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Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Diseño de un Esquema FDI-FTC mediante Modos

Deslizantes para Fallas en Componentes y Actuador

Aplicación a la Columna de Destilación

p r e s e n t a d a p o r

A l e j a n d r o V i d a l R o s a s

Ing. Electrónico por el Instituto Tecnológico de Orizaba

como requisito para la obtención del grado de:

Maestría en Ciencias en Ingeniería Electrónica

D i r e c t o r d e t e s i s:

Dr. Manuel Adam Medina

C o - D i r e c t o r d e t e s i s:

Dr. Juan Reyes Reyes

Cuernavaca, Morelos, México. 12 de octubre de 2010

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Diseño de un Esquema FDI-FTC mediante Modos

Deslizantes para Fallas en Componentes y Actuador

Aplicación a la Columna de Destilación

p r e s e n t a d a p o r

A l e j a n d r o V i d a l R o s a s

Ing. Electrónico por el Instituto Tecnológico de Orizaba

como requisito para la obtención del grado de:

Maestría en Ciencias en Ingeniería Electrónica

D i r e c t o r d e t e s i s:

Dr. Manuel Adam Medina

C o - D i r e c t o r d e t e s i s:

Dr. Juan Reyes Reyes

J u r a d o:

Dr. Victor Manuel Alvarado Martínez - PresidenteDr. Carlos Daniel García Beltrán - Secretario

Dr. Manuel Adam Medina - VocalDr. Juan Reyes Reyes - Vocal Suplente

Cuernavaca, Morelos, México. 12 de octubre de 2010

Dedicatoria

A Dios, por otorgarme de

fuerzas cuando todo parecía per-

dido.

A mis padres: A. L. Elías

Vidal Castro y J. Gloria Rosas

Rosete, por darme su amor

inconmensurable.

A mis hermanos: Ernesto, Car-

men, Gloria y Alberto, por

siempre estar a mi lado y darme

consuelo cuando no sabía a

donde acudir, los quiero mucho.

3

Agradecimientos

Agradezco a Dios por darme la oportunidad de estar en esta vida y otorgarme de la fuerzay los ánimos para no darme por vencido en todo lo que he vivido.

A mis padres, por todo su amor, confianza y comprensión, por guiarme cada día paraformarme en la persona que soy y siempre apoyarme en mis estudios, mamá, gracias por sertan cariñosa y comprensiva, papá, gracias por apoyarme y motivarme, esto es por ustedes.

A mis hermanos: Ernesto, por servirme de ejemplo y compartir lo que has aprendidopara que yo también me pudiera superar.

Carmen, gracias por ser tan paciente conmigo y creer en todos mis sueños, graciastambién por tus sabios consejos.

Gloria, tienes un gran corazón y nunca has dudado cuando he necesitado de ayuda,incluso cuando no la había pedido.

Alberto, por apoyarme e incluso aún cuando eres el más joven, has podido orientarmecuando yo no veía las cosas claramente.

A Mary, gracias por estar a mi lado en todos esos momentos difíciles y por ayudarme asuperarlos, creíste en mí y algunos de estos logros también son por ti.

Doctor Manuel Adam, le agradezco todo lo que ha hecho por mi, por su confianza, suamistad, por todo lo que me dijo y que tantas veces tuvo la razón, muchas gracias.

A Abraham, Diego, Erik, Felipe, Julio y Miguel, por que del compañerismo forjamosmas que una amistad, les agradezco que me ayudaran a superar las dificultades no solo dela escuela, sino personales, muchas gracias amigos.

Doctor Gerardo V. Gerrero, muchas gracias por ayudarnos a en la formación de nuestravida profesional y por todas las veces que nos apoyó.

Doctores Carlos Daniel, Juan Reyes y Victor Alvarado, porque sus palabras me guiaronen la mejora constante tanto de mi trabajo como de mi persona.

A todas las personas especiales que conocí en este trayecto: Sra. Eli, Rulo, Vicente Ry Vicente Amador, Irán, Carmen, Adriana A. y Adriana T., Ing. Mario, Secretaria Mayra,Anita, Javier Benitez, Doctores: Alejandro R., C. M. Astorga, Albino, G. Vela; donde ademásno podían faltar mis amigos Julio Martínez y Eduardo Durán

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por el apoyo económicobrindado, que permitió la realización de este logro.

...siempre estaré en en deuda con todos, que Dios los colme de bendiciones.

Resumen

Las columnas de destilación son un equipo ampliamente utilizado tanto en el ámbitoindustrial como académico, sus diferentes aplicaciones en la producción de perfumes,alimentos, medicinas y combustibles, industrias en las cuales la columna de destilaciónrepresenta una de sus principales inversiones, así como de más alto costo operacional, dondeuna falla o comportamiento derivaría en un aumento de dichos costos, así como pérdidas demateriales primas e incluso un posible riesgo laboral y medio ambiental.

El Diagnóstico de Fallas es una herramienta que hace uso de muchos enfoques de lateoría de control y otras ramas, para resolver el problema de la detección, localización eincluso la estimación del valor de una falla, con la finalidad de informar a los operarios sobrelas anomalías presentes en una planta o proceso. En conjunto con los Sistemas Tolerantesa Fallas, brindan mayor seguridad en la operación de cualquier planta al otorgarles ciertosgrados de decisión independientes a los que pudiera realizar un humano.

El presente trabajo de investigación aporta un enfoque para la detección y localizaciónde fallas utilizando el enfoque de Observadores en Modos Deslizantes, los cuales derivan dela Teoría de Control por Estructura Variable, desarrollada en Rusia a finales de los años 50,aplicando dicho enfoque a una columna de destilación binaria, el diseño del observador es apartir del modelo no lineal de la columna validado con datos experimentales.

El sistema de diagnóstico considera tanto fallas de actuador como de sensor, éste últimose valida en línea mediante un interface de monitoreo especialmente diseñada para la columnade destilación, las fallas en el actuador solo son a nivel simulación.

La información generada por la unidad de diagnóstico en sensores, es direccionada a unsistema de decisión, el cual reconfigura las mediciones en dos de los sensores para utilizarlas señales de un sensor virtual, una vez que se ha detectado en alguno o ambos sensoresconsiderados de interés.

7

Abstract

Distillation columns are devices widely applies than in the academy as the industrialenvironment, its different uses for the perfume production, feed products and fuel generation,industries where the distillation column represents their main investment as well as the higheroperational maintenance cost, where effects of a fault derives in a incremental of this cost,source materials waste, .even a laboral and environmental hazard.

Fault diagnosis is a tool that makes use of several control approaches and other topics,in order to solve the problem of detect, isolate even estimate the magnitude of a fault inorder to send an alert message to the operational workers about the anomalies presents onthe system. In addition with this, the Fault Tolerance System provide in the operation ofany system, some decision degrees independently to decisions of the employers.

This research provides an approach for fault detection and isolation using the approachof Sliding Mode Observer, which derives from the theory of Variable Structure Control,developed in Russia in the late 50, applying this approach to a binary distillation column,the design of the observer is from the nonlinear model validated with experimental data ofthe column.

The diagnostic system considers both actuator and sensor faults, sensor fault diagnosisis validated online using an interface for monitoring specially designed for the distillationcolumn, actuators faults is carried on only in simulation.

The information generated by the diagnostic sensors, is routed to a decision system whichreconfigures the measurements in two of the sensors using signals from a virtual sensor, oncea sensor fault is detected in one or both sensors considered interest.

9

Índice general

1. Introducción 1

1.1. Ubicación del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.2. Objetivos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4. Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5. Estado del Arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6. Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Columna de destilación binaria 9

2.1. Descripción de la planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1. Platos perforados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2. Hervidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.3. Condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.4. Etapa de alimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.5. Interface de operación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Generalidades de su operación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3. Equilibrio Líquido - Vapor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.1. Eficiencia de Murphree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.2. Relación de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.3. Ecuaciones de Van Laar y Antoine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.4. Punto de rocío y punto burbuja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4. Comportamiento dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.1. Submodelo del plato genérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.2. Submodelo del hervidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.3. Submodelo del condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.4. Submodelo del plato de alimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

i

2.5. Flujos internos y externos en la columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.1. Flujos internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.2. Flujos externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6. Modelo final de una columna de destilación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6.1. Validación del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7. Fallas en la columna de destilación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3. Observadores en modos deslizantes 43

3.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2. Generalidades sobre observadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2.1. Tipos de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3. Tipos de observadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.1. Observadores para sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.2. Observadores para sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4. Observadores en modos deslizantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4.1. Observador para sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4.2. Observador para sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.5. OMD para la columna de destilación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5.1. Cálculo de las ganancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.6. Validación en línea del observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.6.1. Operación en línea del observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.6.2. Prueba en estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.6.3. Prueba de robustez variando la presión atmosférica . . . . . . . . . . 70

3.6.4. Estimación de concentraciones para mezcla etanol-metanol . . . . . . 74

4. Diagnóstico de fallas en la columna de destilación 79

4.1. Diagnóstico de fallas basado en el modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2. Diagnóstico de fallas en actuadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2.1. Superficie deslizante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2.2. Cálculo de las ganancias de desacoplamiento . . . . . . . . . . . . . . 81

4.3. Unidad de diagnóstico para la potencia calefactora . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3.1. Operación por lotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.3.2. Operación continua de la columna de destilación . . . . . . . . . . . . 92

4.4. Detección y localización de fallas en sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.4.1. Esquema de observador dedicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.4.2. Relación líquido-vapor para la detección de fallas . . . . . . . . . . . 96

ii

4.4.3. Generación y evaluación de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.4.4. Fallas sobre el modelo de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.4.5. Fallas sobre la columna de destilación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5. Tolerancia a fallas en la columna de destilación 111

5.1. Sistemas tolerantes a fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.1.1. Requerimientos y propiedades de sistemas sujetos a fallas . . . . . . . 112

5.2. Elementos de un sistema tolerante a fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.3. Tolerancia a fallas en sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.3.1. Sensor virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.3.2. Sensor virtual para la columna de destilación . . . . . . . . . . . . . . 117

6. Conclusiones y trabajos futuros 125

6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.2. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

A. Glosario de términos 134

B. Residuos del banco de observadores 137

B.1. Residuos de las fallas en los sensores 2, 7 y 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

C. Tolerancia a fallas en los sensores del 2 al 11 140

D. Diagrama de instrumentación 143

E. Arranque de la columna de destilación 144

F. Prueba experimental del observador con chattering 150

G. Firmas para fallas en sensor 154

H. Ecuaciones de la columna de destilación 162

H.1. Modelo sin recirculación ni flujo de alimentación . . . . . . . . . . . . . . . . 163

H.2. Modelo con recirculación y sin alimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

H.3. Modelo con alimentación sin recirculación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

H.4. Modelo con alimentación y recirculación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

iii

Índice de figuras

1.1. Diagrama esquemático de una columna de destilación . . . . . . . . . . . . . 2

2.1. Columna de destilación del CENIDET. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Plato perforado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. Hervidor de la columna de destilación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4. Etapa de enfriamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5. Etapa de alimentación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.6. Panel de control manual de CDB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.7. Plataforma en Labview para la CDB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.8. Esquema de una columna de destilación binaria. . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.9. Diagrama de equilibrio líquido vapor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.10. Relación de la temperatura de rocío y la presión . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.11. Algoritmo del cálculo de burbuja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.12. Subsistema del plato genérico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.13. Subsistema del hervidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.14. Subsistema del condensador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.15. Subsistema del plato de alimentación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.16. VLE a diferentes presiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.17. Entradas para la primera prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.18. Comportamiento de las concentraciones en la prueba 1. . . . . . . . . . . . . 34

2.19. Respuesta de las temperaturas a partir de las concentraciones. . . . . . . . . 35

2.20. Producción de etanol en la prueba 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.21. Entradas para la segunda prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.22. Comportamiento de las concentraciones en la prueba 2. . . . . . . . . . . . . 37

2.23. Comportamiento de las temperatura en la prueba 2. . . . . . . . . . . . . . . 37

2.24. Producción de etanol en la prueba 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1. Implicación de las propiedades de observabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . 46

iv

3.2. Esquema de un observador de estados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3. Respuesta del OMD para un sistema lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4. Sistema del CSTR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.5. Respuesta del CSTR y el observador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.6. Respuesta del polinomio (3.49) y el VLE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.7. Gráficas de las temperaturas reales y estimadas. . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.8. Respuesta de concentraciones fuera de línea con diferentes c.i. . . . . . . . . 63

3.9. Gráfica del error de estimación a la salida para el condensador. . . . . . . . . 64

3.10. Gráficas de las superficies del condensador y el hervidor. . . . . . . . . . . . 64

3.11. Comportamiento de las temperaturas 1, 7 y 12. . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.12. Dinámica de las concentraciones en los platos 1 y 12. . . . . . . . . . . . . . 65

3.13. Gráficas de las superficies del condensador y el hervidor. . . . . . . . . . . . 66

3.14. Ventana para operación de la válvula de reflujo. . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.15. Cambio en las concentraciones por la recirculación. . . . . . . . . . . . . . . 67

3.16. Seguimiento de temperaturas para cambio en el punto de operación. . . . . . 67

3.17. Comportamiento de las superficies ante un cambio de referencia. . . . . . . . 67

3.18. Temperaturas en la segunda prueba de validación. . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.19. Dinámica de las concentraciones para la segunda prueba. . . . . . . . . . . . 69

3.20. Acercamiento a las temperaturas reales y estimadas. . . . . . . . . . . . . . . 69

3.21. Comportamiento del error en el condensador y el hervidor. . . . . . . . . . . 69

3.22. Superficies deslizantes para la segunda prueba. . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.23. Variación del punto de ebullición debido a la presión. . . . . . . . . . . . . . 71

3.24. Entradas al modelo para la variación de la presión atmosférica. . . . . . . . . 71

3.25. Respuesta de las concentraciones cuando varía la presión. . . . . . . . . . . . 72

3.26. Error de estimación y respuesta de la superficie deslizante. . . . . . . . . . . 72

3.27. Temperaturas reconstruidas por el OMD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.28. Errores de las temperaturas reconstruidas por el OMD. . . . . . . . . . . . . 73

3.29. Modelo de simulación y control para la columna de destilación. . . . . . . . . 75

3.30. Entradas de pot. calefactora, f. de alimentación y reflujo. . . . . . . . . . . . 75

3.31. Comportamiento deseado de las concentraciones. . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.32. Concentraciones mezcla EtOH-MeOH y OMD con mezcla H2O-EtOH. . . . . 76

3.33. Errores de estimación y respuesta de las superficies. . . . . . . . . . . . . . . 77

3.34. Temperaturas reconstruidas por el OMD y sus errores. . . . . . . . . . . . . 77

4.1. Entradas para el modelo de la columna experimento 1. . . . . . . . . . . . . 85

4.2. Concentraciones del modelo y el obervador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

v

4.3. Respuesta del sistema FDD para el actuador sin fallas. . . . . . . . . . . . . 86

4.4. Entradas con falla de 10 % en T=80 min en la potencia calefactora. . . . . . 87

4.5. Falla de 10 % en T=80 min en la potencia calefactora. . . . . . . . . . . . . . 87

4.6. Entradas para una falla intermitente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.7. Detección de falla intermitente de 13 % del minuto 80 al 140. . . . . . . . . . 88

4.8. Entrada con cambio de potencia y falla del 15 % en el actuador. . . . . . . . 89

4.9. Falla del 15 % con cambio en la referencia de la potencia calefactora. . . . . . 89

4.10. Entradas con falla intermitente y cambio en la potencia calefactora. . . . . . 90

4.11. Entradas con falla intermitente y cambio en la potencia calefactora. . . . . . 90

4.12. Entradas con cambio en la potencia calefactora y dos fallas. . . . . . . . . . 91

4.13. Respuesta de la unidad FDD para el actuador con dos fallas. . . . . . . . . . 91

4.14. Entradas al modelo en operación continua y falla en la potencia calefactora. 92

4.15. Respuesta de la unidad FDD en operación continua. . . . . . . . . . . . . . . 92

4.16. Entradas al modelo en operación continua y falla en la potencia calefactora. 93

4.17. Respuesta de la unidad FDD en operación continua con falla intermitente. . 93

4.18. Esquema del observador dedicado para localización de fallas. . . . . . . . . . 94

4.19. Esquema DOS para la columna de destilación. . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.20. Reconstrucción de temperaturas con un polinomio. . . . . . . . . . . . . . . 97

4.21. Respuesta de los tres polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.22. Reconstrucción de temperaturas con tres polinomios. . . . . . . . . . . . . . 98

4.23. Reconstrucción de temperaturas a partir del sensor 1. . . . . . . . . . . . . . 99

4.24. Reconstrucción de temperaturas a partir del sensor 1 con un polinomio. . . . 99

4.25. Residuos del OMD utilizando sensor 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.26. Definición de los umbrales para los sensores 2 y 12. . . . . . . . . . . . . . . 102

4.27. Interface para detectar fallas en los sensores de la columna. . . . . . . . . . . 102

4.28. Entradas de la columna de destilación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.29. Temperaturas para realizar fallas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.30. Temperaturas con desviaciones en los sensores 2, 7 y 12. . . . . . . . . . . . 104

4.31. Interface de localización de fallas en los sensores 2, 7 y 12. . . . . . . . . . . 104

4.32. Respuesta de los residuos de los OMD: 2, 7 y 12. . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.33. Temperaturas con 6 fallas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.34. Respuesta de los residuos 1 y 2 para 6 fallas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.35. Respuesta de los residuos 4, 6, 7, 9, 11 y 12 para 6 fallas. . . . . . . . . . . . 107

4.36. Interface mostrando 6 fallas en los sensores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.37. Interface de Labview para pruebas reales en la columna. . . . . . . . . . . . 108

4.38. Interface de Labview con la columna en estado estable. . . . . . . . . . . . . 109

vi

4.39. Respuesta de la interface con 3 fallas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.40. Respuesta de la interface con 6 fallas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.41. Respuesta de la interface desviaciones en 7 sensores. . . . . . . . . . . . . . . 110

5.1. Esquema general de un sistema tolerante a fallas. . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.2. Regiones de un desempeño requerido y degradado. . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.3. Arquitectura de un sistema tolerante a fallas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.4. Acomodación de fallas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.5. Reconfiguración del control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.6. Sistema de reconfiguración utilizando sensor virtual. . . . . . . . . . . . . . . 116

5.7. Diagrama de reconfiguración para los sensores de la columna de destilación. . 118

5.8. Información sobre la condición de operación de los sensores. . . . . . . . . . 118

5.9. Falla tipo rampa saturada y tipo escalón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.10. Falla en forma de rampa saturada en los sensores 1 y 12. . . . . . . . . . . . 120

5.11. Comportamiento de los residuos para 2 fallas tipo rampa saturada. . . . . . 121

5.12. Indicadores de descalibración y falla para los sensores 1 y 12. . . . . . . . . . 121

5.13. Temperaturas con falla y reconfiguradas por el STF prueba 1. . . . . . . . . 122

5.14. Falla en escalón para el sensor 1 y rampa saturada para el sensor 12. . . . . 122

5.15. Comportamiento de los residuos para 2 fallas tipo rampa saturada. . . . . . 123

5.16. Temperaturas con falla y reconfiguradas por el STF en la prueba 2. . . . . . 123

B.1. (a) Residuos para el sensor 1 (b) Residuos para el sensor 2, sin falla. . . . . . 137



B.4. (a) Residuos para el sensor 11 (b) Residuos para el sensor 12, sin falla. . . . 138

B.5. Respuesta de los residuos de los OMD 1 y 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

B.6. Respuesta de los residuos de los OMD 1 y 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

B.7. Respuesta de los residuos de los OMD: 1, 2, 4 y 6. . . . . . . . . . . . . . . . 139

C.1. Diagrama de reconfiguración para los sensores de la columna de destilación. . 140

C.2. Mediciones reales y de las estimadas por el OMD con T1 y T8. . . . . . . . . 141

C.3. Diagnóstico y reconfiguración de falla en un sensor. . . . . . . . . . . . . . . 141

C.4. Pantalla de diagnóstico para fallas simultaneas. . . . . . . . . . . . . . . . . 142

C.5. Reconfiguración para falla en 2 sensores y una descalibración. . . . . . . . . 142

D.1. Diagrama de instrumentación de la columna de destilación . . . . . . . . . . 143

E.1. Corriente eléctrica para la columna de destilación. . . . . . . . . . . . . . . . 144

vii

E.2. Sistema de enfriamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

E.3. Indicador de la presión del aire para la columna. . . . . . . . . . . . . . . . . 145

E.4. Arranque de la columna de destilación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

E.5. Inicio del programa de la interface de la columna. . . . . . . . . . . . . . . . 147

E.6. Controlador para el flujo del agua de enfriamiento. . . . . . . . . . . . . . . 147

E.7. Cierre del bypass e indicación del flujo controlado. . . . . . . . . . . . . . . . 148

E.8. Ingreso de mezcla y válvula del producto destilado. . . . . . . . . . . . . . . 148

E.9. Ingreso de mezcla y válvula del producto destilado. . . . . . . . . . . . . . . 149

F.1. Temperaturas, concentraciones y superficies del arranque. . . . . . . . . . . . 150

F.2. Temperaturas, concentraciones y superficies en estado estable. . . . . . . . . 151

F.3. Operación de la válvula de recirulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

F.4. Temperaturas, concentraciones y superficies entrando en chattering. . . . . . 152

F.5. Temperaturas, concentraciones y superficies saliendo del chattering. . . . . . 153

viii

Índice de tablas

2.1. Características físicas de la CDB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2. Parámetros de la columna y la mezcla etanol-agua. . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3. Condiciones para la mezcla etanol-agua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4. Tiempo de apertura y cierre del reflujo, prueba 1. . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5. Tiempo de apertura y cierre del reflujo, prueba 2. . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6. Porcentajes de la concentración de alcohol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.7. Criterios de error para la temperatura, prueba 1. . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.8. Producción real de etanol en mililitros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.9. Porcentajes de la concentración de alcohol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.10. Criterios de error para la temperatura, prueba 2. . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.11. Producción real de etanol en mililitros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1. Parámetros para el CSTR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2. Parámetros para el metanol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.1. Residuos generados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.2. Reducción de los residuos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.3. Definición de umbrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

C.1. Criterio del error cuadrático medio para las temperaturas . . . . . . . . . . . 141

G.1. Firmas para una falla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

G.2. Firmas para dos falla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

G.3. Firmas para tres falla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

G.4. Firmas para cuatro fallas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

G.5. Firmas para cinco fallas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

G.6. Firmas para seis fallas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

G.7. Firmas para siete fallas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

ix

Capítulo 1

Introducción

Hoy día, nuestra sociedad depende enormemente de la correcta operación de los procesos ysistemas que generan, productos de consumo, ya sean intermedios o finales; así sistemas

que prestan algún tipo de servicio, sin importar su complejidad donde algunos ejemplos sonlos procesos de manufacturación que pueden estar constituidos por herramientas, robots ysistemas de transporte, los cuales deben satisfacer de manera correcta su propósito y en todomomento asegurar una eficiente producción y cumplir con estándares de calidad dispuestospor políticas internas regidas por las leyes del lugar en donde se encuentre la empresainstalada. Por otro lado, existen sistemas de carácter cotidiano, como los económicos y dela vida diaria de las personas y que dependen de muchos factores, dentro de los principalesse podrían considerar las redes de distribución de energía, los sistemas de comunicación ytransporte. En ambos casos, el más mínimo error puede conllevar a un problema de mayorescala, sobre todo en la disponibilidad y el desempeño de todo el sistema social y económicoen conjunto.

En el campo de la ingeniería y los procesos de producción, las fallas se pueden debera variaciones en las características físicas de los equipos, en sus entradas o por condicionesexternas al mismo sistema y que deriven en cambios críticos e inesperados en su dinámica,algunas fallas típicas son (Chen, W. 2003):

Defectos de construcción: fisuras, rupturas, piezas sueltas, fugas y golpes.

Fallas de actuador: daños en los rodamientos, deficiencias en la fuerza o momentum,defectos de los engranes y efectos por el paso del tiempo.

Fallas de los sensores incluyendo errores de escalamiento, histéresis, deriva, zonamuerta, corto circuito y falso contacto.

Variaciones anormales en los parámetros del sistema.

Obstáculos externos como colisiones y obstrucción de flujos de salida.

Un campo de investigación, ampliamente utilizado en el ámbito académico es el delos procesos químicos, debido a la gran variedad de sistemas que pueden encontrarse endicha área tales como: tanques de agitación y procesos de mezclado, bioreactores parael tratamiento de lodos y aguas residuales, además de procesos de separación tales comola evaporación y la destilación, por mencionar algunos. Dichos sistemas presentan unaconsiderable complejidad en cuanto a su modelado, control y supervisión. Siendo ademáselementos fundamentales en la operación conjunta de una planta productiva.

1

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

La destilación se define como la operación de separar, mediante vaporización ycondensación, los componentes en una mezcla, aprovechando los diferentes puntos deebullición de cada sustancia, el cual es una propiedad intensiva de estas, es decir, no variaen función de la masa o el volumen aunque sí en función de la presión. El equipo utilizadopara dicha labor es la columna de destilación, ver figura 1.1, la cual cuenta con un elementocalentador de la mezcla, una serie de platos donde las sustancias son separadas y un elementocondensador, que permite recolectar el producto deseado por la parte superior de la columna.

Figura 1.1: Diagrama esquemático de una columna de destilación

Las columnas de destilación se pueden encontrar en la fabricación de perfumes,producción de bebidas alcohólicas, en medicina e industria petroquímica, para la generaciónde combustibles y productos derivados del petroleo. Por otra parte, la actual tendenciade generar fuentes de energía alterna, las columnas de destilación se emplean para producirbiocombustibles, específicamente bioetanol extraído de la fermentación de azucares presentesen vegetales como cereales, remolacha, hemicelulosa y celulosa. El bioetanol mezclado conla gasolina produce un combustible de alto poder energético, con una importante reducciónde las emisiones contaminantes en los motores tradicionales de combustión.

Para reducir el riesgo en la operación de una columna de destilación, debido a ladegradación de sus componentes, se emplean los sistemas de detección de fallas, cuyo objetivoes alertar de manera temprana, sobre que elementos se encuentran bajo los efectos de unafalla y así programar su mantenimiento o realizar alguna modificación que permita operarla columna bajo tales condiciones de falla, evitando de esta manera que el problema semagnifique y derive en un riesgo potencial al personal, al medioambiente, así como algúnaspecto legal y financiero para la empresa.

1.1. Ubicación del problema

El actual incremento en los requerimientos de productividad y estrictas especificacionesde desempeño, provocan una mayor exigencia sobre las condiciones de operación de muchosde los sistemas de ingeniería modernos; tales condiciones incrementan la probabilidad de

2


ocurrencia de fallas, ya sea por la degradación en los equipos los instrumentos de medición,actuadores o incluso del proceso. Para sobrellevar tales condiciones, desde hace más de 30años se desarrollaron los esquemas de detección y diagnóstico de fallas, los cuales alertan alos operadores para tomar decisiones que permitan cumplir con un compromiso de seguridadlaboral, medio ambiental y de reducir los costos por mantenimiento y paros inesperados enla producción.

La columna de destilación es ampliamente utilizada en la industria química y objeto deestudio en el campo de la ingeniería como en la síntesis de procesos, procesos dinámicos y enel control de procesos (Skogestad 1997). En cualquier caso, para poder realizar un adecuadomodelado, control y supervisión, es necesario conocer el sistema que en el caso de la columnade destilación y como todo sistema real presenta no linealidades y por ser parte de los procesosquímicos se presenta un fuerte acoplamiento entre sus variables, cambios de comportamientodebido a perturbaciones e incertidumbres paramétricas. Y aún formulando sofisticados yeficientes controladores estos perderán su eficacia cuando un evento inesperado excluyentede su diseño ocurra, tal situación comprometerá la integridad del sistema y derivará en lapérdida de las funciones de control y un posible daño en sus componentes.

Debido a lo anterior, se propone como objeto de experimentación para esta tesis unacolumna de destilación binaria (CDB), propiedad del Centro Nacional de Investigación y

Desarrollo Tecnológico (CENIDET), donde empleando un modelo matemático se producendiferentes escenarios de falla para sensores y actuador, esto con la finalidad de escenificar lascondiciones que pudieran afrontar sistemas de mayor escala.

1.2. Justificación

Para satisfacer las necesidades de seguridad, desempeño y fiabilidad en los procesos, esimportante detectar rápidamente la aparición de fallas en los componentes (actuador, sensoro de parámetros) y de manera precisa diagnosticar la fuente del problema y su severidadpara que las acciones correctivas puedan ser tomadas de manera oportuna.

Esta tesis presenta la aplicación del enfoque de observadores en modos deslizantes(OMD)para la detección y el diagnóstico de fallas (FDD, Fault Detection and Diagnosis)para cumplir con niveles de seguridad, mantenimiento y desempeño de un sistema no lineal,ante la ocurrencia de fallas. Una columna de destilación, así como cualquier proceso químico,se encuentra bajo condiciones de operación que al paso del tiempo deterioran sus elementosque pueden derivar en alguna falla y por falta de conocimiento de la misma podría provocaraverías. La finalidad de la FDD es el agilizar la reparación de algún elemento dañado,mejorando así la operación del sistema.

Los observadores en modos deslizantes, derivan de la teoría de los sistemas decontrol por estructura variable (VSCS, Variable Structure Control System) y el controlpor modos deslizantes (CMD), que surgieron en Rusia durante los años 50 (Edwards ySpurgeon 1998). Inicialmente utilizados en sistemas de naturaleza discontinua, como lossistemas electromecánicos. Actualmente, los métodos de diseño se han extendido a diversostipos de sistemas (Martínez-Guerra y Rincón-Pasaye 2007) como: sistemas no lineales (SNL),sistemas con múltiples entradas/múltiples salidas (MIMO por las siglas Multiple Input

3


Multiple Output), procesos estocásticos, modelos en tiempo discreto, sistemas de gran escalay dimensión infinita; así como en la estabilización de otras funciones de control.

La principal característica y ventaja de los OMD es la robustez que presenta antelas incertidumbres de modelado, así como a perturbaciones y no linealidades del sistema,esto debido a un componente no lineal que le permite al observador forzar y mantener lastrayectorias del error de estimación dentro de una superficie deslizante. Al hablar sobredetección y diagnóstico de fallas en sistemas no lineales, los OMD presentan mantienen surobustez donde la detección es mediante el “rompimiento” de su superficie deslizante.

Debido a que muchas de las decisiones sobre el funcionamiento y mantenimiento de unsistema, se deja enteramente a la parte humana, es posible que se produzcan errores, estoporque una persona no puede prestar totalmente y en todo momento su atención a la grancantidad de variables, donde incluso si la falla es detectada por el sistema, es posible que notome una buena decisión, por lo que el sistema se ve comprometido. A partir de esta ideafue que surgieron los sistemas tolerantes a fallas (STF), los cuales auxilian en la toma dedecisiones, previamente consideradas y así mantener en operación a la planta.

A partir de la información entregada por la unidad de diagnóstico, es posible generarun sistema tolerante a fallas para modificar el funcionamiento de los elementos de la CDB,una vez que la falla es detectada y localizada. El diagnóstico de los sensores es mediante lametodología de los OMD y las características del esquema de observador dedicado (DOS,Dedicated Observer Scheme) (Chen y Kangethe 1994), donde la tolerancia a fallas esmediante la teoría de sensor virtual (Blanke, et. al. 2003). Por otra parte, se realiza eldiseño de una unidad FDD que permite detectar y estimar la magnitud de una falla en elcalentador de la CDB mediante el desacoplamiento de las demás entradas.

Debido a la configuración y los costos de los equipos de la columna, el realizar fallasreales sobre ésta no será posible, ya que ponen en riesgo la integridad de la misma y dequienes la operan. A manera de ejemplo: la temperatura a la cuál opera la columna es de78◦C, de ocurrir algún percance con los sensores o el calentador, las presiones y temperaturasinternas serían un riesgo para los operadores. Si dichas presiones se incrementan, existe elriesgo de dañar la estructura interna de la columna. Por lo tanto, muchos resultados soloserán en simulación, empleando datos tomados directamente de la columna, a los cuales seles montarán señales para producir diferentes escenarios de fallas.

1.3. Objetivos

1.3.1. Objetivo general

Mediante el enfoque de observadores en modos deslizantes, diseñar un esquema dedetección y diagnóstico de fallas para sensores y actuadores, así como el desarrollo de unsistema tolerante a fallas, para una columna de destilación binaria.

1.3.2. Objetivos particulares

El tema de investigación desarrollado, es guiado por una serie de objetivos particulares,que abarcan el estudio de la columna de destilación, su modelo matemático, así como la

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teoría de observadores en modos deslizantes, para finalizar con la detección, diagnóstico ytolerancia a fallas. Los objetivos son los siguientes:

☞ Estudio de la operación de la columna de destilación binaria, así como el análisis,simulación y experimentación del modelo de la columna.

☞ Asimilación de la teoría de observadores en modos deslizantes y su uso para sistemasno lineales.

☞ Revisión del estado del arte sobre esquemas de diagnóstico y reconfiguración de fallasbasado en observadores.

☞ Conjuntar la teoría de OMD en la detección y el diagnóstico de fallas para diagnosticarfallas en los actuadores de la columna.

☞ Desarrollar una unidad para detección y localización de fallas en sensores mediante elenfoque de observador dedicado.

☞ Diseñar un esquema de reconfiguración de fallas en sensores basado en la informaciónde la unidad de diagnóstico..

1.4. Hipótesis

Cambios en las propiedades físicas de los elementos de medición, así como de losactuadores en una columna de destilación, pueden derivar en una avería de dicho componente,teniendo como consecuencia un impacto económico y laboral. Por esto es necesario formularun método que permita detectar y localizar las fallas siempre que se presenten, así comoevitar las falsas alarmas, entregando no solo la información de un elemento dañado, sino quedel mismo modo permita conocer posibles variaciones debido a una mala calibración en lossensores. Tomando en cuenta la necesidad de poder tener la medición de las variables deinterés en todo momento, es necesario desarrollar un sistema tolerante a fallas en sensores,considerando la pérdida de uno o más sensores de temperatura. Con esto se puede formularla siguiente hipótesis:

La aplicación de la teoría de observadores en modos deslizantes, permitirá la

detección y estimación de fallas en el calentador de una columna de destilación

binaria, propiedad del CENIDET de manera robusta. Y mediante el enfoque de

observador dedicado, empleando OMD se obtendrá la detección y la localización

de fallas en los sensores de temperatura de la dicha columna; donde además

un mecanismo de reconfiguración compensará la pérdida total de uno o más

sensores, para obtener mediciones de temperatura fiables.

1.5. Estado del Arte

El esquema que se propone como solución para el diagnóstico y la tolerancia a fallas,deriva del enfoque basado en modelo, específicamente observadores, los cuales hacen uso de laestructura matemática formulada para representar el comportamiento del sistema, de dondese sabe que no existe un modelo perfecto para un sistema real y que las incertidumbres operturbaciones del sistema constituyen la principal fuente para el problema de falsas alarmas

y no detección en los sistemas de diagnóstico de fallas (Chen y Patton 1999).

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Para el diseño de un FDD es necesario considerar las incertidumbres y perturbaciones,para que la unidad sea insensible o incluso invariante a estas, pero sensible a los efectosde las fallas. Un esquema que presente sensibilidad a las fallas y una suficiente robustez sedenominaesquema FDD robusto (Chen y Patton 1999). En el caso de los SNL, en la literaturase pueden encontrar enfoques y esquemas de FDD robustos, tales como observadores deentradas desconocidas (Chen, et. al. 1996), observadores robustos (Hammouri, et. al. 2008,Saif y Guan 1993), diseñados bajo un enfoque geométrico (De-Persis e Isidori 2008). Otrosmétodos de diagnóstico basado en el modelo se presentan en (Patton, et.al. 1995, Patton,R.J. 1997a) donde se hace una síntesis sobre métodos robustos para la FDI y FDD. Untrabajo más reciente es el de (Zhang y Jiang 2008) que considera además los Sistemas deControl Tolerantes a Fallas.

En sus orígenes, el control por modos deslizantes fue formulado e implementado sobresistemas de naturaleza puramente discontinua y de rápida conmutación, como sistemaselectromagnéticos. Pero actualmente, haciendo uso de otras formulaciones matemáticasy modelado en los sistemas, estos se ha extendido hasta sistemas de lenta dinámica yalejados de la naturaleza discontinua para el cual fueron inicialmente diseñados, tal es elcaso de su aplicación procesos químicos caracterizados por una dinámica lenta y altas nolinealidades (Gow-Bin, et. al. 1997). La teoría en la cual se fundamenta el CMD, fue utilizadaposteriormente para generar observadores en modos deslizantes (Utkin, et. al. 2008), queofrecen un gran potencial en el denominado campo de la FDD robusto (Orani, et. al. 2010),debido a sus propiedades de robustez(Edwards y Spurgeon 1998, Xiong y Saif 2000).

Algunos trabajos sobre OMD utilizados en la generación de unidades FDD robustos sonpara la detección de fallas en actuadores en sistemas de levitación magnética (Xing-Gang yEdwards 1997), para fallas de sensor y actuador en péndulos invertidos (Hakiki, et. al. 2006) yrobots manipuladores (Brambilla, et. al. 2008) los OMD ofrecen una alternativa de solución,debido a la oportuna respuesta que presentan en la detección de las fallas. En el caso delos procesos químicos es importante señalar aplicaciones detección y localización de fallas entanques interconectados (Orani, et. al. 2010, Rolink, et. al. 2006) y en un intercambiador decalor (Tan y Edwards 2003), donde las no linealidades son compensadas en la estimación delas variables de interés para el diseño del esquema de diagnóstico.

Las columna de destilación utilizadas para el proceso de separación de mezclas,constituyen un porcentaje significativo de la inversión que se realiza en plantas químicasy refinerías de todo el mundo, siendo su operación la parte más costosa en la mayoríade los procesos en que interviene (Duro-Carralero 2001). Aún cuando se diseñen sistemasde control eficaces, estos resultarán ineficientes e incluso comprometerían la integridad deuna columna cuando suceda una falla, donde la literatura presenta diferentes solucionespara detectar, localizar y estimar su valor, haciendo uso de modelos de eventos discretos(Garcia, et. al. 2001), control de procesos estadísticos multivariables; así como, el análisisde correlación y de componentes principales (Weng-Yee y Asri-Ibrahim 2005, Weng-Yee yAsri-Ibrahim 2009). Así mismo, se emplean los denominados enfoques inteligentes, donde sedesarrollan técnicas FDI mediante redes neuronales, sistemas de lógica fuzzy y ANFIS (Ploixy Dreyfus 1997, Cruz-Chivala, D. 2009, Peyman, et. al. 2008). En gran parte de los trabajos

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anteriormente mencionados, se hace uso de modelos de simulación a partir de un sistemalinealizado.

Utilizando un modelo no lineal y aplicado de manera real sobre la columna delCENIDET, se encuentra en (Téllez-Anguiano, et. al. 2010), en este trabajo se hace uso de unbanco de observadores de alta ganancia (OAG), diseñados a partir del modelo no lineal dedicha columna, obteniendo así un sistema de detección y localización de fallas en sensores. Elmodelo matemático mencionado se encuentra en los trabajos de (Torres-Ortiz 2005, Aguilera-González 2008, Téllez-Anguiano, et. al. 2010) donde además realizan su validación utilizandotanto información fuera de línea y con operación en línea de la columna.

Del mismo modo, resultan de interés algunos trabajos adicionales sobre la columna dedestilación del CENIDET, como el diseño e implementación de una estación de monitoreopresentada en (Rivas-Cruz 2006), la cual consta de una interface gráfica sobre la cual sepueden manipular los diferentes elementos actuadores, así como realizar la medición yregistro del comportamiento de los sensores. El trabajo de (López-Estrada 2008) presenta unmodelado denominado “riguroso” (Skogestad 1997), ya que además de los balance de materiay por componentes que presentan (Aguilera-González 2008, Torres-Ortiz 2005, Téllez-Anguiano, et. al. 2010), este trabajo presenta el modelado del balance de energía en lasdiferentes etapas de la columna, además de que realiza la caracterización de algunos desus elementos. En el trabajo de (Valencia-Palomo 2006) se diseñó un sistema de controlpredictivo multivariable para la columna de destilación, que presenta diferentes lazos decontrol caracterizando diferentes secciones de la columna, como el condensador y su válvulade reflujo.

Con la finalidad de obtener un sistema tolerante a fallas, a partir de la informaciónobtenida de la unidad de diagnóstico, se señalan a continuación algunos trabajos sobrela tolerancia a fallas en sensores y actuadores, tomando como base teórica los términosde acomodación y reconfiguración de fallas (Blanke, et. al. 2003). De la teoría sobrereconfiguración de fallas en sensores, se deriva el enfoque de redundancia analítica y sensorvirtual, cuya aplicación es la reconstrucción de las señales de sensores, que presentanalgún tipo de falla. Para el caso de los actuadores (Blanke, et. al. 2003) proponendiversos métodos de acomodación, una aplicación de interés se presenta en (Youssef yPeng 2010) donde proponen un CMD por etapas en un sistema de tanques interconectados,en (Glankwamdee, et. al. 1999, Worapradya, K. y Pratishthananda, S. 2005) empleanlos diferentes controladores de CDB manipulados mediante sistemas fuzzy para controlary supervisar procesos químicos.

