TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CONTEOSi un evento puede realizarse de n1 maneras diferentes, y si, un segundo evento realizarse de n2 maneras diferentes, y si, un segundo evento realizarse de n3 maneras diferentes y as sucesivamente; entonces, el nmero de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto n1. n2. n3

PERMUTACIONES

Son arreglos diferentes en que pueden ordenarse un conjunto de elementos en un orden definido.Una ordenacin de un nmero r de n objetos , r n , en un orden dado se lama permutacin r o una permutacin de los n objetos tomados de r a la vez . As mismo, una ordenacin de un conjunto de n objetos en u8n orden dado se llama una permutacin de los objetos (tomados todos a la vez)

El nmero de permutaciones de n objetos tomados de r en r lo denotamos por : P (n, r) nPrEl primer elemento de una permutacin r de n elementos puede escogerse de n diferentes maneras; el segundo elemento de la permutacin puede escogerse de (n-1) ,amaneras, y as sucesivamente, el r-simo (ltimo) elemento de la permutacin r puede escogerse de n (r-1) = n r + 1 manerasn-r+1n-3n-2n-1n

1 2 3 4 r

n P r = n (n-1) (n-2) (n-3) (n-r+2) (n r +1)

n P r = n (n-1) (n-2) (n-3) (n-r+2) (n r +1).

n P r =

r n 0! = 1

APROXIMACIN DE STIRLING A n!

Cuando n es un valor muy grande, n! se puede aproximar mediante la frmula de Stirling; es decir: La cual tiene un error

n! nn e-n

menor que el 1% para n > 10

Ejemplo: Calcular 35!

35! = 3535 e-35 = 1.031 x 1040

PERMUTACIONES CON SUSTITUCINEl nmero de permutaciones con sustitucin de n elementos tomados de r en r (orden r) es:

n P r = n r

PERMUTACIONES CON REPETICIN (particiones ordenadas)

El nmero de permutaciones de n elementos, de tal manera que: n1 son iguales, n2 son iguales,, nk son iguales y n = n1 + n2 + n3 ++ nk. n! n P n1,n2,,nk = ------------------------ n1! n2! nk!

PERMUTACIN CIRCULAR

El nmero de permutaciones circulares de n elementos, tomados todos a la vez, es igual:

P = (n 1)!

COMBINACIONES

Es una seleccin de un conjunto de n elementos tomados de r en r, sin tener en cuenta el orden de los elementos, convirtindose en un subconjunto de n

Ejemplo. Las combinaciones que pueden formarse con las letras A, B, C y D son:

a) De 4 en 4 : ABCDb) De 3 en 3 : ABC , ABD , ACD, BCDc) De 2 en 2 : AB , AC, AD , BC, BD, CDd) De 1 en 1 : A, B, C , D

Si comparamos las combinaciones y permutaciones de 3 en 3 n=4 r=3 4P3 = 24 4C3 = 4

COMBINACIONESPERMUTACIONES

ABC ABC ACB BCA BAC CAB CBA

ABD ABD ADB BDA BAD DAB DBA

ACD ACD ADC DCA DAC CAD CDA

BCD BCD BDC CBD CDB DCB DBC

COMBINACIONES: NO le interesa el ORDENPERMUTACIONES: SI le interesa el ORDEN

Cada combinacin tiene 3! permutaciones

3! 4C3 = 4C3

4C3 = =

nCr = =

COMBINACIN CON REPETICIN

CR =

Ejemplo: Hallar el nmero de CR de las letras A, C, D y E

Tomados de 2 en 2 Tomados de 3 en 3

5CR2 = = 15 5CR3 = = 35

AAABACADAEAAABBBCCCDDDEEE

BBBCBDDEAABAACAADAAEBBA

CCCDCEBBCBBDBBECCACCB

DDDECCDCCEDDADDBDDC

EEDDEEEAEEBEECEED

ABCABDABEACDACE

ADEBCDBDEBCECDE

Propiedades de las Combinaciones

Combinacin complementaria

r

=

=

PROBABILIDADES

Experimento Aleatorio Es una operacin cuyo resultado no puede predecirse con certeza; pero s, se puede describir el conjunto de todos los resultados posibles del experimento.

