teoria máquinas y sistemas (1º bach)

TECNOLOGÍA INDUSTRIAL 1º BACHILLERATO I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA. –ALBACETE- DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA CUSO:2007/2008

MECANISMOS DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA

I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA 2

ÍNDICE 1 INTRODUCCIÓN. .......................................................................................... 3

2. MECANISMOS Y SISTEMAS MECÁNICOS ................................................. 3

3. CONCEPTO DE MOMENTO DE UNA FUERZA. .......................................... 5

4. LA PALANCA ................................................................................................ 7

4.1. INTRODUCCIÓN...............................................................................................................................7

4.2. LEY DE LA PALANCA .....................................................................................................................8

4.3. CLASES DE PALANCAS ..................................................................................................................8 4.3.1. PALANCAS DE PRIMER GÉNERO O CLASE 1.......................................................................8 4.3.2. PALANCAS DE SEGUNDO GÉNERO O CLASE 2 ..................................................................9 4.3.3. PALANCAS DE TERCER GÉNERO O CLASE 3 ......................................................................9

5. MECANISMOS DE TRANSMISIÓN CIRCULAR. .......................................... 9

5.1.POLEAS................................................................................................................................................9 5.1.1. TIPOS DE POLEAS...................................................................................................................10 5.1.2. ASOCIACIÓN DE POLEAS ......................................................................................................11

5.1.2.1. TRÓCOLAS ........................................................................................................................11 5.1.2.2. CUADERNALES ................................................................................................................11

5.1.3. TRANSMISIÓN DE POLEAS MEDIANTE CORREA............................................................12 5.1.3.1. ACOPLAMIENTO SIMPLE...............................................................................................12 5.1.3.2. LONGITUD DE LA CORREA EN LOS ACOPLAMIENTOS DE POLEAS..................13 5.1.3.3. TRENES DE POLEAS ........................................................................................................15

5.2. RUEDAS DE FRICCIÓN.................................................................................................................16

5.3. CONCEPTOS DE POTENCIA Y PAR...........................................................................................18

5.4. TRANSMISIÓN DEL MOVIMIENTO POR ENGRANAJES RECTOS....................................18 5.4.1. CONCEPTOS BÁSICOS DE ENGRANAJES ...........................................................................18

5.4.1.1. Engranajes de dientes rectos ................................................................................................19 5.4.1.2. Engranajes de dientes helicoidales.......................................................................................21 5.4.1.3. Engranajes cónicos...............................................................................................................23 5.4.1.5. Cruz de Malta.......................................................................................................................24

5.4.2. ACOPLAMIENTO SIMPLE DE ENGRANAJES......................................................................25 5.4.3. ENGRANAJE LOCO..................................................................................................................25 5.4.4. TREN DE ENGRANAJES RECTOS.........................................................................................26 5.4.5. ACOPLAMIENTO TORNILLO SIN FIN-CORONA ................................................................27 5.4.6. TRANSMISIÓN POR CADENA...............................................................................................28

6. MECANISMOS DE TRANSMISIÓN DEL MOVIMIENTO CIRCULAR EN RECTILINEO.................................................................................................... 28

6.1. ACOPLAMIENTO MECÁNICO PIÑON-CREMALLERA ........................................................28

6..2. CONJUNTO MANIVELA-TORNO..............................................................................................29

6.3. ACOPLAMIENTO BIELA-MANIVELA.......................................................................................29

6.4. CIGÜEÑAL .......................................................................................................................................32 7. ANEX0 A: SISTEMAS MECANICOS ARTICULADOS ............................... 34



1 INTRODUCCIÓN.

Desde la antigüedad el hombre se ha servido de las herramientas y máquinas con el fin de dominar el medio en que vivía y hacer así su vida más fácil. Desde las primeras hachas y cuchillos hasta las sofisticadas máquinas de hoy en día, el objetivo de estos elementos no es otro que el de servir al hombre.

El ser humano siempre ha intentado realizar trabajos que sobrepasaban su capacidad física o intelectual. Algunos ejemplos de esta actitud de superación pueden ser: mover rocas enormes, elevar coches para repararlos, transportar objetos o personas a grandes distancias, extraer sidra de la manzana, cortar árboles, resolver gran número de problemas en poco tiempo...

Para solucionar estos grandes retos se inventaron las máquinas: una grúa o una escavadora son máquinas; pero también lo son una bicicleta, o los cohetes espaciales; sin olvidar tampoco al simple cuchillo, las imprescindibles pinzas de depilar, el adorado ordenador o las obligatorias escaleras. Todos ellos son máquinas y tienen en común, al menos, una cosa: son inventos humanos cuyo fin es reducir el esfuerzo necesario para realizar un trabajo.

El estudio básico de los mecanismos que constituyen la mayoría de las máquinas, sus tipos, las partes constituyentes y elementos que tienen en común es el objetivo de esta unidad didáctica. 2. MECANISMOS Y SISTEMAS MECÁNICOS.

Todas las máquinas están compuestas por mecanismos más o menos complejos, que podemos definir como: “Dispositivo que transforma un movimiento y una fuerza de entrada en un movimiento y fuerza de salida” Un tornillo de banco, utiliza el mecanismo de un tornillo para transformar un movimiento circular en un movimiento de desplazamiento lineal, simultáneamente se transforma la fuerza aplicada a la palanca en una fuerza mucho mayor en las mordazas del tornillo.

Existen diversas formas de clasificación de los operadores mecánicos, siendo la más común aquella que relaciona el movimiento de entrada con el de salida del mecanismo. En la siguiente tabla se ofrece una relación de diversos mecanismos en función de los distintos movimientos que intervienen.



.

Movimiento Entrada Movimiento Salida Mecanismo que podemos emplear

Ruedas de fricción

Transmisión por correa (Polea-correa)

Polipasto

Transmisión por cadena (Cadena-piñón)

Rueda dentada-Linterna

Engranajes

Giratorio

Sinfín-piñón

Leva-palanca

Excéntrica-biela-palanca Oscilante

Eslabones articulados

Cigüeñal-biela

Excéntrica-biela-émbolo (biela-manivela) Lineal alternativo

Leva-émbolo

Cremallera-piñón

Tornillo-tuerca

Giratorio

Lineal continuo

Torno-cuerda

Giratorio Excéntrica-biela-palanca Oscilante Oscilante

Lineal alternativo Sistema de palancas

Cremallera-Piñón o Cadena-Piñón

Aparejos de poleas

Rueda Lineal continuo Giratorio

Torno

Giratorio alternativo Cremallera-piñón

Giratorio continuo Biela-manivela (excéntrica-biela; cigüeñal-biela) Lineal alternativo

Lineal alternativo Palancas

Además de lo anterior, existen otros mecanismos que no se dedican a transformar movimientos, sino más bien a controlarlos o facilitarlos. Algunos de los más útiles son:



0

F

d

Mecanismo/operador Utilidad práctica

Cable o cuerda Transmitir fuerzas entre dos puntos variando la dirección de estas

Cuña Evita el movimiento de objetos rodantes. Multiplica la fuerza.

Gatillo Permite liberar una energía fácilmente.

Polea fija de cable Reduce el rozamiento en los cambios de dirección de una cuerda.

Rampa Guía el desplazamiento de objetos rodantes

Tren de rodadura Facilita el desplazamiento de objetos sobre una superficie.

Trinquete Evita que un eje gire en un sentido no deseado

3. CONCEPTO DE MOMENTO DE UNA FUERZA.

Hay infinidad de casos prácticos en los que una fuerza aplicada a un cuerpo le hace girar alrededor de un punto o de un eje. Por ejemplo, cuando se abre o se cierra una puerta, apretar o aflojar una tuerca de la rueda de un coche, al girar la llave en la cerradura etc... Por otra parte, el efecto de giro depende no sólo de la intensidad de la fuerza, sino también de su distancia al punto de giro y el ángulo de aplicación de la fuerza respecto al punto de giro. Así, una tuerca se afloja tanto más fácilmente cuanto más larga sea la llave utilizada y más lejos de la tuerca apliquemos la fuerza. Todo ello nos obliga a definir una magnitud que nos indique la “aptitud” de cada fuerza en orden a hacer girar un cuerpo alrededor de un punto o de un eje. Esta magnitud se denomina momento de una fuerza respecto a un punto. El momento de una fuerza respecto a un punto O, es un vector perpendicular al plano determinado por la fuerza y el punto, cuyo módulo es el producto de la fuerza por la distancia (d) perpendicular al punto. El sentido del vector del módulo es el que tendría un sacacorchos apoyado en el punto O y colocado perpendicularmente al plano de forma que girase en el sentido indicado por la fuerza. Si no conocemos la distancia perpendicular a la línea de acción de la fuerza, pero si la distancia al punto de aplicación del vector que representa dicha fuerza, el módulo del momento de una fuerza viene dado por la expresión:

M= r * sen α * F donde: M = Módulo del momento de la fuerza F respecto al punto O. r = Módulo del radio vector que une el origen de coordenadas con el punto de aplicación de la fuerza. F= Módulo de la fuerza. α = Ángulo que forman los vectores F y r .

