U.5: Proporcionalitat aritmètica

Raó i proporcionalitatS’anomena raó de nombres a i b (b≠0) , el quocient d’aquests dos nombres

b

a

10

250

8

200

4

100 ==

En efectuar el quocient de les raons anteriors, obtenim sempre el mateix resultat = 25La igualtat anterior s’anomena proporcióEs llegeix 100 és a 4 com 200 és a 8

Obtenció dels termes d’una proporció

Si coneixem tres termes d’una proporció sempre és possible de calcular el terme que hi falta

121443·4848

3

_2__:_

5.210

255·510

10

5

5

___2:_

214

12·712·74

12

7

4

127,4___

2

==→=→=

==→=→=

==→=→=

xxx

x

termesconeixemnoalproporcionMitjà

xxx

repeteixenestermesalproporcionTercer

xxx

idealproporcionQuart

Magnituds directament proporcionals

La Sandra fa feina per hores donant classes particulars Per cada hora que treballa li paguen 20 €. Quant li pagaran si treballa 2h? I si treballa 3h? I 4h? •

Com que les magnituds (temps-diners) són directament proporcionals, es compleix que: •

El nombre 20 s’anomena constant o raó de proporcionalitat

Representació gràficaPodem representar gràficament els valors.Eix de les abscisses (x) tempsEix ordenades (y) metres

Temps (s) Metres (m)

2 10

4 20

6 30

8 40

10 50

En representar en un sistema de coordenades els valors dues magnituds directament proporcionals, sempre obtenim una recta que passa per l’origen de coordenades (0,0)

Posa’t a prova

Regla de tres directaQuan tenim tres nombres coneguts i ens falta trobar el quart nombre, sabent que són proporcionals utilitzarem la REGLA DE TRES DIRECTA

Exemple:Si 4 entrades del cine ens han costat 8€, quant ens costaran 10 entrades?

Regla de tres directaHe comprat 30 llapis per 7,50€. Quant em costaran si en compro 46?

Reducció a la unitat

Repartiment directament proporcionals

Exemple:Tres amics han anat a comprar DVDs. Un dels amics n’ha comprat dos, un altre tres i el tercer cinc. Quant han de pagar si el lot complet val 120€ , si tots els DVD costen el mateix?

€ x y z

DVD 2 3 5

605·12125

363·12123

242·12122

1210

120

532532

==→=

==→=

==→=

==++++===

zz

yy

xx

zyxzyx

L’amic que ha comprat 2DVDs ha de pagar 24€, el que ha comprat 3DVDs 36€ i el que ha comprat 5DVDs ha de pagar 60€

Magnituds inversament proporcionals

Dues magnituds són inversament proporcionals, si en multiplicar un valor d’una de les magnituds per una constant, el valor de l’altra queda dividit per la mateixa constant

Exemple:Les magnituds velocitat – temps són magnituds inversament proporcionals. Quan multipliquem (o en dividim) una per un nombre, l’altra queda multiplicada (o dividida ) pel mateix nombre.

Exemples de magnituds inversament proporcionals

10 nàufrags tenen menjar per 30 dies. Si només hi ha un nàufrag, per quants dies tindrà menjar?

10·30=1· xX=300 dies

Si un cotxe va a 60km/h i triga 5 hores a fer una distància. Quant trigaria si anés a 20km/h?

60·5=20·xx= 15 hores

Treballant 3 hores cada dia s'acaba un treball en 6 dies . Si treballem 2 hora cada dia, quants dies trigarem? 3·6=2·x

x=9 dies

Regla de tres inversaUn grup de 23 alumnes han participat en un concurs i han guanyat un premi de 1400€, si haguessin participat 14 alumnes, quants euros s’haguessin repartit?

Reducció a la unitat

Percentatges

Què en sabem?

PercentatgesUn percentatge o tant per cent (%) és una proporció expressada com una quantitat de cada 100 unitats

El 15% dels tirs llançats han entrat. Significa que 15 tirs de cada 100 han entrat. I el 15% de 600?

