UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN I / 2008

TERCER EXAMEN PARCIAL ÁREA: MATEMÁTICA FECHA: 17.06.2008 TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS NO ESTÁ PERMITIDO EL USO DE CALCULADORAS ***************************************************************************************************************************************************

1.- Responda las siguientes preguntas (5 puntos por pregunta): 1.1.-El ortocentro de un triángulo rectángulo esta localizado a la altura del ángulo:

a) Agudo b) Recto c) Ninguno. 1.2.-La suma de los ángulos internos de un polígono convexo de n lados es igual a: a) 180º b) 180º(n-2) c) 180n d) 180 (n+2) 1.3.- La pendiente de la siguiente recta es

a) Positiva b) Negativa c) Cero d) Es variable 1.4.- La cantidad total de diagonales que se pueden trazar en un dodecágono es: a) 54 b) 60 c) 70 d) 45 e) 24 2.-Resolver los siguientes ejercicios (10 puntos por pregunta): 2.1.- Calcular el área sombreada, siendo “r” el radio de la circunferencia:

2.2.-Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (1,5) y esta a una distancia de 5 unidades del punto (0,-2). 3.-Resolver los siguientes ejercicios (20 puntos por pregunta): 3.1.- Halle la ecuación de la circunferencia tangente a las rectas 04yx y

047 yx , que tiene su centro en la recta 0234 yx

3.2.- En el triangulo isósceles ABC se tiene AC BC

, sobre la recta AC se toma

el punto E tal que: AB BE EC

. Hallar el ángulo ACB

3.3.- El lado de la base de una pirámide cuadrangular regular mide “a” y su altura “h”. Se inscribe un cubo, apoyado sobre la base de la pirámide, y tal que cuatro de las aristas del cubo son paralelas a una diagonal de la base de la pirámide. Calcular la arista del cubo en función de “a” y “h”.

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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN I / 2008 SOLUCIÓN DEL TERCER EXAMEN PARCIAL ÁREA: MATEMÁTICA FECHA: 17.06.2008

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SOLUCIONARIO 1.-Preguntas teóricas. 1.1.- Angulo recto Respuesta es: b) 1.2.- 180(n-2) Respuesta es b) 1.3.- Positiva Respuesta a)

1.4.- Como D= 542

9*12

2

3nn Respuesta: a)

2.-Ejercicios. 2.1.- Calcular el área sombreada, siendo “r” el radio de la circunferencia:

Se trata de un octógono, es decir que: Donde el ángulo central es: 360º / 8 = 45º Luego, cada triángulo será:

Entonces: r2

2 h

r

hº45sen

El área de cada triángulo será: 2trtr r

4

2A

2

r2

2r

2

hrA

El área de todo el octógono será: 2totaltrtotal r 22AA8A

**Otra opción:

cos22,5ºr h º,cosr

h522

Pero 45º = 2 * 22,5º

entonces, usando: 1cos22cos 2

2

22

2

12

2

º5,22cos2

12coscos

Con esto : 2

22r h

Por Pitágoras: 2-2r L hr2

L 222

Área del triángulo: 2trtr r

4

2A

2

2

22r 22r

2

hLA

Y nuevamente: 2totaltrtotal r 22AA8A

2.2.Utilizando la formula punto pendiente se tiene que: y – yo = m (x - xo) Reemplazando el punto (1,5) tenemos: y – 5 = m (x - 1) Ordenando tenemos lo siguiente:

mx – y + 5 – m = 0 Asemejando a la ecuación general de la recta tenemos: A = m; B = -1; C = 5-m Reemplazando en la ecuación de la distancia de punto a recta tenemos lo siguiente:

1

5)2)(1()0(5

2m

mm

45º r

r

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r

L / 2

22.5º

h

r

45º

r h

Girando

un poco:

Reduciendo se tiene:

1552 2mm

157 2mm Elevando al cuadrado tenemos:

(7-m)2 =25(m2+1) 24m2 + 14m - 24 = 0 (4m - 3)(3m + 4)= 0 Se tiene dos valores de pendiente de recta por lo que existe 2 ecuaciones de rectas. Con m = ¾ se tiene 3x – 4y +17 = 0 Con m = -4/3 se tiene 4x +3y –19 = 0

3x – 4y +17 = 0 4x +3y –19 = 0

3.1. Como el centro de coordenadas C(h,k) para por la recta la satisface, entonces se tiene:

)1(0234 kh

Como la circunferencia es tangente a las rectas la distancia del centro a cada recta tangente es el radio, por lo tanto:

)2(83

25

47

2

4

kh

khkh

Resolviendo el sistema entre (1) y (2) se tiene que el centro es de coordenadas

)2,2(),( khC

El radio será: 2

4

2

422R

Entonces la circunferencia será: 82222

yx

3.2.-En el triangulo isósceles ABC se tiene AC BC

, sobre AC se toma el punto E tal que

AB BE EC

. Hallar el ángulo ACB

En el triangulo BEC es isósceles. Se cumple,

a lados iguales ángulos iguales. En el punto E se tiene:

2BEA x x x

El triangulo EBA es isósceles, luego el ángulo en E se repite en A.

El triangulo ABC es isósceles. El ángulo en A

se repite en B. Por suma de ángulos interiores:

2 2 180

36

x x x

x

A

B

C

E13%x

7%x

13% 18%20%

7%

A

B

C2x

x

x 2x

12%x

E El ángulo pedido es de: x = 36º 3.3. El lado de la base de una pirámide cuadrangular regular mide a y su altura h. Se inscribe un cubo, apoyado sobre la base de la pirámide, y tal que cuatro de las aristas del cubo son paralelas a una diagonal de la base de la pirámide. Calcular la arista del cubo en función de a y h.

Sean ABCD los vértices inferiores del cubo y ,,,, DCBA los vértices superiores del cubo como

se muestra en la grafica:

A`

D C

BA

D` C`

B`N

Punto del centro del

cubo

Los vértices de la pirámide cuadrangular serán los siguientes:

M

Punto central de

Piramide

O

Tenemos el siguiente grafico visto desde una cara lateral de la pirámide truncada:

M

A'

V

OA

N h

2

a

Calculando los demás datos de la figura tenemos:

La diagonal del cubo se tiene lo siguiente: la recta A’C` se tiene lo siguiente: x2A`N

entonces la recta A`N es la mitad de la recta A`C, se tiene: x2

2A`N con lo cual se tiene lo

siguientes datos:

M

A'

V

OA

N hx

2

2

x

2

a

x2

2

2

a

Se tiene los siguientes triángulos:

h

x

2

ax

2

2

2

a

La arista del cubo es igual a: ha

ahx

2

Por lo cual por semejanza de triángulos tenemos:

h

x

a

a

2

x2

2

2 despejando “X” se tiene:

h

x

a

xa 2

axxhah 2

ha

ahx

2