Y

X

63,44º

6

F

r

O

P

C



Analizando el ejemplote la figura tenemos que: R = 6,7082 unidades F= 5 unidades

M= 6,7082 * sen 63.44 *5 = 30

Por otro lado, y dado que se nos da la distancia perpendicular (6) de la línea de acción de la fuerza al punto O, comprobamos:

M=F*d=5*6 =30

Se puede demostrar por trigonometría que el valor del momento es igual al doble del área delimitada por los puntos OPC de la figura anterior. A nivel vectorial, hemos de considerar los vectores unitarios (de modulo 1) para los tres ejes del espacio como se indica en la siguiente figura:

Zejeelparak

Yejeelparaj

Xejeelparai

Las componentes del vector que representan la

fuerza y el radiovector r son:

kjir

kjiF

063

043

++=

+−=

Una forma más rigurosa de calcular el momento de una fuerza respecto a un punto O del espacio, es mediante el denominado producto vectorial del radio vector “r” por el vector de la fuerza F.

( ) kkkjikji

FrM 30)6*3()4(*343

630303

0604

0430630 −=−−=

−+−

−=

−=Λ=

Al representarlo en el diedro queda como se indica: El modulo de un vector viene dado por la raíz cuadrada de las suma de los cuadrados de las componentes del vector

30302 ==Mo El momento de una fuerza se mide en N*m , aunque es usual el empleo del kilogramo-fuerza*metro (kg*m)

-



Algunas propiedades del momento de una fuerza respecto a un punto son: • El momento de una fuerza respecto a un punto no varía al deslizarse el vector

fuerza a lo largo de su línea de acción • El modulo del momento viene dado por el doble del área del triángulo que

determinan el punto (O), el punto de aplicación (P ) y el afijo (C ) de la fuerza. • Si la recta de acción pasa por el punto el momento de la fuerza es cero

Con todos los conceptos anteriores podemos definir con más rigor el concepto

Momento de una fuerza respecto a un punto como “Un vector de modulo M que mide la tendencia de la fuerza F a hacer girar una masa puntual P alrededor del punto” 4. LA PALANCA .

4.1. INTRODUCCIÓN

Arquímedes, matemático griego enunció tres siglos antes de Cristo “Dadme una palanca y moveré el mundo” . Esta frase se relaciona con la posibilidad “teórica” que da una palanca de mover cargas muy pesadas con pequeñas fuerzas.

Una palanca simple es un cuerpo rígido capaz de girar alrededor de un punto fijo denominado fulcro .

Punto de apoyo o Fulcro

F

CARGA ORESISTENCIA

En una palanca se pueden distinguir:

• La fuerza aplicada, denominada potencia o esfuerzo. Al punto de la palanca en el cual se aplica la fuerza se denomina punto de aplicación de la potencia o del esfuerzo.

• El punto alrededor del cual gira la palanca se denomina punto de apoyo o fulcro.



• La fuerza que hay que vencer debida a la carga, al aplicar la potencia, se denomina resistencia o carga.

• Brazo de la potencia (dF).- Es la distancia del punto de aplicación de la fuerza al fulcro

• Brazo de la resistencia (dR).- Es la distancia del punto de aplicación de la resistencia al fulcro.

F

Q

4.2. LEY DE LA PALANCA. Esta ley se enuncia como: “ El producto de la fuerza o potencia aplicada por su brazo es igual al producto de la resistencia por el suyo”

F*dF=Q*dQ Si consideramos que el producto de la fuerza por la distancia al eje de giro es igual al momento de una fuerza podemos deducir que: “Una palanca permanece en equilibrio si el momento de la fuerza es igual al momento de la resistencia” Si la palanca está en equilibrio, entonces: MF=MQ

4.3. CLASES DE PALANCAS

Atendiendo a la posición que ocupa el fulcro en relación a la fuerza de aplicación y la resistencia se distinguen tres tipos de palancas: Palancas de primer genero o clase1, de segundo genero o clase 2 y tercer género o clase 3.

4.3.1. PALANCAS DE PRIMER GÉNERO O CLASE 1

Es la palanca que tiene el punto de apoyo o fulcro entre la fuerza aplicada y la resistencia que se pretende vencer. Ejemplos de este tipo de palanca es el balancín, o las tijeras



4.3.2. PALANCAS DE SEGUNDO GÉNERO O CLASE 2

Es la palanca que tiene la carga o resistencia a vencer entre el punto de apoyo y la fuerza aplicada. Ejemplos de este tipo de palanca es el balancín, la carretilla o el cascanueces

Razona por qué en una palanca de 2º genero, la potencia a aplicar es siempre menor que la resistencia a vencer.

4.3.3. PALANCAS DE TERCER GÉNERO O CLASE 3

Es aquella palanca en la que la potencia se sitúa entre el punto de apoyo y la resistencia a vencer. Ejemplos de este tipo de palanca son las pinzas

5. MECANISMOS DE TRANSMISIÓN CIRCULAR.

5.1.POLEAS

Una polea es una rueda que tiene una hendidura en su llanta.

Se puede considerar que una sola polea es una palanca de primer género, donde el punto de apoyo es el centro de la polea y el radio de la polea es el brazo de la potencia y de la resistencia respectivamente.



Con una sola polea no se multiplica la fuerza, y únicamente se cambia la dirección en la que dicha fuerza actúa. Por lo general la fuerza se ejerce hacia abajo y no hacia arriba, con lo que se aprovecha el peso del propio cuerpo para elevar la carga.

5.1.1. TIPOS DE POLEAS.

Una polea puede ser fija o móvil: • Polea fija.- Es aquella que no tiene más que

un movimiento de rotación alrededor de su eje. En este tipo de poleas se cumple que FUERZA = CARGA

• Polea móvil.- Es aquella que además del movimiento de rotación alrededor de su eje, tiene un movimiento vertical de subida y bajada respecto a un plano horizontal de comparación.

En la polea móvil, un extremo de la cuerda se sujeta a un bastidor fijo, y en el otro extremo de la cuerda se aplica la potencia o fuerza. La resistencia se aplica en el gancho de la polea. Al aplicar la fuerza la polea tiende a girar alrededor del punto A, debido a la acción del momento de la fuerza MF, cuyo valor es: MF= F * dF = F * 2r Por otro lado, la resistencia está aplicada a una distancia r del punto de giro A, por lo que el momento resistente tendrá un valor: MQ=R * dQ = Q *r

Cuando la polea está en equilibrio se cumple que: MF=MQ F * 2r = Q * r simplificando la ecuación tenemos:

BA r r

F

Q

equilibriodeSituaciónMM

rQdQMrFdFM

QF

QQ

FF

⇒=

==

==

****



2QF =

Lo que nos indica que: “En una polea móvil la potencia necesaria, es igual a la mitad de la resistencia aplicada”

5.1.2. ASOCIACIÓN DE POLEAS

Las poleas fijas y móviles se pueden asociar entre sí, formando mecanismos que permiten levantar grandes pesos, aplicando fuerzas relativamente pequeñas. Estas asociaciones de poleas reciben el nombre general de polipastos. 5.1.2.1. TRÓCOLAS Las trócolas están formadas por la asociación de una polea fija y un número determinado n, de poleas móviles. Teniendo en cuenta que cada una de las poleas móviles necesita una potencia igual a la mitad de la carga que soporta, la potencia necesaria viene dada por la expresión:

n

QF2

=

Donde: F = Fuerza aplicada para levantar la carga. Q = Valor de la carga. N = Número de poleas móviles. 5.1.2.2. CUADERNALES Los cuadernales son polipastos cuyo número de poleas fijas es igual al número de poleas móviles. Llamando n, al número de poleas móviles, la potencia necesaria para elevar una determinada resistencia es igual a :

nQF*2

=

Puesto que la carga Q, está repartida en un total de 2n ramales . Por el contrario, la longitud de la cuerda que debe moverse en el extremo de aplicación de la fuerza ha de ser 2n veces el recorrido que hace la carga.

F3

Q

2F3= 4 = 8Q

Q4=2

QF2= 2

2QF1=

Q



5.1.3. TRANSMISIÓN DE POLEAS MEDIANTE CORREA. 5.1.3.1. ACOPLAMIENTO SIMPLE. Este acoplamiento mecánico permite transmitir el movimiento circular entre ejes separados. Es un acoplamiento sencillo, barato y silencioso, pero no es muy preciso, puesto que cuanto se eleva el valor de la carga aplicada se provoca el fenómeno de deslizamiento o resbalamiento de la correo en la garganta de la polea. Relación de transmisión. Sabiendo el radio o diámetro de las poleas motriz y conducida, definimos relación de transmisión, como el cociente entre la longitud de la circunferencia de la polea motriz dividido entre la longitud de la circunferencia de la polea conducida. Esta relación nos permite saber la velocidad de giro de la polea conducida en función de la polea motriz, o el número de vueltas de la polea motriz en función del número de vueltas de la polea conducida.

rCrM

MotrizConducida

M

C

c

M

C

M

C

M

C

M

rr

dd

rr

rr

i

i

ωω

ππ

=====

=

*2*2

**2**2

conducida nciacircunfere la de Longitudmotriz nciacircunfere la de Longitud

donde: i = Relación de transmisión dC = Diámetro de la rueda conducida en m dM = Diámetro de la rueda motriz. m ωC = Velocidad angular de la rueda conducida en rd/s ωM = Velocidad angular de la rueda motriz en rd/s Una expresión muy habitual es la que deduce seguidamente:

CCMMM

C

C

M dddd

i ωωωω

** =⇒==

RECUERDA: 1. Un radian (rd) es un ángulo, cuyo arco es igual al radio.

La circunferencia tiene 2*π radianes 2. La relación entre las velocidades lineal y angular es:

RV *ω= donde:

V= Velocidad lineal en m/s , ω = Velocidad angular en rd/s , R = Radio de la circunferencia en m.



