POSTULADO: proposición que no es evidente por sí misma y que no tiene una

aceptación universal. Por lo tanto, un postulado se diferencia de un axioma, que es una

proposición universalmente admitida. La formulación clásica del concepto de postulado se

encuentra en los Elementos de Euclides, para quien un postulado es una proposición

fundamental de un sistema deductivo que no es evidente por sí misma, pero que tampoco

puede ser demostrada. Los postulados suelen ser las proposiciones iniciales de una

ciencia determinada, mientras que los axiomas son las proposiciones iniciales de un

sistema deductivo, a partir de las cuales pueden derivarse otras proposiciones.

Actualmente hay una creciente tendencia a emplear indistintamente axioma y postulado

AXIOMA: es un principio básico que es asumido como verdadero sin recurrir a

demostración alguna. El uso de axiomas para la resolución de problemas matemáticos

empezó en la antigua Grecia, probablemente a partir del siglo V a.C., dio lugar al

nacimiento de la matemática pura tal como hoy la conocemos. Ejemplos de axiomas

podrían ser los siguientes: 'Una proposición no puede ser verdadera y falsa al mismo

tiempo' (principio de contradicción); 'Si a cantidades iguales se les añaden cantidades

iguales, las sumas resultantes también son iguales'; 'El todo es mayor que cualquiera de

sus partes'. La lógica y las matemáticas puras empiezan con algunas proposiciones

indemostrables de las que se derivan otras proposiciones (teoremas). Hay que reconocer

que este procedimiento es circular o bien que se da una infinita regresión en el

razonamiento. Los axiomas de un sistema deben ser coherentes con algún otro, es decir,

deben evitar incurrir en contradicción. Deben ser también independientes en el sentido de

que no deben derivarse de ningún otro y deben ser muy pocos en número. A veces los

axiomas han de interpretarse como verdades evidentes en sí mismas. La tendencia actual

es reconocer tal pretensión para aseverar que un axioma debe ser asumido como

verdadero sin demostración alguna en el sistema de qué forma parte.

COROLARIO: Proposición que no necesita prueba particular, sino que se deduce

fácilmente de lo demostrado antes.

TEOREMA: Proposición demostrable lógicamente partiendo de axiomas o de otros

teoremas ya demostrados, mediante reglas de inferencia aceptadas.

LOS ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA

En Los elementos de la geometría, publicación en trece volúmenes del siglo tercero antes de

nuestra era, Euclides expone, a través del método deductivo y de manera sistemática, los

conocimientos que los griegos tenían sobre aritmética y geometría.

En esta compilación enciclopédica del conocimiento geométrico hasta entonces acumulado,

Euclides trata sobre líneas, figuras planas, longitudes y áreas, círculos, proporciones, figuras

semejantes, geometría de algunos sólidos y volúmenes. En otras palabras, sistematiza cerca de

veinte siglos de trabajo escrito, cuya importancia no debe pasar inadvertida.

El método axiomático de Euclides

Con la publicación de Los elementos de la geometría (Los elementos), Euclides expone, a

través del método deductivo, de manera articulada y sistemática, todos los conocimientos

que, hasta ese momento, se tenían sobre geometría, y comienza una fuerte polémica, tanto

sobre el método mismo como acerca del quinto de sus postulados. Sorprende hoy cómo, por

tal discusión, en apariencia tonta, surgen modelos geométricos que permiten interpretaciones

acerca de la configuración del espacio-tiempo acordes con las exigencias de la teoría de la

relatividad, la epistemología, la lógica , etcétera.

En este aparte se presentan algunas de las definiciones y los primeros teoremas del tomo I

de Los elementos además de los axiomas de la geometría tal como fueron propuestos por

Euclides.

DEFINICIONES DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA

1 .Punto es aquello que no tiene partes.

2 .Línea es longitud sin latitud.

3. Los extremos de una línea son puntos.

4. Línea recta es aquella que descansa según igualdad sobre sus puntos.

5. Superficie es lo que tiene solamente longitud y latitud.

6. Los extremos de una superficie son rectas.

7. Superficie plana es aquella que descansa según igualdad sobre sus rectas.

8. Ángulo plano es la inclinación de dos líneas que, en un plano, se tocan la una a la otra y

que no descansan las dos sobre la misma recta.

9. Cuando las líneas que comprenden el ángulo son rectas, el ángulo se llama rectilíneo.

10. Cuando una recta levantada SOBRE otra forma ángulos contiguos iguales el uno al

otro, cada uno de los dos ángulos iguales es recto, y la recta levantada se llama

perpendicular respecto a aquella sobre la que está levantada.