1.6. Estructura de la tesis

El trabajo de investigación desarrollado, se divide en cuatro áreas principales, presenta-dos en cada capítulo del documento, estas áreas corresponden a la columna de destilación,los observadores en modos deslizantes, diagnóstico de fallas y sistemas tolerantes a fallas.

Se presentó en este Capítulo 1, la razón de ser del trabajo de investigación, mostrandolos objetivos y las metas a alcanzar, así como la metodología para conseguir lo anterior.Se describió la importancia y el impacto que se espera del trabajo de tesis y el valor de la

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investigación desde un enfoque de seguridad industrial, medio ambiental y financiero.

En el Capítulo 2 se presenta al lector la planta de la columna de destilación propiedaddel CENIDET, documentando de forma sintética las partes de interés para este trabajo,para posteriormente exponer los fundamentos para entender las relaciones químicas ytermodinámicas que se llevan a cabo en la columna. Una vez sentadas las bases de sumodelado, se presenta una reseña sobre las posibles fallas De la columna de destilacióny la representación matemática para fallas de los sensores de temperatura y la potenciacalefactora.

El capítulo 3 aborda la teoría de los observadores en modos deslizantes, parte centralde esta investigación para resolver el problema del diagnóstico y la tolerancia fallas sobreel sistema de experimentación. Se expone además, una serie de representaciones tanto parasistemas lineales y no lineales, así como los tipos de observadores y filtros que pueden serutilizados. Posteriormente se diseña un OMD para estimar las concentraciones de la columnade destilación y mediante la interface de operación de la columna se realiza su implementaciónpara su validación.

En el capítulo 4 se presenta la formulación de los OMD para la detección, localización yestimación de fallas en sensores y actuadores de manera robusta, en la columna de destilación.Se realiza el diseño de un OMD especializado para detectar fallas en uno de los actuadores dela columna, con la capacidad de estimar la dinámica del actuador y el valor de las fallas quepudiera presentar. Para las fallas en los sensores de temperatura de la columna, se formulaun banco de OMD que reconstruyen las temperaturas, a partir de las concentraciones, parala generación de residuos y la base de firmas para la localización del elemento dañado. Sepresenta además la validación en línea de este banco de observadores con la emulación defallas utilizando la interface de operación.

Para culminar el tema de investigación, el capítulo 5 presenta la formulación de unsistema tolerante a fallas para sensores, basado en la teoría de sensor virtual, el cualconstituye un método de solución que permite reducir los costos al prescindir del reemplazo deuna pieza física mediante la reconstrucción de un sensor a través de los sensores restantes. Laspruebas aquí realizadas solo son a nivel simulación, pero emplean los observadores validadosen línea, así como datos tomados directamente de la columna.

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Capítulo 2

Columna de destilación binaria

Alo largo de este capítulo se presentará tanto el sistema físico como el modelo matemáticode una columna de destilación binaria propiedad del CENIDET, la cual fue el objeto

de experimentación para el enfoque de diagnóstico y tolerancia a fallas desarrollado.Primeramente en la sección 2.1 se hace una descripción física de la planta, detallando loselementos principales a considerar en el modelado que se desarrolla en la sección 2.4, en lacual se realiza la extensión de los elementos físicos, hacia una formulación matemática, parapoder obtener una representación aproximada al comportamiento del sistema real.

Un aspecto importante al utilizar modelos matemáticos, es que una vez obtenida laformulación, esta puede cargarse dentro de un ambiente de simulación, de manera quese puede prescindir de la operación real del sistema y realizar tantas pruebas como sedesee, teniendo por ventajas la reducción en los costos de operación, así como del desgasteocasionado por las pruebas en el sistema, así como el reducir el tiempo de espera de losresultados. En la sección 2.6.1 se presenta la simulación del modelo que se obtuvo para laCDB, empleando datos almacenados, sobre las temperaturas y las diferentes entradas alsistema, el modelo de simulación se valida.

Finalmente, en la sección 2.7 se presentan las fallas a considerar en la columna dedestilación, ya que éstas serán utilizadas para el diseño de las unidades de FDD y STF,presentadas en los capítulos 4 y 5. En la sección 2.7 se presenta una explicación sobre quesucede en el sistema de la CDB físicamente, ante la ocurrencia de una falla, así como laformulación matemática de dicho comportamiento.

2.1. Descripción de la planta

El sistema que a continuación se describe, corresponde a una columna de destilaciónbinaria para una mezcla de etanol y agua; propiedad del Centro Nacional de Investigacióny Desarrollo Tecnológico, la cual se muestra en la figura 2.1. El proceso en conjunto constade una columna de de destilación, sensores de temperatura, presión y flujo; un panel decontrol, un sistema de suministro de agua para enfriamiento de la mezcla, una computadorapersonal (PC) para operación remota, tanque de almacenamiento del destilado y un tanquepara almacenar la mezcla de la alimentación, así como una serie de válvulas para permitirla extracción de los componentes de la columna.

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CAPÍTULO 2. COLUMNA DE DESTILACIÓN BINARIA

Figura 2.1: Columna de destilación del CENIDET.

La estructura principal de la columna es de vidrio y se encuentra montada sobreuna estructura de metal, con una altura total de 3 metros; cuenta con dos elementos decalefacción, uno para el cuerpo principal en el hervidor y otro utilizado para adecuar latemperatura de la mezcla de alimentación. El sistema se manipula mediante dos controladoreslógico programables (PLC), los cuales a su vez tienen la capacidad de enviar y recibirinformación mediante una conexión alámbrica hacia la PC. A continuación, se realizaráuna descripción más detallada sobre los elementos con mayor relevancia en la operación dela CDB y su modelado.

Figura 2.2: Plato perforado.

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2.1.1. Platos perforados

La CDB del CENIDET cuenta con 12 etapas, diez corresponden a una serie deplatos perforados construidos de vidrio, ver figura 2.2, cada plato opera como una unidadde intercambio dinámico para el equilibrio líquido-vapor (VLE) el cual se explicaráposteriormente en la sección 2.4 referente al modelado de la columna de destilación.

A lo largo del sistema de la columna, se encuentran montados 12 sensores de temperatura,pero en el cuerpo principal solo se tienen 8 de estos, ubicados en los platos 2, 4, 6, 7, 9 y11, los otros dos elementos de medición se encuentran en el hervidor y el condensador. Losrestantes 4 no se consideran parte del sistema principal: a la entrada y salida de la estructuradel condensador, otro en una sección de destilación independiente al sistema principal y unopara conocer la temperatura en el tanque de la alimentación.

2.1.2. Hervidor

Para poder realizar el proceso de la destilación, es necesario calentar la mezcla hasta elpunto de ebullición, lo cual se lleva a cabo en la etapa del hervidor, éste se encuentra ubicadoen la parte inferior de la columna y como se muestra en la figura 2.3, consta de dos recipientes:uno para almacenar la mezcla de etanol-agua y otro que contiene una termoresistencia concapacidad de entregar una potencia calefactora máxima de 2500 Watts.

Figura 2.3: Hervidor de la columna de destilación.

Los dos recipientes se encuentran interconectados, tanto en la parte inferior comosuperior, cuando la mezcla que se encuentra dentro del recipiente con la termoresistenciaes calentada, esta se desborda hacia el interior del contenedor principal, desplazándose otracantidad de mezcla hacia el interior del recipiente calentador, esta operación se lleva a cabodurante todo el proceso. En esta etapa se encuentra un sensor de medición de temperatura,así como una válvula que en operación normal se encuentra cerrada y solo se utiliza pararemover los desechos luego de alguna prueba.

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2.1.3. Condensador

Una vez calentada la mezcla hasta el punto de ebullición del componente deseado, éste sedesprende del componente con mayor punto de ebullición, y para tener separación adecuada,dado que la columna de destilación es un sistema cerrado y sin capacidad de reducir la presióninterna, provocada por el aumento de la temperatura y el vapor generado, es necesaria unaetapa de enfriamiento, encargada además de recolectar el componente deseado o recircularlohacia el interior de la columna, ésta etapa es la del condensador, ver figura 2.4(a). Estaetapa se encuentra en contacto directo con los vapores y mediante una corriente de agua quecircula a lo largo de un serpentín dentro de una estructura de vidrio se enfría la mezcla.

(a) Condensador (b) Válvula de recirculación

Figura 2.4: Etapa de enfriamiento.

El componente deseado pasa a través de un tubo de vidrio y mediante una electroválvula,ver figura 2.4(b), puede recircular o pasar a un contenedor. La forma en como se recirculao se extrae este es que si la electroválvula se encuentra desactivada, el producto deseado enfase líquida retorna a la columna; cuando la electroválvula se encuentra activa, esta permiteel paso del líquido hacia el recipiente del destilado.

2.1.4. Etapa de alimentación

Existen diferentes formas de operación en las columnas de destilación, ya sea en laforma de configurar sus controladores (Skogestad 1997) o por su operación (Kister, H. 1990):fraccionada, azeotrópica, por lotes, continua, extractiva, entre otras. Para la columna dedestilación que aquí se presenta, se consideran dos formas de operación, las cuales dependende la alimentación: la destilación continua y la destilación por lotes u operación en batch.Para la destilación continua, la figura 2.5 muestra el sistema de calentamiento de la mezclay la conexión hacia la CDB para su ingreso en el plato 7, esta se puede intercambiar al plato2, pero este arreglo no se considera en este trabajo. La termoresistencia calienta la mezcla,hasta aproximarle a la temperatura interna de la columna y así no perturbar demasiado alsistema, manteniendo el equilibrio líquido vapor. Para la operación por lotes, el sistema decalentamiento se encuentra apagado y el flujo de alimentación es nulo, por lo que solo sedestila la mezcla cargada inicialmente en el hervidor.

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Figura 2.5: Etapa de alimentación.

Figura 2.6: Panel de control manual de CDB.

2.1.5. Interface de operación

La columna de destilación, cuenta con una unidad para operación manual, ensambladajunto con la columna de vidrio sobre la estructura metálica, así como de una computadorapersonal como sistema de operación remoto.

Panel de control manual

El panel de control mostrado en la figura 2.6 es la interface de operación manual dela columna. Cuenta con una serie de interruptores que permiten manipular los diferentesactuadores de la columna como: la válvula de entrada del agua de enfriamiento, activacióny regulación de las potencias calefactoras de la alimentación y del hervidor, así como unmecanismo de temporización para controlar la apertura de la válvula del reflujo. Cuenta

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además con visualizadores electrónicos de los doce RTDs. Todas estas señales son capturadaspor dos PLCs que mediante un cable del tipo RS232 se pueden conectar una PC u otrodispositivo con este tipo de conexión, la transmisión es bidireccional por lo que el PLC envíalas señales de los sensores y puede recibir señales para alterar a los actuadores. Sobre el panelde control se encuentra el diagrama de instrumentación de la columna mostrado en el AnexoD.

Figura 2.7: Plataforma en Labview para la CDB.

Operación remota por computadora

Utilizando el programa de Labview R©de National Instruments, en (Rivas-Cruz 2006) sediseñó una estación de monitoreo, la cual consta de un panel de control virtual mostradoen la figura 2.7 que permite manipular las diferentes válvulas montadas sobre la columna deforma remota. Las opciones de manipulación del programa son semejantes a las del panelfísico, pero con la ventaja del manejo de ventanas para accesar a los diferentes controladoresque se encuentran programados en los PLC. Otra ventaja de este plataforma virtual, esque permite almacenar todas las mediciones realizadas y a partir de las señales de los PLC,teniendo así la capacidad de poder ser analizados y realizar pruebas fuera de línea con ellos.

2.2. Generalidades de su operación

A continuación, se presentan una serie de fundamentos sobre columnas de destilacióncomo el balance de materia y energía, además de las relaciones de equilibrio que rigen elcomportamiento de este proceso químico, para finalmente obtener un modelo matemático.Un modelo consta de una serie de ecuaciones, las cuales interactúan para reconstruir, deforma aproximada, la operación de un sistema físico.

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Debido a que un experimento de destilación usualmente tarda varias horas, el uso demodelos matemáticos y simuladores reduce considerablemente este problema, por lo que enmuchas aplicaciones de diseño primero se emplean simulaciones, tomando en lo posible elmayor número de consideraciones y principios, para asemejar una situación real de la planta.

La figura 2.8 presenta el esquema de una columna de destilación binaria, a partir del cualse deriva el modelo matemático. La sección superior al plato de alimentación se conoce comosección de rectificación o enriquecimiento, donde se incrementa la pureza de la concentracióndel componente ligero conforme asciende en dicha sección. La sección de agotamiento oempobrecimiento, se encuentra por debajo del plato de alimentación y es donde el componenteligero se retira del componente pesado.

Figura 2.8: Esquema de una columna de destilación binaria.

Ubicado en la parte inferior de la columna se encuentra el hervidor, el cual provee elcalor necesario al sistema para que el componente ligero de la mezcla binaria se eleve alo largo de la columna. El producto remanente en el hervidor se conoce como producto de

fondo. En la parte superior de la columna, se encuentra el condensador, el cual retira elcalor necesario para condensar el vapor del componente ligero y poder ser recolectado comoproducto destilado mediante una válvula de recirculación, que controla la cantidad de vaporque se recolecta como producto destilado o reingresado a la columna.

El término componente ligero y componente pesado son empleados frecuentemente enla destilación binaria. Se le denomina “ligero” debido a que es el componente que hierverelativamente primero en la mezcla química, el componente “pesado” lo hace posteriormente.

En la literatura existen diferentes formas de modelar columnas de destilación (Skogestad1997) donde el esquema más completo corresponde al EMC (Energy-Material-Component),catalogado como un modelado “riguroso”, ya que divide a la columna en una serie de etapas

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e incluye los balances de masa y energía en cada una, además del modelo dinámico delflujo líquido (cambios en la retención liquida) presentando en forma detallada el modelo delhervidor y el condensador. Para fines prácticos, este modelado hace ciertas consideracionesy simplificaciones, donde las más comunes suponen un mezclado perfecto de ambas fases encada etapa así como equilibrios térmicos y termodinámicos (i.e. eficiencia en los platos del100 % o alguna relación de Murphree para la eficiencia de cada componente) y despreciarlos efectos internos de la columna en el balance de energía. El sistema puede ser modeladoseparando en tres grupos su análisis (Duro-Carralero 2001):

a. Comportamiento dinámico de la etapa:• Balance de materia.• Balance por componente.• Balance de energía.

b. Equilibrio líquido-vapor de la etapa:• Ley de Roult para el componente más volátil.• Ley de Dalton.• Ecuaciones de Van Laar.• Fórmula de Antoine para los dos componentes de la mezcla.

c. Relaciones hidráulicas de la etapa:• Caudal de líquido.• Caudal de vapor.

Para la investigación que se lleva a cabo, sólo se desarrollarán los conceptos de balance demateria y componentes, así como del equilibrio líquido-vapor. El orden en cómo se desarrollano necesariamente coincide con la estructura de los puntos mencionados.

Figura 2.9: Diagrama de equilibrio líquido vapor.

2.3. Equilibrio Líquido - Vapor

Dado que la destilación es un proceso para la separación de mezclas químicas, es necesariocomprender la relación líquido-vapor (VLE - Vapor-Liquid Equilibrium) para el sistemabinario de etanol y agua empleado en este trabajo.

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Definición: 2.1 (Equilibrio líquido vapor.) Si vapor y líquido se encuentran en contac-

to por un largo periodo de tiempo, se alcanza el equilibrio entre las dos fases. Esto significa

que no existe flujo de calor, masa y momentum entre las dos fases.

El principio descrito en la definición 2.1 es fundamental en el desarrollo del modelo de lacolumna de destilación, ya que de éste se puede extraer información sobre el comportamientotermodinámico de ambas fases en la mezcla, que depende de si se trata de una mezclaideal o no ideal. La formulación del VLE es un diagrama obtenido de manera experimentalmostrando el comportamiento de la relación entre la fracción molar líquida, la fracción molarde vapor y la temperatura a una presión dada.

La figura 2.9 muestra el equilibrio de las composiciones en una mezcla líquida que varíarespecto a la temperatura. La curva superior (curva del punto de rocío) indica la temperaturaen que el vapor saturado comienza a condensarse; la curva inferior (curva del punto burbuja),señala la temperatura en que el líquido comienza a hervir. En (Perry, R. 1999) se puedenencontrar datos sobre diversos componentes para los cuales se puede obtener su VLE.

Mezclas ideales y no ideales

Una mezcla ideal es un modelo de mezcla en el cual el volumen, la energía interna y laentalpía de la mezcla es igual al de los componentes puros por separado, es decir el volumen,la energía y la entalpía de mezcla son nulas y por lo que la mezcla real se consideraráideal. Alternativamente una mezcla es ideal si cumple las leyes de Raoult y Dalton o que sucoeficiente de actividad sea 1. Este coeficiente es el que mide la idealidad de las soluciones,simplifica enormemente los cálculos y se usa de referencia para las mezclas reales.

Ley de Raoult : Para soluciones ideales, establece que la presión de vapor de uncomponente de una mezcla, es proporcional a la fracción molar líquida de dichocomponente y a la presión de vapor del componente puro, simbólicamente:

P vci = Pcixci

donde Pci es la presión del componente puro c en kPa, P vci la presión de vapor del

componente c en la mezcla en kPa y xci es la fracción molar líquida del componente.

Ley de Dalton: Sobre las presiones parciales para mezclas gaseosas ideales, estableceque la presión parcial de un componente en una mezcla gaseosa es proporcional a lafracción molar de dicho componente y a la presión total del sistema, i.e.:

P gci = PTyci

donde P gci es la presión parcial del componente c en una mezcla se mide en kPa, PT es

la presión total de vapor en kPa y yci es la fracción molar líquida del componente.

Ley de Amagat : De los volúmenes parciales; establece que el volumen total de la mezclaideal es igual a la suma de los volúmenes parciales de los componentes de la misma.

Una mezcla no ideal puede deberse a varias causas, siendo la más frecuente la noidealidad de la fase líquida debido a la interacción de las moleculas, es decir, cuando nose cumple la ley de Raoult. Otro factor es la alta presión en el sistema y la no idealidad delvapor, como consecuencia que no se cumpla con la ley de Dalton (Torres-Ortiz 2005). Lasmezclas reales, en general cumplen la ley de Dalton pero no la de Amagat o viceversa, yraramente ninguna de las dos; no implicando esto una conducta ideal, ya que cualquier mezcla

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líquida cumple la ley de Amagat, donde los volúmenes de mezclas líquidas suelen ser aditivosen ausencia de efectos asociativos. En general la ley de Dalton se cumple bastante bien inclusopara mezclas con características físicas y químicas diferentes (Rodríguez, J.A. 2001).

2.3.1. Eficiencia de Murphree

Las fracciones molares en cada plato pueden calcularse a partir de la relación deequilibrio, pero existen ciertas limitaciones como el diámetro de la columna o el propiodiseño de los platos, que afectan la transferencia de masa e impiden al vapor saliente estar enequilibrio con el líquido. Estas desviaciones pueden ser corregidas utilizando las denominadaseficiencias de platos (McCabe, et. al. 2001), este procedimiento se emplea además para pasarde platos ideales a platos reales. Existen tres tipos de eficiencias:

Eficiencia global. Se refiere a toda la columna.

Eficiencia de Murphree. Se aplica a un solo plato.

Eficiencia local. Localización específica en un solo plato.

La eficiencia global es sencilla de utilizar, pero también es la que tiene menosfundamentos; se define como la relación entre el número de platos ideales y de platos realesque se necesitan en la columna.

La eficiencia de Murphree considera que las fases líquido y vapor se encuentranperfectamente mezcladas y que una medida de la eficiencia de la destilación para uncomponente c en un plato i, se define como:

Eci =yci − yci+1

yeqci − yci+1

(2.1)

donde yci es la concentración real del vapor que sale del plato i, yci+1 la concentración devapor que entra en el plato i + 1 y yeq

ci es la concentración del vapor en equilibrio con ellíquido del conducto de descenso que sale del plato i. La eficiencia de Murphree es, portanto, la variación de la composición del vapor al pasar de un plato al siguiente, divididapor la variación que tendría lugar si el vapor que sale estuviese en equilibrio con el líquidoque sale. La ecuación (2.1) define la eficiencia para la fase vapor, para la fase líquida se tieneentonces:

eci =xci − xci−1

xeqci − xci−1

(2.2)

donde xci es la concentración real de líquido que sale del plato i, xci+1 la concentración devapor que entra en el plato i − 1 y xeq

ci es la concentración del líquido en equilibrio con ellíquido del conducto de descenso del plato i.

2.3.2. Relación de equilibrio

Las reacciones químicas que ocurren en un recipiente cerrado, pueden alcanzar un estadode equilibrio, que se caracteriza porque las concentraciones de los reactivos y de los productospermanecen inalteradas a lo largo del tiempo, es decir, bajo determinadas condiciones depresión y temperatura, la reacción no progresa más y se dice que alcanzó el estado deequilibrio. La relación de equilibrio entre las fases líquida y de vapor se representa por unaconstante de equilibrio Kci, definida como:

Kci =yeq

ci

xeqci

=γcif

0ci

ΦciPT

(2.3)

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donde yeqci y xeq

ci son las fracciones molares en equilibrio de vapor y líquido, respectivamente,del componente c en la etapa i, f 0

ci es la fugacidad del líquido en un estado de referencia, γci

es el coeficiente de actividad, Φci el coeficiente de fugacidad y PT la presión total del proceso.En el presente trabajo se considera que el proceso se somete a presiones bajas o moderadas,el comportamiento para la fase de vapor es ideal, la relación de equilibrio de fases es:

ypPT = P satci xpγi (2.4)

donde yp representa la composición molar de vapor en función del componente ligero, PT lapresión total del sistema, P sat

ci es la presión parcial del componente c en la i-ésima sección,xp es la composición molar del líquido y γi es el coeficiente de actividad, el cual es altamentedependiente del valor de las concentraciones y es utilizado para corregir los efectos de la noidealidad en la mezcla (Smith, et.al. 1997).

2.3.3. Ecuaciones de Van Laar y Antoine

La composición de vapor en la ecuación (2.4) se calcula como una función delcomponente ligero xi (Etanol) donde el término γi se refiere al coeficiente de actividaddel i-ésimo componente, que generalmente se calcula a partir de datos experimentales. Demanera empírica, las ecuaciones de Van Laar, Margules, Wilson, entre otras, se utilizanpara correlacionar los datos γi. En el caso de los sistemas azeotrópicos, se presentanmás comúnmente las no idealidades, cuando el vapor y el líquido de una composiciónson semejantes o iguales (xi = yi), la mezcla Etanol-Agua corresponde a este tipo decomportamiento y las ecuaciones de Van Laar para ambos son (Buckley, et.al. 1985):

ln γL = AV L(1−xi)2

[

AV LBV L

xi+1−xi

]2

ln γH = AV L(1−xi)2

[

AV LBV L

xi+1−xi

]2

(2.5)

donde γL,H es el coeficiente de actividad, xi corresponde a la fracción de vapor del componenteligero y AV L, BV L son los coeficientes de Van Laar, los cuales se definen para una mezcla enespecífico, los subíndices L,H indican al componente ligero y pesado, respectivamente.

La ecuación de Antoine es una expresión matemática que relaciona la presión de vapory la temperatura de sustancias puras de la siguiente manera (Smith, et.al. 1997):

logP satci = Ac −

Bc

Ti + Cc

(2.6)

donde P satci es la presión de vapor saturado del componente c, Ti es la temperatura y los

parámetros A, B y C, son valores específicos para una sustancia dada, el subíndice i indica laetapa en donde se realiza el cálculo, la presión esta en mmHg al utilizar la función logarítmicay la temperatura en ◦C, esta función se utiliza en la ecuación (2.4) para el cálculo de larelación de equilibrio de la fase vapor.

2.3.4. Punto de rocío y punto burbuja

La temperatura a la cual se condensa (o solidifica) el vapor de agua en un gas se le llamatemperatura de punto de rocío y cuyo valor depende de la presión del gas. La fracción depresión del c-ésimo componente de una mezcla de gases se define como:

xc =Pc

PT

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donde Pc es la presión del componente c en la mezcla de gases y PT es su presión total.Considérese una mezcla de gases confinada que contiene vapor de agua, a una presión totalP1 y una presión de vapor de agua e(Td1). Si la muestra se comprime a una presión P2 y nohay condensación de alguno de los componentes diferentes al vapor de agua, entonces:

pr1 =e(Td1)

P1

=e(Td2)

P2

= pr2 (2.7)

donde pr1 y pr2 son las fracciones de vapor de agua en las condiciones P1 y P2,respectivamente. La ecuación (2.7) relaciona la temperatura de punto de rocío Td1 a unapresión P1 con la temperatura de punto de rocío Td2 a una presión P2. La figura 2.10 muestrade manera esquemática el proceso descrito.

Para conocer la relación de equilibrio de una mezcla de dos fases, se realiza una operacióna una temperatura y presión dadas, de donde se relaciona el punto burbuja con el punto derocío mediante la siguiente ecuación (Henley y Seader 2000):

f{ψ} =N∑

i=1

zi(1 −Ki)

1 + ψ(Ki − 1)= 0 (2.8)

para ψ = V/F que es la fracción vaporizada, zi es la composición en equilibrio (xi = yi)y Ki = Ki(Tv, Pv) es una función que depende de la presión y temperatura del vapor. Dela ecuación (2.8) se desprenden los métodos de solución para el punto burbuja y de rocíomediante iteración.

Figura 2.10: Relación de la temperatura de rocío y la presión

Si los valores de K son mayores que uno, la fase que sale es vapor saturado por encimadel punto de rocío; si K es menor que la unidad, la fase que sale es líquido subenfriadopor debajo del punto de burbuja. Un indicador de este comportamiento es ψ, que estácomprendido entre cero y uno. Si f{ψ} = f{0} en (2.8), la mezcla esta debajo de su puntoburbuja y si f{0} = 0, la mezcla está en su punto burbuja. Puesto que

∑

zi = 1, la ecuación(2.8) es entonces:

f{ψ} = f{0} = 1 −

N∑

i=1

ziKi (2.9)

20


Por tanto, el criterio del punto burbuja es:∑

i

= 1Nyi =N∑

i=1

ziKi = 1 (2.10)

con xi = zi y yi = Kixi.

Con la ecuación (2.10) se puede calcular la temperatura del punto burbuja a una presióndada ó la presión del punto burbuja a una determinada temperatura.

Si f{ψ} = f{1}, entonces (2.8) se transforma en:

f{ψ} = f{1} =N∑

i=1

zi

Ki

− 1 (2.11)

si f{1} < 0, la mezcla esta por encima de su punto de rocío (vapor saturado); y si f{1} = 1,la mezcla está en su punto de rocío. El criterio del punto de rocío es:

∑

i

= 1Nxi =N∑

i=1

zi

Ki

= 1 (2.12)

con yi = zi y xi = yi/Ki. Los criterios de los punto burbuja y rocío, son funciones altamenteno lineales con respecto a la temperatura, pero moderadamente no lineales respecto a lapresión, excepto en la región de convergencia de la presión donde K de componentes muypesados o muy ligeros pueden variar drásticamente. Por tanto, se requieren valores iterativospara calcular las condiciones de estos puntos (Henley y Seader 2000). En la figura 2.11 sepresenta un algoritmo para el cálculo de burbuja (Torres-Ortiz 2005), con lo que se calculanlos N componentes del vector de las fracciones molares de vapor, a partir de la temperaturade cada componente en equilibrio con los N componentes de fracciones molares líquidas auna presión constante. Los valores de la fracción molar se encuentran en el intervalo [0,1]. Elmétodo es iterativo sobre la temperatura, ecuación (2.10), para cumplir con el criterio delpunto burbuja.

2.4. Comportamiento dinámico

Las bases del modelado se pueden encontrar en (Skogestad 1997, Murray 2003, Buckley,et.al. 1985, Duro-Carralero 2001) que fundamentan el análisis químico y matemático encolumnas de destilación binarias. Para la columna del CENIDET (Torres-Ortiz 2005,Aguilera-González 2008, Téllez-Anguiano, et. al. 2010) realizan su formulación además de lavalidan de su operación con el sistema real.

El modelado se divide en cuatro submodelos, los cuales corresponden a los subsistemasde un plato genérico, condensador, hervidor y plato de alimentación. El submodelo de unplato cualquiera es la estructura básica del sistema, este se repite tantas veces sea necesarioy se acopla a los del hervidor y el condensador para obtener cualquier modelo de columna. Elplato de alimentación es una variante del submodelo de un plato genérico ya que se consideraun flujo adicional.

El funcionamiento de la columna, considerando una operación continua es: ingresa unflujo molar, F , de mezcla por el plato de alimentación; el flujo molar del producto destiladodel componente ligero en fase líquida, D, es removido en la parte superior de la columna,

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mientras que en la parte inferior se encuentra una alta concentración del componente pesado,B, retirado por una válvula. Parte del producto destilado es recirculado para aumentar lapureza del componente ligero. Aún cuando en aplicaciones industriales se emplean altaspresiones de vapor, en la práctica se puede hacer uso del modelo ideal, ya que tal teoría es laextrapolación válida a presión o densidad baja. Con densidades altas, las moléculas suelenpresentar un comportamiento complejo y el modelo ideal deja de ser adecuado. Algunosmétodos empleados para solucionar dicha situación son: a) métodos generalizados, basadosen el factor de compresión crítica o en el factor acétrico y b) ecuaciones de estado.

Figura 2.11: Algoritmo del cálculo de burbuja

Para el modelado de la columna se considera una serie de suposiciones, tomadas de(Ruedo, A. 2001) sobre destilación de etanol en una industria azucarera, las cuales son:

A1 La presión es constante.

A2 El equilibrio líquido-vapor es ideal.

A3 Las propiedades líquidas tienen el comportamiento de una mezcla no ideal.

A4 Se desprecia la retención molar de vapor.

A5 El hervidor se considera como un plato.

A6 El condensador es total, por lo que la composición del vapor que abandona la columna por

cabeza será la misma que la de la corriente de reflujo y destilado.

A7 La retención volumétrica del líquido es constante.

A8 Alimentación en un único plato.

A9 La alimentación entra como líquido saturado, aunque se contempla la posibilidad de una

vaporización parcial o total de ésta.

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A10 No hay pérdidas de calor, la columna es adiabática.

A11 La fase líquida y vapor que abandonan el plato se encuentran en equilibrio térmico, a la misma

temperatura y a una misma presión.

A12 El equilibrio líquido-vapor se representa considerando:

• Fase vapor como ideal.• Fase líquida no ideal: se emplea la ecuación de Van Laar para el cálculo del coeficiente

de actividad.A13 Se desprecia el tiempo muerto en la corriente de vapor que va desde el último plato de la

columna hasta el condensador, y también en la corriente de retorno del reflujo a la cabeza de

la torre.

A14 No se considera acumulación de vapor a lo largo del sistema.

Cuando esta investigación haga referencia a la columna los términos de la fase líquida yde vapor en la mezcla binaria, se definen como: xi y yi respectivamente; el subíndice i indicauna de las doce etapas, las cuales se numeran de la siguiente manera:

Condensador, i = 1.

Sección de enriquecimiento, plato i = 2, ..., f − 1.

Plato de alimentación, i = f .

Sección de empobrecimiento, plato i = f + 1, ..., N − 1.

Hervidor, i = N .

Para poder realizar el modelado de cada etapa, es necesario introducir los conceptos debalance de materia y balance por componente, además, se definirá el concepto de balance de

energía, el cual no será tomado en cuenta en el modelo final, debido a que se consideran lasentalpías constantes.

Balance de materia

Es un método matemático basado en la ley de conservación de la materia, que estableceque la masa de un sistema cerrado permanece siempre constante (excluyendo reaccionesnucleares o atómicas y materia cuya velocidad sea próxima a de la luz). La masa que entraen un sistema debe salir del sistema o acumularse dentro de él, es decir:

entradas = salidas+ acumulaciones

Para el modelado de la columna de destilación, el balance de materia permite conocerla cantidad de materia contenida en cada plato de la columna.

Balance por componente

Permite conocer la fracción molar de materia de cada componente contenida en la mezcla,indicando la rapidez a la que se forman moles de un componente, igual a la cantidad de molesde dicho componente que entran al sistema, menos la cantidad de moles que salen, másla cantidad de moles producidos por reacciones químicas dentro del proceso. Este balancepermite determinar de forma analítica el grado de pureza del producto destilado, dado porecuaciones de continuidad del componente ligero.

23


2.4.1. Submodelo del plato genérico

El subsistema del plato genérico, mostrado en la figura 2.12, considera la dinámica delas etapas superior e inferior a este. Recibe un flujo de vapor Vi+1 con concentración yi+1,proveniente de la etapa siguiente, así como un flujo de líquido Li−1 con concentración xi−1.A su vez, entrega al plato superior un flujo de vapor Vi, con concentración yi, además de unflujo de líquido Li con concentración xi al plato inferior. Este plato i presenta una retenciónmolar Mi constante. Estos valores se definieron con anterioridad, así como en el Anexo A:Glosario. Matemáticamente, la descripción anterior puede representarse a través del balancede materia y el balance por componente como:

Figura 2.12: Subsistema del plato genérico.

Balance de materiadMi

dt= Vi+1 + Li−1 − Li (2.13)

Balance por componentedMixi

dt= VR,S(yi + 1 − yi) + LR,S(xi−1 − xi) (2.14)

donde VR,S y LR,S son flujos de líquido y vapor, respectivamente, el subíndice R indica lasección de enriquecimiento y S de empobrecimiento, Mi, V , L, se definieron anteriormente.

Balance de energía

El balance de energía considerado para un plato genérico es:dUi

dt= Li+1hL,i+1 + Vi−1 − LihV,i−1 − LihLi − VihV i (2.15)

donde Ui = MLiuLi + MV iuLi es la energía en la etapa i, L es el flujo de líquido, V el devapor y h se refiere a las entalpías.

Por lo general la retención en la fase de vapor es ignorada (Skogestad 1997), es decir:MV i = 0, lo cual es válido cuando la retención del componente de la fase vapor puedeignorarse respecto al de la fase líquida, con hLi ≈ uLi que se tiene para los líquidos, eltérmino de la izquierda en (2.15) es:

dUi

dt=d(MihLi)

dt= Mi

dhLi

dt+ hLi

dMi

dt(2.16)

Con la expresión dMi/dt del balance de materia (2.13) el balance de energía (2.15) es:MidhLi

dt= Li+1(hL,i+1 − hLi) + Vi−1(HV,i−1 − hLi) − Vi(hV i − hLi) (2.17)

24


Ignorando los cambios en la entalpía del líquido de (2.17) se obtiene una relaciónalgebráica; suponiendo que dhLi ≈ 0 se define un estado de referencia para la energía.

Estado de referencia: Se considera a los componentes puros como líquidos saturadoscon una presión de referencia dada (generalmente la presión de la columna).

Lo anterior implica que los componentes individuales presentan referencias de temper-aturas diferentes. Por lo tanto, la suposición dhLi ≈ 0 es prácticamente correcta, exceptocuando las capacidades caloríficas molares son muy diferentes, se tengan mezclas no idealescon gran calor de mezclado o que existan grandes cambios en la presión de la columna.Entonces, al considerar flujos molares constantes, un estado de referencia para la energíay una presión constante en la columna, el balance de energía puede simplificarse aún mássuponiendo hLi = hL = 0 en todas las etapas, por lo que el balance de energía es:

0 = Vi−1(hVi−1 − hL) − Vi(hV i − hL) (2.18)

Con lo anterior se justifica la omisión del balance de energía en el modelo de la columna,el cual reduce de manera considerable el sistema de ecuaciones. Para el caso de la columna delCENIDET (López-Estrada 2008) presenta un modelado “riguroso” el cual incluye el balancede energía para la columna.

Figura 2.13: Subsistema del hervidor

2.4.2. Submodelo del hervidor

Su esquema se muestra en la figura 2.13, en esta etapa no se tiene un flujo de vaporproveniente de una etapa inferior, así como no hay salida de flujo líquido, considerando queel flujo B con fracción molar xB es cero, debido a que la válvula rB se encuentra cerrada.En la figura 2.8 y en su descripción, se menciona un producto de fondo el cual contiene unaretención molar MB y una concentración xB, estos se renombran respecto a la numeraciónutilizada en el modelado de la siguiente forma: MB = MN y xB = xN , de la figura 2.13 losbalances de materia y por componentes son:

Balance de materiadMN

dt= LN−1 − VN −B (2.19)

25


Balance por componentesMNdxN

dt= LSxN−1 − VSyN −BxN (2.20)

Este subsistema presenta dos flujos, uno de vapor VS y uno líquido LS, estos flujosse denominan flujos internos y como se observa en la figura 2.8, afectan a todos los platosincluyendo al de alimentación. En la figura 2.13 se observan otros elementos como la potenciacalefactora Qb, la válvula de salida rB y el flujo externo B, estos elementos son descritos enla sección 2.5 junto con los flujos internos.

2.4.3. Submodelo del condensador

El subsistema del condensador, mostrado en la figura 2.14, consta de un cabezal devidrio dentro del cual se encuentra un serpentín de metal (figura 2.4) por los cuales circulaagua. Debajo de estos elementos, se encuentra la etapa del condensador considerada en elmodelado. En esta etapa se omite un flujo de vapor que abandona la etapa y un flujo delíquido que ingresa a la misma, los balances de materia y componentes se definen de lasiguiente manera:

Balance de materiadMN

dt= L1 − V2 −D (2.21)

Balance por componentesM1dx1

dt= LRx1 − VRy2 −Dx1 (2.22)

La retención y la concentración molar son renombradas respecto a la numeración usadaen el modelado. Los flujos LR y VR que corresponden a los de la sección de enriquecimiento,así como los efectos de la válvula de recirculación rv son descritos en la sección 2.5 y el flujoexterno D.

Figura 2.14: Subsistema del condensador.

26


2.4.4. Submodelo del plato de alimentación

En la figura 2.15 se presenta el esquema del plato de alimentación, que como se observa, essimilar al esquema del plato genérico; la diferencia con este último es el flujo de alimentaciónF con una concentración xF que ingresa a este plato, identificado por el subíndice f . Elbalance de materia se desarrolla de forma semejante al plato genérico, añadiendo un flujo dealimentación como se presenta a continuación:

Figura 2.15: Subsistema del plato de alimentación.

Balance de materiadMf

dt= Vf+1 − Vi + Li−1 − Li + F (2.23)

Balance por componentesMfdxf

dt= VSyf+1 − VRyf + LRxf−1 − LSqf + F xF (2.24)

Como se observa en la ecuación (2.24), los flujos de vapor y liquido de las seccionesde enriquecimiento y empobrecimiento se unen e interactúan fuertemente en esta etapa,además de que la concentración molar xf es afectada por la concentración proveniente de laalimentación xF , la cual se define en la sección 2.5 junto con los flujos internos de líquido yvapor, además del flujo externo F y su concentración.

2.5. Flujos internos y externos en la columna

Del modelado desarrollado para cada subsistema y específicamente del balance porcomponentes de cada etapa (ecuaciones (2.14), (2.20), (2.22) y (2.24)), es necesario definirlos flujos de líquido y vapor que operan en la columna de destilación, ya que en el modeladosolo fueron mencionados. En la columna de destilación estos flujos de vapor y líquido sedividen en flujos internos y flujos externos.

2.5.1. Flujos internos

Internamente, la columna opera mediante flujos molares de vapor, VS, VR y líquido,LS, LR, ver figura 2.8, y definidos de la siguiente manera:

Flujos en la sección de empobrecimiento

Los flujos de vapor y líquido de esta sección van desde el hervidor, denominado comoN , hasta el plato de alimentación, etapa f , y se definen de como:

27


{

VS = Qb

λeohxN+λh2o(1−xN ), i = f + 1, ...N

LS = LR + qF F, i = f, ..., N(2.25)

dondeQb es la potencia calefactora del hervidor en Watts y una de las entradas de la columna,λeoh,h2o es la entalpía de vaporización en kJ/mol y xN es la concentración en la etapa delhervidor. Los términos de F , xF y LR se describen más adelante.

Flujos en la sección de enriquecimiento

Estos flujos van desde el plato de alimentación hasta el condensador, etapa 1, afectandoa los platos genéricos intermedios y se definen como:

{

VR = VS + (1 + qF )F, i = 1, ...f

LR = (1 − rv)VR, i = 1, ...f − 1(2.26)

donde rv es la posición de la válvula de reflujo (válvula On-Off de 3 vías) cuya forma deoperación es: si rv = 0 se tiene que LR = VR y una cantidad del producto se regresa a lacolumna; caso contrario, si rv = 1 entonces LR = 0 y se retira producto destilado de enforma líquida de la columna.

2.5.2. Flujos externos

En la columna de destilación se consideran tres flujos externos: el flujo del destilado D,el flujo del producto de fondo B y el de la alimentación F .

Flujo del producto de fondo Ubicado en la base de la columna, ver figura 2.13, este flujose define como:

B = (LS − VS) rB + F (2.27)

donde rB es una variable binaria que representa la apertura y cierre de la válvula en la basede la columna. Si rB = 0 no hay flujo de salida en el producto de fondo y la columna operaen batch; si rB = 1 una cantidad del producto de fondo es retirada del hervidor. Los flujosLS y VS son los flujos de vapor y líquido en la sección de empobrecimiento.

Flujo del producto destilado El producto que se recircula a la columna y el productodestilado están relacionados por la posición de la válvula rv, donde la función del productodestilado es:

D = VR rv (2.28)

la posición de rv = 0 indica que D = 0 y todo el producto destilado retorna a la columna; encaso contrario D = VR y el producto es retirado y almacenado en un tanque independiente.

