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Termodinamica: Segundo principio de latermodinamica

Parte 5: Maquinas termicas

Olivier Skurtys

Departamento de Ingenierıa MecanicaUniversidad Tecnica Federico Santa Marıa

Email: [email protected]

Santiago, 29 de junio de 2012

Presentacion

1 Trabajos en procesos de expansion y compresion

2 Eficiencias de los procesos isentropicos

Trabajos en procesos de expansion y compresion Eficiencias de los procesos isentropicos

Trabajos en procesos de expansion y compresion

1 Trabajos en procesos de expansion y compresionIntroduccionTrabajo reversible de flujo estacionarioTrabajo irreversible de flujo estacionarioCalculo del trabajoTrabajo de bombas de liquidoCompresores de gases, minimizacion del trabajo del compresor


Introduccion



Introduccion

Los procesos de expansion y compresion en flujo tienen granimportancia en ingenierıa:

La expansion se encuentra en:las turbinas, toberas, . . .la presion de un fluido se reduce para producir trabajo o paraacelerar el propio fluido.

La compresion se encuentra en:los compresores, bombas, difusores, . . . .Se aumenta la presion del fluido con un aporte de trabajo alsistema.


Trabajo reversible de flujo estacionario




El trabajo reversible de fronteras moviles asociado con los sistemascerrados se expresa:

Wa,rev =∫ 2

1

PdV (1)

El primer principio se escribe:

δqrev − δwa,rev = dh+ dec + dep (2)

Como tenemos:

δqrev = Tds y Tds = dh− νdP (3)

Ası:

δqrev = dh− νdP con [ν] = m3.kg−1 (4)



Con las ecuaciones 27 y 4, el trabajo wrev se escribe:

−δwa,rev = νdP + dec + dep (5)

Integrando:

wa,rev = −∫ 2

1

νdP −∆ec −∆ep (6)

Si las variaciones de altura o de velocidad son despreciables:

wa,rev = −∫ 2

1

νdP = −∫ 2

1

dP

ρJ.kg−1 (7)

La relacion 7 es la trabajo de salida asociado con un procesointernamente reversible en un dispositivo.

Tenemos un resultado negativo cuando el trabajo se realiza sobreel sistema.



Comentarios

De la ecuacion:

wa,rev = −∫ 2

1

νdp = −∫ 2

1

dP

ρ(8)

se deduce que:El trabajo es positivo cuando la presion disminuye (expansion),y que el trabajo es negativo cuando la presion aumenta(compresion).El valor absoluto del trabajo depende del volumen especıfico delfluido de trabajo:

el trabajo asociado a los lıquidos, que tienen bajos volumenesespecıficos (alta densidad), es mucho menor que el trabajoasociado a gases, que tienen volumenes especıficos elevados(densidad baja).


Trabajo irreversible de flujo estacionario




De la misma manera escribimos el primer principio entre los puntosde entrada 1 y salida 2:

Q− Wa = m

[(h2 − h1) +

V 22 − V 2

1

2+ g(z2 − z1)

](9)

cuando los cambios de altura o de velocidad son pequenos

Q− Wa = m(h2 − h1) (10)

Dividiendo por m obtenemos una ecuacion por unidad de masa quefluye a traves el volumen de control:

q − wa = h2 − h1 (11)



De la misma manera se puede escribir para esa unidad de masa:

dh = Tds+ νdP (12)

que podemos integrar entre la entrada 1 y la salida 2:

h2 − h1 =∫ 2

1

Tds+∫ 2

1

νdP (13)

Sustituyendo 11 en 13 obtenemos el trabajo que se expresa:

wa =(q −

∫ 2

1

Tds

)−∫ 2

1

νdP (14)



Determinamos el signo de la cantidad 1 de:

wa =(q −

∫ 2

1

Tds

)︸︷︷︸

1

−∫ 2

1

νdP (15)

El balance de entropıa en volumenes de control (flujo unidimensional)se escribe:

∆S = m(s2 − s1) =∫ 2

1

δQ

T+ sgen ⇒ s2 − s1 =

∫ 2

1

δq

T+ sgen (16)

Expresado en forma diferencial:

ds =δq

T+ δsgen ⇒ Tds = δq + Tδsgen (17)

tenemos:Tds ≥ δq como δsgen ≥ 0 (18)

se deduce que la cantidad 1 de 15 nunca es positivo y se anula paraun proceso reversible.



Finalmente, se puede concluir que:

wa,rev ≥ wa,irrev = wa,real (19)

En consecuencia:Los dispositivos que producen trabajo entregan mas trabajolos dispositivos que consumen trabajo requieren mas trabajo

cuando operan reversiblemente.



Comentario

Para un proceso cualquiera, reversible o irreversible, el trabajo seescribe:

wa ≤ −∫ 2

1

νdP =∫ 2

1

dP

ρ(20)

Se aplica a expansion (turbinas) y compresion (compresores,bombas), independientemente que haya o no interacciones enforma de calor.


