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cenidet
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
Departamento de Ingeniería Mecánica
TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS
Identificación de Parámetros Modales Estructurales usando Transformada Wavelet
Presentada por
JORGE MARIO ROCHIN MACHADO Ing. Mecánico por el I. T. de Hermosillo
como requisito para la obtención del grado de:
Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica
Director de tesis: Dr. Jorge Colín Ocampo
Co-Director de tesis:
Dr. Enrique Simón Gutiérrez Wing
Jurado: Dr. Dariusz Szwedowicz Wasik – Presidente Dr. Jorge Bedolla Hernández – Secretario
M.C. Eladio Martínez Rayón – Vocal Dr. Jorge Colín Ocampo – Vocal Suplente
Cuernavaca, Morelos, México. 11 de Julio de 2011.
AGRADECIMIENTOS.
Quisiera agradecer primeramente a Dios por darme todas las abundantes bendiciones que tengo y
por haber puesto en mi camino esta gran oportunidad que gracias a él he podido culminar
exitosamente…
A mis padres cuya guía ha sido un pilar invaluable para mi, su apoyo ha sido tan extenso e
incondicional no sólo en esta etapa de mi vida sino en toda ella, ha sido tan grande que estoy seguro
de que ni mil vidas me alcanzaría para pagarles todo lo que he recibido de ellos, gran parte de este
éxito es a causa de ellos y del trabajo que han hecho formándome mismo que me ha hecho lo que soy
hoy en día, muchas gracias padres míos, los amo…
A mis hermanos, porque he vivido gran parte de mi vida con ellos y también han contribuido cada uno
de manera individual en mi formación como persona, son una fuente de inspiración para mi debido a
que me han empujado a ser el ejemplo para ellos trabajando duro y alcanzando mis metas para tocar
el éxito, muchas gracias hermanitos los amo y extraño mucho…
A mi gran esposa cuya valentía y paciencia me las ha mostrado en esta aventura fuera de casa
(Sonora), ha sido una gran compañera, amiga y confidente en todo el recorrido que hemos caminado
hasta hoy no sólo como novios sino como marido y mujer, en los momentos más difíciles, cuando he
sentido a la voluntad flaquear ella siempre ha sido ese combustible que me impulsa a seguir a pesar
de todo el cansancio y agotamiento físico y mental, en pocas palabras es mi turbosina sin ella no
funciono, no sé qué haría sin ella, muchas gracias mi amor por realizar este sacrificio junto conmigo,
te amo…
A mis profesores formadores del CENIDET en especial al Dr. Jorge Colín Ocampo y al Dr. Enrique
Simón Gutiérrez Wing, muchas gracias por su amistad, asistencia , enseñanzas y sobre todo por lo
que aprendí de ustedes en verdad, muchas gracias.
A mis amigos de la maestría en ciencias de ingeniería mecánica del CENIDET en especial al Rafa,
Pancho, Enrique, De, Meño, Pedro Cruz, Rigo, Chicali y toda la bola, todos pasamos muy buenos
ratos no sólo ayudándonos mutuamente en lo profesional sino también como personas, muchas
gracias por todo lo que aprendí de cada uno de ustedes y por todo el apoyo en tiempos duros
especialmente en la escuela, en verdad muchas gracias.
Al CONACYT y al CENIDET por considerarme apto para cursar la maestría en ciencias en ingeniería
mecánica y por el financiamiento y apoyo recibido, en verdad, MUCHAS GRACIAS.
RESUMEN.
En el presente trabajo se presenta un método de extracción de parámetros modales
basado en la descomposición modal de una FRF mediante transformada wavelet. Así
mismo, se diseñó una wavelet madre que presenta características y comportamiento
similares a los de una FRF. Con el método propuesto se obtienen tanto amortiguamiento,
frecuencia natural así como formas modales.
El método propuesto se validó tanto numérica como experimentalmente. En la parte
numérica se consideraron 2 casos:
a) Sistemas con modos separados.
b) Sistemas con modos cercanos.
Mientras que en la parte experimental se consideró únicamente el caso para sistemas de
modos separados.
Los resultados muestran que con el método propuesto se pueden obtener los tres
parámetros modales de sistemas mecánicos vibratorios lineales con exactitud.
ABSTRACT.
In the present work a method of modal parameters extraction based on the modal
decomposition of a FRF with wavelet transform is presented. Likewise a mother wavelet
that presents similar characteristics and behavior compared to a FRF was designed. With
the proposed method damping, natural frequencies and mode shapes are obtained.
The proposed method was validated numerically and experimentally. In the numerical part
2 cases were considered:
a) Separately spaced modes systems.
b) Closely spaced modes systems.
While in the experimental part, only the separately spaced modes systems case was
considered.
The results show that with the proposed method the 3 modal parameters of linear
mechanical vibrating systems can be obtained accurately.
CONTENIDO
Contenido Página
Lista de figuras I
Lista de tablas VIII
INTRODUCCIÓN 1
CAPÍTULO I. ESTADO DEL ARTE 3
1.1. Introducción 3
1.2. Estado del arte 3
CAPÍTULO II. CONCEPTOS BÁSICOS 10
2.1. Introducción 10
2.2. Análisis modal 10
2.3. Transformada de Fourier 11
2.4. Funciones de respuesta dinámica 12
2.4.1. Respuesta en el dominio del tiempo 12
2.4.2. Respuesta en el dominio de la frecuencia 13
2.5. Transformada wavelet 17
CAPÍTULO III. DISEÑO DE WAVELET MADRE PARA EL CÁLCULO DE PARÁMETROS MODALES DE VIBRACIÓN 22
3.1. Introducción 22
3.2. Diseño de wavelet madre para el cálculo de parámetros modales 22
3.3. Transformada wavelet de una FRF 29
3.4. Extracción de parámetros “ωn” y “ζ” 30
3.5. Cálculo de constantes modales y formas modales de sistemas mecánicos vibratorios 31
CAPÍTULO IV. RESULTADOS NUMÉRICOS. 33
4.1 Introducción 33
4.2. Resultados numéricos de modos separados 33
4.3. Análisis de la respuesta 34
4.4. Cálculo de frecuencias naturales y amortiguamientos 36
4.4.1. Modo 1 36
4.4.2. Modo 2 36
4.5. Cálculo de constantes modales 37
4.5.1. Modo 1 37
4.5.2. Modo 2 39
4.6. Análisis de la respuesta 2 41
4.7. Cálculo de constantes modales 41
4.7.1. Modo 1 41
4.7.2. Modo 2 43
4.8. Cálculo de formas modales 46
4.9. Resultados numéricos de modos cercanos 49
4.10. Análisis del caso de modos cercanos 50
4.11. Análisis de la respuesta 2 50
4.12. Cálculo de frecuencias y amortiguamientos 52
4.12.1. Modo 2 52
4.13. Cálculo de constantes modales 53
4.13.1. Modo 2 53
4.14. Cálculo de frecuencias y amortiguamientos 55
4.14.1. Modo 1 55
4.15. Cálculo de constantes modales 59
4.15.1. Modo 1 59
4.16. Análisis de la respuesta 1 61
4.17. Cálculo de constantes modales 62
4.17.1. Modo 1 62
4.17.2. Modo 2 64
4.18. Cálculo de formas modales 66
CAPÍTULO V. RESULTADOS EXPERIMENTALES. 68
5.1. Introducción 68
5.2. Arreglo experimental 68
5.3. Análisis de la respuesta del acelerómetro 1 72
5.4. Cálculo de frecuencias y amortiguamientos 75
5.4.1. Modo 1 75
5.4.2. Modo 2 76
5.4.3. Modo 3 76
5.5. Cálculo de constantes modales 77
5.5.1. Modo 1 77
5.5.2. Modo 2 79
5.5.3. Modo 3 80
5.6. Análisis de la respuesta del acelerómetro 2 82
5.7. Cálculo de constantes modales 83
5.7.1. Modo 1 83
5.7.2. Modo 2 85
5.7.3. Modo 3 87
5.8. Análisis de la respuesta del acelerómetro 3 89
5.9. Cálculo de constantes modales 89
5.9.1. Modo 1 89
5.9.2. Modo 2 91
5.9.3. Modo 3 93
5.10. Cálculo de formas modales 95
5.11 Discusión de resultados 106
CAPÍTULO VI. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS A FUTURO. 108
6.1. Conclusiones 108
6.2. Trabajos futuros 109
6.3 Referencias bibliográficas 110
APÉNDICE I. RELACIÓN DE SENSORES UTILIZADOS EN LA PRUEBA Y DIAGRAMA DE CONEXIONES REALIZADAS. 112
I
LISTA DE FIGURAS.
DESCRIPCIÓN PÁGINA
Figura 2.1. Representación gráfica de una función de respuesta al impulso 13
Figura 2.2. Módulo de una FRF 15
Figura 2.3. Parte real de una FRF 15
Figura 2.4. Parte imaginaria de una FRF 16
Figura 2.5. Diagrama de Nyquist, representación compleja de una FRF 16
Figura 2.6. Distintas wavelet madre 18
Figura 2.7a. Operación de escala de la wavelet madre mexican hat 19
Figura 2.7b. Operación de traslación de la wavelet madre mexican hat 19
Figura 3.8. FRF para distintos valores de ζ ωn 23
Figura 3.9. FRF para distintos valores de ωd 24
Figura 3.10a. Comportamiento de la wavelet madre propuesta para distintos valores de b 26
Figura 3.10b. Comportamiento de la wavelet madre propuesta para distintos valores de x 26
Figura 3.10c. Comportamiento de la wavelet madre propuesta para distintos valores de a 27
Figura 3.11. Variación de “b” y “x” con una escala a=1 28
II
Figura 3.12. Wavelet madre (verde) con escala a=1 y un factor de forma x= ζ ωn, FRF (rojo) 29
Figura 3.13. Escalograma de la transformada wavelet de la FRF mostrada en la figura 3.12. 30
Figura 4.14. Respuesta del sistema teórico de modos separados a analizar con transformada wavelet 34
Figura 4.15. Transformada continua de wavelet del sistema teórico analizado 35
Figura 4.16. Curvas de nivel de la transformada wavelet continua del caso analizado 35 Figura 4.17. Parte real de la respuesta 1 a las frecuencias calculadas mediante transformada wavelet 37
Figura 4.18. Parte imaginaria de la respuesta 1 a las frecuencias calculadas mediante transformada wavelet 38
Figura 4.19. FRF de la respuesta 1 regenerada 40
Figura 4.20. Modo 1 de la respuesta 1 regenerado a la frecuencia original y a la frecuencia calculada. 40
Figura 4.21. Modo 2 de la respuesta 1 regenerado a la frecuencia original y a la frecuencia calculada. 41
Figura 4.22. Parte real de la respuesta 2 a las frecuencias naturales calculadas mediante transformada wavelet 42
Figura 4.23. Parte Imaginaria de la respuesta 2 a las frecuencias naturales calculadas mediante transformada wavelet. 42
Figura 4.24. FRF de la respuesta 2 regenerada 44
III
4.25. Modo 1 de la respuesta 2 regenerado a la frecuencia original y a la frecuencia calculada. 45
Figura 4.26. Modo 2 de la respuesta 2 regenerado a la frecuencia original y a la frecuencia calculada. 45
Figura 4.27. Parte real de las respuestas 1 y 2 47
Figura 4.28. Parte imaginaria de las respuestas 1 y 2 47
Figura 4.29. Forma modal del modo 1 48
Figura 4.30. Forma modal del modo 2 48
Figura 4.31. Respuesta de modos cercanos teórica a analizar. 51
Figura 4.32. Escalograma de la respuesta de modos cercanos. 51
Figura 4.33. Curvas de nivel de la transformada wavelet continua del caso analizado. 52
Figura 4.34. Parte real de la respuesta 2 con la frecuencia natural del modo 2 identificada. 53
Figura 4.35. Parte imaginaria de la respuesta 2 con la frecuencia natural del modo 2 identificada. 54
Figura 4.36. Regeneración del modo 2 en el problema de modos cercanos. 55
Figura 4.37. Modo 1 libre para el análisis luego de sustraer el modo 2 con eliminación modal iterativa. 56
Figura 4.38. Transformada de wavelet para el modo 1 del caso teórico de modos cercanos. 57
IV
Figura 4.39. Curvas de nivel de la transformada wavelet continua del caso Analizado 57 Figura 4.40. Parte real de la respuesta 2 con la frecuencia natural del modo 1 identificada. 59
Figura 4.41. Parte imaginaria de la respuesta 2 con la frecuencia natural del modo 1 identificada. 60
Figura 4.42. FRF del modo 1 en la respuesta 2 regenerada. 61
Figura 4.43. Parte real de la respuesta 1 a las frecuencias identificadas para ambos modos de vibración. 62
Figura 4.44. Parte imaginaria de la respuesta 1 a las frecuencias identificadas para ambos modos de vibración. 63
Figura 4.45. Regeneración del modo 1, respuesta 1. 64
Figura 4.46. Regeneración del modo 2 respuesta 1. 65
Figura 4.47. Parte real de las respuestas 1 y 2. 66
Figura 4.48. Parte imaginaria de las respuestas 1 y 2. 67
Figura 4.49. Forma modal del modo 1. 67
Figura 4.50. Forma modal del modo 2 67
Figura 5.51. Vista frontal del montaje de viga en cantiléver. 68
Figura 5.52. Vista superior del montaje de viga en cantiléver. 69
Figura 5.53. Colocación de los sensores (dimensiones en centímetros) 69
V
Figura 5.54. FRF del primer modo de vibración para los 3 acelerómetros utilizados 70
Figura 5.55. FRF del segundo modo de vibración para los 3 acelerómetros utilizados 71 Figura 5.56. FRF del tercer modo de vibración para los 3 acelerómetros utilizados 71
Figura 5.57. Escalograma correspondiente al primer modo de vibración. 72
Figura 5.58. Curvas de nivel para el escalograma del primer modo de vibración. 73
Figura 5.59. Escalograma del segundo modo de vibración mostrando los factores x y b en el punto de correlación máximo. 73
Figura 5.60. Curvas de nivel para el escalograma del segundo modo de vibración. 74
Figura 5.61. Escalograma del tercer modo de vibración mostrando los factores x y b en el punto de correlación máximo. 74
Figura 5.62. Curvas de nivel para el escalograma del tercer modo de vibración. 75
Figura 5.63. Parte real de la respuesta del acelerómetro 1 mostrando el modo 1. 77
Figura 5.64. Parte imaginaria de la respuesta del acelerómetro 1 mostrando el modo 1. 78
Figura 5.65. Parte real de la respuesta del acelerómetro 1 mostrando el modo 2. 79
Figura 5.66. Parte imaginaria de la respuesta del acelerómetro 1 mostrando el modo 2. 79
Figura 5.67. Parte real de la respuesta del acelerómetro 1 mostrando el modo 3. 81
VI
Figura 5.68. Parte imaginaria de la respuesta del acelerómetro 1 mostrando el modo 3. 81
Figura 5.69. Parte real de la respuesta del acelerómetro 2 mostrando el modo 1. 83
Figura 5.70. Parte imaginaria de la respuesta del acelerómetro 2 mostrando el modo 1. 84
Figura 5.71. Parte real de la respuesta del acelerómetro 2 mostrando el modo 2. 85
Figura 5.72. Parte imaginaria de la respuesta del acelerómetro 2 mostrando el modo 2. 86
Figura 5.73. Parte real de la respuesta del acelerómetro 2 mostrando el modo 3. 87
Figura 5.74. Parte imaginaria de la respuesta del acelerómetro 2 mostrando el modo 3. 88
Figura 5.75. Parte real de la respuesta del acelerómetro 3 mostrando el modo 1. 89
Figura 5.76. Parte imaginaria de la respuesta del acelerómetro 3 mostrando el modo 1. 90
Figura 5.77. Parte real de la respuesta del acelerómetro 3 mostrando el modo 2. 91
Figura 5.78. Parte imaginaria de la respuesta del acelerómetro 3 mostrando el modo 2. 92
Figura 5.79. Parte real de la respuesta del acelerómetro 3 mostrando el modo 3. 93
Figura 5.80. Parte imaginaria de la respuesta del acelerómetro 3 mostrando el modo 3. 94
5.81a. Fase y desfase entre la respuesta de los acelerómetros (Modo 1) 96
VII
5.81b. Fase y desfase entre la respuesta de los acelerómetros (Modo 2) 97
5.81c. Fase y desfase entre la respuesta de los acelerómetros (Modo 3) 98
Figura 5.82a. Formas modales obtenidas para el sistema analizado (primera forma modal). 99
Figura 5.82b. Formas modales obtenidas para el sistema analizado (segunda forma modal). 99
Figura 5.82c. Formas modales obtenidas para el sistema analizado (tercera forma modal). 99
Figura 5.83a. Regeneración del primer modo de vibración del acelerómetro 1 100
Figura 5.83b. Regeneración del primer modo de vibración del acelerómetro 2 101
Figura 5.83c. Regeneración del primer modo de vibración del acelerómetro 3 101
Figura 5.84a. Regeneración del segundo modo de vibración del acelerómetro 1 102
Figura 5.84b. Regeneración del segundo modo de vibración del acelerómetro 2 103
Figura 5.84c. Regeneración del segundo modo de vibración del acelerómetro 3 103
Figura 5.85a. Regeneración del tercer modo de vibración del acelerómetro 1 104
Figura 5.85b. Regeneración del tercer modo de vibración del acelerómetro 2 105
Figura 5.85c. Regeneración del tercer modo de vibración del acelerómetro 3 105
Figura AI.86. Diagrama de conexiones de la instrumentación 112
VIII
LISTA DE TABLAS.
