termodinamica

FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 155

CALOR Y TERMODINÁMICA

Calor y Primer principio de la Termodinámica

GeneralidadesCalor y temperatura son conceptos asociados a la sensación que producenel contacto o la proximidad de ciertos objetos, a los que calificamos subjeti-vamente de fríos o calientes. Se ha visto que la temperatura es un indicadorestadístico de la energía específica (por unidad de masa) de las partículasen las que se pueden considerar constituídos los cuerpos extensos. El calor,como resultado de la temperatura extendida a toda la masa de un cuerpo osistema, puede entenderse como un tipo de energía asociada a la materia,diferente a la energía mecánica. El sabio griego Aristóteles (384-322 AC) yalo consideraba como una propiedad de la materia. Mucho después, el fran-ciscano inglés Roger Bacon (1214-1294) suponía que el calor se debía a lasvibraciones rápidas de las partículas que constituían la sustancia. Los sabiosfranceses Lavoisier(1743-1794) y Laplace (1749-1827) observaron que lapropagación del calor tiene gran analogía al movimiento de un fluído quecorre a través de la materia. Estas concepciones diversas, lejos de contrade-cirse se complementan, como veremos a lo largo del estudio.

Cantidad de calor – calor específicoPara llevar a un cuerpo de masa m de una temperatura T a otra muy próxi-ma T+dT es necesario entregarle una cantidad de calor dQ proporcional a lamasa y a la diferencia de temperatura, de tal modo que dQ=m.ce.dTLa constante de proporcionalidad ce se llama calor específico de la sustan-cia en cuestión a la temperatura T. El calor específico de la mayoría de lassustancias puede considerarse constante dentro de ciertos límites de tempe-ratura, sin embargo, para no perder generalidad debe tenerse presente quesiempre es una función de ésta.

La cantidad de calor se mide usualmente en calorías. La caloría (pequeñacaloría) es la cantidad de calor necesaria para elevar 1 ºC una masa de 1gramo de agua pura de 0º a 1 ºC. El calor específico del agua queda asídefinido como 1 cal/ºC/g a 0ºC1

Teniendo en cuenta la equivalencia entre calor y trabajo mecánico cuando

1 Para elevar la temperatura de 1 g de agua de 0ºC a 100ºC hacen falta 100,5 cal.

Esto demuestra que el calor específico del agua aumenta con la temperatura

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éste se transforma íntegramente en aquél, se puede expresar la cantidad decalor directamente con unidades de energía, sabiendo que se producen 0,24calorías cuando se transforma íntegramente en calor un trabajo de 1 Joule.

Esta equivalencia entre calor y energía fué determi-nada por el físico inglés James Prescott Joule(1818-1889), quién midió el aumento de temperaturaque se producía en el agua de un recipiente aisladoagitada por el movimiento de un molinete, el cual a suvez estaba accionado por una pesa que descendíapor gravedad. El aparato estaba hecho con cuidadosespeciales como para hacer mínimos los rozamientosen partes móviles fuera del líquido, que no produci-rían efecto computable. La energía potencial de lapesa se transformaba así casi íntegramente en caloral cabo del descenso.

Calorímetro de agua

Para medir las cantidades de calor de cuerpos o sistemas, se aprovecha elprincipio de conservación del mismo: cuando se ponen en contacto doscuerpos a diferente temperatura fluye calor del más caliente al más frío hastaque las temperaturas se igualan. La cantidad de calor perdida por el cuerpoo sistema más caliente es igual a la ganada por el más frío. La evolución deambas temperaturas que convergen hacia la final de equilibrio se realiza conleyes exponenciales que se acercan asintóticamente, aunque prácticamentese puede considerar que el equilibrio se alcanza pasado un tiempo finito.

Como sistema de referencia se emplea generalmente una masa m1 de aguaa temperatura bien determinada T1 en un recipiente aislado, como en laexperiencia de Joule para determinar el equivalente térmico del trabajo. En elagua se sumerge el otro sistema, de masa m2 a una temperatura T2 . Elequilibrio se alcanza a temperatura final Tf de manera que ∆∆Q1=-∆∆Q2, o seam1.c1.(T1-Tf) = -m2.c2.(T2-Tf) . El conjunto es una calorímetro de mezclas.

Termómetro y temperaturaLa temperatura se mide de ordinario con un termómetro de dilatación,aparato que emplea la propiedad de algunos líquidos (mercurio o alcoholabsoluto) de aumentar de volumen por el calor en forma proporcional a latemperatura (véase más adelante, dilatación de los líquidos por el calor). Alaumentar el volumen del mercurio de la ampolla (bulbo) éste desplaza al queestá en el tubo de sección constante. Se gradúa el termómetro con una es-cala lineal cuyo cero corresponde al extremo de la columna mercurial colo-cando todo el termómetro en hielo fundente, y asignando el valor cien a loque marca todo el aparato en el vapor en equilibrio en agua en ebullición a

Equivalentetérmico deltrabajo


la presión atmosférica normal2. Esta escala se llama de Celsius o centígra-da. La temperatura en grados Celsius3 o Centígrados (ºC), se relaciona conla temperatura absoluta T a través de la relación T=t+273. Como se recuer-da, la escala absoluta (en grados Kelvin) se define en base a la ecuación delos gases ideales T=p.v/n/R, por la cual el producto de la presión y el volu-men ocupado por un gas es proporcional a una variable que es una medidamacroscópica de la energía interna del gas. Más adelante veremos que laescala absoluta de temperaturas queda también definida por consideracio-nes termodinámicas, por lo cual también se la llama “escala termodinámica”.En países anglosajones aún se usa la escala termométrica Fahrenheit4(ºF),que asigna al agua hirviente el valor 212ºF y al hielo en fusión 32ºF. Estácompletamente abandonada la antigua escala de temperaturas Reaumur,cuyo cero coincide con el de la escala centígrada, pero que divide al inter-valo entre hielo y vapor de agua hirviente en 80 partes en vez de cien.

Ejemplo: Un trozo de metal de 900g calentado en contacto con agua hirviente sesumerge en un calorímetro muy bien aislado que tiene 1 litro de agua a 15ºC. Latemperatura del agua asciende hasta estabilizarse en 23ºC. ¿Cuál es el calor específi-co del metal?Solución: Planteamos la ecuación calorimétrica de equilibriom1.c1.(t1-tf) = -m2.c2.(t2-tf)para m1=1Kg, m2=0,9Kg, t1=15ºC t2=100ºC tf=23ºCc2/c1 = m1/m2.(tf-t1)/(t2-tf) = 1/0,9 x (23-15)/(100-23) = 0,11Respuesta: el calor específico del metal es algo mayor que un décimo del del agua

Dilatación de los cuerpos por el calorTodos los cuerpos se dilatan por el calor. Esa dilatación es relativamentepequeña en los sólidos, mayor en los líquidos y mayor aún en los gases. Deestos últimos hemos ya estudiado las relaciones entre temperatura, presión yvolumen, así que nos dedicaremos ahora a los dos primeros.

Dilatación de los sólidosDilatación linealSi sometemos al calor a una varilla sólida de longitud inicial Lo a la tempe-ratura To , observamos que su longitud crece con la temperatura T, según laley L = Lo + Lo.αα.(T-To) = Lo [1+αα.∆∆T] . El coeficiente αα se llama de dilata-ción lineal, y puede considerarse como una constante propia de cada mate-rial dentro de cierto rango de temperatura.

2 Cuando sólamente el bulbo del termómetro está en el sistema cuya temperatura se

quiere determinar, es necesario hacer una corrección que tenga en cuenta la diferentedilatación de la columna (corrección por columna emergente).3 Inventada en 1742 por el astrónomo sueco Andrés Celsius

4 Esta escala se debe al físico alemán Daniel Gabriel Fahrenheit (siglo XIX)

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COEFICIENTES DE DILATACIÓN LINEAL DE ALGUNOS SÓLIDOSMATERIAL α(1/α(1/ºC) MATERIAL α(1/α(1/ºC))Vidrio 0,9 x 10-5 Plata 2 x 10-5

Platino 0,9 x 10-5 Aluminio 2,6 x 10-5

Hierro 1,1 x 10-5 Cinc 2,9 x 10-5

Cobre 1,8 x 10-5 Plomo 2,9 x 10-5

Latón 2 x 10-5 Azufre 7,4 x 10-5

La ley anterior puede ponerse de la forma (L-Lo)/Lo=αα.∆∆T lo que nos diceque el alargamiento relativo a la longitud primitiva es proporcional al aumentode la temperatura.

Ejemplo: ¿Qué aumento de longitud se producirá en una viga de hierro que tiene 6 mde longitud a 20ºC cuando la temperatura ambiente sube a 30ºC?∆∆L = L.α.(α.(T-To) = 6m.1,1 x 10-5(ºC)-1 10ºC = 0,66 mm

Consideración: Si a esta viga se le impidiera dilatar-se, por ejemplo empotrándole los extremos y supo-niendo que no hay pandeo (flexión lateral), ejerceríauna fuerza sobre los vínculos equivalente a la que leproduciría un acortamiento ε = ∆L/L = 0,66/6000 =0,00011 . De acuerdo a lo visto en resistencia demateriales, el acortamiento produce un esfuerzo decompresión σσ en el hierro de la viga igual a σ σ = E.εε =2,2x1011x 0,00011 = 24,2 x 106 N/m2 = 247 Kg/cm2 .Supongamos que la viga en cuestión fuera un perfilde ala ancha Nº 30, que posee 121 cm2 de sección.Al estar impedida de dilatarse libremente por el calor,

ejercería sobre los apoyos una fuerza de 247x121= 23887Kg

Dilatación cúbicaConsiderando que un cubo de material sufrirá una dilatación lineal en cadaarista de longitud Lo con la misma ley anterior, podemos plantear la variaciónde volumen del cubo con la temperatura, según la siguiente expresión:Vo=Lo

3 ; V = L3 = Lo3(1+α.∆T)3 = Lo

3 [1+3.α.∆T+3.α2.∆T2+α3.∆T3]Como αα es un valor muy pequeño, se pueden despreciar los términos en losque aparece al cuadrado y al cubo, quedando muy aproximadamente queV≈≈Vo.[1+3.αα.∆∆T]. Comparando esta fórmula con la de la dilatación lineal seve que el coeficiente de dilatación cúbica equivalente vale 3 veces el dedilatación lineal. De la misma forma se demuestra que el coeficiente de dila-tación superficial resulta 2αα

Dilatación de los líquidosEl coeficiente de dilatación de los líquidos en general varía con la temperatu-ra, de manera que la ley que relaciona volumen y temperatura no es lineal.El agua, por ejemplo, se contrae de 0ºC a 4ºC. De allí en adelante se dilata.Por lo tanto a 4ºC el agua alcanza su máxima densidad. En cambio el mercu-

30 c

m


rio posee un coeficiente de dilatación cúbica casi constante, igual a 2x10-4,hecho que lo hace muy apropiado para la construcción de termómetros.La movilidad de los fluídos y su propiedad de variar de densidad con la tem-peratura permite su calentamiento o enfriamiento por convección natural,esto es por el movimiento de ascenso de porciones menos densas y el des-censo de las más densas. Este mecanismo en el caso del agua, que tienedensidad máxima a 4ºC hace que un lago enfriado por un viento helado secongele superficialmente recién cuando toda el agua llega a 4ºC

Primer principio de la TermodinámicaComo recordarán, el principio de conservación de la energía mecánicadice que en un sistema aislado, en el que no pueda entrar ni salir materia yenergía, se conserva la energía y la materia total. La energía puede pasarde cinética Ec a potencial V y viceversa, pero su suma o total permanececonstante, es decir Ec+V=cte y consecuentemente su variación es nula, esdecir ∆∆(Ec+V)=0

Si el sistema está en relación con el medio externo o medio ambiente, pue-de haber con éste intercambio de energía, de materia o de ambas. Se llamansistemas cerrados los que pueden intercambiar sólo energía con el exterior.Si pueden intercambiar también materia se llaman sistemas abiertos. Ensistemas cerrados la energía mecánica se intercambia a través de un trabajoL hecho a costa de la variación de su energía total. Es usual la convenciónde tomar como positivo al trabajo realizado contra el medio exterior y negati-vo si el exterior realiza trabajo contra el sistema. Considerando una evolu-ción del sistema desde un estado inicial i a otro final f, y con la convenciónde signos antedicha es: (Vf+Ef)-(Vi+Ei)+L=0, o sea ∆∆(V+Ec)+L=0

Si se reconoce a la cantidad de calor ∆∆Q como otra forma posible de energíaademás de la mecánica, podemos incluirlo en el principio de conservación,que pasa a llamarse entonces “primer principio de la termodinámica” parasistemas cerrados.

Tomando al flujo de calor ∆∆Q como positivo cuando entra al sistema y nega-tivo cuando sale (al revés que el trabajo) resulta: ∆∆(V+Ec)-∆∆Q+L=0 y también∆∆(V+Ec) = ∆∆Q - L

La energía interna UHemos visto que la energía potencial V de un cuerpo rígido es igual a sumasa m multiplicada por la aceleración de la gravedad y por la altura delcentro de gravedad h con respecto a un nivel de referencia (por ejemplo elnivel del mar). Así entonces expresamos V=m.g.h .

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También sabemos que un cuerpo rígido de masa m cuyo centro de gravedadse mueve a velocidad uniforme v posee una energía cinética de traslaciónEc=1/2 m.v2

La materia sólida puede modelizarse como cuerpo rígido sólo en primera aproxima-ción, cuando se trate de cuerpos poco deformables y siempre que no estén en estudiofenómenos calóricos. La difusión y transmisión del calor requieren un modelo de mate-ria formada por átomos, moléculas, cristales, o partículas pequeñas en general, comovimos para los fluídos. Sin embargo, y a diferencia de éstos, las partículas constituti-vas de los sólidos están vinculados entre sí por fuerzas de cohesión (responsable dela transmisión de esfuerzos tangenciales) que les imponen condiciones de movilidadmucho más restringida que en el caso de los fluídos. Las partículas del sólido sóla-mente pueden vibrar o rotar alrededor de una posición de equilibrio y no hay trans-porte o convección de materia dentro del cuerpo, como puede haberlo en un fluído.

Si en vez de un cuerpo rígido consideramos a la materia de cualquier tipocomo un sistema formado por un gran número de individuos de masa mi

(i=1,2...n), distinguibles o no desde el punto de vista estadístico, cuya masatotal vale m=ΣΣmi, y que poseen velocidades individuales vi si se trata de unfluído y energías de deformación y vibración ui en el caso de sólidos, resultaque además de la eventual energía potencial o cinética de traslación delconjunto, debe considerarse la suma de la energía individual de cada una desus partes, que puede ser cinética Ec’=ΣΣ ½ mi.vi

2 o también la suma de laenergía potencial y de vibración de cada partícula V’=ΣΣui

A toda esa energía que no proviene del movimiento o la posición del centrode gravedad del sistema, sino de la suma de las energías individuales de loselementos constitutivos del mismo, la llamaremos energía interna U, y ennuestro caso será U = V’+E’c

Así entonces la energía total de un sistema vale Et = Ec + V + U

Entonces el primer principio de la termodinámica se escribe:∆∆V + ∆∆Ec + ∆∆U = ∆∆Q – L

En el caso frecuente de que el centro de gravedad del sistema en estudio semantiene inmóvil a través de los cambios o transformaciones que va sufrien-do, será Ec=0 y ∆∆V=0 , en cuyo caso el primer principio de la termodinámicapuede expresarse en la forma ∆∆Q = ∆∆U + L

Trabajo

El término L que figura en el primer principio se genera cuando un sistemacambia de volumen (se expande o se contrae) bajo una determinada pre-sión. Esa presión que actúa sobre una superficie se traduce en una fuerza,que ejecuta trabajo al desplazarse por la expansión o la compresión quesufre el sistema.


El ejemplo más claro es el de un gas encerrado enun cilindro de superficie S con un pistón móvil. Lafuerza que el gas ejerce sobre el pistón vale p.S . Siel pistón se desplaza un trecho dx hacia afuera, elsistema ejecutará contra el medio un trabajo

dL=p.s.dx , pero S.dx es el volumen dv barrido por el pistón en su carrerainfinitesimal. Así entonces dL=p.dv.

En una evolución finita entre dos volúmenes v1 y v2 el trabajo total será

Evolución isotérmicaAsí, en el caso de un mol de gas perfecto a temperatura constante (evolu-ción isotémica), la expansión entre volúmenes v1 y v2 produce un trabajoigual a dL=RT/v.dv=RT d(lnv), con lo cual L1,2 = R.T.ln(v2/v1)

Ejemplo: ¿Qué trabajo entrega al medio una masa de 1 Kg de aire que evoluciona a20ºC (293 ºK) desde un volumen inicial al doble de éste?L1,2 = n.R.T.ln(2) = 1Kg / 0,0144 Kg/mol x 8,3 J/ºK/mol x 293ºK x 0,693 = 117060 JComo la evolución es isotérmica, es nula la variación de energía interna. Entonces, deacuerdo al segundo principio debe ser ∆Q=L , es decir que el trabajo se ha efectuadoa costa del calor que ha ingresado en el sistema, necesario para mantener la tempe-ratura constante durante la evolución.

Energía interna y temperatura:

Que la energía interna U depende de la temperatura se desprende de lasconsideraciones anteriores. Existe una célebre experiencia realizada porJoule para comprobar si la energía interna de un sistema depende exclusi-vamente de la temperatura. Se dispone en un calorímetro de agua perfec-tamente aislado térmicamente (con paredes que no pueden conducir el ca-lor) dos botellones de gas unidos por una válvula. Uno de ellos contiene gasa presión y el otro está al vacío. Cuando se abre la válvula, el gas del llenopasa al vacío hasta que se igualan las presiones: el volumen pasa al doble yla presión a la mitad. El agua del baño no acusa ninguna variación de tempe-ratura al cabo del proceso, lo que revela que el cambio de volumen de ungas que no realiza trabajo es adiabático, esto es sin intercambio de calor conel exterior. El primer principio nos dice que el calor intercambiado es igual ala variación de energía interna más el trabajo efectuado. Como calor y tra-bajo son necesariamente nulos en el proceso descripto, podemos afirmarque la variación de energía interna también lo es. Como es seguro que elvolumen y la presión variaron en la evolución efectuada por el gas, y la tem-peratura permaneció constante, igual que la energía interna, ésta sólo puedeser función de aquélla.

∫= 2

1

v

v1,2 p.dvL

p

dx

S

162

Una variación de energía libre responde pués a una varia-ción de temperatura, de tal modo que dU=cv.dT. Laconstante cv se llama “calor específico a volumen cons-tante” porque coincide con ∆Q/∆T cuando el volumen de laevolución no varía, es decir cuando el trabajo es nulo.

El resultado de la experiencia de Joule recién descripta ejecutadacon gran precisión revela sin embargo una pequeña disminuciónde la temperatura del sistema. Este efecto, estudiado por WThomson se emplea en enfriar gases, expandiéndolos sin laejecución de trabajo. Se conoce como efecto Joule-Thomson, y

es explicable teniendo en cuenta que entre las moléculas de los gases reales existenfuerzas de atracción. Para vencerlas durante la expansión se requiere efectuar unatrabajo interno a costa de la temperatura del gas.

Evolución a presión constanteAplicando el primer principio a una evolución para un mol de gas perfecto a presiónconstante, en la que L=p(vf-vi) resulta dQ=cv.dT+R(Tf-Ti)=(cv+R).dT , pero como laevolución es a presión contante, su calor específico también lo será, es decir quedQ=cp.dT de donde cv+R=cp, y R=cp-cv . Por supuesto que esta expresión tiene vali-dez general, a pesar de haber sido deducida para un caso particular de evolución.

Evolución adiabáticaUna evolución sin pasaje de calor (por ejemplo, un gas que se expande enun cilindro aislado térmicamente) implica que el trabajo entregado o recibidoes a costa de la propia energía interna del sistema. Tales evoluciones sellaman adiabáticas. Un gas que sufre una evolución adiabática lo hace segúnuna ley que trataremos de deducir del primer principio. Según éste esdQ=dU+p.dv. Como dQ=0 según lo planteado, resulta dU=-p.dv. Pero vi-mos que dU=cv.dT, entonces cv.dT=-p.dv=-R.T.dv/v. De lo anterior sale quecv.d[ln(T)]=-R.d[ln(v)] , e integrando resulta cv.ln(T)=-R.ln(v)+C (C = cons-tante de integración) . Tomando antilogaritmos es (para K=ln(C))Tcv = K.v–R , pero como T=p.v/R es pcv.v R+cv=k.R , y extrayendo en ambosmiembros la raíz cvésima queda p.v(R/cv+1) = (k.R) 1/cv = constante

Como, por lo visto en el estudio de una evolución a presión constante esR=cp-cv, la relación entre presión y volumen de un gas perfecto que evolu-ciona adiabáticamente puede ponerse p.v(cp/cv)=constante. Para el aire escp/cv=1,4 .

Para cualquier gas es cp>cv . Es fácil darse cuenta de ello considerando que la canti-dad de calor necesario para producir un mismo incremento de temperatura dT en unsistema a volumen constante dU = cv.dT es menor que dQ = cv.dT+p.dV = cp.dT enotro a presión constante, cuyo volumen varía durante la evolución. El primero no pue-de efectuar trabajo y todo el calor incide en un aumento de temperatura, mientras queel segundo requiere más calor adicional para efectuar el trabajo contra el medio.


Trabajo en una evolución adiabáticaVimos que en una evolución adiabática entre estados p1,v1 y p2,v2 se cumplela ley p1.v1

(cp/cv) = p2.v2(cp/cv) = cte De ésta se deducen:

p2/p1 = [v2/v1]-(cp/cv) v2/v1 = [p2/p1]

-(cv/cp)

El trabajo que realiza el gas durante la evolución adiabática, en la que dQ=0resulta por lo tanto igual a la variación de energía interna cambiada de signo,es decir: dL=-dU=-cv.dT. Integrando entre T1 y T2 esL1,2=cv (T1-T2)=cv.T1(1-T2/T1)Como T1=p1.v1/R ; T2=p2.v2/R y R=cp-cv esT2/T1=(v2/v1)

(1-cp/cv) = p2/p1(1-cv/cp)

Así entonces L1,2 = cv/(cp-cv).p1.v1.[1- (v2/v1)(1-cp/cv)] =

= cv/(cp-cv).p1.v1.[1- (p2/p1)(1-cv/cp)]

Evoluciones generalizadas – politrópicas

Prácticamente cualquier evolución gaseosaen equilibrio que una dos puntos en el es-pacio p,v se puede representar con la fór-mula generalizada p.v n=cte , eligiendoadecuadamente el exponente n. Éste ca-racteriza la evolución y se define comon=(c-cp)/(c-cv) , donde c es el calor especí-fico de la evolución en cuestión, definido,como ya se vió por el cociente entre canti-dad de calor intercambiado y diferencia detemperatura, es decir c=dQ/dT

Esta evolución general se llama politrópica de grado n . Casos particularesse dan como ejemplo a continuación:

• Una isotérmica tiene calor específico infinito, ya que dT=0 y dQ≠≠0 . Deacuerdo a la fórmula anotada antes para el exponente n, el límite deeste cociente vale 1 para c=∞∞ y en tal caso p.v1=p.v=cte (Ley de Boyle-Mariotte)

• Una adiabática tiene calor específico nulo, ya que dQ=0 y dT≠≠0 . Deacuerdo a la fórmula, n=cp/cv , lo que está de acuerdo a lo ya visto paraeste tipo de evoluciones.

• Una isobárica o evolución a presión constante tiene por definición uncalor específico c=cp, con lo cual n=(c-cp)/(c-cv)=0 y entoncesp.v0=p=cte, que indica presión invariable.

• En una evolución a volumen constante o isócora es c=cv de donden=∞∞. La representación de la función p=k/vn para n muy grande da untrazo prácticamente vertical, que responde aproximadamente a unaevolución a volumen constante.

p

v

n<0

n=0

n<1n=1n=cp/cv

n=∞∞

p= cte/vn n=(c-cp)/(c-cv)

164

Función Entalpía – Trabajo de circulación – Calores de reacción

Resulta útil para estudiar evoluciones a presión constante, como las queocurren por ejemplo en sistemas en comunicación con la atmósfera, definiruna nueva función termodinámica llamada entalpía I = U+p.v , cuya expre-sión diferencial es dI = dU + p.dv + v.dp = dU + dL + dLc = dQ + dLc

De los tres términos, la suma del primero y segundo término (energía internay trabajo) nos da la cantidad de calor dQ. El tercer término dLc = v.dp repre-senta el trabajo diferencial necesario para hacer circular un volumen de fluí-

do v entre las presiones p y p+dp . Por tal motivo selo llama “trabajo de circulación” , para distinguirlo deltrabajo de expansión o compresión con cambio devolumen, que vimos vale dL=p.dv

La cuestión se aprecia considerando un compresor apistón que aspira una masa unitaria de gas de volu-men específico v1 a presión p1, lo comprime hasta p2

y lo envía a un depósito a la misma presión p2.

El trabajo total que el compresor efectúa en este ciclo es la suma de:• el trabajo que efectúa el medio sobre el compresor –p1.v1

• el trabajo de compresión ∫∫p.dv entre v1 y v2

• el trabajo para expulsar el gas hacia el depósito +p2.v2

Los tres términos están representados sobre el gráfico p,v por sus respecti-vas áreas. Se ve que la suma de estas áreas con sus signos respectivos dala parte sombreada en celeste, encerrada por la curva de la evolución y eleje de presiones, y que viene representada por la integral ∫∫v.dp definidaentre p1 y p2

La entalpía es una función potencial, es decir que no depende más que delos estados final e inicial del sistema en cuestión. Así es que∆∆I = I2-I1 = ∆∆U + ∆∆(p.v) = U2-U1 + p2.v2 - p1.v1.

La diferencia de entalpías entre estados final e inicial de un sistema mide elflujo de calor que entra o sale mientras la presión se mantenga constante.De tal manera, el calor específico de una evolución a presión constante, quepor definición es cp=(dQ/dT)p=cte coincide con cp=dI/dT . (Recuérdese que elcalor específico a volumen constante cv=dU/dT)La diferencia de entalpía mide el trabajo de circulación en evoluciones desistemas abiertos aislados (dQ=0), por ejemplo el trabajo que se produce porel paso del fluído que hace funcionar una turbina (agua, vapor o gas).

Termoquímica - Calores de reacciónLa química pasó a ser ciencia exacta a partir de los trabajos de Lavoisier,que establecieron los principios de conservación de la masa, y del aporte dela termodinámica. En particular, el primer principio de la termodinámica apli-

p1

p2

v2 v1

1

2

Trabajo decirculación

∫∫v.dpp1

p2


cado a sistemas en los que se producen reacciones químicas permite traba-jar con las energías térmicas de los procesos incluídos en las ecuaciones,como veremos a continuación.