11. Ángulo obtuso es un ángulo mayor que el recto.

12. Ángulo agudo es el menor que el recto.

13. Frontera es lo que sea extremo de algo.

14. Figura es lo comprendido por una frontera o varias.

15. Círculo es una figura plana circundada por una sola línea, que se llama periferia, respecto a

la cual las rectas que sobre ella inciden desde uno de los puntos colocados en el interior

de la figura son iguales entre sí.

16. Tal punto se llama centro del circula

17. Diámetro del círculo es una recta cualquiera que se haga pasar por el centro y cuyas dos

partes tengan sus extremos en la periferia del círculo. Tal recta corta el círculo en dos.

18. Semicírculo es la figura comprendida entre el diámetro y la periferia recortada por el

diámetro. Centro del semicírculo es el mismo centro del circulo.

19. Son figuras rectilíneas las comprendidas por rectas; triláteras las comprendidas por

tres; cuadriláteras lascomprendidas por cuatro; multiláteras las comprendidas por más

de cuatro.

20. De las figuras triláteras, es triángulo equilátero la que tenga tres lados iguales; isósceles la

que tenga solamente dos lados iguales; escaleno la que tenga los tres lados desiguales.

21. Entre las figuras cuadriláteras, el cuadrado es figura equilátera y equiangular; el alterolatero

es figura equiangular mas no equilátera; el rombo es una figura equilátera pero no

equiángulas el romboide es la que tiene los lados opuestos y los ángulos opuestos iguales,

sin ser equilátero ni equiangular. Las restantes figuras cuadriláteras, trapecios.

22. Son rectas paralelas las que, estando en el mismo plano y prolongadas indefinidamente

por ambas partes, por ninguna coinciden.

Euclides, en su afán por presentar de una manera rigurosa y formal las matemáticas griegas, no se

da cuenta de que no es posible definir todos los elementos que en una teoría matemática aparecen,

y recurre al uso de conceptos que pertenecen al lenguaje común de su cultura y su momento

para definirlos, generando, con este proceder, dos problemas: mezclar términos del lenguaje

común con los términos del lenguaje formal y recurrir a la experiencia cotidiana como medio para

dotar de significado a un sistema formalizado, y asi desde el significado mismo, impregnar de

verdad los postulados y toda definición a partir de ellos.

Postulados de la geometría euclidiana

Según los postulados de la geometría euclidiana:

1. Es posible trazar una línea recta desde un punto cualquiera a otro punto cualquiera.

2. Es posible prolongar por continuidad en línea recta una recta ilimitada.

3. Para cada centro y radio, es posible describir su círculo.

4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

5. Si una recta incidente sobre dos rectas hace ángulos internos y de la misma parte menores que

dos rectos, prolongadas estas dos rectas indefinidamente coincidirán por la parte en que estén

los ángulos menores que dosrectos.

En los primeros tres postulados se asegura que dados algunos elementos, puntos por ejemplo, se

pueden construir otros elementos, rectas por ejemplo, pero ningún postulado asegura que esos

objetos construidos sean únicos. Por ejemplo, el primer postulado dice que se puede trazar una recta

desde un punto cualquiera hasta otro punto cualquiera, pero no dice que esa es la única recta que

se puede trazar por esos dos puntos. Sin embargo, la unicidad de esos objetos es una necesidad

en algunas demostraciones hechas por Euclides, pero él nunca la asume de manera explícita.

El cuarto postulado no formula la existencia de ángulos rectos, sólo dice que en caso de haber

uno o más ángulos rectos, ellos serían iguales. En realidad, la existencia de estos ángulos se

prueba mediante un teorema.

El quinto postulado, conocido como el de las paralelas a pesar de que en él no se hace

referencia a paralelas, es el más famoso de estos cinco postulados, pues de un lado garantiza

que dos rectas que se cortan tienen un punto en común. Incluso desde su formulación, que se le

reconoce a Euclides, entre los griegos hubo quienes no vieron con buenos ojos este postulado,

pues adolecía de falta de evidencia, ya que involucra una acción que se puede extender en el

tiempo, pues se requiere prolongar indefinidamente dos rectas. De otro lado, la forma de este

postulado, diferente a la de los otros cuatro porque utiliza una frase condicional, "...si un hecho

sucede entonces otro hecho debe suceder...", insinúa que, más bien era un teorema y que se

podía demostrar a partir de los otros cuatro postulados.