DESCRIPCIÓN PÁGINA
Tabla 2.1. Distintas FRF existentes 14
Tabla 4.2. Parámetros teóricos propuestos 33
Tabla 4.3. Frecuencias y amortiguamientos calculados para el caso teórico analizado 37 Tabla 4.4. Constantes modales calculadas 46
Tabla 4.5. Parámetros teóricos propuestos 50
Tabla 4.6. Frecuencias y amortiguamientos calculados para el modo 2. 52
Tabla 4.7. Frecuencias y amortiguamientos calculados para el modo 1. 58
Tabla 4.8. Constantes modales calculadas 65
Tabla 5.9. Frecuencias y amortiguamientos calculados para el sistema experimental analizado 76
Tabla 5.10. Constantes modales calculadas 95
Tabla AI.11. Instrumentación utilizada en la prueba experimental 112
1
INTRODUCCIÓN.
En la ingeniería moderna la construcción y el análisis de modelos que describen el
comportamiento dinámico de sistemas mecánicos vibratorios se ha vuelto un asunto de
gran importancia, esto se debe a que es fundamental conocer el comportamiento de un
sistema real mediante modelos matemáticos o numéricos que permitan predecir la
respuesta de un sistema y así evitar efectos indeseables como fallas por fatiga,
resonancia, inestabilidad, contaminación por ruido, etc.
El análisis modal, es un área de la ingeniería, particularmente de la dinámica que se
ocupa de modelar el comportamiento de sistemas mecánicos vibratorios, mismo que toma
como base el cálculo de tres parámetros de caracterización dinámica los cuales son
conocidos bajo el nombre de parámetros modales, los cuáles son: Frecuencias naturales,
razones de amortiguamiento y formas modales de deformación.
La metodología de cálculo existente para extraer estos tres parámetros es muy variada y
existen distintas maneras de clasificarla, una manera común de clasificar estos métodos
es dependiendo del número de grados de libertad (modos) excitados en una prueba de
vibración, estos van desde métodos de descomposición modal de un grado de libertad (un
modo) hasta métodos de descomposición modal de múltiples grados de libertad (múltiples
modos). En cualquier caso, para poder describir el comportamiento dinámico es necesario
llevar a cabo la descomposición de todos los modos excitados en el sistema o bien,
descomponer los que sean de interés para el analista.
Un inconveniente de las metodologías existentes, es cuando se analizan casos en donde
se presentan frecuencias naturales próximas (modos cercanos), esto se debe a la
influencia que la componente modal de un modo ejerce sobre la componente modal del
modo vecino, obligando al analista en muchos casos a ignorar la influencia entre modos y
así separarlos de manera iterativa para llevar a cabo la extracción de parámetros modales
analizando los modos de una manera independiente.
Para el desarrollo de esta tesis se propone llevar a cabo la descomposición modal de una
función de respuesta en el dominio de la frecuencia (FRF) utilizando la transformada
wavelet. En el desarrollo del trabajo se presenta el diseño de una nueva wavelet madre
2
que utilizando la transformada wavelet permite relacionar los términos de escala y
traslación wavelet en función de parámetros modales de caracterización dinámica.
El producto de aplicar la transformada wavelet es una matriz de coeficientes llamados
“coeficientes wavelet” que son la medida de la correlación entre la wavelet madre
propuesta y la FRF analizada. Esta matriz se presenta en un gráfico tridimensional
llamado “escalograma” o “diagrama de escalas”, el cual presenta una combinación de
valores frecuencia-amortiguamiento de la FRF analizada, siendo la mejor combinación la
extraída de la mayor magnitud de la matriz de coeficientes en el escalograma obtenido
para cada caso en particular.
3
CAPÍTULO I.
ESTADO DEL ARTE.
1.1 INTRODUCCIÓN
En este capítulo se describen los antecedentes históricos de los estudios que dieron lugar
al conocimiento que hoy es la transformada wavelet y el análisis modal. Gracias a estas
investigaciones, se establecieron las bases para la comprensión de los procesos de
descomposición modal de respuestas de sistemas dinámicos así como del origen y las
aplicaciones de la transformada wavelet en el campo de identificación de parámetros
modales.
1.2 ESTADO DEL ARTE
El desarrollo de las metodologías de descomposición modal de las respuestas dinámicas
de sistemas mecánicos vibratorios para la construcción de modelos de comportamiento y
optimización dinámicos surge con las primeras teorías del análisis modal en los 40’s. En
el año de 1947 C.C. Kennedy y C.D. Pancu [1] desarrollaron trabajos de identificación de
parámetros modales en estructuras de aviones con un método que se considera fue el
primero del análisis modal experimental, mismo que fue olvidado y dejado de
desarrollarse hasta que la transformada rápida de Fourier fue desarrollada.
Más tarde el científico De Veubeke [2] continuó con trabajos orientados a la identificación
de parámetros modales, él se concentró específicamente en la solución del problema del
“flutter” que consiste en un movimiento periódico rápido que es causado por la interacción
entre masa, rigidez y fuerzas en las estructuras con propiedades aerodinámicas.
Tiempo después surge la transformada rápida de Fourier algoritmo desarrollado por J.W.
Cooly y J.W. Turkey [1], esta técnica junto con la llegada de las computadoras digitales
otorgó un gran énfasis al análisis modal experimental, cambiando por completo la manera
de realizar análisis experimentales de la dinámica de sistemas mecánicos vibratorios, con
este desarrollo las respuestas pudieron ser analizadas desde el punto de vista del dominio
de la frecuencia (dando pié al origen de la función de respuesta en el dominio de la
frecuencia ó FRF), y gracias a esto dichas respuestas pudieron ser computadas para
obtener datos importantes dentro del análisis modal, desde la medida de la fuerza de
excitación hasta las respuestas dinámicas resultantes.
4
Con estos cambios en el análisis modal experimental surgieron conceptos y métodos
novedosos, posteriormente de se desarrollaron algunos trabajos relacionados para llevar
a cabo la identificación de parámetros modales tomando como punto de partida las FRF.
Ken Shye y M. Richardson [3] por ejemplo, en su trabajo llevaron a cabo pruebas de
impacto para obtener las FRF de miembros estructurales y así, proceder a llevar a cabo la
descomposición de las mismas para calcular parámetros modales.
La investigación en el campo continuaba con Michael Lee y Richardson [4] ellos
aseguraron que el tipo más común de prueba modal usa un analizador de transformada
rápida de Fourier para medir un grupo de FRF’s de una estructura y usar un método de
ajuste de curvas para determinar las propiedades modales estructurales partiendo de la
información otorgada por las FRF. Sin embargo, estos autores mencionan en su trabajo
algunos problemas al utilizar esta técnica entre los que se encuentran los siguientes:
Resolución en la frecuencia insuficiente, distorsión en las mediciones, ruido en las
mediciones y la determinación errónea del tamaño del modelo o del número de modos a
analizar y demostraron la existencia de estos errores utilizando 12 FRF’s y utilizando el
ajuste de curvas para aproximarse a las mismas, los resultados obtenidos en este trabajo,
nos dan una guía acerca de qué tipo de problemas se han encontrado al extraer
información modal a partir de las FRF’s por lo que es importante recabar información del
mismo para tener presente los problemas que se han tenido a lo largo de este desarrollo.
Posteriormente, se continuó con la investigación en el área de identificación de
parámetros modales con Richardson y Formenti [5] ellos propusieron el método de
fracciones racionales polinomiales (RFP) en la obtención de parámetros modales a nivel
local en un sistema, el cual consiste en suponer que las FRF’s se pueden expresar como
polinomios en el dominio de la frecuencia. Los autores identifican en el desarrollo
matemático de las RFP’s al denominador el cual otorga las frecuencias naturales y los
amortiguamientos de la estructura utilizando toda la información posible de del sistema y
al numerador que otorga información de las formas modales, dicho método se utiliza para
la extracción de parámetros modales y estos científicos lo trabajaron directamente sobre
funciones de respuesta en el dominio de la frecuencia (FRF’s). Más tarde, Richardson
propuso una variación del método RFP al aplicarlo a escala global en un sistema
estructural el cual consiste en la construcción y solución de ecuaciones que otorgan los
5
parámetros modales a escala global (frecuencias globales, amortiguamientos globales,
etc). Inmediatamente después, S. Chauhan, R. Martell, D.L. Brown, R.J. Allemang [6] en
su publicación realizan algunas observaciones sobre las técnicas de identificación de
parámetros modales en particular de la técnica mencionada anteriormente (RFP),
mencionan que existen varias técnicas en el dominio del tiempo pero que existen muy
pocas en el dominio de la frecuencia, una de las razones por la que esto sucede
mencionan los autores, son las pobres características numéricas asociadas con
algoritmos de alto orden en el dominio de la frecuencia como el algoritmo (RFP). Estas
limitaciones mencionan, pueden ser mejoradas utilizando métodos como la normalización
de frecuencias y el uso de polinomios ortogonales en el análisis modal experimental. Sin
embargo, mencionan que el estimar parámetros modales en el dominio de la frecuencia
sigue siendo un reto en algunos casos, por lo que propone identificar parámetros modales
con algoritmos de bajo orden en el dominio de la frecuencia para compensar las
limitaciones de técnicas relacionadas con algoritmos de alto orden en el dominio de la
frecuencia.
Más tarde, Gloth y Sinapius [7] proponen un método más para la identificación de
parámetros modales, mencionan en su publicación que la respuesta de un sistema se
percibe muy claramente cuando se varía la frecuencia de excitación del sistema dentro de
la resonancia ya que es en este intervalo donde se pueden identificar los parámetros
modales. También hacen mención de que un método para provocar variaciones en esta
frecuencia es mediante la aplicación de una técnica de barrido sinusoidal de la excitación
en el intervalo de resonancia y recomiendan mantener un barrido corto (con una velocidad
de barrido sinusoidal baja) al trabajar en el rango de bajas frecuencias ya que de no
hacerlo así, se pueden presentar problemas para identificar el amortiguamiento modal que
consiste en una distorsión de la función de respuesta obtenida y por tanto, una mala
estimación del amortiguamiento modal en el intervalo de baja frecuencia.
Posteriormente, DJ Ewins [8] comienza con la identificación de parámetros modales de
sistemas estructurales no lineales en su trabajo, el autor cita algunas observaciones en
relación a trabajar con este tipo de sistemas, en su trabajo calcula los parámetros
modales de partiendo de las FRF’s y cita algunas limitantes con las que concluyó en su
análisis, entre las que menciona se tienen: Los efectos de no linealidad en las estructuras,
incluso el más pequeño, pueden provocar alteraciones en los resultados medidos y
6
analizados productos de una prueba modal, las funciones de respuesta (FRF) pueden ser
distorsionadas debido a la no linealidad de la estructura, las FRF’s de un sistema no lineal
no muestran las características de reciprocidad y repetibilidad que normalmente se
esperarían, el análisis modal basado en FRF’s distorsionadas concluyen en la incorrecta
estimación de los parámetros modales. Los resultados de este trabajo son muy
importantes ya que muestran las limitantes que se enfrentan al querer identificar
parámetros modales a partir de la respuesta en la frecuencia para estructuras no lineales
detalle que es muy importante conocer antes de pretender trabajar con un sistema
estructural de este tipo. En este mismo año, U. Farooq y B. F. Feeny [9] en su publicación
utilizan la descomposición ortogonal de las FRF’s para la identificación de parámetros
modales para un sistema estructural sin amortiguamiento, los autores concluyen que si el
valor del producto entre las variables de respuesta y excitación es cero entonces, la
descomposición ortogonal converge a una representación equivalente del problema de
eigenvalores de una estructura sin amortiguamiento y de ahí se pueden entonces estimar
las frecuencias y las formas modales.
Con el paso del tiempo nuevas metodologías fueron desarrollándose para la extracción de
parámetros modales en un sistema estructural es así como se dio origen a las
metodologías extracción de parámetros modales usando transformada wavelet. Entre los
trabajos que se han publicado se cuenta con el de Tegoeh Tjahjowidodo, Farid Al-Bender
y Hendrik Van Brussel [10] ellos procedieron a calcular los parámetros modales en una
estructura no lineal utilizando la transformada wavelet, los autores mencionan que el
método de FRF’s para la identificación de parámetros modales estructurales se encuentra
limitado a sistemas lineales y que en el caso de aplicar el mismo método a sistemas no
lineales se encuentran muchas limitantes, es por esto que aplican la transformada wavelet
para estudiar sistemas no lineales, también mencionan que en este caso la transformada
Hilbert es muy utilizada para obtener frecuencias y amplitudes sin embargo, mencionan
que dicha técnica matemática se ve muy limitada al encontrarse con amortiguamiento en
el sistema por lo que sustituyen la transformada Hilbert por la transformada wavelet para
el análisis.
7
Posteriormente los científicos Arunasis Chakraborty, Biswajit Basu, Mira Mitra [11]
propusieron una metodología para la identificación de frecuencias y formas modales de
una estructura de múltiples grados de libertad utilizando la versión armónica de la
transformada wavelet para un análisis tiempo-frecuencia. Mencionan que esta técnica es
específicamente utilizada para extraer los parámetros modales de un sistema lineal de
múltiples grados de libertad mediante la descomposición de la señal original en bandas de
frecuencia y, en un análisis con respecto al tiempo de cada banda usando las
propiedades básicas de los eigenvalores de los modos de vibración concluyendo que
comparando los resultados con otros métodos los parámetros se estiman con bastante
precisión.
Los trabajos de identificación de parámetros modales con transformada wavelet
continuaban en desarrollo sin embargo, la mayoría de las investigaciones realizadas se
concentraban en desarrollar la descomposición modal de la respuesta dinámica de
sistemas con transformada wavelet en el dominio del tiempo. Yin, Duhamel y Argoul [12]
en su trabajo titulado “Estimación de frecuencias naturales y amortiguamientos utilizando
la transformada wavelet de una FRF”, demostraron que también se podían descomponer
las funciones de respuesta en el dominio de a frecuencia (FRF) usando wavelets
simplemente aplicando la definición básica de transformada wavelet a una función en el
dominio de la frecuencia. En su trabajo, ellos relacionaron los factores de escala y
traslación de una wavelet madre propuesta por ellos con los parámetros de
amortiguamiento y frecuencia natural respectivamente. La wavelet madre que ellos
propusieron surgió directamente de la definición de la FRF en su modo de funciones
parciales fraccionadas logrando buenos resultados en la identificación de frecuencias
naturales y amortiguamientos de sistemas de múltiples grados de libertad.
