teoria de colas · instante, pues un servidor suele realizar la operación de manera más rápida...

TEORIA DE

COLAS

TEORIA DE COLAS

Definición, elementos de un modelo de colas, tipos.

Características: Distribución de llegadas,

distribución de tiempos de servicio,

Canales de servicio, disciplina del servicio, número

máximo de clientes permitidos,

Fuente o población. Notación de Kendall.

Sistemas de colas M/M/1, M/M/1/K, M/M/C.

Parámetros y medidas de rendimiento.

Se define como una línea de clientes en espera,que requieren atención de uno o más servidores.

Esta se forma además en aquellas situaciones enlas que la demanda excede la capacidad delsistema para atenderla, pues los servidores estánocupados y los clientes que entren al sistema nopueden ser atendidos en ese instante.

Cola

Conociendo el tamaño de la población que desea acceder alservicio, es necesario conocer la longitud del intervalo detiempo entre llegadas, pues este es un factor importante en eldesempeño del servicio y el tamaño de las colas.

Generalmente, la distribución que sigue la variable querepresenta el tiempo entre llegadas es la exponencial deparámetro λ .

Tasa de llegadas = Tiempo entre llegadas de los clientes

Tasa de llegadas

Tasa de llegadas = λ

Este elemento está referido a la duración del tiempo deatención de cada cliente.

Dependerá no solo del tipo de transacción o servicio que serecibe, sino de la eficiencia de la persona encargada debrindarlo. Esta puede ser consecuencia tanto de la experiencia(o falta de esta) como de la situación del sistema en eseinstante, pues un servidor suele realizar la operación demanera más rápida al notar la existencia de una cola detamaño considerable, aunque esto pueda tener efectosnegativos en la calidad del servicio mismo (por ejemplo, no serealiza de la forma adecuada, con errores, o la percepción delcliente refiere a que la atención fue demasiado impersonal).

Tasa de servicio

Tasa de servicio = u

Las Líneas de espera, filas de espera o colas de espera, sonrealidades cotidianas:

• Personas esperando para realizar sus transaccionesante una caja en un banco.

• Estudiantes esperando por obtener copias en lafotocopiadora.

• Vehículos esperando pagar en una estación de peajeo continuar su camino, en un semáforo en rojo.

• Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas.

Terminología para las líneas de espera

Los Modelos de Líneas de Espera son de gran utilidad tantoen las áreas de Manufactura como en las de Servicio.

Los Análisis de Colas relacionan:

- La longitud de la línea de espera (cola).- El tiempo promedio de espera.- La conducta de los usuarios a la llegada y en la cola.

Los análisis de colas ayudan a entender el comportamiento deestos sistemas de servicio (la atención de los cajeros de unbanco, actividades de mantenimiento y reparación demaquinaria, el control de las operaciones en planta, etc.).


Desde la perspectiva de la Investigaciónde Operaciones, los pacientes que esperan seratendidos por el odontólogo o las prensasdañadas esperando reparación, tienen mucho encomún. Ambos (gente y máquinas), requierende recursos humanos y recursos materialescomo equipos para que se los cure o se los hagafuncionar nuevamente.



Situación Clientes Servidores Servicio

Espera de clientes en un supermercado

Clientes que esperan para pagar

Cajas registradoras

Cobro de la compra

Automóviles en un taller

Automóviles averiados

Mecánicos o equipos de mecánicos

Reparación del automóvil

Servicio de mantenimiento

industrial

Máquinas averiadas o en mantenimiento

Equipos de mantenimiento

Reparación de la máquina

ClientesSalida

Tasa deLlegadas:

λ Configuración /Disciplina / Capacidad

Tasa de

Servicio: u

Abandono

RenunciaPOBLACIÓNPOTENCIAL

COLA SERVICIO

Si

No

SISTEMA


¿NecesidadFutura?


Centro Emisor

(finito/infinito)

Ley de

llegada

Ley de

servicioSistema

Fila

(finita/infinita)

Servicio

(varios servidores)

Un proceso básico de filas se tipifica por:

• Fuente de entrada o población potencial.

• Cliente.

• Capacidad de la fila.

• Disciplina de la fila.

DEFINICIONES

Los clientes arriban (llegan) para ser atendidos de unamanera programada o de una manera aleatoria.

Se consideran que los arribos son aleatorios cuando éstos

son independientes de otros y su ocurrencia no puede serpredicha exactamente.

