UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉSFACULTAD DE INGENIERÍA

CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN I / 2009TERCER EXAMEN PARCIAL ÁREA: MATEMATICA

FECHA: 16/06/2009TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS (A)

FACULTAD DE ING ENIERÍA

F IUMSA

En cada uno de las preguntas, responda INDICANDO el inciso de la respuesta correcta EN LA PLANTILLA DE RESPUESTAS  colocada en la parte inferior de este examen.  Valor por pregunta  10%.1.  Se marcan los puntos colineales y consecutivos A,B,C,D. Si AC =3 CD;   AB= 10 y BD = 6: entonces el valor del segmento BC será:

a)  4.5 b) 4 c) 3.5 d) 3 e) 2

2. La intersección de las recta mediatrices en un triangulo se denomina:

a) Ortocentro          b) Incentro      c) Baricentro d) Ceviana e) Bisector f)  Circuncentro3. La diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es seis veces la medida del ángulo. Hallar el ángulo

a) 10 b) 20 c) 30 d) 15 e) 25 f) Ninguno

4.  En todo cuadrilátero convexo, se cumple siempre que la suma de sus ángulos exteriores es:

a) 180°     b) 360° c) ( n­1)*180°        d) (n­2)*180° e) 90° f) ninguna de las anteriores

5.  En un polígono cualquiera de “n” lados, cuando se trazan diagonales desde un solo vértice hasta cada uno de los otros vértices. Cuantos triángulos se tienen?          a)(n­2)                   b) (n­1)                   c) n                     d) (n+2)                     e) (n+1)                    f) Ninguno

6. Hallar el ángulo ”x” si se conoce que:                                             3113=∧

∧

MOE

AOM  

a) 40º b) 35º c) 30º d) 25º e) 15º f) Ninguno7.­                                                                                                                                                                        

           Si   α es 120º, L es 1, 

      el segmento AD es bisectriz

      el segmento EB es altura,

      encontrar el segmento EO

a) AD b) BD c) CD d)  AB e)  2L f) Ninguno

8.­       Hallar el área achurada en la figura determinada por el cuadrado de lado L

a) 25

2Lb) 3

5

2Lc) 4

5

2Ld) Ninguno

                                                                                                                                                                                                                                                                                          

9.­   Hallar la ecuación de la circunferencia, cuyo centro se encuentra sobre el eje x, su radio es igual a 3 y es tangente a la recta   01243 =+− yx  (considerar solo el valor positivo para el valor absoluto)

a)  922 =+ yx     b)  222 3)1( =−+ yx  c)  322 =+ yx    d)  ( ) 222 31 =+− yx    e)  ( ) 222 3)1(1 =−+− yx f)Ninguno 

10.­ Halle las intersecciones con los ejes coordenados, de la recta que es perpendicular a la recta  05yx2:L =+−  y que pasa por el punto medio del segmento que une los puntos (5;2) y (3;4) a) x = 6;  y = 3      b)  x = 8;  y = 4     c) x = 3;  y = 6      d)  x = 4;  y = 8     e) Ninguno PLANTILLA DE RESPUESTAS

Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 FILARespuesta A

AE

Oxx

xxx

M

C

α

L LA B

D

E

O

C

α

L LA B

D

E

O

 

L 

L 

L/2 

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉSFACULTAD DE INGENIERÍA

CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN I / 2009TERCER EXAMEN PARCIAL SOLUCIONARIO (A)

FACULTAD DE ING ENIERÍA

F IUMSA

1.­ Como son puntos colineales y consecutivos. Se tiene que el segmento  BC = 2   Respuesta:   e)

2. La intersección de las recta mediatrices en un triangulo se denomina: 

Solución:

      Recta mediatriz es la perpendicular trazada en el punto medio de cada lado.