El uso de transformada wavelet para distintas aplicaciones además de la solución de la
problemática con la extracción de parámetros modales a partir de las FRF’s ha llamado la
atención a los investigadores del CENIDET, en años pasados se desarrolló un trabajo que
obtuvo grandes resultados Juan Manuel Arzola [13] aplicó el algoritmo de transformada
wavelet de Gabor con una aplicación de diagnóstico aplicada a rodamientos, el objetivo
de su trabajo fue identificar agrietamientos en las pistas internas de rodamientos, por lo
que comparó la transformada wavelet de un rodamiento sin falla a uno con falla,
8
permitiendo así otorgar un panorama más amplio sobre la presencia de grietas en los
mismos.
Por otra parte, Guadalupe Vélez [14] en su trabajo propuso un método para encontrar
modos cercanos de vibración en un sistema de múltiples grados de libertad donde por
medio de un problema de eigenvectores y eigenvalores le fue posible obtener los
parámetros modales, de los eigenvectores obtuvo las formas modales y de los
eigenvalores obtuvo las frecuencias naturales y los amortiguamientos todo esto a partir de
las FRF’s, hizo un análisis en el programa comercial ICAT’S de las FRF’s y destacó las
diferencias y ventajas entre el método desarrollado analíticamente y el análisis por el
software ICAT’S concluyendo que el uso de el método propuesto por ella misma y, el
análisis con ICAT’S se complementan muy bien especialmente en estructuras con modos
cercanos por la dificultad que representa el identificarlos.
David Estrada [15] analizó la respuesta de un rotor fracturado para identificar las
características de vibración y permitir la posibilidad de monitorear posibles fracturas en
estado incipiente mediante la transformada wavelet de Gabor apoyando los resultados
con un modelo de elemento finito.
Recientemente, Enrique Simón Gutiérrez Wing, Jorge E. Aguirre Romano, Jorge Colín
Ocampo y Claudia Cortés García [16] presentaron un método para la corrección de
desbalance en sistemas rotor-soportes flexibles. El método se basa en la suposición de
que las frecuencias naturales, los factores de amortiguamiento y las formas modales del
sistema rotor-soportes pueden extraerse de la respuesta del rotor a la fuerza de
desbalance que se pretende corregir, tomada esta durante un arranque o un paro. La
novedad del método está en el hecho de que no se requiere realizar modelos numéricos
del sistema, ni medir su respuesta con fuerzas de desbalance conocidas para determinar
la magnitud y posición de las masas que corrijan el desbalance.
9
Por lo que, continuando con la meta de facilitar la extracción de parámetros modales a
partir de las funciones de respuesta en el dominio de la frecuencia, en este proyecto se
pretende utilizar dichas funciones de las cuales han partido algunos análisis de
identificación de parámetros modales mencionados en este documento y la transformada
wavelet la cual se ha comenzado a aprovechar para la extracción de parámetros modales,
se pretende desarrollar un método mediante el cual se pueda analizar en base a la
transformada wavelet las FRF’s de sistemas de uno o múltiples grados de libertad con
modos separados y modos cercanos para facilitar la extracción de parámetros modales a
partir de la función de respuesta en el dominio de la frecuencia.
10
CAPÍTULO II.
CONCEPTOS BÁSICOS.
2.1 INTRODUCCIÓN.
En el presente capítulo se presentan conocimientos básicos que se sugiere sean
entendidos por el lector antes de entrar al punto principal presentado en este trabajo que
es la descomposición modal de una FRF utilizando transformada wavelet.
Se presentan temas como el concepto de análisis modal, la definición de transformada de
Fourier, la definición de una respuesta dinámica tanto en el dominio del tiempo como en el
dominio de la frecuencia, el concepto de transformada wavelet, la definición de una
wavelet madre y, los métodos de normalización de una wavelet madre.
2.2 ANÁLISIS MODAL.
El análisis modal es el proceso de determinar las características inherentes de un sistema
en forma de frecuencias naturales, razones de amortiguamiento y formas modales, la
aplicación de estos parámetros es en la construcción de modelos matemáticos para
describir el comportamiento dinámico del sistema. Al modelo matemático formulado, se le
conoce como modelo modal y a la información contenida en el mismo, se le conoce como
datos modales [1].
El análisis modal maneja 2 aproximaciones, una teórica y otra experimental. El análisis
modal teórico se basa en un modelo físico de un sistema dinámico utilizando su masa,
rigidez y propiedades de amortiguamiento. El modelo físico más realístico que otorga el
análisis modal teórico describe a la masa, la rigidez y a las propiedades de
amortiguamiento del sistema en términos de sus distribuciones en el mismo resultando
esto en las matrices de masa, rigidez y amortiguamiento, estas matrices son introducidas
a un arreglo de ecuaciones diferenciales que describen el movimiento donde la solución
de dicha ecuación de movimientos provee los datos modales del sistema. [1]. Por otra
parte el rápido desenvolvimiento de la adquisición de datos dio origen al análisis modal
experimental, este último es una técnica experimental utilizada para obtener el modelo
modal de un sistema lineal vibratorio invariante en el dominio del tiempo. Las bases
teóricas de la técnica son desarrolladas estableciendo la relación entre la respuesta de
vibración en un punto del sistema y su excitación en el mismo punto o en otro como una
11
función de la frecuencia de excitación. Esta relación es una conocida como la FRF del
sistema (Función de respuesta en el dominio de la frecuencia). La práctica del análisis
modal experimental incluye medir las FRF’s o respuestas a impulso del sistema estudiado
para aplicar metodologías estándar o experimentales a fin de calcular los tres parámetros
modales y, describir el comportamiento dinámico de cualquier sistema que se analice.
Por ende se puede concluir que el análisis modal experimental moderno se resume en
tres fases:
Preparación de la prueba experimental.
Medición de la respuesta dinámica del sistema.
Identificación de parámetros modales.
2.3 TRANSFORMADA DE FOURIER.
La transformada de Fourier es una técnica matemática que revolucionó la manera de
realizar análisis modal de sistemas vibratorios, ya que junto con la llegada de la
computadora abrió la puerta a los métodos existentes en el dominio de la frecuencia y al
nacimiento de la función de respuesta en el dominio de la frecuencia.
La transformada de Fourier es una aproximación de una función mediante una suma de
senos y cosenos dada por una expresión conocida como la identidad de Euler, esto con el
objetivo de obtener la representación de una señal en el tiempo en el dominio de la
frecuencia. La transformada de Fourier se define de la siguiente manera.
Donde:
: Identidad de Euler misma que se define como cos (ωt)+i sen (ωt).
f(t): Función o señal en el dominio del tiempo.
La transformada de Fourier es una técnica de gran importancia ya que es capaz de
otorgar información al analista que en el dominio del tiempo puede no ser tan evidente.
Esto es porque al aplicar la transformada de Fourier en el tiempo se pueden observar
todos los cambios de frecuencia presentes en la misma, esta característica hace a la
12
transformada de Fourier tan importante en el análisis y el procesamiento de señales así
como en el análisis modal.
2.4 FUNCIONES DE RESPUESTA DINÁMICA.
Una función de respuesta dinámica se define como la relación entre la respuesta
vibratoria de un sistema en términos de desplazamiento, velocidad o aceleración y la
fuerza que la provoca. Existen dos maneras de identificar esta función una es en el
dominio del tiempo y la otra en el dominio de la frecuencia.
2.4.1 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO.
La respuesta dinámica en el dominio del tiempo se basa en el modelo de vibración libre
en decaimiento de acuerdo con la referencia [1]. En relación a lo anterior, el aspecto
gráfico de la respuesta es el de una combinación de ondas senoidales y cosenoidales que
decaen en amplitud a lo largo del tiempo dependiendo de la razón de amortiguamiento
presente en el sistema analizado es decir, entre mayor sea la razón del amortiguamiento
el sistema describirá menos oscilaciones y su amplitud decaerá más rápidamente
observándose un efecto contrario cuando la razón de amortiguamiento es pequeña.
Esta función puede ser escrita en términos de 3 parámetros de vibración importantes que
son desplazamiento, velocidad y aceleración, cada uno depende del sensor que se utilice
en la captura de respuesta.
Cuando en el desarrollo de una prueba de vibración se excitan varios modos, la onda
resultante en el dominio del tiempo, es producto de una combinación de todas las
frecuencias que se estén excitando con la excitación utilizada, esto es una desventaja
debido a que el hecho de que la excitación de varios modos provoca una sola onda con
variaciones de frecuencia dentro de la misma, torna al problema de identificación de
modos y de cálculo de parámetros un poco más complicada en comparación con el uso
de la representación en el dominio de la frecuencia.
Al excitar un sistema con un impulso y medir la respuesta dinámica en el dominio del
tiempo, se trabaja con una función de respuesta al impulso (FRI) y se define
matemáticamente por la siguiente ecuación.
13
La representación gráfica de una función de respuesta al impulso se muestra en la figura
2.1.
Figura 2.1. Representación gráfica de una función de respuesta al impulso (FRI).
En la figura 2.1., se presenta gráficamente una función de respuesta al impulso simulada,
en la cual se pueden apreciar las oscilaciones a causa de la vibración la cual muere a
través del tiempo dependiendo de la razón de amortiguamiento del sistema.
2.4.2 RESPUESTA EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.
Como se mencionó anteriormente la transformada de Fourier es una técnica matemática
que es capaz de representar el contenido de frecuencia de una señal partiendo del
dominio del tiempo, considerando que la función de respuesta dinámica en el dominio del
tiempo es la función de respuesta al impulso y esta puede contener desde “una”
frecuencia presente hasta “n” frecuencias dependiendo de los modos excitados en la
prueba realizada. Al obtener la transformada de Fourier de una función de respuesta al
14
impulso se obtiene la representación de la respuesta dinámica en el dominio de la
frecuencia dando origen a la función de respuesta en el dominio de la frecuencia (FRF).
Si la FRF obtenida es en términos del parámetro de desplazamiento se le conoce como
receptancia, si se obtiene en términos de la velocidad se le conoce como movilidad y si se
obtiene en términos de la aceleración, se le conoce como acelerancia.
En la tabla 2.1 se observan las distintas FRF en función de los parámetros de vibración.
Tabla 2.1. Distintas FRF existentes
Parámetro de respuesta. Nombre de la FRF
Desplazamiento/Fuerza
Receptancia
Admitancia
Compilancia
Flexibilidad dinámica
Velocidad/Fuerza Movilidad
Aceleración/Fuerza Inertancia
Acelerancia
Por otra parte, la función de respuesta en el dominio de la frecuencia en la forma de
función parcial fraccionada o forma de parámetros modales se define por:
Donde:
H( ): Respuesta en el dominio de la frecuencia.
d: Frecuencia natural amortiguada del sistema
: Factor de amortiguamiento del sistema.
Ar: Constante de participación modal.
n: número de modos.
CONJUGADO COMPLEJO
15
La ecuación (3), representa una FRF con sus 3 parámetros modales principales, “ωn” es
la frecuencia natural, “ζ” es la razón de amortiguamiento del sistema, el término “Ar”, este
término se le conoce con el nombre de constante de participación modal y está
directamente relacionado con la vibración en términos del desplazamiento del sistema y,
por ende con la forma modal del sistema, el símbolo de “Σ” representa el número de
modos obtenidos en la prueba de vibración que pueden ser desde 1 hasta n modos.
La ecuación (3), aplica para cada modo analizado es decir, cada modo es un número
complejo conjugado por lo que si se están analizando 2 o más modos, cada modo estará
representado por su parte fraccional compleja y conjugada dentro de la sumatoria que
describe la ecuación.
Al ser la FRF una expresión compleja, la respuesta dinámica tiene una parte real y una
parte imaginaria, a su vez también tiene una representación del módulo de la misma y una
representación puramente compleja, estas representaciones se presentan en las figuras
2.2 – 2.5
Figura 2.2. Módulo de una FRF [1].
Figura 2.3. Parte real de una FRF [1].
16
Figura 2.4. Parte imaginaria de una FRF [1].
Figura 2.5. Diagrama de Nyquist, representación compleja de una FRF.
17
2.5 TRANSFORMADA WAVELET.
La transformada wavelet es una técnica matemática que permite analizar una señal en el
dominio del tiempo en un dominio mixto (tiempo-frecuencia) descomponiendo la
información de la señal en el tiempo y analizándola en ambos dominios a la vez.
La transformada wavelet se define matemáticamente por la siguiente ecuación [17].
Donde:
f(t): Señal en el dominio del tiempo.
: Wavelet madre trasladada y escalada en el dominio del tiempo.
a: Factor wavelet de escala.
b: Factor wavelet de traslación.
: Factor de normalización.
La transformada wavelet es una medida de la correlación entre una señal a analizar en el
dominio del tiempo y una función que se le conoce como wavelet madre. La wavelet
madre se utiliza para comparar rasgos de ella misma con alguna función de interés por lo
que se recomienda utilizar wavelet madre acordes al fenómeno a estudiar ya que de
utilizar una wavelet madre que no se relacione en lo más mínimo con el fenómeno de
estudio, el error en los resultados obtenidos será alto, mientras que de utilizarse una que
si se relacione al fenómeno de estudio se obtendrá un grado de error mucho más bajo en
los resultados obtenidos.
Existen muchas funciones que son wavelet madre mismas que se han desarrollado a
través de distintas investigaciones cada una para un uso en particular, un ejemplo de las
mismas son las siguientes.
18
Figura 2.6. Distintas wavelet madre.
Para que una función pueda ser wavelet madre, esta debe de cumplir las condiciones
siguientes [18].
Debe de tener duración finita.
Debe de tener área bajo la curva unitaria (ser normalizada).
Debe de cumplir el criterio de admisibilidad
El análisis wavelet como se mencionó, puede ser visto también como una comparación de
rasgos o características entre la wavelet madre y la señal analizada en forma de
traslación y cambio de forma. Por lo que entre mayor sea el parecido, más sencillo será
relacionar estos rasgos. El factor de escala “a” y el factor de traslación “b” son el punto
central del análisis wavelet ya que como se mencionó en el párrafo anterior son estos
factores los que se pueden relacionar con ciertas características de la señal estudiada
19
A continuación en la figura 2.7., se presenta el concepto de traslación y escala.
a) b)
Figura 2.7. a) Operación de escala de la wavelet madre Mexican Hat, b) Operación de
traslación de la wavelet madre Mexican Hat..
Los factores de escala “a” y traslación “b” son operaciones que se realizan sobre la
wavelet madre, la escala consiste en el cambio de forma y amplitud de la función mientras
que la traslación consiste en la localización sobre el eje del tiempo, esto se hace con el
objetivo de evaluar la correlación entre una wavelet madre y una señal a distintas
posiciones y a distintas formas sobre el eje del tiempo.
Aplicada a señales en el dominio del tiempo, el factor de escala de una wavelet madre se
relaciona directamente con la frecuencia de la señal analizada, mientras que el factor de
traslación se toma como una medida del tiempo que dura la señal.
Para algunas wavelet madre como la wavelet Morlet la cual se define a continuación.
cuando la frecuencia central “fo” es igual a “2π” se cumple que:
Sin embargo es necesario calcular la relación entre escala y frecuencia para wavelets
madres diferentes. Una vez calculadas las relaciones entre escala y frecuencia se
procede a aplicar la ecuación (4) y tomar la medida de la correlación entre la señal y la
20
wavelet madre, se grafica el escalograma y se extraen las escalas y traslaciones
correspondientes a los puntos con mayor magnitud en la matriz de coeficientes (puntos
máximos del escalograma).