Algunas nociones comunes

Euclides consideraba que además de sus cinco postulados, eran necesarias ciertas nociones o

reglas particulares para razonar, aplicables tanto a la geometría como a cualquier otra ciencia, y a

pesar de pensar en ellas como de uso común, prefirió hacerlas explícitas. Las siguientes son las

nociones comunes que formuló:

1. Cosas iguales a una y la misma soniguales entre sí.

2. Si a cosas iguales se añaden otras iguales, los totales son iguales.

3. Si de cosas iguales se quitan otrasiguales, las restantes son iguales.

4. Si a cosas desiguales se añaden otras iguales, los totales son desiguales.

5. Las cosas dobles de una y la misma cosa son iguales entre sí.

6. Las cosas mitades de una y la misma cosa, son iguales entre sí.

7. Las cosas congruentes entre sí son iguales entre sí.

8. El todo es mayor que la parte.

9. Dos rectas no circundan región.

ALGUNOS TEOREMAS

DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA

TEOREMA 1

Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente iguales y el ángulo comprendido por tales

rectas es congruente, entonces los triángulos son congruentes. Demostración y procedimiento:

Sean los dos triángulos ABG y DEZ, que tienen sus lados AB y AG iguales

respectivamente a los lados DE y DZ, y el ángulo comprendido por BAG igual al

comprendido por EDZ.

Se debe demostrar entonces que la base BG es igual a la base EZ, y que el triángulo ABG

es igual al triángulo DEZ, es decir, que los demás ángulos correspondientes son también

iguales, es decir, el ángulo ABG es igual al ángulo DEZ y el ángulo AGB es igual al ángulo

DZE.

Esto es cierto porque si se coloca o "aplica" el triángulo ABG sobre el triángulo DEZ, y se

coloca para ello el punto A sobre el punto D y la recta AB sobre la DE, entonces quedarán

colocados también el punto B sobre el punto E, de ahí que sean iguales la recta AB y la

recta DE.

Una vez aplicada la recta AB sobre la recta DE, se aplicará la recta AG sobre la recta DZ,

por ser el ángulo comprendido por BAG igual al comprendido por EDZ. De manera que el

punto G se aplicará sobre el punto Z por ser también iguales la recta AG con la recta DZ.

Pero como ya estaba aplicado al punto B sobre el punto E. luego se aplicará la base BG

sobre la base EZ.

Porque si estando ya aplicado el punto B sobre el punto E y el punto G sobre el Z, la base

BG no se aplicará sobre la base EZ, dos rectas circundarían una región, lo cual es imposible.

Por tanto, la base BG se aplicará sobre la base EZ, y son iguales y por tanto el triángulo

entero ABG se aplicará sobre todo el triángulo DEZ y será igual a él. Además, los ángulos

de uno se aplicarán a los restantes del otro y serán iguales.

En este teorema aparece por primera vez el concepto de aplicación. ¿Qué es una

aplicación y en qué condiciones es posible efectuar una aplicación? Son preguntas que no

fueron respondidas de manera explícita por Euclides.

Según se puede concluir de los textos de los teoremas, una aplicación consiste en un

movimiento mediante el cual un objeto geométrico puede llevarse sobre otro objeto

geométrico, de la misma clase que el anterior, aceptándose que por este movimiento no se

alteran ni los tamaños ni las formas de los objetos.

Así que, si al aplicar un objeto geométrico sobre otro, los dos objetos coinciden en todas

sus partes, entonces son iguales (o congruentes). Euclides demuestra así el primer

teorema de congruencia de triángulos.

TEOREMA 2

En un triángulo isósceles, los ángulos de la base son iguales entre si. y si se prolongan los dos

lados iguales, los ángulos debajo de la base entre sí.

Demostración y procedimiento:

Sea ABG el triángulo isósceles que tiene el lado AB igual al lado AG, y sean BD y GE las

prolongaciones de estos lados. Hay que demostrar que el ángulo ABG es igual al ángulo AGB,

y que el ángulo GBD es igual al ángulo BGE.

Tómese sobre la recta BD un punto cualquiera, el punto Z, por ejemplo. En la recta mayor AE,

construyase la recta AH, igual a la recta AZ y trácense las rectas ZG y HB. Ahora bien,

puesto que la recta AZ es igual a la recta AB', y la recta AB es igual a la recta AG, entonces

las rectas ZA y AG serán respectivamente iguales a las rectas AH y AB que comprenden un

ángulo común, el ángulo ZAH.

