teoria de colas
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COLASTRANSCRIPT
OPERACIONES 2Teoría de ColasOPERACIONES 2Teoría de Colas
Profesor: Pablo Diez BennewitzIngeniería Comercial - U.C.V.
Profesor: Pablo Diez BennewitzIngeniería Comercial - U.C.V.
ORGANIZACION
RESULTADOS
ORGANIZACION PARA LA CONVERSIONORGANIZACION PARA LA CONVERSION
• DISEÑO DE PUESTOS DE TRABAJO• ESTANDARES DE PRODUCCION / OPERACIONES• MEDICION DEL TRABAJO• ADMINISTRACION DE PROYECTOS
SISTEMATIZACION DE LA ADMINISTRACION DE OPERACIONES - EL MODELO
Tomado y adaptado de “Administración de Producción y las Operaciones”. Adam y Ebert
PLANIFICACION
INSUMOS
M
PLANIFICACIONPLANIFICACION (DISEÑO) DE LOS SISTEMAS DE CONVERSION:• ESTRATEGIAS DE OPERACION• PREDICCION (PRONOSTICOS)• ALTERNATIVAS DISEÑO PROCESOS• CAPACIDAD DE OPERACIONES• PLANEACION UBICACION INSTALACIONES• PLANEACION DISTRIBUCION FISICA
PROGRAMACION SISTEMAS CONVERSIONPROGRAMACION SISTEMAS CONVERSION• PROGRAMACION SISTEMAS Y PLANEACION AGREGADA• PROGRAMACION OPERACIONES
SEGUIMIENTO PRODUCTOS
CONTROLCONTROL• CONTROL DEL SISTEMA DE CONVERSION• CONTROL DE INVENTARIO• PLAN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES• ADMNISTRACION PARA LA CALIDAD• CONTROL DE CALIDAD
CONTROL
RETROALIMENTACION
PROCESO de CONVERSION
MODELOS
MODELOS
MODELOSMM
• Productos• Servicios• Información
M
TEORIA DE COLAS
La formación de líneas de espera es un fenómeno común cuando la demanda por un servicio excede momentáneamente la capacidad de proporcionarlo
Esperar un servicio es parte de la vida diaria
Se espera para comer en restaurantes, se hacen colas en las cajas de los supermercados, en los hospitales, etc
Y el fenómeno no es exclusivo de los seres humanos: los trabajos esperan para que los procese una máquina (cuello de botella), los automóviles se detienen ante un semáforo, etc
TEORIA DE COLAS
Las colas se producen debido a que, en ocasiones, la capacidad instalada para proporcionar el servicio es insuficiente, ya que la demanda por su servicio es aleatoria, lo que implica que la teoría de colas trabaje con modelos probabilísticos
El estudio de colas determina las medidas del funcionamiento de una situación de colas, incluyendo el tiempo de espera y la longitud de la cola promedio, entre otras variables de interés. Esta información sirve después para decidir el nivel apropiado de servicio para las instalaciones
ESTRUCTURA BASICA DE UN MODELO DE COLAS
Los clientes que requieren un servicio se generan a través de una fuente de entrada o población. Estos clientes entran al sistema de colas y se unen a la cola
En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio (orden de llegada, aleatorio, prioridades)
ESTRUCTURA BASICA DE UN MODELO DE COLAS
Después, se otorga el servicio requerido por el
cliente mediante el mecanismo de servicio,
caracterizado por el número de canales paraderos
o servidores y por el tiempo de servicio, tiempo
que transcurre desde el inicio del servicio para un
cliente hasta su término. El tiempo de servicio
puede tener una distribución exponencial,
degenerada o gamma
ESTRUCTURA BASICA DE UN MODELO DE COLAS
Fuente deEntrada Cola
Mecanismode Servicio
Clientes servidosClientes
Sistema de Colas
ALGUNOS MODELOS DE COLAS
1) Modelo simple con un solo servidor
2) Sistema de colas en serie (trámites en serie)
3) Sistema de colas simple multiservidor
XXXX XXXX XXXXSEntrada Cola Servidor Salida
XXX XXX XXX XXX XXXS S
S
S
S
S
XXXXXX XXXXXX
XX
XX
XX
ELEMENTOS DEL MODELO DE COLAS
• Fuente de Entrada:
• Tiempo entre Llegadas:
• Tamaño de las Colas:
• Tiempo de Servicio:
• Disciplina de Servicio
• Servidor (es)
• Clientes
Puede ser finita (máquinas en un servicio de reparación) o infinita (llamadas telefónicas)
Es el arribo de clientes, puede ser probabilístico o determinístico
Puede ser finito o infinito
Describe la prestación del servicio que el servidor le da
al cliente. Puede serdeterminístico o
probabilístico
IMPORTANCIA DE LA TEORIA DE COLAS EN LAS OPERACIONES
La teoría de colas determina las medidas del
funcionamiento de una situación de colas, es una
técnica útil para diseñar la capacidad del proceso
de operaciones, puesto que provee de información
muy útil para decidir el nivel apropiado de
prestación del servicio para las instalaciones
Para determinar la capacidad del proceso de operaciones, se evalúan los costos asociados al servicio que se presta
COSTOS DE LA PRESTACION DE SERVICIOS
1) Costos Directos del Servicio
Costos de la cantidad de servidores en paralelo que suministren el servicio
Costos de tecnología del servicio, relacionados con el tiempo del servicio (atención al cliente)
Estos costos tienen una relación directa con la capacidad de prestación del servicio
nº servidores
Tecnologíade servicio
costo
costo
+ +
++
COSTOS DE LA PRESTACION DE SERVICIOS
1) Costos Directos del Servicio
Costos Directos
Capacidad de prestación del Servicio
Costo de operación de las instalaciones de servicio
por unidad de tiempo
COSTOS DE LA PRESTACION DE SERVICIOS
2) Costos Indirectos del Servicio
Costo de oportunidad (eventual) por pérdida de clientes, si los tiempos de espera son muy largos
Estos costos tienen una relación inversa con la capacidad de la prestación del servicio
Costos Indirectos
Capacidad del Servicio
Costo de espera de los clientes por unidad de
tiempo
COSTOS DE LA PRESTACION DE SERVICIOS
El diseño del proceso de operaciones debe tomar en cuenta ambos tipos de costos, entonces:
CostosTotales
Costos Directosdel Servicio
Costo de Oportunidadpor tiempo de espera= +
El objetivo del proceso de operaciones consiste en minimizar los costos totales
COSTOS DE LA PRESTACION DE SERVICIOS
Costos
Capacidad del Servicio
C1: Costos Directos
C2: Costos de Oportunidad
CT: Costos Totales
Nivel Óptimo del Servicio
COSTOS DE LA PRESTACION DE SERVICIOS
Es difícil plantear un modelo de costos que obtenga el nivel óptimo del servicio, ya que es difícil estimar el costo unitario de espera, en particular cuando el comportamiento humano influye en la operación del modelo
Lo que se hace es evaluar diferentes configuraciones de servicios, utilizando las fórmulas propias de cada modelo de colas en particular
COMPORTAMIENTO DEL SISTEMA DE COLAS
Es diferente en cada una de las etapas del sistema. Matemáticamente es difícil plantear modelos en los inicios y términos de atención del sistema, es más simple plantearlos cuando el sistema alcanza un estado estable, el que se da si en todos los estados:
Estado Estable
Entradas al Sistema
Salidasal Sistema=
Si hay a lo menos un estado en el que, las entradas al sistema no son iguales a las salidas del sistema, entonces no se ha alcanzado el estado estable
TERMINOLOGIA Y NOTACION
n Cantidad de clientes: Que están en el sistema en un momento dado
L Valor esperado de clientes en el sistema
L E (n)=
W Valor esperado de tiempo de atención
cliente en el sistemaW E (w)=
de un
w: tiempo específico que tarda un cliente particular dentro del sistema. Es una variable aleatoria
TERMINOLOGIA Y NOTACION
P0 : Probabilidad de que el sistema esté vacíoP1 : Probabilidad de que el sistema tenga 1 clienteP2 : Probabilidad de que el sistema tenga 2 clientesP3 : Probabilidad de que el sistema tenga 3 clientes