Los calores producidos en las reacciones químicas a presión atmosférica semiden por sus respectivos saltos entálpicos..Por ejemplo, se estudia en química que la combustión del carbón está repre-sentada por la ecuación C(sólido) + O2 (gas) = CO2 (gas) - 391667 J , loque indica que cuando 12,01 g de carbono puro (grafito o diamante) sequeman a presión constante combinándose con 32 g de oxígeno gaseosocompletamente (por eso el signo = entre ambos miembros), producen 44,01g de dióxido de carbono gaseoso y que la reacción está acompañada desdeel punto de vista energético por una diferencia de entalpía de [(-391667)J].El signo negativo de ∆∆I = I2-I1 indica que la entalpía I2 de los productos dela reacción es menor que la entalpía I1 del sistema antes de la reacción. Deacuerdo a la convención de signos adoptada, esa cantidad negativa indicacalor que sale del sistema, o sea producido por la reacción química, quecomo se realiza a presión contante coincide con la diferencia de entalpía5.Las reacciones que producen calor se llaman exotérmicas.

Consideremos ahora la ecuación de reducción del dióxido de carbono amonóxido por medio del hidrógeno, que también es exotérmicaCO2 (gas) + H2 (gas) = CO (gas) + H20 (vapor) – 46670 J

La entalpía es una función potencial, o sea que sólamente depende del es-tado inicial y final del sistema. Por otra parte, las reacciones químicas pue-den expresarse con una igualdad matemática que describe un balance entrelas masas de sustancias reaccionantes y productos de la reacción. No hayinconvenientes en sumar ambas ecuaciones con sus términos de masa y deentalpía como si fueran pasos intermedios hacia un estado final, resultadode la reacción completa de 12 g de carbono más 32 gramos de oxígeno más2 gramos de hidrógeno para obtener un mol de monóxido de carbono másuno de agua al estado de vapor:

C(sólido) + O2 (gas) = CO2 (gas) - 391667 JCO2 (gas) + H2 (gas) = CO (gas) + H20 (vapor) - 46670 J-----------------------------------------------------------------------------------------------------C(sólido) + O2 (gas) + H2 (gas) = CO (gas) + H20 (vapor) – 438337 JSi se lleva a cabo una reacción como esa, se obtiene dentro de los límitesdel error experimental una diferencia de entalpía que se ajusta a la suma de 5 A volumen constante el valor absoluto del calor de reacción es menor que la diferen-

cia de entalpías anotada, ya que no contiene el término de trabajo de expansión. Estoquiere decir que si quemamos carbón en un recipiente cerrado y rígido, obtendremosmenos calor que en el hogar de una caldera, o en un brasero a cielo abierto.

166

ambas, esto es 438337 J.

En 1840, el químico ruso-suizo Germán E. Hess fué el primero en señalar que el calorproducido o absorbido en una reacción química determinada es una cantidad fija eindependiente del camino o del número de pasos intermedios. Hess empleó esteprincipio para calcular calores de reacción combinando adecuadamente reacciones decalores conocidos. Aunque esta “ley de Hess” es consecuencia directa del primerprincipio aplicado a la química, mantiene su identidad como tal, como muchas otrasleyes y principios descubiertos antes de la teoría que viniera después a justificarlos

Segundo Principio de la TermodinámicaSi bien el trabajo puede convertirse íntegramente en calor, la inversa no escierta. Sólo una parte del calor puede transformarse en trabajo. Esa propor-ción de trabajo obtenido frente a calor empleado aumenta con la diferenciade temperatura entre la fuente que suministra el calor (por ejemplo la calderade la central Costanera) y el lugar donde se sume ese calor después deutilizado (por ejemplo el agua del Río de la Plata, que enfría el vapor deescape de las turbinas).

En 1824, un oscuro oficial del ejército francés alejado de los asuntos milita-res y dedicado a cuestiones científicas y técnicas, Nicolás Leonardo SadiCarnot, publicó una célebre memoria donde consignó dos cuestiones prin-cipales:a) El calor puede generar trabajo cuando fluye a través de un dispositivo

adecuado: una máquina térmica. Fluir significa escurrir, correr como lohace un fluido. Los fluidos circulan desde un lugar de mayor altura o pre-sión a otro de menor nivel. Nunca al revés. Carnot reconoció que tambiénel calor puede considerarse como un fluido que fluye sólo si hay una dife-rencia de temperatura: No puede pasar calor entre dos fuentes de igualtemperatura, y menos aún puede pasar calor de lo frío a lo caliente. Estesencillo aserto es la base de la termología moderna: se lo llama “segun-do principio de la termodinámica”. Una manera de enunciarlo es queno puede transformarse calor en trabajo mecánico si no existen dosfuentes a temperatura diferente, así como no puede convertirse en tra-bajo la energía potencial del agua de un dique si no hay un lugar másbajo donde verterla, después de su paso por las turbinas hidráulicas.

b) Toda evolución espontánea de un sistema se verifica en un solo sentido:el que lleva al mismo a una energía menor. Además esa evolución irre-versible implica necesariamente una pérdida de eficiencia tanto mayorcuánto más irreversible sea la transformación. Esa pérdida de eficiencia orendimiento era la que Carnot buscaba minimizar, soñando seguramentecon un navío a vapor más eficiente que diera a Francia la supremacía enlos mares. No hay mal que por bien no venga, ya que de esta aspiraciónbélica, buena para los galos y mala para sus posibles enemigos, surgióuna ciencia que indudablemente benefició a toda la humanidad. Carnot


diseñó una máquina que evolucionaba muy lentamente en forma prácti-camente reversible. Si se la hacía andar ”al derecho” transformaba caloren trabajo aprovechable en su eje. Si se invertía su sentido de marchafuncionaba como refrigerador, bombeando calor desde la fuente fría a lafuente caliente a costa del trabajo entregado en su eje. Carnot demostrócon un razonamiento impecable a la vez que simplísimo, que una máqui-na así era la de mayor rendimiento posible, solamente dependiente de ladiferencia de temperatura entre fuentes caliente y fría.

Evoluciones:Cuando un sistema evoluciona, cambia. Cambia de lugar, de composición o de tem-peratura. Todos los fenómenos naturales se traducen en cambios. El vapor se calien-ta, se enfría, se condensa. Los gases se dilatan o se contraen. Los cuerpos se mue-ven, caen suben o bajan. Los seres vivos nacen, crecen y mueren

6.

Por el contrario, los sistemas inanimados evolucionan siempre espontáneamentehacia estados de mayor equilibrio: los cuerpos caen hacia abajo porque así van haciauna situación de menor energía potencial, que es en definitiva una situación de mayorequilibrio. De la misma manera el calor fluye de la fuente caliente a la fría. El azúcaren una taza de café tiende a difundirse por todo el café, porque es la situación demenor energía. Una ráfaga de viento desordena las hojas secas apiladas por el jardi-nero.

Nunca se ha observado que a partir de una taza de café dulce se forme en su fondoun terrón de azúcar y el café pase a ser amargo. Nunca se observó que espontánea-mente el viento apile las hojas secas de la plaza en montones ordenados. Nunca seobservó que se enfríe la pava y se caliente la hornalla.

Se admite sin embargo que estos ejemplos “al revés” tengan una remota probabilidadde ocurrir. Pero es tan escasa que si alguien afirma que un hermoso cuadro es pro-ducto del azar al caerse del estante algunos frascos de pintura, será llevado al mani-comio o a la cárcel.

Lo anterior nos muestra que evolución espontánea implica desorden, o lo que es lomismo, que ordenar un sistema requiere algo que está afuera del mismo. Un sistemainanimado como el universo requiere pues naturalmente una fuerza ordenadora exte-rior. Evidentemente esa fuerza ordenadora emana del Creador, único motor inmóvilcapaz de ordenar sin desordenarse él mismo, al decir de Santo Tomás.

Es frecuente en el estudio de la Termodinámica que, como en este caso, se llegue pornecesidad en forma mucho más manifiesta que en otras ciencias al Principio Único, osea a Dios. La Termodinámica es, desde este punto de vista, una ciencia de categoríasuperior, que se roza con la Filosofía y la Metafísica. Sus principios, no demostrables,existen y se cumplen siempre en todo el universo. Sirven para contrastar cualquier

6 Solamente los seres vivos pueden evolucionar hacia situaciones de menor equilibrio.La vida es eso: escalar hacia estados de organización y funcionamiento difíciles einestables, que van en contra del estado de equilibrio por antonomasia: la muerte.

168

teoría. Decía nuestro querido profesor Staricco que cuando una teoría falla o unahipótesis hace agua, es casi seguro que contradice alguno de los principios de laTermodinámica.

Evoluciones reversibles: sucesión de estados de equilibrioUn sistema está en equilibrio interno cuando sus partes cesan de intercam-biar energía. El equilibrio con el medio externo también se caracteriza por lacesación de intercambio de energía entre sistema y medio. Desde ese puntode vista, una evolución interna o contra el medio de un sistema en equilibrioes imposible porque la fuerza o tendencia impulsora7 es precisamente elapartamiento del estado final.

Carnot reconoció estos hechos en la teoría de la máquina de vapor a travésde una ley inexorable de la Naturaleza: la transformación espontánea de unsistema es irreversible, es decir que avanza en un sentido que no admitemarcha atrás. Esta evolución sin posibilidades de volver por donde vino,importa una pérdida de calidad en el sistema que es tanto mayor cuánto másalejado esta del punto de equilibrio. En el caso de una máquina térmica, lairreversibilidad de su ciclo significa un peor aprovechamiento del calortransformado en trabajo.

Para mejorar este aprovechamiento Carnot inventó una máquina de rendi-miento óptimo, haciéndola funcionar con evoluciones que no se apartaransensiblemente del estado de equilibrio. La sucesión de estados de equilibrioque comportan este tipo de evoluciones las hace reversibles, porque la fuer-za impulsora es casi nula y puede insensiblemente hacerse de signo contra-rio invirtiendo así el sentido de la transformación sin saltos.

Las evoluciones reversibles o en estado de equilibrio son las únicas que enrigor pueden representarse por una sucesión de puntos en el diagrama (p,vpor ejemplo). Cada punto corresponde a las coordenadas de presión , volu-men y temperatura iguales para todas las porciones del sistema en un ins-tante. Por el contrario, el estado de un sistema no homogéneo, en el que hayporciones con un par de coordenadas y otras con otro, no es representablepor un punto, ni su evolución con una línea. Algunos prefieren dibujar unamancha y una línea borrosa, que abarque la zona probable o el estado pro-medio del sistema. Otros prefieren una línea punteada. Si la evolución estámuy alejada del equilibrio, deben indicarse los estados inicial y final del sis-tema, prescindiendo de los intermedios, que son irrepresentables con puntoso líneas.

7 Los anglosajones llaman “driving force” a esa fuerza propulsora de la evolución del

proceso en cuestión. Por ejemplo la “driving force” de una transmisión de calor es ladiferencia de temperatura entre fuente y sumidero. La de un proceso de convección esla diferencia de densidad.


Generalmente una evolución reversible se ejemplifica con una evolución muylenta. Esto es así porque la rapidez o brusquedad en la evolución de unsistema implica inhomogeneidades y fenómenos transitorios que consumenenergía. Por ejemplo, la compresión brusca de una masa de gas en un cilin-dro por un pistón que avanza rápidamente supone una zona más comprimi-da en la vecindad de éste. Esa onda de presión se propaga por el sistemagenerando una oscilación que en definitiva se amortigua con disipación deenergía. Una compresión lenta da tiempo a que a cada posición del pistóncorresponda un gas homogéneo en todo el cilindro.

Después de Carnot vinieron otros que reconocieron que la irreversibilidad era siempresinónimo de ineficiencia y desorden, no solo para una máquina térmica sino paracualquier sistema. Desorden, ineficiencia e irreversibilidad son conceptos cuantificadospor una función termodinámica llamada Entropía, de la que nos ocuparemos a conti-nuación, en forma sucinta, y con todo detalle al tratar el ciclo de Carnot.

La entropíaUn físico-matemático polaco seguidor de Carnot, Rodolfo Julio Emanuel Clausius(1822-88), descubrió la manera de medir el desorden a través de la teoría de la má-quina de vapor. Encontró que la suma de las cantidades de calor transferidas divididaspor la respectiva temperatura absoluta a la que se realizan, dan cero en el caso deciclos reversibles, como el de Carnot. Si todo o parte del ciclo es irreversible, esasuma da menor que cero. Ese hecho lo llevó a relacionar reversibilidad con esa fun-ción que es nula en un ciclo reversible y a la que llamó con la palabra entropía

8.

Se designa a la entropía normalmente con la letra S. Así, se define matemáticamentea la variación de entropía de una evolución reversible en la que de transfiere unacantidad de calor ∆Q a la temperatura absoluta T como el cociente: ∆∆S=∆∆Q/T

9

La entropía pasó a ser más que una mera variable físico-matemática y pronto fuerelacionada con un concepto probabilístico gracias a los trabajos de Boltzmann yMaxwell sobre gases, de los que ya hablamos en esta obra. Ambos estudiaron a losgases desde el punto de vista microscópico. Sabían que estaban formados por enjam-bres de partículas (moléculas) que chocaban ente sí desordenadamente. Asemejarona un sistema de gran cantidad de partículas en movimiento interactivo a un bolillerocon gran cantidad de bolillas. Estudiaron como se distribuirían esas bolillas en catego-rías según su energía cinética. Para ello, no podían calcular la velocidad y situación delas bolillas/moléculas siguiendo a cada una de ellas como se podría hacer si fueranunas pocas bolas de billar en la mesa durante una carambola: eran demasiadas bolasde billar para hacer semejante cálculo.

En cambio emplearon un método estadístico, tratando de calcular qué porcentaje deltotal de moléculas tendrían velocidades comprendidas entre dos límites determinados.

Así llegaron por vía puramente teórica a la ya vista ley de distribución de las veloci-dades o energías de las moléculas de un gas. La teoría de Maxwell y Boltzmann coin-cidía bastante bien con los resultados de experimentos con gases reales.

8 La etimología de entropía recuerda a tendencia o dirección (tropos)

9 Este tema se trata más adelante en el párrafo “Ciclos reversibles – Función entropía”

170

Resultó que de esos estudios, que la probabilidad que un enjambre de partículastuviera una determinada distribución de velocidades estaba relacionada con la entro-pía, ya que ambas, probabilidad y entropía, aumentaban con la evolución natural delsistema hacia su destino final de equilibrio. Efectivamente, ese estado final suponíaprobabilidad máxima.

Y así la entropía tuvo además de la interpretación macroscópica de Clausius, unainterpretación fina o microscópica, que la relacionaba con el estado de caos natural delos sistemas inanimados de muchas partículas.

Cuando se desarrolló la teoría de la información gracias a los trabajos del ingenieroelectrónico norteamericano Claude B. Shannon (1948) se generalizó aún más el con-cepto de entropía.. Información es la forma o configuración que toma una noticia omensaje. Información es lo contrario a desorden, caos o ruido en los datos: así serelaciona a la degradación que sufre un mensaje con el aumento de entropía. Peroesto es otro tema que está desarrollado al tratar sobre la transmisión de informaciónpor ondas electromagnéticas.

La máquina de CarnotEn la época de Carnot era ampliamente conocida la máquina de vapor per-feccionada por el ingeniero escocés James Watt en 1765, sobre anterioresingenios de los ingleses Savery y Newcomen10.

La máquina de vapor transformó la industria del mundo. Impulsó barcos y moviómáquinas de todo tipo, reemplazando a las velas, molinos, bueyes, caballos y....... a la mano de obra humana. Inició así la revolución industrial, con sus ventajase inconvenientes. Un tema muy interesante, que seguramente estudiarán en loscursos de Historia.En Física nos ocuparemos de otra revolución paralela y no menos importantecausada también por la humeante máquina de Watt: El Segundo Principio

Descripción y principio de funcionamiento de una máquina de vaporalternativa.

La máquina de vapor alternati-va de Watt consta de un cilin-dro en el que se desliza unémbolo o pistón desde uno aotro extremo. El pistón, en sumovimiento alternativo accionauna rueda o volante medianteun mecanismo de biela-manivela. El cilindro comunicacon la parte superior de unrecipiente con agua cerrado

10

En las primitivas máquinas de Savery y Newcomen el vapor llenaba un cilindro queluego se enfriaba. Watt introdujo el concepto de mantener el cilindro a temperaturaconstante, haciendo evolucionar al vapor fuera de éste, y eventualmente condensán-dolo en un recipiente aparte. Ello permitía un ciclo más rápido y ágil.

ESQUEMA DE UNA MÁQUINA DE VAPOR DE DOBLE EFECTO

caja de válvulas

crucetavástago

biela

volante

salida

entrada de vapor

manivela o cigüeñal

cilindro

corredera de regulación

pistón


que se calienta con fuego: es la “caldera” que produce vapor de agua caliente a pre-sión (por ejemplo 10 atm), que es el agente motriz. Cuando el pistón está en un ex-tremo del cilindro, el vapor entra por allí a través de la válvula de admisión y desplazaal pistón hacia el otro extremo. Antes de llegar a él se cierra la válvula de admisión yse aprovecha la expansión del vapor que entró hasta ese momento. La expansióncontinúa hasta que el pistón llega al fin del cilindro. Impulsado por la inercia del volanteel pistón vuelve en sentido contrario y barre a través de la válvula de escape al vapor“usado”, el que escapa al aire o mejor va a un condensador. El ciclo recomienza cuan-do el pistón vuelve a encontrarse en el extremo primero, cerrándose la válvula deescape y abriéndose la de admisión. La apertura y cierre cíclico de las válvulas olumbreras (orificios de entrada o salida de vapor) están comandadas por un mecanis-mo de biela manivela secundario desfasable a voluntad con respecto al principal

11. En

las máquinas de doble efecto, el vapor entra alternativamente por uno y otro extremosdel cilindro, mejorando así su uniformidad de marcha.Desde sus comienzos la máquina de vapor fue objeto de continuos perfeccionamien-tos en los materiales, forma, diseño y acabado de sus órganos (pistón, cilindro, biela,cojinetes, doble efecto, avance de admisión y del escape, etc.), mejoras en el ciclotérmico (agregado del condensador, aumento de la temperatura y calidad del vapor,etc.) y mejoras en los generadores de vapor o calderas y accesorios (bombas, contro-les, etc.).

Los trabajos de James Watt en tal sentidofueron tan importantes que a veces se lotoma como su verdadero inventor, eclip-sando a Savery y Newcomen..A Watt se debe un regulador centrífugoque aún se usa en las turbinas para man-tener la velocidad de giro independiente dela carga mecánica de la máquina. Cuandoésta disminuye la máquina tiende a acele-rarse, las bolas del regulador suben y através de un sistema de bielas tienden acerrar la válvula de entrada del vapor. Elfenómeno inverso ocurre cuando la máquina tiende a “quedarse” por el mayor esfuer-zo exigido.

Volver a vivirHasta mediados de este siglo se usaban comúnmentemáquinas de vapor alternativas en locomotoras de ferro-carril, barcos, grúas y bombas de agua. Los perfeccio-namientos del motor Diesel, de las turbinas de vapor y degas fueron desplazando a la máquina de pistón, másrústica y confiable pero más pesada y menos rendidora.Actualmente es muy raro ver alguna máquina de vaporen servicio regular salvo algunas locomotoras en ferroca-rriles turísticos, museos y otras curiosidades. Los quetenemos algunos años recordamos las impresionantes

11 Este mecanismo se debe al ingeniero inglés George Stephenson (1781-1848),

quién aplicó la máquina de vapor a los ferrocarriles. Con él no solamente se regula lavelocidad, sino que hasta puede invertirse la marcha.

REGULADOR DE WATT

VÁLVULAvaporde lacaldera

rueda de la máquina

vapor a lamáquina

172

locomotoras del “Ferrocarril Central Argentino” que arrastraban al “Rayo de Sol” a másde cien kilómetros por hora entre Buenos Aires y Córdoba.

Más historia:En la época de Carnot y a pesar de los progresos introducidos por Watt, las máquinasde vapor tenían dos defectos principales: eran mecánicamente imperfectas y aprove-chaban mal el calor del combustible (leña, carbón). Lo primero tendió a mejorar con laaparición de máquinas-herramienta más elaboradas para tornear los cilindros y pisto-nes, obra de mecánicos y artesanos. Asimismo, se avanzó en el estudio y conoci-miento de materiales, produciéndose piezas más resistentes y livianas. El mejor apro-vechamiento del calor surgió de los estudios que realizó Carnot, como se dijo antes.Fueron llevados a cabo tan magistralmente que trascendieron el área técnica, la ter-mología y la física misma. Llegaron a tocar los límites del conocimiento humano y loconmovieron profundamente. La técnica abrió las puertas a la metafísica y detrás de laTermodinámica apareció la refulgente firma del Creador. Ahora veremos cómo.

Las ideas de Carnot:Desde la época de Carnot no se ha avanzado substancialmente en el estu-dio teórico sobre la transformación de calor en trabajo. El inolvidable Ingenie-ro Adolfo Cattáneo, nos decía, allá por los años cincuenta, que Carnot lepuso la tapa al tema del calor, tan perfecta y acabada fue su obra.

El ingenio de Carnot es una máquina térmica reversible que transforma caloren trabajo mecánico (motor) o trabajo mecánico en flujo de calor (refrigera-dor), según el sentido de la evolución cíclica reversible de un gas ideal, limi-tado por dos isotérmicas y dos adiabáticas, como se muestra en el dibujo.

El cálculo nos enseña que en un diagra-ma p,v la curva representativa de unaevolución cualquiera p=f(v) entre dospuntos a y b delimita un área con el eje delos volúmenes dada por la integral ∫∫a,bp.dv .Ya vimos que ella mide el trabajo del sis-tema contra el medio. Si el área queda a laderecha de la evolución (por ejemplo en elcaso de que el volumen aumente) el tra-bajo es positivo, o sea que se entrega alexterior. Por el contrario, si cuando reco-rremos la curva vamos dejando el área a

la izquierda, el sistema recibe trabajo del exterior. Con este concepto de áreaorientada positiva o negativa, resulta que el trabajo neto ejecutado por ungas que recorre el ciclo cerrado en el sentido horario 1,2,3,4 será proporcio-nal al área rayada, resultado de restar la evolución 4,3,1 de la 1,2,3. Por serreversible, el ciclo cumplido al revés (4,3,2,1) supone que el medio suminis-tra ese mismo trabajo.

Durante la evolución isotérmica reversible 1,2 el gas recibe una cantidad de

isotérmica aT1

isotérmica aT2<T1ad

iab

átic

a

adia

bát

ica CICLO DE

CARNOTP

V

1

2

4

3

∆∆Q1

∆∆Q2


calor ∆∆Q1 de una fuente a temperatura T1. Esta cantidad de calor se trans-forma íntegramente en trabajo mecánico al expandirse entre v1 y v2. A partirde v2 se suspende el suministro de calor a la masa gaseosa, que sigue ex-pandiéndose adiabáticamente perdiendo así energía interna (y por endedisminuyendo su temperatura) hasta llegar al volumen extremo v3 a la tem-peratura T2. El trabajo suministrado por el gas al medio externo durante laevolución 2,3 es igual a la variación de energía interna entre T1 y T2. Desdeel punto 3 se inicia una compresión isotérmica hasta el punto 4 a costa detrabajo exterior, cuyo equivalente pasa al sistema sin que aumente la tempe-ratura T2 . El punto 4 donde termina esta compresión adiabática se elige demanera que pertenezca a la adiabática 4,1 , es decir que pueda cerrase elciclo con una evolución en la que se entrega trabajo exterior sin permitir elpaso de calor del gas al medio. En esta evolución adiabática 4,1 se alcanzanlas condiciones iniciales p1,v1 con un trabajo igual y de signo contrario al queel sistema suministrara al exterior en 3,4, ya que ambas son evolucionesadiabáticas entre temperaturas iguales. Resulta así que el trabajo neto queel gas entrega al exterior al recorrer el ciclo completo es la diferencia entre elcalor ∆∆Q1 que ingresa al sistema en 1,2 y el ∆∆Q2 que sale en 3,4

Una máquina que utilice este ciclo de evoluciones reversibles (sucesiones de estadode equilibrio) se puede materializar con un gas dentro de un cilindro cerrado por unpistón móvil. Éste entrega o recibe trabajo a través del clásico sistema biela manivela,que acciona un volante, destinado a acumular energía durante las evoluciones activas1,2 y 2,3 y devolverla al sistema en las compresiones 3,4 y 4,1 El calor entra y saledel sistema a través de las paredes del cilindro, que está rodeado de una cámara ocamisa. Mientras el gas evoluciona entre v1 y v2 la camisa se mantiene llena de unfluído a temperatura T1 que proviene de una caldera . Esta evolución 1,2 consiste enuna transmisión de calor desde el fluído al gas a través de las paredes del cilindro. Lavelocidad de este pasaje depende de la diferencia de temperatura entre fluídoportador del calor y gas que evoluciona dentro del cilindro. Esa diferencia implica unproceso irreversible, ya que no es una sucesión de estados de equilibrio, y quecomo se verá, atenta contra el rendimiento del ciclo. Por eso Carnot imaginó unaevolución suficientemente lenta como para que se pueda considerar prácticamentenula la diferencia de temperatura entre gas y fluído, ambos en equilibrio a T1. En 2 sedescarga la camisa del fluído portador del calor, el que vuelve a la caldera. El gassigue expandiéndose adiabáticamente, empujando el pistón hacia su punto muertoinferior en 3, y enfriándose a costa de su energía interna hasta T2<T1. En ese mo-mento, el volante de la máquina comienza a devolver parte de su energía acumulada,iniciando una compresión isotérmica, ya que la misma está acompañada de la circula-ción por la camisa de un fluído a temperatura T2, que proviene de un depósito distintoa la caldera. Dicho fluído extrae el calor Q2 desarrollado durante la compresión 3,4 ,que se desarrolla con las mismas características de reversibilidad que la expansión1,2, esto es a temperatura constante igual para gas y fluído. Por último, al llegar alvolumen v4 se vuelve a vaciar la camisa, quedando aislado el contenido gaseoso delcilindro. A partir de entonces y hasta el punto muerto superior 1, el pistón recibe tra-bajo del volante en forma adiabática elevando por lo tanto su temperatura hasta lainicial T1, estando entonces en condiciones de comenzar un nuevo ciclo.

El trabajo neto que entrega el motor de Carnot es la suma (diferencia de

174

valores absolutos) entre el calor ∆∆Q1>0 suministrado en la evolución 1-2 y elcalor ∆∆Q2<0 cedido en la 3-4, que de acuerdo a lo visto valen:∆∆Q1 = R.T1.ln(v2/v1) ∆∆Q2 = R.T2.ln(v4/v3)

El refrigerador de Carnot en cambio utiliza este mismo trabajo tomado desdeel exterior para “bombear" ∆∆Q1+∆∆Q2 desde la fuente fría a T2 hasta la fuentecaliente a T1

Se define como rendimiento termodinámico de una máquina térmica a larelación entre el calor transformado en trabajo y el calor que se extrae dela fuente caliente. En el caso del motor de Carnot su rendimiento es:

ν ν = (∆∆Q1+ ∆∆Q2) / ∆∆Q1 = 1 + (∆∆Q2 / ∆∆Q1 )Aplicando las relaciones deducidas para las transformaciones adiabáticas sedemuestra que, en las fórmulas anteriores de ∆Q1 y ∆Q2 es v2/v1 = v3/v4 conlo que el rendimiento anterior vale:

ν = (T1-T2)/T1 = 1 - T2/T1

Puede demostrarse que esta igualdad no sólo se cumple en el caso que elmedio que evoluciona sea un gas perfecto, sino también para cualquier otroagente que pueda evolucionar en forma reversible.

