teoría de carteras - bcr - inicio de formacin adjuntos inscripciones... · reducir el riesgo de...

Investigación & Desarrollo – Bolsa de Comercio de Rosario

www.bcr.com.ar - [email protected]

Teoría de Carteras

Programa de Formación 2002

Autor

María Belén Collatti Contador Público

Becaria Programa de Formación 2002 - Bolsa de Comercio de Rosario

Investigador Junior – Bolsa de Comercio de Rosario (2004 – 2008) Investigador Senior – Bolsa de Comercio de Rosario (2008 – actualidad)

"Los conceptos, datos y opiniones vertidas en los artículos, son de exclusiva responsabilidad de sus autores y no reflejan necesariamente la opinión

de la Bolsa de Comercio de Rosario, deslindando la institución toda responsabilidad derivada de la exactitud de la información allí contenida. Queda prohibida la reproducción total o parcial de los artículos sin autorización de sus autores”.



Introducción

Los inversionistas potenciales son consumidores que andan de compras. Se ven

influenciados por la publicidad, por la imagen de la compañía y, principalmente por el

precio. Los inversionistas no suelen llenar sus bolsas de compras con una sola

oportunidad de inversión y procuran hacer buenas compras cuando seleccionan un

portfolio de valores.1

Hoy en día, la labor profesional de los gestores de carteras se desarrolla más intuitiva que

profesionalmente.

Es un trabajo artesanal, donde los mejores artesanos están exclusivamente a disposición de

una minoría, “las grandes fortunas”.

La administración de carteras se realiza combinando activos seleccionados según la

valuación que realice el gestor sobre los mismos de acuerdo a su experiencia, conocimiento e

intuición, pero raras veces se fundamentan en bases formales.

Esta situación ha desencadenado una falta de desarrollo formal en la gestión de carteras,

dependiendo el éxito de la misma del factor “arte” y llevando a inversionistas a mantener

carteras ineficientes (rentabilidad menor a la que podría obtener en un determinado nivel de

riesgo) y que no se ajustan a sus requerimientos de nivel de riesgo y rentabilidad esperada.

El objetivo de este trabajo es demostrar las ventajas que genera la aplicación de modelos

sobre Administración de Carteras que tengan sustento teórico.

Partimos del supuesto que los inversionistas desean mantener “carteras eficientes”, ya que

son aquellas que para una rentabilidad esperada dada, tienen el mínimo de varianza (o desvío

1 VAN HORNE, James C. “Administración Financiera” Dec. Edic. Editado por Prentice Hall Hispanoamericano,S.A, pag. 51



estándar) y que para una varianza dada (o desvío estándar) tiene el máximo de rentabilidad

esperada. Atendiendo a este planteo, desarrollaremos la solución a dos problemas:

Maximizar los Rendimientos esperados

Minimizar el Riesgo

Adelantamos el efecto de la diversificación, señalando que, al combinar valores riesgosos, se

puede obtener una combinación Rentabilidad/Riesgo que es considerablemente mejor que

cualquiera de los valores, individualmente hablando. Por lo tanto, para cualquier nivel dado de

rendimiento esperado es menos arriesgado un portfolio bien diversificado que cualquiera de los

valores aislados.

Comenzaremos exponiendo “La teoría de selección de carteras”, nacida en 1952 con un

celebrado trabajo de Harry Markowitz, profesor de finanzas, al que se le prestó escasa atención

hasta que el mismo autor publicó en 1959 con mayor detalle su formulación inicial.

A raíz de un famoso trabajo publicado en 1958 por James Tobin, se vuelve a plantear el

problema de la composición óptima de una cartera de valores, proponiendo ahora, la

introducción de un activo libre de riesgo.

Culminaremos el trabajo con ejemplos prácticos donde se aplican los modelos desarrollados

sobre acciones seleccionadas que cotizan en el índice Merval.



CAPITULO I

MODELO DE HARRY MARKOWITZ

Sumario: 1. Modelo de Harry Markowitz sobre carteras eficientes 1.1. Hipótesis del modelo de

Markowitz.1.2. Rentabilidad esperada de un portfolio.1.3 Efectos de la diversificación:

Reducción del riesgo de una cartera.1.4 Un conjunto eficiente de dos valores. 1.5 Frontera

eficiente para valores múltiples.1.6 Preferencia de los inversionistas. 1.7 Diversificación global.

1. Modelo de Harry Markowitz sobre carteras eficientes:

Harry Markowitz buscó recoger en forma explícita en su modelo, los rasgos fundamentales de

lo que podríamos considerar como conducta racional del inversor, consistente en buscar

aquella composición de la cartera que haga máxima la rentabilidad para un determinado nivel

de riesgo, o bien, mínimo el riesgo para una rentabilidad dada.

1.1 Hipótesis del modelo de Markowitz:

El modelo de Markowitz parte de las siguientes hipótesis:

1- La rentabilidad de cualquier título o cartera, es una variable aleatoria cuya distribución de

probabilidad para el periodo de referencia es conocida por el inversor. Se acepta como medida

de rentabilidad de la inversión “la media o esperanza matemática” de dicha variable aleatoria.

2- Se acepta como medida del riesgo la dispersión, medida por la varianza o la desviación

estándar de la variable aleatoria que describe la rentabilidad, ya sea de un valor individual o de

una cartera.

3- El inversor elegirá aquellas carteras con una mayor rentabilidad y menor riesgo.

El inversor se encuentra presionado por dos fuerzas de sentido opuesto:

a- Deseo de obtener ganancias

b- Aversión al riesgo



La selección de una determinada combinación de "Ganancia - Riesgo", dependerá de la

mayor o menor aversión al riesgo del inversionista.

