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Diagrama de Venn que muestra un conjunto Acontenido en otro conjunto U y su diferencia

Teoría de conjuntosDe Wikipedia, la enciclopedia libre

La teoría de conjuntos es una división de lasmatemáticas que estudia los conjuntos. El primerestudio formal sobre el tema fue realizado por elmatemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIXy más tarde reformulada por Zermelo.

El concepto de conjunto es intuitivo y se podríadefinir como una "colección de objetos"; así, sepuede hablar de un conjunto de personas,ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto deobjetos que hay en un momento dado encima deuna mesa. Un conjunto está bien definido si sesabe si un determinado elemento pertenece o no alconjunto. El conjunto de los bolígrafos azules estábien definido, porque a la vista de un bolígrafo sepuede saber si es azul o no. El conjunto de laspersonas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si esalta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el sigloXIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad.Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendocélebre la definición que publicó Cantor

Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados denuestra intuición o nuestra mente.

Georg Cantor

Contenido1 Notación2 Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos

2.1 Igualdad de conjuntos2.2 Subconjuntos y Superconjuntos

3 Operaciones de conjuntos3.1 Unión3.2 Intersección3.3 Particiones3.4 Diferencia3.5 Complemento3.6 Diferencia simétrica

4 Álgebra de conjuntos4.1 Producto cartesiano de conjuntos o producto cruz

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4.2 Cuantificadores4.3 Funciones

5 Véase también6 Bibliografía7 Referencias8 Enlaces externos

NotaciónUsualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,...

Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementostienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos esúnico, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula:a, b, k,...

De esta manera, si es un conjunto, y todos sus elementos, es común escribir:

para definir a tal conjunto . Esta notación empleada para definir al conjunto se llama notaciónpor extensión

Para representar que un elemento pertenece a un conjunto A, escribimos (léase "x en A", "xpertenece a A" o bien "x es un elemento de A"). La negación de se escribe (léase no pertenece a ).

El conjunto universal, que siempre representaremos con la letra U (u mayúscula), es el conjunto detodas las cosas sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de números enteros entonces U es elconjunto de los números enteros, si hablamos de ciudades, U es el conjunto de todas las ciudades,este conjunto universal puede mencionarse explícitamente, o en la mayoría de los casos se da porsupuesto dado el contexto que estemos tratando, pero siempre es necesario demostrar la existencia dedicho conjunto previamente.

Existe además, un único conjunto que no tiene elementos al que se le llama conjunto vacío y que sedenota por . Es decir

La característica importante de este conjunto es que satisface todos los elementos posibles no estáncontenidos en él, es decir

.

Por otro lado, si todos los elementos de un conjunto A satisfacen alguna propiedad, misma quepueda ser expresada como una proposición , con la indeterminada , usamos la notación porcomprensión, y se puede definir:


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Lo anterior se lee "A es el conjunto de elementos x, que cumplen la propiedad p(x)". El símbolo ":"se lee "que cumplen la propiedad" o "tales que"; este símbolo puede ser remplazado por una barra .

Por ejemplo, el conjunto puede definirse por:

donde el símbolo representa al conjunto de los números naturales.

El uso de algún conjunto es muy importante, ya que de no hacerlo se podría caer encontradicciones como ejemplo:

Es decir, es el conjunto donde cada elemento satisface la propiedad . Al principio unopodría creer que ningún conjunto puede estar contenido en sí mismo y que por lo tanto nocontiene elemento alguno; sin embargo, en vista de que es un conjunto, cabe hacer la pregunta "¿

?" Si la respuesta es negativa ( ) entonces cumple la propiedad ypor lo tanto . Si por el contrario la respuesta es afirmativa ( ), entonces nocumple con la propiedad y por esta razón . Esta paradoja es muy famosa y seconoce como la paradoja del barbero esta es una de las tantas incongruencias que tenía la teoría deCantor.

Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos

Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos y se dicen iguales, lo que se escribe si constan de los mismoselementos. Es decir, si y solo si todo elemento de A está también contenido en B y todo elemento deB está contenido en A. En símbolos:

Subconjuntos y Superconjuntos


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Diagrama de Venn que muestra

Un conjunto se dice que es subconjunto de otro, si cada elemento de es también elemento de, es decir, cuando se verifique:

,

sea cual sea el elemento . En tal caso, se escribe.

Cabe señalar que, por definición, no se excluye laposibilidad de que si , se cumpla

. Si tiene por lo menos un elementoque no pertenezca al conjunto , pero si todoelemento de es elemento de , entoncesdecimos que es un subconjunto propio de ,lo que se representa por . En otras palabras, si y sólo si , y .Así, el conjunto vacío es subconjunto propio de todo conjunto (excepto de sí mismo), y todoconjunto A es subconjunto impropio de sí mismo.

Si es un subconjunto de , decimos también que es un superconjunto de , lo que se escribe. Así pues

,

y también que:

,

significando que es superconjunto propio de .

Por el principio de identidad, es siempre cierto , para todo elemento , por loque todo conjunto es subconjunto (y también superconjunto) de sí mismo.

Vemos que es una relación de orden sobre un conjunto de conjuntos, pues

( es reflexiva)( es antisimétrica)( es transitiva)

Operaciones de conjuntosSean y dos conjuntos.

Unión


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Diagrama de Venn que ilustra

Diagrama de Venn que ilustra

Para cada par de conjuntos A y B existe unconjunto que se denota como el cualcontiene todos los elementos de A y de B. Demanera más general, para cada conjunto S existeotro conjunto denotado como de maneraque sus elementos son todos los talesque . De esta manera es el casoespecial donde .

Es claro que el hecho de que un elemento xpertenezca a es condición necesaria ysuficiente para afirmar que x es un elemento de Ao al menos de B. Es decir

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

Entonces

Intersección

Los elementos comunes a y forman unconjunto denominado intersección de y ,representado por . Es decir, es elconjunto que contiene a todos los elementos de Aque al mismo tiempo están en B:

.

Si dos conjuntos y son tales que, entonces y se dice que son

conjuntos disjuntos.

Es claro que el hecho de que escondición necesaria y suficiente para afirmar que

y . Es decir


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Ejemplos: si tenemos los conjuntos

Entonces:

Particiones

Dado un conjunto A y una serie de subconjuntos Ai, se dice que Ai son particiones de A cuando launión de todas es el conjunto A, y la intersección de todas es el conjunto vacío.

Diferencia


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Diagrama de Venn que muestra A − B

Diagrama de Venn que muestra B − A

Los elementos de un conjunto que no seencuentran en otro conjunto , forman otroconjunto llamado diferencia de y ,representado por . Es decir:

.

o dicho de otra manera:

Algunas personas prefieren denotar la diferencia de y como .

Una propiedad interesante de la diferencia es que

eso es porque

Ejemplos: Sin importar cual conjunto A elija usted, siempre se cumple


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Complemento

El complemento de un conjunto A, es el conjunto de los elementos que pertenecen a algún conjuntoU pero no pertenecen a A, que lo representaremos por . Es decir

El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que estamos tratando, esto es,si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjuntocomplemento de los números pares, es el formado por los números no pares. Si estamos hablando depersonas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de laspersonas no rubias.

En vista de que y , entonces

,

de manera que

Pero también

de modo que

Diferencia simétrica

Los elementos de dos conjuntos,A y B a excepción de aquellos que se encuentran en el área deintersección de dichos conjuntos se define la diferencia simétrica.

Álgebra de conjuntosSean A, B, y C conjuntos cualesquiera y U un conjunto tal que , y entonces:


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Elemento neutro de la unión Elemento neutro de la intersección

Propiedad conmutativa de la intersección Propiedad conmutativa de la unión

Propiedad de Involución.