Como se ha mostrado hasta este punto, la transformada wavelet es una técnica
matemática que originalmente fue desarrollada para ser utilizada sobre señales en el
dominio del tiempo, sin embargo también es posible aplicar la transformada wavelet en el
dominio de la frecuencia, tal y como se muestra en la ecuación siguiente [18].
Donde:
f( ): Función en el dominio de la frecuencia.
b: Factor de traslación.
a: Factor de escala.
: Wavelet madre trasladada y escalada en el dominio de la frecuencia.
: Factor de normalización en el dominio de la frecuencia.
El factor de normalización dentro de la transformada wavelet guarda que el área bajo la
curva de la wavelet madre sea siempre unitaria, independientemente de los cambios de
forma (escala) y posición (traslación) que se le aplique a esta.
Existen varias maneras de normalizar una wavelet madre, una manera sencilla de llevar a
cabo esto es utilizando la definición del espectro de energía de la wavelet madre utilizada
que no es más que el área bajo la curva de la misma, el espectro de energía está definido
por la ecuación (5), aplicado al dominio del tiempo se tiene.
La ecuación (10) entonces podrá utilizarse como factor de normalización de la siguiente
manera.
21
Con esto se asegurará que el área bajo la curva de la wavelet madre siempre será igual a
1, también aplica en el dominio de la frecuencia, tal y como se muestra a continuación.
De esta manera, se puede utilizar el espectro de la wavelet madre con área unitaria como
factor de normalización [18].
22
CAPÍTULO III.
DISEÑO DE WAVELET MADRE PARA EL CÁLCULO DE
PARÁMETROS MODALES DE VIBRACIÓN.
3.1 INTRODUCCIÓN.
En este capítulo se muestra el procedimiento realizado para diseñar la wavelet madre
para calcular parámetros modales de vibración a partir de una FRF, asimismo, se muestra
la relación entre el comportamiento de la wavelet madre y la FRF, esto en función de los
cambios de forma (escala) y de posición (traslación), encontrando una relación
matemática para determinar la frecuencia natural y amortiguamiento en términos del
factor de cambio de forma “x” y el de traslación “b”.
A su vez, se presenta un método para el cálculo de las constantes de participación modal
sin tomar en cuenta la contribución modal entre modos de vibración, esto para determinar
el vector de forma modal, cumpliendo de esta manera con el cálculo de los tres
parámetros modales, mediante la wavelet madre propuesta.
3.2 DISEÑO DE WAVELET MADRE PARA EL CÁLCULO DE PARÁMETROS
MODALES.
Para diseñar la wavelet madre, se consideró la forma y el comportamiento de una FRF,
esto con el objetivo final de que la wavelet madre propuesta tuviera características
similares a las de un FRF real y así extraer con exactitud los parámetros modales de
frecuencia natural, amortiguamiento y forma modal de una estructura ó sistema rotatorio
mediante transformada wavelet. Para esto, se tomo como base la FRF en la forma de
función fraccional.
A continuación, en la ecuación siguiente se muestra la FRF en su forma de función
fraccional, ver sección 2.4.2.
CONJUGADO COMPLEJO
23
Analizando cada uno de los términos de la ecuación (13) en su forma de funciones
parciales fraccionadas es posible relacionar cierto comportamiento de una FRF con los
factores escala y traslación de una wavelet madre como se muestra a continuación.
“Ar”: Es la constante modal del sistema analizado, afecta gráficamente a la FRF en la
magnitud resultante y es una constante que se puede relacionar directamente con la
magnitud de la respuesta en términos de desplazamiento.
“ζ ωn”: Controla el decaimiento (tasa de disipación de la energía de vibración fuera de un
sistema) de la FRF y también afecta en la magnitud resultante, al variarlo cambia la forma
de la función. A mayores valores decrece en amplitud y se vuelve más ancha sobre el eje
de la frecuencia teniendo un efecto inverso para valores pequeños de este producto, este
efecto se muestra en la figura 3.8.
Figura 3.8. FRF para distintos valores de ζ ωn
De la gráfica de la figura 3.8 se puede observar que la variación de “ζωn” es similar al
comportamiento de la wavelet madre cuando se varía la escala “a” en el dominio del
tiempo mostrada en la figura 2.7 a). Por lo tanto, en este trabajo el término “ζωn” se
propone como la escala para el dominio de la frecuencia.
n=0.5
n=0.9
n=2
24
d= n : Es la frecuencia natural amortiguada del sistema, esto matemáticamente,
define de la localización de la función en el eje de la frecuencia y este término es la
magnitud de la frecuencia tomando en cuenta el amortiguamiento del sistema que se
analice, en la figura 3.9 se muestra gráficamente el efecto de variar “ωd” en la FRF.
Figura 3.9. FRF para distintos valores de d
De la gráfica de la figura 3.9 se puede observar que la variación de “ωd” es similar en
comportamiento de la wavelet madre cuando se varía el factor de traslación “b” en el
dominio del tiempo, figura 2.7 b). Por lo tanto, para este trabajo el término “ωd” se
propone como el factor de traslación para el dominio de la frecuencia.
De acuerdo con lo anterior y con la definición de transformada wavelet, el término “ωd” de
la ecuación (13) cumple la misma función que el factor de traslación “b” en la wavelet
madre, por tanto es posible reescribir la ecuación (13) que es la definición de la FRF como
una ecuación simplificada que represente una wavelet madre de la siguiente forma:
Por otra parte, se analizó que el término “ζωn” de la ecuación (13) controla a la función en
forma y amplitud siendo este comportamiento similar al que provoca el factor de escala “a”.
Por lo tanto haciendo que x= n y Ar=1, la ecuación (14) se simplifica de la siguiente
forma:
d=7.98
d=9.98
d=11.98
25
La ecuación (15) representa la wavelet madre propuesta en este trabajo que se utilizará
para llevar a cabo la extracción de parámetros modales de sistemas vibratorios a partir de
la respuesta del sistema en el dominio de la frecuencia.
Por lo tanto, de acuerdo con la definición de la transformada wavelet en el dominio de la
frecuencia ecuación (9) y la definición de la FRF dada por la ecuación (13), la ecuación
(15) se puede reescribir como:
Como se explicó en la sección 2.5, para que una función pueda funcionar como wavelet
madre, debe cumplir ciertos requisitos, la ecuación (16) se verificó que cumple
perfectamente las condiciones necesarias (duración finita, admisibilidad y área unitaria).
Por lo que la ecuación (16) es la wavelet madre propuesta en el presente trabajo.
En la figura 3.10, se muestra el comportamiento de la wavelet madre propuesta en la
ecuación (16) para distintos valores de “b”, “x” y “a”.
26
a)
b)
b=3 x=1 a=1
b=5 x=1 a=1
b=5 x=0.1 a=1
b=5 x=0.8 a=1
b=8 x=1 a=1
b=5 x=0.6 a=1
27
c)
Figura 3.10. Comportamiento de la wavelet madre propuesta para distintos valores de “b”,
“x” y “a”
En la figura 3.10 se puede observar que la variación de los parámetros “x” (figura 3.10b) y
“a” (figura 3.10c) realizan la misma función, por lo que es necesario que alguno de los dos
se mantenga constante, en este trabajo se propone que la escala sea a=1 y trabajar
únicamente con la variación del parámetro “x” como se muestra en la figura 3.11.
b=5 x=1 a=0.1
b=5 x=1 a=0.8
b=5 x=1 a=0.6
28
Figura 3.11.- Variación de “b” y “x” con una escala a=1.
Como la wavelet madre propuesta en la ecuación (16), tiene como origen la definición de
una FRF dada por la ecuación (13), es fácil concluir que cuando se cumple que.
a (escala)= 1 (17)
x (factor de forma) ≈ n (18)
b (traslación) ≈ (19)
Se encuentra la máxima correlación entre la wavelet madre y la FRF analizada, esto se
muestra en la figura 3.12.
b=3 x=0.1 a=1
b=5 x=0.6 a=1
b=8 x=0.8 a=1
29
Figura 3.12. Wavelet madre (verde) con escala a=1 y un factor de forma x= n, FRF
(rojo)
Para generar la FRF de la figura 3.12 se propuso una ωn= 10 Hz y una razón de
amortiguamiento ζ=0.05. En esta figura se observa que tanto la FRF (línea punteada) y la
wavelet madre (línea continua) son similares.
3.3 TRANSFORMADA WAVELET DE UNA FRF.
Para obtener la transformada wavelet de una FRF, se realiza la convolución entre la
wavelet madre propuesta y la FRF a analizar.
Se varían los parámetros “x” y “b” de la ecuación (20) y se obtiene un escalograma de tres
dimensiones (x, b, coeficientes wavelet) como el que se muestra en la figura 3.13. En este
gráfico, los coeficientes wavelet representan la medida de correlación entre la wavelet
madre y la FRF analizada, por lo tanto entre mayor sea el coeficiente wavelet mayor será
la correlación.
30
De acuerdo con lo anterior, se procede a localizar los parámetros “x” y “b”
correspondientes al punto máximo en el escalograma, parámetros que nos representan la
máxima correlación entre la wavelet madre y la FRF.
Figura 3.13. Escalograma de la transformada wavelet de la FRF mostrada en la figura
3.12.
3.4 EXTRACCIÓN DE PARÁMETROS “ωn” y “ζ”.
Una vez obtenidos los parámetros “x” y “b” se relacionan con las ecuaciones (18) y (19)
respectivamente.
(21)
(22)
Despejando ζ de la ecuación (21) se tiene ζ=x/ωn y sustituyendo en la ecuación (22) se
tiene.
(23)
Igualando las ecuaciones (22) y (23) se tiene.
Similarmente resolviendo para ζ se tiene.
x=0.51 b=10 cwt=1.758
31
Una vez obtenidos los primeros dos parámetros modales (frecuencia y amortiguamiento),
es necesario calcular el tercer parámetro modal que es la forma modal del sistema
analizado.
3.5 CÁLCULO DE CONSTANTES MODALES Y FORMAS MODALES DE SISTEMAS
MECÁNICOS VIBRATORIOS.
Es posible expresar las formas modales utilizando las constantes modales “Ar” de
acuerdo con la ecuación (13), mismas que están relacionadas directamente con los
desplazamientos del sistema a causa de la vibración.
La forma modal de un sistema es un patrón de deflexión asociado a una frecuencia
natural, físicamente es una propiedad dinámica inherente del sistema que representa los
desplazamientos relativos de todas las partes de la estructura para una frecuencia en
particular con esto se entiende que cada frecuencia natural (cada modo presente en el
sistema) tendrá asociada una forma modal (patrón de deflexión).
Cuando se calcula la forma modal haciendo uso de las constantes modales, se dice que
la forma está “escalada” [19] ya que se obtiene directamente de las mediciones de la FRF,
entonces con los parámetros calculados con la transformada wavelet, es posible obtener
una expresión para calcular las formas modales.
Haciendo uso de los parámetros de frecuencia “ωn” y amortiguamiento “ζ”, la ecuación
(13) puede ser reescrita en términos de los factores “x” y “b” obtenidos con la
transformada wavelet como sigue:
Donde:
x ≈ n
b ≈
Nótese que la ecuación (26) es la ecuación de la FRF en términos de “x” y “b”, y es
además una función compleja, por lo que tiene parte real “x” y parte imaginaria “y i”.
32
Para llevar a cabo el cálculo de las formas modales se siguen los siguientes pasos:
1.- Se descompone la FRF a analizar en sus partes real e imaginaria, en ambos gráficos
se localiza la frecuencia natural calculada con la ecuación (24) y se localizan los valores
de las partes real (Xωn) e imaginaria (Yωni) correspondientes a la frecuencia natural
calculada de cada modo analizado.
2.- Identificadas las partes real e imaginaria correspondientes a la frecuencia natural, se
sustituyen en la ecuación (26) junto con los parámetros “x” y “b” como se muestra en la
ecuación (27) y se despeja la constante “Ar1” del primer modo de vibración.
3.- Si existe un segundo modo a analizar, se localizan las partes real (Zωn2) e imaginaria
(Tωn2i) correspondientes a la frecuencia natural del segundo modo y se sustituyen en la
ecuación (26) junto con los parámetros “x” y “b” correspondientes al segundo modo como
se indica en la ecuación (28) y se despeja la constante “Ar2” del segundo modo de
vibración.
4.- Si existen más de dos modos a analizar, el procedimiento anterior se sigue para los “n”
modos restantes.
Una vez calculadas las constantes modales es posible escribir la forma modal escalada
de la siguiente manera.
De esta manera se obtienen los 3 parámetros modales principales para un sistema
vibratorio a partir de la respuesta en el dominio de la frecuencia mediante transformada
wavelet.
33
CAPÍTULO IV.
RESULTADOS NUMÉRICOS.
4.1 INTRODUCCIÓN.
En este capítulo se muestra la solución de un caso puramente teórico de modos
separados y un caso de modos cercanos haciendo énfasis en los métodos de solución de
cada caso y en las limitantes observables para cada caso.
Las respuestas se computaron utilizando la definición de una FRF dada por la ecuación
(13) para dos grados de libertad en cada caso.
Cada FRF programada representa la lectura de un sensor de vibración sin embargo, no
se especifica ningún sistema en particular. Para el análisis se hace énfasis en la
descomposición modal de la FRF mediante transformada wavelet.
4.2 RESULTADOS NUMÉRICOS DE MODOS SEPARADOS.
Para evaluar la metodología propuesta en este trabajo, se propone una FRF teórica que
corresponde a un sistema de 2 grados de libertad. La FRF se generó mediante la
ecuación (13) y los datos teóricos propuestos se muestran en la tabla 4.2.
Tabla 4.2. Parámetros teóricos propuestos
Parámetros Modo 1 Modo 2
Frecuencia 5 30
Amortiguamiento 0.05 0.06
Constante modal respuesta 1 .20+20i -(.15+45i)
Constante modal respuesta 2 .18+45i .10+15i
La FRF generada se muestra en la figura 4.14 y se supone en términos de
desplazamiento (receptancia), en la gráfica se aprecia la generación de 2 FRF’s
(respuesta 1 y respuesta 2) que corresponden a 2 sensores de desplazamiento colocados
en distinta posición en el sistema vibratorio.
34
Figura 4.14. Respuesta del sistema teórico de modos separados a analizar con
transformada wavelet.
Para este caso en particular, es independiente analizar cualquiera de las dos respuestas
(1 ó 2) de la figura 4.14, ya que cada modo de vibración se define perfectamente en cada
una de las FRF’s generadas, por lo que para este ejercicio se propone resolver la
respuesta 1.
4.3 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA 1.
Como se explicó en la sección 3.3, se obtiene la transformada wavelet de la FRF
correspondiente a la respuesta 1, el escalograma correspondiente se muestra en la figura
4.15, en esta se puede apreciar que efectivamente los 2 modos de vibración se definen
perfectamente, esto se debe a que existe poca influencia del primer modo en el segundo y
viceversa, es decir se consideran modos separados.
Por lo tanto, en el escalograma de la figura 4.15, se localizan los parámetros “x” y “b”
correspondientes a los puntos máximos de cada uno de los modos de vibración, mientras
que la figura 4.16 muestra un gráfico de curvas de nivel mostrando estos mismos puntos
en el escalograma.
35
Figura 4.15. Transformada continua de wavelet del sistema teórico analizado.
Figura 4.16. Curvas de nivel de la transformada wavelet continua del caso analizado.
x=0.25 b=5 cwt=5.103
x=1.8 b=29.8 cwt=4.548
x=0.25 b=5 nivel=5.103
x=1.8 b=29.8 nivel=4.548
36
4.4 CÁLCULO DE FRECUENCIAS NATURALES Y AMORTIGUAMIENTOS
4.4.1. MODO 1.
Los parámetros “x” y “b” correspondientes al modo 1 de acuerdo con las figuras 4.15 y
4.16 son:
x=0.25 y b=5.
