TEORA DE PLACAS

TEORA DE PLACASGENERALIDADES

En la Ingeniera Civil se presentan con frecuencia elementos estructurales que se caracterizan por tener una dimensin mucho menor que las otras dos, y por soportar cargas predominantemente perpendiculares a su plano medio.

Para el anlisis de estas estructuras el ingeniero debe realizar una representacin esquemtica o modelo estructural, el que se obtiene planteando una serie de hiptesis respecto a su funcionamientoEstructura realModelo simplificado

EJEMPLOS DE ESTRUCTURAS CON PLACAS

Entrepisos de edificios soportados por vigasEntrepisos sin vigas

Entrepisos reticulares

Muros de contencin

Tanques y recipientes

Tableros de puentes

Cubiertas

Plateas de fundacinDEFINICIONES

PLACA PLANA:Es el lugar geomtrico de los puntos comprendidos entre dos superficies que equidistan de un plano, a este plano se lo denomina plano medio y ambas superficies se encuentran prximas entre s, a una distancia denominada espesor y que es mucho menor que las dimensiones que se pueden medir sobre el plano medio.

El lmite de la placa lo constituye una superficie cilndrica perpendicular al plano medio que tiene una directriz cualquiera y cuya forma le da el nombre a la placa. Por ejemplo si se tiene una circunferencia o un rectngulo como directriz, resultarn placas planas circulares o rectangulares respectivamente.BORDE O CONTORNO DE LA PLACA: Es la interseccin del plano medio con la superficie cilndrica que limita la placa

Las cargas son bsicamente perpendiculares al plano medio de la placa y pueden ser concentradas o estar definidas como una funcin p(x,y) de las coordenadas x e y del punto sobre dicho plano. En p(x,y) se suponen incluidas todas las fuerzas msicas y de superficie.CONDICIONES DE BORDE O DE VNCULO: Son las restricciones a desplazamientos en los bordes de la placa, o cargas aplicadas en los bordes como resultado de la accin que ejercen otros elementos estructurales

CLASIFICACIN DE LAS PLACAS PLANAS

Existen diversas teoras para analizar las placas planas dependiendo de los diversos factores que se consideren en el anlisis, se hace necesario entonces clasificar las placas planas segn las consideraciones, suposiciones y simplificaciones que se hagan.

Segn la ley del comportamiento del material:

Teoras elsticasTeoras plsticasTeoras viscoelsticasTeoras elastoviscoplsticasEtc.Dentro de las teoras elsticas se pueden distinguir dos grupos:

Teoras elsticas linealesTeoras elsticas no lineales

En el grupo de las teoras elsticas lineales se pueden clasificar las placas segn el rgimen estructural de trabajo:

Placas planas delgadas (h 0.1 a)Sin esfuerzos membranalesCon esfuerzos membranalesPlacas flexibles o muy delgadas (w 0.5 h)MembranasPlacas gruesas (h 0.1 a)

A) PLACAS PLANAS DELGADAS

Una placa se considera delgada cuando su espesor es menor que un dcimo de la mnima dimensin en su plano.

h 0.1 aSon las de ms comn aplicacin en la ingeniera civil debido a su favorable relacin entre capacidad portante y peso propio.

Para su estudio se hacen algunas hiptesis que se describen a continuacin.HIPTESIS 1:La teora es lineal en cuanto a las deformaciones. Es decir que se hacen pequeas las derivadas de los desplazamientos frente a la unidad.

Siendo en estas expresiones, w la componente del desplazamiento en la direccin del eje z.Esta hiptesis se cumple cuando se limitan los desplazamientos en relacin a las dimensiones de la placa a:w < 0.05 a

Siendo a la menor dimensin en el plano de la placa.

HIPTESIS 2:

Un segmento de recta normal al plano medio de la placa en la posicin inicial, contina siendo recto y normal a la superficie media de la placa en la posicin deformada.

Esta hiptesis, introducida por Kirchhoff, permite expresar todos los desplazamientos en funcin de los del plano medio.

Para ser vlida esta hiptesis se debe limitar el espesor de la placa a:

Esta segunda hiptesis implica considerar despreciables a las distorsiones entre las direcciones perpendiculares al plano medio y las paralelas al mismo (xz y yz), por lo que no se tiene en cuenta el efecto de los esfuerzos de corte en las deformaciones, an cuando este esfuerzo no sea nulo.

Esta hiptesis no es vlida en el caso de placas gruesas, o con orificios o para placas con grandes cargas concentradas en las cuales las deformaciones por corte son de cnsideracin.HIPTESIS 3:

Las deformaciones especficas en la direccin perpendicular al plano medio (eje z) son despreciables, y las correspondientes tensiones tambin.

