teoria-rodadura

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Departamento de Física y Mecánica. E.T.S.I. Agrónomos. U.P.M. MOVIMIENTO DE RODADURA Cuerpos rodantes. Consideramos el movimiento de cuerpos que, debido a su geometría, tienen la capacidad de rodar: esfera, aro, disco, superficie esférica, cilindro apoyado sobre su generatriz,.... Estos cuerpos pueden deslizar, rodar o ambas cosas simultáneamente. Consideremos una esfera de radio R que desliza sobre una superficie, por tanto se está trasladando sin dar vueltas, y por tanto todos los puntos de la esfera tienen la misma velocidad v de traslación. Ahora consideramos que la esfera no está apoyada sobre ninguna superficie, y que gira con velocidad angular ω ; los puntos superior e inferior de la superficie se mueven con velocidad ω R v = respecto al centro de la esfera (que se encuentra en reposo). En la figura se muestra una esfera que tiene un movimiento de rotación . El punto más alto de la esfera se mueve hacia la derecha con velocidad ω R v = respecto al centro (que está en reposo) y el punto más bajo se mueve hacia la izquierda con la misma velocidad ω R v = respecto al centro, pero dirigida hacia la izquierda Consideremos que la esfera rueda sobre una superficie. Cuando la esfera ha girado un ángulo ϕ , el punto de contacto (A) entre la bola y el plano se mueve una distancia ϕ R s = Como el centro de la esfera se encuentra sobre el punto de contacto, el centro de gravedad G también se ha movido la misma distancia s. v v v ϕ A s s

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Page 1: Teoria-rodadura

Departamento de Física y Mecánica. E.T.S.I. Agrónomos. U.P.M.

MOVIMIENTO DE RODADURA

Cuerpos rodantes. Consideramos el movimiento de cuerpos que, debido a su geometría,

tienen la capacidad de rodar: esfera, aro, disco, superficie esférica, cilindro apoyado sobre su

generatriz,.... Estos cuerpos pueden deslizar, rodar o ambas cosas simultáneamente.

Consideremos una esfera de radio R que desliza sobre una superficie, por tanto se está

trasladando sin dar vueltas, y por tanto todos los puntos de la esfera tienen la misma velocidad

v de traslación.

Ahora consideramos que la esfera no está apoyada sobre ninguna superficie, y que gira

con velocidad angular ω ; los puntos superior e inferior de la superficie se mueven con

velocidad ωRv = respecto al centro de la esfera (que se

encuentra en reposo). En la figura se muestra una esfera

que tiene un movimiento de rotación . El punto más alto de

la esfera se mueve hacia la derecha con velocidad ωRv =

respecto al centro (que está en reposo) y el punto más bajo

se mueve hacia la izquierda con la misma velocidad

ωRv = respecto al centro, pero dirigida hacia la izquierda

Consideremos que la esfera rueda sobre una superficie. Cuando la esfera ha girado un

ángulo ϕ , el punto de contacto (A) entre la bola y el plano se mueve una distancia ϕRs =

Como el centro de la esfera se encuentra sobre el punto de contacto, el centro de gravedad G

también se ha movido la misma distancia s.

v

v

v

ϕ

A

s

s

Page 2: Teoria-rodadura

Departamento de Física y Mecánica. E.T.S.I. Agrónomos. U.P.M.

La velocidad del centro de gravedad es por tanto ωϕ RdtRd

dtdsvG ===

)( y la aceleración del

centro de gravedad es αω RdtRd

dtdva G

G ===)( .

Estas condiciones “no deslizantes” se denominan condiciones de rodadura. El cuerpo está

sobre el plano y rueda con velocidad ωRv = sin deslizamiento, se trata de un movimiento

de rotación en torno a un eje que pasa por el punto de contacto. Ese punto está

instantáneamente en reposo.

El punto superior se mueve con velocidad 2v, el centro de

gravedad se mueve con velocidad v y el punto en

contacto con el suelo está instantáneamente en reposo,

como se observa en la figura.

El movimiento es equivalente a que la esfera gire con

velocidad angular ω en torno a un eje que pase por el centro de gravedad y además se

traslade con una velocidad ωRv = . De esta forma, el punto superior se mueve con velocidad

de traslación v y velocidad debida a la rotación ωRv = (es decir v+ Rω) y el punto en

contacto con la superficie está en reposo porque se mueve con velocidad de traslación v y

velocidad de rotación ωR− porque va hacia la izquierda (es decir 0=− ωRv ). Y el centro

de gravedad se mueve con velocidad de traslación v y sin velocidad debida a la rotación.

Dado que el movimiento puede considerarse como la combinación de un movimiento de

traslación y una rotación en torno a un eje que pasa por el centro de gravedad, podemos hacer

una reducción en el punto de contacto de forma que el movimiento de rodadura es equivalente

a una rotación pura aplicada en el punto de contacto I.

Si se considera como una rotación pura en torno al eje de contacto, se debe cumplir la

ecuación fundamental de la dinámica de rotación AZIZ CI =α

Si se considera como una traslación y una rotación se debe cumplir la ecuación de la dinámica

de traslación GMaf =− y de la rotación GZGZ CI =α

Mientras existe rodadura (rueda sin deslizar) el suelo ejerce una fuerza de rozamiento sobre la

esfera, es una fuerza de rozamiento estática Nf μ≤ , y no hay disipación de energía

mecánica; en este caso se tiene rodamiento con deslizamiento. En el movimiento de

rodadura la energía mecánica se conserva.