Flujo de alimentación El flujo molar de alimentación F es una entrada en el modelo dela columna y se define como:

F = Fv[ρeohweoh + ρh2o(1 − weoh)]( xf

MWeoh

+1 − xf

MWh2o

)

(2.29)

donde Fv es el flujo volumétrico de la alimentación en ml/min, ρeoh,h2o la densidad engrs/cm3 y MWeoh,h2o el peso molecular en grs, subíndices eoh y h2o se refieren al etanol yal agua respectivamente, weoh es la fracción porcentual de peso del componente ligero:

weoh =xfρeoh

xfρeoh + (1 − xf )ρh2o

(2.30)

donde xf es la concentración en el plato de alimentación.

28


El valor de qF que es la calidad del flujo de alimentación, determina la condición decomo ingresa la mezcla en la columna de destilación mediante la siguiente relación:

qF = 1 +(xfCpeoh + (1 − xf )Cph2o)(Tb − TF )

λeohxf + λh2o(1 − xf )

qF < 0 vapor sobrecalentado

qF = 0 vapor saturado

0 < qF < 1 vapor y líquido

qF > 1 líquido subenfriado

qF = 1 líquido saturado

(2.31)

donde Cpeoh,h2o es el calor específico en kJ/mol, Tb la temperatura de ebullición en ◦C, Tf

la temperatura de alimentación en ◦C y λeoh,h2o las entalpía de evaporación en kJ/mol, lossubíndices eoh, h2o se refieren al etanol y al agua respectivamente.

La composición molar del flujo de alimentación xF se define como:

xF =veohρeoh/MWeoh

veohρeoh/MWeoh + vh2oρh2o/MWh2o

(2.32)

donde veoh,h2o es el volumen inicial de cada componente en el contenedor de alimentaciónen litros, los demás términos fueron definidos con anterioridad. La retención molar en cadaplato, que se considera como constante, se aproxima mediante la siguiente relación:

Mi = vi

1xiMWeoh

ρeoh+ (1−xi)xiMWh2o

ρh2o

, i = 1, ..., N (2.33)

donde vi es el volumen de líquido retenido en cada plato. Las diferentes características yrelaciones utilizadas en el flujo de alimentación se encuentran en (Murray 2003), adecuadaspara el modelo de la columna utilizada y validadas en (Téllez-Anguiano, et. al. 2010).

2.6. Modelo final de una columna de destilación

El balance de materia del sistema en conjunto es:dM1/dt = V2 − L1 −D

dMi/dt = Vi+1 − Li − Vi + Li−1, i = 2, ..., f − 1

dMf/dt = Vf+1 − Lf − Vf + Lf−1 + F

dMi/dt = Vi+1 − Li − Vi + Li−1, i = f + 1, ..., N − 1

dMN/dt = LN−1 − VN −B

(2.34)

Realizando el balance respecto a un componente c y numerando de acuerdo a la columnautilizada, se tiene:

dM1xc1

dt= V2yc2 − L1xc1 −Dxc1

dMixci

dt= Vi+1yc i+1 − Lixci − Viyci + Li−1xc i−1, i = 2, ..., 6

dM7xc7

dt= V8yc 8 − L7xc7 − V7yc7 + L6xc 6 + FxFc

dMixci

dt= Vi+1yc i+1 − Lixci − Viyci + Li−1xc i−1, i = 8, ..., 11

dM12xc12

dt= VNyc12 − L11xc 11 −Bxc12

(2.35)

29


Suponiendo las masas molares líquidas constantes, se tiene dMi

dt= Mi y considerando los

flujos internos de (2.25) y (2.26), el modelo en términos del componente ligero es:M1x1 = VR(y2 − x1)

Mixi = VR(yi+1 − yi) + LR(xi−1 − xi); i = 2, ..., f − 1

Mf xf = VSyf+1 − VRyf + LRxf−1 − LSxf + F (xF − xf )

Mixi = VS(yi+1 − yi) + LS(xi−1 − xi); i = f + 1, ..., n− 1

MnxN = VS(xN−1 − yN) + LS(xN−1 − xN)

(2.36)

donde yi es la composición de vapor para el componente ligero (Etanol - subíndice eoh),definida en la ecuación (2.4) que hace referencia el equilibrio líquido-vapor y es de la forma:

yiρatm = ρsatxiγeoh (2.37)donde el cálculo de la presión ρsat se obtiene de la ecuación de Antoine (Eq. (2.6)) la cual sedefine para el componente ligero como:

ρsat = 10Aeoh−

BeohTi+Ceoh (2.38)

donde Aeoh, Beoh y Ceoh son las constantes de Antoine definidas para el componente ligeroen este caso Etanol y Ti es la temperatura en etapa i de la columna con i = 1, ..., 12, estastemperaturas son tomadas de la columna real. Para calcular γeoh en la ecuación (2.37) seutiliza la función de Van Laar para el componente ligero de la ecuación (2.5) como:

lnγeoh = A12

(

A21(1 − x)

A12x+ A21(1 − x)

)

(2.39)

donde A12 y A21 se definen para una mezcla binaria.

Los valores constantes en las ecuaciones de Antoine y Van Laar, entalpías, presiones ydemás parámetros que se refieren a la mezcla de etanol y agua utilizada extraidos de (Perry,R. 1999) se presentan en la Tabla 2.2 y para obtener una mejor definición del modelo en(2.36) la Tabla 2.1 presenta las características físicas de la columna.

Tabla 2.1: Características físicas de la CDB.

Característica Valor Definición

Número de etapas 12 10 platos, un hervidor y un condensador

Etapa condensador i = 1 Etapa superior en la columna

Etapa hervidor i = 12 Etapa inferior en la columna

Plato alimentación i=7 Etapa media en la columna

Volúmen del hervidor 6 Capacidad total en litros (l)

Potencia calefactora Qbmax=2500 Watts Termoresistencia en el hervidor

Tabla 2.2: Parámetros de la columna y la mezcla etanol-agua.

Variable Valor,unidad Definición

N 12 Etapa del hervidor

ρeoh 0.789, g/cm3 Densidad del etanol (EtOH)

ρh2o 1, g/cm3 Densidad del agua (H2O)

MWeoh 46.07, g/mol Peso molecular EtOH

MWh2o 18.01528, g/mol Peso molecular H2O

λeoh 38.56×103, J/mol Entalpía vaporización EtOH

λh2o 40.65×103, J/mol Entalpía vaporización. H2O

30


Tabla 2.2: (continuación)

Variable Valor,unidad Definición

Cpeoh 112.4, J/mol ◦C Calor específico EtOH

Cph2o 75.4, J/mol ◦C Calor específico H2O

V feoh 2000, ml Volumen alimentación EtOH

V fh2o 2000, ml Volumen alimentación H2O

Tf 78.02, ◦C Temperatura de alimentación

ρatm 637.412, mmHg Presión atmosférica

Tbeoh 78.4, ◦C Temperatura de vaporización EtOH

Tbh2o 100, ◦C Temperatura de vaporización H2O

Constantes de Antoine para EtOH (Válidas de 20 a 93◦C)

Aeoh 8.1122

Beoh 1592.864

Ceoh 226.184

Constantes de Van Laar

A12 1.6798

A21 0.9227

El modelo de la columna de 2.36 con las debidas sustituciones y datos de las tablas2.1 y 2.2, ofrece el modelo de simulación para la columna de destilación binaria delCENIDET validado con datos en línea y fuera línea en los trabajos de (Téllez-Anguiano,et. al. 2010, Torres-Ortiz 2005, Aguilera-González 2008). Otros trabajos de gran relevanciasobre el modelado y operación en la columna del CENIDET son los siguientes:

En (Rivas-Cruz 2006) se diseñó una unidad de monitoreo, la cual se describió enla sección 2.1.5, que consta de una interfaz de usuario virtual y sobre la cual sehan montado otras aplicaciones, como los observadores de (Aguilera-González 2008),(Téllez-Anguiano, et. al. 2010) y (Torres-Ortiz 2005).

En lo que se refiere al modelo de la columna, (López-Estrada 2008) presenta unmodelado riguroso, que considera el balance de energía, pero del mismo modo aumentala complejidad del sistema de ecuaciones.

Dentro del desarrollo de controladores para la columna, se tiene un controlador no linealen (Torres-Ortiz 2005) que emplea los flujos internos de la columna como entradas ylinealización por retroalimetación, por otra parte (Valencia-Palomo 2006) hace usodel control predictivo multivariable, modificando la válvula de reflujo y la potenciacalefactora, para controlar las concentraciones en el condensador y el hervidor.

Reconstrucción de las temperaturas

El modelo hace uso de las entradas de la columna y las temperaturas resultantes paraobtener el valor de las concentraciones, pero para validar el modelo, dichas concentracionesse utilizan ahora para generar las temperaturas. Esto se logra utilizando la relación delequilibrio líquido-vapor de la ecuación (2.37), que se encuentra directamente relacionada conla función de Antoine de la ecuación (2.38), por lo que la expresión en conjunto puede versecomo:

yiρatm =

(

10Aeoh−

BeohTi+Ceoh

)

xiγeoh (2.40)

31


0 0.2 0.4 0.6 0.8 175

80

85

90

95

100

Porcentaje de concentración, %

Tem

pera

tura

s, °

C

Equilibrio líquido−vapor a 760mmHg

Conc. vaporConc. líquida

(a) Presión de 760 mmHg

0 0.2 0.4 0.6 0.8 170

75

80

85

90

95

100


Tem

pera

tura

s, °

C


Conc. vaporConc. líquida

(b) Presión de 637 mmHg

Figura 2.16: VLE a diferentes presiones.

Realizando un procedimiento algebraico la ecuación (2.40) se resuelve para el términoTi que se refiere a las temperaturas, quedando de la siguiente manera:

Ti =Beoh

Aeoh − log(

yiρatm

xiγeoh

) − Ceoh; (2.41)

donde cada término se definió con anterioridad en la sección 2.3; de forma sintética, laexpresión (2.41) y el equilibrio líquido vapor, se refieren a que por cada temperaturacorresponde un valor de concentración líquida y vapor en específico a una temperatura dada.

En las gráficas de la figura 2.16 se observa el comportamiento de los componentes líquidoy vapor a diferentes presiones, donde la figura 2.16(b) corresponde a la presión predominanteen la ciudad de Cuernavaca.

2.6.1. Validación del modelo

Se remite al lector a consultar los trabajos de (Aguilera-González 2008, Téllez-Anguiano,et. al. 2010) para otras validaciones del modelo; en ambos trabajos la validación se realizacon una mezcla de agua y etanol al 50-50, es decir, 50 % es agua destilada y el otro 50 % esetanol con 96 % de pureza.

Para el desarrollo de este trabajo, se intentó emular las condiciones de trabajo de unacolumna industrial, en este caso, una columna que destila etanol proveniente de caña deazúcar. En la tabla 2.3 se muestran los datos para obtener una mezcla de 6 litros de etanoly agua con una concentración de alcohol al 45 %.

Tabla 2.3: Condiciones para la mezcla etanol-agua.

Composición Cantidad Descripción

Etanol 2813 ml. Alcohol al 96 % de pureza

+ Agua 3188 ml. Agua destilada

Mezcla 6001 ml. Agua y etanol con 45 % de alcohol

Una vez cargada la mezcla dentro del hervidor y realizado el procedimiento de arranquede la columna (Ver Anexo E, puesta en marcha de la columna.). En las gráficas de la figura2.17 se presentan las entradas de la potencia calefactora aplicada, el flujo de alimentación yla dinámica de la válvula de reflujo utilizadas.

32


Las condiciones iniciales para las concentraciones líquidas en el modelos son x0 =

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.45], donde 0.45 indica la concentración de la mezcla en el hervidorconcerniente a la información recopilada de la columna de destilación ubicada en Zacatepec,la cual se utilizaba para la producción etanol a partir de la caña, cabe señalar que no existereferencia escrita y que tales datos se obtuvieron del conocimiento de un ingeniero a cargo,se proponen dos pruebas en batch

1. Destilación con una duración aproximada de 3 horas, las entradas para esta pruebase muestran en la figura 2.17; se observan tres periodos de operación de la válvula dereflujo, en la tabla 2.4 se describen los instantes de inicio, fin, apertura y cierre de laválvula, donde la figura 2.17(b) lo presenta gráficamente.

Tabla 2.4: Tiempo de apertura y cierre del reflujo, prueba 1.

Tiempo de

Inicio/final Válvula abierta Válvula cerrada

Minuto: 50/60 3 segundos 3 segundos



2. Para la segunda prueba, cuyas entradas se muestran en la figura 2.21, solo se realizarondos periodos de variación de la válvula de reflujo, las cuales cambiaron en cuanto a laduración de tiempo, ya que fueron de 15 y 20 minutos, como se describe en la tabla2.5 siguiente:

Tabla 2.5: Tiempo de apertura y cierre del reflujo, prueba 2.

Tiempo de

Inicio/final Válvula abierta Válvula cerrada



0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

1000

2000Potencia calefactora

Pot

enci

a (w

atts

)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180−1

0

1Flujo de Alimentación

Flu

jo (

ml/m

in)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

0.5

1Válvula de reflujo

Tiempo (min)

On−

Off

(a) Vista normal

55 55.2 55.4 55.6 55.8 56 56.2 56.4 56.6 56.8 57

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Válvula de reflujo

Tiempo (min)

On−

Off

(b) Acercamiento reflujo

Figura 2.17: Entradas para la primera prueba

Al finalizar cada periodo de apertura y cierre de la válvula, se extrajo del tanque dedestilado el producto producido y fue medido por dos alcoholímetros, cuyo valor es expresadoen grados Gay-Lussac.

33


0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

0.5

1

1.5

X: 90.15Y: 0.7997

Con

dens

ador

Porcentaje de concentración, °Gay−Lussac

X: 60Y: 0.8572

X: 150.3Y: 0.7979

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

0.5

1

Pla

to 7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800.2

0.3

0.4

0.5

Her

vido

r

Tiempo, min

Figura 2.18: Comportamiento de las concentraciones en la prueba 1.

Validación del modelo, prueba 1

El modelo en la ecuación (2.36) utiliza las diferentes mediciones de temperatura llevadasa cabo por las RTD y mediante las relaciones químicas anteriormente expuestas, se calculanlas concentraciones en las doce etapas de la columna. La respuesta del modelo para la primerprueba se muestra en la figura 2.18 donde se presentan únicamente las concentraciones deetanol en tres de las etapas, consideradas representativas del sistema (condensador, plato dealimentación y hervidor). En la tabla 2.6 se hace la comparación de los valores resultantes enel modelo y los obtenidos por los alcoholímetros, debido a que no se cuenta con algún equipoespecializado para dicha labor, como un cromatógrafo o espectrofotómetro. Se observa en latercera gráfica la forma en cómo se lleva el proceso de separación del etanol en el hervidor,conforme avanza el tiempo y se mantiene la potencia calefactora, la concentración en dichaetapa decrece. Es común que la primera cantidad de producto destilado presente el mayorporcentaje de pureza, debido a que se destila una mayor cantidad de producto en el hervidor.

Tabla 2.6: Porcentajes de la concentración de alcohol.

Minuto Modelo Alcoholimetro 1 Alcoholimetro 2

60 0.8572 % ≈ 0.855 % ≈ 0.860 %

90 0.7997 % ≈ 0.803 % ≈ 0.800 %

150 0.7979 % ≈ 0.800 % ≈ 0.800 %

La reconstrucción de las temperaturas a partir de las concentraciones se presenta en la figura

2.19 se observa cómo el modelo se comporta de manera similar desde la puesta en marcha hasta

llegar a la estabilidad. De forma cuantitativa, la tabla 2.7 presenta los criterios del error cuadrático

medio (MSE) y de la media del error al cuadrado (MCE), que entregan de forma porcentual el error

entre el valor proyectado por el modelo y el del sistema real con valores menores al 5 %.

34


0 50 100 15020

40

60

80

Temperaturas, °C

Sen

sor

10 50 100 150

20

40

60

80

Temperaturas, °C

Sen

sor

2

0 50 100 15020

40

60

80

Sen

sor

4

0 50 100 15020

40

60

80

Sen

sor

6

0 50 100 15020

40

60

80

Sen

sor

7

0 50 100 15020

40

60

80

Sen

sor

9

0 50 100 15020

40

60

80

Tiempo, min

Sen

sor

11

0 50 100 15020

40

60

80

Tiempo, min

Sen

sor

12

RealModelo

Figura 2.19: Respuesta de las temperaturas a partir de las concentraciones.

Tabla 2.7: Criterios de error para la temperatura, prueba 1.

Sensor MSE MCE Desv. est.

1 1.2660 1.1252 ±0.387◦C

2 3.2958 1.8154 ±0.397◦C

4 2.9261 1.7106 ±0.328◦C

6 3.8038 1.9503 ±0.515◦C

7 3.4793 1.8653 ±0.528◦C

9 3.2761 1.8100 ±0.593◦C

11 3.1015 1.7611 ±0.454◦C

12 2.8483 1.6877 ±0.367◦C

Producción de etanol

Para finalizar esta validación, se presenta en la figura 2.20 la cantidad de productodestilado obtenido en cada periodo de operación de la válvula de reflujo, dicha gráficacorresponde a la respuesta de la ecuación (2.28), donde el máximo valor obtenido,corresponde a la cantidad producida en la columna real.

Las cantidades obtenidas en esta primera prueba se presentan en la tabla 2.8, que comose puede observar, son aproximadas a las generadas por el modelo de simulación.

35


Tabla 2.8: Producción real de etanol en mililitros.

1◦ producción 2◦ producción 3◦ producción

255 327 345

0 50 100 150 2000

50

100

150

200

250

300

350

Tiempo, min

Des

tilad

o, m

l

Cantidad de producto destilado

Figura 2.20: Producción de etanol en la prueba 1.

Segunda prueba

Se presenta a continuación un proceso de validación similar al anterior, pero para lasentradas de la figura 2.21. De forma inicial se muestra en la figura 2.22 el comportamientode las concentraciones para el condensador, el plato de alimentación y el hervidor, dondeademás se etiquetan las concentraciones al final de la operación conmutación de la válvulade reflujo. En la tabla 2.9 se observan los valores generados por el modelo y los obtenidos enlas mediciones realizadas con los alcoholímetros.

Tabla 2.9: Porcentajes de la concentración de alcohol.

Minuto Modelo Alcoholimetro 1 Alcoholimetro 2

60 0.8031 % ≈ 0.805 % ≈ 0.808 %

90 0.8135 % ≈ 0.810 % ≈ 0.812 %

0 20 40 60 80 100 120 1400

1000


Pot

enci

a (w

atts

)

0 20 40 60 80 100 120 140−1

0


Flu

jo (

ml/m

in)

0 20 40 60 80 100 120 1400

0.5


Tiempo (min)

On−

Off

Figura 2.21: Entradas para la segunda prueba

36


0 20 40 60 80 100 120 1400

0.5

1

1.5

X: 60.65Y: 0.8031

Con

dens

ador


X: 115.4Y: 0.8135

0 20 40 60 80 100 120 1400

0.5

1

Pla

to 7

0 20 40 60 80 100 120 140

0.35

0.4

0.45

0.5H

ervi

dor

Tiempo, min

Figura 2.22: Comportamiento de las concentraciones en la prueba 2.

0 50 10020

40

60

80

Temperaturas, °C

Sen

sor

1

0 50 10020

40

60

80

Temperaturas, °CS

enso

r 2

0 50 10020

40

60

80

Sen

sor

4

0 50 10020

40

60

80

Sen

sor

6

0 50 10020

40

60

80

Sen

sor

7

0 50 10020

40

60

80

Sen

sor

9

0 50 10020

40

60

80

Tiempo, min

Sen

sor

11

0 50 10020

40

60

80

Tiempo, min

Sen

sor

12

RealModelo

Figura 2.23: Comportamiento de las temperatura en la prueba 2.

El cálculo de las temperaturas a partir de las concentraciones entregadas por el modeloy las temperaturas registradas de la columna se presentan en la figura 2.23, donde se puede

37


ver que la respuesta es bastante aproximada, pero para corroborar esto, en la tabla 2.10 semuestran los diferentes errores entre el valor de los RTDs y las temperaturas del modelo.

Tabla 2.10: Criterios de error para la temperatura, prueba 2.

Sensor MSE MCE Desb. est.

1 0.3373 0.1138 ±0.051◦C

2 0.3833 0.1469 ±0.226◦C

4 0.3340 0.1116 ±0.368◦C

6 0.3344 0.1118 ±0.460◦C

7 0.2983 0.0890 ±0.389◦C

9 0.2918 C 0.0852 ±0.369◦C

11 0.2772 0.0768 ±0.200◦C

12 0.3167 0.1003 ±0.535◦C

Finalmente, se presenta en la figura 2.24 la cantidad del producto obtenido por el modelomatemático y en la tabla 2.11 la cantida retirada del tanque del destilado luego de cadaoperación de la válvula de reflujo.

0 50 100 1500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Tiempo, min

Des

tilad

o, m

l

Cantidad de producto destilado

Figura 2.24: Producción de etanol en la prueba 2.

Tabla 2.11: Producción real de etanol en mililitros.

1◦ producción 2◦ producción

457 505

Con lo obtenido a lo largo de las dos pruebas realizadas, el modelo se encuentra validado,por lo tanto, para los capítulos y secciones posteriores, se hace expreso que el comportamientodel modelo es representativo al sistema de la columna de destilación real.

2.7. Fallas en la columna de destilación

Falla de reflujo:

El reflujo o recirculación es la cantidad de producto destilado que regresa a la columna,con el fin de enriquecer al componente ligero aumentando su pureza, se regula medianteuna electroválvula de tres posiciones; bajo operación normal la válvula recircula la mezcla ycada cierto tiempo es necesario retirar el producto ya destilado. Una falla de este elemento

38


es que no responda, ya sea a su apertura o cierre: para el primer caso, la concentración delcomponente ligero aumenta perdiendose el equilibrio interno, para compensar este defecto sepuede optar por: incrementar la potencia calefactora, aumentar la alimentación o ingresar unmayor flujo de enfriamiento. Ahora, si la falla se debe a que dicha válvula no puede cerrar,entonces el producto destilado no se encontraría con impurezas del componente pesado, loque aumentaría el tiempo para alcanzar la pureza deseada, para lo cual es necesario disminuirla potencia o aumentar el flujo de alimentación.

Falla de la alimentación:

La alimentación permite ingresar más mezcla para ser destilada, esta opera mediante unabomba que impulsa la mezcla y un calentador que adecua su temperatura, disminuyendo asílos efectos sobre el equilibrio líquido vapor durante su ingreso. En el modelo la alimentaciónse toma como una perturbación. Tanto la bomba como el calentador mencionados son unsubsistema más en la columna que pueden presentar algún tipo de falla.

Las consecuencias de ingresar la mezcla a una temperatura inadecuada son: cambio enla dinámica de los flujos y un desequilibrio interno, esta es una falla grave para la columna,ya que afecta la producción del etanol; la forma de solucionar esto es negar el ingreso dela alimentación flujo. Del mismo modo, la bomba forma inapropiada podría mantener unflujo no deseado al interior de la columna, aumentando la cantidad de producto a destilary reduciendo la pureza de la mezcla; para solucionar esto puede aumentarse la potenciacalefactora o apagar totalmente la bomba de la alimentación.

Falla del condensador:

La etapa del condensador emplea agua como refrigerante, esta proviene de un tanquey es impulsada por una bomba; instalada en la columna de destilación se encuentra unaválvula neumática, la cual regula la cantidad de agua que ingresa al serpentín y al recipientedel condensador, mediante un controlador cuya señal proviene de un medidor de flujo. Latemperatura del agua utilizada depende de las condiciones climatológicas, siendo los 15◦Cla temperatura ideal (Murray 2003), pero en el caso de la columna del CENIDET, se utilizauna temperatura de entre 21◦C a 25◦C, la cual se logra mediante cubos de hielo colocadosen el interior del tanque principal.

Las fallas esta etapa son: si falla la bomba del agua o la válvula de ingreso se limita lacapacidad de enfriamiento, como consecuencia la calidad de la pureza y las concentracionesse reduce, además de que la presión interna se eleva, no se tiene un método para reducirestos efectos, por lo que es necesario realizar un paro del sistema. Las líneas de tubería parael enfriamiento cuentan con sensores, los cuales permiten conocer la temperatura a la cualingresa líquido refrigerante, la dinámica del flujo de enfriamiento no se considera para elmodelado de la columna.

Falla en el hervidor:

Una falla en el hervidor puede considerarse de las más graves debido a las repercusionessobre el sistema: generalmente al incrementar la potencia calefactora el proceso de destilación

39


se acelera, esto quiere decir, que los flujos internos de la columna se incrementan. Pero lapotencia calefactora utilizada y los límites permitidos para la misma dependen de la mezcla,para el caso de esta columna la potencia máxima es de 2500 Watts y para una mezcla etanol-agua va del 45 % al 75 % de operación; para destilar agua la potencia puede ir del 50 % al100 % de dicha potencia.

De perder la operación regular del hervidor, en el caso de que aumentara, como semencionó los flujos internos se verían incrementados y como consecuencia el aumento delas presiones internas, lo cual es un riezgo para los operadores. Del mismo modo, la mezclase degrada y el calentador puede continuar con una pérdida de su integridad, derivando enuna posible pérdida total, el problema es que no existen efectos que permitan directamenteconocer el estado del actuador, donde la solución para este tipo de falla es apagar el sistema.

En la figura 2.3 se muestra en conjunto el recipiente de fondo y el recipiente calentador dela mezcla, en el interior de este último se encuentra una termoresistencia. La termoresistenciaentrega una potencia calefactora, Qb, máxima de 2500 Watts y es variada por un controladorque considera el comportamiento de la termoresistencia de manera lineal.

La forma en como el calentador falla puede ser un incremento o decremento de lapotencia calefactora entregada, cuyos efectos no se ven reflejados de manera directa, ya quelas temperaturas no se ven alteradas. Un aumento en la potencia incrementa la velocidad delproceso de destilado debido a que los flujos internos se mueven más rápidamente, aumentandola presión interna, esto puede derivar en un daño sobre las paredes internas de la columna, asícomo deteriorar al calentador y el recipiente que lo contiene, ya que no existe una forma deliberar dicha sobrepesión. Para modelar el comportamiento de falla, se propone un valor θ(t)que caracteriza la dinámica del actuador (termoresistencia) el cual entrega una potencia Qb,definiendo a θH(t) como el valor nominal y sin fallas del mismo, donde dicho comportamientose observa en la ecuación (2.25) para el flujo de vapor, donde la potencia entregada juntocon la dinámica del actuador es:

VS =(θ(t) + ∆θ)Qb

λeohxN + λh2o(1 − xN), i = f + 1, ..., N (2.42)

donde se observa que al variar el valor de θ(t), se altera la potencia calefactora, enconsecuencia el flujo de vapor VS varía afectando a los flujos VR, LR y LS en (2.36) ydado que θ(t)+∆θ = θF 6= θH , donde θF indica una falla o desviación ∆θ en el valor nominalo características del actuador (termoresistencia).

Fallas en los sensores de temperatura:

La columna de destilación del CENIDET se conforma por 12 etapas y de las cuales segeneró el modelo matemático para realizar el cálculo de las concentraciones, haciendo usode las relaciones termodinámicas de cada etapa y que en cada caso es necesario conocer lastemperaturas. Esta columna cuenta con 8 sensores de temperatura colocados en las etapas1, 2, 4, 6, 7, 9, 11 y 12. Para las etapas 3, 5, 8 y 10 se realiza un cálculo mediante lastemperaturas inmediata superior e inferior con lo cual se obtiene su valor.

A partir del conocimiento del modelo y las temperaturas del sistema, es posible obtenerel valor aproximado de las concentraciones y así formular acciones de control como se

40


presentan en (Valencia-Palomo 2006). En la práctica, el valor de las concentraciones seobtiene mediante muestras del producto destilado, que se introducen en cromatógrafos uotros aparatos especializados para determinar su valor o mediante alcoholímetros. Por lo queen el caso de utilizar modelos matemáticos, es necesario la buena operación de los sensores.Pero cuando alguno de estos falla, la estimación de las concentraciones se ve comprometidagenerando desviaciones en su valor y afectando las leyes de control implementadas. Setienen dos formas de solucionar este problema, reemplazar el sensor físicamente o sustituirsu medición mediante un sensor virtual. Para la columna de destilación del CENIDET,el trabajo de (Téllez-Anguiano, et. al. 2010) presenta una interface para la detección ylocalización de fallas en sensores mediante un banco de observadores de alta ganancia.

En el presente trabajo de investigación se propone un esquema FDI basado en OMD paralos ocho sensores de la columna del CENIDET, donde la figura 2.2 muestra uno de los platosde la columna de destilación, así como los elementos de medición de temperatura (RTD Pt-100). En el sistema físico, las temperaturas se encuentran en función de las concentracioneslíquidas xi y mediante el equilibrio líquido-vapor dichas concentraciones se obtienen de lastemperaturas. Retomando la formulación de la ecuación (2.40) mostrada a continuación:

yiρatm =

(

10Aeoh−

BeohTi+Ceoh

)

xiγeoh

si se considera que las temperaturas se encuentran en función de las concentraciones como:Ti = fT i(xi)

Por lo tanto,

yiρatm =

(

10Aeoh−

BeohfTi(xi)+Ceoh

)

xiλeoh (2.43)

donde cada término es definido en la Sección 2.3. De la ecuación (2.3) se puede analizar elimpacto que tienen las mediciones de temperatura sobre el modelo de la columna.

Como se mencionó con anterioridad, las temperaturas son las salidas medibles física-mente del sistema, bajo este precepto se define un término que índica la posible falla en elsensor de la siguiente manera:

T (t) = CfT i(xi) + ϕδTi) (2.44)donde T ∈ R

m denota la salida del sistema, en este caso las temperaturas, Cm×m es lamatriz de salida, f(xi) es una función que depende de las concentraciones para el cálculo delas temperaturas, ϕ ∈ R

m×m es la matriz de direccionamiento de fallas y δTies la desviación

debido a fallas en los sensores.

Es importante señalar que en la representación del modelo de la columna de destilaciónlos

los términos xi y yi corresponden a las concentraciones líquidas y de vapor del componente

deseado, respectivamente y que no deben confundirse con la notación utilizada generalmente

en las representaciones de los sistemas en espacio de estados. Entonces, cuando estainvestigación haga referencia a estos dos términos se da por sentado, que son dichascomposiciones químicas, conforme a lo que se presenta en la literatura de las columnas de

destilación.

41


.

42

Capítulo 3

Observadores en modos deslizantes

En este capítulo se presenta un estudio sobre la teoría de los observadores en modos

deslizantes (OMD). Inicialmente, se definen una serie de estructuras matemáticas, lascuales se utilizan para representar diferente sistemas reales, así como ciertas estructuras deobservadores considerando la formulación del sistema real, esto se realiza de forma general,ya que el objetivo es enmarcar la teoría de los OMD considerando tanto sistemas lineales ysistemas no lineales. Los puntos que se tratarán en este capítulo, solo se utilizan para definirla formulación y operación de los OMD, aplicados en la estimación de estados, dando énfasisen la de capacidad de la denominada función discontinua o inyección no lineal (Edwards ySpurgeon 1998), para rechazar las perturbaciones e incertidumbres que pudiera presentar elsistema. Esta función, que depende de la dinámica de los errores de estimación, conduce yobliga a las trayectorias de estos errores, a mantenerse sobre una superficie deslizante la cualademás tiene la capacidad de compensar las no linealidades de un sistema que no fueranconsideradas en el modelado.

Se propone un desarrollo para justificar la estabilidad de esta clase de observadoresfundamentada en el análisis de la estabilidad de Lyapunov, con la finalidad de dar un soportematemático a lo que posteriormente se presentará en el diseño e implementación en lasunidades de detección, localización y diagnóstico de fallas presentados en el capítulo 4, dondese propone de una forma más directa a los OMD utilizados para dicha tarea.

3.1. Generalidades

La teoría de los OMD se fundamenta en el enfoque de los Sistemas de Control porEstructura Variable (VSCS), que son una forma de control no lineal discontinuo. Los VSCSalteran la dinámica del sistema aplicando una señal de control que conmuta a alta frecuencia(high-frecuency switching control), esto provoca que la ley de control no sea una funcióncontinua en el tiempo, conmutando de una condición o función a otra, la estructura de controlvaría en base a su posición en la trayectoria de los estados, conmutando de una ley de controla otra muy rápidamente, este comportamiento es denominado movimiento deslizante dondelas trayectorias se mueven en una superficie deslizante, de aquí se desprende el término deControl por Modos Deslizantes (SMC) con las siguientes ventajas:

✓ Baja sensibilidad en incertidumbres paramétricas.

✓ Reducción del orden en el modelado de la dinámica de la planta.

✓ Convergencia en un tiempo finito debido a la ley de control discontinua, conmutación

en un número infinito de veces en un intervalo de tiempo finito.

43

CAPÍTULO 3. OBSERVADORES EN MODOS DESLIZANTES

Su principal desventaja es que por diversos errores estructurales en su formulación oimperfecciones en la implementación, se puede tener la aparición de un efecto denominadochattering, el ejemplo más común, son los retardos en los actuadores, los cuales se vensometidos a cambios bruscos que finalmente podrían dañarles (Utkin, et. al. 2008).

Los fundamentos que a continuación se presentan, se pueden encontrar en (Utkin, et.al. 2008) donde se presenta el primer OMD, pero su principal enfoque es el control. Lostrabajos (Edwards y Spurgeon 1998), (Xiang, et. al. 2005) y en (Edwards y Spurgeon 1998)detallan diferentes formas de estructurar e implementar los OMD, así como formas de diseñopara la superficie deslizante y la función de conmutación, algunas de las cuales se presentanen este capítulo.

3.2. Generalidades sobre observadores

Ya sea en la industria o en la vida cotidiana, se emplean gran variedad de sistemaso procesos, los cuales deben ser manipulados para obtener un resultado deseado. Talmanipulación se lleva a cabo mediante el control de sus variables tales como velocidad,posición, temperatura, flujo, humedad, por mencionar algunas.

Pero muchas de las variables importantes de un sistema, no siempre se encuentrandisponibles de forma directa, tal es el caso de flujos electromagnéticos en un motor, elcrecimiento de bacterias en un reactor biológico o las concentraciones químicas dentro deun proceso, estos son algunos ejemplos dentro de una gran variedad de casos que se podríanmencionar. En ocasiones, sí es posible realizar mediciones, pero el costo de los sensores eselevado. A partir de esta idea, es que se acuñó el término observador, el cual es una alternativaviable para resolver el problema mencionado.

3.2.1. Tipos de sistemas

Considere para los siguientes sistemas a x ∈ Rn como vector de estados, u ∈ R

m comoel vector de entradas y y ∈ R

p como el de salidas. Los términos A, B, C y D son matricesdel sistema con dimensiones apropiadas y f(·) y h(·) son funciones no lineales.

X Sistema no lineal general:x = f(x(t), u(t))

y = h(x(t))(3.1)

X Sistema afín al control:

x = f(x(t)) +m∑

i=1

ui(t)gi(t)

y = h(x(t))

(3.2)

X Sistema afín a los estados:x = A(u(t))x(t) +B(u(t))

y = C(u(t))x(t)(3.3)

44


X Sistema bilineal:

x = Ax(t) +n∑

i=1

Ui(t)Dix(t) +Bu(t)

y = Cx(t)

(3.4)

X Sistema lineal con parámetros variantes en el tiempo:x = A(t)x(t) +B(t)u(t)

y = C(t)x(t)(3.5)

X Sistema lineal estacionario:x = Ax(t) +Bu(t)

y = Cx(t)(3.6)

A continuación se presentan una serie de definiciones sobre observadores, se remite allector a consultar (Astorga-Zaragoza,C.M. 2001) para más detalles. Suponiendo que paracada uno de los sistemas mencionados h(Xu(t, x0)) es la solución en el tiempo t para lacondición inicial x0 en el instante inicial t0 ante una señal de control u(t).

Definición: 3.1 (Indistinguibilidad.) Sean (x0, x0) ∈ V (conjunto abierto de Rn) un par

de estados iniciales diferentes, los cuales son indistinguibles en V si ∀u : [0, t] → U (conjunto

medible de Rm) y ∀t ≥ 0, h(Xu(t, x0)) ≡ h(Xu(t, x0)).

De lo anterior, se define la observabilidad para el sistema (3.1) como:

Definición: 3.2 (Observabilidad.) El sistema (3.1) es observable si no tiene algún par

de estados indistinguibles.

La observabilidad es un concepto global, ya que puede ser necesario el transcurso de unlargo periodo de tiempo para distinguir entre dos puntos en V .

Definición: 3.3 (Observabilidad local.) El sistema (3.1) es localmente observable en

x0 ∈ V si para toda vecindad abierta V ′(x0) ⊂ V que contenga a x0 y para todos los puntos

x0 ∈ V ′(x0), x0 6= x0, todos los pares (x0, x0) son distinguible en V ′(x0).

El concepto de observabilidad local es más fuerte que el de observabilidad, ya que siel sistema (3.1) es localmente observable, entonces es observable, pero esto no implica locontrario. En la práctica basta con distinguir x0 de los puntos de su vecindad V ′, lo quedebilita el concepto de observabilidad dando lugar a:

Definición: 3.4 (Observabilidad débil) El sistema (3.1) es débilmente observable en

x0 ∈ V si existe una vecindad abierta V ′(x0) ⊂ V que contenga a x0, tal que para todos

los puntos x0 ∈ V ′(x0), los pares (x0, x0) son distinguibles y las trayectorias h(Xu(t, x0)) y

h(Xu(t, x0)) evolucionan dentro de V ′(x0).

Definición: 3.5 (Observabilidad localmente débil.) El sistema (3.1) es local débil-

mente observable en x0 ∈ V si existe una vecindad abierta V ′(x0) ⊂ V que contenga a

x0, tal que todas las vecindades V ′′ ⊂ V ′(x0) de x0 y para todos los puntos x0 ∈ V ′′(x0), los

pares de (x0, x0) son distinguibles y las trayectorias h(Xu(t, x0)) y h(Xu(t, x0)) evolucionan

en el interior de V ′′(x0).

45


Figura 3.1: Implicación de las propiedades de observabilidad.

Existen cuatro propiedades para calificar la observabilidad de un sistema, las cuales sonequivalentes entre si; pero cabe señalar que sólo la propiedad de observabilidad local implicaa las demás, en la figura 3.1 se presenta dicha implicación. Para el caso particular del sistemalineal en la ecuación (3.6), la observabilidad se caracteriza por la condición de rango:

Teorema 1 (Condición de rango) El sistema lineal en (3.6) es observable, si y solamente

si el rango de la matriz [C, C A, ..., C An−1] es igual a la dimensión n del sistema en espacio

de estados.

También existe una definición particular para los sistemas lineales variantes en el tiempode la ecuación (3.5) de la forma:

Definición: 3.6 (Observabilidad completamente uniforme) Sea un sistema de la for-

ma (3.5), el cual se dice que es completamente uniformemente observable, si existe un

T > 0α > 0 y t0 > 0, tal que ∀t ≥ t0 se tiene:

Γ(t, t0) =

∫ t

t0

ΦT (τ, t)CT (u(τ))C(u(τ))Φ(τ, t)dτ ≥ αId

donde Γ(t, t0) es conocido como el gramian de observabilidad en el tiempo t, Φ es la matriz

de transición de estados e Id es una matriz identidad.

Las condiciones de observabilidad no excluyen la existencia de entradas, para las cualesalgunos estados son indistinguibles, por lo que es necesario tomar en cuenta el problema delas entradas al momento de diseñar un observador. Por lo tanto, a continuación se presentanalgunas definiciones que definen dicho comportamiento.

Definición: 3.7 (Entradas universales) La entrada u del sistema en (3.1) es universal

en [0, t], si ∀(x0, x0), x0, 6= x0 ∃ τ ∈ [0, t] | h(Xu(t, x0)) 6= h(Xu(t, x0)).

Cuando una entrada no cumple la definición anterior, esta es llamada entrada singular,el sistema cuyas entradas son singulares es conocido como sistema afín a los estados, cuyarepresentación se muestra en la ecuación (3.3). Para este caso, se pueden caracterizar a lasentradas como suficientemente universales.

Definición: 3.8 (Entradas regularmente persistentes) Una señal u para el sistema

(3.3) es llamada regularmente persistente, si ∃ T > 0, α > 0 y t0 > 0 | γ(t, t0) ≥ α; t ≥ t0donde γ(t, t0) es un índice de universalidad definido como el valor propio más pequeño del

gramian de observabilidad Γ(t, t0).

Definición: 3.9 (Sistemas uniformemente observables) Un sistema cuyas entradas

son universales, es llamado uniformemente observable, si para un t > 0 todas las entradas

son universales en [0, t].

