teoria y problemas de integrales triples ccesa001

8/20/2019 Teoria y Problemas de Integrales Triples Ccesa001

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ANALISIS MATEMATICO III

INTEGR LES TRIPLES

Demetrio Ccesa Rayme



Integrales Triples

Definición:

Sea D una región cerrada y acotada del espacio IR .

Sea f: IR IR una función definida sobre la región D.

Los pasos que conducen a la definición de integral triple son semejantes a los que

conducen a la definición de integral doble y se resumirían así:

1. Consideramos una red tridimensional de planos que contenga a D siendo Di

i=1,….., n subregiones de la red, de volúmenes respectivos ∆Vi, totalmentecontenidas en R.

2. Escogemos (Xi,Yi, Zi) punto arbitrario de Di para i=1,…..,n.

3. Calculamos la suma

4. Consideramos redes cada vez más finas que contengan a D, de modo que las

dimensiones de cada subregión tiendan a 0, y el número de subregiones

contenidas en D sea cada vez mayor. Entonces definimos:

Funciones Integrables

La función escalar de tres variables f definida en la región D cerrada y acotada se dice

que es integrable sobre D si y solo si verifica la existencia del límite anterior y su valor es

finito. El valor recibe el nombre de integral triple de f sobre D.

Condición suficiente de integralidad

Si la función f es continua en la región D cerrada y acotada entonces f es integrable sobre

D.

Propiedades de la integral triple

En coordenadas rectangulares cartesianas dV = dx dy dz.



Reducción de integrales triples a integrales

iteradas

Supongamos que la región de integración D está limitada inferiormente por la gráfica de

Y superiormente por la gráfica de , de manera que en el plano xy la

proyección de D viene dada por:

Las dos últimas

integraciones indican

el plano coordenado

sobre el que se

proyecta el dominio

D.

Para efectuar unaintegral triple

tendremos 3! = 6

posibilidades en

cuanto al orden de

integración se

refiere.



Interpretación y aplicaciones de la integral

triple



Cambio de variable

Consideremos el cambio de variable dado por la aplicación:

x = X (u,v,w)

y = Y (u,v,w)

z =Z (u,v,w)

siendo D´ la región del espacio uvw que se aplica en la región D del espacio xyz.

Si se cumplen las condiciones siguientes:

-Las funciones:

son continuas en D´.

-La aplicación de D´ sobre D es biyectiva.

-El jacobiano de la aplicación J(u,v,w) ≠0.

Entonces:

∫∫∫ f(x,y,z) dx dy dz = ∫∫∫ f(X(u,v,w), Y(u,v,w)) │J(u,v,w)│ du dv dw



Cambios de variable usuales

(1) Coordenadas Cilindricas

X=rcosθ

Y=rsenθ

Z=z

J(r, θ , z) = r

(2) Coordenadas Esfericas

X=rsenφcosθ

Y=rsenφsenθ

Z=rcosφ

J(r, φ, θ) = r senφ



TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

Divergencia de un campo vectorial

Para el campo vectorial F: IR IR

(x,y,z) (F1(x,y,z), F2(x,y,z), F3(x,y,z))

Se define la divergencia de F como el siguiente campo escalar:

Teorema de la divergencia

Sea F: IR IR un campo vectorial cuyas componentes sean funciones

continuas con primeras derivadas parciales continuas en un dominio del espacio

que contenga a la region D cerrada y acotada.

Sea S, frontera de la region D, una superficie regular a trozos y n vector normal

exterior a S.

Entonces:

O analogamente:

Interpretacion del teorema

La integral de superficie de F.n se interpreta como el flujo neto que atraviesa la

superficie cerrada S en direccion de la normal exterior; este valor es igual a la

integral triple sobre la

region D del campo

escalar div F, que seinterpreta como el

flujo que se genera

en el interior de S.



Problemas Resueltos:

1. Calcular el volumen del solido limitado por el

paraboloide z = + y la esfera + + =

Proyección de intersección curva:

+ =

+ + = 2

Sustituyendo + por z:

+ = 2

+ 2 = 0

Soluciones: z=1 , z=-2

La única solución válida es z=1; esto indica

que la curva de intersección esta en z=1, por tanto, su proyección en el plano coordenado

xy es:

+

= 1

Descripción del solido D en coordenadas cilíndricas:

X = rcosθ 0 ≤ θ ≤ 2π

Y = rsenθ J (r , θ , z) = r 0 ≤ r ≤ 1

Z= z ≤ z ≤ √2

Vol (D) =

∭ = ∫ ∫ ∫

22

= 2π ∫ 2 2 3 = 2 12 (22)323 2⁄ 4

4

= 2π [1 3⁄ (2√ 2 1) 1 4⁄ ] = 8√ −76



2. Calcular el volumen del solido limitado por + = + = z=1 z= ⁄

En cilíndricas:

X = r cosθ 0 ≤ θ ≤ 2π

Y = r senθ J (r , θ , z) = r D1 1/2 ≤ r ≤ 1

Z= z 1/2≤ z ≤ r

0 ≤ θ ≤ 2π ya que la proyección de la intersección es:

1 ≤ r ≤ √ 2 D2

½ ≤ z ≤ 1

D1: D2:

Entonces:



3.- Calcular el volumen de la región del espacio limitada

por el paraboloide , el cilindro y el

plano z=-3.

