teoria das orientaÇÕes (analÍtica/digital) – orientação

Campus de Presidente Prudente

____________________________________________________________ Restituição Fotogramétrica Analítica: Fotogrametria - II Júlio Kiyoshi Hasegawa Sem revisão - Provisória

FOTOGRAMETRIA II

(notas de aulas)

TEORIA DAS ORIENTAÇÕES (ANALÍTICA/DIGITAL) – Orientação Exterior

Júlio Kiyoshi Hasegawa

Presidente Prudente 2014



Sumário

1. Introdução .............................................................................................. 3

2. Orientação Exterior do modelo estereoscópico.................................. 3

2.1. Orientação Exterior com Injunções Absolutas ................................................................. 3

2.2. Orientação Exterior com Injunções relativas .................................................................... 4

2.3. Determinação das coordenadas dos pontos ........................................................................ 6

2.3.1 Interseção Espacial dos raios homólogos – fator de escala ............................................... 7

2.3.2 Interseção Espacial dos raios homólogos – Aplicando o MMQ .......................................... 9

2.3.3 Interseção Espacial dos raios homólogos – Equações de colinearidade Inversa. .............. 9

3. Orientação Exterior Simultânea do modelo estereoscópico ...............10

Apêndice A: Fluxograma das etapas de orientação do par de imagens........13

Apêndice B: Fluxograma das etapas de orientação e restituição simultânea

dos pontos. ...................................................................................................14



1. Introdução

Neste capítulo serão tratadas duas formas de orientação de um modelo

estereoscópico. Uma considerando somente a determinação dos elementos de

orientação exterior utilizando pontos de apoio como injunção e depois determinar as

coordenadas das feições por interseção de raios homólogos. A segunda, determina

em um único processamento os elementos de orientação exterior e as coordenadas

dos pontos de apoio e das feições.

2. Orientação Exterior do modelo estereoscópico

A restituição analítica de um modelo estereoscópico necessita dos

elementos de orientação exterior (ω, φ, κ, Xc, Yc, Zc) das duas fotos. Conhecendo-se

esses elementos de orientação exterior a restituição pode ser realizada por interseção

dos raios homólogos.

No processo de orientação exterior do par de fotos faz-se necessário a

observação estereoscópica dos pontos de apoio, um ponto observado no par de fotos

proporciona 4 equações, assim, no mínimo 3 pontos são necessários para se obter as

incógnitas envolvidas na determinação dos 12 elementos de orientação exterior das

imagens. O modelo matemático utilizado são as equações de colinearidade e o

processo dos MMQ é aplicado para determinar os parâmetros.

Os pontos de apoio, consideradas como injunções podem ser tratadas de

duas formas distintas, injunção absoluta ou relativa, resultando numa alteração do

tamanho das matrizes envolvidas no MMQ e na precisão e adequação da realidade

das injunções.

2.1. Orientação Exterior com Injunções Absolutas

Neste caso, somente os elementos de orientação exterior são estimados

processo de ajustamento pelo MMQ, utilizando as equações de colinearidade, as

coordenadas tridimensionais dos pontos de apoio não são calculados nessa fase, são

consideradas como constantes (não são parâmetros incógnitos no processo de

ajustamento). Esse procedimento assume que os pontos de apoio foram determinados

com alta precisão, tendo, portanto, variância nula e, conseqüentemente, peso infinito.