De la ecuación (24) se obtiene la frecuencia natural del modo 1.
De la ecuación (25) se calcula el amortiguamiento correspondiente al modo 1.
4.4.2. MODO 2.
Los parámetros “x” y “b” correspondientes al modo 2 de acuerdo con las figuras 4.15 y
4.16 son:
x=1.8 y b=29.8
De la ecuación (24) se obtiene la frecuencia natural del modo 2.
De la ecuación (25) se calcula el amortiguamiento correspondiente al modo 2.
En la tabla 4.3, se muestran los parámetros “x” y “b” para cada uno de los modos de
vibración, así como las frecuencias naturales y amortiguamientos obtenidos y su
comparación con los datos propuestos así como el porcentaje de error entre los
parámetros calculados y los propuestos, en esta se puede observar que el porcentaje
mayor de error es del 0.12%.
37
Tabla 4.3. Frecuencias y amortiguamientos calculados para el caso teórico analizado.
Parámetros Calculados Propuestos Porcentaje de error.
Modo 1 Modo 2
Modo 1 Modo 2 Modo 1 Modo 2 Factor x 0.25 1.8
Factor b 5 29.8
Frecuencias 5.006 29.85 5 30 0.12% 0.50%
Amortiguamientos 0.0499 0.0602 0.05 0.06 0.20% 0.33%
4.5 CÁLCULO DE CONSTANTES MODALES.
4.5.1. MODO 1.
Obtenidos los parámetros de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento “ζ” para cada uno
de los 2 modos de la respuesta 1, se proceden a obtener las constantes modales
correspondientes al modo 1. Para realizar lo anterior, se obtiene la parte real (figura 4.17)
y la parte imaginaria (figura 4.18) de la FRF para la respuesta 1 de la figura 4.14.
Figura 4.17. Parte real de la respuesta 1 a las frecuencias calculadas mediante
transformada wavelet.
x=5.006 y=5.793
x=29.85 y=2.794
38
Figura 4.18. Parte imaginaria de la respuesta 1 a las frecuencias naturales calculadas
mediante transformada wavelet.
De las figuras 4.17 y 4.18, se localiza el valor de las respuestas real e imaginaria
correspondientes a la frecuencia natural del modo 1 “ωn=5.006 Hz”, los valores obtenidos
son:
H=(5.793+79.64i) (30)
Una vez obtenidos los valores de H para el modo 1, se sustituyen junto con los valores de
“x”, “b” y “ωn” en la ecuación (26), tal y como se muestra en la ecuación (31), y se despeja
la constante modal “Ar1”.
(31)
De la ecuación (31) se tiene.
Ar1= 1.448249970+20.00728447i
|Ar1|=20.05
Donde “Ar1” es la constante modal del modo 1 y “|Ar1|” es el módulo.
x=5.006 y=79.64
x=29.84 y=-29.87
39
4.5.2 MODO 2.
Obtenidos los parámetros modales de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento “ζ” para
cada uno de los modos de vibración, se procede a obtener las constantes modales
correspondientes al modo 2. Para lo anterior, se obtiene la respuesta real de la figura 4.17
y la parte imaginaria de la figura 4.18 de la FRF correspondiente a la respuesta 1 como se
muestra en la figura 4.14.
De las figuras (4.17 y 4.18), se localiza el valor de la respuesta real e imaginaria
correspondiente a la frecuencia natural “ n=29.85 Hz”, los valores son:
H=(2.794-29.87i) (32)
Una vez obtenidos los valores de H, se sustituyen en la ecuación (26) junto con los
valores de “x”, “b” y “ωn” tal y como se muestra en la ecuación (33), despejando la
constante modal “Ar2” se tiene.
(33)
De la ecuación (33) se tiene.
Ar2= 5.029199963-53.6021574i
|Ar2|=53.79
Donde “Ar2” es la constante modal del modo 2 y “|Ar2|” es el módulo o magnitud de dicha
constante modal.
En la figura 4.19, se muestra la FRF regenerada con los parámetros obtenidos en este
ejercicio y se compara con la FRF original teórica propuesta de la respuesta 1, en la figura
4.19 se puede apreciar que la FRF regenerada se ajusta tanto en amplitud como en
ancho de banda a la FRF original.
Por otra parte, en las figuras 4.20 y 4.21 se hace un acercamiento del modo 1 y del modo
2 respectivamente, en estas se observan pequeñas diferencias en cuanto a amplitud y
ancho de banda.
40
Figura 4.19. FRF de la respuesta 1 regenerada.
Figura 4.20. Modo 1 de la respuesta 1 regenerado a la frecuencia original y a la frecuencia
calculada.
x=5.006 y=79.67
x=5 y=79.9
41
Figura 4.21. Modo 2 de la respuesta 1 regenerado a la frecuencia original y a la frecuencia
calculada.
4.6 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA 2.
Para el análisis de la respuesta 2, se tomaron como parámetros de entrada la frecuencia y
amortiguamiento de los modos 1 y 2 calculados de la respuesta 1, esto se debe a que
estos parámetros modales son iguales para las diferentes respuestas, ya que se tomaron
del mismo sistema vibratorio.
4.7 CÁLCULO DE LAS CONSTANTES MODALES.
4.7.1 MODO 1.
Obtenidos los parámetros de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento “ζ” para cada uno
de los 2 modos de la respuesta 1, se proceden a obtener las constantes modales
correspondientes a la respuesta 2. Para realizar lo anterior, se obtienen la parte real de la
figura 4.22., y la parte imaginaria de la figura 4.23., de la FRF para la respuesta 2
mostrada en la figura 4.14.
x=29.85 y=30.08
x=30 y=29.95
42
Figura 4.22. Parte real de la respuesta 2 a las frecuencias naturales calculadas mediante
transformada wavelet.
Figura 4.23. Parte Imaginaria de la respuesta 2 a las frecuencias naturales calculadas
mediante transformada wavelet.
x=5.006 y=3.995
x=29.85 y= -0.1192
x=5.006 y=179.4
x=29.85 y=8.3
43
De las figuras 4.22 y 4.23, se localiza el valor de las respuestas real e imaginaria
correspondientes a la frecuencia natural del modo 1 “ n=5.006 Hz”, los valores obtenidos
son:
H=(3.996+179.4i) (34)
Una vez obtenidos los valores de H para el modo 1, se sustituyen junto con los valores de
“x”, “b” y “ n” en la ecuación (26) tal y como se muestra en la ecuación (35) y se despeja
la constante modal “Ar1”.
(35)
De la ecuación (35) se tiene.
Ar1= .9989999328+44.95597751i
|Ar1|=44.96
Donde “Ar1” es la constante modal del modo 1 y “|Ar1|” es el módulo o magnitud de dicha
constante modal.
4.7.2 MODO 2.
Obtenidos los parámetros modales de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento “ζ” para
cada uno de los modos de vibración, se procede a obtener las constantes modales
correspondientes. Para lo anterior, se obtiene la respuesta real de la figura 4.22 y la parte
imaginaria de la figura 4.23, de la FRF correspondiente a la respuesta 2 mostrada en la
figura 4.14.
De las figuras 4.22 y 4.23 se localiza el valor de la respuesta real e imaginaria
correspondiente a la frecuencia natural “ n=29.85 Hz.", los valores son:
H=(-.1192+8.3i) (36)
Una vez obtenidos los valores de H, se sustituyen en la ecuación (26) junto con los
valores de “x”, “b”, “ωn” y la constante modal “Ar1” obtenida previamente en la ecuación
(35) tal y como se muestra en la ecuación (37).
44
De la ecuación (37) se tiene.
Ar2= -.2145599915+14.95426936i
|Ar2|=14.95
Donde “Ar2” es la constante modal del modo 2 y “|Ar2|” es el módulo de la constante
modal.
En la figura 4.24., se muestra la FRF regenerada con los parámetros obtenidos, y se
compara con la FRF original teórica propuesta de la respuesta 1, en la figura 4.24, se
puede apreciar que la FRF regenerada se ajusta a la FRF original.
Por otra parte, en la figuras 4.25 y 4.26, se hace un acercamiento del modo 1 y del modo
2 respectivamente, en estas se observan pequeñas diferencias en cuanto a amplitud y
ancho de banda, sin embargo el ajuste de la FRF regenerada con respecto a la original se
considera bueno.
Figura 4.24. FRF de la respuesta 2 regenerada
45
Figura 4.25. Modo 1 de la respuesta 2 regenerado a la frecuencia original y a la frecuencia
calculada.
Figura 4.26. Modo 2 de la respuesta 2 regenerado a la frecuencia original y a la frecuencia
calculada.
x=5.006 y=179.1
x=5 y=179.8
x=30 y=8.331
x=29.85 y=8.257
46
En la tabla 4.4, se presentan las constantes modales para cada modo calculado para
ambas respuestas, así como los módulos de las mismas.
Tabla 4.4. Constantes modales calculadas
Respuestas Constantes calculadas Módulos
Modo 1 Modo 2 Modo 1 Modo 2
Respuesta 1 1.448249970+20.00728447i 5.029199963-53.56021574i 20.0596 53.7958
Respuesta 2 .9989999328+44.95597751i -.2145599915+14.95426936i 44.9670 14.9558
4.8 CÁLCULO DE FORMAS MODALES.
Calculadas las constantes de participación modal, se procede a calcular la magnitud y se
escribe el vector correspondiente a la forma modal para cada modo de vibración.
Para poder determinar la orientación y forma del modo de vibración, es necesario tener al
menos 2 respuestas, donde cada una corresponde a 2 sensores de vibración colocados
de tal manera que ambos estén separados por el antinodo del segundo modo. Para lo
anterior, se analizan tanto la parte real así como la parte imaginaria de las respuestas
correspondientes a la figura 4.14.
En las figuras 4.27 y 4.28, se muestran las partes real e imaginaria respectivamente de
las respuestas 1 y 2. Aquí se observa que en el primer modo de vibración los
desplazamientos están en fase y caso contrario sucede con los desplazamientos del
segundo modo, donde se aprecia que los desplazamientos se encuentran en antifase
para las dos respuestas del sistema.
47
Figura 4.27. Parte real de las respuestas 1 y 2
Figura 4.28. Parte imaginaria de las respuestas 1 y 2
Respuestas en fase Respuestas en antifase
Respuestas en fase
Respuestas en antifase
48
Por lo tanto, de acuerdo con lo anterior, el vector correspondiente a la forma modal tanto
del modo 1 y modo 2 de vibración se puede escribir como:
Modo 1 Modo 2
(38)
Las formas modales en forma gráfica, podrían representarse de la siguiente manera:
Figura 4.29. Forma modal del modo 1.
Figura 4.30. Forma modal del modo 2.
49
4.9 RESULTADOS NUMÉRICOS DE MODOS CERCANOS.
Como se mencionó en la introducción del presente trabajo, los métodos de
descomposición modal tienen limitantes en el análisis de modos cercanos que radican en
la visualización de los mismos, esto se debe a la influencia que la componente modal que
un modo ejerce sobre el modo vecino, el problema es tal que en muchas ocasiones es
preferible ignorar la influencia de uno sobre otro y separar iterativamente dicha influencia
para analizar los modos de manera separada y extraer parámetros modales de una
manera más sencilla.
La metodología wavelet no es una excepción en cuanto a limitantes presentes al analizar
modos cercanos de vibración. En la descomposición de FRF’s de modos cercanos, lo que
sucede al aplicar transformada wavelet, es que en el escalograma resultante siempre es
más apreciable el modo con mayor influencia y esto hace que el modo con menos
influencia se plasme de una manera muy abstracta haciendo el problema de identificación
de este muy complicado.
Por tanto, para llevar a cabo la descomposición modal usando transformada wavelet del
caso de modos cercanos, se propone utilizar el método de eliminación modal iterativo.
Este método consiste en calcular los parámetros del modo con mayor influencia, una vez
calculados los parámetros de frecuencia y amortiguamiento, se procede a regenerar el
modo y se resta de la FRF de modos cercanos original, el resultado de llevar esto a cabo
es la eliminación propia del modo identificado, dejando al modo con menor influencia libre
para llevar a cabo su análisis de manera independiente.
50
4.10 ANÁLISIS DEL CASO DE MODOS CERCANOS.
Para evaluar la metodología propuesta, se propone una FRF teórica que corresponde a
un sistema de dos grados de libertad como se muestra en la figura 4.31. La FRF se
generó mediante la ecuación (13) y los datos teóricos propuestos se muestran en la tabla
4.5.
Tabla 4.5. Parámetros teóricos propuestos.
Parámetros Modo 1 Modo 2
Frecuencia 7.5 10
Amortiguamiento 0.1 0.015
Constante modal respuesta 1 .51+1i .9+10i
Constante modal respuesta 2 .5+3i .11+4i
A diferencia del caso para modos separados (sección 4.2) donde los modos de vibración
están perfectamente definidos, en el caso de modos cercanos los modos de vibración
tienen influencia de uno con otro lo que dificulta el analizar la respuesta completa.
En la figura 4.31., se observa que el modo de vibración que está mejor definido
corresponde al modo 2 de la respuesta 2, por lo que el análisis se inicia considerando la
respuesta 2.
4.11 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA 2.
Como se explicó en la sección 3.3, se obtiene la transformada wavelet de la FRF
correspondiente a la respuesta 2, el escalograma correspondiente se muestra en la figura
4.32, aquí se observa que los parámetros de “x” y “b” para el punto máximo del modo 2
están perfectamente definidos, cosa que no sucede con el modo 1, esto se debe a que es
tanta la influencia que tiene el modo 2 sobre el modo 1 que prácticamente el modo 1
desaparece. En la figura 4.33 se muestra un gráfico de curvas de nivel mostrando estos
mismos puntos en el escalograma.
De acuerdo con lo anterior, se localizan los parámetros “x” y “b” correspondientes al punto
máximo del modo 2.
51
Figura 4.31. Respuesta de modos cercanos teórica a analizar.
Figura 4.32. Escalograma de la respuesta de modos cercanos.
Modo 2
Modo 1
x=0.16 b=10 cwt=1.281
52
Figura 4.33. Curvas de nivel de la transformada wavelet continua del caso analizado.
4.12 CÁLCULO DE FRECUENCIAS Y AMORTIGUAMIENTOS.
4.12.1 Modo 2.
Los parámetros “x” y “b” del modo 2 de acuerdo con las figuras 4.32 y 4.33 son:
x= 0.16, b=10
Por lo que, calculando las frecuencias y amortiguamientos como se muestra en la sección
4.4 se tiene la tabla 4.6, donde se muestran los parámetros “x” y “b” para el modo 2, así
como las frecuencias naturales y los amortiguamientos calculados, su comparación con
los propuestos y el porcentaje de error en los cálculos siendo el más alto de 6% en los
cálculos.
Tabla 4.6. Frecuencias y amortiguamientos calculados para el modo 2.
Parámetros Calculados Propuestos Porcentaje
de error
Frecuencia natural 10.001 10 .01%
Amortiguamiento 0.0159 0.015 6%
Factor de forma y traslación obtenidos
Factor x 0.16
Factor b 10
x=0.16 b=10 nivel=1.281
53
4.13 CÁLCULO DE CONSTANTES MODALES.
4.13.1 Modo 2.
Obtenidos los parámetros de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento “ζ” para el modo
2 de la respuesta 2, se procede a obtener la constante modal correspondiente. Para lo
anterior, se obtiene la parte real mostrada en la figura 4.34 e imaginaria mostrada en la
figura 4.35 de la FRF para la respuesta 2 de la figura 4.31.