Calculo del trabajo



Calculo del trabajo

Consideramos un proceso reversible donde el trabajo se calcula segun:

wa,rev = −∫ 2

1

νdP = −∫ 2

1

dP

ρ(21)

La integracion de la Ec. 21 requiere conocer como varıa ν a lo largo deun camino reversible (cuasiestatico y sin disipacion).

Definicion

Durante los procesos de expansion y compresion de gases, la presion yel volumen son relacionados por:

PV n = C⇒ Pνn = C′ (22)

donde C, C ′ y n son constante con 1 < n < k. Un tal proceso se llamaproceso politropico.


Calculo del trabajo

Proceso politropico

Ası, para el caso particular de un gas ideal, proceso politropicoreversible, sabemos que:

Pνn = C′ ⇒ νndP + pnνn−1dν = 0⇒ dP =Pnνn−1

νndν (23)

Sea:

wa,rev = −∫ 2

1

νPnνn−1

νndν = −

∫ 2

1

νC ′nνn−1

νnνndν (24)

Ademas:

P1νn1 = P2ν

n2 ⇒ ν2 = ν1

(P1

P2

)1/n

(25)

Obtenemos despues integracion:

wa,rev =n

n− 1P1ν1

(1−

(P2

P1

)n−1n

)=

n

n− 1RT1

(1−

(P2

P1

)n−1n

)(26)


Calculo del trabajo

Proceso adiabatico

Para un proceso adiabatico para un gas ideal (reversible o no) eltrabajo se calcula a partir del primer principio:

δqrev − δwa,rev = dh+ dec + dep (27)

es decir

wa = −∆h = cp(T1 − T2) (28)

si cp =Cte.


Calculo del trabajo

Proceso adiabatico

Si ademas el proceso es reversible, tenemos un procesoisoentropico, un proceso en el que la entropıa se mantiene constante:

ds = cpdT

T−Rdp

P= 0⇒

(T2

T1

)cp

=(P2

P1

)R

(29)

Sustituyendo 29 en 28 se llega a una expresion:del trabajo reversible adiabatico para un gas ideal,en funcion de las presiones inicial y final:

wa,rev = cpT1

(1−

(P2

P1

) Rcp

)

=k

k − 1RT1

(1−

(P2

P1

) k−1k

)(30)

Esta ultima ecuacion es igual a la Ec. 26 para n = k.


Calculo del trabajo

Proceso isotermico

Para un proceso isotermico para un gas ideal tenemos:

Pν = Cte (31)

sea:

wa = −RT ln(P2

P1

)(32)


Trabajo de bombas de liquido



Trabajo de bombas de liquido

La ecuacion

wa ≤ −∫ 2

1

νdP =∫ 2

1

dP

ρ(33)

es muy util para calcular el trabajo de bombeo de lıquidos.En estos casos el volumen especifico es muy pequeno ypuede aproximarse a un valor constante.

La integracion es:

wa ≤ −ν (P2 − P1) = −P2 − P1

ρ(34)

Para la compresion reversible de lıquidos:

wa = −ν (P2 − P1) = −P2 − P1

ρ(35)


Compresores de gases, minimizacion del trabajo del compresor




En la industria se emplean compresores para incrementar la presionde un gas hasta un valor determinado.

Generalmente la temperatura final del gas no tiene importancia.pero se busca a mantener el volumen especifico del gas pequeno,por eso se busca a a mantener tambien la temperatura del gasbaja,Finalmente, se pregunta cual es el proceso que consume la menorcantidad de trabajo?



Suponemos cuatro procesos reversibles representativos paracomprimir un gas desde P1 hasta P2:

a Compresion isoterma (n = 1)b Compresion isentropico (n = k)c Compresion politropica (1 < n < k)d Compresion en dos etapas adiabaticas con

enfriamiento a la presion intermediara pi.

Para todos, el estado inicial es el punto 1; sin embargo, el estado finales distinto en cada caso.



El trabajo de compresion en cada caso se puede calcular:

wa = −∫ 2

1

νdp (36)

es el area limitada entre el eje P y la curva respectiva.

El area mas pequeno (en el diagrama):que corresponde al consumo mınimo de trabajo,es el proceso de compresion isoterma (a)

La compresion isentropica (b) es la que consume mas trabajo.

Por lo tanto, es deseable refrigerar el gas durante la compresion(curva d), de modo que su temperatura de salida sea lo mas bajaposible, para reducir el consumo de trabajo.



Comentarios

Sin embargo, en la practica es difıcil refrigerar el compresor durante lacompresion, debido a la falta de superficies para la transferencia decalor.

Por este motivo, es habitual dividir la compresion en variasetapas; cuanto mayor es la relacion de presiones, son necesariasmas etapas.Entre etapa y etapa, el gas se somete a un enfriamiento con unfluido refrigerante, normalmente agua o aire, hasta que recuperala temperatura ambiente.