PQ es la mediatriz del lado AC las otras son MN y UV mediatrices de los lados AB y BC respectivamente y el punto  donde se interceptan H, se denomina: Circuncentro.Respuesta: Inciso f)3.­ La diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es seis veces la medida del ángulo. Hallar el ángulo                                                                                                      (180 –  ) ­ (90 –  ) = 6 α α α

                                                                180 –   ­ 90 +   = 6 α α α                                                                                                                                      90 =  6 α                                                                                                                                      = 15αa) 10 b) 20 c) 30 d)                  15    e) 25 f) Ninguno

4.­ En todo cuadrilátero convexo, se cumple siempre que la suma de sus ángulos exteriores es:

a) 180°     b) 360° c) ( n­1)*180°        d) (n­2)*180° e) 90° f) ninguna de las anteriores

5.­  En un polígono cualquiera de “n” lados, cuando se trazan diagonales desde un solo vértice hasta cada uno de los otros vértices. Cuantos triángulos se tienen?

          a)(n­2)                   b) (n­1)                   c) n                     d) (n+2)                     e) (n+1)                    f) Ninguno

6.­ El ángulo AOM =  α+x    y el ángulo MOE = 90++ αx . Reemplazando en la relación, se tiene que:

º40º902:

º65:

3113

90

==+

=+

=++

+

x

xComo

x

Entoncesx

x

αα

αα

     Respuesta:  a)

7.­ Los ángulos en A y C son 30º respectivamente 

Por tratarse de un triángulo isósceles.

3

2º30cos =⇒= X

XL

3

1

3

2 22

2 =⇒−

= HLH

Por propiedad de bisectrices:

XEO

LOB = ;   además:   HEOOB =+ ;   de   ambas   ecuaciones   se   despeja   EO ,   obteniéndose: 

XLXH

EO+

= ; reemplazando los valores:  ( )233

32

+=EO  

A

B

C

M

H

v

NQ

u

P

C

120º

L LA

B

D

E

O H

30º

X

C

120º

L LA

B

D

E

O H

30º

X

8.­

                                                                                                                                  

En el triángulo ACI, se comprueba que el vértice I tiene 90º, mismo que se repite vértices en J,K y M por lo tanto; I­J­M­K conforma un cuadrado de lado x. Al ser CD igual a DE, entonces CI = IJ = x 

Aplicando Pitágoras al triángulo CEF, se tiene:  ( )2

52

22 LL

LCF =

+=  Relacionando el triángulo rectángulo 

CDI con el triángulo rectángulo CEF, se obtiene: CD/CF = CI/CE, pero CD=L/2, CF= 2

5L, CI=x, CE=L, entonces 

queda:  ⇒=

252

L

L

Lx

   5

Lx =            El área del cuadrado será: x2, es decir: ÁREA =  

5

2L

9.­   Hallar la ecuación de la circunferencia, cuyo centro se encuentra sobre el eje x, su radio es igual a 3 y es tangente a la recta 01243 =+− yx

3

r

­4 C (h, 0)

Considerando solo el valor positivo del valor absoluto:

112315 =⇒+= hh

La ecuación de la circunferencia es:     ( ) ( ) 222 rkyhx =−+−

Reemplazando: ( ) 222 31 =+− yx

10.­   Halle las intersecciones con los ejes coordenados, de la recta que es perpendicular a la recta  05yx2:L =+−  y que pasa por el punto medio del segmento que une los puntos (5;2) y (3;4)Expresando la ecuación de la recta L en su forma resumida: 5x2y −= , entonces la pendiente de la recta perpendicular es: 

21

m −=

Luego encontramos el punto medio del segmento indicado:

42

35x =+=           3

242

y =+=  el punto medio es (4;3)

La ecuación de la recta buscada es:  ( )4x21

3y −−=−    

Realizando operaciones:       10xy2 =+ , y dividiendo todo entre 10, se tendrá la forma canónica de la recta buscada 

110x

10y2

:L =+    y    15y

10x

:L =+

Por lo tanto, las intersecciones con los ejes coordenados son: en el eje “x”, en 10 y en el eje “y” en 5PLANTILLA DE RESPUESTAS

Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 FILARespuesta e f d b a a f d d e APregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 FILARespuesta d f e a b e f d d a B

 

L 

L/2 

α 

α 90º­ α 

90º 

x 

x 

A 

B 

C 

I 

D  E 

G H 

J 

K 

M 

F 

Como el centro se encuentra sobre el eje “x”, su componente en “y”, 

siempre será cero  C(h, 0)

Si el radio es 3, entonces es igual a la distancia de la recta al centro 

Por:        22

00

BA

CByAxd

+

++=        

Reempl.   5

1233

)4(3

120433

22

+=⇒

−+

+⋅−⋅=

hh

 

L 

L 

L/2 

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉSFACULTAD DE INGENIERÍA

CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN I / 2009TERCER EXAMEN PARCIAL ÁREA: MATEMATICA

FECHA: 16/06/2009TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS (B)

FACULTAD DE ING ENIERÍA

F IUMSA

En cada uno de las preguntas, responda INDICANDO el inciso de la respuesta correcta EN LA PLANTILLA DE RESPUESTAS  colocada en la parte inferior de este examen.  Valor por pregunta  10%.1.  La diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es seis veces la medida del ángulo. Hallar el ánguloa) 10 b) 20 c) 30 d) 15 e) 25 f) Ninguno

2. La intersección de las recta mediatrices en un triangulo se denomina:

a) Ortocentro          b) Incentro      c) Baricentro d) Ceviana e) Bisector f)  Circuncentro3. Se marcan los puntos colineales y consecutivos A,B,C,D. Si AC =3 CD;   AB= 10 y BD = 6: entonces el valor del segmento BC será:

a)  4.5 b) 4 c) 3.5 d) 3 e) 2 

4. En un polígono cualquiera de “n” lados, cuando se trazan diagonales desde un solo vértice hasta cada uno de los otros vértices. Cuantos triángulos se tienen?

          a)(n­2)                   b) (n­1)                   c) n                     d) (n+2)                     e) (n+1)                    f) Ninguno 

5.  En todo cuadrilátero convexo, se cumple siempre que la suma de sus ángulos exteriores es:

a) 180°     b) 360° c) ( n­1)*180°        d) (n­2)*180° e) 90° f) ninguna de las anteriores 6.­ Halle las intersecciones con los ejes coordenados, de la recta que es perpendicular a la recta  05yx2:L =+−  y que pasa por el punto medio del segmento que une los puntos (5;2) y (3;4) a) x = 6;  y = 3      b)  x = 8;  y = 4     c) x = 3;  y = 6      d)  x = 4;  y = 8      e) Ninguno7.­                                                                                                                                                                                     

             Si   es 120º, L es 1, α

      el segmento AD es bisectriz

      el segmento EB es altura,

      encontrar el segmento EO

a) AD b) BD c) CD d)  AB e)  2L f) Ninguno

8.­       Hallar el área achurada en la figura determinada por el cuadrado de lado L

a) 25

2Lb) 3

5

2Lc) 4

5

2Ld) Ninguno

  

9.­    Hallar la ecuación de la circunferencia, cuyo centro se encuentra sobre el eje x, su radio es igual a 3 y es tangente a la recta  

01243 =+− yx  (considerar solo el valor positivo para el valor absoluto)

a)  922 =+ yx     b)  222 3)1( =−+ yx  c)  322 =+ yx    d)  ( ) 222 31 =+− yx    e)  ( ) 222 3)1(1 =−+− yx f)Ninguno     

10. Hallar el ángulo ”x” si se conoce que:                                                                   3113=∧

∧

MOE

AOM  

a) 40º b) 35º c) 30º

d) 25º e) 15º f) NingunoPLANTILLA DE RESPUESTAS

Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 FILARespuesta B

AE

Ox

x

x

x

x

C

α

L LA B

D

E

O

C

α

L LA B

D

E

O

 

L 

L 

L/2 

M