caso cuanto mayor sea este ámbito (microcircuito, circuito local, área

del encéfalo, etc.) mayor será la no linealidad y mayor deberá ser la cautela a la hora de asumir

que dos respuestas similares puedan ser valoradas como iguales.

Llegados a este punto nos preguntamos si no sería más sencillo el considerar directamente

como diferentes a dos señales generadas por nuestro árbol, que tan sólo sean similares aunque no

idénticas. Existen dos principios que contradicen la veracidad de esta postura, uno funcional y

otro neurobiológico. En primer lugar el suponer que cualesquiera dos señales distintas puedan ser

detectadas por los componentes de un sistema (en este caso los árboles dendríticos) como

diferentes por pequeñas que sean sus diferencias implica que la capacidad de éste para procesar

(distinguir) información es virtualmente infinita, lo cual es imposible, lo que implica

necesariamente que deba existir un rango por debajo del cual el sistema deja de ser capaz de

discernir dos respuestas concretas y pasa a considerarlas como indistinguibles. El segundo de los

principios se basa en la redundancia, un fenómeno ubicuo tanto en el sistema nervioso periférico

[Chechik, et al., 2006; Meister, 1996] como en el sistema nervioso central [Barlow, 2001], en

virtud del cual parte de la información que maneja el sistema es repetida. La redundancia es una

característica inextricable de las propiedades que definen un sistema en términos de teoría de la

información, ya que está presente, tanto de forma explícita como implícita, en la propia entropía,

en la transmisión de la información a través del canal apropiado (capacidad del canal), en la

bondad del código empleado para la codificación de la información, etc. No obstante la

importancia teórica de este concepto, su trascendencia práctica en términos neurobiológicos es

mayor si cabe ya que su presencia en el sistema nervioso dota a éste de una gran robustez frente

a un amplio espectro de cambios, como deterioro físico o funcional, degeneración, pérdida de

información por diversas causas, etc. [Villacorta and Panetsos, 2005]. En consecuencia la

asunción de que dos señales procesadas, con similitudes suficientes sean consideradas tras su

procesamiento como la misma señal, proporciona un sencillo mecanismo de redundancia a nivel


148

del propio árbol dendrítico que aumenta la robustez de los sistemas de los que dicho árbol forma

parte (neurona, microcircuito, circuito local, etc.).

En respuesta pues a la pregunta planteada en el párrafo anterior podemos concluir que es

necesario considerar un rango de igualdad para dos señales codificadas o procesadas por el árbol

dendrítico de forma que cuando ambas señales se encuentran dentro de dicho rango el sistema las

trata como la misma señal. La cuestión ahora es qué se entiende de forma rigurosa por similitud

o parecido entre dos señales, introducidas sinápticamente en las dendritas y que se propagan

pasivamente a lo largo del árbol. Este tipo de señales, los potenciales postsinápticos excitatorios

(EPSP), se pueden caracterizar en primera instancia y según se detalló en la Fundamentación de

la Entropía de 3er Nivel, por tres propiedades: el máximo de su voltaje maxV , el tiempo en que

alcanzan dicho máximo, denotado por tiempo máximo o maxt , y su centroide [Agmon-Snir and

Segev, 1993]. En las simulaciones llevadas a cabo con el programa ‘Neuron’ se asumieron como

dentro del rango de similitud aquellos EPSPs cuyos maxV y maxt diferían en menos de un 1%

respecto a las respuestas que se generaban al estimular en ambos extremos de cada segmento

(respuestas extremas). Esto supone unos límites ‘contextualizados’ a cada árbol ya que en

algunos casos las respuestas extremas son más cercanas que en otros (Figuras 11 y 12), y por

tanto un 1% en un caso no es comparable a la misma diferencia en otro. A pesar de ello en la

mayoría de las pruebas efectuadas esas diferencias eran mucho menores (en esas condiciones el

centroide apenas se veía afectado), de donde obtenemos un criterio objetivo para definir las

condiciones en que dos señales procesadas por el árbol dendrítico se consideran iguales y por

tanto asociadas al mismo símbolo cuando dicho árbol se caracteriza como fuente de información.

Las medidas de entropía definidas en los dos primeros niveles de descripción topológica

exigen unas circunstancias relativamente poco restrictivas (dentro de las condiciones que definen

cada medida respectiva) en lo que respecta a las configuraciones sinápticas que representan el

mismo símbolo, sin embargo la inclusión de propiedades morfométricas supone la inclusión de

continuidad y por tanto de una gradación continua en las características de las señales

procesadas. Este hecho, junto con la condición de igualdad de dos de esas señales definida

anteriormente, implica que a efectos prácticos dicha gradación se producirá a saltos, ya que

fijada una sinapsis en un segmento dendrítico existirá un espacio alrededor de ella en el cual

cualquier contacto sináptico que porte la misma señal de entrada conducirá a la misma señal de

salida. Podemos pues definir una constante d de discretización de la longitud dendrítica según la

cual las sinapsis sólo pueden formarse a lo largo del segmento en intervalos de medida d, de


149

manera que dado un segmento de longitud L una sinapsis podrá formarse a lo sumo en /L d

posiciones de ese segmento. En el presente trabajo se ha supuesto que el valor de la constante de

discretización era 1d µ= , que, en virtud de las simulaciones realizadas en ‘Neuron’, es un valor

que cumple sobradamente con el criterio que define cuándo dos señales procesadas pueden

considerarse iguales, sin embargo el valor elegido para d tiene un significado anatómico ya que

la dimensión lineal de los contactos sinápticos se mueve por debajo de la micra, concretamente

entre las 0.2 y 0.35 micras de longitud media en el córtex de diferentes especies [Beaulieu and

Colonnier, 1987; De Felipe, et al., 1997; Keller, et al., 1992; Peters, et al., 1990; Peters, Palay

and Webster, 1991], y la densidad lineal media de contactos de sinapsis excitadoras (con mucho,

las más abundantes) se ha estimado en 1.25 micras en los segmentos más densamente inervados

de interneuronas no espinosas corticales [Ahmed, et al., 1997].

2. LAS MEDIDAS ENTRÓPICAS COMO HERRAMIENTAS TEÓRICAS

Las Entropías de 1er y 2º Nivel caracterizan cuantitativamente a los árboles dendríticos a partir de

su capacidad para procesar, codificar y/o generar información atendiendo a sus características

topológicas, las cuales dan lugar a un número finito de distintos árboles (en su descripción

topológica) en función de las configuraciones de ramificación que adoptan. Esta circunstancia ha

permitido estudiar la conexión entre las medidas entrópicas de los dos primeros niveles y la base

teórica que soporta el proceso de desarrollo de la topología dendrítica, revelando propiedades de

las Entropías de 1er y 2º Nivel que llevan adicionalmente su aplicabilidad a otro ámbito distinto

de aquel para el que se diseñaron inicialmente.

La topología dendrítica y la Entropía de 1er Nivel

La topología de los árboles dendríticos es satisfactoriamente descrita por los modelos BE y S de

desarrollo [Van Pelt and Verwer, 1986; Van Pelt, Dityatev and Uylings, 1997], el primero

describiendo la distribución de los árboles de una población neuronal en función de su número

de segmentos terminales o grado, y el segundo determinando la distribución de las diferentes

topologías dentro de las subpoblaciones de grado fijo; la adecuación de los modelos a la

población experimental deseada se hace a través del ajuste de los valores que toman cada uno de

sus parámetros críticos, el B y E para el primer modelo, y el S para el segundo. De ambos


150

modelos de crecimiento sólo nos interesa aquel que hace hincapié directamente sobre las

propiedades de ramificación de los árboles dendríticos, es decir el modelo S.

El análisis de las relaciones entre la Entropía de 1er Nivel y el parámetro de desarrollo S, y su

comparación con las mismas relaciones establecidas entre el índice de asimetría y S, han

demostrado que la medida entrópica es una medida de las propiedades de ramificación de los

árboles dendríticos más natural de lo que es la asimetría, ya que su dependencia con respecto a S

resultaba más sencilla e inmediata. Esta circunstancia se manifiesta también cuando se

analizaban las características estadísticas de cada medida en función del grado n y del valor de S;

de nuevo la Entropía de 1er Nivel evidencia mejores cualidades que la asimetría al exhibir

distribuciones con menor dispersión, lo que permite, entre otras cosas, estimar con gran precisión

una dependencia teórica de la media y SD de la medida de entropía con respecto a S y n por

medio de sendas funciones analíticas EntrM y EntrSD . La aplicación de esta función sobre una

población neuronal determinada para la cual se han obtenido los valores de la entropía topológica

de sus árboles dendríticos permite obtener el valor del parámetro S asociado a la población según

el modelo S. Este parámetro puede ser estimado también a partir de la asimetría y por medio del

método de máxima verosimilitud (MLM), sin embargo el uso de las relaciones analíticas EntrM y

EntrSD asociadas a la medida de entropía topológica recoge las ventajas de los dos métodos

previos: resulta más fácil de implementar que el MLM y más preciso que el método basado en la

asimetría.