E1: Lanzar un dado y observar el n de puntos que aparece en la cara superiorE2: Lanzar dos monedas y observar el nmero de caras E3: Extraer un artculo de un lote que contiene artculos buenos y defectuosos E4: Sacar una muestra de 10 artculos de la produccin diaria y determinar el nmero de artculos defectuosos

Espacio muestral: S, Es la reunin o conjunto de todos los posibles resultados del experimentoEjemplo: Para los experimentos anteriores

Evento o SucesoEs una particin o subconjunto del espacio muestralEjemplo: A1: {Resultado sea Par} = {2, 4,6} A2: {por lo menos una cara} = {cs, sc, cc}

A3: {Artculo defectuoso} = {2, 4,6} A4: {Como mnimo dos artculos defectuosos} = {2, 3, 4,}

PROBABILIDAD

Si un evento puede ocurrir de N maneras mutuamente excluyentes e igualmente probables y si n de ellas tiene caracterstica E; entonces, la probabilidad de ocurrencia de E es:

p (E) = Hay una relacin natural entre Teora de Probabilidades y teora de Conjuntos. Podemos observar por ejemplo:Espacio Muestral con Conjunto Universal yEvento con SubconjuntoEntonces se puede dar la definicin utilizando estos trminos:

La probabilidad de ocurrencia del evento A, es igual al nmero de muestras posibles que puede suceder A sobre el nmero de elementos del espacio muestral

p(A) =

AXIOMAS DE PROBABILIDAD

1.- Axioma de Positividad ( No Negatividad) 0 p 1

2.- Axioma de Certeza p (S) = 1

3.- Axioma de Uniones

i) E1 U E2 U E3 U...U Ek =

ii) E1 E2 E3 ... Ek = E1 ... E3 ... E4 ...

E2 Ek

p =

De los 3 axiomas se deducen las siguientes propiedades:

1.- La probabilidad del conjunto nulo o vaco es igual a cero p ( ) = 0

Se sabe que: A U = A

p (A U )= p (A) p (A) + p () = p (A) p () = 0

2.- La probabilidad del complemento de A, es igual a uno menos la probabilidad del evento A SA

p ( ) = 1 p(A)

A U = S p (A) + p () = p (S)

p () = p (S) p (A) p ( ) = 1 p (A)

3.-Si A y B son 2 sucesos cualesquiera, entonces:P (AUB) = P (A) + P (B) P (A B)

A B A BAB

AB

A-B

+

Se puede observar que A-B y B son disjuntos

P (A-B) + P (B) = P (AUB) P (A-B) = P (A) P (AB)

P (AUB) = [P (A) P (AB)] + P (B) P (AUB) = P (A) + P (B) P (A B)

4.- Sean los eventos A, B y C P (AUBUC) = P (A) + P (B) + P(C) P (AB) P (BC) P (AC) + P (ABC)

5.- Sean los eventos A1, A2, A3,..., An

p = - + - +

(-1)n+1

6.- Si A B P(A) P (B)

B-AA

B P (B) = P(A) + P(B-A)Donde p (B-A) 0

P (B) P(A) 0 P(A) P (B)

PROBABILIDAD CONDICIONAL

La probabilidad condicional de que el vento B ocurra, sabiendo que el evento A ha ocurrido, es:

P (BA) = , P(A) > 0

A ha ocurrido P (B / A)

B incgnitaTEOREMA DE LA MULTIPLICACIN

De la probabilidad condicional P (B/A) =, se tiene: P(A B) = P(A). P (B/A)La probabilidad simultnea de A y B es igual al producto de la probabilidad de A, y la probabilidad de B dado que ha sucedido A

Igualmente: P(A B) = P (B). P(A/B)

Generalizando:

P (B) = P (A1). P (B/A1) + P (A2). P (B/A2) + + P (An). P (B/An)

P (B) = P (A i). P (B/A i)

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Dos eventos son mutuamente excluyentes, s y slo s:

A BP (AUB) = P (A) + P (B)

S

Donde AB = (A y B no pueden suceder simultneamente)

EVENTOS INDEPENDIENTES

Dos eventos A y B son independientes, si la ocurrencia de A no afecta (no condiciona, no influencia) a la ocurrencia de B, si: P (B/A) = P (B)P (AB) = P (A). P (B)

