Otros ttulos de inters

TEORIA DE PLACAS y LAMINAS

porS. Tlmoshenko y Wolnowsky-Krieger

.IN DICE . Flexln de placas rectangulares largas en una super-fjciecilnd'ic~,-'-Fle)(16n pura de placas.-Flexln simtrica de placas circulares. Pequeas deformaciones de placas bajo carga.-Placas rectangulares simplemente apoyadas. -Placas rectangulares con diversas condic[ones ~e borde.~Placas rectangulares contl-nuas.-Placas . sobre cimentacin els.tlca.-Placas de varias for-mas.-Mtodos especiales y aproximados en la teora de placas.-Flexin de placas anls6tropas.-Flexln de placas bajo la acci6n combinada de cargas laterales y fuenas en el plano medio de la placa.-Grandes flechas de las placas.-Deformacin de lminas sin flexin.-Teorfa general de lminas ciHndricas.-Lmlnas con forma de superficie de revolucin cargadas simtricamente res-pecto a su eje.

Tamao: 16 x 24 cm. Encuadernacin: Tela. Nmero de pginas: 624.

DINAMICA SUPERIOR

por S. Tlmoshenko y D. H. Young

INDICE. Dindmica de la portlcula: Ecuacin diferencial del mo-vimiento rectilfneo. Cuadratura grfica. Cuadratura numrica. Movimiento rectilneo en un medio resistente. Vibraciones libres con amortiguamiento viscoso. Oscilaciones forzadas. Integracin numrica. Movimiento armnico plano. Movimiento planetario. Movimiento de un proyectil.-Dinmica de un sistema de partltulas: Principio de la cantidad de movimiento. MovImiento rectlllneo de una masa variable. Choque. Compensacin de una mquina alter-nativa: de un cilindro, multlcilndrica. Energa cintica y trabajo. Clculo de volantes.-Dinmlca de las sistemas vinculados: Ecua- . ciones de los vlnculos. Coordenadas y fuerzas generalizadas. Principio de d'Alembert. Ecuaciones de Lagrange. Principio de Hamilton.-Teoria de Jos oscilaciones pequeas: Oscilaciones libres de ~ sistemas conservativos. Osel latines lineales de dos masas acopladas. Oscilaciones forzadas de sistema con dos grados de libertad. Oscilaciones con amortiguamiento viscoso. Sistema de varios grados de libertad. Amortiguadores de velocidad varia-bles.-Rotacin de un cuerpo "gido o/rededor de un punto fijo: Ecua-ciones del movimiento alrededor de un punto fijo. Movimiento libre de un giroscopio. Momento girosc6pico de un giroscopio simtrico y asimtrico. El comps giroscpico. El pndulo giros-cpico. El estabilizador giroscpico para buques. Estabilizacin de vagn monor,.i!.

Tamao: 16 X i4~~m:Encuadernocin: Tela.

EDICIONES URMO. S. A. Espartero.10.BILBAo-9

TEORIA DE LA

ELASTICIDAD

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2.' EDICION EN ESPAii!OL: 1975

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AP-/TA-

ELAS

s. TIMOSHENKO 'Y J. N. GOOnffiR Profesores de Ingeniera Mecnicu de la Universidad de Stanford

Traducido por

ALBERTO FUENTES PEREZ Licenciado en Ciencias Fsicas Colaborador del Instituto Eduardo Torroja de In Construccin y el Cemento ] eCe de la Seccin de Fsica del Laboratono de Ensayos de la Compaa General de Asfaltos y Portland Asland

URMO. S. A. DE EDICIONES

J DEAJURIAGUERRA IOSILBAD9

Unica traduccin autorizada al castellano de la obra en lengua inglesa The()ry af ~lastl"city Copyright, 1934, by the Unitcd Engineering Trustees, lne. Copyright, 1951; by the McGraw-Hill Book Company, lnc. Nueva York.

Urmo, S. A. de Ediciones J. de AJurlJguerrJ, 10 - BllbJo-9 Hecho el depsito que mJrt.IIJ ley 1968

Impreso en Esp.1ii.l por: Fotocomposlcin: Artes Gr,uicJs GrrJe/mo, S. A. Impresin: Publidisn

Prllltcd 1Il SpJIIl

Depllto legJI: SE-1018-2009 I.S.B.N.978-84-314-0231-0

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Prlogo a la

El notable desarrollo y clasificacin de la teora de la elasticidad y de sus aplicaciones, ocurrido desde que la primera edicin fue escrit;, es reflejado en las numerosas adiciones y enmiendas introducidas en la edicin presente. La estructura de la obra sigue siendo la misma en su mayor parte_

Las cuestiones referentes al mtodo fotoelstico, problemas bidimen-sionales en coordenadas curvilneas y tensiones de origen trmico han sido ampliadas y redactadas de nuevo, constituyendo ahora captulos indepen-dientes que presentan muchos mtodos y soluciones que no se encontraban en la edicin anterior. Se ha aadido un apndice en el que se expone el mtodo de las diferencias finitas y sus aplicaciones, incluyendo el mtodo de relajacin. Asimismo, en los otros captulos, se han introducido nuevas preguntas que tratan sobre la teora de la QrosetaJ), tensiones gravitato-rias', prinGipio de Saint-Venant, componentes de la rotacin, teorema de reciprocidad, carcter aproximado de las soluciones de los estados tensionales planos, centro de torsin y centro de flexin, concentracin de las tensiones de torsin en las zonas de transicin, estudio aproximado de secciones delgadas .sometidas a torsin y flexin y cilindro de seccin circular sometido en una banda de su superficie a la accin de una presin.

Pensando en los alumnos se han incluido al final de cada captulo, desde el primero hasta el dedicado a la torsin, algunos problemas.

Agradecemos vivamente las numerosas sugerencias y consejos de los le'ctores del libro.

PALO ALTO, CALIFORNIA Febiero, 1951

S, TIMOSHENKO J.] N. GOODIER

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........

Prlogo a la primer

Durante los ltimos aos, la teora de la elasticidad ha sido aplicada a la resolucin de numerosos problemas de ingeniera. E;xisten muchos casos, en efecto, en los que, los mtodos elementales de la resistencia de materiales resultan inadecuados para obtener la distribucin tensional, que se produce en las estructur-as, debiendo hacerse uso de los mtodos de la teora de la elasticidad. Este es el caso, por ejemplo, de las tensiones locales que se producen en la pl'Oxirnidad de los puntos de aplicacin de las cargas" o de los soportes de las vigas, de la distribucin tensional en cuerpos cuyas. dimensiones son todas del mismo orden de magnitud, de las tensiones en rodillos y en bolas de cojinetes. De igual forma, la teora elemental no permite estudiar el estado tensional existente en aquellas zonas de vigas o ejes en las que la seccin cambia bruscamente. Como se sabe, los ngulos entrantes originan fuertes concentraciones de tensiones, las cuales pueden causar fisuras, especialmente si la estructura sufre es-fuerzos oscilantes. La mayora de los casos de fractura que se dan en las piezas de mquinas tienen ese origen.

En los ltimos aos, se ha avanzado considerablemente en la reso-lucin "de esos problemas, de importancia prctica tan notable. En ciertos casos, en los que es difcil obtener la solucin exacta, se ha hecho uso de mtodos aproximados. En otros, han sido empleados procedimientos ex-perimentales. Uno de ellos es el mtodo foto elstico, aplicable a problemas bidimensionales. El equipo para ensayos fotoelstico puede encontrarse hoy en universidades y en muchos laboratorios de investigacin indus-trial. Los resultados de los ensayos foto elsticos ,han sido especialmente tiles para el estudio de la concentracin de tensiones en puntos de zonas de variacin rpida de la seccin transversal yen" ngulos entrantes. Sin lugar a dudas, estos resultados han influenciado notablemente el diseo

10 PROLOGO A LA PRIMERA llDlClON

de las piezas de maquinaria, ayudando a eliminar las zonas dbiles en las que las fisuras pueden iniciarse.

Otro ejemplo de la aplicacin fecunda de los mtodos experimentales, es el empleo de la pelcula de jabn para la determinacin de las tensiones de torsin y flexin en piezas prismticas. El difcil problema de la inte-gracin de una ecuacin diferencial sometida a unas ciertas condiciones de contorno se reduce, en este caso, a la medida de las pendientes y de-flexiones de una pelcula de jabn convenientemente estirada y cargada. Los experimentos demuestran que de esta forma se obtiene, no slo una imagen de la distribucin tensional, sino tambin la necesaria infonnacin cuantitativa sobre la misma, con una exactitud suficiente para las apli-caciones prcticas.

La analoga elctrica proporciona, tambin, un medio para estudiar las tensiones producidas por la torsin en las zonas de transicin de ejes de dimetro variable. La analoga entre el problema de la torsin de placas y el de la elasticidad bidimensional, ha sido aplicado tambin con xito en la resolucin de importantes problemas de ingeniera.

Al preparar este libro se ha intentado facilitar a los ingenieros, de manera sencilla, el conocimiento fundamental necesario de la teora de la. elasticidad. Se ha querido tambin presentar la solucin de ciertos problemas especiales que pueden ser de importancia prctica, as como describir los mtodos aproximados y experimentales de resolucin de los problemas de elasticidad.

Pensando en las aplicaciones prcticas de la teora de la elasticidad, hemos omitido algunos temas de gran inters terico y aquellas que en el momento actual no presentan ninguna aplicacin prctica inmediata, para dar lugar al estudio de problemas concretos. Slo considerando tales casos con todo detalle y comparando los resultados dados por los mtodos exactos con las soluciones aproximadas dadas en los textos elementales de resistencia de materiales, puede el proyectista adquirr un conocimiento profundo de la distribucin de tensiones en las estructuras, ensen-dosele las ventajas de los mtodos rigurosos del anlisis tensiana!.

Al estudiar problemas especiales, se ha aplicado, en la mayora de los casos, el mtodo de la determinacin directa de las tensiones y se han empleado las cuaciones de compatibilidad expresadas en funcin de las componentes de la tensin. Este mtodo es ms familiar a los in-genieros, los cuales se interesan, por lo general, por la magnitud de las tensiones. Una adecuada introduccin de funciones de tensin suele sim-plificar este mtodo, hacindolo ms sencillo que aquel en el que las ecua-ciones de equilibrio son expresadas en funcin de los corrimientos.

En numerosos casos, se ha hecho uso del mtodo de la energa elstica. De esta forma, la integracin de ecuaciones diferenciales, queda susti-tuida por la bsqueda de las condiciones de mnimo de una cierta integra!. Este problema de clculo variacional se reduce, usando el mtodo de Ritz,

PROLOGO A LA PRIMERA EDlCION 11

a la sencilla obtencin del mnimo de una funcin. De esta forma, se encuentran soluciones aproximadas tiles en muchos casos de mportan-cia prctica.

Con el fin de simplificar, el libro comienz1;l con los problemas bidi-mensionales, pasando luego, cuando el lector se ha familiarizado con los mtodos de resolucin de los problemas de la teora de la elasticidad, a los tridimensionales. Aquellas partes del libro que siendo importantes, se pueden omitir en una primera lectura, van impresas en letra pequea. El lector puede estudiar tales problemas despus de haber acabado con las partes ms esenciales de la obra.

Las deducciones matemticas son presentadas en forma elemental no requiriendo, por lo general, mayores conocimientos que los dados en las escuelas de ingeniera. Si los problemas son ms complicados, se dan todas las explicaciones necesarias y los clculos intermedios con el fm de que el lector pueda seguir sin dificultad los desarrollos matemticos. Slo en unos pocos casos son presentados los resultados finales sin detallar la deduccin de los mismos. En ese caso, se incluye la referencia de los trabajos en los que tales deducciones pueden ser encontradas.