També podem expressar el tant per u

07,0100

7%7 ==

Tota fracció la podem convertir en percentatge

%5,37375,08

3 100·→=

Per fer % amb calculadora

Diferents càlculs

Exemple 1: Exemple 2:

Augments percentualsUn augment és una quantitat que s'afegeix a un valor determinatHi ha dos mètodes per fer càlculs d’augment percentual1.Pas a pas2.Directament. Calcular l’índex de variació (I.V.)

Exemple: El preu d’una bicicleta era de 240 euros. A aquest preu se li ha d’afegir el 16% d’ IVA. Quin és el preu final?

Augments percentualsExemple 1: Quina quantitat resulta en augmentar el 16% a 45?

2,522,745

2,7100

45·1645%16

=+

==de

O multiplicar 1,16 a 45, és a dir calcular 116% de 45

2,5245·100

11645·16,1 ==

Disminucions percentualsUna disminució és una quantitat que restem a un valor determinatHi ha dos mètodes per fer càlculs de disminució percentual1.Pas a pas2.Directament. Calcular l’índex de variació (I.V.)

Exemple: El preu d’un ordinador era de 1200 euros, però m’han fet un 15% de descompte. Quin és el preu final?

Calculeu què hem de pagar:

Botiga A: 92,12€Botiga B: 95,04€Botiga C: 93,67€

Exemples 1 de percentatgesEn comprar un regal per un amic , la Irene ha rebut un 5% de descompte. Si el descompte va ascendir a 2,8€. Quin és el preu del regal? Quant va haver de pagar?

pagats

regalpreux

x

x

x

regaldelpreux

€2,53€8,2€56

_€565

280

2805

100·8,25

8,2100

5·

__

=−

==

==

=

=

Exemple 2 de percentatgesEl preu d’un article sense IVA és de 21,25€ i amb IVA 24,65€. Determina el % d’IVA.

%161625,21

340

2125246525,21

246525,212125

65,24100·25,2125,21

→==

−==+

=+

=

x

x

x

x

IVAx

Exemple 3 de percentatgesEl preu d’un llibre és de 23€. En el transcurs d’un any augmenta un 25€, i després a les rebaixes, disminueix un 20%. Quin és el preu del llibre a les rebaixes?

2375,575,28100

20·75,2875,28%2075,28

75,2875,523100

25·2323

%2523

=−=−=−

=+=+

=+

Interès simpleQuan ingressem una quantitat a un banc, al cap d’un temps ens tornen la quantitat ingressada incrementada en un interès abonat pel banc.Els interessos produïts són directament proporcionals al capital ingressat i al temps.

I= c · i · n

Conceptes:Capital inicial (c): És la quantitat inicial que s’ingressa o es presta.Interès (I). Són els interessos produïts.Interès unitari (i): És l’interès que proporciona el bancAnys (n): Anys que ha durat l’operació bancàriacantida

Exemple 1 - interès simpleUna entitat financera ofereix un 4,5% anual pel dipòsit d’un capital. Si disposem de 13500€, quin interès ens produirà al cap de 3 anys?Pas a pas:Calculem l’interès en una any:

4,5% de 13500 = 0,045 · 13500 = 607,5€En tres anys:

607,7 · 3 = 1822,5€

Fórmula:I = c · i ·nI = 13500 · 0.045 · 3 =1822,5€

Exemple 2 - interès simpleDipositem un capital de 3000€ en una entitat financera al 4% anual. Quants anys han de passar perquè es converteixi en 3360€?

Interessos: 3360 – 3000=360€ interessos obtinguts

304,0·3000

360

·

··

===

=

ic

In

nicI

Han de passar 3 anys

Exemple 3 - interès simpleEns queden per pagar 1500€ d’un préstec que venç al cap de 90 dies. Si el tipus d’interès és del 10% anual, quant ens descomptaran si el paguem avui mateix? Quant hem de pagar?90 dies= 90:365= 0,247 anysCalculem els interessos que hauríem de pagar per 90 dies (0,246 anys)

I= c · i ·nI = 1500 · 0,1 · 0,247 = 37€La quantitat que hauríem de pagar= 1500 – 37 = 1463€