P (A B) > 0

TEOREMA DE BAYES

Supongamos que hay n eventos: A1, A2, A3,..., Ak y

a) S = = A1U A2U A3U...U An

b) A1 A2 A3 ... Ak = = 0

Para cualquier evento BS Donde:1 K ni = 1, 2,3,, nAn

. . .A1

A2

A3B

P ( AK / B ) =

P ( AK / B ) =

Louis Maisel- Probabilidad y Estadstica USA- 1973

1.- Un dado normal de lanza 6 veces. Cul es la probabilidad de que cada lanzamiento produzca un resultado diferente?

= 2.- Se toman 3 muestras aleatorias independientes sobre los dgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9. Determinar la probabilidad de que el mismo dgito aparezca una vez en las 3 muestras

P= P (2 veces) + P (3 veces) =

3.- Si se distribuyen aleatoriamente N bolas en M cajas. Determinar la probabilidad de que cada caja contenga exactamente una bola

= 4.- Si se distribuyen aleatoriamente N bolas en M cajas. Determinar la probabilidad P de que ninguna caja contenga ms de una bola

P = = .

= P = para M N y P = = para M < N

5.- Se distribuyen aleatoriamente N bolas en M cajas. Cul es la probabilidad de que una caja determinada contenga K bolas?

P =

Un gabinete contiene 10 pares de zapatos. Si se seleccionan aleatoriamente dos pares de zapatos. Cul es la probabilidad de formen una pareja? 1/19S = {0 pareja, 1 pareja, 2 parejas}

P(S) = =

Seymour Lipschutz Probabilidades- Coleccin Schaum

1.-En una clase hay 12 estudiantes. De cuntas maneras los 12 estudiantes pueden presentar 3 pruebas diferentes si a cada prueba le corresponden 4 estudiantes? Mtodo 1.

Buscamos el nmero de particiones ordenadas de 12 estudiantes en clulas que constan de 4 estudiantes cada una. Hay = 34,650 de tales particiones.Mtodo 2.

Hay maneras de escoger 4 estudiantes que tomen la primera prueba: a continuacin hay maneras de escoger 4 estudiantes que tomen la segunda prueba. El resto de estudiantes toma la tercera prueba. O sea que, por todos hay

= 495 x 70 = 34,650 maneras para que los estudiantes presenten las pruebas.

2.- De cuntas maneras 12 estudiantes pueden repartirse en 3 equipos, I,II,II, de suerte que cada equipo conste de 4 estudiantes?

Mtodo 1.

Observamos que cada particin (I, II, III) de estudiantes puede distribuirse de 3! =6 maneras lo mismo que una particin ordenada. Puesto que (ver problema anterior) hay = 34,650 de tales particiones ordenadas, hay 34,650/6 = 5,775 particiones ( no ordenadas)

Mtodo 2.

Denotemos por A uno de los estudiantes. Entonces hay maneras de escoger los otros 3 estudiantes que estn en el mismo equipo de A. Ahora denotemos por B a un estudiante que no sea del equipo de A; entonces hay maneras de escoger, entre los restantes, 3 estudiantes que estn en el mismo equipo de B. Los 4 estudiantes que quedan constituyen el tercer equipo. As, en total hay =165 x 35 = 5,775 maneras de repartir los estudiantes.

Se tiene las letras de la palabra: GUERRERO. Si se selecciona una palabraCul es la probabilidad de que comience con R y termine en O?

R O

1 1 2 3 4 5 6

P = Se tienen las letras de la palabra AMARRARAS LANTALLAy se colocan en algn orden. Cul es la probabilidad de que:a) Las R y las A no queden juntas L y Ab) Las R y las A deben estar en los extremos L y A

AMARRARAS (A=4 R=3 M=1 S=1 ) LLANTALLA ( L=4 A=3 N=1 T=1)a) En bloque (AAAA) (RRR))P= 1-

RRRAAAA

M S 1 2 32! En cualquier ordenP= 1-

AAAA RRR

M R 1 2 3

7P3, 4P =

b) M S RRRAAAA

1 2

2!