Por tanto, la base ZG será igual a la base HB y el triángulo AZG será igual al triángulo

AHB, mientras que los demás ángulos de uno serán respectivamente iguales a aquellos del

otro, es decir, el ángulo AGZ será igual al ángulo ABff, y el ángulo AZG será igual al

ángulo AHB.

Puesto que la recta entera AZ es igual a la recta entera AH y las rectas AB y AG son

iguales la una a la otra, entonces la recta restante BZ será igual a la restante GH. Como ya se

demostró que la recta ZG es igual a la recta HB, entonces las rectas BZ y ZG serán

respectivamente iguales a las rectas GH y HB.

Así mismo, el ángulo BZG será igual al ángulo GHB, siendo la recta BG su base común; y el

triángulo BZG será igual al triángulo GHB, y los demás ángulos de uno serán iguales a sus

correspondientes del otro, es decir, el ángulo ZBG será igual al ángulo HGB y el ángulo BGZ

al ángulo GBH.

Pero como se demostró que el ángulo entero es igual al ángulo entero AGZ, y que sus

ángulos parciales GBH y BGZ son iguales, entonces el ángulo restante ABG será igual al

ángulo restante AGB, que son los ángulos de la base del triángulo ABG. Se demostró, además,

que el ángulo ABG es igual al HGB, que son los ángulos subtendidos bajo la base, que es lo

que se quería demostrar.

TEOREMA 3

Si dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados subtendidos bajo esos ángulos también

serán iguales.

Demostración y procedimiento: Sea ABG el triángulo que tiene el ángulo ABG igual al

ángulo AGB. Es necesario demostrar que el lado AB es igual al lado AG.

Si los lados fueran desiguales, uno de los dos sería el mayor. Sea pues, AB el lado mayor.

Del lado mayor réstese el lado DB, igual al lado menor AG, y trácese el lado DG. Puesto que el

lado DB es igual al del AG, y el lado BG es común a los triángulos DBG y AGB y, además, el

ángulo ABG es igual al ángulo AGB, entonces por el teorema 1, los triángulos DBG y AGB

son iguales y por consiguiente sea iguales sus ángulos respectivos, es decir, son equivalentes el

ángulo AGB y DGB. Es» significa que el lado AB es igual al lado AG, que es lo que se quería

demostrar.

Lo que afirman los anteriores dos teoremas es que si dos lados de un triángulo son iguales,

entonces también son iguales los ángulos opuestos y viceversa.

TEOREMA 4

Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente iguales el uno al otro, e iguales las

bases, entonces tendrán iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales.

Demostración:

Sean los dos triángulos ABG y DEZ. y sean los lados AB y AG, respectivamente iguales a

los lados DE y DZ, y la base BG igual a la base EZ'. Se trata de demostrar que los ángulos

BAG y EDZ también son iguales.

Si se aplica el triángulo ABG sobre el DEZ de modo que el punto B coincida con E y la

recta BG sobre la recta EZ, se aplicará también el punto G sobre el Z por ser iguales las

rectas BG y EZ.

Además, al aplicar la recta BG sobre la recta EZ, se aplicarán también las rectas BA y GA

sobre las rectas ED y ZD porque dos rectas que son iguales a otras dos, con los extremos en

el mismo lado de una recta se cruzan en un mismo punto. Esto significa que el ángulo BAG

es igual al ángulo EDZ, pues sus lados coinciden.

TEOREMA 5

Con tres rectas dadas tales que la suma de cualesquiera dos de ellas sea mayor que la

tercera, construir un triángulo.

Construcción y demostración: Sean A, B y G las tres rectas dadas. Defínase una recta DE,

limitada por el punto D, más infinita hacia el punto E'. Construyase ahora la recta DZ igual a

la recta A; la recta ZH', a la recta B y la recta IfT, a la recta G. Con centro en Z y radio igual

a ZD descríbase el círculo DKL. Con centro en H y radio HT describase el círculo KLT'.

Trácense ahora las rectas KZ y KH.

Entonces el triángulo KZH es el triángulo deseado, puesto que el lado KZ es igual a la

recta A, el lado KH es igual a la recta G y el lado ZH es igual a la recta B.

TEOREMA 6

Sobre una recta dada, y en uno de sus puntos, construir un ángulo igual a otro ángulo dado.