Considerando as equações de colinearidade a solução para o MMQ pode

ser representada genericamente da seguinte forma (método paramétrico – equação

02),

F(Xa ) = La (02)

La é um vetor (de ordem n) e correspondem aos valores observados

ajustados (coordenadas x e y corrigidas dos erros sistemáticos da imagem- equação

03);

La = [x1 y1 x2 y2 . . . . . . xn yn ]T. (03)

Xa é um vetor (de ordem u) correspondente as variáveis incógnitas,

(parâmetros de orientação da câmara – equação 04),

Xa = [κ1 φ1 ω1 Xc

1 Yc1 Zc

1 κ2 φ2 ω2 Xc2 Yc

2 Zc2]T. (04)

Na solução dos sistemas de equações para o par de imagens, para otimizar

o processamento, pode-se dividir a matriz N (ordem 12 x 12), em 4 sub-matrizes

NN N

N N=

11 12

21 22

No caso das injunções absolutas, observa-se que as sub-matrizes N12 e N21

são nulas, conforme a disposição dos parâmetros apresentados na equação 04. Na

determinação dos valores das incógnitas deve-se inverter a matriz N e realizar o

produto com o vetor L. Como as sub-matrizes N12 e N21 são nulas pode-se determinar

os valores das incógnitas invertendo-se separadamente as matrizes N11 e N22. Neste

sentido, verifica-se que esta solução é semelhante ao da determinação da orientação

exterior da câmara com uma única foto, procedimento conhecido como resseção

espacial.

2.2. Orientação Exterior com Injunções relativas

Esse procedimento assume que os pontos de apoio não são constantes,

assim eles têm uma precisão oriunda do processo de observação na sua

determinação. Desta forma, eles estão associados a um desvio padrão que deve ser

considerado no processo de ajustamento.

Como no caso anterior, as equações de colinearidade é o modelo funcional

para a solução, para aplicar o MMQ pode ser representada genericamente da seguinte

forma (método paramétrico – equação 05),



F(Xa ) = La (05)



06) nas imagens dos pontos de apoio;

La = [x’1 y’1 x’2 y’2 . . . . . . x’n y’n x”1 y”1 x”2 y”2 . . . . . . x”n y”n]T. (06)


(parâmetros de orientação da câmara e as coordenadas dos pontos de apoio no

espaço objeto – equação 07),


1 Yc1 Zc


2 Zc2 X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2 ............Xp Yp Zp]

T. (07)

Considerando o caso em que as injunções são definidas por três coordenadas de

um ponto Pi, as equações de injunções G(Xa), para três coordenadas podem ser

expressas da seguinte forma:

X X

Y Y

Z Z

i i

i i

i i

=

=

=

(08)

onde:

X Y Zi i i, , são as coordenadas de injunções do ponto Pi no sistema de coordenadas do

espaço objeto; e

Xi, Yi, Zi são as variáveis incógnitas correspondentes às coordenadas ajustadas do ponto Pi

no sistema de coordenadas do espaço objeto;

a matriz peso XP terá a seguinte forma,

=

i

i

i

z

y

x

X

P

P

P

P

00

00

00

(09)

onde:

P P PX Y Zi i i, , são os pesos das coordenadas de injunções (inversamente proporcionais às

variâncias).



A matriz C, que é formada pelas derivadas parciais da função injunção em

relação aos parâmetros, os mesmos considerados na formação da matriz A, terá o mesmo

número de colunas da matriz A e terá tantas linhas quanto forem às injunções.

Este procedimento é semelhante ao da restituição analítica simultânea,

considerando apenas os pontos de apoio na solução do ajustamento. Assim, este

procedimento é computacionalmente mais custoso (em relação ao procedimento da

injunção absoluta) devido ao aumento do tamanho da matriz N. Entretanto, é um

procedimento mais preciso e com maior flexibilidade de se aplicar as injunções nos

pontos de apoio.

As possíveis injunções nos pontos de apoio são:

a) nas coordenadas tridimensionais dos pontos,

b) nos coordenadas altimétricas dos pontos,

c) nas coordenadas planimétricas dos pontos, e

d) nas distâncias entre dois pontos.

Atualmente, com o uso do GPS para a determinação das coordenadas dos

pontos de apoio, as injunções mais comuns aplicadas em fotogrametria, são as do

item (a).

Obs: Nesse procedimento quando os elementos de orientação exterior das fotos forem

determinados separadamente (uma única foto) – resseção espacial, fica condicionado

a utilização de somente das injunções do tipo “a” (acima).

