teoría unidad 8 2011

SIMULACIN Ingeniera en Sistemas de Informacin UTN-FRSF - UNIDAD 8 / pgina 1

Unidad 8: SISTEMAS CONTINUOS

8.1. Introduccin

Los sistemas continuos cambian sus estados en forma continua e instantnea. La diferencia con los sistemas

discretos es que estos evolucionan aleatoriamente respecto al tiempo.

Por ejemplo, un sistema de stock puede modelarse con el enfoque de sistemas discretos, donde cada evento

produce un cambio de estado del sistema, o con el enfoque de sistemas continuos donde los cambios se

producen en forma continua.

La representacin matemtica de los cambios en el tiempo de los sistemas continuos se hace mediante

ecuaciones diferenciales ordinarias. Para poder plantear modelos de sistemas continuos con ecuaciones

diferenciales es importante la descripcin del sistema utilizando un lenguaje sistmico: los diagramas causales

y los diagramas de Forrester o estructurales, uno de los instrumentos bsicos de la dinmica de sistemas.

8.2. Sistemas dinmicos continuos

Recordamos la definicin de un sistema: es un objeto formado por un conjunto de partes que interactan

entre s brindndole las caractersticas que lo identifica.

Un sistema se describe por el conjunto C de sus partes y la relacin R que establece la vinculacin que se

produce entre ellas. En esta definicin los elementos bsicos son el par (C,R), a la que se puede asociar la

imagen grfica de un grafo, cuyos nodos denota las partes y cuyas aristas representan las influencias que se

producen entre ellas. Este grafo aporta una descripcin de naturaleza estructural del sistema y por ello se dice

que representa su estructura. En el siguiente ejemplo se muestra la evolucin de una poblacin en el tiempo.

Nacimientos Poblacin Muertes

- Ejemplo de Grafo de un sistema demogrfico -

8.2.1. Sistemas estticos y dinmicos. Sistemas discretos y continuos

Un sistema es esttico si la variable de respuesta o salida del modelo en el tiempo t slo depende del valor

de la entrada en el mismo tiempo t.

Un sistema es dinmico si la salida del modelo depende del valor de la entrada en ese tiempo y de la historia

de la entrada, es decir de lo que pas previamente al tiempo t.

Por ejemplo el sistema del movimiento de un timn, al cual definiremos como salida del sistema, es esttico

en tanto la posicin de este depende en cada momento de la posicin del volante (entrada del sistema). Toda

posicin del timn en un dado momento depende exclusivamente de la posicin del volante en ese mismo

instante.

Que aumentan la Que hacen disminuir la

Hace que aumenten los Pero tambin aumentan las


Un sistema dinmico puede ser un horno que est a una temperatura dada debido a un sistema de

calentamiento elctrico. La temperatura del horno es la salida o variable de respuesta y la tensin al calefactor

como la entrada del sistema. Si en un dado momento se corta la tensin (el calentamiento) la temperatura del

horno no cae inmediatamente sino que cae exponencialmente hasta la temperatura ambiente despus de un

largo perodo.

Se pueden clasificar las variables temporales de entrada al sistema y tambin las llamadas variables del

sistema, que se clasifican en:

Continuas: si estn definidas para todo tiempo t, por ejemplo la variacin de nivel en un tanque o la

variacin de temperatura en un horno.

Discretas: si son intermitentes o sea slo estn definida para tiempos discretos, por ejemplo una seal

que es muestreada.

8.2.2. Concepto de Dinmica

El trmino dinmica se emplea por oposicin al de esttica, donde algo cambia continuamente en el tiempo. Y

se le asocia una imagen como la siguiente, en la que se muestra la trayectoria de una magnitud.

x

t

El concepto de trayectoria la podemos emplear para referirnos a la evolucin de cualquier magnitud que

cambia con el tiempo y la representacin grfica de las trayectorias muestra el comportamiento del sistema,

es decir, la evolucin a lo largo del tiempo de las magnitudes que se consideren relevantes para caracterizar

los objetos considerados.

El conjunto de las trayectorias de las magnitudes asociadas a un sistema dan cuenta de su comportamiento

durante un perodo de tiempo determinado. Muestran una imagen grfica de qu ha hecho el sistema

durante ese perodo.

Para el estudio del comportamiento de los sistemas disponemos de un objeto matemtico especialmente

adecuado: el sistema dinmico.

Formalmente un sistema dinmico es el objeto matemtico formado por un espacio de estados X y una regla

que prescribe como varan estos estados a lo largo del tiempo. Esta regla se puede expresar de diferentes

formas, siendo una de ellas la ecuacin diferencial:

En donde la funcin f expresa precisamente la regla que rige el cambio dx/dt que se produce en el estado x

X.

En general se asocia la dinmica de sistemas a sistemas continuos. Tiene en cuenta lo siguiente:

En general se refiere al comportamiento dinmico que pueden presentar los sistemas. La metodologa

desarrollada por Jay W. Forrester para la dinmica de sistemas permite entender cmo los sistemas

cambian a travs del tiempo y se utiliza para el modelado y la simulacin de sistemas continuos.

Se usa para analizar cmo los cambios estructurales en una parte del sistema afectan el

comportamiento del sistema como un todo. Esta metodologa usa conceptos del campo del control


realimentado para organizar la informacin de un modelo de simulacin y cuya resultante muestra

implicaciones del comportamiento del sistema representado por el modelo.

Permite un mtodo para transcribir la descripcin elemental de un sistema en un sistema dinmico y

con un lenguaje se pueden expresar las relaciones que se producen entre sus componentes. De este

modo para el estudio de un sistema concreto construiremos un objeto formal, que ser un sistema

dinmico en el sentido matemtico del trmino, y con el que tenemos un modelo de ese aspecto de la

realidad que tratamos de estudiar.

8.3. Modelacin y Simulacin con dinmica de sistemas

Comprende las siguientes fases:

Definicin del problema: se debe definir claramente el problema y establecer si es adecuado para ser

descrito con la dinmica de sistemas.

Conceptualizacin del sistema: una vez definido el problema se debe acometer su estudio, definiendo

los distintos elementos que integran la descripcin, as como las influencias que se producen entre

ellos. El resultado de esta fase es el desarrollo del un diagrama causal.

Formalizacin: el objetivo de esta etapa es convertir el diagrama causal en el diagrama de Forrester

con las ecuaciones del modelo

Comportamiento del modelo: en esta fase se pretende realizar la simulacin del modelo y as poder

generar grficos de las variables del sistema en funcin del tiempo. Se requiere de aplicaciones

informticas adecuadas o software. Las ms empleadas son: Powersim, Vensim, Professional Dynamo,

Stella, I-think y Mossaik- Sim tek.

Evaluacin del modelo: en esta fase es necesario someter el modelo a una serie de ensayos y anlisis

para evaluar su validez y calidad. Estos anlisis son muy variados y comprenden desde la

comprobacin de la consistencia lgica de las hiptesis que incorpora, hasta el estudio del ajuste entre

las trayectorias generadas por el modelo y las registradas en la realidad.

