División de Ing. en Industrias Alimentarias 14 de octubre

Ejemplo 5.4. (1ª Ed. Smith / Van Ness)

¿Cuál es el cambio de entropía de 1 lbmol de un gas ideal que se encuentra inicialmente a 120°F y a una presión de 10 atm y que se expande irreversiblemente a 1 atm y 70°F? La capacidad calorífica molar es igual a 7 BTU/lbmol °F.

Solución.

a). Suponer una primera etapa de expansión isotérmica a 1 atm.

dW=TdS … recordar la fórmula XII …

dWT

=dS ∫ dS=∫V 1

V 2PdVT

por la ley general del estado gaseoso…

P=nRTV

∫ dS=∫V 1

V 2nRTV

dVT

=nR∫V 1

V 2

dVV

∆ Sa=nR lnV 2V 1

[ larelaciónde volúmenes puedereemplazarse por larelación inversade las presiones ]∆ Sa=nR ln

P1P2

b). suponer ahora un enfriamiento a presión constante

∆ Sb=∫ dQT

=∫ CpdTT

=nCp lnT 2T 1

Cálculo de entropía total…

∆ STOTAL=∆ Sa+∆Sb

∆ STOTAL=nR lnP1P2

+nCp lnT2T1

∆ STOTAL=[ (1 lbmol) (1.986 BTUlbmolR ) ln 101 ]+[(1lbmol )(7 BTUlbmolR ) ln 529.67579.67 ]M.E.M. Heladio Gabriel Méndez Prince 1

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∆ STOTAL=4.57293BTUlbmol R

+(−0.6314 BTUlbmolR )∆ STOTAL=3.9415

BTUR

SEGUNDO MÉTODO.

a) Otro camino para producir el cambio deseado consiste en expandir el gas a temperatura constante (proceso isotérmico) hacia el volumen final V2.

Supone el mismo proceso del inciso a del método anterior…

∆ Sa=nR lnV 2V 1

b) Ahora enfriamiento a volumen constante (proceso isocórico) hasta la temperatura final T2.

∆ Sb=∫T1

T2dQT

=∫T1

T2C v dTT

=nCv lnT2T1

Es necesario introducir una igualdad exclusiva para los gases ideales…

CP - CV = R

∆ Sb=∫T1

T2dQT

=∫T1

T2C v dTT

=n(CP−R)lnT2T1

De manera que para el proceso total se tiene…

∆ STOTAL=∆ Sa+∆Sb

∆ STOTAL=nR lnV 2V 1

+n (CP−R) lnT 2T 1

….. (i)

La expresión anterior calcula la entropía de un gas ideal en términos de las propiedades de un estado inicial y otro final, de manera que por la ley general del estado gaseoso…

P1V 1T 1

=P2V 2T 2

despejando la relación V 2V 1

…

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P1T 2P2T 1

=V 2V 1

Sustituyendo en i …

∆ STOTAL=nR lnP1T 2P2T 1

+n (CP−R) lnT 2T 1

∆ STOTAL=nR lnP1P2

+nR lnT 2T 1

+n(C P−R) lnT 2T 1

∆ STOTAL=nR lnP1P2

+nR lnT 2T 1

+nCP lnT 2T 1

−nR lnT2T1

∆ STOTAL=nR lnP1P2

+nCP lnT2T1

Resolviendo para valores…

∆ STOTAL=(1lbmol )(1.986BTUlbmolR

) ln101

+ (1lbmol )(7 BTUlbmolR ) ln 529.67579.67

∆ STOTAL=4.85−0.63=3.95BTUlbmolR

TERCER MÉTODO.

Recurriendo a la metodología observada en temas anteriores, en la primera etapa enfriaremos a volumen constante para cambiar de 10 a 1 atm.

En la segunda etapa calentaremos a presión constante para llegar a los 70°F.

En la primera etapa es enfriar a volumen constante…

∆ Sa=∫T1

T2dQT

=∫T1

T2C v dTT

=n(CP−R)lnT2T1

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Para la segunda etapa, calentamos a presión constante…

∫ dS=∫V 1

V 2PdVT

= ∫V 1

V 2nRTV

dVT

=nR∫V 1

V 2dVV

Para la entropía total…

∆ STOTAL=n (CP−R ) lnT 2T 1

+nR∫V 1

V 2dVV

∆ STOTAL=n (CP−R ) lnT 2T 1

+nR lnV 2V 1

Recordando la igualdad para los gases ideales…

P1T 2P2T 1

=V 2V 1

∆ STOTAL=n (CP−R ) lnT 2T 1

+nR lnP1T2P2T1

∆ STOTAL=n (CP−R ) lnT 2T 1

+nR lnP1P2

+nR lnT 2T 1

∆ STOTAL=nCP lnT 2T 1

−nR lnT2T1

+nR lnP1P2

+nR lnT2T1

∆ STOTAL=nCP lnT 2T 1

+nR lnP1P2

Evaluando la última ecuación…

∆ STOTAL=(1lbmol )(7 BTUlbmolR ) ln 529.67579.67+(1 lbmol )(1.986

BTUlbmolR

) ln101

∆ STOTAL=−0.63+4.85=3.95 BTUlbmolR

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