1.2 Rentabilidad esperada de un portfolio:

La rentabilidad esperada, como señalamos anteriormente, puede medirse a través de una

medida estadística: media o esperanza matemática. La rentabilidad media de una cartera o

portfolio es igual a un promedio ponderado de los rendimientos esperados para los valores que

comprenden la cartera. Entonces:

nn1n1n2211C RwRw...RwRwR

n

1i

iiC RwR

donde:

RC: Rentabilidad de la cartera de inversión.

Ri : Rentabilidad del activo “i”.

wi : Porcentaje del fondo invertido en el activo “i”.

1.3 Efectos de la diversificación: Reducción del riesgo de una cartera.

Markowitz centró su atención en la diversificación de carteras y mostró cómo un inversor puede

reducir el riesgo de una cartera eligiendo valores cuyas oscilaciones no sean paralelas, es

decir, valores que tengan poca relación, de manera que unos aumenten su valor, mientras

otros experimenten bajas en sus precios. Esto puede deberse a sensibilidades opuestas ante

determinados factores macroeconómicos. Fijémonos, por ejemplo, en la figura siguiente, cómo

Coca Cola o Compaq habrían tenidos retornos muy variable. Pero hubo momentos en los que

una caída en el valor de una de las acciones quedó compensada por la suba en el precio de la

otra. Por lo tanto, hubo una oportunidad de reducir el riesgo por medio de la diversificación.



Gráfico 1.3.1

Retornos Coca Cola

-25-20-15-10-505

10152025

1

Ren

dim

ien

tos (

%)

Retornos Compaq

-25-20-15-10

-505

10152025

Re

nd

imie

nto

s (

%)

Retornos Portfolio

-25-20-15-10

-505

10152025

Re

nd

imie

nto

s (

%)

Rendimientos correspondientes al período julio 1989 a junio 1994 1

1 BREALEY RICHARD - Myers Stewart "Principios de Finanzas Corporativas", Ed. Mc Graw Hil 1998.-,Cap. 7, Pag.109



En el tercer gráfico se muestra cómo, si se hubiera invertido en partes iguales en cada título,

la variabilidad de la cartera hubiera sido sustancialmente inferior a la variabilidad media de los

dos títulos. Vemos claramente entonces, que el riesgo de un portfolio no es la suma de los

riegos de los valores que lo componen, sino que existe otra variable vinculada al riesgo total y

es la covarianza de los rendimientos. Esta es una medida del grado al que se espera van a

variar juntas, en lugar de independientes una de la otra.

Entonces la Desviación Estándar de un portfolio es igual a:

Donde:

n : total de valores en el portfolio;

WI y WJ: proporciones del total de fondos invertidos en los valores i y j respectivamente y;

(Ri,Rj) : covarianza de los rendimientos posibles para los valores i y j.

Las dos sumatorias significan que podemos considerar las covarianzas para todas las

combinaciones posibles en pares de valores en el portfolio. Por ejemplo, supongamos que mes

igual a 3.

La matriz de covarianzas para todas las combinaciones posibles seria:

1.1 1.2 1.3

2.1 2.2 2.3

3.1 3.2 3.3

La combinación de la esquina superior derecha, es 1.1, y significa que i = j, es decir, lo que

nos interesa es la varianza del valor 1: 1. 1 = Var(1)

Deteniéndonos en la diagonal nos encontramos con tres combinaciones donde i = j y nos

preocuparíamos sólo en la varianza en los tres casos. La segunda combinación en la fila 1 es

n

i

n

jP

1 1RJ)(RI,JI

WW



1.2 y en la fila 2 la primer combinación es 2.1, es decir contamos con la covarianza de los

valores 1 y 2 dos veces. En forma similar contamos dos veces las covarianzas de las demás

combinaciones posibles que no se encuentran sobre la diagonal. Por lo tanto podemos

expresar la varianza de nuestro ejemplo como:

Vp = V1W1 + V2 W2 +V3 W3 + 2 W1W2 Cov1.2 + 2 W1 W3 Cov1.3 + 2 W2 W3 Cov2.3

Donde:

Cov1.2 = 1.2. 1. 2 ; Cov1.3 = 1.3. 1. 3 ; Cov2.3 = 2.3. 2. 3

jk = correlación entre los valores, es decir, el grado en el que los rendimientos de los valores

van juntos.

El valor de los coeficientes de correlación siempre se encuentra entre los límites de -1 y +1.

Un coeficiente de correlación de +1, indica que un aumento en el rendimiento de un valor

siempre está acompañado por un aumento proporcional en el rendimiento de otro valor y, en

forma similar para las reducciones.

Un coeficiente de correlación de –1, indica que un incremento en el rendimiento de un valor

siempre esta asociado con una reducción proporcional en el rendimiento del otro valor y

viceversa.

Un coeficiente de correlación cero, indica ausencia de correlación, de manera que los

rendimientos de cada valor varían en forma independiente uno del otro.



Figura 1.3.2

La línea IK muestra las combinaciones posibles de riesgo-rendimiento cuando el

coeficiente de correlación es = 1.

La curva IK muestra las combinaciones posibles de riesgo-rendimiento cuando existe una

correlación entre 1 y -1.

Las líneas AK y AI muestran las combinaciones posibles de riesgo-rendimiento cuando la

correlación = -1.

La curva IK se denomina conjunto de oportunidades, y representa aquellas combinaciones de

activos disponibles en el mercado. Siempre tendrá una forma similar, aunque se trabaje con

carteras que contengan k activos.

