Instituto Politécnico NacionalEscuela Superior de Física y Matemáticas

CÁLCULO III. Teoremas y De�niciones.

Teorema 1: Sea V un R� e:v con producto interno <;>. Entonces la funciòn k k : V ! Rkuk = p< u;u > es una norma, y se llama la NORMA INDUCIDA por el producto interno <;> :

Corolario 1: En Rn , k k : Rn ! R , kuk2 =p< u;u > =

pPui2; u = (u1;u2; u3; ::::un)

es una norma y se llama NORMA EUCLIDEANA o Norma 2. k k1 : Rn ! R ,

kuk1 = m�ax fjuijg ;u = (u1;u2; u3; ::::un) es una norma y se llama NORMA INFINITO.

Caso General: Sea p 2 N; p > 2, kk p : Rn ! R , kuk = (Pjuijp)1=p ;

u = (u1;u2; u3; ::::un) es una norma.

De�niciòn 1: Sean x ; y 2 Rn: Se de�ne la distancia euclideana entre x y y por: d(x; y) = kx� yk :Teorema 2: Sean x; y; z 2 R� e:v; entonces:i) d(x; y) = d(y; x)ii) d(x; y) � 0iii) d(x; y) = 0, x = yiv) d(x; y) � d(x; z) + d(z; y)����(Desigualdad del Triángulo)

ABIERTOSDe�nición 2: Sea u 2 Rn y " 2 R; talque 9 " > 0; la vecindad con centro en u de radio epsilonse de�ne por : V "(u) = fx 2 Rnj kx� uk < "g:

De�nición 3: Sea X � Rn . Un punto a 2 Rn se llama PUNTO INTERIOR de X si 9 " > 0talque V "(a) � X:

De�nicion 4: Un conjunto X se dice abierto si todos sus puntos, son puntos interiores de èl o sea:8 a 2 X , 9 "(a) > 0 talque V "a(a) � X:De�nición 5: Sea X un conjunto y sea � una familia de subconjuntos de X, se dice que (X; �)es un ESPACIO TOPOLOGICO si:a) ;; X 2 �b) Si fu�g�2I es una familia de elementos de � entonces, [a=1u� 2 � (union arbitraria).

c) Si u1; u2 2 � ) u1 \ u2 2 � (Intersecciòn �nita).

Teorema 3: Rn con los conjuntos abiertos forman un ESPACIO TOPOLOGICO.

Teorema 4: Un conjunto F 2 Rn se dice cerrado si Rn nF es un conjunto abierto.Teorema 5: Los conjuntos cerrados en Rn cumplen lo siguiente:a) ;;Rn son cerrados.b) La intersección arbitraria de cerrados es un cerrado.

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c) Unión �nita de cerrados es un conjunto cerrado.

De�nición 6: Sea X � Rn: La cerradura de X se de�ne como el conjunto de todos los puntosde adherencia de X y se denota: �X;Cl(X):

Lema 1: �X es un conjunto cerrado.

Teorema 6: Sea X � Rn; X es cerrado , X = �X:

De�nición 7: Sea x 2 Rn se dice punto de acumulación de X si 8" > 0 ,(V "(x) n fxg) \X 6= ;:Al conjunto de todos los puntos de acumulación de X se denota X 0:

De�nición 8: La frontera de X se de�ne como: @X = �X \ �Xc:Todo punto de Acumulación esde Adherencia.

De�nición 9 : Un conjunto A es un espacio topologico (X; �) se dice denso si: �A = X:

De�nición 10: Una sucesión en Rn es una función X : N! Rn:

De�nición 11: Una sucesión�Xkk2N � R

n se dice que converge si 9` 2 Rn talque

8" > 0 9No 2 Ntal que

xk � ` < " 8k � N ò 8" > 0 9No 2 N tal que xk 2 V"(`) 8k � N:

Teorema 7: Una sucesión�Xkk2N =

��Xk1 ; X

k2 ; X

k3 ; :::::; X

kn

�k2N es convergente si y sólo si�

Xk1

k2N ; ::::;

�Xkn

k2N son convergentes, en este caso l�{mk!1

Xk = l�{mk!1

Xk1 , l�{m

k!1Xk2 ; ::::; l�{m

k!1Xkn:

De�nición 12: Un conjunto A � Rn se dice acotado si 9 M 2 R talque 0 � kxk �M 8x 2 A:

Lema 2: Si�Xkk2N � R

n es una sucesión convergente entonces:

a) Su límite es unico.

b) Toda sucesión es acotada.

Teorema 8: Sea�Xkk2N � R

n una sucesión. Una subsucesión de�Xkk2N es una sucesión.

