Universidad de Los Andes

Facultad de Ingeniería

Escuela de Mecánica

Departamento de Tecnología y Diseño

(Gerencia)

Producción II

Mérida. Estado. Mérida

TEORIA DE COLAS

Br.: Astrid Diaz

C.I.: 19.146.017

Prof. Sara Yépez

Introducción.

La teoría de las colas es un disciplina, dentro de la Investigación de Operaciones, que tiene

como objetivo el estudio y el análisis de situaciones en las que existen antes que demandan cierto

servicio, de tal forma dicho servicio no puede ser satisfecho instantáneamente, por lo cual se

provocan esperas.

Las "colas" son un aspecto de la vida moderna que nos encontramos continuamente en

nuestras actividades diarias. En el contador de un supermercado, accediendo al Metro, en los

Bancos, etc., el fenómeno de las colas surge cuando unos recursos compartidos necesitan ser

accedidos para dar servicio a un elevado número de trabajos o clientes.

El estudio de las colas es importante porque proporciona tanto una base teórica del tipo

de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho

recurso puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes.

Teoría de Colas.

La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta

se presenta, cuando los “clientes” llegan a un “lugar” demandando un servicio a un “servidor”, el

cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el

cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera.

En muchas ocasiones en la vida real, un fenómeno muy común es la formación de colas o

líneas de esperas. Esto suele suceder cuando la demanda real de un servicio es superior a la

capacidad que existe para dar dicho servicio. Ejemplos reales de esta situación son: los cruces de

dos vías de circulación, los semáforos, el peaje de una autopista, los cajeros automáticos, la

atención al cliente en un establecimiento comercial, la avería de electrodomésticos u otro tipo de

aparatos que deben ser reparados por un técnico, etc.

Objetivos de la teoría de colas consisten en:

Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del

mismo.

Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del

sistema tendrían en el coste total del mismo.

Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de

costes y las cualitativas de servicio.

Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la

“paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso

puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.

Depende de la calidad del servicio, saber el comportamiento del usuario y como se

desarrolla la cola.

Elementos de la Teoría de Colas.

1. Fuente de entrada o población potencial: Es un conjunto de individuos (no

necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión. Podemos

considerarla finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, sí permite (por

extraño que parezca) resolver de forma más sencilla muchas situaciones en las que, en

realidad, la población es finita pero muy grande, su número de elementos es tan grande

que el número de individuos que ya están solicitando el citado servicio prácticamente no

afecta a la frecuencia con la que la población potencial genera nuevas peticiones de

servicio.

2. Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio. Suponiendo que

los tiempos de llegada de clientes son consecutivos, será importante conocer el patrón de

probabilidad según el cual la fuente de entrada genera clientes. Lo más habitual es tomar

como referencia los tiempos entre las llegadas de dos clientes consecutivos.

3. Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola

(antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita. Lo más

sencillo, a efectos de simplicidad en los cálculos, es suponerla infinita. Aunque es obvio

que en la mayor parte de los casos reales la capacidad de la cola es finita, no es una gran

restricción el suponerla infinita si es extremadamente improbable que no puedan entrar

clientes a la cola por haberse llegado a ese número límite en la misma.

4. Disciplina de la cola: Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos.

Las disciplinas más habituales son:

La disciplina FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first come first served): según la

cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado.

La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first served) o

pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último.

La RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona a los

clientes de forma aleatoria.

5. Mecanismo de servicio: Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo

solicitan. Para determinar totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el

número de servidores de dicho mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la

distribución de probabilidad del mismo) y la distribución de probabilidad del tiempo que le

lleva a cada servidor dar un servicio. En caso de que los servidores tengan distinta destreza

para dar el servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada

uno.

6. Sistema de la cola: es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto

con la disciplina de la cola, que es lo que nos indica el criterio de qué cliente de la cola

elegir para pasar al mecanismo de servicio. Un modelo de sistema de colas debe

especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor.

Principio de nacimiento y Muerte.

Figura1. Principio de Nacimiento-Muerte.

Para la construcción de los modelos de colas es necesario que ocurra el proceso de

nacimiento-muerte (donde un arribo se considera un nacimiento para el modelo y una salida para

el cliente, del sistema es considerado como muerte de este parámetro).

De manera más precisa, las suposiciones del proceso nacimiento-muerte son las siguientes:

Suposición 1: Dado N (t)=n, la distribución de probabilidad actual en el tiempo que falta

para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetros (n=0, 1,2,…).

Suposición 2: Dado N (t)=n, la distribución de probabilidad actual en el tiempo que falta

para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetros (n=1,

2,3,…).

Suposición 3: La variable aleatoria de la suposición 1 (el tiempo que falta hasta el próximo

nacimiento) y la variable aleatoria de la suposición 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente

muerte), son mutuamente independientes.