Las numerosas notas que contiene este libro dan la referencia de los trabajos y libros sobre teora de la elasticidad que pueden ser de impor-tancia prctica. Tales referencias pueden ser de inters para los ingenieros que deseen estudiar algn problema especial con mayor detalle. Ellas nos dan tambin una visin del desarrollo moderno de la teora de la elas-ticidad, pudiendo ser de inters para aquellos graduados que se especia-lizan en. este campo. .

En la preparacin de este libro se ha utilizado una obra sobre el mismo tema (Theory 01 Elasticity, vol. 1, San Petersburgo, Rusia, 1914-), cons-tituido por una serie de conferencias dadas en diversas escuelas de in-geniera rusas.

El autor ha sido ayudado en su trabajo por el Dr. L. H. Donnell y el Dr. J. N. Goodier, quienes revisaron el manuscrito y le sugirieron diversas correcciones. El autor agradece asimismo a los profesores G. H. Mac CuIlongh, E~ E. Weibel, M. Sadowsky y D. H. Young, la colabora-cin prestada en la preparacin final del libro y en la lectura de algunas partes del manuscrito. Queda tambin reconocido al seor L. s. Veenstra por la realizacin de los dibujos y a la seora E. D. Webster por su trabajo de mecanografa. . .

UNIVERSIDAD DE MICHIGAN Diciembre, 1933

S. TIMOSHENKO

PRLOGO A LA SEGUNDA EDICIN.

PRLOGO A r.A PRIMERA EDICIN

NOTACIONES .

CAPho!.o 1

INTRODUCCION

1. Elasticidad . . . . 2. 3. 4. 5. 6.

Tensiones ................... Notaciones correspondientes a las fuerzas ya las tensiones Componentes de la tensin . . . Componentes de la deformacin . Ley de Hooke Problemas ..... .

) .. ,

. '"\' CAPiTULO 2

TENSIONES 'PLANAS y DEFORMACIONES PLANAS

7 9

19

21 22 23 24 25 27 31

7. Tensiones planas. . . . 32 8. Defonnacin plana . . 32 9. Tensiones en un punto. 34

10. Defonnacin en un punto 39 11. Medida de las defonnaciones superficiales . 41 12. Construccin del circulo de Mohr a partir de las medidas realizadas

con uria roseta. . . . . . . . . . 43 13. Ecuaciones diferenciales de equilibrio 43 14. Condiciones de contorno . . . 45 15. Ecuaciones de compatibilidad . 45 16. Funcin de tensin. 48

Problemas. ',.. . . . . . . . 50

INDICI!

CAPTULO 3 PROBLEMAS BIDIMENSIONALES

EN COORDENADAS RECTANGULARES

:Ell~qion.es polinmicas - . . - . . . . . . - . . . . Pr'im:lo:io de Saint-Venant. . . . ......... Determinacin de los desplazamientos. . . . . . . . . .

20. Flexin de una pieza en voladizo con carga en su extremidad libre 21. Flexin de una viga uniformemente cargada. . . . . . . . . 22. Otros casos de flexin de vigas bajo cargas continuas . . . . 23. Solucin del problema de la elasticidad plana por medio de una serie

de Fourier ................... 24. Otras aplicaciones de las series de Fourier. Caso en que la carga a con-

siderar es el peso. Problemas ...... , ., ...............

CAPiTULO 4

PROBLEMAS JlIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLAlUlS

25. Ecuaciones generales en coordenadas polares . . . . 26. Distribucin de tensiones simtricas respecto a un eje 27. Flexin simple de piezas curvas . . . . . . . . . . 28. Componentes de la deformacin en coordenadas polares 29. Distribucin simtrica de tensiones: desplazamientos 30. Discos giratorios . . . . .. . . . . . . . . . . 31. Mnsula curva cargada en su extremo libre . . . . . .

32. Influencia de un orificio circular sobre la distribucin de tensiones existente en una placa. . . . . . '. . . . . . . . . .

33. Fuerza concentrada en un punto de un borde rectilneo. 34. Caso general de carga normal al borde recto de una placa . 35. Cua con carga en la punta. . . . . . . . . . 3.6. Carga concentrada sobre una viga . . . . . . . . . 37. Tensiones en un disco circular . . . . . . . . . . 38... Placa indefinida con carga concentrada en un punto. . . 39. Solucin general del problema bidimensional en coordenadas polares 40. Aplicaciones de la solucin general en coordenadas polares 41. Cua cargada sobre sus caras

Problemas ......................... .

CAPiTULO 5

EL METODO FOTOELASTICO

42. Medida fotoelstica de tensiones. . . . . . . . 43. Polariscopio circular . . . . . . . . . . . . . #. Ejemplos de determinacin fotoelstica de las tensiones . 45. Determinacin de las tensiones principales. 46. Fotoelasticidad tridimensional. . . . . . . . . . . .

52 56 57 58 63 68

70

77 78

80 83 86 91 92 95 99

104 111 118 123 125 134 139 144 149 151 153

159 164 167 170 171

INDICI! 15

CAPITULO 6 METODOS' ELASTO-ENERGETICOS

47. Energa potencial elstica . . . . 174 48. Principio de los trabajos virtuales. 179 49. Teorema de Castigliano. . . . . 191 50. Principio del mn,imo trabajo. . . . 195 51. Aplicaciones del principio de mnimo trabajo. Placas rectangulares 196 52. Anchura eficaz de alas de las vigas en T. 201 53. Arrastre por tensin cortante. 207

Problemns. . . . . . . . . . . . 207

CAPTULO 7

PROJlLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS CURVILlNEAS

54. Funciones de variable compleja . . . . . 210 55. Funciones analhicas y ecuacin de Laplace. . 212

Problemas. . . . . . . . . . . . 214 56. Expresin de la funcin de tensin mediante funciones armnicas y

complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 214 57. Desplazamientos correspondientes a una determinada funcin de

tensin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 217 58. Tensiones y desplazamientos expresados en funcin de los potenciales

complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 219 59. Resultante de las tensiones que actan sobre una curva. Condiciones

de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 60. Coordenadas curvilneas . . . . . . . . . . . . . 223 61. Componentes de la tensin en coordenadas curvilneas. 227

Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 62~ 'Soluciones en coordenadas elipticas. Placa sometida a un esfuerzo de

traccin uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 230 63. Influencia de un orificio elptico en una placa sometida a traccin simple. 234 64. Contornos hiperblicos. Entalladuras.' 237 65. Coordenadas bipolares. . . . . . 239 66. Soluciones en coordenadas bipolares 241

Otras coordenadas curvilneas . 245

CAPTULO 8

TENSIONES Y DEFORMACIONES EN TRES DIMENSIONES

67. Definicin de la tensin en un punto. . . . . 68. Tensiones principales. . . . . . . . . . . . 69. Elipsoide de las tensiones y superficie directriz 70. Detenninacin de las tensiones principales. . . 71. Determinacin de la tensin tangencial mxima. 72. Defonnacin homognea . . . . 73. Defonnacn en un punto . . 74. Ejes principales de deformacin . '; . 75. Rotacin. . .

Problemas. ",' . . . . .

247 248 250 251 252 254 255 258 260 262

INDICE

CAPTULO 9 TEOREMAS GENERALES

Ecuaciones diferenciales de equilibrio 263 Condiciones de compatibilidad. . . . 265 Determinacin de los desplazamientos. 268 Las ecuaciones de equilibrio como funciones de los desplazamientos. 269 Solucin general para los desplazamientos 270 Principio de superposicin.. 271 Unidad de la solucin. . . . . . . . . 272 Teorema de reciprocidad. . . . . . .. . .... 274 Carcter aproximado de las soluciones de los estados tensionales planos. 277 Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 279

CAPTULO 10

PROBLEMAS ELE:MENTALES DE ELASTICIDAD TRlDI:MENSIONAL

85. Tensin uniforme . . . . . . . . . . . . . . . 86. Barra prismtica extendida por accin de su propio peso. 87. Torsin de ejes cilndricos de seccin circular constante. 88. Flexin simple de barras prismticas . . . . . . 89. Flexin simple de placas planas . . . . . . . . . . .

CAPTtr!.O 11

TORSION

90. Torsin de barras prismticas . . . . 91. Barras de seccin transversal elptica . 92. Otras soluciones elementales. . . . . 93. Analoga con In membrana. . . . .. . 94. Torsin de barras de seccin rectangular estrecha. 95. Torsin de barras de seccin rectangular . . . . 96. Resultados complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . 97. Resolucin de problemas de torsin por el mtodo elasto-energtico. 98. Torsin de perfiles laminados . . . . . . . . . . . . . . 99. Empleo de pelculas de jabn para resolver problemas de torsin .

100 .. Analogas hidrodinmicas. . . . . . .. . 101. Torsin de rboles .. huecos .... ' . . . . . . . . . . . ... 102. Torsin de tubos' de pared delgada . . . . . . . . . . . . . . 103. Torsin de una barra en la que se impide el alabeo de una d .. las sec-

ciones transversales. . . . . . . . . . . . 104. Torsin de rboles circulares de dimetro variable

Problemas ............ .

281 282 285 287 291

294 300 302 306 310 312 316 318 324 327 329 332 336

340 342 351

INDICE 17

CAPTULO 12

FLEXION DE Pl~ZAS PRlSMATICAS

105. Flexin de una pie:a en voladizo 355 106. Funcin de tensin. . . . . 357 107. Seccin transversal circular . . 359 108. Seccin transversal elptica . . 360 109. Seccin transversal rectangular. 362 110. Resultados complementarios . 368 111. Secciones transversales no simtricas . 370 112. Centro de flexin o centro de corradura 372 I 1, Ih,:"lu"cin de los problemas de flexin por el mtodo de la pelcula

de Jabon . . . . . . . . . . 376 114. Desplazamientos . . . . . . 380 115. Otros estudios sobre la flexin 380

CAPTULO 13

DlSTRIBUCION TENSIONAL SIMETRlCA RESPECTO AL EJE EN UN SOLIDO DE REVOLUCION

116. Ecuaciones generales. . . . 382 117. Soluciones polinmicas. . . 386 118. Flexin de una placa circular 388 119. Caso de disco giratorio considerado corno problema tridimensional 391 120. Slido de extensin indefinida cargado en uno de sus puntos . . 394 121. Recipiente esfrico sometido a una presin uniforme interior o exterior. 396 122. Tensiones locales alrededor de una cavidad esfrica . . . .. 399 123. Fuerza sobre el contorno de un cuerpo semiindefmido ...... t. 402 124. Slido semiindefinido sometido a la accin de una carga distribuida

sobre una zona de su plano limitante. . . . . . . . 406 125. Presin entre dos cuerpos esfricos en contacto. . . . 4'13 126. Caso general de presin entre dos cuerpos en contacto. 419 127. Choque de esferas. . . . . . . . . . . . . . . . 424 128. Deformacin de un cilindro circular cargado simtricamente. 426 129. Cilindro circular sometido a la accin de una presin sobre una banda

de su superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 130. Torsin de un sector de anillo de se.ccin circular.. . . . 433 131. Flexin simple de un sector de anillo de seccin circular. 438

CAPTULO 14

TENSIONES DE ORIGEN TERMICO

132. Casos sencillos de tensiones de origen tmlico. . . . . . . . .. 441 133. Algunos problemas planos de tensiones de origen trmico. . . . ., 446 134. Disco circular delgado. Reparticin de temperaturas simtrica respecto

al centro . . . . . . . . . . . . . 448 135. Cilindro largo de seccin circular. . . . . 450 136. Tensiones de origen trmico en una esfera. 459 137. Ecuaciones generales. 463 138. Tensiones in~ciales. . . . . . . . . 467

INDICE

. " Problemas bidimensionales con flujo estacionario de calor . Solucin de las ecuaciones general,es . . . . . . .