Explotacin: Se trata de usar el modelo como una herramienta para la toma de decisiones que permita

predecir o estimar los efectos que determinados escenarios tendran sobre el sistema real.

8.4. Revisin de ecuaciones diferenciales.

Sea una cantidad de materia prima X en un recipiente que se agrega a una mezcla para preparar un producto.

La velocidad en que cambia la cantidad de X en el tiempo puede expresarse segn la siguiente ecuacin:

t XX

v ttt

=

La diferencia entre la cantidad X en el tiempo t y en el tiempo t-t indica la cantidad disponible al final del incremento de tiempo t.

Definicin

del problema

Conceptualizacin

Formalizacin

Comportamiento

Evaluacin

Explotacin


Cuando ese intervalo disminuye la velocidad de cambio tiende a ser instantnea o puntual de modo que

cuando tiende a cero, matemticamente obtenemos el lmite:

tXX

ttt

tlm

0

Qu es matemticamente este lmite?: Es la definicin de derivada

dtdX

t

XX tv tttt

tlm =

=

0)(

Geomtricamente es la tangente en el punto de una curva que muestra la evolucin de X en el tiempo.

X

v(t3)

v(t1)

v(t2)

t

Si se quisiera expresar cmo vara el nmero de piezas producidas en una mquina en funcin del tiempo, se

expresa la velocidad de produccin como

v tdn de piezas

dtp ( ) =

Esto se lee la derivada del nmero de piezas respecto al tiempo.

n de

piezas

t

La velocidad en cada instante estara representada por la tangente a la curva de n de piezas vs tiempo. As se

puede hablar de cualquier variable como un modo de expresar su cambio en el tiempo.

En general:

v td variable

dt( ) =

De igual modo, se habla de factores que cambian la velocidad de produccin, por ejemplo:

Cmo cambia la velocidad de produccin a lo largo del da? Se puede definir una aceleracin de la produccin

como:

a tdv t

dtd

dt( ) ( )= =

2

2

n de piezas

Ejemplo: llenado de un tanque con un canal de salida

El sistema de tanque con un canal de salida se ilustra en la siguiente figura:


El objetivo es predecir la altura del lquido en el tanque como funcin del tiempo para cualquier caudal de

entrada arbitrario Fentrada(t). El rea del tanque es constante, por lo tanto solo interesa la altura h.

El tanque es un elemento acumulador de lquido y se puede hacer un balance de flujo para saber como cambia

el Volumen V:

V = Fentrada Fsalida) dt + Vi

Donde Vi es el valor del volumen en el tiempo inicial t0.

Es decir el volumen contenido dentro del tanque es igual a la acumulacin debida al lquido que entra con

Fentrada menos el que sale con Fsalida.

Si adems el tanque es de seccin uniforme se cumple que: h = V/A, entonces:

h = Fentrada Fsalida) dt + hi

Otra relacin de inters es la que relaciona el caudal de salida Fsalida y el nivel h. Podemos hallar esta funcin en

forma analtica en base al teorema de Bernoulli, o bien en forma experimental como en la grfica:

Las ecuaciones que definen al sistema pueden ser expresadas como un conjunto formado por una ecuacin

diferencial para la acumulacin y una algebraica para la caracterstica esttica nivel/caudal de la siguiente

forma:

Adtdh

= Fentrada f(h)

Fsalida = f(h)

La solucin de este conjunto de ecuaciones para una entrada arbitraria de Fentrada(t) es la variacin de la altura

en el tiempo.

Por ejemplo si se supone que Fentrada(t) es constante hasta un tiempo t1 y luego aumenta abruptamente a otro

valor, la altura variar de la forma que se muestra en la figura siguiente.

Fentrada


Antes de introducir la variacin de Fentrada, tanto sta como h estn en un estado estacionario. Luego, frente al

cambio de la entrada, el sistema responde dinmicamente con un estado transitorio, que luego desaparece,

alcanzando a otro estado estacionario. Las Fentrada(t), Fsalida(t) y h(t) son variables temporales o variables del

sistema, en tanto que A es constante del sistema. Si el rea est bien medida, los caudales y la funcin Fsalida =

f(h), la respuesta del sistema real, coincidir exactamente con la simulacin del modelo del sistema.

t1 t

h

t1 t

8.5. Diagramas Causales

8.5.1. Causas y efectos

En la definicin de sistema est implcita la aceptacin de que entre las partes se produce alguna forma de

relacin. Las partes de un sistema no presentan un comportamiento autnomo e independiente unas de otras,

sino que los vnculos que las articulan en la unidad del sistema se manifiestan en que los comportamientos de

cada una de ellas presentan formas de dependencia o correlacin con los de las otras.

Por ello las trayectorias de los distintos atributos Xi no seran independientes entre s, sino que, de alguna

manera, estarn implcitas las relaciones de dependencia entre ellas. Este conocimiento se puede presentar

formalmente mediante un enunciado de la forma:

Xi Xj el atributo Xi influye sobre el atributo Xj . Esto se denomina relaciones de

influencias entre atributos.

La relacin de influencia aporta un elemento esencial en la organizacin de un sistema.

Causa y efecto pueden parecer algo directamente relacionado. Cuando se da la causa A, le sigue el efecto B; y

si se da B significa que se ha dado A. En realidad es as en todos los casos?

Esto no es tan simple. Tomemos un ejemplo obvio e indiscutible de causa y efecto. No cabe duda de que la

gravedad hace que los objetos caigan. Sin embargo, como todas las leyes fsicas, tiene la condicin no escrita

de si no se produce ningn otro cambio. As, una pluma no llegar a caer si hay un fuerte viento ni una barra si

hay un fuerte campo magntico. O tomemos el ejemplo del virus que causa un simple resfro. Diez personas

pueden estar expuestas al mismo virus y tal vez solo una de ellas se contagie. La persona en cuestin

seguramente deba estar predispuesta de alguna manera.

En la vida cotidiana siempre surgen teoras causales: ms polica significa menos delitos; ms dinero, una vida

ms feliz; el cinturn de seguridad salva vidas, o las computadoras aceleran el trabajo. Todos estos

argumentos son cuestionables; pueden ser verdad en la mayora de los casos, pero es imposible afirmar que

son verdad con absoluta certeza en cualquier caso individual.

Cuando nos hacen una pregunta difcil como Cul es la causa de la mortalidad infantil del norte argentino?,

lo habitual es enumerar una lista de factores tales como la pobreza, las enfermedades, el desempleo de sus

progenitores, la ley y las polticas de orden pblico, etc.

Es frecuente tambin establecer una jerarqua entre estos factores, del ms al menos importante. Este mtodo

recibe el nombre de pensamiento a modo de listas de compras y presupone una va de influencia de una sola

direccin, de causa a efecto, en la que cada factor tiene una importancia relativa determinada. El pensamiento

sistmico va ms all de esta forma de pensar, al mostrar la influencia en crculos y considerar que la


importancia relativa de cada factor puede variar a lo largo del tiempo, dependiendo de los bucles de

realimentacin. Las causas son dinmicas, no estticas.

