PARTE II

1

TEORÍA LINEAL DE LA ELASTICIDAD

PARA

MATERIALES ISOTRÓPICOS

2

G.

CLASIFICACIÓN DE LAS

DEFORMACIONES PURAS

3

Cuando en el desplazamiento la parte correspondiente a un movimiento rígido se anula, a la deformación se le llama

. La clasificación que sigue deformación pura

DEFORMACIÓN PURA

se refiere a exclusivamente. En tal caso,

deformaciones puras

H E

4

Cuando en el desplazamiento la parte correspondiente a un movimientorígido se anula, a la deformación se le llama

. La clasificacióndeformación diferencial

pura

DEFORMACIÓN PURA

que sigue se refiere a exclusivamente. En tal caso,

Donde 1=2

La trasa de es

tr =

pip jq iq jpij

q

pip iq

deformaciones puras

ij

ue

x

uE u

H E

E

e

qx

COMENTARIO INICIAL

Las matrices de deformacionesdiferenciales unitarias asociadas a lasdeformaciones puras son matricessimétricas. Un resultado fundamental delalgebra de matrices que subyace en lasdiscusiones que van a continuación es quetoda matriz simétrica es diagonal (esdecir, se diagonaliza) cuando se utilizanlas direcciones principales como ejes decoordenadas.

5

6

Se dice que corresponde a una cuando esdiagonal y todos los elementos de la diagonal son iguales. La magnitud de la dilatación (o simplemente

E dilatación pura DILATACIÓN PURA

1 1 2 2 3 3

la ) es 3 3 3En tal caso la matriz de deformaciones unitarias se puede escribircomo

1 0 0 3

1 0 0 3

1 0 0 3

dilataciónu u x u x u x

E

En el caso más general de deformaciones cualesquiera en que esarbitraria, la se define como

Cuando 0 se le llama

pip iq

q

Edilatación

uE u trE

xcontracción

7

Un esatdo de deformación es en un punto, cuando la se anula en ese punto. Es decir : 0

isocórico dilatación

u

DEFORMACIONES ISOCÓRICAS

Un esatdo de deformación es una en un punto cuando en ese punto se puede introducir un sistema Cartesiano (ortogonal) de coordenadas tal que

extensión simple EXTENSIÓN SIMPLE

en él 0 0

0 0 0 0 0 0

Un esatdo de deformación es una en un punto cuando en ese punto se pued

E

distorsión simple

DISTORSIÓN SIMPLE

e introducir un sistema Cartesiano (ortogonal) de coordenadas tal que en él

0 0 0 0

0 0 0E

8

RELACIONES ENTRE LAS CLASES DE

DEFORMACIONES PURAS

9

11

22

33

Suponga y diaginalícela : 0 0

0 0 0 0

donde

E isocóricae

E ee

TODA DEFORMACIÓN ISOCÓRICA ES LA SUPERPOSICIÓN DE DOS DEFORMACIONES SIMPLES

22 11 33

11 11

3322 11

3311

Luego

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

e e e

e eee e

ee

10

1 1 + 3 3

Porque: E I E I

TODO ESTADO DE DEFORMACIÓN PURA ES LA SUPERPOSICIÓN DE UNA DILATACIÓN SIMPLE Y UNA DEFORMACIÓN ISOCÓRICA

11

Esta afirmación es un corolario de los resultados anteriores

TODO ESTADO DE DEFORMACIÓN PURA ES LA SUPERPOSICIÓN DE UNA DILATACIÓN SIMPLE Y DOS DE DISTORSIÓN SIMPLE

12

H.

CLASIFICACIÓN DE LOS

ESFUERZOS

COMENTARIO INICIAL

Tanto las deformaciones unitarias puras como losestados de esfuerzo están caracterizados pormatrices simétricas. Debido a ello el análisis de unasy los otros son muy similares. Sin embargo, lasdiferencias principales radican en lasinterpretaciones físicas respectivas. Para facilitaréstas, las ilustraciones se harán para el caso deestados homogéneos de esfuerzo y usandocoordenadas en las direcciones principales.

13

EL TENSOR DE ESFUERZOS

14

11 12 13

21 22 23

31 32 33

LAS TRACCIONES

15

11

22

33

Dado que se ha diagonalizado : 0 0

0 0 0 0

Consecuentemente :

T n

La tracción en un punto de la frontera de un sólidoestá dada por

1 11 1

2 22 2

3 33 3

T nT nT n

ESTADO DE ESFUERZO ISOTRÓPICO

16

11 22 33

11

22

33

1 11 1

2

En este caso , por lo que

Dado que se ha diagonalizado : 0 0

0 0 0 0

Consecuentemente :

I

T nT

22 2

3 33 3

nT n

17

11

1 11 1

2

3

11

Este caso corresponde a 0 0

0 0 0 0 0 0

Consecuentemente :

00

En este caso

T nTT

TENSIÓN SIMPLE

ESFUERZO CORTANTE PURO

22 y : 0 0

0 0 0 0 0

TENSIÓN SIMPLE

18

19

La demostración es análoga

TODO ESTADO DE ESFUERZOS ES LA SUPERPOSICIÓN DE UN ESTADO ISOTRÓPICO Y DOS DE CORTANTE

20

I.

