INTRODUCION

Las estructuras laminares han adquirido en los ltimos tiempos un significado

practico extraordinario debido a una relacin particular de fuerzas en las

estructuras superficiales espaciales, que conduce a un aprovechamiento favorable

del material. Adems por su condicin de ser ejecutadas en concreto armado, los

cascarones seria de cualidades, algunas de las cuales son :

Incombustibles

Cubre luces amplias sin necesidad de tener portantes dentro de ellos.

Asimismo por ser elsticas y a la ves indeformables geomtricamente

En el caso de las estructuras laminares de doble curvatura

anticlasicas(paraboloide hiperblico )el encofrado es sencillo debido a que la

superficie esta definida por dos sistemas de lneas rectas que se cortan, el

encofrado necesita solamente vigas rectas como generatrices.

Poco peso por lo tanto las cimentaciones son menos caras.

El anlisis de cascarones se puede realizar mediante las llamadas teoras exactas y

las teoras aproximadas. Las primeras estn en la teora lineal de la elasticidad

cuyas ecuaciones son engorrosas para lo cual es posibles hacer uso de mtodos de

calculo especializados, en adicion los cascarones debido a su estructura son de

comportamiento discontinuo (presencia de vigas de borde ) y no homogneo (caso del

concreto ). La teora aproximada considera que el cascaron no tiene rigidez a la

flexion se comporta como una membrana delgada quedando solo esfuerzos directos

en la superficie, esfuerzos de compresin pura y esfuerzos cortantes.

Con los programas de calculo estructural esto no ser para nada difcil los cuales en

su mayora estn basado en la teora del elemento finito dan como resultado

soluciones rigurosas que predicen los esfuerzos principales y sus direcciones en

ambos nodos, asi como los esfuerzos cortantyes mximos y sus direcciones en

varios nodos.

HISTORIA

Las cubiertas de membranas pretensadas estn definidas por membranas translcidas,

tendidas entre puntos firmes. Algunos autores las llaman cscaras blandas.

Es necesario conferirles rigidez, para evitar que salgan de servicio ante las variaciones de

cargas, porque son soluciones estructurales livianas y flexibles, que se encuadran dentro

de las que resisten por traccin, con posibilidad de adaptar su forma al funicular de las

cargas externas. Es decir, las caractersticas fsicas del material de membrana son las que,

finalmente, deben guiar el proceso de definicin formal de los elementos de superficie.

Antecesoras de las cubiertas de membranas pretensadas son las cubiertas de membranas

tensadas, que son antiqusimas, tan antiguas como el primitivo hombre nmada. Es

interesante hacer una breve revisin histrica, a los efectos de entender cmo evolucion

el diseo desde las tiendas hasta llegar a las actuales cubiertas de membranas

pretensadas, es decir, de descubrir su evolucin formal y simultneamente, los aspectos

tcnicos particulares.

Las primeras pruebas convincentes de que el hombre emple tiendas, segn Frei Otto, nos

las aportan las excavaciones de campamentos que datan de 30.000 aos. En las culturas

primitivas ms elevadas encontramos amplias descripciones y sobre todo muchas

representaciones precisas de su apariencia formal.

En Siberia, cerca de Irkutsk, se hicieron excavaciones con hallazgos que determinaron que

los cazadores del Paleoltico, en las tundras, durante la poca glacial, hace unos 20.000

aos, utilizaban tiendas cnicas parecidas a las empleadas hasta pocas recientes por los

tipis, indios norteamericanos, que son cnicas, con mstiles dispuestos circularmente,

enterrados en el suelo y unidos por la punta con una cuerda con nudos especiales.

tienda alargada con dos mstiles En relieves que representan las campaas guerreras de

Senaquerib (705-681 a.C.) se reconoce claramente el diseo de las tiendas, con apoyos de

barras de madera y piel tensada sobre ellos. Representaciones egipcias de una tienda real

las muestran como las describi Ptolomeo (275 a.C.), con mstiles de cedro y capiteles de

palmera, sosteniendo gneros tejidos en telares, probablemente de fibras de lino. Estas

tiendas, donde se realizaban fiestas, tenan cerca de 8200 m2. Las tiendas militares

romanas, representadas en un relieve de la columna de Marco (siglo II), de Roma, y

campamentos de tiendas de legionarios romanos en la columna de Trajano (siglo I), de

Roma, eran de lonas tensadas sostenidas por barras de madera. Las mas pequeas, para

la tropa, eran de piel y se conservan aun algunas partes de ellas. Los esquimales (S XVIII),

durante el verano usaban tiendas cnicas de piel de foca, sostenidas por un armazn de

barras y el borde sujeto por piedras.