Aunque estas ventajas son ya indudablemente importantes desde un punto de vista práctico,

sus implicaciones teóricas son aun más relevantes al demostrar con rigor la profundidad de la

relación entre las medidas de entropía propuestas y las características topológicas de los árboles

dendríticos. Con independencia de la comparación entre la medida entrópica topológica y la

asimetría, la primera está relacionada con la base del proceso de desarrollo a nivel de

ramificación del árbol (representado por el parámetro S y por el grado) de una forma

objetivamente muy simple (a través de funciones cuasilineales como muestran las Figuras 16 y

19). Estas dependencias distinguen a la Entropía de 1er Nivel como algo inherente a los propios

árboles, lo que entronca con la esencia de las medidas de entropía: tanto como cuantificadores de

la propiedad (y función) fundamental de los árboles dendríticos como en su relación con la

topología dendrítica, su conexión con la naturaleza de los árboles dendríticos es profunda.


151

Sensibilidad

Otra de las propiedades que manifiesta la Entropía de 1er Nivel, y sin duda una de las más

relevantes, es la de cuantificar de forma casi exacta la variedad topológica que puede exhibir un

árbol dendrítico de un grado concreto. El presente trabajo ha mostrado diversas formas de

referirse a las configuraciones de ramificación de un árbol, o bien en abstracto por medio de los

vectores-orden [Villacorta, Castro, Negredo and Avendano, 2007] o de las particiones, o bien

ilustrándolo gráficamente, sin embargo la alta sensibilidad mostrada por la Entropía de 1er Nivel

permite un nuevo enfoque. Supuesto un árbol dendrítico con un número fijo de segmentos

terminales n y admitiendo la bifurcación como el único proceso de ramificación, el número de

segmentos totales será de 2n-1, por lo tanto el número de formas en que todos los segmentos

(terminales e intermedios) pueden combinarse es finito y a cada una le corresponderá un valor

concreto de la medida de caracterización del árbol que se aplique; la relación entre cuántos

valores diferentes hay de dicha medida y el número de topologías diferentes dará su resolución o

sensibilidad. De este tipo de medidas las empleadas aquí han sido la Entropía de 1er Nivel y la

asimetría, y la comparación de sus respectivas sensibilidades (Figura 22) apoya de nuevo la

naturalidad con que la medida de entropía caracteriza a la topología dendrítica: del mismo modo

que visualmente es posible diferenciar cada una de las distintas formas topológicas en función de

la disposición de los segmentos dendríticos la Entropía de 1er Nivel permite distinguirlos

cuantitativamente en base a su valor. La relevancia de este hecho es inmediata puesto que hace

posible el caracterizar algo tan complejo como la estructura de ramificación de un árbol

dendrítico mediante un número, simplificando considerablemente la manipulación de las

características topológicas que permitía el abordaje abstracto y en especial el visual.

El orden máximo como estimador de la Entropía de 1er Nivel

La profundidad de las conexiones existentes entre la Entropía de 1er Nivel y la topología de los

árboles dendríticos implica que la fuerza conceptual de aquella como medida de la capacidad de

procesamiento de la información de los árboles se ve reforzada por sus propiedades para

caracterizar cuantitativamente aspectos teóricos del desarrollo y la topología del árbol. No

obstante, lo estrecho de esta conexión podría llevar a plantearse la posibilidad de que la medida

entrópica de primer nivel, fuera de su contenido como caracterizadora del árbol como fuente de

información, sea una forma más sofisticada pero en definitiva redundante de estudiar la

ramificación de los árboles dendríticos. Para abordar esta situación se ha analizado la relación

existente entre la Entropía de 1er Nivel y dos características topológicas importantes, el orden


152

máximo de los segmentos terminales y el grado; si ambos parámetros de ramificación, siendo tan

diferentes, mostrasen una fuerte correlación con la entropía significaría que esta medida posee

una redundancia considerable como descriptor de la topología dendrítica, aunque ello no afecte a

su utilidad como caracterización de la capacidad de de los árboles para procesar información en

base a su topología. La relación entre la Entropía de 1er Nivel y el orden máximo y el grado se ha

estudiado tanto desde el punto de vista puramente teórico como desde una perspectiva más

práctica, a partir de poblaciones neuronales simuladas computacionalmente; de ambos

tratamientos se ha concluido que la entropía a nivel topológico está fuertemente relacionada con

el orden máximo del árbol pero no con su grado.

Aparece así otra aplicación inesperada de las medidas entrópicas fuera del contexto para el

que se desarrollaron: la Entropía de 1er Nivel ha permitido demostrar que un parámetro tan

sencillo como el mayor orden de los segmentos terminales de un árbol dendrítico es un indicador

eficaz de la capacidad de éste como fuente de información. Esto tiene dos consecuencias

importantes: en primer lugar dada una población neuronal es posible estimar de forma sencilla e

inmediata su nivel de procesamiento ‘topológico’ a partir de los órdenes máximos de sus árboles

dendríticos; el rendimiento de esta estrategia se ha demostrado en los resultados experimentales,

según se discutirá en la próxima sección. En segundo lugar la correlación entre la entropía

topológica y el orden máximo implica que éste es un parámetro topológico de relevancia por

estar estrechamente conectado con la funcionalidad de las estructuras a las que caracteriza, y que

por tanto en los estudios de reconstrucción y análisis morfométricos de neuronas reales debería

ser considerado aparte de otras características y relaciones topológicas como el grado,

distribución del número de segmentos según su orden, etc. La importancia de esta conclusión no

es menor ya que la gran cantidad de parámetros (y relaciones entre estos) que se pueden evaluar

con los métodos actuales de análisis de árboles dendríticos llevan con frecuencia a una selva de

características cuantificadas que oscurece los resultados a extraer del estudio [Horcholle-

Bossavit, Gogan, Ivanov, Korogod and Tyc-Dumont, 2000; Scorcioni, Lazarewicz and Ascoli,

2004]. En consecuencia la demostración, no sólo de que cierto parámetro es relevante, sino de

que lo es en base a la propiedad fundamental de las estructuras a las que pertenece, es la forma

más concluyente de destacar su importancia frente a otras características y tener un criterio

objetivo de elección de qué parámetros deben ser considerados y cuales no en base a los

objetivos del estudio.


153

Correlación entre las Entropías de 1er y 2º Nivel

Las medidas de entropía desarrolladas a nivel topológico se fundamentan en las posibles

configuraciones sinápticas que se pueden formar sobre el árbol dendrítico cuando se exigen

ciertas condiciones sobre los contactos sinápticos. Estas condiciones son impuestas en parte por

la propia estructura topológica del árbol y en parte por asunciones externas, como por ejemplo

que cada sinapsis funcional porte la misma o diferente señal de entrada; son estas circunstancias

externas las que definen y diferencian a las Entropías de 1er y 2º Nivel. Según se detalló en la

fundamentación de estas medidas entrópicas las restricciones sobre las circunstancias de

sinaptación impuestas en los dos niveles de entropía tenían por objetivo el dar un intervalo con el

que cubrir las situaciones que aparecen en la realidad, es decir dado un árbol dendrítico concreto,

el valor de una medida de entropía topológica construida a partir de condiciones de sinaptación

reales y rigurosas estaría comprendido entre los valores de las Entropías de 1er y 2º Nivel

correspondientes a dicho árbol. Este hecho unido a la distinta fundamentación que tienen ambas

medidas de entropía induce a pensar que para cada posible configuración topológica de un árbol

dendrítico el valor de la Entropía de 1er Nivel debería ser independientes del de la Entropía de 2º

Nivel, por ello los resultados obtenidos acerca de la fuerte correlación entre ambas medidas

entrópicas resulta tan notable.