Esta simplificacin implica el caso que en que las cargas no son concentradas, puesto que para cargas concentradas las tensiones z son elevadas en el punto de aplicacin de la carga

PLACAS PLANAS DELGADAS SIN ESFUERZOS MEMBRANALES (TEORA DE LAGRANGE)

HIPTESIS 4:

El plano medio de la placa es inextensible, o sea:

Esta hiptesis se cumple solo si la superficie deformada es desarrollable y los apoyos son desplazables, pero puede considerarse suficientemente aproximada para otros casos si se limitan los desplazamientos w a:

w < 0.2 h

An cuando en muchos casos se acepta w < 0.5 h. En tal caso la placa resiste las cargas desarrollando esfuerzos de flexin, corte y torsin, y los esfuerzos membranales se pueden despreciar.

PLACAS PLANAS DELGADAS CON ESFUERZOS MEMBRANALES

Puede ocurrir que una placa est sujeta a cargas contenidas en su plano medio o que las deformaciones sobrepasen el lmite de w < 0.2 h o w < 0.5 h. En este caso ya no es vlida la hiptesis 4 y para el estudio se distinguen dos situaciones distintas:

Las tensiones que aparecen, por la accin de las cargas contenidas en el plano medio, son bastante menores que las que produciran inestabilidad del equilibrio.

Las tensiones en el plano medio son grandes, de manera tal que deben considerarse sus efectos en la flexin de la placa (efectos de segundo orden)Caso A: Las tensiones que aparecen, por la accin de las cargas contenidas en el plano medio, son bastante menores que las que produciran inestabilidad del equilibrio.

En este caso es suficientemente aproximada la teora lineal de la elasticidad pudiendo el problema resolverse aplicando el principio de superposicin estudiando dos casos por separado: Placas planas sin esfuerzos membranales + estado plano de tensiones.

Caso B: Las tensiones en el plano medio son grandes, de manera tal que deben considerarse sus efectos en la flexin de la placa (efectos de segundo orden). Para estudiar este caso ser necesario plantear las ecuaciones de equilibrio considerando la accin de los esfuerzos en la posicin deformada, es decir aplicar una teora no lineal.

Una teora simplificada de anlisis empleada en este caso es la teora de Saint Venant en la que se hacen las siguientes simplificaciones:

- Se desprecia la influencia adicional de las componentes de los esfuerzos de corte sobre el plano medio de la placa.

Se desprecia la aparicin de deformaciones adicionales en el plano medio durante la flexin.

Es decir que se considera la influencia de los esfuerzos membranales en la deformacin por flexin de la placa pero no a la inversa.

B) PLACAS FLEXIBLES O MUY DELGADAS

Si la deflexin de la placa supera 0.5 h, y la deformada no es desarrollable o tiene apoyos indesplazables se consideran vlidas las hiptesis 2 y 3 pero no la 4

Esta teora es atribuida a Von Krman, considera el efecto de las deformaciones por flexin sobre los esfuerzos membranales de la placa. Esta teora no tiene aplicaciones en la ingeniera civil pero s en la aeronutica

MEMBRANAS

Este tipo de estructuras no tiene rigidez a flexin y resisten las cargas normales al plano medio nicamente con esfuerzos normales y tangenciales, por la aparicin de grandes deformaciones.

Los esfuerzos membranales son por lo tanto:

Nx, Ny y Nxy

D) PLACAS GRUESAS

Cuando el espesor de la placa supera 1/10 de la menor dimensin de plano medio, ya no se trata de pacas delgadas y no son vlidas las hiptesis 2 y 3.

El estado tensional corresponde a un slido tridimensional, debiendo estudiarse con la Teora de la Elasticidad.

ESFUERZOS CARACTERSTICOS

Si se extrae un elemento de una placa, de altura igual al espesor de la misma y de lados diferenciales en x y y y se integran las fuerzas elementales actuantes, se pueden definir los esfuerzos caractersticos por unidad de longitud mostrados en la grfica.Las tensiones se consideran positivas cuando actuando sobre una cara de normal saliente positiva (coincidente con la direccin de los ejes coordenados), tienen direccin positiva, para fibras de z > 0

ESFUERZO NORMAL

ESFUERZO TANGENCIAL

ESFUERZO DE CORTE

MOMENTO FLEXOR

MOMENTO TORSOR

Como yx = xy , entonces: Nxy = Nyx y Mxy = Myx

Las incognitas pueden reducirse a:

Esfuerzos membranales Esfuerzos no membranales

ECUACIONES DE EQUILIBRIO

A continuacin se deducirn las ecuaciones de equilibrio para el caso de una placa plana considerando una solicitacin general combinada de:

Momentos flectores, torsores y esfuerzos de corteEsfuerzos membranales.

Se considera para ello un elemento de placa en su posicin final deformada. Se llama w a la proyeccin del desplazamiento de los puntos de la superficie media sobre la normal del plano medio de la placa en su posicin inicial. Se admite que las derivadas de los desplazamientos son muy pequeas frente a la unidadEsfuerzos membranales y de corte

Esfuerzos de flexin y torsin

Sumatoria de fuerzas en x:

de donde: (1)

Sumatoria de fuerzas en y:

(2)

Sumatoria de momentos respeto a las medianas:

de donde: (3)

Anlogamente:

(4)

Planteando el equilibrio sobre la normal al plano medio de la placa en la posicin inicial (eje z) se llega a:

(5)

Teniendo en cuenta en la expresin (5), las ecuaciones (1) y (2), los cuatro ltimos trminos del segundo miembro son nulos, resultando:

(6)

reemplazando las eccs. (1), (2), (3) y (4) en la (6) se obtiene:

(7)

Con esfuerzos membranalesSin esfuerzos membranalesIncgnitasMx My MxyNx Ny NxyMx My MxyEuaciones(1) (2) (6)(6)Se observa en las anteriores ecuaciones que las ecuaciones (1) a (4) son lineales pero no lo es la ecuacin (7).

