tercer examen parcial Área matemática fecha08.12.2008
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Tercer Examen Parcial Área Matemática Fecha08.12.2008TRANSCRIPT
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN II / 2008
TERCER EXAMEN PARCIAL ÁREA: MATEMÁTICA FECHA:08.12.2008
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOSNO SE PERMITE CALCULADORAS
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En las siguientes preguntas encierra en un recuadro la opción correcta:
1. (5 puntos) Un triangulo acutángulo, tiene sus ángulos internos:
a) iguales a 90º b) menores a 90º c) mayores a 90º d) diferentes a 90º
2. (5 puntos) El teorema de Heron nos permite calcular el área:
a) Sombreada b) de un rectángulo c) de un triángulo d) ninguno.
3. (5 puntos) La ecuación de la recta que corta a los ejes coordenados en x = 1 y y=2 es:
a) 022 =−− yx b) 022 =++ yx c) 0122 =−+ yx d) 022 =−+ yx e) Ninguna
4. (5 puntos) La pendiente de una recta vertical es:
a) Positiva b) Negativa c) Cero d) Es variable e) Ninguna de las anteriores
Desarrolle completamente los siguientes problemas
5. (10 puntos) El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro es un rectángulo de base “a” y altura “b”.
Hallar el volumen del cilindro.
6. (10 puntos) Hallar la ecuación de la recta R que pasa por el punto (4,3) y que sea perpendicular a la recta
R1: 3x + 7y8=0.
7. (20 puntos) En la figura, hallar el valor del ángulo . Si se conoce que OB = DC, y el ángulo BCO es 25º.α El radio de la semi circunferencia es 15 unidades.
B
O
D
Cα
8. (20 puntos) Hallar el área sombreada de la figura, sabiendo que el radio de la circunferencia es igual a “R”.
9. (20 puntos) Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas:0552:1 =+− yxL ∧ 01925:2 =−− yxL y que sea perpendicular a la recta: 042:3 =+− yxL
F IUMSA
FACULTAD DE INGENIERÍA
a
bb
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN II / 2008
SOLUCIONARIO
1. Menores a 90º. Respuesta b)2. El área de un triángulo. Respuesta c)3. Respuesta inciso d) 2x+y2=04. Es infinita Respuesta e) Ninguna
5.
Solución:
La Fórmula del Volumen del Cilindro es:V = π r2 h (1) donde: h = b
Por las condiciones del problema, la longitud de la circunferencia: L = 2 π r = a ⇒ π2a
r =
Remplazando en (1) y operando: π4
2baV =
6. La pendiente de R1 es: m1 = 3/7
Por ser las rectas perpendiculares:m * m1 = 1
m
−
73
= 1 m = →37
Aplicando la Ecuación de la Recta Punto Pendiente:y y1 = m (x x1)
y – 3 = 37
(x4)
3y – 9 = 7x 28 7x – 3y – 19 = 0→
7. En la figura, hallar el valor del ángulo . Si se conoce que OB = DC, el ángulo BCO es 25º y el radio deα la semi circunferencia es 15
De acuerdo a los datos tenemos en el gráfico:
B
O
D
Cα
θ
θ
βδ
F IUMSA
FACULTAD DE INGENIERÍA
25º25º15
15 15
En el triángulo ODC: + 2*25º = 180º = 130ºβ → βPor otra parte: + = 180ºθ β = 50º→ θ
En el triángulo OBD: + 2δ = 180º θ → = 80ºδEn la semicircunferencia: + + 25º =180º = 75ºα δ → α
8.
Completando con rectas, tal como se muestra en la figura, se obtiene un total de 12 triángulos equiláteros cuya altura es igual a la mitad del radio de la circunferencia. Entonces el lado de cada triangulo equilátero será:
3
22
222
RL
LRL
=
+
=
Luego su área será igual a: 342
*32
1 2RRRA =
=
Finalmente el área sombreada será la diferencia del área de la circunferencia y la de los 12 triángulos equiláteros:
( ) 2
22
3
34
12
12
RA
RRA
AAA
S
S
Cs
−=
−=
−=
π
π
9. Solución:
),(1925:2552:1
0 oyxPyxL
yxL
=−−=−
Resolvemos las ecuaciones de las rectas 1L 2L∧
=−+=+−38410252510
yy
yx
6321 =y
2163=y
Reemplazamos y en ecuación de la recta 1L :
5105525
5126399
521
2*6319
5219 ==+=
+=⇒+= x
yx
5=x
De 3L :
21
21
3 =−−=−=
BA
m
Entonces la pendiente de la recta pedida es:
2
2111
3
−=−=−=m
m
Utilizamos la ecuación punto pendiente y reemplazamos los valores de mxy ∧,)( 00 xxmyy −=−
0213
0221
273
02102163
)5(22163
=+−
=+−
=+−−
−−=−
xy
xy
xy
xy
Ordenando la ecuación:132 =+yx