Conservando simultáneamente el enfoque teórico y experimental de este trabajo, el estudio

de la relación entre las Entropías de 1er y 2º Nivel se llevó a cabo tanto asociando los valores de

ambas medidas para todos los árboles dendríticos (topológicos) hasta grado 14 como

relacionando las entropías de primer y segundo nivel para poblaciones neuronales obtenidas a

partir de los modelos de desarrollo computacionales. Independientemente del abordaje los

resultados eran los mismos: la Entropía de 1er Nivel estaba fuertemente correlacionada con la

Entropía de 2º Nivel de forma cuasilineal. Esta circunstancia apoya desde otra perspectiva

diferente a las discutidas más arriba lo esencial del enfoque que proporcionan las medidas

entrópicas aquí propuestas: la íntima conexión entre la topología dendrítica y las medidas de

entropía de primer y segundo nivel se refleja en que el valor que toma la Entropía de 1er Nivel

para un árbol concreto determina con gran precisión el correspondiente valor de la Entropía de 2º

Nivel. Debido a que la fundamentación común a ambas medidas involucra sólo a las propiedades

topológicas de los árboles dendríticos, esta conexión implica que la capacidad de procesamiento

de información que posee un árbol depende casi exclusivamente de su estructura de ramificación

y no de las condiciones externas impuestas sobre la sinaptación, lo cual reafirma la solidez de la

descripción de la topología dendrítica que brindan las medidas de entropía descritas.


154

En definitiva las Entropías de 1er y 2º Nivel cuantifican la capacidad de los árboles dendríticos

como fuentes de información en base a sus configuraciones de ramificación, sin embargo las

características deterministas propias de la descripción topológica de dichos árboles permiten

emplearlas adicionalmente como caracterizadoras de la propia estructura topológica, no sólo de

la capacidad de ésta para manejar información. De esta manera a través de estas medidas es

posible ahondar en los procesos de desarrollo de la topología dendrítica o cuantificar ésta por

medio de un solo número, evitando así el empleo de descripciones matemáticas más prolijas.

Estas nuevas propiedades, lejos de ser algo accesorio aunque práctico, refuerzan la esencia de las

medidas de entropía caracterizándolas como una forma natural de abordar la descripción de los

árboles dendríticos a nivel de su topología.

3. LA CARACTERIZACIÓN ENTRÓPICA DE POBLACIONES

NEURONALES REALES

El concepto de medida de entropía introducido en este trabajo, y en especial los de Entropías de

1er, 2º y 3er Nivel aquí desarrolladas, tienen como objetivo fundamental la cuantificación de las

propiedades de procesamiento de la información de neuronas reales, es por ello que es primordial

testar su aplicación sobre árboles dendríticos biológicos obtenidos experimentalmente e

interpretar las conclusiones derivadas en función del tipo de neuronas y su función en el esquema

general de tratamiento de la información dentro del sistema nervioso.

Las medidas de entropía en los tres niveles propuestos se han empleado para caracterizar

como fuentes de información a dos poblaciones neuronales experimentales bien diferenciadas

tanto en su arquitectura como en su funcionalidad y localización en el sistema nervioso. Una

primera población corresponde a las neuronas del núcleo principalis del trigémino de la rata que

proyectan contra-lateralmente al tálamo formando parte de la vía lemniscal [Negredo, 2006];

como neuronas de proyección son excitatorias y procesan la información de vibrisas procedente

de la periferia, en concreto del ganglio trigeminal. La segunda población estudiada pertenece a la

corteza somatosensorial, que recibe y procesa gran parte de la información enviada por las

neuronas de la población anterior; se trata de una subpoblación de interneuronas inhibitorias,

capaces éstas de formar circuitos a diferentes escalas dentro del ámbito cortical [Castro García,

2007].


155

A la variedad de las poblaciones analizadas se añadieron diversas circunstancias

experimentales en que se desarrolló el estudio, así se definieron cuatro grupos: el estándar o

Control (C), el Infraorbitario (Io), que reunía a las ratas que habían sufrido sección del nervio

infraorbitario, portador de la información de vibrisas hasta el trigémino, y otros dos grupos cuyos

individuos recibían restringida de forma no lesiva la información de vibrisas debido al recorte

periódico de los bigotes de su lado derecho: el grupo Enriquecido (E), que agrupaba a las ratas

que habían sido estabuladas en condiciones de alta estimulación sensorial (diversos ambientes,

juguetes y texturas) y el grupo Trimming (T), cuyos individuos habían sido estabulados en

condiciones estándar. De cada uno de estos cuatro grupos se consideraron ambos lados

(denotados añadiendo a la abreviación del grupo una R o L para significar el lado derecho o

izquierdo respectivamente), con la precaución de asociar las neuronas de proyección del

principalis (NpP) del lado derecho (izquierdo) con las interneuronas de corteza (InC) del

hemisferio izquierdo (derecho) debido a la decusación de la vía; estas circunstancias dan lugar a

un total de dieciséis subpoblaciones neuronales distintas (ocho grupos experimentales para cada

tipo de población neuronal).

En este contexto experimental el estudio de las capacidades de procesamiento de estas dos

poblaciones neuronales se ha enfocado desde diversos puntos de vista. Tras cuantificarse el

rendimiento de cada subpoblación como fuente generadora de información por medio de las

Entropías de 1er, 2º y 3er Nivel, los valores obtenidos se han agrupado en base a diferentes

criterios. Por un lado dentro de cada tipo neuronal se han comparado los grupos experimentales

pertinentes entre sí (es decir, por ejemplo para las NpP se comparan el CR con el CL, el IoR con

el IoL y con el CR, etc.), obteniéndose así una visión de cómo las diferentes situaciones de

privación o estimulación sensorial alteran la capacidad de procesamiento de las neuronas en

función de su funcionalidad (neuronas de proyección o interneuronas) o su localización

neuroanatómica (conformantes de los núcleos sensitivos del trigémino o de la corteza

somatosensorial). En otro enfoque complementario, muy revelador e interesante, se han

comparado las entropías de las dos poblaciones neuronales pertenecientes a los mismos

paradigmas experimentales y a la misma vía sensorial, así por ejemplo se cotejaban las entropías

para las NpP del IoR con las entropías de las InC del grupo IoL. Esta perspectiva permite

analizar cuantitativamente cómo varían las capacidades de procesamiento de la información a lo

largo de la vía sensorial en base a las diferentes circunstancias experimentales, obteniéndose así

una visión más integradora de cómo la plasticidad anatómica afecta a la funcionalidad del

sistema de un modo más global.


156

El tercer abordaje de la cuantificación experimental de la entropía en los tres niveles

propuestos, sobre las poblaciones neuronales NpP e InC ofrece también unos resultados

ciertamente interesantes. Las medidas entrópicas definidas aquí se centran en las propiedades de

los árboles dendríticos, considerándolos implícitamente como las unidades de procesamiento. Sin

embargo en general la neurociencia considera que son las neuronas los ‘átomos’ de tratamiento

de la información, algo que resulta lógico en base a que estructuralmente estas células están

diseñadas para integrar información proveniente de numerosas fuentes de forma convergente y

unidireccional (de dendritas hacia axón). Con independencia de que en base a la escala funcional

en la que nos movamos podamos considerar a diferentes estructuras como la base del

procesamiento del sistema (canales, espinas, árboles, neuronas, microcircuitos, circuitos locales,

núcleos, áreas corticales, etc.), es conveniente preguntarse por lo adecuado que resulta considerar

a los árboles dendríticos o a la propia neurona como la unidad de tratamiento de la información

en función de los resultados proporcionados por las medidas de entropía. Con este objetivo las

comparaciones entre los diferentes grupos experimentales y subpoblaciones se llevará a cabo de

dos formas: empleando las entropías de los árboles y a partir de las entropías de las neuronas,

obtenidas a partir de la suma de las entropías de los árboles dendríticos que pertenecen a ella.

3.1. NEURONAS DE PROYECCIÓN DEL NÚCLEO PRINCIPALIS DE LA

RATA

La aplicación de las Entropías de 1er y 3er Nivel sobre los árboles dendríticos de las neuronas de

proyección del principalis, que forman parte de la vía lemniscal, conduce a conclusiones

reveladoras respecto a la visón intuitiva que se extrae de las diferentes condiciones a las que ha

sido sometido cada grupo experimental.

Ateniéndonos a la Entropía de 1er Nivel (Tabla 4) se concluye que la capacidad de

procesamiento de los árboles dendríticos en el lado intacto del grupo enriquecido (izquierdo)

tiene tendencia a ser mayor que la capacidad de los grupos control e infraorbitario del mismo

lado y que la del grupo enriquecido del lado afectado por el recorte de bigotes (derecho), el cual

a su vez muestra un menor potencial de procesamiento que el grupo control derecho. Este mismo

esquema se repite con diferencias significativas cuando se compara el lado izquierdo del grupo T

con los lados izquierdos de los grupos C e Io: los árboles de TL son capaces de procesar más

información que los de los grupos CL e IoL. En este caso (grupo T, sin enriquecimiento) sin

embargo no hay diferencias entre lados. Por otra parte los cambios en el lado derecho, el


157

afectado por la manipulación experimental, son mucho menores, en especial en el caso del

infraorbitario, cuyos niveles de significación son muy elevados.