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Cuando un objeto se desliza mientras rueda, la condición

no deslizante deja de cumplirse. Es el caso de una bola que

se lanza en una bolera con velocidad inicial v pero sin

rotación inicial.

Cuando la bola desliza a lo largo de la pista, el rozamiento cinético

hace que se disminuya la velocidad lineal inicial, además da lugar a que

la bola comience a rodar. La velocidad lineal decrece y la velocidad

angular aumenta hasta que se alcanza la condición de rodadura.

Caída de cuerpos rodantes por un plano inclinado. Consideremos un conjunto de sólidos

que tienen capacidad de rodar, esto es un cilindro, una superficie esférica, esfera, aro y disco

Cuando un cuerpo rodante se encuentra sobre un plano inclinado, dependiendo del valor del

ángulo de inclinación el cuerpo rueda o desliza;

para calcular el valor del ángulo crítico a partir del

cual el cuerpo no rueda sino que desliza,

consideramos que el plano está inicialmente en

posición horizontal y vamos inclinado. Al ir

inclinando el plano el cuerpo comienza a rodar sin

deslizar pero llegará un momento en el que el

cuerpo comienza a deslizar, dejándose de cumplir

la condición de rodadura ¿Cuándo se produce?

¿Para que valor del ángulo ocurre? .

Mgsenϕ

Mgcosϕ Mg

f

ϕ

Aro Disco

Esfera

Cilindro Superficie esférica

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A medida que vamos inclinando el plano aparece una fuerza de rozamiento estático (f) , de

forma que se conserva la energía mecánica. Se pretende determinar, la fuerza de rozamiento,

la aceleración lineal con que se mueve el centro de gravedad y la aceleración angular. Todos

ellos dependen del momento de inercia del cuerpo rodante.

El perfil de todos los cuerpos rodantes en un plano inclinado es el mismo; en la figura se

muestran las fuerzas que actúan durante el movimiento de rodadura del cuerpo.

Durante el movimiento de rotación se verifica que RfIC GZGZ == ''ϕ , además se cumple

''ϕRa = de donde RfRaIGZ = (1) de donde la fuerza de rozamiento es 2R

aIf GZ=

Por otra parte se verifica que MaF =∑ de donde MafMg =−ϕsen (2).

Sustituyendo la fuerza de rozamiento en (2) se tiene MaR

aIMgsen GZ =− 2ϕ de donde la

aceleración del centro de gravedad, en función del momento de inercia correspondiente, es

GZIMRMgRa

+= 2

2 senϕ de donde la fuerza de rozamiento es GZ

GZ

IMRMgI

f+

= 2

senϕ

Si en lugar de calcular el momento de las fuerzas respecto al eje que pasa por el centro de

gravedad, lo calculamos respecto al eje que pasa por el punto de contacto (eje IZ) se tiene

ϕϕ sen'' RMgIC IZZ == (3) y teniendo en cuenta que ''ϕRa = se tiene ϕRMgsenRaI IZ =

de donde la aceleración es IZI

MgRa ϕsen2

= (4).

De la ecuación MaF =∑ se tiene MafMg =−ϕsen (5), e introduciendo el valor de la

aceleración obtenido en la ecuación (4) se deduce que la fuerza de rozamiento es

ϕ

Mgsenϕ

Mgcosϕ Mg

f

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IZ

IZ

IMRIMgf )(sen 2−

Por tanto, para las figuras seleccionadas, la aplicación de las expresiones GZIMR

senMgRa+

= 2

2 ϕ y

GZ

GZ

IMRMgI

f+

= 2

senϕ proporciona los valores mostrados en la tabla.

Si el plano inicialmente está horizontal, y se va inclinando lentamente, aparece la fuerza de

rozamiento estática porque el punto de contacto está instantáneamente en reposo, y por tanto

no se disipa energía; el valor de la fuerza de rozamiento depende del ángulo de inclinación, y

a partir de un valor crítico del ángulo el cuerpo no rueda sino que desliza. Para calcular dicho

ángulo, tenemos en cuenta que el valor de la fuerza de rozamiento es Nf eμ≤ , por tanto con

el valor de la fuerza de rozamiento calculado anteriormente ϕμϕ

cossen

2 MgIMR

MgIf e

GZ

GZ ≤+

=

se deduce el valor de la tangente del ángulo crítico

Aro Disco Superficie esférica

Esfera Cilindro

ϕsen21 ga = ϕsen

32 ga = ϕsen

53 ga = ϕsen

75 ga = ϕsen

32 ga =

ϕsen21 mgf = ϕsen

31 mgf = ϕsen

52 mgf = ϕsen

72 mgf = ϕsen

31 mgf =

μϕ 3tg ≤ μϕ25tg ≤ μϕ

27tg ≤ μϕ 3tg ≤ μϕ 2tg ≤

L=2πR Maro=2σπR

A=πR2 Mdisco=σπR2

A=4πR2 Msup.esf=σ4πR2

V=4/3πR3 Mesfera=ρ4/3πR3

V=πR2H Mcilindro=ρπR2H

Aro Disco Superficie esférica

Esfera Cilindro

GZ IZ

GZ IZ

GZ IZ

GZ IZ

GZ IZ

2

52 RMI esferaGZ = 2

21 RMI cilindroGZ =

22 RMI aroIZ = 2

23 RMI cilindroIZ =2

57 RMI esferaIZ = 2

..35 RMI essuIZ =

2

21 RMI discoGZ =

2

23 RMI discoIZ =

2RMI aroGZ = 2..sup3

2 RMI esfGZ =