46


A partir de las definiciones anteriores, se puede encontrar una clase de sistema, afín ala señal de control de la forma (3.2), denominado sistema suficientemente regular localmente

observable, caracterizado por:

Teorema 2 Sea un sistema no lineal (3.2) SISO de la forma:ξ = f(ξ) + u g(ξ)

y = h(ξ)

con u = 0 como una entrada universal y el Jacobiando Φ(ξ) = (h(ξ), Lf (h(ξ)), ..., Ln−1f (h(ξ)))

no singular en ξ0, es localmente uniformemente observable en ξ0 si y solo si el cambio de

coordenadas x = Φ(ξ) es de la forma:

x1 = x2 + ϕ1(x1)u

x2 = x3 + ϕ2(x1, x2)u

...

xn−1 = xn + ϕn−1(x1, ..., xn−1)u

xn = ϕn(x) + ϕn(x)u

y = x1

(3.7)

Para el caso de sistemas no afines a la señal de control, existen observadores cuyaestabilidad y ganancias son independientes de las entradas. También existen observadoresque no dependen de las entradas, aún cuando el sistema sea uniformemente observable. Estose debe a la diferencia entre las trayectorias de dos estados iniciales distintos e indistinguiblesque siempre tienden a cero. De esta forma se puede diseñar un observador que no dependade las entradas y para esto se requiere de lo siguiente:

Definición: 3.10 (Detectabilidad.) Un sistema no lineal de la forma (3.1) es detectable

si para cada pareja ((x0, x0), u) ∈ (Rn ×Rn)×U ∃ t0 | ∀t ≥ t0; h(Xu(t, x0)) = h(Xu(t, x0)),

entonces ||h(Xu(t, x0)) 6= h(Xu(t, x0))|| → 0 cuando t→ ∞

3.3. Tipos de observadores

Una vez definidos ciertos tipos de sistemas, se presenta en esta sección algunosobservadores, de los cuales existen además variantes dependiendo de su aplicación, con estose quiere decir que, el diseño aún cuando se encuentra definido, muchas partes del mismovariarán dependiendo de la aplicación final. Entonces, se presenta una definición generalsobre esta teoría:

Definición: 3.11 (Observador de estados) Un observador de estados, es un sistema

dinámico capaz de reconstruir o estimar el valor de los estados de un proceso a partir del valor

medido de sus entradas u(t) y salidas y(t), en la figura 3.2 se presenta una representación

general. Se diferencian dos tipos principales

Orden completo. El observador estima los n estados del sistema.

Orden reducido. Estima menos de n estados.

Orden mínimo. Estima el orden mínimo posible de estados.

47


Figura 3.2: Esquema de un observador de estados.

3.3.1. Observadores para sistemas lineales

Se presenta a continuación una breve descripción de algunos tipos de observadorespara aplicaciones generales, se invita al lector a complementar esta lectura, con textosespecializados referentes al uso de observadores para control y diagnóstico de fallas.

En lo posterior x(t), x(t) se refieren a los vectores de estados, y(t), y(t) a las salidas y u(t)a las entradas del sistema, el símbolo ^indica que son los valores estimados o reconstruidos.

Observador de Luenberger

Este observador recurre a las técnicas establecidas para sistemas lineales, como lacolocación de polos, siendo en principio definir la estabilidad del observador. Considerandoel sistema (3.6), el observador se diseña como un sistema paralelo de la forma:

˙x = Ax(t) +Bu(t) +K(y(t) − Cx(t))

y = Cx(t)(3.8)

donde K es la ganancia del observador, cuya elección no es única. La condición de queA − KC sea estable, logra que la dinámica del error de estimación converja a cero. Eldiseño se vuelve complicado para sistemas multivariables. Su generalización para sistemasno lineales es bastante compleja y en ocasiones imposible.

Filtro de Kalman

Este tipo de observador soluciona el problema de un sistema con presencia de ruido,desarrollado por R. E. Kalman y R.S. Bucy, es denominado como filtro de Kalman, desdesu formulación en los años 60, se le han realizado mejoras al diseño así como extensiones delmismo para aplicarlo a una gran variedad de sistemas.

Aún cuando considera a los sistemas lineales, existe una versión determinística, aplicadoa sistemas variantes en el tiempo, considerando de la ecuación (3.5), se realizan la siguientemetodología para realizar el cálculo de sus ganancias, así como su implementación:

Inicialización de una matriz S, tal que S(0) = S0, donde S0 es una matriz simétricadefinitiva positiva.

Estimación de estados:˙x(t) = A(t)x(t) +K[y(t) − Cx(t)]

48


Elección de la ganancia KK(t) = −S(t)−1CT (t)Q

Cálculo de la matriz S por una adaptación de la ecuación de Riccati:S = −θS(t) − AT (t)S(t) − S(t)A(t) + CT (t)QC(t) − S(t)RS(t)

donde θ > 0 es un valor real arbitrario positivo.

El filtro de Kalman es un estimador recursivo y presentan dos fases, una de predicción yotra de actualización. La primera utiliza la estimación previa del estado para calcular el actualestado. La segunda etapa realiza una combinación de la predicción con la actual observaciónpara refinar la estimación de estados. En contraste con el observador de Luenberger, esnecesario definir la dinámica del ruido como un ruido blanco con media y covarianza cero,pero que a menudo es desconocida en un sistema. El inconveniente de este método es lasintonización de las matrices Q y R, así como la inicialización de S(t).

3.3.2. Observadores para sistemas no lineales

A continuación se presentan algunos enfoques sobre observadores no lineales, se remiteal lector a consultar literatura especializada como (Chen y Patton 1999). Considerando unsistema no lineal de la forma (3.1) se propone un observador como:

˙x(t) = f(x, u) +K(y(t) − y(t))

y(t) = h(x(t))(3.9)

donde x y y son la estimación de x y y, la ganancia K debe ser calculada a partir delsistema y depende de las diferentes teorías y enfoques matemáticos o de otra índole, para eltratamiento de los sistemas no lineales, donde la expresión (3.1) puede cambiar para facilitarla forma de diseño.

Mediante una expansión en serie de Taylor de un modelo en espacio de estados alrededorde un punto de equilibrio para el observador presentado en (3.9) se define el error deobservación como:

ǫ = ||x− x|| (3.10)

cuya dinámica del error es:ǫ = f(x+ ǫ, u) − f(x, u) −K(x)[h(x+ ǫ) − h(x)] (3.11)

Considerando una linealización de la ecuación anterior alrededor del error de observaciónǫ = 0 se obtiene:

ǫ = [A(x) −K(xC(x))]ǫ (3.12)

donde A(x) y C(x) son:

A(x(t)) =∂f(x(t))

∂xC(x(t)) =

∂h(x(t))

∂x

Lo anterior forma parte del diseño de los observadores Luenberger y Kalman extendido.

Observador Luenberger extendido

Como en el método lineal, el objetivo es selecciona K(t) para que la dinámica del errorsea asintóticamente estable, considerando que la matriz A(x) −K(xC(x)) y su derivada selimitan por:

49


||A(x) −K(xC(x))|| ≤ C1 ∀x y

∥

∥

∥

∥

d

dtA(x) −K(xC(x))

∥

∥

∥

∥

≤ C2 ∀x

con valores propios de la forma Re(λi[A(x)−K(xC(x))]) ≤ C3 < 0 , ∀x i = 1, ..., n. Donden es el orden del sistema. Para este observador es fundamental que la observabilidad delsistema linealizado se encuentre definida, de lo contrario la dinámica del error de estimaciónse vuelve difícil de asignar, lo que además provoca que la estimación diverja del valor delsistema después de cierto tiempo.

Filtro de Kalman extendido

Este observador realiza un cálculo de la matriz de ganancias K(x) minimizando unafunción de error cuadrático medio de observación de la forma:

E =

∫ t

0

eTW edτ

donde W es una matriz de ponderación para los términos de error e para estandarizarlo. Lamatriz de ganancias R(x) ∈ R

n×n se relaciona de la siguiente forma:K(x) = R(x)CT

donde R es la solución de la siguiente ecuación de Riccati:R = −RCTWCR +RAT (x) + A(x)R

donde R = RT , R(0) = R0 = RT0 . El inconveniente de esta técnica es que no garantiza la

convergencia global en el error de estimación, pero la estabilidad local puede ser probadarealizando ciertas consideraciones sobre las no linealidades del sistema.

Observador de alta ganancia

Un trabajo que presenta la síntesis de este observador con aplicación en la columnade destilación binaria del CENIDET es (Torres-Ortiz 2005) y cuya validación se encuentraen (Téllez-Anguiano, et. al. 2010). Este observador se considera para sistemas no linealesuniformemente observables afínes a la señal de control. Se fundamenta en una transformaciónde coordenadas, obteniendo una forma canónica observable con un término lineal dinámicofijo y de un término controlado triangular (afectado por las entradas).

Sea un sistema de la forma (3.2) con una salida, este tipo de sistemas tiene la propiedadde ser transformado en una forma triangular mediante un cambio de coordenadas:

z =

z1

z2...zn

=

h(x)

lfh(x)...

L− fn−1h(x)

(3.13)

donde Lf es la derivada de Lie de la salida h(x) respecto a f . Definiendo entonces Φ(x) = z

donde Φ es la transformación no lineal, obteniendo el siguiente sistema triangular:

˙z(t) = AZ(t) +

0...0

ϕ(z(t))

+m∑

i=1

ui(t)φ1(z(t))

y(t) = Cz(t) = z1

(3.14)

50


donde

A =

0 1 . .0

0 0 1 . .

. . . . 0

. . . . 1

0 . . . 0

C = [1 0 0 · · · 0]

φ1(z) = φ1(z1 · · · , zi) para i = 1, ..., n

Esta forma canónica de observabilidad, se emplea para diseñar un observador exponen-cial, denominado observador de alta ganancia, cuya forma es:

˙zA(z(t)) + φ(z) +m∑

i=1

ui(t)φi(z(t)) + S−1CT

θ [Cz(t) − y(t)] (3.15)

donde al aplicar una regresión a las coordenadas originales se obtiene:

˙x = f(x(t)) +m∑

i=1

ui(t)gi(t) +[∂Φ

∂xx(t)

]−1S−1

θ CT [Cx(t) − y(t)] (3.16)

donde Sθ es una matriz simétrica definida positiva, solución única de la ecuación deLyapunov:

θSθ + ATSθ + SθA = CTC

donde θ > 0 es un parámetro de diseño, A y C son las matrices del sistema, representandoen dos dimensiones:

Sθ =

[

1/θ −1/θ2

1/θ2 −1/θ3

]

Generalizando los coeficientes Sθ son de la forma:

Sij =Sij

θi+j−1para 1 ≤ i, j ≤ n

donde Sij es un coeficiente combinatorio conocido. El error de estimación ||x(t) − x(t)||

converge exponencialmente a cero si el parámetro θ es elegido lo suficientemente grande.

Se le denomina de alta ganancia debido a que el término de corrección contienela expresión S−1

θ CT = [α1θ, ..., αnθn]T , dado que la convergencia es garantizada por un

parámetro θ grande la ganancia resulta en un valor alto. Es fácil de implementar y calibrar,un valor alto acelera la convergencia, pero tiene la desventaja de que genera un sobreimpulsodurante la convergencia. Por tanto, se debe establecer un compromiso entre una rápidaconvergencia, rechazo al ruido y atenuación del sobreimpulso.

Otros tipos de observadores

Existen otras variedades y configuraciones para los observadores, algunos de los cualesderivan de los denominados sistemas inteligentes, como los que utilizan lógica fuzzy o redesneuronales. Así como los que emplean modelos estadísticos y análisis de correlación para laestimación de las variables, cambiando solamente la forma interna del observador y el usocálculo de las ganancias, de éste último se tiene una gran variedad de métodos como: LinearMatrix Inequality (LMI), Linear Quadratic Regulator (LQG), Linear Quadratic Gaussiancontrol (LQG), de los cuales solo se hace mención debido a que no son parte fundamentalpara el desarrollo de este trabajo (Blanke, et. al. 2003).

51


3.4. Observadores en modos deslizantes

A continuación se presenta una perspectiva sobre las características de los OMD en laestimación de estados, es importante mencionar que en las representaciones tanto de sistemascomo observadores, los términos x y y se utilizan para denotar los estados y las salidas delsistema, respectivamente, se le recuerda al lector que en el caso de la columna de destilación,estos dos términos tienen un especial uso en su modelado.

3.4.1. Observador para sistemas lineales

Considere el siguiente sistema lineal en espacio de estados:x(t) = Ax(t) +Bu(t) +Gd(u, y, t)

y(t) = Cx(t)(3.17)

donde x ∈ Rn es el vector de estados, y ∈ R

m el vector de salidas y u ∈ Rn las entradas al

sistema. Las matrices A, B, C y G son de dimensiones apropiadas y determinan la dinámicadel sistema lineal, el término d(u, y, t) es una función que representa la incertidumbre presenteen el sistema. Para el sistema lineal de la ecuación (3.17) se propone un observador contérmino discontinuo denominado Observador de Walcott-Zak (Xiang, et. al. 2005) de laforma:

˙x(t) = Ax(t) +Bu(t) +Kl(y(t) − Cx(t)) −Knv (t)

y(t) = Cx(t)(3.18)

donde x y y son las estimaciones de x y y, respectivamente. Kl y Kn son matricesde retroalimentación lineal y no lineal respectivamente. El parámetro v (t) es el término

discontinuo o inyección lineal, que por lo general es una función de saturación o una funciónsigno, pero para fines de este trabajo se emplea una función de aproximación signo de laforma:

v (t) =

{

−ρ ey

||ey ||+δsi ey 6= 0

0 cualquier otro(3.19)

donde ey es el error de estimación de salida, definido como ey = C(x(t) − x(t)), el valor deρ es un valor constante positivo y el término para suavizar la función de conmutación esδ ∈ [0, 1]. Esta función a diferencia de otras empleadas en el desarrollo de OMD suaviza elcomportamiento y reduce los efectos de los cambios en la superficie y por lo tanto la posibleaparición del chattering. Dentro de la teoría de los VSCS y en especial para el desarrollo deOMD, la literatura reporta una gran variedad de métodos de diseño, empleados para tratarsistemas lineales, algunos de los cuales se pueden encontrar en (Utkin, et. al. 2008, Edwards ySpurgeon 1998, Xiang, et. al. 2005, Edwards y Spurgeon 1998) diferentes al aquí presentado.

Las ganancias de Kl deben satisfacer:P T (A−KlC) + (A−KlC)TP = −Q (3.20)

GTP = WC (3.21)donde P y Q son matrices simétricas definidas positivas, W es una matriz variable y que esutilizada en la función v (t), donde una forma de solucionar (3.20) esta dada por:

Lema 1 Si existen unas matrices simétricas definidas positivas P y Q, entonces las matrices

Kl y W satisfacen (3.20) si y solo si, el rango(CG) = rango(G) y la tripleta (A,G,C) es

de fase mínima.

52


Una vez seleccionada la matriz de ganancias de retroalimentación Kl, el error del sistemapuede ser reducido a:

e(t) = A0e(t) +Gd(x, u, t) +Knv (t), (3.22)

donde A0 = A−KlC y e(t) = x(t)− x(t) es el vector del error y de acuerdo a las propiedadesintrínsecas de robustez de los teoría de los modos deslizantes, se puede definir el rango de Kn

tal alto como sea posible, pero debido a la limitada información, la dimensión más altamentealcanzable de Kn es m que es la dimensión del vector de salidas.

Para hacer que el lazo cerrado del estimador se vuelva insensible a los efectos de laincertidumbre d(x, u, t), es necesario que exista una matriz Γ1 ∈ × tal que G = KnΓ1, de(Xiang, et. al. 2005), existe un deslizamiento que hace que el error en lazo cerrado (3.22) seaasintóticamente estable si y solo si existe una matriz simétrica definida positiva P ∈ R

n×n yun escalar positivo σ ∈ R que satisface

A0P + PA0 − σPKnKTn P < 0, KT

n P = C. (3.23)

De la declaración anterior, la formula para la matriz de ganancia no lineal Kn se puederesumir como sigue: Kn = Q−1CT donde Q satisface:

QA0 + AT0Q− ρCTC < 0, GTQ = ΓT

1C. (3.24)

Se puede observar que (3.24) es similar a (3.20) si W = ΓT1 , de tal manera que ambas

ecuaciones pueden solucionarse de manera similar.

Teorema 3 Si para un OMD (3.18) se asume que la incertidumbre se encuentra acotada

por:

||d(x, u, t)|| ≤ α(t, u, y), (3.25)

donde α(t, u, y) es una función escalar conocida y si la inyección no lineal es seleccionada

como:Kn = Q−1CT

v (t) = −ρey

||ey|| + δ

(3.26)

entonces, la dinámica del error (3.22) es llevado hacia la superficie deslizante en un tiempo

finito permaneciendo allí, por lo tanto, el error del sistema es asintóticamente estable.

Se remite al lector a consultar el trabajo de (Xiang, et. al. 2005) para su demostración

Ejemplo numérico

Considere un oscilador armónico simple de la forma (3.17) definido por lo siguiente:

A =

[

0 1

−2 0

]

, B =

[

0

1

]

, C = [1 1] , G =

[

0

1

]

el término de incertidumbre es de la forma d(u, y, t) = 0.05 sin(t) + 0.02 ∗ x2 y una entradau = 0. Según observador (3.18), en la figura 3.3 se presenta la respuesta del observadorrespecto a la dinámica del sistema, para este caso las ganancias son Kl = 0.0413 y Kn =

0.7254 con un δ = 0, es decir no se suavizó la función de conmutación, tal como se muestraen la figura.

53


0 5 10 15−5

0

5 Respuesta observador

Est

ado

1

0 5 10 15−10

−5

0

5

10

Est

ado

2

0 5 10 15−10

−5

0

5

10S

alid

a

Tiempo,seg

0 5 10 15−2

−1

0

1

2

Tiempo, seg

RealEst.

RealEst.

RealEst.

SuperficieError

Figura 3.3: Respuesta del OMD para un sistema lineal.

3.4.2. Observador para sistemas no lineales

En la práctica todos los sistema son no lineales, aún cuando se manipulen en puntos deoperación y se desarrolle algún enfoque lineal de control u observación, se tiene el problemade que al realizar un cambio en la dinámica, por lo general provoca que estos enfoques linealesse vuelvan ineficientes. Por esta razón se presenta un método para la estimación de estadosbajo un enfoque puramente no lineal de forma robusta. Sea un sistema no lineal, donde porconveniencia se omite la dependencia del tiempo, de la forma:

x = f(x, u)

y = h(Cx)(3.27)

donde f(x, u) es una función no lineal y h(Cx) es alguna posible relación no lineal a la salidadel sistema. Suponiendo que el sistema presenta dos salidas: y1 = x1 y yλ = xλ donde xλ

indica el estado λ, por lo que se puede particionar el vector x en xa y xb y las salidas como:xa = [x1 x2, ..., xλ−1]

T

xb = [xλ xλ+1, ..., xn]T

y1 = ha(Caxa) = x1

yλ = hb(Cbxb) = x2

Entonces, se puede proponer un observador con función discontinua como:˙xa = fa(xa, xb, u) + ρav a

x1

˙xb = f b(xa, xb, u) + ρbv bx2

y1 = ha(Caxa) = x1

yλ = hb(Cbxb) = xλ

(3.28)

donde v y1 y v y2 están en función del error de estimación de la primera y segunda salida,respectivamente. Las ganancias se definen como los vectores: ρa = [ρ1 ρ2, ..., ρλ−1]

T y ρb =

[ρλ ρλ+1, ..., ρn]T , donde por cada salida existe una superficie deslizante de la forma:σ1 = y1, σλ = yλ

54


Una condición de deslizamiento (Gow-Bin, et. al. 1997) para las salidas es:1

2

d

dtσ2 ≤ −η||σ|| ó

d

dt= −ηiv sigma, ß = 1, λ

donde η es una constate positiva, la dinámica del error de estimación es entonces:˙xa1 = ∆fa

1 + δfa1 − ρ1v y1

˙xaλ−1 = ∆fa

λ−1 + δfaλ−1 − ρλ−1v y1

˙xb1 = ∆f b

1 + δf b1 − ρλv yλ

˙xbn = ∆f b

n + δf bn − ρnv yλ

(3.29)

donde xi = xi − xi con i = 1, ..., n estados, se define ∆fi = fi(x, u)−fi(x, u) y el término δfi

es el error de modelado debido a desviaciones estructurales. Para llevar el error de estimaciónde estados xi hacia la superficie deslizantes Sv la expresión dxi/dt debe tener signo opuestoal de xi, de esta manera se asigna el valor de las ganancias ρi con i = 1, λ como:

ρi ≥ ηi + U i = 1, λ (3.30)

Para definir las ganancias, es necesario suponer que la incertidumbre se encuentraexplícitamente acotada, i.e.:

|∆f + δf | ≤ U

donde U es una función escalar positiva la cual delimita la incertidumbre. Entonces, mediantela ecuación (3.30) se puede lograr que la variación de las trayectorias se dirijan hacia un puntode la superficie s1,2(t) = 0 donde el error de estimación yi con i = 1, λ es cero.

Para el cálculo de las ganancias restantes de ρ2 a ρλ−1 y de ρλ+1 a ρn se emplea unamatriz diagonal K, tal que las ganancias se deriven de la siguiente expresión:

det{sI − Ar +KCr} =n−2∏

i=1

(s− λi) (3.31)

donde Ar y Cr son las matrices de orden reducido y λi son los valores propios especificadospara el observador. Una forma de definir el sistema en orden reducido es definiendo ladinámica del error de estimación de la siguiente manera:

[

˙xar

˙xbr

]

=

[

∂xarfa

r ∂xbrfa

r

∂xarf b

r ∂xbrf b

r

]

−

[

kar 0

0 kbr

] [

∂xarf1 ∂xb

rf1

∂xarfλ ∂xb

rfλ

] [

xar

xbr

]

(3.32)

donde kar = [k2 k3 · · · kλ−1]

T y kbr = [kλ+1 kλ+2 · · · kn]T . Por lo tanto, el sistema se reduce

a un par de matrices como:

Ar =

[

∂xarfa

r ∂xarfa

r

∂xarf b

r ∂xbrf b

r

]

Cr =

[

∂xarf1 ∂xa

rf1

∂xarfλ ∂xb

rfλ

]

(3.33)

y Kr es de la forma:[

kar 0

0 kbr

]

(3.34)

Mediante estas definiciones se puede resolver la ecuación (3.31). Pero, el determinar kar

y kbr puede volverse tedioso de manipular de forma algebraica para sistemas con un orden

de n mayor a tres. Una manera de resolver este problema es mediante un adecuado sistemade orden reducido, dejando únicamente a consideración los cambios en la configuración dela matriz Kr.

55


Las diferentes descomposiciones del sistema, son de hecho cambios en los valores propiosde (Ar −KrCr) asociada con cada dinámica. Se remite al lector a consultar los trabajos de(Utkin, et. al. 2008, Xiang, et. al. 2005, Gow-Bin, et. al. 1997, Gow-Bin, et. al. 1997, Chen,W. 2003, Edwards y Spurgeon 1998) donde podrá encontrar diferentes formas de definir elorden reducido de un sistema y análisis de robustez ante incertidumbres y perturbacionesasí como de la convergencia del error hacia la superficie para tales reducciones.

Convergencia nominal y robustez

El siguiente análisis se realiza para los estados que son seleccionados para ser corregidosa través de la primer salida x1 un procedimiento similar es llevado a cabo para la segundasalida xλ que se deja al lector para su análisis. Sea la función de Lyapunov V de la forma:

V (x) =1

2{x2

1 + x22 + ...+ x2

λ−1} (3.35)

Se tiene queV (x) = x1

˙x1 + x2˙x2 + ...xλ−1

˙xλ−1 (3.36)

Así, si x1 esta en un movimiento deslizante, se tiene que ˙x1 = 0 y las primeras derivadasde xi,≥ 2 estarán dadas por las ecuaciones (3.28) y (3.29) tal que

V (x) = x2˙x2 + ... + xλ−1

˙xλ−1 = x2[∆f2 + δf2 − k2v1] + xλ−1[∆fλ−1 + δfλ−1 − kλ−1v1]

={

x2

[

∆f2 − ρ2∆f1

]

x2

[

δf2 − ρ2δf1

]}

+ ...

+{

xλ−1

[

∆fλ−1 − ρλ−2∆fλ−1

]

xλ−1

[

δfλ−1 − ρλδfλ−2

]}

= [x2 x3 xλ−1] ×

∂f2

∂x2− ρ2

∂f1

∂x2... ∂f2

∂xλ−1− ρ2

∂f2

∂xλ−1∂f3

∂x2− ρ3

∂f1

∂x2... ∂f3

∂xλ−1− ρ3

∂f3

∂xλ−1

... ....

∂fλ−1

∂x2− ρλ−1

∂f1

∂x2... ∂fλ−1

∂xλ−1− ρλ−1

∂f1

∂xλ−1

x2

x3...

xλ−1

(3.37)

+[x2 x3 ... xn]

δf2 − ρ1δf1

δf3 − ρ2δf1...

δfλ−1 − ρλ−1δf1

≡ xTr H(x)xr + xT

r δr

Dado que las ganancias de conmutación ρi, 2 ≤≤ ρ− 1 se calculan de acuerdo a 3.31 loque permite que a la matriz H(x) se le asignen valores propios específicos. Por lo tanto, laestabilidad de observador del sistema en orden reducido para el caso nominal, i.e. δf ≡ 0

puede ser garantizada.

La robustez del observador tiene que ver con que xr diverja o no de su estabilidad en lapresencia de errores en el modelado. De las ecuaciones (3.33) y (3.37) se puede definir que:

xr = H(xxr + δr)

La solución para xr puede expresarse como:

xr = eHtxr(0) +

∫ t

0

eH(t−τ)δrdτ. (3.38)

56


Si ||xr(0)|| ≤ a y existen b, ǫ y N tal que||δf || ≤ (b+Neǫt)/(1 + ||kr||) (3.39)

entonces se tiene que

||xr|| ≤ aeλmǫ +b

λm

+N

λm − ǫe−ǫl (3.40)

donde −λm(λm > 0) representa el valor propio más grande de H(x), ||xr|| es la norma delvector xr y a, b, N y epsilon son constantes positivos. Se por lo tanto concluir que

i. La ||xr|| se mantiene acotado su ||δf || ≤ (b+Neǫt)/(1 + ||ρr||), b > 0 y 0 < ǫ < λm.

ii. La ||xr|| → 0, si b = 0, ||δf || ≤ (Neǫt)/(1 + ||ρr||) y 0 < ǫ < λm.

En otras palabras, los errores de estimación del observador permanecen acotados si ||δfse encuentra acotado tal y como en la ecuación (3.39), por lo que el sistema permaneceinmune a los efectos de las incertidumbres del sistema.

Estimación de estados para un sistema de reacción química en serie

En la figura 3.4 se muestra el sistema de un reactor de tanque continuamente agitado(CSTR), cuyo comportamiento dinámico se define por las siguientes ecuaciones:

C1 =q

V1(Cf − C1) − k0C1 exp

(

−E

RT1

)

T1 =q

V 1(Tf − T1) +

(−∆H)k0C1

ρcpexp

(

−E

RT1

)

+ρccpc

ρcpV1qc

[

1 − exp

(

−UA1

qcρccpc

)]

(Tcf − T1)

C2 =q

V2(C1 − C2) − k0C2 exp

(

−E

RT2

)

T2 =q

V 1(T1 − T2) +

(−∆H)k0C2

ρcpexp

(

−E

RT2

)

+ρccpc

ρcpV2qc

[

1 − exp

(

−UA2

qcρccpc

)]

[

T1 − T2 + exp

(

−UA1

qcρccpc

)

(Tcf − T1)

]

Tabla 3.1: Parámetros para el CSTR.

Variable Valor nominal

q 100l/min

V1 = V2 100l

Cf 1mol/l

Tf 350 ◦K

Tcf 350 ◦K

k0 7.2 × 1010min−1

E/R 10,000K

(−∆H) 4.78 × 104J/mol

ρ = ρc 1000g/l

cp = cpc 0 − 239J/gK

UA1 = UA2 1.67 × 105J/minK

57


Figura 3.4: Sistema del CSTR.

Los valores nominales de los parámetros del sistema se encuentran en la tabla 3.1, sedefinen los estados, las salidas y la entrada de la siguiente forma: x ≡ [C1 T1 C2 T2]

T , y ≡

[T1 T2]T , u ≡ qc. Por lo tanto, el modelo dinámico del sistema sin dimensiones está dado

como:

x1 = 1 − x1 − k0x1 exp

(

−E

Rx2

)

x2 = Tf − x2 +k0(−∆H)

ρcpx1

(

−E

Rx2

)

+ 0.01u

[

1 − exp

(

−UA1

ρccpcu

)]

(Tcf − x2)

x3 = x1 − x3 − k0x3 exp

(

−E

Rx4

)

x4 = x2 − x4 +k0(−∆H)

ρcpx3

(

−E

Rx4

)

+ 0.01u

[

1 − exp

(

−UA2

ρccpcu

)][

x2 − x4

+ exp

(

−UA1

ρccpcu

)

(Tcf − x2)

]

(3.41)

Como se observa, este sistema de reacción tiene dos salidas medibles, por lo que puededividirse en dos subsistemas. Para estimar las concentraciones en el reactor, se diseña elOMD sin algún tipo de transformación o linealización del sistema como:

˙x1 = 1 − x1 − k0x1 exp

(

−E

Rx2

)

+ k1v 1

˙x2 = Tf − x2 +k0(−∆H)

ρcpx1

(

−E

Rx2

)

+ 0.01u

[

1 − exp

(

−UA1

ρccpcu

)]

(Tcf − x2) + k2v 1

˙x3 = x1 − x3 − k0x3 exp

(

−E

Rx4

)

+ k3v 2

˙x4 = x2 − x4 +k0(−∆H)

ρcpx3

(

−E

Rx4

)

+ 0.01u

[

1 − exp

(

−UA2

ρccpcu

)][

x2 − x4

+ exp

(

−UA1

ρccpcu

)

(Tcf − x2)

]

+ k4v 2

(3.42)

donde la función v1 ,2 se considera como (3.19). Las ganancias de conmutación k2 y k4 sedeterminan de acuerdo a la ecuación (3.30), las otras dos restantes se determinan de acuerdo

58


a la ecuación (3.31). Para este caso de simulación, la entrada es:

u =

{

90l/min si 0 ≤ t > 5 min

100l/min si t ≤ 5 min(3.43)

Las condiciones iniciales para el sistema son [0.085 442 0.005 450] y del observador[0.05 442 0 450], el valor para δ = 0.05 con lo que se suaviza la función de conmutación. Elcomportamiento del proceso químico y la respuesta del observador propuesto, se muestranen la figura 3.5, la convergencia de los estados es bastante rápido, como lo muestra la primergráfica, las superficies compensan las no linealidades producidas por el cambio de la entradaque se ve reflejado en la salida, con lo cual el observador sigue la dinámica de forma robusta.

0 5 10448

450

452

454

456T

2 °K

0 5 10

−0.6

−0.4

−0.2

0

Err

or s

alid

as

Tiempo,seg

2.5 3 3.5 4−1

0

1

Sup

erfic

ies

Tiempo,seg

0 0.05 0.1 0.15 0.20.04

0.06

0.08

Respuesta del observador

C1 m

ol/l

0 2 4 6 8 10440

445

450

T1 °

K

0 5 102

4

6x 10

−3

C2 m

ol/l

RealEstimada

ey1

ey2

s1

s2

Figura 3.5: Respuesta del CSTR y el observador.

Aún cuando se considera a los sistemas en modos deslizantes, esquemas meramentediscontinuos con aplicaciones en plantas con altas velocidades de conmutación, en estecapítulo se pone de manifiesto como puede diseñarse una superficie deslizante para sistemasde lenta dinámica, como el caso de los procesos químicos, teniendo además la capacidad decompensar las no linealidades y cambios de referencia en el sistema.

3.5. OMD para la columna de destilación

Se presenta a continuación un OMD para la estimación de los estados de la columnade destilación, se retoman aspectos de la Sección 2.6 referentes al modelo, recordando allector que los términos xi y yi se utilizan en la literatura de las columnas de destilación paradenotar las concentraciones líquidas y de vapor, respectivamente y no deben confundirsecon su uso en las representaciones comúnmente utilizadas en la teoría de control. Basándoseen el desarrollo de la Sección 3.4.2, se propone un observador a partir del modelo de lacolumna definido por el sistema en (2.36) donde las salidas del modelo son los valores de lasconcentraciones en el condensador x1 y el hervidor x12, por lo que los errores de estimacionesson x1 = x1 − x1 y x12 = x12 − x12, se propone un OMD de la forma:

59


M1˙x1 = VRo(y2 − x1) + k1v 1

Mi˙xi = VRo(yi+1 − yi) + LRo(xi−1 − xi) + kiv 1, i = 2, ..., f − 1

M7˙x7 = VSoy8 − VRoy7 + LRox6 − LSox7 + F (xF − x7) + k7v 12

Mi˙xi = VSo(yi+1 − yi) + LSo(xi−1 − xi) + kiv 12, i = f + 1, ..., N − 1

M12˙x12 = VSo(x11 − y12) + LSo(x11 − x12) + k12v 12

(3.44)

donde xi se refiere a los estados estimados, v es la función de conmutación y ki las gananciasdel observador, con i = 1, ..., N . Los flujos internos para la secciones de enriquecimiento yempobrecimiento para el observador están dadas por:

{

VRo = VSo + (1 + qFo)F

LRo = (1 − rv)VRo

{

VSo = Qb

λeohxN+λh2o(1−xN )

LSo = LRo + qFo F(3.45)

donde qFo es la calidad de alimentación condicionada del mismo modo que la ecuación (2.31),pero definido para la concentración estimada del plato de alimentación x7.

Diseño de la superficie deslizante

Para el observador (3.44) se proponen dos superficies de conmutación v i(t), i = 1, 12,las cuales son de la siguiente forma:

v i(t) =

{

−ρ exi

||exi||+δsi exi 6= 0, i = 1, 12

0 cualquier otro(3.46)

donde exise refiere al error de estimación a la salida del sistema. Debido a que la dinámica de

la columna es bastante compleja, con un fuerte acoplamiento entre sus variables, ver AnexoH para verificación, a lo largo del diseño se definirán una serie de consideraciones sobre lacolumna de destilación para reducir la dificultad en el diseño. La primer consideración es quedos dinámicas gobiernan al sistema: la del condensador y el hervidor las dinámicas restantesse definen como secundarias de mismo modo el cálculo de sus ganancias.

3.5.1. Cálculo de las ganancias

Como se presenta en (Gow-Bin, et. al. 1997) la condición de deslizamiento s(t) = −ηv (t)y para hacer converger el error hacia la superficie deslizante, se puede asignar el valor de lasganancias dominantes como:

ρi ≥ η + U, i = 1, 12 (3.47)

donde U es la función que mantiene acotada la incertidumbre, de la siguiente forma:||∆f1 + δf1|| ≤ U

donde ∆di es la relación que existe entre el modelo del sistema con el observador y δdi serefiere a los términos de incertidumbre.

En la columna de destilación existen dos términos considerados como perturbaciones: laalimentación F y la recirculación R. El comportamiento de la recirculación se define comouna variable binaria. La dinámica del flujo de alimentación, a diferencia de la que presenta elreflujo es más complicado, tal como se observa en la ecuación (2.29) y el cual puede alterarde manera notable el equilibrio interno en la columna debido a los siguientes factores:

La temperatura a la cual ingresa la mezcla que manipulada mediante un control

60


de temperatura, para adecuar la mezcla respecto a la temperatura interna. Dichotemperatura varia según la cantidad de flujo que se ingrese, ya que un mayor flujono permite que la mezcla se caliente lo suficiente y un flujo menor al necesario haceque la mezcla se caliente demasiado.La concentración de la mezcla en el tanque de alimentación xF , dicho valor no esconocido pero se presupone un valor aproximado a partir de la ecuación (2.32), este asu vez varia respecto a la calidad de la alimentación qF condicionada por la ecuación(2.31) que depende de la temperatura a la cual se calienta la mezcla.

Definiendo a la incertidumbre del sistema y acotándola mediante la función dealimentación F para el observador de la siguiente forma:

|∆f1 + δf1| ≤ U = Fv[ρeohweoh + ρh2o(1 − weoh)]( xf

MWeoh

+1 − xf

MWh2o

)

≤ 25[ρeohweoh + ρh2o(1 − weoh)]( xf

MWeoh

+1 − xf

MWh2o

)

donde 25 corresponde al valor máximo del flujo Fv en ml a considerar y la concentraciónmáxima en el tanque de alimentación esperada es de 0.96◦G-L. Se pueden determinar lasdos ganancias dominantes al proponer un valor η para la ecuación (3.47) que acote laincertidumbre mencionada. Ahora solo resta encontrar el valor de las ganancias de las demásetapas.

Para definir las matrices de orden reducido Ar y Cr de la ecuación (3.31) no existe unmétodo único para su elección, ya que se puede particionar al sistema en tantos subsistemascomo sea necesario (Edwards y Spurgeon 1998, Chen, W. 2003, Gow-Bin, et. al. 1997).Según las dos dinámicas dominantes y el trabajo de (Gow-Bin, et. al. 1997) se proponen lassiguientes matrices para el sistema de orden reducido:

Ar =

[

∂∂xa

rfa

r∂

∂xarf b

r∂

∂xbrfa

r∂

∂xbrf b

r

]

=

[

∂∂x1x1

∂∂x1x12

∂∂x12

x1∂

∂x12x12

]

Kr =

[

k1 0

0 k2

]

C =

[

1 0

0 1

]

(3.48)

La matriz Ar indica que se debe obtener la derivada parcial de la primera y últimaetapa del modelo de la columna. Una vez generado cada término se pueden evaluar losvalores propios del sistema de orden reducido mediante [sI − Ar], anulando los efectos delreflujo y la alimentación y con tres posibles casos:

Con una concentración mínima en el condensador (x1 = 0) y concentración máximaen el hervidor (x12 = 1), los valores propios son s1 = −1.4169 y s2 = −0.0839.Una concentración máxima en el condensador (x1 = 1) y mínima en el hervidor (x12 =

0), se tiene los valores propios s1 = −1.4932 ×−4 y s2 = −0.0093.Si en ambas etapas se propone una concentración del 50 % (x1 = x12 = 0.5), los valorespropios son s1 = −1.4534 ×−7 y s2 = −0.0088.

Como se puede apreciar, el sistema está en el límite de la inestabilidad, al encontrarsemuy próximo al cero, pero además, la dinámica de la etapa del condensador se mueverápidamente al origen. Considerando el primer caso, se propone que los valores propiossean diez veces mayores (respecto a su valor absoluto), por lo que al resolver (3.31) para losparámetros físicos de la columna se obtienen las ganancias ka,b

r siguientes:

k1 = kar =

34.56Qb

209x12 − 4065k2 = kb

r =2.08 × 102 ∗Qb

10.92x212 − 42.475x12 + 4.13 × 102

61


para el observador en (3.44), se propone que un modelo reducido far que corresponda a las

variables de estado restantes (etapas 2 a 11), por lo que las ganancias ki con i = 2, ..., N − 1

se proponen de la forma kar calculada con anterioridad.

3.6. Validación en línea del observador

Para verificar el funcionamiento del observador propuesto, el diseño fue cargado enuna aplicación similar a la presentada en (Rivas-Cruz 2006), pero modificada por (Téllez-Anguiano, et. al. 2010) para validar observadores de alta ganancia. Mediante una serie demodificaciones, es posible entonces realizar pruebas para la estimación de las concentracionesutilizando OMD.

Función para reconstruir las temperaturas

Para obtener el valor reconstruido de las temperaturas a partir de las concentracionesobservadas, se sigue un procedimiento diferente al mostrado en la sección 2.6. Aquí sedeterminan las temperaturas, partiendo únicamente del conocimiento de las concentracionesen el condensador y el hervidor, se emplea el VLE para la ciudad de Cuernavaca, mostradoen la figura 2.16(b), con las concentraciones líquidas del componente ligero, aproximandodicho comportamiento mediante un polinomio de la forma:

T = 870x6i − 2996x5

i + 4089.4x4i − 2810.9x3

i + 1026.8x2i − 199.1xi + 94 (3.49)

donde xi es la estimación de la concentración líquida en la i-ésima etapa de la columna. Lafigura 3.6 presenta la respuesta de la temperatura reconstruida por la función (3.49) y laobtenida por el VLE. Dicha función se encuentra cargada en el programa de Labview, por loque el observador solo requiere entregar la información de las concentraciones para generarlas temperaturas.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 170

75

80

85

90

95

100


Tem

pera

tura

s, °

C


Eq. Liq. Vap. Poli. 6° orden

Figura 3.6: Respuesta del polinomio (3.49) y el VLE.El programa presentado en (Téllez-Anguiano, et. al. 2010) el polinomio se inicializa con

las temperaturas de la columna en estado estable, alrededor de 80◦C para el hervidor y 75◦

para el condensador (ver sección 2.6). Esto se realiza, debido a que la mínima temperaturadel VLE es cercana a 75◦C y a temperatura ambiente, el observador presenta temperaturasalrededor de los valores propuestos como iniciales.

3.6.1. Operación en línea del observador

A continuación se presenta la operación del OMD en conjunto con la planta real desde queentra en operación hasta que llega al estado estable y para posteriormente hacer un cambio

62


de referencia utilizando la válvula de recirculación. La validación se presenta mediante unaserie de figuras sobre las temperaturas, concentraciones, errores de estimación a la salida yla dinámica de las superficies deslizantes.

Figura 3.7: Gráficas de las temperaturas reales y estimadas.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Con

dens

ador

Concentraciones de alcohol, °Gay−Lussac

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Pla

to 7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Her

vido

r

Tiempo, min

RealEst. c.i. 0.15Est. c.i. 0.3Est. c.i. 0.45Est. c.i. 0.6Est. c.i. 0.75Est. c.i. 0.9

Estimaciones similares debidoa las superficies

Figura 3.8: Respuesta de concentraciones fuera de línea con diferentes c.i.