La hipótesis de estimulación compensatoria

De los paradigmas experimentales planteados se esperaría en principio que a nivel de trigémino

(en concreto el núcleo principalis), por tratarse de la primera estación de relevo importante, el

impacto de la pérdida total (Io) o selectiva (E y T) de entradas sensoriales se reflejase

particularmente en la estructura de los árboles dendríticos del lado directamente manipulado

(derecho). No obstante los resultados muestran lo contrario: las poblaciones neuronales que

presentan capacidades de procesamiento alteradas pertenecen al lado izquierdo, no afectado

directamente por la experimentación26.

Este hecho indica claramente la presencia de un mecanismo de compensación que incrementa

la capacidad de procesamiento de los árboles dendríticos del lado intacto para contrarrestar la

falta de entrada sensorial del lado afectado. La naturaleza de este mecanismo es con seguridad

comportamental por tratarse de una manipulación a nivel periférico (en la que la influencia de los

lados afectados sobre los intactos es muy indirecta) y en base a la integridad estructural de la vía

sensorial en el lado izquierdo. Estas circunstancias apuntarían como alternativa más plausible a

estos cambios, a una alteración en los hábitos de exploración del animal: éste al verse privado de

una mitad de sus vibrisas para analizar parte de su entorno utiliza la otra mitad de forma

compensatoria, empleándola entonces más activamente. Esta situación produce una ganancia en

las capacidades de los árboles dendríticos para procesar información, y nos referiremos a ella

como hipótesis de estimulación compensatoria.

El incremento en el potencial de tratamiento de la información de los árboles dendríticos

cuando nos restringimos al nivel topológico (Entropía de 1er Nivel) es especialmente relevante

(significativo) entre el grupo TL y los grupos CL e IoL, aunque aparece una tendencia cuando

estos dos grupos se comparan con el EL, que muestra también unas capacidades aumentadas. No

obstante y siempre en el lado intacto, los grupos E y T no muestran diferencias entre sí, al igual

que ocurre entre los grupos C e Io. Al añadir las características morfométricas a la topología del

árbol la Entropía de 3er Nivel refina los resultados anteriores, revelando la existencia de

26 Con la salvedad de que el enriquecimiento ambiental afecta globalmente al animal, e incluso podría especularse

que afectaría más al territorio de las vibrisas izquierdas que se encuentran intactas.


158

tendencias en la mejora de las capacidades de procesamiento de los árboles de EL y TL con

respecto a CL, y que las diferencias de EL y TL con respecto a IoL son significativas. Estos

hechos junto con una diferencia significativa entre lados en el caso enriquecido refuerzan la

hipótesis de estimulación compensatoria como explicación de la ganancia en las propiedades de

procesamiento de los árboles dendríticos intactos.

Los cambios reportados en las dendritas pertenecientes a los lados intactos son congruentes

con un enriquecimiento indirecto provocado por la exploración del lado afectado compensada

con las vibrisas intactas del lado opuesto. No obstante la falta de alteraciones en la entropía

dendrítica del lado influido por la privación sensorial es reseñable por ser a priori poco intuitiva.

Es posible que en los grupos E y T, en los que las restricciones en la información táctil han sido

más leves, se mantengan las capacidades de los árboles como fuentes de información que tenían

en condiciones normales (grupo C), sin embargo el grupo Io se ha visto sometido a una lesión

severa para anular las aferencias sensoriales, lo que debería verse reflejado en las propiedades

funcionales de las dendritas. Abordemos estos casos separadamente ya que los dos tipos de

privación sensorial aplicadas tienen implicaciones completamente diferentes sobre el sistema

nervioso periférico del animal.

Si nos centramos en los grupos tratados de forma no lesiva E y T es evidente que la vía

sensorial permanece prácticamente intacta, no sólo porque no se ha actuado físicamente sobre

ella sino porque ni siquiera se ha eliminado completamente la aferencia sensorial que recibe. El

recorte periódico de los bigotes sólo elimina un tipo de entrada sensorial, el denominado tacto

activo, que se refiere a la información sensorial del exterior recogida a partir de la exploración

activa por el movimiento controlado de las vibrisas27. Existe sin embargo otro tipo, el tacto

pasivo, que recoge la información adquirida de forma pasiva; tras la sección de la vibrisa el

animal es incapaz de emplearla para explorar, quedando la entrada táctil reducida a dicha

componente. Esta aferencia, aunque reducida, es constante y probablemente suficiente para

27 De hecho el tacto activo no sólo va por la vía lemniscal, parte es también conducida por la vía paralemniscal (que

lleva información sensorial del whisking de bajo nivel) y por la extralemniscal (información de contacto o touch),

sin embargo la información portada por la vía lemniscal combina los tipos anteriores de whisking y touch a un nivel

de procesamiento más alto [Yu, Derdikman, Haidarliu and Ahissar, 2006].


159

conservar la integridad de la vía28. Esto explica la falta de diferencias significativas observadas

entre los lados derechos de los grupos C, E y T, aunque la comparación de los lados derechos,

afectados, con los izquierdos, intactos, en estos grupos revela unos valores de significación que

indican, en el caso del grupo control una interesante asimetría biológica consistente con otras ya

observadas previamente [Machin, et al., 2004], y en el caso de los grupos enriquecido y

trimming una menor capacidad de procesamiento en los árboles de los lados afectados29.

En el caso del grupo sometido a una sección del nervio infraorbitario la situación cambia

radicalmente ya que en estudios estereológicos llevados a cabo por Alfonso Lagares y Carlos

Avendaño (en la actualidad aún no publicados) se ha concluido que este tipo de lesión provoca la

pérdida de un 28% de las neuronas del núcleo principal del trigémino, incluidas neuronas de

proyección trigemino-talámicas, que constituyen el 70% de la población del núcleo (Pedro

Bermejo y Carlos Avendaño, datos no publicados). Esto explica uno de los resultados más

paradójicos en lo que respecta al grupo Io: no sólo no hay diferencias significativas entre el lado

afectado de este grupo y el lado derecho del resto de los grupos, sino que los valores de P son

muy elevados, lo que significa que los potenciales de procesamiento son prácticamente iguales.

Este sorprendente resultado, especialmente en el grupo Io, el más severamente influido por las

condiciones sensoriales impuestas, es ahora lógico en vista de que, en efecto han debido existir

neuronas seriamente afectadas por la privación sensorial derivada de la lesión, sin embargo

dichas células, o bien han desaparecido o bien han perdido la suficiente integridad estructural

como para no haber sido detectadas por el proceso experimental de marcaje30. Esta situación

conduce a una interesante consecuencia: la privación sensorial severa por lesión afecta

primordialmente a las conexiones axónicas de las neuronas de proyección del principal (que

conectan con el tálamo), conservando la funcionalidad dendrítica. En otras palabras, la neuronas 28 El paradigma hebbiano afirma que la activación de los circuitos neuronales provoca su reforzamiento (como

ocurre por ejemplo con la LTP), al igual que pueden deteriorarse funcional o incluso anatómicamente si no se

emplean [Kandel, Schwartz and Jessell, 2000; Koch, 1999; Mrsic-Flogel, et al., 2007].

29 En este estudio hemos supuesto que la tendencia se encontraba en los valores de P menores o iguales que el 10%,

sin embargo en estadística se asume que para valores de significación por debajo del 20% es conveniente aumentar

la muestra para obtener resultados estadísticamente concluyentes [Martín-Andrés and Luna del Castillo, 1990].

30 Recuérdese que el marcaje de este tipo de neuronas se realizaba por medio de inyecciones en tálamo que

marcaban retrógradamente en el núcleo principal del trigémino. De esta forma si desaparece los contactos sinápticos

entre estas neuronas de proyección y el tálamo el marcaje retrógrado no se produce, la neurona permanece invisible

y en consecuencia no es analizada.


160

que sobreviven a las consecuencias de la lesión (y que por lo tanto han sido marcadas) no se han

visto afectadas por ésta, mientras que las afectadas directamente no aparecen en el estudio; la

población estudiada se ve así sesgada.

Para concluir el análisis de las entropías dendríticas en diferentes condiciones

experimentales, nos centraremos en un resultado llamativo: la diferencia entre las capacidades de

los lados intactos en el grupo Io con respecto a los casos E y T. Si bien la falta de cambios en el

lado derecho ha sido explicada, según la hipótesis de estimulación compensatoria los árboles

dendríticos del grupo IoL deberían mostrar un incremento en su potencial de procesamiento en la

línea de los grupos EL y TL, ya que en todos los casos las premisas de la hipótesis son válidas,

sin embargo sus capacidades se mantienen como las del grupo CL, tanto a nivel topológico como

morfométrico. La explicación de por qué la sección del nervio infraorbitario no conduce a la

esperada mejora en la capacidad de procesamiento de la información dendrítica hay que buscarla

de nuevo en el comportamiento del animal: es posible que el daño producido por la lesión altere

sus rutinas de exploración o incluso su actitud o su conducta en general, quizás volviéndola

menos activa o más apática. En cualquier caso la verificación de este punto hubiese necesitado

de una batería de pruebas comportamentales en paralelo al proceso de estabulación y

enriquecimiento de los animales.