Pn : Probabilidad de que el sistema tenga n clientes
Probabilidad de que hayan “n” clientes en el sistema en un instante determinado
Pn
Asimismo es posible definir:
Lq
Wq
Valor esperado de clientes en la cola
Valor esperado del tiempo en la cola
Probabilidad de que hayan “n” clientes en el sistema en un instante determinado
TERMINOLOGIA Y NOTACION
Pn
Esto tiene dos interpretaciones:
(1)
(2)
Probabilidad de que en un instante cualquiera se observe el sistema y esté presente un estado n. Por ejemplo, P3 = 0,1 indica que la probabilidad de encontrar 3 clientes en el sistema es 0,1 o del 10%
Pn es la fracción del tiempo en que el sistema permanece en el estado n
TERMINOLOGIA Y NOTACION
Valor esperado de clientes en el sistemaL
L n PnL E (n)= = n=0
8
En consecuencia:
LAS VARIABLES EN EL TIEMPO
En general la cantidad de clientes es el sistema depende del instante de tiempo en que se determinan
Luego, las variables dependen del momento de tiempo en que se miden. Por ende, Pn, L, W, etc, también dependen del tiempo: Pn(t), L(t), W(t), etc
n n (t)=
Sin embargo, los modelos de colas que se estudian, determinan tales variables cuando el sistema está en estado estable
n(t) = n
Pn(t) = PnL(t) = L
W(t) = W
LLEGADA DE CLIENTES AL SISTEMA
La llegada de clientes se asume que tiene una distribución poisson, con parámetro
Si A es el número de clientes que llegan en un intervalo específico de tiempo, entonces:
P(n=A) = A
n = 1,2,3,....n
e-
n !
Las llegadas al sistema son aleatorias. Es decir que la probabilidad de llegada al sistema durante un instante de tiempo es un valor constante, independiente del número de arribos previos y de la duración del tiempo de espera
LLEGADA DE CLIENTES AL SISTEMA
Se define:
Tasa media de llegada de clientes al sistema Indica el número promedio de clientes que ingresa al sistema en un instante específico de tiempo
1 Tiempo promedio entre llegadas
es el tiempo promedio que transcurre entre dos llegadas sucesivas, entre el arribo de dos clientes consecutivos
SALIDA DE CLIENTES DEL SISTEMA
Según los sistemas de colas, puede ser una distribución exponencial, degenerada o gamma
Pero, para que sea útil, la forma supuesta debe ser lo suficientemente realista para que el modelo proporcione predicciones razonables y, también debe ser lo suficientemente sencilla para que sea matemáticamente manejable
Para lograr todo lo anterior, se asume que los tiempos de prestación del servicio tienen una distribución exponencial, con parámetro 1
SALIDA DE CLIENTES DEL SISTEMA
Si B es el tiempo de servicio para un cliente promedio, la función de distribución acumulada es:
P(B t)< = 1 e- - t si t 0>
Obs: Poisson se refiere a unidades de evento partido por unidades de tiempo fijaExponencial se refiere a unidad de tiempo existente entre dos eventos seguidos
Poisson
Exponencial
SALIDA DE CLIENTES DEL SISTEMA
Se define:
Tasa media de prestación del servicio en el sistema Indica el número promedio de clientes que reciben el servicio en el sistema en un instante específico de tiempo. Es la tasa media del servicio, implica el concepto de velocidad de atención del sistema
1 Tiempo promedio entre prestaciones del
servicio es el tiempo promedio que se demora en atender a un cliente en el sistema
Población ColaMecanismode Servicio
Clientes servidosClientes
Sistema de Colas
ESTRUCTURA BASICA DE UN MODELO DE COLAS
Lq , Wq
L , W (clientes / tiempo)
1 (tiempo / clientes)
Poisson Exp
DIAGRAMA DE NACIMIENTO Y MUERTE
Muestra el balance de entradas y salidas a cada estado del sistema de colas
0 1 2 3
1 2 3
3
4
210
......