La relación de transmisión, por definición, no tiene dimensiones, y según su valor el sistema será reductor o multiplicador de velocidad.

i < 1 ⇒ Sistema reductor de velocidad i > 1 ⇒ Sistema multiplicador de velocidad.

Ejemplo de interpretación de la relación de transmisión: Supongamos una relación de transmisión:

41

=i

de ella podemos concluir: • La longitud de la circunferencia de la polea conducida es 4 veces más grande

que la longitud de la polea motriz. • Mientras la polea conducida da una vuelta, la motriz dará 4. • La velocidad angular (Vueltas/segundo, r.p.m o rd/s) de la polea motriz es 4

veces más alta, pues habrá de dar 4 vueltas mientras que la conducida da una en un mismo tiempo.

• El radio y el diámetro de la polea conducida es 4 veces más grande que el radio y el diámetro respectivamente, de la polea motriz.

Transmisión por correa cruzada. Cuando en el eje conducido nos interesa obtener un movimiento en sentido contrario de giro al que disponemos en el eje motriz, utilizamos una correa cruzada, tal como se puede apreciar en la siguiente figura:

MotrizConducida

rM rC

La relación de transmisión de este montaje es el mismo que para las poleas con correa no cruzada. 5.1.3.2. LONGITUD DE LA CORREA EN LOS ACOPLAMIENTOS DE POLEAS Observando la siguiente figura donde se desarrolla el proceso geométrico desarrollado para calcular los puntos de tangencia de la correa con las poleas podemos hacer las siguientes consideraciones: • El centro de coordenadas coincide con

el centro de la circunferencia de la polea mayor.

• La ecuación de la circunferencia de radio R-r=Ri es: 222 Riyx =+

• La ecuación de una circunferencia cuyo centro no coincide con el centro de coordenadas es: ( ) ( ) 222 rbyax =−+−

rRR-r

Y

X

J B

K C

F

S

E

β

β

A



donde: a= Abcisa del centro de la circunferencia b= Ordenada del centro de la circunferencia. r= Radio de la circunferencia.

En nuestro caso la ecuación con centro en F tendría por ecuación: 2

22

22⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

EyEx

• A es el punto de intersección de la circunferencia de radio E/2 con la de radio R-r • El triangulo rectángulo ABC tiene el ángulo recto en el vértice del punto B, siendo la

hipotenusa la distancia AC, cuyo valor es igual a E • La longitud de la correa viene dada por la suma de los siguientes tramos:

o La mitad de la Longitud de la circunferencia de radio R (Π*R) o 2 veces el arco de circunferencia JB o La mitad de la longitud de la circunferencia de radio r (Π*r), menos dos veces la

longitud del arco KC o 2 veces la longitud S

Obtención del ángulo β

Desarrollando y simplificando la expresión 2

22

22⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

EyEx nos queda:

22

222

22

22

22

*

0*;222

**2;22

yExx

yExxEyEExxEyEx

−=

=+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

La intersección de la ecuación anterior con la ecuación 222 Riyx =+ nos dará el punto de intersección A que nos permitirá hallar el ángulo beta a través de su arco tangente. Por tanto:

( )

( ) 222

222

2

222

2

422222222

2222

222

22

;*

**

;**

RiEERiy

ERiERiy

ERiERi

ERiRiE

ERiRixRiy

dosustituyen

ERixRiyyEx

RiyxyExx

−±=−

±=

−=

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=

==+−⎭⎬⎫

=+

−=

El ángulo β viene dado por:

2222

2

;RiE

RitgarcRiE

ERi

ERi

yx

tgarcA

A

−==

−== ββ

La longitud del arco JB es el producto del ángulo β expresado en radianes por el radio R de la circunferencia. Si suponemos que β está en grado la longitud del arco será:

1803602

..............2..............º360 RRLarcoLarco

R Π=

Π=

⎭⎬⎫Π

β

Finalmente podemos concluir que la longitud total de la correa de este tipo de acoplamiento es:



( )CKarcoBJarcoCORREA LrSLRL )) *2**2*2* −Π+++Π=

De modo similar es posible hallar la longitud de la correa de una transmisión simple por polea cruzada 5.1.3.3. TRENES DE POLEAS Este es el caso en que el acoplamiento se realiza entre más de dos ejes, de modo que, los ejes centrales contienen 2 o más poleas que giran solidariamente.

rC2

rM2

Conducida

Motriz 2

Eje 4

rC3

rM

Conducida 3Motriz

rC

Eje 1 Eje 2 Eje 3

rM3

Conducida 2

Motriz 3

A efectos de denominación seguiremos denominado rM, dM, rC, dC a los radios y diámetros, respectivamente, de las poleas motriz inicial y conducida final, en tanto que, a las poleas de los ejes intermedios las designaremos como conducida o motriz, acompañada del subíndice del eje a que pertenecen. Relación de transmisión de un tren de poleas. Antes de comenzar con la demostración, hemos de tener presente que la relación de transmisión de un tren de poleas sería aquella que nos diera la relación entre la velocidad angular de la polea motriz inicial, y la velocidad angular de la polea conducida final, es decir:

M

Ciωω

=

Por otro lado, hay que considerar que la velocidad angular de las poleas de un mismo eje (que suponemos solidarias) es la misma, pues dan el mismo número de vueltas en un mismo tiempo, sean cuales sean sus medidas. Por ejemplo: ωM2=ωC2 Supongamos el siguiente tren de poleas:

Motriz 2

Conducida 2

rM2

Eje 3Eje 2Eje 1

rC

MotrizConducida

rM

rC2

En él se distinguen dos acoplamientos distintos:

• El de la polea motriz con la polea conducida del eje 2. Cuya relación de transmisión sería:



M

Ciωω 2

1 =

• El de la polea que actúa como motriz del eje dos, en relación a la polea conducida del eje tres. Siendo su relación de transmisión:

2

2M

Ciωω

=

Considerando la relación de transmisión del sistema y las expresiones anteriores llegamos a la siguiente conclusión:

ente.solidariam giran poleas ambas porque1que puesto****

*;

:tenemos i, en dosustituyen y i e i de Despejando

i :toacoplamien segundo del ntransmisió de Relación

i :toacoplamienprimer del ntransmisió de Relación

i :sistema del ntransmisíó de Relación

2

221

2

221

1

2

22

M

C

221

2M

21

M2

C2

M

C21

M

C

=====

==

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=

=

C

M

C

M

C

M

MCC

iiii

i

ii

ii

ωω

ωω

ωω

ωω

ωωω

ω

ωω

ωω

ωω

En definitiva, en un tren de poleas la relación de transmisión del tres viene dada por la expresión:

niiii *.......** 21= Siendo ii (i=1,2,….n) las relaciones de transmisión de cada uno de los acoplamientos simples.

5.2. RUEDAS DE FRICCIÓN

En este tipo de acoplamiento mecánico, el movimiento de giro se transmite entre ejes paralelos o que se cortan formando un ángulo arbitrario, entre 0º y 180º. Como en el caso de los engranajes, hay ruedas de fricción rectas y con forma de tronco de cono. El mecanismo está formado por dos ruedas en contacto directo, a una cierta presión. El contorno de las ruedas está revestido de un material especial, de forma que la transmisión de movimiento se produce por rozamiento entre las dos ruedas. Los reproductores de audio y video utilizan ruedas de fricción para facilitar el avance de la cinta.

Si las ruedas son exteriores, giran en sentidos opuestos, en tanto que, si el contacto es interno en una de ellas y externo en la otra, giran en el mismo sentido.



No es aconsejable utilizar este mecanismo cuando hay que transmitir potencias elevadas, ya que podrían producirse pérdidas si las ruedas deslizan. Además, el material que produce el rozamiento se desgasta con el uso. Relación de transmisión o de velocidades La relación de transmisión o de velocidades es aquella que nos permite conocer la velocidad de giro de la polea conducida en función de la velocidad de la polea motriz o viceversa.

La relación de transmisión, del acoplamiento de dos ruedas de fricción, depende del diámetro de las ruedas y viene dada por las siguientes expresiones:

M

C

c

M

C

M

C

M

C

M

rr

dd

rr

rr

i

i

ωω

ππ

=====

=

*2*2

**2**2

conducida nciacircunfere la de Longitudmotriz nciacircunfere la de Longitud

donde: i = Relación de transmisión dC = Diámetro de la rueda conducida en m dM = Diámetro de la rueda motriz. m ωC = Velocidad angular de la rueda conducida en rd/s ωM = Velocidad angular de la rueda motriz en rd/s

La relación de transmisión, por definición, no tiene dimensiones. Cuando la relación de transmisión es mayor que 1, la rueda conducida gira más rápido que la motriz, y se dice que el sistema es multiplicador. El “par” resultante, sin embargo, es menor. Cuando pasa lo contrario, el sistema se llama multiplicador o amplificador.

Para que la transmisión se produzca en buenas condiciones, es necesario que las dos ruedas estén en contacto, y sometidas a presión. La fuerza tangencial que puede ejercer la rueda motriz sobre la conducida depende de la fuerza radial de presión en el punto de contacto entre ambas ruedas.

Representación de una rueda



d

Si la fuerza de rozamiento no es la suficiente, se puede producir deslizamiento entre las ruedas. De esta manera, la velocidad real de rotación de la rueda conducida es menor que la que debería tener, atendiendo a la relación de transmisión teórica.