En otro orden de cosas, se ha empleado el orden máximo para aproximarnos de forma rápida

y sencilla a la Entropía de 1er Nivel de los árboles dendríticos pertenecientes a las poblaciones y

grupos experimentales analizados. Los resultados (expuestos de forma idéntica a los obtenidos

con la entropía) confirman el buen comportamiento de este parámetro topológico como un

estimador fiable de la medida de entropía topológica también a nivel experimental (su validez a

nivel teórico fue analizada en detalle anteriormente), habida cuenta de su sencilla aplicabilidad

en comparación a la de la Entropía de 1er Nivel.

La neurona como unidad de procesamiento

Los resultados obtenidos al estudiar las Entropías de 1er y 3er Nivel de los árboles pertenecientes

a las neuronas de proyección del principalis y a las interneuronas de la corteza somatosensorial

muestran que las circunstancias referentes a la estimulación sensorial a la que los individuos

pueden verse sometidos influyen significativamente sobre las capacidades de dichos árboles para

procesar información. Si asumimos sin embargo que la entropía característica del sistema

nervioso estudiado es la propia de la neurona y no de cada árbol dendrítico, los resultados que


161

surgen de comparar las Entropías de 1er y 3er Nivel de los diferentes grupos entre sí considerando

a la neurona como la unidad de procesamiento (Tablas 2 y 5), son distintas, al aparecer sólo

diferencias (significativas) entre EL e IoL, y entre los lados del grupo enriquecido. Obsérvese

que esta situación se da entre los grupos ‘extremos’ desde el punto de vista del planteamiento

experimental, por tratarse del grupo con un mayor nivel de estimulación sensorial (E) y del grupo

con una mayor privación de ésta (Io), por consiguiente la hipótesis de estimulación

compensatoria sigue siendo válida aunque los casos intermedios, es decir que representan una

gradación entre los dos casos extremos E e Io, han desaparecido. Podemos concluir entonces que

a pesar de que el admitir a la neurona como base del procesamiento en detrimento del árbol

dendrítico, conserva el esquema explicativo al que se ajustaba el análisis de las entropías de los

árboles, dicha asunción conduce a una pérdida significativa de la sensibilidad al detectarse sólo

los cambios de entropía más extremos, es decir se trata de una perspectiva válida pero más

grosera. Debe observarse además que esto se deduce de los datos referidos a las neuronas de

proyección del núcleo principal, ya que la ausencia de cambios en las interneuronas de corteza

somatosensorial impide comparar cuál es la unidad de procesamiento preferente en corteza.

En un principio parece contradictorio que las neuronas pertenecientes a un grupo concreto

tengan una entropía diferente (en términos estadísticos) a la de los árboles que las componen, sin

embargo existe para este hecho una posible explicación de raíz biológica. En el análisis inicial se

estudiaron los árboles de cada grupo experimental como un solo conjunto, no obstante al

agruparlos por neurona los árboles dendríticos quedaron ordenados como aparecían en la

naturaleza, de esta forma si asumimos que en una misma neurona pueden existir árboles con

distintas funciones dentro de las operaciones que realiza dicha célula resulta coherente que las

características a nivel del tratamiento de la información no sean las mismas cuando se tratan los

árboles por separado o reunidos por neurona. Esto se ve claramente con un sencillo ejemplo:

supongamos diez árboles dendríticos, todos con la misma capacidad como fuentes de

información, y asumamos a continuación que los agrupamos por parejas formando cinco

‘neuronas’ o conjuntos; lógicamente en este caso cada una de ellas tendrá el mismo valor de

entropía. Supongamos ahora que añadimos al conjunto total de árboles cinco nuevas dendrítas

que son incapaces de generar información, es decir cuya entropía es cero. En términos

estadísticos la entropía de ese nuevo conjunto de árboles será diferente de la que tenía el primero

(pues el nuevo conjunto posee 15 elementos con respecto a 10 del original pero conservando la

entropía total) sin embargo si se añade uno de los nuevos árboles a cada una de las cinco

neuronas iniciales se obtienen cinco nuevas neuronas con tres árboles en vez de dos pero cuyas


162

entropías son estadísticamente iguales, ya que las unidades consideradas son las propias

neuronas y el valor de sus entropías individuales no se ha alterado. Se ve pues claramente que

pueden surgir diferencias importantes a nivel de entropía al asumir los árboles dendríticos o las

neuronas como la base del procesamiento dendrítico incluso en las situaciones más simples e

inmediatas.

La ventaja de esta explicación es principalmente su fuerte base neurobiológica. Al hablar de

árboles con distintas funciones nos referimos a sus características a nivel funcional, a nivel

estructural, a la procedencia de las terminales axónicas con las que sinapta (que podría estar

relacionada con su orientación), etc. Así existen tipos neuronales que poseen árboles dendríticos

que reciben aferencias de procedencias muy distintas [Castro García, 2007], aunque también

podrían tener funciones diferentes, o bien como codificadores o como detectores de

coincidencias, integradores, filtros de señal, etc. De hecho uno de los resultados más destacables

de uno de los trabajos de investigación del que se han extraído los datos experimentales

empleados en el presente estudio [Negredo, 2006] es la presencia de dos poblaciones diferentes

de árboles dendríticos, presentes en gran parte de las neuronas de proyección del principalis,

diferenciadas en función a su grado y detectadas por exhibir distintos cambios estructurales

según el ambiente y las circunstancias de estimulación. En este contexto parece lógico que las

capacidades de procesamiento de la información de cada árbol sean distintas en base a su

diferente funcionalidad, la cual, con seguridad, debe reflejarse en sus propiedades que sirven de

base a la medida entrópica empleada; por ejemplo un árbol que funcione como integrador

probablemente exhiba una topología y/o morfométrica más compleja que la de otro árbol que

sirva simplemente como detector de coincidencias [Agmon-Snir, Carr, Rinzel, Softky and Koch,

1998; Koch, 1999]. Obviamente y ante la falta de conocimiento de las características funcionales

de los árboles dendríticos experimentales analizados aquí, se ha supuesto que la única

información concerniente a este punto es la contenida en la propia estructura de dichos árboles.

El razonamiento desarrollado hasta aquí parece apuntar hacia la consideración de los árboles

dendríticos como las unidades de procesamiento en detrimento de las neuronas, sin embargo es

lícito pensar que quizás estos motivos no son suficientes para descartar a la neurona como la base

del tratamiento de la información. No obstante, en la próxima sección esto se verá plenamente

justificado tras el análisis del flujo potencial de información a lo largo de la vía lemniscal, a la

que pertenecen los tipos neuronales estudiados. De cualquier forma es necesario hacer hincapié

de nuevo en que hablamos de no considerar a la neurona como el elemento crítico del

procesamiento de la información en las poblaciones estudiadas, exclusivamente desde un punto


163

de vista entrópico, es decir desde la perspectiva de la capacidad de procesamiento y no desde la

funcionalidad de dicho procesamiento.

3.2. INTERNEURONAS DE LA CORTEZA SOMATOSENSORIAL DE LA RATA

El estudio de las entropías topológicas y morfométricas propias de los árboles dendríticos de las

interneuronas de la corteza somatosensorial de la rata se ha llevado a cabo siguiendo el mismo

esquema empleado para el análisis del potencial de codificación de información en las neuronas

de proyección del principalis. Esta estrategia nos permite cotejar las conclusiones obtenidas en

una y otra población neuronal, ya que las diferencias observadas entre ellas son importantes.

Los resultados discutidos en la sección anterior muestran una clara influencia de las

circunstancias de estimulación sensorial sobre la capacidad entrópica de los árboles dendríticos

de las NpP, sin embargo la situación en las InC cambia radicalmente ya que no se han observado

cambios reseñables, ni a nivel de significación ni a nivel de tendencias (excepto en un caso

aislado). En concreto cuando se mide la Entropía de 1er Nivel la mayoría de los valores de

significación obtenidos al comparar los diversos grupos experimentales entre sí están por encima

del 60%, tanto cuando se estudian los árboles por separado como agrupados por neurona; en este

último caso aparece una tendencia aislada, entre los grupos ER y EL (P = 0.1 ó 10% de

significación). La aplicación posterior de la Entropía de 3er Nivel lejos de revelar cambios entre

los distintos paradigmas experimentales elimina la única tendencia que aparecía en la descripción

topológica, de nuevo al considerar como la base del procesamiento tanto a los árboles como las

neuronas.