Plasmar las relaciones causales o de influencias ayuda a considerar lo que pasara si la influencia particular

considerada fuera la nica que acta sobre el objeto particular. Por ejemplo:

Nacimientos Crecimiento de la poblacin

Esta relacin causal es siempre cierta a pesar del hecho de que pases con una tasa de nacimientos positiva no

muestren crecimiento en su poblacin. Esto sucede porque los nacimientos no son la nica influencia causal

que acta sobre el crecimiento de la poblacin, la mortalidad y otros factores pueden explicar el no

crecimiento de la poblacin. Sin embargo, si todo lo dems permanece constante, la relacin es verdadera.

Por lo tanto, entre los elementos que constituyen un sistema se establece el bosquejo esquemtico de

aquellos que estn relacionados entre s, lo cual se hace por medio de un diagrama en el cual los nombres de

los distintos elementos estn unidos entre s por flechas con sentido. El diagrama que as se obtiene se

denomina diagrama causal o de influencias. Mediante este diagrama, se tiene una descripcin del sistema S,

que puede servir de base para construir un modelo.

8.5.2. Enlaces. Polaridad de los enlaces. Variables dependientes e independientes

En general, si A y B son dos partes de un sistema, el hecho de que A influya sobre B se representa mediante

una flecha de la forma A B e indica que B es una funcin de A, es decir B =f(A), aunque no

conozcamos la forma matemtica exacta de la funcin.

En su forma ms simple el diagrama causal o de influencias est formado por lo que se conoce como un grafo

orientado. A las flechas que representan las aristas se puede asociar un signo. Y este signo indica si las

variaciones del antecedente y del consecuente son o no del mismo signo. Si entre A y B existe una relacin de

influencia positiva (cuando las variaciones entre A y B son del mismo sentido) , tenemos:

A +

B

Por otra parte, si la influencia fuese negativa (variacin en sentido contrario) tenemos:

A -

B

Ejemplo: En un sistema hemos identificado una variable externa o de entrada A y dos de salida B y C. Vemos

tambin que B y C son consecuencia de A. Esto indica que A es la causa y B y C son los efectos; si adems

vemos que un aumento de A, aumenta B y Disminuye C, entonces se agregan los signos correspondientes.

+ B

A

_ C

Veamos un ejemplo de un sistema de primer orden para recordar algunos conceptos: Es un tanquecito al que

entra una cierta cantidad de lquido y del que sale tambin cierta cantidad de lquido. Se quiere estudiar cmo

vara el contenido del tanque en el tiempo.

Cules son las variables representativas del sistema?

1) La cantidad de lquido que entra

2) La cantidad de lquido que sale

3) La cantidad de lquido que hay dentro del tanque.

Cules son variables independientes y cules dependientes? (Entrada - Estado)


Lo que entra no es funcin de lo que ocurre en el tanque. Por lo tanto, lo que entra es independiente, de

entrada.

Lo que hay en el tanque es funcin de lo que entra y de lo que sale, por lo tanto es dependiente. Como

permite, junto con la de entrada, describir lo que ocurre en el sistema, es de estado.

Lo que sale del tanque es funcin de lo que ocurre en el tanque; en este caso, a la salida del tanque hay una

canilla. Si se vaca el tanque a travs de esa canilla, a medida que el tanque se vaca la cantidad de agua que

sale de la canilla no siempre es igual. El agua sale con ms fuerza (sale ms rpido) si el tanque est ms lleno.

Todos hemos escuchado alguna vez decir que hay que levantar el tanque porque le falta presin. Es lo

mismo que llenarlo ms o tener ms altura de lquido dentro del tanque. La cantidad de lquido que sale, si se

lo saca con una canilla, es funcin de lo que hay en el tanque. Es una variable dependiente; como permite

describir lo que ocurre en el tanque, es una variable de estado.

Cmo expresamos cantidades de lquido?

1) Adentro del tanque: Volumen de lquido.

2) Lo que entra al tanque: Como no hay un volumen que se pueda medir, en general lo que se conoce es la

cantidad de lquido por unidad de tiempo, a eso se lo llama flujo o caudal. Cuando hablbamos de la cantidad

de agua que sala por la canilla, intuitivamente, si le ponemos un balde abajo se llena ms o menos rpido, sale

ms o menos agua en el mismo intervalo de tiempo. Lo que sale del tanque lo llamamos caudal o flujo de

salida.

Si consideramos que las variables de inters que habamos identificado eran el flujo de entrada, el de salida y

el volumen de lquido en el tanque, un primer diagrama causal quedara:

+ _

Flujo que entra Volumen Flujo que sale

+

8.5.3. Bucles.

Si en un sistema hemos identificado una variable externa o de entrada A y dos de salida B y C hubiera otra

variable D que fuera afectada por B, y afectara a C, podran darse diagramas del tipo:

+ +

A B D

_ Se lo llama bucle

C +

Aqu se evidencian las interacciones entre las distintas variables.

Mediante un modelo se pretende, entre otras cosas, explicar endgenamente la generacin de un

comportamiento. Veremos cmo esta generacin endgena est asociada a bucles de realimentacin en la

estructura del modelo. Estos bucles son cadenas de influencias circulares cerradas, cuya presencia permite

explicar determinadas formas de comportamiento, que son especficas de la propia estructura e

independientes de las solicitaciones exteriores a las que se ve sometido el sistema.


Ejemplo: supongamos el hecho elemental de llenar un vaso de agua.

Su descripcin, en lenguaje ordinario es muy simple: el que llena el vaso de agua, mediante la observacin del

nivel alcanzado en el vaso, acta sobre el grifo, de modo de lo que va cerrando segn se alcanza el nivel que

estima oportuno. El proceso que tiene lugar lo describiramos de la siguiente forma: el agente (el que llena el

vaso) compara el nivel alcanzado en el vaso con el nivel deseado, si existe discrepancia acta sobre el grifo,

con lo que se influye sobre el nivel alcanzado, que es de nuevo comparado (se trata de un proceso continuo)

con el nivel deseado; segn disminuya la discrepancia, se ir cerrando el grifo, hasta que al anularse esta, se

cierra definitivamente. El proceso se puede representar mediante un diagrama causal o influencias como el

siguiente:

Nivel deseado

Discrepancia

Nivel Actual Aguaen Vaso

Entrada de agua

+

-

+

+

- Diagrama causal de llenado de un vaso

En este diagrama se indican las variables ms importantes que intervienen en el proceso y sus influencias. Las

variables son: Nivel actual de Agua en el vaso, la discrepancia de este nivel y el nivel deseado, y la entrada o

flujo de agua que modifica aquel nivel.

En el diagrama podemos observar que las flechas que unen la discrepancia con la entrada o flujo de agua, ste

con el nivel de agua alcanzado, para acabar de nuevo en la discrepancia, forman una cadena circular o cerrada

de influencias. Es lo que se conoce como un bucle de realimentacin, ya que en l se produce una transmisin

de informacin circular de forma continua y es un elemento bsico en la estructura del sistema.