La potencia que puede desarrollar la rueda conductora se transmite a la rueda conducida con un cierto rendimiento, que suele ser bastante bajo en presencia de deslizamiento.

5.3. CONCEPTOS DE POTENCIA Y PAR

Los mecanismos son capaces de producir trabajo mecánico. Normalmente, la pieza que lo produce gira solidariamente con el eje conducido. El trabajo se realiza contra fuerzas resistentes, que provienen de cargas que se añaden al mecanismo. Cuando la recta de acción de la fuerza que ejerce la carga no pasa por el eje de giro genera un par resistente, que no es otra cosa, que el momento que ejerce la fuerza resistente, el cual, depende de la magnitud de la fuerza y de la distancia de la recta de acción al eje, según la expresión: M=F*d donde: M = Par resistente en N*m F = Fuerza resistente en N d = Distancia perpendicular desde la recta de acción de la fuerza al eje en m

La potencia mecánica desarrollada es igual al trabajo producido por unidad de tiempo. La potencia depende del par resistente y de la velocidad de giro del eje de la pieza, según

60***2* nMMP πω ==

ω = Velocidad angular de giro en el eje (rd/s) n = Velocidad de giro en el eje (r.p.m) 5.4. TRANSMISIÓN DEL MOVIMIENTO POR ENGRANAJES RECTOS.

5.4.1. CONCEPTOS BÁSICOS DE ENGRANAJES

Se conoce con el nombre de engranaje al conjunto de dos o más ruedas dentadas, que tienen en contacto sus dientes de forma que cuando gira una giran las demás. Son el medio de transmisión de potencia más utilizada debido a que no pueden resbalar, con ello se consiguen dos ventajas fundamentales respecto al acoplamiento de poleas:

• Son capaces de transmitir grandes potencias • La relación de transmisión se conserva siempre constante.

El engranaje que transmite el movimiento se le suele denominar bajo los nombres de : motriz, piñón o conductor. El engranaje que recibe el movimiento se le suele denominar arrastrado, conducido, e incluso, algunos textos, le denominan rueda.

Los dientes de los engranajes pueden ser: rectos, helicoidales o en V.



5.4.1.1. Engranajes de dientes rectos Son los más sencillos y se utilizan en máquinas para transmitir pequeños esfuerzos y

mantener la relación de transmisión. Se suelen utilizar en máquinas cuya velocidad de los ejes no sea muy elevada ya que de lo contrario se producen muchos ruidos y vibraciones que junto a que únicamente transmiten el esfuerzo sobre el diente engranado son sus inconvenientes más destacados.

Los engranajes rectos quedan determinados por las siguientes características: • Tipo de circunferencia

o Circunferencia primitiva de diámetro d. Es el lugar geométrico de los puntos en los que se produciría el contacto si, para la misma relación de transmisión, la propagación de movimiento se realizase mediante cilindros de fricción.

o Circunferencia exterior o de cabeza de diente. Limita los dientes por la parte exterior(de).

o Circunferencia interior o de fondo. Es la circunferencia original sobre a que se apoya el diente; limita los dientes por la parte interior (diámetro df)

o Paso circular (p). Es la distancia entre dos puntos iguales de dos dientes consecutivos, medida sobre la circunferencia primitiva.

o Altura de la cabeza de diente (ha). Es la distancia desde la circunferencia

primitiva hasta la parte más exterior del diente.

2ddh e

a−

=

o Altura de pie de diente (hf). Es la distanacia desde la circunferencia primitiva hasta la parte más interior del diente.

2f

f

ddh

−=

o Altura del diente (h). Es la suma de la altura del pie y de la cabeza del diente fa hhh +=

o Espesor del diente(s). Es el grosor del diente medido sobre la circunferencia primitiva.

o Ancho del hueco del diente (b). Es la longitud del diente en anchura

A lo largo de la circunferencia primitiva (de diámetro d) existen Z dientes separados entre sí por el paso circular (p). De este modo:



ZdpdZp *** ππ =⇒=

Para que dos ruedas dentadas puedan engranar deben tener igual el paso circular; es decir, la distancia a que están separados dos dientes consecutivos ha de ser la misma, ya que tanto el espesor del diente como el del hueco son aproximadamente iguales a la mitad del paso circular: así se cumple:

A

A

M

MAM

A

AA

M

MM Z

dZdpp

Zdp

Zdp ===⇒==

*;* ππ

Esta relación se denomina módulo del engranaje, se representa por la letra m, y se mide en mm. Se define como el diámetro de una circunferencia que tiene como longitud el valor del paso. También es la parte del diámetro primitivo que le corresponde a cada diente.

mppZd

Zdm AM

A

A

M

M *π==⇔==

Una condición equivalente a la igualdad de pasos circulares para que dos ruedas con dentado recto engranen es la condición de igualdad de módulos.

Para adquirir fácilmente repuestos para los engranajes, tanto el módulo como los

números de dientes y el ancho de los mismos se encuentran normalizados.

Relación de transmisión de un acoplamiento de engranajes simples

El significado de la relación de transmisión de un acoplamiento mecánico de engranajes es el mismo que tiene en un acoplamiento de poleas, siendo ésta, la relación que permite saber la velocidad de uno de los engranajes en función de la que tiene el otro.

La relación de transmisión de este tipo de acoplamiento viene dada por la expresión:

A

M

ZZ

i ==arrastrado engranaje del dientes de Número

motriz engranaje del dientes de Número

Otra forma de expresar la relación de transmisión en este tipo de acoplamientos es mediante la expresión:

M

Aiωω

=

Por otra parte, teniendo en cuenta que las circunferencias primitivas se definen considerando que la transmisión mediante engranajes cilíndricos es equivalente a una transmisión entre ruedas de fricción de diámetros iguales a los primitivos, se tiene:

A

M

A

M

ZmZm

ddi

**

==

La distancia entre los centros de rotación de las dos ruedas en una transmisión por engranajes cilíndricos de dentado recto es:



2***

2AMAM ZmZmdda =

+=

Un inconveniente de este tipo de transmisión es que el desgaste del engranaje de menor diámetro es mayor que el del engranaje de mayor número de dientes, esto es debido a dos motivos:

o El engranaje de menor diámetro da más vueltas o La velocidad angular del engranaje más pequeño es mayor, esto provoca que

en el punto de contacto el desgaste también sea mayor

A estos inconvenientes indicados se les denomina interferencia. Si el desgaste es muy grande se puede acabar rompiendo un diente, llegando a la destrucción de la transmisión. Para evitarlo, el piñón (engranaje de menor diámetro) debe tener un número mínimo, por eso, en la industria no suelen fabricarse engranajes de menos de 12 dientes.

5.4.1.2. Engranajes de dientes helicoidales En este caso los dientes no se encuentran paralelos al eje de giro del engranaje, sino que son trozos de hélices enrolladas alrededor de un cilindro o rueda que forma con el eje un ángulo β. Son más difíciles de fabricar, pero se pueden utilizar para transmitir potencias elevadas. En un determinado instante están engranados varios dientes y de esta forma- al repartirse los esfuerzos- se puede transmitir más potencia, no se produce golpeteo y la transmisión resulta menos ruidosa que con los dientes rectos. Los engranajes cilíndricos con dentado helicoidal se pueden utilizar para transmitir movimiento entre ejes que se cruzan y que son paralelos. El sentido de giro puede ser el mismo o el contrario que el de la entrada



La suma de los ángulos de hélice de dos cilindros (βM + βA) es igual al ángulo entre los dos ejes de los cilindros (β), para los casos de ejes paralelos (β=0º) y perpendiculares (β=90º) En los engranajes de dientes helicoidales se definen tres planos, que sirven para establecer distancias entre dos puntos iguales de dos dientes consecutivos (pasos): • Plano circunferencial perpendicular al eje y paso circunferencial (pc). • Plano normal perpendicular a la hélice del diente y paso normal (pn). • Plano axial paralelo al eje y paso axial (px).

Por trigonometría, la relación entre los pasos es:

ββ

senpppp n

xcn == cos*

En este tipo de engranajes existen los mismos parámetros que en los de dentado recto, con la salvedad de que en este caso se consideraran tres pasos y tres módulos.

A lo largo de la circunferencia primitiva (diámetro d) perteneciente al plano circunferencial existen Z dientes separados entre sí por el paso circunferencial (pc) y, así, se cumple:

Z

dpdZp cc*** ππ =⇒=

Al igual que en los dientes rectos, el módulo circunferencial se define como el diámetro de una circunferencia de longitud igual al paso circunferencial:

Zdmmp ccc == ;*π

siendo d el diámetro primitivo del cilindro.

El módulo normal se define de igual forma que el circunferencial, pero con el paso normal; es decir, el módulo circunferencial es el diámetro de una circunferencia que tenga por longitud el paso normal:



nn mp *π=

Por tanto, la relación entre ambos módulos es:

βcos*cn mm =

Los valores que pueden tomar el módulo normal están normalizados y coinciden con los valores del módulo en el caso de dientes rectos. Ambos se suelen expresar en mm.