Xk11 ; X

k22 ; X

k33 ; :::::; X

knn =

�Xkk2N , donde k1 < k2 < :::: < kn:

Teorema 9: Toda sucesión en R que sea acotada admite una subsucesión convergente.

Teorema 10: Sean fXngk2N ; fY ngk2N sucesiones en Rn convergentes y sea � 2 R; entonces:

a) l�{mk!1

(Xk + Y k) = l�{mk!1

Xk + l�{mk!1

Y k

b)��Xk

k2N es convergente y l�{mk!1

�Xk = � � l�{mk!1

Xk

c) Si f�kgk2N � R es una sucesión convergente entonces:��k �Xk

k2N es convergente y ademas

l�{mk!1

�k �Xk =�l�{mk!1

�k

��l�{mk!1

Xk�:

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Teorema de (Bolzano-Weierstrass) 11: Toda sucesión acotada en Rn;tiene una subsucesión convergente.

De�nición 13: Una sucesión�Xkk2N � R

n, se dice de Cauchy si 8" > 0 9No 2 N tal que xk1 � xk2 < " 8k1; k2 � No:

Teorema 12: Una sucesión�Xkk2N � R

n, es convergente si y sólo si es de Cauchy.

Teorema 13: Sea X � Rn; a 2 Rn es un punto de adherencia de X , 9�Xkk2N � X

tal que l�{mk!1

Xk = a:

CONJUNTOS COMPACTOS.De�nición 14: Sea X � Rn: Una familia de conjuntos abiertos en Rn;f�g�2I se dice una cubierta abierta de X si: X � [

a2I�:

De�nición 15: Si f�g�2I es una cubierta y J � I tal que X � [a2I;

donde f�g�2I es una subcubierta de la cubierta f�g�2I :Ademas si J es �nito se dice que f�g�2I es una subcubierta �nita.

De�nición 16: Un conjunto se dice compacto si toda cubierta abiertatiene una subcubierta abierta �nita.

Teorema 14: (Heine -Borel-Lebesgue-Weierstrass).Sea X � Rn las siguientes condiciones son equivalentes:a) X es compacto.b) X es acotado y cerrado.c) Toda sucesión

�Xkk2N � X tiene una subsucesión que converge

a un punto de X:

Lema 3 : Sea X un conjunto que cumple la condición (c) del T.H.B.L.W

entonces: 8" > 0 9 fX1; X2; X3; :::::; Xsg � X tal que X � f[gsi=1 V"(xi)X es secuencialmente compacto (precompacto).

Lema (Lebesgue) 4:Sea X � Rn secuencialmente compacto y sea f�g�2I una cubierta de X.Entonces 9"o > 0 talque 8x 2 X , 9�o 2 I talque V "o(x) � �o:

Conjuntos Conexos. (Topología Inducida)De�nición 17: Sea X � Rn; A � X se dice un abierto en Xsi existe un abierto U � Rn talque: A = X \ U:Lema 5: Sea X � Rna) ; y X son abiertos en X.

b) Si fA�g�2I es una familia de abiertos en X, entonces [a2IA�unión arbitraria es abierto en X.

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c) Si fA�g�2I es un conjunto �nito de abiertos en X entonces:f\gna2I A� es abierto en X.

De�nición 18: Sea X � Rn; C � X se dice cerrado en X si existeun F cerrado en Rn tal que : C = X \ F:Proposición 1: Sea X � Rn; las siguientes proposiciones son equivalentes:a) C es cerrado en X.b) X�C es abierto en X.

Lema 6: Sea X � Rn entonces:a) ; y X son cerrados en X.

b) Si fC�g�2I es una colección de cerrados en X, entonces \C�es un cerrado en X.

c) Si fC�gn�2I es un conjunto �nito de cerrados en X,entonces f[gna2I Ci es un cerrado en X.

De�nición 19: Sea X � Rn; X se dice conexo si los unicos conjuntosabiertos y cerrados al mismo tiempo son X y ; .Ademas si X no es cerrado se dirá que es DISCONEXO.

Proposición 2: Un conjunto X en Rn es disconesxo , existen U1; U2 abiertostales que:

a) U1 [ U2 = Xb) U1 \ U2 \X = ;c) U1 \X 6= 0 , U2 \X 6= ;:

Proposición 3: Un conjunto X � Rn es disconexo, existen cerrados C1;C2 en Rn tales que:a) X � C1 [ C2b) X \ C1 6= 0 , X \ C2 6= ;c) X \ C1 \ C2 = ;De�nición 20: Un conjunto I � Rn es un intervalo , 8x; y 2 I ) [x; y] � I:Proposición 4: Un conjunto A � Rn es conexo , A es un intervalo.