Como consecuencia de las suposiciones 1 y 2, el proceso de nacimiento-muerte es un tipo

especial de cadena de tiempo continuo. Los modelos de colas que se pueden representar por una

cadena de tiempo continuo son mucho más manejables analíticamente que otros. Excepto para

algunos casos especiales, el análisis del proceso de nacimiento-muerte es complicado cuando el

sistema se encuentra en condiciones transitorias.

Nomenclatura de Teoría de Colas.

λ= Número de llegadas por unidad de tiempo.

μ= Número de servicios por unidad de tiempo si el servidor está ocupado.

c= Número de servidores en paralelo.

Congestión de un sistema con parámetros: (λ, μ, c).

N (t): Número de clientes en el sistema en el instante t.

Nq (t): Número de clientes en la cola en el instante t.

Ns (t): Número de clientes en servicio en el instante t.

Pn (t): Probabilidad que haya n clientes en el sistema en el instante t=Pr {N (t)=n}.

N: Número de clientes en el sistema en el estado estable.

Pn: Probabilidad de que haya n clientes en estado estable Pn=Pr {N=n}.

L: Número medio de clientes en el sistema.

Lq: Número medio de clientes en la cola.

Tq: Representa el tiempo que un cliente invierte en la cola.

S: Representa el tiempo de servicio.

T = Tq+S : Representa el tiempo total que un cliente invierte en el sistema.

Wq= E [Tq]: Tiempo medio de espera de los clientes en la cola.

W=E [T]: Tiempo medio de estancia de los clientes en el sistema.

r: número medio de clientes que se atienden por término medio.

Pb: probabilidad de que cualquier servidor esté ocupado.

Con el paso del tiempo se ha implantado una notación para representar los problemas de

colas que constan de 5 símbolos separados por barras.

A / B / X /Y / Z

A: indica la distribución de tiempo entre llegadas consecutivas.

B: alude al patrón de servicio de servidores.

X: es el número de canales de servicio.

Y: es la restricción en la capacidad del sistema.

Z: es la disciplina de cola.

Tabla1. Simbología de la Notación (se presenta un resumen de los símbolos más utilizados).

El símbolo G representa una distribución general de probabilidad, es decir, que el modelo

presentado y sus resultados son aplicables a cualquier distribución estadística (siempre que sean

Variables IID- Independientes e Idénticamente Distribuidas).

Si no existe restricción de capacidad (Y = infinito) y la política de servicio es FIFO, no se

suelen incorporar dichos símbolos en la notación así:

M/D/3 es equivalente a M/D/3/infinito/FIFO

Significa que los clientes entran según una distribución exponencial, se sirven de manera

determinista con tres servidores sin limitación de capacidad en el sistema y siguiendo una

estrategia FIFO de servicio.

Modelo MM1 con estructura de costos.

El modelo de colas denotado por M/M/1 es el más simple de todos. Consiste en un único

servidor (de ahí el 1 en la notación M/M/1) instalado en una estación de trabajos o clientes que

llegan para ser servidos, forman una cola si el servidor está ocupado a su llegada y cuando

finalizan su servicio dejan el sistema.

El espacio de estados es E = N ∪ {0} ya que no hay limitación de clientes en el sistema. Los

clientes llegan a la estación siguiendo un proceso de Poisson de intensidad λ > 0 (los tiempos entre

llegadas sucesivas son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con ley

exponencial de parámetro λ). A esto hace referencia la primera M de la notación utilizada para

designar al modelo.

Los tiempos de servicio de los clientes también se suponen variables aleatorias

independientes e idénticamente distribuidas, con ley exponencial de parámetro µ > 0 (así que esta

es la razón de la segunda M en la notación). Por tanto, se trata de un Proceso de Nacimiento y

Muerte con tasas de nacimiento λn = λ, y de defunción µn = µ, para todo n.

Figura2. Tasas para la cola M/M/1

Ejemplo:

Vamos a ver con un ejemplo muy sencillo cómo el uso del modelo de cola M/M/1 y de la

Nomenclatura de Teoría de Colas que acabamos de introducir, puede ayudarnos a la toma de

decisiones.

Ana Poodle es una peluquera canina que tiene una pequeña peluquería en un barrio de la

ciudad. Ella es la ´única peluquera que trabaja en su negocio, pero los sábados por la tarde tiene

mucho trabajo y está considerando la posibilidad de ampliarlo (tomar algún ayudante y/o hacer

reformas para mejorar la sala de espera). Como su principal problema radica en los sábados por la

tarde, vamos a restringirnos a considerar solo esos días, pero antes de poder realizar ningún.

Ana recoge información durante unos cuantos sábados por la tarde y llega a las siguientes

conclusiones:

(a) Los clientes llegan los sábados por la tarde de manera independiente y a razón de unos

2 por hora.