Construcción y demostración:

Sea AB la recta dada, A un punto en ella y DGE el ángulo dado. Hay que construir sobre la

recta dada y en el punto A de ella un ángulo igual a DGE.

Sobre cada una de las líneas GD y GE, tómense dos puntos cualesquiera D y E y trácese la

recta DE. Construyase ahora

el triángulo AZH', de modo que la recta GD sea igual a la recta AZ, la recta GE sea igual a la

recta HA y la recta DE a la recta ZH'. Puesto que las rectas DG y GE son respectivamente

iguales a las rectas ZA y AH y la base DE es igual a la base ZH', entonces el ángulo DGE

será igual al ángulo ZAH.

TEOREMA 7

Para que dos triángulos sean congruentes es suficiente con que tengan dos ángulos

congruentes y el lado comprendido de igual longitud.

Demostración:

Sean ABG y DEZ los dos triángulos que tienen los dos ángulos ABG y BGA iguales

respectivamente a los ángulos DEZ y EZD. Considérese primero el caso en que el lado BG es

igual al lado EZ.

Si esto es cierto, entonces el lado AB es igual al lado DE, y el lado AG igual al lado DZ'.

Esto porque si el lado AB no es igual al lado DE, uno de los dos será mayor, es decir AB, y

esto lleva a una contradicción como se verá.

Hágase la recta BH igual a la recta DE, y trácese la recta HG. Ahora bien, los lados BH y BG

serían respectivamente iguales a los lados DE y EZ; y el ángulo HBG igual al ángulo DEZ; y

por tanto la base HG será igual a la base DZ y el triángulo ABG igual al triángulo DEZ.

Significa esto que los demás ángulos de uno serán iguales a los demás ángulos del otro, esto

es, que el ángulo HGB es igual al ángulo DZE. Se supuso, sin embargo, que el ángulo DZE

es igual al ángulo AGB, luego el ángulo HGB es igual al ángulo AGB, lo cual es claramente

imposible. Por tanto, los lados AB y DE son iguales, y son iguales los ángulos ABG y

DEZ.

Supóngase ahora que el lado AB es igual al lado DE'. Entonces se puede demostrar de una

manera similar a la anterior, que los demás lados de uno de los triángulos serán iguales a los

demás del otro, a saber, el lado AG con el lado DZ y el lado BG con el lado EZ. Igualmente el

ángulo restante AG es igual al ángulo EDZ.

TEOREMA 8

Si una recta, al cruzar otras dos rectas, hace ángulos alternos iguales entre sí, entonces tales

dos rectas serán paralelas en-

Demostración:

Sea EZ la recta que cruza las dos rectas, ABy GD, con ángulos alternos AEZ y EZD,

iguales entre sí. Se trata de demostrar que la recta AB es paralela a recta GD.

Supóngase lo contrario de manera que si son prolongadas AB y GD se encontrarían, o

hacia el lado BD, o hacia el lado AG. Asúmase que se encuentran en el punto H, hacia el lado

BD. En este caso, el ángulo externo AEZ del triángulo HEZ será igual al ángulo EZH,

interno y opuesto a él. Como esto es imposible, las rectas AB y GD, prolongadas hacia el

lado BD, no se pueden cortar. De manera parecida se demuestra que tampoco se cortan

hacia el lado AG, y si no se cortan hacia ninguno de los lados entonces son paralelas.

TEOREMA 9

Si una recta cruza otras dos rectas y hace el ángulo extemo igual al ángulo interno y opuesto

en el mismo lado, o si los dos internos son iguales a dos rectos, ertoa-ces tales rectas son

paralelas entre si.

Demostración:

Sea la recta EZ que cruza las rectas AB y GD y el ángulo externo EHB ,igual al ángulo

interno HTD, o bien los ángulos BHT y HTD internos y del mismo lado, tales que, sumados,

sean iguales a dos ángulos rectos. Se trata de demostrar que la recta AB es paralela a la

recta GD.

Ahora bien, como el ángulo EHB es igual al HTD y además el ángulo EHB es igual al

ángulo AHT, entonces el ángulo AHT es igual al ángulo HTD. Como estos ángulos son

alternos, entonces la recta AB es paralela a la recta GD.

Por otro lado, si los ángulos BHT y HTD sumados son iguales a dos ángulos rectos,

entonces son también iguales a dos rectos los ángulos AHT y BHT y por tanto la suma de

los ángulos AHT y BHT será igual a la suma de los ángulos BHT y HTD.