Figura 4.34. Parte real de la respuesta 2 con la frecuencia natural del modo 2 identificada.
x=10.001 y=1.882
54
Figura 4.35. Parte imaginaria de la respuesta 2 con la frecuencia natural del modo 2
identificada.
De las figuras 4.34 y 4.35, respectivamente, se localizan los valores de las respuestas real
e imaginaria correspondientes a la frecuencia natural del modo 2 calculada “ n=10.001
Hz”, los valores obtenidos son:
H=1.882+26.74i (39)
Obtenidos los valores de H, se sigue el procedimiento para calcular la constante modal tal
y como se muestra en las secciones 4.5 y 4.7, obteniéndose así para este caso la
constante modal del modo 2 “Ar2”, con lo que se tiene que.
Ar2=.3009618959+4.281513337i
|Ar2 |=4.2920
Donde “Ar2” es la constante modal del modo 2 y “|Ar2|” es el módulo de la constante
modal.
x=10.001 y=26.74
55
En la figura 4.36, se muestra la regeneración de la FRF correspondiente a la respuesta 2
con los parámetros obtenidos y se compara con la FRF teórica original, en la figura se
puede observar que tanto la FRF regenerada y la FRF original son similares en ancho de
banda y amplitud.
Figura 4.36. Regeneración del modo 2 en el problema de modos cercanos.
4.14 CÁLCULO DE FRECUENCIAS NATURALES Y AMORTIGUAMIENTOS.
4.14.1 Modo 1.
Para analizar el modo 1, es necesario sustraer la FRF regenerada correspondiente al
modo 2 de la FRF original, al realizar este proceso se elimina el modo 2 y queda
únicamente el modo 1.
En la figura 4.37, se muestra el modo 1 como resultado del proceso de sustracción modal
del modo 2.
56
Figura 4.37. Modo 1 libre para el análisis luego de sustraer el modo 2 con eliminación
modal iterativa.
De la figura 4.37 se obtiene la transformada wavelet donde el escalograma
correspondiente se muestra en la figura 4.38, aquí se observa que como resultado del
proceso de sustracción modal, los parámetros “x” y “b” correspondientes al punto máximo
del modo 1 están ahora perfectamente definidos. Así mismo, en la figura 4.39 se muestra
un gráfico de curvas de nivel del modo 1 para la mejor apreciación de los puntos máximos.
57
Figura 4.38. Transformada de wavelet para el modo 1 del caso teórico de modos cercanos.
Figura 4.39. Curvas de nivel de la transformada wavelet continua del caso analizado.
x=0.73 b=7.4 cwt=0.4069
x=0.73 b=7.4 nivel=0.4069
58
De acuerdo con las figuras 4.38 y 4.39, los parámetros “x” y “b” del modo 1 son:
x=0.73, b=7.4
Por lo que, calculando las frecuencias naturales y amortiguamientos como se muestra en
la sección 4.4 se tiene la tabla 4.7, donde se muestran los parámetros “x” y “b” para el
modo 1, las frecuencias naturales y los amortiguamientos obtenidos, así mismo se
muestra su comparación con los datos propuestos y el porcentaje de error entre los
mismos siendo el más alto de 1.83%.
Tabla 4.7. Frecuencias y amortiguamientos calculados para el modo 1.
Parámetros Calculados Propuestos Porcentaje de
error
Frecuencia natural 7.43 7.5 .93%
Amortiguamiento .09817 0.1 1.83%
Factor de forma y traslación obtenidos
Factor x 0.73
Factor b 7.4
59
4.15 CÁLCULO DE CONSTANTES MODALES.
4.15.1 Modo 1.
Obtenidos los parámetros de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento “ζ” para el modo
1 de la respuesta 2, se procede a obtener la constante modal correspondiente. Para llevar
a cabo lo anterior, se obtienen la parte real de la figura 4.40 y la parte imaginaria de la
figura 4.41 de la FRF de la respuesta 2 de la figura 4.31.
Figura 4.40. Parte real de la respuesta 2 con la frecuencia natural del modo 1 identificada.
x=7.43 y= -1.485
60
Figura 4.41. Parte imaginaria de la respuesta 2 con la frecuencia natural del modo 1
identificada.
De las figuras 4.40 y 4.41 respectivamente, se localizan los valores de las respuestas real
e imaginaria correspondiente a la frecuencia natural del modo 1 n=7.43 Hz., los valores
obtenidos son:
H=(-1.485+4.103i) (40)
Obtenidos los valores de H, se sigue el procedimiento para calcular la constante modal tal
y como se muestra en las secciones 4.5 y 4.7, obteniéndose así para este caso la
constante modal del modo 1 “Ar1”, con lo que se tiene que.
Ar1= -1.083163603+2.900416749i
|Ar1|=3.0960 Donde “Ar1” es la constante modal del modo 1 y “|Ar1|” es el módulo.
x=7.43 y= 4.103
61
En la figura 4.42 se muestra la FRF del modo 1 correspondiente a la respuesta 2 con los
parámetros obtenidos y su comparación con la FRF original teórica. En la figura se puede
apreciar el ajuste de la FRF regenerada con la original.
Figura 4.42. FRF del modo 1 en la respuesta 2 regenerada.
4.16 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA 1.
Para el análisis de la respuesta 1, los parámetros de frecuencia y amortiguamiento para
cada modo extraídos de la respuesta 2, se tomarán como parámetros de entrada ya que
los de la respuesta 1 son iguales a los de la respuesta 2 por tratarse de dos respuestas
tomadas de un mismo sistema.
De acuerdo con esto, para la respuesta 1 se calculan las constantes modales
correspondientes a los parámetros de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento “ζ”
calculados utilizando la respuesta 2.
62
4.17 CÁLCULO DE CONSTANTES MODALES.
4.17.1 Modo 1.
Obtenidos los parámetros de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento “ζ” para cada uno
de los 2 modos de la respuesta 2, se proceden a obtener las constantes modales
correspondientes a la respuesta 1. Para realizar lo anterior, se obtienen la parte real,
mostrada en la figura 4.43., y la parte imaginaria, mostrada en la la figura 4.44., de la FRF
para la respuesta 1 mostrada en la figura 4.31.
Figura 4.43. Parte real de la respuesta 1 a las frecuencias identificadas para ambos
modos de vibración.
x=7.43 y= -3.275
x=10.001 y= 0.7758
63
Figura 4.44. Parte imaginaria de la respuesta 1 a las frecuencias identificadas para ambos
modos de vibración.
De las figuras 4.43 y 4.44 se localiza el valor de la respuesta real e imaginaria
correspondiente a la frecuencia natural “ n=7.43 Hz”., los valores son:
H=(-3.275+2.859i) (41)
Obtenidos los valores de H, se sigue el procedimiento para calcular la constante modal tal
y como se muestra en las secciones 4.5 y 4.7, obteniéndose así para este caso la
constante modal del modo 1 “Ar1”, con lo que se tiene que.
Ar1= -2.388795152+1.859839100i
|Ar1|=3.0274 Donde “Ar1” es la constante modal del modo 1 y “|Ar1|” es el módulo.
En la figura 4.45 se muestra la FRF del modo 1 correspondiente a la respuesta 1 con los
parámetros obtenidos y su comparación con la FRF original teórica. En la figura se
observan los efectos luego de aplicar sustracción modal, la frecuencia del modo 1
regenerado se movió un poco en comparación con la original, a su vez el ancho de banda
también se modificó luego de aplicar esta operación, además la influencia entre modos
para esta respuesta en particular es muy alta por lo que el modo 1 no está muy definido
debido a la influencia del modo 2.
x=7.43 y= 2.859
x=10.001 y= 9.82
64
Figura 4.45. Regeneración del modo 1, respuesta 1.
4.17.2 Modo 2.
Obtenidos los parámetros modales de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento “ζ” para
cada uno de los modos de vibración, se procede a obtener las constantes modales
correspondientes.
De las figuras 4.43 y 4.44 se localiza el valor de la respuesta real e imaginaria
correspondiente a la frecuencia natural “ n=10.001 Hz”., los valores son:
H=(.7758+9.824i) (42)
Obtenidos los valores de H, se sigue el procedimiento para calcular la constante modal tal
y como se muestra en las secciones 4.5 y 4.7, obteniéndose así para este caso la
constante modal del modo 2 “Ar2”, con lo que se tiene que.
Ar2= .1233645383+1.564331449i
|Ar2|= 1.4790
Donde “Ar2” es la constante modal del modo 2 y “|Ar2|” es el módulo de la constante
modal del modo 2.
65
En la figura 4.46 se muestra la FRF del modo 2 correspondiente a la respuesta 1 con los
parámetros obtenidos y su comparación con la FRF original teórica. En la figura se puede
apreciar que no ajusta en forma la FRF regenerada esto no significa que el cálculo de los
parámetros modales sea incorrecto. Esto se debe a la influencia entre modos ya que la
componente modal se calculó ignorando totalmente la contribución modal y como en este
caso la contribución es muy alta es por eso que parecen que no ajustan pero los cálculos
hechos de esta manera es una aproximación al valor real por lo que en amplitud coinciden
y pueden ser utilizadas para expresar la forma modal.
Figura 4.46. Regeneración del modo 2 respuesta 1.
En la tabla 4.8, se presentan las constantes modales para cada modo calculado para
ambas respuestas así como los módulos correspondientes de cada una.
Tabla 4.8. Constantes modales calculadas
Respuestas Constantes calculadas Módulos.
Modo 1 Modo 2 Modo 1 Modo 2
Respuesta 1 -2.388795152+1.859839100i .1233645383+1.564331449i 3.0274 1.5691
Respuesta 2 -1.083163603+2.900416749i .3009618959+4.281513337i 3.0960 4.2920
66
4.18 CÁLCULO DE FORMAS MODALES.
Calculadas las constantes de participación modal, se procede a calcular la magnitud y se
escribe el vector correspondiente a la forma modal para cada modo de vibración.
Para poder determinar la orientación y forma del modo de vibración, es necesario tener al
menos 2 respuestas, donde cada una corresponde a 2 sensores de vibración colocados
de tal manera que ambos estén separados por el antinodo del segundo modo. Para lo
anterior, se analizan tanto la parte real así como la parte imaginaria de las respuestas
correspondientes a la figura 4.31.
En las figuras 4.47 y 4.48, se muestran las partes real e imaginaria respectivamente de
las respuestas 1 y 2. Aquí se observa que en primer modo de vibración los
desplazamientos están en fase al igual que en el segundo modo de vibración en el que los
desplazamientos están en fase.
Figura 4.47. Parte real de las respuestas 1 y 2.
Respuestas en fase
Respuestas en fase
67
Figura 4.48. Parte imaginaria de las respuestas 1 y 2.
Por lo tanto, de acuerdo con lo anterior, el vector correspondiente a la forma modal tanto
del modo 1 y modo 2 de vibración se puede escribir como:
Modo 1 Modo 2
(43)
Las formas modales en forma gráfica, podrían representarse de la siguiente manera:
Figura 4.49. Forma modal del modo 1.
Figura 4.50. Forma modal del modo 2.
Respuestas en fase
Respuestas en fase
68
CAPÍTULO V.
RESULTADOS EXPERIMENTALES.
5.1 INTRODUCCIÓN.
En el presente capítulo se muestran los resultados experimentales del análisis de las
FRF’s de una viga en cantiléver. La experimentación consistió en adquirir señales de
vibración en términos de aceleración en un intervalo de 3 modos de vibración y, aplicar el
método propuesto mediante transformada wavelet para obtener los parámetros modales
(frecuencia, amortiguamientos y formas modales) del sistema.
Las señales analizadas se obtuvieron de 3 sensores de aceleración (acelerómetros)
colocados en distintas posiciones a lo largo de la viga en cantiléver, de tal forma que fuera
posible obtener las 3 formas modales de los 3 modos de vibración analizados.
5.2 ARREGLO EXPERIMENTAL
En las figuras 5.51 y 5.52 se muestra un esquema del arreglo experimental utilizado.
Básicamente consiste en una viga de longitud l=57 cms sujeta en un extremo por 2
ángulos y tornillos, tal y como se muestra en las figuras 5.51. y 5.52.
Figura 5.51. Vista frontal del montaje de viga en cantiléver.
69
Figura 5.52. Vista superior del montaje de viga en cantiléver.
La colocación de los sensores en la viga se realizó de tal manera que se observaran los
desfasamientos entre las respuestas, con el objetivo final de poder obtener las formas
modales del sistema, para ello se identificaron los nodos y antinodos de la viga es decir,
los puntos que presentan máxima o nula respuesta.
En la figura 5.53, se muestra un esquema de las posiciones donde se colocaron cada uno
de los sensores a lo largo de la viga, tomando como referencia el extremo libre de la viga.
En el apéndice I se presentan las características de cada acelerómetro así como del
martillo de impacto utilizado para excitar la estructura.
Figura 5.53. Colocación de los sensores (dimensiones en centímetros)
70
Una vez realizado el arreglo experimental, se procedió a llevar a cabo la adquisición de
señales, estas se obtuvieron excitando la viga con un martillo de impacto sensando al
mismo tiempo la fuerza del impacto y la respuesta de los 3 acelerómetros.
Para la obtención de la FRF primeramente se tomó la división de la respuesta en el
tiempo entre la fuerza de excitación y después se obtuvo la transformada de Fourier de la
respuesta obteniendo así la FRF en términos de aceleración (acelerancia). Para obtener
los desplazamientos del sistema se integró 2 veces (división entre –iω2) y así se calculó la
FRF en términos de desplazamiento (receptancia).
En las figuras 5.54 – 5.56 se presentan las FRF para el primer modo, segundo modo y
tercer modo respectivamente, en cada uno de los gráficos se observan 3 respuestas
distintas que corresponden a los 3 acelerómetros utilizados y se puede apreciar que la
frecuencia natural experimental es la misma para las 3 señales para cada uno de los
modos de vibración, además de que el caso analizado es considerado del tipo de modos
separados.
Figura 5.54. FRF del primer modo de vibración para los 3 acelerómetros utilizados.
71
Figura 5.55. FRF del segundo modo de vibración para los 3 acelerómetros utilizados.
Figura 5.56. FRF del tercer modo de vibración para los 3 acelerómetros utilizados.
72
De acuerdo con lo anterior, para la obtención de los parámetros modales de frecuencia
natural y amortiguamiento, es indiferente utilizar cualquiera de las respuestas
correspondientes a los acelerómetros 1, 2 y 3. Para el análisis se selecciona la respuesta
del acelerómetro 1.
5.3 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA DEL ACELERÓMETRO 1.
Como se explicó en la sección 3.3, se obtiene la transformada wavelet de la FRF
correspondiente a la respuesta del acelerómetro 1, los escalogramas de los modos 1, 2 y
3 se muestran en las figuras 5.57, 5.59 y 5.61 respectivamente así como las curvas de
nivel en las figuras 5.58, 5.60 y 5.62 respectivamente.
En los gráficos anteriores, se observa que cada uno de los modos están perfectamente
bien definidos, esto se debe a que los modos están separados y no existe influencia
significativa entre ellos.
Por tanto, en las figuras 5.57 – 5.62, se localizan los parámetros “x” y “b”
correspondientes a los puntos máximos de cada uno de los modos de vibración.
Figura 5.57. Escalograma correspondiente al primer modo de vibración.
x=0.06 b=6.82 cwt=0.0003907
73
Figura 5.58. Curvas de nivel para el escalograma del primer modo de vibración.
Figura 5.59. Escalograma del segundo modo de vibración mostrando los factores x y b en
el punto de correlación máximo.
x=0.06 b=6.82 nivel=0.0003907
x=0.2 b=41.76 cwt=5.1e-006
74
Figura 5.60. Curvas de nivel para el escalograma del segundo modo de vibración.
Figura 5.61. Escalograma del tercer modo de vibración mostrando los factores x y b en el
punto de correlación máximo.
x=0.2 b=41.76 nivel=5.1e-006
x=0.27 b=119.3 cwt=2.283e-006
75
Figura 5.62. Curvas de nivel para el escalograma del tercer modo de vibración.
