Comportamiento cuntico

Fsica 3: 2do cuatrimestre 2008 Prof: Claudia R. Gonzlez

Teora de bandas de energa de los slidosLa teora de bandas nos permitir entender como estn distribuidos los niveles de energa en un solido cristalino y con eso entender en que radica la diferencia entre conductores y aislantes de la corriente elctrica.

Repasemos ante todo la interaccin de un electrn con un in positivo en un sistema unidimensional. El potencial de interaccin es un potencial de tipo coulmbico y se muestra en la Figura 1.

Figura 1

Veamos entonces como es el potencial de interaccin de un electrn pero ahora con dos iones positivos separados entre s una distancia d. El potencial de interaccin total (lnea continua) ser la suma de los potenciales de interaccin con cada uno de los iones por separado (lneas a trazos). El resultado se muestra en la Figura 2.

Figura 2

Un metal (como todo slido) est constituido por una red de tomos (que en el caso del metal sern iones). Esta red de iones presenta entonces una regularidad o periodicidad en su estructura. La Figura 3 muestra que la energa potencial Ep tendr la misma periodicidad que la red.

Figura 3

Para determinar los posibles estados estacionarios del electrn en un sistema con una Ep peridica, deberamos resolver la ecuacin de Schrdinger. Sin embargo la periodicidad nos permite obtener cierta informacin sin necesidad de resolver esta ecuacin. Analicemos la Figura 3 para electrones con distintas energas E. Veamos entonces la Figura 4. Un electrn con energa E3 no estar ligado a ningn tomo. En cambio si el electrn tiene energa E2 no estar tan libre como el anterior. En principio estara ligado a algn tomo en particular pero, con una cierta probabilidad, puede atravesar la barrera por efecto tnel y moverse por toda la red. Finalmente si el electrn tiene energa E1 no podr moverse libremente a travs de la red y quedar confinado en la regin ente A y B por ejemplo. Fjense que a la energa E1 la barrera es ms ancha que a E2 y por consiguiente es poco probable que haya efecto tnel. Por lo tanto es poco probable que pase de la regin AB a CD. Debido a esto, los electrones de orbitales ms internos en un cristal (que sern los de menos energa) estn esencialmente localizados y prcticamente se puede considerar que sus energas y funciones de ondas son las mismas que las de los tomos aislados.

Figura 4

Los electrones con E3 son los responsables de la conductividad elctrica y trmica de los metales. Esto es debido a su gran movilidad.

Veremos ahora como se distribuyen los estados estacionarios de los electrones dentro del cristal. Para entender esto es til comenzar con los niveles de energa de los tomos individuales cuando estn infinitamente separados entre s y observar los cambios que se producen al ir acercndolos. Para enterarnos lo que ocurre, veamos el caso de dos pozos de potencial finito cuadrado (visto en la unidad 2).Ya sabemos que una partcula en una caja de potencial de ancho a y paredes infinitas tiene una funcin de onda (n y una energa En dadas por:

(1)

con n=1,2,3,... (2)

Para el caso de un pozo finito, vimos que las funciones de onda no diferan mucho de estas. La principal diferencia era la aparicin de una cierta probabilidad de encontrar al electrn fuera de la caja. Veamos ahora los dos pozos de potencial B y C mostrados en la figura 5(a). Supongamos que tenemos un electrn con E1 dada por (2) y que sabemos que est en el pozo B, su funcin de onda (B ser como la mostrada en la Figura 5(b). Si ahora suponemos que est en el pozo C su funcin de onda (C ser como la mostrada en la Figura 5(c). Qu pasa ahora si decimos que el electrn tiene igual probabilidad de estar en B o C? Cmo ser la funcin de onda que lo describa?. Veamos que propiedades debe tener:

1. ( debe reflejar el hecho de que el electrn pueda ser encontrado con igual probabilidad en ambos pozos. Esto significa que la probabilidad (2 debe ser simtrica respecto al punto equidistante entremedio de los dos pozos.