Si se resta el ángulo común BHT, el ángulo AHT es igual al ángulo HTD. Pero como son

ángulos alternos, entonces la recta AB es paralela a la recta GD.

TEOREMA 10

Una recta que cae sobre dos rectas paralelas forma ángulos alternos iguales entre sí y un

ángulo extemo igual al ángulo interno opuesto, mientras que la suma de los ángulos internos a

un mismo lado de la recta es igual a dos ángulos rectos.

Demostración:

Sea EZ la recta que cae sobre las dos rectas paralelas AB y GD. Entonces los ángulos

altemos AHT y HTD son iguales y el ángulo externo EHB es igual al ángulo interno opuesto

HTD. Por otro lado, la suma de los ángulos internos BHT y HTD es igual a dos ángulos rectos.

Para demostrarlo, obsérvese que si el ángulo AHT no fuese igual al ángulo HTD, uno de

los dos sería el mayor. Sea AHT el ángulo mayor. Añádase el ángulo común BHT.

Entonces los ángulos AHT y BHT sumados serán mayores que los ángulos BHT y HTD.

Pero los ángulos AHT y BHT son iguales a dos ángulos rectos.

Ahora bien, dos rectas con dos ángulos internos menores que dos ángulos rectos,

prolongadas al infinito, coincidirán, luego las rectas AB y GD prolongadas al infinito coinciden,

lo que es una contradicción pues son paralelas. Es decir, el ángulo AHT es igual al ángulo

HTD.

Por otra parte, el ángulo AHT es igual al ángulo EHB, luego también el ángulo EHB será

igual al ángulo HTD. Añádase a éstos el ángulo común BHT, luego serán iguales la suma de

los ángulos EHB y BHT y la de los ángulos BHT y HTD. Pero la suma de los ángulos EHB y

BHT es igual a la de dos ángulos rectos, luego también la suma de los ángulos BHT y HTD

es igual a dos rectos, que es lo que se quería demostrar.

TEOREMA 11

Por un punto dado trazar una recta paralela a otra recta dada. Construcción y demostración:

Sea A el punto dado y BG la recta dada. Hay que trazar por el punto A, una recta paralela a

la recta BG. Tómese sobre la recta BG un punto cualquiera, el D, por ejemplo, y trácese la

recta AD. Ahora sobre la recta DA, y en el punto A de ella, construyase el ángulo DAE igual al

ángulo ADG y prolongúese la línea recta E A en AZ.

Ahora bien, puesto que la recta AD, que cae sobre las dos rectas, BG y EZ forma

ángulos alternos iguales entre sí, entonces los ángulos EAD y ADG son iguales, y la recta

EAZ será paralela a la recta BG.

TEOREMA 12

En todo triángulo, si se prolonga uno de sus lados, el ángulo externo que se forma es igual a

los dos internos y opuestos, y la suma de los tres ángulos internos del triángulo es igual a la de

dos ángulos rectos.

Demostración:

Sea ABC el triángulo y prolónguese uno de sus lados, el BG por ejemplo, hasta el punto D.

Se trata de demostrar que el ángulo externo, AGD, es igual a los dos ángulos internos y

opuestos, GAB y ABG, y que la suma de los tres ángulos internos del triángulo es igual a la de

dos ángulos rectos.

Para ello, por el punto G trácese la recta GE, paralela a la recta AB. Puesto que la recta AB

es paralela a la recta GE, y sobre ellas es incidente la recta AG, entonces los ángulos

alternos BAG y AGE son iguales entre sí.

Por otra parte, puesto que la recta AB es paralela a la recta GE y sobre ellas incide la recta

BD, entonces el ángulo externo EGD es igual al ángulo interno y opuesto ABG. Pero se

demostró que el ángulo AGE es igual al ángulo BAG, luego el ángulo entero AGD es igual a

la suma de los dos internos y opuestos BAG y ABG. Añádase a éstos, el ángulo común AGB.

Según esto, la suma de los ángulos AGD y BAG es igual a la suma de los tres ángulos

ABG, BGA y GAB. Pero como la suma de los ángulos AGD y AGB es igual a la de dos

rectos,

Entonces la suma de los ángulos AGB, GBA y GAB es igual a la de dos rectos.

GEOMETRIA EUCLIDIANA

NESTOR BRIAN TOVAR

Profesor: GLORIA PATRICIA HENAO

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA LICENCIATURA EN MATEMATICAS

GEOMETRIA 24 DE ABRIL DE 2009

BOGOTA D.C