1.4 Un conjunto eficiente de dos valores:

Si nos enfrentamos ante la posibilidad de invertir entre dos valores, como por ejemplo,

Telefónica y Acindar, obtendremos las siguientes posibilidades de combinaciones:

I

I



Tabla 1.4

Porción

Acindar

Porción

Telefónica

2 de la

Cartera

Retorno anual

de la Cartera

1 1 0 27,22 30

2 0,8 0,2 24,73 26.35

3 0,6 0,4 12,74 22.7

4 0,4 0,6 10,94 19.05

5 0,2 0,8 22,57 15.4

6 0 1 18,22 11.75

Elaboración propia. Se utilizó como dato las cotizaciones diarias durante el periodo 1996-1998, obtenidas de

http.//www.bolsar.com/research/indicadores/indices.asp -

Gráfico 1.4.1

A: Todo invertido en Acindar

B: Todo invertido en Telefónica

C: Cartera de varianza mínima

El gráfico 1.4.1 muestra las posibles combinaciones de retorno y riesgo esperado cuando se

varían las proporciones invertidas en cada acción. Los puntos corresponden a los seis portfolios



que se describieron anteriormente. La curva que los conecta muestra el intercambio

Riesgo/Rendimiento.

Podemos apreciar el efecto de la diversificación al comparar la línea curva con la línea recta

de puntos. La línea recta describirá el conjunto de oportunidades si predomina una perfecta

correlación (es decir, si el coeficiente de correlación fuera igual a uno). Al disminuir la

correlación entre los valores, la línea curva se distancia de la línea recta. Observamos cómo la

línea curva domina a la recta, ya que sobre la primera, para un determinado nivel de riesgo se

obtienen mayores rendimientos y para un determinado nivel de rendimientos, el riesgo es

menor. Con un coeficiente de correlación de solo 0.2, es evidente un efecto considerable de la

diversificación por la distancia entre las dos líneas.

Aunque parezca imposible, podemos reducir la desviación estándar respecto de la esperada

con una inversión del 100% en Telefónica, si invertimos en el valor de mayor riesgo, es decir

Acindar. Este resultado contra intuitivo se debe al efecto de la diversificación, donde los

rendimientos inesperados de un valor quedan balanceados por movimientos opuestos de los

rendimientos del otro valor.

El portfolio C, se conoce como el portfolio de varianza mínima. Es el que tiene la menor

desviación estándar que surge de variar la mezcla de valores retenidos. En nuestro caso, el

portfolio de varianza mínima consiste en 60% de Telefónica y 40% de Acindar. En el Anexo A

se desarrolla un ejemplo detallando los pasos a seguir para formar una cartera con dos activos.

Se observa que la inclinación hacia atrás de la línea curva no ocurre necesariamente con la

diversificación. Esto depende del coeficiente de correlación entre los valores. (ver gráfico 1.4.2.)

El tramo de la curva del conjunto de oportunidades que va de B a C no es factible ya que

existen portfolios que lo dominan ( rendimiento, riesgo; rendimiento, riesgo) sobre la

curva desde B hasta A. Como es lógico, nadie elegiría un portfolio de rendimientos menor a los

rendimientos que ofrece el portfolio de varianza mínima. EL conjunto eficiente es la parte de la

curva que va del portfolio de varianza mínima (portfolio 4 de la tabla1.4), al que tiene máximo

rendimiento esperado (portfolio 1), que consiste en todas las acciones de Acindar.



Figura 1.4.2:

R(E)

correlación 1 correlación 0.6 correlación 0.2

Conjunto de oportunidades para portfolio de dos valores con diferente coeficiente correlación

1.5 Frontera Eficiente para valores múltiples:

En la práctica, no es común que exista la limitación de invertir en sólo dos valores sino que

se forman carteras de múltiples valores que pueden adquirirse en el mercado. A continuación

graficamos la frontera eficiente para valores múltiples.

A la línea sólida se le conoce como el conjunto de eficiencia, y el punto A es el comienzo de

este conjunto eficiente ya que es la cartera de mínima varianza.

Figura 1.5

E(R)



Los puntos sobre el interior representan combinaciones de riesgo y rentabilidad ofrecidas por

diferentes títulos individuales, mientras que la línea sólida representa las carteras finales que se

pueden crear provenientes de los activos individuales disponibles en el mercado. Combinando

estos títulos en diferentes proporciones se puede obtener una amplia gama de posibilidades de

riesgos y rentabilidades esperadas. Si desea aumentar la rentabilidad esperada y reducir la

desviación típica, estará interesado únicamente en aquellas carteras que se encuentren sobre

la curva que va desde A hasta C. Harry Markowitz las llamó Carteras Eficientes.

A partir de aquí, la elección de la cartera dependerá del grado de aversión al riesgo del

inversionista. El Anexo “B” detalla un ejemplo sobre una cartera de 10 activos.

1.6 Preferencia de los inversionistas:

Si bien es verdad que los inversionistas buscan rendimientos esperados altos y menores

riesgos, no podemos precisar que cartera preferirá un determinado inversionista, ya que esto

depende de la actitud frente al riesgo del mismo. Si es un inversionista racional elegirá una que

se encuentre sobre la cartera eficiente descripta anteriormente. No obstante todavía quedan

muchas carteras factibles para recoger.

Un inversionista atrevido o amante del riesgo, quizá este dispuesto a correr altos riesgos para

obtener mayores rendimientos. Otro, conservador, preferirá arriesgar menos, sacrificando

rendimientos futuros.

Estas diferencias en las preferencias de los inversionistas pueden exponerse en forma

gráfica en el espacio riesgo/rendimiento de la figura 1.6.1 para dos inversionistas hipotéticos.

La preferencia de los inversionistas están representadas a través de curvas construidas en

forma tal que cada curva individual representa diferentes combinaciones de riesgo/rendimiento

que sean igualmente atractivas para un inversionista. Por lo que esta clase de curvas se

conocen como curvas de indiferencia.



Figura 1.6.1

Las curvas 1, 2 y 3 pertenecen a un inversionista conservador. El inversionista menos

conservador posee curvas de indiferencia con menor pendiente como las curvas 4, 5 y 6, ya

que estará dispuesto a afrontar riesgos mayores para incrementar sus rendimientos.