En un principio, y sobre todo en vista de los resultados obtenidos del estudio de las neuronas

de proyección del principalis, la ausencia de cambios en las interneuronas de corteza

somatosensorial puede parecer un poco decepcionante, sin embargo si se analiza la situación en

profundidad se colige que es la conclusión más lógica en base al tipo de neurona investigado.

Las Entropías de 1er y 3er Nivel asocian la cuantificación de la entropía a las características

estructurales del árbol dendrítico, por lo que las alteraciones en el potencial del procesamiento

son un reflejo funcional de la plasticidad anatómica, es decir la ausencia de cambios en la

entropía de las InC indicaría una gran estabilidad de su estructura frente a entornos de

estimulación variables. Teniendo en cuenta pues la complejidad de la corteza y la alta

conectividad que exhibe [Jones, 1975] parece natural que cambios, aunque intensos, sobre la


164

información sensorial recibida del exterior, apenas se manifiesten en alteraciones anatómicas

sobre los propios árboles, ya que como elementos de un sistema altamente no lineal cualquier

perturbación sobre ellos podría conducir a variaciones funcionales a mucha mayor escala, por

ejemplo sobre los circuitos a los que pertenece o incluso a nivel de la propia corteza.

Naturalmente lo objetable de estos efectos no es que se produzcan, ya que el propio cerebro a

pesar de su fuerte no linealidad está sometido a cambios continuamente y no por ello pierde

operatividad ni funcionalidad (de hecho la inestabilidad controlada es el régimen de trabajo en el

que se mueve), sino la necesidad de que se manifiesten a nivel estructural de los árboles

dendríticos, puesto que eso supone cambios de carácter presumiblemente muy estables en el

tiempo, mientras que los complejos fenómenos que aparecen en la corteza como atención,

discriminación, memorización o incluso consciencia necesitan de mecanismos de variación más

elásticos y versátiles proporcionados por la plasticidad funcional [Yao, Shi, Han, Gao and Dan,

2007]. Por el contrario y siguiendo ese razonamiento, es esperable que la exposición crónica del

sistema sensorial a niveles alterados, mayores o menores, de estimulación táctil sí se manifieste

en forma de cambios estructurales más o menos significativos, en estaciones de relevo mucho

menos complejas a nivel neuroanatómico como es el caso del núcleo principalis del trigémino.

En resumen, podemos concluir de los resultados experimentales obtenidos de las dos poblaciones

neuronales estudiadas que su adaptación en términos de capacidades de procesamiento a

diferentes entornos y condiciones de estimulación sensorial varía considerablemente, ajustándose

de forma coherente a esquemas funcionales basados en la naturaleza de cada tipo de neurona. De

este modo las neuronas de proyección del núcleo principalis del trigémino parecen exhibir un

potencial como fuentes de información influenciable principalmente por una mayor intensidad de

la estimulación, tanto directa (enriquecimiento) como indirecta o compensatoria (trimming), y

menos por una ausencia de ésta (grupos control e infraorbitario); es la hipótesis de estimulación

compensatoria. Esta situación parece ser congruente con la relativa simplicidad estructural y

conectiva de las neuronas de proyección al tálamo en el núcleo principalis comparada con las

redes de interneuronas inhibitorias (o al menos aquellas de entre ellas que expresan CR) de la

corteza somatosensorial, cuya complejidad hace más natural las variaciones en la entropía de los

árboles dendríticos a través de la plasticidad funcional que a partir de la plasticidad anatómica.

A pesar de que los cambios en las capacidades de procesamiento de la información

cuantificados por medio de las Entropías de 1er, 2º y 3er Nivel están asociados a las alteraciones


165

en la anatomía dendrítica, es perfectamente factible desarrollar nuevas medidas de entropía que

contemplen las características de los árboles dendríticos relacionadas con la plasticidad

funcional. Entre este tipo de fenómenos se encuentran principalmente los de plasticidad

sináptica, algunos de los cuales son la facilitación y potenciación postetánica, en escalas

temporales de segundos o minutos, producidos por el incremento en la probabilidad de liberación

del neurotransmisor [Langdon, et al., 1995; Magleby, 1987; Mallart and Martin, 1968], o la

potenciación a largo plazo, más conocida por LTP, que funciona en una escala de tiempo mayor

que los dos anteriores. Esta clase de potenciación se basa en la aparición de un exceso de calcio

en la terminal postsináptica producido por la activación de canales NMDA; la presencia masiva

de calcio desata ciertos procesos neuroquímicos que conducen por un lado a un incremento en la

sensibilidad de los canales receptores del neurotransmisor, activándose parte de los que antes

estaban silentes, y por otro lado a la liberación de substancias postsinápticas que actúan sobre la

terminal presináptica, facilitando a su vez la liberación del neurotransmisor [Kandel, Schwartz

and Jessell, 2000; Koch, 1999]. Existen además otros mecanismos de plasticidad funcional que

no involucran a la sinapsis sino a las propias corrientes iónicas, produciendo fenómenos de

adaptación de la frecuencia de disparos; estos fenómenos están mediados por diferentes tipos de

corrientes de potasio [Alkon, et al., 1982] y contribuyen a un tipo de memoria a nivel celular con

un amplio régimen de escalas de tiempos [Marder, et al., 1996].

3.3. EL FLUJO DE INFORMACIÓN A LO LARGO DE LA VIA LEMNISCAL

La principal ventaja del estudio experimental del que se han obtenido los datos empleados aquí

para la aplicación de las medidas de entropía [Castro García, 2007; Negredo, 2006], es la

complementariedad de sus poblaciones neuronales debido a que pertenecen a los extremos de la

principal vía de procesamiento de la información táctil, la vía lemniscal. En consecuencia el

cotejo adecuado de las entropías a nivel topológico y morfométrico de los distintos grupos

experimentales conduce a una cuantificación del flujo de información que la vía lemniscal es

capaz de procesar a lo largo de sus diferentes estaciones de relevo. Al igual que en las secciones

previas el estudio de este análisis se realizará contemplando las Entropías de 1er y 3er Nivel (la

Entropía de 2º Nivel no aporta nueva información respecto a la de primer nivel), y desde el punto

de vista de los árboles y de las neuronas.


166

¿Qué significa flujo de información?

No obstante antes de abordar la discusión de los resultados obtenidos anteriormente es obligado

ahondar en el concepto de ‘flujo de información’ al que nos vamos a referir a lo largo de esta

sección. En primer lugar y siguiendo el curso lógico de este trabajo, el flujo a lo largo de la vía

sensorial estudiada no atañe a la información real procesada sino a la información potencial que

es capaz de procesar dicha vía. Una cuantificación del flujo real de información a lo largo de la

vía lemniscal entrañaría un conocimiento preciso del código empleado para transmitir la

información entre los distintos elementos que la conforman (especies de neuronas, estaciones de

relevo, áreas y núcleos del sistema nervioso implicados, etc.), lo cual es a día de hoy imposible.

Lo que sí es posible conocer, y de forma tan precisa como se quiera (o pueda), es la capacidad

para procesar la información de los árboles dendríticos o de las neuronas de las distintas

estaciones que componen la vía, a partir de las medidas de entropía introducidas en este trabajo;

la forma en que la facultad de procesamiento va cambiando a medida que nos movemos de la

periferia hacia la corteza nos da una medida del flujo potencial de información.

Existe sin embargo una severa limitación a esta forma de proceder: una cuantificación

adecuada del flujo exigiría un conocimiento completo de las características de todas las neuronas

de la vía (obsérvese que no así de sus interconexiones), por ello actuando de forma práctica nos

hemos aproximado a esta situación ideal analizando dos tipos relevantes de neuronas

pertenecientes a las dos estaciones de relevo situadas en los extremos de la vía lemniscal. Las

neuronas de proyección del principalis son las encargadas de parte del procesamiento y

conducción de la información procedente directamente de vibrisas, de ahí su importancia en el

esquema de flujo a lo largo de la vía lemniscal. Por el contrario las interneuronas de la corteza

somatosensorial son, en comparación, elementos ‘menos importantes’ en el sentido de llevar

menos peso en las tareas de procesamiento, ya que por un lado se trata de neuronas inhibitorias y

por otro, como neuronas locales, forman parte de microcircuitos y/o circuitos locales [Shepherd,

2004], de manera que su misión en el tratamiento de la información está más distribuida que en

el caso de las neuronas de proyección. Al contrario de lo que pueda parecer esta situación es muy

provechosa puesto que las capacidades de procesamiento en relación a las demás neuronas de su

entorno deberán ser mayores en el caso de las neuronas de proyección del principalis que en el

caso de las interneuronas de corteza; en consecuencia si se comparan las NpP con las InC de una

misma vía lemniscal y se concluye que las interneuronas tienen una mayor capacidad de

procesamiento se habrá establecido un claro aumento del potencial de procesamiento de la

corteza en general respecto a las estaciones de relevo iniciales (en concreto al principalis), ya que


167

es de esperar que el resto de tipos neuronales de corteza tengan tanta o más capacidad que las

InC analizadas. En otras palabras la elección de estas neuronas como representantes de sus áreas

neuroanatómicas respectivas permite cuantificar una cota inferior del flujo de información

potencial que posee en realidad la vía lemniscal.