2.3. Determinação das coordenadas dos pontos

O processo final desse procedimento é a determinação das coordenadas

espaciais dos pontos a serem restituídos, tarefa esta, definida como interseção dos

raios homólogos que podem ser realizadas de várias formas.

O principio geométrico é a interseção espacial de dois raios passando por

dois pontos fixos (Figura 1). Esses pontos fixos são estabelecidos pelos centros

perspectivos das duas fotografias (posição espacial X, Y, Z) e a direção dos eixos

ópticos são definidos pelos ângulos de Euler (ω, ϕ, κ) que junto com as

fotocoordenadas dos pontos homólogos definem a direção do raio.



Figura 1 – Interseção de raios no modelo estereoscópico.

Conhecendo-se os parâmetros de orientação exterior das câmaras, a

posição espacial de qualquer ponto na área de superposição pode ser calculada a

partir das coordenadas observadas no espaço imagem, reduzidas ao sistema

fotogramétrico (fotográfico) usando-se um dos modelos matemático descrito a seguir.

2.3.1 Interseção Espacial dos raios homólogos – fator de escala

Considerando a equação projetiva escrita abaixo,

X - Xc = λ [m11(x) + m21(y) + m31(-f)]

Y - Yc = λ [m12(x) + m22(y) + m32(-f)] (10)

Z - Zc = λ [m13(x) + m23(y) + m33(-f)]

Considerando a foto da esquerda,

X - Xc1 = λ 1 [m´11(x´) + m´21(y´) + m´31(-f)]

Y - Yc1 = λ 1 [m´12(x´) + m´22(y´) + m´32(-f)] (11)



Z - Zc1 = λ 1 [m´13(x´) + m´23(y´) + m´33(-f)]

Reparametrizando,

u1 = m´11(x´) + m

´21(y´) + m

´31(-f)

v1 = m´12(x´) + m

´22(y´) + m

´32(-f) (12)

w1 = m´13(x´) + m

´23(y´) + m

´33(-f),

substituindo nas equações (11),

X = λ 1 u1 + XC1 ,

Y = λ 1 v1 + YC1 , (13)

Z = λ 1 w1 + ZC1 ,

Similarmente para a foto da direita,

X = λ 2 u2 + XC2 ,

Y = λ 2 v2 + YC2 , (14)

Z = λ 2 w2 + ZC2 ,

com,

u2 = m”11(x

”) + m”21(y

”) + m”31(-f)

v2 = m”12(x

”) + m”22(y

”) + m”32(-f)

w2 = m”13(x

”) + m”23(y

”) + m”33(-f),

λ 1 = ( ) ( )X X v Y Y u

v u u v

c c c c2 1 2 2 1 2

2 1 2 1

− − −

− (15)

λ 2 = ( ) ( )X X v Y Y u

v u u v

c c c c2 1 1 2 1 1

2 1 2 1

− − −

− (16)

Assim, determinando-se os fatores de escalas (equações 15 e 16), pode-se

utilizá-las para calcular as coordenadas dos pontos, a partir de duas maneiras:

a) substituindo a equação 15 nas equações 13 e/ou

b) substituindo a equação 16 nas equações 14.

As coordenadas resultantes serão fornecidas a partir das médias das

coordenadas obtidas pelo procedimento a e b.



2.3.2 Interseção Espacial dos raios homólogos – Aplicando o MMQ

Este cálculo pode ser efetuado utilizando-se das equações 17, ou seja,

aplicando as equações de colinearidade nos pontos homólogos, agora considerando

somente as coordenadas X, Y e Z como incógnitas.

