UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉSFACULTAD DE INGENIERÍA

CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN II / 2009TERDCER EXAMEN PARCIAL ÁREA: MATEMATICA

FECHA: 14/09/2009TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS

FACULTAD DE ING ENIERÍA

F IUMSA

En cada uno de las preguntas, responda INDICANDO el inciso de la respuesta correcta EN LA PLANTILLA DE RESPUESTAS  colocada en la parte inferior de este examen.  Valor por pregunta  10%.

1. Dados los puntos colineales A,B,C,D,E y F, tales que:   mDFCEBDAC 72=+++  y   .45

AFBE =  Calcular 

.AF

A)  65m         B) 56m C)  45m      D)32m           E)60 F)67m

2. Siendo   βα y   las medidas de dos ángulos. Entonces la suma del complemento de  α   con el suplemento de 

α2  es igual a 3/2 del complemento de  β  y   º.20=− βα  Se pide calcular el complemento de  .α

A) 70º B) 65º C) 20º D) 60º E) 54º  F)75º

3. Si se tiene de dato el lado L del cuadrado, el área sombreada región resulta:

A) 223

3L

+π

B) 23

3L

−π                C) 2

23

32

L

−π

D)  223

32 L

−π

E)2

23

3L

−π

              F)  22

333

L

−π

4.   En un triángulo ABC, sus ángulos son:  º40=B�

,  º24C =�

  Hallar el ángulo que se forma entre la altura y la bisectriz trazadas desde el vértice A

A) 13º B)  37º C)  74º D)  26º E)  8º      F)  Ninguna de las anteriores

5.­ Un triángulo equilátero tiene uno de sus lados sobre la recta:  0843 =+− yx  y el vértice opuesto al mismo está en 

el punto  ( )2,1 .  La ecuación de la altura perpendicular al lado mencionado es:

A) 01043 =+− xy                    B)  01043 =−+ xy            C)  01043 =++ xy          D)  01043 =−− xy

6. Hallar el centro de la circunferencia y el radio; cuyo centro está sobre el eje Y y que pasa por los puntos A(1,3) y B(4,6)

A)   (0,7) y r = 37     B)  (0,6) y r=6     C)  (0,6) y r= 45 D)  (0,7) y r=5   E)  (0,7) y r= 17     F) (0,7) y r=4

En cada una de las siguientes preguntas realizar el desarrollo práctico correspondiente, indicando de forma clara la respuesta. Valor por pregunta 20%.

7. Hallar el valor de X en función de L en el cuadrado de la figura:

      

8 Encontrar   la   ecuación   de   la   recta   tangente   común   a   las   circunferencias   dadas   por   las   ecuaciones: 2 2 2 26 0 2 0x y x x y x �

PLANTILLA DE RESPUESTAS (PROBLEMAS DE SELECCIÓN MULTIPLE)

Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 FILA NOTA No de ExamenRespuestaCalificaciónPuntaje

B

L

L

L/2

X

L

L

L/2

X

SOLUCIONARIO

1.­  Dados   los   puntos   colineales   A,B,C,D,E   y   F,   tales   que:   mDFCEBDAC 72=+++   y   .45

AFBE =  

Calcular  .AF

Sean los puntos colineales: A,B,C,D,E, y F, entonces el gráfico es:      A                   B                C              D                   E                              F      

a                  b                 c                  d                     e                                                                xPor condición del  problema: 

→=+++++++→=+++ meddccbbamDFCEBDAC 72)()()()(72

mxmxxmdcbedcba 327245

72)()( =→=+→=+++++++→

A)  65m         B) 56m C)  45m      D)32m           E)60 F)67m

2.­ Siendo  βα y  las medidas de dos ángulos. Entonces la suma del complemento de α  con el suplemento de  α2  es igual a 3/2 del complemento de  β  y   º.20=− βα  Se pide calcular el complemento de  .α

Sean  βα y  dos ángulos, entonces  º20=− βα                     (1)      Complemento de  αα −→ º90      Complemento de  ββ −→ º90      Suplemento de  αα 2º1802 −→

       →−=−+−→−=−+− βααβαα 3º2704º3602º180)º90(23

)2º180()º90(

        º902º27036 =−→=−→ βαβα                            (2)Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) se obtiene:  20º70º90º70 =−→=α , luego su complemento es 20º.