(b) Ella tarda un promedio de 20 minutos por cliente, y los tiempos de servicios de los

clientes son independientes entre sí y no dependen tampoco ni de la hora ni del trabajo que tenga

acumulado (el éxito de su negocio radica en servir a los clientes siempre bien, aunque tenga otros

esperando). Naturalmente, los atiende por estricto orden de llegada.

(c) Como tiene muy buena fama como peluquera y trata muy bien a los clientes, estos

esperan en cola a ser servidos todo el tiempo que haga falta (es decir, no se van aunque tengan

que esperar). La sala de espera es pequeña y sólo tiene espacio para dos clientes; cuando hay más

clientes esperando, lo hacen en el parque que hay frente a su negocio.

A partir de esta información suministrada por Ana vemos que el modelo M/M/1 se adapta

bien a su negocio y que los parámetros del modelo se pueden estimar por:

λ = 2 clientes/hora

µ =

clientes/minuto = 3 clientes/hora ⇒ ρ =

=

< 1

Como medidas de efectividad podemos calcular: El número esperado de clientes en la

peluquería a largo plazo un sábado por la tarde:

L =

=

⁄

⁄ = 2 clientes.

El número esperado de clientes haciendo cola en la peluquería a largo plazo un sábado por

la tarde:

Lq =

=

⁄

⁄ =

clientes.

El porcentaje de ocupación a largo plazo un sábado por la tarde es:

× 100 % = 66.6 %

Es decir, el 66.6 % del tiempo hay algún cliente en la peluquería, por lo que si llega un

nuevo cliente tendrá que esperar forzosamente, y el 33.3 % restante no habrá ninguno y si llega

un nuevo cliente pasa a ser atendido sin tener que esperar.

El tiempo medio de estancia en la peluquería un sábado por la tarde para un cliente es:

W =

=

= 1 hora

Es decir, en promedio cada cliente se pasa 40 minutos esperando a ser servido (esto es

Wq), y 20 minutos más siendo atendido por la peluquera.

La probabilidad de que haya al menos 2 clientes esperando (y si llega uno nuevo tenga que

esperar en el parque frente a la peluquería) es:

P(N ≥ 3) = (

)

Esto es, un 30 % del tiempo la sala de espera está lleno y si llega un nuevo cliente habrá de

esperar fuera.

A la vista de estas medidas sobre la efectividad del servicio ofrecido por Ana, esta deberá

decidir si tomar un ayudante y/o hacer reformas en la sala de espera para ampliarla y reducir las

esperas de clientes fuera. Para tomar esta decisión deberá tener en cuenta los gastos asociados a

la contratación de un ayudante y a la realización de las reformas, así como valorar el perjuicio que

le suponen para su negocio las esperas de los clientes.

Modelo de Población Finita.

Es un grupo limitado de clientes que representa la fuente que usará un servicio y que en

ocasiones forman una cola. En este caso cuando un cliente deja su posición como miembro de la

población de usuarios, se reduce en una unidad el tamaño del grupo, lo cual reduce la

probabilidad que un usuario requiera servicio. Por el contrario, si se brinda mantenimiento a un

cliente y éste regresa al grupo de usuarios, aumenta la población y también la probabilidad de que

un usuario requiera servicio. (Ejemplos: reparación de cosechadoras, las computadoras de un

gabinete, etc.).

Conclusión.

Con frecuencia, las empresas deben tomar decisiones respecto a la cantidad de servicios

que debe estar preparada para ofrecer. Sin embargo, muchas veces es imposible predecir con

exactitud cuándo llegarán los clientes que demandan el servicio y/o cuanto tiempo será necesario

para dar tal servicio; es por esto que esas decisiones implican dilemas que hay que resolver con

información escasa.

La Teoría de Cola no es una técnica de optimización puesto que no resuelve directamente

el problema sino, más bien, es una herramienta que utiliza fórmulas analíticas limitadas por

suposiciones matemáticas que contribuyen con la información vital que se requiere para tomar las

decisiones pertinentes. No se asemejan a una situación real, pero da una primera aproximación al

problema (tiempo de espera promedio.) a bajo costo, brindando información sobre el

comportamiento de líneas de espera, situación reflejada cuando "clientes" llegan a un "lugar"

demandando un servicio a un "servidor" el cual tiene una cierta capacidad de atención y no está

disponible inmediatamente para el cliente, por lo cual decide esperar.

Bibliografía.

José Pedro García Sabater. Grupo ROGLE. Departamento de Organización de Empresas.

Universidad Politécnica de Valencia. Curso 2010 / 2011.

Introducción a la simulación y a la teoría de colas • 1º Edición. Ricardo Cao Abad

NETBIBLO, S.L., A Coruña, 2002.

Materiales Matemáticas. Volumen 2009, treball no. 5, 33 pp. ISSN: 1887-1097. Publicación

electrónica de divulgación del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma

de Barcelona. Recordando a Erlang: Un breve paseo (sin esperas) por la Teoría de Colas.