5.4 CÁLCULO DE FRECUENCIAS Y AMORTIGUAMIENTOS.
5.4.1 Modo 1.
Los parámetros “x” y “b” correspondientes al modo 1 de acuerdo con las figuras 5.57 y
5.58 son:
x=0.06, b=6.82
Utilizando el procedimiento descrito en la sección 4.4 se calcula la frecuencia y
amortiguamiento del modo 1, mismos que se muestran a continuación.
x=0.27 b=119.3 cwt=2.283e-006
76
5.4.2 Modo 2.
Los parámetros “x” y “b” correspondientes al modo 2 de acuerdo con las figuras 5.59 y
5.60 son:
x=.2, b=41.76
Utilizando el procedimiento descrito en la sección 4.4 se calcula la frecuencia y
amortiguamiento del modo 2, mismos que se muestran a continuación.
5.4.3 Modo 3.
Los parámetros “x” y “b” correspondientes al modo 3 de acuerdo con las figuras 5.61 y
5.62 son:
x=0.27, b=119.3
Utilizando el mismo procedimiento descrito en la sección 4.4 se calcula la frecuencia y
amortiguamiento del modo 3, mismos que se muestran a continuación.
En la tabla 5.9, se muestran los parámetros “x” y “b” para cada uno de los modos de
vibración, así como las frecuencias naturales y amortiguamientos obtenidos.
Tabla 5.9, Frecuencias y amortiguamientos calculados para el sistema experimental
analizado.
Parámetros Modo 1 Modo 2 Modo 3
Frecuencia 6.82 41.76 119.30
Amortiguamiento 0.0087 0.0047 0.0022
Factor x 0.06 0.2 0.27
Factor b 6.82 41.76 119.3
77
5.5 CÁLCULO DE CONSTANTES MODALES.
5.5.1 Modo 1.
Obtenidos los parámetros de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento “ζ” para cada uno
de los modos de vibración de la respuesta del acelerómetro 1, se obtienen las constantes
modales correspondientes al modo 1.
Para realizar lo anterior, se obtiene la parte real mostrada en la figura 5.63 y la parte
imaginaria mostrada en la figura 5.64 de la FRF del modo 1 para el acelerómetro 1 de la
figura 5.54.
Figura 5.63. Parte real de la respuesta del acelerómetro 1 mostrando el modo 1.
x=6.82 y=1.357
78
Figura 5.64. Parte imaginaria de la respuesta del acelerómetro 1 mostrando el modo 1.
De las figuras 5.63 y 5.64, se localizan los valores de la respuesta real e imaginaria
correspondientes a la frecuencia natural del modo 1 “ n=6.82 Hz”, los valores obtenidos
son:
H=(1.357+15.52i) (44)
Obtenidos los valores de H, se sigue el procedimiento para calcular la constante modal tal
y como se muestra en las secciones 4.5 y 4.7, obteniéndose así para este caso la
constante modal del modo 1 “Ar1” correspondiente al acelerómetro 1, con lo que se tiene
que.
Ar1=.08051623467+.9215990504i
|Ar1|=.9251 Donde “Ar1” es la constante modal del modo 1 correspondiente a la respuesta del
acelerómetro 1 y “|Ar1|” es el módulo de la constante modal.
x=6.82 y=15.52
79
5.5.2 Modo 2.
Obtenidos los parámetros de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento “ζ” para cada uno
de los modos de vibración de la respuesta del acelerómetro 1, se obtienen las constantes
modales correspondientes al modo 2.
Para realizar lo anterior, se obtiene la parte real mostrada en la figura 5.65 y la parte
imaginaria mostrada en la figura 5.66 de la FRF del modo 2 para el acelerómetro 1 de la
figura 5.55.
Figura 5.65. Parte real de la respuesta del acelerómetro 1 mostrando el modo 2.
Figura 5.66. Parte imaginaria de la respuesta del acelerómetro 1 mostrando el modo 2.
x=41.76 y=0.07209
x=41.76 y=0.1032
80
De las figuras 5.65 y 5.66, se localizan los valores de la respuesta real e imaginaria
correspondientes a la frecuencia natural del modo 2 “ n=41.76 Hz”, los valores obtenidos
son:
H=(.07209+.1032i) (45)
Obtenidos los valores de H, se sigue el procedimiento para calcular la constante modal tal
y como se muestra en las secciones 4.5 y 4.7, obteniéndose así para este caso la
constante modal del modo 2 “Ar2” correspondiente al acelerómetro 1, con lo que se tiene
que.
Ar2= .01414924866+.02032199620i
|Ar2|=.02476
Donde “Ar2” es la constante modal del modo 2 correspondiente a la respuesta del
acelerómetro 1 y “|Ar2|” es el módulo de la constante modal.
5.5.3 Modo 3.
Obtenidos los parámetros de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento “ζ” para cada uno
de los modos de vibración de la respuesta del acelerómetro 1, se obtienen las constantes
modales correspondientes al modo 3.
Para realizar lo anterior, se obtiene la parte real mostrada en la figura 5.67 y la parte
imaginaria mostrada en la figura 5.68 de la FRF del modo 3 para el acelerómetro 1 de la
figura 5.56.
81
Figura 5.67. Parte real de la respuesta del acelerómetro 1 mostrando el modo 3.
Figura 5.68. Parte imaginaria de la respuesta del acelerómetro 1 mostrando el modo 3.
x=119.3 y=0.02312
x=119.3 y=0.03426
82
De las figuras 5.67 y 5.68, se localizan los valores de la respuesta real e imaginaria
correspondientes a la frecuencia natural del modo 3 “ n=119.3 Hz”, los valores obtenidos
son:
H=(.02312+.03426i) (46)
Obtenidos los valores de H, se sigue el procedimiento para calcular la constante modal tal
y como se muestra en las secciones 4.5 y 4.7, obteniéndose así para este caso la
constante modal del modo 3 “Ar3” correspondiente al acelerómetro 1, con lo que se tiene
que.
Ar3=.006068075417+.009005251011i
|Ar3|=.01085 Donde “Ar3” es la constante modal del modo 3 correspondiente a la respuesta del
acelerómetro 1 y “|Ar3|” es el módulo de la constante modal.
5.6 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA DEL ACELERÓMETRO 2.
Para el análisis de la respuesta del acelerómetro 2, los parámetros de frecuencia y
amortiguamiento para cada modo extraídos de la respuesta del acelerómetro 1, se
tomarán como parámetros de entrada ya que los de la respuesta de los acelerómetros 2 y
3 son iguales a los de la respuesta del acelerómetro 1 por tratarse de tres respuestas
tomadas de un mismo sistema.
De acuerdo con esto, para la respuesta del acelerómetro 2 se calcularán las constantes
modales correspondientes a los parámetros de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento
“ζ” calculados utilizando la respuesta del acelerómetro 1.
83
5.7 CÁLCULO DE CONSTANTES MODALES.
5.7.1 Modo 1.
Obtenidos los parámetros de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento “ζ” para cada uno
de los modos de vibración de la respuesta del acelerómetro 1, se obtienen las constantes
modales correspondientes al modo 1 de la respuesta del acelerómetro 2.
Para realizar lo anterior, se obtiene la parte real mostrada en la figura 5.69 y la parte
imaginaria mostrada en la figura 5.70 de la FRF del modo 1 para el acelerómetro 2 de la
figura 5.54.
Figura 5.69. Parte real de la respuesta del acelerómetro 2 mostrando el modo 1.
x=6.82 y=0.4453
84
Figura 5.70. Parte imaginaria de la respuesta del acelerómetro 2 mostrando el modo 1.
De las figuras 5.69 y 5.70, se localizan los valores de la respuesta real e imaginaria
correspondientes a la frecuencia natural del modo 1 “ n=6.82 Hz”, los valores obtenidos
son:
H=(.4453+5.977i) (47)
Obtenidos los valores de H, se sigue el procedimiento para calcular la constante modal tal
y como se muestra en las secciones 4.5 y 4.7, obteniéndose así para este caso la
constante modal del modo 1 “Ar1” correspondiente al acelerómetro 2, con lo que se tiene
que.
Ar1=.02642142892+.3548826154i
|Ar1|=.355864
Donde “Ar1” es la constante modal del modo 1 correspondiente a la respuesta del
acelerómetro 2 y “|Ar1|” es el módulo de la constante modal.
x=6.82 y=5.977
85
5.7.2 Modo 2.
Obtenidos los parámetros de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento “ζ” para cada uno
de los modos de vibración de la respuesta del acelerómetro 1, se obtienen las constantes
modales correspondientes al modo 2 de la respuesta del acelerómetro 2.
Para realizar lo anterior, se obtiene la parte real mostrada en la figura 5.71 y la parte
imaginaria mostrada en la figura 5.72 de la FRF del modo 2 para el acelerómetro 2 de la
figura 5.55.
Figura 5.71. Parte real de la respuesta del acelerómetro 2 mostrando el modo 2.
x=41.76 y=-0.06413
86
Figura 5.72. Parte imaginaria de la respuesta del acelerómetro 2 mostrando el modo 2.
De las figuras 5.71 y 5.72, se localizan los valores de la respuesta real e imaginaria
correspondientes a la frecuencia natural del modo 2 “ n=41.76 Hz”, los valores obtenidos
son:
H=(-.06413 + -0.09533i) (48)
Obtenidos los valores de H, se sigue el procedimiento para calcular la constante modal tal
y como se muestra en las secciones 4.5 y 4.7, obteniéndose así para este caso la
constante modal del modo 2 “Ar2” correspondiente al acelerómetro 2, con lo que se tiene
que.
Ar2= -.01248692353-.01876997550i
|Ar2|= .02259961558
Donde “Ar2“es la constante del modo 2 correspondiente a la respuesta del acelerómetro 2
y “|Ar2|” es el módulo de la constante modal.
x=41.76 y=-0.09533
87
5.7.3 Modo 3.
Obtenidos los parámetros de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento “ζ” para cada uno
de los modos de vibración de la respuesta del acelerómetro 1, se obtienen las constantes
modales correspondientes al modo 3 de la respuesta del acelerómetro 2.
Para realizar lo anterior, se obtiene la parte real mostrada en la figura 5.73 y la parte
imaginaria mostrada en la figura 5.74 de la FRF del modo 3 para el acelerómetro 2 de la
figura 5.56.
Figura 5.73. Parte real de la respuesta del acelerómetro 2 mostrando el modo 3.
x=119.3 y= -0.00121
88
Figura 5.74. Parte imaginaria de la respuesta del acelerómetro 2 mostrando el modo 3.
De las figuras 5.73 y 5.74, se localizan los valores de la respuesta real e imaginaria
correspondientes a la frecuencia natural del modo 3 “ n=119.3 Hz”, los valores obtenidos
son:
H=(-.00121 + -.001293i) (49)
Obtenidos los valores de H, se sigue el procedimiento para calcular la constante modal tal
y como se muestra en las secciones 4.5 y 4.7, obteniéndose así para este caso la
constante modal del modo 3 “Ar3” correspondiente al acelerómetro 2, con lo que se tiene
que.
Ar3= -.0003175766008-.00003463482265i
|Ar3|=.0003194596505 Donde “Ar3” es la constante del modo 3 correspondiente a la respuesta del acelerómetro
2 y “|Ar3|” es el módulo de la constante modal.
x=119.3 y= -0.001293
89
5.8 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA DEL ACELERÓMETRO 3.
Para el análisis de la respuesta del acelerómetro 3, los parámetros de frecuencia y
amortiguamiento para cada modo extraídos de la respuesta del acelerómetro 1, se
tomarán como parámetros de entrada ya que los de la respuesta de los acelerómetros 2 y
3 son iguales a los de la respuesta del acelerómetro 1 por tratarse de tres respuestas
tomadas de un mismo sistema.
De acuerdo con esto, para la respuesta del acelerómetro 3 se calcularán las constantes
modales correspondientes a los parámetros de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento
“ζ” calculados utilizando la respuesta del acelerómetro 1.
5.9 CÁLCULO DE CONSTANTES MODALES.
5.9.1 Modo 1.
Obtenidos los parámetros de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento “ζ” para cada uno
de los modos de vibración de la respuesta del acelerómetro 1, se obtienen las constantes
modales correspondientes al modo 1 de la respuesta del acelerómetro 3.
Para realizar lo anterior, se obtiene la parte real mostrada en la figura 5.75 y la parte
imaginaria mostrada en la figura 5.76 de la FRF del modo 1 para el acelerómetro 3 de la
figura 5.54.
Figura 5.75. Parte real de la respuesta del acelerómetro 3 mostrando el modo 1.
x=6.82 y= 0.01413
90
Figura 5.76. Parte imaginaria de la respuesta del acelerómetro 3 mostrando el modo 1.
De las figuras 5.75 y 5.76, se localizan los valores de la respuesta real e imaginaria
correspondientes a la frecuencia natural del modo 1 “ n=6.82 Hz”, los valores obtenidos
son:
H=(.01413 + 2.384i) (50)
Obtenidos los valores de H, se sigue el procedimiento para calcular la constante modal tal
y como se muestra en las secciones 4.5 y 4.7, obteniéndose así para este caso la
constante modal del modo 1 “Ar1” correspondiente al acelerómetro 3, con lo que se tiene
que.
Ar1= .0008383889057+.1414649039i
|Ar1|=.1414673882 Donde “Ar1” es la constante del modo 1 correspondiente a la respuesta del acelerómetro
3 y “|Ar1|” es el módulo de la constante modal.
x=6.82 y= 2.834
91
5.9.2 Modo 2.
Obtenidos los parámetros de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento “ζ” para cada uno
de los modos de vibración de la respuesta del acelerómetro 1, se obtienen las constantes
modales correspondientes al modo 2 de la respuesta del acelerómetro 3.
Para realizar lo anterior, se obtiene la parte real mostrada en la figura 5.77 y la parte
imaginaria mostrada en la figura 5.78 de la FRF del modo 2 para el acelerómetro 3 de la
figura 5.55.
Figura 5.77. Parte real de la respuesta del acelerómetro 3 mostrando el modo 2.
x=41.76 y= -0.04105
92
Figura 5.78. Parte imaginaria de la respuesta del acelerómetro 3 mostrando el modo 2.
De las figuras 5.77 y 5.78, se localizan los valores de la respuesta real e imaginaria
correspondientes a la frecuencia natural del modo 2 “ n=41.76 Hz”, los valores obtenidos
son:
H=(-.04105-.06174i) (51)
Obtenidos los valores de H, se sigue el procedimiento para calcular la constante modal tal
y como se muestra en las secciones 4.5 y 4.7, obteniéndose así para este caso la
constante modal del modo 2 “Ar2” correspondiente al acelerómetro 3, con lo que se tiene
que.
Ar2= -.008056965709-.01215583521i
|Ar2|=.0145835 Donde “Ar2” es la constante del modo 2 correspondiente a la respuesta del acelerómetro
3 y “|Ar2|” es el módulo de la constante modal.
x=41.76 y= -0.06174
93
5.9.3 Modo 3.
Obtenidos los parámetros de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento “ζ” para cada uno
de los modos de vibración de la respuesta del acelerómetro 1, se obtienen las constantes
modales correspondientes al modo 3 de la respuesta del acelerómetro 3.
Para realizar lo anterior, se obtiene la parte real mostrada en la figura 5.79 y la parte
imaginaria mostrada en la figura 5.80 de la FRF del modo 3 para el acelerómetro 3 de la
figura 5.56.
Figura 5.79. Parte real de la respuesta del acelerómetro 3 mostrando el modo 3.
x=119.3 y= 0.02378
94
Figura 5.80. Parte imaginaria de la respuesta del acelerómetro 3 mostrando el modo 3.
