X

.

A

B

C

D

E

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRS FACULTAD DE INGENIERA CURSO PREFACULTATIVO GESTIN I / 2008

TERCER EXAMEN PARCIAL REA: MATEMTICA FECHA: 17.06.2008 TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS NO EST PERMITIDO EL USO DE CALCULADORAS ***************************************************************************************************************************************************

1. A. (5 puntos) Si la distancia entre el ortocentro y baricentro en un tringulo es de 1 cm, cunto medir la distancia entre el baricentro y circuncentro del mismo tringulo?

RESPUESTA: ....

B. (5 puntos) La suma de los ngulos externos de un polgono es igual a: a) 180 b) 360 c) 90 d) 100 grad

C. (5 puntos) La pendiente de la siguiente recta es:

a) Positiva b) Negativa c) Cero d) Es variable

D. (5 puntos) La cantidad total de diagonales que se pueden trazar en un decgono es:

a) 54 b) 60 c) 70 d) 35 e) 24

2. A. (10 puntos) El rea de la regin sombreada de la figura en trminos de R ser

B. (10 puntos) Determinar la ecuacin de una recta que pasa por el punto A(2,-3) y por el

punto medio del segmento que une a los puntos B(3,-1) y C(-5,7)

3. (20 puntos) Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto (1,4) y es tangente a

la circunferencia de ecuacin 052622 yxyx en el punto (-2,1).

4. (20 puntos) Hallar el ngulo X en el siguiente esquema, se sabe que el punto E es el pie de la altura del lado BC, BD es la mediana del lado

AC y que el tringulo BED es issceles:

36;45 CB

5. (20 puntos) A una esfera de radio R se circunscribe un cono, si el radio R de la esfera es

conocido, hallar el volumen del cono.

F I

UMSA

FACULTAD DE INGENIERA

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRS FACULTAD DE INGENIERA CURSO PREFACULTATIVO GESTIN I / 2007

SOLUCIN DEL TERCER EXAMEN PARCIAL REA: MATEMTICA FECHA: 17.06.2008 TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS NO EST PERMITIDO EL USO DE CALCULADORAS ***************************************************************************************************************************************************

1. A. (5 puntos) Si la distancia entre el ortocentro y baricentro en un tringulo es de 1 cm, cunto medir la distancia entre el baricentro y circuncentro del mismo tringulo?

0,50 cm. Por la propiedad de la recta de Euler, BCOB 2 o sea 2

1BC

B. (5 puntos) La suma de los ngulos externos de un polgono es igual a: a) 180 b) 360 c) 90 d) 100 grad

C. (5 puntos) La pendiente de la siguiente recta es:

a) Positiva b) Negativa c) Cero d) Es variable

D. (5 puntos) La cantidad total de diagonales que se pueden trazar en un decgono es:

a) 54 b) 60 c) 70 d) 35 e) 24

Porque 352

7*10

2

3nnD

2. A. (10 puntos) El rea de la regin sombreada de la figura en trminos de R ser:

De acuerdo a la figura se tiene

S= S sector - S circulo = 22

6r

R

Entonces en el tringulo rectngulo : rR

r30sen

De la anterior ecuacin se tiene que : 3

Rr

Reemplazando en el rea se tiene:

1836

222 RRRS

B. (10 puntos) Determinar la ecuacin de una recta que pasa por el punto A(2,-3) y por el

punto medio del segmento que une a los puntos B(3,-1) y C(-5,7)

SOLUCION

El punto medio entre B y C , ser D(x,y)

12

53x 3

2

71y

F I

UMSA

FACULTAD DE INGENIERA

La recta buscada pasa por los puntos A (2,-3) y D (-1,3) ser:

)()( 11 xxmyy 212

33

12

12

xx

yym

)2(2)3( xy

12xy

3. (20 puntos) Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto (1,4) y es tangente a

la circunferencia de ecuacin 052622 yxyx en el punto (-2,1)

SOLUCION

052622 yxyx

Completando cuadrados

51322

yx entonces su centro es (-3,-1)

La recta que pasa por los centros de las circunferencias tambin pasa por el punto de tangencia

1,2 , la pendiente es:

232

11m por lo tanto la ecuacin es: 221 xy

Entonces 52 yx

La circunferencia buscada ser: 222 rkyhx

Pasa por (1,4) entonces pertenece la circunferencia 222 41 rkh

El punto de tangencia (-2,1) tambin pertenece a la circunferencia 222 12 rkh

El centro se encuentra en la recta : )1(5252 khyx

(1,4)

(-3,-1)

(-2,1)

X45

A

B

C

D

E

R

2R

O

A

B

C D

Igualando las dos primeras ecuaciones tenemos

1266

214481621

1241

2222

2222

kh

kkhhkkhh

khkh

)2(2kh

Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) se tiene

3;1 kh

Reemplazando estos valores encontramos el valor del radio: 5r

La ecuacin pedida es : 53122

yx

4. (20 puntos) Hallar el ngulo X en el siguiente esquema, se sabe que el punto E es el pie de la altura del lado BC, BD es la

mediana del lado AC y que el tringulo BED es issceles:

36;45 CB

SOLUCION

Relacionando ngulos se tienen dos tringulos rectngulos juntos,

por lo que el ngulo resulta ser el complementario de 36

54

El ngulo suplementario de 53 es 127

Del tringulo correspondiente: 1718012736

Luego: 56180902 XX

5. (20 puntos) A una esfera de radio R se circunscribe un cono, si el radio R de la esfera es conocido, hallar el volumen del cono.

SOLUCION

Viendo ambos cuerpos desde el frente se observa que el tringulo OAB

es tringulo rectngulo, entonces:

52 22222 ROARROAABOBOA

La altura del cono ser : 51RHROAH

Por otra parte los tringulos OAB y ACD son semejantes, entonces se tiene:

2

51

2

2

1

2

Rr

Hr

H

r

AC

CD

R

R

El volumen del cono es: 3

32

2

2 5112

151

4

51

3

1

3

1RR

RHrV