Teoría de la señal: Fundamentos de señales óptica

Prof. María L. Calvo

Clase del 23 y 24 de abril de 2012

Definición• ¿Qué entendemos por “Tratamiento de señales” ?• Operaciones lógicas: suma, resta, multiplicación,

división.• Se pueden realizar ópticamente.• Se requieren unas condiciones iniciales para la

generación de la señal óptica.• Hay etapas subsiguientes de: • 1) análisis • 2) tratamiento• 3) procesado• 4) detección • 5) implementación en otros sistemas.

Formalismo matemático

• ¿Qué es una señal óptica?• Naturaleza electromagnética• Caracterización• Parámetros espacio-temporales• ¿Podemos caracterizar la señal en

espacio y tiempo conjuntamente?• Si, pero necesitamos un formalismo

particular: La distribución de Wigner

Energía del campo electromagnético: Intensidad óptica

• Definimos el vector de Poynting instantáneo (en general complejo):

• El vector de Poynting físico es la parte real de la ec. anterior.• Supondremos que el campo eléctrico es una onda plana

monocromática, armónica en el tiempo, con frecuencia angular w y propagándose en un medio homogéneo que es el vacío:

• Obtenemos un valor instantáneo para la energía transportada.

, , ,t t t S r E r H r

2

, exp

, ,

, ,

o

o

t i t

t t

t t

oE r E r k r

H r n E r

S r E r n

Observable: Campo físico• Para evaluar la ec. anterior tenemos que considerar el campo físico, es decir:

la parte de la onda que es observable o detectable. • Por tanto tenemos que considerar la parte real del campo:

• Obtenemos un valor instantáneo para el observable.

*

2 2

12

cos

, cos

r

r

ro

o

wt

S r t E wt

o

E E E

E E k.r

k.r n.n

Valor promedio• Definimos una operación promedio en el tiempo. En general, si f(t) es una

función arbitraria definimos su promedio temporal:

• Obtenemos un valor promedio para el módulo de la parte real del vector de Poynting:

• Esta es la magnitud que detecta un detector clásico

/ 2

/ 2

1lim ´ ´T

TT

f t f t dtT

21,2

ro

o

S t E

r

Señal espacio-temporal

• U = U(r,t)• Supondremos que el comportamiento espacio-temporal de la señal puede

representarse como producto de dos funciones de variables separadas:

• U = Uo(r)f(t)

• La parte temporal de la señal cumple:

• Decimos que la señal temporal es medible.

0 f t 2

dt

Ejemplos de señales espacio-temporales

• 1.- Señal luminosa definida en la región visible del espectro electromagnético (400-700 nm ) y procesada por el sistema visual humano.

• 2.- Señal radar generada en frecuencias que corresponden a longitudes de onda entre 2,5 cm.(micro ondas, 8 GHz) y 75 cm. (ondas radio, 1 GHz).

• 3.- Señal óptica utilizada en comunicaciones por fibra óptica y generada en frecuencias asociadas al infrarrojo próximo y medio (1m-10m).

• 4.- Señales escalares que también pueden ser tratadas como señales temporales: la voz humana (frecuencia de emisión: 300-3000 Hz (ems), rango del sistema auditivo). Esta señal se genera por las vibraciones mecánicas originadas por las cuerdas vocales como fuente primaria de emisión acústica.

Ejemplos de señales espacio-temporales: transducción

• Utilizando un transductor (o conversor de señal) una señal no-eléctrica: acústica, óptica, temperatura, presión, se puede convertir en otra dependiente del tiempo: señal eléctrica.

• Por ejemplo, se puede generar una corriente eléctrica variable: I(t) , o una señal de voltajevariable:V(t).

Cantidad física no-eléctrica: temperatura, sonido, luz

Señal eléctrica

Transducción visual

• Es un proceso por el cual una señal luminosa genera un impulso neuronal.

• Debemos considerar la estructura de un bastón de la retina.

• La detección de la luz se hace en los discos de la membrana.

• Estos discos contienen miles de moléculas de rodopsina (molécula del fotorreceptor).

cone

rod

Segmento interno (IS)

Segmento externo (OS)

disco

Ejemplo de generación de señal neuronal

Cada estimulo visual genera una respuesta neuronal.