Para salir del estado 2 hay dos posibilidades:
DIAGRAMA DE NACIMIENTO Y MUERTE
Sale un cliente que es atendido y en tal tiempo no ingresa nadie al sistema ( )
El cliente que está siendo atendido no termina de ser atendido e ingresa otro cliente al sistema ( )
2
2
2 pasa del estado 2 al estado 1
2 pasa del estado 2 al estado 3
ESTADO ESTABLE
Estado Estable
Entradas al Sistema
Salidasal Sistema=
En estado estable y bajo el supuesto de que puede ocurrir sólo una llegada o sólo una salida a la vez:
Estado 0
Estado 1
Estado 2
Estado 3
P1
P1
P1P1
11
1
1
====
P0
0
0 +P0P2
P2P2
P2
2
2
22 +
+
+
+
+ 33
3
4 P3 P3
P3
P4
ESTADO ESTABLE
Se forma un sistema de n-ecuaciones y (n +1) incógnitas. Resolviendo en función del Pn se tiene:
De la primera ecuación (estado 0)
P1
P2
P1 =
P0P2
P0P1
P0
0
1
0
De la segunda ecuación (estado 1)
0
2
2 = ( )
1
11 + -
=( )1 + -
1P0
0
ESTADO ESTABLE
reemplazando P1:
P0
P0
P2
P2
P2 =( )
1
111
+
+
-
-P0
0
00
2
2
2
=
1
1( )00
=
ESTADO ESTABLE
En general:
Pn =0 1
1
2
3
3
4
n-1
nP0
Suponiendo que las tasas son constantes, entonces:
1
1
2
2
2
=0 =
==
==== =
==3
3
4 n
n-1 =
=
LuegoPn
nP0
ESTADO ESTABLE
Si además se considera que: n=1
8
Pn = 1
P0 + P1 + P2 + P3 + ........................ 1=
P0 +
+ + P0P0P0 + ............... = 1
2 3
Progresión Geométrica
Suma de la progresión geométrica
i=1
na r i =
a ( 1 - r )
( 1 - r )
n
ESTADO ESTABLE
Por lo tanto
n
1 -
1 -
P0
= 1
Además
Condición de estado estable
< 1
La tasa de llegada ( ) tiene que ser menor que la tasa del servicio ( )
ESTADO ESTABLE
Como
< 1
n
0
111
si n 8
EntoncesP0
P0 ( 1 - 0 )
-= = -
P0 = - Es la probabilidad de
que hayan 0 clientes en el sistema
ESTADO ESTABLE
Asimismo, reemplazando:
Pn =
- Es la probabilidad de
que hayan n clientes en el sistema
Obs: Las fórmulas anteriores son un caso particular analizado, no son fórmulas generales, puesto que incluyen muchos supuestos en su análisis
n
SUPUESTOS PARA LA CONDICION DE ESTADO ESTABLE
•
•
S < 1
El sistema de colas no colapsa, o sea que el sistema oscila entre los estados razonables, si bien hay cola, ésta no crece sin fin
Las entradas y salidas de clientes al sistema de colas, son de a un cliente cada vez
La tasa promedio de llegada de clientes y la tasa promedio del tiempo de prestación del servicio, son independientes del estado (cantidad de clientes) en el sistema de colas
•
FACTOR DE UTILIZACION
= Indica la proporción de tiempo
en el que el sistema de colas está ocupado
Si 1
Si 1<
> El sistema está sobrecopado la mayor parte del tiempo: la cola está creciendo permanentemente
El sistema no está copadoPor ejemplo, si 0,9 indica que el 90% del tiempo el sistema de colas está ocupado y que, el 10% del tiempo no lo está
=
FACTOR DE UTILIZACION
Las fórmulas anteriores de P0 y de Pn, se pueden denotar también como:
P0 = 1 -
Pn =n
( 1 )-
VALOR ESPERADO DE CLIENTES EN EL SISTEMA
n PnL E (n)= = n=0
8
E (n) = 0P0 + 1P1 + 2P2 + 3P3 + ...................
