teoria de colas

5/11/2018 Teoria de Colas - slidepdf.com

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UNIDAD III

TEORÍA DE COLAS (LÍNEAS DE ESPERA)

Cuando un cliente o usuario de un producto o servicio, llega al sistema donde lo

puede adquirir, puede ser que este vacío y por lo tanto sea atendidoinmediatamente o quizás ya haya más clientes o usuarios esperando a seratendidos, en cuyo caso se puede optar por esperar o retirarse a otro sistema enbusca del servicio o producto.En el 2º. Caso se trata de una línea de espera o cola, cuyo comportamiento es dignode estudio, ya que esto sirve para tomar decisiones que permitan cambiar lascondiciones del sistema para ofrecer mejor servicio a los clientes o usuarios.Se dice que una la de espera “nace” cuando uno o varios clientes tienen queesperar a recibir el producto o servicio, y la línea “muere” cuando el cliente oclientes salen del sistema después de haber sido atendidos.

Las líneas de espera se clasifican de acuerdo a:1.- El número de clientes formados en la cola que pueden ser finito o infinito.2.- La población que genera a los clientes que puede ser finita o infinita.3.- La forma como esperan los clientes que puede ser en una o en varias colas.4.- El tiempo de llegadas de clientes al sistema que puede ser constante o variable.5.- El tiempo en dar servicio a cada cliente que puede ser constante o variable.6.- La disciplina de la cola, que es la forma como se atiende a los clientes, porejemplo primero que llega, primero que se atiende o FIFO por sus siglas en inglesFirst in, First out. También se llaman reglas de prioridad de atención a clientes.7.- Por el número de servidores uno o varios.8.- La estructura de las estaciones de servicio, en serie o en paralelo, o mixto.9.- Por el estado del sistema que puede ser estable o transitorio.

En los esquemas siguientes se muestran algunos ejemplos de las líneas de esperamás comunes:

Modelo de línea de espera con una cola, un servidor.



Modelo de línea de espera con una cola, servidores múltiples en paralelo.

Modelo de línea de espera con varias colas, servidores múltiples en paralelo

Modelo de línea de espera con una cola, servidores múltiples en serie.



Existe una notación universal de las líneas de espera que se conoce como notaciónde Kendall (investigar cual es), pero para este curso se utilizará la siguientenotación:

NOTACIÓN DE LÍNEAS DE ESPERA

símbolo Descripción.λ Tasa de llegadasµ Tasa de servicios

.ε=λ/µ Factor de eficiencia del sistemaS Número de servidores del sistemaSε Factor de utilización de un sistema con S servidoresTs Tiempo de espera de un cliente en la colaTw Tiempo de espera de un cliente en el sistema

1/λ Tiempo promedio entre 2 llegadas consecutivas de clientes al sistema1/µ Tiempo promedio de servicio por cliente..λ n Número esperado de llegadas de nuevos clientes cuando ya hay “n”

clientes en el sistema.µn Número esperado de servicios cuando ya hay “n” clientes en el sistema.L Número esperado de clientes formados en la colaW Número esperado de clientes en el sistema.

Pm(t) Probabilidad de que en el momento “t” de arribar al sistema haya “m”clientes en el mismo.

Po(t) Probabilidad de que en el momento “t” de arribar al sistema haya “0”clientes en el mismo.

Cs Número esperado de clientes que al arribar al sistema no requieren elservicio.

µs Utilización promedio de cada uno de los S servidores dado como unporcentaje de tiempo.

MODELO DE LÍNEA DE ESPERA CON UNA COLA, UN SERVIDOR,POBLACIÓN INFINITA.

Suponga que se tiene un sistema de línea de espera, con un servidor y donde ladisciplina de la cola es “primero que llega, primero que se atiende”, por lo que losclientes forman una sola cola conforme van llegando al sistema.La población que genera a los clientes se considera infinita, y la capacidad de lasala de espera es ilimitada.El tiempo de llegada tiene una distribución de Poisson, lo que matemáticamentequiere decir que si A(t) es el número de llegadas al sistema en un intervalo detiempo t, entonces la probabilidad de que A(t) sea igual a k llegadas viene dadapor:

{ }k t

t )(k A(t)P λ ε λ −

==



Con lo anterior los parámetros que describen el comportamiento de este modelo delínea de espera son los siguientes:

( ) )(*/)(

/1

)(/)/(

)(/

/)()(2

t Pot Pm

TsTw

Ts

W

L

t Po

m µ λ

µ

λ µ µ λ λ µ λ

λ µ µ λ

µ λ µ

=

+=−=

−=

−=

−=

Ejemplo.- Desarrollarlo en Excel.

MODELO DE LÍNEA DE ESPERA CON UNA COLA, UN SERVIDOR,POBLACIÓN FINITA

Suponga un modelo similar al anterior, pero la población que genera a los clienteses finita de tamaño “m”, lo cual en lugar de simplificarlo lo complica. Por elloaunque en la realidad las poblaciones son finitas, suelen utilizarse más las infinitaspo su simplicidad.Suponiendo una población finita con “m” elementos de los cuales requieren unservicio o producto determinado “n” clientes de esa población (n ≤ m), entoncesprimero se calcula el valor de Po(t) con las siguientes ecuaciones:

∑=

=

−

=m

n

n

nm

m

t Po

t Pn

0

Po(t)Pn(t)

1 Po(t)y

)!(

!