Se observa, entonces, que en un principio las membranas que cerraban los espacios

fueron pieles apoyadas sobre leos, al tipo de las actuales tiendas de los indios

norteamericanos y, ms adelante, las telas sustituyeron a las pieles. El uso de las telas

permiti llegar a superficies cubiertas relativamente grandes. La ms antigua de las que

se tienen noticias, de grandes dimensiones, es la descripta en la Biblia (Exodo, 26), de

forma rectangular, de aproximadamente 16 por 5 metros.

La tienda beduina se adapta perfectamente al desierto, donde se usa. Respondiendo a sus

caractersticas de uso, el techo es bajo y tiene forma aerodinmica, de manera de evitar

los embates del viento; el empleo de la madera est reducido al mnimo, se usan los

tensores estrictamente necesarios, algunos de los cuales son de considerable longitud. La

cubierta, entonces, est sostenida por pocos elementos, unos comprimidos y otros

traccionados. Las telas de la tienda beduina slo cierran el espacio. Son necesarios los

tensores y puntales para mantener su forma. Se destaca la preocupacin por reducir al

mnimo el nmero de tensores y puntales, que son los elementos estructurales. Forma y estructura

Debido a sus caractersticas fsicas y para analizar su comportamiento, es posible

esquematizar el material de membrana como una malla de hilos. Se inicia el anlisis

planteando la voluntad de rigidizar un hilo tendido entre dos soportes.

En la figura se muestra cmo se constituye un sistema de dos hilos: atravesando un hilo

sobre el que se pretende estabilizar, con curvatura inversa y anclndolo.

Se considera que ambos estn contenidos en planos verticales y perpendiculares entre s.

Esta disposicin permite estabilizar el punto de interseccin de ambos hilos. Es la ms

sensible de todas las soluciones estabilizadoras.

Si ahora se considera que a partir de estos dos hilos se disear una estructura de cubierta

de cables, debern agregarse, en principio, dos cables estabilizadores ms, figura 3.2,

todos a 90 con respecto al primero, paralelos al segundo y contenidos, todos, en planos

verticales.

Dicho de otro modo, es necesario considerar, durante el proceso de diseo formal de

estas superficies, el aspecto tensional inherente a las mismas. Las unidades formales, que

por s solas o combinadas definen una cubierta de membranas pretensadas, corresponden

a superficies infinitas, de doble curvatura total negativa, intersecadas por planos. Esas

intersecciones determinan los bordes de las superficies, que pueden ser rgidos o flexibles,

figuras 5 y 6. Los elementos de borde, tanto los de un sector como los de toda la

membrana limitan la forma con una geometra exactamente definida y son los elementos

de anclaje y pretensado de la membrana.

Los bordes rgidos pueden ser curvos o rectos. Se prefieren los primeros porque los bordes

rectos, trabajando a flexin, pueden introducir deformaciones adicionales a la membrana

y adems, la membrana en proximidad a esos bordes pierde la anticlasticidad. Las

cubiertas de membranas pretensadas son estructuras resueltas con elementos

trabajando, bsicamente, a traccin y compresin.

Fig. Superficie anticlstica de revolucin intersecada con un plano normal al eje. Borde

flexible materializado con relingas fijadas en el plano de interseccin.

a) Una superficie intermedia, como se muestra en la figura 7, donde un sector de paraboloide hiperblico HYPAR constituye la superficie que articula dos sectores de superficies de revolucin, de eje inclinado.

b) Tambin la articulacin puede materializarse con un borde flexible, comn a ambas

superficies, como es el caso que se ejemplifica en la figura 8.

Un alto porcentaje de los agrupamientos de sectores de superficies anticlsticas que determinan esta tipologa, se resuelven en base a ordenamientos geomtricos simtricos, figuras 10 a 13. Tambin es posible generar mallas de geometra libre, siempre que se cumpla con la condicin de anticlasticidad.

GEOMETRIA DE LA SUPERFICIE

1. Plano tangente a una superficie en un punto P, es aquel generado por

las tangentes de todas las curvas que pasan por P contenidos en la

superficie.

2.Normal a la superficie en el punto P es la recta normal al plano

tangente.