Teorema de Carnot

Carnot demostró también que el valor del rendimiento de su ciclo es el má-ximo alcanzable para una máquina térmica que funcione entre temperaturasextremas T1 y T2, y que ello ocurre solamente si las evoluciones que cumpleel agente son reversibles. En caso contrarío, si las evoluciones son irreversi-bles, el rendimiento será menor que el de la máquina de Carnot.

A esta conclusión se llega imaginando dos máquinasde Carnot Iguales, vinculadas mecánicamente através de un eje común, y térmicamente dependien-tes de las mismas fuentes fría y caliente. Sí una deellas funciona como motor y la otra como refrigera-dor, el balance entre los calores Intercambiadosentre máquinas y fuentes resulta nulo debido a serambas idénticas y reversibles. Ahora bien, supon-gamos que reemplazamos el motor de Carnot porotro que rinda más: un “súper-motor”

Como el trabajo mecánico transferido al refri-gerador es el mismo de antes, el mayor rendi-miento del súper-motor que lo suministra re-

presenta una menor cantidad de calor tomado de la fuente caliente, o unamenor cantidad de calor entregada a la fuente fría, o ambas cosas a la vez.En cualquiera de los casos, el balance calórico ya no cierra, y la fuente ca-liente recibe más calor del refrigerador del que entrega al motor. Asimismo lafuente fría recibe menos calor del motor del que bombea el refrigerador. En

FUENTE CALIENTE

FUENTE FRÍA

MO

TO

R

RE

FR

IG

aco

pla

mie

nto

mec

ánic

o


consecuencia la fuente caliente eleva su temperatura y la fría la disminuyesin que se entregue al sistema trabajo mecánico neto. Ello constituye endefinitiva un pasaje espontáneo de calor de la fuente fría a la caliente, nuncaobservado, lo que desacredita la hipótesis del “súper-motor” de mayor ren-dimiento que el de Carnot .

Si en vez de máquinas de Carnot se emplean otras que funcionen con ciclosreversibles, se puede descomponer éstos en ciclos parciales de Carnot,como se verá a continuación. Ello permite afirmar que sus rendimientosserán equivalentes.

Ciclos reversibles – Función entropíaSea un ciclo reversible de formaarbitraria que por lo visto tiene ren-dimiento máximo. Cortemos sudiagrama p,v con una familia de ncurvas adiabáticas, de manera decubrirlo totalmente con esta parti-ción. Luego formemos con dichasadiabáticas (n-1) ciclos de Carnotcon arcos de isotérmicas, compen-sando debidamente las áreas ence-rradas entre las adiabáticas, las

isotérmicas y las porciones del ciclo original, de manera que el área de éstesea igual a la suma de las de los (n-1) ciclos de Carnot., para cualquiera ycada uno de los cuales vale la siguiente :1 + ∆∆Q2/∆∆Q1 = 1 - T2/T1 de donde ∆∆Q2/T2 + ∆∆Q1/T1 = 0

Podemos sumar las expresiones idénticamente nulas de los (n-1) ciclos,caracterizando con exponente sup a la parte del ciclo perteneciente a la iso-térmica superior y con inf la parte correspondiente a la isotérmica Inferior; conel subíndice i caracterizando el número de ciclo correspondiente:

Para i=1 a (n-1) Σ (∆∆Qi/Ti)sup + Σ (∆ (∆Qi/Ti)inf = 0

Si hacemos tender a infinito la partición, las cantidades de calor ∆∆Q pasarána cantidades elementales dQ y las sumatorlas pasarán a integrales a lo largode la parte superior e inferior del contorno del ciclo original, con lo cual será:∫∫sup (dQ/T) + ∫∫inf (dQ/T) = 0

o sea que la integral a lo largo del contorno del ciclo cerrado será nula:

∫∫ (dQ/T)=0

A diferencia de la energía interna ∆∆U, la cantidad de calor ∆∆Q intercambiada en una

p

v

áreas igualesadiabáticas

isotérmicas

T1

T2

∆∆Q2

∆∆Q1

176

evolución depende del tipo de ésta, además de los estados inicial y final. Desde elpunto de vista matemático esto se compadece con el hecho de que Q no es una fun-ción potencial y por ende tampoco es susceptible de tener una diferencia exacta dQ.Así entonces ∫∫1,2dQ ≠≠ Q2-Q1 y en cambio ∫∫1,2dU = U2-U1

La expresión ∫∫(dQ/T)=0 indica que en una evolución reversible la cantidadsubintegral es una diferencial exacta, o sea que existe una función S tal quedS = dQ/T

Vimos ya que dicha función S se denomina entropía . Por ser una funciónpotencial su valor no depende de la evolución, sino del estado final e inicial

del sistema, es decir que se cumple: ∫∫1,2(dQ/T) = S2-S1

En matemáticas se usa el procedimiento de pasar de una función no potencial a otrapotencial, a través de la búsqueda de un factor (que a veces existe y otra no), quemultiplicado por el Incremento de la primera, la transforma en diferencial exacta. Seconoce con el procedimiento del factor Integrante.Así, la inversa de la temperatura absoluta es el factor integrante de la cantidad decalor

Combinando primero y segundo principios queda la expresión (válida única-mente para evoluciones reversibles) :

T dS = dU + p.dv

Entropía e irreversibilidadPara encontrar la relación macroscópica entre ambas, pensemos en un cicloformado por una transformación superior irreversible (de A a B) y cerrado porotra transformación reversible (de B a A). Como vimos, en rigor no se puederepresentar una transformación irreversible por una curva, así que la indica-remos con una línea gruesa difusa para significar estados no determinadoscon precisión. Como el ciclo tiene una parte irreversible, en conjunto tam-bién lo es. Siguiendo un desarrollo similar al de antes y descomponiendoeste ciclo en ciclos parciales de Carnot, vale para cada uno y cualquiera deellos:

1 + ∆∆Q2/∆∆Q1 < 1 - T2/T1

La anterior desigualdad responde a queel primer miembro es el rendimiento deun ciclo parcial que tiene una parteirreversible (la isotérmica a T1), mien-tras que el segundo miembro es elrendimiento de un ciclo de Carnot quefunciona entre las mismas temperaturasy por lo tanto es mayor. De la anteriorsale que ∆∆Q2/T2 + ∆∆Q1/T1 < 0 , y tam-

∆∆Q1

∆∆Q2

ΑΑ

ΒΒ

adiabática irreversible

evo

luci

ón

rev

ersi

ble


bién, razonando como antes se deduce que para un ciclo irreversible es:

∫∫ dQ/T < 0

La integral en un ciclo cerrado se puede dividir en dos integrales:

∫∫ dQ/T = A∫∫B dQ/T + B∫∫A dQ/T < 0y como la evolución de B hasta A es reversible, podemos poner que

B∫∫A dQ/T = SA-SB , y entonces

∫∫ dQ/T = A∫∫B dQ/T + SA-SB < 0

Ahora bien: supongamos que la primera evolución irreversible se realizarasin intercambio de calor con el exterior (adiabática irreversible). Se podríatratar por ejemplo, de una rápida compresión. Su rapidez cumpliría dos fun-ciones: la de no dar tiempo al intercambio de calor con el exterior, y la degenerar inestabilidades e inhomogeneidades en el sistema, propias de lasevoluciones irreversibles.

Seria en tal caso dQ=0 y por lo tanto A∫∫B dQ/T = 0 Además, en la evolcuión reversible desde B hasta A resulta:

B∫∫A dQ/T = SA-SB < 0 con lo que SB > SA

Esta desigualdad indica que la entropía en sistemas aislados que evolucio-nan en forma irreversible va en aumento. Este proceso de aumento es pro-porcional a la irreversibilidad de las evoluciones que se llevan a cabo en elseno del sistema en cuestión.

Entropía. y metafísicaSi consideramos que el sistema aislado en cuestión puede ser el universo

mismo, la termodinámica está en condiciones de afirmar que la entropía del cosmosdebe ir en aumento, ya que las transformaciones espontáneas que en él ocurren sonpasos irreversibles hacia el equilibrio entre sus partes. Es imaginable que en un tiem-po suficientemente largo se llegue al equilibrio térmico en todo el universo, si se ad-mite que éste es realmente un sistema aislado. La entropía habrá llegado al máximoposible.

En tal estado de temperatura uniforme, ninguna transformación será posible.El hecho de que ahora se produzcan evoluciones indica que no estamos en equilibrioy por lo tanto el universo no tiene edad infinita ni existió desde siempre, ya que de serasí habría llegado al equilibrio.

Otra consideración que se deduce de este esquema termodinámico del uni-verso es que el aumento de entropía actual permite remontarnos hacia atrás e imagi-nar el momento de la Creación, en la que Dios puso el reloj en S = 0.

Resulta así que el Segundo Principio de la Termodinámica, nacido de lapreocupación por mejorar el rendimiento de resoplantes máquinas, se transformasutilmente a través de los razonamIentos de Carnot y Clausius en la mágica funciónEntropía, cuya evolución rige todo proceso espontáneo existente, y que como se havisto nos plantea cuestiones que trascienden a la ciencia y a la técnica.

178

Fluidodinámica

Primer principio para sistemas abiertos

Para prepararse para el conocimiento de la fluidodinámica, resulta oportunoplantear el primer principio de la termodinámica en sistemas abiertos, esto esen los que intercambian materia con el exterior.

Imaginemos un fluído que atra-viesa un tubo de sección gene-ralmente variable, de paredesimpermeables a la materia y alcalor, con un motor térmico en suinterior que ejecuta un trabajo Lm

hacia el medio exterior a expen-sas de la energía del sistema.Consideremos el funcionamientodel sistema en estado de régi-men, es decir en el cual todo el

fluído que entra por la sección 1 sale por la 2 (no hay acumulación ni enrare-cimiento de materia en su interior).Además sea Q el calor del exterior que el sistema recibe por cada Kg defluído que circula. Aplicando la fórmula del primer principio seráQ – L = U2 - U1

Debemos considerar que el trabajo total L desarrollado por el sistema estácompuesto por los siguientes términos:• El trabajo que entrega el motor Lm

• La energía necesaria para acelerar la unidad de masa del fluído desdela velocidad de entrada VV1 hasta la de salida VV2,

• La energía necesaria para elevar cada Kg de fluído desde el nivel deentrada h1 al de salida h2

• El trabajo necesario para introducir un Kg de fluído de volumen específi-co v1 a la presión p1 y extraerlo a la presión p2 y volumen específico v2.Como vimos este término es el trabajo de circulación Lc = p2v2 - p1v1

De tal manera es L = Lm + ½ (VV22-VV1

2) + g.(h2-h1) + p2v2 - p1v1 , lo quereemplazado en la expresión del primer principio nos da:

Q + U1 +½ VV12+ g. h1 + p1v1 = U2 + ½ VV2

2+ g. h2 + p2v2 + Lm

Si de esta ecuación general eliminamos los términos calóricos, nos queda

Q

Lm

h2VV1

VV2

S1

S2

h1


una ecuación de conservación de energía mecánica:½ VV1

2+ g. h1 + p1v1 = ½ VV22+ g. h2 + p2v2 + Lm

y si el sistema no ejecuta trabajo hacia el exterior, resulta½ VV2+ g. h + p.v = constanteecuación que se atribuye al físico suizo Daniel Bernoulli (1700-1782) del queya hemos hablado al tratar la teoría cinética de los gases.

La fórmula anterior para el caso de gases perfectos se transforma en½ VV2/g + h + R.T/g = constante.

Mecánica de los fluídos incompresibles (Hidrodinámica)

Para líquidos incompresibles el volumen específico v (de 1 Kg de fluído)se mantiene constante en razón precisamente de su incompresibilidad, y esla inversa de la densidad v=1/δδ . Así resulta la ecuación de Bernoulli de lahidrodinámica:½ VV2/g + h + p/(δδ.g) = constante, o bien, para δ.δ.g = ρ ρ (peso específico)

VV2/2/g + h + p/ρ =ρ = cte

Presiones dinámica y estáticaAl primer término VV2/2/g se lo denomina usualmente “altura dinámica”, o “altura develocidad” . Multiplicado por el peso específico nos da la “presión dinámica” del fluído,mientras que p es la “presión estática”, que ejerce el fluído sobre las paredes del tubopor donde circula. En un chorro libre, o en un tubo de corriente es p=0

La ecuación anterior, es válida cuando la circulación del fluído incompresiblese realiza sin realizar trabajo hacia el medio exterior, sin que haya fenóme-nos calóricos (Q=0 , T=cte), y sin pérdida de energía (evolución reversible).Esta condición de reversibilidad se cumple sólo si el movimiento del fluído selleva a cabo sin rozamientos dentro de la propia masa y contra las paredesdel tubo, y sin choques o remolinos en los que la energía cinética es irrecu-perable en mérito al desorden que implican estos fenómenos típicamenteirreversibles.

Gasto – Ecuación de continuidad

Además de la ecuación de Bernoulli, que implica conservación de la energía,siempre se cumple en el movimiento de los fluídos incompresibles el princi-pio de conservación de la masa, es decir que la cantidad de fluído que ingre-sa por unidad de tiempo a una porción del sistema es la misma que la quesale de ella12. A esta cantidad se la llama gasto en la jerga técnica de los

12

Si los fluídos son compresibles (gases o vapores), la conservación del gasto puede

180

hidráulicos. El gasto G[Kg/s] se mide por el flujo de la velocidad VV delfluído de densidad δδ a través de una sección cualquiera de área S por la quepase todo el fluído. Matemáticamente hablando es G = S.VV.δδ.cos (αα) ,siendo αα el ángulo que forman entre sí la normal a la superficie consideraday la dirección de la velocidad.

Noción de tubo de corrienteEl tubo por donde circula el fluído objeto de nuestras deducciones anteriores,puede no ser necesariamente un conducto con paredes materiales, basteque sobre la superficie de ellas (de existencia física o virtual) no pueda entrarni salir fluído. Ello significa que de acuerdo al concepto de flujo de corriente,éste debe ser nulo sobre las paredes del tubo y por lo tanto la velocidad delfluído debe ser paralela a las paredes de este tubo, formando así lo que sellama “tubo de corriente”. Sobre tubos de corriente se pueden aplicar losconceptos de conservación de masa y energía que dan origen a las fórmulasde continuidad y de Bernoulli.

Ejemplo: Estudiar el movimiento del fluídoen un vaso con un orificio en su pared.Suponiendo que el agua del vaso de secciónS1 sale sin rozamientos por el orificio desección S2 , podemos aplicar la ecuación deBernouilli entre la superficie, a nivel h1 queestá a la presión atmosférica p1=H , y elpunto de salida, a nivel h2 a la misma presiónexterior p2=H , resultando:½ VV1

2/g + h1 + p1/ρ =ρ = ½ VV22/g + h2 + p2/ρ , ρ , de

donde, reemplazando valores : ½ VV12/g + h1 + H/ρ =ρ = ½ VV2

2/g + h2 + H/ρ ρ , o sea

VV22-VV1

2 = 2.g (h1-h2) de donde VV22 = 2.g (h1-h2) + VV1

2 [1]Ahora bien, aplicando la ecuación de continuidad en las secciones de la superficielibre S1 y en la del orificio de salida S2, en las que supondremos a las respectivasvelocidades del fluído VV1 y VV2 uniformes sobre las superficies y normales a las mis-

mas (αα=0) , resulta G1=G2=G, o sea S1.VV1=S2.VV2 de donde VV1=G/S1 y de acuerdo a

[1] resulta VV22 = 2.g (h1-h2) + G2/S1

2

Como también G=VV2.S2 resulta G2 = 2.g (h1-h2) / (1/S2

2-1/S12)

Si el orificio es muy pequeño con respecto a la superficie del vaso, es decir S2<<S1,podremos poner que el denominador de la expresión anterior vale(1/S2

2-1/S12)ª 1/S2

2 ,con lo cual (GS2)

2 = 2.g (h1-h2) = VV22 , de donde la velocidad de salida es la de caída

libre de un cuerpo desde h1 hasta h2, vale decir: VV2 = [2.g.(h2-h1)]½

no cumplirse momentáneamente bajo regímenes no permanentes (no “estables” con eltiempo).

VV =÷2.g.h

h =h1-h2

h1

h2

S1

S2


En la figura se muestran en rojo las trayectorias que siguen laspartículas del fluído dentro del vaso del ejemplo. Son las líneasde corriente, que delimitan los tubos de corriente en un movi-miento sin torbellinos, dentro de los cuales son aplicables lasecuaciones de continuidad y de Bernoulli. En azul se muestranlíneas que corresponden en tres dimensiones a superficiescortadas perpendicularmente por los vectores velocidad, esdecir que son atravesadas por el mismo flujo. Desde el punto devista matemático, esta familia de curvas de igual flujo y de velo-cidad corresponden respectivamente a superficies de igual

potencial ΦΦ cuyo gradiente es la velocidad, es decir VV=—ΦΦ

Viscosidad de los fluídos

Vimos que entre las partículas de un fluído no hay vínculos que permitan,como en los sólidos, transmitir esfuerzos estáticos de corte. En cambio,cuando en un fluído hay dos capas con diferentes velocidades, se estableceuna fuerza de arrastre entre ellas con una intensidad proporcional a la su-perficie de las capas, a la diferencia de velocidad, e inversamente proporcio-nal a la distancia que las separa. Esta suerte de fuerza de corte interna entre

capas del fluído en movimiento sellama fuerza viscosa13.

F = ηη.S.dVV/dy

La constante ηη es la viscosidad del fluído , que de acuerdo a la fórmula ante-rior queda definida como la fuerza de arrastre en el sentido de la velocidadrelativa entre dos capas de superficie unitaria por unidad de distancia que lassepara y por unidad de velocidad relativa. La viscosidad se mide por lo tantoen N/m2/(m/s/m) = [Ns/m2]. El término dVV/dy es el gradiente de la velocidaden el sentido perpendicular a la misma.

La unidad de viscosidad que se emplea comúnmente es el centipoise, quees la centésima parte del poise14, unidad derivada del sistema cgs :1 poise = 1 dina.s/cm2 = 0,001 Kg x 0,01 m/s2 x 1s /0,0001 m2 = 0,1 Ns/m2

1 centipoise = 1 cp = 10-3 N.s/m2 . El agua a 20ºc tiene aproximadamenteuna viscosidad de 1 cp

La viscosidad de los fluídos depende de la temperatura. En los líquidos dis-minuye y en los gases aumenta, como se ve en la siguiente tabla:

13

Del latín viscosus que significa pegajoso.14

En honor al físico y fisiólogo francés J. Poiseuille (1799-1869) quién estudió elmovimiento laminar de fluídos.

Campo de velocidadesen el vaso del ejemplo

VV+dVVVVdy

SF

182

Tablas de viscosidades de diferentes fluídos y su dependencia con la temperatura (cp)FLUÍDOØ | tempÆ -10ºC 0ºc 10ºC 20 ºC 30ºC 50ºC 100ºCagua -- 1,7 1,3 1 0,6 0,55 0,28glicerina (100%) 1000 900 800 700 140 100 15querosén 5 4 3 2,5 2,2 1,5 0,6mercurio 1,8 1,7 1,6 1,55 1,5 1,45 1,3aire a pr.atmosf. 0,016 0,017 0,0175 0,018 0,0185 0,019 0,022

Otros valores de viscosidad15

Aceite mineral liviano a 15ºC 10/12 cpAceite mineral pesado a 15ºC 50/50 cpHielo (en glaciares) 109 cpVidrio común a 580 ºC 108 cp

Movimientos laminar y turbulento – Número de ReynoldsCuando un fluído circula según el modelo que permitió deducir el teorema deBernoulli, es decir cuando las líneas de corriente corren ordenadamente sinmezclarse, delimitando los famosos tubos de corriente, puede definirse unafunción potencial ΦΦ cuyo gradiente es la velocidad, como ya se vió. Este tipode movimiento se llama laminar, y en general está caracterizado por veloci-dades bajas y grandes viscosidades. Cuando el fluído corre superando ciertavelocidad promedio crítica, el movimiento deja de ser laminar. No se puedendefinir claramente líneas de corriente aplicables a todo el fluído porque lastrayectorias que siguen las partículas se cruzan y configuran una red detrazos con vueltas o torbellinos, que varían continuamente de forma y posi-ción. Se dice que en este caso el fluído está en régimen turbulento. Losestudios realizados por el ingeniero irlandés O. Reynolds (1842-1912), per-mitieron relacionar el estado laminar o turbulento en la circulación de unfluído con un parámetro sin dimensión llamado en su honor “Número deReynolds”, definido por Re = VV.D.δδ/ηη , donde

VV = velocidad media característica del movimiento en m/sD = dimensión en m representativa del sistema en el que se realiza el fenómeno (diá-

metro del conducto para circulación en tubos, diámetro de la partícula en estudiosde arrastre de sedimentos, etc)

δδ = densidad del fluído en Kg/m3

ηη = viscosidad del fluído en N.s/m2

Cuando el movimiento de un fluído tiene un número de Reynolds caracterísi-tico menor que 3000 puede considerarse laminar. Para Re=3000 se está enun estado límite, entre laminar y turbulento. Con Re>3000 el movimientoestá caracterizado por líneas de corriente arremolinadas.

La determinación del estado de régimen (laminar o turbulento) es muy im-

15

El hielo en glaciares se funde por la presión de las capas superiores y el conjuntofunciona como un fluído de viscosidad elevada. El vidrio fluye aún a temperatura am-biente: los cristales en las ventanas añosas tienen mayor espesor en la parte inferior.


portante para determinar la resistencia a la circulación de fluídos por con-ductos o canales y el efecto de arrastre sobre objetos en la corriente.

Circulación por un tubo en régimen laminarSea un fluído que circula por un tubo de radio R en régimen laminar debido aun gradiente de presión Π Π = ∆∆P/∆∆x constante en el sentido del eje x del tubo.Debido al efecto de la viscosidad, la capa de fluído pegada a las paredestiene velocidad nula. Las capas concéntricas hacia el centro poseen veloci-dades crecientes hasta llegar al eje del tubo, donde la velocidad del fluído esmáxima.Para deducir la función de distribución de esas velocidades, consideremos,recreando el razonamiento de M. Poiseuille, que cuando el régimen es esta-

cionario, esto es sin aceleraciones, lafuerza viscosa F que se genera en cadaaro (coloreado celeste en la figura) deancho dx y radio r debe equilibrarse conla fuerza generada por la diferencia depresión sobre la sección A=ππ.r2 (discosen verde). Así, en una superficie cilíndri-ca dS a la distancia r del eje del tubo esdF =ηη.dS.dVV/dr16 para dS=2.π.π.r.dx (arosen celeste) , resultando entonces:dF = ηη.2.π.π.r.dVV/dr.dx = ππ.r2 ΠΠ.dx

De esta fórmula obtiene el gradiente de velocidades dVV/dr , al que asigna-remos signo negativo por que la velocidad disminuye con la distancia al ejedel tubo, según lo dicho. Así entonces es: dVV/dr = - ΠΠ r / (2η)η) , la que inte-

grada da V=- Π/(2η).r2/2 + K . Para r=R es V=0 de donde K=Π/(2η).R2/2 yentonces VV(r) = ΠΠ/(4ηη) (R2-r2) (Fórmula de Poiseuille)que es una parábola con un máximo en el centro del tubo.

Para calcular el flujo total, debemos integrar la velocidad por la sección des-de r=0 hasta r=R , resultando asíF=o! R 2.ππ.VV(r). r..dr = ΠπΠπ/(2ηη) o! R (R2-r2) r..dr = π.Π.π.Π.R44/(8ηη) ,

Introduciendo VVm como la velocidad media, resulta por definición F=ππR2VVm ,de donde VVm=Π.Π.R22/(8ηη) , y la caída de presión por unidad de longitud viene

dada por Π Π = ∆∆P/∆∆x = (8ηη)/R22VVm

Si se desea expresar la anterior en función del número de ReynoldsRe=VV.D.δδ/η η para D=2.R resulta ΠΠ = 32ηη/D22VVm = ρρ/D.(64/Re)..[VVm

2/2/g]

16

Los vectores en rojo del dibujo corresponden a la fuerza viscosa sobre una fraccióndel anillo, por lo cual se los ha definido como diferencial de segundo orden d2F, siendodF=!d2F

dr

dx

d2F

rR x

d2FVV

184

Los hidráulicos llaman a ΠΠ “pérdida de carga unitaria”, y es la diferencia de presiónque presenta un líquido por unidad de longitud al circular por un conducto. Multiplicadapor el flujo de fluído y por la longitud recorrida da la potencia perdida en el escurri-miento. La pérdida de presión entre los extremos del conducto o la canalización es porotra parte la responsable de la circulación del mismo a la velocidad media Vm, en vezde un movimiento acelerado, que sería el caso si no existiera la resistencia viscosa.

Ejemplo: Un tambor cilíndrico de eje vertical deDT=1m de diámetro está lleno hasta una alturah=(z3-z2)=0,5m de miel de abejas, de densidadδδ=1100 Kg/m3 y viscosidad ηη=300 cp (0,3Ns/m2). La miel cae hacia los frascos por un tubovertical que sale hacia abajo desde el centro delfondo del tanque de ∆∆x=(h2-h1)=6 m de altura yD=2 cm de diámetro. ¿Cuánto tiempo se tardaen envasar toda la miel, suponiendo que no hayque cortar el chorro entre frasco y frasco.? Con-siderar régimen laminar y verificar luego esto.

Análisis preliminar: (hecho por Bzz, una abejaobrera que está haciendo una maestría en fluí-dos viscosos): La miel circula sucesivamente pordos conductos: el tanque y el tubo. Al paso porambos pierde energía por efecto viscoso. Tam-

bién pierde energía en el cambio de sección entre tanque y tubo de descarga (pérdidapor embocadura). Considerando que el recipiente es de mucho mayor diámetro que eltubo, se puede despreciar en principio la pérdida de carga en aquél en mérito a suescasa velocidad. En cuánto a la pérdida por embocadura, Bzz asegura que es sóloconsiderable cuando el movimiento es turbulento. En tal caso la diferencia de presiónque impulsa el líquido a través del tubo, será la que hay en la base del recipiente másla del extremo inferior de salida menos la atmosférica de salida. En la base del reci-piente hay una presión, de acuerdo al teorema general de la hidrostática, igual a laaltura h del líquido en este por su peso específico ρ=δ.ρ=δ.g, más la presión atmosférica Hque se ejerce sobre la superficie libre. Ahora bien, durante el proceso de vaciado, elnivel h del líquido en el tanque disminuye, por lo que la presión de impulsión irá dismi-nuyendo y consecuentemente lo mismo hará la velocidad de escurrimiento. Habrá quededucir pues una expresión de la velocidad media VVm con la altura h del fluído en elrecipiente.Solución : Vimos que ∆∆P//∆∆x = 32.ηη/D22VVm , por otra parte es ∆∆x=6m, y además

∆∆P = H + δδ.g.(h+∆∆x)- H = δδ.g.(h+∆∆x) de dondeVVm = ∆∆P D22/∆/∆x /(32.η)η)= δ δ.g.(h+∆∆x).0,022/6/(32x0,2)=

[1100 Kg/m3 x9,8 m/s2 x0,022m2/6m/32/0,3 Ns/m2].[h+∆∆x] = 0,075 [h+∆∆x] (m) [m/s]

Es decir que en un primer momento la miel fluye por el caño de descarga a0,075x6,5=0,49 m/s

El volumen total de miel a desagotar es ππ.12/4x0,5 = 0,3927 m3 (432 Kg)

La ecuación de continuidad exige que las velocidades en el tubo y en el tanque esténen razón inversa a la de sus respectivas secciones, así que llamando VVT = -dh/dt a la

h2=0

h3=+0,5m

h1=-6m

H

H

∆∆x


velocidad en el tanque de diámetro DT será VVT/VVm=(D/DT)2=0,0004 de donded(h+∆∆x)/dt = -0,0004x0,075(h+∆∆x) = -3x10-5 (h+∆∆x). Integrando esta expresión yponiendo x=h+∆∆x nos queda ln(x) = -3x10-5t +KCuando t=0 es h=+0,5 y x=6,5 de donde K=ln(6,5).Así entonces es t = -1/3x105.ln(x/6,5)El tiempo que tarda en vaciarse el tanque corresponde a h=0, x=6 , o seat = -1/3x105.ln(6/6,5) = 267 s = 4,45 minutos

Otro: En días cálidos la misma operación se hace en menor tiempo. Según Bzz sedebe a que la miel, como la mayoría de los líquidos, disminuye la viscosidad con latemperatura. ¿Cuál será la viscosidad cuando el mismo tanque se vacía en 3 minutos(180s)?.