Repaso de funciones.De�nición 21: Sean a 2 A y b 2 B con A y B conjuntos, la pareja ordenada(a; b) se de�ne como el siguiente conjunto: (a; b) = ff;g ; fa; bgg :Lema 7: Sean a; c 2 A; b; d 2 B; entonces:i) (a; b) = (c; d), a = c y b = dii) Si a 6= b; entonces (a; b) 6= (b; a):De�nición 22: Sean A y B conjuntos. EL PRODUCTO CARTESIANO de

A con B se de�ne como el conjunto de todas las parejas ordenadas (aj b)

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con a 2 A y b 2 B, o sea : AxB = f(a; b) j a 2 A y b 2 Bg :De�nición 23: Una relación R en AxB es un subconjunto delproducto cartesiano AxB.

De�nición 24: Una función AxB es un subconjunto en f talque si(a; b) , (a; b0) 2 f entonces b = b0.De�nición 25: Una función AxB es una relación en f talque si(a; b) , (a; b0) 2 f entonces b = b0.De�nición 26: Sea f una función en AxB, entonces de�nimos a:

a) El Dominio de la función como: Df : fa 2 A j 9 b 2 B ) (a; b) 2 fgb) La imagen de la función como: Imf : fb 2 B j 9 a 2 A) (a; b) 2 fgc) El contradominio de una función B. Sea f una función en AxB,

si (a; b) 2 f se llamará la imagen de a bajo f y la denotaremos como f(a)

f : f(a; f(a)) j a 2 Dfg , x 2 Df ) f(x) 2 Imf .

FUNCIONES

De�nición 27:Sea A � Rn y sea f : A! B una función, B se llamael contradominio de f .

De�nición 28: Sean X � Rn; f : X ! Y una función , A � X;la imagen de A bajo f se de�ne como:f(A) : ff(x)jx 2 Ag = fy 2 Y j 9 x 2 A talque f(x) = yg

Propiedades de la Imagen Directa.Sea fA�g�2I una familia de conjuntos de Ai) f( [

a2IA�) = [

a2If(A�)

ii) f( \a2IA�) � [

a2If(A�)

De�nición 29: Sea Y � Rn; f : X ! Y; una funciòn. Sea B � Y;la imagen inversa o preimagen de B bajo f se de�ne como:f�1(B) = fx 2 X j f(x) 2 BgDe�nición 30: Una función f : X ! Y; se dice inyectiva sif(x) = f(y)) x = y:

De�nición 31: Sea f : X ! Y; f se dice suprayectiva siImf = f(x) = Y .

De�nición 32: Una función f : X ! Y; se dice BIYECTIVAsi es inyectiva y suprayectiva:

Composición de funciones.f�1(Dg \ Imf ) = Dg�f fx 2 X talque f(x) 2 Dgg

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De�nición 33: Sea f una función en AxB y g una función en BxC.La composición es la función:g � f = f(x; z)j 9 y 2 B talque (x; y) 2 f y (y; z) 2 gg.

Ademas Dg�f = f�1(Dg) = fx 2 Df j f(x) 2 DggDe�nición 34: Sea R una relación en AxB, de�nimosla RELACIÓN INVERSA. R�1 = f(b; a)j (a; b) 2 RgTeorema 15: Sea f una función en AxB, f�1 es una función , f es inyectiva.

De�nición 35: Una función f : X ! Y se dice invertible si 9 g : Y ! X talque:f � g = IdY ; g � f = IdXEn este caso g se dice la inversa de f y se denota por g := f�1:

Teorema 16: f : X ! Y es invertible , f es biyectiva.De�nición 36: Sean f; g : X ! R funcionesa) La suma de las funciones, se de�ne : f + g : X ! R ; (f + g)(x) = f(x) + g(x)b) Producto de funciones, se de�nes: f � g : X ! R , (f � g)(x) = f(x) � g(x)

CONTINUIDADDe�nición 37: Sea f : X ! Y con X;Y � Rn, se dice que f es continua en a 2 Xsi 8" > 0 9� > 0 8x 2 X talque kx� ak < �f es continua en "a" 2 X si 8" > 0 9� > 0 f(V�(a) \X) � V"(f(a)):De�nición 38: Las funciones proyecciones son: �i : Rn ! R; talqueu = u1; u2; ::::un 2 Rn; �i(u) = ui:Teorema 17: Una función f : X ! Rm es continua en a 2 X , 8

�Xkk2N � X

talque l�{mk!1

Xk = a) l�{mk!1

f(Xk) = f(a):

De�nición 39: Una función f : X ! Y se dice Lipschitz si existe una constante Ctalque kf(x)k � C kxk 8x 2 X:Mas aún si C = 1, f se dice contracción.