Como se indicó antes, la relación de transmisión es:

A

M

M

A

ZZi ==

ωω

Para que dos ruedas con engranajes helicoidales engranen, los pasos normales y, por tanto, los módulos normales de ambas deben ser iguales. Teniendo en cuenta que las circunferencias primitivas se definen considerando que la transmisión mediante engranajes cilíndricos de dentado helicoidal es equivalente a una transmisión entre ruedas de fricción de diámetros iguales a los primitivos del engranaje, resulta:

La distancia entre ejes en este tipo de engranajes es:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

+=

A

nA

M

nMAcAMcM

AM mZmZZmZmddaββ cos

*cos

**21***

21

2

siendo dM y dA los diámetros primitivos de los cilindros. Esta expresión es más flexible que en el caso de los dientes rectos, pues aquí se tienen los ángulos βM y βA para ajustar la distancia. En este tipo de sistemas de transmisión el gran inconveniente es que en los apoyos existen reacciones axiales, a diferencia de los engranajes con dentado recto. Para disminuir estas reacciones axiales, el ángulo de hélice β se mantiene siempre entre los 10º y 20º . En ocasiones se utiliza dentado doble helicoidal en V que compensa las reacciones axiales en los apoyos.

5.4.1.3. Engranajes cónicos La transmisión por engranajes cónicos se utiliza para transmitir un par de rotación existente en un eje a otro que no es paralelo al primero. Consta de dos conos truncados provistos de una serie de dientes y de huecos que encajan perfectamente en los dientes del otro cono.

A

M

AA

mM

AnA

MnM

cMA

cAM

A

M

M

A

ZZi

ddi

mdmd

mdmd

ZZi =⇔=⇔====

ββ

ββ

ωω

cos*cos*

cos**cos**

**



Este mecanismo se deriva de las ruedas troncocónicas de fricción, pero en este caso –al igual que en los engranajes cilíndricos- la transmisión del movimiento se realiza por empuje de los dientes. La relación de transmisión es:

A

M

M

A

ZZi ==

ωω

Al igual que en engranajes cilíndricos, el tipo dentado puede ser recto o helicoidal. El dentado de tipo recto se utiliza para ejes que se cortan, y el de tipo helicoidal para ejes que se cortan o se cruzan.

En el dentado de tipo helicoidal los apoyos del eje también deben soportar reacciones de tipo axial.

5.4.1.5. Cruz de Malta

La cruz de Malta es un tipo de mecanismo que transforma un movimiento de rotación continua en otro de rotación alternativa.

El mecanismo de la cruz de Malta está compuesto por dos ruedas. Una de ellas, llamada rueda de Ginebra, posee una serie de ranuras; la otra, tiene un saliente (perno o rodillo) y actúa de manivela.

Cada vez que la manivela da una vuelta, el saliente encaja en un hueco de la rueda de Ginebra y la hace avanzar.

(http://es.wikipedia.org/wiki/Rueda_de_Ginebra)

De este modo, para que una rueda de ginebra con n ranuras dé una vuelta completa la manivela tienen que dar n vueltas, y así la relación de transmisión es:

ni 1=

Este mecanismo e utiliza, por ejemplo, para cambiar de forma automática la fresa en una fresadora, o en los mecanismos de arrastre de las películas del cine, donde es necesario que el fotograma quede parado unos instantes.

Rueda de GinebraManivela

Rodillo



A

M

M

A

ZZi ==

ωω

5.4.2. ACOPLAMIENTO SIMPLE DE ENGRANAJES. La transmisión por engranajes rectos, consiste en la conexión mecánica de dos ruedas

dentadas cilíndricas rectas. Es un mecanismo de transmisión robusto, pero que sólo transmite movimiento entre ejes próximos y, en general, paralelos. En algunos casos puede ser un sistema ruidoso, pero que es útil para transmitir potencias “elevadas”. Requiere lubricación para minimizar el rozamiento. En este tipo de acoplamiento mecánico, los ejes de cada uno de los engranajes giran en sentidos opuestos.

Cada rueda dentada se caracteriza por el número de dientes y por el diámetro de la circunferencia “primitiva”. Estos dos valores determinan el paso, que debe ser el mismo en ambas ruedas. A la rueda más pequeña en algunas publicaciones le llaman piñón.

La relación de transmisión de este acoplamiento es la ya indicada:

5.4.3. ENGRANAJE LOCO

Como se ha indicado cuando dos engranajes se endentan o acoplan mecánicamente, el engranaje motriz gira en sentido contrario al engranaje arrastrado. Para conseguir que el engranaje motriz gire en el mismo sentido que el arrastrado, se puede utilizar un engranaje adicional, denominado engranaje o piñón loco.



Es importante notar que el engranaje loco, no altera la relación de transmisión o de velocidades, sea cual sea el tamaño que tenga. Es fácil comprobar que el mismo número dientes que se mueve el motriz se mueve el arrastrado, limitándose la función del loco a la transmisión de los dientes engranados.

5.4.4. TREN DE ENGRANAJES RECTOS. El mecanismo está formado por más de dos ruedas dentadas compuestas, que engranan. Las ruedas compuestas constan, a su vez, de dos o más ruedas dentadas simples solidarias a un mismo eje. En el caso más sencillo, se usan varias ruedas dentadas dobles idénticas, de forma que la rueda pequeña de una rueda doble engrana con la rueda grande de la rueda doble siguiente. Así se consiguen relaciones de transmisión, multiplicadoras o reductoras, muy grandes.

Relación de transmisión de un tren de engranajes De igual forma que ocurre en un tren de poleas, la relación de transmisión o velocidades de un tren de engranajes es aquella que nos permite conocer la velocidad angular del engranaje arrastrado del eje final en función de la velocidad angular del engranaje motriz del eje inicial, es decir:

M

Aiωω

=

Por otro lado, hay que considerar que la velocidad angular de los engranajes de un mismo eje (que suponemos solidarios) es la misma, pues dan el mismo número de vueltas en un mismo tiempo, sean cuales sean sus medidas. Por ejemplo: ωM2=ωA2 Supongamos el siguiente tren de engranajes:



En él se distinguen tres acoplamientos distintos:

• El del engranaje motriz con el arrastrado eje 2. Cuya relación de transmisión sería:

M

Aiωω 2

1 =

• El que se conecta engranaje motriz dos con el arrastrado del eje 3, cuya relación de transmisión:

2

32

M

Aiωω

=

• Por último, el que engrana el motriz del eje 3, con el arrastrado, siendo su relación de transmisión:

33

M

Aiωω

=

Considerando la relación de transmisión del sistema y las expresiones anteriores llegamos a la siguiente conclusión:

entesolidariam giran porque1que puesto*******

;*;;

:tenemos i, en dosustituyen y i e i ,i de Despejando

i :toacoplamientercer del ntransmisió de Relación

i :toacoplamien segundo del ntransmisió de Relación

i :toacoplamienprimer del ntransmisió de Relación

i :sistema del ntransmisíó de Relación

3

3321

2

3

331

2

331

1

2

33

M

A

22332

32

1

2M

321

M3

A2

M2

A32

M

A21

M

======

====

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=

=

=

A

M

A

M

M

M

A

M

MAMAA

MA

A

iii

i

iiii

i

ii

iii

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

ωωωωω

ωω

ω

ωωωωωω

ωω

En definitiva, en un tren de engranajes la relación de transmisión o de velocidades del tres viene dada por la expresión:

niiii *.......** 21= Siendo ii (i=1,2,….n) las relaciones de transmisión de cada uno de los acoplamientos simples. Puesto que las relaciones de transmisión, también pueden darse referidas al número de dientes, podemos expresar la relación anterior como:

A

nM

A

M

A

M

ZZ

ZZ

ZZ

i )1(

3

2

2*.........** −=

5.4.5. ACOPLAMIENTO TORNILLO SIN FIN-CORONA

Este tipo de acoplamiento permite transmitir el movimiento entre dos ejes perpendiculares que se cruzan. El eje del motor coincide siempre con el del tornillo sin fin, que comunica el movimiento de giro a la corona que engrana con él. En ningún caso pude usarse la corona como elemento motriz. La relación de transmisión o de velocidades es:



C

T

ZZ

i =

donde: ZT = Número de entradas del tornillo (En el presente curso siempre lo consideraremos 1) ZC= Número de dientes de la corona. El mecanismo siempre es reductor, resultando por tanto i<1

5.4.6. TRANSMISIÓN POR CADENA

Cuando los ejes están muy separados, la utilización de engranajes supondría tener ruedas de diámetros demasiado grandes o hacerlo a través de varias ruedas. La segunda forma es factible de llevarla a la práctica, pero tiene el inconveniente de que con pequeñas holguras y el propio desgaste durante su utilización se produce un desfase en el giro y un aumento del ruido. Para resolver los inconvenientes anteriores se utiliza la transmisión mediante cadena metálica o dentada.

6. MECANISMOS DE TRANSMISIÓN DEL MOVIMIENTO CIRCULAR EN RECTILINEO. 6.1. ACOPLAMIENTO MECÁNICO PIÑON-CREMALLERA El sistema piñón-cremallera es un engranaje particular que transforma un movimiento circular en otro rectilíneo. Se compone de un piñón tallado y colocado sobre un eje, y una barra dentada, denominada cremallera.



Son numerosas sus aplicaciones. Algunas de ellas son: Taladradora de columna y caja de direcciones de un automóvil.

La expresión matemática que relaciona este acoplamiento viene dada por:

Nx Zx P L = donde: L = longitud de avance de la cremallera P = paso Z = número de dientes N = número de vueltas del piñón

6..2. CONJUNTO MANIVELA-TORNO.

Una manivela es una barra que está unida a un eje al que hace girar. La fuerza necesaria para que el eje gire es menor que la que habría que aplicarle directamente. El mecanismo que se basa en este dispositivo es el torno, que consta de un tambor que gira alrededor de su eje a fin de arrastrar un objeto.

