República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior

Universidad José Antonio Páez

Facultad de Ingeniería

Escuela de Electrónica y de Telecomunicaciones

Elaborado por:

Mariluz Yip, C.I.: 24.298.780

Prof.: Ing. Isabel Clemente

San Diego, 27 de Septiembre de 2014

1. (3 puntos) Enuncie la ecuación de la Fuerza de Lorentz y

explique con sus palabras a qué se refiere.

�⃗� = 𝑄(�⃗� × �⃗⃗�)

Como la fuerza es el resultado de un producto vectorial, será perpendicular a las

variables en la ecuación, es decir, a la velocidad y al campo magnético. Al ser

perpendicular a la velocidad de la carga Q, también lo es a su trayectoria, por que

dicha fuerza no realiza trabajo sobre la carga, lo que nos indica que no hay cambio de

energía cinética, o lo que es lo mismo, no cambia el módulo de la velocidad. La única

acción que se origina, cuando la partícula entra en el campo magnético, es una

variación de la dirección de la velocidad, manteniéndose constante el módulo.

2. (3 puntos) Enuncie los postulados fundamentales de la

magnetostática para el espacio libre en su forma diferencial e

integral. Explique con sus palabras a qué se refiere.

Primer Postulado:

Integrando ∇⃗⃗⃗. �⃗⃗� = 0 en un volumen V y aplicando el teorema de la divergencia:

0 = ∫ ∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗�

𝑉

𝑑𝑣 = ∮ �⃗⃗�

𝑆

∙ 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗⃗

(Fórmula de la divergencia).

Luego:

∮ �⃗⃗�

𝑆

∙ 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗⃗ = 0

Esto nos dice que no hay fuentes de campo magnético (no hay cargas magnéticas

aisladas), o lo que es equivalente, que las líneas de flujo magnético siempre se cierran

sobre sí mismas. Esta ecuación también se conoce como la expresión de la ley de la

conservación del flujo magnético, pues establece que el flujo magnético total de salida

a través de cualquier superficie cerrada es cero.

Segundo Postulado:

Integrando ∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗� = 𝜇0𝐽 en una superficie abierta S, apoyada en un camino cerrado C:

∫ (∇⃗⃗⃗⃗⃗ × �⃗⃗�)

𝑆

∙ 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜇0 ∫ 𝐽 ∙ 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗⃗

𝑆

= 𝜇0𝐼

Por el teorema de Stokes:

∫(∇⃗⃗⃗⃗⃗ × �⃗⃗�)

𝑆

∙ 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗⃗ = ∮ �⃗⃗�

𝐶

∙ 𝑑𝑙⃗⃗⃗⃗

De esta manera obtendremos lo que va a denominarse la ley de Ampere:

∮ �⃗⃗�

𝐶

∙ 𝑑𝑙⃗⃗⃗⃗ = 𝜇0𝐼

Esta expresión se conoce como LEY DE AMPERE que dice que la circulación de la

densidad de flujo magnético a lo largo de cualquier trayectoria cerrada, C, en el vacío,

es igual a µo veces la corriente libre que atraviesa cualquier superficie abierta apoyada

en C.

3. (3 puntos) Enuncie la Ley de Biot-

Savart. Explique con sus palabras

a qué se refiere.

�⃗⃗� = 𝜇0𝐼

4𝜋 ∮

𝑑𝑙′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑎𝑅⃗⃗ ⃗⃗⃗

𝑅2

𝐶′

Donde:

R = distancia del punto fuente (corrientes) al punto

campo.

𝑎𝑅⃗⃗ ⃗⃗⃗ = vector unitario del punto fuente al punto campo.

Expresa la densidad de flujo magnético �⃗⃗�, creado por un hilo conductor por el que

circula una intensidad de corriente I.

4. (3 puntos) Explique con sus palabras la diferencia entre un

material diamagnético, paramagnético y ferromagnético.

Las diferencias principales entre los materiales diamagnéticos, paramagnéticos, y

ferromagnéticos, estriban en las siguientes características: Los materiales diamagnéticos

no son atraídos por imanes, son repelidos y no se convierten en imanes permanentes.

Los materiales paramagnéticos son materiales atraídos por imanes, pero no se

convierten en materiales permanentemente magnetizados. Los materiales

ferromagnéticos son materiales que pueden ser magnetizados permanentemente por

la aplicación de un campo magnético externo. Este campo externo puede ser tanto un

imán natural o un electroimán. Sin embargo, si la temperatura de un material

ferromagnético es aumentada hasta un cierto punto llamado temperatura de Curie, el

material pierde abruptamente su magnetismo permanente y se vuelve paramagnético.

5. (3 puntos) Explique con sus palabras el fenómeno de la histéresis

en materiales ferromagnéticos.