2. La parte de ( que refleje la probabilidad de encontrar la partcula en el pozo B con energa E1 debe parecerse a (B, y lo mismo para la parte de ( que refleja la probabilidad de encontrar la partcula en el pozo C.

Figura 5

Figura 6

Figura 7

Antes de responder la pregunta, recordemos que si por ejemplo (C es solucin de la ecuacin de Schrdinger entonces -(C tambin lo ser (recuerden que la funcin de onda multiplicada por una constante, que en este caso es 1, sigue siendo solucin de la ecuacin de Schrdinger). Contestemos ahora la pregunta: Cul es la funcin de onda el electrn con energa E1 y que pueda estar igualmente en los dos pozos?. Hay dos posibilidades:

La constante a la introducimos para que las funciones de onda estn normalizadas. Debera estar claro entonces que (S (funcin de onda simtrica) mostrada en la Figura 6(a) cumple con las condiciones 1 y 2. La Figura 6(b) muestra adems que (S2 es simtrica respecto a un punto medio equidistante de los dos pozos. La otra posibilidad (A (funcin de onda antisimtrica), mostrada en la Figura 7(a), tambin satisface 1 y 2, esto puede verse comparando (A2 dado en Figura 7(b) con (S2.

Veamos que pasa con (S y (A cuando la separacin entre los pozos se vuelve mas chica. La Figura 8(a) muestra las funciones de onda individuales (B y (C y la Figura 8(b) nos muestra la suma .

Figura 8

Vean que la funcin de onda (S empieza a parecerse a una funcin de onda del estado fundamental de un pozo de ancho 2a. De hecho, en el lmite de no separacin entre los pozos, ser esta funcin. Por otro lado, la funcin de onda (A es como se muestra en la Figura 9. La Figura 9(a) muestra las (B y -(C individualmente mientras que la Figura 9(b) muestra a (A. La funcin de onda (A comienza a parecerse a la funcin de onda del primer estado excitado del sistema de una partcula en una caja.

Figura 9

De esta forma concluimos que, si bien las funciones de onda (B y (C estn degeneradas (es decir, describen estados con igual energa) cuando los dos pozos estn muy separados, la degeneracin comienza a romperse a medida que los pozos se acercan; (A corresponder a un estado de mayor energa que (S.

La conclusin ms importante de lo visto hasta ahora es que si se comienza con dos funciones de onda ( idnticas (y por lo tanto la misma energa) en dos sistemas independientes idnticos, cuando se juntan lo suficiente, se rompe la degeneracin entre las dos funciones de onda ( formndose dos funciones de onda ( no degeneradas. Sin embargo, cul es la razn fsica de la ruptura de la degeneracin?.

Para responder a esto, veamos el caso de dos tomos de H cada uno con su electrn en el estado fundamental 1s. Resolviendo la parte radial de la ecuacin de Schrdinger para el tomo de H, obtenemos la parte radial de la funcin de onda del estado 1s como . Por lo tanto, en un grfico en una dimensin, la funcin de onda decrece exponencialmente a medida que la distancia r al ncleo aumenta. Las funciones de onda (B y (C mostradas en la Figura 10 son las asociadas a dos tomos independientes B y C.

Figura 10

A medida que aproximamos los tomos entre s, las funciones de onda se solaparn (es decir, se superpondrn espacialmente) y los electrones B y C podrn pasar de un tomo al otro. Debemos ahora considerar las dos posibles combinaciones de las funciones de onda (B y (C como lo hicimos antes para obtener lo que vemos en la Figura 11.

Figura 11

La lnea punteada nos muestra como se veran las funciones de onda si la otra no estuviese presente, mientras que la lnea continua es la funcin de onda suma o combinacin de ellas. La distribucin electrnica entre los dos protones puede verse graficando yen la Figura 12.