Frecuentemente el número de arribos por unidad de tiempopuede ser estimado por medio de la Distribución dePoisson.

Centro emisor: patrón de llegada o arribo

La tasa de llegadas aleatoria sigue una ley deprobabilidad, denominada ley de llegada.

En ocasiones, puede ser más conveniente definir laley de llegada por los tiempos entre llegadas.

En un caso general, la tasa media de llegadas alsistema puede ser función de los “n” clientes que seencuentran en el interior del sistema y se representa

por λ.

Centro emisor: patrón de llegada o arribo

Población infinita o ilimitada

Cuando el número de clientes o arribos en unmomento dado es una pequeña parte de losarribos potenciales.

Ejemplo

Vehículos que pasan por una caseta de peaje;clientes que ingresan a un supermercado.

Centro emisor: tamaño de la población

Población finita o limitada

Cuando se tienen muy pocos servidores y elservicio es restringido.

Ejemplo

Pacientes hospitalizados en un pabellón de unaclínica; máquinas fotocopiadoras que esperanrecibir mantenimiento en una empresa.

Centro emisor: tamaño de la población

La mayoría de los modelos de colas asume que losclientes son personas pacientes, o sea queesperan en la cola hasta ser servidos. En lapráctica, la gente se aburre. Aquellas personas quese impacientan por la espera, se retiran de la colasin iniciar su transacción.

Esta situación sirve para acentuar la necesidadde estudiar los sistemas de colas y el análisis de laslíneas de espera, ya que un cliente no servido esun cliente perdido y da malas referencias delnegocio.

Centro emisor: comportamiento de las llegadas

En el servicio son importantes:

• La configuración del sistema de servicio.

• El patrón del tiempo de servicio.

Servicio

Los sistemas de servicio se clasifican enfunción de:

• El número de canales (servidores).

• El número de fases (número de paradas quedeben hacerse durante el servicio).

Servicio: configuración del sistema de servicio

Según el número de canales:

• Sistema de cola de un solo canal.

• Sistema de cola multicanal.

Según el número de fases:

• Sistema de cola de una sola fase.

• Sistema de colas multifase.

Servicio: configuración del sistema de servicio

Sistema de un canal y una fase

Llegadas

Unidades

servidasDispositivo

de servicio

Cola

Sistema de servicio

Bahía

Línea de espera de

los barcos

Barcos en

el mar

Sistema de descarga de barcos Barcos

vacíos

Sistema de un canal y varias fases

Coches y

comida

Llegadas

Unidades

servidasDispositivo

de servicio

Cola

Sistema de servicio

Coches en cola

Coches

en el área

Ventanilla de servicio a automóviles de McDonald´s

Pago

Dispositivo

de servicio

Recojo

Sistema de varios canales y una fase

Llegadas

Unidades

servidasDispositivo

de servicio

Cola

Sistema de servicio

Ejemplo: los clientes del banco esperan en una única cola para ser

atendidos en alguna de las diferentes ventanillas.

Dispositivo

de servicio

Dispositivo

de servicio

Dispositivo

de servicio

Sistema de dos canales y dos fases

Dispositivo

de servicio

Llegadas

Unidades

servidasDispositivo

de servicioCola

Sistema de servicio

Dispositivo

de servicio

Ejemplo: en una lavandería, los clientes utilizan una de las

diferentes lavadoras y después, una de las diferentes

secadoras.

Dispositivo

de servicio

Un sistema de líneas de espera se tipifica por:

• Capacidad del sistema

• El centro emisor de los clientes a servir (fuente de entradao población potencial).

• Las condiciones en las que se desarrolla el proceso deespera en la fila (capacidad, disciplina).

• Las características del servicio (número de canales y deetapas)

• Patrones o leyes de llegada y de servicio que gobiernan elsistema de colas.

DEFINICIONES

Los patrones de tiempos de servicio son similares a lospatrones de tiempo de llegada. Pueden ser constantes oaleatorios.

Si el tiempo de servicio es constante, toma la mismacantidad de tiempo atender a cada cliente. Es comúncon servicios dados por medio de máquinas.

Ejemplo.- lavadora automática de carros.

Servicio: patrón del tiempo de servicio

Proceso de espera

Entrada

Fila única

Clientes

Servidores

Ejemplo:

- Cines- Bancos- Cajas rápidas

Proceso de espera

Filas múltiples

Clientes

Servidores

Ejemplo:

- Peaje- Cajas de supermercado- Dispensadores de combustible en gasolineras- Atención en farmacias

Proceso de espera

Serviciocon ticket de

atención

3 4

8

2

6 10

12

115

79

Servidores

Clientes

Ejemplo:

- Cajas de los bancos- Módulos de atención en entidades

públicas (Sunat, Sunarp, etc.)

Las características de las filas deespera son:

• Longitud de la cola.

• Disciplina de la cola.

Proceso de espera

• Cola limitada es aquella que porconsideraciones físicas no puedeincrementarse a tamaños mayores.

Ejemplo.- una peluquería que tiene pocospeluqueros y sillas para atender.

• Cola ilimitada es aquella que tiene un tamañono restringido.

Ejemplo.- una caseta de peaje que atiende a losvehículos que transitan por una carretera.

Proceso de espera: longitud de la cola

• El comportamiento de los clientes que alobservar una larga cola abandonan lasinstalaciones.

Ejemplo.- cines.

• Negocios con capacidad limitada.

Ejemplo.- un taller de reparación deautomóviles.

Mediante modelos de cola limitadapodemos representar:

Es el orden en que se seleccionan susmiembros para recibir el servicio. Puede ser:

FIFO

LIFO

PROCESSOR SHARING (el sistemaes el que atiende a sus clientes deacuerdo a las prioridades programadas)

DISCIPLINA DE LA COLA

La mayoría de los sistemas usan la regla FIFO(Primero en Entrar Primero en Salir).

Ejemplo.- las cajas rápidas en lossupermercados.

Pero no siempre se emplea la regla FIFO.

Ejemplo.- área de emergencia de un hospital,donde la atención depende de la gravedad delas lesiones de la persona que arribó porauxilio médico.

Proceso de espera: disciplina de la cola

En muchos sistemas de colas se establece unsistema de prioridades.

Ejemplo.- en un aeropuerto internacional,las autorización para el despegue o aterrizajedependen de la torre de control.


Para definir un sistema de prioridades esnecesario:

• Definir varios grupos de clientes a servir.

• Cada cliente que llegue al sistema debeasignarse a uno de los grupos establecidos.

• Establecer prioridades.

Existen dos tipos de prioridades:

• Sin interrupción.

• Con interrupción.


o Prioridad sin interrupción

En primer lugar, se atenderán los clientes delprimer grupo que tiene la prioridad más alta.Sólo cuando no haya ningún cliente de esegrupo por atender, se pasará a atender a losclientes del segundo grupo, y asísucesivamente.


o Prioridad con interrupción

Si se están atendiendo clientes de grupos dedeterminadas prioridades y llega un cliente deun grupo de prioridad más alta, se interrumpeel servicio del cliente de baja prioridad paraatender a la de alta. Una vez atendida ésta, sesigue sirviendo al cliente de baja prioridad, sino llegan más clientes de prioridad más alta.


(1/2/3/4/5/6)

Notación Kendall-Lee

Kendall (1951) propuso una notación parasistemas de colas que ha sido adoptadouniversalmente.

Esta notación está basada en el formato siguiente:

(1/2/3/4/5/6)


1. LEY DE LLEGADA

Y el valor medio de la tasa de llegadas cuando hay n

clientes en el sistema n.

Los tiempos entre llegadas son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas y regidos por una Distribución exponencial (M), determinística (D), Erlang con parámetro de forma K (Ek) o general (G).

(1/2/3/4/5/6)


2. LEY DEL SERVICIO

Y el valor medio de la TASA DE SERVICIO cuando hay

n clientes en el sistema n .

Los tiempos entre llegadas son variables aleatoriasindependientes e idénticamente distribuidas y regidos poruna Distribución exponencial (M), determinística (D),Erlang con parámetro de forma K (Ek) o general (G).

(1/2/3/4/5/6)


3. N° SERVIDORES EN PARALELO

(1/2/3/4/5/6)


4. DISCIPLINA DE LA COLA

• PEPS (Primero en Entrar Primero en Salir)

• UEPS (Último en Entrar Primero en Salir)

• SOA (Servicio en Orden Aleatorio)

• DG (Disciplina General)

(1/2/3/4/5/6)


5. TAMAÑO MÁXIMO DEL SISTEMA DE COLAS (k)

Infinito (∞) si el modelo es de cola infinita.