Un torno se halla en equilibrio cuando se cumple la ecuación: rRdF ** =

Siendo d la distancia que separa el eje de giro a la perpendicular de la fuerza.

6.3. ACOPLAMIENTO BIELA-MANIVELA.

El mecanismo de biela y manivela, tiene por objeto transformar un movimiento de rotación continuo en otro alternativo o viceversa. Este movimiento puede ser lineal, si la biela va acoplada a un émbolo, o rotatorio si va acoplada a una palanca o manivela de radio mayor (biela balancín). Un ejemplo claro lo tenemos en las máquinas de vapor y motores de combustión interna.

El recorrido de desplazamiento de la biela (carrera) depende de la longitud de la manivela, de tal forma que cada vez que ésta da una vuelta completa la biela se desplaza una distancia igual al doble de la longitud de la manivela; es decir:



Rx 2 L = donde: L = Longitud máxima de avance R = Longitud de la manivela

Seguidamente se hace un estudio detallado de las ecuaciones que rigen el funcionamiento de este mecanismo que nos permite calcular la posición, velocidad y aceleración de los distintos puntos que componen el mecanismo.

Y

XPΦ

A

B

O

R L

θ

La abscisa del punto P viene dada por los catetos OPAPOA =+

φθ

φ

θ

cos*cos*

cos*

cos*

LROP

LAP

ROA

+=

=

=

La abscisa “x” del punto P en función del ángulo de la biela vien dada por la expresión:

θφθφ

φφ2

2

*1cos*

1cossen

LR

LsenR

LABsen

sen⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

==

−=

Puesto que la posición del punto P, es la abscisa x buscada, tendremos

θθ 22

*1*cos* senLRLRx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+= (1)

La figura muestra como

varía la posición del punto P para una longitud de 5 unidades en la viela y 3 unidades en la manivela. Ejemplo: Calcule la posición del punto P cuando el ángulo θ que forma la manivela con el eje de abscisas es de cero grados



LRLRLRLRsen

LRLRx +=+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+= 1*0*1*1**1*cos*

22

2

θθ

Continuando con la expresión (1), la velocidad lineal del punto x es la derivada de la posición respecto al tiempo, de ahí:

dtdxv =

Por otro lado, la velocidad angular de la manivela es la derivada del ángulo θ con respecto al tiempo:

dtdθω =

Si derivamos la expresión (1) con respecto al ángulo θ tendremos:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

+−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

θ

θθθ

θ

θθθ

θ

θθθθ

22

2

22

2

22

*1*2

cos**2***

*1*2

cos**2***

*1*cos*

senLR

senLR

LsenR

senLR

senLR

LsenRddx

senLRLR

ddx

dd

Por otro lado, la dx/dθ podemos igualarla a la expresión:

θθ ddt

dtdx

ddx *=

Sustituyendo en la expresión anterior y pasando dt/dθ al otro lado del igual queda:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−=

θ

θθθ

θ2

2

2

*1*2

cos**2****

senLR

senLR

LsenRddt

dtdx

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−=

θ

θθθω

θ

θθθ

θ

22

2

22

2

*1*2

cos**2****

*1*2

cos**2****

senLR

senLR

LsenRv

senLR

senLR

LsenRdtd

dtdx

Expresión que nos da la velocidad lineal del punto P en función de la velocicidad angular de

la manivela para un determinado punto.



La grafica muestra como varia la velocidad del punto P (eje y) del mecanismo biela-manivela cuando la manivela gira una vuelta. Observándose que existen puntos en que la velocidad de P es cero en 0º y 180º. 6.4. LEVAS Una leva es una pieza que gira solidariamente con un eje, con el que está unido directamente o por medio de una rueda.

La leva, al girar, comunica su movimiento a otro mecanismo, el seguidor, al que hace subir o bajar. Se emplea, por tanto, para transformar un movimiento de giro en un movimiento alternativo.

La leva puede tener distintas formas. La forma de la leva es, precisamente, la que va a determinar el movimiento del seguidor que está en contacto con ella. Dando la forma adecuada a la leva se pueden llegar a conseguir movimientos periódicos muy complejos.

El estudio matemático de las levas es bastante complejo y no se abordará en este tema

6.4. CIGÜEÑAL

El cigüeñal es un elemento que junto a una biela transforman el movimiento circular en lineal alternativo o viceversa.

En realidad este operador se comporta como una serie de palancas o manivelas acopladas cobre el mismo eje o fulcro



En el cigüeñal se distinguen cuatro partes básicas: eje, muñequilla, cuello y brazo. • El eje sirve de guía en el giro.

Por él llega o se extrae el movimiento giratorio.

• El cuello está alineado con el eje y permite guiar el giro al unirlo a soportes adecuados. • La muñequilla sirve de asiento a las cabezas de las bielas. • El brazo es la pieza de unión entre el cuello y la muñequilla . Su longitud determina la

carrera de la biela.



7. ANEX0 A: SISTEMAS MECÁNICOS ARTICULADOS

En mecánica, se denomina eslabón a una pieza rígida de una máquina o a un componente de un mecanismo.

La suposición de rigidez indica que no puede haber movimiento relativo (cambio de distancia) entre dos puntos del eslabón seleccionados arbitrariamente.

En la práctica muchos detalles

complicados que presentan las formas reales de las piezas carecen de importancia cuando se estudia la cinemática de un mecanismo. Por esta razón es una práctica común trazar diagramas esquemáticos muy simplificados que contengan las características más importantes de la forma de cada eslabón como se muestra en las figuras.

Cuando varios eslabones están conectados por medio de articulaciones que se pueden mover, se dice que constituyen una cadena cinemática. Si cada eslabón de la cadena se conecta por lo menos con otros dos, ésta forma uno o más circuitos cerrados y en tal caso recibe el nombre de cadena



cinemática cerrada. Si la cadena no forma circuitos cerrados, se le conoce como cadena cinemática abierta.

El mecanismo biela-manivela-balancín (es la parte del mecanismo que gira solamente un determinado ángulo y realiza movimientos de rotación alternativos en uno y otro sentido) es un mecanismo o cadena cinemática cerrada, al considerarse desde el punto de vista cinemático

que el bastidor es un eslabón que une los dos puntos fijos del mecanismo.

LEY DE GRASHOF

Quizás la consideración más importante cuando se diseña un mecanismo que será impulsado por un motor es asegurarse que la manivela de entrada pueda girar una revolución completa.

Cuando se trata de un mecanismo de 4 barras existe una prueba muy sencilla para saber si se presenta este caso.

La ley de Grashof afirma que para un eslabonamiento plano de cuatro barras, la suma de las longitudes mas corta y más larga de los eslabones no puede ser mayor que la suma de las longitudes de los dos eslabones restantes, si se desea que exista una rotación relativa continua entre dos elementos.

Denotando la longitud del eslabón más largo por l, la del más corto por s y las

longitudes de los otros dos por p y q, la ley de Grashof especifica que uno de los eslabones, en particular s, girará continuamente sólo cuando

qpls +≤+ Si no se satisface esta desigualdad, ningún eslabón efectuará una revolución completa

en relación con el otro. Conviene mencionar que la ley de Grashof no especica: • El orden en que se conectan los eslabones. • Cual de los eslabones es el fijo.

De esta forma, existen varios mecanismos que se pueden formar dependiendo de la forma en que los eslabones se configuran: 1. Dos mecanismos de manivela y oscilador o balancines de manivela distintos cuando el eslabón más corto es la manivela y cuando cualquiera de los otros dos eslabones adyacentes es el eslabón fijo. (fig. a y b)

.



2. Una doble manivela o mecanismo de arrastre cuando el eslabón más corto es el fijo. (fig. c)

3. Un doble balancín o doble oscilador cuando el eslabón opuesto al más corto es el fijo.

(fig.d)

Análisis cinemático de mecanismos.

En la figura se muestra un punto P que se encuentra referenciado en términos del sistema de coordenadas XYZ. Así, la posición del punto P se puede especificar como x unidades a lo largo del eje X, y unidades a lo largo del eje Y y z unidades a lo largo del eje Z a partir del origen O. En esta definición existen tres conceptos de vital importancia:

1. El origen de las coordenadas O proporciona una ubicación acordada a partir de la cual se mide la posici_on del punto P. 2. Los ejes de coordenadas proporcionan direcciones acordadas a lo largo de las cuales se harán las mediciones; también ofrecen rectas y planos conocidos para definir y medir ángulos. 3. La unidad de distancia o distancia unitaria a lo largo de cualquiera de los ejes constituye una escala para cuantificar las distancias.



Cuando se da una ubicación relativa de un punto P con respecto a un origen O, en realidad se necesitan especificar dos cantidades: la distancia entre P y O y la orientación angular relativa de la recta OP en el sistema de coordenadas. Estas dos propiedades, magnitud y dirección, pueden definirse fácilmente usando un vector. Así, la posición de un punto se define como el vector que va del origen de un sistema de coordenadas de referencia especificado a dicho punto. En la siguiente figura la notación RPO se usa para definir la posición vectorial del punto P con respecto al punto O.

Usando esta notación es conveniente expresar el vector de posición en términos de sus componentes a lo largo de los ejes de coordenadas:

kRjRiRR ZYXpo ++= en donde los subíndices denotan la dirección de cada componente y kji ,, son vectores unitarios que designan las direcciones de los ejes X,Y y Z respectivamente.