)()()(

)()()(

1´331

´321

´31

1´131

´121

´11´

ccc

ccc

ZZmYYmXXm

ZZmYYmXXmfx

−+−+−

−+−+−−=

)()()(

)()()(

1´331

´321

´31

1´231

´221

´21´

ccc

ccc

ZZmYYmXXm

ZZmYYmXXmfy

−+−+−

−+−+−−= (17)

)()()(

)()()(

2"332

"322

"31

2"132

"122

"11"

ccc

ccc

ZZmYYmXXm

ZZmYYmXXmfx

−+−+−

−+−+−−=

)()()(

)()()(

2"332

"322

"31

2"232

"222

"21"

ccc

ccc

ZZmYYmXXm

ZZmYYmXXmfy

−+−+−

−+−+−−=

Desta forma, após a observação dos pontos homólogos e conhecendo-se

todos os elementos de orientação exterior, com base nas 4 equações (17)

determinam-se as 3 incógnitas (X, Y, Z) aplicando o MMQ (método paramétrico).

2.3.3 Interseção Espacial dos raios homólogos – Equações de colinearidade Inversa.

Escrevendo as equações de colinearidade na forma inversa, tem-se:

1

111'

33'23

'13

'31

'21

'11

11 )()(´)(´)(

)(´)(´)()(

w

uZZXX

fmymxm

fmymxmZZXX cccc −+=

−++

−++−+= (18)

1

111'

33'23

'13

'32

'22

'12

11 )()(´)(´)(

)(´)(´)()(

w

vZZYY

fmymxm

fmymxmZZYY cccc −+=

−++

−++−+= (19)

2

222"

33"23

"13

"31

"21

"11

22 )()()"()"(

)()"()"()(

w

uZZXX

fmymxm

fmymxmZZXX cccc −+=

−++

−++−+=

(20)

2

222"

33"23

"13

"32

"22

"12

22 )()()"()"(

)()"()"()(

w

vZZYY

fmymxm

fmymxmZZYY cccc −+=

−++

−++−+= (21)

Igualando a equação 18 com a 19 e 20 com a 21, tem-se:



2

222

1

111 )()(

w

uZZX

w

uZZX cccc −+=−+ e

2

222

1

111 )()(

w

vZZY

w

vZZY cccc −+=−+

Somando,

2

222

2

222

1

111

1

111 )()()()(

w

vZZY

w

uZZX

w

vZZY

w

uZZX cccccccc −++−+=−++−+

1

11

1

11

2

2212

2

2212

2

2

2

2

1

1

1

1 )()()()(w

vZ

w

uZ

w

vZYY

w

uZXX

w

uZ

w

vZ

w

vZ

w

uZ cccccccc ++−−+−−=−−+

++

+−−+−=−−+

1

1

1

11

2

2

2

221212

2

2

2

2

1

1

1

1 )(w

u

w

vZ

w

u

w

vZYYXX

w

u

w

v

w

v

w

uZ cccccc

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

11

2

2

2

221212

w

u

w

v

w

v

w

u

w

u

w

vZ

w

u

w

vZYYXX

Z

cccccc

−−+

++

+−−+−

= (22)

Determinando-se o valor de Z, determinam-se as coordenadas X e Y, utilizando as

equações 18 e 19 e/ou 20 e 21.

3. Orientação Exterior Simultânea do modelo estereoscópico

Na restituição analítica de modo simultâneo todos os parâmetros (elementos

de orientação exterior e coordenadas dos pontos) são calculados no mesmo

processamento, inclusive as coordenadas dos pontos das feições a serem restituídas.

Dentre os vários procedimentos de restituição analítica, o simultâneo produz melhores

níveis de precisão. Basicamente, o processamento deste método é realizado através

do ajustamento dos pares de feixes (imagens) num bloco de fotografias (semelhante ao

procedimento de fototriangulação), envolvendo rotações e translações de cada feixe.

Esses feixes são definidos pelas equações de colinearidade. As equações de

colinearidade são formalizadas pelos elementos de orientação exterior e as

coordenadas X, Y e Z dos pontos no espaço objeto e pelas suas fotocoordenadas.

Desta forma, para restituir um objeto significa determinar as coordenadas X, Y e Z dos

vários pontos que caracterizam a feição.