De las figuras 5.79 y 5.80, se localizan los valores de la respuesta real e imaginaria
correspondientes a la frecuencia natural del modo 3 “ n=119.3 Hz”, los valores obtenidos
son:
H=(.02378+.03907i) (52)
Obtenidos los valores de H, se sigue el procedimiento para calcular la constante modal tal
y como se muestra en las secciones 4.5 y 4.7, obteniéndose así para este caso la
constante modal del modo 3 “Ar3” correspondiente al acelerómetro 3, con lo que se tiene
que.
Ar3=.006241299048+.01026806775i
|Ar3|=.01201611539 Donde “Ar3” es la constante modal del modo 3 correspondiente a la respuesta del
acelerómetro 3 y “|Ar3|” es el módulo de la constante modal.
x=119.3 y= 0.03907
95
En la tabla 5.10 se muestran las constantes modales calculadas en su forma compleja.
Tabla 5.10 Constantes modales calculadas.
Constantes calculadas Sensor 1 Sensor 2 Sensor 3
Modo 1 .0805+.9215 i .0264+.3548 i .00083+.14146 i
Modo 2 .0141+.0203 i -.01248-.0187 i -.00805-.0121i
Modo 3 .0060+.0090 i -.00031-.0000346 i .00624+.0102i
5.10 CÁLCULO DE FORMAS MODALES.
Calculadas las constantes modales, se calcula la magnitud de las constantes mostradas
en la tabla 5.10, y se escribe el vector correspondiente a la forma modal para cada modo
de vibración.
Para poder determinar la orientación y forma de los 3 modos de vibración, es necesario
tener al menos la señal correspondiente a 3 respuestas de vibración, donde cada señal
corresponde a cada uno de los acelerómetros colocados de tal manera que cada uno de
ellos esté separado por un antinodo del tercer modo. Para lo anterior, se analizan tanto la
parte real y parte imaginaria de las señales correspondientes a los acelerómetros 1, 2, y 3
de las figuras 5.63 – 5.80.
En la figura 5.81 se muestran las partes real e imaginaria para cada una de las respuestas
y separadas por modo de vibración.
En la figura 5.81a que corresponde al primer modo se observa que todas las respuestas
se encuentran en fase, mientras que la figura 5.81b que corresponde al segundo modo,
únicamente las respuestas de los acelerómetros 2 y 3 están en fase, mientras que la
respuesta del acelerómetro 3 trabaja en antifase. Así mismo, en la figura 5.81c que
corresponde al tercer modo, las respuestas de los acelerómetros 1 y 3 están en fase,
mientras que la respuesta del acelerómetro 2 trabaja en antifase.
96
a)
Las respuestas trabajan en fase en el
modo 1.
97
b)
Respuesta acelerómetro 1 trabaja a desfase en el modo 2,
mientras que las respuestas de los acelerómetros 2 y 3
trabajan en fase en el modo 2.
98
c)
Figura 5.81. Fase y desfase entre la respuesta de los acelerómetros, a) modo 1, b) modo
2, c) modo 3.
Respuesta del acelerómetro 2 trabaja en
desfase en el modo 3, mientras que las
respuestas 1 y 3 trabajan en fase.
99
Por tanto, de acuerdo con lo anterior, el vector correspondiente a la forma modal tanto del
modo 1, modo 2 y modo 3 de vibración se puede escribir como se muestra en la ecuación
(53).
Modo 1 Modo 2 Modo 3
(53)
Las formas modales en forma gráfica se muestran en la figura 5.82.
a)
b)
c)
Figura 5.82. Formas modales obtenidas para el sistema analizado (sin escala), a) Primera
forma modal, b) segunda forma modal, c) tercera forma modal.
100
En la figura 5.83., se muestran las FRF’s regeneradas correspondientes al modo 1 con los
parámetros modales obtenidos mediante transformada wavelet y se comparan con la FRF
original experimentales de la respuesta de los acelerómetros 1, 2 y 3. Se observa que las
FRF regeneradas ajustan tanto en ancho de banda como en amplitud a las FRF’s
experimentales de cada uno de los acelerómetros.
a)
101
b)
c)
Figura 5.83. Regeneración del primer modo de vibración a) Acelerómetro 1, b)
Acelerómetro 2, c) Acelerómetro 3.
102
En la figura 5.84., se muestran las FRF’s regeneradas correspondientes al modo 2 con los
parámetros modales obtenidos mediante transformada wavelet y se compara con la FRF
original experimentales de la respuestas de los acelerómetros 1, 2 y 3. Se observa que las
FRF regeneradas ajustan tanto en ancho de banda como en amplitud a las FRF’s
experimentales de cada uno de los acelerómetros.
a)
103
b)
c)
Figura 5.84. Regeneración del segundo modo de vibración a) Acelerómetro 1, b)
Acelerómetro 2, c) Acelerómetro 3.
104
En la figura 5.85., se muestran las FRF’s regeneradas correspondientes al modo 3 con los
parámetros modales obtenidos mediante transformada wavelet y se compara con la FRF
original experimentales de la respuestas de los acelerómetros 1, 2 y 3. Se observa que las
FRF regeneradas ajustan tanto en ancho de banda como en amplitud a las FRF’s
experimentales de cada uno de los acelerómetros.
a)
105
b)
c)
Figura 5.85. Regeneración del tercer modo de vibración a) Acelerómetro 1, b)
Acelerómetro 2, c) Acelerómetro 3.
106
5.11 DISCUSIÓN DE RESULTADOS.
Se presentan resultados de dos ejercicios numéricos y de un caso experimental. El ajuste
del cálculo en todos los casos resultó ser bueno, el indicador utilizado para comprobar
este punto es la regeneración de las FRF utilizando los datos calculados con
transformada wavelet y comparándolas con las originales, es ahí donde se puede ver la
relación de ancho de banda, amplitud y localización entre las FRF originales y las
regeneradas y así evaluar el ajuste logrado con este método.
Para conocer las constantes modales, el sentido de la vibración en cada punto sensado
en el sistema y el desfase de las respuesta para cada modo analizado, fue necesario
evaluar las partes real e imaginaria del sistema experimental para conocer la relación de
trabajo entre los sensores y, escribir el vector de forma modal con los signos
correspondientes a dichos desfases. Es importante mencionar que las constantes
modales se calculan con un cierto grado de error, esto se debe a que en cada cálculo se
supone la participación modal de un solo modo en cada resonancia, este efecto no se
aprecia tanto en casos de modos separados por que la participación modal entre modos
es mínima sin embargo, el efecto se va haciendo más grave al calcular constantes
modales para casos de modos cercanos y se hace evidente al regenerar las FRF. El
calcular las constantes modales de esta manera sirve para expresar el vector de forma
modal escalado [19] porque en todos los casos, este guarda la forma modal sin
problemas aunque no se considere la contribución de un modo sobre otro.
Las discrepancias entre las FRF’s regeneradas y las originales dependen de muchos
factores como los siguientes:
Eficiencia del método de integración.
Wavelet madre utilizada.
Libre presencia de ruido en las mediciones.
Trabajo con modos cercanos (sustracción modal).
Método de cálculo de las constantes modales.
La transformada wavelet otorga una buena aproximación a los resultados reales, en el
capítulo de resultados numéricos de modos separados, hecha la regeneración de las
FRF’s presentadas se ven diferencias pequeñas por ejemplo posición en el eje de la
frecuencia eso es porque la magnitud en frecuencia varía por decimales en comparación
107
a la original, también en el capítulo de resultados experimentales no existen grandes
diferencias entre las FRF originales y las regeneradas debido a que las frecuencias
naturales están muy separadas y la influencia de la participación modal es mínima entre
cada modo.
108
CAPÍTULO VI.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES PARA
TRABAJOS A FUTURO.
6.1 CONCLUSIONES.
En el presente trabajo se presenta una metodología de descomposición de una FRF
usando la transformada wavelet, este trabajo incluye el diseño de una wavelet madre
especialmente diseñada para llevar a cabo el cálculo de parámetros modales obteniendo
resultados favorables en el cálculo de los 3 parámetros. La wavelet madre propuesta da la
posibilidad al analista de construir una representación frecuencia – amortiguamiento
tomando como punto de partida la FRF y finalizando en un gráfico sencillo de identificar lo
que hace muy simple la extracción de datos del mismo para calcular los parámetros
correspondientes.
A continuación se muestran algunas características que tiene el método presentado en
este trabajo.
La metodología propuesta en este trabajo funciona tanto para el análisis de un
sistema de un grado de libertad como sistemas de múltiples grados de libertad sin
ignorar la contribución de todos los modos presentes en el sistema salvo al
calcular las constantes de participación modal.
La representación gráfica que se desarrolló en este trabajo de tesis es un
escalograma sencillo y un gráfico de curvas de niveles de los cuales en el punto
máximo de cada FRF transformada se pueden obtener los parámetros óptimos (en
el punto de máxima correlación entre la FRF y la wavelet madre propuesta)
necesarios para calcular los parámetros modales correspondientes al sistema
analizado.
Un indicador visual para conocer el correcto ajuste de la wavelet madre sobre las
FRF analizadas es regenerando las FRF y graficándolas con las originales para
comparar los resultados obtenidos es decir, compararlas en localización sobre el
eje de la frecuencia, en amplitud y en ancho de banda.
La forma modal obtenida por esta metodología es una forma modal escalada (ya
que se obtiene directamente de las mediciones del sistema) y está relacionada
directamente con los desplazamientos en los puntos donde hay sensores
colocados, esta se obtiene directamente de la medición de respuesta y los signos
109
del sentido de la vibración se colocan de acuerdo a las partes real e imaginaria del
sistema analizado, esto se debe a que estas representaciones de la FRF son
capaces de otorgar información de la orientación de la respuesta dando al analista
la capacidad de conocer perfectamente el desfase entre los sensores para cada
modo.
La metodología descrita en el presente trabajo puede combinarse con la
eliminación iterativa de modos en caso de tratar con casos en donde haya
presentes 2 ó más modos con frecuencias próximas como se muestra en la
sección 4.10.
6.2. TRABAJOS FUTUROS
Se sugiere la profunda investigación de los siguientes puntos en trabajos a futuro
relacionados con la identificación de parámetros modales utilizando transformada wavelet.
El factor de normalización conserva el área bajo de la curva de la wavelet madre
como unitaria a pesar de cada cambio de escala o traslación de la misma, para
este trabajo se consideró utilizar la normalización utilizando el espectro de área
unitaria bajo la curva de la wavelet madre (ecuación 10) sin embargo, esta
normalización sólo mide la correlación en forma, para trabajos futuros se propone
buscar un factor de normalización que busque medir la correlación no sólo de la
forma de la FRF y una wavelet madre propuesta sino también en amplitud
(constantes modales).
En caso de desarrollar la normalización propuesta en el punto anterior, se puede
evaluar para la wavelet madre propuesta en este trabajo el numerador en lugar de
quedar fijo a 1 se puede sustituir por Ar que es la constante modal e intentar llevar
a cabo la optimización de la wavelet madre con algún criterio como la entropía de
Shannon para encontrar bajo este criterio los parámetros “x” y “Ar” y así calcular
las constantes modales tomando en consideración la influencia entre modos,
especialmente al resolver casos de modos cercanos.
Para trabajos futuros se propone realizar una experimentación con modos
cercanos e intentar desarrollar una nueva metodología que involucre la medición
de periodicidad en la transformada wavelet de la FRF utilizando SVD (Singular
Value Decomposition), para lograr la correcta descomposición de FRF’s con
modos cercanos y no recurrir a los efectos que provoca el método de eliminación
iterativa como son cambio de posición en frecuencia y cambio de ancho de banda.
110
6.3 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
1.- Jimin He&Fu, Modal analysis, Butterworth Heinemann publishing, Ltd., Oxford, 2001.
2.- De Veubeke. “A Variational Approach to Pure Mode Excitation Based on Characteristic
Phase Lag Theory”. Report #39. 1956.
3. - Ken Shye and Mark Richardson. “Mass, stiffnes and damping matrix estimation from
structural measurements”. San José C.A., U.S.A., 1987
4. - Michael Lee and Mark Richardson. “Determining the accuracy of modal parameters
estimation method”. Milpitas, C.A., U.S.A.,1992.
5. – Richardson, Formenti. “The choice of orthogonal polynomials in the rational fraction
polynomial method”. The international journal of analytical and experimental modal
analysis. Julio 1993
6. - S. Chauhan, R. Martell, D.L. Brown, R.J. Allemang. “A Low Order Frequency Domain
Algorithm for Operational Modal Analysis”. Cincinnati, U.S.A. 2006.
7. - Gloth G. and Sinapius M. “Analysis of swept-sine runs during modal identification”.
8. - D.J. Ewins, Modal Testing: Theory, Practice and Application, Research Studies Press,
Ltd., Taunton, 1984.
9. - U. Farooq and B. F. Feeny. “Smooth orthogonal decomposition for modal analysis of
randomly excited systems”. Michigan, U.S.A., 2008.
10.- Tegoeh Tjahjowidodo, Farid Al-Bender, Hendrik Van Brussel. “Identification of non
linear modal parameters using wavelets transform”. 24th Benelux Meeting on Systems and
Control. 2005.
11. - Arunasis Chakraborty, Biswajit Basu, Mira Mitra. “Identification of modal parameters
of a mdof system by modified wavelet packets”. Journal of sound and vibration. 2006.
111
12. - H.P. Yin, D. Duhamel, P. Argoul, Natural frequencies and damping estimation using
the wavelet transform of a frequency response function, Journal of Sound and Vibration
271 (2004) 999–1014, La Vallee, Cedex, France.
13.- Juan Manuel Arzola Castro. “Análisis de vibraciones en chumaceras mecánicas
mediante transformada wavelet”. Cuernavaca, Morelos, México. 2007
14.- Guadalupe Velez Castán. “Optimización de la resolución espacial y de frecuencia de
pruebas de caracterización dinámica”. Cuernavaca, Morelos, México. 2007
15. – David Alonso Estrada Rodas. “Caracterización Dinámica de Rotores Fracturados
mediante Transformada Wavelet”. Cuernavaca, Morelos, México. 2009.
16. – Enrique Simón Gutiérrez Wing, Jorge E. Aguirre Romano, Jorge Colín Ocampo,
Claudia Cortés García. “Balanceo de rotores rígidos sin emplear rodados de prueba”.
Revista SOMIM 15-01-2011. Vol 3 No. 6.
17.- Julio Martínez Malo, “Análisis de la teoría de ondículas orientada a las aplicaciones
en ingeniería eléctrica”, Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de la
Universidad politécnica de Madrid, Madrid España, 2002.
18.- Paul S. Addison. “The illustrated wavelet transform Handbook: Introductory theory and
applications in science, engineering, medicine and finance”. Napier University, Edinburgh,
UK, Taylor & Francis Group.
19. Brett A. Brinkman & David J Macioce. “Understanding modal parameter technology
and modal shape scaling”.
112
APÉNDICE I.
RELACIÓN DE SENSORES UTILIZADOS EN LA PRUEBA
EXPERIMENTAL Y DIAGRAMA DE CONEXIONES
REALIZADAS.
A continuación se muestra una relación de los sensores utilizados en la prueba de
vibración.
Tabla AI.11. Instrumentación utilizada en la prueba experimental.
Sensor Colocación Marca Número serial Sensibilidad
Acelerómetro 1 En extremo libre de la viga Klister SN 2035331 101.5 mV/g
Acelerómetro 2 Cerca del punto medio de la viga Klister SN 2035332 99.8 mV/g
Acelerómetro 3 Cerca de empotramiento de la viga Klister SN 2035333 101.5 mV/g
Martillo excitador Sensor de Fuerza de excitación Klister SN C113460 2 mV/N
En la figura se muestra el diagrama de conexiones utilizado.
Figura AI.86. Diagrama de conexiones de la instrumentación.