La magnitud escalar del vector de posición se obtiene normalmente a través de las componentes del vector:

222ZYXop RRRR ++=

El módulo de un vector y sus

componentes se pueden calcular a través de los denominados cosenos directores.

op

Z

op

Y

op

X

RR

RR

RR

=

=

=

γ

β

α

cos

cos

cos

Diferencia de posición entre dos puntos.

Un concepto muy útil en el análisis de mecanismos es la diferencia de posición entre dos puntos puesto que esta diferencia nos indica una distancia. En la sección anterior se indicó que un observador fijo en el sistema de coordenadas xyz considerará las posiciones de los puntos P y Q comparándolas con la ubicación del origen. Considere por ejemplo la siguiente figura. En esta figura, la posición de los puntos P y Q se definen por medio de los vectores de posición opR y OQQ . Al examinar la figura se observa que tales vectores tienen un origen común y que además están relacionados por un tercer vector QPR que es la diferencia de posición entre los puntos

P y Q. O si se quiere, opR es la suma de OQQ más QPR .

QPOQOP

OPQPOQ

RRR

RRR

=−

=+

RRY

RX

RZ

ROP

ROQ

RQP

ROP



Hasta ahora, los vectores de posición se han especificado con dos subíndices, el primero denotando el origen del vector o afijo y el segundo que hace referencia a su punto final o punto de aplicación. Así, por ejemplo, el vector opR es el vector que tiene origen en O y se aplica al punto P. En algunas ocasiones resulta útil reducir esta notación eliminando el primer subíndice cuando el origen del vector es el origen del sistema de coordenadas de referencia. De esta forma:

pop RR = Ecuación de cierre de un circuito

Considere el mecanismo de cuatro barras mostrado en la figura. Si se desea hacer un análisis detallado para determinar las velocidades y aceleraciones a las que esta sujeto se deben conocer las relaciones entre los eslabones que forman dicho mecanismo.

En general estas relaciones no son obvias y dependen de las dimensiones de las diversas piezas que conforman los eslabones. Se pueden usar vectores para analizar la posición y proporcionar una descripción matemática del mecanismo. Una forma eficiente de describir el movimiento del mecanismo es hacerlo a través del movimiento de cada uno de los centros de pasador (par de revoluta). Esto es posible debido a que todos los eslabones son cuerpos rígidos por lo que la distancia entre pasadores se mantiene siempre constante.

Para describir el movimiento se puede utilizar un sistema de referencia xy tal y como se

muestra en la figura. Una vez fijado el sistema de referencia se puede utilizar como marco de referencia el punto A que se encuentra fijo dentro del sistema de coordenadas a una distancia RA de su origen. Ya que el pasador A se encuentra fijo en el plano, el movimiento del eslabón 2 queda descrito por el movimiento del pasador B de tal forma que:

ABAB RRR +=

Y

X

A

B C

D

2

3

4

1

RAB = r2

RBC = r3

RCD = r4

RDA = r1

El movimiento del eslabón 3 puede describirse entonces en términos del eslabón 2 que se acaba de definir. Así, el movimiento del pasador C queda descrito por

BCABABCBC RRRRRR ++=+= El pasador C está conectado al pasador D a través del eslabón 4. La relación entre el

eslabón C y el eslabón D puede describirse de forma similar como

CDBCABACDCD RRRRRRR +++=+=

Por _ultimo, es necesario cerrar el mecanismo tomando en cuenta al eslabón fijo 1 entre los pasadores D y A,



0

:

=++

+++=+=

CDBCAB

CDBCABADADA

RRR

queobtienesedondedeRRRRRRR

Esta última ecuación se conoce como ecuación de cierre del circuito y expresa el hecho

de que el circuito forma una cadena cerrada. Las longitudes constantes de los vectores aseguran que los centros de articulación permanecerán separados a distancias constantes, requisito de los eslabones rígidos.

La ecuación de cierre de circuito representa un modelo del mecanismo puesto que contiene todas sus restricciones básicas. Debe de notarse que esta ecuación por si sola no puede proporcionar una descripción completa del movimiento del mecanismo. Para obtener tal descripción será necesario agregar restricciones tales como especificar que los pasadores A y D se encuentran en posiciones fijas.

Considere ahora el mecanismo biela-manivela-corredera que se muestra en la figura. En este caso el pasador A del mecanismo se encuentra en el origen del sistema de referencia por lo cual el vector RA = 0.

Y

XA

B

Ch

X

1

2RAB = r2 RBC = r3

3

RCA = r1

Similarmente a lo hecho en el mecanismo anterior, el comportamiento del mecanismo puede describirse a través del movimiento de los pasadores B y C.

Así, el eslabón AB queda descrito como:

ABABAB RRRR =+=

Una vez determinado el movimiento del eslabón AB, el movimiento del pasador C puede expresarse como:

BCABBCBC RRRRR +=+=

Finalmente, tomando en cuenta al eslabón AC que se encuentra conectado a los pasadores A y C puede escribirse

0 :es mecanismo del cierre de ecuación la

0 que cuenta en Teniendo

=++

=

++=+=

CABCAB

A

CABCABCACA

RRR

R

RRRRRR

Análisis de posición de los mecanismos: Mecanismo biela-manivela-corredera Considere el mecanismo de biela-manivela-corredera esquematizado en la figura.

Supóngase que se desea conocer el valor del ángulo que forma el eslabón BC y la distancia horizontal x que recorre la corredera en cada instante de tiempo. Como datos iniciales



se tienen las longitudes AB, BC y h y el ángulo θAB del eslabón AB con respecto a la horizontal.

Y

XA

B

C

h

X

RAB RBC

RC

θΑΒ

θ

θRBC RAB

θA

C

De la figura se pueden obtener las ecuaciones de posición del pasador C. Vectorialmente se cumple:

BCABBCBC RRRRR +=+= (1) La posición del pasador C expresada en forma binómica compleja es:

hjxRC += Nota: Si bien el número imaginaria se denota con la letra “i”, seguiremos utilizando la notación de “j” ya usada en la unidad didáctica de electricidad. Por su parte los complejos que definen los vectores de la barra AB y BC son:

( )( )BCBCBCBCBCBC

ABABABABABAB

senjRRR

senjRRR

θθθ

θθθ

−=−=

+==

cos*

cos*

Sustituyendo las expresiones obtenidas en (1) y simplificando

( ) ( )( ) ( )

BCBCABAB

BCBCABAB

BCBCABABBCBCABAB

BCBCBCABABAB

BCABC

senRsenRhRRx

senRsenRjRRhjxsenjRsenjRhjx

RRR

θθθθ

θθθθθθθθ

**cos*cos*

**cos*cos*cos*cos*

−=

+=

−++=+

−++=++=

Dado que el objetivo es obtener la posición del punto C en función del ángulo θAB despejamos el valor del ángulo de la ecuación “h” y lo sustituimos en la de “x”

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

BC

ABABBCABAB

BC

ABABBC

RhsenRsenarcRRx

RhsenRsenarc

θθ

θθ

*cos*cos*

*



XB

C

1

2 r2

r3

3

r1

Y

A

P

θ2

θ3

θ1=180ºB

C

1

23

A

P

Si derivamos la expresión anterior obtendremos la velocidad lineal del pasador C, y si la volvemos a derivar obtendríamos su aceleración. Análisis de movimiento: Mecanismo biela- manivela invertido La figura muestra el mecanismo denominado biela-manivela invertido, donde la manivela es el eslabón BC. En la parte izquierda de la figura se ha dibujado el sistema de barras a estudiar, y en la parte de la derecha se ha tomado el origen de coordenadas y la orientación de los vectores que representan a cada uno de los eslabones del sistema. En este mecanismo se estudiará la posición del punto C y el ángulo θ3 en función del ángulo de la manivela θ2

Haciendo uso de los números complejos se verifica:

( )

( )333333

222222

11

321

cos*

cos*

01º180

)a(

θθθ

θθθ

jsenrrr

jsenrrr

jrrr

rrr

+==

+==

+−==

=+

Sustituyendo en la ecuación (a)

( ) ( )

)(**

cos*cos*cos*cos*

2233

22133

2221333

bsenrsenrrrr

jsenrrjsenr

⎭⎬⎫

=

+−=

++−=+

θθθθ

θθθθ

El módulo de r3 lo podemos obtener aplicando el teorema del coseno:

222 cos*2*1*2213 θrrrrr −+±=

Despejando en la ecuación 2 de la expresión (b) anterior y sustituyendo obtenemos el ángulo θ3

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒=

222

223

3

223

33

223

cos*2*1*221*

**

θ

θθ

θθθθ

rrrrsenrsenarc

rsenrsenarc

rsenrsen



PROBLEMAS 1º) ¿Qué peso debe tener Pilar para que el balancín esté en equilibrio. 2ª) La tapa de un tubo uniforme de radio 300 mm y masa de 40 kg puede girar alrededor de la barra de la figura, estando sostenida en su posición horizontal por el cable. ¿A que tensión está sometido dicho cable?

3ª) Se utiliza un torno para levantar una carga de 25 kg en la forma que se indica en la figura. Calcule el módulo de la fuerza vertical que se deberá aplicar en C para mantener en equilibrio la barra AB.

4º) Una palanca de 200 mm y una polea de 240 mm de diámetro se hallan soldadas al eje BE que está sostenido por cojinetes en C yD. Si se aplica una carga vertical de 720 N en A cuando la palanca se encuentra horizontal, determínese la tensión de la cuerda para que el sistema esté e equilibrio suponiendo que los cojinetes no experimentan ninguna fuerza axial.