A)  70º      B)  65º      C)  20º      D)  60º      E)  54º  F)75º

3.­Si se tiene de dato el lado L del cuadrado, el área sombreada región resulta:

El   área   sombreada   resulta   ser   el   doble   del   área   de   un   cuarto   de circunferencia menos el área de un sector circular de 30º y un triángulo equilátero:

22

222222

23

312332

2

43

1242

43

º360º30

42

LLA

LLLLLLA

−=

−=

−−=

−−=

ππ

ππππ

A) 223

3L

+π

B) 23

3L

−π                C) 2

23

32

L

−π

D)  223

32 L

−π

E)      223

3L

−π

              F)  22

333

L

−π

4.­ En un triángulo ABC, sus ángulos son:  º40=B�

,  º24=C�   Hallar el ángulo que se forma entre la altura y la 

bisectriz trazadas desde el vértice A

En el triángulo ABC: 

º116

º180º24º40

=

=++

A

A�

Siendo AH la altura, en el triángulo ABH:

º50º40º90º90º180

=−=−−=

ββ B

�

Como AD es la bisectriz, 2A�

=β+α=γ

Entonces:  

º50º58º58

−==+

αβα

º8=α

A) 13º B)  37º C)  74º D)  26º E)  8º      F)  Ninguna de las anteriores

5.­Un triángulo equilátero tiene uno de sus lados sobre la recta:   0843 =+− yx  y el vértice opuesto al mismo 

está en el punto  ( )2,1 .  La ecuación de la altura perpendicular al lado mencionado es:

SOL.­     Como   la   altura   buscada   es   perpendicular   al   lado   mencionado,   entonces   se   cumple   que   sus   pendientes: 

34

4311

1*1

221 −=−=−=⇒−=m

mmm

La altura es una recta que pasa por el punto ( )2,1  y tiene una pendiente igual a 34−  

( ) 010434463134

2 =−+⇒+−=−⇒−−=− xyxyxy

A) 01043 =+− xy                    B)  01043 =−+ xy            C)  01043 =++ xy          D)  01043 =−− xy

6.­ Hallar el centro de la circunferencia y el radio; cuyo centro está sobre el eje Y y que pasa por los puntos A(1,3) y B(4,6)

Sea C(0,k) el centro y r el radio de la circunferencia, entonces d(C,A) = d(C,B)

       74265212106)6()04()3()01( 222222 =→=→+−=+−→−+−=−+− kkhkkkKk

       17161),( =+== ACdr

El resultado es:  17),7,0( =rC

A)   (0,7) y r = 37     B)  (0,6) y r=6 C)  (0,6) y r= 45   D)  (0,7) y r=5 E)  (0,7) y r= 17     F) (0,7) y r=4

PLANTILLA DE RESPUESTAS (PROBLEMAS DE SELECCIÓN MULTIPLE)

Pregunta 1 2 3 4 5 6 FILARespuesta D C E E B E B

B

A

C

γβα

DH

7 Hallar el valor de X en función de L en el cuadrado de la figura:

      

  

8.­  Encontrar la ecuación de la recta tangente común a las circunferencias dadas por las ecuaciones: 2 2 2 26 0 2 0x y x x y x �

5. Completando cuadrados en las ecuaciones dadas:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

6 6 9 9 ( 3) 9

2 2 1 1 ( 1) 1

x y x x x y x y

x x y x x y x y

Luego las ecuaciones de las circunferencias son:2 2

2 2

( 3) 9 ( 3,0); 3

( 1) 1 (1,0); 1

x y centro R

x y centro R

La tangente común intersectará al eje X en algún punto P, entonces se puede trazar la gráfica:

L

L

L/2

X

L

L

L/2

X

  

L 

L/2 

α 

α 90º­ α 

90º 

x 

x 

A 

B 

C 

I 

D  E 

G H 

J 

K 

M 

F 

En el triángulo ACI, el vértice I tiene 90º porque todas las diagonales cortan al punto medio del cuadrado, mismo que se repite vértices en J,K y M por lo tanto; I­J­M­K conforma un cuadrado de lado x. Al ser CD igual a DE, entonces CI = IJ = x. Aplicando Pitágoras al triángulo CEF, se tiene: 

( )2

52

22 LL

LCF =

+=

 Relacionando el triángulo rectángulo CDI con el triángulo rectángulo CEF, se 

obtiene: CD/CF = CI/CE, pero CD=L/2, CF=2

5L   , CI=x, CE=L, entonces 

queda:  ⇒=

252

L

L

Lx

  5

Lx =                 

Sea las coordenadas del punto P:

(x , 0) y como los radios de ambas circunferencias son perpendiculares a la tangente, se cumple:

1 3a= 3 3 3 3

1 3entonces:

1a= a=30°

2

sen x x xx x

sen

� �

�

               

Luego la pendiente de la primera recta tangente será igual a 1

(180 30 ) 1503

tg tgè ¤ Ü  

y la ecuación de la recta con esta pendiente que pasa por (3,0)es:

10 ( 3) 3 3 0

3y x y x Ü

Luego la pendiente de la segunda recta tangente será igual a 3

1º30 =tg  

y la ecuación de la recta con esta pendiente que pasa por (3,0)es:

033)3(3

10 =+−→−=− xxy

Y por último la tercera recta tangente será  X=0

P(x,0)