Caracterización de una señal temporal continua

Para caracterizar una señal temporal necesitamos definir un conjunto de parámetros temporales, los cuales puede suponerse que describirán de una forma lo más completa posible las particularidades de cada señal. Al introducir estas definiciones nos fundamentamos en una teoría de la señal más general, no necesariamente vinculada a procesos ópticos, que será convenientemente aplicada y de la cual extraemos unas condiciones generales. Al mismo tiempo introduciremos en dichas definiciones los aspectos relativos a la señal temporal óptica.

• Los parámetros que vamos a estudiar son los siguientes:

• a) Anchura de banda• b) Duración temporal• c) Intervalo de muestreo• d) Número de muestras

• a) Anchura de banda:• Supongamos una señal temporal f(t) , continua e

integrable en todo el dominio temporal: . Definimos su transformada de Fourier directa:

• Análogamente definimos la transformada de Fourier inversa:

• Simbólicamente:

F f t

e2itdt

f t F

e2itd

F TF f t

Imponemos a f(t) la condición de que sea una función de banda limitada: su transformada de Fourier, F(), es de soporte compacto.

•F() está definida en un intervalo finito de frecuencias.

Definimos:

W: Soporte de la función que define su anchura de banda .

La frecuencia para la cual F() se hace cero es la frecuencia de corte.F(): Función que filtra o elimina todas las frecuencias:

Se dice entonces que es un filtro de paso bajo: Sólo contienefrecuencias en un intervalo alrededor de la frecuencia cero.

Todas aquellas frecuencias cuyo valor es mayor que la frecuencia decorte no son procesadas por el sistema. Diremos que hay una pérdidade información.

F F ; W 2

0; W 2

c

f(t)

t0

1.0

F()

c c

W

TF

TF-1

W: Anchura de banda

Ejemplo de función de banda limitada

b) Duración temporal• Una señal temporal está generalmente definida en un intervalo temporal finito,

es decir, está acotada temporalmente. • Ello puede ser debido a que se ha generado con un tiempo finito de duración o

bien, por que se ha limitado la duración temporal por algún procedimiento físico.En este caso definimos:

• fT(t) está truncada temporalmente con duración T.

• La intensidad asociada a la señal truncada es:

fT t f t ; T 2 t T 2

0; t T 2

IT f t 2

c) Intervalo de muestreo• Muestreamos una señal mediante una operación de multiplicación algebraica a través de la cual una señal continua f(t) se convierte en una señal discreta.• La recuperación de la señal original se puede obtener mediante una operación de interpolación.• Para que la operación sea óptima se deben de cumplir unas propiedades enunciadas en el teorema de Whittaker-Shannon:“Una función f(t) arbitraría es muestreable y recuperble mediante un proceso de interpolación si su transformada de Fourier es de soporte compacto [ f(t) es de banda limitada]”.• La transformada de Fourier de la función muestreada es:

• Es la frecuencia de muestreo. En el límite: W/2; W: soporte de la TF[f(t)].

*p

M M M Mp

F p F p

M

d) Número de muestras

• Si la señal está truncada con intervalo de duración T y su anchura de banda es W, el número total de muestras que se requiere para presentar exactamente la señal es:

M

TN TWT

• El producto TW es una medida de la complejidad de la señal o contenido de información que posee.

• Por ejemplo, una señal definida en una bajo rango de frecuencias y un tiempo de duración corto contiene baja información con respecto a otra de duración análoga pero definida en un rango de frecuencias más amplio.

Imagen proyectada Imagen muestreada

5 min arc20/20 letra

Ejemplo de muestreo en los conos de la fovea

5 min arc20/5 letra

Imagen proyectada Imagen muestreada

Ejemplo de muestreo de los conos de la fovea

Teorema de muestreo: frecuencia de Nyquist

Muestreado >> Frecuencia espacial

I

0

1

I

0

1

casi 100% transmitido

I

0

1

I

0

1

Transmisión nula

Muestreado = Frecuencia espacial

Frecuencia de Nyquist:Máxima frecuencia espacial que puede ser detectada= ½ frecuencia de muestreo.

Espaciado de los conos en la fovea ~ 120 muestras/deg

Valor de la frecuencia de Nyquist: 60 ciclos/deg (20/10 o 6/3 agudeza)