FP= ?

PILARdJ= 4 mdA=5 m

dG=2 mGALLO

JOSE

FG= 5 kg FJ= 60 kg

100100

90

10080

30

25 kg



5ª) El polipasto de la figura esta compuesto por 4 poleas fijas y 4 móviles. ¿Qué fuerza o potencia se debe aplicar para levantar una carga de 250 kg?.

6ª) Calcule la fuerza aplicada al polipasto de la figura sabiendo que el polipasto está levantando una carga de 200 kg

7ª) Las máquinas de coser antiguas son un ejemplo de sistema por poleas. Podría decir si es un sistema reductor o multiplicador de velocidad. Razone la respuesta



3500 r.p.m.630 r.p.m.

MOTRIZCONDUCIDA

8ª)¿Puede funcionar el siguiente mecanismo?. Razona la respuesta.

9ª) En la siguiente figura, las r.p.m. de la polea conducida son 630 y la polea conductora gira a 3500 r.p.m. Calcular la relación de transmisión. ¿Cuánto es mayor el diámetro de la polea conducida que el diámetro de la motriz?.

.

10ª) Dado el acoplamiento de poleas de la figura, en el que el radio de la polea conducida es 15 cm, la longitud de la circunferencia de la polea motriz es de 31,4 cm, y l a velocidad de giro de la polea motriz es de 30 r.p.m. Calcular:

a) Relación de transmisión del acoplamiento b) ¿Cuántas vueltas dará la motriz por cada vuelta que

de la conducida? c) ¿Cuántas vueltas dará la polea conducida se la

motriz da 60 vueltas? d) ¿A qué velocidad gira la polea conducida? Nota: Tomar π=3,14 e) ¿Cuál es la velocidad de la correa? f) ¿Cuántos metros de correa se desplazan en 60 segundos? g) Calcule las velocidades lineales de los puntos tangentes exteriores de ambas poleas

11ª) ¿Cuál es la longitud de la correa del acoplamiento de poleas de la figura sabiendo que el radio de la motriz es de 10 cm y el de la conducida de 50 cm y que sus centros están separados 60 cm?.

r

MotrizConducida

R

Rr

60 cm



Ø250Ø350

Ø50Ø150

100 r.p.m

Ø50Ø150

Ø250Ø350

12º) Calcula las velocidades de salida que proporciona el siguiente mecanismo de cono escalonado de poleas. 13º) Calcula la velocidad de salida que proporciona el siguiente mecanismo, cuando la polea motriz gira a 50 r.p.m.

d1=15 mm

d2=20 mmd3=10 mm

d4=12 mmd5=20 mm

d6=25 mm

6

5

4

3

21

MOTRIZ

14º) Un motor se encuentra sobre una estructura en voladizo de dos metros de longitud. Unido a la estructura hay un motor que gira a 100 r.p.m., el cual, tiene unida una polea de 20 cm de radio sobre la cual se enrolla una cuerda unida a la carga. Se pide:

a) Velocidad del motor en rd/s b) Velocidad lineal del bloque. c) Tiempo que tardará el bloque

en subir 10 metros. d) Si despreciamos el peso del motor, de la

estructura, de la cuerda y de la polea, y el bloque tiene una masa de 50 kg, ¿qué momento se ejerce sobre el pilar vertical de a estructura?. Expresa las unidades en el Sistema Internacional.

14º) En el sistema de engranajes de la figura, calcular:

a) ¿En qué sentido gira el engranaje arrastrado si el motriz gira en el sentido de las agujas del reloj?.

b) Relación de transmisión.



c) Si el motriz da 15 vueltas, ¿cuántas vueltas da el arrastrado?. d) Si el arrastrado da 10 vueltas, ¿cuántas da el motriz?. e) Si el engranaje motriz da 300 vueltas en tres minutos, ¿a cuántas r.p.m. gira el arrastrado?. ¿Cuál

es su velocidad angular en rd/s? f) Sabiendo que el diámetro de la circunferencia primitiva de la rueda motriz es de 6 cm de

diámetro: a. ¿Cuál es el diámetro de la circunferencia primitiva de la rueda arrastrada? b. ¿Qué velocidades lineales tienen los puntos de las circunferencia primitivas de ambas

ruedas? c. ¿Qué paso tiene la rueda arrastrada? d. ¿Cuál es el módulo del acoplamiento?

15º) Calcular en el sistema de engranajes de la figura: a) Relación de velocidades. b) Vueltas que da el arrastrado, si el motriz da 30. c) Vueltas que da el motriz si el arrastrado da 5 vueltas. d) Vueltas que da el engranaje loco si el arrastrado da 3 vueltas. e) ¿A qué velocidad debe girar el motor para que el arrastrado de 40 vueltas en 2 minutos?. f) ¿Cuántas vueltas ha de dar el engranaje loco para que el arrastrado gire 120 grados?

16º) En el dibujo podemos ver un acoplamiento de engranajes simple de dientes rectos. El engranaje motriz A tienen 20 dientes y un paso de 6 mm. Cuando el eje A gira 20 veces, el B gira 5 veces. Se pide:

a) ¿Cuántos dientes tiene el engranaje B? b) ¿Cuál es la relación de transmisión del sistema?. c) ¿A que distancia están los centros de los engranajes? d) Si el eja A gira a 60 r.p.m., ¿a qué velocidad gira el eje B?.

16º) Contestar las siguientes cuestiones:

a) ¿Cómo se llama el sistema de transmisión del dibujo? b) ¿Cuál es la relación de transmisión del sistema?.



c) Si el eje C gira a 36 r.p.m., ¿a qué velocidad gira el eje D?.

17º) Calcula la relación de transmisión de la batidora de la figura:

18º) Calcula la velocidad de salida de la siguiente transmisión compuesta mediante engranajes:

19º) Dado el tren de engranajes de la figura, calcular el valor de la relación de transmisión: Si el eje gira a una velocidad de 100 r.p.m., hallar la velocidad de giro de los restantes ejes.

Eje Motriz Eje 2 Eje 3 ARRASTRADO



20º) Si el piñón de la figura tiene 30 dientes y la cremallera tiene un paso de 10 milímetros, girando el eje del piñón a 20 r.p.m.. La cremallera está unida a la puerta y tiene que desplazarse 20 centímetros par abrirse o cerrarse completamente. Calcular:

a) ¿Qué radio tiene el piñón?. b) ¿Cuánto tiempo tardará en abrirse o cerrarse la

puerta?. c) ¿A que velocidad lineal se desplaza la

cremallera?. d) ¿Qué velocidad angular tiene el piñón en

rd/s?.

21º) El piñón de la figura tiene 26 dientes y gira a 10 r.p.m., considerando ue la cremallera tiene 6 dientes por cm, se pide:

a)¿Qué radio tiene el piñón?. b)¿ Cuánto tiempo tardará la cremallera en desplazarse 2 metros?. c)¿A qué velocidad lineal se desplaza la cremallera?. d)¿Qué velocidad lineal tiene el piñón en rd/s?.

22º) El engranaje doble mostrado en la figura rueda sobre la cremallera inferior que permanece fija; la velocidad de su centro es 1,2 m/s dirigida a la derecha. Determínese:

1. Velocidad angular del engranaje 2. Velocidad de la cremallera

superior R y del punto de engrane D

23º) Dos discos A y B están montados sobre un eje de longitud 2R=200 mm y ruedan sin deslizar sobre un plano horizontal. Si el eje gira con una velocidad angular ω1= 10π rd/s determínese:

a. La velocidad angular del disco A sabiendo que su radio es de 50 mm b. La velocidad lineal del centro del disco A c. La velocidad lineal de la banda de rodadura del disco A d. El tiempo necesario para que la banda de rodadura del disco A recorra 5 m



B

C

1

23

A

P

24º) La manivela AB del acoplamiento biela-manivela de la figura gira a una velocidad angular constante de 2000 r.p.m. en sentido trigonométrico. Las dimensiones de la biela y manivela son l=250 mm y b=80 mm. Calcule la posición del punto D y su velocidad para los ángulos que se indican. El ángulo θ se medirá desde la horizontal al eje que une los puntos AB supuesto que el centro de coordenadas se encuentra en el pto A. (NOTA: Únicamente es necesario desarrollar los cálculos para uno de los ángulos, para el resto bastará con indicar los resultados)

a. θ =30º b. θ = 60º c. θ = 90º d. θ=120º e. θ = 150º f. θ = 180º g. θ = 215º h. θ = 245 º i. θ = 270º j. θ = 300º k. θ = 330º l. θ = 360º

Dibuje una gráfica, con los datos obtenidos, donde se relacione la velocidad del pistón con el ángulo de rotación de la manivela. 25ª) Las dimensiones de las barras de las figura son: distancia AB = 300 mm. distancia BC = 150 mm y distancia AP = 600 mm. El eslabón 2 gira a una velocidad angular constante de 100 vueltas por minuto y el punto C se desplaza a lo largo de la barra AC. Determínese:

a. Velocidad lineal del punto C. b. Coordenadas del punto P respecto A en sus posiciones extremas c. Velocidad angular y posición del punto P para los ángulos 0º, 60º, 120º, y 235º tomados desde

la horizontal al eslabón 2 en sentido trigonométrico

teoria máquinas y sistemas (1º bach)

Documents