Cuantificación del flujo de información en la vía lemniscal

Entrando ya en la discusión de los resultados, al considerar únicamente la estructura topológica

de los árboles dendríticos la comparación de la Entropía de 1er Nivel entre las neuronas de

proyección del principalis y las interneuronas de corteza somatosensorial pertenecientes a los

mismos grupos experimentales revela cambios significativos en todas las condiciones de

estimulación sensorial, demostrando que la capacidad de procesamiento es mayor en las

interneuronas de corteza que en las neuronas de proyección de la primera estación de relevo

(principalis). La clave en este nivel descriptivo está en cómo se distribuyen esos cambios según

nos refiramos al lado afectado o al intacto, recordando que las NpP del lado derecho (izquierdo)

corresponden a las InC del lado izquierdo (derecho);a la vía sensorial que parte de las vibrisas

derechas (izquierdas) la denotaremos por vía derecha (izquierda).

En condiciones experimentales control la vía lemniscal derecha no muestra cambios entre

trigémino y corteza (en términos de los tipos neuronales estudiados), sin embargo sí hay una

variación significativa en la entropía topológica entre las NpP y las InC pertenecientes a la vía

izquierda. Esta tendencia se invierte al referirnos a los grupos enriquecido y trimming, en los que

es la vía derecha, es decir la afectada por las diversas condiciones de estimulación sensorial, la

que exhibe una mayor diferencia entre las neuronas de proyección del principalis y las

interneuronas de corteza (a favor de éstas últimas), mientras que en la vía izquierda no aparecen

cambios significativos. Desde un punto de vista biológico la diferencia en la capacidad de

procesamiento entre las NpP y las InC era de esperar ya que ambas son dos especies de neuronas

muy diferentes, tanto neuroanatómica como funcionalmente. Esta intuición se ve confirmada por

los resultados obtenidos de la cuantificación de la Entropía de 1er Nivel a lo largo de la vía

lemniscal de cada lado, sin embargo hay que tener en cuenta que las características que se han

tenido en consideración como determinantes del potencial de procesamiento de los árboles

dendríticos son exclusivamente topológicas, es decir nos encontramos en el nivel descriptivo más

simple. No obstante incluso bajo esas limitaciones las variaciones entrópicas presumidas se

manifiestan en los casos esperados, como son en las vías afectadas de los grupos E y T, y en


168

especial sobre el infraorbitario, en el que la privación sensorial en las neuronas de proyección es

más severa.

Adicionalmente para interpretar adecuadamente estos resultados debemos tener en cuenta

que contamos por un lado con los resultados para las NpP analizados más arriba pero por otro

hay que considerar que, a diferencia de las neuronas del trigémino, las interneuronas de corteza

están sujetas a la influencia simultánea de las aferencias sensoriales provenientes de ambos lados

a través de las conexiones cortico-corticales interhemisféricas31. Esto explica por un lado la

ausencia de variaciones sobre la entropía de las InC reseñada en la última sección (ya que las

influencias sensoriales de cada lado se mezclan y diluyen), y por otro la gran influencia de los

cambios reportados en las neuronas de proyección del principalis sobre la capacidad de

procesamiento de la vía completa, los cuales se ven realzados cuando se aumenta el nivel

descriptivo al aplicar la Entropía de 3er Nivel por árboles.

Los resultados obtenidos en el nivel morfométrico y resumidos en la matriz de significación

de la Tabla 14 pueden separarse en dos conjuntos en función de la diferencia que existe entre los

valores de significación correspondientes a la Entropía de 3er Nivel de las vías izquierda y

derecha de cada grupo. De este modo los grupos control e infraorbitario formarían uno de los

conjuntos y los grupos enriquecido y trimming el otro, puesto que la vía lemniscal en

condiciones control muestra una capacidad de procesamiento para los árboles dendríticos de las

interneuronas de corteza mucho mayor que la correspondiente a los árboles de las neuronas de

proyección de principalis, en concreto aparecen unos valores de significación de 0.001 para la

vía izquierda y de 0.008 para la derecha; lo mismo ocurre en el caso infraorbitario, aunque ahora

las diferencias de entropía entre corteza y principalis son mucho más altas y del mismo orden

entre las vías de los dos lados (0.0005 para la vía intacta y 0.0001 para la vía afectada). Esta

similitud entre las variaciones del potencial de procesamiento según se asciende por las vías

sensoriales de ambos lados indicaría que, aunque las condiciones de privación sensorial severa sí

influyen sobre el flujo potencial de información de la vía (los valores de significación son mucho

menores en el grupo Io que en el grupo C), esta influencia apenas discrimina el lado intacto del

lado afectado. Por el contrario en condiciones de enriquecimiento y trimming la vía lemniscal

31 En realidad no es estrictamente cierto que lo que ocurre en uno de los núcleos del trigémino no influya sobre el

trigémino del lado opuesto ya que existen vías corticofugales que conectan la corteza somatosensorial de cada

hemisferio con el trigémino contralateral correspondiente; a pesar de ello la influencia esperable entre núcleos

principalis siguiendo este conjunto de vías es necesariamente muy indirecta.


169

afectada (derecha) exhibe una diferencia de capacidad de procesamiento corteza-principalis

mucho mayor que la vía intacta (izquierda), de manera que el incremento sensorial directo en el

lado opuesto en el caso del grupo E e indirecto en el grupo T junto con la privación de estímulo

de forma no lesiva en un lado, han influido decisivamente en la diferenciación del flujo de

información que los árboles dendríticos de cada vía lateral son capaces de procesar.

El cambio de perspectiva basado en la consideración de las neuronas y no de los árboles

dendríticos como las unidades de procesamiento lleva consigo un cambio radical en las

conclusiones acerca del flujo de información a lo largo de la vía lemniscal. Las Tablas 12 y 15

exponen los valores de significación al comparar respectivamente las Entropías de 1er y 3er Nivel

de las neuronas de proyección del principalis con la de las interneuronas de corteza, apreciándose

la conservación del flujo de información en los casos control, infraorbitario y trimming (sin

considerar las tendencias), y siendo sólo el grupo enriquecido el que muestra variaciones

significativas de la capacidad de procesamiento a lo largo de la vía lemniscal.

Esta situación contradice claramente la intuición, que según se discutió anteriormente dictaría

un aumento considerable de la entropía a nivel topológico y morfométrico en las InC en

comparación a la de las NpP, al menos en el caso control, en el que las condiciones de

estimulación son las naturales. No obstante lo más relevante se refiere a la estabilidad del flujo

de información proporcionado por las neuronas, en las circunstancias de privación sensorial más

severa (grupo Io) y a los cambios en las vías lemniscales de ambos lados en el grupo

enriquecido; este último caso es especialmente llamativo ya que las variaciones reportadas en

ambos lados son de sentidos opuestos, es decir las InC pertenecientes a la vía lemniscal derecha

tiene mayor entropía que las NpP mientras que en la vía izquierda esta tendencia se invierte y

son las neuronas de proyección del principalis las que manifiestan una mayor capacidad de

procesamiento. Estos resultados vienen a confirmar de forma más concluyente lo que ya se

dedujo del estudio comparativo de las entropías de las dos poblaciones neuronales NpP e InC

(Secciones 3.3.1 y 3.3.2 de Resultados): en términos de capacidad de procesamiento, y sin hacer

referencia a la funcionalidad de la información procesada, son los árboles dendríticos y no las

neuronas quienes deben ser considerados como la unidad relevante del sistema, en este caso de la

vía lemniscal.