El inversionista conservador, encontraría igualmente atractivo todos los puntos sobre la curva

2, pero seguramente preferirá estar en cualquier punto de la curva 2 y no estar sobre la curva 1.

En términos de la gráfica, el inversionista conservador preferirá encontrarse sobre la curva más

alta que fuera obtenible, lo mismo es cierto para el inversionista atrevido.

Sin embargo, el trabajo del inversionista no culmina eligiendo la curva más alta, sino que

deberá atenerse a las posibilidades disponibles en el mercado. Quizás no sea posible para

estos inversionistas alcanzar las curvas más altas. Si podemos determinar un grupo de

preferencias que estén implícitas mediante las curvas de utilidad y se conoce la información

sobre las oportunidades de inversión que están disponibles para los inversionistas, resulta

entonces posible determinar qué oportunidades de inversión seleccionarán realmente los

distintos inversionistas.



E(R)

H

F

E

MR

L DS

La figura muestra cómo elegir una cartera teniendo en cuenta tanto las preferencias de los

inversionistas, ya sean amantes al riesgo o conservadores, como las combinaciones posibles

de los activos del mercado.

El inversionista conservador puede obtener con facilidad una posición sobre la curva de

indiferencia 1, sin embargo, es posible para este inversionista obtener una combinación de la

curva 2 si conserva la cartera E. De igual forma, el inversionista arriesgado conservará la

cartera F para lograr una posición sobre la curva de indiferencia 5. En general, le irá mejor a un

inversionista que conserve una cartera que sea tangente a la curva de indiferencia. En este

punto el inversionista logrará la curva de indiferencia más alta posible y estará en mejor

posición con una cartera tangente de lo que estaría si conservara cualquier otra cartera. Tanto

el inversionista conservador como el arriesgado seleccionan carteras que se encuentran sobre

la frontera eficiente, pero escogen carteras con diferentes características de riesgo-rendimiento.

Estas selecciones son consistentes con sus actitudes hacia el riesgo y el rendimiento. El

hecho de que la inclinación sobre las curvas de indiferencia del inversionista conservador sea

más pronunciada, refleja una mayor tendencia conservadora. La inclinación más cercana a la

horizontal de las curvas de indiferencia del inversionista atrevido señala una mayor disposición

a aceptar el riesgo.

Figura 1.6.2

6 5 4

3 2 1



1.7 Diversificación global:

Si la diversificación es una buena idea y si depende de conseguir acciones que no estén

altamente correlacionados, quizás se pudiera obtener una mayor ventaja mediante la

diversificación internacional de la cartera.

Al invertir a través de los mercados financieros mundiales, se puede lograr una mayor

diversificación que si se invirtiera en un sólo país. Los ciclos económicos de diferentes países

no están completamente sincronizados. Una economía débil en un país puede ser

contrarrestada por una fuerte economía en otro.

El gráfico 1.7.12 ilustra el rendimiento promedio anual entre 1987 y 1997 de las acciones,

bonos y mercados monetarios de las diez principales economías. Del rango de rendimientos

apreciados en cada categoría queda claro cómo una diversificación global hábil podría haber

producido un rendimiento menos volátil y más uniforme.

Gráfico 1.7.1

2 Gráfico extraído dehttp://gpbpdf.mktechsoftware.com/cv/admministracion_inversiones_globales_spanish.pdf



Sin embargo, existen también otros beneficios de la diversificación global:

Brinda la oportunidad de elegir el instrumento "correcto" en el mercado "correcto" con la divisa

"correcta".

Mediante una selección más amplia de valores, se pueden enfatizar las inversiones de mayor

calidad.

Brinda la oportunidad de obtener instrumentos de inversión eficientes con respecto a los

impuestos.

El siguiente gráfico muestra carteras formadas por acciones de Estados Unidos

representadas por el índice S&P500 (acciones nacionales) y por acciones extranjeras

representadas por el índice MSCI EAFE 1970-1996. En el mismo podemos observar como la

cartera formada por acciones nacionales (de EEUU) ofrece menores rendimientos que una

cartera formada por el 40% de acciones extranjeras y el 60% de acciones nacionales, para un

mismo nivel de riesgo.



100% acciones extranjeras

40% acciones extranjeras, 60% acciones nacionales

Cartera de varianza mínima,

20% acciones extranjeras, 80% acciones nacionales

100% acciones nacionales

80% acciones extranjeras, 20% acciones nacionales 60% acciones extranjeras,

40% acciones nacionales

15 16 17 18 19 20 21 22 23 Fuente: Ibbotson Associates

Grafico 1.7.2

15

14,5

14 13,5 13



CAPITULO II

Línea en el Mercado de Capitales

Sumario: 2. Línea en el Mercado de Capitales, 2,1, Teoría de equilibrio en el Mercado de

Capitales. 2.3 Teoría de carteras y teorema de la separación

2.1 Teoría del equilibrio en el Mercado de Capitales

La Teoría del equilibrio en el Mercado de Capitales es una extensión del modelo de

Markowitz.

Introduce la posibilidad de invertir una parte de su presupuesto a la adquisición de activos sin

riesgo. También ofrece la posibilidad de invertir en valores con riesgo una cantidad superior al

presupuesto de inversión disponible, financiando la diferencia como endeudamiento.

Supongamos que usted puede prestar y pedir prestado a la misma tasa libre de riesgo.

Grafiquemos esta situación:

Figura 2.1

Rf



El punto M representa a la cartera óptima y se denomina “Cartera de Mercado”. Esta se

obtiene en el punto tangencial de la línea trazada a partir de la tasa libre de riesgo con la línea

curva del conjunto de oportunidades. A esta línea se la suele llamar línea del mercado de

capitales.