Figura 12

Ambas distribuciones son simtricas respecto al punto medio entre los dos protones, por lo que la probabilidad de encontrar un electrn a una cierta distancia de un protn es la misma que la probabilidad de encontrar a igual distancia del otro protn. Ambas funciones de onda son entonces adecuadas para representar el comportamiento de cualquiera de los electrones. Sin embargo, un electrn en el estado (S tendr menor energa que un electrn en el estado (A . La razn es que el electrn en (S tiene mayor probabilidad de estar entre los dos protones que de estar cerca de solo uno. Fjense que la Figura 12(a) muestra un alto valor de entre los dos ncleos y un valor bajo a los costados de cada uno. Como resultado de esto, el electrn pasa mucho tiempo entre los dos protones. En esta regin el electrn estar bajo la influencia atractiva de ambos protones al mismo tiempo. La energa de enlace del electrn resultado de la presencia de los dos protones ser ms negativa que la correspondiente a la presencia de un solo protn. Por otro lado, un electrn en (A pasar un tiempo cerca de un protn o el otro. Difcilmente con ambos (vean la Figura 12(b)), por lo tanto, la contribucin extra al enlace del electrn de la que acabamos de hablar no estar presente o ser muy chica.

As, cuando dos tomos se aproximan entre s, dos niveles de energa separados se forman a partir de cada nivel de los tomos aislados. La razn fsica de este efecto es las maneras diferentes en que los electrones interactan con los iones en los estados simtricos y antisimtricos.

Esto no es una banda, pero dos tomos no forman un slido. Supongamos que N tomos se juntan para formar un slido, entonces cada uno de los niveles de los tomos individuales aislados se desdoblarn en N estados discretos, estados que estarn muy poco separados entre s y constituirn una banda de niveles de energa. Tomemos el caso de 6 tomos de H en el estados 1s. Si comenzamos con 6 estados 1s individuales, obtenemos 6 formas distintas de combinarlos entre si, y todas con distintas energas (vean la Figura 13).

Figura 13En el primer nivel, las 6 funciones de onda individuales se suman simtricamente

Como resultado habr 5 lugares a lo largo del eje donde el electrn estar bajo la influencia atractiva (enlace) de dos ncleos. En el segundo nivel, las ( de los primeros 3 tomos se suman simtricamente entre ellas y lo mismo hacen las 3 ltimas, pero la ( resultante de la suma de las 3 primeras se suma antisimtricamente (es decir, se resta) con la ( resultante de las 3 ltimas

Como resultado, habr solo 4 lugares a lo largo del eje donde el electrn estar bajo la influencia de los dos ncleos y habr la contribucin negativa extra a la energa. La energa de un electrn en este nivel ser ms alta que la energa del primer nivel. La combinacin de las ( individuales para formar el resto de los estados se realiza de la misma forma que los dos ejemplos que acabamos de ver. Obtenindose progresivamente: 3,2,1 y ningn lugar sobre el eje en donde el electrn sienta la influencia de dos protones. Sin embargo, nos podemos preguntar si estas son las nicas posibles combinaciones de las 6 (. La respuesta es que no, sin embargo cualquier otra combinacin estar degenerada con alguna de las que vimos. Como ejemplo vean la Figura 14, las ( dadas en (a) y (b) tendrn la misma energa. Hagan las combinaciones que quieran y vern que, en lo que respecta a la energa, todas caern en una de las 6 combinaciones de la Figura 13.

Figura 14

De esta forma vemos entonces que, si extendemos el mismo tipo de anlisis a N tomos obtendremos, obtendremos N diferentes estados de energa. Sin embargo, para cualquier nmero de tomos considerados, los estados extremos de mayor y menor energa sern del tipo de los que vimos recin. Debido a esto, podramos aventurarnos a decir que la diferencia en energa entre estos dos extremos, y por lo tanto el ancho de la banda, no depender apreciablemente de N. Aumentando N aumentamos el nmero de sitios donde la contribucin extra de energa puede tener lugar. Pero al mismo tiempo decrece la cantidad de tiempo que un electrn estar en uno de esos sitios, haciendo que el tiempo total en cada uno sea el mismo. Lo que afecta al ancho de la banda es cun cerca estn dos tomos entre s. Como ejemplo de esto miren la Figura 15 donde graficamos los niveles de energa en una red cristalina en funcin de la distancia interinica. Para una distancia interinica a , los niveles posibles caen entre P y Q.

