teoria de las ecuaciones j. v. ·uspensky profesor de matematicas de la universidad de stanford

DE

ECUACIONES

J. v. usPENSK y PROFESOR DE MATEMATICAS DE LA UNIVERSIDAD DE STANFORJ>

NORIEGA EDITORES MXICO Eapel'ia Venezuela Colombia

VERSIN AUTORIZADA EN ESPAOL DE LA OBRA PUBLICADA EN INGLS CON EL TTULO: THEORY OF EOUATIONS McGRAw-H1LL BooK CoMPANY, INc.

COLABORADORES EN LA TRADUCCIN: J.C. MAOUIEIRA v J.P. VARE LA DOCENTES DE LA. UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES, ARGENTINA.

l.A PRESENTACIN Y DISPOSICIN EN CONJUNTO DE

TEORA DE ECUACIONES

SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA O TRANSMI TIDA, MEDIANTE NINGN SISTEMA O MTODO, ELECTRNICO O MECNICO (INCLUYENDO EL FOTO-COPIADO, LA GRABACIN O CUALQUIER SISTEMA DE RECUPERACIN Y ALMACENAMIENTO DE INFOR MACIN), SIN CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR.

DERECHOS RESERVADOS:

1998, EDITORIAL LIMUSA, S.A. DE C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES BALDERAS 95, MXICO, D.F. C.P. 06040 .. 521-21-05

01(800) 7-06-91 ~ 512-29-03 !! [email protected] .mx

CANIEM NM. 121

SPTIMA REIMPRESIN

HECHO EN MXICO ISBN 968-18-2335-4

DE

ECUACIONES

TEORIA DE

ECUACIONES

PROLOGO DE LOS EDITORES

El Centro Estudiantes de Ingeniera La Lnea Recta, podemos decirlo con orgullo, tiene y ha tenido una larga y reconocida labor gremial. Mucho se ha hecho en otras pocas en ese sentido y especial-mente en el campo de las publicaciones. Y no hablamos aqu de apun-tes o de la publicacin de pequeas prcticas, hablamos de obras serias y de jerarqua, como son la edicin de libros que se han vendido y se signen vendiendo en muchos pases de habla hispana.

La persecucin poltica que sufriera nuestro Centro, paraliz por Yarios aos toda labor de envergadura. Durantl' esos aos no se pudo hacer mucho. Se sigui adelante, a veces como se pudo, aunque debe-mos reconocer que lo poco hecho en este perodo, reviste quizs mucho ms valor que lo mucho que se hace ahora.

Es que, una vez vuelta la normalidad, hemos tratado en todas for-mas de recuperar el tiempo perdido. Improba y larga ha sido esta tarea. Hoy se ve coronada con un xito: esta pubJicacin. Una publi-cacin que quiere ser, ms que nada, un ejemplo de lo que puede ha-cerse en un clima de trabajo y estudio fecundo, donde la mente y el espritu pueden actuar tranquila y serenamente. Pero la edicin de Teora de Ecuaciones para nosotros no quiere ser solo la corona-cin de un esfuerzo sino un punto de partida para una labor ms amplia y ms efectiva. Quisiramos seguir publicando obras, como esta, que vayan llenando poco a poco todos los vacos que existen en la bibliografa de hab~a hispana sobre las materias de nuestra carrera. Cuando eso sea realidad, an en pequea parte, habremos realizado entonces uno de nuestros viejos sueos.

Y viene el momento de agradecer a todos los que de una u otra forma han colaborado con nosotros. Estas palabras finales quieren ser para ellos un sentido agradecimiento.

Queremos recorda:r especialmente en estas lneas a los traductore;, ~l agr. J. C. Maquieira y el ing. Varela, quienes nos han seguido en

\'

VIII TBOBI.J. D.E ECU.J.CIONES

todo instante, no slo con el consejo eficaz smo con el trabajo per-sonal de revisin de las varias correcciones de pruebas. Ellos tienen la mayor parte del mrito.

Unas palabras tambin para la McGraw Hill que nos ha cedido el per-miso para esta traduccin.

Y finalmente no podemos dejar de mencionar a los compaeros que han estado a cargo de ~a Comisin de Publicaciones desde el ao 1955 a la fecha, Slemenson, Galtier, Vilas, Peral, Schifini, Estanga y Segre, y a nuestro ex administrador, D. J. Canton, y al actual, J. F. Prf'-gliasco, as como a todas las manos annimas que han hecho de esto una realidad.

COMISION" DIRECTIVA Octubre de 1958.

PROLOGO DEL AUTOR

Este libro fu escrito para ser usado como texto en los cursos dedi-cados a la teora de ecuaciones de las universidades y colegios americanos. Por ello es de carcter elemental y, con pocas excepciones, slo contiene el material que ordinariamente se incluye en textos de esta ndole. Pero su presentacin se ha hecho tan explcita que el libro puede ser estudiado por los alumnos sin la ayuda del profesor.

Cada tema que se trata en el texto se presenta totalmente desarrollado y no se hace referencia a resultados que se encuentren por sobre el alcance de este libro. Por ello es que, aun cuando contiene, en general, los mismos temas que otros textos de uso corriente, los sobrepasa en tamao. Unos pocos tpicos que pueden omitirse sin perjuicio se encuentran sealados con estrellitas negras. Numerosos problemas se agregan al final de cada seccin principal. En su mayora son simples ejercicios; pero los que encierran mayores dificultades estn sealados con asteriscos.

En cuatro captulos la exposicin difiere de la usual. En el de nmeros complejos, la exposicin superficial tan comn en muchos libros fu reemplazada por un simple pero completo tratamiento de la teora de los nmeros complejos. La experiencia del autor le indica que los estu-diantes, casi sin excepcin, siguen esta presentacin sin dificultad.

En el captulo sobre separacin de races el autor expone un mtodo muy eficiente para separar races reales, muy superior en la prctica al que se basa en el teorema de Sturm. Cree el autor que ningn otro libro menciona este mtodo, que l hall hace mucho tiempo y que ha. enseado a sus alumnos durante varios aos.

En el captulo sobre clculo numrico de races, el mtodo de Horner est presentado en su forma original, incluyendo el proceso de con-traccin, que lamentablemente ha desaparecido de los textos ameri-canos. Adems se hace un estudio completo del error causado por la contraccin.

Los determinantes se introducen, no por medio de la definicin formal como es usual, sino por sus propiedades caractersticas, siguiendo a Weierstrass. La ventaja es evidente, por ejemplo, en la demostracin del teorema de multiplicacin de determinantes. Tambin se desarrollan en ese captulo algunas nociones elementales sobre el lgebra de las matrices.

IX

X TEORIA D~ ECUACIONES

Algunos puntos, debido a su dificultad intrnseca, han sido agrupados en apndices. El apndice I trata sobre el teorema fundamental del Algebra. El autor eligi como demostracin ms intuitiva, y por lo tanto ms asequible para los principiantes, la cuarta demostracin dada por Gauss.

El apndice II da la demostracin de un teorema de Vincent, en el que se basa el mtodo de separacin de races antes mencionado.

Los apndices III y IV fueron agregados por sugerencia del profesor S. P. Timoshenko, por ser de inters para los e;:;tudiantes de ingeniera. El apndice III est dedicado a un criterio simple para que una ecuacin tenga todas sus raices con parte real negativa. El apndice IV trata la solucin por iteracin de la ecuacin de frecuencia.

El apndice V da una explicacin del mtodo de Graeffe para calcular races y ee de particular inters en el clculo de las races imaginarias de una ecuacin.

J. V. UsPENSKY Universidad de Stanford, Californii.

Diciembre de 1946

La explicacin del autor al editor sobre los propsitos de este libro ha sido colocada como prefacio porque llena los requisitos para serlo y expresa su pensamiento.

Nuestro agradecimi;-)nto a Max A. Heaslet, del Comit Consultivo Nacional para la Aeronutica, y a Carl Douglas Olds, del Colegio del Estado de San Jos, por la ayuda que espontneamente ofrecieron y prestaron en la edicin y correccin de pruebas de este texto de su antiguo profesor. Asumieron esta responsabilidad, que normalmente recae sobre al autor, mientras desarrollaban pesadas tareas propias, ya que el falle-~imiento del autor ocurri inmediatamente despus de la entrega del manuscrito a los editores.

L. Z. U.

Mayo de 1948.

INDICE GENERAL

P.LG

Prlogo de los editores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vll

Prlogo del autor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX

Captulo

Apndice

I. - Nmeros complejos ..................................... . II. - Polinomios de una variable

1

40

III. - Las ecuaciones algebraicas y sus races . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

IV. - Acotacin de races. Races racionales 79

V. - Ecuaciones cbicas y curticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

VI. - Separacin de races

VIL - Teorema de Sturm

112

155

VIII. - Clculo aproximado de las races . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

IX. - Determinantes y matrices 201

X. - Resolucin de ecuaciones lineales por determinantes. Algunas aplicaciones de los determinantes a la geometra . . . . . . . . . . 257

XI. - Funciones simtricas 285

XII. - Eliminacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

I. - El teorema fundamental del lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

II. - Acerca del teorema de Vincent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

III. - Acerca de las ecuaciones cuyas races tienen parte real negativa 338

IV. - Solucin iterativa de la ecuacin de frecuencia . . . . . . . . . . . . 344

V. - El mtodo de Graeffe 353

Respuestas a ejercicios ........................................... : . . . . . . 368 Indice alfabtico ............... . 384

XI

CAPITULO I

NUMEROS COMPLEJOS

l. Qu son los nmeros complejos? - Las letras empleadas ordi-nariamente en los cursos elementales de lgebra representan nmeros reales, es decir: enteros y fraccionarios -positivos y negativos-, inclu-yendo el cero, que son los llamados nmeros racionales; y nmeros irra-

3 cionales tales como ...2, ...J3, etc. Slo ocasionalmente, relacionndolos con la solucin de ecuaciones cuadrticas, se mencionan los nmeros imaginarios o complejos. Por ejemplo, al aplicar la frmula general para hallar las races de una ecuacin cuadrtica, a la ecuacin

X2 +X+ 3 = , se dice a los estudiantes que admite las races

- 1 + '1-=--rl 2

-1 - -v-=-u 2

donde el smbolo '1-11 es una cantidad imaginaria puesto que los nmeros negativos no pueden tener races cuadradas reales. A los estu-diantes se les ensea cmo realizar operaciones con estos nmeros ima-ginarios por un procedimiento puramente formal; pero no se da ninguna explicacin adecuada de los fundamentos de estas operaciones con smbolos que, por s solos, no tienen ningn significado. Probablemente este procedimiento se justifica, por cuanto a la edad en que los estudiantes se encuentran por primera vez con estos nmeros imaginarios >>, no han desarrollado an una suficiente facultad de abstraccin como para entender lo que realmente estn tratando, y slo puede esperarse que adquieran una cierta destreza en las manipulaciones formales. Pero cuando llega el momento de emprender estudios ms serios de la parte del lgebra que se llama teoria de ecuaciones, se hace necesario volver a hablar de los nmeros imaginarios o complejos para establecer una base slida sobre la que descansen los desarrollos subsiguientes.

En lo que sigue, las letras a, b, e, ... , etc., (con la nica excepcin de la letra i, que ser usada con un significado especial) servirn para designar nmeros reales. Un par ordenado de nmeros reales

(a; b) 1

2 TEORIA DE ECUACIONES

de los cuales a es la primera componente y b es la segunda componente~ ser considerado como una nueva entidad o un nuevo objeto de inves-tigacin matemtica y de aqu en adelante lo denominaremos nmero complejo. Para poder hacer objeto de investigaciones matemticas a pares ordenados de nmeros o nmeros complejos, debemos extender a ellos la nocin de igualdad y definir asimismo el significado de las cuatro operaciones fundamentales que pueden realizarse con ellos:

adicin sustraccin multiplicacin divisin.

2. Definicin de Igualdad. - Dos nmeros complejos (a; b) y (c; d) son iguales nicamente si a = c y b = d. Los nmeros complejos que no satisfacen esta condicin de igualdad se llaman desiguales. Para indicar la igualdad se utiliza el signo ordinario =. As, la igualdad

(a ; b) = ( c; d) significa

a=c;b=d.

De acuerdo a esta definicin

puesto que

(por qu?} y

ffe = 2 {3. Por el contrario, los nmeros complejos (1; - 1) y (- 1; 1) son des-

iguales, y esto se indica escribiendo

(1;-1)~(-1;1).

3. Definiciones de Adicin y Multiplicacin. - De las cuatro operaciones fundamentales, la adicin y la multiplicacin se llaman operaciones directas y por medio de ellas se definen las operaciones inversas : sustraccin y divisin. Para la adicin y multiplicacin de los nmeros complejos se adoptan las siguientes definiciones:

Definicin de Adicin. - La suma de dos nmeros complejos (a; b) y (c; d) es el nmero complejo (a + c; b + d) obtenido sumando, res-pectivamente, las primeras y las segundas componentes de los dos

NUMEBOS COMPLEJOS 3

pares dados. Para indicar la adicin se usa el signo ordinario de suma, de modo que el contenido de esta definicin puede expresarse conve-nientemente as:

Por ejemplo: (a; b) + (e; d) = (a + e; b + d) .

(1; -1) + (2; 1) = (3; O), (O; 1) + (1; O) = (1; 1),

(3;2)+(-3;-2) = (O;O).

Definicin de multiplicacin. - El producto de dos nmeros complejos (a; b) y (e; d) es el nmero complejo (ac - bd; ad +be). La multipli-cacin se indica colocando el signo . o X entre los factores; a veces, cuando no existe peligro de confusiones, puede omitirse el signo de multipli-cacin. El contenido de la definicin puede expresarse convenientemente escribiendo

o

(a; b). (e; d) == (ac - bd; ad +be)

(a; b) (e; d) = (ac - bd; ad+ be).

De acuerdo con la definicin tenemos, por ejemplo: (2; 3).(1; 2) = (-4; 7), (1; -1).(1; 1) = (2;0), (O; 1) .(O; 1) = (-1; O).

4. Leyes Fundamentales de la Adicin y Multiplicacin. -Mientras que la definicin adoptada para la adicin de los nmeros complejos es aceptada inmediatamente como natural por los estudiantes, stos se quedan perplejos por el carcter aparentemente artificioso de la definicin de multiplicacin y siempre preguntan las razones por las que se la adopta. Puesto que los nmeros complejos son pares orde-nados de nuevos objetos para los que las nociones de igualdad, adicin y multiplicacin no estn definidas inicialmente, es privilegio nuestro definir estas nociones como nos plazca, esforzndonos solamente por hacerlo de modo tal que todas las propiedades fundamentales de las operaciones algebraicas con nmeros reales conserven su validez para los nmeros complejos, y que, adems, los nmeros complejos sujetos a tales propiedades puedan reemplazar a los nmeros imaginarios hasta ahora sin sentido. Las propiedades fundamentales de la adicin y multiplicacin de los nmeros reales son las siguientes:

l. a + b = b + a. Propiedad conmutativa de la adicin. 2. (a + b) + e = a + (b +e). Propiedad asociativa de la adicin.


3. ab = ba. Propiedad conmutativa de la multiplicacin. 4. (ab) c = a (be). Propiedad asociativa de la multiplicacin. 5. (a + b) e = ac +be. Propiedad distributiva.

Es fcil verificar que estas propiedades conservan su validez para los nmeros complejos, con las definiciones de igualdad, adicin y multi-plicacin adoptadas.

Esta verificacin inmediata se deja a cargo del estudiante.

5. Sustraccin y Divisin. - Una vez definida la igualdad, la adicin y la multiplicacin, podemos definir la sustraccin y la divisin en la misma forma que para los nmeros reales. Restar b de a significa, encontrar un nmero x tal que

b+x=a.

Tal nmero -diferencia entre a y b- es nico. La misma definicin puede extenderse a los nmeros complejos.

Definicin de sustraccin. - Restar el nmero complejo (c; d) de (a; b) significa hallar un nmero complejo (x; y), tal que

(e; d) + (x; y) = (a; b). Puesto que, por definicin de adicin, es:

(e; d) + (x; y) = (e + x; d +y), las incgnitas x e y deben ser determinadas por las ecuaciones:

c+x=a d+y=b

que admiten la nica solucin

x = a-c y= b-d.

Por lo tanto, la diferencia de (a; b) y (e; d) es un nmero complejo, unvocamente determinado:

(a; b) - (c; d) = (a - e; b - d).

En particular, tenemos que:

(a; b) - (a; b) (O; O) o sea:

(a; b) + (O; O) = (a; b) de modo que el nmero complejo (O; O) representa el mismo papel que el O para los nmeros reales.

NUMEROS COMPLEJOS

Para definir la divisin de nmeros complejos podemos tambin ba-sarnos en la definicin de divisin de nmeros reales. Dividir a por un nmero real b distinto de cero, significa hallar un nmero x tal que:

bx =a.

Por analoga resulta la:

Definicin de divisin. - Dividir el nmero complejo (a; b) por (e; d} distinto de (O; O) significa hallar un nmero complejo (x; y) tal que:

(e; d) (x; y) = (a; b). Puesto que:

(e; d) (x; y) = (ex - dy; dx + cy) las incgnitas x e y debern hallarse resolviendo el sistema de ecuaciones

ex - dy = a ; dx + cy = b.

Eliminando primero y y luego x obtenemos:

(e2 t d2) x = ae + bd ( e2 + d2) y = be - ad .

Por hiptesis e y d no se anulan simultneamente, y, en consecuencia,. c2 + d2 > O. Por lo tanto x e y tienen valores perfectamente determi-nados:

;r, = ae + bd ez + d2

be-ad ; y=----

e2 + dz

que, como puede comprobarse por simple sustitucin, sat>facen el sis-tema dado. En consecuencia la divisin por (e; d) ~ (O; O) nos da un cociente perfectamente di)terminado que, conservando la notacin usual,. ser:

a b) : (e d) = ( ae + bd . be - ad ) ( ' ' 2 d2 ' 2 d2 e + e +

o bien (a; b) ( ae + bd be - ad ) (e ; d) = e2 + d2 ; e2 + d2

6. Nmeros complejos en forma binmica. - Todo nmero com-plejo puede ser escrito en cierta forma llamada binmiea. En primer lugar:

(a; b) =(a;#)+ (O; b). Utilizando la regla de la multiplicacin, se comprueba que:

(O; b) = (b; O) (O; 1)

TEORIA DE ECUACIONES

y por lo tanto: (a; b) = (a; O) + (b; O) (O; 1),

que significa que un nmero complejo puede expresarse mediante m-meros complejos especiales del tipo (a; O), con el segundo elemento O y un nmero complejo particular (O; 1) que de aqu en adelante designa-remos con la letra i, inicial de la palabra imaginario. Cuando se aplican las operaciones fundamentales a nmeros complejos del tipo (a; O) se obtienen los siguientes resultados:

(a; O) + (b; O) (a; O) - (b; O) (a; O) (b; O) (a; O) (b; O)

(a+ b; O), (a-b;O), (ab;O),

( ~ ; o)' -de donde puede extraerse la notable conclusin siguiente: Si a los nmeros complejos con segunda componente O, se los somete a las operaciones de adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin (operaciones llamadas .racionales), cualquiera sea la cantidad de veces que se repita cada ope-racin, el complejo resultante tendr tambin su segunda componente O, mientras que la primera componente resultar de realizar las operaciones indicadas con las primeras componentes de los complejos dados. Esto significa que los nmeros complejos con la segunda componente O se comportan, con respecto a las operaciones racionales, exactamente como sus primeras componentes, que son nmeros reales. Operando nicamente con tales nmeros complejos, podemos identificarlos, sin temor a con-fusin, con nmeros reales iguales a sus primeras componentes. Por lo tanto, podemos designar desde ahora en adelante a los nmeros com-plejos del tipo (a; O) simplemente por a. De esta manera, el smbolo a tiene dos sigilificados: uno, como smbolo de un nmero real; otro, como smbolo de un nmero complejo (a; O). En tanto tengamos una frmula que involucre slo operaciones racionales con tales smbolos, continuar siendo vlida ya se interpreten Jos smbolos de una u otra manera. Por ejemplo, en la identidad:

a2 -b2 =(a+ b) (a-b)

los smbolos a; b; a -t- b; a - b, pueden ser interpretados como smbolos ae nmeros reales o como smbolos de los nmeros complejos (a; O); (b; O); (a+ b; O); (a - b; O), y la identidad ser verdadera en ambmi casos. De acuerdo con la convencin adoptada todo nmero complejo podr escribirse en la sigui en te forma binmica:

(a; b) = a+ bi

NUMEROS COMPLEJOS 1

donde i est colocado en lugar de (O; 1) y a, b, son los nmeros complejos (a; O), (b; O). Por la regla de la multiplicacin tenemos:

(O; 1)2 = (-1; O) o, con los signos convencionales adoptados:

i2 = - l.

Observando que las leyes fundamenLales de las operaciones que son vlidas para los nmeros reales, siguen sindolo para los complejos, llegamos a la conclusin de que al efectuar las operaciones fundamentales con nmeros complejos presentados en forma binmica, podemos operar con ellos como si se tratara de binomios algebraicos, teniendo cuidado de reemplazar i 2, cuando aparezca, por - l. Es costumbre usar la notacin abreviada bi para los nmeros complejos del tipo O t bi, y, en caso de que b = 1, escribir simplemente a i en lugar de a +- 1 i o a - 1 i.

Unos pocos ejemplos mostrarn las ventajas de operar con los nmeros complejos presentados en forma binmica.

Ejemplo l. Hallar (1 + i)3 Tenemos (1 + i)' = 1 + 2 i + i 2 = 2 i

y (1 + i) 3 = (1 + i) 2 (1 + i) = 2 i (1 + i) = - 2 + 2 i.

El mismo ejemplo puede ser desarrollado en la forma s;guiente. Tenemos: (1 + i) 3 = 1 + 3 i + 3 i 1 + i 3

Pero: i 2 = - 1 ; i 3 = i'. i = - i

y entonces ser (1 + i)3 = 1 + 3 i - 3 - i = - 2 + 2 i .

Ejemplo 2. Hallar el cubo del nmero complejo

1 " w=--+i--. 2 2 En primer lugar,

1 3 . . v3 1 3 . -va- 1 . v3 lo) = - + -i2 -i -- = - - - - i -- = - - -i --

4 4 2 4 4 2 2 2

7 luego

w = w. w' = (- ~ + i V23 ) (- ~ - i V23 ) = (- ~ )' - : i' = l.

8 TEOBIA DE ECUACIONES

Ejemplo 3. Reducir el nmero complejo (3 + 2 i) 2 (1 - 3 i) 1 + i -------+--(3 + i) 2 (1 + 2 i) 1 - i

a la forma binmica. Tenemos:

(3 + 2 i)' = 9 + 12 i + 4 i' = 5 + 12 i' (5 + 12 i) (1 - 3 i) = 5 - 36 i' - 3 i = 41 - 3 i ' (3 + i)' = 9 + 6 i + i 2 = 8 + 6 i ' (8 + 6 i) (1 + 2 i) = 8 + 12 i 2 + 22 i = - 4 + 22 i .

Para efectuar el cociente 41-3i

-4 + 22i

podemos, sin que ste vare, multiplicar numerador y denominador por

-4-22i'

y obtenemos

23 sn 41-3i -4 + 22i

(41-3i)(-4-22i) (-4)' + 222

-230-890i 500

=-----1 50 50

En la misma forma, 1 + i (1 + i)'

= i ---=----1-i 2

y el resultado final es: 23 39

----i. 50 10

Problemas

Reducir a la forma binmica:

t. 7 - i + ( - 6 + 3 i) - ( 4 + 3 i). 3. (2 + i) (1 + 2 i).

1 + i .5. --.-.

-i

(2 + i) (1 - 2 i) 7.-------

3-i

(1 + i) 3 9. ----1 _;

( 1 va). 11. -+i-- . 2 2

2. (2 -3 i) i. 1

4. -.

1 + i i 6.--+--. i 1 -i

(4 + 3 i) (1 - 2 i) 8. -------

7-i

12. i l+i +-- i 1 +i +---

1 + i

NUMEBOS COMPLEJOS 9

13. Hallar los valores reales de x e y que satisfacen la ecuacin

(1 + i) (x + 2 y) - (3 -2 i) (x -y) = 8 + 3 i. 14. Hallar las rafces reales de la ecuacin

(1 + i) x3 + (1 + 2 i) x 2 - (1 + 4 i) x - 1 + i = O .

15. Hallar las races reales de la ecuacin

(1 + i) x3 + (1 + 2 i) x 2 - (1 + i) x - 1 - 2 i = O .

7. Parte real e imaginaria. Nmeros complejos conjugados. Valor absoluto o mdulo. - En un nmero complejo a + bi expre-sado en forma binmica, a se llama parte real y b (no bi!) parte imagi-naria. La parte real y la imaginaria se designan generalnwnt" de la siguiente manera:

a = R (a+ bi), b = I (a+ bi),

donde Re I son las iniciales de las palabras real e imaginaria. Los nmeros complejos con parte imaginaria nula se llaman nmeros reales, en virtud de su total semejanza con los nmeros reales ordinarios; y los nmeros de la forma bi, con parte real nula se llaman imaginarios puros. En general, los nmeros complejos con parte imaginaria distinta de cero se llaman nmeros imaginarios, simplemente para estar de acuerdo con ~l uso y la tradicin histrica, desde que los nmeros complejos conside-rados como pares ordenados son justamente tan reales como los otros y nada hay de imaginario en ellos.

Dos nmeros complejos a + bi y a - bi que slo difieren en el signo de sus partes imaginarias se llaman conjugados. Si designamos a uno de ellos por una sola letra, por ej. A, el conjugado se designa por A 0, o bien por A. El producto de dos nmeros conjugados

A =a+ bi Ao =a - bi es un nmero real

AA o = (a + bi) (a - bi) = a 2 + b2 llamado norma de A. La raz cuadrada positiva de la norma de A Re llama valor absoluto o mdulo de A y se designa con el signo ! A / o con el signo mod. A. El uso de una u otra notacin depende de considera-ciones de conveniencia en la escritura o impresiil.

As

o

mod. (a + bi) = -V a2 + b2


Si C es la suma de los nmeros complejos A y B C=A+B,

ser Co = Ao + Bo.

Es decir: la suma de los conjugados de dos nmeros complejos es igual al conjugado de su suma. En la misma forma, si Ces el producto de los nmeros complejos A y B

C = AB, ser

Co = AoBo.

Es decir: el producto de los conjugados de dos nmeros complejos es igual al conjugado de su producto. Ambas proposiciones se verifican directamente comparando la suma o el producto de dos nmeros com-plejos con la suma o el producto de sus conjugados. De esto se deduce que el conjugado de la diferencia o cociente de dos nmeros complejos es igual, respectivamente, a la diferencia o al cociente de sus conju-gados, lo cual, con la notacin adoptada, se expresa as:

(A - B) o = A o - B o ; ( ~ ) 0 = -~-:

Por sucesivas aplicaciones de estas reglas se deduce la importante conclusin general que sigue: Si al efectuar operaciones racionales en cantidad finita con los nmeros complejos A, B, C, ... se obtiene un nmero complejo X, al efectuar las mismas operaciones con los conju-gados Ao, Bo, Co, ... el resultado ser Xo, conjugado de X.

Los nmeros reales coinciden con sus conjugados, y recprocamente, un nmero que es igual a su conjugado es real. En efecto, la igualdad

a+ bi =a- bi requiere que

b=-b b=O.

Problemas

Hallar los mdulos de los siguientes nmeros: 1 ...)3

l. i. 2. --+i-- 2 2 3. 3 + 4i.

5. z2 - 1 + 2 ix donde x es real.

6. 2x-l -1- (2x2 -2x)i donde x es real.

1-i 4. ---=-

-V 2

NUMEBOS COMPLEJOS

7. x3 -x2 -x + 1 + (2x2 -2x)i donde x es re.al. 1-x

8. Cul es la parte real del nmero -- si x = cos q, + i sen ? l+x

9. Hallar un nmP.ro complejo e tal que 1 e 1 = 1 y R (e1) =O.

11

10. Cules son los nmeros complejos iguales a: a) el cuadrado de sus conjugados y b) el cubo de sus conjugados?

* 8. Teorema. - El mdulo dP. un producto e.~ igual ' producto de los mdulos de sus factores o, usando la notacin adoptada:

1 A. B. e ... L 1 = 1 A 1 . 1 B 1. i e ... [L . DEMOSTRACIN: Consideremos primero el producto de dos factores

X= AB.

La norma de X es: XX o = (AB). (AB)o,

pero: (AB)o = AoBo

y por lo tl\nto: XXo = (AB) (AoBo) ;

por consiguiente, haciendo uso de las propiedades asociativa y conmu-tativa de la multiplicacin:

XX o = (AA o). (BBo), extrayendo races cuadradas en ambos miembros, y tomando las races positivas:

Pero

y por consiguiente, [X[ [Al. [B[,

o

j AB 1 = [ A [ . [ B [ . Considerando ahora el producto de tres factores

X= ABC, hacemos

Y= AB,


por lo tanto X= YC.

Por lo demostrado anteriormente

1 Y\= IA 1- IBl X I YI. !CI, en consecuencia

1x1 IA [. IBI. e, o sea

1 ABC 1 = i A 1, \ B 1 . \ C ! . De la misma manera puede extenderse el teorema a cualquier nmero

de factores. De este teorema puede extraerse una importante conse-cuancia: Si un producto de nmeros complejos es nulo, por lo menos uno de los factores es nulo. Al suponer

ABC ..... L O,

queda estableciQ.o que IA 1 \BI. iC! ..... [LI =\O[ =

y puesto que los factores que figuran en el primer miembro son reales, uno de ellos debe s~r nulo. Sea:

IA 1 =o. Pero, escribiendo A a + b1, tenemos

1 A 1 = V a2 + b2 = O , por lo tanto: a2 + b2 = O, que siendo a y b reales, slo es posible si a = O y b = O; o sea A = O + O i = O. Puede llegarse a la misma conclusin partiendo del hecho de que el cociente est unvocamente determinado cuando el divisor es distinto de cero. Demustrelo el estu-diante en la misma forma que el teorema anterior. *

Problemas

l. Demostrar que: \ ~1=~ B \B\ (4 + 3 1:) (1 + i)

2. Cul es el mdulo de ? 7-i

1 +xi 3. Cul es el md1lo de . si x es real? Y qu puede decirse del mdulo del

1-xi mismo nmero si x = " + i~ es un nmero complejo, siendo ~ > O?

NUMEROS COMPLEJOS 13

4. Demostrar que

.si i-i: t =----

y i: es real.

5. Si

't'' =

y i: es un complejo tal que

l i:-~1 =~ 4 4 ' -demostrar que

* 9. Desigualdad del mdulo de la suma. - ~l mdulo de la suma de nmeros complejos no depende simplemente de los mdulos .de estos nmeros; por lo tanto, no existe para la suma un teorema tan preciso como el del prrafo 8. Tenemos, en cambio, la siguiente pro-posicin, menos precisa, pero que es no obstante, de gran importancia y utilidad:

TEOREMA. - El mdulo de la suma no es mayor que la suma de los mdulos de sus trminos, o sea

IA+B+ ..... +LI ~IAl+IBl+ ..... +ILI; .el signo igual slo serd vdlido cuando todos ios nmeros A, B, .. ., L sean iguales a cero o en el caso de que siendo uno de ellos, por ejemplo A, dis-tinto de cero, todos los cocientes

B L A' A

.sean nmeros reales no negativos.

DEMOSTRACIN: Comenzamos con la siguiente observacin: Si A = a + bi, entonces

a= R(A) ~ 1A1 y el signo de igualdad slo ser vlido si b = O y a ~ O.


Siendo:

1 A 1 = -\} a2 + b2

ser evidentemente a < -\} a2 + b2

si b ~ O. Por otra parte, si b = O y a < O,

1A1 = ,f(if" = -a ; a< - a. Finalmente, si b = O y a ?; O

a=ff=A. Consideremos ahora la suma de dos nmeros complejos A y B. Por

la definicin de mdulo:

1 A + B 12 = (A + B) \A + B)o = (A + B) (Ao + Bo), o

1 A+ B !2 =AA0 + BBo + (ABo + AoB) = 1A12 + lBl 2 + (ABo + AoB). El conjugado de ABo es AoB, y la suma AB0 + A 0B de dos nmeros.

conjugados es el doble de la parte real de AB0, o sea ABo + AoB = 2 R (ABo).

Por la observacin anterior

R (ABo) ~ 1 ABo 1 = j A 1 . 1 Bo 1 = 1 A 1 . 1 B 1 , puesto que los nmeros conjugados tienen el mismo mdulo. En con-secuencia:

1 A + B 12 ~ 1A12 + 1B12 + \A 1 . \ B 1 = (\A 1 -t- \ B 1) 2 Pero los nmeros 1 A + B \ y 1 A 1 + 1 B ! son positivos y por lo-

tanto la desigualdad anterior implica que:

\A +BI ~\A\+ \B\. El signo de igualdad slo es vlido si

R (ABo) = R (AoB) = \ AoB 1 y esto slo es verdad si AoB es un nmero real positivo. Suponiendo-que A ; O, el producto AA 0 es ua nmero positivo y

AoB B --=-AAo A


S un nmero real positivo. Recprocamente, si esta ecuacin es verda-

dera, entonces AoB = ( ~ ) (AAo) ser real y positivo. Considerando ahora la suma de tres nmeros

A + B + e = (A + B) + e. De acuerdo a lo demostrado anteriormente

1 (A + B) + e 1 ;; 1 1 + B 1. + 1 e \ , \A+B\;;; \A+ \B\.

En consecuencia:

\A+B+C\;;;\A\ +\Bl+\C\.

El signo igual slo ser vlido aqu si simultneamente

A+B\=\Al+\B\ 1 (A + B) + e 1 = ! A + B 1 + 1 e 1

Suponiendo que A ~ O, la primera de estas igualdades slo es vlida A

-si la razn B es real y positiva. En tal caso, el nmero

no es cero, y

A+B=A(l+~)

1+~ A

es un nmero positivo. La segunda igualdad exige que la razn

e = _!}_ (i + ~)-1 At-B A A

e -sea real y positiva, que equivale a la exigencia de que A sea real y positiva. Es evidente que, razonando de la misma manera, se demostrar -el teorema para sumas de ms de tres trminos. *

Problemas

1. Demostrar que

IA-B!!1:IAl-IBI yque [A-B[!1;[B[-IA[. J3uGESTIN: Escrbase A = B + (A - B).


2. Si z es un nmero complejo con 1 z 1 ~ 2, cul es el mximo de

1 1 + z + z' + z3 I

y para qu valor de z se alcanza este mximo?

* 3. Si x e y son dos 11meros complejos c11alesquirra, demostrar que

! x +Y I' + 1 x-yl' = 2 I x I' + 2 1 Y I'. * 4. Demostrar que la igualdad

!z2 - z1 I' = I z2 - zol' + [z1 - zol' implica que

Z2 - zo = i f.. (z1 - zo)

donde f.. es real y recprocanlC'nte.

10. Raz cuadrada de un nmero complejo. -- Hallar la raz cuadrada de un nmero complejo A es equivalente a hallar la solucin X de una ecuacin de segundo grado

X 2 =A ..

Sea A = a + bi y X = x + iy. Entonces los nmeros reales x e y deben ser tales que

(x -t- iy) 2 a+ bi. Pero

(x + ly) 2 = x2 - y 2 ~ 2 xyi,

en consecuencia, los nmeros reales x e y deben satisfacer el sistema, de ecuac10nes:

x2 _ y2 a 2 xy b. [1] La identidad

(x2 + y2)2 = (x2 _ y2)2 + 4 x2y2,

combinada con las ecuaciones [l] da xz + y2 = -.. az + b2 ,

tomando la raz positiva. Por consiguiente, de la primera ecuacin del sistema [1] se deduce:

? '1 a2 + b2 + a X"= 2 ; y2 =

...J a2 + b2 -- a 2 [2!

Estas ecuaciones son consecuencias necesarias del siRtema [l], pero


pueden tener soluciones que no lo satisfacen. Para separar las soluciones de [2] que satisfagan a [1], debe tomarse en cuenta la ecuacin

2 xy = b.

En caso de que b ,= O, la ecuacin determina el signo de y corres-pondiente a un dado signo de x; ~s decir, x e y deben ser del mismo signo cuando b > O y de distinto signo cuando b < O. De acuerdo con esto, las soluciones de la ecuacin

X 2 = a + bi son:

X ( ...J a2 + 2 b2 + a + i ...J a2 + 2b2 - a ) en caso de que o > O, y

= (/ ...J a2 + b2 + a _ . , / ...J a2 +. b2 - a ) X 2 i V 2 en caso de que b < O. Resta por examinar el caso en que b = O. Por ser

--{a2 =a ...Ja= -a, segn sea a > O a < O, se deduce que

X= '\}a i y=

si a > O; y entonces la ecuacin

X 2 a

tiene dos races reales

Si a


eon coeficentes complejos arbitrarios, puede resolverse por medio de la frmula conocida:

X - B v B 2 - 4 A e 2A

euya deduccin se basa en las propiedades fundamentales de las opera-ciones y en la existencia de races cuadradas.

NOTA: Cuando A es un nmero real positivo, el smbolo "{, por costumbre, significa siempre la raz cuadrada positiva, y con esta convencin la regla de la multiplicacin de races:

S vlida cuando A y B son positivos. Sin embargo, cuando A es un nmero real negativo o un nmero imaginario, no puede atribuirse al smbolo ...jA, por medio de una simple ~onvencin, un significado tal que la regla de la multiplkacin de races sea siempre vlida. En el caso de un nmero real negativo o un imaginario A, es necesario especificar siempre a cul de las dos races se refiere el smbolo vT por medio de una condicin adicional, como, por ejemplo, que la raz tenga positiva la parte real o la imaginaria. As, ..=-"4 puede significar 2 i o -2i; pero si se especifica que esta raz debe tener la parte imaginaria positiva, entonces el smbolo \i - 4 vale para 2 i. Ntese que la re-lacin de ma;;1iLud expresada por las palabras mayor o menor slo est definida para nmeros reales y no puede ser extendida a los nmeros complejos conservando todas las propiedades de esta relacin.

Ejemplo l. Resolver la ecuacin x = -i.

En este caso: a =O; b = - 1; ...j a2 + b2 = 1, y siendo b negativo,

Ejemplo 2. Resolver la ecuacin

En este caso

y siendo b positivo:

X'= -5+12i.

a= -5 ; b = 12

-{169-5 -----=4

2

v ' + b' = V169 = 1a V69+5 -----=9

2

X= (2 + 3i).

Ejemplo 3. Resolver la ecuacin de segundo grado

i X 2 - (2 + 2 i) X + 2 - i = O .

NUMEBOS COMPLEJOS 19

Aplicando la f6rmula tenemos

2+2i'\/-4 X=-------2i y tomando V - 4 = 2 i; se hallan las races

-i; 2-i.

Problemas

Hallar las races cuadradas de los nmeros:

1. i. 1 . Va 2. w =--+i--. 2 2 1 -va-3. -+i--. 2 2

4. -3-4i.

5. -13-84i. 6. -1 +i...;24.

7. x2 -1 + 2 xi; siendo x real.

Resolver las ecuaciones de segundo grado:

8. X2 + X + 1 = 0. 9. 2 X2 - 3 X + 2 = 0.

10. X2 - (2 + 3 i) X - 1 + 3 i = 0. 11. (2 - 2 i) x 2 - (11 + 9 i) X -16 + 6 i = 0.

Resolver las ecuaciones:

12. x4 = l. 13. x4 = -1.

14. x 4 + 4 =O. 15. x' = 119 - 120 i.

16. x3 - 1 = O. Ntese que: x3 -1 = (x -1) (x2 + x + 1). 17. x 3 = i. 18. x8 -l =O.

19. x + 1 =O.

20. x3 = 1 + i. Haciendo x =a+ bi; ser entonces a3 -1- ~ ab = 1; .3 a2 b - b3 = 1~ 3

y adems: a+ b2 = v2. 21. Demostrar la siguiente proposicin: Si a; b; a'; b', son nmeros racionales, per

-{b no es racional y a + '\}b = a' + ....-;-,

entonces a'= a ; b' = b.

22. Hallar todas las ecuaciones de segundo grado: x2 + px + q =O con coeficientes racionales pero sin rafees racionales, en las que: a) una raz es el cuadrado de la otra; b) una raz es el cubo de la otra.

b 23. Si a -;F. O, b ,,,s. O son dos nmeros complejos tales que la raz6n - es un nme-

a


ro real positivo, la raz cuadrada -,,,j-;;; puede elegirse de modo tal que la razn rle la media geomtrica de a y b

a la media aritmtica a+b

' =---2

tenga una parte positiva real. Demostrar que, en ese caso, es tambin R ( ~ ) > O. * 24. Con las mismas condiciones del problema anterior demostrar que

1 \ b, - a, 1 < - 1 b - a .

2

11. Representacin geomtrica de los. nmeros complejos. -Las relaciones entre los nmeros complejos y su manejo se hacen intui-

~ ...

>: ;; .. b ~ .. ;;

y

z a+b,

X

EJt Rf.AL

tivos, mediante una simple representacin geo-mtrica. Habiendo elegido dos rectas perpendi-culares OX; O Y como ejes coordenados, atribu-mos a OX una cierta direccin, indicada en la figura por una flecha, y elegimos entonces una direccin del eje O Y tal que, al rotar O X un ngulo recto en el sentido opuesto al de las agujas del reloj, su direccin coincida con la de

O Y. Cada punto del plano, referido al sistema de coordenadas ele-gido, tiene coordenadas definidas -a y b por ejemplo- y el complejo a + bi est definido por este punto. Recprocamente, a todo nmero complejo hacemos corresponder un punto cuyas coordenadas son, res-pectivamente, la parte real y la imaginaria de ese nmero complejo. De esta manera, entre los nmeros complejos y los puntos del plano {)Xiste una correspondencia biunvoca en virtud de la cual los nmeros complejos estn representados por puntos. Los nmeros complejos de la forma a + O i -nmeros reales- estn representados por puntos .del eje O:{, que por esta razn se llama eje real. Los nmeros complejos de la forma O + bi o nmeros imaginarios puros estn representados por puntos del eje OY, llamado eje i'maginario. Es costumbre designar al punto representativo del complejo z por la misma letra y llamarlo simplemente punto z. As, podemos hablar del punto O (origen) del punto 1; del punto i; del punto 3 - 2 i; etc. El punto O, junto con z, determi-

- -na un segmento dirigido Oz o vector Oz, que va del origen O al extremo

-z. Recprocamente, el extremo de todo vector Oz determina un nmero complejo. En esta forma tenemos otra representacin geomtrica de los nmeros complejos por medio de vectores con el origen comn en O. Las proyecciones del vector que representa a z = a + bi sobre los ejes


()X y OY son, respectivamente, a y b; y la longitud del vector Oz -o la -distancia de O a z- por el teorema de Pitgoras es ... a2 + b2 y nos da un significado intuitivo del mdulo de z.

Problemas

t. Si la direccin del eje real se elige como en la figura, ubicar los puntos iativos de los nmeros complejos: a) -1 ; b) i; e) 1 -i;

1 .d) 1 +2i; e) -3-2i; f)- -+ 2i.

1 2 2. Si R (z) = - qu puede decirse sobre el lugar geo-

2 mtrico de los puntos z?

..

represen-

3. Resolver el problema 2 si los nmeros complejos z satis. facen la condicin:

;; EJE Rl,t~

1 1 --< R(z) ~ -. 2 - 2

4. Cul es la posicin rellltiva de los puntos que representan nmer-os complejos con-jugados?

5. Cul es la posicin relativa de los puntos que representan los nmeros complejos a+ bi y b + ai?

6. Cul es el significado geomtrico de: a) 1 z \ = 1; b) \ z \ < 1; e) 1z1 > 1? 1 l

7. Dnde estn los puntos representativos de z si - 2 ;;; R (z) < 2 y [ z 1 ~ 1?

12. Angulo de dos semirrectas dirigidas. -- La figura siguiente representa dos semirrectas dirigidas l y l' que se cortan en un punto S con sus direcciones representadas por flechas. Por ngulo entre l y l' -medido de l a l' - que indicaremos por (ll'), entendemos el ngulo que debe girar l alrededor de S para coincidir con l' en posicin y di-reccin, considerndose este ngulo como positivo o negativo segn que l rote en el sentido opuesto al de las agujas del reloj o en el mismo sentido que las agujas del reloj respectivamente. Deschl este punto de vista el ngulo (ll') no est univocamente determinado sino que tiene infinitos valores, cuya vinculacin puede establecerse de la siguiente manera:

Sea rP el menor ngulo positivo que debe girar l para coincidir con l' en posicin y direccin. Si se contina la rotacin en sentido positivo, volver a coincidir cuando el ngulo rotado sea


cin y direccin y lo mismo sucede despus de una rotacin, en sentido negativo, de la magnitud 2 k 'lt: - t/J, siendo k entero y positivo. Toman-do todos estos ngulos negativamente, podemos decir que Z' forma con l los ngulos negativos tP - 2 'lt:; t/J - 4 'lt:; t/J - 6 'lt:; Por lo tanto, la. expresin general para el ngulo (ll') es: efJ + 2 k 'lt: siendo k = O, 1, 2, . . . un entero arbitrario y tP el menor ngulo positivo entre l y i'. Es fcil ver que t/J puede expresar cualquier ngulo entre l y l'; y an que todos los valores posibles de ste sern de la misma forma. Los ngulos que difieren de mltiplos de 2 'lt: se dicen congruentes de mdulo 2 'lt: (expresin extrada de la teora de los nmeros), y se usa el signo =para expresar la congruencia. En este sentido tenemos una congruencia. evidente que es:

(ll') = - (l' l) .

Adems, si tres semirrectas l; l'; l" pasan por el mismo punto, es fcil verificar que:

(ll') + (l' l") + (l" l) = o'

por consiguiente, en virtud de la congruencia (Z" l) = - (t l"), se des-prende que:

(l l") = (ll') + (l' l") . A pesar de la multiplicidad del ngulo (ll') las funciones trigonom-

tricas de este ngulo : sen (ll') ; cos (Zl')

tienen valores completamente determinados debido a que sen x y cos x son funciones peridicas de perodo 2 'lt:.

Problemas

1. Los lados de un tringulo equiltero tienen direcciones dadas como se indica en la figura. Cules son los valores numricamente menores de los n-gulos: a) (ll'); b) (ll"); e) (l' l")?

2. Se inscribe un cuadrado ABCD en un crculo y se toma un punto P sobre el arco BC. Cules son los ngulos: a) (l,l,); b) (l4l2); e) (l1l2), formados por los pares de se-mirrectas z,, Z2, Za, z, de la figura?

3. Tres semirrectas l, l', l" se cortan en un mismo punto. Si (Z'Z) = 230; (Z"Z) = - 100, hallar el valor numricamen-te menor del ngulo (l"l'). l 2

4. Si cinco semirrectas z,; l2; Za; z.; z. se cortan en el mismo punto y: (Z2Z1) = 30; (Z3Z,) = - 200; (U2) = 300; (l6Z,) = - 90, cul es el valor nu-mricamente menor del ngulo (lal) ?


13. Forma trigonomtrica de un nmero complejo. - Volviendo a la representacin geomtrica de los nmeros complejos explicada en 1 Prrafo 11, sea 6 el ngulo comprendido entre el eje real y el vector

~ ()z. Este ngulo se llama argumento o amplitud de z. Est definido slo para z ; O y tiene infinitos valores que difieren entre si en mltiplos

-+ de 2 'lt. Si z = a + bi, a es la proyeccin de Oz sobre el eje real. Llamando r al mdulo de z

r = ~ a2 + b2 ; O sedetermina el ngulo

a

agudo w por su tangente

tg w b a

24 TEORIA DE ECUACIONE;,

y se toma: 6 = w si a > O, y 6 = w - 7t si a < O. En el caso de que sea b - < O, el ngulo agudo w se determina por: a

tgw = b a

y 6 - w s1 a > O; 6 = 7t - w si a < O.

Problemas

Exprsense en forma trigonomtrica los siguientes nmeros complejos: l. -4.

3. -6i.

1 v 5. --i--. 2 2

7. {3-i. 9. -4 -3i.

11. 1 + cos CJ. + i sen CJ..

2. i.

4. -1 + i.

i v 6. -- +i --. 2 2

s.1-{3-io+-{3). 10. -2 + i.

12. cos CJ. + cos ~ + i (sen CJ. +sen~).

14. Multiplicacin y divisin de nmeros complejos dados en forma trigonomtrica. Frmula de De Moivre. - Las reglas de la multiplicacin y la divisin son particularmente simples cuando los complejos estn dados en forma trigonomtrica. Sean

A = r (cos 6 + i sen 6) ; B = r' (cos 6' + i sen 6') .