Respuesta: el tiempo es inversamente proporcional a la velocidad de escurrimiento,que de acuerdo a lo visto vale: VVm = ∆∆P D22/∆/∆x /(32.η)η) , o sea que el tiempo es direc-tamente proporcional a la viscosidad. De tal manera si t1 y t2 son los tiempos quetarda el envasamiento con viscosidades ηη1 y ηη2, resulta t1/t2=ηη1/ηη2 , de dondeηη2 = ηη1.180/267 = 202 cp

Vicosimetros: Son aparatos que miden la viscosidad, muchos de ellos(Ostwald, Saybolt) en base a la medida del tiempo de escurrimiento de líqui-dos en condiciones normalizadas, como se explica en el ejemplo anterior.Otros aparatos se basan en la medición directa de la fuerza entre dos super-ficies que se desplazan a velocidad relativa constante separadas por unadistancia fija llena del líquido cuya viscosidad se desea medir.

Escurrimiento con pérdida de carga

En la figura se representa un dispositivo para estudiar el escurrimiento conpérdida de carga. Un tanque se mantiene a un nivel H constante gracias auna bomba y un rebalse. En su base tiene conectado un caño horizontal, dediámetro variable con tubos verticales adosados en los que el líquido tomauna altura H mientras la salida está cerrada (principio de los vasos comuni-cantes). Cuando se abre la salida, el líquido escurre por el caño horizontal a

Hy1

EVV I VV II

VVI2/2

/g

VVII2 /2

/g

∆∆x

y2

0 1 2 3

∆∆ p/ρρ pé

rdid

a p

or

en

sa

nc

he

pérdida porembocadura

186

velocidad VV y baja de nivel en los tubos hasta una altura y. Si no hubierarozamiento viscoso, se podría aplicar la ecuación de Bernoulli, y para lospuntos 0 en el recipiente y 1,2,3...en el caño, y se podría poner:½ VV0

2/g + h0 + p0/ρ = ρ = ½ VV12/g + h1 + p1/ρ =ρ = ½ VV2

2/g + h2 + p2/ρ = ρ = ½ VV32/g + h3 + p3/ρ ρ

Eliminando los términos h0 = h1 = h2 = h3 (el caño es horizontal) , conside-rando que en el recipiente es VV0=0 y p0=H.ρρ , y sabiendo que la presiónviene medida por la altura y en los tubos, o sea p = y.ρρ , resulta:H = VV1

2/2/g + y1 == VV22/2/g + y2 = = VV3

2/2/g + y3

De acuerdo a esto, ya que VV1=VV2 = VVI debería ser y1=y2 , sin embargo, seobserva en la práctica que entre ambos puntos hay una diferencia de nivelen los tubos que marcan la presión.

Si tenemos en cuenta que la ecuación de Bernoulli, por estar basada en elprincipio de conservación de la energía, no contempla pérdidas por roza-miento, podemos asignar esa diferencia de presiones ∆∆p=ρ=ρ(y1-y2) al roza-miento viscoso estudiado anteriormente.

Pérdida de carga en movimiento laminar

En efecto, para movimiento laminar (Re<3000) una medición en nuestroaparato verificaría la ya deducida expresión de Poiseuille: ∆∆p//∆∆x =32.ηη/D22VVm , la que también puede ponerse en función del término de veloci-

dad, o presión dinámica VV2/2/g, de la siguiente manera (compruébese)∆∆p/∆∆x = (64/Re).. ρ ρ/D [VV2/2/g] = j. ρ ρ/D [VV2/2/g]

Puesta en esa forma, la pérdida de carga se relaciona directamente con lapresión de velocidad referida al diámetro, ρ/ρ/D [VV2/2/g] a través de un coefi-ciente sin dimensión que para movimiento laminar vale j = 64/Re , llamadocoeficiente de resistencia.

Así, entre dos puntos de un conducto que distan ∆ ∆x vale la ecuación: VV1

2/2/g + h1 + p1/ρ = ρ = VV 22/2/g + h2 + p2/ρ + Π .∆ρ + Π .∆x

En particular, si la sección del conducto no varía en el tramo considerado, delongitud ∆∆ x, es (VV 1=VV 2=VV ) y la anterior queda:ρ.ρ.(h1- h2) + (p1- p2) = = j. ρ ρ/D [VV2/2/g].∆∆x

Resistencias locales

Un conducto opone una resistencia al paso del fluído que está distribuída alo largo de todo el tramo. Los cambios de sección (ensanches o reduccio-nes), los de dirección (codos y curvas), válvulas y en general todo elementoque perturbe el flujo, oponen resistencia que se puede considerar concentra-


102 103 104 105 106 107

0,1

0,01

0,02

0,03

0,040,05

Re

j

Zona de régimen turbulento

Zona derégimenlaminar tubos lisos

tubos rugosos

64/Retubos muy rugosos

Zona de transición

da en su lugar de ubicación. Resulta cómodo expresar la resistencia con-centrada de un elemento a través de la longitud de caño de su mismo diá-metro que produciría la misma caída de presión. Se la llama “longitud equi-valente del elemento”. Por ejemplo, un codo a 90º equivale a dos o tres me-tros de caño. Una curva de radio largo, sólo un metro. Una válvula tiene unalongitud equivalente que va de infinito cuando está totalmente cerrada, hastados o tres metros de caño, cuando está totalmente abierta, dependiendo deltipo de cierre (esclusa, globo, aguja, mariposa, etc.).

Coeficiente de resistencia para movimiento turbulento

Los procesos en estado turbulento no pueden estudiarse con esquemassimples como el de Poiseuille, ya que los filetes en el seno del líquido pre-sentan formas cambiantes e impredecibles en un modelo determinista. Sinembargo se pueden definir parámetros estadísticos como velocidades me-dias de las partículas al estilo de las de las moléculas de los gases.

La resistencia en régimen turbulento es sustancialmente mayor que en elcaso laminar, y la dependencia con el término de presión de velocidad no esde proporcionalidad, y ni siquiera los une una expresión analítica sencilla.Intervienen en la resistencia en régimen turbulento además del rozamientoentre partículas, la interacción de éstas con las paredes del conducto, através mecanismos que se desarrollan en la capa de contacto, llamada “ca-pa límite”. En base a experiencias y teorías sobre fenómenos en capa límitese han elaborado relaciones para determinar el coeficiente de resistencia jen función del número de Reynolds Re.

La manera más corrientees a través de gráficos,que requieren conocer eltipo de superficie interiordel conducto a través dela rugosidad de la pa-red. Ésta viene medidapor la profundidad de lasirregularidades que pre-senta la superficie decontacto líquido/sólido. Larugosidad inicial, depen-

diente del acabado interior del conducto o canalización, varía con el tiempodebido a modificaciones físicas o químicas (suciedad, incrustaciones, corro-sión, etc.)17

17 Desgraciadamente el valor de este parámetro, absolutamente determinante en elresultado de la resistencia, en general sólo puede estimarse groseramente.

188

Ejemplo: Se desean bombear F = 50 m3/h de agua, de viscosidad ηη=0,001 Ns/m2 ydensidad δδ=1000 Kg/m3 , desde el río a un tanque elevado. La cañería de hierro gal-vanizado nuevo (considerarla como tubo medianamente rugoso) tiene un tramo rectohorizontal de 100 m y luego sube hacia el tanque con otro tramo también recto hasta40 m de altura, ambos de 4” de diámetro interno (d=0,102 m). ¿Qué potencia debombeo se necesita?Solución: La velocidad en la cañería es VVm tal que el flujo es F=π.d2/4.Vm= 0,014 m3/s

de donde VVm= 4.F/ππ/d2 = 1,7 m/s . El número de Reynolds es Re = VVm.d.δ/η δ/η = 173371(francamente turbulento). De gráfico sacamos j=0,024

La diferencia de presión entre la bomba y el tanque resulta de sumar la pérdida decarga en la cañería y la diferencia de presión entre la parte más alta (h2=40 m) y elnivel de la bomba, a nivel del río (h1=0): (p1- p2) = = j. ρ ρ/D [VV2/2/g].∆∆x + ρ.ρ.(h2- h1) =0,024.9800/0,102.[1,72/2/9,8].(40+100) +9800.40 = 47600 + 392000 = 439600 N/m2

La caída de presión en la cañería representa el 47600/439600x100=11% del totalLa potencia necesaria es N = F. ∆∆p = 50/3600x439600 = 6105 W

18

Movimiento relativo entre sólido y fluído

Cuando un sólido se desplaza en el interior de un fluído quieto, o cuandoestá sumergido en una corriente,19 aparecen fuerzas que se oponen al movimientorelativo debido a dos causas: la resistencia viscosa y la reacción de inercia del fluídosobre el sólido, que lo desplaza en su movimiento relativo. La primera origina fuerzas“de arrastre”, tangenciales a la superficie del sólido. La aceleración relativa entre fuídoy sólido, normal a la superficie de éste, genera fuerzas perpendiculares, “de presión”en contra de la superficie, o “de succión” si la reacción es saliente.

Se comprende que las fuerzas de presión o succión dependen de la seccióndel objeto en el plano perpendicular a la velocidad (sección de carena, según losnavales) y de cómo va variando esa sección a lo largo de las líneas de corriente. Lasformas suaves y alargadas del casco de un buque bien diseñado producen menos

18

Si la bomba fuera del tipo centrífugo, su rendimiento varía entre 0,6 y 0,7. Por lotanto el motor que la acciona debería entregar 6105/0,6 = 10 175 W = 13,82 CV19

No es exactamente equivalente que un fluído esté quieto y en él se desplace elsólido, a que sea el fluído el que se desplace y el sólido esté quieto. Sin embargo losresultados pueden homologarse. En los túneles de viento se simula un avión en mo-vimiento en aire quieto con un modelo quieto sumergido en una corriente de aire.

zona de presión zona de arrastre

zona de succión

zona de remolinos

zona de arrastre


aceleración que una barcaza de proa plana. Las fuerzasde arrastre dependen de la extensión y tipo de superficie(rugosa o lisa), y de la velocidad relativa. Velocidad,rugosidad y viscosidad determinan el tipo de movimientorelativo sólido/fluído (laminar o turbulento). El régimenlaminar se caracteriza por menor relación entre fuerzade arrastre y fuerza de presión que el turbulento, en elque el efecto dominante es el de arrastre. En cuanto a laresistencia total, suma de ambos efectos, es en generalmenor a régimen turbulento y crece más que proporcio-nalmente con la velocidad. Si bien una superficie rugosaproduce más fuerza de arrastre que una lisa en unacapa límite laminar, el efecto se invierte cuando unairregularidad en la superficie genera una capa límite

turbulenta, en la que hay mucho intercambio de energía con el resto del fluído. Por esarazón la misma se mantiene un mayor trecho pegada a la superficie y en consecuen-cia habrá menor succión en la parte trasera del cuerpo en movimiento. Los hoyuelosen las pelotas del golf y la rugosidad en la piel de los tiburones crean una capa límiteturbulenta haciendo que las líneas de corriente rodeen al móvil en la parte trasera yreduzcan la consabida succión. Detrás del cuerpo queda en general una estela deremolinos que implica una pérdida adicional de energía. La magnitud de este efectodepende de la forma de la cola del móvil.

La trayectoria de proyectiles en un medio fluído se aparte de la forma para-bólica. Véase al respecto el análisis que se hace de este problema bajo el título “Tiro”,en el que se usan las fórmulas de Stokes y Newton, tratadas a continuación.

Fórmulas de Stokes y de NewtonEl físico y matemático irlandés G. Stokes (1819-1903), especialista en fluídos, formulóla ley que gobierna la resistencia F de un fluído de viscosidad η sobre esferas de radior que se mueven a pequeñas velocidades relativas V

F = 6 π ηπ η r VV (válida para régimen laminar).

Para velocidades grandes, se utiliza la fórmula de Newton, que expresala fuerza en función de la presión de velocidad ρ.V2/2/g, la sección de

carena S y un coeficiente k que depende de la manera en que el cuerpodesvía al fluído.F=k.ρρ.VV2/2/g.SPara una placa plana, que transforma toda la presión de velocidad enpresión efectiva es k=1 . En cambio una semiesfera con la concavidadhacia el frente “embolsa” el flujo, que sale con una componente en sentido contrario ala dirección original. Esto multiplica la fuerza por un coeficiente 1 < k < 2Una semiesfera con la concavidad hacia atrás desvía el flujo hacia los costados enmenor medida que una superficie plana, y en tal caso es k<1

Ejemplo: ¿Qué presión recibe una pared vertical sobre la que sopla un viento de 40Km/h?. Respuesta: Aplicamos la fórmula F/S = k.ρρ.VV2/2/g. con k=1, δδ=1,25 Kg/m3

resultando así F=1,25x(40000/3600)2/2=77 N/m2.Con un viento de 100 Km/h la presión sube (100/40)2= 6,25 veces, o sea 481 N/m2

Se comprende que los edificios deban calcularse la presión sobre que sobre sus pare-des puedan ejercer fuertes vientos.

k=1

k=1,3

k=0,4

capa límite laminar

capa límite turbulenta

mayor succión

menor succión

190

Máquinas hidráulicasTransforman en trabajo la energíamecánica de un fluído. La más sencillaes la rueda hidráulica, que hizo funcio-nar los molinos de trigo durante siglos.Aprovecha la energía potencial de unamasa de agua embalsada a una alturah2 que llena los espacios entre paletasen su descenso hasta h1. El peso deeste volumen de agua genera un mo-mento que hace girar la rueda. El

trabajo que ejecuta cada volumen v de líquido de densidad δδ de peso δδ.g.ves igual a su energía potencial δδ.g.v.(h2-h1). La potencia W en el eje de larueda vale, para N paletas por unidad de tiempo W=N.δδ.g.v.(h2-h1)=G(h2-h1)siendo N.δ.δ.g.v.= G[Kg/s] el gasto total de líquido que pasa por la máquina.

Actualmente se usa en centrales eléc-tricas una máquina diseñada en elsiglo XIX por el ingeniero hidráulicoinglés J. B. Francis (1815-1892), queconsta de una caja espiral por dondeel agua entra tangencialmente, y unrotor de paletas central. El agua atacalas paletas del rotor con una direccióncontrolada por una serie de paletasfijas (álabes directores). El flujo deagua describe trayectorias en espiralhacia el centro, por donde abandona lamáquina. La reacción del cambio dedirección del flujo sobre las paletas delrotor genera la fuerza motora que setransmite al eje. Con pequeñas modifi-caciones en la inclinación de álabes ypaletas, esta máquina trabaja comoimpulsora de líquido, o sea comobomba, cuando se le suministra tra-bajo en el eje mediante un motor quela hace girar en sentido contrario alindicado en la figura. En ese caso, laspaletas le confieren energía rotatoria allíquido, que por fuerza centrífuga tien-de a ir hacia la periferia recorriendo un flujo inverso al señalado, saliendotangencialmente por la caja espiral. Las bombas centrífugas producen unapresión en base a la energía cinética del líquido, o sea a la altura de presiónδδ.VV2/2. Por eso la altura de elevación del líquido crece con el cuadrado de la

( h2-

h 1)

Corona de álabes directores

Cajaespiral

rotor

paletasdel

rotor

Turbina tipoFRANCIS


velocidad de giro, que está en relación con la velocidad tangencial VV con elque el líquido abandona la caja espiral. El flujo, en cambio, es directamenteproporcional a la velocidad de salida. La potencia del chorro es el productodel gasto (flujo por peso específico) y la altura de elevación, por lo cual de-pende de la tercera potencia de la velocidad. El rendimiento de estas máqui-nas es el cociente entre la potencia del chorro y la entregada en el eje por elmotor. La transferencia de energía del rotor al líquido se realiza a través delimpulso que éste recibe de las paletas. Como en cualquier canalización, enuna bomba centrífuga existen pérdidas importantes por rozamiento viscoso yturbulento. Desde ese punto de vista el aparato puede considerarse queproduce una pérdida de carga localizada como cualquier accesorio, que sedebe restar al aumento de potencial que tomaría el fluído en una evoluciónsin pérdidas, para obtener la verdadera presión de salida.

Ejemplo: Una bomba centrífuga ha sido probada con agua, arrojando un flujo de F=10m3/h cuando marcha a una velocidad angular de n=1450 rpm, con una altura deelevación de h=20 m y un rendimiento η=η=0,61) ¿Qué potencia debe tener el motor de accionamiento cuando bombea ácido sulfúri-co concentrado (δ=1840 Kg/m3) en las condiciones apuntadas?Respuesta: W=G.h/η= 10 m3/h x1840 Kg/m3 / 3600 s/h x 9,8 m/s2 / 0,6 x 20 m=1670 W2) ¿De qué orden será el diámetro del rotor y el diámetro de la boca de salida de labomba, suponiendo que la velocidad de salida del líquido debe ser 3 m/s? (considerarque la velocidad del líquido es la mitad de la velocidad tangencial del rotor)Respuesta: La velocidad VV tangencial del rotor de radio R es tal que:

ωω=2ππn/60 = VV/R = 151,84 rad/s, de donde R = V/ωω = 6 m/s /151,84 = 0,04 m (diáme-tro del rotor=0,08 m)El diámetro de la boca de salida D debe cumplir la relación ππ.D2/4.VV=F , de donde

D=(4.F/ππ) ½ = (4.10/3600/3,14) ½ = 0,06 m3) ¿Qué se pude esperar si se hace funcionar la misma bomba a 1500 rpm?a) La potencia de bombeo depende del cubo de la velocidad, así que la nueva

potencia será del orden de (1500/1450)3x1670W=1,107x1670W=1849W. En rea-lidad será superior a este valor en razón de que también los rozamientos crecencon el cuadrado de la velocidad, afectando al rendimiento, que será inferior a 0,6.

b) La altura de elevación (presión a la salida de la bomba, expresada en altura delíquido) está dada por el nivel de envío (h=20m, que es constante) más las pérdi-das (j.V2/2/g). La velocidad V depende directamente de la velocidad del rotor, asíque el gasto aumentará (1500/1450) = 1,034 veces. Las pérdidas aumentaránaproximadamente (1500/1450)2 = 1,07 veces si se desprecia la variación del coe-ficiente de rozamiento j

192

Sustentación en alas

Las alas de aviones se diseñan para producir un empuje hacia arriba E quesostenga el peso de la nave, y al mismo tiempo el menor efecto de arrastre F

en el sentido de avan-ce. El flujo alrededorde un ala típica sepresenta en la figura.Si bien salta a la vistaque el ala en su movi-miento desplaza al airehacia abajo, y por

consiguiente recibirá una reacción hacia arriba, conviene hacer un análisismás profundo para obtener resultados cuantitativos sobre la fuerza sustenta-dora E: Las líneas de corriente se dividen en el borde de ataque del ala yrecorren caminos diferentes para volverse a juntar en la salida en el mismotiempo. El camino llS por la parte superior del ala (o desarrollo superior) es

más largo que el llI de la parte inferior. Para que dos partículas de fluído queestán juntas en A se reúnan en B deben recorrer la superficie superior einferior del ala a velocidades VS y VI tal que VVS=lls/t y VVI=lli/t o sea VVs/VVi =lls/lli >1 de donde VS>VI. Ahora bien, la ecuación de Bernoulli aplicada entre

puntos I y S nos da la diferencia de presión entre las caras inferior y superior:pI + ρρVVI

2/2/g + ρρ.hI = pS + ρρVVS2/2/g + ρρ.hS

Despreciando la pequeña diferencia de nivel (hI-hS) entre los puntos, resultaque la diferencia de presiones entre las caras inferior y superior del ala vale:(pI-pS) = δ/2[δ/2[VVS

2-VVI2] , la que podemos expresar en función de la velocidad

inferior, que supondremos igual a la de avance del avión. Así entonces:(pI-pS) = δ/2[δ/2[VVS

2-VVI2] = δ/δ/2.V.VI

2[([(llS/llI) 2-1]La anterior se puede poner en la siguiente forma:∆∆p = δ/δ/2/llI2.V.VI

2[([(llS+llI) ( (llS-llI)] = δ/δ/llI2.V.VI2[([(llS+llI)/2 ( (llS-llI)] = =

= δ/δ/llI2((llS+llI)/2.V.VI VVI [ ( [ (llS -llI)] .Poniendo como longitud de desarrollo medio del ala a ll=((llS+llI)/2 nos queda:

∆∆p/ll = δ/δ/llI2.V.VI.{V.V. ( (llS -llI)}Un análisis más fino, como el que hicieron Kutta y Joukowsky a principios delsiglo XX, asimila el término entre llaves ΓΓ={V.V. ( (llS -llI)} a la circulación de lavelocidad alrededor del ala. Recordemos que la circulación a lo largo de unatrayectoria es una generalización del concepto de trabajo para un vectorcualquiera. En este caso, siendo V la velocidad del fluído resulta ΓΓ=! VV.dll

borde de ataque

A

B

E

FI

S


Superposición de fenó-menosLos fenómenos decorriente plana (en dosdimensiones) que ad-miten un potencial cuyogradiente sea la veloci-dad, pueden superpo-nerse, es decir que susefectos pueden sumar-

se punto a punto. Esto es así desde que el potencial es un escalar que de-pende sólamente de la posición del punto en el espacio. Cuando la superpo-sición de efectos simples da un resultado conocido, se está en condicionesde estudiarlo y modelizarlo a partir de sus componentes. Por ejemplo, elresultado de sumar un torbellino o circulación más una corriente plana pro-duce una fuerza de empuje como la de un ala, y sugiere que alrededor de lamisma deba haber una circulación de fluído. Un dipolo de corriente, queconsta de una fuente y un sumidero del mismo gasto, superpuesto a unacorriente de líneas paralelas, genera un flujo igual al que produce un sólidoovalado dentro de la corriente. Así una forma aerodinámica (barco, dirgible,etc.) puede simularse con un dipolo para estudiar el flujo a su alrededor. Lafluidodinámica tiene en el principio de superposición una poderosa herra-mienta en el planteo y solución de problemas.

Tubo de PitotPara medir la velocidad de la corriente en el seno del líquido sin perturbar el escurri-miento se usa el dispositivo inventado por el ingeniero hidráulico francés H. Pitot(1695-1771), que consiste en dos tubos concéntricos de pequeño diámetro. El interior

tiene un extremo abierto de cara ala corriente por donde recibe lasuma de la presión estática más ladinámica p+δδ.VV2/2 . Envuelve alprimero en forma aerodinámica elotro tubo, que está cerrado en suextemo afilado y que posee aguje-ros laterales, por los que actúasólamente la componente estáticap de la presión. Ambos tubos seconectan con el exterior por con-ductos separados que llevan lasrespectivas señales a los manó-metros de medición por adentro de

un mango soporte de perfil aerodinámico. Conectado como indica la figura, el manó-metro en U marca una diferencia de presión igual a p + δδ.VV2/2 – p = δ δ.VV2/2

p+δδ.VV2/2

p

p

194

Tensión Superficial en los LíquidosIntroducciónSe pueden observar sobre porcionesmuy pequeñas de sistemas líquidosalgunos fenómenos que no están deacuerdo con lo visto para masas líqui-das de magnitud importante:• La superficie libre no es un plano

horizontal muy cerca de las pare-des del recipiente y en el interiorde tubos de pequeño diámetro.Hay líquidos, como el agua, queascienden por tubos finos de unmaterial al que mojan, como vidriomuy limpio. Otros, como el mercu-rio, descienden por tubos finos devidrio, al que no mojan20.

• Pequeñas porciones de líquido nofluyen continuamente por un tubo, sino que se desprenden en forma degotas.

• También se forman gotas cuando una pequeña cantidad de líquido yacesobre un plano horizontal de un material al que no moja (agua sobre vi-drio engrasado o mercurio sobre vidrio limpio)

En particular hay una gran similitud entre el llenado de una bombita de car-naval y la formación de una gota. Parecería que el líquido formara una mem-brana elástica en su superficie. Cuando alcanza un determinado tamaño, sedesprende el saco, formando una esfera que luego toma forma aerodinámicacon la velocidad del aire.

Resistencia de una membranaelástica a la deformaciónUna membrana elástica oponeuna resistencia proporcional a latensión. Tensión T es el cocienteentre fuerza y superficie en unpunto :T=dF/dS En general la

tensión toma diferentes valores según la dirección considerada y se definecon una función vectorial de la dirección. Los que estudian a fondo cuestio-nes de resistencia de materiales definen en cada punto esa función con una

20

Un líquido “moja” a un sólido cuando se extiende sobre su superficie plana sinformar gotas. La “mojabilidad” está relacionada con las fuerzas superficiales que sedesarrollan en los líquidos, como veremos a continuación.

Hg

e1dS1

dF1

e2dS2

dF2


entidad llamada “tensor”. Nosotros consideraremos sólamente el caso de unestiramiento igual en todas las direcciones (sin esfuerzos de corte). En esecaso la tensión T es igual en cualquier dirección del plano de la lámina. Lomismo que la presión, la tensión se mide en N/m2. La superficie en la que sereparte la fuerza que tensa una membrana depende del espesor e de lamisma, que es cada vez menor al fluir el material por el estiramiento.

Teoría de la membrana elásticaConsiderando una porción de membrana elástica de radio R, la tensión siempre au-menta con el estiramiento relativo ∆∆R/R0, de acuerdo a la ya vista “Ley de Hooke”T=dF/dS=E.∆∆R/R0, donde E es el módulo de elasticidad del material y R0 es el radiopara T=0.Para estirar la porción circular de membrana de radio R un incremento dR es necesa-rio desarrollar un trabajo dL = F.dR =2.π.π.R.e.dR.T , que está ejecutado por una fuerzatotal que opone la membrana a un estiramiento en todas las direcciones. Dicha fuerzavale F= 2.π.π.R.e.T , y entonces dF/dR = 2.ππ.e..T

21 . El espesor e varía con el radio que

R adopta la porción de membrana debido al estiramiento. Considerando que el volu-men v del material se conserva, es decir que es incompresible (e inexpandible) valdrápara cualquier R la expresión v=ππR2e=cte .Esta condición se cumple a partir de un volumen inicial cuando la membrana sin esti-rar tiene un radio R0 y un espesor e=. Entonces es π.R0

2.e0=π.R2.e , de dondee=e0.R0

2/R2=K/R2 (para K=e0.R02), es decir que si el material de la membrana es

incompresible el espesor varía en forma inversamente proporcional al cuadrado delradio de deformación que adopta por el estiramiento.De acuerdo a lo visto es dF/dR = 2.ππT.e y entonces dF=2.ππ.K.T.dR/R2 e integrandoesta última resulta F= -2.ππ.K.T /R + K’La constante de integración K’ sale de considerar que es F=0 cuando R=R0 y e=e0 ,de donde K’ = 2.π.π.K.T/R0 y entonces F=2.π.π.R0.e0.T..(1- R0/R)Si se cumple la ley de Hooke (o sea si se está dentro de los límites de proporcionali-dad) es T= E.(R-R0)/R0 , y así es F=2.ππ.e0.E.(R-R0)

2/RSegún esta fórmula, la fuerza necesaria para mantener una membrana tensa crececon el radio de deformación a partir de cero para un radio R0 de la membrana sinestirar . Cuando R es muy grande en comparación con R0, el crecimiento de F es casiproporcional a aquél.