63


La figura 3.7 presenta el comportamiento de las temperaturas del condensador (T1) y elhervidor (T12) durante el arranque indicando además el valor real de las ocho temperaturasy las doce reconstrucciones obtenidas a partir del VLE. Tanto en las líneas de graficación ylos valores presentados en la estimación existe una notable diferencia respecto a los valoresreales, dicha diferencia se debe a que se emplea solamente un polinomio en el programa de

Labview, por lo que las temperaturas estimadas no puede alcanzar las temperaturas realeshasta que se llegue al estado estable.

La figura 3.8 presenta la estimación de las concentraciones generadas fuera de líneacon los datos de la validación en curso ante diferentes condiciones iniciales (c.i.), esto conla finalidad de verificar la robustez del OMD y su capacidad de convergencia, las c.i. sedefinieron como: 0.15, 0.3, 0.45, 0.6, 0.75, 0.9 en los doce estados. La respuesta obtenida enla figura 3.8 en conjunto con las temperaturas indica que el observador es robusto ante dossituaciones: (1) desde que la columna entra en operación donde el OMD puede permanecerinmune ante las no linealidades de dicha operación y (2) puede converger hacia los estadossin tener un conocimiento previo de las concentraciones.

La figura 3.9 presenta el error de estimación en el condensador y la figura 3.10 muestra lasuperficies deslizantes, para dicho error (superficie 1) y la superficie del error de estimación ala salida del hervidor (superficie 2), con un valor para suavizar la función de δ = 1.75,donde se observa como actúa la superficie para compensar dichos errores.

Figura 3.9: Gráfica del error de estimación a la salida para el condensador.

Figura 3.10: Gráficas de las superficies del condensador y el hervidor.

64


Figura 3.11: Comportamiento de las temperaturas 1, 7 y 12.

Conforme pasa el tiempo, las diferentes temperaturas se van elevando a lo largo de lacolumna hasta llegar al estado estable, como se aprecia en las temperaturas de la figura 3.11el comportamiento de las temperaturas estimadas del condensador, el plato 7 y el hervidor,el OMD, alcanza los valores reales siendo el primero en entrar la estimación del hervidor.

Figura 3.12: Dinámica de las concentraciones en los platos 1 y 12.

De la respuesta de las concentraciones en la figura 3.12 se puede observar una serie deoscilaciones antes de llegar a un valor fijo, esto se debe al comportamiento de las superficiesdeslizantes de la figura 3.13, las cuales dependen del error de estimación a la salida, la gráficadel error se omite ya que presenta una dinámica similar que las superficies variando solo enamplitud. De las gráficas de las figuras 3.11 y 3.12 se puede corroborar como el sistema deestimación, tanto de temperaturas como de concentraciones, se vuelve eficiente, ya que lainformación proveniente del polinomio en (3.49) y la relación entregada por la interface seencuentran diseñadas alrededor de esta dinámica. En la figura 3.12 se puede apreciar comola concentración en el condensador cae desde el valor de 0.99 hasta un valor cercano a 0.24,debido a que una vez que la columna se estabiliza, las funciones diseñadas alrededor de lamisma comienzan a trabajar de forma correcta.

65


Figura 3.13: Gráficas de las superficies del condensador y el hervidor.

Examinando las gráficas de las superficies deslizantes, los valores que toman en cuantoa amplitud se refiere, dejan entrever que el observador no requiere grandes magnitudes paraforzar a que el error de estimación sea cero. Tal comportamiento de las superficies indica,que aún cuando se lleve a la dinámica de la planta desde un estado de reposo hasta su estadoestable, con las no linealidades que esto conlleva, puede ser compensado por el observadorasegurando la estabilidad y robustez del diseño.

Figura 3.14: Ventana para operación de la válvula de reflujo.

Para realizar un cambio en el punto de operación de la columna, se puede variar laposición de la válvula de reflujo, para lo cual se utilizó una ventana de comando, mostradaen la figura 3.14, definiendo un tiempo de operación de 10 minutos con 3 segundos de aperturay 6 segundos para el cierre de la válvula, con este cambio, el comportamiento se ve reflejadoen las concentraciones (figura 3.15) y las temperaturas (figura 3.16).

66


Figura 3.15: Cambio en las concentraciones por la recirculación.

Figura 3.16: Seguimiento de temperaturas para cambio en el punto de operación.

Figura 3.17: Comportamiento de las superficies ante un cambio de referencia.

67


Para que el OMD mantenga su integridad y pueda hacer un seguimiento durante elcambio de referencia debido a la recirculación, la superficie deslizante debe compensar todoslos efectos que pudieran inestabilizarlo, en la figura 3.17 se presenta cómo la superficie varíapara asegurar la estimación ante dicha variación.

Por lo tanto, el OMD puede mantener su estabilidad en los cambios de la planta alponerse en marcha y hasta que alcanza su estado estable, además de que puede compensarla dinámica resultante por un cambio en el punto de operación debido a los efectos de larecirculación, sin importar que solo un polinómio reconstruya las temperaturas.

3.6.2. Prueba en estado estable

Se propone una segunda prueba del OMD, iniciando al observador desde el estado establecon dos cambios de referencia mediante los efectos de la recirculación con dos formas deoperación de la válvula: (a) 15 minutos de operación y (b) 10 minutos de operación amboscon 3 segundos abierto y 3 segundos cerrado.

Figura 3.18: Temperaturas en la segunda prueba de validación.

En la figura 3.18 se presenta el comportamiento de las temperaturas obtenidas a lo largode esta prueba de validación. Para el caso de la reconstrucción de las temperaturas a partirdel polinomio, se muestra en la figura 3.20 un acercamiento a las temperaturas, donde seaprecia que para la temperatura en el hervidor ambas señales se encuentran sobrepuesta ypara el condensador se tiene una diferencia cercana a medio grado centigrado.

Lo que se observa en el caso de las temperaturas para cuando hay un cambio de referencia,es que las temperaturas tienden a aumentar, llevando así a una nueva dinámica a la columnade destilación por la pérdida de mezcla que se tiene, así como una vía de salida por la partesuperior de la presión y el calor presente en la columna.

68


Figura 3.19: Dinámica de las concentraciones para la segunda prueba.

Figura 3.20: Acercamiento a las temperaturas reales y estimadas.

Figura 3.21: Comportamiento del error en el condensador y el hervidor.

69


En la figura 3.21 se presenta el error de estimación de las concentraciones de salida, lagráfica superior muestra el comportamiento del condensador con un error máximo de 0.1 ymínimo de -.05◦G-L durante el cambio de referencia. El error en el hervidor presenta dossobretiros con un valor máximo de 0.03 y mínimo de -0.02◦G-L cuando el sistema realiza elcambio en el punto de operación.

Figura 3.22: Superficies deslizantes para la segunda prueba.

Del error en la figura 3.21 y la respuesta de las superficies deslizantes en la figura 3.22, sepuede observar cómo el observador busca compensar el error durante el cambio de referencia.En el condensador se presenta un comportamiento con media de 0.2 para obtener un errora la salida cercano a cero y luego de las oscilaciones a una media de a 0.4 para la superficiey un error de 0.075. Para el hervidor se presenta tanto un error y una superficie con mediacero, presentando un comportamiento más estable incluso en el cambio de referencia.

Se analizó cómo los OMD pueden aplicarse de forma sencilla en sistemas linealescompensando perturbaciones que pudiera tener el sistema, además analizar la teoría de losOMD a los sistemas no lineales que presentan multiples entradas y salidas con resultadossatisfactorios en cuanto a robustez. Para el caso de la columna, la metodología se vuelvecomplicada, debido a las consideraciones que se van haciendo para el sistema y así reducir ladificultad del método, debido al número de variables que intervienen en el modelo. Donde alfinal, se lograron obtener resultados satisfactorio que serán utilizados en lo posterior, paragenerar el sistema de detección y diagnóstico de fallas, asegurando la robustez del OMD paracuando se requiera reducir los efectos de falsas alarmas y no detección de las fallas.

3.6.3. Prueba de robustez variando la presión atmosférica

Para analizar la robustez del OMD propuesto para la columna, se propone variar lapresión atmosférica ρatm, la cual se encuentra directamente relacionada con el cálculo de laconcentración de vapor del etanol yi en la ecuación (2.37), es importante señalar que estevalor afecta enormemente al sistema, ya que la variable yi se encuentra en cada ecuación enel modelo de la columna (2.36) y por lo tanto es un término que incrementa la incertidumbredel modelo de simulación.

70


500 550 600 650 700 75065

70

75

80

85

90

95

100

X: 637.5Y: 95.16

Relación presión − temperatura para mezcla Etano−Agua

Tem

pera

tura

de

ebul

lició

n, °

C

Presión atmosférica, mmHg

X: 637.5Y: 73.92

0 20 40 60 80 100 120 140

630

640

650

X: 7.45Y: 646.9

Pre

sión

, mm

Hg

Tiempo, minX: 85.65Y: 627

EtanolAgua

Forma propuesta para variar la presión en el modelo de simulación

±10mmHg

Variaciónpropuesta

Figura 3.23: Variación del punto de ebullición debido a la presión.

La presión atmosférica a nivel del mar varía entre 712 a 787 mmHg (950 a 1,050milibares), siendo la presión media (normal) de 760 mmHg (1,012 mb), que varía a lo largodel día alrededor de 0.8mmHg (1 mb). En lo que respecta al proceso de destilación, la presiónafecta el punto de ebullición de la mezcla, que para el caso del Etanol-Agua esto se apreciamejor en la figura 3.23, la presión atmosférica se ve afectada directamente por la altura, peroen este trabajo no se abordará sobre este tema. En la figura 3.23 se observa una variaciónde ±10mmHg respecto a una media de 637mmHg, presión predominante en la ciudad deCuernavaca, donde se aprecia además los valores a los cuales ebullen tanto el agua como eletanol.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

1000


Pot

enci

a (w

atts

)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180−1

0


Flu

jo (

ml/m

in)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

0.5


Tiempo (min)

On−

Off

Figura 3.24: Entradas al modelo para la variación de la presión atmosférica.

La forma en cómo ingresará dicha variación al modelo de simulación se muestra en lasegunda gráfica de la figura 3.23, la cual es una señal sinusoidal con una amplitud de 20

71


mmHg y una media de 637mmHg, esto con la finalidad de aumentar las incertidumbres en elmodelo de simulación. La presión utilizada en el OMD es un valor constante de 637.5mmHg.En la figura 3.24 se muestran las entradas de potencia calefactora, flujo de alimentación yrecirculación empleadas en dicha prueba.

En la figura 3.25 se muestra la respuesta del observador en las etapas del hervidor, el platode alimentación y el hervidor, donde las mayores variaciones las presenta el condensador,esto debido a que tanto la capacidad de bullir y condensarse esta directamente relacionadocon la presión, por lo que dicha etapa refleja este efecto más que las etapas inferiores. Elhervidor presenta el menor error y la figura 3.26 permite analizar tal comportamiento.

50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

0.8

1

1.2

Con

dens

ador


40 60 80 100 120 1400.2

0.4

0.6

0.8

Pla

to 7

40 60 80 100 120 140

0.35

0.4

0.45

Her

vido

r

Tiempo, min

EstReal

Figura 3.25: Respuesta de las concentraciones cuando varía la presión.

0 50 100 150−0.05

0

0.05

X: 120Y: −0.04384

Err

or y

1−y e1

0 50 100 150−5

0

5x 10

−5

X: 118.2Y: 1.95e−005

Err

or y

2−y e2

0 50 100 150−5

0

5X: 120.6Y: 4.705

Sup

erfic

ie 1

Tiempo,min0 50 100 150

−5

0

5x 10

−3

X: 120.2Y: −0.00382

Sup

erfic

ie 2

Tiempo,min

Figura 3.26: Error de estimación y respuesta de la superficie deslizante.

72


Como se observa en la figura 3.26 el comportamiento del error es mayor en la salida quese refiere al condensador y bastante reducida (analizar valores) para el caso del hervidor, porende, la respuesta de la superficie 1 presenta valores más elevador, con el fin de compensar losefectos causados por los cambios de presión dentro de la columna, lo cual indica que el OMDhace un seguimiento bastante aproximado al valor de la concentración en el condensador.

50 100 15030

40

50

60

70

80

Reconstrucción de las temperatura

Con

dens

ador

, °C

0 50 100 150

30

40

50

60

70

Pla

to 4

, °C

0 50 100 150

30

40

50

60

70

Pla

to 7

, °C

Tiempo,min50 100 150

10

20

30

40

50

60

70

Her

vido

r, °

C

Tiempo,min

EstimadasReales

Figura 3.27: Temperaturas reconstruidas por el OMD.

50 100 150−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Errores en la reconstrucción de las temperaturas

Con

dens

ador

, °C

50 100 150

−0.2

−0.1

0

Pla

to 4

, °C

50 100 150

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Pla

to 7

, °C

Tiempo,min50 100 150

0

0.2

0.4

0.6

Her

vido

r, °

C

Tiempo,min

Figura 3.28: Errores de las temperaturas reconstruidas por el OMD.

Para finaliza esta prueba, se presenta en la figura 3.27 la reconstrucción de lastemperaturas a partir de las relaciones de equilibrio, en ésta figura se aprecia un buenseguimiento de las señales medidas y las generadas por el observador en dichas etapas, perolos diferentes errores mostrados en la figura 3.28 ofrecen una mejor perspectiva sobre las

73


diferencias generadas en la reconstrucción, donde las etapas del condensador y el hervidorpresentan la mayor diferencia al presentar una error de 0.6◦C, el cual es relativamentebajo y que se considera aceptable dadas las condiciones de incertidumbre generadas porlas variaciones de la presión atmosférica.

3.6.4. Estimación de concentraciones para mezcla etanol-metanol

Como un escenario adicional para exponer la capacidad del OMD de compensar lasincertidumbres paramétricas presentes en la columna de destilación, se propone un cambiode modelo de simulación para una mezcla etanol-metanol tomado del trabajo de (Valencia-Palomo 2006), dejando el diseño del OMD para la mezcla etanol-agua. Los parámetros delmetanol se definen en la Tabla 3.2 en la cual se omiten los valores referentes al agua ya que seencuentran definidos en la Tabla 2.2, salvo por las condiciones de alimentación y la carga enel hervidor. En el trabajo de (Valencia-Palomo 2006) se presentan dos controladores PI, loscuales controlan las concentraciones en el condensador y el hervidor, el primero mediante lamanipulación de la válvula de reflujo y el segundo con la potencia calefactora, la figura 3.29muestra dichas conexiones, así como el bloque dedicado a la estimación de las concentracionesresultantes.

Tabla 3.2: Parámetros para el metanol.

Parámetro Valor Unidades

Densidad, ρmeoh 0.792 g/cm3

Peso molecular, MWmeoh 32 g/mol

Entalpía de vaporización, λmeoh 38.56×103 J/mol

Calor específico, Cpeoh 112.4 J/mol ◦C

Temperatura de vaporización, Tbeoh 78.4 ◦C

Constantes de Antoine para EtOH (Válidas de 20 a 93◦C)

Ameoh 8.08097

Bmeoh 1582.271

Cmeoh 239.726

Constantes de Van Laar

A12 1.6798

A21 0.9227

Condiciones de la alimentación y el hervidor

Volumen alimentación, V fmeoh 2000 ml

Volumen alimentación, V fh2o 2000 ml

Volumen hervidor MeOH, V bmeoh 2000 ml

Volumen hervidor H2O, V bh2o 2000 ml

Temperatura de alimentación Tf 26 ◦C

El comportamiento de las entradas de la potencia calefactora y la válvula de reflujo

responden según las señales de referencia para las concentraciones en el hervidor y el condensador,

respectivamente. Las concentraciones deseadas se presentan en la figura 3.31, donde la alimentación

es independiente a estas y en la figura 3.30 se muestra la dinámica de las tres entradas utilizadas. Las

ganancias para el control del condensador son Kp1 = 200 y Ki1 = 1 y para el hervidor Kp2 = 20000

y Ki2 = 5000, se remite al lector a consultar el trabajo de (Valencia-Palomo 2006) debido a que la

presente investigación solo aborda la respuesta de las concentraciones y su estimación.

74


Figura 3.29: Modelo de simulación y control para la columna de destilación.

0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1

Válvula de recirculación

ON

−O

FF

0 50 100 150 200 250 3000

20

40

60Flujo de alimentación

Flu

jo, m

l

0 50 100 150 200 250 3000

1000

2000

Potencia Calefactora

Wat

ts

Tiempo,min

Figura 3.30: Entradas de pot. calefactora, f. de alimentación y reflujo.

Dado que el observador y el modelo reciben las mismas entradas, las concentraciones resultantes

se presentan en la figura 3.32, donde se recuerda que las salidas medidas y que llegan al OMD

son las del hervidor y el condensador, donde además los parámetros del metanol incrementan la

incertidumbre en el sistema, por eso la diferencia en la estimación de los platos intermedios.

Los errores de estimación a la salida y sus correspondientes superficies deslizantes, se muestran

en las gráficas de la figura 3.33, es importante notar cómo las superficies tienen una dinámica inversa

a la del error, teniendo además un valor absoluto mayor al del mismo error, debido a que el OMD

intenta forzar que la trayectoria del error converja hacia el origen, esta es la característica principal

75


de la superficie deslizante ya que no todos los parámetros en el modelo corresponden al observador

y estos son compensados por la función de conmutación propuesta.

0 50 100 150 200 250 3000.94

0.96

0.98

1Referencias para las concentraciones

Con

dens

ador

0 50 100 150 200 250 3000.35

0.4

0.45

0.5

Her

vido

r

Tiempo, min

Figura 3.31: Comportamiento deseado de las concentraciones.

0 5 10 15 20 25 300.8

1

1.2Concentraciones, °G−L

Con

dens

ador

0 50 100 150 200 250 3000.5

1

1.5

Pla

to 7

0 5 10 15 20 25 300.4

0.5

0.6

Tiempo, min

Her

vido

r

RealEst.

Figura 3.32: Concentraciones mezcla EtOH-MeOH y OMD con mezcla H2O-EtOH.

Finalmente, en la figura 3.34 se pueden observar las temperaturas del condensador, el plato

de alimentación y el hervidor. Para el primer y tercer caso se puede inferir que la reconstrucción

del observador es fiel a las temperaturas del modelo de simulación, lo cual se corrobora con las

magnitudes de los errores a la derecha de estas dos temperaturas. En el condensador se puede ver

un error menor a 0.01 ◦C y para el hervidor un error de 0.02. Como resultado de la incertidumbre

en los parámetros, las estimaciones de las concentraciones en los platos intermedios se ve altamente

afectada, esto se puede ver de mejor manera en el plato de alimentación , donde se tiene un buen

seguimiento pero con errores de hasta ±2◦C del valor original del modelo.

76


0 100 200 300−1

0

1

2

3x 10

−3 Errores de estimación

Con

dens

ador

0 100 200 300

−2

0

2

x 10−3

Her

vido

r

Tiempo, min

0 100 200 300−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

Superficies

0 100 200 300−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Tiempo, min

Figura 3.33: Errores de estimación y respuesta de las superficies.

0 10 20 30 40 5064

65

66

67Temperaturas

Con

dens

ador

0 100 200 300−0.01

0

0.01Errores

0 100 200 30064

66

68

70

Pla

to 7

0 100 200 300−2

−1

0

1

2

0 10 20 30 40 5069

70

71

72

Tiempo, min

Her

vido

r

0 100 200 300

−0.02

0

0.02

Tiempo, min

RealEst.

Figura 3.34: Temperaturas reconstruidas por el OMD y sus errores.

Las pruebas realizadas al observador diseñado para la columna ante los diferentes escenarios de

operación permiten llegar a una importante conclusión: que los OMD son robustos al mantener la

estabilidad del observador durante el periodo de arranque compensando las no linealidades durante

este periodo, el observador además tiene la capacidad de seguir estimando durante el cambio de

referencia debido a la válvula de recirculación, donde cabe remarcar que sin importar las condiciones

iniciales el OMD puede llegar a la estimación de las concentraciones, de este mismo modo las

variaciones paramétricas como pueden ser compensadas por la función de conmutación .

77


.

78

Capítulo 4

Diagnóstico de fallas en la columna dedestilación

Alo largo de éste capítulo se presenta la aplicación del OMD para resolver el problema de la

detección y el diagnóstico de fallas en la columna de destilación binaria del CENIDET, dicho

enfoque es una alternativa de solución diferente al que se realizó en un trabajo previo, el cual utiliza

Observadores de Alta Ganancia para detectar y localizar fallas en sensores, pero que no considera

el diagnóstico de fallas en actuadores, tema que sí es abordado en este trabajo de investigación.

El desarrollo de la unidad de diagnóstico para estimar fallas en el actuador (potencia calefactora)

solo se realiza a nivel simulación, debido a que no se tiene caracterizado dicho elemento, además

de que al ser alterado puede suponer un riesgo para la planta, ya que aunque se puede llevar a una

potencia máxima de 2500 Watts, las presiones internas pueden dañar los platos. Por otro lado, no se

tiene una forma de alterar de forma directa el comportamiento de la termoresistencia, a diferencia de

lo que se hace con los sensores, donde se añade un valor a la señal proveniente del sensor, emulando

un comportamiento no deseado, todo esto se expondrá a lo largo del presenta capítulo.

Se remite al lector a consultar literatura especializada sobre la teoría de Detección y Diagnóstico

de Fallas (FDD) y Detección y Localización de Fallas (FDI), así como de los diferentes métodos

que existen sobre Control Tolerante a Fallas (FTC); de manera inicial se sugieren los trabajos de

(Isermann, R. 2005), (Patton, et. al. 1989) y (Patton, et. al. 1999) donde se pueden encontrar los

bases sobre FDI-FDD, así como una variedad de ejemplos de aplicación. En el área de FTC se tiene

el trabajo de (Blanke, et. al. 2003), para generar sistemas más robustos ante los efectos de las fallas.

En (Zhang y Jiang 2008) se presenta una síntesis los temas previos y el tipo de sistemas que pueden

aplicarse.

4.1. Diagnóstico de fallas basado en el modelo

En contraste con la redundancia física, donde las mediciones de sensores en paralelo se comparan

entre si, las mediciones de los sensores en el diagnóstico de fallas basado en el modelo se comparan con

valores calculados analíticamente. Las diferencias resultantes de estas comparaciones se denominan

residuos los cuales indican la presencia de una falla en el sistema, a continuación se presentan

algunos enfoques utilizados para la generación de residuos basados en el modelo:

Enfoque basado en observadores. Uso de observadores o filtros en para estimar las salidas

medidas del sistema, donde los errores de estimación se usan como residuos.

Enfoque del espacio de paridad. Se utiliza para verificar la paridad (consistencia) de ecuaciones

de paridad, que son ecuaciones propias del sistema con modificaciones para realizar mediciones

en el sistema, desacoplando los residuos de los estados del sistema, donde una inconsistencia

79

CAPÍTULO 4. DIAGNÓSTICO DE FALLAS EN LA COLUMNA DE DESTILACIÓN

demuestra la presencia de fallas.

Enfoque de estimación de parámetros. Puede ser llevado a cabo utilizando técnicas de

identificación de sistemas en un modelo de entrada-salida, usualmente las fallas se reflejan en

los parámetros del sistema, tales como fricción, masa, viscosidad, resistencia, inductancia, etc.

Los parámetros pueden ser estimados de forma repetitiva utilizando métodos de estimación

de parámetros en línea (Chen y Patton 1999, Isermann, R. 2005), los cuales se comparan con

los que presenta el modelo de referencia y cualquier discrepancia indica la presencia de una

falla.

Es bien sabido que un modelo matemático perfecto de un sistema físico no existe, debido

a que algunos parámetros del sistema pueden variar de manera desconocida, además de que las

perturbaciones se desconocen y no pueden ser modeladas de forma precisa. En el proceso de diseñar

sistemas de diagnóstico de fallas, las incertidumbres en el modelado y las perturbaciones deben

ser tomadas en cuenta, ya que estas constituyen una fuente de falsas alarmas y problemas de no

detección de fallas, corrompiendo el desempeño de la unidad FDI hasta volverse ineficiente en

su totalidad (Chen y Patton 1999). Entonces, cuando se consideran dichos efectos en el diseño

de un FDI, este puede volverse insensible o invariante a dichos efectos, pero sensible a las fallas

del sistema. Un esquema FDD diseñado para tener una sensibilidad a las fallas y que presente la

robustez necesaria respecto a las incertidumbres y perturbaciones se le denomina esquema FDD

robusto (Chen y Patton 1999).

4.2. Diagnóstico de fallas en actuadores

La metodología siguiente, permite estimar el valor del actuador como un estado más de la

columna, donde además es necesario desacoplar ciertas dinámicas a través de unas ganancias

independientes a la utilizadas para obtener el deslizamiento. Las dinámicas no deseadas son la

recirculación y el flujo de alimentación. Es importante recordar, que la columna de destilación del

CENIDET tiene tres entradas manipuladas:

a La potencia calefactora que emplea una termoresistencia para calentar la mezcla y hacer el

proceso de la destilación.

b La válvula de reflujo o recirculación, la cual es una electroválvula de tres posiciones, que

cuando se encuentra cerrada toda la mezcla permanece dentro de la columna y cuando se

enciende, mezcla condensada se desvía hacia el tanque del destilado.

c El flujo de alimentación, que cuando se activa permite ingresar más mezcla para ser destilada,

esta entrada afecta la dinámica de la columna debido a la temperatura a la cual ingresa la

mezcla, además de la concentración a la cual se encuentra dicha mezcla y la forma en como

entra, si es vapor o líquido.

Cuando la columna se opera en forma continua, el observador debe compensar la incertidumbre

de la alimentación que afecta la estimación del actuador de interés, por lo que es necesario desacoplar

tal dinámica para solamente estimar la entrada proveniente del calentador. Los efectos de la

alimentación pueden analizarse de mejor forma en el Anexo H. El observador en modos deslizantes

tiene la capacidad de compensar la dinámica de la recirculación, ya que esta se comporta como una

variable binaria, siendo esta la forma natural de operar de la superficie deslizante y es necesario

compensar dicha dinámica.

80


4.2.1. Superficie deslizante

El diseño de la superficie deslizante, su función de conmutación y las ganancias de operación

corresponden al presentado en la sección 3.5 y validado para la columna de destilación en la sección

3.6, por lo que se omite en el desarrollo de este capítulo.

4.2.2. Cálculo de las ganancias de desacoplamiento

Una vez generado el OMD no lineal es necesario añadirle la capacidad de estimar el

comportamiento de un actuador, deebido a la complejidad del sistema y la relación de sus entradas,

es necesario reducir algunas dinámicas para obtener la estimación adecuada del actuador deseado.

Considere un sistema no lineal de la siguiente forma:

x(t) = f(x, (θ + fθ)u, t) + Eδ(x, u, t)

y(t) = Cx(4.1)

donde x ∈ Rn es el vector de variables de estado, u ∈ R

m el de entradas y y ∈ Rp el vector de salidas,

C ∈ Rm×n la matriz de salida y E ∈ R

n×m el vector de entrada de perturbaciones. El término θ es

una matriz m × m variante en el tiempo, la cual representa la ganancia característica del actuador

conectado a la entrada u(t). f(x) : Rn → Rn es una función no lineal y δf(·) : Rn×R

m×R+ → Rm

es la función de la incertidumbre.

El término fθ indica una de falla en el actuador, en condiciones normales θ(t)+ fθ = θH es una

matriz conocida, ya que θH es el valor nominal del actuador sin fallas: si θ(t)fθ 6= θH existe una

falla de actuador. El propósito del esquema FDD en actuadores, es generar una señal de alarma

ante la ocurrencia de fallas y producir una estimación acertada de la matriz θ(t), que define el

comportamiento del actuador.

Por conveniencia para el diseño de las ganancias se define lo siguiente:

A(t) =∂f

∂x(x), (4.2)

la expansión de f(x) en series de potencia es:

f(x) − f(x) = A(t)(x − x) + φ(x − x),

donde φ, ϕ son los términos de segundo y mayor orden en x = x−x. A(t), Bi(t) son matricesde n × n con i = 1, ...,m. Se hacen las siguientes suposiciones para el sistema y diseño delobservador:

C1 El sistema debe ser observable.

C2 La ganancia del actuador θ(t) ∈ C1 y ||θ(t)|| ≤ γθ, donde || · || es la norma Euclidiana.

C3 El término de incertidumbre δ(·) es desconocido pero se encuentra acotado, tal que:||δ(x, u, t)|| ≤ ρ∆f < +∞,∀x ∈ R

n, u(t) ∈ Rm, t ≥ 0 (4.3)

C4 La entrada del sistema es acotada por ||u|| ≤ γu.

En algunos casos, los observadores se construyen empleando sistemas linealizados,haciendo uso de transformaciones en el modelo del sistema no lineal, pero hallar undifeomorfismo que convierta un SNL en uno lineal, debe cumplir ciertas condiciones (Marinoy Tomei 1995) las cuales dificultan la transformación, restringen los tipos de fallas permitidos

81


y su aplicación en el sistema linealizado. De especial interés resulta el estudio de los procesosquímicos y el tipo de diagnóstico que utilizan, pero de igual forma, generalmente se utilizansistemas linealizados alrededor de puntos de operación como en (Orani, et. al. 2010, Rolink,et. al. 2006, Tan y Edwards 2003) y aún cuando ciertas no linealidades son compensadas, secorre el riesgo de que el diagnóstico resulte ineficiente.

En este trabajo, el sistema de diagnóstico se construye directamente sobre el sistemano lineal, sin realizar alguna transformación de coordenadas, como propone (Gow-Bin, et.al. 1997), notar que los términos x y y vuelven a su denominación utilizada en la teoría decontrol, el observador es:

˙x = f(x, θu) + L(t)ey +Kv

y = Cx(t)

˙θ = −Geyu(t)

(4.4)

donde la función de conmutación v es de la forma:

v (t) =

{

− ey(t)

||ey(t)||+δsi ey(t) 6= 0,

0 si ey(t) = 0(4.5)

x(t) ∈ Rn es el vector de estados observados, θ(t) la estimación de θ y L(t) es la matriz de

ganancias del observador a ser determinada. La matriz G ∈ Rm×m es no singular y regula la

estimación del valor del actuador, el error de estimación se define como ey = C(x− x).

El término v garantiza la robustez de los residuos al compensar las perturbaciones,dando la capacidad de detectar fallas de manera robusta. Definiendo el error de estimacióncomo x = x− x y el de salida ey = y − y, la dinámica del error es entonces:

˙x =f(x) − f(x) + [θ(t)u(t) − θ(t)u(t)]

+ L(t)ey(t) − F∆f(x, u, t) + P−1CTv (t)(4.6)

donde se ajusta el término θ al valor de θH , de manera que ante una los efectos de una fallaθ(t) = θ = constante 6= θH . El deslizamiento generado por el error de salida ey se seleccionacomo el vector de residuos el cual permite detectar fallas en el actuador como sigue:

||v ey(T )||λ ≤ ||C||ǫ: sin falla

||v ey(T )||λ > ||C||ǫ: con falla(4.7)

con ||v ey(T )||λ la norma λ definida por ||ey(t)||λ = supt∈[0,t′]e−λt||ey||, λ > 0. ||C||ǫ es un

umbral definido, C la matriz de salida y T el instante cuando ocurre la falla. Entonces, pararealizar la detección de una falla en el actuador, se observa el comportamiento del error desalida, que a su vez se encuentra ligado con la superficie deslizante, si algo sucede con elerror, este se verá reflejado en la superficie y del mismo modo puede utilizarse como señalpara detectar fallas como se propone en (Edwards y Spurgeon 1998).

Las ganancias L(t) para la estimación del actuador y atenuación de los efectos deincertidumbre, se obtienen del siguiente teorema de estabilidad:

Teorema 4 (Estabilidad) Considere un sistema no lineal con incertidumbre dado por la

ecuación (4.1), si existe una matriz simétrica definida postiva P (t) y una matriz de ganancias

L(t) tal que:

(A(t) + L(t))TP (t) + P (t)(A(t) + L(t)) + P (t) = −Q(t) (4.8)

82


donde Q(t) es una matriz simétrica definida positiva, entonces la dinámica del error de

estimación (4.6) es estable.

La matriz G que regula el valor del actuador en el observador, se propone de maneratal que se obtenga un valor aproximado al valor real del actuador. De modo que cuando sepresente una desviación, ésta sea reconstruida por el valor de θ, definiendo de la siguientemanera la sensibilidad del observador para determinar una falla en el actuador.

Teorema 5 (Sensibilidad) Si la matriz fallada de θ es tal que∥

∥

∥

∫ T+tdT

Ce(A+LC)(T+td−τ)[G(x)θu(t)−G(x)θu(t)]

∥

∥

∥

λ> ||C||(1 + µ)ǫ+ b2

para algún td > 0 donde td es el tiempo que le lleva al observador estimar la falla, entonces

||v ey(T+td)||λ > ||C||ǫ

Por lo tanto, una vez que se presenta una falla en el actuador, el observador no deberá decompensar dicho cambio, debido a que fue provocado por una desviación del valor nominaldel actuador y no por un cambio de referencia, entonces se obtiene una unidad de diagnósticode fallas robusta a no linealidades e incertidumbres provocadas por las demás entradas como:

Teorema 6 (Robustez) Sea un sistema definido por las ecuaciones (4.4) y (4.5), para el

cual se garantiza el diagnóstico de fallas mediante un observador en modos deslizantes si

||ey||λ ≤ ||C||ǫ

para un tiempo t < T previo a que ocurra una falla.

La robustez en el diagnóstico de fallas en actuadores que aquí se desarrolla, señala que elsistema permanecerá insensible a las fallas de otros elementos actuadores, teniendo ademásla capacidad de permanecer inmune a los cambios de referencia del actuador que se encuentradiagnosticando. Se sugiere al lector analizar el trabajo de (Chen, W. 2003) donde se presentael análisis y la comprobación de los teoremas anteriores.

4.3. Unidad de diagnóstico para la potencia calefactora

Debido a que el siguiente observador corresponde al modelo de la columna de destilación,los términos xi y yi vuelven a definirse según su uso en la literatura de columnas dedestilación, tal observador es de la forma siguiente:

M1˙x1 = VRo(y2 − x1) + L1ey1 + k1v 1

Mi˙xi = VRo(yi+1 − yi) + LRo(xi−1 − xi) + Liey1 + kiv 1, i = 2, ..., f − 1

M7˙x7 = VSoy8 − VRoy7 + LRox6 − LSox7 + F (xF − x7) + L7ey2 + k7v 2

Mi˙xi = VSo(yi+1 − yi) + LSo(xi−1 − xi) + Liey2 + kiv 2, i = f + 1, ..., N − 1

M12˙x12 = VSo(x11 − y12) + LSo(x11 − x12) + L12ey2 + k12v

θ = GeyQb

(4.9)

donde xi son la estimación de las concentraciones líquidas, v la función de conmutación yki las ganancias del observador, con i = 1, ..., N . Los flujos internos para la secciones deenriquecimiento y empobrecimiento están dadas por:

{

VRo = VSo + (1 + qFo)F

LRo = (1 − rv)VRo

{

VSo = θQb

λeohxN+λh2o(1−xN )

LSo = LRo + qFo F(4.10)

83


donde qFo es la calidad de alimentación condicionada del mismo modo que la ecuación (2.31),pero respecto a la estimación de x7. En la ecuación de VSo se encuentra el término θu el cualcorresponde a la entrada de la potencia calefactora u y el actuador θ definido en la sección2.7 y que es estimado como una variable más del observador en (4.9), reconstruyendo lasdesviaciones provocadas por fallas.

La ecuación (4.8) del teorema de estabilidad, permite el cálculo de las ganancias Li,donde los errores de salida exi

con i = 1, 12 siguen siendo del condensador y el hervidor,respectivamente. La matriz A se propone de la misma forma que la matriz Ar de la ecuación(3.48) considerando la dinámica dominante del condensador y hervidor. Las matrices P y Qson matrices identidad del mismo orden que la de orden reducido.

Efectos de la alimentación en el cálculo de las ganancias

Para compensar la dinámica del flujo de alimentación, el cálculo de la matriz A varíaserá respecto a las dinámicas dominantes, se propone un flujo de 25 ml/seg para realizar loscálculos, ya que éste es el valor adecuado en la columna de destilación del CENIDET, comose observa en el Anexo H cuando un flujo de alimentación ingresa, se complica el modelo ypor ende los cálculos.

Para solucionar el problema anterior, se puede hacer ciertas consideraciones, una de lascuales se utiliza en el diseño de controladores no lineales para columnas de destilación ypresentada en (Lévine y Rouchon 1991), esta suposición señala que el valor de la calidadde alimentación sea igual a 1 en lugar de utilizar la función (2.31) por lo que la mezcla seconsidera que ingresa como vapor, por lo que las matrices A y Li son:

A =

[

∂∂x1x1

∂∂x1x12

∂∂x12

x1∂

∂x12x12

]

Li =

[

La 0

0 Lb

]

C =

[

1 0

0 1

]

(4.11)

El hecho de proponer solamente dos ganancias para Li se debe a que solo corrigen losefectos de la alimentación presente en las salidas. Luego entonces de realizar las debidassustituciones y manipulaciones algebraicas, las ganancias son finalmente:

La =1

3

6.912Qb

−20.90x12 + 406.50

Lb =1

3

(

Qb

40650 − 2090x12

(

1132(x11 − x12) − 8.552 × 107x12

40650 − 2090x12

− 40920

)

− 0.1806

(

1 −9.72x7

28.05x7 + 28.0153

)

(0.0555 − 0.0338x7)

)

Como las ganancias se diseñaron según las salidas, se propone entonces que La = L1 =

L2... = L6 y Lb = L7 = L8... = L12, y con lo cual se tiene en Lb la dinámica del plato dealimentación que afecta del mismo modo a toda la sección de empobrecimiento y es dondeademás se ubica la entrada de la potencia calefactora.

4.3.1. Operación por lotes

Los experimentos presentados a continuación no consideran alimentación, es por eso quese denomina operación por lotes o batch. En la figura 4.1 se presentan las señales de lasentradas para el modelo matemático, las cuales provienen de un archivo que contiene la

84


información tomada directamente de la columna, se presentan tres cambios en los puntos deoperación de la columna, generados por la operación de la válvula de recirculación.

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

1000

2000Potencia calorífica

Pot

enci

a (w

atts

)

0 20 40 60 80 100 120 140 160−1

0


Flu

jo (

ml/m

in)

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

0.5

1Reflujo

Tiempo (min)

ON

−O

FF

Figura 4.1: Entradas para el modelo de la columna experimento 1.

Considerando la operación desde el arranque de la columna de destilación y que losplatos no presentan concentración alguna salvo la mezcla que se encuentra en el hervidor, seproponen las siguientes condiciones iniciales para el modelo de la columna:

x0 = [0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0]T

Debido a que por lo general no se conoce el valor de los estados cuando entra en operaciónel observador, se proponen las siguientes condiciones iniciales para el observador:

x0 = [0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5]T

Las concentraciones de la columna y las estimaciones del observador se presentan en lafigura 4.2 para 4 de las etapas del sistema. El tiempo que les toma a las estimaciones convergervaría para los estados que se encuentran alejados de las salidas, esto se puede observar en lafigura 4.2, donde la estimación de la concentración del hervidor y el condensador es rápida,respecto al tiempo que le toma estimar la concentración de platos intermedios.

Se propone para el desarrollo de esta investigación y la realización de las pruebas, unvalor nominal del actuador de: θ = 1, que dependiendo su variación indicará las fallas quese presentan en la potencia calefactora.

85


2 4 6 8 10 12 140

0.1

0.2

0.3

Con

dens

ador

Concentration %

0 5 10 15 200

0.5

1

Pla

to 3

Concentration %

0 50 100 1500

0.5

1

1.5P

lato

6

20 40 60 80 1000

0.20.40.60.8

P. a

limen

taci

ón0 50 100 150

0

0.5

1

Pla

to 1

0

Tiempo,min0 2 4

0.42

0.44

0.46

0.48

Her

vido

rTiempo,min

EstReal

Instante deconvergencia

Figura 4.2: Concentraciones del modelo y el obervador.

La respuesta de la unidad FDD para el sistema libre de fallas, se muestra en la figura4.3 donde se observan los errores de estimación a la salida, las superficies y el valor θ delactuador, cuyo valor es estimado de forma precisa a lo largo de la simulación.

0 50 100 150−0.2

0

0.2

Err

or y

1

0 50 100 150−0.2

0

0.2

Err

or y

2

0 50 100 150−0.2

0

0.2

Sup

erfic

ie 1

Time,min0 50 100 150

−0.2

0

0.2

Sup

erfic

ie 2

Time,min

0 20 40 60 80 100 120 140 1600.8

1

1.2

Est

imac

ión

θ

Tiempo,min

Figura 4.3: Respuesta del sistema FDD para el actuador sin fallas.

Una vez definida la operación nominal del sistema y que la estimación del actuadores adecuada, se presentan a continuación una serie de variaciones al valor θ, generando asídiferentes escenarios de falla.

86


0 20 40 60 80 100 120 140 1600

1000

2000

Potencia calorífica

Pot

enci

a (w

atts

)

0 20 40 60 80 100 120 140 160−1

0


Flu

jo (

ml/m

in)

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

0.5

1Reflujo

Tiempo (min)

ON

−O

FF

Falla del 10%

Figura 4.4: Entradas con falla de 10 % en T=80 min en la potencia calefactora.