Figura 15

Cuanto ms cerca, mayor ser el solapamiento entre las funciones de onda y por lo tanto mayor ser entre dos ncleos para los estados simtricos, con el consecuente fortalecimiento del enlace. La Figura 16 muestra como las funciones de onda de 6 tomos diferentes se separan en 6 diferentes niveles de energa cuando los tomos se aproximan entre s. Para la separacin interatmica usualmente encontrada en los slidos, el ancho de la banda es tpicamente de algunos electronvols.

Figura 16

Para un slido macroscpico con N(1023, la separacin entre niveles adyacentes ser de (10-23 eV, como ven una cantidad insignificante. Los niveles de energa estarn tan finamente espaciados que se puede decir que forman una banda continua de energa.

As que cuando juntamos un gran nmero N de tomos para formar un slido, los niveles atmicos de energa individuales se desdoblarn en bandas de energa cuasicontnuas. Dentro de cada banda hay N distintos pero muy cercanos niveles de energa.

Hasta ahora nos limitamos a tomos con un electrn donde el electrn estaba en el estado 1s. Cuando el anlisis se extiende a tomos multielectrnicos donde tenemos electrones en otros estados, encontramos que cada nivel atmico individual se desdoblar en bandas similares de estados cuasicontinuos. As que, si consideramos el sodio (Na) con una configuracin electrnica 1s22s22p63s1, obtendremos la estructura de bandas de la Figura 17.

Figura 17Noten que el ancho de las bandas para los niveles ms bajos de energa es menor que el ancho de las bandas de los de mayor energa. La razn es que los electrones en los niveles inferiores (que tendran una energa E1 para la Figura 4, estn en capas mas internas y por lo tanto no son muy influenciados por la presencia de los otros tomos porque sus funciones de onda no se solapan significativamente con aquellas correspondientes a los otros tomos. Por lo tanto dan lugar a bandas ms angostas. Otra caracterstica importante de las bandas en tomos multielectrnicos se v en la Figura 18. A medida que la distancia interinica disminuye las bandas comienzan a superponerse. Por ejemplo, para la distancia interinica a de la Figura 18 la tercera y cuarta banda se superponen. Esto es importante por ejemplo para explicar las propiedades de ciertos slidos. Ya lo veremos ms adelante.

Figura 18

Segn el principio de exclusin de Pauli, cada nivel de energa del tomo aislado puede contener dos electrones (debido al spin), por lo tanto, la banda correspondiente a ese nivel atmico podr contener 2N electrones. Las bandas se designan por s, p, d, etc. De acuerdo al valor del momento angular del nivel atmico del cual provienen.

A las bandas correspondientes a niveles atmicos de capas internas completas (es decir, capas que contienen en el tomo todos los electrones permitidos por el principio de exclusin de Pauli) se las suele ignorar en la descripcin del slido debido a que, como ya vimos, contienen electrones localizados y por lo tanto no contribuirn en las propiedades de conduccin del slido. La banda correspondiente al nivel atmico ms externo (y por lo tanto la banda de mayor energa (por ejemplo con energa E3 de la Figura 4 , est ocupada por electrones de valencia. Si esta banda ms externa no est completamente llena se la llama banda de conduccin. Pero si est llena se la llama banda de valencia y la banda vaca que queda arriba de ella se la llama banda de conduccin.

Todo lo visto hasta ahora es una imagen simplificada de la realidad. Para estudiar la distribucin de los estados en los slidos reales debemos pasar al espacio tridimensional. Sin embargo, las dos principales caractersticas encontradas aqu, es decir, el hecho de que cada nivel atmico se desdobla en una banda y que cada banda tiene N niveles de energa, se mantienen. Estas dos caractersticas nos permitirn entender las diferencias entre conductores, aisladores y semiconductores.

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