El cumpleaños: (comedia en un acto)Eduardo, como buen padre, está encargado de inflar los globos de la fiesta de cum-pleaños de su hijo Francisco. Elige uno de hermoso color azul intenso. Al principio lagoma es gruesa y cuesta inflarlo. Eduardo sopla con fuerza. El globo crece, y Francis-co se deleita con ello. Llega un momento en que el azul se torna celeste transparente:se nota que la goma se ha adelgazado ostensiblemente. Como en ese caso el aireentra con menos resistencia, Eduardo, entusiasmado pensando en un récord mundialde tamaño, sigue a pesar de las protestas del nene. Éste intuye el fatal desenlace ygrita: ¡Cuidado, Papá!..., pero ya es tarde. El espesor de la goma es tan delgado quela fuerza se distribuye en una superficie muy pequeña. La tensión supera la cohesión

21

Para imaginar esta fuerza pensemos en la que ejerce el aro que sujeta el parche deltambor.

196

entre partículas de la membrana. PUMM! Francisco llora, asustado por el ruido. – FIN -

Tensión superficialA diferencia de una mem-brana de goma, la experien-cia muestra que una mem-brana líquida, como la queforma el agua jabonosa enun armazón rígido, ejercesobre éste una fuerza pro-porcional al perímetro F=k.2.π.π.R. Si la comparamoscon la fórmula vista para unamembrana de material elás-tico de espesor variablee=K/R2, F= 2.π.π.R.e.T , vemos que el mecanismo de membrana líquida fun-ciona como si el espesor e de la capa resistente y la tensión T que soportafueran constantes. Una membrana así, que no conserva su volumen y queopone siempre una misma tensión puede imaginarse formada por una capasuperficial que crece a costa del aporte de material del resto del sistemalíquido, como la capa de pintura seca que cubre los tarros abiertos, o comola superficie de adelante de la cortina de rodillo. El asunto se relaciona con laestructura de los fluídos, formados por moléculas que experimentan atrac-ciones mutuas (fuerzas de Van der Waals, ya comentadas). Una moléculadel interior de la masa líquida experimentará atracciones hacia todas direc-ciones por igual mientras que las moléculas que están sobre la superficiesólo serán atraídas hacia la masa de líquido, que está así cubierto de unacapa de moléculas superficiales ceñidas a su volumen en una trama inexten-sible. Esa capa monomolecular tiene siempre el mismo espesor, lo que ex-plica que fuerza dependa sólo del perímetro de la región de membrana con-siderada. El producto f=e.T, que se mantiene constante, se llama “tensiónsuperficial” del líquido en cuestión, y sus unidades son fuerza por unidad delongitud de membrana [N/m]

Medición directa de la tensión superficialEn la figura se ve un marco de alambre con un lado móvil de longitud ll, queestá sostenido por la fuerza que ejerce la membrana líquida, que vale F=2.f.llpuesto que la membrana sede de la tensión superficial se establece a amboslados de la lámina líquida que sostiene al alambre. En el equilibrio, cuandoel peso del alambre es igual a F su posición se mantiene y la lámina de líqui-do puede tener cualquier extensión, lo mismo que cualquiera puede ser laposición de equilibrio de la cortina de rodillo si las fuerzas son iguales a am-bos lados. Si el alambre es más liviano, la tensión superficial lo lleva haciaarriba y la lámina desaparece. Si es más pesado, el alambre cae y cuandotodo el líquido ha pasado a formar parte de la membrana, ésta se rompe, si

Tensión en una membranaelástica y símil de la tensión

superficial f

ll

F = 2.f.ll


es que antes el alambre no se desprende del resto del marco. Estas situa-ciones tienen su símil en el modelo de la cortina cuando las fuerzas a amboslados son desiguales.

La tensión superficial del agua a la temperatura ambiente vale f=0,08 N/m

Problema: ¿De qué diámetro debe ser un alambre de hierro (δ=7900 Kg/m3) para quese sostenga pegado a una superficie mojada con agua?Repuesta: Debe pesar 2xf=0,16 N por cada metro de longitud, y esto se cumple paraun diámetro d tal que ππ.d2/4.δδ.g = 0,16 de donde d = (0,16x4/π/δπ/δ/g)½ = 1,62 x 10-3 m

Equilibrio de una membrana líquida. Fórmula de Laplace

También puede entenderse a la tensión superficial como energía potencialpor unidad de superficie, ya que para estirar la membrana circular de radio Ren una cantidad dR hay que efectuar un trabajo dL=F.dR=f.2.ππ.R.dR, pero2.ππ.R.dR = dS (incremento de superficie) , y así resulta la tensión superficialexpresada como f=dL/ds [J/m2=N/m]

Se comprende que las láminas líquidas que se establecen sobre marcos dediferentes formas adopten la configuración de energía mínima, es decir, deacuerdo al concepto de energía superficial, la configuración de menor super-ficie compatible con el contorno impuesto. Por ejemplo, en el caso de unmarco plano. la forma será una membrana plana. Si el marco es alabeado, lalámina líquida será una superficie con curvatura22.

Cuando una membranaplana no está sujeta a lamisma presión sobreambos lados se curvarápara equilibrar dicha dife-rencia. Sea un elementode membrana de pesodespreciable de dimensio-nes dx y dy, de un líquidocuya tensión superficialvale f. La forma queadopta cuando está so-metida a una presión p en

una de sus caras fué estudiada por el célebre Laplace23, quién consideró

22

Las láminas líquidas por ser delgadas producen fenómenos de interferencia, apare-ciendo con colores irisados. (Véase el tema en los libros de óptica)23

P.S. Laplace, (1749-1827)), matemático y físico francés, muy conocido por sus

r1

r2

dαα2

dαα1

dydx

f.dx

f.dy

f.dx

f.dy

f.d

x.se

n(d

αα2/

2)

½ d

αα2

198

que el elemento está en equilibrio cuando las componentes de las fuerzassuperficiales en el sentido perpendicular a la membrana equilibran la fuerzaF que produce la presión p sobre ésta, que vale F=p.dx.dyAsí resulta, según la figura, que:2.f.dx.sen( ½ dαα2) + 2.f.dy.sen( ½ dαα1) = p.dx.dyComo los senos de ángulos pequeños son equivalentes a los arcos, resultaque la anterior fórmula puede ponerse f.dx.(dαα2)+ f.dy.(dαα1) = p.dx.dyLlamando r1 y r2 a los radios de curvatura de la superficie cortada por dosplanos perpendiculares, es dαα2=dy/r2 y también dαα1=dx/r1 , y la anterior nosqueda f.dx.dy/r2 + f.dy.dx/r1 = p.dx.dy = f.(dx.dy).[1/r1+1/r2] , de donde

p = f .[1/r1+1/r2] ,fórmula que nos dice que la presión deforma a la lámina según una superfi-cie de doble curvatura. La suma de la inversa de los radios de curvatura esproporcional a la presión de deformación e inversamente proporcional a la

tensión superficial del líquido.

Se deduce de la anterior que si nohubiera diferencia de presión entre loslados de la membrana líquida y éstatuviera curvatura no nula impuesta porel marco (r1π0 ,r2π0), el corchete debeanularse y consecuentemente debe serr1=-r2 , es decir que la superficie seráde doble curvatura, con radios de igualvalor y diferente signo.

Por ejemplo, la lámina que se forma entre dos aros dispuestos en planos paralelos esuna superficie llamada hiperboloide elíptico o de una hoja, que responde a la de áreamínima. Las secciones paralelas a los aros circulares que forman el marco son cir-cunferencias y las secciones de planos verticales que pasan por el eje son hipérbolasequiláteras. En un punto cualquiera de su superficie se verifica que las curvaturas soniguales en valor absoluto y de signo contrario. En particular la circunferencia osculatrizseñalada es del mismo radio que el de la garganta del hiperboloide.

Ejemplos:1) Una pequeña gota de agua (f=0,08 N/m) tiene un diámetro de 10µm=10-5m. ¿Cuáles la presión interior?Respuesta: la esfera es una superficie de simple curvatura, o sea r1=r2=r , así que parala presión interior se cumple que p=2.f/r=2x0,08/10-5=16000 N/m2

2) Una pompa de agua jabonosa (f=0,08 N/m) tiene 5 cm de radio exterior. ¿Quédiferencia de presión la mantiene esférica?Respuesta: En una esfera hueca la capa de líquido presenta dos superficies, que sonsede de tensión superficial: la capa externa de radio convexo re (negativo), y la capainterna, de radio cóncavo ri (positivo). Considerando que el espesor de la pompa es estudios sobre la estabilidad del sistema solar, aunque estudió infinidad de importan-tes temas. En esta obra se habla del operador de Laplace aplicado a una funciónescalar Φ, llamado Laplaciano de Φ = —2Φ(x,y) = ∂2Φ/∂x2 + ∂2Φ/∂y2

r1=-r2

r2


despreciable, podremos tomar re=-5cm , ri=5 cm. La presión exterior que genera unasuperficie de radio re vale pe=-2.f/re . Análogamente, la presión interior que produceuna superficie de radio ri es pi=+2.f/ri. De tal manera pi-pe=2.f.(1/ri-1/re) = 4.f/r =4x0,08/0,05=6,4 N/m2

3) Se desea transformar 1 m·/h de agua en una niebla formada por gotas de 10µm deradio. ¿Qué potencia se necesitará para hacer funcionar el nebulizador?Respuesta: Podemos admitir que para formar una gota esférica de radio r se necesitaefectuar un trabajo igual a la energía potencial de su superficie, que vale ε ε =4ππr2.fLa cantidad N de gotas de radio r que salen de un volumen V de líquido de tensiónsuperficial f es tal que se cumple la fórmula : volumen de una gota por número degotas = volumen total.Así entonces N.4/3.π.r3 = V . Entonces la energía total contenida en la superficie de laniebla formada por N gotas valdráE=N.ε =V.3/4/π/r3.(4.π.r2).f =3.V.f/r = 3 x 1 m3.x 0,08N/m /10-5m = 24000 JLa potencia necesaria (teórica, suponiendo un pulverizador perfecto) valdrá:P = E/t = 24000 J / 3600 s = 6,7 W

Mojabilidad

Cuando un líquido moja una superficie sólida es debido a que entre susmoléculas y las de la superficie del sólido existen fuerzas de Van der Waals,que tienden a que el líquido se extienda sobre la superficie, venciendo a latensión superficial. El agua moja al vidrio limpio, y el aceite, que tiene pocatensión superficial, moja a casi todos lo sólidos. En cambio, si esas fuerzassólido/líquido no superan a la tensión superficial, el líquido tiende a separar-se de la pared, formándose gotas si la superficie es horizontal, o una depre-sión junto a una pared vertical. Se dice que en este caso el líquido no moja alsólido. Por ejemplo, el mercurio, que tiene una gran tensión superficial, nomoja al vidrio ni a muchos materiales24.

Capilaridad

Cerca de los bordes del recipiente que lo contiene, la superficie de un líquidoque moja a la pared asciende o trepa por la misma, ya que forma una capaque se adhiere a la pared y arrastra por la fuerza de la membrana superficialal porciones vecinas. Se forma al lado de la pared vertical una superficiecóncava como la que se produciría al tratar de levantar por el borde a unamembrana adherida a una superficie plana. Si por el contrario, el líquido nomoja a las paredes del recipiente, la membrana se deprime junto a los bor-des, porque el líquido no se adhiere a la paredes y las fuerzas sobre la capasuperficial están dirigidas hacia el interior de la masa líquida retenida por lapared.

Dentro de tubos de pequeño diámetro, (llamados tubos capilares por la se-

24

Por afinidad química, el mercurio tiende a mojar a los metales, en especial el oro yla plata, en un proceso parecido a la solubilización de un sólido en un líquido. Lassoluciones de metal en mercurio se llaman genéricamente “amalgamas”.

200

mejanza con un cabello, que también es untubo de pequeño diámetro), un líquido ascien-de o desciende con respecto al nivel de lasuperficie libre en el exterior debido a su ten-sión superficial. El ascenso o descenso capilarse produce cuando el líquido moja o no mojarespectivamente al material del tubo, según loexplicado. La diferencia de nivel h es tal queel peso de la porción del líquido por encima opor debajo de la superficie se equilibra por la fuerza superficial, que como sedijo vale la tensión propia de cada líquido multiplicado por la longitud a lolargo de la cual se ejerce, en este caso el perímetro del tubo.Así entonces es F = ππ.d.f = ρ.π.ρ.π.d2/4.h de donde f=ρρ.d.h/4

Ejemplo: Dentro de un tubo de vidrio colocado en un vaso, el agua asciende 5 cm porsobre la superficie. ¿Qué diámetro tiene el tubo?Respuesta: d = 4.f/ρ/h = 4 x 0,08 N/m / 9800 N/m3 / 0,05 m = 0,00065 m (poco más demedio milímetro).

Discútase la posibilidad de llenar un tanque elevado haciendo ascender el líquido porcapilaridad.

-o-o-o-

ASCENSO Y DESCENSO CAPILAR

hh

d

d

FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA a

FISICA GENERALÍNDICE TEMÁTICO DE LA CUARTA PARTE

CALOR Y TERMODINÁMICA – FLUIDODINÁMICA

CALOR Y TERMODINÁMICA .................................................................155Calor y Primer principio de la Termodinámica.....................................155

Generalidades .................................................................................155Cantidad de calor – calor específico .................................................155

Calorímetro de agua .....................................................................156Termómetro y temperatura.....................................................156

Dilatación de los cuerpos por el calor................................................157Dilatación de los sólidos ............................................................157

COEFICIENTES DE DILATACIÓN LINEALDE ALGUNOS SÓLIDOS..............................................................158

Dilatación de los líquidos ...........................................................158Primer principio de la Termodinámica ...............................................159

Trabajo.........................................................................................160Evolución isotérmica .................................................................161

Energía interna y temperatura: ......................................................161Evolución a presión constante ...................................................162Evolución adiabática .................................................................162

Trabajo en una evolución adiabática.......................................163Evoluciones generalizadas – politrópicas.......................................163Función Entalpía – Trabajo de circulación – Calores de reacción ...164

Termoquímica - Calores de reacción ......................................164Segundo Principio de la Termodinámica ...........................................166

Evoluciones:.................................................................................167La máquina de Carnot ...............................................................170

Descripción y principio de funcionamiento de unamáquina de vapor alternativa. ................................................170

Teorema de Carnot.......................................................................174Ciclos reversibles – Función entropía ...............................................175

Entropía e irreversibilidad ..........................................................176Fluidodinámica ....................................................................................178

Primer principio para sistemas abiertos .........................................178Mecánica de los fluídos incompresibles (Hidrodinámica) ...................179

Gasto – Ecuación de continuidad ..................................................179Noción de tubo de corriente.......................................................180

Viscosidad de los fluídos...............................................................181Movimientos laminar y turbulento – Número de Reynolds...........182

Escurrimiento con pérdida de carga..................................................185Pérdida de carga en movimiento laminar .......................................186Resistencias locales .....................................................................186Coeficiente de resistencia para movimiento turbulento...................187Movimiento relativo entre sólido y fluído ........................................188

b

Fórmulas de Stokes y de Newton........................................... 189Máquinas hidráulicas ....................................................................... 190Sustentación en alas........................................................................ 192Tensión Superficial en los Líquidos .................................................. 194

Introducción .......................................................................... 194Resistencia de una membrana elástica a la deformación ........ 194

Tensión superficial .................................................................... 196Medición directa de la tensión superficial ...................................... 196Equilibrio de una membrana líquida. Fórmula de Laplace .............. 197Mojabilidad................................................................................... 199Capilaridad................................................................................... 199

FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA c

ÍNDICE ALFABÉTICO DE LA CUARTA PARTEaccesorios de la máquina de vapor171aceite (tensión superficial) .............199adiabática ......................................163adiabática irreversible ....................177adiabáticas......................................172agua................................................155agua (tensión superficial) ...............197agua (viscosidad) ...........................181agua jabonosa (tensión superficial)196agua y vidrio ...................................199aguja (válvula) ................................187aire (evolución) ...............................161álabes directores ............................190alas de aviones...............................192alternativa.170. Véase Máquina de

vaporaltura de elevación (bomba) ..........191altura dinámica...............................179amalgamas .....................................199aprovechamiento del calor.............168Aristóteles .....................................155ascenso y depresión capilar ..........199ascenso y descenso capilar ...........194avance de admisión .......................171azúcar .............................................167Bacon, Roger ................................155Bernoulli, Daniel .............................179bolas de billar .................................169bolillero (modelo de gases)............169Boltzmann (entropía)......................169bomba centrífuga............................191bombas centrífugas ........................190bombeo de agua.............................188bombita de carnaval (gotas) ..........194Bzz, una abeja obrera ..................184caja espiral......................................190caldera ............................................171calor ................................................155Calor ...............................................155calor específico ............................155calor específico a volumen constante

....................................................162calor producido (reacción)..............166calor y trabajo mecánico................155calores de reacción ........................164calores específicos de un gas........162caloría .............................................155caloría (unidad).............................155calorímetro......................................156cambio de volumen ........................160

cambios y evoluciones................... 167cantidad de calor............155, 156, 159caos ................................................ 170capa límite ..................................... 187capilaridad ...................................... 199carbón (combustión) ...................... 165carbono........................................... 165Carnot.....................................166, 172casco de un buque (forma)............ 188categoría superior (Ciencia) .......... 167Cattáneo (Ingeniero) ...................... 172Celsius (escala).............................. 157central Costanera........................... 166ciclos reversibles ............................ 175cilindro ....................................161, 170circulación de la velocidad............. 192circunferencia osculatriz ................ 198Clausius.......................................... 169coeficiente de dilatación ................ 158coeficiente de resistencia ......186, 187combustible .................................... 172combustión del carbón................... 165compresión..................................... 160compresor a pistón......................... 164concepto probabilísticoVéase entropíacondensador................................... 171conservación de la masa (fluídos). 179convección .............................159, 160corriente arremolinada................... 182Creador........................................... 167Creador (la firma del) ..................... 172cuerpo rígido .................................. 160cumpleaños (ejemplo) ................. 195curva............................................... 187curvatura (superficies) ................... 197degradación de la información ...... 170derrame por un orificio................... 180Desorden........................................ 169desorden (medición del) ................ 169diagrama p,v .................................. 172diamante......................................... 165diferencia de entalpía .................. 165diferencia de temperatura.............. 166diferencial exacta ........................... 176dilatación cúbica............................. 158dilatación de líquidos ..................... 158dilatación linea................................ 157dilatación superficial....................... 158dilatación térmica........................... 157Dios................................................. 167

d

dipolo de corriente..........................193distribución de las velocidades ......169ecuación calorimétrica ...................157ecuación de Bernoulli.............179, 186ecuación de continuidad ................179efecto Joule-Thomson....................162ejemplo con una bomba centrífuga191émbolo............................................170energía de deformación .................160energía de vibración.......................160energía interna......................159, 160energía menor (evolución) .............166energía mínima (membranas líquidas)

....................................................197energía potencial............................159entalpía...........................................164entropía......................... 169, 175, 176entropía del cosmos .......................177entropía e irreversibilidad...............176entropía. y metafísica.....................177equilibrio .........................................167equivalencia entre calor y energía.156escala termodinámica....................157escalas termométricas ...................157esclusa (válvula).............................187escurrimiento con pérdida de carga185estado turbulento............................187estela (remolinos)...........................189evolución a presión constante .......162evolución adiabática.......................162evolución adiabática (ciclo de Carnot))

....................................................173evolución en ciclo cerrado .............172evolución espontánea ....................166evolución isotérmica.......................161evolución isotérmica (ciclo de Carnot)

....................................................172evolución reversible................167, 169evolución y desorden .....................167Evoluciones ....................................167evoluciones politrópicas .................163evoluciones reversibles ..................168evolucionespoco probables ...........167exotérmica (reacción).....................165expansión .......................................160expansión del vapor .......................171experiencia de Joule ......................161factor Integrante .............................176Fahrenheit (escala) ........................157filetes de corriente..........................187filosofía ...........................................167

fluidodinámica................................ 178flujo de calor................................. 166flujo de la velocidad .................... 180fórmula de Laplace (tensión superficial)

................................................... 197fórmula de Poiseuille ..................... 183Francis, J. B. .................................. 190frío y calor ...................................... 155fuentes caliente y fría..................... 167fuerza de arrastre........................... 181fuerza impulsora de una evolución168fuerza ordenadora.......................... 167fuerza viscosa .............................. 181fuerzas de arrastre......................... 188fuerzas de atracción (entre moléculas)

................................................... 162fuerzas de presión ......................... 188fuerzas de succión......................... 188fuerzas de Van der Waals ..... 196, 199función potencial ............................ 176función potencial (entalpía) ........... 164gases ...... Véase Maxwell y Boltzmanngasto............................................... 180globo (válvula)................................ 187globos de cumpleaños................... 195gota de agua (ejemplo).................. 198gotas (formación) ........................... 194grafito.............................................. 165Hess, Germán E. .......................... 166hidrodinámica................................. 179hidrógeno ....................................... 165hiperboloide elíptico....................... 198hojas secas .................................... 167ineficiencia...................................... 169ingenio de Carnot........................... 172interpretación fina o microscópica. 170interpretación macroscópica ......... 170irreversibilidad................................ 169isobárica........................................ 163isócora........................................... 163isotérmica ..................................... 163isotérmicas ..................................... 172Joule (unidad) .............................. 156Joule, James P. ............................ 156Kutta y Joukowsky (alas)............... 192la transformación de calor en trabajo

................................................... 172lago (congelación).......................... 159laminar (movimiento) .................. 182laminar (régimen)........................... 183Laplace .......................................... 155

FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA e

Laplace, P. S. .................................197Lavoisier..........................................164ley de Hess .....................................166líneas de corriente..........................181líquidos incompresibles ..............179locomotoras de ferrocarril ..............171longitud equivalente .......................187máquina de Carnot .........................167máquina de vapor...........................170máquina térmica.............................166máquinas de doble efecto..............171máquinas hidráulicas......................190mariposa (válvula) ..........................187Maxwell (entropía)..........................169mecanismo biela-manivela.............170medio ambiente..............................159medio externo ...............................159membrana elástica (deformación) .194membrana elástica (teoría de).......195membrana líquida...........................196membrana líquida (equilibrio) ........197mercurio (tensión superficial).........199metafísica .......................................167método estadístico de Maxwell y

Boltzmann...................................169microscópico (gases desde el punto de

vista) ...........................................169miel de abejas ................................184mojabilidad......................................199moléculas de un gas ......................169motor de Carnot..............................172motor Diesel....................................171motor inmóvil ..................................167movimiento relativo entre sólido y fluído

....................................................188movimientos laminar y turbulento..182muerte y equilibrio..........................167nebulizador .....................................199Newcomen.Tomás........................170Newton, fórmula de (resistencia en

fluídos) ........................................189niebla (formación)...........................199noticia..............................................170número de Reynolds ......................182número de Reynolds caracterísitico182Ostwald (viscosímetro)...................185pandeo............................................158pava y hornalla ...............................167pelotas del golf ...............................189pérdida de carga.............................184pérdida de carga en movimiento

laminar........................................ 186pérdida de carga localizada (bombas)

.................................................... 191pérdidas por rozamiento (fluídos).. 186pistón ......................................161, 170Pitot, H............................................ 193placa plana (resistencia en fluídos)189Poiseuille (hipótesis) ...................... 183Poiseuille (modelo)......................... 187Poiseuille, J .................................... 181pompa de agua jabonosa.............. 198potencia de bombeo...............188, 191potencia de una bomba ................. 191potencial de velocidad ................... 181presión dinámica....................179, 186presión estática.............................. 179presión estática más dinámica (Pitot)

.................................................... 193presión sobre una pared................ 189primer principio.......................159, 161primer principio aplicado a la química

.................................................... 166primer principio de la termodinámica

.................................................... 159primer principio para sistemas abiertos

.................................................... 178primero y segundo principios

(ecuación) .................................. 176principio de conservación de la

energía....................................... 159Principio Único ............................... 167principios (de la Termodinámica) .. 167probabilidad y entropía .................. 170química como ciencia exacta......... 164ráfaga de viento.............................. 167reacción de inercia del fluído......... 188reacción química............................ 165reacciones químicas ...................... 165reducción........................................ 165refrigerador de Carnot....167, 172, 174régimen laminar (resistencia de

desplazamiento)......................... 189régimen turbulento (resistencia al

desplazamiento)......................... 189regulador centrífugoVéase Watt, Jamesrendimiento de las bombas............ 191rendimiento máximo....................... 174rendimiento térmico........................ 167rendimiento termodinámico ....... 174representación de evoluciones ...... 168resistencia a la circulación............. 182

f

resistencia concentrada .................187resistencia distribuída ....................186resistencia en régimen turbulento..187resistencia viscosa.........................188resistencias locales (fluídos)..........186revolución industrial....................170Reynolds, O...................................182Río de la Plata................................166rotor de paletas ..............................190rozamiento viscoso.........................186rueda hidráulica..............................190rugosidad de la pared..................187ruido................................................170saltos entálpicos .............................165Santo Tomás ..................................167Savery, Tomás ..............................170Saybolt (viscosímetro)....................185sección de carena ..........................188segundo principio de la termodinámica

....................................................166Shannon, Claude B. .......................170sistema............................................159sistema aislado.............................159sistema irreversible ........................168sistemas abiertos.........................159sistemas cerrados........................159sólidos (dilatación)..........................157Staricco, Profesor...........................168Stokes, fórmula de .........................189Stokes, G........................................189succión............................................189superficie de doble curvatura

(membrana) ................................198súper-motor de Carnot ...................174Superposición de fenómenos de

corriente......................................193sustentación en alas ......................192taza de café....................................167temperatura ............................155, 161tensión en una membrana .............194tensión superficial...........................196tensión superficial (medición de) ...196tensión superficial en líquidos........194

tensor (tensión)............................ 195teorema de Carnot......................... 174teoría de la información y entropía 170termómetro y temperatura............. 156termoquímica ................................. 164torbellino y corriente plana ............ 193torbellinos ....................................... 181trabajo..................................... 159, 160trabajo de circulación..................... 164trabajo de compresión ................... 164trabajo de un gas ........................... 172trabajo en una evolución adiabática163trabajo neto que entrega el motor de

Carnot ........................................ 173transformación de calor en trabajo166,

172transmisión del calor...................... 160tubo capilar (ejemplo) .................... 200tubo de corriente............................ 180tubo de Pitot ................................... 193tubos capilares ............................... 199turbina............................................. 164turbina Francis ............................... 190turbinas hidráulicas ........................ 166turbulento (régimen).................... 182válvula ............................................ 187válvula de admisión ....................... 171vapor de agua................................ 171variación de energía interna

(adiabática) ................................ 163velocidad en la cañería.................. 188velocidades medias (partículas fluídas)

................................................... 187vicosimetros................................. 185viga (dilatación).............................. 158viscosidad ...................................... 181viscosidad (agua)........................... 188viscosidad (tabla) ........................... 181viscosidad de los fluídos................ 181volante............................................ 171Watt ................................................ 171Watt, James .................................. 170

FÍSICA – CALOR – MÁQUINAS TÉRMICAS 201

Algunas consecuencias del Segundo Principio

Calor sensible y calor latente – Cambios de estado –Ecuación de ClapeyronSe llama calor sensible al que aumenta la temperatura de los cuerpos. Enel ejemplo del calorímetro de mezclas, el calor perdido por la pieza de hierro,igual al calor ganado por el agua, es calor sensible.