3.seccion normal de una superficie es la curva plana obtenida al cortar

mediante un plano que contiene a la normal a ella en un punto P.

4. Curvatura de la superficie es el producto de las superficies de las

curvaturas normales en dos direcciones normales cuales quiera trazadas en

un punto de la superficie

5. Curvaturas principales (Kn1,Kn2) son las curvaturas de 2 secciones

normales trazadas en un punto de una superficie que toman valores

mximos y mnimos respectivamente estas secciones se denominan estas

secciones normales se denominan lneas de curvatura principales

K=Kn1*Kn2

R1 y R2 son radios de curvatura principales

ECUACION DE LA SUPERFICIE

Esta superficie representada por las ecuaciones referidas a un

determinado sistema de coordenadas asi tenemos :

F(x,y,z)=0

Z=Z(x,y)

Ecuacion vectorial de la superficie

Donde 1, 2 son 2 parametros y r es una funcin que admite derivadas

de todos los ordenes respecto a 1, 2

Ecuacion paramtrica de la superficie donde las componentes cartesianas

de r quedan

X=X(1, 2)

Y=Y(1, 2)

Z=Z(1, 2)

Si en la ecuacin se mantiene 2 constante, r estara en funcin de 1

nicamente, vale decir :

Que es la ecuacin vectorial de la curva S por tanto si 2 toma todos los

valores constantes posibles , la ecuacin representa una familia de curvas

S en las que varia nicamente 1 a estas curvas se les llama curvas 1.

De manera anloga se definen las curvas 2 como aquellas curvas de S a

lo largo de las cuales varia 1 nicamente.

r

r

1( )r

r

r

1 2( )r

La posicin de cualquier punto en la superficie S a lo largo de las cuales

varia 2 nicamente.

La posicin de cualquier punto en la superficie S queda definido por la

interseccin de una curva 1 y una curva 2. Por lo tanto se consideran a

estas curvas como curvas coordenadas de P en la superficie S.

Cuando en cualquier punto de S las tangentes a las curvas coordenadas

son perpendiculares, se dice que las curvas coordenadas son ortogonales.

TIPO DE CASCARAS

Nombraremos las relacionadas con nuestro tema en estudio

Paraboloide hiperblico

Paraboloide de revolucin

SUPERFICIE SIMPLE DE CURVATURA

Son aquellas cuya curvatura es nula en este caso el plano tangente en un

punto P contiene a una recta de la superficie. Son desarrolladas, es

decir, pueden obtenerse a partir de una superficie plana. Esta propiedad

las hace muy deformables se producen cambios de curvatura en su seccin

recta a fin de darles rigidez y estabilizar la forma elementos rigidizantes

ajenos a la lamina misma tales como arcos o tmpanos , generalmente en

los bordes y a distancias relativamente cortas

Se clasifican en :

a) Superficie de revolucin, como la cpula cnica.

b) Superficie de traslacin, como la bveda cilndrica.

SUPERFICIE DE DOBLE CURVATURA

Son superficies no desarrollables la que hace rgidas. Se clasifican por el

valor de la curvatura gaussiana en:

a) Superficie de doble curvatura elptica o sin clstica con ndice

gaussiano positivo .

b) Superficie de doble curvatura hiperbolicas o anticlasticas. Con ndice

gaussiano negativo.

Como ejemplo de superficie sinclastica : la esfera, elipsoide paraboloide

elptico .

Como ejemplo de superficies anticlasicas : el parabolide elptico ,

hiperboloide de una hoja .

ANALISIS DE UNA ESTRUCTURA LAMINAR DE DOBLE CURVATURA

El anlisis de una estructura laminar consiste en el calcular los esfuerzos

internos, para ello separaremos de la lamina en un elemento infinitamente

pequeo determinado por dos pares de planos prximos normales a la

superficie media que contenga las curvas principales .

Tomando los ejes de coordenadas X e Y EN 0 ; a las superficies media.

