MC 516 A/B

Fig.1. Clasificacin de los mtodos comunes

Fig.2. Regin plana dividida en elementos finitos, sometido a tensin.

Fig.3. Malla de la superficie de la pieza de la mquina con los caras laterales eliminados.1.3 Planteamiento del problema en el ejemplo de "eje bajo carga de traccin"

La tarea principal del curso "Resistencia de Materiales" es la determinacin de las dimensiones de la seccin transversal del eje bajo cargas externas conocidas. Aplicar el plan general para la solucin de problemas en el campo de la mecnica de slidos deformables, grupo del rbol de ecuaciones se debe escribir: 1) las ecuaciones de equilibrio (esttica) La ecuacin de equilibrio para el elemento separado con la longitud dx tiene la siguiente forma

Despus de algunas transformaciones, se tiene:

Teniendo en cuenta que se obtiene la ecuacin de equilibrio esttico:

2) las ecuaciones geomtricas3) ecuaciones fsicas

Otro enfoque para la solucin del problema existe tambin examin. Esta es la utilizacin del principio de "mnimo de la energa potencial", que significa: un sistema est en el estado de equilibrio slo en el caso cuando se potencial de energa es mnimo. La correccin de este principio se observa en los siguientes ejemplos sencillos:- Una bola est en el estado de equilibrio slo en el punto ms bajo de la superficie (Fig. 5), - Un cuerpo trata de tomar la posicin de equilibrio en la posicin inferior,- Un estudio es tomar los gastos mnimos de trabajo. Desde la condicin de que la energa potencial toma el mnimo valor, es posible determinar los valores desconocidos. El algoritmo general de solucin en este caso sigue:1) una expresin para la energa potencial del sistema elstica bajo cargas externas 2) Se escriben condiciones de la energa potencial mnimo.3) los valores desconocidos se determinan a partir de la condicin de mnimo,4) Se resuelve fuerza un problema

Fig. 4. Eje bajo carga de traccin.

Fig.5. Principio de "mnimo de la energa potencial".

Energa potencial completo del sistema deformable consta de la energa de deformacin almacenada en el sistema U y la energa perdido por las fuerzas externas W (Fig. 6). Es por eso que el trabajo de las fuerzas externas que W es un valor negativo

Fig.6. Balance de energa

Fig.7. Formulacin variacional

1.4 Formulacin variacional del problemaUn valor numrico de la energa potencial de la tensin depende de la funcin a ser utilizado. Porque es una funcional, ya que una funcional es un valor que depende de la eleccin de la funcin. Esto se puede explicarse con la ayuda de la Fig. 7. En el punto ms bajo, un cambio infinitesimal de la funcin igual a no dar un aumento de la funcional . En el punto de mnima: = 0. Los cambios libres de son llamados las variaciones. La condicin matemtica del mnimo de la energa potencial puede escribirse como: = 0 Cmo se puede ver, la variacin en el caso de la investigacin de una funcional tiene el mismo significado que el de la diferencial en el caso de la funcin de investigacin. Vamos a investigar la funcional de un eje sometido a carga distribuida q

Vamos a determinar la variacin como una diferencia de dos valores - la energa potencial con y sin incremento de

La energa potencial ser el valor mnimo, si, = 0 o por otras palabras, si todos los elementos iguales a cero en la ltima expresin.Condiciones de frontera para el problema son:

En toda la longitud l:

La aplicacin de estas condiciones de contorno a la variacin de la funcional, obtenemos

Si la ecuacin se puede resolver . Por otro lado, esta condicin presenta la ecuacin de equilibrio esttico. Las expresiones obtenidos muestran que la energa potencial del sistema tiene el mnimo, si:1) las ecuaciones de equilibrio se realizarn2) las condiciones de contorno se realizarn Las condiciones de contorno de (2), son llamados como condiciones de contorno naturales para el funcional , ya que se obtienen a partir de un mnimo de la funcional, de forma automtica. Pero es necesario para satisfacer sin condiciones (1). De lo contrario, Estas condiciones de contorno no se toman en cualquier ligar . Estas condiciones de contorno se denominan capital. En el caso de la viga de flexin: - Las condiciones naturales son fuerzas,- Las condiciones principales son desplazamientos.El problema de la determinacin de se puede resolver de dos maneras:1) Resolviendo la ecuacin diferencial,2) Minimizando la funcional. La primera se resuelve mediante mtodos aproximados utilizando computadoras, en tanto el segundo mtodo es el ms adecuado.Mtodo de RitzPermite determinar una funcin aproximada de una funcin desconocida de desplazamientos u, se encuentra en la forma de min)

1