En general los cambios de estado (fusión, evaporación, y sus inversos,solidificación y condensación) involucran pasaje de calor sin cambio de tem-peratura. Por ejemplo, para fundir una masa cualquiera de hielo hay queentregar una cierta cantidad de calor proporcional a ésta, pero el sistemahielo/agua en fusión a la presión normal permanece a 0ºC hasta que todo elhielo se ha fundido, es decir mientras dura el pasaje de sólido a líquido. Elcalor necesario para la fusión del hielo y en general para cualquier cambiode estado de sustancias puras no produce aumento de la temperatura delsistema formado por las dos fases: se lo llama calor latente.

De acuerdo al primer principio de la termodinámica, el pasaje de calor sincambio de temperatura equivale a un trabajo mecánico. Por lo tanto loscambios de estado de un sistema pueden asociarse a un trabajo mecánicoequivalente al necesario para cambiar de fase.

En el diagrama p,v adjunto se representan dosisotermas a temperaturas próximas de unamasa de gas unitaria en la zona de licuación,que como se recordará poseen una zona rectahorizontal correspondiente al cambio de esta-do desde la fase líquida de densidad δ1 y vo-lumen específico v1=1/δ1, a la fase vapor cuyovolumen específico es v2.

El trabajo que desarrolla el gas en un cicloinfinitesimal cerrado medido por el área som-

breada vale ∆∆L=∆∆p(V2-v1) . Como ese ciclo es reversible, ya que está forma-do por dos cambios de estado en equilibrio y dos evoluciones infinitesimales,se le puede asignar el rendimiento la máquina de Carnot, es decir∆∆T/T=∆∆L/L= ∆ ∆p(V2-v1)/L , obteniéndose así “ecuación de Clapeyron1”, querelaciona el calor latente de cambio de estado con la temperatura, la varia-

1 Benito P.Clapeyron (1799-1864), ingeniero francés, que además de construir loco-

motoras y obras ferroviarias, estudió cuestiones relativas al equilibrio de cuerpos.

p

vv2v1

∆∆p

T

T+∆∆T

TC

C

202

ción de presión y los volúmenes específicos de ambas fases:L = T (∆∆p/∆∆T) (v2-v1)

La fórmula anterior indica que el calor de transformación tiene el mismo signo que lavariación de volumen que la acompaña. Si la transformación involucra una dilatación,como por ejemplo una evaporación, en la que el vapor tiene mayor volumen específicoque el líquido, el calor latente tiene signo positivo (que de acuerdo a la convención escalor entrante). Para el fenómeno opuesto (condensación) el calor L tendrá signonegativo, lo que está de acuerdo con la liberación de calor que la acompaña. En elpunto crítico C , donde v1=v2 (ambas fases son indistinguibles), el calor latente decambio de estado es nulo.

La ecuación de Clapeyron puesta en la forma diferencial (dT/T) = (v2-v1)/L.dp e inte-

grada, nos da lnT= ∫∫(v2-v1)/L.dp , que indica una variación logarítmica de la tempera-tura de cambio de estado con el calor latente, los volúmenes de ambas fases y lapresión. Lejos del punto crítico (en la base de la campana punteada de la figura) es(v2-v1)/L ≈≈ constante = A, de donde ln(T) ≈≈ A.p+K

Otra forma de expresar la ecuación de Clapeyron es (dT/dp ) = T.(v2-v1)/L , que indicaque la variación de la temperatura a la que se produce el cambio de estado con lapresión tiene el mismo signo que el del cociente entre diferencia de volúmenes espe-cíficos y del calor L propio de la transformación.

2

Ejemplo: Los volúmenes específicos del agua líquida y del hielo son respectivamente0,001000 y 0,001091 [m3/Kg] a 273ºK. El calor de fusión del hielo es de +332500J/Kg. Calcular la variación del punto de fusión del hielo con un aumento de presión:(dT/dp ) = T.(vl-vs)/L = 273ºK.(-0,000091)/332500 = -7,5 x 10-8 [º/(N/m2)]El resultado negativo indica que un aumento de presión disminuye el punto de conge-lación del agua.

Norma, patinadora de “Holiday on Ice”, apoya sus 48 Kgen un pié calzado con un patín de hielo, cuya cuchillatiene 0,5 mm de ancho por 25 cm de largo.La presión que soporta el hielo debajo de la cuchilla es:48 Kg x 9,8 N/Kg / (0,25x0,0005) m2 = 3763200 N/m2.

Bajo tal presión, el hielo se funde a una temperatura3763200 x 7,5 x 10-8 = -0,28 ºC en vez de 0ºC , tempe-ratura a la que está la superficie de la pista.

Esto significa que debajo de la cuchilla hay una capa deagua líquida, que permite el deslizamiento de nuestragentil amiga.

Al pasar el patín y liberar al agua subyacente de la pre-sión, esta se solidifica nuevamente

2 Este aserto justifica el principio empírico de Le Chatelier, que afirma que una evolu-

ción se favorece con una variación contraria en las condiciones que la producen. (vermás adelante Termodinámica Química)


Termodinámica Química

Las reacciones químicas

¿Por qué ocurre una reacción química?. Se admite que la combinación dedos o más sustancias para producir otra u otras, ocurre porque existe unaafinidad o tendencia a reaccionar entre compuestos o elementos. Si no su-piéramos nada de termodinámica, diríamos que esa tendencia (positiva onegativa) está relacionada respectivamente con una simpatía o encono entreelementos y sustancias, que los fuerza a unirse o separarse. Antes de que latermodinámica se inventara, los químicos hablaban de afinidad, tendencia yfacilidad de reacción. Hicieron tablas tratando de jerarquizar y clasificarefectos, propiedades y reacciones, pero la cuantificación de resultados noera fácil con conceptos tan vagos.

Se puede afirmar que el hidrógeno y el oxígeno tienen más afinidad que elcloro y el azufre. Pero es imposible sin la termodinámica llegar a decir que laprimera es cinco veces más afín que la segunda, por ejemplo.

Como ya sabemos, nada escapa al cumplimiento del primero y segundoprincipios de la termodinámica: los sistemas químicos tampoco son la ex-cepción.

Cuando los químicos aprendieron termodinámica, y también cuando lostermodinámicos se interesaron en la química, se pudieron cuantificar losefectos energéticos de las reacciones y hasta predecir reacciones en elpapel antes que en el laboratorio. Hoy en día el equilibrio químico, la veloci-dad de reacción (cinética química), la marcha de las reacciones y los fenó-menos electroquímicos, por citar algunas cuestiones, están completamenteclaros gracias a esta ciencia.

Principios experimentales como la Ley de Acción de las Masas (Guldberg yWaage -1867) y como el principio de Le Chatelier, se dedujeron matemáti-camente de la teoría termodinámica aplicada a las reacciones químicas.Como dijimos antes, la termodinámica transformó a la química en cienciaexacta.

Vamos a ver qué sistema emplean los químicos termodinámicos de nuestrosdías para estudiar estas cuestiones, pero antes recordemos algunas leyesde la química:

La ecuación química. Velocidad de reacción y equilibrio. La ley de ac-ción de las masas.Tomemos por ejemplo la reacción química entre hidrógeno y oxígeno gaseo-

204

so para formar agua:escribimos la ecuación siguiente:

2H2+O2 <--->2H2OLas flechas que van y vienen significan que la reacción puede “ir y venir”,esto es que a partir de hidrógeno y oxígeno gaseosos se puede formar agua,o bien que a partir de agua se pueden obtener cantidades equimolecularesde oxígeno e hidrógeno. Sabemos por experiencia que una vez producida lachispa en el eudiómetro, la combinación entre los gases es casi total. Sinembargo, un análisis fino de los productos de reacción revela que hay unapequeñísima cantidad de gases sin combinar. Hay otras reacciones en lasque esa transformación parcial es mucho más notable.Por ejemplo la reacción entre hidrógeno y iodo para formar ácido iodhídrico(o ioduro de hidrógeno) H2+I2 <--->2HI es francamente incompleta a latemperatura ambiente: en el equilibrio final coexisten el hidrógeno, el iodo yel ioduro de hidrógeno en concentraciones dadas por la siguiente ley, llama-da “ley de acción de las masas”:

[ HI ]]2 /{[H2]]. [I2]]}=K(T)o también, extrayendo la raíz cuadrada a ambos miembros:

[ HI ]]/{[H2]]1/2. [I2 ]]1/2}=k(T)

Lo encerrado entre corchetes representa las concentraciones, o mejor lasactividades, de los compuestos respectivos.

La constante k(T) es una función exclusiva de la temperatura del sistema.Entonces la ley de acción de las masas dice que al final de una reacción, osea al llegar al equilibrio, la relación entre el producto de las concentracioneselevadas a la potencia del coeficiente estequiométrico de los productos dereacción y los productos reaccionantes iniciales depende solamente de latemperatura.Los químicos noruegos C.Guldberg y P.Waage postularon en 1864 esta leyque relaciona las cantidades o concentraciones de reaccionantes y produc-tos de reacción.

La ley de acción de las masas se deduce admitiendo que un sistema quí-mico está en equilibrio cuando las velocidades de la reacción en un sentido yen el sentido contrario son iguales. Como las velocidades de reacción men-cionadas son funciones de la temperatura, el equilibrio también lo será.En el caso H2+I2 <--->2HI la reacción directa H2+I2 --->2HI tiene unavelocidad de reacción proporcional a la concentración de los dos elementosreaccionantes (reacción de segundo orden), o sea vd=kI (T) [I]][H]]La constante kI (T) se llama “constante de velocidad de reacción de forma-ción de ácido iodhídrico”. Asimismo la reacción de descomposición inversa2HI ---> H2+I2 tiene una velocidad de reacción proporcional al cuadradode la concentración de producto, o sea vi= kHI (T) [HI]]2

Cuando vd=vi resulta que kHI[HI]]2 /kI[I2]][H2]] =1 , de donde


[HI]]2 /{[I2]][H2]]}= kI (T) /kHI(T) , que es otra constante dependiente sola-mente de la temperatura, como queríamos demostrar.

El principio de Le Chatelier: Era conocido ente los químicos de la era pre-termodinámica que se podía favorecer o contrariar una evolución en general,en particular una reacción química, según se actuara sobre el sistema desdeafuera con una acción de sentido contrario o a favor de lo que ocurría en lareacción, respectivamente. Por ejemplo el curso de una reacción exotérmica(con desprendimiento de calor) se favorece enfriando el sistema. Una reac-ción entre gases que suponga aumento de número de moles, por ejemplo ladisociación del vapor de agua en oxígeno e hidrógeno, se inhibe cuando seaumenta la presión, ya que esta disminuye el volumen del sistema.La cuestión se resumía afirmando, con Le Chatelier (1888) lo siguiente:

“Si se somete un sistema en equilibrio a una acción cualquiera, evoluciona demanera de disminuir el resultado de esa acción, siempre que ello sea posible”

El principio de Le Chatelier se entiende ahora como una consecuencia de laecuación de Clapeyron, ya vista, la que a su vez es consecuencia del se-gundo principio de la termodinámica.

El estudio termodinámico de la química permite cuantificar los antiguosconceptos de afinidad y actividad, confirma las series químicas de combina-ciones entre elementos, predice velocidades de reacción y permite entenderel funcionamiento de los generadores electroquímicos (pilas y acumulado-res).A continuación veremos algo de todo eso:

Energía Interna U: En un sistema en el que sus elementos puedan reaccio-nar entre sí, la energía interna incluye a la energía química, además de laposible energía cinética o rotacional y vibratoria de esos elementos. Porejemplo una mezcla de cloro e hidrógeno gaseosos a la temperatura T tieneuna energía interna mucho mayor que la suma de las energías internas delos gases en botellones separados. Si ese plus de energía química se libera,resulta una masa de gas a una temperatura T’ > T, resultado del calor de lareacción entre hidrógeno y cloro.

Actividad: Está relacionada con la concentración. La actividad de una sus-tancia en un sistema es la concentración de la misma que debería existirpara que se cumplan exactamente la ley de acción de las masas. Decimosexactamente, porque la mencionada ley sólo se cumple en forma aproxima-da en la práctica. La actividad de un componente en sistemas gaseosostambién se llama fugacidad y es prácticamente igual a lo que se conocecomo “presión parcial” del gas considerado dentro de la mezcla.En realidad los corchetes de las fórmulas anteriores son actividades, másque concentraciones.

206

Parámetro de crecimiento λλ: es una variable que mide el grado de avancede una reacción química hacia el estado final. Tiene que ver con el conceptode afinidad química que veremos a continuación.

Afinidad: La reacción química reversible es un proceso ideal que consisteen una sucesión de estados de equilibrio, y por lo tanto tiene velocidad nula.O sea que el hecho de que una reacción química proceda en algún sentidosignifica que en mayor o menor grado es irreversible. Una reacción químicaespontánea tiene siempre un mayor o menor grado de irreversibilidad. Esegrado de irreversibilidad hace que el calor generado en la realidad sea me-nor que el que se produciría si la reacción fuera reversible. Que la afinidadsea nula significa que no hay tendencia a reaccionar.

De acuerdo al segundo principio en una reacción irreversible es dQ/T<dS, de dondeT.dS>dU+p.dv . Podemos razonar que para que la igualdad se cumpla, haría falta unacantidad adicional de calo dQ’ de manera que T.dS = dU + p.dv + dQ’ . Esa cantidadde calor (que no se produce en reacciones irreversibles) multiplicado por el parámetrode avance es lo que mide la tendencia o afinidad de la reacción Z de tal manera quedQ=Z.dλ. λ. y entonces el segundo principio para reacciones químicas se puede expre-sar: T.dS = dU + p.dv + Z.dλλ

Energía libre: es una variable termodinámica usada por Gibbs3 que involu-cra al trabajo mecánico o eléctrico máximo que se puede obtener de unareacción química, a través de la aplicación del segundo principio. Se definecomo sigue:F (energía libre) = U –T.S de donde dF=dU-TdS-SdT.Como de acuerdo al segundo principio T.dS>dU+p.dv , a temperaturaconstante es S.dT=0 y dU=cv.dT=0 de donde - dF = T.dS = p.dv+Z.dλλ≥0

Es decir que la disminución de energía libre de una evolución o reacción atemperatura constante mide la posibilidad de que esa reacción se lleve acabo espontáneamente, y si el sistema lo permite estará en condiciones deproducir trabajo. Si la variación de energía libre de una reacción es nula,quiere decir que se ha llegado al equilibrio.

Reacciones electrolíticas reversibles. Potencial de un electrodo. Pilas ogeneradores electroquímicos.Entre un electrodo de un metal en contacto con una solución que contengaiones del mismo metal existe una diferencia de potencial. Si no sabemostermodinámica, explicaremos el fenómeno como en el apunte de electricidadque preparé en 1995, diciendo el metal tiene una tendencia a disolverse enel líquido (presión de disolución), que se equilibra con la tendencia que tie-

3J.W.Gibbs (1839-1903), físico norteamericano a quién se le deben muy importantes

avances en termodinámica química.


nen los iones a depositarse en el metal (presión osmótica). Si en el mismobaño (acidulado con un poco de ácido sulfúrico para hacerlo más conductor)sumergimos una barra de cinc, éste elemento tiene una presión de disolu-ción muy superior a la del cobre, así que su equilibrio es a costa de másiones disueltos que el cobre. Conclusión: el metal que más se disuelve que-da con carga más negativa con respecto a la solución, que podemos supo-ner se encuentra al potencial de tierra. Se forma así una pila de Volta, con unelectrodo positivo (cobre) y otro negativo (cinc), entre los que hay aproxima-damente 1 Volt de diferencia de potencial. Cuando se cierra el circuito exte-rior entre cobre y cinc, se establece una corriente de electrones por adentroy por afuera de la pila, que permite la reacción química dentro de ésta. Dichareacción cesa cuando se abre el circuito, ya que los electrones no tienen pordónde circular.

Ejemplo: El metal de una barra de cobre en contacto con una solución de sulfato decobre tiende a pasar a la solución a través de una reacción de reducción, ya que elcobre pierde electrones. La ecuación resulta, escrita para un mol de cobre:Cuº -->Cu++ + 2.q(-).NA La constante de equilibrio de la reacción es ke= aCu++/1 porque la actividad del cobreelemental vale 1 mol/molNA es el número de Avogadro y q(-)=1,6x10-19C es la carga del electrón, por lo que2.q.NA=2x96500 C

Para cuantificar la diferencia de potencial necesitamos saber que el trabajo eléctrico(carga por diferencia de potencial ) es igual a la energía libre de la reacción (que lla-maremos F, siguiendo la notación norteamericana), y además que la expresión dedicha energía libre para una reacción de constante de equilibrio k es F = Fo+R.T.loge ke

, donde Fo es una constante de referencia que se llama energía tipo o energía stan-dard de la reacción en cuestión. La justificación de esta fórmula se basa en una inte-gración que da el trabajo realizado por un sistema que evoluciona según una reacciónquímica de constante kequil. El término loge es el logaritmo natural (cuya base es elnúmero irracional e=2,718281828459.....).R es la constante de los gases, que vale R=8,31 J/ºK/mol.T es la temperatura absoluta del sistema.Esta fórmula se debe al eminente Dr. Nernst (que fué profesor en Argentina y despuéspremio Nobel) .Entonces es: F =2.q.NA.V= Fo+R.T.loge (aCu++) y dividiendo por 2.q.NA = 2x96500 Cresulta:VCu = Fo Cu/ 193000 +RT/ 193000 loge(aCu++)

En vez de usar logaritmos naturales, empleemos los decimales. Para eso hay queacordarse que un logaritmo de un número n en una base cualquiera b está relacionadocon el logaritmo del mismo número n en otra base c a través de la relación:n=b log b (n) = c log c(n) de donde, aplicando logaritmos en base b es: logb(n)=logc(n).logb(c)o sea :loge(n)=log10(n).loge(10) = log10(n).2,3026Para hallar el logaritmo natural multiplicamos pues el logaritmo decimal por la cons-tante loge(10) = 2,3026

208

Tomando temperatura ambiente t=20ºC, o sea T=293ºK y aplicando el valor standardde energía libre (de tablas)Fo Cu = 65620 J/molnos queda:VCu = 65620/ 193000 +8,13 J/ºK/mol x 293 ºK/193000 C x 2,3026 x log10(aCu++) = 0,34+ 0,028 log10 (aCu++)

El valor Fo Cu /(2qNA) = 0,34 V , s llama potencial de referencia de la reacciónPara el cinc en contacto con la misma solución se puede escribir algo similar:VZn = VoZn+RT/(2qNA) loge(aZn++) = -0,76 + 0,028 log10 (aZn++)

Una pila de Volta a 20ºC tiene una diferencia de potencial igual a VCu-VZn, o seaV20ºC = 0,34-(-0,76)+0,028 log{(aCu++)/(aZn++)}

De la fórmula de Nernst para el potencial de electrodo, se deduce que puede formarseuna pila con dos electrodos del mismo material, solamente si están en contacto conbaños de diferentes concentraciones (pila de concentración)


Transmisión del calor

La transmisión de calor es un proceso típicamente irreversible que se operasiguiendo la dirección en la que la disminución de temperatura es máxima enel sistema considerado. Esta variación máxima de mayor a menor de unamagnitud escalar según una dirección se llama gradiente de dicha función yes un vector, ya que para definirlo hacen falta intensidad y dirección, o biensus tres componentes cartesianas.

Así, al igual que un fluído, el pasaje de calor a través de una superficie esproporcional al flujo del vector gradiente de temperatura dentro del sistema.

El gradiente se expresa matemáticamente como el resultado de aplicar a una funciónescalar cualquiera ΦΦ una transformación para llegar a la siguiente expresión:(∂∂Φ/∂∂x)i + (∂∂Φ/∂∂y)j + (∂∂Φ/∂∂z)k en la que i,j,k son los vectores unitarios o versorescorrespondientes a las tres direcciones en el espacio

El gradiente puede considerarse formalmente como el resultado de multiplicar la fun-ción escalar Φ por un operador vectorial que se simboliza con la letra griega “nabla”∇∇ = (∂∂ /∂∂x) i + (∂∂ /∂∂y) j + (∂∂ /∂∂z) kDe tal manera gradiente (ΦΦ) = ∇∇ΦΦ = (∂∂ΦΦ/∂∂x) i + (∂∂ΦΦ/∂∂y) j + (∂∂ΦΦ/∂∂z) k

El calor se propaga según tres maneras distintas, que pueden coexistir:

• Conducción: En el interior de los sólidos el pasaje de calor se verificade molécula a molécula vecina, sin transporte de masa, siguiendo elgradiente de temperatura.

• Convección: En los fluidos es dominante la transmisión por convección,en la que la energía térmica es transportada por la propia materia enmovimiento. Estas corrientes de partículas pueden producirse natural-mente por diferencia de densidad en presencia de campos gravitatorioso inerciales, o pueden producirse por impulsión forzada dentro de la ma-sa fluida4.

• Radiación: se verá en los cursos de óptica y electromagnetismo que loscuerpos calientes emiten radiación electromagnética cuya potencia esproporcional a su temperatura absoluta elevada a la cuarta. Dicha radia-ción se transmite en el vacío o dentro de los cuerpos transparentes aesa radiación. Se refleja o es absorbida parcial o totalmente por la mate-ria, en cuyo caso se transforma en calor.

4 Los fluídos también conducen el calor, cuando el gradiente de temperatura se impo-

ne de manera contraria a la convección. Por ejemplo calentando un líquido en la su-perficie, se opera conducción hacia abajo.

210

ConducciónEn todos los puntos interiores de un sólido y para cualquier dirección, severifica que el flujo de calor es proporcional a la variación de temperatura endicha dirección. Llamando t a la variable tiempo, S al elemento de superficienormal al eje x, que es la dirección considerada, resulta la siguiente expre-sión:

(∂(∂Q/∂∂t) =- k.S.( ∂∂T/∂∂x) (Ley de Fourier)5

Las diferenciales son parciales (símbolo ∂∂), ya que el calor Q y la temperatu-ra T son funciones del espacío x y del tiempo tEl coeficiente k se llama conductividad térmica. Depende del material y ensustancias sólidas no metálicas es poco variable con la temperatura. Susunidades en el sistema MKS son [Wm/ºC]

El signo negativo que afecta el segundo miembro da cuenta de que cuandoel gradiente de temperatura es positivo (la temperatura disminuye con ladistancia), el flujo es hacia afuera (negativo). Al contrarío, cuando el gra-diente de temperatura es negativo (la temperatura aumenta con la distancia)el flujo es hacia adentro (positivo)

Coeficientes de conductividad térmica de algunos materiales6

Sustancia k (Wm/ºC) Sustancia k (Wm/ºC)aluminio 300 hormigón 1cobre 200 vidrio 1hierro 50 madera 0,06

Ejemplo: Calcular el calor que pierde una habitación que da al exterior a través deuna de sus paredes de hormigón de 18 m2 de superficie y 15 cm de espesor durante 1hora, cuando la temperatura interior es de 20ºC y la exterior es de 0ºCdQ/dt/S = -1.(0-20)/0.15 = 133 W/m2

Q = 133x18x3600 = 8618400 J (equivalente al calor producido al quemar 0.12 Kg degasoil)

Transmisión del calor en una dimensión

Consideremos la propagación del calor enuna varilla aislada recta infinita. La cantidadde calor neta ∂Q que entra en la sección S

5 Jean Baptiste Fourier (1768-1830), célebre científico francés patrocinado por Napo-

león Bonaparte. Estudió entre otras cosas la transmisión del calor planteando la ecua-ción diferencial que se expone en este párrafo. Para su solución desarrolló un métodopara expresar una función periódica cualquiera en serie senos y cosenos (algoritmo dela serie de Fourier)6 La conductividad térmica y la eléctrica de los metales son propiedades estrecha-

mente relacionadas con la estructura electrónica de sus cristales. Por ese motivo losbuenos conductores del calor lo son también de la electricidad y reflejan la luz.

S

dx

∂Q/∂t ∂Q’/∂t


en la abscisa x menos la que sale ∂Q’ en la abscisa x+dx en un intervalo detiempo ∂∂t, se emplea en elevar la temperatura en una cantidad diferencial ∂∂Tla porción de varilla considerada:

El material de la varilla de sección S, tiene un calor específico c y una densi-dad δδ(∂∂Q/∂∂t)x-(∂∂Q’/∂∂t)x+dx = c.S.δ δ ∂∂x.( ∂∂T/∂∂t) , lo que también se puede poner:(∂∂[Q-Q’]/∂∂t)x = (∂∂2Q/∂∂t/∂∂x)x = c.S.δδ.(∂∂T/∂∂t) [1]

Por otra parte vimos que (∂(∂Q/∂∂t) =- k.S.(∂∂T/∂∂x) (ley de Fourier), de donde,derivándola con respecto a la longitud es(∂(∂2Q/∂∂t/∂∂x) =- k.S.(∂∂2T/∂∂x2) [2]de [1] Y [2] resulta:(∂∂2T/∂∂x2) = - (c. δ/ δ/k)).(∂∂T/∂∂t) [3]

Esta ecuación rige la evolución de la temperatura en el tiempo en los casosen los que puede reconocerse una dimensión preponderante, como en elcaso de la varilla.

Conducción del calor en el espacioSe demuestra que para tres dimensiones (ejes x,y,z) la ecuación anterior setransforma en:

(∂∂2T/∂∂x2)+ (∂∂2T/∂∂y2)+ (∂∂2T/∂∂z2) = (- c. δ/ δ/k)).(∂∂T/∂∂t)

El primer miembro es una transformación escalar de la función temperatura que sellama Laplaciano de T, y universalmente se expresa como —

2(T), por corresponderformalmente a la aplicación del operador “nabla” sucesivamente dos veces sobre lafunción, en este caso la temperatura . El Laplaciano proporcional a la derivada primeracon respecto al tiempo es característica de los fenómenos de difusión, como la propa-gación del calor o la distribución de un fluido en otro (difusión propiamente dicha). Losfenómenos de propagación de ondas, en cambio, se caracterizan por una ecuación enla que el Laplaciano es proporcional a la derivada segunda de la función con respectoal tiempo (ecuación de D'Alembert

7). Si el fenómeno de difusión es estacionario (inde-

pendiente del tiempo), vale la ecuación de Poisson —2(T)=0). La solución a la ecuaciónde Poisson

8 es una función potencial, es decir que la temperatura depende sólamente

de la posición del punto elegido.