En resumen, como se muestra en el siguiente cuadro, se tienen mas incgnitas que ecuaciones disponibles, siendo por lo tanto necesario recurrir al anlisis de las deformaciones para poder resolver el problema.DEFORMACIONES Y DESPLAZAMIENTOS

En una seccin de placa que cumple las hiptesis 2 y 3, se puede observar que el segmento PA contina siendo recto despus de la deformacin y perpendicular al plano medio. Despus de la deformacin se tiene que:Desplazamiento de P:

(8)

Desplazamiento de A:

(9)Siendo ei los vectores base unitarios del sistema de coordenado fijo

Teniendo en cuenta por geometra que:

PA + AA = PP + PA

o escribiendo vectorialmente:

donde:

siendo l, n y m los cosenos directores de la normal a la superficie deformada. Teniendo en cuenta que las derivadas de los desplazamientos son pequeas resulta que:

Entonces:

Comparando con la ecuacin (9)

tenemos:

(10)

De esta forma se ha podido reducir el clculo de todos los desplazamientos u(x,y,z), v(x,y,z) y w(x,y,z) al clculo de los desplazamientos u0(x,y,z), v0(x,y,z) y w0(x,y,z) de la superficie media

En el caso de no existir esfuerzos membranales, u0 y v0 sern nulos, quedando nicamente w0, que en adelante se denominar por simplicidad w = w(x,y).Dado que las derivadas de los desplazamientos son pequeas (hiptesis 1), las relaciones cinemticas son lineales y se obtiene de las ecuaciones (10):

Las ltimas tres deformaciones son nulas por las hiptesis de Kirchoff (hiptesis 2 y 3).

Las anteriores deformaciones pueden tambin expresarse matricialmente como:

Donde:

RELACION ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES

Si se supone un material homogneo, istropo y elstico lineal, o sea que es vlida la siguiente expresin de la ley generalizada de Hooke:

(11)

Si consideramos la hiptesis 2 que nos dice que yz = yz = 0, ello conduce a que yz = zx = 0, lo cual implica una contradiccin puesto que dedujimos que:

En realidad existirn distorsiones pequeas que con suficiente aproximacin pueden considerarse nulas para placas de poco espesor.La ecuacin (11) queda entonces:

y:

Esta ltima expresin tambin est en contradiccin con la hiptesis 3 que supona z = 0. Esta contradiccin proviene de haber supuestoz =0 lo cual no es rigurosamente cierto pero s suficientemente aceptable y permite escribir en funcin de las componentes de

Se puede escribir entonces:

o tambin:

donde:

RELACIONES ENTRE ESFUERZOS Y DESPLAZAMIENTOS:

Aplicando a las ltimas expresiones anteriores la definicin de los esfuerzos caractersticos:

(12)As mismo:

y llamando Rigidez de la Placa a:

resulta:

En forma desarrollada la anterior expresin resulta en:

(13)

Para tener los esfuerzos de corte en funcin de los desplazamientos de la superficie media se recurre a las ecuaciones (3) y (4) en las que introduciendo las expresiones anteriores queda:

(14)

Finalmente la ecuacin de la placa para cargas perpendiculares al plano medio queda:

y la ecuacin de la deformada para cargas perpendiculares al plano medio y cargas en el plano de la placa:

MTODOS ANALTICOS DE SOLUCIN:

Mtodo de Mrcus:

Se basa en la reduccin de la ecuacin de cuarto orden

a la expresin:

la cual se puede expresar como un sistema de dos ecuaciones de segundo grado:

MTODOS ANALTICOS DE SOLUCIN:

b) Mtodo de Navier:

Utiliza el desarrollo de funciones en series de Fourier, para transformar las ecuaciones diferenciales del problema en expresiones algebraicas. Por ejemplo para una placa rectangular istropa con apoyos articulados en sus cuatro lados bajo una carga uniformemente repartida:

donde: con m,n enteros pares

MTODOS ANALTICOS DE SOLUCIN:

b) Mtodo de Levy

A diferencia de las series dobles de Navier que tienen una convergencia lenta, Levy propuso una solucin que consiste en utilizar series simples, que es aplicable a placas con dos bordes opuestos articulados y condiciones de borde arbitrarias en los otros dos .La ecuacin diferencial a resolver, nuevamente es:

Se propone una solucin compuesta por dos partes, la homogenea y la particular:

Como solucin de la homognea se propone:

y como solucin de la particular: