Capıtol 1

Conjunts

1.1 Introduccio

El concepte de conjunt es un dels mes utilitzats, no solament en Matematiques sino en

quasi totes les ciencies. La teoria de conjunts te per objecte l’estudi de les propietats

fonamentals d’ells, independentment de la naturalesa i propietats particulars dels ens

que els constitueixen.

1.2 Conjunt i element. Notacions.

Els conceptes de conjunt i d’element son primaris, es a dir, no es poden definir. No

obstant aixo, l’observacio de cada ens material, qualsevol que sigui la seva naturalesa,

desperta en nosaltres la idea d’element ; la consideracio de diversos elements origina la

idea de pluralitat o conjunt. Per tant, determinar un conjunt es coneixer els elements

que el formen; per aixo ha d’existir un criteri que ens permeti d’assegurar si un

2 Conjunts

element forma part o no d’un conjunt. D’aquesta manera, introduım un nou concepte,

considerat per la majoria d’autors tambe com a primari, la relacio de pertinenca.

Els conjunts els representarem, usualment, amb lletres majuscules, i els elements amb

lletres minuscules. No obstant aixo, aquest conveni no ha de ser rıgid perque els

conceptes d’element i de conjunt son relatius, ja que el que en un determinat raonament

es un conjunt, en un altre raonament pot ser considerat un element. Per exemple, una

circumferencia es un conjunt de punts, pero a la vegada es un element del conjunt de

figures del pla.

A vegades s’utilitza la paraula classe per denotar un conjunt tal que els seus elements

son a la vegada conjunts.

A fi d’evitar certes dificultats logiques que es poden presentar, suposarem que tots els

conjunts que utilitzem en un raonament son tals que els seus elements pertanyen a un

determinat conjunt referencial o universal U .

Per indicar que un element a esta en un determinat conjunt A utilitzarem el sımbol

∈ (”pertany a ”); aixı escriurem:

a ∈ A (l’element a pertany al conjunt A)

Si un element b no pertany al conjunt A, escriurem b /∈ A.

Alguns dels conjunts mes coneguts i utilitzats son els seguents:

N = Conjunt dels nombres naturals

Z = Conjunt dels nombres enters

Q = Conjunt dels nombres racionals

R = Conjunt dels nombres reals

C = Conjunt dels nombres complexos

1.3 Determinacio d’un conjunt 3

1.3 Determinacio d’un conjunt

Existeixen dues maneres de determinar un conjunt:

Per extensio Consisteix a escriure entre claus els elements del conjunt. Per exemple,

el conjunt de les vocals el podem escriure com

A = {a, e, i, o, u} .

El conjunt dels nombres enters mes grans que dos i mes petits que vuit l’escriu-

rem com

B = {3, 4, 5, 6, 7} .

El conjunt dels nombres naturals el podem representar per extensio com

N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} .

Per comprensio Consisteix a especificar una propietat que caracteritza els elements

del conjunt. Aixı si ℘ denota una certa propietat, {x | ℘} representa el conjunt

dels elements que compleixen aquesta propietat. Per exemple, el conjunt B

anterior es pot representar per comprensio de la seguent forma:

B = {x ∈ Z | 2 < x < 8}

Per exemple, les arrels de l’equacio 2x2 − 3x + 1 = 0 constitueixen un conjunt

que el podem representar de les seguents formes:

Per extensio: C ={1, 12

}, per comprensio: C =

{x ∈ R

∣∣ 2x2 − 3x+ 1 = 0}

4 Conjunts

1.4 Conjunts unitaris. Conjunt buit.

Direm que un conjunt es unitari quan solament te un element. Per exemple

D ={x ∈ N

∣∣ 2x2 − 3x+ 1 = 0}= {1} .

Donarem el nom de conjunt buit, a tot conjunt definit per comprensio a partir d’una

propietat impossible, es a dir que no hi hagi cap element que la verifiqui. Per exemple,

A = {x ∈ Z | x < x}

B ={x ∈ R

∣∣ x2 + 1 = 0}

C = {x | x = x}

Esta clar que aquests conjunts no tenen cap element; d’alguna manera es pot dir que

estan buits. Mes endavant veurem que solament hi ha un conjunt que no tingui cap

element, a aquest conjunt li donarem el nom de conjunt buit i el representarem amb

el sımbol ∅

1.5 Representacio grafica de conjunts

Per a representar graficament un conjunt, utilitzarem els anomenats diagrames de

Venn. Consisteixen, fonamentalment, a representar el conjunt universal amb els punts

interiors a un rectangle, i els altres conjunts es representen amb corbes tancades

(normalment cercles) interiors al rectangle. Per exemple:

1.6 Igualtat de conjunts 5

En aquest diagrama tenim a ∈ A, pero b /∈ A. Els diagrames de Venn els podem

utilitzar per a tenir una idea intuıtiva de la situacio, pero no serveixen per a demostrar

teoremes. Sı que els podem utilitzar per trobar algun contraexemple.

1.6 Igualtat de conjunts

Dos conjunts A i B son iguals quan tenen els mateixos elements. Es a dir, que tot

element del conjunt A pertany al conjunt B i recıprocament, tot element del conjunt

B pertany al conjunt A. Si el conjunt A es igual al conjunt B escriurem A = B, en

el cas que no siguin iguals escriurem A = B. Com tots els conjunts buits verifiquen la

propietat de no tenir elements, podem assegurar que tots els conjunts buits son iguals

i, per tant, podem afirmar que el conjunt buit es unic. Les propietats que verifica la

relacio d’igualtat de conjunts son:

Reflexiva: A = A, per a qualsevol conjunt.

Simetrica: Si A = B, aleshores es verifica que B = A.

Transitiva: Si A = B i B = C, aleshores A = C.

6 Conjunts

Els raonaments d’aquestes propietats son molt facils de fer i es deixen per al lector.

Per exemple,{x ∈ Z

∣∣ x2 < 4}

= {−1, 0, 1}. Si representem els conjunts A i B

mitjancant diagrames de Venn i comprovem que la regio del pla que els representa es

la mateixa, aleshores podem dir que A = B. No obstant aixo, aquest metode no es

del tot correcte, ja que quan fem la representacio grafica mitjancant els diagrames de

Venn, haurıem de considerar tots els casos possibles i comprovar que la igualtat es

verifica sempre.

1.7 Relacio d’inclusio

Donats dos conjunts A i B, direm que el conjunt A esta contingut al conjunt B si

i solament si tot element del conjunt A pertany al conjunt B. Simbolicament ho

representarem per A ⊂ B. Per definicio considerarem que el conjunt buit esta con-

tingut a qualsevol conjunt. Quan A ⊂ B, direm que el conjunt B conte el conjunt

A i ho representarem per B ⊃ A, tambe direm que el conjunt A es un subcon-

junt del conjunt B. En el cas que A no sigui subconjunt de B, escriurem A ⊂ B

i direm que el conjunt A no esta contingut al conjunt B. Per exemple si tenim

A = {1, 2, 3} i B = {x ∈ Z | |x| > 3}, aleshores es verifica que ni A es subcon-

junt de B, ni B es subconjunt de A, per tant escriurem A ⊂ B i a la vegada B ⊂ A.

Direm que el conjunt A = ∅ esta contingut estrictament dins del conjunt B o que A

es un subconjunt propi del conjunt B, quan es verifica que A ⊂ B i A = B. S’escriu

A $ B. La relacio d’inclusio es representa mitjancant un diagrama de Venn de la

seguent manera:

1.7 Relacio d’inclusio 7

El lector pot demostrar facilment que la relacio d’inclusio verifica les seguents propi-

etats:

Propietat reflexiva: A ⊂ A, per a qualsevol conjunt.

Propietat antisimetrica: Si A ⊂ B i B ⊂ A, aleshores A = B

Propietat transitiva: Si A ⊂ B i B ⊂ C, aleshores A ⊂ C

Donat un conjunt A, els conjunts A i ∅ son sempre subconjunts del conjunt A i reben

el nom de subconjunts impropis del conjunt A. La propietat antisimetrica es molt

important i s’utilitza per demostrar la igualtat entre dos conjunts mitjancant el que

es diu metode analıtic o de doble contingut. Aquest metode consisteix a agafar un

element generic x ∈ A i demostrar que x ∈ B, amb la qual cosa haurem demostrat que

∀x ∈ A ⇒ x ∈ B, es a dir que A ⊂ B. A continuacio fem el mateix amb un element

generic x ∈ B i es demostra que tambe x ∈ A, es a dir, que haurem demostrat que

B ⊂ A. Un cop arribat aquı podem aplicar la propietat antisimetrica de la inclusio i,

per tant, arribem a A = B.

8 Conjunts

1.8 Sımbols logics

A partir d’ara utilitzarem els seguents sımbols:

∀ = per tot

∃ = existeix al menys un element...

∃| = existeix un i solament un element...

⇒= implica

⇔= doble implicacio = equivalent amb...

Als sımbols ∀ i ∃ se’ls dona el nom, respectivament, de quantificador universal i de

quantificador existencial. El sımbol ⇒ representa una implicacio, que es la relacio

fonamental del raonament logic. Si d’una relacio A anomenada hipotesi (que suposem

certa) se’n dedueix una altra B anomenada tesi escriurem A ⇒ B. Tambe es llegeix

”Si es verifica A, aleshores es verifica B”.

En aquest cas estem davant del que se sol anomenar teorema, proposicio o lema (el

nom depen, en general, de la importancia que donem al resultat). La paraula corol·lari

correspon a un resultat que es consequencia immediata d’un teorema.

El proces de deduccio logica es caracteritza per la ”transitivitat” de la implicacio:

si A ⇒ B i B ⇒ C aleshores A ⇒ C

Si a la vegada es verifica que A ⇒ B i B ⇒ A, aleshores direm que les relacions A i B

son logicament equivalents i escriurem A ⇐⇒ B.

1.9 Unio de conjunts 9

Per provar la implicacio A ⇒ B s’utilitza, a vegades, el raonament per reduccio a l’ab-

surd, que consisteix en prendre com a hipotesi la negacio de la tesi B (que denotarem

no B) i provar que aquesta negacio implica la negacio de la hipotesi de B (denotada

no A); es a dir:

(A ⇒ B) equival logicament a (no B ⇒ no A)

En el llenguatge comu de la matematica, donat un teorema A ⇒ B es diu que la

hipotesi (A) es condicio suficient per a la tesi (B) i que la tesi (B) es con-

dicio necessaria per a la hipotesi (A).

Quan tenim una equivalencia A ⇔ B, aleshores es diu que la hipotesi (A) es con-

dicio necessaria i suficient per a la tesi (B) o que la tesi (B) es condicio

necessaria i suficient per a la hipotesi (A). Tambe es diu que es verifica la

hipotesi (A) si i solament si es verifica la tesi (B).

1.9 Unio de conjunts

Donats dos conjunts A i B definim la seva unio i la representarem amb el sımbol

A ∪ B, com el conjunt format per tots els elements del conjunt A i tots els elements

del conjunt B.

es a dir:

A ∪B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B }

Per exemple,

A ={x ∈ N

∣∣ x2 = 4}= {2}

B ={x ∈ Z

∣∣x2 < 4}= {1, 0,−1}

⇒ A ∪B = {−1, 0, 1, 2}

10 Conjunts

Mitjancant un diagrama de Venn tindrem la seguent representacio:

BA

A B

Les propietats de la unio son:

a) Commutativa: A ∪B = B ∪A, ∀ A, B

El raonament es trivial i es deixa per al lector.

b) Associativa: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C, ∀ A, B, C

1.9 Unio de conjunts 11

Per demostrar-la utilitzarem el metode de doble contingut. En efecte,

x ∈ A ∪ (B ∪ C) ⇒

x ∈ A

o

x ∈ B ∪ C

⇒

x ∈ A

o

x ∈ B

o

x ∈ C

⇒

x ∈ A

o

x ∈ B

o

x ∈ C

⇒

x ∈ A ∪B

o

x ∈ C

⇒ x ∈ (A ∪B) ∪ C

Aquesta propietat es molt important, ja que es la que permet unir tres o mes

conjunts. Gracies a ella podem prescindir dels parentesis sempre i que solament

hi surtin unions, ja que l’ordre de col.locacio dels parentesis no afecta el resultat.

Exemple: Comprovar que (A ∪B) ∪ (C ∪D) = [A ∪ (B ∪ C)] ∪D

En efecte,

(A ∪B)∪

C ∪D︸ ︷︷ ︸S

= (A ∪B)∪SAss︷︸︸︷= A∪ (B ∪ S) = A∪ [B ∪ (C ∪D)]

Ass︷︸︸︷=

= A∪

B ∪ C︸ ︷︷ ︸T

∪D

= A ∪ (T ∪D)Ass︷︸︸︷= (A ∪ T ) ∪D = [A ∪ (B ∪ C)] ∪D

c) Idempotent: A ∪A = A, ∀ A

Demostracio trivial

12 Conjunts

d) A ∪∅ = A, ∀ A

Com el conjunt buit no te cap element, aleshores A∪∅ te els mateixos elements

que el conjunt A, i per tant coincideix amb el conjunt A.

e) A ⊂ A ∪B, ∀ A,B

Es dedueix de la definicio que hem donat de la unio de conjunts.

f) A ⊂ B ⇒ A ∪B = B

En efecte, d’una banda, tenim que

x ∈ A ∪B ⇒

x ∈ A ⊂ B ⇒ x ∈ B

o

x ∈ B

⇒ x ∈ B ⇒ A ∪B ⊂ B

D’altra banda, aplicant la propietat e tenim que B ⊂ A ∪B.

Per tant queda demostrat que si A ⊂ B, aleshores A ∪B = B

g) A ∪B = B ⇒ A ⊂ B

En efecte,

x ∈ A ⊂ A ∪B ⇒ x ∈ A ∪B = B ⇒ x ∈ B

h)A ⊂ S

B ⊂ T

⇒ A ∪B ⊂ S ∪ T

1.10 Interseccio de conjunts 13

En efecte,

x ∈ A ∪B ⇒

x ∈ A ⊂ S

o

x ∈ B ⊂ T

⇒

x ∈ S

o

x ∈ T

⇒ x ∈ S ∪ T

i)A ⊂ S

B ⊂ S

⇒ A ∪B ⊂ S

Aquesta propietat es consequencia immediata de la propietat anterior agafant

S = T .

Quan unim diversos conjunts podem utilitzar el sımbol seguent:

n∪i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪ ... ∪An

Mes en general, si tenim I = {i1, i2, ..., is, ...}, utilitzarem

∪i∈I

Ai = Ai1 ∪Ai2 ∪ ... ∪Ais ∪ ...

1.10 Interseccio de conjunts

Donats dos conjunts A i B, definim la interseccio de A i B com el conjunt format amb

els elements que pertanyen a tots dos conjunts. S’escriu A ∩B.

Tindrem que

A ∩B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

Utilitzant diagrames de Venn tindrem el seguent grafic:

14 Conjunts

BA

A B

Si els conjunts A i B no tenen cap element en comu, aleshores la interseccio es el

conjunt buit i direm que A i B son conjunts disjunts. Quan s’intersequen diversos

conjunts podem utilitzar el sımbol seguent:

n∩i=1

Ai = A1 ∩A2 ∩ ... ∩An

Mes en general, si tenim I = {i1, i2, ..., is, ...}, utilitzarem∩i∈I

Ai = Ai1 ∩Ai2 ∩ ... ∩Ais ∩ ...

1.11 Propietats de la interseccio

Les propietats de la interseccio son molt semblants a la de la unio i son molt facils de

comprovar.

a) Commutativa: A ∩B = B ∩A, ∀ A, B

es evident, perque tant es dir els elements comuns a A i a B que a B i a A.

1.11 Propietats de la interseccio 15

b) Idempotent: A ∩A = A, ∀ A

es trivial

c) Associativa: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C, ∀ A, B, C

La demostracio es molt semblant a la de la propietat associativa de la unio i es

proposa que la faci el lector.

d) A ∩∅ = ∅, ∀A

Com el conjunt buit no te cap element, aleshores no poden tenir cap element en

comu.

e) A ∩B ⊂ A, ∀A, B

Evidentment que tots els elements de la interseccio pertanyen a tots dos conjunts

per definicio de la interseccio.

f) A ⊂ B ⇒ A ∩B = A

En efecte,

x ∈ A ∩B ⇒

x ∈ A

i

x ∈ B

⇒ x ∈ A ⇒ A ∩B ⊂ A

x ∈ A ⊂ B ⇒ x ∈ B ⇒

x ∈ A

i

x ∈ B

⇒ x ∈ A ∩B ⇒ A ⊂ A ∩B

16 Conjunts

per tant es verifica la doble inclusio i tenim que, en aquest cas, A ∩B = A.

g) A ∩B = A ⇒ A ⊂ B

En efecte,

x ∈ A = A ∩B ⇒ x ∈ A ∩B ⇒

x ∈ A

i

x ∈ B

⇒ x ∈ B ⇒ A ⊂ B

h)S ⊂ A

T ⊂ B

⇒ S ∩ T ⊂ A ∩B

En efecte,

x ∈ S ∩ T ⇒

x ∈ S ⊂ A

i

x ∈ T ⊂ B

⇒

x ∈ A

i

x ∈ B

⇒ x ∈ A ∩B

i)S ⊂ A

S ⊂ B

⇒ S ⊂ A ∩B

Aquesta propietat es consequencia directa de la propietat anterior, agafant T =

S. Fins ara solament hem vist propietats de la interseccio i de la unio per

separat. Ara veurem mes propietats en les quals surten la interseccio i la unio

barrejades i que son molt importants.

j) Lleis d’absorcio

A ∩ (A ∪B) = A, ∀ A, B

A ∪ (A ∩B) = A, ∀ A, B

1.11 Propietats de la interseccio 17

Aquı farem la primera d’elles i es deixa per al lector la segona.

Aplicant la propietat e) de la unio tenim que A ⊂ A ∪B i aplicant la propietat

f) de la interseccio tenim que A ⊂ A ∪B ⇒ A ∩ (A ∪B) = A.

k) Propietat distributiva de la interseccio respecte de la unio.

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) , ∀ A, B, C

La demostrarem utilitzant el metode de doble contingut. D’una banda, tenim

que:

x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇒

x ∈ A

i

x ∈ B ∪ C

⇒

x ∈ A

i

o x ∈ B

o x ∈ C

⇒

x ∈ A

i

x ∈ B

o

x ∈ A

i

x ∈ C

⇒

x ∈ A ∩B

o

x ∈ A ∩ C

⇒ x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

18 Conjunts

D’altra banda, tenim que:

x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩ C) ⇒

x ∈ A ∩B

o

x ∈ A ∩ C

⇒

x ∈ A

i

x ∈ B

o

x ∈ A

i

x ∈ C

⇒

⇒

x ∈ A

i

o x ∈ B

o x ∈ C

⇒

x ∈ A

i

x ∈ B ∪ C

⇒ x ∈ A ∩ (B ∪ C)

l) Propietat distributiva de la unio respecte de la interseccio.

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) , ∀A, B, C

La demostracio es molt semblant a la de la propietat anterior i es deixa per al lector.

1.12 Complementari d’un conjunt respecte d’un altre

Sigui A un subconjunt qualsevol d’un conjunt E, definim el complementari del conjunt

A respecte del conjunt E i ho escriurem

CE (A) = A′E = AE ,

com el conjunt d’aquells elements que pertanyen al conjunt E pero no pertanyen al

conjunt A.

1.13 Propietats de la complementacio 19

AE = {x ∈ E | x /∈ A}

Quan no hi ha dubte sobre qui es el conjunt E, direm simplement el complementari del

conjunt A, i escriurem C (A) = A′ = A . En general, i tal com vam comentar al principi

d’aquest tema, sempre que parlem del complementari d’un conjunt ens referirem al

conjunt universal o referencial U , que te per subconjunts tots els conjunts que surtin.

Per exemple, si treballem al conjunt Z dels nombres enters i considerem el conjunt

A = {x ∈ Z | x = 2k, k ∈ Z}, tindrem que A = {x ∈ Z | x = 2k + 1, k ∈ Z}.

A

A

1.13 Propietats de la complementacio

A partir d’ara i per comoditat utilitzarem la lletra E per representar el conjunt refe-

rencial o universal U .

a) E = ∅

En efecte, E = {x ∈ E | x /∈ E} = ∅, per definicio de conjunt buit.

20 Conjunts

b) ∅ = E

En efecte, ∅ = {x ∈ E | x /∈ ∅} = E, perque tots els elements del conjunt E

verifiquen aquesta propietat, ja que el conjunt buit no te cap element.

c) A = A

En efecte, A = {x ∈ E | x /∈ A} = {x ∈ E | x ∈ A} = A

d) A ⊂ B ⇔ B ⊂ A

Suposem en primer lloc que A ⊂ B i demostrem que B ⊂ A.

x ∈ B ⇒ x /∈ B ⇒ x /∈ A, ja que si passes que x ∈ A ⊂ B ⇒ x ∈ B, per tant

com es verifica que x /∈ A, tenim que x ∈ A, es a dir, que es verifica B ⊂ A.

Igualment tenim que si B ⊂ A i agafem un element qualsevol x ∈ A, aleshores

s’ha de verificar que x ∈ B, ja que si es verifiques que x /∈ B ⇒ x ∈ B ⊂ A ⇒

x ∈ A ⇒ x /∈ A, i aixo va en contra de la hipotesi inicial.

e) A = B ⇔ A = B

En efecte,

A = B ⇔A ⊂ B

B ⊂ A

⇔B ⊂ A

A ⊂ B

⇔ A = B

f) Lleis de Morgan A ∩B = A ∪B, A ∪B = A ∩B, ∀A,B

Aquestes propietats es diuen que son duals una de l’altra ja que si se’n demostra

una, l’altra es demostra utilitzant la propietat que s’ha demostrat previament.

D’una banda, nosaltres demostrarem, en primer lloc, que A ∩B = A ∪ B i

despres utilitzant aquesta propietat demostrarem que A ∪B = A ∩B.

1.13 Propietats de la complementacio 21

En efecte,

x ∈ A ∩B ⇒ x /∈ A∩B ⇒

x /∈ A, x ∈ B

o

x ∈ A, x /∈ B

o

x /∈ A, x /∈ B

⇒

x ∈ A

o

x ∈ B

o

x ∈ A, x ∈ B

⇒ x ∈ A∪B

D’altra banda, tenim que:

x ∈ A ∪B ⇒

x ∈ A

o

x ∈ B

⇒

x /∈ A

o

x /∈ B

⇒

x /∈ A, x ∈ B

o

x /∈ A, x /∈ B

o

x ∈ A, x /∈ B

⇒

x /∈ A ∩B ⇒ x ∈ A ∩B

Per demostrar que A ∪B = A∩B, ho farem de la seguent manera: Utilitzarem

les lletres auxiliars S i T per designar respectivament S = A, T = B. Aleshores

tindrem que S = A = A, T = B = B.

Utilitzant la propietat anterior tindrem que:

S ∩ T = S ∪ T = A ∪B

i si tornem a agafar complementaris ens quedara que:

A ∪B = S ∩ T = S ∩ T = A ∩B

El lector es pot entretenir demostrant aquesta ultima propietat utilitzant el

metode de doble contingut i despres demostrar l’anterior propietat de manera

semblant a com hem demostrat aquesta ultima propietat.

22 Conjunts

g) A ∪A = E, A ∩A = ∅

Aquesta propietat es trivial i es deixa el seu raonament per al lector.

1.14 Diferencia de conjunts. Diferencia simetrica.

Definim la diferencia de dos conjunts A i B, com el conjunt format per aquells elements

que pertanyen al conjunt A pero no pertanyen al conjunt B. Utilitzarem el sımbol

A − B. Per tant tindrem que A − B = {x ∈ A | x /∈ B }. Agafant complementaris

respecte del conjunt referencial E, es facil demostrar que A−B = A ∩B.

Mitjancant un diagrama de Venn tindrem:

B

B

A

A B

Definim la diferencia simetrica dels conjunts A i B i s’escriu A △ B com el conjunt

d’aquells elements que o be pertanyen al conjunt A i no pertanyen al conjunt B, o be

pertanyen al conjunt B pero no pertanyen al conjunt A.

En definitiva tenim que A △ B = (A−B) ∪ (B −A)

1.15 Conjunt de les parts d’un conjunt 23

El lector pot demostrar que A △ B = (A ∪B)− (A ∩B).

En un diagrama de Venn tenim:

BA

A BD

1.15 Conjunt de les parts d’un conjunt

Donat un conjunt qualsevol E, definim el conjunt de les parts de E i el representarem

per ℘ (E), com el conjunt format per tots els seus subconjunts. Es a dir que

℘ (E) = {X | X ⊂ E }

Per exemple, si tenim E = {1, 2, 3}, aleshores tindrem que:

℘ (E) = {∅, {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1, 3} , {2, 3} , E}

Igualment tenim que ℘ (∅) = {∅} = ∅.

Tenint en compte que els elements del conjunt ℘ (E) son conjunts, aquests els podem

unir, intersecar i buscar els seus complementaris respecte del conjunt E, verificant-se

les seguents propietats:

24 Conjunts

a) A,B ∈ ℘ (E) ⇒ A ∪B ∈ ℘ (E) , A ∩B ∈ ℘ (E)

En efecte,

A,B ∈ ℘ (E) ⇒A ⊂ E

B ⊂ E

⇒ A ∪B ⊂ E ⇒ A ∪B ∈ ℘ (E)

De manera semblant tenim que:

A,B ∈ ℘ (E) ⇒A ⊂ E

B ⊂ E

⇒ A ∩B ⊂ A ⊂ E ⇒ A ∩B ∈ ℘ (E)

b) Commutativa: A ∪B = B ∪A, A ∩B = B ∩A

c) Associativa: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C

d) Distributives: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) , A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩

(A ∪ C)

e) Cotes universals o elements neutres: Existeixen ∅ i E ∈ ℘ (E) tals que

A ∪∅ = A, A ∩ E = A.

f) Complementacio: Donat A ∈ ℘ (E) ⇒ ∃ A ∈ ℘ (E) verificant que

A ∪A = E i A ∩A = ∅

Aquestes sis propietats donen lloc a una estructura matematica molt important cone-

guda amb el nom d’algebra de Boole. Per tant, podem afirmar que la terna

(℘ (E) ,∪,∩) forma una algebra de Boole, denominada algebra de Boole de les parts

d’un conjunt E.

Es pot observar que les propietats que ens permeten afirmar que (℘ (E) ,∪,∩) es

una algebra de Boole es presenten per parelles, i que unes s’obtenen de les altres

1.16 Particio d’un conjunt 25

intercanviant la ∪ per la ∩ i el conjunt universal E pel conjunt buit ∅ i recıprocament.

Aquest fet es coneix com dualitat en l’algebra de Boole (℘ (E) ,∪,∩).

Per aquest motiu podem enunciar la Llei de dualitat que diu: Si una igualtat entre

conjunts es demostrable a partir de les propietats de l’algebra de Boole, tambe queda

demostrada la seva igualtat dual (la que s’obte intercanviant la ∪ per la ∩ i el conjunt

universal E pel conjunt buit ∅ i recıprocament), solament intercanviant la ∪ per la

∩ i el conjunt universal E pel conjunt buit ∅ i recıprocament en la demostracio de la

primera igualtat.

1.16 Particio d’un conjunt

Donats dos conjunts diferents del conjunt buit, A i I i una famılia de subconjunts de

A, {Ai}i∈I , direm que {Ai}i∈I es una particio del conjunt A si es verifiquen les tres

propietats seguents:

a)∪i∈I

Ai = A

b) Ai = ∅, ∀ i ∈ I

c) Ai ∩Aj = ∅, ∀ i, j ∈ I, i = j

En el cas que solament es compleixi la primera de les propietats, direm que la famılia

{Ai}i∈I es un recobriment del conjunt A.

Per exemple, si treballem al conjunt Z dels enters, tenim que els conjunts

Z−, {0} i Z+

son una particio de Z.

26 Conjunts

Igualment tenim que la famılia de circumferencies de centre l’origen de coordenades

formen una particio del pla.

1.17 Parell ordenat d’elements

Donats dos conjunts E i F diferents del conjunt buit, i dos elements a ∈ E, b ∈ F

qualssevol, definim el parell ordenat (a, b) = {{a} , {a, b}}

Proposicio 1.1 (a, b) = (c, d) ⇔a = c

b = d

En efecte,

(a, b) = (c, d) ⇔ {{a} , {a, b}} = {{c} , {c, d}} ⇔

{a} = {c}

{a, b} = {c, d}

⇔a = c

{a, b} = {a, d}

⇔a = c

b = d

Cal observar que si a = b, aleshores (a, b) = (b, a), ja que a = b ⇒ {a} = {b} implica

que {{a} , {a, b}} = {{b} , {b, a}} ⇒ (a, b) = (b, a).

Si tenim tres conjunts E, F i G qualssevol diferents del conjunt buit i tres elements

a ∈ E, b ∈ F i c ∈ G, podem definir la terna ordenada (a, b, c) de dues maneres

diferents: D’una banda, podem definir (a, b, c) = ((a, b) , c), i de l’altra, es pot definir

(a, b, c) = (a, (b, c)).

Es faci com es faci, sempre es verifica la seguent proposicio:

Proposicio 1.2 (a, b, c) = (d, e, f) ⇔ a = d, b = e i c = f

1.18 Producte cartesia de dos conjunts 27

La demostracio d’aquesta proposicio es molt senzilla i es deixa per al lector.

Per la proposicio anterior es pot definir una terna ordenada d’elements com un ”ob-

jecte”matematic que denotem amb la notacio (a, b, c) i tal que (a, b, c) = (d, e, f) si

i solament si es verifica a = d, b = e i c = f .

En general, si tenim E1, E2, ..., En uns conjunts qualssevol diferents del conjunt buit, i

uns elements a1 ∈ E1, a2 ∈ E2, ..., an ∈ En, definim la n−tupla ordenada (a1, a2, ..., an)

com un ”objecte” matematic tal que

(a1, a2, ..., an) = (b1, b2, ..., bn) ⇔ ai = bi, ∀ i = 1, 2, ..., n.

A l’element a1 li donarem el nom de primera coordenada de la n−tupla (a1, a2, ..., an),

a l’element a2 el de segona coordenada, i aixı successivament fins arribar a la coorde-

nada n− sima.

1.18 Producte cartesia de dos conjunts

Definim el producte cartesia de dos conjunts E, F diferents del conjunt buit i ho

representarem amb el sımbol E×F , com el conjunt format per tots els parells ordenats

(a, b) tal que a ∈ E i b ∈ F .

E × F = {(a, b) | a ∈ E, b ∈ F }

Per exemple si E = {1, 2, 3} i F = {3, 4}, aleshores tenim que:

E × F = {(1, 3) , (1, 4) , (2, 3) , (2, 4) , (3, 3) , (3, 4)}

Observi’s que en general tindrem que E × F = F × E, ja que (a, b) = (b, a).

28 Conjunts

En el cas que E = F , escriurem E × F = E2

Per representar graficament el producte cartesia de dos conjunts ho farem mitjancant

el que en direm un diagrama cartesia. Aquest consisteix a dibuixar dos eixos (nor-

malment s’agafen perpendiculars), i sobre l’eix horitzontal es pinten uns punts que

representen els elements del conjunt E; sobre l’eix vertical es pinten uns altres punts

que representen els elements del conjunt F . A continuacio es dibuixen rectes verticals

i horitzontals que passen pels punts marcats anteriorment. Aquestes rectes es tallen

en uns punts de tal manera que cada punt es la representacio grafica d’un par ordenat.

El conjunt de tots els punts obtinguts es la representacio grafica del producte cartesia

E × F . En l’exemple anterior tindrem la seguent representacio grafica:

F

E

(1,4) (2,4) (3,4)

(3,3)(2,3)(1,3)

321

4

3

es facil demostrar que el producte cartesia verifica les seguents propietats:

a) Propietat distributiva respecte de la unio

A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C)

b) Propietat distributiva respecte de la interseccio

A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C)

1.19 Producte cartesia de tres conjunts 29

1.19 Producte cartesia de tres conjunts

Donats tres conjunts E, F i G, definim el seu producte cartesia i el representem amb

el sımbol E×F ×G, com el conjunt de totes les ternes ordenades (a, b, c) de tal forma

que a ∈ E, b ∈ F i c ∈ G.

es a dir que E × F ×G = {(a, b, c) | a ∈ E, b ∈ F, c ∈ G}

El producte cartesia de tres conjunts el podem representar graficament de manera

semblant a com ho feiem en la pregunta anterior pero ara agafant un altre eix perpen-

dicular als altres dos per posar-hi els elements del conjunt G. En el cas que tinguem

E = F = G, escriurem E × E × E = E3

Cal fer l’observacio que, tal com hem dit abans, podem suposar que

((a, b) , c) ≡ (a, b, c) ≡ (a, (b, c))

i, per tant, queda completament justificat que, per conveni, considerem que

(E × F )×G = E × F ×G = E × (F ×G) .

1.20 Producte cartesia de n conjunts

Donats els conjunts A1, A2, ..., An, definim el seu producte cartesia de la seguent ma-

nera:

A1 ×A2 × .....An =nΠi=1

Ai = {(a1, a2, ..., an) | ai ∈ Ai, i = 1, 2, ..., n}

Si A1 = A2 = .... = An, aleshores escriurem A1 ×A2 × .....An = An

Al subconjunt D = {(x, x, ..., x) ∈ An | ∀ x ∈ A}, li donarem el nom de diagonal de

An.

30 Conjunts

Exercicis

P 1.1 Siguin X = A ∩ B ∩ C , Y = A ∩ (B ∪ C). Busqueu X ∩ Y , X ∪ Y .

P 1.2 Demostreu que (A ∪ B

)∩ (A ∪B) =

(A ∩ B

)∪(B ∩ A

)i que [

(A ∪B) ∩(A ∪ B

)]∪ (A ∩ ∅) = A

P 1.3 Simplifiqueu al maxim (X ∩ Y ) ∪(X ∩ Y

)∪(X ∩ Y

)∪(X ∩ Y

)P 1.4 Demostreu que

A− (B ∪ C) = (A−B) ∩ (A− C) i A− (B ∩ C) = (A−B) ∪ (A− C)

P 1.5 Demostreu que (A∆B) ∩ C = (A ∩ C) ∆ (B ∩ C).

P 1.6 Siguin A i B dos subconjunts de E, diferents del conjunt buit, d’interseccio no buida i diferent

del conjunt A i del B i tal que la seva unio es diferent del conjunt E. Demostreu que els quatre

subconjunts seguents formen una particio de E.

E1 = A ∩B, E2 = A− (A ∩B) , E3 = B − (A ∩B) , E4 = A ∪B

P 1.7 En un grup de 120 alumnes, 15 practiquen el futbol, l’atletisme i basquet; 23 juguen al futbol

i al basquet; 36 practiquen futbol i atletisme; 48 atletisme i basquet; 61 juguen al futbol; 64 al basquet

i 75 fan atletisme. Quants alumnes no practiquen cap d’aquests esports?.

P 1.8 Demostreu que

A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C)

A× (B − C) = (A×B)− (A× C)

i

(A ∪B)× (C ∪D) = (A× C) ∪ (B ×D)