Se tienen las letras de la palabra: (a) MATAHAMATTHAMDe cuntas maneras pueden ordenarse si: Las A deben estar en los extremos y las M y T deben estar juntas(b) MATTAHAMATHAM A M y H(c) NETEHENETTHEN E N y H(d) NETTEHENNETHEN E N y TConsiderar todas las formas posibles

NETTEHENNETHENMATAHAMATTHAM

3M 5A 3T 2 H = 13 letras 4N 5E 3T 2H = 14 letras

A 3M 3T 2H A A A A E 4N 3T 2H E E E E - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6P3,3 3! / 2! 7P4,3 3! / 2! 4 4

4 x 4 x

NETEHENETTHENMATTAHAMATHAM

3M 5A 3T 2 H = 13 letras 3N 5E 3T 2H = 13 letras

A 3M 2H 3T A A A A E 3N 2H 3T E E E E - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5P2,3 4! / 3! 5P3,2 4p3,1 4 4

4 x

t r a n s t r a s a n t aCul es la probabilidad deque las aes A estn en los extremos y las enes N y la eses S no estn juntas

A----------------AAAT = 3 R= 2 A = 4 N = 2 S = 2 AA----------------AAAAA----------------AA A A 3T-2R A2N 2S-- -- -- ---

-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

12 3 4 5 6 p(no juntas) = 1 - 4P2,23

c o c a c o l a c o l o c o l oCul es la probabilidad de que:A) Las letras C no deben estar juntas y una letra o en un extremoB) Las letras O y C no deben estar juntas

8 letras : C=3 O=2 A=2 L=1 OAAL AALCCC OOOC C C

-- -- -- -- -- -- --1 2 3 4 5 1 2 3 4 2 extremos

p = 1 - = 13 / 14 p = 1 - = 13 / 14

8 letras : C=2 O=4 A=2 L=1 OOOLL L LC C O O O OOC C

-- -- -- -- -- -- --1 2 3 4 5 6 1 2 3 2 extremos

p = 1 - = 5 / 7 p = 1 - = 25 / 28

En un estante hay espacio para 10 librosCul es la probabilidad de que 2 de ellos se coloquen en los extremos y otros 2 no deben estar juntos?

A B C D E F G H I J En los 8 restantes: TOTAL = JUNTOS + NO JUNTOSI J

A 2 3 4 5 6 7 B 8! = 2! 7! + No juntos-- -- -- -- -- -- -- -- Juntos: 2! 7!NO JUNTOS = 8! 2! 7!Extremos: 2 = 8 x 7! 2 x 7! = 6 x 7! x 2

extremos

p =

Se lanzan 3 dados normales. Si la suma es 6 Cul es la probabilidad de sacar por lo menos: a) un AS b) un DOS

0

Suma 6 : (1,1,4), (1,4,1), (4,1,1), 2,3,1),(2,1,3),(1,2,3),(3,2,1),(3,1,2),(1,3,2),(2,2,2)

a) 9 / 10 b) 7 / 10 Chofer15 16 17 18 1912 1114 137 89 106 53 41 2Un microbs tiene 19 asientos ( 3 filas de 4 asientos con un pasillo al medio, al final 5 asientos juntos y 2 al lado del chofer). En un paradero hay 15 pasajerosDe cuntas maneras se pueden ubicar si:a) Ocupar asientos que poseen ventanillab) 5 pasajeros estn enfermos y deben viajar en asientos que poseen ventanilla

9 ventanillas a) 15 P 9 . 10 P 6 Pasajeros restantes pasajeros asientos que quedanventanillas

b) 9 P 5. 14 P 10 pasajeros restantes Ventanillas enfermos asientos quedan

c o c O R O C O S R O C O R O C O SCul es la probabilidad de que:A) Las letras C deben estar en los extremos y la R no debe estar junto a ella (Esto es, a la C)B) Las letras O deben estar en los extremos y la R y S no deben estar juntos

9 letras : R = 2 O = 4 C = 2 S = 1 RR..... R....R .....RR

9 letras : C=3 O=4 R=1 S=1 R OOOOS OOOOSCCC C C

---- -- -- -- RR -- -- -- -- -- R 23 5 2 extremos

p = 1 - = 125 / 126 p = 1 - = 251 / 252