Teorema 18: Una transformación lineal T : Rn ! Rn es una función de Lipschitz.

Corolario 2: Toda transformación lineal, T :Rn ! Rm es continua.

Teorema 19: Sea X � Rn; f : X ! Rm con f := (f1; f2; ::::fm) donde cada fi : X ! Res la i� �esima componente de f, f es continua en a2 X , cada fi es continua en a 2 X:Proposición 5: Sea X � Rn; f : X ! Rm; funciones continuas, g : X ! Rm en "a".Entonces:a) f + g : R! Rm es continua en a.b) Si � 2 R; �f : X ! Rm es continua en a.c) Si m = 1, entonces f � g : X ! R es continua en a.d) Si m = 1 y g(x) 6= 0; 8x 2 X; entonces f

g: X ! R es continua en a.

De�nición 40: Sea f : X ! Rm con X � Rn; se dice continua si f es continua en a,para toda a 2 X:Teorema 20: Sea f : X ! Rm con X � Rn; f es continua , 8W � Rm abierto

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9U � Rn abierto talque f�1(W ) = X \ U:Teorema 21: Sea X � Rn compacto, si f : X ! Rm es continua, entonces f(x)es COMPACTO.

Teorema 22: Sea X � Rn , f : X ! Rm una función continua si Y � X es Conexoentonces f(y) es conexo.

ARCO-CONEXO.Sean X � Rn , [�; �] un intervalo cerrado y acotado en R:Una función ' : ([�; �]) se le denotara '� y se le llamará TRAZA DEL CAMINO.Una función ' : ([�; �]) ! X con ' se dice CAMINO. '(�) se llamará punto inicial delcamino y '(�) el punto �nal, ' se llamará un camino de '(�) a '(�):

Lema 8: Sea ' un camino en X � Rn; o sea ' : [�; �] ! X entonces:a) '� es compactob) '� es conexo

De�nición 41: Sea X � Rn y ' : [�; �] ! X un camino ' se dice CAMINO CERRADOsi: '(�) = '(�): Si ' es un camino en X, ' : [�; �] ! X entonces se dice que ' es un caminoque une a '(�) con '(�):

De�nición 42: Un conjunto X � Rn se dice ARCO-CONEXO, si 8 x1;x2 2 X; existe un camino' : [�; �] ! X que los une o sea: '(�) = x1; '(�) = x2 en este caso '� � XTeorema 23: Sea X � Rn; si X es ARCO-CONEXO, entonces es conexo.Teorema 24: Sea X � Rn; sea f : X ! Rn una función continua. Si Y � X arco-conexo) f(Y ) es arco-conexo.

CONJUNTO CONVEXO.De�nición 43: Sea X � Rn; X se dice convexo si 8 x1;x2 2 X el segmento que los une esta en Xo sea: (1� t)x2 + tx1 2 X 8t 2 [0; 1]Proposición 6: Un conjunto � Rn abierto es conexo , es arco-conexo.

De�nición 44: Una región � Rn es un conjunto abierto y conexo.Lema 9: Sea f��g�2I una familia de conjuntos convexos en Rn:1) \

a2IA� es convexo.

2) Si a es convexo, entonces Aoy �A son conjuntos convexos.

Lema 10: Sea A � Rn convexo, � 2 R entonces: �A = f�Aj a 2 Ag; es convexo.Si B � Rn; es convexo entonces A+B = fa+ b j a 2 A y b 2 BgDe�nición 45: Sea S = fa1; a2; :::ang � Rn; la cerradura convexa de Rn se de�ne como:Conv(S) = f

P�iai j �i 2 R; a � �i;

P�i = 1g :

Lema 11: La cerradura convexa de un conjunto �nito S � Rn es un conjunto convexo.

CONTINUIDAD UNIFORME.

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De�nición 46: Sea X � Rn; una función f : X ! Rm se dice uniformemente continua en Xsi 8" > 0 9� > 0 8 x; x0 2 X talque kx� x0k < � ) kf(x)� f(x0)k < ":Teorema 25: Sea X � Rn; una función f : X ! Rm; entonces: f es continua, 8

�Xkk2N ;

�Y kk2N � X tales que: l�{m

k!1

Xk � Y k = 0) l�{m

k!1

f(Xk)� f(Y k) = 0:

Teorema 26: Sea X � Rn compacto y f : X ! Rm una función continua en X.Entonces f es uniformemente continua en X.

Felipe García Mendoza.

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