L = 0(1- ) + 1 (1- ) + 2 (1- ) + 3 (1- ) + ........2 3
Factorizando:
L = (1- ) + 2 + 3 + 4 +2 3 4
........................
L = (1- ) 1 + 2 + 3 + 4 +2 3
......................
L = (1- ) ( + + + +2 3 4
......................
VALOR ESPERADO DE CLIENTES EN EL SISTEMA
donde ( + + + + + )2 3 4 5
..........es progresión
geométrica
Suma de la progresión geométrica
i=1
na i =
a ( 1 - a )n
1 - a
Por lo tanto L (1- )=(1- )
1 -
n
como < 1 (condición de estado estable)
< 1n
0 si n
8
VALOR ESPERADO DE CLIENTES EN EL SISTEMA
En consecuenciaL (1- )= 1 -
derivando:
L = (1- )(1- ) - (-1)
(1- )2
L = (1- )1
(1- )2 L = 1 -reemplazando =
L
-=
PROPIEDADES
También se pueden demostrar:
W = -1
L = W
Lq Wq=
Wq = ( )
--
Lq = ( )
2
Si se dispone de los valores de y , entonces es posible conocer a cada una de las variables principales de los modelos de colas: L, W, Lq, Wq
RELACION ENTRE W y Wq
W = Wq + Ws
Ws Tiempo medio de la prestación del servicio
Se define
que es un valor a priori desconocido
Ws = W - Wq
Ws = -1
-- ( )
1
Ws = ( )
-- = W Wq +
1 =
VALOR ESPERADO DEL TIEMPO DE ATENCION DE UN CLIENTE
Se puede demostrar de acuerdo a las fórmulas planteadas en las propiedades anteriores
W = - 1
W = Wq + Ws =W Wq + 1
Pero también se puede obtener mediante W = E(w) determinando la distribución de probabilidades de w
Recuerdo: w es el tiempo específico que tarda un cliente en el sistema. Es una variable aleatoria
VALOR ESPERADO DEL TIEMPO DE ATENCION DE UN CLIENTE
Consideremos la probabilidad de que un cliente tarde más de un tiempo T en salir del sistema
Sea Sn+1 = T1 + T2 + T3 + .............. + Tn + Tn+1
Sn+1 es la suma de los tiempos de atención de los “n” clientes que ya estaban en el sistema, más el tiempo de atención del “n+1” cliente, que acaba de ingresar al sistema
donde T1, T2, T3, ........... son variables aleatorias independientes que tienen
una distribución exponencial
PROPIEDAD REPRODUCTIVA
Por una propiedad reproductiva, la suma de las variables aleatorias con distribución exponencial, tiene una distribución de probabilidades gamma
Sn+1 tiene una distribución gamma
EntoncesP (w t)
n=0
8=> Pn P(Sn+1 t)>
P (w t) considera dos supuestos>• Al ingresar el cliente al sistema, éste está ocupado• El tiempo de espera en la cola más el tiempo de atención del cliente sea mayor que t
VALOR ESPERADO DEL TIEMPO DE ATENCION DE UN CLIENTE
Reemplazando las fórmulas de Pn y , y después de mucho trabajo algebraico se llega a:
P(Sn+1 t)>
>P (w t) = e- 1 -
t,si t 0>
¡¡¡ w también tiene una distribución exponencial !!!