(1/2/3/4/5/6)


6. TAMAÑO DEL CENTRO EMISOR (m)

Infinito (∞) si el modelo es de población infinita.

(1/2/3/4/5/6)


(M/M/1/DG//): Tiempos entre llegadas y

tiempos de servicio sondistribuidosexponencialmente.

Un único servidor.

Disciplina de la cola esGeneral.

Capacidad de colailimitada.

Llegadas de una poblacióninfinita.


Medidas de eficacia de un sistema de colas

Definiciones imprescindibles:

: El número promedio de clientes que llegan al sistema por unidad de tiempo.

: El número promedio de clientes que son servidos por unidad de tiempo. : Tasa de utilización L : Número promedio de clientes en el sistema. Lq : Número promedio de clientes en la cola. Ls : Número promedio de clientes en el servicio. La relación entre las cantidades de clientes es: L = Lq + Ls W : Tiempo promedio que cada cliente permanece en el sistema. Wq : Tiempo promedio que cada cliente permanece en la cola. Ws : Tiempo promedio de permanencia en el servicio. La relación entre los tiempos es: W = Wq + Ws Po = Probabilidad de hallar el sistema vacío u ocioso.

DEFINICIONES Y FORMULAS DE TEORIA DE COLAS

PROBLEMA RESUELTO

Problema

La cola rápida de un supermercado atiende sólo clientes

con 10 artículos o menos, y como resultado, es mucho más

veloz para los clientes preferenciales que las colas

normales. El gerente ha estudiado esta cola y ha

determinado que los clientes llegan de acuerdo a un

proceso Poisson con tasa media de 30 clientes por hora

y que, el tiempo necesario para que un cliente sea

atendido tiene una distribución Exponencial con media de

1 minuto.

PROBLEMAS

Se pide calcular:

a) Número promedio de clientes en el sistema y haciendo

fila.

b) La fracción de clientes que deben esperar en la cola.

c) Tiempo total que consume un cliente en el sistema.

d) El tiempo medio de estancia de los clientes en la cola.

e) Fracción de tiempo que los clientes deben esperar en la

cola.

f) El porcentaje de tiempo que el sistema está ocupado y

desocupado.

g) Probabilidad de que se encuentre tres clientes en el

sistema.

PROBLEMAS

SOLUCIÓN:

PROBLEMAS

PROBLEMAS

Adicionalmente se pide:

h) En promedio, ¿A cuántos clientes se está

atendiendo o se están esperando?

i) En promedio ¿Cuánto debe esperar un cliente antes

de poder retirarse?

PROBLEMAS PROPUESTOS

Problema 1

En el mostrador de libros de una biblioteca, los estudiantes que se

retiran deben abrir sus mochilas, maletines, bolsas, portafolios, etc.,

para que el vigilante verifique si no hay robos de libros, revistas o

documentos. El tiempo que se requiere para hacer esta verificación

tiene una distribución Exponencial con media de 0.75 minutos. Se ha

determinado que los estudiantes llegan de acuerdo a un proceso de

Poisson con una tasa media de 15 por hora.

a) Hallar los valores de y .

b) ¿Qué tiempo le llevará a un estudiante pasar por la revisión?

c) ¿En promedio, cuántos estudiantes se encuentran esperando en

cola en cualquier momento?

d) Durante qué fracción de tiempo estará libre el vigilante que revisa

las bolsas para poder dedicarse a estudiar?

PROBLEMAS

Problema 2

Un autocinema tiene 3 taquillas, cada una de las cuales atiende

una cola de clientes. Los automóviles llegan al autocinema de

acuerdo a un proceso de Poisson con tasa media de 60 por hora

y cada taquilla tiene un tiempo de atención de acuerdo a una

distribución Exponencial con media 0.75 minutos.

Responder:

a) ¿Qué tipo de cola es este?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que, si consideramos una sola de

las taquillas se encuentre desocupada? ¿Cuál es la probabilidad

de que se esté atendiendo a 2 automóviles?

PROBLEMAS

c) ¿Cuál es el número promedio de automóviles en cada una de

las taquillas?

d) ¿Cuál es el tiempo promedio que un automóvil espera antes

de llegar a la taquilla?

e) Si el autocinema decide utilizar una sola cola para la venta de

todos los boletos de las tres taquillas, ¿Qué característica de

operación esperaría usted que cambiará más?

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