Multiplicando y agrupando factores en el segundo miembro, tenemos que

AB = rr' (cos 6 + i sen 6) (cos 61 + i sen 6') . Pero

(cos 6 + i sen 6) (cos 6' + i sen 6') = cos 6 cos 6' - sen 6 sen 6' + i (sen 6 cos 6' + sen 6' cos 6)

y por otra parte:

por lo tanto:

cos 6 cos 6' - sen 6 sen 6' = cos (6 + 61 ) sen 6 cos 6' + sen 61 cos 6 = sen (6 + 6');

AB = rr' [cos (6 + 6') + i sen (6' + 6)]

que significa que: el mdulo del producto es el producto de los 111dulos de los factores y el argumento es la suma de los argumentos. Por suc 'sivas


aplicaciones esta regla se extiende a cualquier nmero de factores. El producto de n factores

cos 61 + i sen 61 ; cos 62 + i sen 62 ; cos 6n + i sen 6n

cuyos mdulos son todos iguales a 1, es:

(cos 61 + i sen 61) (cos 62 + i sen 62) ..... (cos 6n + i sen 6n) = = cos (61 + 62 + ..... + 6n) + i sen (61 + 62 + ..... + 6n).

En particular, cuando 61 = 62 = ... = 6n = 6, esta frmula nos da una importante identidad:

(cos 6 + i sen 6)n = cos n 6 + i sen n 6,

conocida como frmula de De Moivre. Por supuesto, n significa aqu un entero positivo. Teniendo en cuenta que:

1 (cos 6 + i sen 6)-1 = ------cos 6 + i sen 6

eos 6 - i sen 6 cos2 6 + sen2 6

= cos tJ - i sen 6 = cos (- 6) + i sen (- 6)

y elevando ambos miembros de la ecuacin a la potencia n, obtenemos:

(cos 6 + i sen 6)-n = cos (- n 6) + i sen (- n 6).

Por lo tanto la frmula de De Moivre es vlida tambin para expo-nentes enteros negativos.

En cuanto al cociente de dos nmeros complejos A = r (cos 6 + i sen 6) ; B = r' (cos 6' + i sen 6'),

puede ser escrito de la siguiente manera:

A B

Pero

r (cos 6 + i sen 6) = ..!._ (cos 6 + i sen 6) (cos 6' + i sen 6')-1 r' (cos 6' + i sen 6') r'

(cos 6' + i sen 6')-1 = cos (- 6') + i sen (- 6')

y de acuerdo a la regla establecida para la multiplicacin:

_::i_ = ..!._ [cos (6 - 6') + i sen (6 - 6')]. B r'

Por lo tanto: el mdulo del cociente es igual al cociente de los mdulos y el argumento a la diferenci'.a de argumentos del dividendo y del divisor.


Problemas

Hallar la expresin general para los siguientes casos lSiendo n entero):

2. [1 + -V3 +i c1-{3)Jn. 3. . (

1 + sen rjJ + i cos rjJ )" 4. [sen 6 - sen rjJ + i (cos 6 - cos rjJ ]. 1 + sen rjJ - i cos rjJ /

5. Dado

donde

(1 + xr = Po + P1 x + p2 x2 + ... ,

n po = 1 ; P1 = l ; P = n (n -1) 1.2

son los coeficientes del desarrollo del binomio, y tomando x = i, demostrar que:

1 2n n '11: Po - p~ + P - . . . = 2 cos --

4

12n n '11: P1 -p, + P - ... = 2 sen -- .

4

6. Tomando en el mismo desarrollo x = 1; w; w\ siendo

w= -l+i"\}3

2 hallar las sumas

(a) Po + p3 + Ps + (b) P1 + P + P1 + (e) p2 + P + Ps +

Ntese que: 1 + wn + w2n =O, si n no es mltiplo de 3, pero es igual a 3 si n es un mltiplo de 3.

7. Tomando: z = cos 6 + i sen 6 en la identidad

demostrar que:

1-zn 1 + z + z' + ... + zn-1 = ---

1 -z

sen (n -!) 6 1 + 2 cos 6 + 2 cos 2 6 + ... + 2 cos (n -1) 6 = 1 sen 2" 6

cos i 6 - cos (n - i) 6 sen 6 + sen 2 6 + ... + sen (n - 1) 6 = 1

8. Utilizando un mtodo anlogo, demostrar que

cos 6 + cos 3 6 + ... + cos (2 n - 1) 6 =

sen 6 +sen 3 6 + ... +sen (2 n -1) 6 =

2sen2"6

sen 2 n 6 2 sen 6

1-cos2 n 6 2 sen tl

NUMEBOB COMPLEJOS

9. Por medio de la frmula de De Moivre expresar: a) cos 3 en consecuencia R queda determinado sin ambigedad por la raz en-sima positiva de r:

..

R =-{T. Adems los argumentos de nmeros complejos iguales difieren sola-

mente en mltiplos de 2 "' de modo que:

n0=6+2k'lt

siendo k entero. En consecuencia, la expresin que nos da las races X es:

X : e- ( 6 + 2 k'lt . 6 + 2 k-v: ) = v r cos + i sen n n

En esta expresin es k un entero cualquiera, pero el nmero de raices distintas ser slo n. Para obtenerlas basta tomar en esta frmula k = O;


1; 2; ... ; n - l. Porque si k es un entero cualquiera, dividindolo por n y llamando l al re11to, tendremos:

k = nq + l,

donde O ~ l < n, de modo que l ser nno de los nmeros: O; 1; 2; ... n - l. Pero:

6+2h n

por lo tanto: 6 + 2 k'lt'

cos n

6 + 2 k'r. sen

n

6 + 2b: ----+ 2'lt'q,

n

6 + 2 fa cos

n

6+2h =sen

n

lo que demuestra lo enunciado. Por otra parte, las n races obtenidas tomando k = O; 1; 2; ... ; n - 1 son distintas. Suponiendo que para dos valores dados de k -llammoslos k' y k'' - hallamos races iguales, en ese caso ser:

6 + 2 k''lt' 6 + 2 k'' 'lt' 6 + 2 k' 'lt' cos----- cos----- sen

n n n

y esto es posible slo si

6 + 2 k" 7' 6 + 2 k''lt' ----+ 2r.q

n n

siendo q entero; o sea: k" - k' = nq.

6 + 2 k" 'lt' sen

n

Pero k" - k' es numricamente menor que ~- y no puede ser divisible por na menos que sea igual a cero; por lo tanto, k'' y k' no pueden ser dos nmeros diferentes como supusimos.

Por lo tanto todas las races de la ecuacin binmica

xn = r (cos 6 + i sen 6) ' estn dadas por la frmula

X :,-( 6 + 2 h + . = v r cos ---- i sen n

tomando en ella: k =O; 1; 2; ... ; n - l.

Ejemplo t. Resolver la ecuacin. x = -4


Siendo - 4 = 4 (cos 'lt + i sen it)

la frmula para las races es:

_4r.-( 'lt+2k'lt . 'lt+2k'lt) x = v 4 cos + i sen

4 4

Haciendo en ella k =O; l; 2; 3; hallamos que los valores de las cuatro rafees son:

_-( 'lt 'lt) v 2 cos -- + i sen 4" = 1 + i", _-;:;-( 3-r. 3'lt) v ,:, cos -- + i sen -- = - 1 + i, _-( 5'lt 5'lt) v 2 cos -4+isen4 = -1-i, _-( 7'lt 7'lt) v 2 cos -- + i sen -- = 1 - i .

Ejemplo 2. Resolver la ecuacin x3 =-8i.

En forma trigonomtrica ser:

por lo tanto

x = 2 cos + i sen . ( (4 k - 1) 'lt . (4 k - 1) "lt ]

6 6

Haciendo aqu: k =O; l; 2; obtenemos las siguientes races:

( 'lt "lt) -2 cos 6" - i sen (3 = V 3 - i ,

2 ( cos ; + i sen ; ) = 2 i,

( 711: 7'lt) _-;:;-. 2 cos - 6- + i sen {\ = - v 3 - i

Problemas

Expresar en forma trigonomtrica las races de las siguientes ecuaciones:

1. x = -16 i. 2. x' = 1 + i.

3. x = -2i. 4. x3 = 1 -i. 1 -V3

5. x = w w = - - + i -- . ' 2 2

6. x3 = w.


7. x6 = -4. 8. x6 = 1 + {3 + (1 - va) i . 9. Resolver algebraicamente el Problema 4 y hallar las expresiones para cos 15 y

sen 15.

10. En la misma forma, resolver algebraica y trigonomtricamente la ecuacin

1 -va x4 = -+i--. 2 2

11. Resolviendo la ecuacin: x = i, algebraica y trigonomtricamente, demostrar que:

cos 18 = '\}5+2-15 5.------v 176 + 80 "5

; sen 18 = -------5 _____ _

-V 176 + 80 ~ 5 1

Por otra parte (vase el Prrafo 16):

-V5-1 "'110+2\f5 sen 18 = cos 18 =

4 ' 4

Cmo pueden conciliarse estas expresiones?

16. Races de la unidad. - La ecuacin binmica particular

que define las as llamadas races de la unidad de grado n, es de especial interfl. Puesto que en este caso r = 1 y 6 = O, las n races de la unidad .se obtienen de la frmula:

2k1t . 2k1t cos --- + i sen ---

n n '

tomando en ella: k =O; 1; 2; ... ; n - l. Para k = O tenemos una raz evidente: x = 1; y las otras n - 1 races, por la frmula de De Moivre, son las potencias

1; 2; ... ; n - 1,


Para algunos valores particulares de n esta ecuacin puede ser resuelta. fcilmente en forma algebraica; por comparacin de las soluciones algebraicas y trigonomtricas en tales casos, pueden hallarse expre-

siones algebraicas para cos ( 2n'lt' ) y sen ( 2n'lt' ) como se ve en los si-guientes ejemplos:

Ejemplo l. La raz cbica de la unidad

2 'lt 21t w = cos -- + i sen --

3 3

satisface la ecuacin

x 2 +X+ 1 = .

Las races de esta ecuacin halladas algebraicamente son:

1 . ...J3 --+i--.

2 2 ' 1 . ...J3

---i--. 2 2

Puesto que cos (. 2311:) es negativo y sen ( 2

311:) es positivo, ser:

2'1t 2'1t 1 v3 cos - + i sen -- = - - + i--

3 3 2 2 '

por lo tanto:

21t 1 coa--= --

3 2 2'1t ..a

sen--=--3 2 '

como se sabe por trigonometra.

Ejemplo 2. La raz quinta de la unidad

21t 2 'lt w = cos--+isen--

5 5

satisface la ecuacin

x + x3 + x 2 + x + 1 = O .

Esta ecuacin pertenece a la clase de ecuaciones recprocas del tipo

ax' + bx3 + cx2 + bx + a = (l

y toda ecuacin de este tipo puede resolverse de la siguiente manera: Dividida por x. la ecuacin propuesta toma la forma:

1 1 X2 + - + X + - + 1 = .

X 2 X

32

Hacemos ahora:

Entonces ser:


l X+-= y.

X

1 x"+- = y'-2

x'

e y puede hallarse resolviendo la ecuacin de segundo grado

y'+ y-1 =o. cuyas races son:

y= -1+....}5

2 y,=

-1--Vs 2

Queda por determinar x, resolviendo las dos ecuaciones:

lo que es equivalf'nte a:

1 X+ - = Y1

X

1 X+-= y,,

X

x' - Y1X + 1 = O x' - y,x + 1 = O .

Las cuatro races halladas resolviendo estas ecuaciones son:

-1+-VS +i -V10+2....}5 ------

4 4

-1+v5 -i

'110+2....}5 4 4

-1-....}5 +i v10-2v5

4 4

-1-....}5 "10-2 v5 -1

4 4

Ahora bien, cos ( 25

"" ) = cos 72 y sen modo que, necesariamente:

( 2",") u = sen 72' ~un ambos positivos, de w = cos 72 + i sen 72

en consecuencia:

-1+vs cos 72 = -----

4

-1+v5 i.J10+2v5 ----- + i -------

4

sen 72 =

4

.... 10 + 2 .... 5 4

Las otras races, en el orden en que estn escritas, son: w'; w2 ; w3


La divisin de una circunferencia en partes iguales o la construccin de polgonos regulares inscriptos est. vin-culada ntimamente con las raices de la unidad. De hecho, si Ao, A1, ... , An-1 son vrtices de un polgono regular de n lados inscripto en un crculo de radio 1 y se elige OA. o como eje real, los ngulos que OA1,

2'lt 4'lt OA2, OAa, ... forman con l son:--;--; 6'lt - n n -- ... , y en consecuencia, los vrtices Ao,

n

A1, A2, ... estn representados por los nmeros complejos 1; w; w2 ; ,

,,,

donde w = cos ( 2n'lt) + i sen ( 2n'lt). Para construir el polgono es

suficiente trazar la abscisa OP = cos 2

'lt o la parte real de w. La n

construccin con regla y comps ser posible si la expresin algebraica de w resulta compuesta solamente por races cuadradas. De esta ma-nera, la construccin de polgonos regulares requiere la solucin alge-braica de la ecuacin xn = 1 y la investigacin de las condiciones bajo las cuales pueden expresarse sus races por radicales cuadrticos. Esto constituye un importante capitulo del .lgebra llamado ciclotoma. Para la construccin ms conveniente de polgonos de 3, 4, 5, 6 y 10 lados, se remite al lector a los problemas siguientes.