E(w) = 1
- 1- W E(w)= =
1
-
UNIDADES DIMENSIONALES
• W (tiempo)
• L (clientes)
• (clientes / tiempo)
• (clientes / tiempo)
• (tiempo / clientes)
• (tiempo / clientes)
1
1
NOMENCLATURA
Un modelo de colas se caracteriza por los siguientes símbolos:
Tiempo entre llegadas, que
se asocia a una distribución
exponencial (la tasa de llegada
es poisson)
Tiempo de servicio, que es exponencial
Cantidad de servidores en paralelo
Cantidad en la población potencial
(población finita)
Cantidad admisible en el sistema
(capacidad finita)
M / M / S / K / N
MODELOS DE COLAS
Según se combinen las diferentes características (población finita o infinita, uno o más servidores, capacidad admisible finita o infinita), se da origen a una combinación de distintos modelos de colas:
• Modelo M / M / 1
• Modelo M / M / S
• Modelo M / M / 1 / K
• Modelo M / M / S / K
• Modelo M / M / 1 / N
• Modelo M / M / S / N
MODELOS DE COLAS
Si el modelo de colas tiene capacidad admisible finita, entonces el modelo se denota con la letra K
Si el modelo de colas atiende a una población finita, entonces el modelo se denota con la letra N
Cuando el modelo de colas tiene tanto población finita como capacidad admisible finita, entonces el modelo se denota con letra N (si hay población finita, se asume capacidad admisible finita)
S SERVIDORES EN PARALELO
Si existen S servidores, pero se forma una sola cola para requerir el servicio, que es suministrado por el servidor que se desocupe primero, entonces estamos en el caso de servidores en paralelo
Ejemplos de esto son algunos bancos, algunos locales de pago de ciertos servicios públicos, algunas fiambrerías de los supermercados, etc
Este caso corresponde al modelo M / M / S
0 1 2 S
2 3 S
.....
Si los servidores tienen todos la misma tasa de servicio constante , entonces hay un aumento proporcional en la tasa de prestación del servicio de las sucursales a:
S SERVIDORES EN PARALELO
n , si n SS , si n S >
<
S+1 S+2 ....
S S
MODELO M / M / S
Según el balance de entradas y salidas a cada estado del sistema, en flujo estable:
Pn =
n-1 n-2
n
2
3
1
2
0
1P0
En este caso:
1
n-1
20 = = = == 3 n-1 =nPero:
=
=n , si n S
S , si n Ss
<>
Condición de estado estable
S < 1
Se obtiene:
Pn
n
n
S !
n !
S(n-s) ; si n S
; si n S
>
n
n <
Para determinar : P0 P0 + P1 + P2 + P3 + ......... = 1
P0 +
1 !+
2
32 2 !+
3
3 !+
+ S
S+1S
S !+
P0
P0
P0P0 P0
P0 S+1 S !S1 2P0 + P0
S+2
S+2 S S !+ = 1
MODELO M / M / S
MODELO M / M / S
Factorizando:
P0 n=0
S-1
n-s
Sn1n ! + 1
S !
8
8
n=s S
n-s
= 1
Además:n=s S
Es una progresión geométrica cuyo resultado es:
n-s
S
1
= S
n=s
8
1 -
Finalmente, se obtiene P0
S-1 n=0
n1n !
+S !
1
S
1 -
S
1
1P0 =
MODELO M / M / S
MODELO M / M / S
Asimismo, con los valores de P0, P1, P2, ........., Pn es posible obtener el valor de L
L = 0P0 + 1P1 + 2P2 + ...........