CAPiTULO 15

PROPAGACION DE ONDAS EN :MEDIOS ELASTICOS

470 475

14i'. Movimiento generado por fuerzas . . . 480 142. Ondas longitudinales en barras prismticas. 480 143. Choque longitudinal de dos barras. . . . . . . . . . . .. 486 144. Ondas de dilatacin y ondas de distorsin en medios elsticos istropos. 495 145. Ondas planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 496 146. Propagacin de ondas sobre la superfiCie de un cuerpo elstico . .. 499

ApNDICE

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS EN ELASTICIDAD

1. Deduccin de las ecuaciones en diferencias finitas. . 2. Mtodos de aproximacin sucesiva . 3. Mtodos de relajacin. . . . . . 4. Redes triangulares y hexagonales. . 5. Relajacin en ~rupo y en bloque. . . . . . . . 6. Torsin de barras de seccin mltiplemente conexa 7. Punto?pr::,imo~ ~l contorno. . . . . . . . . 8. Ecuaclon blannomca. . . . . . . . . . . 9. Torsin de rboles circulares de dimetro variable

[NDICI! DE AUTOBl!S . INDICI! ALFABTICO

503 5.07 510 515 520 521 523 525 534 539 543

x,Y,z r, fJ ~, r

R, '1', O N

1, m, n A

No

Coordenadas rectangulares. Coordenadas polares. Coordenadas curvilneas ortogonales; a veces coor-denadas rectangulares. Coordenadas esfricas. NOITIlal exterior a la superficie de un cuerpo. Cosenos directores de la normal exterior. Area de una seccin transversal. Momentos de inercia de una seccin transversal respecto a los ejes x e y, respectivamente. Momento polar de inercia de una seccin trims-versal.

g Aceleracin de la gravedad. /}

q Densidad. Intensidad de una carga distribuida en forma uniforme.

p Presin .. X, Y, Z Componentes de una fuerza msica por unidad de

volumen. X. Y, i Componentes de una fuerza superficial actuando

sobre la superficie de un cuerpo por unidad de superficie.

M Momento flector. M, Momento torsor.

U%, u., G, Componentes normales de tensiones, paralelas a los ejes x. y, y z, respectivamente.

u. Componente normal de tensiones paralelus a n G" Uo Tensiones normales, radial y tangencial, respec-

tivamente, en coordenaqas polares. U!, G, Componentes Ilormale* de la tensin en coorde-

nadas curvilneas. ' tI" tID, tI, Componentes normales en coordenadas cilndricas.

~ 8=~+~+~=~+~+~

p. G. .l

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

f Tensin t311gencial. T~u, Tu. fJl' Componentes de la tensin tangencial en coorde-

nadas rectangulares. T, o Tensin tangencial en coordenadas polares.

7:"1 Tensin tungencial en coordenadas curvilneas. T,O, 'Co .. T" Componentes de la tensin tangencial en coorde-

nadas cilndricas. S Tensin total en un plano.

u, '11, w Componentes de los desplazamientos. E Elongacin unitaria.

E" ~"'~. Proyecciones de la elongacin unitaria sobre los ejes :x, Y. y W.

E,. EQ Elongaciones unitarias radial y tangencial en coor-denadas polares.

e = ~, + "11 + E. Dilatacin cbica. y Deformacin tangencial.

r"'lI' r .. " Y., Componentes de la deformacin tangencial en coor-denadas rectangulares.

r, o' )'& .. y,. Componentes de la deformacin tangencial en coor-denadas cilndricas.

pE

E Mdulo de elasticidad. G Mdulo de rigidez. " Coeficiente de Poisson.

Constantes de Lam. (1 + ,.) (1 - 2.)

~ 'P (z), X(z)

Funcin de tensin. Potenciales complejos; funciones de la variable com-pleja z = x + iy.

'i Variable compleja conjugada x - iy. e Rigidez torsional. O Angulo especfico de torsin.

F = 2GB Expresin usada en problemas de torsin. V Energa de deformacin.

V, Energa de deformacin por unidad de volumen. t Tiempo.

T Intervalo de tiempo. Temperatura. a Coeficiente de dilatacin trmica.

1. Elasticidad. Todos los materiales estructurales presentan en cierto grado la propiedad de elasticidad, es decir, si las fuerzas exteriores que deforman la estructura no rebasan un cierto lmite, la deformacin desaparece cuando se suprimen tales fuerzas. En este libro, se supondr que los cuerpos que sufren la accin de las fuerzas exteriores son perfec-tamente elsticos, es decir, recuperan su forma inicial despus de suprimir las fuerzas.

La estructura molecular de los cuerpos elsticos no ser considerada. Se supondr que la materia del cuerpo elstico es homognea distribuyn-dose con con~inuidad en su volumen, de forma que cualquier elemento extrado de l, posee sus mismas propied~des fsicas. Para simplificar los razonamientos se supondr tambin que el cuerpo es stropa, es decir, las propiedades elsticas son las mismas en todas las direcciones. . Los materiales estructurales no cumplen, en general, las condiciones

sealadas anterionnente. Un material tan importante ;omo el acero, por ejemplo, consiste en cristales diferentes, distintamente orientados como puede verse al observarlo al microscopio. El material dista mucho de ser homogneo, pero la experiencia muestra que las soluciones de la teora elstica, admitiendo las condiciones de homogeneidad e isotropa, pueden ser aplicadas a las estructuras de acero con gran exactitud. La explica-cin es que los cristales son muy pequeos: generalmente hay millones en un centmetro cbico. Mientras que las propiedades elsticas de un ~ristal pueden variar mucho con lu direccin, los cristales estn general-mente orientados al azar y las propiedades elstias de las piezas grandes corresponden a los promedios de las propiedades 'cristalinas. Siempre que las dimensiones gepmtricas de un cuerpo sean grandes comparadas con las dimensiones de ''los cristales, la suposicin de homogeneidad puede ser

TEORIA nI': LA ELASTIClDAD

con gran exactitud y si los cristales estn orientados al azur, el ma-.. ser tratado tambin como istropo.

. a causa de ciertos procesos tecnolgicos, tales como el lami-.JnOU

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

s~fialaqa por Ty ", y la de direccinz por 'y.' Como sentido posi-.. .'c9mponentes de la tensin tangencial que aeta sobre cualquier toma: el sentido positivo de los ejes coordenados, si una traccin

, .. . a esa misma cara apuntara en el sentido positivo del eje corres-'ponqiente. Si la traccin apuntara en sentido contrario al del eje corres-pondiente, el sentido positivo de las componentes de la tensin tangencial

""=--I---..."J..-;y

FIG. 3

sera el opuesto al de los ejes coordenados. Basndonos en esta regla los sentidos positivos de todas las componentes de la. tensin, que ac~an .sobre la cara de la derecha del elemento cbico de la figura 3, coinciden con los sentidos de los semiejes positivos. Por el contraro en la cara izquierda del elemento, los sentidos positivos estn invertidos.

4. Com ponentes de la tensin. De acuerdo con lo dicho en el prrafo anterior, resulta que para cada par de caras paralelas de un ele-mento cbico, como el representado en la figura 3, se necesita un smbolo para representar la componente normal.de la tensin y dos ms para las

. componentes de la tensin tangencial. Se requieren, por lo tanto, tres smbolos para describir las tensiones normales que actan sobre las caras de un cubo elemental,. a saber, (J:t:, 11", 11. Y seis 7:",u, 7:y ", '",., 'z:t:, ryz> "C%y, para los esfuerzos tangencialegl.

De la consiclercin del equilibrio del elemento, se deduce que el nmero de smbolos para las tensiones tangenciales puede ser reducido a tres. Si consideramos el momento respecto al eje x de las fuerzas que actan sobre el bloque elemen tal, slo tenemos que tener en cuenta las tensiones representadas en la figura 4. Las fuerzas msicas, tales como el peso del elemento, pueden ser despreciadas puesto que al reducir las dimensiones del elemento disminuyen con el cubo de las dimensiones lineales, mientras que las tensiones superficiales 10 hacen con el cuadrado

, En realidad seria ms correcto decir esfuerzo tangencial especfico ya que la palabra esfuerzo no implica que se trate de un rea unidad.

INTRODUCCION 25

de las mismas. Resulta, pues, que para elementos muy pequeos, las fuer-zas msicas son infinitsimos de mayor orden que las fuerzas superfi-ciales. De igual forma, los momentos: debidos a la distribucin no uni-forme de las fuerzas normales son infinitsimos de orden superior que los debidos a las fuerzas tangenciales, pudiendo tambin ser despreciados en el lmite. Representando entonces las dimensiones del elemento de la

figura 4 por dx, dy, dz y puesto que la fuerza sobre cada cara es el pro-ducto del rea por el valor de la tensin en el punto central de la misma, la ecuacin de equilibrio para los momentos respecto al eje. x queda as:

'1"'11 d:r; dy dz = 'Cu. d:r; dy di!.

ecuaciones se obtienen de forma semejante, llegndose al resultado siguiente:

(1)

Por tanto, para cada dos caras perpendiculares entre s, las componen-tes de la tensin de cortadura superficial perpendiculares a la lnea de interseccin de esas c.-ras, son iguales. . .. El sistema de tensiones que acta sobre los planos coordenados que pasan por un punto, est en consecuencia definido por las seis canti-dades

TEORlA DE LA ELASTICIDAD

);1J';l,lJ;~J'U .. defo.rmado, es descompuesto generalmente en sus com-. v, w paralelas a los ejes x, Y. z, respectivamente. Se supondr

.. ~mponentes son muy pequeas y que varan con continuidad :el volumen del cuerpo. Consideremos un pequeo elemento

.. dz de un cuerpo elstico (fig. 5). Si el cuerpo se deforma y u, v, w,

Flo.6

son las componentes del desplazamiento del punto 0, el desplazamiento en la direccin x de un punto prxi~o A, situado en el eje de las x, ser

au u + az rlz

debido al incremento (8u/ox)dx de la funcin u, que corresponde al cambio de la coordenada x. El aumento de la longitud del elemento OA debido

. a la deformacin, es por lo tanto (ou/ox)dx. En consecuencia, el alarga-miento especjico en el punto 0, segn la direccin x es 'iJu/ax. De igual forma, puede demostrarse que el alargamiento especfico en las direc-ciones Y y z viene dado por las derivadas av/ay y aw/oz. El alargamiento especfico ser designado, en lo sucesivo, mediante las expresiones defor-maci'n longitudinal o simplemente deformaci6n.

Consideremos ahora la' variacin del ngulo formado por los elementos OA y OB (fig. 6). Si u y v son los desplazamientos del punto O en las direcciones:x e y, losdel punto A en la direccin y, y del B en la direccin x vienen dados respectivamente por:

v + (ov/'iJx)dx y u + (ou/oy)dy A causa de estos desplazamientos, la nueva direccin O'A' del elemento

OA forma con la direccin inicial un pequeo ngulo, indicado en la fi-gura, igual a ov/ox. De igual forma, la direccin O'B' forma con OE el ngulo Ju/Jy. Se sigue de ello que el ngulo AOB, inicialmente recto, formado por los elementos OA y OB, ha variado en la cantidad av/ax + + Gu/ay. Esta es la deformacin tangencial (tambin es llamada dejorma-

INTRODUCCION 27

cton angular) o deslizamiento del ngulo comprendido entre los planos xz e yz. De igual forma, se obtiene la deformacin tangencial de los n-gulos formados por los planos xy y xz.y los yx e yz.

Representaremos mediante la letra E la deformacin longitudinal y mediante la y, la deformacin tangencial. Para indicar la direccin de las deformaciones, utilizaremos los mismos subndices que pata las componentes de las tensiones. De donde resulta que:

ou e =-, ~ a::c

au OV 'Y:v = ay + a::r;'

av Eu = ay'

ou OW 'Y = - +-, az OX

aw E. = iJ~

av aw "fu. = ;rz + ay

(2)

Como veremos ms adelante, conocidas las deformaciones longitudiriales . en tres direcciones perpendiculares y las tres deformaciones tangenciales correspondientes a esas direcciones, se puede determinar la deformacin correspondiente a una direccin cualquiera y el deslizamiento del ngulo formado por dos direcciones cualesquiera ( 73). Las seis componentes '(;" ... ')1" .. reciben el nombre de componentes de la deformacin.

6. Ley de Hooke. La relacin entre las componentes de la tensin y de la deformacin, ha sido establecida experimentalmente y se conoce bajo el nombre de ley de Hooke.

Imaginemos un paraleleppedo rectangular infinitsimo, con sus aris-' tas paralelas a los ejes coordenados, sometido a la accin de una tensin normal (1", distribuida uniformemente sobre dos caras opuestas. La ex-periencia demuestra que en el caso de un material istropo, las tensiones .

. normales no producen distorsin angular del elemento~ La magnitud de 'la deformacin longitudinal viene dada por la ecuacin:

11", E", = E (a)

en la que E es el mdulo de elasticidad longitudinal. Los materiales usados, en ingeniera tienen mdulos muy altos en relacin con las tensiones admisibles y la deformacin (a) es muy pequea. En el caso del acero de construccin es, generalmente, inferior a 0,001.

La dilatacin del elemento en la direccin x viene acompaada de las contracciones laterales.

O"z Eu = -v E' 0': El:;:::: -p E. eb)

, j .

en las cuales JI es una constante llamada coeficiente :(ie Poisson. Para muchos materiales el coeficiente de Poisson puede igualarse a 0,25. Para el acero de construccin 'es generalmente 0,3.

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

(;l) y (h) pueden usarse "tambin en el caso de com-,f,'}"'~""~'~""" del intervalo elstico, el mdulo de elasticidad

~(j.~:ti(!lel~te :de Poisson son iguales en compresin y traccin. elemento anterior es sometido a la accin de las tensiones nor-

.. ~; J': '/T,,; a.; distribuidas uniformemente sobre sus caras, las com-. , . .., ;1

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

c(lcontramps que

2(1 + 7I)u.. 2(1 + v}r 'Y= E = E (4)

De esta forma, la relacin entre la deformacin tangencial y la tensin tangencial est definida conociendo E y v. A menudo, se usa la notacin:

E G = 2(1 + JI) (5)

Entonces la ecuacin (4) queda

La constante G definida por (5) recibe el nombre de mdulo de elasticidad tangencial o mdulo de rigidez.

Si sobre las caras de un elemento actan tensiopes tangenciales, como en el caso de la figura 3, la deformacin del ngulo formado por dos ejes coordenados cualesquiera, depende nicamente de las componentes de las tensiones tangenciales paralelas a tales ejes, y su valor es:

(6)

Las deformaciones longitudinales (3) y los deslizamientos (6) son indepen-dientes unos de otros. En consecuencia, el caso general de deformacin producida por tres tensiones normales y tres tangenciales, se resuelve mediante la superposicin de las tres deformaciones dads por la ecuacin (3) y de los deslizamientos obtenidos mediante las ecuaciones (6).

Las ecuaciones (3) y (6) nos dan las componentes de la deformacin en funcin de las componentes de la tensin. A veces, sin embargo, es necesario tener las componentes de la tensin expr.esadas como funcin de las componentes de la deformacin. Esto se consigue de la manera siguiente. Sumando las ecuaciones (3) y usando la notacin

e = E: + EU + E. 8 = 0',,+ u, + u= (7)

llegamos a la siguiente relacin entre la dilatacin cbica e y la suma de las tensiones normales

1- 271 e=-E- 8

En el caso de una presin hidrosttica p tenemos

u .. = o'v = u. = -p

(8)

y la ecuacin (8) nos da

INTRoDuccroN

e = _ 3(1 .,... 2v)p . E

31

expresin que representa la relacin entre la dilatacin cbica e y la presin hdrosttica p.

La cantidad E/3(1 - 2v) se denomina' mdulo de elasticidad de vo-lmnen.

Empleando las notaciones (7) y despejando uz , GIl' u., en las ecuaciones (3), obtenemos

vE E u: = (1 + p)(1 _ 2v) e + 1 + V E"

vE E' u" = (1 + v)(1 _ 21') e + 1 + V E"

vE E 0". = (1 + v)(1 _ 21') e + 1 + y E.

o bien, usando la notacin

A = vE (1 + 11)(1 - 2,,)

y la ecuacin (5) llegamos a

0'. = Xe + 2GE= O'~ = Xe + 2Gev u. = 116 + 2Ge;

Problemas

(9)

(10)

(11)

l. Demostrar que las ecuaciones O) siguen siendo vlidas si el elemento de la figura 4 est en movimiento y tiene una aceleracin angular, como si fuera un cuerpo rgido.

2. Supongamos un material elstico conteniendo un gran nmero de pequeas partculas imanadas, distribuidas regularmente, de forma que un campo magntico ejer

y

7. Tensiones planas. Si una placa delgada es cargaoa mediante fuerzas aplicadas en su contorno, paralelas al plano de la placa y distribuidas uniformemente en su espesor (fig. 8), las componentes de la tensin a., '''''' 'IIZ son nulas sobre ambas caras de la placa y puede suponerse, en principio, que tambin lo son en el interior de la misma. El estado ten-sional queda entonces especificado por

34 TEORIA DE LA ELASTICIDAD

La tensin normal longitudinal a. puede' ser expresada en funcin de x e y mediante la ley de Hooke [ecuaciones (3)]. Puesto que 17= = O ten-dremos que:

(T. - lI(rT: + 0',,) = O o 10 que es lo mismo:

(b)

Estas tensiones noonales actan sobre tod~ls las secciones rectas, incluyendo las extremas, donde representan las fuerzas requeridas para mantener el estado de defoonacin plana y son ejercidas por los planos rgidos extremos.

Las ecuaciones (a) y (b) muestran que 'xz y 'lJ< son nulos y mediante la ecuacin (b) l1z puede Ser expresado en funcin de x e y: De esta foona, el problema de deformaCin plana, al igual que el estado tensional plano, se reduce a la detenninacin de l1", rJy Y >"/1' funciones solamente de x e y.

9. Tensiones en un punto. Conocidas las componentes de la ten-sin {1'", l1y , >." en cualquier punto de Ulla placa, que se encuentra en un estado de tensin o deformacin plano, la tensin que acta sobre cualquier plano perpendicular a la placa, que pase por ese punto, puede

'~==::==-.;;B __ X

y

FIO. 12

calcularse a partir de las ecuaciones de la esttica. Sea O el punto en cues-tin y supongamos 'que conocernos las componentes de la tensin l1 O'y >"'V (fig. 12). Para encontrar la tensin que acta sobre cualquier pla;~ que contenga al eje z y que est inclinado respecto a los ejes x e y, tome-mos un plano Be paralelo a l y prximo a O de foona que el prisma OBe formado por este plano y los planos coordenados sea muy pequeo. Puesto. ~ue las tensiones varan con continuidad en el volumen del cuerpo, la tenslOn que ncta sobre el plano Be tiende a la tensin actuante sobre el plano paralelo que pasa por O, cuando el elemento se hace cada vez ms pequeo.

Al discutir las condiciones de equilibrio de un pequeo prisma trian-

TENSIONES PLANAS Y DEFORMACIONES PLANAS 35

guIar, las fuerzas 'msicas pueden ser despreciadas por ser infinitsimas de orden superior (pg. 25). De forma semejante, si el elemento es muy pequeo, puede despreciarse la variacin de las tensiones sobre las caras y suponer que se distribuyen uniformemente sobre' ellas. Las fuerzas que actan sobre el prisma triangular pueden por lo tanto determinarse, multiplicando las componentes de la tensin por el rea de las caras. Sea N la direccin de la normal al plano Be y sealemos los cosenos de los ngulos formados por la normal N y 10'5 ejes x e y por:

cos Na; = 1, cos Ny = m Entonces, si A seala el rea de la cara Be del elemento, las reas de

las otras caras sern Al y Am. Si indicamos por X e Y las componentes de la tensin que actan

sobre la cara Be, las ecuaciones de equilibrio del elemento prismtico quedan as:

x = W., + m-r.1J r = mO'lJ + l'T:v (12)

De este modo, las componentes de la tensin que actan sobre cualquier plano definido por los cosenos l y m pueden calcularse fcilmente a partir de las ecuaciones (12) supuesto que las componentes (1"" {1'y, 'I'",y de la tensin en O sean conocidas.

Sea a el ngulo foonado por la normal N y el eje x, de foona que 1 = cos a y m = sen a. Los componentes normal y tangencial de la tensin que acta sobre el plano Be puederi deducirse de las ecuaciones (12), resultllndo:

rT = X (lOS el + Y sen a; = rT. C082 el + O'usen2 el + 2r"" sena cos el

r = Y cos el - X sen rx ;" T:rJ(COS 2 a - sen2 a) + (rTlJ - 0'",) sen a COS a

(13)

Podemos deducir de (13) que el ngulo a puede ser elegido de formll que la tensin tangencial , se anule. Esto ocurre cuando:

'T"1i(cos2 el - sen2 a) + (

36 rEORIA DE LA EI..ASTICIDAD

Si las direcciones principales son tomadas como ejes x e y, ,'''u es cero y las ecuaciones (13) se simplifican quedando as:

u = u", 0052 IX + G"vsen2 IX T = t sen 2a(ull - a",) (13')

. La variacin tic las componentes u y r cuando cambia el ngulo " puede representarse grficamente mediante un diagrama en el que a y 7 son tomadas como coordenadas!. A cada plano corresponde un punto en el diagrama cuyas coordenadas son los valores de G" y T correspondientes. En la figura 13 tenemos un diagrama de ese gnero, en el cual los puntos A y B de abscisas rI. y

38 TEORIA DE LA ELASTICIDAD

superponer dos sistemas de esfuerzo cortante puro, cuyos planos de mxima ten-sin tangencial forman un ngulo p, el sistema resultante constituye tambin un caso de esfuerzo cortante puro. En la figura 15, por ejemplo, se determina la tensin que acta sobre un plano, definido por el ngulo a, y que est originada por dos esfuerzos cortantes simples de magnitudes TI y r2 que actan; uno en los planos xz e yz (fig. 1Sa) y el otro en los planos que forman con estos. ltimos el ngulo {1

(a)

FIG.14

(6)

(fig. 15b). En In figuTll ISa las coordenadas del punto D representan las tensiones tangencial y norm,,! producid:!s sobre el plano CB por el primer sistema, mientras las coorde",ldns de DI (fig. 15b) dan las tensiones sobre el mismo plano para el segundo sistema. Sumando OD y OD, geomtricamente obtenemos OG, tensin resultante sobre ese plano, cuyas componentes tangencial y. normal vienen dadas

;y ~

1 2a: ., 2,8

O (T

()

FIG. 15

por las coordenadas de G. Advirtase que la magnitud de OC no depende de a. Por tanto, la superpoMicin de los estados de esfuerzo cortante simple origina un crculo de Mohr correspondiente tambin a un esfuerzo cortunte de radio OG estundo dada la inclinacin de los planos de mxima tensin tangencial por Uf; ngulo igual a la mitad del GOD.