Se propone una falla de +10 % en la operación nominal del actuador que ocurre en elminuto 80, dicho cambio implica un aumento en la potencia de aproximadamente 250 Watts,tal como se presenta en la figura 4.4, donde la gráfica de la potencia calefactora muestra ladinámica nominal y la afectada por la falla.

0 50 100 150−0.02

0

0.02

Err

or y

1

50 100 150

−1

0

1

x 10−4

Err

or y

2

50 100 150

−0.02

0

0.02

Sup

erfic

ie 2

Tiempo,min

0 20 40 60 80 100 120 140 1600.8

1

1.2

X: 90Y: 1.105

Est

imac

ión

θ

Tiempo,min

0 50 100 150

−2

0

2

Sup

erfic

ie 1

Tiempo,min

Detección falla Detección falla

Figura 4.5: Falla de 10 % en T=80 min en la potencia calefactora.

La respuesta de la unidad FDD se presenta en la figura 4.5, observándose el rompimientode la superficie deslizante cuando ocurre la falla (Edwards y Spurgeon 1998), debido a losefectos que repercuten en el error de salida. Se observa en la gráfica de la estimación delactuador, cómo el valor propuesto para la desviación es estimado, llevándole al observadorun tiempo de 10 minutos luego de la ocurrencia de la falla.

87


0 20 40 60 80 100 120 140 1600

1000

2000


Pot

enci

a (w

atts

)

0 20 40 60 80 100 120 140 160−1

0


Flu

jo (

ml/m

in)

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

0.5

1Reflujo

Tiempo (min)

ON

−O

FF

Desaparición de la fallaFalla del 13%

Figura 4.6: Entradas para una falla intermitente.

Se examina a continuación la respuesta del sistema ante una falla intermitente, la cualse define como una falla que ocurre en algún instante, pero pasado un cierto tiempo estafalla desaparece. Para los cual se supone una desviación de +13 % que ocurre en el minuto80 y que desaparece en el minuto 140, la figura 4.6 presenta de forma gráfica lo anterior.

0 50 100 150−0.02

0

0.02

Err

or y

1

0 50 100 150−0.02

0

0.02

Err

or y

2

0 50 100 150

−2

0

2

Sup

erfic

ie 2

Tiempo,min

0 20 40 60 80 100 120 140 1600.8

1

1.2

X: 165.7Y: 1E

stim

ació

n θ

Tiempo,min

X: 113.1Y: 1.13

X: 39.8Y: 1

0 50 100 150

−2

0

2

Sup

erfic

ie 1

Tiempo,min

Figura 4.7: Detección de falla intermitente de 13 % del minuto 80 al 140.

La respuesta de la unidad FDD se presenta en la figura 4.7 donde la superficie hace ladetección de la falla y la función de estimación del actuador reconstruye el valor del actuadorde forma correcta, siguiendo el valor de la falla y posteriormente regresando al valor nominalluego de la falla.

88


Como se observa en las figuras 4.5 y 4.7 la estimación del actuador tarda alrededor de 10minutos, que al considerar la lenta dinámica de la columna en cuanto al tiempo que le llevaestabilizarse este retraso resulta aceptable. Cabe señalar que la estimación y las superficiespermanecen inmunes a los efectos de la recirculación.

0 50 100 150 200 250 3000

1000

2000


Pot

enci

a (w

atts

)

0 50 100 150 200 250 300−1

0


Flu

jo (

ml/m

in)

0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1Reflujo

Tiempo (min)

ON

−O

FF

Potencianominal

Potenciacon falla

Figura 4.8: Entrada con cambio de potencia y falla del 15 % en el actuador.

Una característica de los esquemas FDD robustos es que siguen el comportamiento delactuador incluso con cambios de referencia, la figura 4.8 presenta un cambio en la potenciacalefactora con una falla de +15 % en el minuto 80. Las señales del diagnóstico se muestranen la figura 4.9, donde el OMD sigue realizando la estimación de θ acertadamente.

0 100 200 300−0.02

0

0.02

Err

or y

1

0 100 200 300−0.02

0

0.02

Err

or y

2

0 100 200 300

−2

0

2

Sup

erfic

ie 2

Tiempo,min

0 50 100 150 200 250 3000.8

1

1.2

X: 262.3Y: 1.152

Est

imac

ión

θ

Tiempo,min

0 100 200 300

−2

0

2

Sup

erfic

ie 1

Tiempo,min

Figura 4.9: Falla del 15 % con cambio en la referencia de la potencia calefactora.

Analizada la capacidad del OMD para estimar de forma robusta fallas ante cambios dereferencia en la potencia calefactora, se propone una falla intermitente de 10 % en el actuadorcomo se ve en las entradas de la figura 4.10.

89


0 50 100 150 200 250 3000

1000

2000


Pot

enci

a (w

atts

)

0 50 100 150 200 250 300−1

0


Flu

jo (

ml/m

in)

0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1Reflujo

Tiempo (min)

ON

−O

FF

Figura 4.10: Entradas con falla intermitente y cambio en la potencia calefactora.

0 100 200 300−0.02

0

0.02

Err

or y

1

0 100 200 300−0.02

0

0.02

Err

or y

2

0 100 200 300

−2

0

2

Sup

erfic

ie 2

Tiempo,min

0 50 100 150 200 250 3000.8

1

1.2 X: 321.9Y: 1

Est

imac

ión

θ

Tiempo,min

X: 260.7Y: 1.1

X: 149.3Y: 1.108

0 100 200 300

−2

0

2

Sup

erfic

ie 1

Tiempo,min

Figura 4.11: Entradas con falla intermitente y cambio en la potencia calefactora.

La respuesta del OMD ante dichos cambios se presenta en la figura 4.11 donde la duraciónde la falla es de los minutos 85 al 290, el rompimiento de la superficie en esos instantes indicala anomalía y su estimación mediante el valor de θ.

Una falla donde donde el actuador provoca una pérdida en la capacidad de entregar lapotencia se muestra en la figura 4.12 donde se observa el comportamiento de la potenciacon dos fallas una de +15 % en el minuto 85, para una posterior degradación de -15 % en elminuto 240.

90


0 50 100 150 200 250 3000

1000

2000


Pot

enci

a (w

atts

)

0 50 100 150 200 250 300−1

0


Flu

jo (

ml/m

in)

0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1Reflujo

Tiempo (min)

ON

−O

FF

Figura 4.12: Entradas con cambio en la potencia calefactora y dos fallas.

0 100 200 300−0.02

0

0.02

Err

or y

1

0 100 200 300−0.02

0

0.02

Err

or y

2

0 100 200 300

−2

0

2

Sup

erfic

ie 2

Tiempo,min

0 50 100 150 200 250 3000.8

1

1.2

X: 163.5Y: 1.156

Est

imac

ión

θ

Tiempo,min

X: 297Y: 0.851

0 100 200 300

−2

0

2

Sup

erfic

ie 1

Tiempo,min

Figura 4.13: Respuesta de la unidad FDD para el actuador con dos fallas.

La respuesta de las gráficas en la figura 4.13 entregan valiosa información sobre la falla.Primeramente, al analizar la superficie deslizante 1, se puede observar como en diferentesinstantes ésta se “rompe”, primero cuando ocurre la falla en T=85, la siguiente ruptura sucedecuando alcanza el valor de la falla, para posteriormente sufrir un abrupto cambio cuandoocurre el cambio de la falla y última ruptura se presenta cuando se ha alcanzado el valor dela segunda falla. La función de estimación entrega información similar, pero sin perder enningún momento el valor de la estimación del actuador.

91


4.3.2. Operación continua de la columna de destilación

Como se mencionó anteriormente, la alimentación agrega incertidumbres al sistema(concentración de la mezcla y temperatura a la que ingresa) que deben atenuarse para seguirestimando la potencia calefactora de manera adecuada, por esta razón, en lo siguiente sesimularán fallas a partir de las entradas mostradas en la figura 4.14 donde la información fuetomada directamente de la columna de destilación con operación en continuo, se presentaen esta figura la gráfica de la respuesta del calentador y una falla en el actuador de -10 % apartir del minuto 70.

0 20 40 60 80 100 120 1400

1000

2000


Pot

enci

a (w

atts

)

0 20 40 60 80 100 120 1400

10

20

Flujo de Alimentación

Flu

jo (

ml/m

in)

0 20 40 60 80 100 120 1400

0.5

1Reflujo

Tiempo (min)

ON

−O

FF

Falla de −10%

Figura 4.14: Entradas al modelo en operación continua y falla en la potencia calefactora.

0 50 100−0.05

0

0.05

Err

or y

1

0 50 100−0.05

0

0.05

Err

or y

2

0 50 100−10

0

10

Sup

erfic

ie 2

Tiempo,min

0 20 40 60 80 100 120 1400.8

1

1.2

X: 107Y: 0.905

Act

. gai

n,θ e

Tiempo,min

0 50 100−10

0

10

Sup

erfic

ie 1

Tiempo,min

Figura 4.15: Respuesta de la unidad FDD en operación continua.

Como se observa en la figura 4.15 y comparando con las gráficas de la unidad dediagnóstico de los experimentos anteriores, se hace notar como el comportamiento de la

92


superficie deslizante sufre un incremento en su rompimiento cuando ocurre la falla, peroesto no imposibilita adecuada estimación de la falla incluso ante los cambios en la potenciacalefactora.

0 20 40 60 80 100 120 1400

1000

2000


Pot

enci

a (w

atts

)

0 20 40 60 80 100 120 1400

10

20

Flujo de AlimentaciónF

lujo

(m

l/min

)

0 20 40 60 80 100 120 1400

0.5

1Reflujo

Tiempo (min)

ON

−O

FF

Falla de 10%

Figura 4.16: Entradas al modelo en operación continua y falla en la potencia calefactora.

La figura 4.16 supone un escenario de falla diferente, el cual consiste en la ocurrenciade una falla de +10 % que se mantiene de los minutos 70 al 120. La respuesta de la unidadFDD se presenta en la figura 4.17 donde se observa como las superficies presentan amplitudesmayores que las que se generaron en la operación por lotes, para atenuar las incertidumbresgeneradas por la alimentación, forzando así la estimación acertada del actuador y la fallaque ocurrió.

0 50 100−0.05

0

0.05

Err

or y

1

0 50 100−0.05

0

0.05

Err

or y

2

0 50 100−10

0

10

Sup

erfic

ie 1

Tiempo,min0 50 100

−10

0

10

Sup

erfic

ie 2

Tiempo,min

0 20 40 60 80 100 120 1400.8

1

1.2

X: 145.4Y: 1

Act

. gai

n,θ e

Tiempo,min

X: 98.1Y: 1.099

Figura 4.17: Respuesta de la unidad FDD en operación continua con falla intermitente.

93


De los diferentes escenarios presentados para el diagnóstico de fallas en el actuadorde la potencia calefactora, considerando tanto la operación por lotes como en continuo,queda finalizada la unidad FDD para actuadores, remarcando el uso de datos realestomados directamente de la planta, se observa cómo el OMD formulado cumplió conlas características de robustez ante incertidumbres y perturbaciones, logrando compensarlas dinámicas generadas por las no linealidades del modelo utilizado realizando así unaestimación robusto de las fallas.

4.4. Detección y localización de fallas en sensores

A partir de esta sección se avocará el estudio a la detección de fallas en sensores, sinconsiderar alteración alguna en las entradas del sistema, la formulación se basa en la detecciónde fallas utilizando un banco de observadores para la generación de residuos. El diseño yexperimentos se divide en dos partes, en primer lugar se realiza la formulación de un banco deobservadores bajo el enfoque de modos deslizantes, la generación de residuos y su evaluaciónpara la obtención de firmas que permitirán determinar los elementos dañados en ambientede simulación. La segunda parte consta de la implementación sobre la interface gráfica de lacolumna de destilación, para emular fallas en sensores sobre el sistema real.

4.4.1. Esquema de observador dedicado

Un método de redundancia analítica comúnmente utilizado es el denominado Esquema

de Observadores Dedicados (DOS: Dedicated Observer Scheme) (Chen y Patton 1999, Frank,P. 1990), el cual emplea n estimadores de estados u observadores, donde a cada uno se leingresan todas las entradas del sistema u y solamente una de las n salidas, obteniendo asíuna reconstrucción de las n salidas por cada observador, la figura 4.18 muestra un diagramageneral sobre el DOS. Esta redundancia provee una conveniente manera de detectar lasposibles fallas en los sensores comparando la salida de cada observador con las de los sensoresy obtener un bloque para detectar fallas.

Figura 4.18: Esquema del observador dedicado para localización de fallas.

Cuando uno de los elementos de medición en la planta real falla, este se ve reflejadodirectamente en la estimación de las salidas del bloque que utiliza dicha salida. Entonces,al comparar las salidas estimadas de ese observador con las salidas reales existirá una

94


discrepancia con todas ellas, además de que al realizar la comparación de éste con laestimación de los restantes bloques se observará una desviación en dicha comparaciónindicando su falla.

Figura 4.19: Esquema DOS para la columna de destilación.

Dentro de las ventajas del DOS, es que cumple con dos de los cuatro criterios paraobtener un buen desempeño como monitor de fallas que son: detección y localización delas fallas. Los otros dos criterios, los cuales no presenta el DOS son: la acomodación y laestimación de la falla (Tylee,J.L. 1986). La clave para un buen diseño FDI, es la adecuadadefinición de los umbrales para los residuos ya que pequeñas perturbaciones en el sistema,podrían derivar en discrepancias entre las estimaciones de los estados y forzar a los residuosa moverse y sobrepasar los umbrales. Se remite al lector a consultar los trabajos de (Chen yPatton 1999, Frank, P. 1990) donde se puede encontrar una información más detallada sobrelas aplicaciones del enfoque DOS.

Para lidiar con los problemas de errores en el modelado y perturbaciones, se propone unbanco de OMD tal como se presenta en la figura 4.19. Estos observadores se fundamentancon el desarrollo teórico de la sección 3.5, para este caso no se requiere desacoplar oeliminar alguna dinámica ya que el término discontinuo hace robusto al observador anteperturbaciones e incertidumbres provocadas por las no linealidades de la columna dedestilación.

95


La generación de residuos en la figura 4.19 es a partir de la diferencia entre la salidareal de los sensores de temperatura y su correspondiente estimación con cada uno de losobservadores, dado que existen únicamente 8 elementos de medición montados en la columnade destilación (etapas 1, 2, 4, 6, 7, 9, 11 y 12), se generan entonces únicamente 8 residuos porcomparación con cada observador. Se hace notar al lector que a partir de este punto, cuandoel texto haga referencia a algún observador o conjuntos de residuos, se estará indicando elsensor que se utiliza para su cálculo.

4.4.2. Relación líquido-vapor para la detección de fallas

Debido a que el modelo de la columna se encuentra diseñado para estimar el valor delas concentraciones líquidas del componente ligero, las salidas de temperatura no se puedenreconstruir de forma directa, tal como se presentó en la sección 3.6, donde a través deun polinomio en función de las concentraciones, es posible realizar una aproximación a lastemperaturas luego de la estimación de las concentraciones. Bajo esta idea se propone quecada uno de los observadores, utilice solamente una temperatura y que las restantes seanestimadas, tal como se sigue:

M1˙x1 = VRo(y2 − x1) + k1v 1




M12˙x12 = VSo(x11 − y12) + LSo(x11 − x12) + k12v

Ti = f (xi) + αi(Ti − Ti) i = 1, ..., 12

(4.12)

donde los parámetros y valores para el observador aquí propuesto, se definen en el capítulo3, salvo por la función Ti = f (xi) usado para reconstruir las temperaturas debido a que esuna relación polinomial y que para emular fallas tiene la forma dada en la ecuación (2.44),empleando además un factor de corrección, αi, propuesto para aproximar las temperaturasal valor real.

La forma en cómo se relacionan las temperaturas y las concentraciones se presentó conanterioridad en las secciones 2.3 y 3.6, donde se utilizó únicamente un polinomio, obtenidoa partir de las concentraciones en estado estable de la columna. El problema surge cuandoel sistema sale del estado estable provocando que el polinomio:

T = 870x6i − 2996x5

i + 4089.4x4i − 2810.9x3

i + 1026.8x2i − 199.1xi + 94

pierda la capacidad de reconstruir las temperaturas, en la figura 4.20 se observa cómo elsistema es incapaz de calcular de forma acertada temperaturas por debajo de los 50◦C, paraeste caso, las entradas utilizadas se presentan en la figura 4.10 sin la falla.

La desviación que se observa en las temperaturas de la figura 4.20 se debe a que elpolinomio se cálculo mediante el VLE para una presión de 637mmHg, la cual solo puedellegar a un valor mínimo de 74◦C, mediante el factor de corrección y la diferencia entre latemperatura real y estimada, permite realizar una mejor aproximación.

96


0 100 200 3000

50

100

T1

0 100 200 30020

40

60

80

T2

Temperaturas reales y calculadas a partir de un polinomio

0 100 200 30020

40

60

80T

4

0 100 200 30020

40

60

80

T6

0 100 200 3000

50

100

T7

0 100 200 30020

40

60

80

T9

0 100 200 30020

40

60

80

T11

Tiempo, min0 100 200 300

0

50

100

T12

Tiempo, min

RealEst.

Figura 4.20: Reconstrucción de temperaturas con un polinomio.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 170

75

80

85

90

95

100


Tem

pera

tura

s, °

C

Polinomio a 637mmHg

(a) 637mmH

0 0.2 0.4 0.6 0.8 160

62

64

66

68

70

72

74

76

78

80


Tem

pera

tura

s, °

C

Polinomio a 350mmHg

(b) 350mmHg

0 0.2 0.4 0.6 0.8 134

36

38

40

42

44

46

48

50

52


Tem

pera

tura

s, °

C

Polinomio a 100mmHg

(c) 100mmHg

Figura 4.21: Respuesta de los tres polinomios.

Las diferencias entre las temperaturas reales y reconstruidas incrementan la probabilidadde falsas alarmas, principalmente cuando la columna se encuentre fuera del estado estable,

97


por ejemplo el tiempo que le toma a la columna llegar al estado estable. Para solucionareste inconveniente, en la estimación de las temperaturas Ti de la ecuación 4.12 se proponeque la función f i(xi) este constituida por tres polinomios seleccionados según el valor de laconcentración del componente ligero como sigue:

Si xi >35 % de alchohol, el polinomio determinado a una presión de 637mmHg:f (xi) = 870x6 − 2996x5 + 4089.4.x4 − 2810.9x3 + 1026.8x2 − 199.1x1 + 94 (4.13)

Para 10 %≤ xi <35 % de alcohol el polinimio determinado a una presión de 350mmHg:f (xi) = 800x6

i − 2.8000x5i + 3800x4

i − 2600x3i + 940x2

i − 180xi + 79; (4.14)

Teniendo xi <10 % de alcohol, el polinomio para una presión de 100mmHg:f (xi) = 670x6

i − 2300x5i + 3200x4

i − 2200x3i + 790x2

i − 150xi + 51; (4.15)

Como se observa en las gráficas de la figura 4.21, conforme se reduce la presión, latemperatura mínima también se reduce, logrando así reducir el valor de las temperaturascalculadas. Llevando estos polinomios en ambiente de simulación, se puede obtener una mejorreconstrucción de las temperaturas, esto se presenta en la figura 4.22 donde se puede alcanzaruna reconstrucción cercana a los 30◦C.

0 100 200 30020

40

60

80

T1

0 100 200 30020

40

60

80T

2Temperaturas reales y calculadas a partir de un polinomio

0 100 200 30020

40

60

80

T4

0 100 200 30020

40

60

80

T6

0 100 200 3000

50

100

T7

0 100 200 30020

40

60

80

T9

0 100 200 30020

40

60

80

T11

Tiempo, min0 100 200 300

0

50

100

T12

Tiempo, min

RealEst.

Figura 4.22: Reconstrucción de temperaturas con tres polinomios.

Las gráficas de temperaturas en las figuras 4.20 y 4.22 fueron obtenidas al reconstruirlas temperaturas utilizando las 8 mediciones disponibles de la columna, en el observador,con fines de demostrar la necesidad de utilizar más de un polinomio para el cálculo de lastemperaturas. Para el banco de observadores a utilizar, solo se utilizará una temperaturapor cada observador, los factores de corrección para cada sensor se encargarán de aproximarlos cálculos a los valores reales, tal como se muestra en la figura 4.23 donde únicamente seutiliza la medición del primer sensor para reconstruir las demás.

98


0 100 200 30020

40

60

80

T1

0 100 200 30020

40

60

80

T2

Temperaturas reales y calculadas a partir del sensor 1

0 100 200 3000

50

100

T4

0 100 200 3000

50

100

T6

0 100 200 3000

50

100

T7

0 100 200 3000

50

100

T9

0 100 200 3000

50

100

T11

Tiempo, min0 100 200 300

0

50

100

T12

Tiempo, min

RealEst.

Figura 4.23: Reconstrucción de temperaturas a partir del sensor 1.

0 100 200 3000

50

100

T1

0 100 200 3000

50

100

T2

Temperaturas reales y calculadas a partir de un polinomio

0 100 200 3000

50

100

T4

0 100 200 3000

50

100

T6

0 100 200 3000

50

100

T7

0 100 200 3000

50

100

T9

0 100 200 3000

50

100

T11

Tiempo, min0 100 200 300

0

50

100

T12

Tiempo, min

RealEst.

Figura 4.24: Reconstrucción de temperaturas a partir del sensor 1 con un polinomio.

El no considerar tres polinomios para la obtención de las temperaturas, sólo incrementala probabilidad de falsas alarmas, al momento de reconstruir las temperaturas utilizandoúnicamente una medición, se obtiene como resultado algo similar a la figura 4.24, en tantoque al utilizar tres polinomios, se mejora la respuesta tal como se presenta en la figura 4.23que permite llegar a valores menores a 50◦C.

99


4.4.3. Generación y evaluación de residuos

Obtenida una manera eficiente de reconstruir las temperaturas, ahora es posible realizarla generación de residuos que permitirá detectar las fallas al analizar sus variaciones. Unejemplo de estos residuos para la columna de destilación, se presenta en la figura 4.25 quecorresponde a 8 residuos generados por el OMD7 sin fallas. En este caso, la señal del sensor7 ingresa al observador y éste reconstruye las restantes temperaturas para posteriormentecompararlas con su respectivo sensor obteniendo así los residuos mostrados.

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

1o 7

Residuos a partir del observador 7

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

2o 7

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

4o 7

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

6o 7

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

7o 7

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

11o 7

Tiempo,min

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

9o 7

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

12o 7

Tiempo,min

Figura 4.25: Residuos del OMD utilizando sensor 7.

El problema es que si se tienen 8 elementos de medición y comparándose con cada señalde los 8 observadores, se tiene un total de 64 residuos, tal como se presenta en la tabla 4.1,donde Ri indica el residuo para el sensor en la etapa i y On es el observador n del cualse generaron los residuos, recordando al lector que la numeración es según el elemento demedición 1, 2, 4, 6, 7, 9, 11 y 12 para e identificar en que sensor se realiza la detección.

Tabla 4.1: Residuos generados.

S1 S2 S4 S6 S7 S9 S11 S12

R1O1 R2O1 R4O1 R6O1 R7O1 R9O1 R11O1 R12O1








Debido a la dificultad que deriva el tener 64 residuos al dificultar la capacidad de decisión,es realmente necesario una reducción en el número de residuos a utilizar para generar lasfirmas. Se propone en la tabla 4.2 un arreglo para reducir los residuos utilizando solamente

100


4 en lugar de los 8 que pueden obtenerse por cada observador. En primer lugar se omite elresiduo generado por el mismo observador, es decir, para el OMD1 que utiliza el sensor 1 seomite el residuo 1 y así se continua con los demás. Luego de esto, se toman únicamente 4residuos, los dos inmediatos superiores y los dos inmediatos inferiores al sensor.

Tabla 4.2: Reducción de los residuos.S1 S2 S4 S6 S7 S9 S11 S12





Con la reducción realizada se tienen ahora únicamente 32 residuos, con los cuales se puederealizar una detección en 7 de los 8 sensores, es decir, se necesita que al menos un sensorse encuentre en condiciones normales para poder hacer una detección en los 7 restantes,tal situación es bastante extrema ya que una falla generalizada en todos los sensores esprácticamente imposible, pero lo que se busca es entregar la mayor información posiblesobre las fallas con una capacidad de detectar fallas múltiples y simultáneas.

Definición de umbrales

Una vez generados y seleccionados los residuos a utilizar, es necesario definir los umbralespara generar la detección y localización de la falla. En este trabajo no sólo se considera elefecto de una falla, la cual pueda derivar en el retiro definitivo del elemento dañado, sinoque se propone dar una información adicional de que algún sensor se encuentre descalibrado,es decir, que la desviación pueda ser aceptable y solo requiera ser calibrado nuevamente enlugar de ser retirado definitivamente, ahorrando así la adquisición de un nuevo elemento.Por lo tanto, para definir la posible descalibración o una falla, se presenta en la tabla 4.3 losvalores que definen ambas condiciones.

Tabla 4.3: Definición de umbrales.Condición Descripción Umbral

Sin falla Funcionamiento adecuado T ≤ 2◦C

Descalibrado Sensor descalibrado 2◦C < T≤ 5◦C

Falla Malfucionamiento T > 5◦C

El trabajo de (Rosalyn, et. al. 2003) propone que rangos moderados para desviacionesde temperatura son de 2◦C para procesos químicos, donde además una desviación de 5◦Cno podría ser efecto de una mala calibración sino por algún defecto del sensor. Para estose muestra en la figura 4.26 las dos formas de interpretar las desviaciones de los sensores,mostrando los umbrales para una posible descalibración y los umbrales para falla, cuandoeste último umbral es sobrepasado se remite al lector a consultar las firmas en el Anexo Gpara analizar la lógica definida para detectar las fallas. Se observa además, que debido ala forma en como se reconstruyen las temperaturas, no siempre es posible obtener un valorexacto, por lo que la media puede ser diferente de cero, pero una vez caracterizados losumbrales, la detección es posible sin importar las condiciones de operación de la columna.

101


0 50 100 150−4

−2

0

2

4 Operación del sensor 2

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

0 50 100 150−4

−2

0

2

4


−4

−2

0

2

4

Tiempo,min

Media diferente de cero

Descalibración

Falla

(a) Umbrales S2

0 50 100 150−2

0

2

4

6

Tiempo,min

0 50 100 150−2

0

2

4

6 Operación del sensor 12

0 50 100 150−2

0

2

4

6

0 50 100 150−2

0

2

4

6

Tiempo,min

Media diferente de cero

(b) Umbrales S12

Figura 4.26: Definición de los umbrales para los sensores 2 y 12.

Diagnóstico de los sensores

Sensor 1

Sensor 2

Sensor 4

Sensor 6

Sensor 7

Sensor 9

Sensor 11

Sensor 12

: Sin falla; : Descalibrado; : Falla

Figura 4.27: Interface para detectar fallas en los sensores de la columna.

La base de firmas para detectar las fallas del Anexo G, definido para los 32 residuospropuestos son habilitados al exceder el umbral de falla. Pero para facilitar la informacióndel diagnóstico a un usuario, se propone una forma de presentarla tal como se muestraen la figura 4.27 ya que por lo general en la práctica lo importante es la información quese presenta de manera sencilla y no tanto el proceso que se lleva a cabo para obtener losresultados, teniendo así una serie de colores para la condición de los 8 sensores de la columnatal como propone (Téllez-Anguiano, et. al. 2010).

102


0 20 40 60 80 100 120 140 160

1000

1200

1400Potencia calorífica

Pot

enci

a (w

atts

)0 20 40 60 80 100 120 140 160

0

10

20


Flu

jo (

ml/m

in)

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

0.5

1Reflujo

Tiempo (min)

ON

−O

FF

Figura 4.28: Entradas de la columna de destilación.

4.4.4. Fallas sobre el modelo de simulación

A continuación, se presentan una serie de experimentos con el fin de observar la formaen cómo se comportan los residuos y verificar las tres posibles condiciones para los sensoresde temperatura antes mencionadas. La figura 4.28 muestra las entradas de la potenciacalefactora, flujo de alimentación y válvula de recirculación, con las que se obtuvieron lastemperaturas mostradas en la figura 4.29 donde se montaran las señales que desviarán elvalor real, en el Anexo B se pueden observar los residuos sin fallas de esta prueba.

0 50 100 15065

70

75

80

T1

0 50 100 15065

70

75

80

T2

Temperaturas reales

0 50 100 15065

70

75

80

T4

0 50 100 15065

70

75

80

T6

0 50 100 15065

70

75

80

T7

0 50 100 15065

70

75

80

T9

0 50 100 15065

70

75

80

T11

Tiempo, min0 50 100 150

70

75

80

85

T12

Tiempo, min

Figura 4.29: Temperaturas para realizar fallas.

103


Como primer escenario se propone una desviación de +3◦C en los sensores 2 y 7 en elminuto 40 y una falla repentina de +5.5 ◦C del sensor 12 en el minuto 100, ver figura 4.30. Lainterface de la unidad de detección, mostrada en la figura 4.31, indica el estado de todos lossensores, alertando de aquellos que han sobrepasado los umbrales permitidos. Los residuosde esta prueba son mostrados en las gráficas de la figura 4.32 donde además se observa eltiempo que le toma al banco de observadores detectar las fallas y el cual es menor a1 minuto.En el Anexo B se presenta el comportamiento de todos los residuos para esta prueba.

0 50 100 15065

70

75

80

T1

0 50 100 15065

70

75

80

T2

Temperaturas reales

0 50 100 15065

70

75

80

T4

0 50 100 15065

70

75

80

T6

0 50 100 15065

70

75

80

T7

0 50 100 15065

70

75

80

T9

0 50 100 15065

70

75

80

T11

Tiempo, min0 50 100 150

70

80

90

T12

Tiempo, min

Figura 4.30: Temperaturas con desviaciones en los sensores 2, 7 y 12.


Sensor 1

Sensor 2

Sensor 4

Sensor 6

Sensor 7

Sensor 9

Sensor 11

Sensor 12


Figura 4.31: Interface de localización de fallas en los sensores 2, 7 y 12.

104


35 40 45 50 55

−3

−2

−1

0

1

Res

2o 12

Operación del sensor 2

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

2o 10 50 100 150

−4

−2

0

2

4

Res

2o 4


−4

−2

0

2

4

Res

2o 6Tiempo,min

(a) Residuos OMD2

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

7o 4


35 40 45 50 55−3

−2

−1

0

1

2

Res

7o 6

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

7o 9


−4

−2

0

2

4

Res

7o 11

Tiempo,min

(b) Residuos OMD7

0 50 100 150−2

0

2

4

6

Res

12o 9


0 50 100 150−2

0

2

4

6

Res

12o 11

90 95 100 105 110

1

2

3

4

5

Res

12o 1


−2

0

2

4

6

Res

12o 7

Tiempo,min

(c) Residuos OMD12

Figura 4.32: Respuesta de los residuos de los OMD: 2, 7 y 12.

En la figura 4.33 se presenta otro escenario de fallas, donde se presentan descalibracionesy fallas en seis de los sensores, las fallas van ocurriendo en diferentes instantes de tiempo, laamplitud de la falla y el instante en que ocurren las fallas se presenta en dicha figura.

105


0 50 100 15065

70

75

80

T1

0 50 100 15065

70

75

80

T2

Temperaturas reales

0 50 100 15065

70

75

80

T4

0 50 100 15065

70

75

80

T6

0 50 100 15065

70

75

80

T7

0 50 100 15065

70

75

80

T9

0 50 100 15065

70

75

80

T11

Tiempo, min0 50 100 150

70

80

90

T12

Tiempo, min

−3°C, T=30min

+3°C, T=40min

−2.5°C, T=50min

+3.5°C T=60min

+5.5°C, T=70min

−5.5°C, T=90min

Figura 4.33: Temperaturas con 6 fallas.

En las figura 4.34 y 4.35 se presentan los redisuos utilizados para realizar la detecciónde las fallas, se puede observar cómo los residuos, correspondientes a los sensores 1, 2, 4 y 6descalibrados, se encuentran por encima del primer umbral, indicando la condición de malacalibración y los residuos para los sensores 7 y 11 sobrepasan el segundo umbral, señalandola pérdida de integridad de dichos elementos.

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

1o 11


0 50 100 150−6

−4

−2

0

2

Res

1o 12

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

1o 2


−4

−2

0

2

4

Res

1o 4

Tiempo,min

(a) Residuos OMD1

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

2o 12


0 50 100 150−4

−2

0

2

4R

es2o 1

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

2o 4


−4

−2

0

2

4

Res

2o 6

Tiempo,min

(b) Residuos OMD2

Figura 4.34: Respuesta de los residuos 1 y 2 para 6 fallas.

Se observa que el conjunto de residuos de la figura 4.35(b) se mantiene sin alteración,indicando que el elemento se encuentra en condiciones normales, pero en el caso de la figura4.35(f) presenta un sobrepaso del primer umbral en el residuo R12O1, pero debido a que losdemás residuos permanecen sin alteración, se considera que el sensor se encuentra operandonormalmente.

106


0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

4o 1


0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

4o 20 50 100 150

−4

−2

0

2

4

Res

4o 6


−4

−2

0

2

4

Res

4o 7

Tiempo,min

(a) Residuos OMD4

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

6o 2


0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

6o 4

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

6o 7


−4

−2

0

2

4

Res

6o 9

Tiempo,min

(b) Residuos OMD6

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

7o 4


0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

7o 6

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

7o 9


−4

−2

0

2

4

Res

7o 11

Tiempo,min

(c) Residuos OMD7

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

9o 6


0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

9o 7

0 50 100 150−4

−2

0

2

4R

es9o 11


−4

−2

0

2

4

Res

9o 12

Tiempo,min

(d) Residuos OMD9

0 50 100 150

−2

0

2

4

Res

11o 7


0 50 100 150

−2

0

2

4

Res

11o 9

0 50 100 150

−2

0

2

4

Res

11o 12


−2

0

2

4

Res

11o 1

Tiempo,min

(e) Residuos OMD11

0 50 100 150−2

0

2

4

6

Res

12o 9


0 50 100 150−2

0

2

4

6

Res

12o 11

0 50 100 150−2

0

2

4

6

Res

12o 1


−2

0

2

4

6

Res

12o 7

Tiempo,min

(f) Residuos OMD12

Figura 4.35: Respuesta de los residuos 4, 6, 7, 9, 11 y 12 para 6 fallas.

Finalmente, la figura 4.36 presenta de manera simplificada la condición de los sensores,indicando cuales elementos se encuentra descalibrados y cuales presentan una falla.

107



Sensor 1

Sensor 2

Sensor 4

Sensor 6

Sensor 7

Sensor 9

Sensor 11

Sensor 12


Figura 4.36: Interface mostrando 6 fallas en los sensores.

Con los resultados obtenidos en esta sección queda definida la forma en cómo operael enfoque DOS utilizando OMD para detectar y localizar fallas a través de los residuos,remarcando la robustez ante las no linealidades de la columna de destilación.

4.4.5. Fallas sobre la columna de destilación

De forma real la detección y localización de las fallas es llevada a cabo mediante laventana mostrada en la figura 4.37 desarrollada por (Téllez-Anguiano, et. al. 2010), la cualmuestra la condición de los sensores mediante un código de colores, similar al de la secciónanterior, desplegando además una recomendación para el caso de descalibramiento y falla,dicha ventana se le denominará bloque de diagnóstico, se encuentra además una casilla quepermite colocar un valor que se suma a la señal del sensor para emular fallas en la columna.

Figura 4.37: Interface de Labview para pruebas reales en la columna.

El programa original utilizado para dichas pruebas, internamente tenía cargado un bancode observadores de alta ganancia, con los cuales se realizaba una operación similar a la que sepresenta a continuación. Las líneas de código fueron sustituidas para cargar los observadoresen modos deslizantes diseñados en la sección anterior, ya que como se presentó en la sección3.6 estos operan de forma adecuada con el proceso real. Se presenta en la figura 4.38 lainterface en Labview libre de fallas cuando la columna se encuentra en estado estable.

108


Figura 4.38: Interface de Labview con la columna en estado estable.

Figura 4.39: Respuesta de la interface con 3 fallas.

Se presenta en la figura 4.39 la primer prueba experimental, la cual consiste en emularuna descalibración de +3◦C en los sensores 2 y 6, así como una falla en el sensor 11, al detectarestas variaciones, la interface mueve el apuntador en el color que indica las descalibracionesy la falla, desplegando el mensaje de alerta y una recomendación para resolver el problemaque presenta el sensor.

Figura 4.40: Respuesta de la interface con 6 fallas.

Ahora, en la figura 4.40 se presenta un nuevo conjunto de fallas, el cual consiste en 4descalibraciones y 2 fallas, los valores de las desviaciones se presentan en la misma imagen,por encima de los bloques de detección 1, 2, 4 y 6; y por debajo de los bloques 7, 9, 11 y 12.

109


Nuevamente se debe prestar atención al color que indica la condición de los sensores y a sumensaje de alerta.

Figura 4.41: Respuesta de la interface desviaciones en 7 sensores.

Finalmente, se presenta en la figura 4.41 la respuesta para tres sensores con algún tipo dedesperfecto, pero a diferencia de los anteriores experimentos, cuatro de los restantes sensorestienen valores de desviaciones adicionales por debajo del umbral de los 2◦C de descalibración,en dos de ellos se incrementa el valor de la señal y en los otros dos se hace un decremento,esto se realizó para demostrar que la detección en línea no se ve afectada por desviacionesen los sensores.

Como se observó a lo largo de esta sección, el sistema FDI utilizando OMD diseñado enun ambiente de simulación, se logró transferir a un ambiente real con capacidad de detectary localizar fallas de manera robusta mediante el enfoque del DOS. Es importante mencionarque no se realizaron modificaciones en las ganancias calculadas en el ambiente de simulación.Esta ventaja deriva desde el modelado, ya que el sistema de ecuaciones utilizado para lacolumna presenta un comportamiento aceptable y cuyas incertidumbres se compensaronpor la naturaleza del OMD y su función discontinua que le permite compensar las posiblesvariaciones que presente el sistema físico.

110

Capítulo 5

Tolerancia a fallas en la columna dedestilación

En este capítulo se desarrolla, bajo ambiente de simulación, un esquema que permitarecuperar la operación de sensores con falla, empleando la información obtenida a partir

de la unidad FDI desarrollada en el capítulo anterior, aprovechando por las ventajas queofrecen los OMS en cuanto a robustez. Se presenta además una breve descripción sobre lossistemas tolerantes a fallas (STF), así como los requerimientos que deben de cumplir parasatisfacer las necesidades de operación de un sistema. Posteriormente, se hará énfasis en elmétodo denominado sensor virtual, para reconstruir las señales de los sensores de interéspara el control de la columna, que corresponde en los sensores del condensador y el hervidor,por ser las salidas de la columna y que se utilizan para el diseño de controladores como elpresentado en (Valencia-Palomo 2006) entre otros.

5.1. Sistemas tolerantes a fallas

En general, una falla puede deberse a un evento interno inesperado del sistema, unparo de su fuente de alimentación, desconexión en sus líneas de información o incluso laobstrucción de tuberías o cambios en el medio ambiente de temperatura, que eventualmentedetendrá una reacción o incluso dañará el reactor.

El factor humano también se considera un generador de fallas, ya que el permitir unaincorrecta acción de control dirigida por un operador que intenta regresar a una operaciónrequerida, puede derivar en una deterioro mayor del sistema. Un error de diseño que nodetecte un cambio fuera de su formulación y que mantiene las fallas hasta que el sistemase torne incapaz de responder al control. En cualquier caso, una falla es la principal causade cambios en la estructura o parámetros del sistema, que eventualmente conlleva a unadegradación en el desempeño del mismo o incluso a la pérdida de sus funciones.

Para evitar una degradación o daño mayor en el equipo y los operarios, las fallas debenser localizadas de manera rápida y realizar una acción para detener su propagación medianteotros elementos de decisión o control cuyo objetivo es hacer un sistema tolerante a fallas,con el cual el sistema es capaz de recuperar su operación luego de la ocurrencia de la falla,con algún periodo de desempeño degradado, donde el algoritmo permite adaptar el sistemaa la falla para recuperar su desempeño requerido.

111

CAPÍTULO 5. TOLERANCIA A FALLAS EN LA COLUMNA DE DESTILACIÓN

Figura 5.1: Esquema general de un sistema tolerante a fallas.

Desde un punto de vista teórico, un sistema tolerante a fallas presenta una interacciónentre el sistema (planta) y un controlador, ver figura 5.1, donde el término “controlador”es utilizado de manera general, ya que no solo se refiere a leyes de control pre- y retro-alimentadas, sino también puede incluir o no etapas de diagnóstico de fallas y esquemas dedecisión que pueden determinar y alterar la configuración del sistema (Blanke, et. al. 2003),por tal razón es que tal figura queda libre a interpretación.

5.1.1. Requerimientos y propiedades de sistemas sujetos a fallas

Se exponen a continuación diferentes nociones sobre seguridad, fiabilidad, disponibilidady confiabilidad en los sistemas y las fallas que pueden presentarse.

Seguridad. Un sistema de seguridad, es una parte del equipamiento de control queprotege al sistema de un daño permanente. Este habilita un control de apagado,utilizando la información de señales críticas, se activan actuadores que detienen elproceso si cierta condición es alcanzada, se le denomina sistema a prueba de fallas.

Fiabilidad. Es la probabilidad de que el desempeño de un sistema se mantenga demanera requerida por un periodo de tiempo bajo condiciones normales. Los estudiosde fiabilidad evalúan la frecuencia con la cual el sistema falla, estos no pueden definirel estado actual de fallas en el sistema. Un STF no puede cambiar la fiabilidad de loscomponentes, pero si la de la planta al recuperar la operación mediante el equipamientorestante.