Problemas

1. Demostrar que la raz vigsimo cuarta de la unidad: cos 15 + i sen 15, satisface la ecuacin

x'-x' + 1 =O

y hallar la expresin de las races de esta ecuacin en forma trigonomtrica y algebraica. Ntese que:

x" - 1 = (x12 - 1) (x + 1) (x - x + 1) .

2. Demo3trar que

:.l'lt E= 2 COS -- ;

7 4 'lt

E2 = 2 COS--; 7

son races de la ecuacin cbica y+ y - 2 y - 1 = O.

6'lt e,= 2cos 7 ,

34 TEORIA DE ECUACIOSES

Su GESTIN: Las races sptimas de la unidad satisfacen la ecuacin

xs + x5 + x4 + x3 + x' + x + 1 = O 1

Divdase por x3 y hgase x + - = y. X

3. Demostrar que 2?t

e1 = 2 cos -- 4"' e,= 2 cos---9

8"' e,= 2cos --

9 9

son races de la ecuacin cbica y3 - 3 y + 1 = O.

SuaE8TlN: Las races novenas de Ja unidad que no son races cbicas de la unidad satisfacen la ecuacin: x6 + x3 + 1 = O.

4. Siendo

r = cos 24 + i sen 24,

"'=

1 - '\/3 --+i--2 2 ,

i+v . v10+2v e= - +i 4 4

demostrar que r = e2 w-1 y expresar cos 24 y sen 24 en forma algebraica.

5. Para dividir una circunferencia en 3, 4, 6, 8 partes iguales puede usarse la siguiente

X

t ' r ~--

o

y

construccin: Por breveaad, un crculo de centro C y ra-dio R se designar C (R). Los puntos B, C, D, E son in-tersecciones del crculo O ( OA) con los crculos A (OA), B (OA), C (OA), D (OA). El punto X es la interseccin de los crculos A (AC) y D (AC). El punto Y se obtiene como interseccin de X (OA) y O (OA). Demostrar que AC, OX, AB, AY son los lados de polgonos regulares de 3, 4, 6, 8 lados inscriptos en O (OA).

6. Conservando las notaciones del problema anterior, descrbanse arcos C (OX) y E (OX) que se interceptan en Z. Descrbase Z (OA) que intercepta a O (OA) en T.

Demustrese que AT y OZ son, respectivamente, la-dos del pentgono y el decgono regulares inscriptos en O (OA).

7. Idese una construccin del polgono regular de 15 lados.

17. Significado geomtrico de las operaciones con nmeros complejos. - La representacin geomtrica de los nmeros complejos explicada en el Prrafo 11 abre el camino para las aplicaciones de los nmeros complejos a la geometra. Es evidente que una construccin geomtrica resultar como una imagen de cierta operacin realizada


con nmeros complejos. Aqui nos concretaremos slo al examen de las construcciones que corresponden a la adicin, sustraccin, multiplica-cin y divisin de nmeros complejos, junto a unas pocas cuestio-nes adicionales que pueden ser tiles en la so-lucin de los problemas siguientes. Los nmeros complejos estn representados por puntos o por vectores, todos con su origen en O. En lo que sigue ser necesario considerar vectores con or-genes arbitrarios para explicar la nocin de Bquivalencia o igualdad de vectores. Dos vec-

~ ~ tores AB y CD con orgenes en A y C, res-pectivamente, se llaman equipolentes si se encuentran en la misma recta o en rectas paralelas y tienen el mismo sentido y la mISma

~ ~ longitud. En la figura, AB y CD son vectores equipolentes. Uniendo los -0rgenes y los extremos de vectores equipolentes, en general se obtiene un paralelogramo. La suma de varios vectores, por ejemplo de los tres vectores:

~ ~ ~ a = AB b = CD ; e = EF,

se efecta de la siguiente manera: En el extremo B de a, colquese el ~

vector BG con el origen en By Pquipolente con b; tmese G como origen ~

y constryase el vector GH equipolente con ~

c. Entonces, el vector AH -o uno equipo-lente - es, por definicin, la suma de los vectores a + b t- c. De la figura se despren-de que la proyeccin de la suma de vectores sobre unf! semirrecta l es igual a la suma

36 TEORIA DE ECUACIONES -----+- -----+- --+-

tor Oz2 al Oz1; el vector resultante O~ ser su suma, y el punto ~ re-presentar el nmero complejo z1 +- Z2. De hecho, s1

z1 = a1 + b1 ; z2 = a2 + b2 --+ --+-

las proyecciones de Oz1 y Oz2 sobre los ejes real e imaginario, sern respectivamente:

a1; a2 ; b1; b2; --+-

por lo tanto, las proyecciones de o~ son:

a1 + a2 y b1 + b2

y en consecuencia:

Ntese que la figura Oz1 ~ z2, en general es un paralelogramo, siempre-que los puntos O, z1, z2 no estn alineados. En el tringulo Oz1 ~ el lado

O~ es menor que la suma de los otros dos, lo que conduce inmediata-mente a la desigualdad

\ Z + Z2 ! < \ Z \ + \ Z2 \ siempre que los puntos O, z1, z2 no estn alineados. La misma desigualdad vale aun cuando O, z1, z2 estn alineados, si z1 y z2 se encuentran en semirrectas opuestas con respecto a O; si se encuentran en la misma. semirrecta, entonces:

\ Z + Z2 \ = \ Z \ + \ Z2 \ Ahora bien, si z1 y z2 se encuentran en la misma semirrecta que parte

de O, los argumentos de los nmeros complejos z1 y z2 son iguales y el

z,

cociente es un nmero real positivo; recpro-camente, en el caso en que los argumentos de z1 y z2 sean iguales, O, z1, z2 estn alineados y z1 y z2 se encuentran en una misma semirrecta. respecto de O. As, por medio de la represen-tacin geomtrica hemos demostrado nueva-mente y de manera intuitiva la proposicin

establecida en el Prrafo 9. La construccin geomtrica para la su-ma de dos nmeros complejos conduce inmediatamente a la corres-pondiente construccin de la diferencia z2 - z1. Esta diferencia est representada por el cuarto vrtice del paralelogramo, tres vrtices con-secutivos del cual son: O, z1, Z2. Evidentemente, el vector que re pre-

--+-senta la diferencia z2 - z1 es equipolente con el vector z1 z2.


La regla para la multiplicacin de nmeros complejos en forma trigo-nomtrica nos proporciona una construccin simple para el producto de dos nmeros complejos z1 y z2. Antes de explicar esta construccin es necesario explicar lo que se quiere significar por sentido al referirnos. al tringulo ABC cuyos vrtices se toman en el orden indicado. Yendo-de A a B, de B a C y volviendo nuevamente de C a A, el interior del tringulo puede quedar situado ya a la izquierda, ya a la derecha; en el primer caso decimos que tiene sentido positivo; en el ltimo, que--tiene sentido negativo. As, el tringulo ABC representado en la figura.. tiene sentido positivo; pero el mismo tringulo, si sus vrticP,s se toman en el orden ACB, ten- e dr sentido negativo. Uniendo el punto z1 con O p y 1, se forma el tringulo Olz1. Tomando ahora A Oz2 como lado correspondiente a 01, construimos otro tringulo Oz, ~ semejante a Olz, es decir, con el mismo sentido y ngulo& iguales en los ~-~1,.,, vrtices correspondientes. Si tf>1 y cp2 son los n-

~ -gulos entre el eje real y los vectores Oz1 y Oz2, -por construccin el ngulo entre el eje real y O~ es

cf>1 + cf>2. El argumento de ~es: cf>1 + cf>2. Adems, designando con p, r1, r2 las distancias de O a ~. z1, z2 respectivamente, se desprende de la semejanza de los tringulos: Olz1 y Oz2 ~ que:

en cons~cuenc1a p = r1 r2 es el mdulo de ~. Por lo tanto, ~ representa al producto z1 z2. Puede efectuarse una construccin similar para re- presentar el cociente zi/z2.

Sean los nmeros complejos z1, z2, ~' representados por tres puntos.

o

alineados. En este caso, como puede verse en la. figura, los puntos O, ~ - z1, z2 - z1 estn tam-bin alineados, y por lo tanto los argumentos de

~ - z1 y z2 - z1 o son iguales o difieren en 'lt. En z consecuencia,

o sea

~ = (1 - A) Z + A Z21 donde A. es un nlimero real. Es evidente que la recproca tambin es verdad; es decir, si ). es real, los puntos ~. z1, z2 estn alineados. El n-

38 TEORI.A DE ECUACIONES

mero ).. en la frmula precedente tiene un significado simple. Desig--+

nando por r la distancia entre z1 y z2 y por p el segmento z1 r,, tomado ~

positiva o negativamente segn que la direccin de z1 r, coincida con la --+

direccin z1 z2 o sea opuesta a .~lla, evidentemente ).. es igual a la razn 1

r/ p. En particular, si f.. = 2, el punto r, es el punto medio del segmento z1 z.2, y est representado por el nmero complejo

r. = Z + Z2 2

El vector correspondiente a i (z2 - z1) es perpendicular a la recta l que une z1 y z2; en consecuencia, es fcil ver que los nmeros complejos

donde ).. es real, representan puntos de la recta trazada por un punto arbitrario a y perpendicular a l.

Problemas

1. Construir un tringulo XYZ, dados los puntos medios P, Q, R de los lados XY, YZ, ZX.

SUGESTIN: Sean x, y, z nmeros complejos que representen los vrtices desconocidos X, Y, Z, y p, q, r nmeros complejos que representen P, Q, R. Entonces: x +y = 2 p; y + z = 2 q; z + x = 2 r. Por simplicidad de construccin el origen puede colocarse por ejemplo, en P.

2. Construir un cuadriltero XYZT dados los puntos medios P, Q, R, S de los lados XY, YZ, ZT, TX. El problema slo es posible si P, Q, R, S satisfacen una cierta condicin. Cul es el significado geomtrico de esta condicin? Sat;sfecha esta condicin, el pro-blema es indeterminado.

3. Dados los puntos medios de cinco de los lados de un exgono, cmo puede ubicarse el sexto para que existan exgonos tales que los puntos medios de sus lados sean los dados?

4. Dados los puntos P, Q, R tales que dividan los lados del tringulo XYZ en segmentos cuyas razones sean:

XP 1 PY 1

YQ QZ

2 1

ZR 1 RX 2

construir el tringulo. Discutir la condicin para la existencia de un verdadero trin gulo.

5. Los nmeros complejos z = a + (b - a) t, donde a y b son complejos dados y t un nmero real variable, representan puntos de la recta ab. Demostrar qut> las rectas

z = a + (b - a) t ; z = e + (d - e) t'


son paralelas si

( b-a) I --- =0, d-c y perpendiculares si

(b-a) R -- =O. d-c 6. Cmo puede hallarse el punto de interseccin de las rectas del problema 5 si no soDo

paralelas? El valor de t para el punto de interseccin est dado por:

tl -- +I -- =0. (b-a) (-e) d-c d-c 7. Si z1, z2, zs representan los vrtices de un tringulo, demostrar que las medianas se

cortan en un punto y hallar el nmero complejo correspondiente a este punto. 8. Los nmeros complejos zi. z2, za representan los vrtices de un tringulo Z1Z2Za de

sentido positivo. Si b, e son las longitudes de los lados Z1Z2, Z2Z3, ZZ3 y A, B, e los ngulos opuestos, demostrar que

z1-z2 a --- = -(cosC +isenC)

Za -Z2 b Z3-Z C --- = -(cosA -isenA).

b Z3 -z2

Adems, utilizando la id~ntidad (z1 - z2) + (z2 - za) + (za - z1) ='0

demostrar que sen A sen B sene

a b e y

b = a cos C + e cos A; etc.