8.6. Diagramas de Forrester

8.6.1. Diagramas.

Los elementos que intervienen en un diagrama causal se pueden representar mediante las siguientes

variables:

o Variables de nivel o estado

o Variables de flujo

o Variables auxiliares

Variable externa o exgena

Variable endgena de control

Variable de entrada


Nube: representa una fuente y puede interpretarse como un nivel que no tiene

inters y es prcticamente inagotable.

Nivel o estado: representa la acumulacin de un flujo. Cuya evolucin es

significativa para el estudio del sistema.

Variable de flujo: variacin de un nivel y representa un cambio en el estado de un

sistema.

Canal de material: canal de transmisin de una magnitud fsica que se conserva.

_ _ _ _ _ _ _

Canal de informacin: canal de transmisin de una cierta informacin que no es

necesario que se conserve.

Constante: un elemento en el modelo que no cambia de valor

Variable Auxiliar: una cantidad con un cierto significado fsico en el mundo real y

con un tiempo de respuesta instantneo.

Variable exgena: variable cuya evolucin es independiente de las del resto del

sistema. Representa una accin del medio sobre el sistema

Retraso: un elemento que simula retrasos en la transmisin de informacin o de

material.

- Grfica de los elementos con los que se construye un diagrama de Forrester -

8.6.2. Variable de Estado o Nivel

Son aquellas variables cuya evolucin es significativa para el estudio del sistema y son equivalentes a las

variables de estado de un sistema en descripcin interna. Fsicamente se definen como magnitudes que

acumulan los resultados de acciones tomadas en el pasado, como ocurre en los niveles de los depsitos de la

analoga hidrodinmica que acumulan lquido resultado de la apertura de las vlvulas. De ah el nombre de

variable de nivel.

Una caracterstica comn a las variables de nivel es que cambian lentamente en respuesta a las variaciones de

otras variables, en concreto de las variables de flujo. A cada nivel N(t) se le puede asociar un flujo de entrada

Fe(t) y uno de salida Fs(t), de acuerdo con la siguiente ecuacin que representa su evolucin:

o bien en forma diferencial:

Cmo se representa mediante diagrama de Forrester?

NivelFe Fs

Una variable de nivel no puede influir directamente en otra variable de nivel, sino es a travs de un flujo.


8.6.3. Variables o tasas de flujo

Son aqullas variables que determinan las variaciones en los estados o niveles del sistema y caracterizan las

acciones que se toman en el sistema las cuales quedan acumuladas en los niveles correspondientes.

Fsicamente expresan como se convierte la informacin disponible del sistema en una accin y estn asociadas

a las vlvulas de la analoga hidrodinmica que regulan los caudales que alimentan determinados depsitos.

A cada flujo F(t) se le asocia una ecuacin llamada ecuacin de flujo o funcin de decisin que admite como

variables de entrada la informacin proveniente de niveles, auxiliares y constantes y suministra como salida el

flujo que alimenta a un estado. Por ejemplo: al flujo F1(t) se le puede asociar la siguiente ecuacin:

F1(t) = Tn.M(t).N(t)

Siendo Tn una tasa normal y M es lo que se denomina el multiplicador de flujo normal.

Si M(t)=1 se tiene una situacin neutral en la que F(t)=TnN(t), es decir, el flujo es una fraccin constante y

normal del nivel.

Una variable de flujo no depender de una sino de varias variables de acuerdo a una expresin de la forma:

F = f(V1,V2,..,Vk)

Es frecuente adems que esta dependencia pueda descomponerse multiplicativamente de modo que se tenga:

F = f(V1) x f(V2) x x fk(Vk)

NF

TnM

- Grfica de un flujo F cuyo valor viene dado por una tasa normal Tn afectada por un multiplicador M -

Por otro lado, las variables de flujo tienen como entradas (informacin) exclusivamente a variables de nivel,

variables auxiliares y variables exgenas y nunca podrn conectarse entre s 2 variables de flujo.

Una variable de flujo vendr siempre medida por la unidad del nivel al que alimenta, dividida por el tiempo.

A todo nivel se le asocia una variable de flujo y adems una variable de nivel no puede influir directamente a

otra variable de nivel sino es a travs de un flujo.

8.6.4. Variables auxiliares

Las variables auxiliares representan paso en los que se descompone el clculo de una variables de flujo a partir

de los valores tomados por los niveles.

El propsito de uso de las variables auxiliares est en facilitar la comprensin y definicin de las variables de

flujo ya que las variables auxiliares suelen representar en s mismas conceptos individuales.


Las variables auxiliares unen los canales de informacin entre variables de estado y de flujo, son parte de las

variables de flujo.

Se pueden utilizar para representar las no-linealidades que aparecen en el sistema.

Si las variables A y B estn ligadas por una expresin de la forma B=f(A), en donde f(A) es una funcin no lineal,

B variable auxiliar y A variable de nivel, entonces se utiliza un smbolo como el empleado para las variables

auxiliares.

- Forma simblica de representar que la variable B es una funcin no lineal o tabla de A -

8.6.5. Canales materiales y canales de informacin

Un nivel se puede alimentar a travs del correspondiente variable de flujo desde una fuente exterior o bien

desde otro estado.

Las variables de nivel y de flujo estn ligadas entre s por medio de canales. Se distinguen 2 clases de canales:

Canales materiales, los cuales se representan por un trazo continuo.

Canales de informacin, los cuales se representa generalmente por medio de un trazo discontinuo.

Los niveles acumulan flujos de materiales que llegaran mediante canales de material y las variables de flujo y

auxiliares se alimentan a partir de canales de informacin.

Para ayudar a comprender el significado de estas tres clases de variables y facilitar su identificacin en el

diagrama, se utiliza una analoga del diagrama con un sistema hidrodinmico.

Caso de realimentacin de sistemas ms complejos: control de nivel en varios tanques

B A B


N3 +

VA2

VA1 +

+ N1

F1 -

F2

N2

F3 +

- F4 -

F2

F3

F4

F1

Nivel N1

Nivel N2

Nivel N3

F1

F2

F3

F4

N3

N1

N2

A1

A2


El sistema hidrodinmico est constituido por tres tanques con tres niveles N1, N2, N3 que acumulan lquido.

Las variaciones de nivel vienen dadas por los flujos F1, F2, F3 y F4 que son controladas mediante vlvulas por

sendos operadores.

Las actuaciones en las vlvulas son funcin de los diferentes niveles en los tanques.

Con la analoga hidrodinmica en funcin de niveles, flujos y actuaciones se tiene una forma de representar un

sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden:

Con los flujos dados por la expresin Fi = fi(N1,N2,N3) i=1.,4

Siendo las funciones fi no lineales en general y que representan las actuaciones en las vlvulas.