Disponibilidad. Es la probabilidad de que un sistema se encuentre operacional cuandosea necesario. Contrario a la fiabilidad, este depende de las políticas de mantenimiento.

Confiabilidad Es la unión de los tres anteriores, ya que un sistema confiable es unsistema a prueba de fallas con alta disponibilidad y confiabilidad.

Relacionando la seguridad y la tolerancia a fallas, suponga que el desempeño de unsistema puede ser descrito por dos variables g1 y g2 como se muestra en la figura 5.2 setienen las diferentes regiones que se pueden considerar en el desempeño de un sistema.

En la región de desempeño requerido, un control permite mantener al sistema operandode manera nominal a pesar de las perturbaciones e incertidumbres del modelo utilizado parasu diseño, pero lo sigue haciendo aún cuando pequeñas fallas ocurran, sin ser su principalobjetivo. En este caso, el controlador “oculta” los efectos de las fallas, dificultando la laborde detección.

112


Figura 5.2: Regiones de un desempeño requerido y degradado.

La región de desempeño degradado muestra dónde el sistema fallado se puede establecer,aunque que se tenga una funcionalidad reducida. El STF debe ser capaz de iniciar algunaacción de recuperación para prevenir una degradación mayor, hacia las regiones de desempeñoinaceptable o de peligro, regresando el sistema a la región de desempeño requerido. En estaregión el sistema de supervisión diagnóstica la falla y ajusta al controlador o al sistemapara compensar las fallas. La región de desempeño inaceptable debe ser evitada por el STF,debido a que se encuentra próxima a la región de peligro, el sistema de seguridad es habilitadointerrumpiendo la operación de todo el sistema para evitar alcanzar la última región.

5.2. Elementos de un sistema tolerante a fallas

La arquitectura de un sistema tolerante a fallas se encuentra representado por la figura5.3, utilizando dos bloques: “diagnóstico” y “rediseño del controlador” los cuales llevan a cabolos dos pasos de un sistema tolerante a fallas:

1 Diagnóstico de fallas. Mediante la evaluación de la consistencia de las medicionesde las entradas y las salidas, respecto a un modelo, se detectan e identifican las fallas,de una manera lo suficientemente precisa.

2 Rediseño del controlador. Utilizando la información del bloque de diagnóstico, seajusta el controlador ante la situación de un sistema con presencia de fallas.

Como se mencionó, el término “controlador” se utiliza de una manera amplia, la entradau a la planta incluye todas las señales que puedan ser influenciadas por la unidad de decisión.En la figura, las flechas simples representan señales, la conexión entre el bloque de rediseñoy del controlador es mediante una flecha doble, indicando que un enlace de información. El

rediseño del controlador, puede resultar en nuevos parámetros para el controlador o en un

nuevo controlador. Entonces, el anterior y el nuevo controlador pueden no sólo diferir en los

parámetros, sino en las señales de entrada y salida que utilizan.

La limitación de un STF ocurre, cuando no exista un controlador que permita al sistemaen lazo cerrado satisfacer las especificaciones y entonces el sistema deba apagarse. Entonces,la cuestión de que exista un controlador tolerante a fallas no es propiedad del controladoren si o del método de rediseño utilizado, sino que es una propiedad de la planta sujeta a las

113


fallas. A manera de ejemplo: un problema de tolerancia a fallas sin solución, es el consideraruna planta cuya inestabilidad llegue a ser incontrolable o inobservable debido a las fallas,por lo tanto, no existe un control que pueda estabilizar a la planta.

Figura 5.3: Arquitectura de un sistema tolerante a fallas.

Se pueden distinguir dos métodos de rediseño del controlador: la acomodación de la falla

y la reconfiguración, los cuales se describen a continuación.

Acomodación de la falla

Si existe una ley de control, tal que la planta con fallas pueda alcanzar los objetivos decontrol, entonces esta acción es denominada acomodación de la falla. Esto significa que losparámetros del controlador se adaptan a las propiedades dinámicas de la planta con fallas.Las entradas y las salidas de la planta utilizadas en el lazo cerrado, permanecen sin cambios,tal como si no existieran fallas en el sistema, la figura 5.4 presenta un esquema general sobreacomodación de fallas.

Figura 5.4: Acomodación de fallas.

Un método simple pero bien establecido se basa en controladores prediseñados dondecada uno es formulado fuera de línea para un tipo de falla. La etapa de rediseño conmutaentre las diferentes leyes de control, es un método rápido y utilizado en aplicaciones reales;sin embargo, se deben considerar todas las posibles fallas antes de operar el sistema, ademásde que todos los controladores deben cargarse en el software de control.

Reconfiguración

Si la acomodación de la falla es imposible, el lazo de control debe ser reconfiguradopor completo, esto incluye la formulación en línea de un nuevo control, donde señales

114


alternativas de entrada y salida pueden ser utilizadas. La selección de estas señales dependede la existencia de fallas. La figura 5.5 muestra un esquema general sobre reconfiguración,la cual es necesaria luego de la ocurrencia de diversas falla que provoquen serios cambiosestructurales en la dinámica de la planta como:

Figura 5.5: Reconfiguración del control.

Falla en sensores. Se rompe el lazo entre la planta y el controlador, esto hace a laplanta parcialmente inobservable, nuevas mediciones se deben utilizar para resolver latarea de control.

Fallas de actuador. Esta perturban la operación de la planta, volviéndola parcial-mente incontrolable, son necesarios nuevos actuadores.

Fallas de la planta. Cambios en el comportamiento dinámico del proceso, si estos nopueden ser tolerados por cualquier ley de control, es necesario una reconfiguración delcontrolador.

La reconfiguración debe cumplir con ciertas restricciones:

La reconfiguración del control debe hacerse en tiempo real.

El proceso de diseño debe ser completamente automático, i.e. sin la interacción de unoperador o usuario humano.

Los métodos utilizados deben garantizar una solución al problema de diseño, inclusosi el desempeño no es óptimo.

5.3. Tolerancia a fallas en sensores

A continuación se presenta la formulación de sensor virtual presentada en (Blanke, et.al. 2003). Considere el siguiente modelo lineal de un proceso en espacio de estados:

x = A(x+ d) +Bu, x(0) = x0

y = C(x+ d)

z = Cz(x+ d)

(5.1)

donde A,B y C son las matrices del sistema de dimensiones apropiadas, x ∈ Rn es el vector

de estados y y ∈ Rm es la salida del sistema. El modelo nominal tiene una extensión generado

por el estado de perturbación d ∈ Rn y la segunda salida z ∈ R

nz . La segunda salida se utiliza

para evaluar la evolución de las fallas en la principal salida del sistema.

115


Un proceso por lo general es estabilizado por un controlador nominal, con salida u yentradas y y yref . El método de reconfiguración que se desarrolla, puede ser aplicado bajocualquier suposición para el controlador, ya que se reconstruirán las señales que se encuentrenbajo los efectos de una falla, aún si no son necesarias en el control. Para efectos de análisis,considere el lazo de control lineal retroalimentado siguiente:

uC(t) = K(yref (t) − yC(t)) (5.2)

El proceso junto con su lazo de control se proponen de la siguiente forma:x = (A−BKC)(x+ d) +BKyreg, x(0) = x0

y = C(x+ d)

z = Cz(x+ d)

(5.3)

el lazo de control se asume que es estable y que satisface los requerimientos de seguimientode la referencia y rechazo a perturbaciones.

En la presente investigación no se realizó la tolerancia a fallas en lazo cerrado, solamentese adecuan las salidas a partir de la reconstrucción formulada por los OMD las cuales puedenaplicarse a sistemas de control existentes en la columna a partir de las salidas del condensadory el hervidor.

Fallas en el sistema

De perder el sensor i la i-ésima fila de la matríz C es sustituida por ceros y la matriz esdenotada Cf . Si el j-ésimo actuador falla completamente, la j-ésima columna de la matrizB se ajusta a cero y la matriz es definida como Bf . El numero de señales de entrada, saliday variables de estado no cambia en el modelo, aunque algunos pierdan su funcionalidad.Se asume que la falla es observable y controlable, de no cumplirse, la parte fallada escompletamente extraída.

Figura 5.6: Sistema de reconfiguración utilizando sensor virtual.

5.3.1. Sensor virtualSe describe a continuación un bloque de reconfiguración que reconstruye las mediciones

de yi, a partir de los sensores restantes luego de que el i-ésimo sensor no se encuentre viablepara dicha función. La idea se centra en utilizar un observador, que es la parte central en

116


el bloque de reconfiguración y que es denominado sensor virtual, ya que su función es elreemplazar el sensor afectado por la falla como se muestra en la figura 5.6.

El sistema bajo consideración es descrito como:x = A(xf + d) +Bu, xf (0) = xf0

y = C(xf + d)

z = Cz(xf + d)

(5.4)

Si se cumple la condición Kern(Cf ) ⊆ Kern(C), entonces el vector y puede serreconstruido completamente a partir de yf , entonces el control reconfigurado u = −KLy

puede ser utilizado. Esta nueva estructura de control es considerada como un bloque dereconfiguración de la forma:

yC = Lyf

yf = uC

para el controlador nominal.

Si se considera que Kern(Cf ) ⊆ Kern(C) no se cumple. Entonces, el bloque dereconfiguración incluye un observador de estados, definido por las siguientes ecuaciones:

˙x = Ax+Buf + L(yf − Cf x), x(0) = xo

yC = Cx

uC = uf

(5.5)

donde x son los estados observador y la matriz L es un parámetro de diseño, la salida nominalde la planta puede ser aproximada como: y ≈ Cx. Aún cuando la respuesta del observador eslenta en comparación con la del sensor, esta puede mejorarse utilizando los sensores restantes.Este enfoque puede ser generalizado utilizando la siguiente ecuación:

yC = Syf + (C − SCf )x,

donde la matriz S es un parámetro de diseño. Para S = O, solo los valores del observadorson utilizados y para S = I se utilizan los sensores restantes.

En el caso de la columna de destilación, no se consideran los controladores, por lo que elenfoque aplicado será únicamente para el sistema en lazo abierto, por esta razón se generalizala investigación para obtener un Sistema Tolerante a Fallas en sensores.

5.3.2. Sensor virtual para la columna de destilación

En la columna de destilación, la medición de las temperaturas del condensador yel hervidor se consideran como las salidas del sistema (Valencia-Palomo 2006, Torres-Ortiz 2005, Aguilera-González 2008), mediante el equilibrio líquido vapor se puedendeterminar las concentraciones en dichas etapas, cuyo valor puede ser utilizado en eldesarrollo de controladores y en el caso de la etapa del condensador, conocer de formaaproximada el contenido de alcohol prescindiendo de un elemento de medición físico.

Debido a que una desviación en las temperaturas medidas en el condensador y el hervidorpueden presentar repercusiones sobre algún sistema de control o medición implementados;se propone el desarrollo de un STF en sensores, que permite reconstruir los valores de dichasmediciones a través del conocimiento de los sensores restantes, una vez que se ha detectado

117


la ocurrencia de una falla en la operación de los RTDs del condensador y el hervidor.

Figura 5.7: Diagrama de reconfiguración para los sensores de la columna de destilación.


Sensor 1

Sensor 2

Sensor 4

Sensor 6

Sensor 7

Sensor 9

Sensor 11

Sensor 12


Figura 5.8: Información sobre la condición de operación de los sensores.

En la figura 5.7 se presenta de manera gráfica el STF propuesto, el cual hace uso delsistema de diagnóstico desarrollado en el capítulo anterior. Se utilizan 8 OMD, cada unode los cuales utiliza una única medición de temperatura para reconstruir las restantes, estasreconstrucciones se comparan con las mediciones de las RTDs para generar los residuos. Losresiduos son evaluados mediante una serie de umbrales, que determinan la condición a travésde tres estados de operación: normal, descalibrado y falla.

118


El resultado de dicha evaluación se presenta de manera gráfica al operador, tal como sepresenta en la figura 5.8 indicando la operación de los ocho sensores. Si una falla ocurre enel sensor del condensador o el hervidor, la información de la falla pasa también a la unidadde reconfiguración, la cual realiza una conmutación en la medición del sensor con falla por lareconstrucción realizada mediante un OMD que emplea las temperaturas de los 6 sensoresrestantes sustituyendo el elemento afectado por una medición virtual.

El observador propuesto para reconstruir las temperaturas, tiene un fundamento similaral desarrollado en la sección 4.4.2 para detectar y localizar fallas, pero con una modificación.La medición de los sensores del 2 al 11 se utilizan para generar las temperaturas delcondensador y hervidor como sigue:

M1˙x1 = VRo(y2 − x1) + k1v 1




M12˙x12 = VSo(x11 − y12) + LSo(x11 − x12) + k12v

T1 = f (x1) + α1(T2 − T2)

Ti = f (xi) + αi(Ti − Ti) i = 2, ..., 6

Ti = f (xi) + αi(Ti − Ti) i = 7, ..., 11

T12 = f (x12) + α12(T11 − T11)

(5.6)

donde cada uno de los parámetros del observador se encuentra definido en la sección 4.4.2 yque en la figura 5.7 se encuentra señalado por el bloque denominado como OMDSTF .

0 10 20 30 40 50

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Falla en forma de rampa saturada

Am

plitu

d

0 10 20 30 40 50

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Falla en forma de rampa saturada

Am

plitu

d

Tiempo

Figura 5.9: Falla tipo rampa saturada y tipo escalón.

Debido a que el interés se centra en aplicar el método de reconfiguración propuesto paralos sensores del condensador y el hervidor, el uso de los sensores 2 y 11, utilizados en la

reconstrucción, se consideran libres de falla, esto con la finalidad de asegurar un adecuadouso del método del sensor virtual. En el Anexo C se presenta una variante en la que se utilizanlos sensores 1 y 12 para reconstruir y sustituir las mediciones de los 6 sensores restantes.

119


Pruebas del esquema propuesto

Para verificar la operación del STF desarrollado, se proponen una serie de pruebasempleando fallas en forma de escalón y rampa saturada, mostradas en la figura 5.9, conla finalidad de observar la respuesta de la unidad FDI y del esquema de reconfiguración.Únicamente se realizarán fallas sobre los sensores 1 y 12, asumiendo que los restantes sensoresse encuentran libres de fallas, ya que el interés de la investigación se centra en las fallas sobrelas dos primeros.

0 20 40 60 80 100 12065

70

75

80

85

T1

Temperaturas luego de reconfiguración

0 20 40 60 80 100 12065

70

75

80

85

90

T12

Tiempo, min

Temp. con fallaTemp. real

Falla en rampaAmp

max=+5.5°C

Falla en rampaAmp

max=+5.5°C

Figura 5.10: Falla en forma de rampa saturada en los sensores 1 y 12.

Como primer escenario, se proponen dos fallas en forma de rampa saturada en lossensores 1 y 12, tal como se observa en la figura 5.10, la falla incrementará gradualmentehasta alcanzar una amplitud de +5.5◦C. El instante de ocurrencia en el sensor 1 es en T=60min y para el sensor 12 en T=80.

En respuesta al incremento de la temperatura generado por la falla, la unidad dediagnóstico hace su seguimiento mediante el comportamiento de los residuos, evaluandosu condición a lo largo del tiempo y su proximidad con los umbrales propuestos tanto paradescalibración como para falla. En la figura 5.11 se presentan los residuos seleccionados luegode la generación de residuos, obtenidos a partir de la comparación entre las temperaturasreales y las temperaturas reconstruidas por los ocho OMD de la unidad FDI.

Mientras la amplitud de la falla va aumentando, su valor sobrepasa los umbrales definidospara la condición de descalibramiento, siendo la primer alarma de que algo sucede de maneraanómala en estos sensores, ver figura 5.12. Una vez que el residuo alcanza el umbral parauna falla, se dispara la condición de alarma mostrada en la figura 5.12 para advertir de dichasituación a un operador.

Cuando el estado de falla es alcanzado, entra en marcha el sistema de reconfiguracióndiseñado, el cual conmuta las temperaturas reales por aquellas reconstruidas mediante elOMDSTF , la figura 5.13 muestra cómo las mediciones son sustituidas por las reconstruccionesdel STF compensado de esta manera la falla.

Se presenta a continuación un nuevo escenario de fallas, la figura 5.14 muestra una falla

120


0 50 100−5

0

5

Res

1o 11


0 50 100−5

0

5

Res

1o 12

0 50 100−5

0

5

Res

1o 2

Tiempo,min0 50 100

−5

0

5

Res

1o 4

Tiempo,min

(a) Residuos T1

0 50 100−2

0

2

4

6

Res

12o 9


0 50 100−2

0

2

4

6

Res

12o 11

0 50 100

−2

0

2

4

Res

12o 1

0 50 100

−2

0

2

4

6

Res

12o 7

(b) Residuos T12

Figura 5.11: Comportamiento de los residuos para 2 fallas tipo rampa saturada.


Sensor 1

Sensor 2

Sensor 4

Sensor 6

Sensor 7

Sensor 9

Sensor 11

Sensor 12


(a) Descalibración


Sensor 1

Sensor 2

Sensor 4

Sensor 6

Sensor 7

Sensor 9

Sensor 11

Sensor 12


(b) Falla

Figura 5.12: Indicadores de descalibración y falla para los sensores 1 y 12.

tipo escalón en el instante T=60 de +5.1◦C para el sensor 1 y para el sensor 12 se proponeuna rampa saturada con amplitud mínima de -5.1◦C sobre la señal original del sensor.

La dinámica de los residuos se presenta en la figura 5.15, donde se puede observar cómolas señales utilizadas para el sensor 1, sobrepasan los umbrales de descalibración y de falla deuna manera abrupta, análoga a la desviación propuesta. La respuesta de los residuos para elsensor 12, presentan una evolución semejante a la rampa saturada, donde se puede analizarel instante donde comienza a originarse la falla hasta que alcanza y sobrepasa el umbral defalla, instante en el cual entra en operación el STF.

121


0 50 10065

70

75

80

85

T1,

°C

Señales de los sensores

0 50 10070

75

80

85

90

T12

, °C

0 50 10070

72

74

76

78

80

T1,

°C

Temperaturas luego de la reconfiguración

Tiempo, min0 50 100

70

75

80

85

90

T12

, °C

Tiempo, min

Instante de la reconfiguración

Figura 5.13: Temperaturas con falla y reconfiguradas por el STF prueba 1.

0 20 40 60 80 100 12065

70

75

80

85

T1

Temperaturas luego de reconfiguración

0 20 40 60 80 100 12065

70

75

80

85

90

T12

Tiempo, min

Temp. con fallaTemp. real

Figura 5.14: Falla en escalón para el sensor 1 y rampa saturada para el sensor 12.

Una vez que se ha alcanzado la condición de falla en los sensores, el STF conmutalas temperaturas bajo los efectos de las fallas, por las generadas mediante el OMDSTF ,dicha operación se presenta en la figura 5.16, para efectos de comparación se muestra elcomportamiento tanto de la temperatura bajo los efectos de la falla y la llevada a cabo porel STF. En esta figura se observa cómo, para el caso de la falla en el sensor 1, el sistema locompensa de forma inmediata a la ocurrencia de la falla.

Una vez formulado de manera teórica el STF para sensores en la columna de destilacióny mediante las pruebas llevadas a cabo en ambiente de simulación con observadores validadosen línea, queda finalmente desarrollado un esquema de reconfiguración, capaz de compensarlas fallas de manera robusta en dos sensores que se consideran relevantes en el sistema de lacolumna.

122


0 50 100−5

0

5

Res

1o 11


0 50 100−5

0

5

Res

1o 120 50 100

−5

0

5

Res

1o 2

Tiempo,min0 50 100

−5

0

5

Res

1o 4

Tiempo,min

(a) Residuos T1

0 50 100−2

0

2

4

6

Res

12o 9


0 50 100−2

0

2

4

6

Res

12o 11

0 50 100

−2

0

2

4

Res

12o 1

0 50 100

−2

0

2

4

6

Res

12o 7

(b) Residuos T12

Figura 5.15: Comportamiento de los residuos para 2 fallas tipo rampa saturada.

0 50 10065

70

75

80

85

T1,

°C

Señales de los sensores

0 50 10070

75

80

85

90

T12

, °C

0 50 10070

72

74

76

78

80

X: 59.95Y: 75.31

T1,

°C

Temperaturas luego de la reconfiguración

Tiempo, min

X: 60Y: 74.81

0 50 10070

75

80

85

90

T12

, °C

Tiempo, min

Instante de la reconfiguración

Figura 5.16: Temperaturas con falla y reconfiguradas por el STF en la prueba 2.

Como se observó en este capítulo, aún cuando la información entregada por una unidadFDI es importante para los operadores, es necesario desarrollar una acción adicional, queprescinda de la decisión humana (como principio de un esquema tolerante a fallas) y quemejore la operación del sistema, considerando los efectos de las fallas sobre este. La robustezde los OMD para la reconstrucción de las temperaturas asegura que el sistema, puedemantener su operación ante diferentes entradas que cambien el punto de operación de lacolumna, además de mantener su integridad ante la ocurrencia de fallas de diferentes tipos.

123


.

124

Capítulo 6

Conclusiones y trabajos futuros

El presente tema de investigación, comprendió cuatro temas diferentes, los cuales seconjuntaron para lograr los objetivos y metas planteados. Estos corresponden a la la columnade destilación, los observadores en modos deslizantes, diagnóstico de fallas en sensores yactuadores y tolerancia a fallas en sensores. Las conclusiones permiten analizar los posiblestrabajos futuros, a los cuales esta tesis ofrece una apertura y que son de gran interés parala investigación realizada en el CENIDET en el área de procesos químicos y de los sistemade diagnóstico y tolerancia a fallas.

6.1. Conclusiones

Columna de destilación

La columna de destilación fue el objeto de experimentación para el tema de investigaciónrealizado y es uno de los puntos más importantes de la tesis. Esta planta es de vitalimportancia en muchas industrias y sistemas de producción que realizan separación desustancias y mezclas, siendo una de sus más grades inversiones y con mayor costo deoperación. En el área académica, las columna de destilación binarias (CDB) son de granimportancia por su simplicidad de diseño y operación. Las CDB ofrecen un panorama inicialsobre qué se debe hacer, cómo se debe hacer y que restricciones se deben tomar en cuenta,para operar una de mayor complejidad.

La columna de destilación, como todo proceso químico, presenta no linealidades y unfuerte acoplamiento entre sus variables, lo cual incrementa la complejidad en cuando al diseñode sistemas de control, así como su implementación. El modelo que se presentó en esta tesis,solo consideró las relaciones termodinámicas y de balance que resultaron de importancia parala obtención de un observador que permitió generar unidades de diagnóstico y tolerancia afallas, dejando de lado el balance de energía, debido a que se incrementaría el orden deecuaciones y la complejidad del diseño.

Mediante la validación del modelo con muestras de temperaturas, concentracionesy producto destilado obtenido, se concluyó que el sistema de ecuaciones y relacionestermodinámicas propuestas, son suficientes para obtener un comportamiento aproximadoa la operación real de la CDB del CENIDET, lo cual es importante para la tesis, ya que deno tener una representación matemática fiel del sistema, el trabajo posterior sería equivocadoy culminaría en que el enfoque propuesto de observadores, diagnóstico y tolerancia a fallasfueran inútiles para aplicarse en esta clase de sistemas.

125

CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS

El sistema de monitoreo desarrollado para la columna de destilación, tiene un papelimportante sobre las pruebas experimentales que se llevan a cabo sobre el sistema, ya queademás de permitir operar de forma remota a la columna, ofrece al usuario la capacidad dealmacenar toda la información presente en la columna, tanto de mediciones de los sensores,como las posiciones y valores definidos de los actuadores, datos que además de permitir elanálisis del comportamiento de una prueba en especial, diseño de controladores y para estecaso, observadores.

Es importante mencionar que tanto para la validación del modelo y en general paracualquier prueba concerniente al sistema de la columna de destilación, las condicionesmedioambientales influyen en los resultados esperados. Siendo de vital importancia latemperatura utilizada del agua de enfriamiento, la incorrecta refrigeración incrementa laspresiones internas provocando fugas de vapor, lo cual es consideración importante a recordarcuando se opera a la columna. La información sobre la mezcla y los tiempos utilizados para laválvula de reflujo para el cambio en el punto de operación presentados durante la validacióndel modelo y del observador, fueron definidos a partir de los datos de experto en columnasde destilación para la producción de etanol.

Por lo tanto, el modelo de la columna de destilación utilizado en este documento, aúnsin considerar el modelado de energía, es una representación fiel de la planta real y sobre elcual se puede realizar el diseño de observadores, así como métodos de diagnóstico basadosen el modelo y a través de la información registrada por el sistema de monitoreo, se puedensimular escenarios cercanos a la realidad.

Observadores en modos deslizantes

Los observadores en modos deslizantes resultan ser un método prometedor en laestimación de estados y reconstrucción de señales para modelados no lineal de sistemasfísicos, los cuales se pueden extenderse hacia esquemas de detección y diagnóstico de fallas,debido a sus características de robustez y rechazo a perturbaciones.

La estimación robusta de los estados de un sistema y su implementación en el sistemareal, dependen directamente del modelo utilizado para el diseño del observador, así comode los conocimiento sobre las restricciones que se pueden considerar en la planta, lo cualconlleva a facilitar el diseño del observador. La importancia de tener una representación fieldel sistema, deriva en que los cálculos realizados en la formulación de las ganancias y lasuperficie deslizante, no sufran cambios sustanciales al momento de su implementación.

Para el caso del observador formulado e implementado en la columna de destilaciónbinaria del CENIDET se realizó el siguiente procedimiento:

Definición del modelo de la columna, el cual conjunta los trabajos de (Torres-Ortiz2005, Aguilera-González 2008, Téllez-Anguiano, et. al. 2010).

Cálculo de la superficie deslizante, considerando la incertidumbre generada por el flujode alimentación. El método de diseño de las ganancias, se encuentra justificado por laestabilidad de Lyapunov.

Generado el observador se realizó su implementación en la interface de de monitoreo,lo que permitió analizar el comportamiento del observador realizando ciertas modificaciones

126


para operar como un sistema de estimación de concentraciones y como reconstructor delas temperaturas en línea. Donde la única modificación realizada fue el cambio del términoque suaviza la función de conmutación δ, dicho valor es propuesto por el diseñador y noexiste un método unificado para su definición. Una vez que se determinó un valor adecuado,las ganancias calculadas mediante el método presentado en el Capítulo 3 permanecieron sinalteración.Esto se debe a que el modelo ofreció suficiente información sobre el sistema con losdatos almacenados por la unidad de monitoreo, utilizados para emular diferentes condicionesde operación para el OMD. Otra razón se debe a la propiedad de robustez que entrega lafunción de conmutación donde el Anexo F presenta cómo la mala selección de δ provoca unefecto de chattering pero se observa cómo se mantiene la estimación de las concentraciones.

Se concluye que los OMD pueden ser utilizados para la estimación de las variables deinterés en un sistema con características no lineales, sin importar la complejidad de su modeloy el acoplamiento entre sus estados, la robustez es inherente al observador cuyo diseño se vecondicionado por una adecuada selección del modelo matemático y del conocimiento sobre suoperación, ya que esto facilita su implementación y reduce las modificaciones. Se tiene ademásque el observador funciona en cualquier punto de operación del sistema, siendo insensible alas variaciones debido a incertidumbres y perturbaciones, así como no es necesario el conocerel estado actual del proceso pudiendo definirse cualquier condición inicial al observador y lacapacidad de estimar los estados ante variaciones paramétricas.

Diagnóstico de fallas mediante observadores en modos deslizantes

El trabajo aquí presentado, busco extender el OMD diseñado para la estimación deconcentraciones hacia la generación de señales que permitieran determinar la mala operaciónde algún elemento en la columna, aprovechando las características de los OMD se generarondos sistema de diagnóstico de fallas robustos para la columna de destilación:

Unidad de detección y localización de fallas en sensores, basado en la teoría del Esquemade Observador Dedicado, con el cual se realizó la comparación de los ocho sensores de lacolumna para la generación de residuos, así como del banco de firmas para la detecciónde siete de los sensores de temperatura, enviando dicha información a un sistema visualde alarmas.

Unidad de detección y diagnóstico de fallas en actuadores, empleando un único OMDcon dos conjuntos de ganancias. El primer conjunto se encargada de hacer convergerel error de estimación de los estados hacia cero. El segundo conjunto de ganancias,permite reducir la dinámica no deseada generada por alguna otra entrada que perturbala estimación del valor del actuador de interés.

Para la unidad FDI en sensores, se definieron dos tipos de desviación. La primera sedefinió como una descalibración del sensor, cuyo valor es de ±2◦C sobre la temperaturamedida. La segunda desviación consiste en la falla del sensor con un valor de ±5◦C sobreel valor real, implicando la posible desconexión del sensor. Es importante recalcar el hechode que tales desviaciones fueron emuladas mediante programa, al sumar o restar diferentesvalores sobre las señales reales provenientes de los sensores. Cabe señalar que las pruebasde robustez aplicadas al OMD (convergencia ante diferentes c.i.,cambios de referencia en

127


potencia calefactora y reflujo, variaciones en los parámetros de la columna) siguen vigentespara la obtención de residuos insensibles a las incertidumbres y perturbaciones del sistema.

Para la detección y estimación de las fallas en un actuador de la columna solo empleóun observador, especialmente diseñado para la estimación del valor del actuador de lapotencia calefactora (termoresistencia). Haciendo uso de la información de las entradas ylas temperaturas, el observador tiene la capacidad de estimar las concentraciones líquidasdel componente deseado, además de que un conjunto de ganancias diseñadas para atenuar losefectos del flujo de alimentación, permiten generar una acertada estimación de la dinámicadel actuador, el cual es visto en el observador como un estado más del sistema.

En el caso de la válvula de recirculación su operación (apertura y cierre de unaválvula) se asemeja al comportamiento natural del OMD, por lo que no es necesario realizaralgún filtrado o tratamiento de esta señal dado que el OMD permanece insensible a estasvariaciones. Pero los efectos de la entrada de alimentación presenta una dinámica máscompleja considerando la cantidad de mezcla que ingresa, la concentración y la temperaturaa la cual llega, de manera física esto produce un cambio interno en el VLE de la columna,matemáticamente, la existencia de un flujo de alimentación aumenta la complejidad de lasecuaciones al añadirse a cada estado. Por esta razón es que se atenúan dichos efectos medianteel cálculo de ganancias adicionales al diseño del OMD.

Una vez generado la unidad FDD la superficie deslizante y la función de estimación delactuador son las encargadas de detectar las fallas de manera robusta. La superficie entregainformación importante sobre lo que sucede en el actuador y el sistema, debido a que se“rompe” ante los efectos de una falla detectando el momento en que ocurre una falla, siexiste algún cambio en su dinámica e incluso si desaparece, además de que tiene un rolimportante al mantener la estabilidad del observador. La función de estimación se encargade entregar el valor nominal del actuador hasta que una falla hace que sufra una desviación,el OMD entrega dicho valor de desviación sin importar cambios en la referencia o los efectosde los actuadores restantes, agregando una capacidad de robustez para las fallas.

La metodología puede aplicarse no solo a un sistema como la columna de destilación,la formulación presentada pretende ser un esquema de diseño general para la formulaciónde esquemas de diagnóstico en otros sistemas no lineales, ofreciendo la capacidad de quefácilmente puede ser llevada a la implementación una vez generado un observador quepueda seguir la dinámica del sistema en simulación, sin importar el numero de variables,su acoplamiento y la forma del modelo matemático ya que el OMD que se encarga de laestimación de las variables de interés se construye directamente sobre el modelo y no serequiere alguna transformación o linealización.

Sistema de reconfiguración para fallas en sensores

El obtener un sistema de diagnóstico de fallas es solo el primer paso en las denominadasáreas superiores de la seguridad y el control de sistemas, ya que el determinar las fallas no essuficiente para mantener operando un proceso o sistema, sino que se deben tomar las medidasnecesarias sin intervención humana, hasta que un paro programado o mantenimiento puedaser llevado a cabo.

128


Bajo el precepto anterior en esta investigación se formuló un Sistema Tolerante a Fallaspara sensores de temperatura en la columna de destilación, una vez detectada la falla delos sensores del hervidor y el condensador es necesario realizar una acción correctiva paramantener una medición adecuada, la elección de estos dos sensores se debe a que se considerande vital importancia para la determinación de las concentraciones en esas etapas, con lascuales se pueden diseñar sistemas de control como los presentados en (Valencia-Palomo2006), donde la incorrecta medición resultaría en la deficiente operación de los controladoresdiseñados.

Haciendo uso de la teoría de sensor virtual el STF utiliza seis sensores, omitiendo lasseñales de los sensores en las etapas 1 y 12, con la intención de ser reconstruidos. Mediantela información entregada por la unidad FDI, si una falla es detectada en alguno de estoselementos o en ambos, el sistema realiza una conmutación cancelando la señal real del sensory en su lugar entrega la señal reconstruida por el observador, el cual es diseñado bajo elenfoque de los OMD para obtener una reconstrucción robusta. Es importante mencionarque aunque los STF entran en la teoría del Control Tolerante a Fallas, su aplicación se velimitada debido a que no se realiza una variación sobre los controles presentes en el sistema,en especial el de la reconfiguración mediante sensor virtual, ya que únicamente adecua lasseñales a la salida para ser utilizadas por otro sistema ajeno al mismo sensor virtual.

Una ventaja del sensor virtual utilizando un OMD es que no importa el valor de lasentradas, manteniendo la condición del umbral definido para las fallas, donde el OMD seencarga de que no exista una conmutación hacia el sensor dañado debido a un cambio dereferencia u otra situación de incertidumbre o perturbación en el sistema manteniendo surobustez y asegurando el buen seguimiento del proceso.

Como se observó en la investigación, el sistema tanto FDI como FDD son capaces dedetectar tanto fallas súbitas, intermitentes y progresivas, así como fallas multiplicativasy aditivas, concluyendo en que el enfoque de observadores en modos deslizantes es unaherramienta prometedora para el área del diagnóstico de fallas y el control tolerante a fallas,con la propiedad de que fácilmente puede ser implementado en un sistema real.

6.2. Trabajos futuros

Las columna de destilación por ser un proceso químico presenta fuertes no linealidadesen su funcionamiento, lo que significa que se debe tener especial cuidado cuando se diseñansistemas de control u observación, por esta razón es que la columna de destilación es uncampo rico en temas para la experimentación de nuevos enfoques y variedad de enfoques,como lo fue el de los observadores en modos deslizantes desarrollado en esta investigación.

Dentro de los trabajos que se pueden continuar bajo esta temática, es el desarrollode un sistema de acomodación o reconfiguración para fallas en el actuador de la potenciacalefactora, cuyo objetivo sería el adecuar la potencia para permitir la operación en ordendegradado o incluso el realizar un apagado de emergencia.

A partir de la caracterización rigurosa tanto de la válvula de recirculación y el sistemaencargado de la alimentación. Se puede realizar un conjunto de unidades de diagnóstico de

129


fallas y de control tolerante a fallas mediante el enfoque de observadores en modos deslizantes,por su capacidad de modificar su dinámica alterando la superficie deslizante mediante lainformación de la falla. Para el caso de la válvula de recirculación, la implementación deun Control por Modos Deslizantes puede implementarse de forma casi directa, ya que laoperación de la válvula coincide con las condiciones de funcionamiento inherentes a losmodos deslizantes.

Por otro lado, el sistema de alimentación considera dos actuadores: la bomba quealimenta la mezcla y la resistencia utilizada para calentarla. Una caracterización de estesubsistema, puede derivar en una unidad de diagnóstico de fallas y control por modosdeslizantes, ya que la bomba es un sistema electromecánico donde los sistemas de control porestructura variable se desenvuelven de una forma natural y por sus características de robustezy del diseño de una superficie que se mueva a partir del conocimiento de la falla se obtendríaun sistema de acomodo de fallas en línea con la posibilidad de una implementación real, queademás utilizando la teoría aquí desarrollada para estimar el valor del actuador, se puedegenerar un sistema tolerante a fallas para el calentador de la mezcla de alimentación.Cerrarel lazo de control de la columna con la información del sensor virtual para generar un sistemade Control Tolerante a Fallas.

Extender el enfoque de observadores en modos deslizantes para la detección y tolerancia afallas a otra clase de sistemas que se encuentran en los diferentes laboratorios del CENIDET,con miras a obtener pruebas reales e los sistemas y no solo en ambiente de simulación,este enfoque puede aplicarse a motores de inducción, al péndulo invertido, sistemas deiluminación y el intercambiador de calor. Estos resultados del mismo modo puede sermejorados en trabajos de investigación posteriores que enriquecerían el desarrollo de sistemascon aplicaciones didácticas e incluso industriales.

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133

Apéndice A

Glosario de términos

Letras mayúsculas

A Matriz de derivadas parciales del sistema no linealAc Constante de Antoine para el componente cAV L Constante de Van LaarAeoh Constante de Antoine para el etanolAr Representación reducida de la matriz A del sistemaB Producto de fondoBc Constante de Antoine para el componente cBV L Constante de Van LaarBeoh Constante de Antoine para el etanolBr Representación reducida de la matriz B del sistemaC Matriz de salida del sistemaCc Constante de Antoine para el componente cCV L Constante de Van LaarCeoh Constante de Antoine para el etanolCr Representación reducida de la matriz C del sistemaCph2o,eoh Calor específico (kJ/mol◦C)D Producto destiladoEci Eficiencia de Murphree para la fase vaporF Flujo molar de alimentación (moles/min)Fv Flujo volumétrico de alimentación (mL/min)H Hentalpía de vapo (J/mol)Kci Coeficiente de equilibrio del componente c en la etapa iKi Ganancias del observador en modos deslizantesL Flujo molar líquidoLR Flujo líquido en la sección de enriquecimiento (moles/min)LS Flujo líquido en la sección de empobrecimiento (moles/min)Mci Masa molar retenida en cada estado (moles)MWc Peso molecular (g)N Numero total de estadosPAb Porcentaje de apertura de la válvula de fondoP v

ci Presión según la ley de RaoultP g

ci Presión parcial según la ley de Daltol (kPa)P sat

ci Presión parcial según ecuación de Antoine

134

APÉNDICE A. GLOSARIO DE TÉRMINOS

PT Presión total (kPa)Qb Potencia calefactora (Watts)θ(t) Valor nominal del actuadorθ(t) Valor estimado del actuador por el observadorR Reflujo (0,1)T Periodo de la señal aplicada a la válvula (seg)Ti Temperatura en cada estado (◦C)Ti Temperatura reconstruida en la etapa iTF Temperatura de alimentación (◦C)Tbc Temperatura de ebullición (◦C)V Flujo de vapor molar (moles/min)Vci Volumen de cada estado (mL)VR Flujo de vapor en la sección de enriquecimiento (moles/min)VS Flujo de vapor en la sección de empobrecimiento (moles/min)Wtc Porcentaje en peso de un componente en la alimentación

Letras minúsculas, griegas, subíndices y superíndices

xi Estados del sistemaxi Estados observados del sistemaxi Error de estimación en los estadosu Entradas del sistemay Salidas del sistemaey Error de estimación a la salidaδ Constante para suavizar la función de conmutaciónδfa,b

i Incertidumbre en el modelo de un sistemaei Eficiencia de Murphree para fase líquidaf(·) Función no lineal del sistemaf 0

ci Fugacidad del líquido en un estado de referenciaqF Calidad de la alimentaciónΓ Gramian de observabilidadh(Xu(t, x0)) Solución en tiempo t para cond. inicial x0 ante señal de control uxF Concentración líquida en la alimentaciónxci Concentraciones molares líquidasyci Concentraciones molares de vaporλvap

h2o,eoh Entalpía de vaporizaciónγci Coeficiente de actividadΦci Coeficiente de fugacidadρc Densidad (g/cm2)rB Posición de la válvula de fondorv Posición de la válvula de recirculaciónsup Superficies de deslizamiento de la salidav Función de conmutación del observadorveoh,h2o Volumen de cada componente en el contenedor de alimentación (litros)

135

APÉNDICE A. GLOSARIO DE TÉRMINOS

ωeoh Fracción porcentual de peso del componente ligeroSubíndices y superíndices

f Plato de alimentaciónc Componenteeoh Componente ligero (etanol)i Etapa en la columna de destilaciónj j-ésimo componente de un vectorF Etapa de alimentaciónH Componente pesado de la mezclah2o Componente pesado (agua)L Componente ligero de la mezclaR Sección de rectificación o enriquecimientoS Sección de agotamiento o empobrecimiento

Abreviaciones

ANFIS Adaptive Network based Fuzzy Inference SystemCDB Columna de destilación binariaCENIDET Centro Nacional de Investigación y Desarrollo TecnológicoCMD Control por Modos DeslizantesCSTR Continuous-Stirred Tank ReactorFDI Fault detection and isolationFDD Fault Diagnosis and DetectionFTC Fault tolerant controlMIMO Multiple Input Multiple OutputOAG Observador de alta gananciaOMD Observador en modos deslizantesPLC Programmable Logic ControllerPC Personal ComputerSISO Single Input Single OutputSD Superficie deslizanteSTF Sistema Tolerante a FallasVSCS Variable Structure Control SystemsMSE Mean Square ErrorMCE Mean Cuadratic ErrorSMC Sliding Mode ControlVLE Vapor-Liquid Equilibrium

136

Apéndice B

Residuos del banco de observadores

En este anexo se muestran los residuos generados por el banco de OMDs. Las gráficasB.1 a B.4 muestran los residuos de los sensores sin fallas y con los umbrales determinar elgrado de la falla.