Esse procedimento, semelhante ao caso do item 2.2, os pontos de apoio não

são considerados como constantes, assim eles têm uma precisão oriunda do processo

de observação na sua determinação. Desta forma, eles estão associados a um desvio

padrão que deve ser considerado no processo de ajustamento.



16) nas imagens dos pontos de apoio;

La = [x’1 y’1 x’2 y’2 . . . . . . x’n y’n x”1 y”1 x”2 y”2 . . . . . . x”n y”n]T. (16)


(parâmetros de orientação da câmara e as coordenadas dos pontos de apoio e das

feições no espaço objeto – equação 17),


1 Yc1 Zc


2 Zc2Xa1 Y

a1 Z

a1 X

a2 Y

a2 Z

a2 ......

......Xp Yp Zp X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2 ............Xf Yf Zf]T. (17)

Xai Y

ai Z

ai, para i = 1,.. p – coordenadas dos pontos de apoio;

Xi Yi Zi, para i = 1,.. f – coordenadas dos pontos de feição;

Nesse caso, como no caso do item 2.2, as injunções devem ser aplicadas em

todos os pontos considerados, observando que os pontos que definem as feições

devem ter pesos pequenos (ou desvios grandes).

Dado ao princípio do método, necessidade de iterações, valores iniciais

confiáveis aos parâmetros incógnitos são necessários para que o procedimento tenha

uma convergência para o valor esperado e não realize mais iterações do que

necessário. Estes valores podem ser obtidos de várias maneiras. Por exemplo:

adotando-se valores nulos aos elementos de orientação angular (ω e φ) e com o auxílio

de uma carta da área, obter as coordenadas dos CPs, dos pontos a serem restituídos e

do parâmetro angular kappa (κ). Ainda, podem-se determinar os valores aproximados

através de um pré-processamento, que no caso seria uma fototriangulação seqüencial.

Esses valores aproximados são muito importantes, pois deles dependem a

convergência e o tempo computacional.

O processo de restituição no modo simultâneo tem um contraponto, um

grande volume de dados que deve ser processado ao mesmo tempo, por exemplo, em

um modelo com 500 pontos (modelo com poucas feições) e 5 pontos de apoio, deve-se



inverter pelo menos 3 vezes, uma matriz da ordem de 1527 (500x3 +5x3 + 12). Além

do processamento para inversão deve se acrescentar os cálculos efetuados na

montagem das matrizes e vetores. Desta forma, conforme o tamanho da matriz verifica-

se que o sistema fica sobrecarregado podendo até atingir o limite de memória de

processamento ou ficar processando por um tempo muito longo inviabilizando o

procedimento.

Para minimizar esse custo computacional, uma adaptação desse

procedimento pode ser elaborada, adotando o mesmo procedimento do caso anterior e

usando somente um ponto da feição por vez, junto com os pontos de controle. Assim,

este novo procedimento deverá processar simultaneamente todos os parâmetros de

orientação exterior e as coordenadas dos pontos (todos de apoio mais um da feição),

tantas vezes quanto forem os pontos medidos.

Utilizando o mesmo exemplo citado anteriormente verifica-se, considerando 5

(cinco) pontos de apoio, que a matriz a ser invertida tem a ordem 30. Agora, este

procedimento deverá ser resolvido pelo MMQ (requerendo iterações) até a

convergência dos parâmetros incógnitos. Este processamento deverá ser executado

500 (quinhentas) vezes, conforme o número de pontos. O procedimento mesmo tendo

vários processamentos é mais rápido que no caso anterior (número de operações para

uma inversão é n3) e não fica limitado à capacidade de memória do computador.



Apêndice A: Fluxograma das etapas de orientação do par de imagens.



Apêndice B: Fluxograma das etapas de orientação e restituição simultânea dos

pontos.

teoria das orientaÇÕes (analÍtica/digital) – orientação

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