Los radios principales de curvatura quedan en los planos

ESTUDIO DE LAS FUERZAS INTERNAS EN UN ELEMENTO DE LA

CASCARA

Considerando el elemento de la figura anterior las tensiones que actan

sobre las caras del elemento tienen resultantes en direcciones de los ejes de

coordenadas y sus notaciones son en la cara abcd :

Fuerza normal por unidad de longitud

Nxy=x*h Fuerza cortante por unidad de longitud

Qx=xz*h Fuerza cortante transversal por unidad de longitud

Mx= Momento felctor provocado por Nx (por unidad de longitud)

My= Momento flector provocado por Nxy(por unidad de longitud)

Analogamente en la cara cdef

Ny , Nxy , Qy , My , Mxy

Nx=x*h

Para determinar

los valores de estas fuerzas internas y momentos internos se analizara el

elemento diferencial :

Para la fuerza normal Nx se tendr :

La fuerza normal total en la cara abcd es :

F=Nx*dy .(a)

Recordando:

Nx=x*h

Luego para un

diferencial ( area

achurada)

dF= x.h.dy= x.dydz

dy=(r2+Z)

reemplazando dy en d F :

F

h2

h2

yxr2 z

r2

d dz

h

Representa la fuerza normal que es la resultante de las fuerzas inducidas

por los esfuerzos unitarios x en la cara abcd.

De la misma forma se obtiene los valores para otras fuerzas internas asi :

dy=(r2+Z)dy/2

dF xr2 z

r2

dy dz x

Nx dy

h2

h2

yxr2 z

r2

d dzNx

Nx

h2

h2

zxr2 z

r2

d

Nx

Expresin para la fuerza cortante

Expresion para la fuerza coratnte transversal , el signo negativo se debe a

que Qx se tomo en sentido contrario al eje de coordenadas (z)

De manera anloga se encuentran los valores de los esfuerzos resultantes

por unidad de longitud en la car cedf:

Nxy

h2

h2

zxyr2 z

r2

d

Nxy

Qx

t2

t2

zxyr2 z

r2

d

Qx

Ny

t2

t2

zyr1 z

r1

d yy

Nyx

t2

t2

zyxr1 z

r1

d yx

Qy

t2

t2

zyr1 z

r1

d yy

CONSTRUCIONES HYPAR

El Palacio de los Deportes es una arena de la Ciudad de Mxico, actualmente recinto

de eventos como conciertos, ferias comerciales y exposiciones, incluso se celebraron

corridas de toros en los aos de 1976 y 1987, entre otros. Construido para los Juegos

Olmpicos de 1968 por los arquitectos Flix Candela, Antonio Peyri y Enrique

Castaeda Tamborell, forma parte del complejo deportivo de la Magdalena Mixhiuca.

Tiene una capacidad actual de 17,800 asientos para eventos deportivos, y es operado

por Grupo CIE.

Capilla de la ciudad de Cuernavaca con un detalle asimtrico muy llamativo y

espectacular contruida por Flix Candela.

City and County of Denver, tambin es catalogado como el aeropuerto ms largo (en

trminos de pista) de

los Estados Unidos

Este edificio se encuentra en Xochimilco que es considerado un lugar muy significativo

por tener sus orgenes en el periodo prehispnico en la actual ciudad de Mxico. El

lugar se caracteriza por haber tenido uno de los manantiales ms importantes para

abastecer de agua dulce a la ciudad.

CONCLUSIONES

1. Existen dos formas fundamentales de atacar el problema del clculo de

estructuras laminares : el mtodo de la membrana y el mtodo de la

flexin.

2. El estudio de la geometra diferencial permite clasificacin geomtrica de las

cascaras en base a los conceptos de la curvatura gaussiana , pudiendo

distinguirse 3 tipos bsicos de superficies : elptica o sinclastica,

hiperblicas o anticlasticas y cilndricas y parablicas.

3. Las hiptesis simplificadas de la teora de la membrana reducen a tres el

nmero nmero de incgnitas y el nmero de ecuaciones necesarias para el

clculo de los esfuerzos de las cascaras.

4. La introduccin de la funcin de tensin definida adecuadamente reduce el

problema de la solucin de una ecuacin diferencial.

5. El comportamiento de una estructura laminar se puede analizar en base a

tres condiciones fundamentales de la mecnica de slidos.

a) Condiciones de equilibrio entre las fuerzas aplicadas sobre la estructura

y los esfuerzos internos desarrollados en los elementos que forman la

estructura.

b) Condicin de compatibilidad geomtrica entre las deformaciones de esos

elementos.

c) La condicin constitutiva de los materiales, relaciona las tensiones como las

deformaciones internas de cada punto.

6. En general bajo la accin de cualquier carga las estructuras laminares de doble curvatura son las ms estables que de simple curvatura o

desarrollables, debido fundamentalmente a que trabajan a esfuerzos

directos de traccin y compresin, siendo , por consiguiente ms tiles como

elementos de techo cobertura en general.