(S - 1) ! S
S+1
P0
-
+ =L 2
Lq +L Lq=
cumpliéndose:
MODELO M / M / S
Usando las fórmulas tradicionales, es posible obtener las demás variables de interés
Wq = =Lq
WqW + 1
P (w > t)
t -
e1- S 1
S
P0
-1S !
=
S 1--
--+1
t -e
SISTEMA DE COLAS CON CAPACIDAD FINITA
Con capacidad admisible finita significa que el sistema puede contener como máximo K clientes, por lo tanto se asume que:
n = 0 si n > K
Existen dos modelos de colas con capacidad finita:
• Modelo M / M / 1 / K : Caso de un solo servidor
• Modelo M / M / S / K : Con S servidores en paralelo
Un solo servidor y capacidad admisible finita
0 1 2
K
0
MODELO M / M / 1 / K
.....
• S = 1• n =• n =
Ejemplos de modelos M/M/1/K son un médico que atiende con una consulta particular independiente o el taxi colectivo en hora vespertina
MODELO M / M / 1 / K
Pn
n
P0 ; si n K
; si n K0 >
<
P0
1 -
-=
1
K+1
Se obtiene por suma de progresión geométrica
MODELO M / M / 1 / K
K+1
K+1
1
L =-
-( K+1 )
1 -
Lq = L ( 1 )Como S = 1 P0- -
MODELO M / M / 1 / K
En un modelo de cola con capacidad finita sucede:
n 0
si n K
si n K
<>
Por lo tanto, corresponde: W = =L
Wq
Lq
donde =
n=0
8
n Pn
K-1
n=0= Pn con
n=0
K-1Pn = ( 1 - Pk )
MODELO M / M / 1 / K
Luego: donde Pk = P0
K
Finalmente: L
KP0
( 1 )- =W
= ( 1 - Pk )
MODELO M / M / S / K
El sistema de S servidores en paralelo con capacidad finita no permite más de K clientes, por lo que K es el número máximo de servidores que pueden necesitarse. Suponiendo S < K, hay varios servidores (S) y un límite en la capacidad del sistema (K)
Un ejemplo de esto es la sala de emergencia de un hospital: el sistema tendría una capacidad admisible finita, si solo hay K camillas para los pacientes y, si la política del hospital es derivar a los pacientes que llegan hacia otro hospital cuando no hay lugares disponibles
0 1 2 S
2 3 S
..... S+1 K....
S S
S
0
MODELO M / M / S / K
Ejemplos de modelos M/M/S/K son las secciones de maternidad y urgencia en un hospital o algunos centros integrales de belleza
Pn
n
n
S !
n !
S(n-s)
; si n S
; si S n K
; si n K>
n <
P0
P0
< <
0
MODELO M / M / S / K
n
Para obtener , se utiliza un método bastante similar al del modelo M / M / S
P0
S n=0
n1n !
+S !
1
S
S
1P0 =
n = S+1
K Sn-
MODELO M / M / S / K
(S-1)! S
s+1
P0
-
+ = 2Lq
1-
S
(k-s)
- (K-S) S
(k-s)
-1S
Adaptando la derivación de Lq del modelo M / M / S al caso actual de M / M / S / K se llega a:
MODELO M / M / S / K
L = n=0
S-1n Pn + Lq + S 1-
n=0
S-1Pn
MODELO M / M / S / K
Como modelo de cola con capacidad finita, ocurre:
n 0
si n K
si n K
<>
Por lo tanto, corresponde: W = =L
Wq
Lq
donde =
n=0
8
n Pn
K-1
n=0= Pn con
n=0
K-1Pn = ( 1 - Pk )
MODELO M / M / S / K
Luego: donde Pk = P0
K
Finalmente: L
KP0
( 1 )- =W
= ( 1 - Pk )
SISTEMA DE COLAS CON POBLACION FINITA
La fuente de entrada o población potencial es finita
Se define el tamaño límite de la población como N
Cuando el número de clientes en el sistema de colas es n (n = 0, 1, 2, ......, N) existen sólo (N - n) clientes potenciales restantes en la fuente de entrada
Población Potencial
N n clientes en el sistema
(N - n) clientes potenciales afuera
SISTEMA DE COLAS CON POBLACION FINITA
Este problema tiene múltiples aplicaciones en el
flujo de recursos materiales de la cadena logística
Una de sus aplicaciones más importante es el
problema de reparación de máquinas o
mantención de computadores, donde se asigna a
uno o más mecánicos la responsabilidad de la
mantención de N computadores, dando servicio a
cada uno de los que se descomponen
SISTEMA DE COLAS CON POBLACION FINITA
Los computadores constituyen la población
potencial Cada uno es un cliente en el sistema de
colas cuando está descompuesto en espera de
ser reparado, mientras que cuando está en
operación normal está afuera del sistema, pues
no está en reparación
Cada técnico asistente o cuadrilla de técnicos es un servidor, que trabaja la mantención en una solo computador a la vez
Un solo servidor y población finita
0 1 2 3
N
N (N-1)
MODELO M / M / 1 / N
(N-2) (N-3)
.....