Cuando llega a cero (B=0) y con el incremento de la fuerza de magnetización, se

incrementa B rápidamente en sentido negativo a la densidad máxima. Si nuevamente

se elimina la Br negativa y se incrementa la fuerza en sentido positivo se cierra la

característica BH, formando un lazo (o ciclo) llamado lazo de Histéresis. La histéresis se

refiere a un atraso de B respecto a H. Las pérdidas referidas a la histéresis son por el

movimiento de los dominios durante los ciclos de magnetización.

Estas pérdidas son debidas esencialmente al magnetismo remanente que retiene todo

material ferromagnético y son proporcionales al área encerrada por la curva de

histéresis.

El ciclo de histéresis muestra la historia de magnetización de un material ferromagnético.

Una vez que el material fue llevado a la zona de saturación, el campo de magnetización

puede entonces ser llevado a cero y el material retendrá la mayor parte de su

magnetización.

Los materiales ferromagnéticos se utilizan extensamente en electroimanes, núcleos de

transformadores y motores y generadores, en los cuales es deseable tener un campo

magnético tan grande como sea posible con una corriente determinada. Ya que la

histéresis disipa energía, los materiales que se utilizan en estas aplicaciones deben tener

un ciclo de histéresis tan estrecho como sea posible. En los imanes permanentes por lo

regular es deseable un ciclo de histéresis amplio, con una magnetización de campo

cero intensa, y la necesidad de un campo inverso también intenso para desmagnetizar.

Lo importante es que con el ciclo de histéresis podemos saber que material nos conviene

más a la hora de realizar una aplicación determinada.

6. (3 puntos) Enuncie la Ley de Faraday de inducción

electromagnética y explique con sus palabras a qué se refiere.

Mencione una utilidad práctica de dicha Ley.

∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑙⃗⃗⃗⃗

𝐶

= −𝑑

𝑑𝑡∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑆

Donde �⃗⃗� es el campo eléctrico, 𝑑𝑙⃗⃗⃗⃗ es el elemento infinitesimal del contorno C, �⃗⃗� es la

densidad de campo magnético y S es una superficie arbitraria, cuyo borde es C. Las

direcciones del contorno C y de 𝑑𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ están dadas por la regla de la mano derecha.

Aparece un signo negativo que está relacionado con el sentido de la f.e.m. inducida.

El flujo de un campo vectorial a través de un área es una cantidad escalar que

puede ser positiva o negativa, y ello depende de la orientación relativa de los vectores

campo y superficie. A veces existe un criterio claro para determinar el sentido positivo

de uno de ellos. Por ejemplo, cuando se define el flujo del campo eléctrico en conexión

con el teorema de Gauss, siempre tratamos con superficies cerradas de modo que el

vector superficie elemental en cada punto está dirigido en sentido saliente, y en

consecuencia el signo del flujo dependerá exclusivamente del sentido de las líneas de

campo. Sin embargo, cuando tratamos con el flujo magnético consideramos superficies

no cerradas y por eso no puede hablarse sin ambigüedad de sentido entrante o saliente.

Para determinar el sentido positivo en un área elemental empleamos la regla de la

mano derecha.

El sentido positivo del vector superficie se escoge arbitrariamente. La realidad

física de la situación no cambia al invertir esta elección, de modo que si el campo

magnético no modifica su orientación ni su ritmo de variación, la f.e.m. inducida no

debe modificarse. Es decir, aunque se invierta el sentido de S, la f.e.m. inducida no debe

variar.

Si el campo magnético crece, la derivada del flujo es también negativa. Al

aplicar la ley de Faraday, la f.e.m. resulta entonces positiva.

7. (3 puntos) Enuncie las ecuaciones de Maxwell en su forma

diferencial e integral. Explique qué significa o a qué se refiere.

Primera ecuación: Ley de Gauss de los Campos Eléctricos:

La ley de Gauss establece que “el flujo eléctrico total (o número neto de líneas

decampo) a través de cualquier superficie cerrada (superficie gaussiana) es

proporcional a la carga eléctrica total (neta) dentro de la superficie”.

∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑆

= 𝑄𝑒𝑛𝑐

𝜀0 , ∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗� =

𝜌

𝜀0

La forma diferencial de la ley de Gauss, en forma local, afirma que la divergencia

del campo eléctrico es proporcional a la densidad de carga eléctrica,

Segunda ecuación: Ley de Gauss de los Campos Magnéticos:

Esta ley de Gauss establece que “el flujo magnético total a través de cualquier superficie

cerrada (superficie gaussiana) es siempre cero”.

∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑆

= 0 , ∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗� = 0

El hecho de que aparezca un cero en el segundo miembro de la ecuación de la Ley de

Gauss para Campos Magnéticos pero no en el segundo miembro de la ecuación de la

Ley de Gauss para Campos Eléctricos, quiere decir que en magnetismo no hay el

equivalente de la carga libre q en electricidad.