La determinacin de Fi puede realizarse en varios pasos intermedios empleando variables auxiliares Ai:

A1= 1(N1,N3) A2= 2(A1,N2) F1= 3(A2)

Que conducen a la expresin F1= f1(N1,N2,N3)

La analoga hidrodinmica se puede completar con la inclusin de variables exgenas E a la hora de determinar

los flujos Fi, tal que

Fi = fi(N1,N2,N3,E)

La analoga hidrodinmica por niveles, flujos y variables auxiliares tiene asociada un sistema de ecuaciones

diferenciales de primer orden.

Por lo tanto, a partir del diagrama causal de un modelo, construido de forma intuitiva, se puede obtener un

modelo matemtico descrito por un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, sin ms que

determinar cules son las variables de nivel, flujo y auxiliares.

8.7. Realimentacin

8.7.1. Estructuras de realimentacin. Bucles de realimentacin positiva

Son los bucles en los que la variacin de un elemento se propaga a lo largo del bucle de manera que refuerza

la variacin inicial. En general representa un proceso en el que un estado determina una accin, que a su vez

refuerza este estado y as indefinidamente.


A

B

C

+

+

+

Un incremento de la variable A determina a su vez su propio reforzamiento.

El comportamiento a lo largo del tiempo de sistemas caracterizados por un bucle de realimentacin positivo

tiene las siguientes caractersticas:

Si una cantidad dentro de un lazo positivo comienza a aumentar, ocurre lo que se denomina el efecto de la

bola de nieve dnde la cantidad contina incrementndose. Este efecto tambin ocurre en reverso, es decir,

si una variable en un lazo comienza a declinar, seguir decreciendo continuamente.

Uno de los tipos particulares de comportamiento que se puede encontrar en los lazos de realimentacin

positiva son los de crecimiento exponencial.

Ejemplos de sistemas que posean esta estructura son: el de saldo bancario o inters compuesto que crece sin

ninguna limitacin y el proceso de refuerzo de ventas causado por clientes que hablan entre s acerca de un

producto.

Ventas

ClientesSatisfechos

Difusin Productos(comentarios positivos)

+

+

+

8.7.2. Formulacin matemtica de un bucle de realimentacin positiva elemental

Segn Javier Aracil, podemos afirmar que los elementos bsicos de la formulacin son:

- El estado x

- La accin F

Var.Estado

(+)

Tiempo

Saldo Bancario

Inters Ganado

+

+

Tiempo

(+)


X F+

+

Se supone que el estado representa una acumulacin de acciones pasadas (dinmica de sistemas). La relacin

entre el estado x y la accin F viene dada por la siguiente ecuacin:

lo que es consistente con la hiptesis de que el estado representa la acumulacin de acciones pasadas

Si se asume que la accin es proporcional al estado F = kx

Se tiene la ecuacin que gobierna la evolucin del estado del sistema viene dada por

Si integramos tenemos que

Tenemos entonces que F = kx , la relacin que liga el flujo F con el estado x se puede representar grficamente

de la siguiente forma:

F

k

x

- Relacin que liga el flujo con el estado x -

La constante k representa una tasa de crecimiento de x. Significa el tanto por uno de crecimiento de x, por

unidad de x. O tambin por ejemplo que una tasa de crecimiento del 5% representa que la magnitud x crece

0,05x en la unidad de tiempo.

El patrn de comportamiento para este tipo de realimentacin es exponencial.

8.7.3. Ejemplo realimentacin positiva: Sistema de crecimiento de la poblacin

Diagrama causal:

Nacimientos Poblacin

+

+

Diagrama de Forrester (en VensimPLE32 versin 5.2):


Poblacinflujo nacimientos

tasa nacim

t

Ecuaciones:

t= tiempo

tasa nacim = una constante

Unidades correspondientes:

8.7.4. Estructuras de realimentacin. Bucles de realimentacin negativa

Un bucle de realimentacin negativa representa un tipo de situacin muy frecuente en el que se trata de

decidir acciones para modificar el comportamiento con el fin de alcanzar un determinado objetivo.

Un diagrama de este estilo es el visto en el proceso de llenado de un vaso en el que se tiene que el estado

alcanzado por una cierta magnitud (el nivel de agua ) viene determinado por una accin (el flujo de agua) que

a su vez es consecuencia de la discrepancia entre el estado alcanzado por esa magnitud y el valor que se

pretende que tenga. Es decir, la discrepancia entre el estado y objetivo determina la accin que modifica el

estado en el sentido de que alcance el objetivo deseado (que la discrepancia se anule).

Otro sistema con este comportamiento es el de control de inventario. Si el inventario se separa del valor

ptimo, aparece una discrepancia entre los valores de inventario real y ptimo que activa una accin de

reposicin, la cual mediante la modificacin del tamao del pedido de productos lleva al inventario al nivel

ptimo. Es por lo tanto un comportamiento en el que el sistema corrige de forma autnoma las

perturbaciones que tienden separarlo del comportamiento deseado, es decir, el mantenimiento de nivel

ptimo de inventario.


AB

C

D+ -

+

+

8.7.5. Formulacin matemtica de un bucle de realimentacin negativa elemental

Los elementos bsicos de este tipo de bucle son

- El estado del sistema X

- La accin o flujo F

- La discrepancia D

- El objetivo, meta o estado deseado Xd

La relacin entre el estado x y la accin F viene dada por una ecuacin de la forma:

El estado representa la acumulacin de acciones pasadas:

Los otros elementos del bucle vienen dados por las ecuaciones

Y de esto se desprende que:

La relacin entre el flujo F y el estado x se representa grficamente :

F

Kxd

-k

Xd x

Integrando y teniendo en cuenta que , se tiene:

- Grfica de comportamiento de un sistema de realimentacin negativa

Estado deseado

X(0)

Xd


El estado X tiende al objetivo Xd

Este comportamiento corresponde a los sistemas en los que en el bucle aparece una nica variables de estado

(ecuaciones de primer orden). Para sistemas de orden superior, el comportamiento puede ser oscilatorio

aunque sigue mantenindose la pauta de tender asintticamente a un objetivo.

8.7.6. Ejemplo realimentacin negativa: Sistema de Inventario

En este sistema de control de inventario el responsable del mismo trata de mantener el inventario de

productos en determinado nivel. Cuando el stock de productos almacenados desciende del nivel deseado, se

realizan pedidos al distribuidor con el fin de mantener dicho nivel.

Si la cantidad de productos almacenados es superior al nivel deseado, entonces devuelve este exceso de

productos al distribuidor. Las ventas estn determinadas con independencia del vendedor, son exgenas.

Inventario deseado Inventario

PedidosDiscrepancia+

-

+

+

Ventas

+

El flujo de pedidos depende de la discrepancia entre el Inventario deseado y el Inventario real.

Cuando el Inventario deseado es igual al real, entonces el flujo de pedidos es 0.

Diagrama de Forrester (utilizando VensimPLE32 versin 5.2 )

Inventarioflujo Pedidos flujo Ventas

Factor pedidos

Discrepancia Inventario deseado

t1 t2

Ecuaciones correspondientes

Para plantear las ecuaciones y poder simular en el software VensimPLE32 versin 5.2, haremos algunas

suposiciones del sistema.