De este modo se puede hablar de carteras con préstamo (Lending Portfolios) cuando una

parte del presupuesto se invierte otorgando un préstamo al tipo de interés del activo sin riesgo,

y de carteras con endeudamiento (Borrowing Portfolios) cuando se pide prestado fondos para

invertir en la cartera de Mercado, al mismo tipo de interés. Entonces, en el primer caso se

invierte parte del capital disponible en la “Cartera de Mercado” y parte en un activo sin riesgo;

en el segundo caso se invierte el capital disponible más fondos recibidos a través de

endeudamiento, en la Cartera de Mercado.

A la línea del mercado de capitales, podemos expresarla matemáticamente como:

C

Z

FZFC σ

σ

R]E[RR]E[R

donde:

E(Rc) = la tasa esperada de rendimiento de las carteras a lo largo de la línea de mercado de

capitales,

R(F) = la tasa de los préstamos libres de riesgo, petición y otorgamiento,

E(Rz) = la tasa esperada de rendimiento sobre la cartera de mercado,

(z) = la desviación estándar del rendimiento sobre la cartera de mercado, y

(Rc) = la desviación estándar de las carteras a lo largo de la línea del mercado de capitales.

Además, como la ecuación anterior representa una recta, Rf es la ordenada al origen.

La pendiente de la línea del mercado de capitales es igual a:

Z

FZ

σ

R]E[R

La pendiente mide la prima de riesgo por unidad de riesgo, es decir, el rendimiento extra que

exige el mercado por una unidad adicional de riesgo.



Todos los inversionistas que decidan conservar activos de riesgo se inclinarán por la “cartera

de mercado” o “cartera óptima”. Nace así una nueva frontera eficiente formada por la línea recta

cuyo origen es el punto del activo libre de riesgo y pasa por el punto que representa la Cartera

Tangente o de Mercado, ya que domina a las demás combinaciones del conjunto de

oportunidades.

Cualquier punto situado sobre la línea recta nos indica la proporción del portfolio de riesgo M

y la proporción de préstamos (otorgados o adquiridos) a la tasa libre de riesgo. A la izquierda

del punto M, el inversor tendría tanto el valor libre de riesgo como el portfolio M. A la derecha,

sólo tendría el portfolio M y tendría que pedir fondos prestados, además de sus fondos de

inversión inicial, a fin de invertir adicionalmente en el mismo. Mientras más se esté a la derecha

en la figura, mayores serán los préstamos que tendrá que obtener.

El rendimiento esperado global es = (w).Rp (rendimiento esperado en el portfolio de riesgo) +

(1-W). Rf (tasa libre de riesgo), donde “w” es la proporción del total de riqueza invertida en el

portfolio M y “1-w” es la proporción invertida en el activo libre de riesgo. La desviación estándar

global simplemente es w multiplicada por la desviación estándar del portfolio de riesgo. No se

toma en cuenta el activo libre de riesgo porque su desviación estándar es 0.

La política de inversión óptima se determina por el punto tangencial entre la línea recta de la

figura y la curva de indiferencia más alta.

2.2 La cartera de mercado y el teorema de la separación:

Si los participantes en el mercado tienen expectativas homogéneas, en el equilibrio de

mercado, el punto M representa el portfolio de todas las acciones disponibles en el mercado,

ponderadas por sus totales respectivos en valores el mercado. Por ejemplo, si el valor del

mercado total de las acciones de IBM es de $4 mil millones y el valor de mercado de todos los

valores fuera $100 mil millones, entonces el peso asignado a IBM en la cartera de mercado

sería de 4%. De acuerdo a ello esta cartera es una cartera de valor ponderado.

Debido a que todos los inversionistas que decidan conservar activos de riesgo se inclinarán

por la cartera M, la selección de una cartera riesgosa es independiente de la selección de una



cartera en particular en la línea Rfmy. Esto se conoce como teorema de la separación. La

decisión de invertir está separada de la decisión de financiamiento.

Y

X C

Rf DS

La cartera M será mantenida por todos los inversionistas que decidan invertir en activos de

riesgo debido a que es la cartera que domina a todas las posibles combinaciones de activos de

riesgo. Sin embargo, tendrán la opción de incluir un activo sin riesgo. Si es un inversionista

conservador seguramente invertirá parte de sus fondos en un activo libre de riesgo. En cambio,

un inversionista propenso al riesgo solicitara fondos extra a la tasa libre de riesgo para invertir

todo en la cartera de mercado. En la figura, la cartera x pertenece a un inversionista

conservador, mientras la cartera Y pertenece a un inversionista propenso al riesgo.

E(R)

M

Figura 2.2



CONCLUSION

A largo de este trabajo se buscó desarrollar las teorías que fundamentan la administración de

carteras, muchas de las cuales tuvieron repercusión tiempo después de sus publicaciones.

Una de las razones que parecería ser lógica encuentra su explicación en la informática, ya que

para la aplicación de los modelos que rigen la administración de carteras requieren realizar un

elevado número de cálculos que sería difícil llevarlos a cabo sin las herramientas adecuadas

que nos ofrece el procesamiento electrónico de datos. Podemos también señalar, la actitud de

determinados inversionistas de “cerrarse” a cambios potenciales viendo amenazada la

estabilidad “aparente” en la que se encuentran. Decimos aparente, considerando que la

estabilidad es un término relativo, es decir, que considera el contexto en el que se mueve el

elemento que se está analizando. No podemos decir que nos mantenemos “estables” cuando el

mundo avanza y nosotros nos mantenemos inmutables. Contrariamente, estaríamos

retrocediendo en relación al entorno en cuál nos desarrollamos.