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

1o 11


0 50 100 150−6

−4

−2

0

2

Res

1o 12

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

1o 2


−4

−2

0

2

4

Res

1o 4

Tiempo,min

a

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

2o 12


0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

2o 1

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

2o 4


−4

−2

0

2

4

Res

2o 6

Tiempo,min

b

Figura B.1: (a) Residuos para el sensor 1 (b) Residuos para el sensor 2, sin falla.

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

4o 1


0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

4o 2

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

4o 6


−4

−2

0

2

4

Res

4o 7

Tiempo,min

a

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

6o 2


0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

6o 4

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

6o 7


−4

−2

0

2

4

Res

6o 9

Tiempo,min

bFigura B.2: (a) Residuos para el sensor 4 (b) Residuos para el sensor 6, sin falla.

137

APÉNDICE B. RESIDUOS DEL BANCO DE OBSERVADORES

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

7o 4


0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

7o 6

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

7o 9


−4

−2

0

2

4

Res

7o 11

Tiempo,min

a

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

9o 6


0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

9o 7

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

9o 11


−4

−2

0

2

4

Res

9o 12

Tiempo,min

b

Figura B.3: (a) Residuos para el sensor 7 (b) Residuos para el sensor 9, sin falla.

0 50 100 150

−2

0

2

4

Res

11o 7


0 50 100 150

−2

0

2

4

Res

11o 9

0 50 100 150

−2

0

2

4

Res

11o 12


−2

0

2

4

Res

11o 1

Tiempo,min

a

0 50 100 150−2

0

2

4

6

Res

12o 9


0 50 100 150−2

0

2

4

6

Res

12o 11

0 50 100 150−2

0

2

4

6

Res

12o 1


−2

0

2

4

6

Res

12o 7

Tiempo,min

bFigura B.4: (a) Residuos para el sensor 11 (b) Residuos para el sensor 12, sin falla.

B.1. Residuos de las fallas en los sensores 2, 7 y 12

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

1o 11


0 50 100 150−6

−4

−2

0

2

Res

1o 12

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

1o 2


−4

−2

0

2

4

Res

1o 4

Tiempo,min

a

35 40 45 50 55

−3

−2

−1

0

1

Res

2o 12


0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

2o 1

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

2o 4


−4

−2

0

2

4

Res

2o 6

Tiempo,min

b

Figura B.5: Respuesta de los residuos de los OMD 1 y 2.

138

APÉNDICE B. RESIDUOS DEL BANCO DE OBSERVADORES

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

4o 1


0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

4o 2

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

4o 6


−4

−2

0

2

4

Res

4o 7

Tiempo,min

a

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

6o 2


0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

6o 4

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

6o 7


−4

−2

0

2

4

Res

6o 9

Tiempo,min

b

Figura B.6: Respuesta de los residuos de los OMD 1 y 2.

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

7o 4


35 40 45 50 55−3

−2

−1

0

1

2

Res

7o 6

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

7o 9


−4

−2

0

2

4

Res

7o 11

Tiempo,min

(a) Residuos OMD7

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

9o 6


0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

9o 7

0 50 100 150−4

−2

0

2

4

Res

9o 11


−4

−2

0

2

4

Res

9o 12

Tiempo,min

(b) Residuos OMD9

0 50 100 150

−2

0

2

4

Res

11o 7


0 50 100 150

−2

0

2

4

Res

11o 9

0 50 100 150

−2

0

2

4

Res

11o 12


−2

0

2

4

Res

11o 1

Tiempo,min

(c) Residuos OMD11

0 50 100 150−2

0

2

4

6

Res

12o 9


0 50 100 150−2

0

2

4

6

Res

12o 11

90 95 100 105 110

1

2

3

4

5

Res

12o 1


−2

0

2

4

6

Res

12o 7

Tiempo,min

(d) Residuos OMD12

Figura B.7: Respuesta de los residuos de los OMD: 1, 2, 4 y 6.

139

Apéndice C

Tolerancia a fallas en los sensores del 2al 11

Este anexo muestra una forma diferente de realizar una reconfiguración para los sensores2, 4, 6, 7, 9 y 11, mediante un observador que utiliza las mediciones de temperatura en elcondensador y el hervidor, el esquema para este sistema se presenta en la figura C.1 teniendouna estructura similar a la ecuación (5.6) con la variante de las temperaturas utilizadas enla reconstrucción.

Figura C.1: Diagrama de reconfiguración para los sensores de la columna de destilación.

Se utiliza un OMD, el cual además de ingresarle las señales de las entradas, se le ingresan2 temperaturas medidas, las temperaturas del condensador y del hervidor, platos 1 y 12,respectivamente. Mediante la temperatura del condensador, se estiman las temperaturas dela sección de enriquecimiento y del plato de alimentación (platos 1 al 7); con la medicióndel hervidor, las temperaturas de la sección de empobrecimiento son reconstruidas (platos 8al 12), en la figura C.2 se muestran las gráficas de las temperaturas reales y las estimadassegún esta formulación. Se asume que los sensores 1 y 8 se encuentran libres de fallas.

140

APÉNDICE C. TOLERANCIA A FALLAS EN LOS SENSORES DEL 2 AL 11

0 50 10073

74

75

P1

0 50 10073

74

75

76

77

P2

0 50 10072

73

74

75

P3

0 50 10072

73

74

75

P4

0 50 10073

74

75

76

77

P5

0 50 10073

74

75

76

77

P6

a

0 50 10072

74

76

78

P7

0 50 10072

74

76

P8

0 50 10072

74

76

P9

0 50 10072

74

76

78

P10

0 50 10074

76

78

80

P11

0 50 10078

80

82

84

P12

b

Figura C.2: Mediciones reales y de las estimadas por el OMD con T1 y T8.

Los errores de medición, bajo el criterio del error cuadrático medio (CECM, se muestranen la tabla C.1, solo para los platos 1, 2, 4, 6, 7, 9, 11 y 12, ya que aunque en la figura C.2 semuestran las mediciones en cada plato, los platos 3, 5, 8 y 10, no cuentan con un elementopara realizar dicha comparación.

Tabla C.1: Criterio del error cuadrático medio para las temperaturasTemperatura 1 2 4 6 7 9 11 12

CECM(%) 0.005 0.0286 0.0126 0.0507 0.0670 0.0608 0.0324 0.0069


Sensor 1

Sensor 2

Sensor 4

Sensor 6

Sensor 7

Sensor 9

Sensor 11

Sensor 12

Verde: Sin falla; Amarillo: Descalibrado; Rojo:Falla

a

0 50 10073

73.5

74

74.5

75

P1

0 50 100

74

76

78

P2

0 50 10072

73

74

75

P3

0 50 10072

73

74

75

P4

0 50 10073

74

75

76

77

P5

Tiempo, min38 40 42 44

75

76

77

P6

Tiempo, min

Cambio del sensorpor la estimación

Desviacióndebido a falla

b

Figura C.3: Diagnóstico y reconfiguración de falla en un sensor.

Cuando el sistema se encuentra libre de fallas en los sensores, la ventana de diagnóstico,que se muestra en la figura C.3 muestra en color verde la correcta operación de los sensores,pero ante la ocurrencia de una falla, se tiene dos situaciones: (1) el sensor se encuentra malcalibrado y (2) el se encuentra dañado y no puede realizar la medición de manera correcta.

141

APÉNDICE C. TOLERANCIA A FALLAS EN LOS SENSORES DEL 2 AL 11

En este último caso, es cuando se elimina la medición del sensor real y en su lugar, entraen operación la temperatura estimada por el OMD con las temperaturas definidas en estasección. Para probar lo anterior, se generó una falla de 5 ◦C al sensor 6 en el instanteT=40min, la figura C.3 muestra la detección de la falla mediante la ventana de diagnósticoy en la gráfica P6 de temperaturas, se observa como en ese instante la temperatura se eleva,pero en el siguiente instante de muestreo, el observador es el que realiza ahora la medición,pero la unidad de diagnóstico sigue indicando el mal funcionamiento del sensor. Ahora serealiza un prueba con diferentes fallas, para observar los el resultado para una descalibracióny varias reconfiguraciones de temperaturas, la figura C.4 señala la forma en como se detectanlas fallas y su gravedad.


Sensor 1

Sensor 2

Sensor 4

Sensor 6

Sensor 7

Sensor 9

Sensor 11

Sensor 12

Verde: Sin falla; Amarillo: Descalibrado; Rojo:Falla

Figura C.4: Pantalla de diagnóstico para fallas simultaneas.

Pero para observar realmente lo que sucede, se presenta en las gráficas de la figura C.5como la temperatura del observador, sustituye las señales de los sensores que se encuentrafallando, pero no así para uno descalibrado, permaneciendo las demás estimaciones sincambios.

0 50 10073

74

75

P1

30 40 50 60 70

74

75

76

P2

0 50 10072

73

74

75

P3

0 50 10072

73

74

75

P4

0 50 10073

74

75

76

77

P5

Tiempo, min0 50 100

74

76

78

P6

Tiempo, min

Ocurrencia de falla y correción por el OMD

Descalibración

Permanece sin alteración

0 50 10072

74

76

78

P7

0 50 10072

74

76

P8

0 50 10072

74

76

78

P9

0 50 10072

74

76

78

P10

0 50 10074

76

78

80

P11

Tiempo, min0 50 100

78

80

82

84

P12

Tiempo, min

Variaciones debidoa umbrales

Temperaturadel OMD



Figura C.5: Reconfiguración para falla en 2 sensores y una descalibración.

142

Apéndice D

Diagrama de instrumentación

Figura D.1: Diagrama de instrumentación de la columna de destilación

143

Apéndice E

Arranque de la columna de destilación

En este apartado se presenta una serie de pasos para arrancar la columna de destilación,esto con la finalidad de que cualquier persona que requiera realizar una prueba en la columnade destilación considere la secuencia de apertura y cierre de las válvulas y llaves que seencuentran montadas en la alimentación tanto del agua de enfriamiento y aire comprimido,así como de los diferentes interruptores eléctricos que energizan al sistema.

(a) Conector (b) Interruptor principal (c) Interruptores bomba y PC

Figura E.1: Corriente eléctrica para la columna de destilación.

1. conectar la columna a una toma de corriente trifásica, tal como se muestra en la figuraE.1(a) cuya clavija se encuentra en la parte posterior al panel de control manual.

2. Activar el interruptor principal para energizar la columna, este se muestra en la figuraE.1(b) donde se señala además el interruptor para el ventilador de la columna.

3. Activar el interruptor de corriente para la PC de la columna de destilación, mostradoen la figura E.1(c), no activar el interruptor de la bomba aún.

4. Abrir la llave principal de agua y sus derivaciones hacia la columna y el desagüe, talcomo se indica en la figura E.2(a).

5. Encender la bomba del agua.

144

APÉNDICE E. ARRANQUE DE LA COLUMNA DE DESTILACIÓN

(a) Restricción del tanque (b) Válvula de control (c) Indicador flujo

(d) Cierre desagüe

Figura E.2: Sistema de enfriamiento.

6. Asegurarse que la válvula de bypass definida como V 9 montada sobre la válvula decontrol FV 1 se encuentre abierta, en caso contrario abrir dicha válvula para permitirel flujo de agua hacia el condensador.

7. Asegurarse que exista flujo de agua suficiente, tal como lo indica el sensor de flujo FI1en la figura E.2(c) que debe ser el cual debe presentar un valor de al menos 300 lts/mino superior.

8. Cerrar la llave que tiene la derivación hacia el desagüe, la cual se mantuvo abierta parareducir los efectos de golpes de ariete cuando la bomba en encendida.

9. Abrir la llave de paso del aire comprimido mostrada en la figura E.3(a) y asegurarseque haya presión de aire en el indicador montado en la columna que se presenta en lafigura E.3(b).

(a) Toma de aire (b) Medidor presión

Figura E.3: Indicador de la presión del aire para la columna.

145


(a) Interruptor columna (b) Botón arranque

(c) Columna operando

Figura E.4: Arranque de la columna de destilación.

10. Activar el interruptor (subir palanca) ubicado en la parte inferior izquierda, el cual semuestra en la figura E.4(a), con lo cual se enciende el indicador mostrado en la figuraE.4(b).

11. Presionar el botón de arranque en la figura E.4(b) para encender la columna, tal comose observa en la figura E.4(c), esto pone en marcha a los PLCs y la transmisión dedatos hacia la PC de la columna.

146


Figura E.5: Inicio del programa de la interface de la columna.

Figura E.6: Controlador para el flujo del agua de enfriamiento.

12. Cuando se inicia el programa de Labview para la columna de destilación, apareceuna ventana que permite configurar el puerto de entrada y la comunicación que seutilizará, la figura E.5 indica que valores deben estar seleccionador para la operaciónde la columna.

147


13. Estabilizar el control de flujo para el agua de enfriamiento, presionar en el botón decontroles en la interface, lo cual desplegará una ventana de operación como se muestraen la figura E.6:

13.1 Seleccionar control de flujo.13.2 Ajustar la referencia al valor que entrega el indicador FI1.13.3 Indicar una apertura del 100 % en la válvula de flujo.13.4 Cerrar el bypass, ver figura E.7(a).13.5 Esperar aproximadamente 3 minutos para que el controlador estabilice la válvula.13.6 Cambiar la apertura de la válvula a 20 % y esperar 3 minutos.13.7 Cambiar la referencia a 200 lts/min.

(a) Cierre bypass (b) Flujo controlado

Figura E.7: Cierre del bypass e indicación del flujo controlado.

14. Cargar la mezcla mediante el tubo indicado en la figura E.8(a), el tanque tieneuna capacidad máxima de 6 litros y se sugiere una composición de 45 % de alcoholvolumétrico en la mezcla utilizada.

15. Asegurarse que la válvula V 21 colocada en la base del tanque de destilado D2 seencuentre cerrada.

(a) Ingreso de mezcla (b) Válvula destilado

Figura E.8: Ingreso de mezcla y válvula del producto destilado.

148


Figura E.9: Ingreso de mezcla y válvula del producto destilado.

Finalmente, incrementar la potencia calefactora con valores de 5, 10, ..., 40 esperandoaproximadamente 3 minutos entre cambio y cambio, hasta definir un valor que se sugiereeste entre el 40 % y 50 %.

149

Apéndice F

Prueba experimental del observador conchattering

En este anexo se presenta el comportamiento que se obtuvo del OMD exportadodirectamente del programa de Matlab hacia la interface de la columna generada en Labview,teniendo como principal objetivo analizar la respuesta del observador bajo los efectos delchattering, provocados por la definición del valor delta para suavizar la superficie deslizante.

Se presenta en la figura F.1 las gráficas de las temperaturas, concentraciones y superficiesdurante el tiempo que le toma llegar al estado estable a la columna.

(a) Temperaturas (b) Concentraciones

(c) Superficies

Figura F.1: Temperaturas, concentraciones y superficies del arranque.

En la gráfica F.1(a) se puede observar como las temperaturas reales se encuentrancercanas a la temperatura ambiente, mientras las reconstruidas alrededor de los 70◦C.

150

APÉNDICE F. PRUEBA EXPERIMENTAL DEL OBSERVADOR CON CHATTERING

Las concentraciones mostradas en la gráfica F.1(b) reflejan el comportamiento de lastemperaturas, ya que estas permanecen próximas a 1 hasta que el observador entra dentrodel rango de operación previsto para las ecuaciones de las temperaturas. En la gráficaF.1(c) se observa cómo las superficies presentan oscilaciones con una media cero, debidoa que el observador entrega concentraciones similares a las definidas por la interface, estecomportamiento se debe a que solamente se utiliza un polinomio para la reconstrucciónde las temperaturas, así como para la generación de las concentraciones entregadas por lainterface. Entonces, se proponen una serie de restricciones en las concentraciones, para evitarque durante el arranque se indeterminen las ecuaciones utilizadas en la interface. Cuando sealcanza la estabilidad, se puede observar una serie oscilaciones, tanto en temperaturas comoen las concentraciones.


(c) Superficies

Figura F.2: Temperaturas, concentraciones y superficies en estado estable.

Una vez que los métodos para la generación de las concentraciones de la interface de lacolumna han entrado en operación, debido a que la columna se encuentra estabilizada, elobservador tiene la capacidad de poder estimar las concentraciones de los platos intermedios,utilizando la información de las concentraciones en el hervidor y el condensador. En lagráfica F.2(a) se observa las temperaturas calculadas por el observador y las medidas porlos sensores en las etapas del hervidor, el plato de alimentación y el condensador, donde lamayor diferencia la presenta la temperatura del condensador con un valor de 0.5 ◦C. Lasconcentraciones de las doce etapas se presentan en la gráfica F.2(b), calculadas a partir delos valores entregados por la interface para el hervidor y el condensador.

151


Las superficies deslizantes mostradas en la gráfica F.2(c) permiten analizar la operacióndel observador, en el caso de la superficie 1 se presenta un comportamiento suave que convergehacia cero, mientras que la superficie 2 muestra una serie de oscilaciones que se van atenuandoconforme pasa el tiempo, esta es la característica de conmutación que tiene el observadorpara forzar a los errores a cero y obtener una adecuada estimación.

Figura F.3: Operación de la válvula de recirulación


(c) Superficies

Figura F.4: Temperaturas, concentraciones y superficies entrando en chattering.

152


Una vez alcanzada la estabilidad en la columna, se procedió a realizar un cambio dereferencia utilizando la válvula de recirculación, dicha operación presenta en la figura F.3 y larespuesta del observador en las gráficas de la figura F.4. En la gráfica F.4(a) se observa comolas temperaturas y las concentraciones comienzan a oscilar por efecto de las superficies alcompensar la nueva dinámica definida por la recirculación, al iniciar un periodo de oscilaciónque induce a la superficie a responder de una forma inherente a su operación.


(c) Superficies

Figura F.5: Temperaturas, concentraciones y superficies saliendo del chattering.

Finalmente, las gráficas en la figura F.5 muestra como el observador comienza a salir delchattering, es importante notar que únicamente entro en este estado de oscilación la etapaque se ve directamente afectado por la válvula, esta es la del condensador debido a que estaválvula se encuentra conectada directamente a esta etapa.

Para este caso, el valor utilizado para suavizar la superficie fue definido como δ = 0.5,para solucionar el inconveniente del chattering y poder utilizar el OMD en lo posterior sepropone un valor de δ = 1.75, el cual se utilizó para los experimentos expuestos en estatesis, en lo que se refiere a las ganancias diseñadas en el Capítulo 2, estas permanecieron sinalteración lo que indica que el método pudo ser aplicado de forma acertada y que el únicovalor necesario para sintonizar al observador al momento de implementar es únicamente elutilizado para suavizar las superficies.

153

Apéndice G

Firmas para fallas en sensor

En este apartado se presentan las firmas generadas por los residuos seleccionados parael esquema DOS-OMD, mostrando un catálogo completo sobre las firmas esperadas tantopara fallas individuales como múltiples, considerando el fallo de siete de los sensores. En lasiguiente serie de tablas, la notación Ra,b indica el residuo a generado por la comparaciónentre el sensor y su reconstrucción generado por el observador b, donde b indica cual sensorfue utilizado para reconstruir las temperaturas. Se le recuerda al lector que la numeración nocorresponde a la secuencia natural de los números, sino a la indicada por las etapas dondese encuentran montados los sensores en la columna, con la finalidad de facilitar la forma encómo se generan y seleccionan los residuos para la localización de las fallas.

154

AP

ÉN

DIC

EG

.FIR

MA

SPA

RA

FALLA

SE

NSE

NSO

R

Tabla G.1: Firmas para una falla.

FallaR1,11:R1,12:R1,2:R1,4 R2,12:R2,1:R2,4:R2,6 R4,1:R4,2:R4,6:R4,7 R6,2:R6,4:R6,7:R6,9 R7,4:R7,6:R7,9:R7,11 R9,6:R9,7:R9,11:R9,12 R11,7:R11,9:R11,12:R11,1 R12,9:R12,11:R12,1:R12,2

S1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S2 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S4 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S6 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S7 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S9 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S11 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S12 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

Tabla G.2: Firmas para dos falla.

Falla R1,11:R1,12:R1,2:R1,4 R2,12:R2,1:R2,4:R2,6 R4,1:R4,2:R4,6:R4,7 R6,2:R6,4:R6,7:R6,9 R7,4:R7,6:R7,9:R7,11 R9,6:R9,7:R9,11:R9,12 R11,7:R11,9:R11,12:R11,1 R12,9:R12,11:R12,1:R12,2

S1,2 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,4 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,6 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,7 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,9 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,11 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,12 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S2,4 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S2,6 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S2,7 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S2,9 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S2,11 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S2,12 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S4,6 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S4,7 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S4,9 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S4,11 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S4,12 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S6,7 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S6,9 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S6,11 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S6,12 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S7,9 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S7,11 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S7,12 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S9,11 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S9,12 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S11,12 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

155

AP

ÉN

DIC

EG

.FIR

MA

SPA

RA

FALLA

SE

NSE

NSO

R

Tabla G.3: Firmas para tres falla.


S1,2,4 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,6 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,7 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,9 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,11 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,12 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,4,6 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,4,7 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,4,9 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,4,11 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,4,12 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,6,7 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,6,9 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,6,11 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,6,12 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,7,9 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,7,11 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,7,12 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,9,11 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,9,12 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,11,12 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S2,4,6 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S2,4,7 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S2,4,9 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S2,4,11 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S2,4,12 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S2,6,7 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S2,6,9 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S2,6,11 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S2,6,12 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S2,7,9 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S2,7,11 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S2,7,12 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S2,9,11 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S2,9,12 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S2,11,12 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S4,6,7 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S4,6,9 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S4,6,11 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S4,6,12 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S4,7,9 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S4,7,11 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

156

AP

ÉN

DIC

EG

.FIR

MA

SPA

RA

FALLA

SE

NSE

NSO

R

Tabla G.3: (continuación)


S4,7,12 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S4,9,11 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S4,9,12 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S4,11,12 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S6,7,9 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S6,7,11 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S6,7,12 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S7,9,11 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S7,9,12 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S9,11,12 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

Tabla G.4: Firmas para cuatro fallas.


S1,2,4,6 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,4,7 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,4,9 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,4,11 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,4,12 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,2,6,7 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,6,9 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,6,11 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,6,12 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,2,7,9 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,7,11 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,7,12 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,2,9,11 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,9,12 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,2,11,12 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S1,4,6,7 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,4,6,9 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,4,6,11 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,4,6,12 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,4,7,9 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,4,7,11 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,4,7,12 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,4,9,11 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,4,9,12 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,6,7,9 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,6,7,11 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,6,7,12 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

157

AP

ÉN

DIC

EG

.FIR

MA

SPA

RA

FALLA

SE

NSE

NSO

R



S1,7,9,11 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,7,9,12 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S2,4,6,7 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S2,4,6,9 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S2,4,6,11 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S2,4,6,12 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S2,4,7,9 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S2,4,7,11 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S2,4,7,12 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S2,4,9,11 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S2,4,9,12 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S2,4,9,11 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S2,4,9,12 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S2,4,11,12 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S2,6,7,9 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S2,6,7,11 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S2,6,7,12 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S2,6,9,11 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S2,6,9,12 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S2,6,11,12 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S2,7,9,11 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S2,7,9,12 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S2,7,11,12 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S2,9,11,12 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S4,6,7,9 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S4,6,7,11 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S4,6,7,12 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S4,6,9,11 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S4,6,9,12 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S4,6,11,12 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S4,7,9,11 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S4,7,9,12 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S4,7,11,12 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S4,9,11,12 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S6,7,9,11 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S6,7,9,12 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S6,7,11,12 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S7,9,11,12 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

158

AP

ÉN

DIC

EG

.FIR

MA

SPA

RA

FALLA

SE

NSE

NSO

R

Tabla G.5: Firmas para cinco fallas.


S1,2,4,67 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,4,69 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,4,611 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,4,612 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,4,79 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,2,4,711 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,4,712 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,2,4,911 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,4,912 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,2,4,1112 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S1,2,6,79 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,6,711 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,6,712 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,2,7,911 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,7,912 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,2,9,1112 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S1,4,6,79 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,4,6,711 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,4,6,712 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,4,6,911 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,4,6,912 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,4,6,1112 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S1,4,7,911 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,4,7,912 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,4,7,1112 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S1,4,9,1112 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S1,6,7,911 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,6,7,912 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,6,7,1112 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S1,7,9,1112 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S2,4,6,79 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S2,4,6,711 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S2,4,6,712 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S2,4,6,911 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S2,4,6,912 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S2,4,6,1112 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S2,4,7,911 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S2,4,7,912 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S2,4,7,1112 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S2,4,9,1112 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

159

AP

ÉN

DIC

EG

.FIR

MA

SPA

RA

FALLA

SE

NSE

NSO

R



S2,6,7,911 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S2,6,7,912 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S2,6,7,1112 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S2,6,9,1112 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S2,7,9,1112 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S4,6,7,911 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S4,6,7,912 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S4,6,7,1112 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S4,6,9,1112 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S4,7,9,1112 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S6,7,9,1112 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

Tabla G.6: Firmas para seis fallas.


S1,2,4,67,9 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,4,67,11 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,4,67,12 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,2,4,69,11 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,4,69,12 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,2,4,611,12 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S1,2,4,79,11 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,4,79,12 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,2,4,911,12 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S1,2,6,79,11 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,6,79,12 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,2,6,711,12 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S1,2,7,911,12 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S1,4,6,79,11 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,4,6,79,12 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,4,6,711,12 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S1,4,6,911,12 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S1,4,7,911,12 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S1,6,7,911,12 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S2,4,6,79,11 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S2,4,6,79,12 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S2,4,6,711,12 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S2,4,6,911,12 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S2,4,7,911,12 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

160

AP

ÉN

DIC

EG

.FIR

MA

SPA

RA

FALLA

SE

NSE

NSO

R



S2,6,7,911,12 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S4,6,7,911,12 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

Tabla G.7: Firmas para siete fallas.


S1,2,4,67,9,11 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0

S1,2,4,67,9,12 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1

S1,2,4,67,11,12 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S1,2,4,69,11,12 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S1,2,4,79,11,12 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S1,2,6,79,11,12 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S1,4,6,79,11,12 1 : 1 : 1 : 1 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

S2,4,6,79,11,12 0 : 0 : 0 : 0 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1

161

Apéndice H

Ecuaciones de la columna de destilación

Para analizar la forma en cómo se ve afectado el modelo de la columna, debido a lainfluencia que tiene las entradas sobre el comportamiento de la planta, en este anexo seexpone al lector cuatro condiciones:

Modelo de la columna sin recirculación ni flujo de alimentación.

Modelo con recirculación y sin flujo de alimentación.

Modelo con flujo de alimentación sin la recirculación.

Modelo con flujo de alimentación y flujo de recirculación.

Pero para facilitar el entendimiento de las ecuaciones, se realizó la sustitución numérica conlos parámetros reales de la columna, esto con el fin de observar como se encuentran acopladaslas variables de interés, se considera que las temperaturas presentes en las doce etapas sonlas que presenta la columna cuando alcanza su estado estable, las cuales se determinan conla ecuación de Antoine, la cual se resuelve para encontrar la temperatura de ebullición deletanol a la presión que se encuentra en la ciudad de Cuernavaca, esto se encuentra en elCapítulo 3.

Se supone que la válvula de recirculación puede tomar solamente los valores 0 (cerrado)y 1 (abierto), por lo que cuando se realice la sustitución solo se verán los efectos de suaparición. Caso contrario las entradas de la potencia calefactora y el flujo de alimentación,las cuales no son constantes ya que pueden tomar cualquier valor dentro de su rango deoperación, por lo que se realiza una sustitución simbólica para analizar sus efectos.

162

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.E

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ION

ES

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CO

LU

MN

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EST

ILA

CIÓ

N

H.1. Modelo sin recirculación ni flujo de

alimentación

Suponiendo una potencia Qb, recirculación R = 0 y flujo volumétrico

Fv = 0:

x1 =345.6Qb(75530x2 − x1)

−2090x12 + 40650

x2 =75.54Qb(75530(x3 − x2))

−2090x12 + 40650+

75.54Qb(x1 − x2)

−2090x12(x1 − x2) + 40650

x3 =75.54Qb(75530(x4 − x3))

−2090x12 + 40650+

75.54Qb(x2 − x3)

−2090x12(x2 − x3) + 40650

x4 =75.54Qb(75530(x5 − x4))

−2090x12 + 40650+

75.54Qb(x3 − x4)

−2090x12(x3 − x4) + 40650

x5 =75.54Qb(75530(x6 − x5))

−2090x12 + 40650+

75.54Qb(x4 − x5)

−2090x12(x4 − x5) + 40650

x6 =75.54Qb(75530(x7 − x6))

−2090x12 + 40650+

75.54Qb(x5 − x6)

−2090x12(x5 − x6) + 40650

x7 =5.706 × 106Qbx8

−2090x12 + 40650.+

75.54Qbx6

−2090x12 + 40650−

5.706 × 106Qbx7

−2090x12 + 40650

x8 =75.54Qb(75530(x9 − x8))

−2090x12 + 40650+

75.54Qb(x7 − x8)

−2090x12 + 40650

x9 =75.54Qb(75530(x10 − x9))

−2090x12 + 40650+

75.54Qb(x8 − x9)

−2090x12 + 40650

x10 =75.54Qb(75530(x11 − x10))

−2090x12 + 40650+

75.54Qb(x9 − x10)

−2090x12 + 40650

x11 =75.54Qb(75530(x12 − x11))

−2090x12 + 40650+

75.54Qb(x10 − x11)

−2090x12 + 40650

x12 = −20460Qbx12

−2090x12 + 40650+

.2709Qb(x11 − x12)

−2090x12 + 40650

H.2. Modelo con recirculación y sin

alimentación

Suponiendo una potencia Qb, recirculación R = 1 por ser válvula On-Off

y flujo volumétrico Fv = 0:

x1 =345.6Qb(75530x2 − x1)

−2090x12 + 40650

x2 =75.56Qb(75530(x3 − x2))

−2090x12 + 40650

x3 =75.56Qb(75530(x4 − x3))

−2090x12 + 40650

x4 =75.56Qb(75530(x5 − x4))

−2090x12 + 40650

x5 =75.56Qb(75530(x6 − x5))

−2090x12 + 40650

x6 =75.56Qb(75530(x7 − x6))

−2090x12 + 40650

x7 =5.706 × 106Qbx8

−2090x12 + 40650+

75.54Qbx6

−2090x12 + 40650−

5.706 × 106Qbx7

−2090. ∗ x12 + 40650

x8 =75.56Qb(75530(x9 − x8))

−2090x12 + 40650

x9 =75.56Qb(75530(x10 − x9))

−2090x12 + 40650

x10 =75.56Qb(75530(x11 − x10))

−2090x12 + 40650

x11 =75.56Qb(75530(x12 − x11))

−2090x12 + 40650

x12 =−20460Qbx12

−2090x12 + 40650+

.2709Qb(x11 − x12)

−2090x12 + 40650

163

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ILA

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N

H.3. Modelo con alimentación sin recirculaciónSuponiendo una potencia Qb, recirculación R = 0 por ser válvula On-Off y flujo volumétrico Fv:

x1 = 5.760

(

60Qb

−2090x12 + 40650−

(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))Fv

(

−9.72x7

28.05x7+18.01528 + 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)

−2090x7 + 40650

)

(75530x2 − x1)

x2 = 94412.5(x3 − x2)

(

60Qb

−2090x12 + 40650−

(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))Fv

(

−9.72x7

28.05x7+18.01528 + 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)

−2090x7 + 40650

)

+75.54Qb(x1 − x2)

−2090x12(x1 − x2) + 40650

−

(1.259(112.4x7(x1 − x2) + (75.4(1 − x7(x1 − x2)))(Tf (x1 − x2) − 78.02)))Fv(x1 − x2)

(

−9.72x7(x1−x2)28.05x7(x1−x2)+18.01528 + 1

)

(−0.03378x7(x1 − x2) + 0.05549)

−2090x7(x1 − x2) + 40650

x3 = 94412.5(x4 − x3)

(

60Qb

−2090x12 + 40650−

(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))Fv

(

−9.72x7

28.05x7+18.01528 + 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)

−2090x7 + 40650

)

+75.54Qb(x2 − x3)

−2090x12(x2 − x3) + 40650

−

(1.259(112.4x7(x2 − x3) + (75.4(1 − x7(x2 − x3)))(Tf (x2 − x3) − 78.02)))Fv(x2 − x3)

(

−9.72x7(x2−x3)28.05x7(x2−x3)+18.01528 + 1

)

(−0.03378x7(x2 − x3) + 0.05549)

−2090x7(x2 − x3) + 40650

x4 = 94412.5(x5 − x4)

(

60Qb

−2090x12 + 40650−

(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))Fv

(

−9.72x7

28.05x7+18.01528 + 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)

−2090x7 + 40650

)

+75.54Qb(x3 − x4)

−2090x12(x3 − x4) + 40650

−

(1.259(112.4x7(x3 − x4) + (75.4(1 − x7(x3 − x4)))(Tf (x3 − x4) − 78.02)))Fv(x3 − x4)

(

−9.72x7(x3−x4)28.05x7(x3−x4)+18.01528 + 1

)

(−0.03378x7(x3 − x4) + 0.05549)

−2090x7(x3 − x4) + 40650

164

AP

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LU

MN

AD

ED

EST

ILA

CIÓ

N

x5 = 94412.5(x6 − x5)

(

60Qb

−2090x12 + 40650−

(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))Fv

(

−9.72x7

28.05x7+18.01528 + 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)

−2090x7 + 40650

)

+75.54Qb(x4 − x5)

−2090x12(x4 − x5) + 40650

−

(1.259(112.4x7(x4 − x5) + (75.4(1 − x7(x4 − x5)))(Tf (x4 − x5) − 78.02)))Fv(x4 − x5)

(

−9.72x7(x4−x5)28.05x7(x4−x5)+18.01528 + 1

)

(−0.03378x7(x4 − x5) + 0.05549)

−2090x7(x4 − x5) + 40650

x6 = 94412.5(x7 − x6)

(

60Qb

−2090x12 + 40650−

(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))Fv

(

−9.72x7

28.05x7+18.01528 + 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)

−2090x7 + 40650

)

+75.54Qb(x5 − x6)

−2090x12(x5 − x6) + 40650

−

(1.259(112.4x7(x5 − x6) + (75.4(1 − x7(x5 − x6)))(Tf (x5 − x6) − 78.02)))Fv(x5 − x6)

(

−9.72x7(x5−x6)28.05x7(x5−x6)+18.01528 + 1

)

(−0.03378x7(x5 − x6) + 0.05549)

−2090x7(x5 − x6) + 40650

x7 =5.706 × 106Qbx8

−2090x12 + 40650+ 1.259

(

60Qb

−2090x12 + 40650−

(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))Fv

(

−9.72x7

28.05x7+18.01528 + 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)

−2090x7 + 40650

)

x6

−95090

(

60Qb

−2090x12 + 40650−

(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))Fv

(

−9.72x7

28.05x7+18.01528 + 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)

−2090x7 + 40650

)

x7

−1.259

(

60Qb

−2090x12 + 40650−

(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))Fv

(

−9.72x7

28.05x7+18.01528 + 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)

−2090x7 + 40650

+

(

1 +112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02)

−2090x7 + 40650

)

Fv

(

−9.72x7

28.05x7 + 18.01528+ 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)

)

x7

+1.259Fv

(

−9.72x7

28.05x7 + 18.01528+ 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)xci

165

AP

ÉN

DIC

EH

.E

CU

AC

ION

ES

DE

LA

CO

LU

MN

AD

ED

EST

ILA

CIÓ

N

x8 =75.54Qb(75530(x9 − x8))

−2090x12 + 40650+ 1.259

(

60Qb

−2090x12 + 40650−

(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))Fv

(

−9.72x7

28.05x7+18.01528 + 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)

−2090x7 + 40650

+

(

1 +112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02)

−2090x7 + 40650

)

Fv

(

−9.72x7

28.05x7 + 18.01528+ 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)

)

(x7 − x8)

x9 =75.54Qb(75530(x10 − x9))

−2090x12 + 40650+ 1.259

(

60Qb

−2090x12 + 40650−

(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))Fv

(

−9.72x7

28.05x7+18.01528 + 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)

−2090x7 + 40650

+

(

1 +112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02)

−2090x7 + 40650

)

Fv

(

−9.72x7

28.05x7 + 18.01528+ 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)

)

(x8 − x9)

x10 =75.54Qb(75530(x11 − x10))

−2090x12 + 40650+ 1.259

(

60Qb

−2090x12 + 40650−

(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))Fv

(

−9.72x7

28.05x7+18.01528 + 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)

−2090x7 + 40650

+

(

1 +112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02)

−2090x7 + 40650

)

Fv

(

−9.72x7

28.05x7 + 18.01528+ 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)

)

(x9 − x10)

x11 =75.54Qb(75530(x12 − x11))

−2090x12 + 40650+ 1.259

(

60Qb

−2090x12 + 40650−

(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))Fv

(

−9.72x7

28.05x7+18.01528 + 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)

−2090x7 + 40650

+

(

1 +112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02)

−2090x7 + 40650

)

Fv

(

−9.72x7

28.05x7 + 18.01528+ 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)

)

(x11 − x12)

x12 = −20460Qbx12

−2090x12 + 40650+ 0.004515

(

60Qb

−2090x12 + 40650−

(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))Fv

(

−9.72x7

28.05x7+18.01528 + 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)

−2090x7 + 40650

+

(

1 +112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02)

−2090x7 + 40650

)

Fv

(

−9.72x7

28.05x7 + 18.01528+ 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)Bigg)(x11 − x12)

166

AP

ÉN

DIC

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.E

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ION

ES

DE

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CO

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MN

AD

ED

EST

ILA

CIÓ

N

H.4. Modelo con alimentación y recirculación

x1 = 5.760

(

60Qb

−2090x12 + 40650−

(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))Fv

(

−9.72x7

28.05x7+18.01528 + 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)

−2090x7 + 40650

)

(75530x2 − x1)

x2 = 1.259

(

60Qb

−2090x12 + 40650−

(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))Fv

(

−9.72x7

28.05x7+18.01528 + 1

)

(−0.03378ex7 + 0.05549)

−2090x7 + 40650

)

(75530(x3 − x2))

x3 = 1.259

(

60Qb

−2090x12 + 40650−

(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))Fv

(

−9.72x7

28.05x7+18.01528 + 1

)

(−0.03378ex7 + 0.05549)

−2090x7 + 40650

)

(75530(x4 − x3))

x4 = 1.259

(

60Qb

−2090x12 + 40650−

(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))Fv

(

−9.72x7

28.05x7+18.01528 + 1

)

(−0.03378ex7 + 0.05549)

−2090x7 + 40650

)

(75530(x5 − x4))

x5 = 1.259

(

60Qb

−2090x12 + 40650−

(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))Fv

(

−9.72x7

28.05x7+18.01528 + 1

)

(−0.03378ex7 + 0.05549)

−2090x7 + 40650

)

(75530(x6 − x5))

x6 = 1.259

(

60Qb

−2090x12 + 40650−

(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))Fv

(

−9.72x7

28.05x7+18.01528 + 1

)

(−0.03378ex7 + 0.05549)

−2090x7 + 40650

)

(75530(x7 − x6))

x7 =5.706 × 106Qbx8

−2090x12 + 40650− 95090

(

60Qb

−2090x12 + 40650−

(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))Fv

(

−9.72x7

28.05x7+18.01528 + 1

)

(−0.03378ex7 + 0.05549)

−2090x7 + 40650

)

x7

−1.259

(

1 +112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02)

−2090x7 + 40650

)

Fv

(

−9.72x7

28.05x7 + 18.01528+ 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)x7

+1.259Fv

(

−9.72x7

28.05x7 + 18.01528+ 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)xci

x8 =75.54Qb(75530x9 − 75530x8)

−2090x12 + 40650+ 1.259

(

1 +(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))

−2090x7 + 40650

)

Fv

(

−9.72x7

28.05x7 + 18.01528+ 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)(x7 − x8)

x9 =75.54Qb(75530x10 − 75530x9)

−2090x12 + 40650+ 1.259

(

1 +(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))

−2090x7 + 40650

)

Fv

(

−9.72x7

28.05x7 + 18.01528+ 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)(x8 − x9)

167

AP

ÉN

DIC

EH

.E

CU

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ION

ES

DE

LA

CO

LU

MN

AD

ED

EST

ILA

CIÓ

N

x10 =75.54Qb(75530x11 − 75530x10)

−2090x12 + 40650+ 1.259

(

1 +(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))

−2090x7 + 40650

)

Fv

(

−9.72x7

28.05x7 + 18.01528+ 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)(x9 − x10)

x11 =75.54Qb(75530x12 − 75530x11)

−2090x12 + 40650+ 1.259

(

1 +(112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02))

−2090x7 + 40650

)

Fv

(

−9.72x7

28.05x7 + 18.01528+ 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)(x10 − x11)

x12 =−20460Qbx12

−2090x12 + 40650+ 0.004515

(

1 +112.4x7 + (75.4(1 − x7))(Tf − 78.02)

−2090x7 + 40650

)

Fv

(

−9.72x7

28.05x7 + 18.01528+ 1

)

(−0.03378x7 + 0.05549)(x11 − x12)

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tesis de maestrÍa en ciencias - cenidet · grados de decisión independientes a los que pudiera...

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