• S = 1• n = • n
(N - n) ,si n N
0 ,si n N
<>
Esquema suponiendo población finita N = 5
0 1 2 3
4 5
235 4
MODELO M / M / 1 / N
Otros ejemplos de modelos M/M/1/N son el médico que atiende enfermos de patologías escasas o el alumno ICA con sus exámenes de final de semestre
Para el esquema con N = 5, y usando las ecuaciones de balance de estado estable en cada estado:
MODELO M / M / 1 / N
Estado 0
Estado 1
Estado 5
P1
P1P1
==
=
P0
+P0P2
P4
+
P5
5
45
De acuerdo a una situación general, con un total de N estados (población finita) se obtienen P0 y Pn
....
....
....
....
S-1 n=0
nN !
1P0 =
(N - n) !
n
Pn = (N - n) !P0
MODELO M / M / 1 / N
N !
Lq (n - 1) Pn= n=1
NComoLq = L - (1 - P0) L N= -
(1 - P0)
MODELO M / M / 1 / N
En un modelo de cola con población finita sucede:
n
0
si n N
si n N
<>
Por lo tanto, corresponde: W = =L
Wq
Lq
donde =
n=0
8
n Pn
K-1
n=0= Pn
(N - n)
(N - n) = ( N L )-
0 1 2 S-1
N
N (N-1) (N-2) (N-S+2)
.....
• S > 1
• n • n
(N - n) ,si n N
0 ,si n N
<>
2
32 (S-1) S
S
(N-S+1) (N-S)
S
S S
N-1.....
Varios servidores (S > 1) y población finita (N)Se asume S < N
MODELO M / M / S / N
n
S
,si n S
,si n S
<>
MODELO M / M / S / N
Con las ecuaciones de balance de estado estable:
Es la misma fórmula del modelo M / M / S / K, solo que ahora se multiplica por la combinatoria del número de clientes (n) sobre la población potencial (N)
Pn
n
S !
n !
S(n-s)
; si n S
; si S n N
; si n N>
n
<
P0
P0
< <
0
(N - n) !
N !
(N - n) !
N !
MODELO M / M / S / N
Además:
S-1 n=0
nN !
1P0 =
(N - n) !+
N
n=S (N - n) !
n
S ! S(n-s)N !
Lq (n - S) Pn= n=S
N
L = n=0
S-1n Pn + Lq + S 1-
n=0
S-1Pn
Después se pueden obtener W y Wq con las mismas ecuaciones que en el caso de un servidor
FORMULARIO DE TEORIA DE COLAS
Tanto en la prueba de ayudantía como en la prueba de cátedra, se autoriza el uso del formulario de teoría de colas, disponible en www.profesores.ucv.cl/pablodiez
Por lo tanto, no es necesario aprenderse de memoria las fórmulas de cada modelo