Numerosas investigaciones realizadas por consultoras de diferentes países han demostrado

la viabilidad de las teorías que se han expuesto en este trabajo; sin embargo, de la misma

manera se comprobó, que para obtener resultados satisfactorios el mercado en cuál se opera

debe estar atravesando un período de crecimiento. Esto es así porque las mencionadas teorías

tienen por objeto seguir “el mercado”, excluyendo los factores que afectan individualmente a las

empresas que negocian sus títulos, de manera de evitar riesgos innecesarios eliminados a

través de la diversificación. Una respuesta a esta condición sería mantener carteras

diversificadas globalmente ya que los ciclos económicos de diferentes países no están

completamente sincronizados. Una economía débil en un país puede ser contrarrestada por

una fuerte economía en otro.

El principal mensaje de este trabajo, señala la conveniencia de combinar valores de

diferentes empresas de manera de evitar el riesgo que amenaza individualmente a las mismas.

Si bien esto parece intuitivamente lógico, podemos, a través de teorías con fundamentos

matemáticos, optimizar los resultados de nuestro trabajo. Profesores académicos como Harry

Markowitz, Williams F.Sharpe, y James Tobin entre otros, se ocuparon de desarrollar modelos

que permiten al inversionista obtener la cartera que están buscando, dentro de las posibilidades

del mercado.



Por lo tanto, parecería poco racional desaprovechar estas herramientas que potencian las

capacidades naturales de los inversionistas que se guían sólo por experiencia e intuición.



BIBLIOGRAFIA

"Principios de Finanzas Corporativas", Brealey Richard - Myers Stewart, Ed. Mc Graw

Hil 1998.-

"Administración Financiera", Van Horne James, Ed. Prentice Hall 1997.-

“Estudios bursátiles de la Bolsa de Madrid”, Davila, Miguel martín, Ed. Aro Artes

graficas, 1982.-

“Inversiones” Kolb, Robert W. Limusa, S.A., 2000.-

http.//www.bolsar.com/research/indicadores/indices.asp.-

http.//www.paullyeronline.com/cgi-bin/apps/educ00.-

http.//www.parisinet.com/Finanzas_cd1/cap5/5-2/cap_5_2.htm.-

http.//ciberconta.Unizar.es/Leccion/fin004/110.htm.-

http.//www.ctv.es/USERS/josecalpe/otras%20cosas/Medidas20%de%20riesgo/tema10.h

tm.-

http.//www. Serfiex.es/recomendador_Serf/Gestoronline.pdf.-

http:// www.rbcprivatebanking.com/expatriate_financial_services.htm

http.//www.azc.uam.mx/publicaciones/etp/num/etp/num7/auno.htm.-



AGRADECIMIENTOS

Quiero dejar expresada mi gratitud hacia quienes hicieron posible que lleve a cabo este

trabajo.

A la Bolsa de Comercio de Rosario por brindarnos la posibilidad de acceder al Programa de

Formación, sistema de becas destinado a estudiantes avanzados de carreras universitarias que

otorga dicha institución; al Departamento de Capacitación que junto a los profesores nos

brindaron una formación de elevado nivel académico, y muy especialmente al Profesor Amilcar

Menichini, quien ejerció la tutoría del presente trabajo con esmero y dedicación.

María Belén Collatti



Anexo A: Cálculo de las medidas de una Cartera

Rentabilidad esperada de un título:

El rendimiento

El cálculo de la rentabilidad se hace restando del valor al final del período (Pt), su valor inicial

(P0) y, por último, dividiendo dicha diferencia por el propio valor inicial:

Media Aritmética

La media aritmética es igual a la sumatoria de las rentabilidades del valor j en los n períodos

dividido por el número de períodos:

n

j

j

n

XX

1

Datos: Elegimos cotizaciones anuales de los valores Telecom y Agrometal del Índice Merval

Rentabilidades anuales:

Año Telecom Agrometal

1997 0,7922 1,2267

1998 -0,1783 -0,4727

1999 0,2789 -0,3397

2000 -0,4593 -0,3133

2001 -0,5699 0,3536

Sumatoria -0,1364 0,4546



.anualE

Rte73,2100.

5

1364,0)(

anualERag

09,9100.5

4546,0)(

Varianza de cada título:

Utilizando los datos de Rentabilidad y Media aritmética obtenida anteriormente, aplicamos la

siguiente fórmula, y así obtenemos la varianza de cada título.

n

j n

xxVar

j

1

2

2)(

Telecom

Rendimiento - Media = Desviación Desviacion2

1997 0,79 -0.0273 0,81772 0,668666

1998 -0,1783 -0.0273 -0,15058 0,022674

1999 0,2789 -0.0273 0,30662 0,094015

2000 -0,4593 -0.0273 -0,43158 0,186261

2001 -0,5699 -0.0273 -0,54218 0,293959 Sumatoria 1,265576

anualVarTe %3,25100.5

2656,1)(

Agrometal

Rendimiento - Media = Desviación Desviacion2

1997 1,23 0,09 1,14 1,2996

1998 -0,47 0,09 -0,56 0,3136

1999 -0,34 0,09 -0,43 0,1849

2000 -0,31 0,09 -0,40 0,16

2001 0,35 0,09 0,26 0,0676 Sumatoria 2,0257



anualVar Ag %40100.5

0257,2)(

Cálculo de las covarianzas:

Necesitaremos obtener como dato las rentabilidades de estos valores. En este caso

extraeremos las rentabilidades mensuales para simplificar la exposición.\

Primer paso: Cálculo de las desviaciones para cada valor:

Telecom Agrometal

Retorno - Media = Desviación Retorno - Media = Desviación

1997 0,79 -0.0273 0,81772 1,2267 0,09092 1,13578

1998 -0,1783 -0.0273 -0,15058 -0,4727 0,09092 -0,56362

1999 0,2789 -0.0273 0,30662 -0,3397 0,09092 -0,43062

2000 -0,4593 -0.0273 -0,43158 -0,3133 0,09092 -0,40422

2001 -0,5699 -0.0273 -0,54218 0,3536 0,09092 0,26268

Sumatoria -0,7622 -0,1524 0 0,4546 0,09092 0

Nota: Para corroborar que calculamos correctamente las desviaciones, comprobemos que la

sumatoria sea igual a 0.

Segundo paso: Multiplicar las desviaciones de cada valor, y luego obtener la sumatoria de los

productos.

Tercer paso: Dividir la sumatoria de los productos por el número de períodos incluidos (N). El

resultado es la covarianza entre los valores de Telecom y Agrometal.

Desviación Telecom *

Desviación Agrometal Resultados

1997 0,81772 * 1,13578 0,928750

1998 -0,15058 * -0,56362 0,08486

1999 0,30662 * -0,43062 -0,13203

2000 -0,43158 * -0,40422 0,174453

2001 -0,54218 * 0,26268 -0,14242

Sumatoria 0,913616



anualCov agte %27,18100.5

913616,0),(

Ya estamos en condiciones de obtener la esperanza de rendimientos de un portfolio integrado

por estos dos valores y su desviación estándar.

Consideremos invertir el 0.2% en títulos de Telecom y 0.8% en títulos de Agrometal:

anualE Rp %7,610009092,08,00273,02,0)(

anualVar Rp %45,3210018272,08,02,024,08,0253,02,0 22)(



Anexo B: Teoría de carteras aplicado a una cartera de

diez acciones.

Se eligieron diez acciones que cotizan en el Índice Merval con mayor peso durante el

período 1996-1998. Estos títulos corresponden a las siguientes empresas:

Acindar, Siderar, Siderca, Banco Francés, Banco Galicia, Indupa, Molinos, Telefónica,

Telecom. y Repsol-YPF.

Formación de la Cartera de Mercado:

Para obtener la Cartera de Mercado necesitamos conocer tres medidas estadísticas

relacionadas con los títulos que deseamos incluir: Rentabilidad Esperada, Desviación

Estándar y las covarianzas entre los valores.

Rentabilidad diaria esperada:

Es el promedio de los rendimientos diarios obtenidos a partir de las cotizaciones diarias, en

este ejemplo, durante el período 1/1/1996-30/12/1998. De las rentabilidades diarias se obtuvo el

promedio.

Acindar Siderar Siderca Bco.Fra Bco.Gali Indupa Molinos Telefónica Telecom

YPFD

0,1197% ,0671%

,05960%

0,0109%

0,1051%

0,1111%

(0,087)% 0,0468%

,05650%

0,059%

Desviación Estándar:

Como vimos anteriormente, la desviación estándar refleja el riesgo del título y se calcula:

n

j

j

n

xx

1

2)(



Acindar Siderar Siderca Bco.Fra Bco.Gali Indupa Molinos Telefónica Telecom

YPFD

0,0331 0,0301 0,0305 0,0286 0,0298 0,0527 0,0382 0,0276 0,0259 0,0217

Covarianzas:

Calculamos las covarianzas entre los valores siguiendo el procedimiento detallado en el

anexo A. Luego armamos la Matriz de Covarianzas:

Acind. Sidera. Siderc. Bco.Fr Bco.G Indupa Molin. Telefo. Telec. YPF

Acind 0,0022 0,0004 0,0003 0,0003 -0,0002 0,0006 0,0002 0,0006 0,0006 0,00045

Sidera. 0,0004 0,0009 0,0005 0,0005 -0,0005 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,00021

Siderc. 0,0003 0,0005 0,0009 0,0006 -0,0005 0,0002 0,0003 0,0003 0,0003 0,00021

Bco.Fr 0,0003 0,0005 0,0006 0,0008 -0,0004 0,0002 0,0002 0,0003 0,0003 0,00023

Bco.G. -0,0002 -0,0005 -0,0005 -0,0004 0,0009 -3E-05 -0,0001 -0,0002 -0,0002 -0,0001

Molin. 0,0006 0,0003 0,0002 0,0002 -3E-05 0,0027 0,0002 0,0005 0,0005 0,00036

Indupa 0,0002 0,0003 0,0003 0,0003 -0,0001 0,0002 0,0015 0,0002 0,0001 0,00011

Telefo. 0,0006 0,0003 0,0003 0,0003 -0,0002 0,0005 0,0002 0,0008 0,0006 0,00045

Telec. 0,0006 0,0003 0,0003 0,0003 -0,0002 0,0005 0,0001 0,0006 0,0007 0,00041

YPF 0,0004 0,0002 0,0002 0,0002 -0,0001 0,0004 0,0001 0,0004 0,0004 0,00047

Participación en la Cartera de Mínima Varianza:

Buscamos la proporción del capital que se debe destinar a cada valor para obtener la cartera

de mínima varianza. Lo hacemos minimizando la siguiente función:

Min

n

1 i

n

j=1

ij j i 2 i

n

1 i

2 i

2 C σ w w 2 σ w σ

Participación en la cartera:

Acindar Siderar Siderca Bco.Fra Bco.Gali Indupa Molinos Telefóni. Telecom YPFD

0,00% 18,65% 9,25% 10,98% 38,29% 0,00% 2,74% 0,00% 0,00% 20,09%



= 0,013

E(R) = 0,07%

Rf = 0,01%

Ratio de Sharpe = 4,5601

Participación en la Cartera Tangente:

En este caso debemos buscar las proporciones de capital que deban destinarse a cada valor

para obtener la cartera tangente con la línea formada por la incorporación del activo libre de

riesgo. Lo resolvemos maximizando la pendiente de la recta o “Ratio de Sharpe”:

RfRpMAX

Participación en la cartera:

Acindar Siderar Siderca Bco.Fra Bco.Gali Indupa Molinos Telefóni. Telecom YPFD

1,30% 22,94% 14,94% 0,00% 41,91% 0,25% 0,00% 0,00% 0,00% 18,66%

E(R) = 0,08%

= 0,014

Rf = 0,01%

Ratio de Sharpe = 5,146



E(R)

0,08

0,07 C

0,01

0,013 0,014 DS

Por álgebra, se sabe que la ecuación de una línea recta se obtiene mediante:

Y = mx + b

donde: y = altura del eje vertical

m = inclinación pendiente de la línea (Ratio de Sharpe)

x = el valor en el eje horizontal

b = el punto en le cuál la línea corta el eje y

Obtuvimos como datos de la línea del mercado de capitales:

Y = 0.08 ; X = 0,014 ; b = 0,01 ; m = 5,15

Con estos datos podemos fijar Rendimientos o Riesgos objetivos y calcular la cartera

correspondiente:

Veamos que ocurre si un inversionista fija como riesgo objetivo el de la cartera de varianza

mínima, es decir 0,013%.