Trabajo de un compresor adiabatico reversible en 2etapas

El trabajo de un compresor adiabatico reversible en dos etapas conenfriamiento intermedio a presion Pi para un gas ideal:

wa = wa,1i +wa,i2d = cpT1

(1−

(Pi

P1

))R/cp

+ cpT1

(1−

(P2

Pi

))R/cp

(37)



Trabajo de un compresor adiabatico reversible en 2etapas

La presion intermedia Pi que minimiza el trabajo total es la mediageometrıa:

Pi

P1=P2

Pi⇒ Pi,opt =

√P1P2 (38)

El trabajo de compresion correspondiente es:

wa = 2cpT1

(1−

(P2

P1

))R/2cp

(39)



Trabajo de un compresor adiabatico reversible en netapas

Del mismo modo, para un compresor con n etapas el trabajo decompresion optimo es:

wa = ncpT1

(1−

(P2

P1

))R/ncp

(40)

La relacion de compresion en cada etapa viene dada por:

Pi+1

Pi=(P2

P1

)1/n

(41)



Comentarios

En la industria se podrıa pensar instalar:una compresion isoterma mediante un numero infinito deetapas adiabaticas, con enfriamiento intermedio.

En la practica, el numero de etapas de un compresor resulta deun compromiso entre:

el ahorro de trabajo,la complejidad del diseno de la instalacion,y el coste de la instalacion y del compresor.


Eficiencias de los procesos isentropicos

2 Eficiencias de los procesos isentropicosIntroduccionProcesos de expansionProcesos de compresionEn el caso de tobera y difusores


Introduccion



Introduccion

Cuando mas nos acercamos del proceso isentropico idealizado, mejorse desempanara el dispositivo.

En un proceso adiabatico, reversible en flujo estacionario:la entropıa no cambia: Q = 0 y Sgen = 0ası, el estado final es determinado por la presion final P2 y laentropıa s2 = s1.

Por esto es muy importante tener un parametro, la eficienciaisentropica, que exprese cuantitativamente si un dispositivo real seaproxima o no del dispositivo idealizado.


Introduccion

Trabajo isentropico

El trabajo por unidad de masa en un proceso isentropico es:

wa,s = − (h2s − h1) (42)

donde el subindice s indica que el estado 2 tiene la misma entropıaque el 1.

El trabajo adiabatico reversible, calculado con la Ec. 42 es:positivo para procesos de expansionnegativo para procesos de compresion

En procesos adiabaticos irreversibles entre las mismas presiones,la entropıa necesariamente tiene que aumentar (Q = 0 ySgen > 0):

s2 > s1 (43)

Estos procesos se pueden representar en un diagrama de Mollier odiagrama h-s.


Introduccion

Diagrama de Mollier - diagrama h-s


Introduccion

Comentarios

Vemos sobre el diagrama que tanto:

En expansion (figura izquierda)como en compresion,El punto 2 (punto real) que tienela misma presion que 2s (puntoideal)Pero el punto 2 tiene mayorentropia:

s2 > s2s (44)

y el punto 2 tiene tambien mayorentalpıa:

h2 > h2s (45)


Procesos de expansion




Proceso de expansion

Por la tanto, en un proceso deexpansion adiabatica irreversible, seobtiene menos trabajo que en elproceso isentropico entre las mismaspresiones:

h1 − h2 < h1 − h2s (46)



Proceso de expansion

Definicion

El cociente entre el trabajo real Wa y el reversible Wa,s se llamarendimiento isoentropico de la expansion:

ηs =Wa

Wa,s=

h1 − h2

h1 − h2s(47)

Por definicion su valor sea menor que la unidad,El rendimiento isoentropico es una medida de la efectividad deun proceso adiabatico real, respecto al proceso adiabatico mejorposible, es decir, el proceso isoentropico.



Comentarios

El rendimiento isoentropico de la expansion ηs:Por definicion su valor sea menor que la unidad, nunca es mayorque 1.El rendimiento isoentropico de las turbinas optimizadas es delorden de 0, 92–0, 96,para las turbinas mas clasicas el rendimiento es menor, del ordende 0, 7–0, 9.


Procesos de compresion




Proceso de compresion

En una compresion adiabatica reversible (compresion isentropica)

se gasta mas trabajo que en el procesoadiabatico reversible entre las mismaspresiones:

h2–h1 > h2s–h1 (48)



Proceso de compresion

El cociente de ambos trabajos es el rendimiento isoentropico de lacompresion:

ηs =−Was

−Wa=h2s − h1

h2 − h1(49)

Por definicion, es la inversa del rendimiento isentropico de laexpansion,para que su valor sea menor que 1.los compresores mejor disenados tienen eficiencia isentropica quevan de 0, 80-0, 90la eficiencia de los compresores son inferiores a la eficiencia de lasturbinas.

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