TENSIONES PLANAS Y DEFORMACIONES PLANAS 39

Un diagrama cmo el de la figura 13 puede usarse tambin para deter-minar las tensiones principales, si se conocen las componentes de la tensin u." t111, 7::r1l correspondientes a. dos planos perpendiculares entre

:.s (fig. 12). En tal caso se comienza dibujando los puntos D y DI que '. 'representan las tensiones que actan sobre los dos planos coordenados

(fig. 16). De esta forma se obtiene el dimetro DD del crculo. Construido el crculo, las tensiones principales !TI y (12 vienen dadas por su intersec-

: . cin con el eje de abscisas. De 'la figura se deduce:

0"1 = OC + ~l! = lT. t tT,,+ ~(~y +7=1}2 0"2 = OC - CD = rF. t tTlJ _ ~(tT., ; uuY + Tz2 (16)

En cuanto a la tensin tangencial mxima viene dada por el radio del crculo, es decir:

Tm" = ~ CUl - qz) = ~(CTZ ; ([lJr + 'fzv'J. (17) De esta forma todas las caractersticas del estado tensional en un

punto pueden obtenerse conociendo tan slo las tres comp~nentes t1""

10. Deformacin en un punto. Cuando se conocen las compo-. nentes ,,,, ,,, ,'.>:/1 de la deformacin en un punto, puede determinarse la deformacin longitudinal y tangencial de orientacin cualquiera, en ese mismo punto.

Al producirse una deformacin, el elemento lineal PQ (fig. 17a) que une los puntos (x, y) y (x + dx, y + dy) sufre una traslacin, una extensin (o contraccin) y un giro convirtindose en el elemento P'Q'. Las compo-nentes del desplazamiento de P son u y v y las del d,e Q:

iJu iJu ~. + iJx dx + ay ay,

oV . all v+-ax+-dy ax ay

40 TEORIA DE LA ELASTICIDAD

Si el elemento P'Q' (Hg. t 7a) es trasladado de forma que P' coincida en P, llevndolo a la posicin PQ" de la figura 17b, los segmentos QR y RO" representarn las componentes del desplazamiento de O con rela-cin a P. En consecuencia:

RQ" av d + av a = ax x dy y (a)

Flc.17

Las componentes QS y SQ" de este desplazamiento relativo, la pri-mera normal y la segunda pal'alela a PQ" respeetivam'ente, pueden de-ducirse de las anteriores obtenindose las expresiones:

QS = -QR sen (} + RQ" cos O, SQ" = QR cas e + RQ" sen O (b) en las que el pequeo ngulo QPS ha sido despreciado frente a O. Puesto que el segmento QS puede identificarse con un arco de circunferencia de centro en P, SQ" nos da el alargamiento de PQ. La deformacin lon-gitudinal de rQ' sealada por fo, es, en consecuencia, SQ"/PQ y su ex-presin deducida de (b) y (a) queda:

ES = cos IJ (au dx + au dY) + sen (J (av dx av dY) , ax ds a y ds ax as + ay ds

8u (au av) av = a:c C082 e + ay + ax sen 8 cos O + alen2 IJ

o lo que es lo mismo:

E~ = Ez cos~ 8 + 'Y%1/ sen (} cos ti + E.sen! 8 (e) expresin de la def~macin longitudinal en la direccin O.

El ngulo q'o girado por PQ es igual a QS/PQ y la ex.presin del mismo deducida de (b) y (a) es:

(au d:c + 8u dY) + e (all d:c + av dY) oh = - sen O ax d8 ay ds cos J:c ds ay ds ()

av (av lU) au "'e = - cos2 O + - - - sen Ocas 9 -:- -a sen2 9 ax ay J:c y (d)

TENSIONES PLANAS Y DEFORM/l.CIONES PLANAS 41

, El elemento PT nonnal a PQ forma con el eje x el ngulo O + ("./2) Y el " , V'o + ~ Jor l sufrido se d~duce de () sustituyendo () por O + 11:/2.

que cos [O ,,1- (n/2)] = - sen O y sen [1} + (:n:/2)] = cos e Be-: gamos a:

av (lV au) 8u "'e+'!! = - 5"n2 (} - - - - sen 8 cos 8 - - C082 O 2 ax ay lx ay (e)

.JJadeformacin tangencial Yo para las direcciones PQ, PT es 'fo - V'o+-f , ,~iferencia cuya expresin es:

(au au) (av Ou) . 'Y9 = - + - (cos2 /J - sen! e) + - - - 2sen O cos 8 a,; ay ay ox ,he = -h"ll (C082 8 - sen2 8) + (EU- E,,) sen (} cos 8 (1)

De la comparacin con las frmulas (13) se deduce que las expre-!iiones (e) y ifJ pueden obtenerse a partir de ellas sin ms que cambiar

, ;;. por Eo , T por Yo/2, 0'", por Ex, O'y por Ey, T:z;y por 1,,,,"/2 ya por O. En canse-'c;:uencia toda conclusin referente a (j y T deducida de (13) admite otra

semejante aplicable a fo Y 1'6/2 deducida de Ce) y (f). De ah que podamos enunciar los siguientes resultados. Existen dos valores de e, que difieren

900 para los que Yo = O. Tales valores vienen dados por:

_ 'Y"", _ = tg 2/J E. - Eu

Las deformaciones Eo correspondientes son las deformaciones przncz.-pales~ Se puede dibujar un crculo de Mohr anlogo al de la figura 13 16, cuyas ordenadas y abscisas representen a Yo/2 y En respectivamente_ Los

", valores mximo y mnimo de fe son las defonnaciones principales El y E2 -, 'El valor mximo de Yo /2 est representado por el radio del crculo, vi-

riiendo dada la deformacin angular m-xima 1'Om~" por la expresin: 'Y~ "'.~ = El - E2

11. Medida de las deformaciones superficiales. Las defor-maciones longitudinales se miden muy a menudo mediante extensmetros a resistencia elctrica' _ Tales extensmetros consisten en resistencias elctricas embebidas en un soporte aislante que es pegado a la superficie. Cuando la superficie se deforma la resistencia elctrica vara y la defor-macin puede, en consecuencia, ser medida elctricamente.

El liSO de tales extensmetros es sencillo cuando se conocen las direc-ciones principales. Si se coloca un extensmetro ;iguicndo cada direccin

lUna mformacln detallada es dada en el Ilalldhook of Experullelllal Stress Analj's/v. captulos 5 y 9. '_,

42 TEORIA DE LA ELASTICIDAD

'principal lje obtiene directamente la medida de El y Ea. Las tensiones prin-cipales 0"1) Il"o pueden entonces deducirse empleando la ley de Hoolce, ecuacin (3), en la que se hace a", = al, l1u = 0'2 Y 11, = O, condicin esta ltima que nace de suponer que no acta ninguna fuerza sobre la super-ficie a la que se han pegado los extensmetros. Entonces:

Cuando no se conocen, a priori, las direcciones principales es nece-sario realizar tres medidas. El estado de deformacin, en efecto, est completamente determinado si se pueden medir E . ., fu Y y:;u' Sin embargo,

o~ __ ~~~ ____ ~ __

(e) Fu:;. 18

puesto que los extensmctros miden deformaciones longitudinales y no tangenciales es necesario realizar la medid de la deformacin longitudinal en el punto segn tres direcciones. El conjunto de tres extensmetros que realiza esta medida recibe el nombre de roseta'). Co~ocidas esas tres deformaciones se puede dibujar el crculo de Mohr, mediante la sencilla construccin! dada en el 12 Y determinar las direcciones principales. Sean los tres extensmetros de la roseta los representados mediante las lneas continuas de la .figura 18a en la que la lnea a trazos corresponde a la direccin de la deformacin principal Elo que forma el ngulo

44 TEORIA DE LA ELASTICIDAD

Las fuerzas msicas que actan sobre el bloque, que fueron despre-ciadas por ser un infinitsimo de orden superior al considerar el equilibrio del prisma triangular de la figura 12, deben ser ahora tenidas en cuenta puesto que son del mismo orden de magnitud que los trminos debidos

;t (O"Y}4 Iy (roc:y~

"":::";:=:4:1.===:....

(.:l:.y)

2 (t:;,;;y).t

(t:;cy)z

(O"y'z

FIC.19

a la variaCl0n de los componentes de la tensin, trminos stos que son considerados ahora. Si X e Y indican los componentes de la fuerza msica por unidad de volumen la ecuacin de equilibrio para las fuerzas que actan en la direccin x queda as:

(G'",hk - (G'.)"k + (r=vhh - (r",,)h + Xhk = O que dividiendo por hk da

(er.)1 - (cr",h + (r""h - (r:v), + X = O h l~

Si ahora hacemos tender el volumen del bloque a cero, es decir h ....,.. 0, k -+ O e! lmite de [(0'.)1 - (u",)a]/h es OU,jOT Y de forma semejante el de [(1:,..). - (1:",,)4]/k es OrTvloy Si el mismo proceso es seguido con fuerzas que actan en la direccin y, las ecuaciones de equilibrio quedan as:

au., + fJr:v + X = O fJ:c ay ~~ +aro:y + y = o ay Jx

(18)

En las aplicaciones prcticas la nica fuerza msica existente es el peso. En consecuencia, tomando el eje y vertical y hacia abajo y llamando f! a la densidad, las ecuaciones (18) sc convierten en:

(19)

Estas son las ecuaciones diferenciales de equilibrio, correspondientes ':' problemas elsticos bidimension!lles.

" 14. Condiciones de contorno. Las ecuacIOnes (18) o (19) deben ser satisfechas en todos los' puntos de! cuerpo considerado. Ahora bien,

, las componentes de la tensin varan de punto 11 punto de la placa y al llegar a sus bordes debern equilibrar las fuerzas exteriores aplicadas en

:' los' mismos, de modo tal que dichas fuerzas pueden ser consideradas como una continuacin de la distribucin interna de los esfuerzos. Las

FIC. 20

condiciones de equilibrio en e! borde de la placa pueden deducirse de las ',c'cuaciones (12). Suponiendo al prisma triangular elemental aBC de la

figura 12, dispuesto de manera que la cara BC coincida con un elemento 'superficial del contorno de la placa, como se ve en la figura 20, y llamando X e Y 11 las componentes de las fuerzas superficiales, por unidad de su-perficie en ese punto del contorno, dichas ecuaciones sern para este caso:

X = ler. + m;o:y y = .mcru + lrzv (20)

en las cuales 1 y 1n son los cosenos directores de la normal N al contorno. ,',' En el caso particular de una placa rectangular, se toman, por lo ge-, lleral, los ejes coordenados paralelos a sus cantos y las condiciones de

contorno expresadas en (20) pueden simplificarse. Tomando, por ejem-plo, un borde de la placa paralelo al eje x, tendremos para esta parte del contorno que la normal N es paralela al eje y, de modo que 1 = O y m = 1 con Jo que las ecuaciones (20) se reducen a: '

Se deber tomar el signo pOSItIVO cuando la normal N tenga el sen-tido del semieje positivo de las y y el signo negativo para el sentido con-trario de N. De aqu resulta, que las componentes de las tensiones que se desarrollan en el contorno de la placa son iguales a las componentes de las fuerzas superficiales, ,referidas a la upidad de ~ea perifrica. . .

15. Ecuaciones de compatibilidad. El problema de la teora de la elasticidad con:siste, en general, en determinar el estado tensioIlal que

TEORIA DI! LA EI./lSTICIDAD

s~ orIgma en un cuerpo sometido a la accin de determinadas fuerzas. 'En el caso de problemas bidimen1lionales, es necesario para ello resolver las ecuaciones diferenciales de equilibrio (18) y la solucin debe ser tal, que satisfaga las condiciones de contorno (20). Dichas ecuaciones .dedu-cidas de las ecuaciones de la esttica, aplicables a cuerpos absolutamente rgidos, contienen las tres componentes uz , au, 'XII' no bastando para la detenninacin de las mismas. El problema es estticamente indetermi-nado y para su solucin es necesario considerar la deformacin elstica del cuerpo.

La expresin matemtica de la condicin de compatibilidad entre la distribucin de tensiones y la existencia de las funciones continuas u, v, 'W, que definen la deformacin se obtiene a partir de las ecuaciones (2). En los problemas bidimensionales debern considerarse solamente tres componentes de la deformacin, a saber:

av ell = Jy' (a)

Estas tres componentes de la deformacin son expresables en funcin de u y v y, por lo tanto, sus valores no pueden ser arbitrarios sino que han de estar ligados entre s. La relacin existente -entre ellos se deduce fcil-mente de (a). Derivando dos veces respecto a y la primera ecuacin de (a), dos veces respecto a x la segunda y respecto a x e y la tercera, ob-tenemos:

J2e", a2Eu a 2"(=1I aya + ox2 = ax ay (21)

Esta ecuaClon diferencial se llama condici6n de compatibilidad y debe ser satisfecha por las componentes de la deformacin, para asegurar la existencia de las funciones u y v vinculadas a aqullas por las ecuacio-nes (a).

Aplicando la ley de Hooke [ecuaciones (3)J la condicin (21) puede expresarse en funcin de los componentes de la tensin.

En el caso de un estado tensional plano las ecuaciones (3) se reducen a:

1 1 E~ =. E (O'., - VfTu), eu = 1Jj (0'11 - VIT~) (22)

1 2(1 + v) 'Y:w = lJ'T"" = E 'I''''lI (23)

y sustituyendo en (21) se tiene:

az aa ( = 2(1 + v) a2T=1I ay2 (ITe - VITv) + ax2 IT1/ - !lIT:) ax ay (b)

Mediante las ecuaciones de equilibrio podemos dar a esta ecuacin una forma diferente. En primer trmino, consideremos el caso en que el peso

TENSIONES PLANAS Y DEFORMACIONES PLANAS 47

cuerpo es la nica fuerza msica, al cual corresponden las ecuaciones equilibrio (19). Diferenciando la primera de stas respecto a x y la

:sel(U:naa respecto a y y luego sumndolas se tiene:

2 a2T"" = _ ;JaIT", _ a2crll iJx ay ax2 ay2

sustitucin de estos valores en la ecuacin (b) se llega a la ecuacin compatibilidad en funcin de las componentes de la tensin:

(::2 + :;2) (U., + (Iv) = O (24) Si se procede anlogamente con las ecuaci9nes generales de equilibrio

tendr:

(O~2 + aJ;a) (0'% + 0'1/) = -(1 + v) (~; + ~~) (25) En el caso de una deformacin plana ( 8) se tiene:

0', = v(fT~ + O'JI) .Y de acuerdo con la ley de' Hooke [ecuaciones (3)) resultar:

1 E: = E [(1 - 1'2)0'= - 1'(1 + 1')0'11]

1 Eu = 1Jj [(1 - !lS)lTu - v(l + 1')11':]

(26)

2(1 + v) "1=11 = E 'I'=v (27)

en la ecuaClOn (21) y teniendo en cuenta, como antes, las ecuaciones de equilibrio (19) concluimos que la ecuacin de compati-.b.ilidad (24), es vlida tambin en el caso de la deformacin plana. Para .el caso general de fuerzas msicas las ecuaciones (21) y (18) nos permiten

bir la ecuacin de compatibilidad bajo la forma siguiente:

(a2 02) - 1 (ax ay) Jx2 + aya (0'% + IT,) = - 1 - l' Jx + ay (28) Las ecuaciones de equilibrio (18) o (19) conjuntamente con las con-

diciones de contorno (20) y una de las ecuaciones de compatibilidad que . quedan consignadas, constituyen un sistema de ecuaciones que, por lo

permite la determinacin completa de la distribucin de las ten-.. l:1iones en un problema bidimensional'. Ms adelante se tratan los C'Il

TBORIA DE LA ELASTICIDAD

. particulares en los que es necesario agregar otras consideraciones ( 39). $s . interesante destacar que cuan~o las fuerzas msicas son constantes, en las ecuaciones que determinan la distribucin de (as tensiones no apa-recen las constantes elsticas del material, lo que quiere decir que la dis-tribucin de las tensiones es igual para todos los materiales istropos, con tal que las ecuaciones sean suficientes para la completa determinacin de las tensiones. Esta conclusin es de mucha importancia prctica, pues como veremos ms tarde ( 42), por procedimientos basados en el uso de luz polarizada se pueden hallar las tensiones que se producen en ma~eriales transparentes como el vidrio y la baquelita y los resultados as obtellidos podrn ser, en muchos casos, inmediatamente aplicados a cualesquiera otros materiales, tales como, por ejemplo, el acero.

Sealaremos asimismo, que cuando las fuerzas msicas son constantes,. la ecuacin de compatibilidad (24) es de aplicacin tanto a los casos de tensin plana como a los de deformacin plana. En consecuencia, la dis., tribucin de las tensiones ser igual en ambos casos, siempre que se trate de contornos idnticos y de un mismo sistema de fuerzas exteriores ' .

16. Funcin de tensin. Hemos demostrado que para resolver los problemas bidimensionales, basta con hallar las soluciones de las ecua-ciones diferenciales de equilibrio, que satisfagan la ecuacin de compati-bilidad y las condiciones d~ contorno. Si aplicamos esto en primer lugar al caso en que la nica fuerza msica es el peso del cuerpo, las ecuaciones que habr que resolver son [vase las ecuaciones (19) y (24)J

Bu: + Jr"" = O 8x iJy

au" + Jr"" + = O ay ax pg (a)

(8

2 iJ2) Jx2 + ay2 (u", + II""'U (25), que corresponde a un estado elstico plano, se llega a:

a1tJ il'tJ 8' (a.v a.v) (Jz' + 2 81:' ily' + ay' = - (1 - v) a;;i + iJy' (32)

. Para el caso de una deformacin plana se puede obtener una ecuacin anloga, utilizando un procedimiento similllr. . ; Cuando la fuerza msica actuante se reduce al peso, el potencial V es - egy .

. En este caso el miembro derecho de la ecuacin (32) se reduce a cero. Si tomamos 4> = O cornil ~oluein de (32) (J (30) S" deduce, de (J1) o (29),

5.0 TEORIA DE LA ELASTICIDAD

corr~spondientes puede darse en una placa o cilindro de forma cualquiera. De la consideracin de un elemento de contorno cualquiera, tal como el que representara ia figura 12, y aplicando las ecuaciones \(13) se deduce que la fuerza actuante sobre el contorno consiste en una presin nonnal egy y una tensin tangencial nula. Si sobre la placa o el cilindro actan otras fuerzas tenemos q!le aadir una tensin normal egy a las nuevas fuerzas. El conjunto de las dos estar en equilibrio y la deter-minacin de sus efectos es un problema de fuerzas de contorno sin intervencin. de las fuerzas msicas 1

Problemas

1. Demostrar que las ecuaciones (12) siguen siendo vlidas cuando el elemento de la figtra 12 se mueve con una aceleracin cualquiera. .

2. Hallar grficamente las deformaciones principales y sus direcciones siendo las medidas dadas por una roseta.

c.. .. 2 X 10-', . ~+'i =- 1,35 X 10-3, y~ = ~ = 45.

'afil+4> 0= 0,95 X 10-' cm/cm.

3. Demostrar que entre los elementos lineales que pasan por .el punto x, y aquellos en que se da la mxima y minima rotacin son los paralelos y perpendicu-lares a la direccin determinada por () siendo () el ngulo que cumple.

( 011 OU) / (av au) tg 28 = - - - . - +-ay iJa; ire ay 4. Las tensiones existentes en un disco (de espesor unidad) en rotacin, pueden

hallarse considerando el disco parado y sometido a un campo de fuerzas msi-cas igual a la fuerza centrfuga. Demostrnr que tales fuerzas admiten el potencial V = -1/2 ero'(x' + y') donde e es la densidad y tJJ la velocidad angular de rotacin (alrededor del origen).

5. Las fuerzas gravitatorias que actan sobre un disco cuyo eje es horizontal viene!"! dadas por las ecuaciones (el) del 16. Realizar un diagrama de las fuerzas de contorno que soportan su peso. Represntese mediante otro diagrama las fuerzas de contorno del problema auxiliar, que debe ser resuelto cuando el peso del disco es soportado completamente por una superficie horizontal sobre la cual se apoya.

6. Las fuerzas gravitatorias que actan sobre un cilindro cuyo eje es horizontal, vienen dadas por las ecuaciones (el) del 16. Los extremos del mismo se encuentran confinados e~ltre dos planos rgidos fijos que obligan al estado de deformacin plana. Realcese un diagrama. de las fuerzas que actan sobre su superficie incluyendo los .extremos. .-.

7. Introduciendo las relaciones tensin-deformacin y las ecuaciones (a) del 15 en las ecuaciones de equilibrio (18), demustrese que en ausencia de fuet;zas msicas y para estados tensionales planos los dcsphlzamientos deben satisfacer la expresin:

a'u + iJ'U + ~~ (/tu + ov) = 0 az2 ay" 1-v8z az 8y.

as como la ecuacin compaera.

I Este problema y .1 caso general de un potencial V que anula el miembro derecho de (32) ha sido tratado por M. Biot, J. Applied MecJumics (1'rans. A.S.M.E.), 1935, pg. A-41.

TENSIONES PLANAS Y DEFORMACIONES PLANAS 51

La placa de la figura que se prolonga en un ~diente., se encuentra en un estado tensin plano. Sobre los bordes c;lel diente (las dos lneas rectas) no acta ninguna

Demustrese que no elCste tensin alguna en el vrtice del diente. (Nota Este re~U!"'OLO no es cierto en el caso de que se trate de un diente entrante.)

Problemas bi ITYYIV', en coordenadas

17. Soluciones polinmicas. Como se ha visto, la solucin de problemas bidimensionales en los que las fuerzas msicas son nulas o cons-tantes, se reduce a la integracin de la ecuacin diferencial

a4,p + 2 ~ + a4cf = O ax4 a;;2 ay?; ay4 Ca)

cuenta tenida, de las condiciones de contorno (20) que correspondan al caso particular en estudio.

Cuando se tratan placas rectangulares largas y estrechas las solucio-nes en forma polinmica de la ecuacin (a) presentan un notable inters. Utilizando polinomios de diversos grados, en efecto, y ajustando conve-nientemente los coeficientes, se puede resolver un buen nmero de pro-blemas de importancia prctical

Para empezar, consideremos un polinomio de segundo grado,

(b)

que, evidentemente, satisfar la ecuacin (a). De la ecuacin (29), hacien-do flg = 0, se deduce

Las tres componentes de la tensin son pues constantes en cualquier punto del cuerpo y la funcin de tensin (b) representa, 'en consecuencia, una combinacin de tensiones uniformes, de traccin o compresin2 , en dos

, Mesnager, A., Cmnpt. yend., vol. 132, pg. 1475, 1901. Vuse tambin A. 'l'impe, Z. Math. Physik, vol. 52, pg. 348, 1905.

, Que Sea una u otra depende de los signos u. u, y b L,,, direcciones de las tensiones re-presentadas eIl la figura 21 corresponden a valores pOSitivos

54- TEQRIA DE LA ELASTICIDAD

son distintas de cero, adems de las' tensiones nonnales tendramos ten-si.ones tangenciales actuando sobre los bordes laterales de la placa. La figura 23, por ejemplo, representa el caso en que todos los coeficientes de (e) salvo ha son cero. Los sentidos con que se han dibujado las tensiones corresponden a valores positivos de bao A lo largo de los bordes y = e tenemos una distribucin uniforme de tensiones de traccin y c()mpre-sitin, respectivamente, y de tensiones tangenciales proporcionales a X. En el borde x = 1 tenemos simplemente una tensin tangencial constante e ig'ual a -bal y en la cara x = O no existe tensin alguna. Se obtiene una distbucin de tensiones anloga si se toma C3 distinto de cero.