Solución:

En coordenadas cilíndricas:

X=rcosθ

Y=rsenθ J(r, θ,z)= r

Z=z

Descripción de la región D:



4.- Calcular el volumen del cuerpo limitado inferiormente

por el paraboloide y superiormente por la esfera

Solución:

La solución válida es z=1 y supone que ambas superficies se cortan en el plano

<=1. Para hallar su proyección en el plano coordenado basta sustituir en una

cualquiera de las dos el valor de z por 1, y obtener:

Descripción de D en coordenadas cilíndricas:



5.- Calcular las siguientes integrales triples:

(a) ∭ .

D solido limitado por la superficie z = xy y los planos y = x, x = 1, z = 0

Descripción de D:

(b) ∭ + + + −.

D solido delimitado por el plano x + y + z = 1 y los planos

coordenados.

Descripción de D:



(c) ∭ .

D solido limitado por el paraboloide = + , y el

plano x+y = 1 y los planos de coordenadas.

Descripción de D:



6.- Calcular el volumen del solido delimitado por el

cilindro + = y los planos z=0 z=4

Coordenadas

cilíndricas:

Descripción de D en

cilíndricas:

Integrando:



7.- Calcular el volumen del solido limitado por el cilindro + = y los planos z = 2 – x z = 0

Coordenadas Cilíndricas:

Descripción de D en coordenadas

cilíndricas:

Integrando:



8.- Calcular el volumen limitado por el cilindro + = y los planos z = 0 x + y + z = 2

Coordenadas Cilíndricas:

Descripción de D en

cilíndricas:

Integrando:



9.- Calcular el volumen del solido comprendido entre las

superficies = y z = 1/2

Proyección en el plano xy de

la curva intersección:

En coordenadas cilíndricas:

D se describe como:

Integrando:



10.- Calcular el volumen del cuerpo limitado por el

paraboloide = + y el cono = + /

Curva intersección del cono

y el paraboloide:

Sustituyendo + por z:

Z = 2 -

√

Llamando √ =



11.- Calcular = + y la semiesfera + + =



12.- Calcular el volumen del solido limitado por el plano z

= 0, el cilindro circular + = y el semicono = +

El cilindro + = es + =

Por la simetría del solido consideramos solamente la

mitad correspondiente a la proyección sobre el primer

cuadrante de xy, D.



13.- Calcular el volumen del solido que es el interior del

cilindro + = limitado por la esfera + + =

El cilindro

+

= es, completando cuadrados

+ = /

Por la simetría de la figura, consideramos la parte

superior y de esta la porción octante, por lo tanto:



14.- Calcular la integral del campo F (x,y,z) = (xyz,

sen + , z – ½ ) sobre la superficie formada por

el plano 2x – y + z = 1 y los planos de coordenadas.

Como se trata de una superficie cerrada podemos aplicar

el teorema de la divergencia.



15.- Calcular la integral del campo vectorial F(x,y,z) = (, , 3x-sen xy) sobre la superficie limitada por la

porción del paraboloide = y la semiesfera

+ + = ¿Puede aplicarse el teorema de ladivergencia?

Para z ≥0 la superficie es la paraboloide = . Su intersección con

el plano z=0 es la circunferencia + = .

Para z ≤0 la superficie es la semiesfera + + = . Su intersección del

plano z=0 es también la circunferencia + = .

Asi pues, ambas superficies intersectan el plano z=0 en una misma

circunferencia de centro el origen y de radio

/. La unión de ambas

superficies en una superficie cerrada y podrá aplicarse el teorema de ladivergencia.



16.- Para el campo vectorial cuyascomponentes sean funciones con derivadas parciales deprimer y segundo orden continuas, demostrar que:



17.- Calcular la divergencia de los siguientes campos

vectoriales:



18.- Probar el momento de inercia de una bola esférica

maciza de densidad constante respecto a uno cualquiera

de sus diámetros es 2/5 M , donde M denota masa y R

el radio de la bola.

Si tomamos como diámetros de la bola el eje OZ

tendremos:



19.- Calcular el volumen del solido limitado por el cilindro

parabólico = y los planos z=0 x+2y+z=4

Para la determinación del

solido D necesitamossaber cuál es la

intersección de la

parábola 2 = con la

recta x=4-2y. La parábola

y la recta son,

respectivamente, las

intersecciones del cilindroparabólico y del plano dados con el plano coordenado z=0.



20.- Calcula el volumen común a los interiores de las

esferas + + = y + + =

Proyección sobre el plano xy de la curva intersección de

ambas esferas:

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