Tercera ecuación: Ley de Ampere Generalizada:

Esta Ley establece que la integral de línea de B alrededor de cualquier ruta cerrada (o

la circulación de B) es igual a la corriente encerrada por esa ruta. La ruta es

completamente arbitraria, y la dirección de la corriente se encuentra aplicando la regla

de la mano derecha:

∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑙⃗⃗⃗⃗

𝐶

= 𝜇0 ∫ 𝐽 ∙ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗⃗

𝑆

Pero cuando esta relación se la considera con campos que sí varían a través del tiempo

llega a cálculos erróneos, como el de violar la conservación de la carga. Maxwell

corrigió esta ecuación para lograr adaptarla a campos no estacionarios:

∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑙⃗⃗⃗⃗

𝐶

= 𝜇0 ∫ 𝐽 ∙ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗⃗

𝑆

+ 𝜇0𝜀0

𝑑

𝑑𝑡∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗⃗

𝑆

, ∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗� = 𝜇0𝐽 + 𝜇0𝜀0

𝜕�⃗⃗�

𝜕𝑡

Esta es la ley de Ampere que incluye la corriente de desplazamiento de Maxwell. El

término agregado 𝜕�⃗⃗�

𝜕𝑡, fue la principal contribución de Maxwell y debido a esta

contribución se asocia su nombre con el conjunto de ecuaciones. Este término no es

más que una densidad de corriente (A/m²), y así lo nombró Maxwell Densidad de

Corriente de Desplazamiento (derivada en el tiempo de la densidad de flujo eléctrico)

Cuarta ecuación: Ley de Faraday-Lenz:

La ley de la inducción electromagnética de Faraday establece que, “la f.e.m. inducida

en una espira cerrada es igual a la velocidad de variación del flujo magnético que la

atraviesa, cambiada de signo”.

∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑙⃗⃗⃗⃗ = −𝑑

𝑑𝑡∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗⃗

𝑆

, ∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗� = −𝜕�⃗⃗�

𝜕𝑡

La ley de Lenz establece que “el sentido de una f.e.m. inducida es tal que se

opone a la causa que la produce”. Esta ley, que no es un principio independiente sino

que se deduce de la ley de Faraday, suele ser más fácil de utilizar y nos ayuda a

comprender intuitivamente diversos efectos inductivos.

Los campos eléctricos inducidos no están relacionados con cargas, sino con un

flujo magnético cambiante. Aun cuando ambas clases de campos eléctricos ejercen

fuerzas sobre las cargas, hay una diferencia entre ellos. La manifestación más simple de

esta diferencia es que las líneas de E relacionadas con un flujo magnético variable

pueden formar curvas cerradas; en cambio, las líneas de E relacionadas con cargas no

pueden formar curvas cerradas, sino que siempre tienen que salir de una carga positiva

y terminar en una negativa.

Los campos eléctricos relacionados con cargas estacionarias son conservativos,

mientras que los asociados con campos magnéticos cambiantes son no conservativos.

El potencial eléctrico, que se puede definir sólo para una fuerza conservativa, no tiene

ningún significado para campos eléctricos inducidos.

Existe una notable simetría en las cuatro ecuaciones de Maxwell. En el espacio vacío,

donde no hay cargas, las primeras dos ecuaciones (Ley de Gauss para campos

eléctricos y magnéticos), tienen idéntica forma, una con E y la otra con B. Cuando se

comparan las otras dos ecuaciones, la de Ley de Ampere afirma que un flujo eléctrico

cambiante origina un campo magnético y la Ley de Faraday que un flujo magnético

cambiante origina un campo eléctrico; además, en el espacio vacío, donde no hay

corriente de conducción (ic = 0), estas dos ecuaciones tienen la misma forma (salvo una

constante numérica y un signo negativo) con los papeles de E y B intercambiados. Las

ecuaciones de Ampere y de Faraday y se pueden escribir de una forma diferente pero

equivalente, introduciendo las definiciones de flujo eléctrico y magnético: ∅𝐸 = ∫ �⃗⃗� ∙

𝑑𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦 ∅𝐵 = ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , respectivamente. En el espacio vacío, donde no hay ni cargas ni

corrientes de conducción (ic=0 y Qenc=0), se tiene:

∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑙⃗⃗⃗⃗

𝐶

= 𝜇0𝜀0

𝑑

𝑑𝑡∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗⃗

𝑆

∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑙⃗⃗⃗⃗ = −𝑑

𝑑𝑡∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗⃗

𝑆

En estas expresiones se advierte una vez más la simetría entre los papeles de los

campos E y B. El rasgo más notable de estas ecuaciones es que un campo que varía

con el tiempo, de una u otra clase, induce un campo de la otra clase en regiones

próximas del espacio. Maxwell reconoció que estas relaciones predecían la existencia

de perturbaciones electromagnéticas consistentes en campos eléctricos y magnéticos

que varían con el tiempo y que viajan o se propagan de una región a otra del espacio,

aunque no haya materia interpuesta. Estas perturbaciones, llamadas ondas

electromagnéticas, constituyen la base física de la luz, las ondas de radio y televisión, el

infrarrojo, el ultravioleta, los rayos X y el resto del espectro electromagnético.