Propiedad asociativa de la intersección Propiedad asociativa de la unión

Propiedad distributiva de la intersección Propiedad distributiva de la unión

Producto cartesiano de conjuntos o producto cruz

Un par ordenado de números es tal si los pares y son uno mismo si y sólo si.

Dados dos conjuntos y , definimos al conjunto producto ( o producto cartesiano) de y (enese orden), representado por , como el conjunto

EjemploSean y . Así,


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Ya que el producto cartesiano está formado de pares ordenados (donde el orden de los componentesimporta), resulta

Cuantificadores

Los cuantificadores sirven para indicar cuantos elementos de un conjunto dado cumplen con ciertapropiedad. Tales cuantificadores son

El cuantificador universal, representado por . Este cuantificador se emplea para afirmarque todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada propiedad. Se escribe

El cuantificador existencial se usa para indicar que al menos un elemento de un conjunto cumple con una propiedad. Se escribe

.

Se definen

Funciones

Sean y dos conjuntos. Un subconjunto , se dice aplicación o función de en ,lo que se representa por

siempre que se verifique

Si , el elemento se dice imagen de por , y el elemento se llama antecedente de por .

Sea una función . Se emplea la notación para representar a la imagen de por , y por tanto .

Sean las funciones y . Se define

,

y se dice que es el producto de composición de las funciones y .


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Vemos que

y

por lo que

Véase tambiénTeoría axiomática de conjuntosHipótesis del continuoDiagrama de VennConjuntoIntersección de conjuntosUnión de conjuntosDiferencia de conjuntos

BibliografíaGonzález Carlomán, Antonio; Retículo completo de Boole, lógica matemática, teoría deconjuntos (2006); Universidad de Oviedo. Servicio de Publicaciones; ISBN 84-8317-534-7Cantor, Georg; Fundamentos para una teoría general de conjuntos: escritos y correspondenciaselecta (2005); Editorial Crítica; ISBN 84-8432-695-0Fernández Laguna, Víctor; Teoría de conjuntos elemental, Bachillerato (2004); Anaya; ISBN84-667-2614-4Climent Coloma, Joan Josep, [ et. al. ]; Álgebra: teoría de conjuntos y estructuras algebraicas(2003); Editorial Club Universitario; ISBN 84-8454-302-1Tiñena Salvañà, Francesc; La teoría de conjuntos (2002); Editorial UOC, S.L.; ISBN84-8429-923-6Arrieche Alvarado, Mario; Iniciación de la teoría de conjuntos, en la formación de profesoresde matemáticas (2002); Arrieche Alvarado, Mario Jose; ISBN 84-607-4774-3Setó, Jordi; Teoría elemental de conjuntos (2002); Clag S.A; ISBN 84-921847-6-0Climent Coloma, Joan Josep; Álgebra. Teoría de conjuntos y estructuras algebraicas (2001);Editorial Club Universitario; ISBN 84-8454-081-2González Carlomán, Antonio; Retículo completo de Boole. Lógica matemática teoría deconjuntos (2001); Universidad de Oviedo. Servicio de Publicaciones; ISBN 84-8317-264-XLópez Abad, Jordi; Aplicaciones de la teoría de conjuntos al análisis matemático (2000);Universidad de Barcelona. Publicaciones y Ediciones = Universitat de Barcelona. Publicacionsi Edicions; ISBN 84-475-2427-2Alonso Jiménez, José A.; Pérez Jiménez, Mario de J.; Ruiz Reina, José L.; Teoría de conjuntos(1998); Ediciones La Ñ, S.L.; ISBN 84-89524-45-9Ediciones Nauta C., S.A.; Teoría de conjuntos (1994); Parte de obra completa (1); ISBN84-89140-14-6Brissiaud, Remi; El aprendizaje del cálculo: más allá de Piaget y de la teoría de los conjuntos(1993); A.Machado Libros, S.A.; ISBN 84-7774-090-9


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Referencias

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Enlaces externos

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