Al tomar como funcin de tensin polinomios de segundo o tercer grado se tiene completa libertad en la eleccin del valor de los coefi-cientes pues la ecuacin (a) es satisfecha cualesquiera que sea su valor. En el caso de polinoIPios de mayor grado, sin embargo, la ecuaci?n (a~ slo es satisfecha si los coeficientes. cumplen, entre ellos, determmadas relaciom!s. Tomando, por ejemplo, como funcin de tensin un poli-nomio de cuarto grado

(d)

y llevndolo a la ecuacin (a) se encuentra que esta ecuacin se cumple solamente si

84 = -(2c{ + a4) Las compenentes de la tensin en este caso son:

Los coeficientes a4, .... d4 que figuran en estas expresiones, son arbi-trarios y eligiendo sus valores convenientemente podemos obtener dis-tintas condiciones de carga sobre la placa rectangular. Tomando, por ejem-plo, todos los coeficientes menos d4 iguales a cero resulta

O'v = OJ (e)

Si tomamos d4 positivo la distribucin de fuerzas que acta sobre la placa rectangular y que produce las tensiones expresadas por Ce) es la mos-trada en la figura 24. Sobre los bordes longitudinales y = c existe una distribucin uniforme de tensiones tangenciales y sobre los extremos de lii placa l~ distribucin de esas tensiones sigue una ley parablica.

PROBLf>"MAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS RECTANGULARES 55

conjunto de tensiones tangenciales actuantes sobre el contorno de la produce el par

d4c2l 1 d4c2 ' 2 .M = 2 . 20 - '3 "2 . 2c l = '3 d4c3l

par compensa el producido por las fuerzas nonnales que actan sobre cara x = l.

--+ --I + I e t.. I r---"---+-~~

l y

FIG.24

Supongamos ahora que se toma como funcin de tensin un poli-de quinto grado

. a6 s + b& 4 + 06 a 2 + do 2 3 + /lo 4 + f. 5 ( =5'4:t 4g:ty 3'2 XY RXY 4'3 xy n Y f)

en Ca) se obtiene que esta ecuacin es satisfecha si

e6 = - (20 + Sas) jr, = -t(b + 2ds)

componentes de la tensin correspondiente son, por lo tanto,

O' = a2

ifJr, = ~ xa + d&x2y - (205 + 3a6)xy2 - -31 (b 6 + 2d6)y3 ~ ay2 3

a2ifJ . ds UlI = J:r/ = a6x3 + b5x 2y + C5Xy2 + 3' ya

T = - ~ = - -31 bx - cx2y - d6Xy2 + -31 (206 + 3a6)y8 z; ozJy

coeficientes a., ... , ds, son, de nuevo, arbitrarios y eligindolos conve-." . m:'.'L

56 TEORIA DE LA ELt\STICIDt\D

Las fuerzas normales se distribuyen uniformemente sobre los b01:des longitudinales de la placa (Hg. 25a), mientras que sobre la cara x = l constan de dos partes, una que depende linealmente de y, y otra que es funcin parablica de tercer grado de la misma coordenada y. Las fuerzas tangenciales son proporcionales a x sobre las caras longitudinales y siguen una ley parablica a lo largo del borde x = l. La distribucin de todas estas tensiones es mostrada en la figura 25b.

- --- --- - -~---+----------+---x

i: t -L + t I t - - - - ~I (

:r :r (a) (6)

FIG.25

Puesto que la ecuacin (a) es lineal, la suma de varias soluciones de ella es tambin solucin. Podemos, por lo tanto, superponer las solu-ciones elementales que hemos estudiado y llegar a nuevas soluciones de inters prctico. Ms adelante este principio de superposicin ser usado varias veces.

18. Principio de Saint-Venant l En el prrafo anterior se estu-diaron distintos casos referentes a placas rectangulares, llegndose a la solucin exacta de las mismas, mediante sencillas expresiones de la funcin de tensin $. Estas soluciones satisfacen todas las ecuaciones de la elas-ticidad, pero su exactitud est condicionada a que las fuerzas superfi-ciales se distribuyan de una determinada forma. En el caso de flexin simple de la figura 22, por ejemplo, el momento flector debe ser producido por tracciones y compresiones que, actuando sobre los extremos, sean proporcionales a la distancia al eje neutro. De otra parte la s~jecin, si existe, de la extremidad de la pieza, no deber influir en la deformacin de la superficie plana que la limita. Si tales condiciones no se cumplen, esto es, si el momento flector se aplica de una manera diferente, o si la sustentacin impone a la seccin terminal otros esfuerzos, la solucin dada en el 17 deja de ser exacta.

La utilidad prctica de dicha solucin, sin embargo, no est limitada a, caso tan especial sino que puede aplicarse con suficiente exactitud a casos de flexin en los que las condiciones en los extremos no son riguro-

. . I Este prl~clp\O flle ",tllbleCldo por Samt-Venant en su famosa memoria sob,.e la torsIn: Mem. raval/I. elrauger., vol 14.1855. Su relaCIn con el pnnClplO de con.ervucin de la energla ser dIscutida ms adelanle ( 47).

PROBLEMAS lllDlMENSIONALES EN COORDENADAS RECTANGULARES 57

sarnente satisfechas. Tal extensin en la aplicacin de la solucin se basa en el llamado pri11cipio de Saint-Venallt. Este principio establece que si las fuerzas que actan sobre un pequeo elemento de la superficie de un cuerpo elstico son remplazadas por otro sistema de fuerzas actuando sobre la misma porcin de superficie y estticamente equivalente al an-terior, la alteracin que la nueva distribucin de cargas induce en el antiguo estado tensional, aunque localmente importante, resulta despreciable a distancias grandes respecto a las dimensiones de la superficie sobre la cual han cambiado las fuerzas. Por ejemplo, en el caso de flexin simple de una barra (Hg. 22) cuyas dimensiones transversales son pequeas comparadas con su longitud, la malem en que se lplique el momento flector exterior int1uye en la distribucin tensional que se produce en la vecindad de los extremos, pero no en aquella correspondiente a sec-ciones distantes, para las cuales coincide prcticamente con la dada por la solucin a que se refiere la figura 22.

Lo mismo ocurre con los esfuerzos axiales. La distribucin de tensiones depende de la forma en que se aplique la carga, solamente en las zonas prximas a los extremos. En las secciones alejadas la distribucin de ten-siones es prcticamente uniforme. Algunos ejemplos ilustrando la validez de este aserto y mostrando la rapidez con que la distribucin se hace uni-forme sern presentados ms adelante ( 23).

19. Determinacin de los desplazamientos. Una vez deducidas las componentes de la tensin a partir de las ecuaciones anteriores, las componentes de los desplazamientos se obtienen mediante la ley de Hooke,

,. ecuaciones (3) y (6). Los desplazamientos, u y v, se obtienen entonces a partir de las ecuaciones

Bu Bx = e:::, (a)

au av ay + ax = 'Y=v

Ms adelante encontraremos numcrosos ejemplos de aplicacin de estas ecuaciones, cuya integracin en cada caso pal1:icular no pr.esenta difi-~ultades. Se ve en seguida que las componentes de la deformacin no

. c!lmbian si aadimos a u y v las funciones lineales

Ul = a + by, VI = e - bx (b) en las que a, b y e son constantes. Esto significa que las tensiones y de-formaciones no determinan completamente los desplazamientos y que a los causados por las deformaciones internas pueden aadirse otros, an-logos a los que experimenta un cuerpo rgido. Las constantes a y e de-. finen una traslacin y la b un pequeo ngulo de giro del cuerpo rgido alrededor del eje z: .

En el 15 se demostr que para fuerzas ms'icas constantes la distri-bucin de tensio.~es es la misma para estados tensionales planos que para

j:

I1 !I !I

58 nORIA DE LA ELASTICIDAD

estados de deformacin plana. Los desplazamientos, sin embargo, son ~Iisi:intos, dado que para el primer caso las componentes de la deforma-cin que figuran en las ecuaciones (a) vienen dadas por

1 1 E", = E (

60 'l'EOlIlA DE LA ELASTICIDAD

Consideremos ahora los desplazamientos' correspondientes a lus ten-siones (h), Aplicando la ley de Hooke se deduce que: .

Bu If", Pxy lv VU'" vPa;y E", = Bx = E = - El' Eu = oy = - E = El (e)

Bu Bu r.", P ) 7"", = ay + Bx = 7J = - 2IG (c2 - y2 Cd)

Las cIJmponeJltcs U y v de los desplazamientos se obtienen integrando lHS ecuaciones (e) y (d), Integrando (e) tenemos la expresin;

Px2y vPxy2 u = - 2EI + f(y), v = 2EI + h(z)

donde 1(1') y /(x) son funciones de y y dc x desconocidas. Sustituyendo estos valores de u y v en la ecuacin (el) se llega a:

_ Px2 + df(y) + vPy2 + df(x) = _ ~ ( ~ _ 2) 2El dy 2El dx 2IG e y

En esta ecuacin algunos trminos dependen solamente de x, otros sola-mente de y, y uno es independiente de ambos. Indicando estos grupos por F(x), G(y) y K tenemos:

G( ) = rlf(y) + vPy2 _ Py2 Y dy 2EI 2lG

y la ecuacin puede escribirse

F(x) + G(y) = K Tal ecuacin implica que F(x) es una constante d y G(y) otra e. De no ser as F(x) y G(y) variarn con x e y y variando la x o la y solamente, la igual-dad anterior dejara de cumplirse. En cOl1secuencia

(e)

y

df(y) = _ Py2 + Py2 + dy 2EI 2lG 6

Las funciones l(Y) y ll(x) son entonces

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS RECTANGULARES

sustituidas en IilS expresiones halladas para u y v conducen a: pz2y' vPy. Py3

'U = - 2EI - 6EI + 61G + ey + g vPxy2 Px.

V = 2EI + BEl + dx + h

61

(g)

constantes d, e, g, y h pueden ser determinadas ahora mediante la (e) y mediante las tres condiciones de vnculo, necesarias para

,,.,,np.,rttr que la viga pueda moverse como un cuerpo rgido en el plano Supongamos que el punto A, baricentro de la seccin transversal

"' .... 'en;I''''' est fijo. Entonces II y V son nulos para x = 1, y = O Y de las (g) se deduce

g = O, Pl3

h=---dl 6EI

~urva de deflexin se obtiene sustituyendo y = O en la segunda de las (g). De esta manera:

Px3 Pl3 (v)v_o = 6EI - 6EI - del - x) (h)

:iJa determmacin de la constante de esta ltima ecuacin exige el empleo la tercera condicin de vnculo, la cual elimina la posibilidad de una

de la viga en el plano xy alrededor del punto fijo A, Esta sujecin realizarse de varias fonnas. Consideremos dos casos: 1) Que un to del eje de la viga est fijado en el extremo A. Entonces la con-de vnculo se escribe:

(~v)",= = O vX 1/=0 . (Je)

Que se fije un elemento vertical de la seccin transversal en el punto A. misma condicin queda entonces

(BU)"'_1 = O ay 1/=0 . (l)

. En el primer caso, la ecuacin (h) permite escribir

Pl2 d = - 2EI

; y la ecuacin (e) nos da

i I

1

I r ! ,

! !

(: i\ ,1

I ji )1 II t: '1 11 }i Ji I ,1

li '1 1I ; ~ I

,'; .

62 TEORIA DE I.A ELASTICIDAD

Sustituyendo todas las constantes en (g) tenemos

_ Px2y "PyS Py' (Pl2 PC~) U - - 2EI - 6El + 61G + 2EI - 21G Y

"Pxy2 Px8 Pl2X PP V = 2El + 6El - 2El + 3El

(m)

La ecuacin de la curva de deflexin es

(n)

que da para la flecha del extremo cargado (x = O) el valor Pf/3EI, que coin-cide con el valor que se deduce en los textos elementales de resistencia de materiales.