EL TENSOR ELÁSTICO

PARA

MATERIALES ISOTRÓPICOS

21

El número de constantes independientes queintervienen en el son cuando más 36, y 21 cuando la función de densidadde energía ( ; ver [20], p.60) existe . Ve

tensor elástico

strain -energy density functionremos a continuación

que cuando el material elástico es isotrópicoellas se reducen a 2 y se obtendrá la expresióngeneral de la relación esfuerzo deformación que gobierna esa clase de materiales. Dado que todoestado de deformación es la superposición deuna dilatación simple y dos distorsiones simples,bastará determinar el esfuerzo producido porestas dos clases de deformaciones : las dilataciones simples y las distorsiones simples.

22

Primero :

3

Segundo :

1 0 0 1 0 0 2 0 1 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0

Aquí a y se les llama el mó

CI k I

C

k

DOS HECHOS BÁSICOS

dulos de y de , respectivamente.

compresibilidadcortante

23

3

Sea una , entonces:

Sea una , e

ECE k E

E

dilatación simple

distorisión simple

1. EL ESFUERZO PRODUCIDO POR UNA DILATACIÓN SIMPLE

2. EL ESFUERZO PRODUCIDO POR UNA DEFORMACIÓN ISOCÓRICA

2ntonces:

CE E

24

Se utlizará la identidad

3 3

Entonces 3 2 2 2

33Y pasando esta últma e

E I E I

k ECE k I I EE I

OBTENCIÓN DEL TENSOR ELÁSTICO

cuación a notación indicial :

+

Aquí se han utilizado las siguientes identidades :1= y =2

Los par

pip jq iq jpijpq ij pq ij

q

p pip jq iq jpij pq

q q

uC e

x

u ue u

x x

ámetros y son las constantes de Lamè. Note que 2 =3

k

25

En resumen, para materiales isotrópicos el tensor elástico está dado por

+ pq ip jq iq jpijpq ijC

EL TENSOR ELÁSTICO ISOTRÓPICO

26

2

, Constantes de Lamè; Módulo de

Razón de Poisson ; Módulo de young

Los principales son :

; E

k compresibilidad

E

PARÁMETROS USADOS EN ELASTICIDAD

3 2

21 1 2 1

2 3 + 3 3 1 2

;

; ;

E E

k Ek E k

27

J.ECUACIONES GOBERNANTES

PARA

MATERIALES ISOTRÓPICOS

28

ECUACIONES DE LA

ELASTODINÁMICA

(ONDAS ELÁSTICAS)

29

2

2

2

2

La ecuación de movimiento es :

que en notación indicial se escribe :

Donde

+

qiijpq i

pj

ip jq iq jpijpq pq ij

u C u bt

uu C bxt x

C

2

2

Luego

u u u bt

30

ECUACIONES DE LA

ELASTOSTÁTICA

31

La ecuación que gobierna el equilibrio de lossistemas elásticos es :

Cuando:

+ se tiene : El operador

ip jq iq jpijpq pq ij

C u b

u u b

C

es positivo definido.

32

En lo que sigue se van a utilizar los siguientes resultados

) = 0 y = 0 ) = 0 =

) = 0 0 =) Todo

T

a

b

c w w wwd

ALGUNOS RESULTADOS DEL CÁLCULO

v v

campo vectorial puede expresarse en la forma : =

donde es isocórico ( = 0) y es irrotacional = 0) Todo campo vectorial puede expresarse en la forma :

uu w

w

e u

v

v v

=

u

33

K.

REPRESENTACIÓN DE SOLUCIONES

34

2

2

Tomando = y sustituyendo en la ecuación

Donde, para simplificar, se suponondrá que 0 se obtie

u

u u u bt

b

USO DE POTENCIALES EN DINÁMICA

22

2 2

222 2

2 2

22

2

ne

2 0

Descomponemos esta ecuación en dos:

0 y 0

Las cuales se satisfacen cuando

y

t t

t t

t

1 12 2

22

2

Aquí:

2 and

t

35

L.

FORMULACIONES VARIACIONALES

36

APÉNDICE 1

CAPÍTULO IX

37

Se dice que corresponde a una cuando esdiagonal y todos los elementos de la diagonal son iguales. La magnitud de la dilatación (o simplemente

E dilatación pura DILATACIÓN PURA

la ) es

En tal caso la matriz de deformaciones unitarias se puede escribircomo

1 2

p iip jp

p j

iip jq iq jpij

j

dilataciónu uux x

uex

EJERCICIOS CAPÍTULO IX

38

39

1 1

2 2 2

3 3

Considere la ecuación no lineal 4 2 0 1 1

2 4 2 1 1 1 0 2 1 4 1

x x

x x x

x x

EJERCICIO 1 LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES

1

2

3

1 = 10 2

3

n

xxx

40

EJERCICIO 2 DEMUESTRE QUE EL NÚMERO DE CONSTANTES INDEPENDIENTES ES CUANDO MÁS DE 36