* 9. La media geomtrica ~-;;;; de los nmeros complejos de la siguiente manera: Dibjese la bisectriz l del ngulo

----+- --+-comprendido entre Oz1 y Oz2 y por O la recta l' perpendicu -lar a l. Tmese za simtricamente a z2 con respecto a l', y dibje!'e un crculo que pase por los puntos zi. z2, za y corte a l en los puntos ~ y - ~- Estos dos puntos representan dos valores de la media geomtrica.

* 10. Con base AB = 2 a construir un tringulo ABX co-nociendo el producto de los lados AX. BX = m2 y la dife-rencia de los ngulos < ABX - < BAX = a.

SUGESTIN: Tmese la base AB como eje real, el origen O en su punto medio, y sea X el nmero complejo que repre-senta el vrtice incgnito X. Las condiciones del problema nos llevan a la ecuacin

x = a2 - m2 (cosa -i sen a). o bien

La construccin de X surge del Problema 9.

z1 y z2 puede construirse

c.

lL A O B

CAPITULO 11

POLINOMIOS DE UNA V ARIA BLE

l. Las funciones racionales enteras o polinomios. - Una expre-sin de la forma

en la cual ao, a1, ... , an son nmeros dados (reales o imaginarios) y la x es la variable, se llama funcin racional entera de x o pol1"nomio en x. Las constantes ao, a1, ... , an se llaman coeficientes, y los monomios se-parados:

ao xn ; a1 xn-1 ; . . . ; an

.se denominan trminos del polinomio. Si a0 ,=O, el polinomio es de grado n y a0 xn es su trmino principal. Los trminos con coeficientes iguales a -cero usualmente se omiten; mientras que, por otra parte, antes del trmino principal pueden agregarse tantos trminos con coeficientes Cero como se desee y todos los polinomios as obtenidos son considerados idnticos. Aun cuando estrictamente hablando, un polinomio debe contener la variable x, sin embargo, por una cuestin de conveniencia, es costumbre considerar a las constantes distintas de cero como poli-nomios de grado cero. Un polinomio cuyos coeficientes son todos iguales a cero, se llama idnticamente nulo y es reemplazado por cero. Al poli-nomio idnticamente nulo no se le atribuye grado. Dos polinomios se consideran iguales si son idnticos trmino a trmino; es decir, la igualdad:

jmplica que: = bo ; a1 = bi ; ... ; " = bn .

A menudo es conveniente introducir en la notacin de polinomios el uso de signos de funcin: f (x); g (x); e/ (x): etc.; y an omitir la x, escribiendo simplemente: f, g, etc., si no puede darse lugar a dudas procediendo asi. El resultado de la sustitucin de un nmero a en lugar 40

POLINOMIOS DE UN V RIABLE 41

.de x, en un polinomio f (x), es un nmero llamado valor numrico

.de dicho polinomio para x = a y se indica con f (a). Asi, para los polinomios:

f (x) = 3 x3 - x + 2, g (x) = 4 x' - x + 2 x - 1, h (x) = 4

42 TEORIA DE ECCACIOKES

de manera que el producto resulta:

x 4 + O x 3 + x 2 + O x + 1 = x 4 + x 2 + l.

Como otro ejemplo, multipliquemos: x5 + x3 - 2 x 2 + 3 por 2 x4 - 3 x3 + 4 x 2 - l.

En este ejemplo el clculo se dispone como sigue: 1 o 1 -2 o 3 X 2 -3 4 o -1 2 o 2 -4 o 6

-3 o -3 6 o 9 4 o 4 -8 o 12

-1 o 1 2 o -3 2 -3 6 -7 9 -2 -10 14 o -3

de manera que el producto es:

2 x 9 - 3 x 8 + 6 x7 - 7 x 6 + 9 x5 - 2 x 4 - 10 x3 + 14 x 2 - 3.

Uno de los renglones estaba compuesto de ceros, por lo que es obvio que poda omitirse.

Debe agregarse una advertencia ms de importancia terica: Si dos polinomios no idnticamente nulos f (x) y g (x) tienen trminos prm-cipales a 0 xn y b0 xm, el trmino principal del producto ser

y el coeficiente difiere de cero; por lo tanto f (x). g (x) es un polinomio no idnticamente nulo. En consecuencia, si

f(x) g(x) =O

uno de los factores debe ser un polinomio idnticamente nulo.

Problemas

Multiplquense por el mtodo de los coeficientes separados:

t. x4 + x3 + x' + x + 1 por x 4 - x3 + x' - x + l.

2. 2 x - 3 x + x - 1 por x3 + 3 x2 - l.

3. x4 + 4 x3 - 5 x' - 2 por x4 - 4 x3 - 5 x' -2.

4. x 5 - 3 x + x3 - x + 1 por 3 x 3 + 7 x' - x + l.

3. Divisin de polinomios. - La divisin de polinomios requiere nna explicacin ms detallada. Sean:

J (x) = a0 xn + a1 xn-l + + an g(x)=boxm+bixm-l+ +bn

POLINOMIOS DE UN A V AJUABLE 43

dos polinomios de grados n y m respectivamente, por lo que ao "' O y b0 ~ O, y supngase que n ~ m. Eligiendo en forma apropiada una constante co se puede obtener un polinomio:

f (x) - Co xn-m g (x) = Ji (x)

que si no es idnticamente nulo, ser de grado n1 < n; para sto es suficiente tomar

Co =-. bo

Mientras sea n1 ~ m puede encontrarse una constante c1 tal que:

!1 (x) - c1 xni-m g (x) = f2 (x)

que si no es idnticamente nulo, ser de grado n~ < n1. Si n2 ~ m, puede repetirse el mismo proceso. Ahora, los grados de los restos par-ales f1 (x); f 2 (x); ... forman una sucesin decreciente, de manera que habr algn primer resto parcial k+t (x) que, o bien es idnticamente nulo, o es de grado n1o+1 < m. Reemplazando f1 (x) ; f2 (x); ... ; f1c (x) por su valor, tomado de las identidades:

f (x) - Co xn-m g (x) = f1 (x) fi (x) - c1xn-mg (x) = f2 (x)

y poniendo por brevedad:

obtenemos la identidad:

f (x) = g (x) q (x) + r (x) ,

n la cual r (x) es de grado menor que m o es idnticamente nulo. Los polinomios q (x) y r (x) se llaman cociente y resto de la divisin de f (x) por g (x) y se encuentran por el proceso antes descripto, que es esencial-mente igual al que se ensea en los cursos elementales de lgebra.

Igual que en la multiplicacin, en la prctica es ventajoso evitar 1 escribir las potencias de x usando el mtodo de los coeficientes separados. Por ejemplo, dividamos

x8 + x7 + 3 x 4 - 1 por x4 - 3 x3 + 4 x + 1.

Al escribir los coeficientes separados no deben olvidarse los coefi


cientes nulos de los trminos faltantes. La operacin se dispone com sigue:

Dividendo Divisor

1 1 o o 3 o 1 -3 o 4 1

4 o -4 2 o

o o - 1 1 -3 o 4 l 1 4 12 32 82

4 --12 o 16 4 12 - 4 -14 4 o 12 -36 o 48 12 o

32 -14 - 52 - 12 32 -96 o 128

o 32 1

82 - 52 -140 - 31 - 1 82 -246 o 328 82

192 -140 -360 -83 Resto

Por lo tanto el cociente y el resto son:

x4 + 4 x3 + 12 x2 + 32 x + 82, cociente 194 x3 - 140 x 2 - 360 x - 83, resto

e idnticamente:

x 8 + x7 + 3 x4 - 1 = (x4 - 3 x3 + 4 x + 1) (x4 + 4 x3 +

Comente

+ 12x2 + 32x + 82) + 194x3 - 140x2 - 360x - 83

Si el resto de la divisin de f (x) por g (x) es cero, es decir, si f (x) = g (x) q (x)

donde q (x) es un polinomio, se dice que f (x) es divisible por g (x) o que g (x) es un divisor de f (x). Lgicamente, ningn polinomio que no sea idnticamente nulo puede dividirse por otro de grado mayor. De esto puede inferirse que en una identidad de la forma:

f (x) = g (x) q1 (x) + r1 (x)

donde q1 (x) y r1 (x) son polinomios y r1 (x) es, o bien cero, o tiene grado menor que g (x), q1 (x) y r1 (x) coinciden con el cociente y el resto obte-nidos por divisin. En efecto, si

f(x) =g(x)q1(x)+r1(x) =g(x)q(x)+r(x) entonces

g (x) [q1 (x) - q (x)] = r (x) - r1 (x)

que demuestra que r (x) - r1 (x) es diYisible por g (x). Es imposible que r (x) - r1 (x) no sea idnticamente nulo, pues en ese caso su grado

POLINOMIOS DE UNA VABI.A.BLE 45

sera menor que el de g (x) y no podra ser divisible por g (x). Por lo tanto r1 (x) = /1' (x) y tambin qi (x) = q (x).

La simple advertencia. siguiente ser necesaria. ms adelante: Si dos polinomios f y fi son divisibles por g, entonces para. polinomios l y l1, -el polinomio '

lf + lifi ser divisible por g. En efecto, por hiptesil"

f = gq ; !1 = gq1 '

donde q y q1 son polinomios; por lo tanto:

lf + lif1 = g ( lq + Z1 q1) -es divsiible por g.

Problemas

Divdase por el mtodo de los coeficiente separados

1. x1 + 3 x6 - 2 x + 3 x2 - x + 1 por x' - x + l. 2. 2 x1 - 3 x6 + xs - 3 x' + 5 x3 - 4 x2 + 2 x - 1 por 2 x3 - 3 x2 + x - l.

3. x6 - 3 x2 + 6 x - 1 por x2 + x + l.

4. x1 + x 6 + 1 por x 2 + x + l. 5. (x + 1)7 - xT - 1 por .x2 + x + 1) 2

4. El teorema del resto. - El resto de la divisin de un polinomio por un binomio x -- e, donde e es un nmero arbitrario, puede encon-trarse sin realizar la divisin, por medio del siguiente teorema, que es importante a pesar de su simplicidad:

Teorema del resto. - El resto obtenido en la divisin de f (x) por (x - e) es igual al valor numrico del polinomio f (x) para x = e, es decir, a f (e).

DEMOSTRACIN: Por ser el divisor de primer grado, el resto ser una Constante r. Llamando al cociente q (x), tenemof!! la identidad:

J (x) = (x - e) q (x) + r.

Al sustituir x por e en esta identidad, debemos obtener nmeros iguales. Ahor!l, por ser r una constante, no est afectada por esta sustitucin y el valor del segundo miembro para x = e ser

(e - e) q (e) + r = r

46 TEORIA DE ECUACIO"SES

mientras que el primer miembro es f (e); por lo tanto: r = f (e)

lo que significa que, idnticamente en x, es:

f(x) = (x-c) q(x) +J(c)

Se deduce de este teorema que f (x) es diYisible por (x - e) slo s1 f(c) =O.

Ejemplo 1. Dt'mostrar que f (x) = :r 3 + x' - 5 x + 3 PS divisible por x + 3. En este caso e = - 3, y por lo tanto knl'mos que calcular

f (- 3) = - 27 + \) + 15 + 3 = o por lo tanto f (.e) PS divisible por :r + 3.

Ejemplo 2. Demostrar que xn - en es divisible por x - c. Esto es cierto puesto que e" - en = O; d cociente, hallado por divisin ordinaria, es:

Ejemplo 3. En qu condiciones xn - en 0s divisible por x +e? En este caso debe sustituirsP x = - e en xn + en; Pl resultado de la sustitucin es:

(- c)n +e" =e"'+ e" = :2 e" si n PS par,

(- cr +e" = - e"+ e" =u si n es impar. Por lo tanto .Tn + e" es divisible por x + e (para e 7"' O) ;;]o si n es impar, y para un n

par el resto despus de dividir es 2 e".

Problemas

Sin dectuar la divisi{m demostrar que: 1. x + 3 x3 + 3 x' + 3 x + 2 es divisible por x + 2.

2. x5 - 3 x + x 2 - 2 x - 3 es divisible por x - 3.

3. Si a y b son distintos y f (.e) es, separadamente, divisible por x - a y x - b demos-trar que es divisible por (x - a) (x - b).

Sin efectuar la divisin demostrar que:

4. 2 x4 - 7 x 3 - 2 x' + 13 x + 6 es divisible por x' - 5 x + 6.