El sistema inicialmente se encuentra en equilibrio y con el inventario igual al inventario deseado el cual es de

150 unidades. Las ventas varan de 0 a 30 unidades/semana en la semana cero de la simulacin. Adems las

unidades pedidas por semana son proporcionales a la discrepancia (poltica de pedidos lineal) con un factor

igual a 0.5

(-)



Grfica y tabla con los resultados de la corrida del modelo en VensimPLE32 versin 5.2, en un tiempo de

simulacin total de 7 semanas:

Evolucin del inventario y del flujo de pedidos200 productos40 productos/semana

140 productos20 productos/semana

80 productos0 productos/semana

0 1 2 3 4 5 6 7semanas

Inventario productosPedidos productos/semana

Define la evolucin de la variable de estado Inventario

Valor inicial de la variable Inventario

Define la discrepancia en funcin del Inventario deseado

y del Inventario real

Define la poltica con la que se realizan los pedidos


Time (Week) 0 1 2 3 4 5 6 7

Inventario 150 120 105 97.5 93.75 91.87 90.93 90.46

pedidos 0 15 22.5 26.25 28.12 29.06 29.53 29.76

Se observa que el nivel de inventario se estabiliza en 80 productos, no alcanzando nunca el nivel deseado de

150. Por lo tanto, la poltica de pedidos basada exclusivamente en la discrepancia entre el inventario deseado

y el real no es adecuada para cumplir el objetivo de mantener el inventario a un nivel deseado.

Entre las semanas 1 y 6 la cantidad de productos pedidos es menor a 30, siendo que el nmero de ventas es de

30. Hasta la semana 7 el flujo de pedidos no se estabiliza en 30 unidades, que son precisamente las unidades

vendidas en cada semana, por lo que produce una baja en el inventario inicial debido a los desajustes entre

ventas y pedidos entre las semanas 1 y 6.

8.7.7. Retrasos. Comportamientos. Ejemplos

En todos los sistemas se producen retrasos entre las acciones y sus consecuencias. En todos los procesos de

realimentacin se produce alguna forma de retraso.

Los retrasos si son significativos pueden producir inestabilidad en sistemas con realimentacin negativa. Un

bucle de realimentacin negativa con un considerable retraso puede llevar a la oscilacin.

Por ejemplo, en el proceso de regulacin de temperatura se introduce un retraso y por lo tanto se producirn

oscilaciones en el comportamiento. Cuanto ms agresivo es el comportamiento del que acta sobre el grifo o

llave, mayores sern las oscilaciones que se producirn antes de alcanzar el equilibrio y, por tanto, mayor ser

el tiempo que se tardar en alcanzar la temperatura deseada.

Diagrama causal

Temperaturadeseada

Temperatura real

acciones calefactorDiscrepancia

+-

+

+

Grfica de comportamiento

Retraso

Tiempo

Temperatura

Temperatura deseada


Crecimiento Sigmoidal

Caso de crecimiento en S (crecimiento sigmoidal o logstico): este es el tpico caso de poblaciones de estudios

ecolgicos. Se caracteriza por tener un crecimiento exponencial y un decrecimiento asinttico:

N ( t + t) = N(t) +(F1+F2) t

F1 = K1 N(t)

F2 = K2 D = K2 [OB-N(t)]

N ( t + t) = N(t)+{ K1 N(t)+ K2 [OB-N(t)]} t

Sacando el lmite para t 0,

OBK)t(N)KK(dt

)t(dN221 +=

N(t) = N(0)e(K1-K2)t

+ K2OB

El diagrama de fase para los crecimientos en S se explican en los siguientes grficos:

+

- +

F1

F2

D

N

OB

+

+ -

Reginen permantente

Decrecimiento asinttico

N(t) Reginen transitorio

Crecimiento exponencial

N

K1

F2

D

OB

F1

K2

Crecimiento

F(t)

N

Decrecimiento

OB NI

F(t)N(t)

t Flujo total

F

N


8.8. Construyendo Modelos.

Vamos a simular el comportamiento de sistemas muy simples y los iremos planteando desde diversos puntos

de vistas (modelosi) de tal forma de que se puedan observar los distintos tipos de comportamientos que

surgen, segn definamos que relaciones existirn entre las variables de los sistemas.

Modelo 1: Poblacin infectada por un virus con una nica tasa de contagio(entrada).

Vamos a realizar en primer lugar, un Diagrama Causal del modelo que nos muestre la dinmica de la poblacin

infectada.

Sabemos que:

- a mayor tasa de contagio, mayor ser el nivel de poblacin infectada.

Tasa de contagio PoblacinInfectada

+

+

Ahora construiremos el diagrama estructural del modelo, dibujaremos el Forrester asociado:

PoblacinInfectada

Flujo tasa decontagio

t1

cte. contagio

Planteemos finalmente las ecuaciones del modelo con sus correspondientes unidades:

Poblacin [=] personas

Suponemos que la poblacin infectada inicial es de 1000 personas y que existe una tasa de contagio del 9%

quincenal. Observaremos utilizando el simulador Vensim, el comportamiento de la poblacin en 6 meses (180

das).


(1) "cte. contagio"= 0.09

(2) FINAL TIME = 180 Units: Day The final time for the simulation.

(3) Flujo tasa de contagio= ("cte. contagio"*Poblacin Infectada)/t1

Units: Personas/das

(4) INITIAL TIME = 0 Units: Day The initial time for the simulation.

(5) Poblacin Infectada= INTEG ( Flujo tasa de contagio, 1000)

Units: Personas

(6) t1= 15 Units: das

(7) TIME STEP = 1

Units: Day

The time step for the simulation.

Con este modelo as planteado, solo considerando un flujo de entrada de contagio sin ningn tipo de control

tendremos un comportamiento de crecimiento exponencial en el tiempo t

Poblacin Infectada4,000

3,000

2,000

1,000

00 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180

Time (Day)Poblacin Infectada : Current Personas

Modelo 2: una Poblacin infectada la cual se va curando.

Se tiene una poblacin infectada estable a la cual se le realiza un tratamiento efectivo que hace que por

semana se recuperan 4% de las personas. No evitaremos el hecho de que la poblacin infectada quede nula

en un tiempo tj Por lo tanto, sabemos que:

- a ms curados, menor ser el nivel de poblacin infectada.

Poblacininfectada se curan

+

-

Ahora construiremos el diagrama estructural del modelo, dibujaremos el Forrester asociado


PoblacinInfectada flujo curados

tasa de curacin t1


Poblacin [=] personas

Suponemos que la poblacin infectada estable es de 5000 personas y la tasa de curacin es del 4% semanal.

Observaremos utilizando el simulador Vensim, el comportamiento de la poblacin en 6 meses (24 semanas).

Ecuaciones en VensimPle 5.2

(1) FINAL TIME = 24 Units: Week The final time for the simulation.