Con .el fin de mostrar 'la distorsin de las secciones transversales pro-ducida por las tensiones tangenciales consideremos el desplazamiento del extremo empotrado (x = l). Las ecuaciones (m) nos .dan para dicho plano:

ppya Py2 Pc2 - 2EI + 21G - 21G (o)

Pc2 3 P -2IG= -4cG

y la fonna que la seCClOn transversal adquiere como consecuencia de esa deformacin es la indicada en la figura 27a. Debido a la tensin tan-gencial .",y = - 3P/4c actuante en el punto A, el elemento de seccin transversal centrado en A, gira en el plano xy alrededor del punto A el ngulo 3P/4cG en el sentido de las agujas del reloj.

Si en lugar de fijar un elemento horizontal del eje se considera reali-zada la fijacin de un elemento vertical de la seccin transversal (fig. 27b), se tendr, de acuerdo con las ecuaciones (e) y la primera de las (g)

Sustituyendo en (e) se deduce

pa e = 2EI

y remplazando en la segunda de las ecuaciones (g) llegamos a

(r)

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS RECTANGULARllS 63

,De la comparacin 'de esta ecuacin con la (n), se deduce' que debido al ,'giro de la extremidad A del eje de la pieza en voladizo (fig. 27b), su flecha : ~umenta en la cantidad

Pc2 3P 2IG (l - x) = 4cG (l - x)

que representa, pues, el llamado efecto de las fuerzas cortantes la flexin de la viga (flecha adicional).

{bJ

Flc.27

prctica las condiciones en el empotramiento difieren de las rlm,rn.m"" en la figura 27. La seccin fija no es libre en general para

y la distribucin de fuerzas en este extremo es diferente de en (b). Esta solucin es, sin embargo, satisfactoria para piezas eQ

relativamente largas, en puntos distantes de los extremos.

21. Flexin de una viga uniforInemente cargada. Consdere-una viga de seccin rectangular estrecha y de anchura unidad, apo-e,n sus extremos, sometida a flexin bajo una carga uniformemente

de intensidad q, como indica la figura 28. Las condiciones en : bordes superior e inferior son

(7' =v)u-,c = O, (qu)u=+c = O, (qll)u--c = -q (a) los extremos x = 1

O 7':&11 dy = =t=rzl, -o f" q::dy = 0, -o to u~ydy = O (b) dos ltimas ecuaciones (b) establecen que sobre los extremos de la no acta ninguna fuerza longitudinal ni dingn par flector. Las

(a) y (b) pueden ser satisfechas combinando ciertas solucio-polinmicas,.fle las obtenidas en el 17. Empecemos con la solucin

64 TEORIA DE LA ELASTICIDAD

(g) ilustrada por la figura 25. Con el fin de suprimir los esfuerzos de traccin que actan sobre el borde y = e y los esfuerzos tangenciales existentes a lo largo de las caras y = e superponemos una compre-

1 r-q1

;)C ~fl .2

:JI (a) () {o}

FJG.28

sin simple !ly = a., de la solucin (b), ( 17) Y las tensiones !ly = baJo y 7:,,, = -bax .(fig. 23). De esta forma se llega a las expresiones:

(J: = d6(x2y - -y3) Uy = td5!J3 + bay + a.

"':y = -d6xy' - ba:!: Teniendo en cuenta las condiciones (a) resulta:

de donde

-d5e' - ba = O dlel + baO + a. = O

-ldlca - bac + a. = -g

/la = -~, 3q ba = --J 4 e . 3 q

ds = - 4&

(e)

Sustituyendo en las ecuaciones (e) y advirtiendo que 2c'j3 es el momento de inercia 1 de la seccin transversal rectangular de anchura unidad, se obtiene:

(d)

Puede comprobarse fcilmente que estas componentes de la tensin sa-tisfacen no slo las condiciones (a), existentes en los bordes longitutli-nales, sino tambin las. dos primeras condiciones (b), que se dan en los

I'ROBLEMAS !llIlIMENSIONALES EN COORDENADAS RECTANGULARES 65

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TEORIA DE LA ELAS'rICIDAD

de correcclOn de la solucin (33). La distribucin de esas tensiones de compresin Uv n lo largo de la altura de la viga es mostrada en la figura 28c. En cuanto a las tensiones tangenciales 'l'''1I' la tercera de hlS ecuaciones (d) da su distribucin en una seccin transversal de la viga, la cual coin-cide con la que se obtiene aplicando la teora elemental.

Cuando la carga que se aplica a la viga es su propio peso en lugar de la fuerza distribuida q, la solucin debe modificarse haciendo q = Zegc en (33) y en las dos ltimas ecuaciones de (d), y aadiendo las tensiones

a", = O, a. = poCe - U), T.~ = O (e)

Esta distribucin de tensiones puede deducirse aplicando las ecuaciones (29) a:

1> = lpg(cz' + y'/3) representando, por tanto, .un. posible estado tensional producido por el peso y las ~uerz.as de contorno. Sobre el borde superior y = -e tenemos (Yu = 2egc y en el lIlfenor y = e, rr. = O. De esta forma cuando las tensiones (e) son aadidas a la sol,:cin anterior, en la que se 'ha hecho q = 2agc,.la tensin sobre umbos bordes horIzontales es cero, y la carga aplicada a la viga consiste simplemente en su peso.

Los desplazamientos u y v pueden ser calculados mediante el mtodo indicado en el 20, Suponiendo que el desplazamiento horizontal del bari-centro de la seccin transversal media (definido por x = O, Y = O) sea nulo y que el vertical sea igual a la flecha iJ se deduce de (d) y (33).

u = 2~I [ (l2Z - i) y + z (i yS - ~ ~2!J) + vz (j 1l - c2y + ~ ca) ] IJ = - 2~I {~ - C~2 + ~ c3y + V [ (LZ _ X2) ~ + ~ _ ~ C2y2]}

- 2~1 p;2 - ~; -kC2X2 + (1 + ~ v) C2X 2] + Q A la vista de la expresin de u puede deducirse que la lnea neutra de la viga no pasa por su eje ya que ) causa de la tensin compresiva

el eje directriz est sujeto a una traccin a la que corresponde la deforma-cin q/2E, tenindose por lo tanto .

() _7Jqz U u-o - 2E

De la expresin de v se deduce la ecuacin de la curva de deflexin

q [l2X~ x' 1 (1)] (V)II_O = o - - - - - - - C2X2 + 1 + - V C2;;2 2EI 2 12 5 2 (f)

PUOBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS RECTANGULARES 67

. ~uponiendo nula la flecha del punto central de los extremos (x = l) deduce .

. Ii = ~ ql' [1 + 12 f (~+ ~)] 24 El 5 l2 5 2 (34)

factor que precede a los corchetes, es el valor que se obti~ne para la aplicando la teora elemental, bajo 'el supuesto de que las secciones

. de la viga permanezcan planas durante la flexin. El segundo dentro del corchete, representa la correccin que corresponde

.. . llamado efecto de la fuerza transversal, ..... Derivando dos veces con respecto a x la ecuacin (f) de la curva de : deflexin, encontramos para la curvatura la siguiente expresin

(d2;) = ...!l.. [lZ - x2 + c2 (i + ~)]

d:;2 u-o El 2 5 2 (35)

'lue nos permite establecer que la curvatura no es exactamente propor-. .cional al momento flector 1 q(l" - x 2)/2. El tnnino adicional encerrado por los corchetes tiene el significado de una correccin que debe aplicarse a la fnnula elemental corriente. Un estudio ms amplio de la curvatura .~e las vigas lleva a la conclusin~ de que la correccin indicada por el

:trmino que incluye la expresin (35), puede emplearse en todos aquellos ::c~sos de carga de intensidad variable en fonna continua. En el 36 se . el efecto de la fuerza transversal sobre la deformacin de una viga sometida a flexin bajo una carga concentrada.

Un clculo elemental del efecto de la fuerza transversal sobre la curvatura de la curva de deflexin de las vigas ha sido hecho por Rankine J en Inglaterra y Gra-

. shof en Alemania. Considerando como deformacin transversal mxima en el eje .; neutro de una viga rectangular de ancho unitario, bajo la accin de una fuerza trans-

. versal Q, el valo~ 3/2 ( 2~G ), el correspond1n~inc).remento de la curvatura est .. dado por su derIvada respecto a x, o sea, 3/2 \ 2cG De acuerdo con el clculo

.~Iemental, se llega a la siguiente expresin para la curvatura corregida:

q I1 - z' a i q [12 - :1;' ] El' -2-.- + 22cG = El ~.+ e'(l + .) Se observa que el valor de la correccin, as obtenida, es exagerado en comparacin con el de la expresin (35) '.

El trmino correctivo de la ecuacin de la curvatura (35) no puede atribuirse l Esla observacin es debida a K. Peorson, Quart. Jour. Math" vol. 24, pg. 63, 1889. , \'ase el trabajo de T. V. Karman, Abhandl. aerody/lam, Inst. Tech, Hochschule, Aachen

vol. 7, pg. 3, 1927. ' , Rankine, Appliud Mecha"ics, 14.' edicin, pg. 3#, 1895 . . , Grashof, Elastizitat wld Festigkeit, 2.' edicin, 1878. : , Una mayor aproximacin se consigue mediante consideraciones energticas, Vase

S. Tirnoshenko, StrlnJ/f.th of Materials, 2.' edicin, yol. 1, pg. 299,

68 TEORlA DE LA ELASTICIDAD

tan slo al esfuerzo cortante, pues deriva del hecho de que las tensiones de com-presin ". no estn uniformemente distribuidas en I~ alt~~a de la. vig~. El ensanc~amiento lateral que estas tensiones producen en la dueCClon x, dlsmmuye de arrtba a abajo, de manera que se origina una curvatura inversa (de convexidad, hacia.arriba). Si a esta curvatura se une el efccto de la fucrza transversal, quedara exphcado el trmino correctivo de dicha ecuacin.

22. Otros casos de flexin de vigas bajo cargas continuas. Aumentando el grado de los polinomios que representan las soluciones de los problemas bidimensionales ( 17), podemos resolver diversos casos de flexin de vigas sometidas a cargas que varan de un punto a o.tro con continuidad. Tomando, por ejemplo, una solucin en forma de poli-

y

FlG. 29

nomio de sexto grado y combinndola con las soluciones dadas en el 17, podemos determinar las tensiones que origina una presin hidrosttica en una estructura vertical empotrada, como la representada en la figura 29, y demost rll.r que el siguiente sistema de tensiones satisface todas las condiciones de equilibrio en las caras longitudinales

(1z = q:;r + 4~3 ( -2xy3 + e2xy) q:u (ya 3Y)

(1u = -"'2 + x 403 - 40 (a) 7'>11 = 38q~2 (02 - y2) - Ss (e' - y4) + 4~3 ~ e2(e2 - y2)

(l o

En estas expresiones q es el peso especfico del fluido, de manera que la intensidad de la carga a la profundidad x es qx y la fuerza transversal y el momento flector a la misma profundidad qx2f2 y qx3f6. Como puede advertirse fcilmente, los primeros trminos de las expresiones de (J", y T.. son los que para estas tensiones dan las frmulas elementales.

v En la parte superior de la estructura (x = O) la tensin normal es nula y la tangencial viene dada por;

T = _.!L (c4 - y4) +.J....~ C2(02 _ y2) >fI 803 4035

I Vunse los trabajo. dc T.mpe, loe. cit.; W. R. Osgood, J. Researeh Natl. Bur. Standards vol. 28, pg. 159, 1942.

PROBLEMAS IIlDlMllNSIONALliS EN COORDENADAS RECTANGULARES 69

Estas tensiones, aunque distintas de cero, son muy pequeas y adems u resultante es nula, por lo que a efectos prcticos podemos considerar

que el extremo superior de la estructura se encuentra libre de fuerzas ..' exteriores. . El efecto del peso de la estructunl sobre la distribucin de tensiones

tenid