)(

)(

µ

λ

Una vez calculado el valor de Po(t), los parámetros que describen elcomportamiento de este modelo de línea de espera son lo siguientes:

( ) )(*/)!(

!)(

/1

))(1(

))(1(

))(1(

t Ponm

mt Pn

TsTw

t Po

LTs

t Po LW

t Pom L

m µ λ

µ

µ

λ

µ λ

−=

+=

−=

−+=

−+

−=

Ejemplo.- Desarrollarlo en Excel.

MODELO DE LÍNEA DE ESPERA CON UNA COLA, SERVIDORESMÚLTIPLES EN PARALELO, POBLACIÓN INFINITA.

Suponga un sistema al cual pueden llegar un número infinito de clientes en esperade recibir un mismo servicio por parte de “S” servidores en paralelo (S > 1), siendo



la política del sistema “primero que llega, primero que se atiende”, de modo que elservicio lo proporciona el primer servidor del sistema que este desocupado.Se parte del supuesto de que al principio todos los servidores están desocupados, yse irán ocupando en forma progresiva, primero el servidor 1, luego el 2 y así sucesivamente en la medida en que vayan llegando los clientes.

El número promedio de llegadas de clientes al sistema viene dado por λ que sesupone tiene una distribución de Poisson; mientras que el número de servicios queproporciona cada servidor es el mismo y viene dado por µ que tiene unadistribución exponencial negativa.Si “m” es el número de clientes que en un momento dado requieren del servicio(m ≤ S), entonces primero se calcula Po(t) con la siguiente ecuación:

11

0 !

1

!

1)(

−−

=

−

+

= ∑

S

m

S m

S

S

S mt Po

λ µ

µ

µ

λ

µ

λ

Una vez obtenido el valor de Po(t), los parámetros que describen elcomportamiento de este modelo de línea de espera vienen dados por:

µ

λ

µ

λ

λ µ

µ

λ λµ

1

)()()!1( 2

+=

=

+=

−−

=

TsTw

LTs

LW

t PoS S

L

S

Para este modelo se debe cumplir la condición de que ( λ/µ) < S.

Ejemplo.- Ver desarrollo en Excel.

MODELO DE LÍNEA DE ESPERA CON UNA COLA, SERVIDORESMÚLTIPLES EN PARALELO, POBLACIÓN FINITA.

Sin entrar en mayores detalles, suponga un modelo similar al anterior, pero con ladiferencia de que la población que genera a los clientes es finita de tamaño “m” yque en un momento dado hay “n” clientes que requieren del servicio. Entoncesprimero con el uso simultaneo de las siguientes ecuaciones se calcula Po(t):



∑=

−

=

≤

−

=

≤≤

−

=

m

n

n

S n

n

t Po

t Pn

S S nm

m

t Po

t Pn

nmn

m

t Po

t Pn

0 )(

)(

1Po(t)

mnS para !)!(

!

)(

)(

Sn0 para )!(!

!

)(

)(

µ

λ

µ

λ

Una vez obtenido el valor de Po(t), los parámetros que describen elcomportamiento cuantitativo de este modelo de línea de espera son:

µ

µ

1

)(

)(

)()(

0

1

+=

−=

=

−=

∑∑=

+=

TsTw

LW

W Ts

t nPnW

t PnS n L

m

n

m

S n

También para este modelo se debe cumplir la condición de que (λ/µ) < S.

Ejemplo.- Ver desarrollo en Excel.

MODELO DE LÍNEA DE ESPERA CON UNA COLA, SERVIDORESMÚLTIPLES EN SERIE.

Este tipo de líneas de espera es característico del sector productivo, donde laslíneas de ensamble requieren de una serie de actividades que se desarrollan enserie, es decir, por etapas, y la salida de una etapa es insumo de la etapa siguiente.Se supone que la llegada al sistema con n servidores en serie, es una variablealeatoria con distribución de Poisson y valor promedio dado por λ, mientras que eltiempo de servicio en la i-ésima etapa o estación es una variable aleatoriaindependiente distribuida exponencialmente con valor promedio dado por µi; lacapacidad de espacio de espera entre etapa y etapa es ilimitado.

A continuación se describe cuantitativamente el comportamiento de este sistema delíneas de espera.



La probabilidad conjunta de que haya z1 clientes esperando para obtener elservicio en la estación 1; z2 clientes en la estación 2;…; zn en la n-ésima estación,está dada por:

{ }

.,...,2,1 ___ ___ 1 ___

)1(*...*)1(*)1(;...;; 21

22112211

nicon pdonde

p p p p p p z L z L z L P

i

i

z

nn

z z

nnn

==

−−−====

µ

λ

El número esperado de clientes en el sistema dado por W, se calcula con:

∑= −

=++=n

i i

n p

W W W W 1

211

1...

Donde Wi es el conjunto de clientes que esperan servicios en la i-ésima estación deservicio, más el cliente que está recibiendo el servicio.

Si la disciplina de la cola es primero que llega primero que se atiende, entonces laesperanza del tiempo de espera de un cliente a lo largo de todo el sistema es:

∑=

−

=+++=n

i ii

i

n p

pTsTsTsTs

1

21

1

1...

µ

Finalmente el tiempo que un cliente pasa en el sistema, desde que llega a la cola dela 1ª., estación de servicio, hasta que sale de recibir el servicio en la última estaciónviene dado por:

∑=

−

=+++=n

i ii

n p

TwTwTwTw1

21

1

1

1...

µ

Ejemplo.- ver desarrollo en Excel.

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