(2) flujo curados= (Poblacin Infectada*tasa de curacin)/t1

Units: personas/semana

(3) INITIAL TIME = 0 Units: Week The initial time for the simulation.

(4) Poblacin Infectada= INTEG ( -flujo curados, 5000)

Units: personas

(5) t1= 1 Units: semana

(6) tasa de curacin= 0.04 Units: **undefined**

Grfica de la evolucin de la poblacin infectada:



4,500

3,000

1,500

00 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Time (Week)Poblacin Infectada : Current personas

Con este modelo as planteado, solo considerando un flujo de salida de personas curadas sin ningn tipo ms

de control, tendremos un comportamiento exponencial decreciente en el tiempo t . Se puede observar que

al finalizar las 24 semanas quedan personas infectadas que an no se han recuperado.

Modelo 3: poblacin infectada para la cual existe una tasa de contagio y se pretende mantener un nivel

mximo de infectados para lo cual se han tomado medidas de tal forma de regular esa entrada de contagio

(acciones del gobierno para frenar la infeccin y regular la poblacin infectada).

Queremos saber la dinmica de la poblacin infectada ante cambios en la entrada y queremos estar seguros

de controlar el nmero de infectados. Por lo tanto, debemos contemplar la cantidad mxima admisible de

infectados en la poblacin.

La entrada a la poblacin infectada se regula de forma tal que para evitar que se siga creciendo entrarn

menos personas infectadas cuando la poblacin est casi en su valor mximo. .

Sabemos que: a ms poblacin infectada ser menor la entrada de contagio.

Mximo deseadoinfectados

Poblacininfectada

Discrepancia contagio- +

acciones delgobierno+

-

+

Ahora construiremos el diagrama estructural del modelo, dibujaremos el Forrester asociado


PoblacinInfectada

Flujo Contagio

DiscrepanciaMximo deseado de

Infectados

t1

cte contagio

La entrada es funcin de la cantidad de infectados que haya en la poblacin, con un mximo deseado de

infectados de 2500 personas y una cte de contagio diaria del 9 %



Tiempo de simulacin = 180 das

Con este modelo as planteado, solo considerando un flujo controlado de contagio tendremos un

comportamiento de crecimiento limitado en el tiempo t que se conoce como comportamiento bsqueda del

objetivo.



3,000

2,000

1,000

00 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180

Time (Day)Poblacin Infectada : Current Personas

Qu podemos observar de esta grfica? Qu a partir de la semana 54 el sistema comienza a ser estable

manteniendo una poblacin infectada no mayor a 2500 personas.

Modelo 4: considera el proceso de regulacin de poblacin infectada este modelo est asociado a los modelos

1 y 2 modificado. El proceso de crecimiento asociado al bucle de realimentacin positiva (modelo 1) se

encuentra con un lmite (modelo 2modificado) que conduce al agotamiento del proceso de crecimiento de la

poblacin infectada. Se busca mantener un nmero de infectados y por lo tanto se trabaja en esta oportunidad

con las personas que se curan.

En este sistema existen tres elementos a considerar, la poblacin infectada, la entrada por contagio, la salida

por curados, discrepancia y poblacin ptima de infectados. Las relaciones son:

- a ms contagio habr ms poblacin infectada (polaridad de enlace positiva)

- a mayor nmero de acciones para curar habr menos poblacin infectada (polaridad del enlace negativa)

- a ms poblacin infectada ser mayor la entrada de contagio (polaridad positiva)

- a ms poblacin infectada ser mayor la salida de curados (polaridad positiva)

contagioPoblacininfectada

Poblacin infectadadeseada

Discrepancia

Acciones paracurar

+

+

+-

+

-

Se observan 2 bucles: un bucle positivo y otro negativo

Ahora construiremos el diagrama estructural del modelo, dibujaremos el Forrester asociado teniendo en

cuenta lo siguiente:

(+)

(-)


- El contagio se produce con una tasa de 4% diaria

- La cura es del 5% diario

- Inicialmente La poblacin infectada es de 100 personas

- Cuando se llegue a una poblacin infectada de 1500 personas se tomaran medidas para que la tasa de

curacin sea ms efectiva, representando un aumento en la misma que la transforma al 15% diario..

PoblacinInfectadaflujo tasa contagio flujo curados

cte contagio t1 tasa de curacin

t2

discrepancia

Poblacin ptima deinfectados


Tasa de curacin= 0.05


Tiempo de simulacin = 180 das

En este modelo tenemos un patrn de comportamiento de crecimiento en forma de S


Poblacin infectada8,000

6,000

4,000

2,000

00 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180

Time (Day)Poblacin infectada : Current personas

Modelo 5: calidad de servicio

Se asume que existe una cantidad fija de recursos para prestar el servicio a los clientes. Esto ocasiona que ante

un incremento en la demanda, caiga la calidad de servicio ofrecido. Sin embargo, el sistema presenta una

demora en la percepcin que tiene el pblico de la diferencia de servicio con el estndar provocando una

constante oscilacin

Diagrama causal

Calidad deServicio

Discrepancia

Estandar deservicio

Reputacin delservicio

Demanda delcliente

+-

-

+

-

Patrn de comportamiento

Demanda cliente

Tiempo


Modelo completo: Sistema Epidemia

La representacin de la evolucin de una epidemia en una poblacin se realiza mediante el siguiente modelo:

La poblacin total es constante y al principio todos estn sanos.

Existen tres tipos de personas:

Sanas que pueden enfermarse por contagio. Enfermas, que pueden contagiar y que se curan. Curadas e inmunes.

Se sabe que:

a) La curacin es proporcional (con una constante conocida) a la gente enferma.

b) El contagio es el producto de una fraccin variable por la gente enferma (que es capaz de

contagiar)

c) Esta fraccin variable es proporcional (con una constante conocida) a la gente sana.

1. Cules son los niveles? Es decir, Qu se acumula?

Gente sana, enferma o curada.

2. Cules son los flujos?. De otra manera: Cules son las variables que hacen que cambien, que los sanos se

enfermen y los enfermos se curen?

El contagio y la curacin son esas variables

contagio

Sanos Enfermos

curacin

Curados

Observe que se han escrito los niveles en negrita y con maysculas para remarcar las diferencias.

Existe alguna variable que vincule los curados con los sanos? Se puede encontrar un flujo que pase

gente curada a sana? No, porque los curados son inmunes a la enfermedad, pero los sanos pueden

contagiarse.

3. Veamos, ahora, las relaciones causa efecto entre los niveles y los flujos que los relacionan:

A ms curacin hay ms Curados? V

A ms Curados hay mayor o menor curacin? F. No influye el nivel de Curados sobre el flujo de

curacin.

A ms curacin hay menos Enfermos? V

A ms Enfermos hay ms o menos curacin? V. Por el enunciado a) hay ms curacin.

A ms contagio hay ms Enfermos? V.

A ms Enfermos hay ms o menos contagio? V. Por el enunciado b) hay ms.