El coeficiente de proporcionalidad entre el Laplaciano y la primera derivada, que go-bierna el proceso de transmisión vale (-c.δ/δ/k). El signo negativo da cuenta de que elflujo de calor negativo (saliente) la misma dirección que el gradiente de temperatura.Su inversa se llama coeficiente de difusión, y da cuenta de la velocidad de propaga-

7 Juan D’Alembert, (1717-1783), matemático y físico francés, autor de importantes

trabajos en mecánica. Planteó la ecuación de la cuerda vibrante, que lleva su nombre.8 Simón Dionisio Poisson, (1781-1840) matemático francés célebre por sus trabajos

sobre cálculo integral y probabilidades

212

ción de la temperatura. Es proporcional a la conductividad del material e inversamenteproporcional a su calor específico y densidad.Ejemplo: Transmisión a través de una pared cilíndrica (régi-men estacionario)Como el flujo se conserva a través de la pared del tubo, delongitud L, para un radio r dentro de la pared esdQ/dt =(2.π π r.L) k.(dT/dr) , o sea que el gradiente de tempe-ratura es inversamente proporcional al radio, o seadT/dr = 1/(2.π.π.r.L.k).(dQ/dt) y entonces la diferencia detempratura entre el exterior y el interior es∆∆T = 1/(2ππLk).(dQ/dt) ln(r2/r1)En el interior de un tubo de cerámica opaca (k=1 Wm/ºC) de L=1m de longitud y radiointerior ri=1cm , y radio exterior re=2cm, una resistencia eléctrica disipa dQ/dt=1000W. ¿Cuál será la diferencia de temperatura entre el interior y el exterior del tubo?Ti-Te = 1/2/π/lxl000xln(2) = 110,3ºC

ConvecciónEl calor se transmite por convección cuando existe un agente fluido portador,que se mueve por el empuje entre masas de temperatura y densidad dife-rentes (convección natural), o por impulso de agentes externos (convecciónforzada).Es importante notar que para que haya convección natural debe existir un campogravitatorio o de aceleraciones que actúe sobre el sistema fluido, cuya densidad debevariar con la temperatura.

La ley que regula el pasaje de calor desde la superficie de un sólido (de áreaS) a temperatura superficial Ts a un fluido (en contacto con la pared) detemperatura media Ta o viceversa, es

dQ/dt = S.αα.(TS-Ta)El factor αα [W/m2/ºC] se llama coeficiente de convección, y depende de:a) la naturaleza y condiciones de estado del fluidob) la geometría y rugosidad de la superficiec) crece con la diferencia de temperatura entre sólido y fluidod) crece con la velocidad relativa sólido-fluido

Coeficientes de convección de algunos sistemasSistema αα (W/m2/ºC)

• Superficie plana vertical de metal pulido y aire tranquilo a presión normal.................................................. 8 a 10• Superficie plana de metal pulido y aire a presión normal y velocidad=1 m/s................................... 15 a 20 • Superficie plana de metal pulido

y agua a velocidad=0,1 m/s.......................................................... 2000• Superficie plana de metal pulido

y agua a velocidad=1 m/s............................................................. 5000• Condensación de vapor de agua

sobre superficie metálica.............................................................. 10000• Vapor condensándose en agua................................................... 15000

ri re

Ti Te

∆∆T


Ejemplo: Una placa plana vertical de un espesor e=30 mm y un área S=1 m2 de aceroinoxidable, de conductividad térmica k=50 Wm/ºC, cuya superficie supondremos sufi-cientemente pulida como para poder despreciar el calor radiado

9 , está a una tempe-

ratura superficial Te = 300ºC en aire tranquilo a Ta=20ºC (αα=8 W/m2/ºC).1) Hallar el flujo de calor que pasa al ambiente por convección (potencia disipada)Respuesta: dQ/dt = S.αα.(Te-Ta) = 1x8x280 = 2240 W2) ¿A cuánto debe ascender el coeficiente de convección para llegar a una disipaciónde 4000 W?Respuesta: Un mayor coeficiente αα’ (logrado por ejemplo con un ventilador que soplesobre la pared) produce un mayor flujo de calor dQ’/dt, pero al mismo tiempo reducela temperatura de la pared Te a una valor T’e del lado en que se produce la convección,suponiendo que se mantiene la temperatura T i de otro lado. Para calcular esa tempe-ratura Ti del lado interno de la placa metálica, usamos la ley de Fourier:dQ/dt = k.(Ti-Te)/e = 50x(Ti-300)/0,003= 2240 W, de dondeTi = 2240/50x0,03+300 = 301,34 ºC (es decir que la caída de temperatura a través dela pared es de apenas 1,34ºC)

Con esta temperatura interior, que suponemos semantiene, calculamos la nueva temperatura exte-rior para el nuevo régimen de 4000 W aplicando lafórmula dQ’/dt = k.(Ti-Te)/e ,de donde 4000 = 50/0,03 x (301,34-Te), siendo:Te = 301,34-4000/50x0,03 = 298,94ºCCon la nueva temperatura exterior de la pared,poco más de 1ºC más baja que la anterior, calcu-lamos el coeficiente necesario para disipar 4000W,dQ’/dt = αα.S.(Te-Ta) = 4000W de dondeαα = 4000/1/(298,94-20) = 14,34 W/m2/ºCEl salto de temperatura entre pared y ambiente serealiza en una capa de espesor pequeño ∆∆e, quedisminuye con la velocidad del fluído

Pasaje de calor a través de una pared compuesta

Sea una pared plana compuesta por capas de materiales de ancho d1,d2,...dn y conductividades k1, k2,... kn , que separa medios fluidos cuyastemperaturas son Ti y Te , y con los que está relacionada a través de coefi-cientes de convección interior y exterior ααi y ααe

En estado estacionario el calor que pasa a través de una superficie de áreaS de pared es constante. Así resulta que:

dQ/dt/S = αα1(Ti-T1) = k1(T1-T2)/d1 = k2(T2-T3)/d2 =..= kn(Tn-Tn+1)/dn = ααe (Tn+1-Te)

9 Se verá en el curso de óptica (radiación térmica) que las superficies perfectamente

reflectoras no absorben ni emiten radiación.

régimen a2240 w

régimen a4000 w

ambiente

3 cm

dQ/dt

301,34º

298,94 ºC300ºC

20ºC

∆∆e

214

de donde, sumando las diferencias sucesivas de temperatura resulta: (Ti -T1) = (dQ/dt/S)[1/α1]

(T1-T2) = (dQ/dt/S)[d1/k�](T2-T3) = (dQ/dt/S)[d2/k2]

+ .........................................

(Tn-Tn+1) = (dQ/dt/S)[d1/k�](Tn+1-Te) = (dQ/dt/S)[1/αe]------------------------------

(Ti-Te) = (dQ/dt/S) [1/ααi+d1/k1+d2/k2+d3/k3...+1/ααe]

Lo que figura entre corchetes funciona como la inversa de un coeficienteglobal de transmisión, que se da en llamar coeficiente de transmisión totalde la pared compuesta tal que U=1/[1/ααi+d1/k1+d2/k2+d3/k3...+1/ααe]

Ejemplo: Determinar el flujo de calor que pasa a través delmuro de una cámara frigorífica compuesto por 30 cm demampostería con 2 cm de corcho a ambos lados, cuando latemperatura interior es de 5ºC y la exterior es de 35 ºCDatos:• coeficiente de convección interior α1 = 8 W/m2/ºC• conductividad del corcho k1=k3=0,05 W/m/ºC• conductividad de la mampostería k2 = 1 W/m/ºC• coeficiente de convección exterior αe = 15 W/m2/ºC

El coeficiente de transmisión total U valeU=1/[1/ααi+d1/k1+d2/k2+1/ααe] == 1/[(1/8+(0,02/0,05)+(0,3/1)+(0,02/0,05)+(1/15)] == 0,774 W/m2/ºCPara una diferencia de temperatura de (35º-5º) = 30ºCresultadQ/dt/S = U.(Ti-Te) = 0,774 x 30 = 23,22 W/m2

Con este flujo, las temperaturas a través de la pared son:dQ/dt/S = αe.(Te –T4) = 15 x (35 –T4) = 23,22 W/m2 de donde T4= 33,45 ºCdQ/dt/S = k3/d3.(T4 –T3) = 0,05/0,02 x (33,45 –T3) = 23,22 W/m2 \ T3= 24,16 ºCdQ/dt/S = k2/d2.(T3 –T2) = 1/0,3 x (24,16 –T2) = 23,22 W/m2 \ T2= 17,19 ºCdQ/dt/S = k1/d1.(T4 –T3) = 0,05/0,02 x (17,19 –T3) = 23,22 W/m2 \ T1= 7,9 ºCdQ/dt/S = αi.(T1 –Ti) = 8 x (7,9 –Ti) = 23,22 W/m2 de donde Ti= 5 ºC

SI no existiera la aislación de corcho, U pasa a valer 2,14 (compruébese) y conse-cuentemente el flujo térmico aumenta a 64.3 W/m2, o sea casi tres veces más.

Otra: ¿Qué potencia consumirá un refrigerador de Carnot para mantener dicha dife-rencia de temperatura en una cámara que mida 6m de largo x 4m de ancho x 3m dealtura?El rendimiento de un refrigerador de Carnot que funcione entre 5 y 35 ºC es:ηη= 1-T2/T1 =1-(5+273)/(35+273)= 0,097. Este valor coincide con 1+∆∆Q2/∆∆Q1 , siendo∆∆Q2 la cantidad de calor que se extrae por ciclo de la fuente fría (el interior de la cáma-ra frigorífica) y ∆∆Q1 la cantidad de calor (negativa) que el refrigerador entrega a la

T4

T3

T1

T2

Te

Ti


fuente caliente (el medio exterior) en el mismo ciclo. El trabajo mecánico que debeentregarse al refrigerador en un ciclo de Carnot (o en un ciclo reversible equivalente)vale ∆∆Q1+∆∆Q2 (con sus signos)

Resulta así: ∆∆Q2/∆∆Q1 = 0,097-1 = -0,9026 , pero las cantidades de calor por ciclo ∆∆Qson proporcionales a las potencias por unidad de área dQ/dt/S, así quedQ1/dt = dQ2/dt/(-0,9026) = 24 W/m2/(-0,9026) = -26,58 W/m2dQ1/dt + dQ2/dt = 24-26,58 = -2,58 W/m2 (el signo negativo significa que es trabajoque entra al sistema, entregado por una fuente exterior)

La cámara frigorífica de 6m de largo x 4m de ancho x 3m de altura presenta una su-perficie de paredes de 20x3 = 60 m2 . Considerando que por el techo (24 m2) penetrael mismo flujo específico que por las paredes y despreciando el calor que entra por elpiso, se necesita una potencia frigorífica teórica (mínima) de:( 60 + 24) m2 x 2,58 W/m2 = 216 W para “bombear” hacia el exterior (60 + 24) x 26,58= 2233 W manteniendo una diferencia de temperatura de 30ºC

En la práctica, debido a que los ciclos que cumplen las máquinas frigoríficas realestienen pérdidas e irreversibilidades, se requieren casi el doble de potencia para cum-plir el cometido de un refrigerador de Carnot.

Este ejemplo muestra cómo se puede calefaccionar un ambiente como el de la cámarabombeando calor desde el exterior. Invirtiendo los valores exteriores por los interiores,se ve que un ambiente bien aislado puede mantenerse por encima de los 30 ºC conuna temperatura invernal exterior de 5ºC mediante un consumo de energía de apenas216 x 2 = 432 W, contra los 2233 W que harían falta disipar interiormente (con unaestufa eléctrica, por ejemplo).

Proceso de enfriamiento o calentamiento

Cuando un cuerpo recibe calor y no hay cambio de estado del sistema, unaparte del mismo se emplea para aumentar la temperatura del mismo (calorsensible), y el resto es disipado por el cuerpo al medio10. Esto se traduce enla ecuación:

q = dQ/dt = c.M .dT/dt + U.S.(T-Ta)flujo de calor = calor sensible + calor disipado

donde Ta es la temperatura ambiente, c el calor específico de la substancia,M la masa del cuerpo y U es el coeficiente de transmisión total inherente alcamino que tiene que atravesar el flujo de calor.

Llamando T-Ta = θ θ a la sobreelevación de temperatura del cuerpo con res-

10

Si hubiese cambio de estado (por ejemplo fusión), se mantendría la temperaturaconstante hasta que se hubiera completado el proceso, a través de la ecuación dQ/dt= L. dM/dt (L=calor de fusión, M=masa de la fase sólida). Luego sigue el aumento detemperatura del líquido según lo dicho en el texto.

216

pecto al ambiente y considerando que dT = d(T-Ta) = dθθ, resulta que elfenómeno en el que una fuente de energía entrega una cantidad de calor porunidad de tiempo q = dQ/dt está gobernado por la ecuación diferencial:q = c.M .dθθ/dt + U.S.θθ , o tambiénθθ + [c.M/U/S].dθθ/dt = q/U/S , que se satisface paraθθ = q/U/S (1 – e-(US/c/M).t)

Esta función exponencial crecienteparte del origen y es asintótica aq/U/S para t=•, que es el valor dela sobreelevación de temperatura atiempo infinito (en estado estaciona-rio) θθ•=q/U/S , valor éste que teóri-camente no se alcanza nunca peroal que nos acercamos cada vez másmientras dure el proceso de calen-tamiento (qπ0).

El proceso de enfriamiento se produce a partir de un cierto instante t=t1,

cuando cesa el flujo de calor, es decir para q=0 , con lo que la ecuacióndiferencial del fenómeno pasa a serθθ + [c.M/U/S].dθθ/dt = 0 , y cuya solución es θ θ = θθ1.e

-(c.M/U/S)t , que represen-tada es una exponencial decreciente.

El exponente U.S/c/M tiene dimensiones de (tiempo)-1 y su inversa se llamaconstante de tiempo del fenómeno exponencial. Como ya se ha visto enesta obra, en la descripción de fenómenos regidos por leyes exponencialesla constante de tiempo está representada por la subtangente a la curva encualquier punto de la misma y mide la tendencia a la variación hacia el esta-do de equilibrio. Al cabo de un lapso igual a cuatro veces el valor de laconstante de tiempo se llega prácticamente a la temperatura de régimen ode estado estacionario con un error despreciable, tanto en el proceso decalentamiento como en el de enfriamiento. Valores altos de la constante detiempo proceden de cuerpos de gran masa y calor específico elevado (nume-rador de la expresión), y en procesos que entrañan una pequeña pérdida decalor al ambiente (denominador dado por el producto del coeficiente detransmisión y la superficie de intercambio).

Ejemplo: En un recipiente que contiene agua a la temperatura ambiente se echa unapieza de hierro caliente que proviene de un horno, a temperatura desconocida. Des-pués de un determinado tiempo se toma la temperatura del agua del recipiente, supo-niendo que todo el sistema ya se ha homogeneizado en temperatura En base a estosdatos se desea conocer la temperatura inicial de la pieza de hierro, en el momento enque se echó al agua.Datos:Temperatura ambiente = 15ºCMasa de agua = 1 Kg calor esp. del agua , ca = 4167 J/Kg/ºCMasa de la pieza de hierro = 1 Kg calor esp. del hierro , cFe= 471 J/Kg/ºCCoeficiente de convección agua/hierro ααi = 100 W/m2/ºC

θθ • =

q/U

/S

curva de enfriamiento

curva de calentamiento

c.M/U/S c.M/U/S

c.M/U/S

t1

θθ 1


Coeficiente de convección hierro/aire ambiente ααe = 10 W/m2/ºCDensidad del hierro δδFe = 7900 Kg/m3

coeficiente de conductividad térmica del hierro kFe = 50 W/m/ºC

El recipiente es un cilindro de chapa de hierro de e=1 mm de espesor, de 12 cm dediámetro, por 12 cm de altura, con tapa del mismo material. Está apoyado sobre unaplaca de corcho que puede considerarse perfectamente aislante del calor.Al cabo de cinco minutos, el agua del recipiente está a 40ºC¿Cuál era la temperatura de la pieza de hierro en el momento en que se echó al agua?

Solución:Se supone que el sistema se ha ido enfriando según una ley exponencial a partir delinstante t=0 en que se echó al agua la pieza. De esa temperatura inicial del sistemahomogéneo (que no es el caso real), deduciremos la que hace falta para que la pieza,el agua y el recipiente la adquieran en un proceso de mezcla que supondremos ins-tantáneo, en el instante t=0

La constante de tiempo del sistema pieza-agua-recipiente vale k = ΣΣ(ci.Mi)/U/Spara ΣΣ(ci.Mi) , capacidad térmica del conjunto, que es la suma de las masas multipli-cadas respectivamente por los calores específicos de cada componente del sistema.

El coeficiente de transmisión total agua/hierro/aire ambiente valeU = (1/a1+e/k+1/ae)

-1 = 1 / (0,01 + 0,001/50 + 0,1) = 9,089 W/m2/ºC

La superficie de disipación es la lateral más la de la tapa del recipiente cilíndrico (su-pondremos, para simplificar, que el agua está también en contacto con la tapa)S = ππ.d.h + ππ d2/4 = 3,14x0,12x0,12 + 3,14x0,122/4 = 0,0565 m2

La masa del recipiente es el producto del volumen por su densidad. El volumen resultade multiplicar la superficie total por el espesor, así que la masa del recipiente vienedada por [(0,0565 + ππ.d2/4) x 0,001] m3 x 7900 Kg/m3 = 0,536 KgΣΣ(ci.Mi) = (0,536+1)x471 + 4167x1 = 4890.31 J/ºCLa constante de tiempo del sistema vale:k = ΣΣ(ci.Mi)/U/S = 4890,31 / 9,089 / 0,0565 = 9522,96 segundos = 2,64 horas

En el proceso de enfriamiento rige un decaimiento exponencial de temperatura dadopor la solución de la ecuación diferencial para q=0 o sea θθ(t) = θθ(0) e-t/k . Para t=5 min=300 s es θθ=40-15=25ºC , con lo que la temperatura que un sistema equivalente alreal pero de temperatura homogénea hubiera poseído en el instante inicial (t=0) esθθ(0) = θθ(t) et/k= 25xe(300/9522,96) = 25,8ºC , que corresponde a una temperatura inicial de15+25,8=40,8ºCAhora bien, para que 1 Kg de agua más el recipiente (0,54 Kg de hierro) ambos a15ºC, lleguen a una temperatura de 40,8ºC, debe entregársele una energía en formade calor igual a Q = Σci.Mi.(40,8-15) = 4890,31 x (40,8-15) =126171 JEsta es la energía térmica que cedió la pieza de hierro al enfriarse desde su tempera-tura inicial Ti hasta la final Tf = 40,8 ºC , y de tal manera resulta queQ = cFe (Ti-Tf) =126171 J , de donde Ti = 126171/471 + 40,8 = 308,67 ºC

Discútase el error que se comete al suponer una transferencia instantánea del calor Qen el instante t=0 en vez del proceso real, en el que la pieza y el agua se acercan unamisma temperatura durante un lapso finito.


El tercer principio de la Termodinámica:La entropía de un sistema es una función potencial, es decir que toma unvalor para cada estado del sistema. La variación de entropía (aumento en elcaso de evoluciones irreversibles) depende solamente del estado inicial yfinal de la transformación, se realice ésta por cualquier camino. Como paraotras funciones potenciales físicas (nivel, energía potencial, energía interna,etc.) tiene sentido fijar un valor de referencia donde relacionar el valor abso-luto de cualquier otro estado.Si un sistema cerrado, como podemos considerar a nuestro universo, tiendenaturalmente al aumento de entropía propia debido a las evoluciones irrever-sibles que se realizan permanentemente en su interior, es de imaginar queen algún momento tuvo entropía nula. Este concepto de entropía cero co-rresponde a un sistema absolutamente ordenado, previo a cualquier trans-formación: corresponde evidentemente al instante de la creación. ¡Otra vezla Termodinámica hablándonos de la obra de Dios!

El estado de referencia de entropía nula en el origen del universo es unanoción de enorme valor filosófico, pero ayuda poco en los problemas actua-les, dado lo poco que conocemos el estado del mundo en esos momentosiniciales.Pero la relación entre entropía y desorden o caos llevó a otro físico, tambiénpolaco él, a imaginar un estado de orden de laboratorio: ¿cómo lograr porejemplo detener el caos molecular en un botellón de gas?. Walter GermánNernst (1864-1941) imaginó que el frío podría llevar el gas al orden. Estu-diando las propiedades de la materia a bajas temperaturas, próximas al ceroabsoluto ( 273 grados centígrados bajo cero) llegó a la conclusión que suentropía tendía a un valor límite nulo. Postuló Nernst que la entropía de unsistema en el cero absoluto es nula.Este aserto se conoce como “Tercer principio de la termodinámica”.

El Dr. Nernst fue premio Nobel de física en 1920. Años antes había sido traído a laArgentina por el Dr. Joaquín V. González y el Dr. Agustín Álvarez, para dar clases deFísica en la Universidad de La Plata. Gracias a sabios como Bose, Nernst y Ganz, y apatriotas como Álvarez y González, nuestra nación formó en La Plata un pléyade defísicos eminentes: Teófilo y Héctor Isnardi, Ramón Loyarte, Hilario Magliano, JoséCollo y Enrique Gaviola, por citar algunos. Un ejemplo para nosotros es la visión quetuvieron estos argentinos ejemplares, en épocas en que no se hablaba tanto de edu-cación como se buscaba educar de verdad.

Cuestionario:1) ¿Cómo se puede definir al calor?2) ¿Que dice el primer principio de la termodinámica?3) ¿Qué es la energía interna?4) Describa procesos de evolución de un sistema que impliquen variación

de energía interna.

219

5) Describa una evolución natural posible y otra que no se haya observadoen un sistema.

6) ¿Se puede transformar íntegramente trabajo en calor?7) ¿Se puede transformar íntegramente calor en trabajo?8) Enuncie el segundo principio de la termodinámica9) Proponga una evolución donde no se cumpla el segundo principio y diga

si es posible10) ¿Se puede demostrar un principio científico, en particular el de Carnot?11) ¿Qué impedimentos lógicos existen para que no se cumpla en algún

caso el segundo principio?12) De por lo menos dos definiciones de entropía.13) ¿Qué de entiende por evolución reversible?14) ¿Por qué la irreversibilidad es natural en el universo?15) Enuncie y explique el tercer principio de la termodinámica.16) Discuta sobre la jerarquía que la Termodinámica tiene entre otras cien-

cias.17) ¿Qué es una función potencial?


Ciclos de máquinas térmicas realesLos motores térmicos y las máquinas frigoríficas que se usan en la prácticatienen ciclos que distan bastante de las condiciones de reversibilidad que

plantea Carnot. Sin embargo, se tiendeen lo posible a acercarse a evolucionescon el menor grado de irreversibilidadposible. También, y para acercarse arendimientos elevados (recuérdese queηη=1-T1/T2), se trata de emplear fuentescalientes de temperaturas T1 tan altascomo lo resistan los materiales de losórganos del motor y equipos anexos. Latemperatura T2 de la fuente fría essiempre la del ambiente o la del aguadel río o lago cercano.

Motores de combustión interna

Se llaman de combustión interna,porque la fuente de calor es una reac-ción de combustión que se generaadentro del propio motor, a diferencia delas turbinas de vapor o algún tipo deturbina de gas, donde el fluído calienteproviene de un equipo aparte (caldera ocámara de combustión).Los motores de combustión internaalternativos constan de cilindro (uno ovarios) , biela y manivela (o cigüeñal),como las máquinas de vapor. Tambiénposeen sendas válvulas de admisión yescape.

Motores a explosiónEl ciclo de cuatro tiempos que cumple elmotor a explosión, como el de los automóvi-les que funcionan con combustibles livianos(nafta, alcohol, gas) fué desarrollado por elingeniero alemán Nicolás A. Otto, (1832-1891), en el afán de reemplazar a la máquinade vapor por un ingenio más liviano y menos

voluminoso, sin necesidad de caldera. En el primer tiempo se cumple la admisión deuna mezcla de aire y combustible (gas o nafta vaporizada), producida en proporciónadecuada a la potencia que se quiera desarrollar en un dispositivo de mezcla (carbu-

I-admisión

II-compresión

PMS -explosión

III - expansión

IV - escape

PMI - comienzo del escape

IÆIV¨

IIIII

1 2∫6

3

4

5

v

p

ciclo real

CICLO OTTOde cuatro tiempos

221

rador o cámara de inyección) . El cilindro aspira dicha mezcla a través de la válvula deadmisión. Cuando el cilindro llega a su punto muerto inferior (2), se cierra la válvula deadmisión. Comienza el segundo tiempo, durante el cual el pistón comprime la mezclaen una evolución prácticamente adiabática aunque no reversible. Cuando llega alpunto muerto superior (3) salta una chispa que la inflama. La presión en el reducidoespacio en el que ha sido comprimida la mezcla (cámara de combustión), se eleva (4)bruscamente por efecto de la temperatura de la combustión (más de 1000ºC). Laenorme presión (hasta 40 atm) hace descender el pistón en el tercer tiempo (el únicoactivo de los cuatro), en una evolución también adiabática. Cuando el pistón llega alpunto muerto inferior se abre la válvula de escape (5), y la presión cae bruscamente(6). La inercia de las masas rotantes de la máquina impulsan el pistón desde el puntomuerto inferior hacia la parte superior, expulsando así los gases de combustión du-rante el cuarto ciclo.

En la figura se observa el ciclo ideal (línea llena, con relleno verde) y el ciclo real (líneapunteada con sobra gris claro). La diferencia más notable entre ambos consiste en elárea negativa del ciclo real, producida entre la admisión y el escape, que al no serreversibles corren respectivamente por debajo y por encima de la presión atmosférica.Se tiende a disminuir este defecto con el diseño adecuado de válvulas y conductosque reduzcan los rozamientos al pasaje de los fluídos.

Motores DieselA fines del siglo XIX, otro ingeniero alemán, Rudolf Diesel (1858-1913) cul-minó una serie de trabajos para reducir la inherente irreversibilidad de laexplosión en el ciclo Otto, transformándola en una combustión gradual. Pre-sentó así el motor que lleva su nombre, que en el primer tiempo aspira aireen lugar de mezcla explosiva. Luego lo comprime en el segundo tiempo a unvolumen mucho menor que en el motor a explosión.

Esta fuerte compresión (superior a 16:1 en vezde los 8:1 del motor a explosión), calienta elaire hasta una temperatura superior a los500ºC

11, y permite la inflamación del combus-

tible, que se comienza a inyectar en el PMSdespués de dicha compresión. La inyección einflamación gradual del combustible pulveriza-do que proviene de una bomba dosificadora seproduce durante parte del tercer tiempo (3,4),en el que el pistón hace su carrera hacia elPMI. El cuarto ciclo (escape) es igual que en elciclo Otto. El mayor rendimiento del cicloDiesel estriba en un alto grado de compresión,que produciría la inflamación espontánea de lamezcla si se tratara de llevar a cabo en un

11

Para una adiabática vimos que T2 = T1 (V2/V1)(1-cp/cv) = T1.(1/16)-0,4 = 3,03.T1 . Si el

motor aspira aire a T1=288 ºK (15ºC) resulta que al cabo de la compresión llega aT2 = 3,03x273 = 873ºK = 600ºC , suficiente para encender el gasoil pulverizado.