La caracterización entrópica de los árboles dendríticos a lo largo de la vía lemniscal nos ha

permitido demostrar que la capacidad de procesamiento de la información táctil se incrementa a

medida que ascendemos desde la periferia a la corteza. Por otro lado recientes investigaciones


170

han comprobado que, en el caso de la vía auditiva, la redundancia de la señal se ve reducida

también según la señal sensorial asciende hacia la corteza [Chechik, Anderson, Bar-Yosef,

Young, Tishby and Nelken, 2006]. Estos dos fenómenos son complementarios y junto con el

aumento de la complejidad estructural en estaciones superiores de relevo, estarían demostrando

cómo el sistema nervioso procesa la información: a medida que la señal sensorial se dirige desde

la periferia al sistema nervioso central va siendo reducida a sus componentes esenciales al perder

redundancia, pero a la vez va siendo procesada por elementos cada vez de mayor capacidad. Esto

indica 1) que según la información se aproxima a la corteza va siendo integrada con otro tipo de

información de distinta procedencia y de forma distribuida, y 2) que según vamos ascendiendo

por las vías sensoriales la redundancia de la señal se va convirtiendo progresivamente en

redundancia estructural, es decir cada unidad de tratamiento de la información (árbol dendrítico,

neurona, circuito local, etc.) procesa menos información pero ésta es más precisa, sin embargo

hay más de estas unidades procesándola, conjuntamente y en paralelo con otro tipo de

información.

En resumen, podemos concluir respecto al análisis y cuantificación del flujo de información

potencial de la vía lemniscal que, al considerar la capacidad de procesamiento de los árboles

dendríticos en las especies neuronales estudiadas se demuestra la esperada divergencia del flujo

bajo diversas condiciones de estimulación sensorial a medida que se asciende desde la periferia

hasta la corteza. Sin embargo el grado de divergencia tanto a lo largo de la vía como al comparar

la vía lemniscal izquierda o intacta con la derecha o afectada, viene determinado por dichas

condiciones de estimulación, de manera que en privación sensorial severa (grupo Io) la

divergencia es la más alta de todos los casos estudiados aunque no hay diferencias entre lados.

Por otro lado únicamente en privación sensorial leve (recorte de vibrisas o grupo T) o combinada

ésta con un entorno enriquecido (grupo E) la divergencia no es tan elevada como en Io (aunque

más que en el control) pero muestra una gran diferenciación entre lados, siendo mucho mayor en

las vías lemniscales de los lados afectados.

Estas conclusiones plantean la posibilidad de incrementar considerablemente el poder

descriptivo de las medidas de entropías propuestas combinando la entropía del árbol dendrítico

de una neurona concreta con la entropía de la señal procesada por ella. Esto permitiría conectar

la estructura y funcionalidad dendrítica de una forma cuantitativa, y poder estudiar así el

rendimiento en el procesamiento llevado a cabo por ese árbol concreto, la influencia del ruido, su


171

redundancia, cómo se integra en las características de las señales aferentes a nivel de la

información que éstas contienen, etc.

Para finalizar abordaremos el tema del ruido, un concepto central en la teoría de la

información, y de cómo se refleja en el enfoque que hemos dado aquí al aplicar la entropía a la

caracterización de las estructuras dendríticas. En el contexto habitual en el que se mueve la teoría

de la información el ruido es una influencia inevitable y no predecible producida por el entorno.

Según se han planteado aquí los diferentes conceptos de sistema, símbolo, autoinformación,

entropía, etc. el ruido estaría constituido por los efectos de todas aquellas circunstancias que

influyan sobre las configuraciones sinápticas y que no hayan sido incluidas en los niveles

descriptivos en los que se ha basado la medida entrópica empleada en la caracterización

dendrítica. Esto abre nuevas posibilidades de cara al estudio de la redundancia estructural

asociada a la entropía definida aquí y de su inclusión en la caracterización del sistema nervioso,

sin embargo es un tema que escapa del marco del presente trabajo y que se llevará a cabo en

futuras investigaciones.


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Villacorta CONCLUSIONES

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CONCLUSIONES

CONCLUSIONES Villacorta

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1. Este trabajo pretende aportar un enfoque novedoso al estudio de los árboles dendríticos

planteando su caracterización según su propiedad fundamental, su capacidad para procesar

información. Esta característica se cuantifica por medio de medidas basadas en la entropía,

uno de los conceptos centrales de la teoría de la información.

2. Se han propuesto tres tipos de medidas de entropía, construidas sobre tres niveles

descriptivos: los dos primeros se fundamentan sobre las características topológicas de las

dendríticas, mientras que en el tercero se añaden las propiedades morfométricas más

relevantes en una primera aproximación, la longitud y el diámetro dendríticos. Estas medidas

son las Entropías de 1er, 2º y 3er Nivel.

3. Las Entropías de 1er y 2º Nivel como herramientas teóricas han demostrado estar

profundamente conectadas con la topología de los árboles dendríticos, pudiendo ser

empleadas, además de para caracterizar la validez de las dendritas como fuentes de

información, como eficaces descriptores y predictores de las propiedades topológicas de estas

estructuras. Además ambas medidas están fuertemente correlacionadas, lo que muestra el

gran peso que tiene la topología dendrítica en el procesamiento de la información frente a

otras circunstancias externas, como son las condiciones que controlan la formación de las

configuraciones sinápticas y que definen cada uno de los niveles descriptivos.

4. Las medidas de entropía en los niveles topológico y morfométrico han sido aplicadas sobre

árboles dendríticos reales de las áreas pertenecientes a los extremos de la vía lemniscal

(neuronas de proyección del núcleo principal del trigémino e interneuronas de la corteza

somatosensorial de la rata) y que han sido sometidos a diferentes manipulaciones unilaterales

con el fin de restringir o potenciar la aferencia sensorial. Las conclusiones obtenidas se

refieren a la capacidad de procesamiento de los árboles dendríticos, de las neuronas y de la

propia vía lemniscal en las distintas circunstancias y entornos sensoriales. A su vez se ha

demostrado la validez del orden máximo como estimador real de las capacidades de

procesamiento de los árboles dendríticos a nivel topológico.


176

5. La capacidad de procesamiento de la información de los árboles dendríticos pertenecientes a

las neuronas de proyección del núcleo sensirivo principal del trigémino se ve aumentada

cuando existe un aumento de la aferencia sensorial, tanto directo (por enriquecimiento) como

indirecto (por compensación). Por el contrario la privación de estimulación sensorial de

forma no lesiva apenas se manifiesta en una disminución del potencial de procesamiento de

los árboles, mientras que la restricción sensorial provocada por la sección del nervio

infraorbitario conlleva un importante detrimento en la población neuronal, si bien las células

supervivientes no muestran mermadas sus capacidades.

6. Los árboles dendríticos de la subpoblación de interneuronas de la corteza somatosensorial

que expresan calretinina no manifiestan cambios de ningún tipo en sus capacidades como

fuentes de información en ninguna de las condiciones experimentales estudiadas.

7. Las unidades de procesamiento de la información en el núcleo principal del trigémino, bajo

la asunción de independencia de los árboles dendríticos pertenecientes a una misma neurona,

parecen ser los árboles y no las propias neuronas. La falta de cambios en la corteza

somatosensorial impide concluir nada a este respecto en este área del SNC.

8. La cuantificación del flujo de información a lo largo de la vía lemniscal demuestra una clara

divergencia desde niveles periféricos a centrales: existe un aumento de las capacidades de

procesamiento de la información a medida que se asciende en la vía lemniscal. En

condiciones control se evidencia además una asimetría lateral entre estos los flujos,

exhibiendo la correspondiente a la hemicara izquierda una mayor divergencia. Tras la lesión

unilateral del nervio infraorbitario la ganancia en el potencial de procesamiento en corteza

respecto al núcleo principal es la más elevada de entre los casos experimentales estudiados.

En los casos intermedios, en los que la restricción sensorial es no lesiva el flujo de

información diverge de forma muy significativa en el lado afectado por la privación

periférica, siendo esta divergencia menos relevante en el lado intacto.

9. Las medidas basadas en la entropía han permitido caracterizar a los árboles dendríticos según

sus capacidades para procesar información, distinguiendo de forma coherente y sólida

diferentes situaciones en las que el tratamiento de la información se ve alterado. Estas

medidas destacan por su versatilidad, ya que cualquier característica dendrítica que pueda


177

influir sobre las posibles configuraciones sinápticas puede ser incluida de forma inmediata en

una nueva medida entrópica o en otras ya desarrolladas. En consecuencia parece posible

cuantificar a través de la entropía dendrítica, a niveles tan precisos y realistas como nos

permita la obtención de datos experimentales, la principal característica de cualquier árbol

dendrítico: su potencial de procesamiento de la información.


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Villacorta BIBLIOGRAFÍA

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BIBLIOGRAFÍA

BIBLIOGRAFÍA Villacorta

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tesis final 4

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