A ms contagio hay mas o menos Sanos? V.

A ms Sanos hay ms o menos contagio? V. Hay ms contagio por enunciado c).

A ms Curados hay ms o menos Sanos? F. No hay relacin directa entre estos dos niveles.

A ms Sanos hay ms Curados? F. Aqu se corre el riesgo de establecer un loop ficticio o de duplicar

una relacin ya encontrada en forma indirecta a travs de Enfermos.

Enfermos + _ Sanos 2 3 Curados - + 1 6 5 4 7 + + contagio velocidad de curacin


Construccin del Diagrama de Forrester:

El flujo contagio vincula sanos con enfermos y el flujo curacin vincula enfermos con curados.

Recordando las reglas establecidas para saber si una relacin es canal material o de informacin, de entrada o

de salida podemos decir que:

Por 1 contagio es flujo de salida de Sanos y por 6 es entrada de Enfermos.

Por 3 curacin es salida de Enfermos y por 4 es entrada de Curados.

Existe alguna otra entrada al sistema? No, porque se estableci que la poblacin total es constante. Por la

misma razn no hay una salida de curados. El sistema es un sistema cerrado.

Falta establecer cmo se calculan los flujos, estos se dan por las otras relaciones, que son de informacin.

La relacin 5 establece que curacin es funcin de Enfermos, canal de informacin desde ese nivel al flujo y

segn el enunciado hay una constante de proporcionalidad, la llamaremos k1.

Contagio tiene que relacionarse con Enfermos y Sanos. Dado que los enunciados b y c hablan de una fraccin

variable, conviene establecer una variable auxiliar que ser esa fraccin variable que llamamos v, y luego el enunciado dice que es funcin de Sanos y de una constante que llamamos k2.

SANOS d Sanos

dtveloc

.

.= contagio

k2

veloc. de ctgio.

v

k3 ENFERMOS d Enfermos

dtv vcontagio curacin

.

=

k1

veloc. de curacin

CURADAS d Curadas

dtvcuracin

.

=

v k enfermas k k enfermas sanasv k enfermas

contagio v

curacin

= =

=

2 2 3

1

. . . ..


8.9. Estabilidad de los sistemas

8.9.1. Mtodo para determinar la estabilidad cuando se tiene un sistema de ecuaciones

Ayuda matemtica para predecir conductas de sistemas lineales y a coeficientes constantes:

1. Dada una ecuacin

y con condiciones iniciales nulas:

=+++

yadtdy

adtdy

an

n

nn

n

n ........ 11

1

1 variables independientes (exgenas)

donde:

n: orden del sistema

an: coeficientes constantes (no son funcin del tiempo ni de y)

Como ya se sabe lineal significa que no existen productos entre funcin y derivadas, ni estn elevadas a

potencias de ningn orden.

Con la ecuacin anterior se construye un polinomio auxiliar con las siguientes caractersticas:

0..... 11

1 =+++

asasa nnn

n se obtienen las races de este polinomio y segn el resultado se obtienen

las siguientes conclusiones:

Si son reales menores que cero, el sistema es estable, no oscilatorio; Si al menos una raz es real mayor que cero es inestable, no oscilatorio; Si son complejas el sistema es oscilatorio, parte real menor que cero, es estable; Si son complejas el sistema es oscilatorio, parte real mayor que cero, es inestable; Basta con que una de las races sea mayor que cero para que exista inestabilidad.

2. Sistemas de ecuaciones lineales a coeficientes constantes con condiciones iniciales nulas:

++++= nn yayayadtdy

........ 12121111 variable independiente 1

.

.

.

++++= nnnnnn yayaya

dtdy

........ 2211 variable independiente n

la estabilidad del sistema no depende de las variables independientes, slo de s mismo, por lo tanto,

depende de los autovalores de la matriz de coeficientes A:

=

+= VIyAy .

El clculo de los autovalores se realiza a travs del siguiente determinante: 0. = IA , los autovalores i son equivalentes a las races del polinomio auxiliar que se vio en el punto 1 y las conclusiones que se obtienen son equivalentes.


Ejemplo: Supongamos el siguiente sistema expresado por diagramas de Forrester,

111 N.KB

dtdN

= (1)

22112 N.KN.K

dtdN

= (2)

Para que quede una sola ecuacin como la planteada en 1. tenemos que obtener N2 en funcin de B (ltimo

nivel en funcin de las variables exgenas)

De (1) dt

dNBN.K 111 = (3)

De (2) 222

11 N.KdtdN

N.K += (4)

Derivando esta ltima expresin en funcin del tiempo:

dtdN

.Kdt

Nddt

dN.K 222

22

11 += (5)

Reemplazando (4) y (5) en (3)

dtdN

.

KK

dtNd

.

K1BN.K

dtdN 2

1

22

22

122

2=+

Reordenando esta ecuacin obtenemos,

B.KN.K.Kdt

dN).KK(dt

Nd1221

2212

22

=+++

El polinomio auxiliar de esta es: 0K.Ks).KK(s 21212 =+++ ,

Resolviendo el polinomio obtenemos:

2K.K.4)KK()KK(

s 212

21212,1

++=

s1,2 son las races del polinomio auxiliar a travs de las cuales deberemos analizar la estabilidad del sistema.

Si se resuelve esta ecuacin teniendo en cuenta que el radicando es el cuadrado de la diferencia de

(K2- K1), se obtendr s1 = - K1 y s2 = - K2 .

Considerando el sistema de ecuaciones diferenciales y ordenando los trminos en cada una, tenemos:

N 1 N 2

B K1 K2


BN.0N.Kdt

dN211

1 ++= (1)

0N.KN.Kdt

dN2211

2 ++= (2)

Lo que expresado en forma vectorial queda:

+

=

0B

NN

.

KK0K

N

N

2

1

21

1

2

1

=

=21

1

21

1

KK0K

00

KK0K

I.A

Calculando el determinante de la expresin anterior e

igualndolo a cero, obtenemos:

0)K)(K(0I.A 21 ==

De aqu se obtiene 0)K)(K( 21 =++

Desarrollando la ecuacin se tiene: 0K.K).KK( 21212 =+++ ,

donde las races del sistema, 1,2 son los autovalores K1 y K2, iguales a las que se obtuvieron por el mtodo

del polinomio auxiliar .

Como se vio antes:

Si las races son nmeros reales menores que cero, el sistema es estable, no oscilatorio (la solucin de la ecuacin o expresin del nivel es una exponencial negativa del tipo N(t)= C e

t , C =

constante).

Si al menos una raz es real mayor que cero es inestable, no oscilatorio (la sol. es una exponencial positiva del tipo N(t)= C e

t , C = constante).

Si las races son complejas (la raz cuadrada es negativa), el sistema es oscilatorio, parte real menor que cero, es estable (la

sol. es una exponencial del tipo N(t)= C e t

=C e (a+ib)t

=

= C e at

e ibt

= C e at

(cos bt + i sen bt) , con a

teoría unidad 8 2011

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