%077,001,0013,015,5Y %077,0)(RcE

M



Si comparamos esta cartera (“y”) con la cartera de varianza mínima (“c”), podemos apreciar

que la cartera “y” ofrece rendimientos mayores para el mismo nivel de riesgo. De este modo, al

incluir un activo libre de riesgo, se forma una nueva Frontera Eficiente que nace en el punto Rf

y pasa por la cartera tangente “M”.

Analicemos ahora dos escenarios diferentes:

a) inversionista conservador.

b) inversionista arriesgado

a) El inversionista conservador le señala a su gestor de carteras que está dispuesto a correr

un riesgo equivalente a un 0,011% de desviación estándar.

%067,001,0011,015,5Y %067,0)(RcE

El espacio Riesgo/Rendimiento correspondiente es: (0,011 ; 0,067)

b) Por otro lado, un inversionista arriesgado, plantea a su gestor que está dispuesto a afrontar

un riesgo equivalente a un 0,019% de desviación estándar

%108,001,0019,015,5Y %108,0)(RcE

El espacio Riesgo/Rendimiento correspondiente es: (0,019 ; 0,108)



La cartera M es la “Cartera de Mercado”, punto tangente de la frontera eficiente y la línea de

mercado. A la izquierda del punto M , como vimos anteriormente, se forman cartera destinando

parte del capital al portfolio M y parte a la adquisición de un activo libre de riesgo, es decir:

RfWEWE RCTRc )1()()(

Donde W es la porción del patrimonio invertida en la cartera M.

PN

MW

La cartera “x” se obtiene distribuyendo el capital de la siguiente manera:

01,0)1(08,0067,0 WW w = 0,81 (1-w) = 0,19

81% invertido en la cartera M

19% invertido en el activo libre de riesgo

E(R)

0.108 Z

0,08 M

0.077 Y

0,07 C

0.067 x

0,011 0,013 0,014 0,019 DS



Para obtener la cartera “y” debemos hacer:

01,0)1(08,0077,0 WW w = 0,96 (1-w) = 0,04

96% invertido en la cartera M

0,04% invertido en el activo libre de riesgo

Las carteras que se ubican a la derecha del punto M, se forman invirtiendo en la cartera

tangente la totalidad del capital más un dinero extra obtenido a la tasa Rf. Z se obtiene

haciendo:

RfWEWE RCTRC )()( )1(

Donde W es la porción del patrimonio que pido prestado a la tasa libre de riesgo.

PN

PasivoW

Cartera “z”:

01,008,0)1(108,0 WW w = 0,4 (1+w) =1,4

140% invertido en la cartera M.

40% préstamo solicitado a la tasa libre de riesgo



¿Que sucede si mantenemos la cartera de mercado durante el primer semestre de

1999?

Para analizar el resultado arrojado por la cartera calculamos el rendimiento de la misma

durante dicho período a partir de los precios de los valores al inicio del semestre y al final del

mismo.

Valor de las acciones al 30/12/1998:

Acindar Sidera. Siderc. Bco.Fran Bco.Gali Indupa Molin. Telefón. Telecom YPFD

30/12/98 1,20 2,60 1,14 7,00 4,25 0,65 2,10 2,85 5,65 27,95

Valor de las acciones al 30/06/1999:

Acindar Sidera. Siderc. Bco.Fran Bco.Gali Indupa Molin. Telefón. Telecom YPFD

30/06/99 1,08 3,42 1,41 6,60 5,11 0,60 1,69 3,10 5,50 39,40

Rendimiento de cada Valor: Se obtuvo aplicando la siguiente fórmula:

Pt = Valor del título al final del período.

P0 = Valor del título al comienzo del período.

Acindar Siderar Siderca Bco.Fran Bco.Gali Indupa Molinos Telefóni. Telecom YPFD

R -0,096 0,3154 0,2368 -0,057 0,2024 -0,077 -0,195 0,0877 -0,027 0,4097

El rendimiento obtenido con la Cartera de Mercado se obtiene ponderando los rendimientos

de cada título por su participación en la cartera:



rc = -0,096.0,013 + 0,3154 0,2294 + 0,2368 0,1494 + -0,057. 0 + 0,2024 . 0, 4191 +

0,077 . 0.0025 + -0,195 . 0 + 0,0877 .0 + - 0,027 . 0 + 0,4097 . 0,1866

Rc= 0,2675 = 26,75%

0

0.5

1

1.5

2

Primer semestre 1999

Evolu

cio

n d

e P

recio

s

IndiceMerval Cartera Tangente Indice Burcap

El gráfico muestra la evolución de los precios de la cartera de Mercado y de los índices

Merval y Burcap.

Podemos apreciar cómo la cartera de mercado sigue las tendencias marcadas por los

índices, es decir, que la cartera tangente acompaña al mercado sin sufrir variaciones

específicas de los valores particulares.

teoría de carteras - bcr - inicio de formacin adjuntos inscripciones... · reducir el riesgo de...

Documents