12∫6

34

5

patm

p

v

inyección

ciclo real

vv/16

48,5

pat

m

CICLO DIESEL


motor a explosión12

. Los motores Diesel funcionan con combustibles más pesados (y

más baratos) que la nafta (gasoil, fuel-oil y hasta petróleo crudo)13

. A igualdad depotencia, son más pesados y caros que los de explosión, en razón de la mayor ro-bustez de sus órganos, que deben soportar mayores esfuerzos y temperaturas. Sinembargo, su mayor costo de inversión se equilibra con el menor costo operativo mu-cho antes de terminar la vida útil de la máquina.

Motores de dos tiemposEn ellos, la admisión y el escape se realizan en el mismo momento bombeando exte-riormente la mezcla o aire fresco (en los motores a explosión o Diesel respectivamen-te), que desaloja a los gases quemados mientras el pistón está en el PMI. Luego secomprime, explota y quema, y se expande, como en el ciclo de cuatro tiempos. Surendimiento es menor porque la expulsión de gases quemados por la corriente en-trante se lleva a cabo generalmente con cierta contaminación entre ambas. Sin em-bargo, el ciclo de dos tiempos permite que el propio pistón abra y cierre los orificios(lumbreras) por donde entran o salen los gases. Esta disposición sin válvulas unida alhecho de tener un ciclo activo por vuelta (en vez de uno cada dos vueltas en los moto-res de cuatro tiempos) los hace preferibles cuando la simplicidad y la mayor potenciaespecífica son primordiales.

Máquinas frigoríficasUna máquina térmicareversible cualquieraestá en condiciones debombear calor desde lafuente fría a la fuentecaliente, como vimospara el refrigerador deCarnot. En la prácticalos ciclos frigoríficos

usan gases fácilmente licuables (amoníaco NH3), freón (Cl2F2C)) aprove-chando la evaporación y la licuación (cambios de estado) como las evolucio-nes isotérmicas reversibles de un ciclo de Carnot en las que se intercambiacalor con las fuentes, completándolo con una expansión y otra compresiónadiabáticas. Además de la reversibilidad, una evaporación/condensaciónsobre una pared metálica presenta muy buen coeficiente de transmisión,facilitando así el intercambio calórico. En el ciclo de la figura el compresorsucciona del recipiente evaporador cuya fase líquida se evapora, robando elcalor Q2 en la evolución 4-1 de la fuente fría a la temperatura T2 y lo compri-me hasta el punto (2) de condensación del fluído a la temperatura de lafuente caliente T1. Allí un ventilador externo ayuda a la transmisión al exte-rior del calor de condensación Q1, evolucionando hasta (3). De 3 a 4 el fluídose expande adiabáticamente en un motor que ayuda al compresor. La ex-

12

La autoignición antes que salte la chispa a veces se observa en motores de explo-sión que tienen depósitos de carbón incandescente en el interior del cilindro.13

El primer motor presentado por Diesel en 1883 funcionaba con carbón pulverizado.

p

v

1 2

341

23

4

evap

ora

do

r

compresorco

nd

ensa

do

r

motor expansorCICLO FRIGORÍFICO IDEAL

Q2

Q1

Q2

Q1

T1

T2

223

pansión en un motor resulta mecánicamente complicada, así que en la prác-tica se expande sin recuperar trabajo en un estrangulamiento (válvula ocapilar). Esta evolución 3-4 en un refrigerador real es irreversible y no puederepresentarse en el diagrama con una sucesión de puntos de equilibrio.

TurbinasSon máquinas que transforman la energía de un fluído en trabajo mecánico,a través de la acción del mismo sobre una rueda de paletas (turbina propia-mente dicha). Desde el punto de vista termodinámico, igual que las máqui-nas de émbolo, transforman trabajo de circulación (cuyo concepto ya vimos)en energía mecánicaLas hay de diferentes tipos:• Turbinas hidráulicas• Turbinas de vapor• Turbinas de gas• Turbinas de chorro (Jet)

Las turbinas hidráulicas trabajan con un fluído incompresible, el agua, de la que ex-traen su energía mecánica. Las hemos estudiado ya en el capítulo de Fluidodinámica.

Turbinas de vapor

En el año 120 AC, Herón de Alejandríainventó la eolípila, aparato precursor delas turbinas de vapor actuales. Consisteen un recipiente esférico que puede girarsobre un diámetro vertical. Por unos

tubos acodados dispuestos sobre el ecuador sale el vapor producido porebullición del agua interior. La reacción del vapor saliente genera la rápidarotación del conjunto.

Se demuestra que para que se transfiera la mayor parte de la energía cinética de unfluído a los elementos móviles (ruedas de paletas o álabes), éstos deben poseer unavelocidad del orden de la mitad de la de salida del fluído. La gran velocidad del vaporde salida por orificios o boquillas de los recipientes que lo contienen a presión unida alrequerimiento señalado, obliga a construir turbinas de gran número de revolucionespara aprovechar debidamente su energía. Para adecuarlas a la mayoría de las aplica-ciones motrices de velocidad mucho menor (ruedas de vehículos, hélices de barcos.etc.) se requiere reducir la velocidad de giro. Esto se logra con sistemas de ruedas ycorreas, o de trenes de engranajes, que entrañan una pérdida de potencia además delcosto y volumen adicional a la máquina propiamente dicha. Uno de los pocos casos enque se aprovecha la alta velocidad de las turbinas para mover directamente las má-quinas conducidas es en el caso de algunas herramientas (muelas, fresas y piedras) yen los alternadores de inductor de polos lisos, que requieren girar a 3000 revolucionespor minuto en el caso de corriente alterna de 50 Hz, como se verá en el curso deelectricidad.

EOLÍPILAHerón de Alejandría

(120 AC)


Hasta hace algunas décadas, coexistían aún las máquinas de vapor de émbolo y lasturbinas como máquinas motrices. Aunque conceptualmente la turbina es una máqui-na mucho más sencilla que la de Watt, hubieron de superarse varios problemas deconstrucción y materiales antes de que desplazaran completamente a éstas. A lasimplicidad mecánica mencionada, la turbina agrega la posibilidad de funcionar contemperaturas mucho más elevadas

14, lo que la hace termodinámicamente preferible

por su mayor rendimiento. La única desventaja insuperable de la turbina es que noadmite funcionar al revés, como puede la máquina de émbolo. Para dar marcha atrása un barco o una locomotora se debe invertir el giro de la hélice o de las ruedas: unsimple toque a una palanca que desfase el ciclo de la caja de válvulas cumple estecometido en las máquinas de émbolo. Turbinas y motores de combustión de cuatrotiempos necesitan para esto importantes cajas de engranajes inversoras, con embra-gues y acoplamientos accesorios.

En el esquema adjuntose muestra el principiode funcionamiento dela turbina de vaporcomo la que construyóen 1880 el ingenierosueco C. De Laval. Enla tobera, que es untubo de sección varia-ble calculado para queel vapor se expanda sinpérdida de energía, elvapor transforma elsalto entálpico (energía

térmica) en energía de velocidad, a través de unaexpansión adiabática. La velocidad de salida de latobera se compone con la del álabe para dar unavelocidad relativa menor (resta vectorial), de maneraque un observador móvil a bordo del álabe veríasólo un cambio de dirección en el chorro (vectoresen verde).

La turbina De Laval descripta es del tipo “de acción”y posee una sola rueda en la que se aprovecha todala energía cinética del vapor lograda en una únicaexpansión. Como ya se explicó esto impone unaelevada velocidad de giro (por ejemplo 5000 rpm).Para lograr una velocidad menor se puede dividir envarias etapas la acción, la expansión o ambas co-

14

La limitación de temperatura en máquinas de émbolo lo plantea la descomposicióndel aceite que obligadamente debe lubricar las paredes del cilindro.

tobera o boquilla deexpansión

álabes

cho

rro

de

vap

or

qu

e ca

mb

ia d

ed

irec

ció

n

árb

ol

o e

je m

otr

iz

velo

cid

ad d

een

trad

a d

elva

po

r

velo

cid

ad t

ang

enci

ald

el á

lab

e

velo

cid

ad r

elat

iva

del

vap

or

resp

ecto

del

ála

be

velo

cid

ad a

bso

luta

del

vap

or

a la

salid

a d

el á

lab

e

Disposición tipo Parsons

Disposición tipo Curtiss

sentido delflujo

álab

es f

ijos

(tob

eras

)

álab

es m

óvile

s

álab

es m

óvile

s

Tobera deentrada

álab

es f

ijos

álab

es m

óvile

s

álab

es m

óvile

s

225

sas, haciendo que el vapor incida sucesivamente sobre ruedas montadassobre el mismo eje, separadas por elementos fijos que imponen el cambio dela característica que se desea parcializar.

En las turbinas llamadas “de reacción”, desarrolladas por primera vez en Inglaterra porC. Parsons (1884), las sucesivas ruedas montadas en el mismo eje poseen álabesinclinados (dispuestos en hélice) que imponen una desviación menor al vapor, lo quepreviene una excesiva velocidad periférica. El vapor de salida de una rueda cae sobreun sistema de toberas fijas en las que se opera un cambio de dirección y una expan-sión parcial. Las toberas intermedias lo envían sobre la siguiente rueda de álabesmontada sobre el mismo árbol común. Al ir perdiendo presión el vapor al paso por lassucesivas etapas, crece su volumen específico, lo que requiere una sección de pasocada vez más amplia (ruedas de mayor diámetro o mayor superficie transversal). Lasturbinas Parsons sufren un empuje axial sobre su rotor debido a la diferencia de pre-sión entre etapas que debe ser compensado. En las turbinas desarrolladas por elpionero de la aviación norteamericano G. Curtiss (1878-1930) se parcializa sólamenteel cambio de dirección entre ruedas con coronas de álabes fijos orientados en sentidocontrario al de los de las ruedas.

Ciclo de Rankine de las Máquinas de Vapor

Sea cual fuera el tipo de máquina de vapor empleado, ella transforma eltrabajo de circulación del fluído en trabajo mecánico que se aprovecha en eleje. La diferencia entre turbina y máquina de émbolo radica en que el vaporse expande en el cilindro de ésta realizando trabajo, y en cambio esta mismaexpansión en la tobera de una turbina se transforma en energía cinética delvapor, que luego genera trabajo al cambiar la dirección del chorro en losálabes móviles de la rueda. El ciclo que cumple el fluído en una instalaciónde máquina de vapor (turbina o máquina de émbolo) que se indica en lafigura y diagrama adjuntos, fué estudiado por primera vez en 1859 por elingeniero y físico escocés W. Rankine, por lo que se lo conoce como Ciclode Rankine.

El agua a temperatura ambiente que proviene de un tanque condensadorestá en equilibrio con su vapor, a presión p1 menor que la atmosférica (5). De

1 2 3

4

5

2

5

3

4

1

recalentamiento

expansión

condensación

bom

beo

evaporación

calentamiento

v

p recalentadorturbina

condensador

generador

bomba

curva de cambio de estado

1’

1’caldera

p2

p1

qu

em

ad

or


allí la succiona la bomba de alimentación, que la inyecta a la presión p2

adentro de la caldera (1). Ésta es un recipiente cerrado, construido parasoportar presión y temperatura, donde el agua recibe calor de una fuenteapropiada (por ejemplo un quemador de gas). Allí se calienta hasta ebulli-ción (1’) y luego se vaporiza (2). El vapor saturado pasa por unos tubos encontacto con el fuego (recalentador) y sale a mayor temperatura sin variar lapresión (3). Entra en la máquina (representada por una turbina en el dibujo,pero que bien puede ser una máquina de émbolo) y dentro de ella ejecuta laevolución 3-4, que se discutirá luego con detalle. El vapor de escape de lamáquina vuelve a estar saturado ya que dentro de ella se ha expandidoadiabáticamente y por lo tanto enfriado. Entra en un intercambiador de calorrefrigerado por agua de río (condensador), donde abandona su calor latentede evaporación y se condensa (5)15

En la evolución adiabática 3-4 dentro de la máquina, el trabajo que realiza elvapor viene dado por la diferencia de entalpías entre estados inicial y final, o

sea que L=(I4-I3) = 3! 4v.dp . A este trabajo de circulación debe restársele el

necesario para bombear el agua desde el condensador hasta la caldera(área rayada en azul = v5.(p1-p5)).El área rayada en verde es el trabajo neto que genera el sistema hacia elexterior (por ejemplo el generador eléctrico), y vale

3! 4v.dp – v5.(p1-p5)

EjemploEn el diagrama adjuntoestá representado un cicloque evoluciona con vaporde agua a 60 Kg/cm2

recalentado a 350 ºC, quesegún tablas

16 tiene un

volumen específico de0,048 m3/Kg y una ental-pía de I=728,5 Kcal/Kg, yse expande adiabática-mente hasta la presión de23 Kg/cm2 sobre la curva

de saturación (T=216 ºC , v= 0,1 m3/Kg , I=669 Kcal/Kg). La diferencia de entalpíasdebe corresponder al área sombreada más el pequeño rectángulo correspondiente albombeo. Esta superficie puede evaluarse aproximadamente como la de un trapezoide:S=(0,1+0,048)/2 m3/Kgx(60–23)x104x9,8 N/m2 = 268324 J/Kg = 64,4 Kcal/KgLa diferencia de entalpías según tablas resulta 728,5-669 = 59,5 Kcal/Kg , lo quecomparada con el dato anterior da una diferencia menor que el 10%

15

Si bien en teoría el agua recircula sin pérdidas, existen éstas en la práctica. Esca-pes de vapor y purgas de caldera obligan a reponer agua exterior en el punto (5)16

Tablas de propiedades del vapor de agua pueden encontrarse en manuales técni-cos, como el Hütte, y en diagramas de Mollier (entálpico-entrópico)

Diagrama del agua

0

50

100

150

200

250

0,001 0,01 0,1 1V (m3/kg)

P (

Kg

/cm

2)

227

Turbinas de gas

Básicamente similares a las de vapor, las turbinas de gas transforman laenergía térmica de los gases de combustión en energía cinética en una tobe-ra a través de una expansión térmicamente equivalente a las que realizaríanen el cilindro de un motor de combustión interna17. El chorro incide en losálabes de una rueda, transformando su energía cinética en trabajo mecánicoen el eje. Parte del trabajo se emplea en la compresión de los gases, en uncompresor rotativo acoplado al eje, que forma parte del conjunto. La turbinaes en general del tipo Parsons, es decir multietapa axial. El compresor bási-camente funciona como un ventilador de alta presión, y como éste puede seraxial o centrífugo.Turbinas de retropropulsión, a chorro o “jet”

Las turbinas a gas como ladescripta transforman casitoda la energía de la com-bustión en trabajo en el eje,el cual se aprovecha paramover máquinas conduci-das tales como generado-

res eléctricos, vehículos, etc. Para el caso de aeronaves, se utiliza desdefines de la segunda guerra mundial una disposición en la que se trata deaprovechar la mayor parte de la reacción del flujo de gas directamente parala propulsión del avión. Estos motores de chorro constan también de uncompresor, cámara de combustión y turbina, la que sólamente transforma entrabajo mecánico la energía de los gases necesaria para mover el compre-sor. El resto sale por el escape de la turbina debidamente orientado paraproducir un empuje de reacción axial que obra sobre el sistema motor. Esteempuje aprovecha al desplazamiento del avión en la medida que éste se

17

La expansión es más completa que en el ciclo Diesel, en el que el escape se verifi-ca a presión mayor que la exterior (línea punteada en el diagrama).

1

2 3

4

2 3 4

v

pentrada de aire salida de

gases

compresor axial turbina

cámaras decombustión

toberaseje

motriz

1

inyección delcombustible

CICLO YDISPOSICIÓN

TÍPICA DE UNATURBINA DE GAS

MOTOR “JET”

turbinacompresor

cámaras decombustión

chorro de gases de escape de turbina


mueva a una velocidad no muy inferior a la de los gases de salida, que sueleser bastante elevada. Si la aeronave estuviera diseñada para marcha máslenta, un motor a pistón que moviera una hélice sería más apropiado. Paraaeronaves de velocidad intermedia se usa el sistema a turbohélice, en el queel eje de la turbina mueve una hélice además del compresor, utilizando elresto de la energía en la propulsión a chorro.

Empuje en un motor a reacciónSea me la masa de aire por segundo que entra en la turbina a velocidad relativa VVe y

ms la masa de gases de salida a la velocidad relativa VVs . El empuje que recibe el

motor es ms.VVs-me.VVe . La diferencia entre ms y me es igual a la cantidad de combus-

tible mc=ms-me , de tal manera resulta ∆∆(mVV)=(me+mc)VVs-me. VVe=me(VVs-VVe) + mc.VVs

Ejemplo:Un motor a reacción genera gases a 400ºC que salen por la sección trasera S =1 m2 ,a Vs =500 Km/h. ¿Qué empuje desarrollará cuando está detenido?

Respuesta: Si está detenido es VVe=0. Despreciando el flujo de combustible inyectado,

el empuje vale me(VVs-VVe) = ms.VVs . Suponiendo que el gas de salida sea ideal (per-

fecto), su densidad vale δδ=p/R/T.M. Como se derrama en la atmósfera, será p=101300N/m2. Su densidad vale pués: δ δ =101300 N/m2/8,3[J/ºK/mol]/673ºK x 0,029 Kg/mol =0,52 Kg/m3

Entonces la masa de gas que sale por segundo resulta:ms= S.VVs.δδσ = 1m2 x 139 m/s x 0,52 Kg/m3 = 72,28 Kg/sEl empuje que produce se obtiene multiplicando esa masa por la velocidad de salida:72,28 Kg/s x 139 m/s = 10046 N

Otra: ¿Qué ocurre cuándo el motor se desplaza a cierta velocidad?Cuando el motor se desplaza a velocidad VV=VVe recibe una cantidad de gas

me=Se.VVe.δδe , para δδe = pe/R/Te.M . Si la boca de entrada del motor está de cara a lacorriente debe considerarse en el cálculo de la densidad de entrada el término dinámi-co δδe.V.Ve

2/2 , que debe sumarse a la presión estática ps (igual a la atmosférica).

Así entonces es p’e=ps+ δ δe.V.Ve2/2 , lo que arroja una nueva densidad δδ’e= p’e/R/Te.M

Considerando otra vez despreciable la inyección de combustible frente a la masa degas circulante, es ms= Ss.VVs.δδs = me= Se.VVe.δδ’eEn tal caso es VVs=VVe.Se/Ss.δδ’e/δδs

Supongamos que el avión se desplaza a V= Ve = ½ Vs = 69,44 m/s, y que Te=273ºKAdemás, la sección de entrada al compresor del motor es mayor que la de salida.Adoptemos el valor Ss = 1,5 m2

Resulta p’e=ps+ δ δe.V.Ve2/2 =101300 N/m2 + 1,296 Kg/m3 x 69,442 m2/s2= 104425 N/m2

δδ’e= p’e/R/Te.M = 104425/8,3/273x0,029 = 1,336 Kg/m3

VVs=VVe.Se/Ss.δδ’e/δδs = 69,44 m/s x 1,5 x1,336/0,52 = 267,6 m/sEn estas condiciones de marcha, el motor reacción produce un empuje deF= m (VVs-VVe) = Ss.VVs.δδs.(VVs-VVe) = 1,5m2x267,6 m/sx0,52 Kg/m3(267-69,44)m/s == 41654 N

-o-o-o-

FÍSICA – CALOR – MÁQUINAS TÉRMICAS a

FÍSICA GENERALÍNDICE TEMÁTICO DE LA QUINTA PARTE

CALOR – MÁQUINAS TÉRMICAS

Algunas consecuencias del Segundo Principio.....................................201Calor sensible y calor latente – Cambios de estadoEcuación de Clapeyron ....................................................................201Termodinámica Química ..................................................................203

Las reacciones químicas...............................................................203La ecuación química. Velocidad de reacción y equilibrio.La ley de acción de las masas. ..................................................203

Transmisión del calor...........................................................................209Conducción......................................................................................210

Transmisión del calor en una dimensión........................................210Conducción del calor en el espacio ........................................211

Convección......................................................................................212Coeficientes de convección de algunos sistemas....................212

Pasaje de calor a través de una pared compuesta.........................213Proceso de enfriamiento o calentamiento ......................................215

El tercer principio de la Termodinámica:...............................................219Ciclos de máquinas térmicas reales..................................................221

Motores de combustión interna .....................................................221Motores a explosión...............................................................221Motores Diesel.......................................................................222Máquinas frigoríficas..............................................................223Turbinas ................................................................................224

Turbinas de vapor.........................................................................224Ciclo de Rankine de las Máquinas de Vapor ...........................226

Turbinas de gas............................................................................228Turbinas de retropropulsión, a chorro o “jet” ...............................228

Empuje en un motor a reacción..............................................229

b

ÍNDICE ALFABÉTICO DE LA QUINTA PARTE

ácido iodhídrico, 204Actividad química y concentración, 205admisión (motor), 220afinidad, 203Afinidad, 206agua (evolución de la temperatura), 216agua (formación de), 204Agustín Álvarez, 218álabes (turbina), 223alternadores (turbinas), 223amoníaco (frigorífico), 222apuntes de electricidad de 1995, 206azufre, 203bomba de alimentación (caldera), 226bombeo de calor (máquina frigorífica),

222Bose, 218cajas de engranajes, 224caldera, 226calefacción por bombeo de calor, 215calor de cambio de estado, 202calor de la reacción, 205calor latente, 201calor sensible, 201calorímetro de mezclas, 201cámara de combustión (motor), 221cámara frigorífica (pasaje de calor), 214cambios de estado, 201carburador (motor), 221cero absoluto, 218ciclo de Carnot (efecto frigorífico), 222ciclo de cuatro tiempos, 220ciclo de Rankine (máquinas de vapor),

225cilindro (motor), 221cinc, 207cinética química, 203Clapeyron, Benito P., 201cloro, 203cloro e hidrógeno (mezcla), 205cobre, 207cobre (potencial), 207coeficiente de transmisión total, 214coeficientes de conductividad térmica

(tabla), 210coeficientes de convección (tabla), 212Collo, 218compresor rotativo (turbina de gas), 227concentraciones y actividades, 204

condensador (ciclo de Rankine), 226condensador (refrigerador), 222conducción, 209conducción del calor, 210Conducción del calor en tres

dimensiones, 211constante de los gases, 207constante de tiempo, 216constante de tiempo (evolución de

temperatura), 216constante k(T), 204convección, 209, 212convección forzada, 212convección natural, 212cuantificación de conceptos vagos, 203cuantificación de efectos de las

reacciones, 203Curtiss, G., 225curva de calentamiento, 216curva de enfriamiento, 216D’Alembert, Juan, 211De Laval, C., 224diagrama del agua (ejemplo), 226diagrama p,v (cambio de estado), 201Diesel, Rudolf, 221ecuación de Clapeyron, 201ecuación de D'Alembert, 211ecuación de Poisson, 211ecuación química, 203electrodo de metal, 206electrodos positivo y negativo, 207encono entre elementos y sustancias,

203energía cinética, 205energía interna, 205Energía libre, 206energía química, 205energía rotacional, 205energía vibratoria, 205entropía cero, 218eolípila (de Herón), 223equilibrio químico, 203evaporador, 222fenómenos electroquímicos, 203físicos eminentes (pléyade), 218flujo de calor, 210flujo del vector gradiente de

temperatura, 209Fourier, J. P., 210

FÍSICA – CALOR – MÁQUINAS TÉRMICAS c

freón (frigorífico), 222fugacidad. Véase presión parcialfunción potencial, 218funcionamiento en reversa (máquina de

émbolo), 224Ganz, 218Gaviola, 218generadores electroquímicos, 205González. Véase Joaquín V. Gonzálezgradiente de temperatura, 210gradiente de un escalar, 209Guldberg y Waage, 204. Véase Ley de

acción de las masashabitación (pérdida de calor), 210Herón, de Alejandría, 223hidrógeno, 203hidrógeno y iodo, 204hielo (fusión), 202iones disueltos, 207Isnardi, 218jet. Véase motor a chorroJoaquín V. González, 218laplaciano (operador), 211Le Chatelier, 205Le Chatelier (principio de), 203ley de acción de las masas, 204Ley de Acción de las Masas, 203ley de acción de las masas

(explicación), 204ley de acción de las masas y actividad,

205ley de Fourier, 210licuación (cambio de estado), 201logaritmo natural, 207Loyarte, 218Magliano, 218máquina de vapor, 220máquinas de vapor de émbolo versus

turbinas, 224máquinas frigoríficas, 222máquinas térmicas reales, 220Mollier (diagrama del vapor de agua),

226motor a chorro, 227motor a reacción (ejemplo), 228motor a reacción (empuje), 228motor de combustión interna versus

turbina de gas, 227motores a explosión, 220motores de combustión interna, 220motores de dos tiempos, 222

motores Diesel, 221nabla (operador), 209Nernst, 218Nernst (fórmula de), 207Norma, (patinadora de “Holiday on Ice”),

202número irracional e, 207obra de Dios, 218origen del universo, 218Otto, N. A., 220oxígeno, 203parámetro de crecimiento λ, 206pared cilíndrica (transmisión del calor),

212pared compuesta (pasaje de calor), 213Parsons, C., 225patín de hielo, 202pila de Volta, 208Pilas o generadores electroquímicos,

206pilas y acumuladores, 205placa plana (convección), 213Poisson, S. D., 211potencial de electrodo, 208potencial de referencia, 208Potencial de un electrodo, 206premio Nobel. Véase Nernstpresión de disolución. Véase pilas y

generadores electroquímicospresión osmótica. Véase pilas y

generadores electroquímicospresión parcial, 205primer principio de la termodinámica,

201principio de Le Chatelier, 205principios de la termodinámica, 203proceso de enfriamiento o

calentamiento, 215propagación del calor, 209química pre-termodinámica, 205química termodinámica, 205radiación, 209Rankine, W, 225reacción (turbina de avión), 227Reacciones electrolíticas reversibles,

206reacciones químicas, 203recalentador (caldera), 226refrigerador de Carnot (ejemplo), 214salida del vapor por orificios, 223segundo principio de la termodinámica,

d

205simpatía, 203sistema cerrado, 218sistemas químicos, 203subtangente (relación con la constante

de tiempo), 216sulfato de cobre (potencial), 207tablas jerárquicas de efectos, 203temperatura absoluta, 207tercer principio de la Termodinámica,

218termodinámica química, 203tobera (turbina), 224trabajo de circulación (ciclo de

Rankine)), 226trabajo de circulación (turbinas), 223trabajo mecánico asociado al cambio de

estado, 201transmisión de calor, 209transmisión del calor en una dimensión,

210turbina tipo Laval, 224turbina de acción, 224turbina de reacción, 225turbinas, 223turbinas de gas, 227turbinas de retropropulsión, 227turbinas de vapor, 223turbinas hidráulicas, 223turbinas Parsons, 225turbohélice (avión), 228Universidad de La Plata, 218universo (sistema cerrado), 218válvula de admisión (motor), 221vapor recalentado (ejemplo), 226varilla (propagación del calor), 210velocidad de reacción, 203Velocidad de reacción y equilibrio, 203versores, 209Volta (pila de), 207

termodinamica

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