5. 2 x 6 + 2 x5 + x + 2 x3 + x' + 2 cs divisible por x' + l.

6. x6 + 4 x + 3 x + 2 x3 + x + 1 es divisible por x' + x + l.

7. Demostrar que (x + 1 )" - xn - 1 es divisible por x2 + x + 1 slo si n es un n-mern impar no divisible por 3.

POLINOMIOS DE UNA VARIABLE 47

5. Regla de Ruffini. - El cociente de la divisin por (x - c) puede


= bo que se multiplica por e, el producto se escribe en el segundo-rengln y se suma a a1; la suma b1 se escribe en el tercer rengln. Nue-vamente, b1 se multiplica por e, el producto se escribe en la segunda l-nea y se suma a a2; la suma se sita en el tercer rengln, y el mismo procedimiento se repite hasta que, en la ltima columna, se encuentra el resto r.

Las expresiones ind2pendientes para bo, b1, ... , bn-1, r que se obtienen por sustituciones sucesivas son:

bo = ao ; b1 = ao e + a1 ; b2 = ao c2 + a1 e + a2 bn-1 = cn-l + a cn-Z + . . . + n-1

y r = en + a cn-l + a2 cn-2 + ... + an = f (e)

que es una segunda comprobacin del teorema del resto. Considerando la sucesin de polinomios:

fo = ao ; f1 = xfo + a1 ; f2 = xf1 + a2 ; ... ; f n (x) = xfn-1 (x) + an

es evidente que: f; (x) x' + a1 xi-l + . . . + a; .

Por lo tanto b; = f; (e) i = O, 1, 2, ... , i - 1,

y f; (x) = (x - e) [fo (e) x1- 1 +Ji (e) xi-2 + ... + .fi-1 (e)]+ f; (e).

El proceso precedentemente descripto para la obtencin del cociente y el resto cuando se divide f (x) por (x - e) se conoce como Regla de Ruffini. Siendo el resto f (e), la regla de Ruffini nos provee un medio conveniente para calcular el valor numrico de un polinomio para un valor dado de la variable.

Ejemplo 1. Encontrar el cociente y el resto de la divisin de 3 x6 - 7 xs + 5 x - x' - 6 x - 8 por x + 2 .

Los clculos necesarios se disponen como sigue:

-2) 3 - 7 5 o - 6 -8 - 6 26 -62 124 -246 504

3 -13 31 -62 123 -252 496

Luego el cociente es:

3 x5 - 13 x + 31 x3 - 62 x2 + 123 x - 252

POL!NOMIOS DE UNA V.A.BU.BLE 49

y el resto T = 496.

Ejemplo 2. Dividir 5 x5 - 7 x3 + 6 x2 - 2 x + 4 por x - l .

En este caso el proceso por la regla de RP'fini se reduce a sumas y puede disponerae en dos renglones, como se indica:

1) 5 5

o o

-7 6 4

-2 -2 2

de manera que el cociente es:

5 x' + 5 x 3 - 2 x 2 + 4 x + 2 y el resto

T = 6.

Una simplificacin similar ocurre cuando e proceso consiste nicamente en restas.

Problemas

4 6

- 1, en cuyo caso el

Mediante la regla de Ruffini determnese el cociente y el resto de dividir:

1. 2 x 4 -6 x3 + 7 x' -5 x + 1 por x + 2.

2. -x4 + 7 x3 -4 x 2 por x -3.

3. 6 x3 - 10 x' + 5 x + 3 por x - 1,2.

4. 10 x3 - 2 x2 + 3 x - 1 por 2 x - 3.

5. x 4 + x3 - x' + 1 por 3 x + 2. 6. (n -.1) xn - nxn-t + 1 por (x -1)2 7. Calcular f (0,75), siendo f (x) = - 3 x3 + 6 x 2 - x +l. 8. Calcular f (-0,3), siendo f (x) = - 2 x4 + 6 x3 -x' + 2.

6. Regla de Horner. - Dado que segn el desarrollo de Newtonr toda potencia

X"'= [e+ (x-c)]"' =e"'+ mcm-1(x-c) + m (n - 1)

...... cm-2 (x - c)2 + ... 1.2

puede expresarse en potencias de x - e, siendo e un nmero arbitrario,. cualquier polinomio puede desarrollarse en forma similar. Sea

f (x) = Ao + A1 (x - e) + A2 (x - c) 2 + ... + An (x - c)n.

50 T.EORIA DE ECUACIONES

Los coeficientes de este desarrollo pueden determinarse en forma muy ~onveniente por aplicacin repetida de la regla de Ruffini. En efecto, escribiendo

f (x)=Ao+(x-c)fi(x) ; fi(x)=A1+A2 (x-c)+ .. . +An(x-c)n-l f1 (x) = A1 +(x-c) f2 (x) ; f2 (x) = A 2 + ... +An (x-c)n-z

es evidente que Ao se obtiene como resto de la divisin de f (x) por (x - e); A1 como resto de la divisin del segundo coeficiente f2 (x) por x - e, etc. La disposicin de este procedimiento conocido como Regla de Horner se entiende mejor mediante ejemplos.

Ejemplo l. Desarrllese segn las potencias de x - 1:

f (x) = 4 x 6 - 6 x4 + 3 x3 + x2 - x - 1

En este caso la Regla de Horner se simplifica, reducindose a sumas

1) 4 -6 3 1 -1 -1 4 -2 1 2 1 o 4 2 3 5 6 4 6 9 14 4 10 19 4 14 4

Los nmeros subrayados, ledos de derecha a izquierda, representan los coeficien-i;es A 0 , Ai, A,, ... , An. Luego:

f (x) =O + 6 (x - 1) + 14 (x - 1)2 + 19 (x -1)3 + 14 (x -1)4 + 4 (x -1)6.

Ejemplo 2. Desarrllese f(x) = x4 -6x2 +1

.en potencias de x + 2. El esquema de clculo de la Regla de Horner es, en este caso:

-2) 1 o -6 o 1 -2 4 4 -8

1 -2 -2 4 -7 -2 8 -12

1 -4 6 -8 -2 12

1 -6 18 -2

1 -8 1


Por lo tanto:

x' - 6 x2 + 1 = - 7 - 8 (x + 2) + 18 (x + 2)1 - 8 (x + 2)1 + (x + 2)' es el desarrollo pedido.

Problemas

Desarrllese:

1. z5 - 2 en potencias de x - l.

2. xs - 6 x + x2 -1 en potencias de x +l. 3. - 4 z6 + 2 z& - x + 1 en potencias de x + 2.

4. 3 x + 6 x3 + x2 - 1 en potencias de x - 0,3.

7. Frmula de Taylor. - Los coeficientes del desarrollo de un poli-nomio en potencias de x - e, dependen de una manera simple, de los valores numricos de este polinomio y de sus derivadas en x = c. Mien-tras la nocin de derivada de una funcin, en general, est intimamente ligada a la idea de lmite y por lo tanto, pertenece con ms propiedad al clculo diferencial, en el caso especial de los polinomios, las derivadas pueden definirse algebraicamente sin referencia alguna a limites. La derivada f' (x) de un polinomio f (x) puede definirse como el coeficiente de la primera potencia de h en el desarrollo de f (x + h) en potencias crecientes de una variable auxiliar h. De esta definicin y del desarrollo del binomio:

(x -e + h)" = (x - e)"+ n (x - c)n-l h + ...

se deduce inmediatamente que la derivada de (x - e)" es n (x -c)"-1 y, .en particular, que nx"-1 es la derivada de x". An ms, es evidente que multiplicando un polinomio por una constante, su derivada queda multiplicada por esa constante y que la derivada de la suma de poli-nomios es igual a la suma de sus derivadas. De esto es fcil sacar la. conclusin de que la derivada de

f (x) = aox" + a1xn-l + ... + an-1X +a .. , es

f' (x) = nao xn-l + (n - 1) a1 xn-2 + ... + an-1 Puesto que f' (x) es un polinomio, podemos considerar su derivada,.

que se llama segunda derivada!" (x), de J(x). En forma similar, la. derivada de la segunda derivada es la derivada tercera, f"' (x), de J (x),. etctera.

Ahora, tmese el desarrollo

f (x) = Ao + A1 (x - e) + A2 (x - c) 2 + ... +A .. (x - e)"


y frmense las sucesivas derivadas de ambos miembros:

J' (x) = Ai + 2 A2 (x - e) + 3 As (x - c) 2 + ... + n An (x - c)n-1 f" (x) =2A 2 +3.2.A3(x-c)+ ... +n(n-l)An(x-c)n-2 } 111 (x) = 3.2.As + 4.3.2.A4 (x - e)+

Tomando aqu x = e, encontramos

Ao = f (e) ; A1 = J' (e) f" (e) A2 =---1. 2

y, en general :


tienen los divisores comunec

x + 1 ; x + 2 ; (x + 1) (x + 2) = x2 + 3 x + 2 . De todos los divisores comunes de dos polinomios, se asigna especial

inters al divisor comn de grado mximo. Esta expresin se denomina mximo comn divisor. Veremos en seguida que el mximo comn divisor es esencialmente nico, y que puede encontrarse por una serie de opera-ciones regulares. Sean dos polinomios dados f y /1. Dividiendo f por /1, sea q2 el coeficiente y f2 el resto tal que

f = /1 q1 + /2. Si f2 no es un polinomio idnticamente nulo, podremos continuar

dividiendo / 1 por /2, obteniendo un cociente q2 y el resto fa tal que fi = /2 q2 +fa

Nuevamente, si fa no es idnticamente nulo, la divisin de !2 por /3 lleva a otra identidad

Desde que el grado de los polinomios /1; f2; fa; ... disminuye y las operaciones pueden continuarse mientras el ltimo resto obtenido no sea un polinomio idnticamente nulo, debemos llegar a un resto f, que divida exactamente al resto precedente, de manera que tendremos r identidades:

f = f1 q1 + 2 /1 = f2q2 +fa

fr-2 = fr-1 qr-1 + fr fr-1 = f,q,

De estas identidades puede inferirse: primero: que f, es un divisor -comn de f y f1; y segundo: que cualquier divisor de estos polinomios divide a f,. Para demostrar el primer punto observamos que f, divide a .f r-1, por lo tanto divide tambin a

fr-2 = fr-1 qr-1 + fr Nuevamente, desde que f, divide a fr-1 y fr-2 dividir a /r-3 y conti-

nuando de la misma manera, podemos deducir finalmente que f, divide a f Y f1.

Para demostrar el segundo punto, supngase que d divide a f y fi. Entonces, como se puede ver de la identidad

/2 = f - f1 q'

54 T.EORIA DE ECUACIONES

d dividir a f 1 y fz. En la misma forma, la identidad fa = f1 - fzq2

demuestra que d divide a fz y fa; continuando el mismo razonamiento, conclumos que d divide a fr-1 y fr Desde que todo divisor comn de f y f1 divide a fr, ninguno de ellos puede ser de mayor grado que fr, por lo tanto, fr es un divisor comn de grado mximo; y, si d es otro divisor comn del mismo grado, divide a fr y el cociente f'S una constante. Luego, hay infinitos divisorns comunes de f y f1 de grado mximo, pero todos ello:-; son de la forma

cf r donde e es una constante arbitraria. En cuestiones de divisibilidad, los polinomios que difieren nicamente en un factor constante, no pueden ser considerados como esencialmente distintos. En este sentido hay un nico mximo comn divisor, que puede ser el polinomio fr, determina-do de acuerdo al algoritmo descripto anteriormente, o bien cfr, donde la constante e se elige de manera de tener el resultado ms simple.

Puede suceder que el mismo fr sea una constante en este caso los polinomios no tienen divisores comunes y se denominan polinomios sin divisores comunes o polinomios primos entre s. El procedimiento de divisiones sucesivas por medio del cual se determina el mximo comn divisor es similar al algoritmo de Euclides que se usa en aritmtica para encontrar d mximo comn divisor de dos, enteros. Por analoga se llama algoritmo de EucEdcs aplicado a los polinomios.

Ejem,lo 1. Encontrar el mximo comn divisor de f = z" + 2 x" + x3 + 3 x' + 3 X+ 2

y f1 = x4 + 4 x3 + 4 X2 - X - 2

El primer paso en el algoritmo de Euclides es dividir f por fi. La divisin se rea-liza con los coeficientes separados como sig

teoria de las ecuaciones j. v. ·uspensky profesor de matematicas de la universidad de stanford

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